Рассказ впервые опубликован в журнале «Asimov's» в 2011 году.
Кен Лю
Исчисляемый
Иллюстрация Андрея БАЛДИНА
Большинство людей сочли бы этот момент рациональным, подумал Дэвид.
Комната для допросов выглядела совсем как в телесериалах: все выкрашено серой краской, из мебели только стол и складные стулья, залитые резким светом ярких люминесцентных ламп. Но в сериалах никогда не упоминался запах антисептика для мытья полов, безуспешно пытающийся замаскировать пропитавший все запах отчаявшихся, потных тел, прошедших через эту комнату.
Сидящая за столом напротив женщина‑адвокат разговаривала с его матерью, которая рядом с ним тихонько плакала. Она, наверное, думала, что они обсуждают нечто очень важное и адвокат дает здравые советы, но Дэвида ее слова мало интересовали. Время от времени его сознания достигали обрывки их разговора, и он позволял им проплывать мимо, как листьям в пруду.
…психологическая оценка… он останется в системе для несовершеннолетних…
Дэвид не смотрел на лицо адвоката. Он редко находил что‑либо полезное в лицах людей. Его больше заинтересовали пуговицы на ее синем пиджаке. Там были три большие пуговицы, все черные. Верхняя и нижняя – круглые, а средняя – квадратная.
…немного странный… тихий, робкий, застенчивый…
Он не тревожился. Он не испугался, когда сирены зазвучали все громче, и мать открыла дверь, и вспышки полицейских мигалок хлынули в гостиную, где он сидел на кушетке и ждал. Мать была в ужасе и смятении, а малышка, ощутив ее тревогу, снова заплакала. Он стал ее баюкать и попытался объяснить, что плакать нет причины. Большинство моментов не рационально, шептал он ей, и этот не исключение.
…недиагностицированный… высокофункциональный… на фоне жестокого обращения…
Наверное, дизайнер намеревался сделать квадратную пуговицу такого же размера, что и круглые. Это старая проблема: квадратура круга. Может быть, такой дизайн подразумевал шутку? Но вряд ли. Чужой юмор его всегда смущал. Возможно, дизайнера эта проблема интересовала так же, как и его, – как заявление о красоте математики, подсмотренной сквозь вуаль.
…прошение… досудебное слушание… необходимая оборона… показания экспертов…
Разумеется, возвести круг в квадрат невозможно. Для этого нужен квадратный корень из «пи». Но «пи» – число не рациональное. Оно даже не просто иррациональное. Оно не конструктивное. Оно не алгебраическое, поэтому неспособно стать корнем какого‑нибудь полинома, змеящегося по декартовой плоскости. Это число трансцендентное. И все же тысячи лет люди бились над бессмысленным делом, пытаясь достигнуть невозможного.
Он устал стремиться к невозможному – сделать мир рациональным.
Почти все числа в мире трансцендентные, как «пи», но большинство людей не обращают на это внимания. Они озабочены рациональными числами, хотя те всего лишь рассеяны бесконечно малыми островками в трансцендентном море.
Его разум дрейфовал куда‑то из точки настоящего, и он не стал его удерживать. Эти предположительно рациональные моменты его не интересовали. Они составляли такую малую часть жизни…
* * *
Сколько он себя помнил, у него всегда были проблемы с людьми. Он думал, будто понимал то, что они ему говорили, но часто оказывалось: это не так. Слова иногда имели смысл, противоположный толкованию в словаре. Люди злились на него – как ему казалось, без причины, – хотя он слушал очень внимательно и отвечал как можно осторожнее. Он никак не мог вписаться в этот мир. Его злили и приводили в отчаяние кажущаяся нерациональность мира и тот факт, что для него мир не имел смысла столь же значительного, как для других. И тогда он ввязывался в драки, в которых не мог победить, потому что не понимал, зачем дерется.
– И что это значит? – спросила Бетти. – С Дэвидом что‑то не в порядке?
Дэвид почувствовал, как мать сжала его руку. Он был рад, что и для матери слова директора школы тоже не имеют смысла.
– Ну, я бы так не сказал. Не совсем так. Дэвид продемонстрировал трудность к установлению контакта со сверстниками. Он воспринимает все настолько буквально, что… Мы лишь считаем: его следует правильно оценивать.
