«Мнато'би» («Светоч»), 1) грузинский научно-популярный журнал, издававшийся в 1869—72 в Тбилиси под редакцией Н. Авалишвили. Журнал обличал экономическое неравенство, призывал к просвещению народа, ставил вопрос о социальных правах женщин. В «М.» печатались произведения А. Церетели, А. Пурцеладзе, И. Чавчавадзе, М. Гуриели, Н. Ломоури, Г. Эристави и др. 2) Грузинский общественно-политический и литературно-художественный ежемесячный журнал, орган СП Грузии. Издаётся в Тбилиси с 1924. В 20—30-е гг. сыграл важную роль в консолидации представителей различных литературных групп на платформе советской литературы. Журнал публикует лучшие произведения грузинских советских писателей, а также переводы (в нём печатались произведения М. Горького, В. В. Маяковского и др.). Тираж (1973) около 14 тыс. экземпляров.

Мндоя'нц Ашот Ашотович [28.12.1909(10.1.1910), Батуми, — 29.9.1966, Москва], советский архитектор. Учился на архитектурном факультете Политехникума изобразительных искусств и в институте инженеров гражданского и коммунального строительства (1928—32) в Одессе. В 1932—1935 работал в Батуми (в 1934—35 — главный архитектор города), затем в Москве.

  Работы в Москве: высотный жилой дом на площади Восстания (1950—54; проект — Государственная премия СССР, 1949), Кремлёвский Дворец съездов (1959—61; Ленинская премия, 1962), застройка проспекта Калинина (1964—1969; см. илл. ) с комплексом зданий СЭВ (1969), кинотеатром «Октябрь» (1967; см. илл. ), магазинами и ресторанами — все совместно с архитектором М. В. Посохиным и др. Награжден 3 орденами, а также медалями.

М. В. Посохин, А. А. Мидоянц и др. Проспект Калинина в Москве. 1964—69.

А. А. Мндоянц.

Кинотеатр «Октябрь» в Москве. 1967. Архитекторы М. В. Посохин, А. А. Мндоянц, В. А. Свирский, инженеры Ю. В. Рацкевич, С. Я. Школьников.

Мнемоге'незис (от греч. mnēmē — память и генезис ), идеалистическая теория, согласно которой в основе явлений наследственности лежат психические процессы (так называемая бессознательная память).

«Мнемози'на», русский литературный альманах, издававшийся В. К. Кюхельбекером и В. Ф. Одоевским в Москве в 1824—25 (вышло 4 книги). Сотрудничали А. С. Пушкин, А. С. Грибоедов, Е. А. Баратынский и др. В альманахе нашли отражение, с одной стороны, философские и эстетические взгляды декабристов, изложенные в первую очередь в статье Кюхельбекера «О направлении нашей поэзии, преимущественно лирической», с другой стороны — позиции кружка «любомудров» . Публикации «М.» были встречены одобрением декабристской критики (А. А. Бестужев, К. Ф. Рылеев).

  Лит.: Степанов Н. Л., «Мнемозина», в кн.: Очерки по истории русской журналистики и критики, т. 1, Л., 1950; Гирченк о И. В., «Мнемозина», в кн.: Декабристы в Москве, М., 1963.

Мнемо'ника (греч. mnēmoniká — искусство запоминания), система различных приёмов, облегчающих запоминание и увеличивающих объём памяти путём образования искусственных ассоциаций. Например, известный приём заучивания числа 3,1415926536, выражающего величину p, с помощью двустишия «Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) пи узнать, число уж(ъ) знает(ъ)», где число букв очередного слова (по рус. орфографии, действовавшей до 1918) соответствует очередной цифре запоминаемого числа. Уже в глубокой древности люди пользовались сначала внешними (зарубки, узлы и пр.), а затем и внутренними (представления предметов, действий) опорами как средствами запоминания. Попытки создать определённую систему мнемонических приёмов были у древних египтян, греков, римлян. В средние века М. не разрабатывалась. Её возрождение началось в 16 в., и она получила большое развитие в 17—19 вв. В современной науке интерес к М. утрачен. Ею пользуются только отдельные лица для демонстрации искусства запоминания, достигаемого в результате упорной и длительной тренировки (см. Мнемотехника ). См. также Запоминание , Память .

  П. И. Зинченко.

Мнемони'ческая схе'ма, мнемосхема, условное изображение управляемого объекта с помощью символов и индикаторов, размещенных на лицевой стороне диспетчерского щита или специальных панелях перед пультом оператора (диспетчера). М. с. наглядно показывает состояние (положение) объекта или ход производственного процесса (см. Отображения информации устройство ). Оборудование объекта и его внутренние связи изображаются на М. с. в соответствии с общепринятыми обозначениями электрических, технологических, транспортных и других схем. Состояние контролируемого процесса автоматически отображается на М. с. сигнальными устройствами. М. с. — упрощённая модель объекта, облегчающая запоминание его схемы, назначения различных приборов и оборудования, а также органов управления и способов действия при различных режимах работы. М. с. применяют в тех случаях, когда управляемый объект имеет сложную структуру, производственный процесс контролируется по большому числу параметров, а также тогда, когда быстро меняющееся состояние объекта требует оперативного управления, что во многих случаях трудно и даже невозможно сделать «на память». М. с. используют также как демонстрационные модели на технических выставках и в качестве учебных пособий, на которых наглядно показываются порядок и последовательность включения и отключения нагрузки, потоки сырья и готовой продукции, движение транспорта, функциональные связи и ритмичность работы отдельных частей и элементов моделируемого объекта.

  М. с. подразделяют на операторские и диспетчерские, которые различаются сложностью и масштабом отображаемых объектов (в первом случае объект, как правило, — сосредоточенный технологический комплекс, во втором — территориально распределённая система, состоящая из многих объектов и технических комплексов), подробностью отображения отдельных объектов и наличием в операторских М. с. встроенных органов управления. По принципу действия и технологии изготовления М. с. делятся на мимические, световые и комбинированные (полусветовые).

  На мимические М. с. условные обозначения и соединительные линии наносят красками либо выкладывают цветными плитками (накладками). Непосредственно у изображения отдельных устройств и объектов управления на М. с., как правило, помещают сигнальные лампочки двух цветов: красного — обозначающего, что схема, машина или аппарат включены, и зелёного — соответствующие устройства выключены. Смена состояния объекта управления (контроля) может быть показана также с помощью различных механических указателей, например отклонением стрелок, смещением накладок, поворотом дисков с цветными секторами на них и т. д. Мимическую М. с. применяют главным образом там, где по характеру производственного процесса достаточно отобразить сам факт изменения состояния или положения объекта (например, заслонка «открыта» или «закрыта», «есть ток» в цепи или «нет тока» и т. д.), т. е. там, где контрольная информация имеет дискретный характер.

  Гораздо большими демонстрационными возможностями обладают световые М. с., на которых информация о состоянии контролируемого объекта отображается изменением цветности или яркости свечения элементов М. с., перемещением светового зайчика или неравномерной подсветкой по участкам (линиям, секторам) М. с., изменением конфигурации или размеров светового пятна и т. п. К световым М. с. относятся также электролюминесцентные, проекционные, в том числе кинопроекционные, телевизионные и другие М. с. Перспективным является использование в М. с. достижений оптоэлектроники и элементов волоконной оптики .

  В полусветовых М. с. светящимися делают только основные узловые элементы, а прочие части, как и на мимических М. с., выполняются красками пли накладками.

  Выбор того или иного типа М. с. зависит эт структуры системы управления и характера производственных процессов, от функциональной схемы, назначения и степени автоматизации объекта управления. Нередко М. с. сочетают с измерительными приборами и устройствами, что улучшает условия наблюдения за объектом и повышает информативность М. с.

  Лит.: Венда В. Ф., Средства отображения информации, М., 1969.

Мнемоническая схема на пульте управления тепловой электростанции.

Мнемоси'на, Мнемозин, а в древнегреческой мифологии богиня из поколения титанов , мать муз, родившихся от её связи с Зевсом. Олицетворяла память. Иносказательно М. — память.

Мнемоте'хника (от греч. mnēmē — память и téchnē — искусство, мастерство), в цирке и на эстраде номера, построенные на искусстве запоминания; специально разработанные приёмы и способы, облегчающие запоминание («отгадывание» различных чисел, названий предметов, номеров денежных купюр и др.). Номера М. исполняются обычно двумя артистами, один из которых (находясь среди зрителей) задаёт вопросы, а другой «отгадывает». В основе М. — различные системы шифра (т. н. ключа), скрытого в формулировках вопросов, интонациях голоса, темпе разговора, иногда в музыкальном сопровождении. Приёмы М. были известны уже в древности, использовались преимущественно жрецами. Как зрелище номер утвердился первоначально на эстраде (в театрах варьете) во 2-й половине 19 в., позже стал исполняться в цирках. Номер подавался как «чтение мыслей на расстоянии», исполнители называют «ясновидящими». В сов. цирке номера М. ставятся в занимательной, лёгкой, часто шутливой форме. Среди известных исполнителей М.: Жанна Дюкло, Арраго (Р. С. Левитин), Г. и Р. Греголи, Н. Страйт, Инза Сун и Г. Д. Агаронов (Агароновы).

  Лит.: Гетманский М., Математические аттракционы, [М.], 1928; Лурия A. Р., Маленькая книжка о большой памяти, М., 1968.

  Ю. А. Дмитриев.

Мнеси'кл (Mnēsiklēs), древнегреческий архитектор 2-й половины 5 в. до н. э., представитель стиля высокой классики . Участвовал в сооружении ансамбля афинского Акрополя , построив монументальные входные ворота — Пропилеи (437—432 до н. э.; в которых два наружных дорических портика (один обращен к городу, другой — к Акрополю) расположены на разных уровнях и связаны внутренней ионической колоннадой. В северном крыле Пропилеи находилась пинакотека .

  Лит.: Роговин Н. Е., Пропилеи Акрополя в Афинах, М., 1940; Вundgаard J. A., Mnesicles, Kbh.,1957.

Мни'мая бере'менность, ложная беременность, состояние организма женщины, симулирующее беременность (прекращение менструаций, напряжение молочных желёз, тошнота, ощущение движений плода и т. д.). Результат самовнушения и одно из свидетельств влияния психики на состояние различных органов. В большинстве случаев наблюдается у женщин, страдающих бесплодием. Отличают от истинной беременности с помощью акушерского исследования и специальных биологических реакций, которые при М. б. отрицательны.

Мни'мая едини'ца, число i , квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом,

Мни'мая сде'лка, см. в ст. Сделка .

Мни'мая часть комплексного числа z = х + iy , множитель у при мнимой единице i ; М. ч. обозначается Im z .

Мни'мое изображе'ние предмета (воспринимается глазом как предмет) образуется пересечениями геометрических продолжений световых лучей, прошедших через оптическую систему, в направлениях, обратных действительному ходу этих лучей. Подробнее см. Изображение оптическое .

Мни'мое кормле'ние, предложенный И. П. Павловым (1890) метод исследования роли центральной нервной системы (ЦНС) в регуляции желудочной секреции, а также других вопросов нейрофизиологии (например, уровня глюкозы в крови, состояния пищевых депо, распределения воды в организме в условиях, когда поглощаемая пища или вода не поступает в желудочно-кишечный тракт). М. к., как и мнимое питье, заключается в поглощении пищи (или жидкости) оперированным животным с перерезанным пищеводом, концы которого выведены наружу на шее и приживлены в коже (такая хроническая операция называется эзофаготомией). Опыт обычно ставят на собаке, которой предварительно накладывают фистулу желудка (см. рис. ). Через несколько минут после начала М. к. начинает выделяться желудочный сок , секреция которого не прекращается 2—3 часа, даже при кратковременном М. к. (если же продолжать М. к. несколько часов, то от собаки можно получить до 1 л чистого, т. е. не смешанного с пищей, сока, используемого для лечебных целей). Как показал И. П. Павлов с сотрудниками, после двусторонней перерезки блуждающих нервов, по которым импульсы из ЦНС поступают к желудку, сокоотделение при М. к. отсутствует. Это подтверждает рефлекторный характер первой фазы сокоотделения, в ходе которой выделяется примерно ¹ /₄ нормального количества желудочного сока (т. н. запальный сок). См. также Желудок , Пищеварение .

  Лит.: Павлов И. П., Полн. собр. соч., т. 5, М. — Л., 1952.

  О. М. Бенюмов.

Опыт мнимого кормления (схема).

Мни'мые чи'сла, числа вида х + iy , где  х и у — действительные числа и у ¹ 0, т. е. комплексные числа , не являющиеся действительными; М. ч. вида iy называются чисто мнимыми (иногда только их называют М. ч.). Термин «М. ч.» возник, когда эти числа уже вошли в употребление, однако реальный смысл их ещё не был раскрыт.

Мни'шек (Mniszech) Марина (около1588 — 1614), политическая авантюристка, дочь польск. воеводы Ежи (Юрия) Мнишека, одного из организаторов интервенции против России в начале 17 в. Брак М. с самозванцем Лжедмитрием I давал возможность польско-литовским магнатам и католическому духовенству контролировать своего ставленника; в мае 1606 М. короновалась в Москве. За отказ от царского титула (после гибели Лжедмитрия I) отпущена на родину (июль 1608), но оказалась в Тушине, где признала Лжедмитрия II «спасшимся» мужем. После его смерти (декабрь 1610) М. нашла покровителя в лице атамана И. М. Заруцкого , который пытался поддержать кандидатуру её сына Ивана (родившегося в январе 1611) на русский престол. Вместе с Заруцким и сыном М. бежала в Астрахань, а затем (в мае 1614) на р. Яик (Урал), где они были выданы казаками русскому правительству. Заруцкий и сын М. были казнены в Москве, а М. умерла в заточении.

Многоа'томные спирты', спирты жирного ряда с несколькими группами — ОН в молекуле; так же, как и другие многоатомные соединения, содержащие в молекуле более одной функциональной группировки, подразделяются на двухатомные (гликоли ), трёхатомные (глицерины ), четырёхатомные (тетриты), пятиатомные (пентиты), шестиатомные (гекситы ) и т. д. Из спиртов, содержащих не менее четырёх групп — ОН, наибольшее значение имеют пентаэритрит С(СН₂ ОН)₄ и генетически связанные с моносахаридами пентиты (например, ксилит , адонит, арабит) и гекситы (маннит, сорбит, дульцит и др.). М. с. — бесцветные кристаллические вещества сладкого вкуса, легко растворимые в воде; многие из них синтезируются растениями; для каждого спирта известно большое число стереоизомеров. М. с. обладают всеми свойствами одноатомных спиртов (они легко, например, этерифицируются и окисляются). Нитраты М. с. обладают взрывчатыми свойствами. М. с. в промышленности получают обычно восстановлением соответствующих альдоз и кетоз; применяют в производстве полимеров (пентаэритрит, ксилит), взрывчатых веществ, используют в качестве заменителей сахара для больных диабетом (сорбит, ксилит), в косметической и фармацевтической промышленности (как увлажнители, а эфиры М. с. — как эмульгаторы).

Многоборо'дник (Polypogon), род растений семейства злаков. Однолетние или многолетние травы с плоскими листовыми пластинками. Соцветие — густая, большей частью цилиндрическая щетинистая метёлка из мелких одноцветковых колосков. Колосковые чешуи почти равные, на спинке округлые, нижняя цветковая чешуя плёнчатая, с 5 жилками, без ости или с очень короткой остью. 8—10 (по др. данным, до 15) видов в умеренных (на юге), субтропических и тропических областях. В СССР — 3 однолетних вида на юге Европейской части, Кавказе, юге Западной Сибири и в Средней Азии; растут по сырым солончаковатым лугам, приречным пескам, солончакам и как сорняки в посевах. Молодые растения М. хорошо поедаются скотом.

Многобо'рья спортивные, установленные международными или государственными спортивными классификациями сочетания физических упражнений в одном или нескольких видах спорта. М. имеют целью выявление разносторонних психофизических качеств и двигательных навыков спортсменов и физкультурников. Впервые соревнования в М. — пентатлон (бег, прыжки, метание копья и диска, борьба) были включены в программу древнегреческих Олимпийских игр в 708 до н. э. Существующие в современной спортивной классификации М. в одном виде спорта условно подразделяются на 3 группы: неоднократное выполнение однородных упражнений (М. в акробатике, бобслее, прыжках в воду и на батуте, в парусном и санном спорте, фигурном катании и др.); выполнение однородных упражнений на разных дистанциях или из разных положений (в конькобежном спорте, стрельба из лука и др.); выполнение разных упражнений в разных условиях, на разных снарядах или дистанциях (в лёгкой атлетике, гимнастике, конном, воднолыжном, горнолыжном и парашютном спорте, тяжёлой атлетике, комплексном плавании и др.). М., состоящие из упражнений в разных видах спорта, условно подразделяются на выполняемые с одного старта (например, биатлон) и с разных стартов (лыжное двоеборье, современное пятиборье, комплекс ГТО и др.).

  Особую группу М. составляют военные и военно-прикладные М., культивируемые в Вооружённых Силах СССР и организациях ДОСААФ. Военные М. впервые появились в отдельных воинских частях после окончания Гражданской войны 1918—20, широкое распространение получили в Советской Армии в период Великой Отечественной войны 1941—45 как средство повышения боевой подготовки подразделений. С середины 40-х гг. включаются в программы первенств военных округов, с 50-х гг. в программы чемпионатов Вооружённых Сил СССР, спартакиад и чемпионатов Спортивного комитета дружественных армий (СКДА). В 1964 в Вооружённых Силах СССР введена Военно-спортивная классификация, в которую включены троеборье (стрельба, преодоление полосы препятствий, метание гранат), пятиборье (стрельба, гимнастика, плавание, кросс, фигурное вождение автомобиля), офицерские М. (летнее — стрельба, кросс, плавание, гимнастика; зимнее — стрельба, лыжные гонки, гимнастика) и др. Массовое развитие в СССР в 50—70-е гг. военно-технических видов спорта обусловило появление различных военно-спортивных М.: автомобильное, мотоциклетное, радиомногоборье, морское, подводное, летние военно-прикладные троеборье и пятиборье, малокалиберный биатлон, военизированная эстафета и др. Как правило, военно-спортивные М. включают упражнения из различных видов спорта, например: автомобильное — фигурное вождение автомобиля, соревнование на экономичность движения, кросс, стрельбу, метание гранаты; морское — греблю на морских ялах, парусные гонки на ялах, кросс, плавание, стрельбу. Все виды военно-прикладных М. включены в Единую всесоюзную спортивную классификацию . См. также Десятиборье , Пятиборье и статьи о видах спорта, например Лёгкая атлетика , Конькобежный спорт .

  К. П. Жаров, Л. Л. Чистый.

Многобуго'рчатые (Multituberculata), отряд вымерших млекопитающих. Жили с юры до среднего эоцена. Самые крупные из мезозойских млекопитающих (достигали величины сурка). М., подобно грызунам, имели по паре крупных резцов в верхней и нижней челюстях и крупные коренные зубы с многочисленными бугорками, расположенными правильными продольными рядами (отсюда название). По характеру питания и образу жизни, очевидно, были сходны с появившимися позднее грызунами; строение конечностей указывает на древесный образ жизни. Вероятно, были яйцекладущими, подобно современным клоачным . Однако ряд черт строения сближает их с сумчатыми . Были распространены в Западной Европе, Центральной Азии и Северной Америке. М. — своеобразная боковая ветвь класса млекопитающих, не оставившая потомков.

Многогла'зки, червонцы (Chrysophanus), род бабочек семейства голубянок .

Многогла'сие, в русском богослужении одновременное исполнение нескольких различных песнопений, отличающихся как по тексту, так и по напеву. Возникло в начале 16 в., когда был распет полный круг песнопений и мелодии из речитативных переросли в распевные, в связи с чем певческое исполнение всей церковной службы занимало очень много времени. На протяжении 16—17 вв. велась борьба с М., которое приводило к антихудожественному смешению музыки песнопений и полной неразборчивости для слушателей их текстов. Полностью М. перестало применяться лишь в 1-й половине 18 в.

  Лит.: Преображенский А. В., Вопрос о единогласном пении в русской церкви XVII-го века. Исторические сведения и письменные памятники, [СПБ], 1904.

Многоголо'сие, склад музыки, основанный на сочетании в одновременности нескольких голосов ; противостоит монодии . Различают несколько типов М.: гетерофонию , гомофонию и полифонию . Гетерофоння характерна для различных народных культур, в том числе русской (подголосочное М. русской народной песни); гомофония и полифония ведут своё происхождение от неё. Возможно сочетание в одновременности различных типов М.

Многогра'нник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами М.

  Приведённое определение М. получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник . Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению М. (вопросы, связанные с определяемыми таким образом М., будут рассмотрены в конце статьи). Основная часть статьи построена на основе второго определения М., при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется М.; отсюда возникает третья точка зрения на М. как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.

  М. называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый М. разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М. — выпуклый.

  Важнейшие теоремы общей теории выпуклых М. (рассматриваемых как по верхности) следующие.

  Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого М. — эйлерова характеристика М. — равно двум; символически: в — р + г = 2.

  Теорема Коши (1812) (в современной форме): если два выпуклых М. изометричны друг другу (т. е. один М. может быть взаимно однозначно отображён на другой М. с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй М. может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого М. жестки, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по ребрам шарнирно. Это предполагал верным ещё Евклид и знает всякий, клеивший картонные модели М., но доказал Коши только через 2000 лет после Евклида.

  Теорема А. Д. Александрова (1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какую сторону какого из них с какой стороной какого другого мы будем склеивать (склеиваемые стороны, конечно, должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) М., то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого М., необходимо и достаточно, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера в — р + г = 2 и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°. Эта теорема есть теорема существования, т. е. она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые М., а теорема Коши есть для неё теорема единственности, т. е. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый М. с такой развёрткой.

  Теорема (существования) Минковского (1896): существует выпуклый М. с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.

  Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый М. вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; и углубляющая её теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых М. с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.

  Теорема Штейница (1917): существует выпуклый М. с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого М. называют сетку, составленную его ребрами. Два М. принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого М. можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань спроектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер М. при таком проектировании не меняется. Число m типов М. с данным числом n граней ограничено, а именно: если n = 4, 5, 6, 7, 8, ..., то m = 1, 2, 7, 34, 257,... На рис. даны сетки всех типов для n = 4, 5, 6.

  Наиболее важны следующие специальные выпуклые М.

  Правильные многогранники (тела Платона) — такие выпуклые М., все грани которых суть конгруэнтные правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного М. правильные и равные. Как это следует уже из подсчёта суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных М. не больше пяти. Указанным ниже путём можно доказать, что существуют именно пять правильных М. (это доказал Евклид). Они — правильные тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .

  Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные М.

  В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы и объём всех правильных М. (а — длина ребра М.).

  Изоэдры и изогоны. Изоэдром (изогоном) называется такой выпуклый М., что группа его поворотов (первого и второго, т. е. с отражениями, родов) вокруг центра тяжести переводит любую его грань (вершину) в любую другую его грань (вершину). Каждому изоэдру (изогону) соответствует дуальный изогон (изоэдр). Если М. одновременно и изогон и изоэдр, то он правильный М. Комбинаторно различных изоэдров (изогонов) имеется 13 специальных типов и две бесконечные серии (призмы и антипризмы). Оказывается, что каждый из этих изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так М. называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда).

Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объём
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

  Параллелоэдры (выпуклые; найдены рус. учёным Е. С. Федоровым в 1881) — М., рассматриваемые как тела, параллельным перенесением которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная 6-угольная призма. Топологически различных сеток рёбер параллелоэдров пять. Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.

  Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то, вообще говоря, не прямоугольной декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точки О рассматриваемой решётки L не дальше, чем от всякой другой точки этой решётки, называется областью Дирихле (или областью Вороного) D_o L точки О в решётке L. Область D_o L является выпуклым М. с центром в точке О . Совокупность областей Дирихле всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Существует замечательная теорема: произвольное (даже n -мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходится n + 1 параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Дирихле для некоторой решётки.

  Всякое движение, переводящее в себя решётку L и оставляющее на месте её точку О , преобразует в себя область D_o L и обратно. Группу всех таких движений называют голоэдрией решётки. Их всего семь: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

  Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О , и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы ).

  Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал французский математик О. Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.

  Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого М. называют просто сумму площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника см. Многоугольник ). Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней М. разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней М., которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска М. (она не зависит от выбора внешней точки О ); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом М.

  Можно рассматривать и n -мерные М. Некоторые из указанных определений и теорем имеют n -мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные М.; при n = 4 их оказалось 6, а при всех больших n всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, например, неизвестны все четырёхмерные изоэдры и изогоны.

  Примеры нерешенных задач теории многогранников.

  1) Немецкий математик Э. Штейниц дал примеры того, что не для всякого топологического типа сетки рёбер выпуклого М. существует М., который можно описать вокруг шара; в общем виде задача не решена.

  2) Параллелоэдры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные типы стереоэдров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (федоровских) дискретных групп движений. 3) Определение всех типов четырёхмерных изоэдров.

  Лит.: Фёдоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. — Л., 1950; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952; Brückner М., Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; Steinitz E., Vorlesungen liber die Theorie der Polyeder unter Einschiuss der Elemente der Topologie..., B., 1934; Coxeter H. S. М., Regular polytopes, 2 ed., L. — N. Y., 1963.

  Б. Н. Делоне.

Правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо).

Полуправильные многогранники (тела Архимеда).

Рис. к ст. Многогранник.

Полуправильные многогранники (тела Архимеда).

Правильные выпуклые многогранники (тела Платона).

Выпуклые параллелоэдры (тела Фёдорова).

Многогра'нный у'гол, часть пространства, ограниченная одной полостью многогранной конической поверхности, направляющая которой — плоский многоугольник без самопересечений. Грани этой поверхности называются гранями М. у., вершину — вершиной М. у. М. у. называют правильным, если равны все его линейные углы и все его двугранные углы. Мерой М. у. является площадь, ограниченная сферическим многоугольником полученным пересечением граней М. у., сферой с радиусом, равным единице, и с центром в вершине М. у. См. также Телесный угол .

Рис. к ст. Многогранный угол.

Многогре'шный Демьян Игнатович (умер не ранее 1696), гетман Левобережной Украины в 1668—72. Выходец из народа. Активный участник Освободительной войны украинского народа 1648—54. В 1649 в чине генерального есаула подписал Зборовский договор 1649 . Став гетманом, М. проводил политику, угодную зажиточному казачеству. В 1670 участвовал в подавлении восстания казацкой и крестьянской бедноты под руководством И. Дзиковского. В 1672 был обвинён в тайных связях с Турцией, арестован и сослан в Иркутск вместе с женой и детьми. В 1688 освобожден. В 1696 постригся в монахи.

Многодви'гательный электроприво'д, группа электродвигателей, объединённых общей системой управления и приводящих в движение отдельные рабочие органы машины или установки (например, прокатных станов, бумагоделательных машин, комбинированных металлообрабатывающих станков, шагающих экскаваторов и т. и.). См. Электропривод .

Многоде'тные ма'тери, в трудовом законодательстве СССР — матери, имеющие 3 и более детей, для которых установлены определённые льготы. Женщинам, имеющим 2 детей, выплачивается единовременное пособие при рождении 3-го и каждого следующего ребёнка и ежемесячное пособие при рождении 4-го и каждого следующего ребёнка, начиная с достижения ребёнком одного года и до того времени, когда ему исполнится 5 лет. При назначении пособия учитываются как родные дети, так и усыновленные, а также дети мужа и усыновленные им дети, находящиеся на воспитании М. м. не позже чем с 12 лет (с учётом требований, установленных законом). М. м. предоставляются льготы по оплате содержания детей в детских садах и яслях (плата снижается на 25—50 %, с учётом количества детей и общего заработка родителей). Для М. м. установлены также льготы в области пенсионного обеспечения. Так, женщины, родившие 5 и более детей и воспитавшие их до 8-летнего возраста, имеют право на пенсию по старости по достижении 50 лет и при стаже работы не менее 15 лет, если они не имеют права на пенсию по старости в более раннем возрасте. Для М. м. учреждены специальные ордена и медали: «Мать-героиня», «Материнская слава», «Медаль материнства». Женщинам, родившим и воспитавшим 10 детей, присваивается почётное звание «Мать-героиня» с вручением ордена «Мать-героиня» и грамоты Верховного Совета СССР. См. также Звания почётные , Медали СССР , Ордена СССР .

Многодо'мные расте'ния, многобрачные, полигамные, цветковые растения, которые наряду с обоеполыми цветками имеют и однополые. На одном и том же растении могут быть обоеполые и мужские цветки (андромонэция, например у чемерицы); обоеполые и женские цветки (ганомонэция, например у смолевки и многих растений семейства сложноцветных); как обоеполые, так и мужские и женские цветки (тримонэция, например у конского каштана). На одних экземплярах М. р. бывают обоеполые цветки, на других — мужские (андродиэция — у куропаточьей травы и др.) или женские (гинодиэция — у незабудок, многих растений семейства губоцветных). Наконец, обоеполые, мужские и женские цветки могут быть на разных растениях (триэция — у ясеня, винограда). Между указанными типами имеются переходы. Многодомность у растений способствует перекрёстному опылению.

Многожёнство, см. Полигиния и Двоежёнство .

Многозабо'йное буре'ние, сооружение буровых скважин, имеющих ответвления в виде резко искривленных дополнительных стволов от основного ствола скважины в пределах продуктивного пласта (нефти, газа и т. п.). М. б. применяется для добычи нефти и газа, а также при разведке твёрдых полезных ископаемых. М. б. целесообразно в сравнительно устойчивых продуктивных пластах мощностью 20 м и более, например в монолитных или с прослоями глин и сланцев нефтеносных песчаниках, известняках и доломитах, при глубинах 1500—2500 м и при отсутствии газовой шапки и аномально высоких пластовых давлений. М. б. сокращает число обычных скважин путём увеличения дренирующей поверхности эксплуатационной скважины (рис. 1 ). Для проведения таких скважин в СССР созданы мощные искривленные турбобуры и электробуры , способы и средства для принудительного продвижения геофизических приборов, разработаны технологические приёмы и инструменты для забуривания и крепления ответвлений.

  Впервые М. б. осуществлено в США в штате Техас (1930). Ответвления бурились специально спроектированными для этой цели шарнирными и в виде гибкого шланга бурильными трубами, которые приводились во вращение с земной поверхности. Недостаточная прочность таких труб и сложность технологии ограничили длину дополнительных стволов до 30 м. Новый принцип — использование забойных двигателей (турбобуров, электробуров) был впервые реализован в СССР по предложению А. М. Григоряна, В. А. Брагина и К. А. Царевича в 1948, когда этим методом были пробурены первые многозабойные скважины. Это позволило применить обычные высокопрочные бурильные трубы и увеличить длину дополнитеельных стволов до нескольких сотен метров.

  В нефтедобывающих районах СССР эксплуатируются скважины с 5—10 ответвляющимися стволами длиной по 150—300 м каждый. Благодаря этому приток нефти в несколько раз больше, чем в обычных скважинах (стоимость сооружения скважин возросла всего на 30—80 %). Важное преимущество таких скважин перед обычными в возможности более полного извлечения нефти из залежей. Так, три многозабойные скважины с горизонтальными стволами, пробурённые в 1957 вблизи г. Борислава, давали в сутки по 28—15 т нефти на истощённой залежи, которая эксплуатировалась с 1914 и на которой суточные дебиты обычных скважин не превышали 0,1—2 т. Применяя методы М. б., можно бурить скважины строго заданного направления, что используется при ликвидации открытого газонефтяного фонтана (проведение специальных скважин для соединения со стволом фонтанирующей скважины).

  Достижение в области М. б. — проведение разведочной скважины на Марковском нефтяном месторождении (Иркутская обл.) в 1968 с протяжённостью горизонтального ствола 630 м, при глубине по вертикали 2250 м. Скважина бурилась с такой же скоростью, как и обычная вертикальная, и была дороже всего на 23 %. Большая длина горизонтальных участков при М. б. дала возможность проводить скважины-гиганты (рис. 2 ) с охватом большой площади залежи и с высокими дебитами нефти (это особенно важно для разработки труднодоступных залежей, например, при разработке шельфов, в заболоченных районах, в черте городов и т. п.).

  В СССР (1974) М. б. успешно проведено несколько десятков скважин на нефть, разрабатывается и испытывается скоростное М. б. глубоких горизонтальных скважин большой протяжённости (несколько км ).

  Лит.: Григорян А. М., Вскрытие пластов многозабойными и горизонтальными скважинами, М., 1969.

  А. М. Григорян.

Рис. 1. Способы вскрытия пласта: 1 — обычная скважина; 2 — многозабойная скважина; 3 — продуктивный пласт нефти; 4 — резервуар для нефти.

Рис. 2. Многозабойно-горизонтальная скважина-гигант: 1 — плавучая буровая установка; 2 — трубы; 3 — устье скважины; 4 — основной ствол; 5 — ответвления; 6 — нефтеносный пласт.

Многозна'чная ло'гика, раздел математической логики , изучающий математические модели логики высказываний . Эти модели отражают две основные черты последней — множественность значений истинности высказываний и возможность построения новых, более сложных высказываний из заданных при помощи логических операций, которые позволяют также по значениям истинности исходных высказываний устанавливать значение истинности сложного высказывания. Примерами многозначных высказываний являются суждения с модальным исходом («да», «нет», «может быть») и суждения вероятностного характера, а примерами логических операций — логической связки типа «и», «или», «если..., то». В общем случае модели М. л. представляют собой обобщения алгебры логики . Важно отметить, что в алгебре логики высказывания принимают только два значения истинности («да», «нет»), в связи с чем она в общем случае не может отразить всего многообразия логических построений, встречающихся на практике. При достаточно широком толковании М. л. в неё иногда включают также логические исчисления .

  Исторически первыми моделями М. л. явились двузначная логика Дж. Буля (называемая также алгеброй логики), трёхзначная логика Я. Лукасевича (1920) и m -значная логика Э. Поста (1921). Изучение этих моделей составило важный этап в создании теории М. л. М. л. обладает определённой спецификой, состоящей в рассмотрении задач и подходов, возникающих при исследовании М. л. с позиций математической логики, теоретической кибернетики и алгебры . Так, с позиций теоретической кибернетики, модели М. л. рассматриваются как языки, описывающие функционирование сложных управляющих систем, компоненты которых могут находиться в некотором числе различных состояний; а с точки зрения алгебры, модели М. л. представляют собой алгебраические системы, имеющие наряду с прикладным и чисто теоретический интерес.