– С ним все в порядке, – заявила Бетти. – Он робкий. Вот и все. Его отец умер. Такое на кого угодно хоть немного, но повлияет.
Постепенно до него дошло, что люди ведут два разговора одновременно: один словами, а другой сигналами, выглядящими нелогично, – интонациями, углом наклона головы, направлением взгляда, скрещиванием ног, переплетением пальцев…
Он оказался глух к этому языку внутри языка, не имея понятия о правилах, которые все воспринимали как должное.
После долгих мучений он все же сформулировал точные аксиомы и вывел сложные теоремы насчет другого, бессловесного языка. У него ушли годы проб и ошибок, чтобы создать систему более‑менее работающих правил. Следуя им, он не привлекал к себе внимания. Он научился создавать видимость того, что пытается, но не очень упорно. И это сделало среднюю школу безопасным местом – по большей части.
В идеале, он хотел бы получать четверки по всем предметам, чтобы раствориться в анонимности толпы, но с математикой это было очень трудно. Ему всегда нравилась математика за ее конкретность, рациональность, четкое ощущение правильного и неправильного. Сделать сознательную ошибку в контрольной работе было выше его сил. Это выглядело предательством. Лучшее, что он смог придумать, – стирать ответы на несколько задач в каждой контрольной, уже решив их все.
– Дэвид, задержись, пожалуйста, после уроков, – попросила мисс By, когда прозвенел звонок. Несколько учеников бросили на него мимолетные взгляды, гадая, в какую неприятность он вляпался. Но класс быстро опустел, а Дэвид остался в одиночестве за партой.
Мисс By, студентка‑практикантка, оказалась в школе всего на семестр. Молодая и красивая, она школьникам понравилась. Мисс By еще не успела набраться циничности, и ученики пока были ей интересны.
Она подошла к парте и положила перед ним листки с контрольной.
– У тебя на последней странице правильные ответы, но ты их стер. Почему?
Дэвид осмотрел страницу. Она была пуста. Как же мисс By узнала? Он всегда соблюдал осторожность: легко нажимал на карандаш и тщательно стирал, оставляя как можно меньше следов – так он поступал со всем в жизни.
– Обходя класс во время контрольной, я увидела, что ты написал правильные ответы. И ты закончил решать задачи намного раньше остальных в классе. Потом ты просто сидел, глядя перед собой, пока половина учеников не сдала контрольные. И я увидела, как ты стираешь ответы, прежде чем сдать свою работу.
Дэвид промолчал. Ему нравилось, как его омывает голос мисс By. Он представил его в виде графика полинома, плавно поднимающегося, а потом опускающегося. Паузы в ее речи были корнями – в тех местах, где график пересекал ось «х».
– Знаешь, нет ничего плохого в том, чтобы чем‑то интересоваться. – Она опустила руку ему на плечо. От нее пахло свежевыстиранным бельем, летними цветами. – Уметь что‑то делать хорошо.
Уже очень давно никто не обращал на него внимания просто так, а не после того, как случалось что‑то плохое. Он даже не сознавал, насколько ему этого не хватало.
* * *
У Дэвида была единственная фотография отца, снятая в день окончания средней школы. На его худом теле шапочка и мантия казались велики на несколько размеров. Лицо с мелкими чертами было еще мальчишеским, переносица тонкая и хрупкая. Он не улыбался в объектив. Глаза казались испуганными, устремленными на что‑то бесконечно далекое. Возможно, он думал о Дэвиде, тогда еще почти незаметном под одеждой Бетти. А может быть, он увидел тот грузовик с отказавшими тормозами, который собьет его вечером по дороге домой, когда он будет возвращаться с работы.
Глаза у него были голубые, с длинными ресницами, совсем как у Дэвида.
Когда Джек видел эти глаза, он всегда впадал в ярость – и трезвый, и пьяный:
– Ты чертов слабак и размазня, совсем как твой папаша.
Поэтому Дэвид научился не смотреть Джеку в глаза и всегда старался отворачиваться, когда тот был рядом. В некоторые вечера это срабатывало. Но не сегодня.