  Построение моделей М. л. осуществляется по аналогии с построением двузначной логики. Так, индивид, высказывания логики, разбитые на классы с одним и тем же значением истинности, приводят к понятию множества Е — констант модели, которые фактически отождествляют все индивидуальные высказывания, заменяя их соответствующими значениями истинности; переменные высказывания — к переменным величинам x ₁ , x ₂ , ..., которые в качестве значений принимают элементы из множества Е ; логической связки — к множеству М элементарных функций (операций), которые, как и их аргументы, принимают значения из Е . Сложные высказывания, построенные из индивидуальных и переменных высказываний, а также логических связок, приводят к множеству <М > формул над М . Значение истинности из Е сложного высказывания является функцией от соответствующих значений истинности высказываний, входящих в данное сложное высказывание. В модели эта функция приписывается формуле, соответствующей данному сложному высказыванию; говорят также, что формула реализуют эту функцию. Множество формул <М > приводит к множеству [М ] функций, реализуемых формулами из <М > и называемых суперпозициями над М . Множество [М ] называется замыканием множества М . Задание конкретной модели М. л. считается эквивалентным указанию множеств Е, М , <М > и [М ]; при этом говорят, что модель порождается множеством М . Эта модель называется формульной моделью, а также m -значной логикой, где m обозначает мощность множества Е .

  Своеобразие подхода математической кибернетики к М. л. состоит в рассмотрении моделей М. л. как управляющих систем. Элементарные функции при этом являются элементами, производящими определённые операции, а формулы интерпретируются как схемы, построенные из элементов и также осуществляющие переработку входной информации в выходную. Такого рода управляющие системы, известные в кибернетике как схемы из функциональных элементов, широко используются в теоретических и практических вопросах кибернетики. Вместе с тем существует ряд задач логики и кибернетики, который связан с изучением соответствий между множествами М и [М ] и при котором роль множества <М > несколько затушёвывается, сводясь к способу определения второго множества по первому. В этом случае приходят к другой модели М. л., которая представляет собой алгебру, элементами которой являются функции, принимающие в качестве значений, как и их аргументы, элементы из Е . В качестве операций в этих алгебрах обычно используется специальный набор операций, эквивалентный в смысле соответствий М и [М ] множеству формул, построенных из функций множества М , т. е. получению сложных функций из заданных путём подстановки одних функций вместо аргументов других.

  К числу задач, характерных для формульной модели М. л., относится задача «об описании», т. е. вопрос об указании для заданного множества М ₂ Í [M ₁ ] всех формул из <M ₁ >, реализующих функции из М ₂ . Частным случаем такой задачи является важный вопрос математической логики об указании всех формул, реализующих заданную константу, что, например, для исчисления высказываний эквивалентно построению всех тождественно истинных высказываний. Пограничным вопросом между математической логикой и алгеброй, примыкающим к задаче об описании, является задача о тождественных преобразованиях. В ней при заданном множестве М требуется выделить в некотором смысле простейшее подмножество пар равных (т. е. реализующих одну и ту же функцию) формул из <М >, позволяющее путём подстановки выделенных равных формул одной вместо другой получить из любой формулы все формулы, равные ей. Аналогичное место занимает один из важнейших вопросов для М. л. — т. н. проблема полноты, состоящая в указании всех таких подмножеств M ₁ заданного замкнутого, т. е. совпадающего со своим замыканием, множества М , для которых выполнено равенство [M ₁ ] = М , т. е. имеет место свойство полноты M ₁ в М . Глобальной задачей для М. л. является описание структуры замкнутых классов данной модели М. л.

  Характерный для теории управляющих систем вопрос о сложности этих систем естественно возникает и по отношению к формулам и функциям из М. л. Типичной при таком подходе является следующая задача о сложности реализации. На множестве всех элементарных формул некоторым способом вводится числовая мера (сложность формул), которая затем распространяется на множество всех формул, например, путём суммирования мер всех тех элементарных формул, которые участвуют в построении заданной формулы. Требуется для заданной функции указать ту формулу (простейшую), которая реализует эту функцию и имеет наименьшую сложность, а также выяснить, как эта сложность зависит от некоторых свойств рассматриваемой функции. Исследуются различные обобщения этой задачи. Широкий круг вопросов связан с реализацией функций формулами с наперёд заданными свойствами. Сюда относятся задача о реализации функций алгебры логики дизъюнктивными нормальными формами и связанная с этим задача о минимизации; а также задача о реализации функций формулами в некотором смысле ограниченной глубины (т. е. такими формулами, в которых цепочка подставляемых друг в друга формул имеет ограниченную длину, такое ограничение связано с надёжностью и скоростью вычислений).

  Решения всех перечисленных задач существенно зависят от мощности множества Е и множества М , порождающего заданную модель М. л.

  К числу наиболее важных примеров М. л. относятся конечнозначные логики (т. е. m -значные логики, для которых m конечно). Среди них наиболее глубоко исследован случай m = 1. Важнейшим результатом здесь является полное описание структуры замкнутых классов и получение для них важной информации по задаче о сложности реализации. Установлено, что при m > 2 у конечнозначных логик возникает ряд особенностей, существенно отличающих их от двузначного случая. Таковы, например, континуальность множества замкнутых классов (при m = 2 их счётное число), особенности решения задачи о сложности реализации и ряд других. Общим результатом для конечнозначных логик является эффективное решение задачи о полноте для замкнутых классов, содержащих все функции со значениями в Е . Решение остальных проблем для конечнозначных логик продвинуто в различной степени. Особая значимость конечнозначных логик связана ещё и с тем, что они позволяют описывать работу самых различных реальных вычислительных устройств и автоматов.

  Примерами другой М. л. являются счётнозначные и континуум-значные логики (т. е. такие m -значные логики, для которых мощность m является, соответственно, счётной или континуальной). Эти модели играют важную роль в математической логике, моделей теории и в математическом анализе. К М. л. иногда относят и такие алгебры функций, в которых запас операций несколько отличается от указанного. Как правило, это достигается путём сужения описанного запаса или введения в операции некоторых функций рассматриваемой М. л.

  Лит.: Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б., Функции алгебры логики и классы Поста, М., 1966; Яблонский С. В., Функциональные построения в k-значной логике, «Тр. Матем. института АН СССР», 1958, т. 51, с. 5—142.

  В. Б. Кудрявцев.

Многозна'чная фу'нкция, функция, принимающая несколько значений для одного и того же значения аргумента. М. ф. появляются при обращении однозначных функций, повторяющих свои значения. Так, функция x ² принимает каждое положительное значение дважды (при значениях аргумента, различающихся только знаком); обращение её даёт двузначную функцию  Функция sinх принимает каждое своё значение бесконечное множество раз; обращение её даёт бесконечнозначную функцию Arcsinх . Существенную роль М. ф. играют в теории аналитических функций комплексного переменного. В комплексной области  имеет n значений при любом z &sup1; 0; f (z ) = Lnz при z &sup1; 0 — бесконечное число значений.

Многозна'чность сло'ва, полисемия, наличие у слова более чем одного значения, т. е. способность одного слова передавать различную информацию о предметах и явлениях внеязыковой действительности. Например, у слова горло 4 значения: передняя часть шеи; полость позади рта; верхняя суженная часть сосуда; узкий выход из залива, устье. Во многих языках, в том числе в русском, многозначные слова преобладают над однозначными. М. с. принято отграничивать от омонимии , т. к. значения многозначного слова связаны общими семантическими элементами (семантическими признаками) и образуют определённое семантическое единство (семантическую структуру слова). Различаются первичные и вторичные (производные) значения, которые иногда понимаются как прямые и переносные значения. Первичные значения, как правило, наименее контекстно обусловленны. Соотношение между первичными и вторичными значениями с течением времени может меняться. У разных типов слов существуют различные типы М. с., например относительно регулярная и нерегулярная М. с. — слова, обозначающие населённые пункты (город, деревня, село, посёлок и т. д.), могут иметь в русском языке также значение «жители данного населенного пункта», т. е. следуют определённой семантической формуле, в то время как вторичные значения, например обозначения животных (лев, лиса и т. д.) в применении к людям индивидуальны. Особенности объединения значений в пределах одного слова во многом определяют своеобразие словарного состава каждого языка. Многозначными могут быть также грамматические формы слова и синтаксические конструкции.

  Лит.: Виноградов В. В., Основные типы лексических значений слова, «Вопросы языкознания», 1953, № 5; Ахманова О. С., Очерки по общей и русской лексикологии, М., 1957; Курилович Е., Заметки о значении слова, в его кн.: Очерки по лингвистике, пер. с польск., англ., франц., нем., М., 1962; Üllmann S., The principles of semantics, 2 ed., Glasgow, 1959.

  Д. Н. Шмелев .

Многозу'б (Polyodon spathula), рыба семейства веслоносов отряда осетрообразных.

Многозу'бые белозу'бки (Suncus), род млекопитающих семейства землероек отряда насекомоядных. Длина тела 3—15 см, хвоста — 2,5—10 см. Представитель рода — малая белозубкa (S. etruscus) — самое маленькое млекопитающее. Около 20 видов. Распространены в Африке, Южной Европе, Южной Азии на В. до Филиппин и Новой Гвинеи. Отдельные виды обитают на лугах и в заболоченных местах, иногда селятся в постройках человека. Питаются главным образом насекомыми, нередко мясом, хлебом. Активны ночью. Размножаются круглый год. В помёте 2—5 детёнышей.

Малая белозубка.

Многока'мерный раке'тный дви'гатель, жидкостный ракетный двигатель (ЖРД) с несколькими камерами и общими системами подачи топлива и управления. М. р. д. отличается от однокамерного той же тяги меньшими размерами (длиной), что позволяет выиграть в массе ракеты в целом; имеет преимущества в доводке камеры ракетного двигателя, однако конструкция его сложнее. Иногда несколькими камерами снабжается твердотопливный ракетный двигатель для ступенчатого изменения тяги.

Многокана'льная связь, система электросвязи, обеспечивающая одновременную и независимую передачу сообщений от нескольких отправителей к такому же числу получателей. М. с. применяется для передачи по кабельным, радиорелейным и спутниковым линиям связи телефонных и телеграфных сообщений, данных телеметрии и команд телеуправления, телевизионных и факсимильных изображений, информации для ЭВМ, в автоматических системах управления и т. д. Системы М. с. в сочетании с коммутационными системами явятся важнейшими составными частями единой автоматизированной системы связи .

  В основу построения систем М. с. положен принцип уплотнения линий связи. Наиболее распространено частотное уплотнение, при котором каждому каналу связи отводится определённая часть области частот, занимаемой трактом групповой передачи сообщений. В качестве стандартного канала принимается канал тональной частоты (ТЧ), обеспечивающий передачу речевого (телефонного) сообщения с эффективной полосой частот 300—3400 гц. С учётом защитных промежутков между каналами каждому из них отводится номинальная полоса частот 4 кгц. При построении М. с. с частотным уплотнением используется метод объединения стандартных каналов в стандартные групповые тракты. Вначале образуют первичный групповой тракт из 12 стандартных каналов, занимающий полосу частот 60—108 кгц (рис. ). Для этого каждый канал посредством своего индивидуального преобразователя частоты (модулятора) переносится в соответствующую область полосы частот первичного тракта. Из 5 первичных групповых трактов аналогичным образом формируется вторичный и т. д. В практике встречаются системы М. с. на 12, 60, 120, 180, 300, 600, 900, 1920, 10 800 стандартных каналов. Такой метод не только существенно облегчает реализацию электрических фильтров , но также обеспечивает более широкие возможности унификации оборудования и другие технические преимущества. Образование групповых трактов обеспечивает также передачу таких видов информации, которые требуют более широкой полосы частот, чем полоса частот стандартного канала: например, при передаче звукового вещания с полосой частот 50—10 000 гц объединяются 3 стандартных канала, при передаче черно-белого и цветного телевизионного изображений используется полоса частот всего четвертичного тракта (900 стандартных каналов). Для передачи сообщений, требующих полосы частот более узкой, чем полоса частот стандартного канала ТЧ (например, при уплотнении стандартного канала ТЧ низкоскоростными каналами передачи данных ), последний с помощью аппаратуры уплотнения разделяют на 24—48 узкополосных каналов. При этом стандартный канал ТЧ становится уплотнённым каналом связи. Такое уплотнение часто называют вторичным.

  Основное достоинство систем М. с. с частотным уплотнением и однополосной модуляцией — экономное использование спектра частот; существенные недостатки — накопление помех, возникающих на промежуточных усилительных пунктах, и, как следствие, сравнительно невысокая помехоустойчивость. От последнего недостатка свободны системы с временным уплотнением и импульсно-кодовой модуляцией (см. Линии связи уплотнение , Импульсная радиосвязь ). При построении М. с. большой мощности (по числу каналов) намечается тенденция одновременного использования методов частотного и временного уплотнения. Теория и техника М. с. развиваются в направлении повышения помехоустойчивости передачи сообщений и эффективности использования линий связи.

  Лит.: Назаров М. В., Кувшинов Б, И., Попов О. В., Теория передачи сигналов, М., 1970; Многоканальная связь, под ред. И. А. Аболица, М., 1971.

  М. В. Назаров.

Схема образования первичного группового тракта.

Многокле'точные организмы, животные и растения, тело которых состоит из многих клеток и их производных (различные виды межклеточного вещества). Характерный признак М. — качественная неравноценность слагающих их тело клеток , их дифференцировка и объединение в комплексы различной сложности (ткани, органы), выполняющие разные функции в целостном организме . Для М. характерно также индивидуальное развитие (онтогенез ), начинающееся в большинстве случаев (исключая вегетативное размножение ) с делений и дифференцировки одной клетки (половой клетки, споры или др.). Ср. Одноклеточные .

Многоковшо'вый экскава'тор, экскаватор непрерывного действия, рабочий орган которого конструктивно объединяет несколько ковшей, перемещающихся по замкнутой траектории. По конструкции рабочего органа различают М. э. цепные и роторные; по способу экскавации — поперечного черпания (направление движения рабочего органа перпендикулярно к направлению движения машины) и продольного черпания (направление движения рабочего органа совпадает с направлением движения машины). Полноповоротные М. э. производят разработку забоев комбинированно, т. е. в поперечном, продольном и «косом» направлениях.

  М. э. используются для выемки пород, не подвергающихся предварительному рыхлению, т. к. только единичные конструкции М. э. могут работать не срезая стружку, а как погрузчики, заполняя ковш рыхлым (сыпучим) материалом на протяжении одной — двух длин ковша. М. э. применяются в комплексе с ж.-д. и конвейерным транспортом, консольными отвалообразователями, транспортно-отвальными мостами . См. также Роторный экскаватор , Цепной экскаватор .

  Лит. : Домбровский Н. Г., Многоковшовые экскаваторы, М., 1972.

  Ю. Д. Буянов.

Многокоре'нник (Spirodela), род водных растений семейства рясковых. Включает 1 вид — М. обыкновенный (S. polyrrhiza) — многолетнее растение с округлым видоизменённым стеблем — листецом, плавающим на поверхности воды и несущим пучок мелких корней (отсюда название). Цветки однополые, без околоцветника, собраны в соцветие из 1 пестичного и 1 тычиночного цветков. Плод односемянный, невскрывающийся. М. цветёт очень редко; размножается ветвлением листеца. Произрастает в Северном полушарии; в СССР — почти повсеместно, кроме Крыма и Средней Азии, в стоячих и медленно текущих водах. Служит кормом для свиней, гусей, уток, кур.

Многокра'тного экспони'рования ме'тод, метод комбинированной киносъёмки , основанный на совмещении в кадре нескольких изображений с помощью последоват. съёмки различных объектов на одну и ту же киноплёнку. Для этого съёмочный аппарат должен иметь хорошую устойчивость изображения в кадровом окне, обратный ход для отмотки киноплёнки, счётчик метров и кадров отснятой киноплёнки. Многократным экспонированием получают изображения в кадрах, в которых одни объекты как бы просвечивают через другие (рис. ). Эту особенность используют как изобразительный приём для показа воспоминаний, сновидений, а также для плавного перехода в кинофильме от одного монтажного плана или кадра к другому. Для предохранения определённых участков кадра от повторного экспонирования при М. э. м. применяется различного рода маскирование, например с использованием чёрного фона, неподвижных и подвижных масок. Маски и контрмаски нужной формы изготавливаются из плотной чёрной бумаги или тонкого картона и устанавливаются в специальном маскодержателе перед объективом аппарата. В простейшем варианте съёмки на чёрном фоне получают несколько изображений одного и того же объекта в разных участках кадра. Применение маски, неподвижной по отношению к кадровому окну аппарата, даёт возможность съёмки одного актёра в нескольких ролях и соединения в кадре естественного объекта с рисунком или макетом (см. Неподвижной маски метод ). Широко применяются также подвижные, или блуждающие, маски, посредством которых при съёмке кинофильмов решаются сложные постановочные и изобразительные задачи (см. Блуждающей маски метод ).

  Б. Ф. Плужников.

Кадр из кинофильма «Александр Матросов», иллюстрирующий метод многократного экспонирования.

Многокра'тное телеграфи'рование, метод последовательного временного линии связи уплотнения . Принцип М. т. заключается в том, что телеграфные передатчики или приёмники одной станции автоматически поочерёдно соединяются на короткие промежутки времени механическими или электронными распределителями через линию (канал) связи соответственно с телеграфными приёмниками или передатчиками другой станции. Число передатчиков (или приёмников) одной станции определяет кратность передачи. М. т. с использованием механических распределителей применялось до начала 60-х гг. 20 в.; на проводных линиях связи оно постепенно вытеснено телеграфированием при помощи однократных стартстопных аппаратов благодаря появлению в 30-х гг. 20 в. частотного телеграфирования . М. т. с применением электронных распределителей получило распространение с середины 60-х гг. 20 в. для временного уплотнения телефонных каналов и при передаче телеграмм по радиоканалам. См. также Многократный телеграфный аппарат .

  В. В. Новиков.

Многокра'тный координа'тный соедини'тель, коммутационное устройство релейного типа, используемое главным образом на городских, сельских, междугородных координатных автоматических телефонных станциях и автоматических телеграфных станциях . Соединитель называют многократным, потому что в нём может быть одновременно осуществлено несколько (до 20) соединений, и координатным, потому что место каждого соединения определяется точкой пересечения подвижных вертикальных и горизонтальных реек.

  Лит. : Кармазов М. Г., Метельский Г. Б., Автоматическая телефония, М., 1963; Автоматическая коммутация и телефония, под ред. Г. Б. Метельского, ч. 2, М., 1969.

Многокра'тный телегра'фный аппара'т, применяется при многократном телеграфировании , в основном на радиотелеграфных линиях связи большой протяжённости; он состоит из распределителя с несколькими секторами, передатчиков и приёмников для поочерёдной передачи и приёма знаков телеграмм.

  Изобретение в 1872 первого двукратного аппарата, получившего применение в проводной связи, принадлежит французский инженеру Ж. Бодо . Принцип действия М. т. а. можно пояснить на примере однократного аппарата Бодо (рис. ). Распределитель аппарата представляет собой диск из изоляционного материала с укрепленными на нём металлическими кольцами. Внешнее кольцо распределителя разрезано на 10 изолированных контактов, объединённых в 2 сектора. На станции А 5 контактов первого сектора соединены с передатчиком (его клавишами). К контактам второго сектора подключены 5 электромагнитов приёмника. На станции Б — наоборот, к контактам первого сектора подключены электромагниты приёмника, а к контактам второго — клавиши. Внутреннее кольцо соединено с линией связи. Щётки распределителей обеих станций вращаются синхронно и синфазно с частотой 200 об/мин, ограничиваемой инерционностью движущихся частей аппарата.

  При вращении в первые пол-оборота щётки последовательно соединяют контакты клавиатуры станции А с электромагнитами приёмника станции Б, а во вторые пол-оборота — контакты клавиатуры станции Б с электромагнитами приёмника станции А. Нажатие клавишей на клавиатуре (в соответствии с комбинацией посылок передаваемого знака) телеграфист производит заранее, когда щётки находятся на секторе приёмника, — по звуковому сигналу, создаваемому тактовым электромагнитом. Посылки тока от клавиатуры станции А поступают на контакты первого сектора внешнего кольца распределителя и через его щётки, линию связи и щётки распределителя станции Б приходят на контакты внешнего кольца первого сектора и в электромагниты приёмника. Последний отпечатывает на бумажной ленте соответствующий знак. Эксплуатационная пропускная способность двукратного аппарата составляет около 2000 слов в 1 ч.

  Усовершенствованные М. т. а. Бодо применялись до середины 20 в. В 30-х гг. 20 в. были разработаны трёх-, шести-, девятикратные аппараты, что значительно увеличило пропускную способность телеграфных связей: до 20 000 слов в 1 ч в случае девятикратного аппарата. С 60-х гг. электромеханические М. т. а. стали вытесняться электронными, снабженными устройствами для автоматического обнаружения и исправления ошибок. Электронные М. т. а. производятся (1974) в СССР, Нидерландах, Швейцарии, ФРГ и других странах.

  В. В. Новиков.

Схема однократного телеграфирования: Э1, ..., Э5 — электромагниты приёмника; Е_п — источники питания клавиатуры передатчика.

Многолетнемёрзлые го'рные поро'ды, породы, длительное время (не менее двух лет подряд) содержащие лёд и составляющие основную массу мёрзлой зоны литосферы. Форма, размеры и взаимное расположение ледяных включений (криогенная текстура М. г. п.) определяются условиями осадконакопления и промерзания. М. г. п. могут включать также жидкую и газообразную фазы Н₂ О, объём и распределение которых зависят от дисперсности минерального или органо-минерального скелета пород и условий промерзания или протаивания. Присутствие льда в М. г. п. существенно влияет на их физические, механические и фильтрационные свойства. Рыхлые и трещиноватые скальные горные породы благодаря промерзанию приобретают новые свойства (сцепление, прочность, непроницаемость и др.), которые имеют важное значение при использовании их в качестве стройматериалов, а также оснований и среды для инженерных сооружений. М. г. п. создают специфические условия, требующие особых решений при промышленном и с.-х. освоении территории, строительстве, водоснабжении и др. мероприятиях. Научные основы проектирования и строительства различных сооружений на М. г. п., их водной и тепловой мелиорации и решения других прикладных задач рассматриваются в инженерной геокриологии, разработанной главным образом в СССР (Н. А. Цытович, М. М. Крылов, В. Г. Гольдтман, Г. В. Порхаев, С. С. Вялов, К. Ф. Войтковский и др.). Значительный вклад в развитие инженерной геокриологии внесли также зарубежные исследователи (шведский — Г. Бесков, американские — С. Тейбер и К. Терцаги и др.).

  Лит.: Основы геокриологии (мерзлотоведения), ч. 1—2, М., 1959; Достовалов Б. Н., Кудрявцев В. А., Общее мерзлотоведение, М., 1967; II Международная конференция по мерзлотоведению. Доклады и сообщения, в. 1—7, Якутск, 1973.

  Г. И. Дубиков, А. А. Шарбатян.

Многоле'тние кормовы'е тра'вы посевные, травянистые растения с длительностью жизни более одного года, возделываемые на корм скоту. Годовой цикл жизни М. к. т. слагается из фаз: весеннее отрастание, кущение, колошение — бутонизация, цветение, плодоношение с повторным кущением, осенняя вегетация, зимний покой. Возделывают в основном растения семейства злаков (тимофеевка, лисохвост, житняк и др.) и бобовых (клевер, люцерна, эспарцет и др.). Чаще злаковые и бобовые травы высевают в смеси, что оказывает положительное влияние на качество корма и плодородие почвы. В связи с повторным кущением М. к. т. весьма целесообразно во 2-ю половину вегетации подкормить удобрениями. См. Кормовые травы .

Многоле'тники, многолетние растения, травянистые растения и полукустарники, зимующие более двух лет. Одни из них живут несколько лет, другие — до 20—30 и даже до 100 лет (например, тау-сагыз). Достигнув определённого возраста, М. могут цвести и плодоносить каждый год (поликарпические растения), в отличие от одно- и двулетников (монокарпические растения), цветущих и плодоносящих один раз в жизни. У некоторых из М. листья сохраняются круглый год (вечнозелёные растения). У большинства же в неблагоприятные периоды (зимой, в период засухи) листья и др. надземные органы отмирают, живыми у них остаются лишь подземные органы (корневища, клубни, луковицы, корни). У некоторых же сохраняются частично и надземные побеги с почками возобновления (розетки, ползучие побеги, нижние части прямостоячих стеблей). Иногда деление растений на однолетники , двулетники и М. условно. Так, многолетнее растение тропиков клещевина (Ricinus communis) в условиях умеренного климата развивается как однолетник, а однолетнее растение равнин мятлик однолетний в горах развивается как многолетнее растение. Иногда М. называются также деревья и кустарники.

  Лит.: Серебряков И. Г., Морфология вегетативных органов высших растений, М., 1952; Ботаника, 7 изд., т. 1, М., 1966.

  Л. В. Кудряшов.

Многоле'тняя криолитозо'на, верхний слой земной коры, характеризующийся устойчивой в течение многих лет отрицательной или нулевой температурой, обеспечивающей круглогодичное и длительное (не менее двух лет подряд) сохранение подземного льда. Верхняя часть М. к. слагают многолетнемёрзлые горные породы и подземные ледяные тела, образующие мёрзлую зону литосферы, нижнюю — морозные горные породы и непромерзающие горизонты сильноминерализованных подземных вод. Формирование ледяных включений здесь может быть связано только с появлением пресных вод или слабоминерализованных растворов в естественных или искусственных полостях. Эта часть М. к. преобладает в зонах затруднённого водообмена и выклинивается в зонах активного водообмена. Верхнняя граница М. к. в субгляциальных условиях проходит по поверхности раздела лёд — горные породы, а в субаэральных и субаквальных — по подошве сезонноталого или прогретого выше 0 °С слоя пород. На этой границе, непостоянной во времени и в пространстве, температура ни разу в течение года не поднимается выше 0 °С. Отрицательные значения средней годовой температуры земной поверхности (практически совпадающие со средней годовой температурой пород у подошвы сезонноталого слоя) — необходимое условие возникновения М. к. При положительных средних годовых температурах поверхности суши или шельфа М. к. может существовать только в деградирующем состоянии как реликт прошлых более суровых климатических условий. Нижняя граница М. к. проходит по геоизотерме 0 °С, которая при изменении условий тепло- и влагообмена верхнего слоя горных пород с поверхностью почвы, атмосферой и водоёмами постепенно изменяет своё положение, что обнаруживается только за достаточно большие промежутки времени. Глубина залегания нулевой изотермы от поверхности Земли колеблется от нескольких м в умеренных широтах (на границах области распространения многолетнемёрзлых или охлажденных горных пород) до нескольких км в высоких широтах (свыше 4 км в Антарктиде и 1,5 км в Субарктике).

  В Южном полушарии М. к. распространена под ледниковым покровом Антарктиды и в её шельфовой зоне с отрицательной средней годовой температурой морского дна, а также под ледниками и сезонноталыми почвами горных сооружений Южной Америки, Африки и Австралии. В Северном полушарии М. к. охватывает обширный субполярный пояс материков, расширяющийся с З. на В. по мере усиления континентальности климата; горные сооружения островов и континентов, возвышающиеся над снеговой линией; значительная часть шельфа арктических морей, а также горные породы под ледниковыми покровами и сезонно-талыми почвами Гренландии, Исландии и островов Северного Ледовитого океана. М. к. существует и под термокарстовыми озёрами, изобилующими на равнинах Арктики и Субарктики. Сплошность М. к. в высоких широтах нарушают сквозные и несквозные талики различного генезиса, в которых температура пород хотя бы часть года положительна. В широкой полосе равнин вблизи современной границы М. к. встречаются только отдельные острова многолетнемёрзлых горных пород. В Западно-Сибирской равнине южнее этой границы (при отсутствии многолетнемёрзлых горных пород в подпочвенном слое) на значительной глубине от поверхности (до 100 м и более) протягивается широкий (свыше 400 км ) и прерывистый клинообразный слой реликтовой М. к., который раньше (по-видимому, до голоценового климатического оптимума) сливался с активным слоем, а в современную эпоху интенсивно протаивает сверху и снизу. Площадь распространения М. к. с учётом реликтовых мёрзлых слоев составляет более 25 % территории суши, включая 11 % под ледниковыми покровами. На прилагаемой карте криогенных образований площади, занимаемые М. к., показаны тёмными видами штриховки.

  Возникновение М. к. требует устойчивого положения суши в высоких широтах и на достаточной высоте над уровнем моря, а также определённого типа циркуляции атмосферы и океанических вод. Формирование М. к. предшествует развитию поверхностного оледенения и охватывает большие по сравнению с последним площади. Особенно яркого выражения М. к. достигала при глобальных похолоданиях климата. Периоды агградации и деградации М. к. неоднократно повторялись на протяжении геологической истории Земли.

  Термин «М. к.» предложен П. Ф. Швецовым в 1955. Организация систематических исследований явлений М. к. начата в СССР в 1927 и связана с именем М. И. Сумгина. Значительный вклад в дальнейшее развитие учения о М. к. внесли советские учёные (Н. И. Толстихин, В. А. Кудрявцев, П. А. Шумский, И. Я. Баранов, Б. Н. Достовалов, А. И. Попов), а также американские (С. Мюллер, Т. Л. Певе, А. Л. Уошберн, А. Лахенбрух), французские и английские (А. Кайо, Дж. Тейлор), шведский (Г. Бесков), канадский (Дж. Р. Маккей) и другие учёные.

  Лит.: Сумгин М. И., Вечная мерзлота почвы в пределах СССР, 2 изд., М. — Л., 1937; Толстихин Н. И., Подземные воды мерзлой зоны литосферы, М. — Л., 1941; Шумский П. А., Кренке А. Н., Современное оледенение Земли и его изменения, «Геофизический бюллетень», 1964, № 14; Баранов И. Я., Вечная мерзлота и ее возникновение в ходе эволюции Земли как планеты, «Астрономический журнал», 1966, т. 43, в. 4; Достовалов Б. Н., Кудрявцев В. А., Общее мерзлотоведение, М., 1967; Попов А. И., Мерзлотные явления в земной коре (Криолитология), М., 1967; II Международная конференция по мерзлотоведению. Доклады и сообщения, в. 1—7, Якутск, 1973; Muller S. W., Permafrost or permanently frozen ground and related engineering problems, Ann Arbor, 1947; Terzaghi K., Permafrost, «Journal of the Boston Society of Civil Engineers», 1952, v. 39, № 1; Cailleux A., Taylor G., Cryopédologie. Etude des sols géles, P., 1954; Proceedings, International Permafrost Conference, W., 1965.

  А. А. Шарбатян.

Карта криогенных образований (по И. Я. Баранову и П. А. Шумскому).

Многоле'тняя мерзлота', то же, что вечная мерзлота . См. также Многолетняя криолитозона .

Многоме'рное простра'нство, пространство, имеющее число измерений (размерность ) более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости — двумерны, прямые — одномерны. Возникновение понятия М. п. связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства. Наиболее общее выражение эта идея нашла в таких понятиях, как топологическое пространство и, в частности, метрическое пространство .

  Простейшими М. п. являются n -мерные евклидовы пространства , где n может быть любым натуральным числом. Подобно тому, как положение точки обычного евклидова пространства определяется заданием трёх её прямоугольных координат, «точка» n -мерного евклидова пространства задаётся n «координатами» x ₁ , x ₂ , ..., x_n (которые могут принимать любые действительные значения); расстояние r между двумя точками M (x ₁ , x ₂ , ..., x_n ) и М' (у ₁ , y ₂ , ..., y _n ) определяется формулой

аналогичной формуле расстояния между двумя точками обычного евклидова пространства. С сохранением такой же аналогии обобщаются на случай n -мерного пространства и другие геометрические понятия. Так, в М. п. рассматриваются не только двумерные плоскости, но и k -мерные плоскости (k < n ), которые, как и в обычном евклидовом пространстве, определяются линейными уравнениями (или системами таких уравнений).

  Понятие n -мерного евклидова пространства имеет важные применения в теории функций многих переменных, позволяя трактовать функцию n переменных как функцию точки этого пространства и тем самым применять геометрические представления и методы к изучению функций любого числа переменных (а не только одного, двух или трёх). Это и было главным стимулом к оформлению понятия n -мерного евклидова пространства.

  Важную роль играют и другие М. п. Так, при изложении физического принципа относительности пользуются четырёхмерным пространством, элементами которого являются т. н. «мировые точки». При этом в понятии «мировой точки» (в отличие от точки обычного пространства) объединяется определённое положение в пространстве с определённым положением во времени (поэтому «мировые точки» и задаются четырьмя координатами вместо трёх). Квадратом «расстояния» между «мировыми точками» М’ (х’, y’, z’, t’ ) и М’’ (х’’, y’’, z’’, t’’ ) (где первые три «координаты» — пространственные, а четвёртая — временная) естественно считать здесь выражение

(M’ M’’ )² = (x’ - x’’ )² + (y’ — y’’ )² + (z’ — z’’ )² — c² (t’ — t’’ )² ,

где с — скорость света. Отрицательность последнего члена делает это пространство «псевдоевклидовым».

  Вообще n -мерным пространством называется топологическое пространство, которое в каждой своей точке имеет размерность n . В наиболее важных случаях это означает, что каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару n -мерного евклидова пространства.

  Подробнее о развитии понятия М. п., геометрии М. п., а также лит. см. в ст. Геометрия .

Многому'жество, см. Полиандрия .

Многоно'жки (Myriapoda), общее название 4 классов наземных членистоногих животных: губоногих , двупарноногих , симфил и пауропод ; прежде считались одним классом. Тело М. состоит из головы и более или менее длинного сегментированного туловища. Усиков 1 пара; ноги имеются на всех (или почти на всех) туловищных сегментах. Около 11 тыс. видов; в СССР около 1000 видов. Обитают в почве, лесной подстилке, гнилой древесине. Питаются гниющими растительными остатками (двупарноногие, симфилы), мицелием грибов (пауроподы); некоторые — хищники (губоногие).