– Смотри на меня, – приказал Джек.
Они ужинали. Бетти кормила малышку на кушетке. За столом сидели только они двое. В углу громыхал телевизор, выдавая вечерние новости.
– Я тебя кормлю, одеваю и даю крышу над головой. И самое малое, что я могу просить за это, – немного уважения. Сиди прямо и смотри на меня, когда я с тобой разговариваю!
Дэвид повиновался. Он попытался убрать с лица всякое выражение, а взгляд сосредоточить на чем‑то за спиной отчима. И считал, через сколько секунд Джек взорвется. В каком‑то смысле он даже испытывал облегчение. Тяжелее всего каждый вечер было ожидание. Неопределенность из‑за незнания, в каком настроении Джек вернется домой и что станет делать. Но теперь ожидание кончилось. И ему осталось только терпеть.
– И не смей насмехаться надо мной, дерьмо мелкое! Ты напрашиваешься на трепку.
Бетти ушла с малышкой в спальню. Она всегда уходила, когда в голосе Джека появлялась эта характерная интонация.
А Дэвиду захотелось, чтобы он был ростом с отчима, с такими же толстыми бицепсами, мозолистыми костяшками пальцев и плоским носом, которому и удары нипочем. И чтобы у него были когти и острые зубы.
* * *
– Георг Кантор стал первым, кто всерьез задумался над понятием бесконечности, – сказала мисс By.
«Клуб математиков» был секретом Дэвида. Приходя сюда, он рисковал. Вступая в любой клуб, ты раскрываешь что‑то о себе, делаешь себя уязвимым, если твоя задача – раствориться, не оставлять следов. Он мог представить, как стал бы насмехаться Джек, если бы узнал.
«Решил, что ты умный, да? – Он представил злобный взгляд Джека, его желтые зубы и запах перегара изо рта. – Совсем как твой папаша. Только посмотри, куда довел его умишко, когда он не сумел удержать член в штанах».
– Он задумался о размере бесконечности, – продолжила мисс By. – Человеку трудно представить бесконечность, но Кантор дал нам возможность быстро взглянуть на нее и удержать в сознании, пусть даже на секунду.
Как по‑вашему, что больше: бесконечный набор всех положительных рациональных чисел или бесконечный набор всех натуральных чисел?
Вполне естественной кажется мысль, что положительных рациональных чисел гораздо больше, чем натуральных. В конце концов, только между нулем и единицей имеется бесконечное количество рациональных чисел. И между каждой последовательной парой натуральных тоже бесконечно много интервалов. Бесконечность, умноженная на бесконечность, должна быть больше, чем просто бесконечность.
Великим озарением Кантора стало то, что всё не так. Есть способ отобразить каждое натуральное число относительно положительного рационального числа таким образом, что будет видно – оба набора одинакового размера.
Положительное рациональное число имеет форму p/q, где р и q – натуральные числа. Следуя вдоль стрелок на графике, мы можем быть уверены, что каждое положительное рациональное число будет рано или поздно пронумеровано на зигзагообразном пути через плоскость (пропуская любые повторения): первое 1/1, второе 2/1, третье 1/2, четвертое 3/1, пятое 1/3, шестое 4/1, седьмое 3/2, восьмое 2/3, и так до бесконечности. Подсчитывая их, мы отображаем каждое натуральное число относительно положительного рационального. И хотя кажется, что вселенная рациональных чисел будет намного больше вселенной натуральных чисел, оказывается, что они одного размера.
Но Кантор приводит еще более странный аргумент. Используя тот же метод, можно показать, что в интервале от 0 до 1 существует столько же рациональных чисел, сколько и всех рациональных чисел.
Просто немного изменив путь, чтобы всегда оставаться ниже линии p=q, мы сможем пересчитать все рациональные числа между 0 и 1. Поскольку здесь отображение один к одному, или биективное (биекция), между натуральными и положительными рациональными числами и биекция между натуральными и рациональными числами в интервале от 0 до 1, мы знаем, что все наборы имеют одинаковый размер, или одинаковую кардинальность. Кардинальное число набора всех натуральных чисел называется алеф‑ноль, по названию буквы «алеф» в ивритском алфавите.
Алеф‑ноль заводит нашу интуицию в тупик. На графике вверху видно, что все рациональные числа между 0 и 1 занимают половину плоскости всех рациональных чисел, а остальные рациональные числа находятся на второй половине, и при этом одна половина не больше другой или всей плоскости. Разделите бесконечность пополам, и у вас все равно останется бесконечность. Превратите числовую прямую в плоскость, умножьте бесконечность на бесконечность, и все равно у вас получится бесконечность одного и того же размера.
Значит, можно утверждать, что часть способна быть такой же большой, как и целое. И что можно отобразить всю бесконечную последовательность рациональных чисел в пределах кажущегося конечным сегмента между 0 и 1. В каждой песчинке заключена Вселенная.
* * *
Одним из немногих воспоминаний Дэвида об отце стала поездка всей семьей на море. Дэвид даже не был уверен, что та поездка состоялась на самом деле, потому что был еще совсем маленьким.
Он помнил, как копал песок пластиковой лопаточкой… красной? Желтой? Ну, сейчас, когда он это вспоминал, лопатка была синей, как пиджак у женщины‑адвоката. Бетти загорала, а отец помогал ему пересыпать выкопанный песок в пластиковое ведерко.
Солнце было жарким, но не горячим. Голоса людей на пляже слились в далекое бормотание. Одна лопатка песка.
Его очаровала та гипнотизирующая плавность, с какой сыпался песок: твердые частички, текущие, как жидкость, падающие и соскальзывающие с лопатки в ведерко. Две лопатки песка.
Песчинки были мелкими, как мука, как соль. А вот интересно, сколько песчинок упало с лопатки с момента, когда он начал эту мысль, и до этого момента? Три лопатки песка. Сможет ли он разглядеть отдельные песчинки, если будет смотреть очень внимательно? Четыре лопатки песка. Он затаил дыхание.
– Считаешь? – спросил отец.
Он кивнул. Звуки и образы мира снова полились в его сознание. Он ахнул подобно пловцу, хватающему ртом воздух.
– Нужно много времени, чтобы пересчитать песчинки на этом пляже.
– Сколько?
– Больше, чем когда ты считал треугольники на моем полотенце, – сказала Бетти. Он ощутил, как рука матери, прохладная и гладкая, легонько поглаживает ему спину. Спина расслабилась. Это было приятное ощущение.
Отец посмотрел на него, и он глянул в ответ. Это был напряженный взгляд, который другие сочли бы сбивающим с толку, но отец улыбнулся:
– На это уйдет бесконечность, Дэвид.
– Что такое бесконечность?
– Это то, что лежит за пределами времени, отведенного тебе и мне. Вот послушай, что сказал однажды китайский философ Цзян Цзы: если человек может прожить сто лет, это очень долгая жизнь. Но жизнь полна болезней, смертей, горестей и потерь, поэтому за месяц жизни может набраться лишь четыре или пять дней, когда человек смеялся. Пространство и время бесконечны, но наши жизни конечны. Чтобы почувствовать бесконечное в конечном, нам нужно лишь подсчитать эти трансцендентные моменты, эти моменты радости.
Рука Бетти все еще поглаживала его спину, и он заметил, что отец смотрит уже не на него, а на мать.
«Это один из таких моментов», – решил он.
* * *
– Будешь и дальше дурью маяться со своим цифрами да книжками – кончишь, как те преступники с Уолл‑стрит, – заявил Джек. – В этой стране уже никто не хочет честно работать руками. Поэтому китайцы и жрут наш обед.
Дэвид взял книги и записи и ушел в спальню, которую делил с малышкой. Она сейчас спала, и Дэвид посмотрел на ее лицо, такое мирное и безразличное к реву телевизора в гостиной.
Возможно, этот мир бессмысленный из‑за того, что он считает неправильно. А может, у него нет синхронизации с миром.
Дэвид сел за стол. Он провел на листе бумаги вертикальную линию, пометил ее низ нулем, а верх – единицей. Затем попытался отобразить последовательность рациональных чисел в интервале от 0 до 1 вдоль зигзагообразного пути парной функции Кантора, проложенного по декартовой плоскости, повторяя то, что рисовала на доске в школе мисс By. Для каждого рационального числа в последовательности он рисовал короткую горизонтальную линию. Постепенно он заполнил всю страницу.