Многоно'жковые (Polypodiaceae), семейство растений из класса папоротников. Многолетники с ползучими или иногда восходящими корневищами, покрытыми чешуйками. Листья перистые, дважды перистые, лопастные или цельные. Около 65 родов (до 1200 видов), растут преимущественно в тропиках, где они часто развиваются как эпифиты. В СССР 5 видов М.: 1 дальневосточный из рода пиррозия (Pyrrosia) и 4 из рода многоножка (Polypodium). Многоножка обыкновенная, или сладкий папоротник (P. vulgare), растет в Европейской части СССР, на Кавказе, в Средней Азии и Западной Сибири; имеет сладковатое корневище. Многие тропические М. (Drynaria, Platycerium и др.) разводят в оранжереях и комнатах.

  Лит.: Тахтаджян А. Л., Высшие растения, т. 1, М. — Л., 1956.

Многоножка обыкновенная.

Многообра'зие, математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. e. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п. и поверхности без самопересечений, краев и т. п.).

  Примером одномерного М. могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, вообще любая линия, у каждой точки которой существует окрестность, являющаяся взаимно однозначным и непрерывным (или, как говорят в топологии, гомеоморфным) образом интервала (внутренней части отрезка прямой). Интервал сам является одномерным М., отрезок же не является М. (так как концы его не имеют окрестностей указанного вида).

  Примером двумерного М. может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x ² + y ² < r ² ), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных М. коническую поверхность (её вершина, в которой сходятся две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, — т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x ² + y ² £ r ² ).

  Примером трёхмерного М. может служить обычное евклидово пространство, а также любое открытое множество в евклидовом пространстве. Трёхмерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.

  М. разделяются на замкнутые и открытые (определение см. ниже). В случае одного измерения каждое замкнутое М. гомеоморфно окружности, а каждое открытое — прямой (на рис. 1 изображены одномерные М. и окрестности точки Р на каждом из них). В случае двух измерений уже замкнутые М. довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологических типов: сфера — поверхность рода 0 (рис. 2 , а), тор — поверхность рода 1 (рис. 2 , б), «крендель» — поверхность рода 2 (рис. 2 , в), вообще «сфера с n ручками» — поверхность рода n (на рис. 2 , г изображена такая поверхность при n = 3). Этими примерами исчерпываются все топологические типы замкнутых двумерных ориентируемых М. (см. также Ориентируемая поверхность ). Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых М. — односторонних поверхностей, например проективная плоскость , т. н. односторонний тор (Клейна поверхность ). Имеется и классификация открытых двумерных М. Полная классификация М. трёх измерений не найдена (1974) (даже для случая замкнутых М.).

  Многообразием n измерений (или n -мерным многообразием) называется всякое хаусдорфово топологическое пространство , обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n -мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде суммы конечного или бесконечного (счётного) множества таких окрестностей. М. называется замкнутым, если оно компактно (см. Компактность ), в противном случае — открытым. Иногда к определению М. прибавляют ещё требование его связности: каждые две точки М. могут быть в нём соединены непрерывной дугой.

  Введение в математику понятия М. любого (натурального) числа измерений n было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математического анализа, механики и физики. Важность достаточной широты понимания М. как топологического пространства основана на том, что точками так определённых М. могут быть объекты любой природы, например прямые, сферы, матрицы и т. д.

  При надлежащем добавлении требований к определению М. устанавливается понятие гладкого, или дифференцируемого, многообразия. На гладком М. имеется возможность рассматривать дифференцируемые функции и дифференцируемые отображения в себя или в другие гладкие М. Гладкие М. имеют особенно большое значение в современной математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (например, конфигурационные пространства и фазовые пространства в механике и физике). На гладких М. можно ввести метрику , превратив его в риманово пространство . Это позволяет строить дифференциальную геометрию на М. Например, введя некоторым образом метрику в конфигурационном пространстве механической системы, можно истолковать траектории движения как геодезические линии в этом пространстве (см. Наименьшего действия принцип ). М., для элементов которого определено (дифференцируемое) умножение, превращающее М. в группу, называется группой Ли (см. Непрерывная группа ).

  Понятие М. играет большую роль в теории алгебраических функций, непрерывных групп и т. д. Во всех этих приложениях существенны свойства М., не изменяющиеся при топологических преобразованиях, — т. н. топологические свойства. К ним относятся, например, ориентируемость или неориентируемость М. (см. Ориентация ). Изучение этих свойств является одной из важнейших задач топологии.

  Лит.: Александров П. С. и Ефремович В. А., Очерк основных понятий топологии, М. — Л., 1936; Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967.

  Н. В. Ефимов.

Рис. 1. Одномерные многообразия.

Рис. 2. Примеры замкнутых двумерных многообразий.

Многоо'сный автомоби'ль, автомобиль, имеющий число осей более двух. Многоосными чаще всего выполняются грузовые автомобили и тягачи, реже автобусы и троллейбусы. М. а. благодаря распределению общего веса на большее число осей имеют, как правило, большую грузоподъёмность и повышенную проходимость по сравнению с двухосными. Недостатки М. а. — их повышенная стоимость и большие расходы на эксплуатацию.

  Первая попытка создания М. а. относится к 1898; серийное производство началось в середине 1920-х гг. на заводе «Рено» (Франция). В СССР выпуск М. а. (ЯГ-10) грузоподъёмностью 8 т начал Ярославский автомобильный (ныне моторный) завод в 1932.

Краткая техническая характеристика многоосных автомобилей, выпускаемых в СССР

  В зависимости от числа колёс принято характеризовать автомобили т. н. колёсной формулой , где первая цифра указывает на общее число колёс, а вторая — на число ведущих колёс (считая сдвоенное колесо за одно). М. а. выполняются трёх- и четырёхосными, а в отдельных случаях и пятиосными. М. а. первой группы (четырёхосные, рис. , а — е) выпускаются в сравнительно небольших количествах и применяются в основном для геологоразведочных работ, в строительстве, в войсковых подразделениях. М. а. второй группы (трёхосные, рис. , ж — м) более распространены и применяются для магистральных перевозок грузов; к ним относятся междугородные и сочленённые городские автобусы.

  Машины повышенной проходимости (грузовые, специальные автомобили, тягачи, бронетранспортёры) выполняются со всеми ведущими колёсами. Краткие технические характеристики М. а., выпускаемых в СССР, приведены в табл.

  Развитие конструкций М. а. повышенной проходимости осуществляется за счёт создания сочленённых автомобилей с числом осей от 3 до 6; в дорожных М. а. намечается тенденция к более широкому использованию схем, показанных на рис. , д, к и л (для грузовых автомобилей) и рис. , к и м (для автобусов).

  Лит.: Колесные автомобили высокой проходимости, М., 1967; Селиванов И. И., Автомобили и транспортные гусеничные машины высокой проходимости, М., 1967; Краткий автомобильный справочник, 6 изд., М., 1971.

  Л. М. Шугуров.

Схемы многоосных автомобилей (ведущие колёса выделены чёрным цветом): а — МАЗ-537А (СССР), Татра-813 (ЧССР); б — БТР-60П (СССР), ДАФ (Нидерланды); в — Панар-ЭБР (Франция); г — АЕК-Маммут (Великобритания); д — Скэммель-Самсон (Великобритания); е — СВАРЗ (СССР); ж — ЗИЛ-131 и Урал-375 (СССР); э — Альвис (Великобритания); и — КрАЗ-257 (СССР); к — Бюссинг-Суперкарго (ФРГ), ФИАТ-590НА (Италия); л — МАЗ-516 (СССР); м — Икарус-180 (ВНР), Шкода-ШМ 16,5 (ЧССР).

Многопёры (Polypterus), род рыб надотряда многопёрых. Тело вытянутое (длиной до 120 см ), слабо сжатое с боков. Грудные плавники в основании имеют мясистую лопасть, спинной — из ряда плавничков, имеющих спереди по жёсткому лучу, брюшные — отнесены далеко назад. Тело покрыто ганоидной чешуей. Плавательный пузырь двойной, ячеистый, открывается с брюшной стороны и играет роль «лёгкого». М. поднимаются наверх и заглатывают воздух; лишённые возможности дышать атмосферным воздухом, М. гибнут через 2—3 ч, но и вне воды они жить не могут. 10 видов. Населяют тихие заводи рек и лагуны озёр Африки. Питаются мелкой рыбой и беспозвоночными. Нерест в июле — сентябре (в период дождей), икра мелкая (до 1—3 мм ), сильно пигментирована. Из икры выходят личинки с наружными жабрами. Промысловое значение невелико; мясо вкусное. Некоторые виды содержат в аквариумах.

  Лит. : Никольский Г. В., Частная ихтиология, 3 изд., М., 1971; Жизнь животных, т. 4, ч. 1, М., 1971.

Многопёр: вверху — взрослая форма; внизу — личинка.

Многопи'льный стано'к, предназначается для распиловки и раскроя древесины и древесных материалов, в процессе резания участвуют одновременно или последовательно несколько пил. См. Круглопильный станок , Ленточнопильный станок , Лесопильная рама .

Многопло'дие у человека, беременность , при которой одновременно развивается несколько плодов (см. Близнецы ). Встречается относительно редко: двойня — одна на 80 родов, тройня — на 80² , четверня — на 80³ , пятерня — на 80⁴ родов; описаны случаи родов шестью и семью плодами. Предполагают, что причинами М. могут быть: одновременное оплодотворение двух яйцеклеток (двуяйцевая двойня); одна оплодотворённая яйцеклетка делится на две и больше частей, каждая из которых в дальнейшем развивается самостоятельно; одна оплодотворённая яйцеклетка имеет два ядра, и после деления из неё развиваются два самостоятельных зародыша.

  М. чаще наблюдается у женщин, у которых в семье (или семье мужа) были многоплодные роды. Известен случай, когда женщина имела 11 беременностей, закончившихся 3 раза двойнями, 6 раз тройнями и 2 раза четвернями (всего 32 ребёнка), причём её муж был из двойни, а сама она из четверни.

  Женщины при многоплодной беременности находятся под особым диспансерном наблюдением в консультации и в случае установления каких-либо осложнений госпитализируются для стационарного обследования и лечения. При нормальном течении беременности женщины с М. госпитализируются за две недели до предполагаемых родов. При М. чаще наблюдаются преждевременные роды, раннее или преждевременное отхождение околоплодных вод первого плода, первичная и вторичная слабость родовой деятельности, неправильное положение плодов и др. С целью профилактики кровотечений после родов применяют лекарственные средства, сокращающие матку.

  М. у животных — см. Плодовитость .

  Лит.: Кленицкий Я. С., Многоплодная беременность, в кн.: Многотомное руководство по акушерству и гинекологии, т. 3, кн. 1, М., 1964; Жорданиа И. Ф., Учебник акушерства, 4 изд., М., 1964; Малиновский М. С., Оперативное акушерство, [2 изд., М., 1967].

  О. К. Никончик.

Многопло'дие сельскохозя'йственных живо'тных, способность некоторых видов с.-х. животных давать в одном приплоде несколько детёнышей. Крупные животные (лошади, крупный рогатый скот и др.) рождают обычно по одному детёнышу, двойни редки (у кобыл — 0,5 %, у коров — 1—3 %), лишь в исключительных случаях регистрируется рождение кобылой 3—4 жеребят, коровой 3—7 телят и т. п. Более мелкие с.-х. животные чаще многоплодны. Наибольшим многоплодием отличается свинья, в помёте которой обычно 10—12 поросят, иногда до 32. Овцы, рождающие обычно одинцов, в 15—30 % случаев приносят двоен. Некоторые породы овец многоплодны; например, романовская порода овец даёт за окот в среднем 2—3 ягнёнка, в отдельных случаях до 8—9. Многоплодные пометы дают кролики — в среднем 5—6, до 18 крольчат.

  Многоплодие зависит от числа яйцеклеток, оплодотворённых за один половой цикл, и является наследственно обусловленным. Оно меняется с возрастом (молодые и старые самки менее многоплодны), снижается при неполноценном кормлении, неудовлетворительном содержании, чрезмерной эксплуатации животных, перемещении их в резко измененные климатические условия, при систематическом применении близкородственного спаривания (кровосмешение) и отдалённой гибридизации , при которой иногда вообще утрачивается плодовитость. У животных, для которых типично одноплодие, например у крупного рогатого скота, при рождении в двойне бычка и тёлочки в 85 % случаев тёлки бесплодны (фримартины). Это происходит вследствие срастания сосудов плодовых оболочек эмбрионов и подавления гормонами бычков воспроизводительной системы тёлочек. Многоплодные виды животных имеют защитные приспособления, предотвращающие такое срастание, поэтому самцы и самки многоплодных помётов плодовиты, по энергии роста и продуктивности не уступают потомкам одноплодных животных.

  В овцеводстве для стимулирования многоплодия применяют иногда инъекцию сыворотки крови жеребых кобыл (СЖК), содержащей гонадостимулирующий гормон. Однако более надёжно использование наследственной обусловленности многоплодия и закрепление этого признака отбором, подбором, полноценным кормлением и хорошими условиями содержания животных многоплодных помётов. В племенной работе в свиноводстве, овцеводстве и др. отраслях животноводства многоплодие — один из важных селекционируемых признаков. См. Плодовитость .

  Лит.: Повышение плодовитости сельскохозяйственных животных, под ред. Н. А. Флегматова, М., 1959; Падучева А. Л., Бойко Д. Ф., Гормональные методы повышения плодовитости сельскохозяйственных животных, М., 1965.

Многопло'дниковые (Polycarpicае), группа семейств или порядков двудольных свободнолепестных растений. Характеризуются признаками, которые оценивают как примитивные (неопределённое и часто спиральное или спирально-круговое расположение частей цветка, многочисленные нередко лентовидные тычинки и др.). Среди древних М. преобладают древесные формы с древесиной из трахеид (как у хвойных) или чаще из трахеид и сосудов с лестничной или простой перфорацией. К М. относят от 20 до 40 и более семейств; среди них наиболее типичные: магнолиевые, анноновые, винтеровые, лютиковые, нимфейные и др. Полагают, что М. ближе других растений стоят к исходным предкам цветковых, а древнейшие М. дали начало остальным покрытосеменным.

  Лит.: Тахтаджян А. Л., Происхождение и расселение цветковых растений, Л. 1970.

Многопо'лье, устаревшее название севооборотов с 7—8 и более полями. М. в дореволюционной России, а также в советской доколхозной деревне противопоставлялось отсталому паровому трёхполью, характерному для единоличного крестьянского хозяйства; переход к М. обычно был связан с введением в севооборот пропашных культур, многолетних трав и являлся прогрессивным мероприятием. См. Севооборот .

Многопо'люсник, электрическая схема, которая может соединяться с др. схемами только в определённых, предназначенных для этой цели узлах, называемых полюсами. Представление отдельных частей сложной электрической схемы в виде М. во многих случаях позволяет облегчить расчёты, т. к. при этом не определяются токи или напряжения во всех элементах, входящих в состав М., число которых может быть очень велико, а определяются только напряжения между полюсами и токи в полюсах М. Для решения многих практических задач этого бывает вполне достаточно. М. называется активным, если он содержит внутри независимые источники энергии, действие которых взаимно не компенсируется. Если все полюса такого М. разомкнуть, то между всеми или некоторыми полюсами будут напряжения, обусловленные наличием внутренних источников энергии. М., не содержащий независимых источников энергии, называется пассивным. М. подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных М. ток и напряжение связаны линейными зависимостями и для их расчёта применим принцип суперпозиции (принцип наложения); для нелинейных М. принцип суперпозиции не применим. М. называют обратимыми или необратимыми в зависимости от того, подчиняются или не подчиняются они принципу взаимности. По числу полюсов М. называют трёхполюсниками, четырехполюсниками и т. д.

Многорезцо'вые су'мчатые (Polyprotodontia), подотряд сумчатых млекопитающих; большинством зоологов подотряд М. с. ныне не выделяется.

Многоря'дник (Polystichum), род папоротников семейства аспидиевых. Наземные корневищные растения, обычно с жёсткими кожистыми листьями. Сорусы (собрания спорангиев) округлые, большей частью снабженные щитовидным покрывальцем (индузием). Около 175 видов; распространены широко. В СССР 7—8 видов, растущих в лесах и на скалах. Некоторые М. используют как декоративные растения в открытом грунте и в оранжереях. Размножаются спорами или корневищами.

Многорядник копьевидный (Polystichum lonchitis).

Многосвя'зная о'бласть в математике, область, в которой существуют замкнутые кривые, не стягиваемые в пределах этой области в точку (см. Область в математике). На чертеже А есть односвязная область, В — М. о.; пунктиром изображена кривая, не стягиваемая в точку в пределах В.

Рис. к ст. Многосвязная область.

Многосою'зие, полисиндетон (от греч. polysýndeton), такое построение предложения, когда все или почти все однородные члены связаны между собой одним и тем же союзом (чаще «и»), тогда как обычно в этом случае соединяются лишь два последних однородных члена предложения. М. — средство усилить впечатление общности перечисляемого. М. часто использовалось в русской народной песне (чаще с союзом «а»).