Линии накапливались одна за другой, поднимаясь с каждым «зигом» вдоль вертикальной оси, затем методично опускаясь и заполняя оставшееся пустое пространство с каждым падающим к горизонтальной оси «загом».
В конечной жизни существует бесконечное количество моментов. И кто сказал, что ты должен оставаться в настоящем и проживать их по порядку, один за другим?
Прошлое не было прошлым. Одни и те же моменты можно переживать снова и снова, и каждый раз добавится нечто новое. Если времени будет достаточно, то пробелы окажутся заполнены чем‑то рациональным. Линии составят картину. Мир обретет смысл. Нужно лишь подождать.
* * *
Часть нашего мозга, состоящая из областей в передней, теменной и срединной височных долях, активна только тогда, когда мозг не решает познавательную задачу. Когда мы вычисляем сумму 12391424 и 38234231, прикидываем, как добраться из дома до места очередного собеседования по поводу приема на работу, или читаем новейший проспект взаимного фонда, эти области мозга при МРТ‑сканировании становятся темными. Но когда мы не думаем активно о чем угодно, эта темная нейронная сеть мозга вспыхивает.
Гораздо более юный Дэвид перевернул страницу. Бетти ушла на свидание с Джеком, а он был заперт один в доме. Мать предупредила, чтобы он не отвечал на звонки по телефону или в дверь и вообще вел себя так, чтобы никто не знал, что он дома. Он не счел эти предупреждения странными. Насколько ему было известно, именно так все восьмилетние мальчики проводили вечера, когда их матери уходили на свидания. А общество ящиков с книгами, оставшимися после отца, ему нравилось гораздо больше, чем компания других людей или Джека.
Романы ему были не очень интересны, но он заставлял себя медленно сквозь них продираться, читая их как учебники по общественным и эмоциональным правилам, смысла которых он постичь не умел. А предпочитал он книги о математике, с их чудесными уравнениями, фантастическими графиками и странными символами, которые он не мог произнести.
И еще были научные книги, которые он поглощал столь же азартно, как другие дети читают сказки. Вроде этой: «Получается, что та темная нейронная сеть – это то место, где наш вид осуществляет на практике свою самую поразительную способность. Способность, более уникально человеческую, чем язык, чем математика, чем наши умения воевать и писать стихи. Эта темная сеть есть место, где мы осуществляем путешествия во времени».
Джек начал заходить все чаще и иногда оставался на ночь. А Дэвид тщательно каталогизировал и подсчитывал изменения, происходящие с матерью, анализируя их как подсказки к тому, чего он не мог понять интуитивно: как мать хихикает наподобие девушек в фильмах, как одевается совершенно по‑новому. И то, как в их квартире накапливается все больше вещей Джека.
«То, как мозг воспринимает время, предлагает нам одну загадку за другой. Нет легкого ответа на вопрос, как мозг воспринимает течение времени, равномерное превращение будущего в настоящее, а настоящего в прошлое. Существует ли скопление нейронов с равномерной пульсацией, подобной метроному или сигналу часов в современной микросхеме? Или же о течении времени нам говорит аналоговая задержка потенциалов возбуждения, проносящихся по нейронам? Или, возможно, время измеряется химической диффузией нейромедиаторов, передающих импульсы между нервными клетками, и это, может быть, объясняет, почему время замедляется, когда мы находимся под воздействием наркотиков вроде кокаина, который подхлестывает выброс дофамина».
В двери поворачивается ключ, вваливаются Бетти и Джек. Дэвид отрывается от чтения и поднимает взгляд. Короткий прохладный ветерок сменяется запахами сигарет, пота и алкоголя, наполняющими душный, стоячий воздух квартиры. Джек плюхается на кушетку И включает телевизор. Бетти выходит из кухни с наполовину полным стаканом. Подходя к Джеку, она смеется, теряет равновесие и падает Джеку на колени. Ей каким‑то чудом удается не расплескать напиток. Она стряхивает туфли на высоких каблуках и обнимает Джека за шею.
– Пацан разбрасывает повсюду книги, – говорит Джек, обводя взглядом стопки книг по всему полу. – Уже и пройти никуда нельзя, не споткнувшись… Зачем тебе вообще эти книги? Ни разу не видал, чтобы ты хоть что‑то читала.
«В любом случае, исследования склоняются к предположению, что мы живем не столько в настоящем, сколько в иллюзии настоящего. Хотя глаза и могут воспринять, как вы стучите ногой о землю, на долю секунды быстрее, чем нервный импульс, переносящий это ощущение, промчится от ноги к мозгу, вы не замечаете этой задержки. Мозг находится внутри черепа в полной темноте, и сигналы из внешнего мира интегрируются в ощущение „сейчас“ только после прибытия самого медленного сигнала, а это означает, что наше сознательное восприятие настоящего слегка задерживается – примерно как во время „прямой“ телетрансляции. Возможно, мы подобны пассажирам поезда, сидящим спиной к направлению движения и всегда воспринимающим „настоящее“, лишь когда оно стало недавним прошлым».
– Его отец любил читать, – говорит Бетти. – И в школе отлично учился. Поступил в университет.
Поняв, что портит ему настроение, Бетти замолкает и пытается поцеловать Джека.
– А потом вляпался в тебя, – буркает Джек, отворачиваясь от губ Бетти. В его голосе пробивается злоба. Он тискает ее груди через одежду. Бетти краснеет и пытается его остановить, но Джек отбрасывает ее руки в стороны и смеется. – Не дергайся. Я показываю парню то, чему ты его научить не можешь.
Дэвид отводит глаза. Он плохо разбирается в выражениях и не может объяснить, что видит в этот момент на лице матери. Но чувствует, что это вроде как смотреть на нее, когда она раздетая.
«Не только наше ощущение настоящего иллюзорно, но мы даже не проводим в нем большую часть времени. Темная сеть – это то место, где мозг совершает путешествия по тропе памяти и симулирует будущее. Мы заново переживаем события прошлого, чтобы извлечь из них уроки, проиграть до конца вероятности и спланировать грядущее. Мы воображаем себя в другие времена, и в этом процессе мы проживаем множество жизней в одной».
– Надо расчистить этот свинарник, – говорит Джек. – Тут слишком много барахла, которое тебе больше не нужно.
«В отличие от компьютера, который может вызывать данные из долговременной памяти в неизмененном виде и обрабатывать их в кратковременной памяти, воспоминания мозга, то есть структуры потенциалов активации, обрабатываются на месте и поэтому изменяются всякий раз, когда мы что‑либо вспоминаем. Мы не можем вступить дважды в одну и ту же реку Гераклита не только потому, что не можем физически вернуться во времени, но и потому, что даже наши воспоминания о каждом моменте постоянно меняются».
– Пацан целыми днями сидит и читает. Это неестественно. Посмотри на него. С тех пор как мы вернулись, он даже голоса не подал. Он на меня жуть наводит… Эй, я с тобой разговариваю!
Он бросает в Дэвида пульт от телевизора. Тот ударяется о грудь и со стуком падает на пол. Дэвид вздрагивает и смотрит на Джека. Их взгляды встречаются. Через секунду Джек изрыгает ругательство и начинает спихивать с себя Бетти.
Джек для него оказался самым непостижимым. Он никак не мог вычислить правила, необходимые для предсказания вспышек его гнева.
В конце концов Бетти уговаривает Джека пойти с ней в спальню. Дэвид остается один в гостиной. Он медленно распрямляется, не обращая внимания на боль, и поглаживает книгу на коленях.
«Темная сеть – это режим нашего мозга „по умолчанию“. Это состояние, в которое он переходит всякий раз, когда мы не заняты чем‑то важным в настоящий момент. Каждый раз, когда мы не думаем о чем‑то конкретном, мы дрейфуем во времени, отчаливая от якорной стоянки настоящего, чтобы бродить по бесконечным путям наших жизней – пройденным, непройденным и тем, которые еще предстоит нанести на карту.