Многостано'чная рабо'та, технически обоснованное и организационно обеспеченное одновременное обслуживание нескольких станков. Планомерное сочетание машинной работы на одних станках с ручной или машинно-ручной на других обеспечивает успешную эксплуатацию оборудования на участках многостаночного обслуживания. Большое распространение М. р. получила в различных отраслях промышленности в период возникновения стахановского движения (в текстильной промышленности Е. В. и М. И. Виноградовы в 1935 обслуживали 40 станков, а затем 216 автоматов). Особо массовый характер многостаночное обслуживание приняло в 1939, в процессе развития социалистического соревнования М. р. вылилась в особую форму стахановского труда. Инициаторами движения многостаночников выступили стахановцы «Уралмашзавода» и Харьковского станкостроительного завода (1939). Дальнейшее распространение М. р. получила во время Великой Отечественной войны 1941—45, рабочие переходили на обслуживание двух и более станков, заменяя ушедших на фронт. В послевоенный период ускорение научно-технического прогресса создаёт объективные предпосылки для широкого внедрения М. р. С появлением автоматических устройств и поточных линий возникают реальные условия для изменения характера труда рабочего-многостаночника, превращения его в оператора, управляющего работой самостоятельного участка автоматизированного производства.

  Распространению М. р. способствует развитие внутризаводской специализации, применение универсальной технологической оснастки, повышение уровня централизации обслуживания рабочих мест, технологического проектирование и совершенствование нормирования.

  Многостаночное обслуживание — важный резерв роста производительности труда и экономии трудовых ресурсов. М. р. требует особенно высокой квалификации рабочих, заработок которых при обслуживании станков сверх установленных норм возрастает в зависимости от использования рабочего времени и оборудования, сложности работы или операции и условий труда. При этом тарифные ставки рабочих, применяемые для определения расценок на единицу изделия, увеличиваются в зависимости от количества единиц обслуживаемого сверх норм оборудования.

  Опыт М. р. используется в других социалистических странах (например, в ПНР и СРР).

  Лит.: Пруденский Г. А., Многостаночная работа и совмещение профессий, в кн.: Машиностроение. Энциклопедический справочник, т. 15, М., 1951; Опыт и меры по дальнейшему развитию многостаночного обслуживания, Свердловск, 1971.

  П. А. Седлов.

Многостано'чники, см. Многостаночная работа .

Многостепе'нные вы'боры, система выборов, при которой депутаты представительского органа или глава государства избираются не непосредственно избирателями, а через т. н. выборщиков . В порядке М. в. (косвенных) избирается, например, президент в США.

  В СССР до принятия Конституции 1936 в порядке М. в. избирались высшие органы государственной власти. Например, депутаты съезда Советов СССР избирались на губернских съездах Советов, а в тех союзных республиках, где не было губернских объединений, — на республиканских съездах Советов.

Многосторо'нние расчёты, система взаимных платежей по внешней торговле, кредитам, инвестициям, неторговым платежам, охватывающая трёх или более участников. Различные формы М. р. применяются в практике международных расчётов капиталистических и социалистических стран. Ведущей формой М. р. капиталистических стран в современных условиях являются расчёты в свободно конвертируемых валютах. Своеобразной формой М. р. является многосторонний клиринг , основанный на принципе переводимости средств по счетам участников расчётов. Примером такого клиринга может служить существовавшая в Великобритании в 1947—58 система «переводных счетов» в фунтах стерлингов. В практике М. р. капиталистических стран известна и другая форма многостороннего клиринга — т. н. валютные клубы (например, «Гаагский валютный клуб», «Парижский валютный клуб»), предусматривающая осуществление расчётов между его участниками в частично конвертируемых валютах.

  Между социалистическими странами также широко применяются М. р. С 1964 расчёты между странами — членами СЭВ осуществляются в рамках системы М. р. в переводных рублях через Международный банк экономического сотрудничества (МВЭС).

  Лит. см. при статьях Клиринг , Международные расчёты .

  О. М. Шелков.

Многоступе'нчатая турби'на, газовая или паровая турбина, в которой расширение пара или газа от начального до конечного давления и преобразование его тепловой энергии в механическую работу осуществляется не в одной, а в ряде последовательно расположенных ступеней. Каждая ступень в принципе представляет собой элементарную турбину и состоит из неподвижного соплового аппарата и подвижных рабочих лопаток. В сопловом аппарате происходит расширение пара или газа, на рабочих лопатках — преобразование кинетической энергии потока рабочего тела в работу вращения ротора турбины. Поскольку в каждой ступени используется только часть располагаемого перепада давления и тепла, скорости пара или газа в ней умеренные. Это позволяет получить хороший кпд при относительно невысокой частоте вращения ротора, что необходимо для непосредственного соединения турбины с приводимыми машинами (электрическими генераторами, компрессорами).

  Число ступеней при проектировании М. т. выбирают с учётом заданных параметров рабочего тела, кпд и габаритных размеров турбины. С увеличением числа ступеней улучшается экономичность, т. к. тепловые потери предыдущей ступени используются в последующей, но растут размеры, масса и стоимость турбины. При небольшом (до 10—15) числе ступеней их размещают в одном корпусе (цилиндре), при большем (до 30—40) — в двух или трёх корпусах. Практически все турбины, кроме мелких вспомогательных, строят многоступенчатыми (см. Паровая турбина , Газовая турбина ).

  Лит.: Лосев С. М., Паровые турбины и конденсационные устройства, 10 изд., М. — Л., 1964; Шляхин П. Н., Паровые и газовые турбины, М. — Л., 1966.

  С. М. Лосев.

Многотира'жная печа'ть, группа изданий советской прессы, выходящих в производственных и учебных коллективах (на предприятиях, в колхозах, вузах и т. д.) и отражающих в основном их трудовую деятельность. М. п. возникла как одно из выражений подлинно демократического характера, народности советской печати. Опыт активного участия трудящихся в выпуске в трудовых коллективах тысяч стенных газет привёл к появлению в 1922—25 первых печатных фабрично-заводских газет. Термин «М. п.» отражал тот факт, что первые издания подобного типа создавались на основе стенных газет путём их тиражирования с помощью гектографа — печатного станка. Среди первых печатных заводских изданий были «Наша газета» (ныне «Мартеновка», завод «Серп и Молот», Москва), «Погонялка» (ныне «Знамя», фабрика «Трёхгорная мануфактура», Москва), «Светоч» (завод «Светоч», Ленинград), «Гайка» (завод«Профинтерн», Бежецк) и др. К началу 1928 насчитывалось около 200 печатных газет трудовых коллективов. Они сыграли значительную роль в восстановлении промышленности, в борьбе с недостатками на производстве и пережитками прошлого в сознании рабочих, с неграмотностью. М. Горький оценил это новое явление как «...одно из очень крупных достижений рабочего класса на его пути к новой культуре» («О печати», 1962, с. 241). В годы 1-й пятилетки М. п. утверждается как массовый вид прессы: так, в 1933 существовало уже 2734 фабрично-заводские газеты. Значительную часть этих изданий — газеты новостроек пятилетки, среди них газеты «Даёшь трактор!» (Сталинградский тракторный завод, газета награждена в 1932 орденом Ленина), «Днепрострой» (Днепрогэс), «Автогигант» (Горьковский автозавод) и др. В постановлении ЦК партии от 19 августа 1932 «О фабрично-заводской печати» было подчёркнуто, что задачей газет является освещение жизни предприятия во всей её многогранности, помощь в организации политической и производственной жизни коллектива, что основными авторами газеты должны быть рабкоры. В 30-е гг. М. п. способствовала распространению передовых приёмов труда, развитию стахановского движения; газеты пропагандировали произведения советской литературы, искусства, при многих из них создавались литературные объединения. Начало творческого пути ряда советских писателей связано с М. п. Наряду с фабрично-заводскими газетами многотиражные издания стали выходить в крупнейших колхозах и совхозах, а также на транспорте, в вузах, производственных и творческих объединениях и т. д.

  В 1972 выпускались 3852 многотиражные газеты (из них 955 колхозных) общий годовой тираж их свыше 424 млн. экземпляров; периодичность этих изданий от 3—5 раз в неделю до 1 раза в месяц. Важнейшую их часть составляют производственные издания.

  Современная М. п., являясь средством социального управления и связи в коллективе, помогает в осуществлении задач, поставленных партией, всесторонне освещает деятельность предприятия, помогает контролировать ход трудового процесса, участвует в развёртывании социалистического соревнования, способствует проявлению социальной активности трудящихся. М. п. играет важную роль в создании необходимого социально-психологического климата в коллективе, в выработке коммунистического отношения к труду, норм поведения, пропагандирует революционные, боевые и трудовые традиции. Участие трудящихся в работе М. п. носит массовый, постоянный, организованный характер (общественные редколлегии, отделы, рабкоровские посты и т. д.). См. Рабселькоровское движение .

  Издания, подобные сов. М. п., существуют и в других социалистических странах.

  Лит.: Юров Ю., Твоя заводская газета, М., 1960; Алексеева М. И., Газета в зеркале социологического анализа, Л., 1970.

  Г. С. Вычуб.

Многото'пливный дви'гатель, двигатель внутреннего сгорания , предназначенный для работы на различных нефтяных топливах, начиная от бензина и кончая дизельным топливом. Первые М. д. появились в 30-х гг. 20 в. в Германии. Они строились на базе карбюраторных двигателей, но имели раздельную подачу воздуха и топлива. Воздух поступал в цилиндры под действием разрежения, а топливо впрыскивалось насосом с давлением около 5 Мн/м ² (50 кгс/см ² ). Пуск двигателя осуществлялся на бензине при помощи карбюратора, выключавшегося при нормальной работе. Смесь воспламенялась электрической системой зажигания. В 40-е гг. получили развитие М. д., построенные на базе автомобильных дизельных двигателей. Топливо в них подавалось насосом под давлением около 21 Мн/м ² (210 кгс/см ² ). При переходе с одного топлива на другое при помощи насоса подачи топлива устанавливался одинаковый расход топлива по массе, тем самым сохранялась та же мощность двигателя.

  Применение М. д. на автомобилях и тракторах значительно расширяет их топливную базу. По сравнению с карбюраторными двигателями М. д. обладают лучшей топливной экономичностью, но уступают дизелям. К недостаткам М. д. относятся сложность конструкции и необходимость тщательного наблюдения за работой системы топливоподачи. М. д. получили широкое распространение за рубежом, особенно в ФРГ.

  А. А. Сабинин.

Многото'чие, знак препинания в виде трёх рядом поставленных точек; см. Знаки препинания .

Многоуго'льник, замкнутая ломаная линия. Подробнее, М. — линия, которая получается, если взять n любых точек A ₁ , A ₂ , ..., A _n и соединить прямолинейным отрезком каждую из них с последующей, а последнюю — с первой (см. рис. 1 , а). Точки A ₁ , A ₂ , ..., A _n называются вершинами М., а отрезки A ₁ A ₂ , А ₂ А ₃ , ..., A _n-1 A _n , A _n A ₁ — его сторонами. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать (см. рис. 1 , б), причём точки самопересечения могут не быть его вершинами.

  Существуют и другие точки зрения на то, что считать М. Многоугольником можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. М. в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (см. рис. 1 , г), т. е. такой М. может иметь «многоугольные дыры». Рассматриваются также бесконечные М. — части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.

  Дальнейшее изложение опирается на данное выше первое определение М. Если М. не пересекает сам себя (см., например, рис. 1 , а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на нем не лежащих, на две части — конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если две точки принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана для М.). Внутренняя по отношению к М. часть плоскости имеет определённую площадь. Если М. — самопересекающийся, то он разрезает плоскость на определённое число кусков, из которых один бесконечный (называемый внешним по отношению к М.), а остальные конечные односвязные (называются внутренними), причём граница каждого из них есть некоторый самонепересекающийся М., стороны которого есть целые стороны или части сторон, а вершины — вершины или точки самопересечения данного М. Если каждой стороне М. приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её началом, а какую — концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится замкнутый многоугольный путь, или ориентированный М. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М., считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной — в противоположном случае. Пусть М. — самопересекающийся и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, и М. пересекает этот отрезок р раз слева направо и q раз справа налево, то число р — q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и называется коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэффициенты, считается «площадью» рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного М.). Так определяемая «площадь замкнутого пути» играет большую роль в теории математических приборов (планиметр и др.); она получается там обычно в виде интеграла  (в полярных координатах r, w) или  (в декартовых координатах х, у ), где конец радиус-вектора r или ординаты y один раз обегает этот путь.

  Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося М. с n сторонами равна (n — 2)180°. М. называется выпуклым (см. рис. 1 , а), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает М. на две части. Выпуклый М. можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М., не пересекает М. Всякий выпуклый М. — самонепересекающийся, но не наоборот. Например, на рис. 1 , б изображен самонепересекающийся М., который не является выпуклым, т. к. отрезок PQ , соединяющий некоторые его внутренние точки, пересекает М.

  Важнейшие М.: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М. называется правильным, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить при помощи циркуля и линейки правильные М. только в том случае, если число сторон М. равно m = 3 · 2ⁿ , 4 · 2ⁿ ,5 · 2ⁿ , 3 · 5 · 2ⁿ , где n — любое положительное число или нуль. Немецкий математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить при помощи циркуля и линейки правильный М., когда число его сторон имеет вид: m = 2ⁿ · p ₁ · p ₂ · ... · p _k , где p ₁ , p ₂ , ... p _k — различные простые числа вида  (s — целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р : 3, 5, 17, 257, 65537. Из теории Галуа (см. Галуа теория ) следует, что никаких других правильных М., кроме указанных Гауссом, построить при помощи циркуля и линейки нельзя. Т. о., построение возможно при m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

  В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного n -yгольника (для n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона которого равна k .

n	Радиус описанной окружности	Радиус вписанной окружности	Площадь
3
4
5
6	k
8
10

  Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, или звездчатые) правильные М., т. е. такие, у которых все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном и том же направлении и на один и тот же угол по отношению к предыдущей. Все вершины такого М. также лежат на одной окружности. Такова, например, пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М. от треугольника до семиугольника.

  Лит. см. при ст. Многогранник .

Рис. 1 к ст. Многоугольник.

Рис. 2 к ст. Многоугольник.

Многоуго'льник сил, ломаная линия, которая строится для определения главного вектора (геометрической суммы) данной системы сил. Чтобы построить М. с. для системы сил F ₁ , F ₂ , ..., F _n (рис. , а), надо от произвольной точки а поочерёдно отложить в выбранном масштабе вектор , изображающий силу F ₁ , от его конца отложить вектор , изображающий силу F ₂ , и т. д. и от конца m предпоследней силы отложить вектор , изображающий силу F _n (рис. , б). Фигура abc ... mn и называется М. с. Вектор an , соединяющий в М. с. начало первой силы с концом последней, изображает геометрическую сумму R данной системы сил. Когда точка n совпадает с а , М. с. называется замкнутым; в этом случае R = 0. Правило М. с. может быть получено последовательным применением правила параллелограмма сил .

  Построением М. с. пользуются при графическом решении задач статики для систем сил, расположенных в одной плоскости.

Рис. к ст. Многоугольник сил.

Многоу'стки, класс червей; то же, что моногенетические сосальщики .

Многофото'нные проце'ссы, процессы взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, сопровождающиеся поглощением или испусканием (или тем и другим) нескольких электромагнитных квантов (фотонов ) в элементарном акте.

  Основная трудность наблюдения М. п. — их чрезвычайно малая вероятность по сравнению с однофотонными процессами. В оптическом диапазоне до появления лазеров наблюдались только двухфотонные процессы при рассеянии света: резонансная флуоресценция (см. Люминесценция ), релеевское рассеяние света, Мандельштама — Бриллюэна рассеяние и комбинационное рассеяние света . При резонансной флуоресценции (рис. , а) атом или молекула поглощают в элементарном акте одновременно один фотон возбуждающего излучения ћ w₁ и испускают один фотон ћ w₂ той же самой энергии. Рассеивающий атом при этом снова оказывается на том же самом уровне энергии E ₁ . В элементарном акте бриллюэновского и комбинационного рассеяний в результате поглощения и испускания фотонов рассеивающая частица оказывается на уровне энергии, удовлетворяющем закону сохранения энергии для всего двухфотонного процесса в целом: увеличение энергии частицы E ₂ — E ₁ равно разности энергий поглощённого и испущенного фотонов ћ w₁ — ћ w₂ (рис. , б). После появления лазеров стало возможным наблюдение процессов многофотонного возбуждения, когда в элементарном акте одновременно поглощается несколько фотонов возбуждающего излучения (рис. , в). Так, при двухфотонном возбуждении атом или молекула одновременно поглощают два фотона ћ w₁ и ћ w₂ и оказываются в возбуждённом состоянии с энергией E ₂ = E ₁ + (ћ w₁ + ћ w₂ ) (см. Вынужденное рассеяние света , Нелинейная оптика ).

  Представление о М. п. возникло в квантовой теории поля для описания взаимодействия излучения с веществом. Это взаимодействие описывается через элементарные однофотонные акты поглощения и испускания фотонов, причём р -приближению теории возмущений соответствует элементарный акт с одновременным участием р фотонов; р -фотонный переход можно рассматривать как переход, происходящий в р этапов через р — 1 промежуточных состояний системы: сначала поглощается (или испускается) один фотон и система из состояния E ₀ переходит в состояние E ₁ , затем поглощается (или испускается) второй фотон и система оказывается в состоянии E ₂ и т. д.; наконец, в результате р элементарных однофотонных актов система оказывается в конечном состоянии E _р .