Способность мозга манипулировать временем остается почти неисследованной. Если одновременность ощущений в большей степени является иллюзией, то не может ли наше ощущение линейности пережитого тоже оказаться сконструированным? Мы как будто мельком просматриваем реку времени, осознавая настоящее лишь время от времени, когда у нас появляется такое желание. Если травма или болезнь повреждают соответствующие области мозга, можем ли мы нарезать переживания на все более тонкие ломтики, переживать их в искаженном виде или навсегда останемся вдали от настоящего, затерянные во времени?»
На следующий день Джек и Бетти собрали все книги и отвезли их на свалку.
– Ты все равно не можешь читать эти книги, – сказала Бетти, пытаясь утешить Дэвида. – Я сама в них ничего не понимаю. Нам нужно двигаться по жизни дальше.
* * *
– Вы можете подумать, – сказала мисс By, – вспомнив то, что мы изучали в прошлый раз, будто все бесконечности есть алеф‑ноль, но это не так. Счетно бесконечное есть лишь самое маленькое из бесконечно больших величин.
Например, набор всех вещественных чисел несчетно бесконечен. Он намного больше. Кантор нашел способ это доказать.
Предположим, что вещественные числа счетно бесконечны. В таком случае должна существовать биекция (то есть взаимно однозначное отображение одного множества в другое) от натуральных чисел к вещественным. Вещественные числа должны быть такими, что их можно подсчитывать. Поскольку каждое вещественное число может быть записано как бесконечная последовательность десятичных знаков – а если она не бесконечная, то достаточно добавлять к концу числа сколько угодно нолей, – то можно представить, что их перечень будет выглядеть примерно так:
Запомните, предполагается, что это будет перечень всех вещественных чисел. Но мы легко создадим новое вещественное число, которое не может быть в этом списке. Просто возьмите первую цифру первого числа в списке и замените его другим. Потом возьмите вторую цифру второго числа в списке и замените его другим. Продолжайте это диагональное движение вниз по списку.
Когда вы соедините эти новые цифры, вы получите новое вещественное число. Но это вещественное число, которое не существует нигде в списке. Оно отличается от первого числа в списке первой цифрой, от второго числа в списке второй цифрой, от третьего числа в списке третьей цифрой и так далее.
Можно создать бесконечно много таких вещественных чисел, которые нельзя найти в перечне, всего лишь проводя новые диагонали и заменяя цифры. Биекции от натуральных чисел к вещественным не будет. Как бы вы ни пытались расставлять вещественные числа, все больше и больше их станет проскальзывать у вас меж пальцев. Вещественные числа бесконечны, но это намного более крупная разновидность бесконечности, чем алеф‑ноль. Вещественных чисел настолько больше, чем натуральных, что их невозможно сосчитать. Мы называем кардинальность этой несчетной бесконечности бет‑один.
Но даже бет‑один – все еще лишь очень малое трансфинитное число. Есть много других чисел, которые намного больше – настоящая бесконечность бесконечностей. Мы поговорим о них через несколько дней.
Когда Кантор впервые написал об их существовании, некоторые теологи сочли его работу серьезной угрозой. Они решили, что Кантор бросает вызов абсолютной бесконечности и трансцендентности бога.
Но даже просто знание того, что бет‑один больше, чем алеф‑ноль, позволяет увидеть некоторые замечательные вещи. Например, мы знаем, что рациональные числа исчислимы и имеют кардинальность алеф‑ноль. Но вещественные числа представляют собой объединение набора рациональных чисел и набора – иррациональных чисел, и мы знаем, что вещественные числа имеют кардинальность бет‑один.
Следовательно, набор иррациональных чисел должен иметь кардинальность большую, чем алеф‑ноль, поскольку мы знаем, что удвоение алеф‑ноль даст в результате тот же алеф‑ноль, а не бет‑один. По сути, мы доказали, что должно существовать несчетно много, или бет‑один, иррациональных чисел.
Другими словами, существует намного больше иррациональных чисел, чем рациональных. Почти все вещественные числа иррациональны. И, приводя тот же аргумент, можно доказать, что почти все иррациональные числа трансцендентны и не алгебраичны, их нельзя вычислить как корень полинома с целыми коэффициентами. И даже если кажется, что в нашей повседневной жизни встречается очень немного трансцендентных чисел, таких как «пи» или «е», они составляют большую часть числовой прямой. Та часть математики, которую вы изучали в школе все эти годы, была сосредоточена лишь на тоненьких ломтиках континуума.