  В случае М. п. с поглощением или вынужденным испусканием р фотонов одинаковой частоты w величина вероятности перехода пропорциональна числу фотонов этой частоты в степени р , т. е. интенсивности излучения в этой степени.

  Вероятность М. п. с участием р фотонов отличается от вероятности М. п. с участием (р — 1) фотона множителем, который в оптическом диапазоне для нерезонансных разрешенных дипольных электрических переходов (см. Квантовые переходы ) ~ (Е _св /Е _ат )² , где Е _св — амплитуда напряжённости электрического поля излучения, Е _ат — средняя напряжённость внутриатомного электрического поля (~ 10⁹ в/см ). Для всех нелазерных источников излучения Е _св << Е _ат и с увеличением числа фотонов вероятность перехода резко уменьшается. В случае лазерных источников уже достигнуты столь большие плотности мощности излучения (10¹⁵ вт/см ² ), что Е _св /Е _ат ~ 1 и вероятности М. п. с участием большого числа фотонов становятся сравнимыми с вероятностями однофотонных переходов.

  Правила отбора для М. п. отличны от правил отбора для однофотонных. В системах с центром симметрии дипольные электрические переходы с участием чётного числа фотонов разрешены только между состояниями с одинаковой чётностью, а с участием нечётного числа фотонов — между состояниями с разной чётностью. На новых правилах отбора для М. п. основано одно из наиболее принципиальных применений М. п. — многофотонная спектроскопия. Измерение спектров многофотонного поглощения позволяет оптическими методами исследовать энергетические состояния, возбуждение которых запрещено из основного состояния в однофотонных процессах.

  В отличие от однофотонных процессов, закон сохранения энергии при М. п. может быть выполнен при результирующем переходе атома из более низкого в более высокое энергетическое состояние не только с поглощением, но и с испусканием отдельных фотонов. Поэтому М. п. лежат в основе методов преобразования частоты излучения лазеров и создания новых перестраиваемых по частоте лазерных источников излучения (генераторов гармоник, генераторов комбинационных частот, параметрических генераторов света и т. п.). На основе М. п. возможно также создание перестраиваемых по частоте источников мощного оптического излучения.

  Лит.: Бонч-Бруевич А. М., Ходовой В. А., Многофотонные процессы, «Успехи физических наук», 1965, т. 85, в. 1, с. 3—67; их же, Многофотонные процессы в оптическом диапазоне, «Изв. АН БССР, сер. физико-математических наук», 1965, № 4, с. 13—32.

  В. А. Ходовой.

Схемы квантовых переходов для двухфотонных процессов; а — в случае резонансной флуоресценции; б — комбинационного рассеяния и рассеяния Мандельштама — Бриллюэна; в — двухфотонного возбуждения.

Многоцве'тная печа'ть, способ получения цветных отпечатков (репродукций) путём последовательного печатания на бумагу (или другой материал) с печатных форм на машине или станке. Цветные репродукции могут быть изготовлены любым способом печати (высоким, плоским и глубоким). Общим для всех способов является получение цветного оттиска определённым числом печатных красок, причём число печатных форм, с которых производится печатание, соответствует числу используемых красок.

  Цветная полиграфическая репродукция появилась на заре печатания (оттиски с гравюр на дереве или металле раскрашивались от руки). М. п. начали применять после изобретения в конце 18 в. литографии , когда для каждого цвета оригинала изготавливалась на литографском камне отдельная печатная форма. Цветная литография получила название хромолитографии. Создание цветочувствительных фотографических слоёв в конце 19 в. и другие достижения фотографической техники (более совершенная оптика, светофильтры, мощные источники света) привели к замене ручных способов изготовления печатных форм для цветной репродукции фотомеханическими способами.

  Основная задача М. п. — получить с помощью определённого количества цветных красок на каждом участке оттиска цветные изображения, идентичные по цвету и рисунку данному участку оригинала. Исходя из теории трёхкомпонентности зрения, многообразие цветов на цветной репродукции достигается в результате трёхцветного синтеза, основанного на субтрактивном способе воспроизведения, т. е. на принципе образования цвета путём субтракции (вычитания) каких-либо лучей из состава белого света (см. Цветовые измерения ). Любой цвет и, следовательно, любой многоцветный оригинал может быть воспроизведён тремя красками: пурпурной (синевато-красной), голубой (зеленовато-синей) и жёлтой. Каждая из этих красок имеет максимальное поглощение в одной зоне спектра и максимум отражения в двух других зонах. Из-за прозрачности красок при наложении их в равных количествах практически не получается чёрного цвета. Этот недостаток восполняется применением четвёртой краски — чёрной. Поэтому рекомендуется использовать не трёх-, а четырёхкрасочный синтез. Результаты цветового синтеза при М. п. зависят от цветового охвата комплекта (триады) красок, т. е. от предельного количества цветовых тонов, которое может быть получено при их сочетании в разных количествах, а также от свойств поверхности применяемой бумаги (или другого материала). В тех случаях, когда основной комплект красок не обеспечивает воспроизведения определённого цвета, сюжетно важного для данного оригинала, кроме основной триады красок, применяют дополнительно ещё какую-либо цветную краску, например зелёную или фиолетовую, или «под золото».

  Процесс получения цветной репродукции состоит из трёх основных частей. Первая часть — аналитическая (или цветоделение ) — может быть осуществлена фотографическим или электронным цветоделением. Вторая — переходная (или градационный процесс) — состоит в получении градаций цветоделённого изображения и включает изготовление цветоделённых полутоновых или растровых негативов и диапозитивов (см. Растр полиграфический) и печатных форм. Третья часть — синтетическая — состоит в получении цветных печатных оттисков.

  Для М. п. применяются однокрасочные, двухкрасочные или многокрасочные машины. При использовании однокрасочных и двухкрасочных машин после одного печатного цикла получается одно- или двухкрасочный оттиск, а для получения четырёхкрасочного оттиска необходимо соответственно четыре или два раза повторять процесс печатания для наложения последующих красок. Наиболее перспективно использование многокрасочных машин, на которых производится печатание последовательно всех четырёх красок за один печатный цикл с одной или двух сторон бумажного листа.

  Лит.: Попрядухин П. А., Печатные процессы, 2 изд., М., 1955 (Технология полиграфического производства, кн. 3); Синяков Н. И., Технология изготовления фото» механических печатных форм, М., 1966; Зернов В. А., Фотографические процессы в репродукционной технике, М., 1969.

  А. Л. Попова.

Многоцве'тница (Nymphalis polychloros), дневная бабочка семейства нимфалид. Крылья в размахе до 6 см, фестончатые, красно-бурые с буровато-чёрным рисунком; вдоль тёмной краевой каймы проходит ряд голубых полулунных пятен. Распространена в Европе и Западной Сибири. Бабочки выводятся во второй половине лета; зимуют оплодотворённые самки. Гусеницы чёрные с продольными жёлтыми полосами; развиваются на некоторых лиственных деревьях, в том числе и плодовых; живут выводками в рыхло сплетённых листьях. М. — второстепенный вредитель плодовых деревьев.

Многочле'н, полином, выражение вида

Ax^k y^l …..w^m + Bxⁿ y^p …..w^q + …… + Dx^r t^s …..w^t ,

где х, у, ..., w — переменные, а А, В, ..., D (коэффициенты М.) и k, l, ..., t (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Отдельные слагаемые вида Ах^k y^l …..w^m называются членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене — степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена М. называются подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

А'х^k y^l …..w^m , B'x^k y^l …..w^m , ….., D'x^k y^l …..w^m

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два М. называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. М. от одного переменного х можно всегда записать в виде

P (x ) = a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n -1} + ... + a_{n -1} x + a_n ,

где a ₀ , a ₁ ,..., a _n — коэффициенты.

  Сумму показателей степеней какого-либо члена М. называют степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у — z + 1 есть многочлен первой степени (линейный М.), 5x ² — 2x ² — 3х ² не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. М., все члены которого одинаковой степени, называется однородным М., или формой ; формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x ² + y ² + z ² — ху — yz — xz есть тройничная квадратичная форма).

  Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над М. действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом, совокупность всех М. с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. Кольцо алгебраическое) — кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0.

  Если для двух многочленов Р (х ) и Q (x ) можно найти такой многочлен R (x ), что Р = QR , то говорят, что Р делится на Q; Q называется делителем, a R — частным. Если Р не делится на Q , то можно найти такие многочлены Р (х ) и S (x ), что Р = QR + S , причём степень S (x ) меньше степени Q (x ).

  Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q , т. е. такой делитель Р и Q , который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Евклида алгоритм ). М., который можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R , a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R . Каждый М. степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x ⁴ + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя

в поле действительных чисел и на четыре множителя  в поле комплексных чисел. Вообще каждый М. от одного переменного х разлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать; например, многочлен x ³ + yz ² + z ³ неприводим в любом числовом поле.

  Если переменным х, у, ..., w придать определённые числовые значения (например, действительные или комплексные), то М. также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций , где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций .

  К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить М. (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на каком-либо ограниченном, замкнутом множестве точек, например на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами математического анализа, даёт возможность приближённо выражать М. любую связь между величинами, изучаемую в каком-либо вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения исследуются в специальных разделах математики (см. Приближение и интерполирование функций , Наименьших квадратов метод ).

  В элементарной алгебре многочленом иногда называются такие алгебраические выражения, в которых последним действием является сложение или вычитание, например

  Лит. : Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965.

  А. И. Маркушевич.

Многощети'нковые че'рви, полихеты (Polychaeta), класс кольчатых червей . Длиной от 2 мм до 3 м . Тело — из множества, иногда до нескольких сот, колец-сегментов, в каждом из которых повторяется комплекс внутренних органов. Туловищные сегменты снабжены примитивными конечностями — параподиями — с многочисленними щетинками (отсюда название). С параподиями часто связаны ветвистые придатки — жабры; у некоторых М. ч. функцию жабр выполняет венчик щупалец на головном участке. Имеются глаза, иногда сложно устроенные, и органы равновесия (статоцисты). М. ч., как правило, раздельнополы; оплодотворение наружное. Развитие с метаморфозом ; из яйца развивается личинка трохофора . Бесполое размножение путём почкования и живорождение редки. При созревании половых продуктов у некоторых М. ч. (нереид , палоло и др.) происходят резкие морфологические изменения (разрастаются параподии, появляются добавочные придатки и т. д.), червь всплывает на поверхность и здесь вымётывает половые продукты (т. н. эпитокия ).

  М. ч. живут в морях, лишь немногие — в пресных водах (например, Manayunkia в Байкале). В классе около 70 семейств (свыше 6 тыс. видов); в СССР не менее 700 видов. Большинство М. ч. — обитатели дна (встречаются на глубине до 10 тыс. м ): свободно ползают по грунту или зарываются в ил; многие строят из песчинок или других материалов разной формы трубки, которые никогда не покидают. Питаются детритом; многие хищники, нередко комменсалы; паразиты — лишь как исключение. Некоторым видам свойственно свечение (см. Биолюминесценция ). М. ч. служат пищей для многих рыб. В 1939—1941 из Азовского моря в Каспийское море был перевезён М. ч. нереис , ставший основной пищей осетровых рыб. Некоторые крупные черви (пескожилы и др.) используются как наживка для рыбной ловли. Некоторые виды наносят вред народному хозяйству (участвуют в обрастании ). К М. ч. относят архианнелид и сильно видоизменённых в связи с паразитизмом мизостомид . Ископаемые остатки М. ч. известны с кембрия.

  Лит.: Руководство по зоологии, т. 2, М. — Л., 1940; Большой практикум по зоологии беспозвоночных, ч. 1, Л., 1941; Ушаков П. В., Многощетинковые черви дальневосточных морей СССР (Polychaeta), М. — Л., 1955; Жизнь животных, т. 1, М., 1968; Фауна СССР. Многощетинковые черви, т. 1, Л., 1972 (АН СССР. Зоологический институт. Нов. серия, № 102.)

  П. В. Ушаков.

Многощетинковые черви: 1 — пескожил (Arenicola); 2 — Thelepus (в трубке, сложенной из песчинок); 3 — Serpula (в известковой трубке); 4 — Lepidonotus (спинная сторона прикрыта чешуйками, или элитрами); 5 — нереис; 6 — Tomopteris.

Многоэта'жные зда'ния. Понятие «М. з.» изменяется исторически в зависимости от этажности городской застройки, обусловленной социальными, экономическими и градостроительными требованиями. Жилые и общественные М. з. начали широко распространяться в античных городах вследствие потребности в ускоренном строительстве дешёвых жилищ для населения с низким доходом (например, инсулы в Древнем Риме), а позднее и в средневековых городах ввиду ограниченности их территорий, защищенной городскими стенами (дома зажиточных горожан Европы с жильём, мастерскими и лавками в 1—2-х этажах и амбарами в остальных). В эпоху капитализма бурный рост городов и значительное удорожание городских земельных участков вызвали резкое расширение строительства М. з., а совершенствование их инженерного оборудования (в первую очередь появление лифта) позволило значительно поднять их высоту (16-этажный Монаднок-билдинг в Чикаго, 1891, архитекторы Д. Х. Бёрнем и Дж. У. Рут). В конце 19 — начале 20 вв. в США появились М. з. в несколько десятков этажей (т. н. небоскрёбы), используемые для контор, банков, гостиниц, жилья. Построенный в 1930—31 в Нью-Йорке небоскрёб Эмпайр стейт билдинг (архитекторская фирма «Шрив, Лэмб и Хармон») насчитывает 102 этажа (высотой без телевизионной вышки, выстроенной в 1951, — около 380 м ). Со 2-й половины 1940-х гг., в связи с интенсивной урбанизацией , а иногда и недостатком свободных территорий, М. з. получили широкое распространение во многих странах мира. Наряду с основным массовым строительством М. з. в 9—17 этажей возводятся т. н. высотные здания, часто многофункционального назначения (например, 100-этажный Джон Хэнкок билдинг в Чикаго, 1971, архитекторы Л. Скидмор, Н. А. Оуингс, Дж. О. Мерилл, где размещаются магазины, банк, гараж, конторы, жильё и др.). В условиях капиталистического градостроительства стихийная концентрация М. з. на ограниченной территории и скопление значительных масс людей и транспортных средств приводят к разрушению функциональных, физико-гигиенических и эстетических качеств городкой среды (транспортные пробки, оглушающе шумные, узкие улицы, лишённые свежего воздуха, ощущение хаоса, которое создаёт вид тесной застройки разновысотными, нередко невыразительными по архитектуре М. з.).

  В СССР и других социалистических странах М. з. размещаются обычно в соответствии с градостроительными требованиями, согласно генеральным планам городов (в частности, в целях экономии территорий в центре города, особо ценных вследствие их насыщенности дорогостоящими коммуникациями, инженерным оборудованием и пр.). В конце 1940-х — начале 1950-х гг. в Москве по единому градостроительному замыслу было построено 7 высотных зданий в 26—32 этажа (архитекторы В. Г. Гельфрейх, А. Н. Душкин, Б. С. Мезенцев, М. А. Минкус, А. Г. Мордвинов, Л. М. Поляков, Л. В. Руднев, Д. Н. Чечулин и др.). Сооружение этих зданий ускорило технический прогресс в области строительства. Поставленные в ключевых местах столицы и увенчанные шпилями, они придали ей новый силуэт и масштабность. Для этих зданий характерны сложная композиция из разновысотных объёмов, обилие декора на фасадах и в интерьерах, низкий процент полезной площади. Строительство М. з. индустриальными методами резко увеличилось в СССР во 2-й половине 1960-х гг. (в 1973 — 20 % от общего строительства жилых зданий). Наряду с основной массой 9—17-этажных зданий воздвигаются и здания в 25 этажей и выше. Иногда М. з. образуют целые комплексы (например, проспект Калинина в Москве, 1964—69, архитекторы М. В. Посохин, А. А. Мндоянц и др.; см. илл. ). Единой классификации М. з. не существует. Критерием отнесения зданий к категории М. з. принято считать появление (в результате большой высоты) качественных изменений в их планировке, конструкции и техническом оснащении. В М. з. требуется обеспечение пожарной безопасности (повышенная огнестойкость конструкций, устройство незадымляемых лестниц, систем пожарного водопровода, дымоудаления и др.), конструктивной устойчивости под действием ветровых, в том числе динамических, нагрузок, усложняются лифтовое хозяйство и техническое оборудование. Конструктивная устойчивость жилых М. з. достигается главным образом за счёт поперечных несущих стен или связевого каркаса (в СССР преимущественно сборного железобетонного; см. Железобетонные конструкции и изделия , Крупнопанельные конструкции ), в общественных зданиях — в сочетании с т. н. ядром жёсткости (железобетонной коробкой, ограждающей собранные вместе лифтовые шахты, технические коммуникации). В высотных зданиях за рубежом распространены ядрооболочковые конструкции, в которых «оболочка» — несущие фасадные ограждения решётчатого типа из стальных или предварительно напряжённых железобетонных элементов — соединяется перекрытиями с расположенным в центре «ядром», образуя единую систему большой жёсткости (две 110-этажные башни Центра международной торговли в Нью-Йорке, архитекторы М. Ямасаки и др., 1971—73). Из-за большого (порой отрицательного) влияния на традиционный облик старых городов огромных объёмов, повторения многих тысяч одинаковых фасадных элементов создать выразительное архитектурное решение М. з. очень сложно. Стремясь преодолеть сверхчеловеческий масштаб и однообразие, архитекторы вводят в композицию М. з. сопоставление разновысотных объёмов, иногда криволинейные очертания, ищут выразительные пропорции и силуэт, прибегают к ритмической организации фасадных элементов (например, группировка балконов и их ограждений или окон в композиции орнаментального характера), к эффектной отделке фасадов нержавеющей сталью, алюминием, бронзой, стеклом (например, 38-этажное здание Сигрем-билдинг в Нью-Йорке, 1958, архитектор Л. Мис ван дер Роэ).

  Лит.: Дыховичный Ю. А., Конструирование и расчет жилых и общественных зданий повышенной этажности, М., 1970; 1 Международный симпозиум. Многоэтажные здания. Сборник докладов. Москва — СССР. Октябрь 1971, М., 1972 (на рус. и англ. яз.); Rafeiner F., Hochhäuser. Planung, Kosten, Bauausführung, В., 1968.

  А. И. Опочинская.

М. В. Посохин, А. А. Мидоянц и др. Проспект Калинина в Москве. 1964—69.

Мно'жеств тео'рия, учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т. е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предмет х есть элемент множества М , записывают так: х Î М (читают: х принадлежит множеству М ).

  Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В , то множество А называется подмножеством, или частью, множества В . Это записывают так: A Í В или В Ê А . Т. о., подмножеством данного множества В является и само множество В . Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В , отличное от всего множества В , называют правильной частью последнего.

  Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 70-х гг. 19 в. Г. Кантор , основавший М. т. как математическую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В ; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А , то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1—1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1—1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1—1)-соответствие.

  Ещё до создания М. т. Б. Больцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1—1)-соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1—1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1—1)-соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числу n поставить в соответствие натуральное число 2n , то получим (1—1)-соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М , тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р . Дедекинд ).

  Для двух бесконечных множеств А и В возможны лишь следующие три случая: либо А есть правильная часть, равномощная В , но в В нет правильной части, равномощной А ; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная А , а в А нет правильной части, равномощной В ; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В , и в В есть правильная часть, равномощная А . Доказывается, что в третьем случае множества А и B равномощны (теорема Кантора — Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества А больше мощности множества В , во втором — что мощность множества В больше мощности множества А . A priori возможный четвёртый случай — в А нет правильной части, равномощной В , а в В нет правильной части, равномощной А , — в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств).

  Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномощных бесконечных множеств. Например, множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем множество М . Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счётно, тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действительных чисел, не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще n -мерного пространства при любом n . Кантор высказал гипотезу (т. н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел; по поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см. Континуума проблема .

  Отображения множеств. В М. т. аналитическое понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества Х и Y , пусть каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие некоторый определённый элемент у = f (x ) множества Y ; тогда говорят, что имеется отображение множества Х в множество Y , или что имеется функция, аргумент х которой пробегает множество X , а значения у принадлежат множеству Y ; при этом для каждого данного х Î Х элемент у = f (x ) множества Y называется образом элемента х Î Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргумента х .

  Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, например на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества Х всех точек квадрата на множество Y всех точек его основания; точке с координатами (х; у ) соответствует точка (х ; 0).

  2) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числа x Î X положить у = f (x ) = x ³ , то тем самым будет установлено отображение множества Х в себя.

  3) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого х Î Х положить у = f (x ) = arctg х , то этим будет установлено отображение множества Х на интервал ( — p/2, p/2).

  (1—1)-соответствие между двумя множествами Х и Y есть такое отображение множества Х в множество Y , при котором каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X . Отображения примеров 2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) — нет.

  Операции над множествами. Суммой, или объединением, двух, трёх, вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех тех предметов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трёх, вообще любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В , не являющихся элементами из А : разность между множеством В и его частью А называется дополнением множества А в множестве В .

  Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность , Коммутативность ). Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М , то и результат будет подмножеством множества М . Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением множеств Х и Y называется множество Х ´ У всевозможных пар (х, у ), где х Î Х , y Î Y . Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степенью Y ^X называется множество всех отображений множества Х в множество Y . Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно перейдёт в возведение в степень. Если x и h мощности множеств Х и Y , то xh и h^x определяются соответственно как мощности множеств Х ´ Y и Y ^Х , что в случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.

  Упорядоченные множества. Установить в данном множестве Х порядок — значит установить для некоторых пар x', х" элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования), выражаемое словами «элемент x' предшествует элементу х", x' < х" », или, что то же, «элемент x' следует за элементом х", x' < х" », причём предполагается выполненным условие транзитивности: если х < x' и x' < х", то х < х". Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком, называется «частично упорядоченным множеством»; иногда вместо «частично упорядоченное множество» говорят «упорядоченное множество» (Н. Бурбаки ). Однако чаще упорядоченным множеством называется такое частично упорядоченное множество, в котором порядок удовлетворяет следующим дополнительным требованиям («линейного порядка»): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов х, x' один предшествует другому, т. е. или х < x' , или x’ < х .

  Примеры. 1) Всякое множество , элементами которого являются некоторые множества х , является «частично упорядоченным ''по включению''»: х < x' , если х Ì x'.

  2) Любое множество функций f , определённых на числовой прямой, частично упорядочено, если положить f ₁ < f ₂ , тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа х имеем f ₁ (x ) £ f ₂ (x ).

  3) Всякое множество действительных чисел линейно упорядочено: меньшее из двух чисел считается предшествующим большему.

  Два упорядоченных множества называются подобными между собой, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить (1—1)-соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного множества называется первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел x , удовлетворяющих неравенствам а £ х £ b , число а есть первый элемент, b — последний.

  Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами .

  Точечные множества. Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова — теория множеств, элементами которых являются действительные числа (точки числовой прямой), а также точки двух-, трёх- и вообще n -мерного пространства, основана Г. Кантором, установившим понятие предельной точки множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства и топологического пространства , изучением которых занимается общая топология . Наиболее самостоятельное существование ведёт дескриптивная теория множеств. Основанная французскими математиками Р. Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств (B -множеств). Борелевские множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счётному множеству множеств. А. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть получены как множества точек, в которых входящая в Бэра классификацию действительная функция f (x ) обращается в нуль или, более общо, удовлетворяет условию вида а < f (x ) £ b . Дальнейшее развитие дескриптивной М. т. было осуществлено преимущественно русскими и польскими математиками, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применен Суслиным для построения теории А -множеств, охватывающих как частный случай борелевские (или В -) множества (считавшиеся до того единственными множествами, принципиально могущими встретиться в анализе). Суслин показал, что множество, дополнительное к А -множеству М , является само А -множеством только в том случае, когда множество М — борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом А -множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория А -множеств в течение нескольких лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. К теории А -множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математических объектов и разрешимости математических проблем).

  Значение М. т. Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.).

  Постепенно теоретико-множественные методы находят всё большее применение и в классических частях математики. Например, в области математического анализа они широко применяются в качественной теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей и др.

  Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики или таких её больших отделов, как геометрия . Только М. т. позволила отчётливо сформулировать понятие изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математическая теория в её чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь «с точностью до изоморфизма», т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения которой теория была первоначально создана.

  Что касается М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математических теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности (см. Бесконечность в математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь большую остроту (см. Аксиоматическая теория множеств , Логика , Конструктивная математика , Континуум ).

  Лит.: Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937.

  П. С. Александров.

Мно'жественные проце'ссы, рождение большого числа вторичных сильно взаимодействующих частиц (адронов ) в одном акте столкновения частиц при высокой энергии. М. п. характерны для столкновения адронов, однако в редких случаях они наблюдаются и при столкновениях других частиц, если их энергия достаточна для рождения нескольких адронов (например, при электронных столкновениях на ускорителях со встречными пучками). При столкновениях адронов с энергией выше нескольких Гэв М. п. доминируют над процессами одиночного рождения мезонов и упругого рассеяния частиц. Впервые М. п. наблюдались в космических лучах , однако тщательное их изучение стало возможным после создания ускорителей заряженных частиц высоких энергий. В результате исследований взаимодействия частиц космических лучей с энергией до 10⁶ —10⁷ Гэв в лабораторной системе координат, а также частиц от ускорителей с энергией до ~ 10³ Гэв (встречные пучки) выявлены некоторые эмпирические закономерности М. п.

  С наибольшей вероятностью в М. п. рождаются самые лёгкие адроны — nи-мезоны , составляющие 70—80 % вторичных частиц. Значительную долю составляют также К-мезоны и гипероны (~ 10—20 %) и нуклон-антинуклонные пары (порядка нескольких процентов). Многие из этих частиц возникают от распада рождающихся резонансов .

  Вероятность столкновения, сопровождаемого М. п. (эффективное сечение М. п.), при высоких энергиях почти не зависит от энергии сталкивающихся частиц (меняется не более чем на несколько десятков процентов при изменении энергии столкновения в 10⁴ раз). Приблизительное постоянство сечения М. п. привело к модели «чёрных шариков» для описания процессов столкновения адронов. Согласно этой модели, при каждом сближении адронов высокой энергии на расстояния, меньшие радиуса действия ядерных сил, происходит неупругий процесс множественного рождения частиц; упругое рассеяние при этом носит в основном дифракционный характер (дифракция волн де Бройля частиц на «чёрном шарике»). Эта модель сыграла важную роль в развитии теории сильных взаимодействий (в частности, в установлении теоремы Померанчука о равенстве эффективных сечений взаимодействия частиц и античастиц при предельно высоких энергиях). С другой стороны, согласно квантовой теории поля, возможен медленный рост сечения М. п. с увеличением энергии Е , не быстрее, чем ln² Е (теорема Фруассара).

  Число частиц, рождающихся в различных актах столкновения адронов определённой энергии, сильно варьирует и в отдельных случаях оказывается очень большим (рис. 1 ). Среднее число вторичных частиц <n> (средняя множественность) медленно растет с ростом энергии столкновения Е и практически не зависит от типа сталкивающихся адронов (рис. 2 ). При существующей точности измерений зависимость <n> от энергии одинаково хорошо описывается как логарифмической, так и степенной (типа E^v ; v < 1 ) функцией от энергии, что затрудняет выбор между различными теоретическими моделями М. п., предсказывающими разные типы этой зависимости. Средняя множественность много меньше максимально возможного числа вторичных частиц, которое определяется условием, что вся энергия столкновения в системе центра инерции (с. ц. и.) сталкивающихся частиц переходит в массу покоя вторичных частиц. Так, при столкновении протонов с энергией 70 Гэв (от Серпуховского ускорителя) с протонами мишени могло бы рождаться до 70 p-мезонов, в действительности же средняя множественность заряженных частиц при этой энергии составляет 5—6 частиц. Это означает, что на создание массы покоя вторичных частиц идёт только небольшая часть энергии столкновения, т. е. энергия тратится главным образом на сообщение овной части генерированных частиц большой кинетической энергии (большого импульса). В то же время характерной эмпирической закономерностью М. п. является то, что поперечные (к оси соударения) компоненты р _^ импульсов вторичных частиц, как правило, малы. Среднее значение р _^ ; составляет приблизительно 0,3—0,4 Гэв/с и почти постоянно в очень широкой области энергий. Поэтому вторичные частицы вылетают резко направленными и сужающимися по мере роста энергии потоками вдоль направления движения сталкивающихся частиц (в с. ц. и. — вперёд и назад, в лабораторной системе — по направлению движения налетающей частицы).

  Изучение М. п. очень существенно для выяснения структуры адронов и построения теории сильных взаимодействий. В этом отношении особое значение имеют закономерности, установленные при изучении специального класса М. п. — т. н. инклюзивных процессов, когда из большого числа М. п., происходящих при столкновениях адронов «а» и «b», отбираются события с рождением определённой частицы «с» независимо от того, какие др. частицы (X) и в каком количестве сопровождают рождение частицы «с». На важность изучения инклюзивных процессов указал в 1967 А. А. Логунов , установивший на основе квантовой теории поля предельные законы возрастания их сечения с ростом энергии (аналогичные теореме Фруассара). При экспериментальном исследовании инклюзивных процессов на Серпуховском ускорителе (1968) и сравнении полученных данных с результатами опытов при более низких энергиях был обнаружен своеобразный закон подобия в микромире — т. н. масштабная инвариантность, или скейлинг (scaling). Масштабная инвариантность состоит в том, что вероятность рождения «инклюзивной» частицы «с» с определённым значением продольного импульса p_L , (проекции импульса на направление движения сталкивающихся частиц) является при разных энергиях столкновения универсальной функцией от переменной Х = p _L /p _макс , где р _макс — максимально возможное (при данной энергии) значение продольного импульса частицы «с» (рис. 3 ). Т. о., продольные импульсы вторичных частиц растут пропорционально энергии столкновения. Указания на существование такого рода зависимости получались ранее при изучении космических лучей. Она вытекала из того факта, что энергетический спектр вторичной компоненты космических лучей почти точно повторяет форму энергетического спектра первичной компоненты (Г. Т. Зацепин и др.). Масштабная инвариантность имеет глубокий физический смысл. Объяснение её на основе модельных представлений о составном строении адронов было предложено в 1969 Р. Фейнманом . (В 1963 на возможность такой закономерности указывал американский физик К. Уилсон.)

  Экспериментальные данные показывают, что масштабная инвариантность наблюдается при столкновениях не только элементарных частиц, но и атомных ядер при релятивистских энергиях.

  Из-за отсутствия полной и последовательной теории сильных взаимодействий для объяснения эмпирических закономерностей, обнаруженных в М. п., используются различные теоретические модели. В статистико-гидродинамических моделях [развитых в работах В. Гейзенберга , Э. Ферми , Л. Д. Ландау (1949—53) и др.] предполагается, что для сильно взаимодействующих частиц в течение короткого времени столкновения успевает установиться статистическое равновесие между образовавшимися в результате соударения частицами. Это позволяет рассчитать многие характеристики М. п., в частности среднюю множественность, которая должна расти с энергией по степенному закону Е ⁿ с показателем степени n < 1 (в теории Ферми — Ландау n = ¹ /₄ ). В другом классе моделей (итальянские физики Д. Амати, С. Фубини, А. Стангеллини и др., советские физики Е. Л. Фейнберг , Д. С. Чернавский и др.) считается, что рождение вторичных частиц происходит в «периферических» или «мультипериферических» взаимодействиях адронов, возникающих в результате обмена между ними виртуальным p-мезоном или другой частицей. С конца 60-х гг. для теоретического анализа М. п. широко используется представление о том, что сильное взаимодействие при высоких энергиях осуществляется путём обмена особым состоянием — «реджеоном», являющимся как бы струей частиц с монотонно меняющимся от частицы к частице импульсом (см. Сильные взаимодействия ). Эти представления (развитые, в частности, советскими физиками В. Н. Грибовым, К. А. Тер-Мартиросяном и др.) позволяют количественно объяснить многие закономерности М. п. Согласно «мультипериферическим» моделям и модели «реджеонов», средняя множественность должна расти пропорционально логарифму энергии столкновения.

  Лит.: Мурзин В. С., Capычева Л. И., Множественные процессы при больших энергиях, М., 1974 (в печати); Беленький С. З., Ландау Л. Д., Гидродинамическая теория множественного образования частиц, «Успехи физических наук», 1955, т. 56, в. 3, с. 309; Фейнберг Е. Л., Множественная генерация адронов и статистическая теория, там же, 1971, т. 104, в. 4, с. 539; Feynman R., Very high-energy collisions of hadrons, «Physical Review Letters», 1969, v. 23, p. 1415; Ежела В. В. [и др.]. Инклюзивные процессы при высоких энергиях, «Теоретическая и математическая физика», 1973, т. 15, № 2; Тер-Мартиросян К. А., Процессы образования частиц при высокой энергии, в кн.: Материалы 6-й зимней школы по теории ядра и физике высоких энергий, ч. 2, Л., 1971, с. 334; Розенталь И. Л., Множественные процессы при больших энергиях, «Природа», 1973, № 12.

  С. С. Герштейн.

Рис. 3. График, иллюстрирующий масштабную инвариантность в инклюзивном процессе р+р®p^- +Х (р — протон, p^- — отрицательный p-мезон, Х — совокупность остальных адронов, родившихся в реакции). Зависимость величины (2/p)xds/dx, пропорциональной дифференциальному сечению рождения p^- -мезона ds/dx, от х=р _L /p _мaкс ; экспериментальные данные при различных энергиях столкновения с точностью до ошибок измерения укладываются в универсальную зависимость от х. Разными значками помечены данные, относящиеся к различным энергиям (импульсам) столкновения в лабораторной системе; точки при 1500, 1100, 500, 270 Гэв /с получены в опытах на ускорителе со встречными пучками в ЦЕРНе, при 70 Гэв /с — в советско-французском эксперименте в Серпухове.

Рис. 1. Фотография множественного рождения заряженных частиц, полученная в жидководородной пузырьковой камере «Мирабель», помещенной в пучок p-мезонов с энергией 50 Гэв на Серпуховском ускорителе.

Рис. 2. Среднее число вторичных заряженных частиц n_с как функция кинетической энергии Q сталкивающихся частиц в системе их центра инерции. Разными значками обозначены результаты, относящиеся к рассеянию p^± -, К^± -мезонов и протонов на нуклонах.

Мно'жество (математическое), см. Множеств теория .

МНР, сокращённое название Монгольской Народной Республики .