* * *
В учебнике от мисс By в начале каждой главы имелся поэтический эпиграф. Обычно Дэвиду стихи не нравились, потому что поэзия использовала тот же «язык под языком», на который он не был «настроен», со всяческими метафорами и сравнениями, которые его смущали. Но эти цитаты были иными, потому что отражали его чувства и мысли.
Ah, awful weight! Infinity
Pressed down upon the finite Me!
(Ax, ужасная тяжесть! Бесконечность
Давит на бесконечную меня!)
I am large, I contain multitudes.
(Я большой, внутри меня множество других.)
Линии, которые он проводил, никогда не заполнят числовую прямую. Теперь он это понял. Иррациональное пространство между ними было бесконечным. Рисунок никогда не станет сплошным и не обретет смысл. Жизнь не может быть сведена к ее рациональным моментам.
Но даже рациональные моменты не было смысла подсчитывать. А с ним действительно все в порядке. Он наконец‑то это понял. Разве не замечательно по‑настоящему знать, что иррациональное – это правило, а не исключение? И даже больше – почти все иррациональное трансцендентно, хотя мы это почти не осознаем. Жизнь не имеет смысла. Ей он не нужен. И почему тогда теологи боялись Кантора? Ведь он открыл истину, достойную прославления. Лишь трансцендентно счастливые моменты следует подсчитывать.
Его мысли прервал вопль Бетти за дверью спальни; тут же закричала и малышка. Дэвида поразило, как это тельце может быть источником таких громких криков, оглушительных требований справедливости и здравого смысла, таких бесстрашных и одновременно печальных. Когда ребенок смолк, чтобы перевести дыхание, он расслышал приглушенный голос о чем‑то умоляющей Бетти. Потом загремели брошенные на пол тарелки.
Он открыл дверь.
Было заметно, что Джек лишь немного пьян. Он твердо стоял на ногах. Длинные и гладкие волосы Бетти, которыми она так гордилась, были обмотаны вокруг руки Джека и зажаты в кулаке. Она стояла на коленях, вцепившись в его руку, держащую ее за волосы. Малышка лежала на кушетке, дрыгая руками и ногами, ее личико покраснело от плача и нехватки воздуха.
Может быть, Джека снова уволили с работы. Может быть, он поругался с вьетнамцем‑бакалейщиком из соседнего магазинчика. Или ему не понравилось платье Бетти, когда он пришел домой. А может, малышка заплакала тогда, когда он не хотел ее слышать.
– Ты грязная шлюха, – сказал он негромко и спокойно. – Я преподам тебе урок. Кто он?
Бетти лишь всхлипывала, бессловесно отрицая его обвинения. Не выпуская волос, Джек стал бить ее в живот и по почкам.
«Он не бьет ее по лицу, – подумал Дэвид. – Это рационально. Иначе у соседей появятся вопросы».
Бетти все извинялась, пытаясь объяснить и понять смысл этого мира для себя и для Джека.
Дэвид словно онемел. Ему показалось, как будто внутри него поднимается сплошная горячая волна, проталкиваясь в горло и перехватывая дыхание. Он схватил Джека за руку, но тот швырнул его на пол.
Малышка заплакала громче. В голове Дэвида запульсировала белая горячая боль. Никогда еще он не ощущал такой ярости и беспомощности. Он ничего не мог сделать, чтобы остановить боль и ужас. Он умел лишь манипулировать символами в уме. Он бесполезен. Он продемонстрировал трудность в установлении контактов. Он все воспринимает буквально.
Мольбы Бетти и плач ребенка стала заглушать пульсирующая и молотящая боль в голове. Время словно замедлилось. Сознание начало дрейфовать, покидать настоящее.
Раз, пляж у моря.
Он посмотрел на дверь в кухню. Встал.
Два, рука мисс By на его плече.
Он посмотрел на руку и с удивлением увидел, что держит разделочный нож. Как пассажиры поезда, сидящие спиной к движению. От его холодного лезвия отражался свет флуоресцентных ламп.
Три. «С ним все в порядке. Он робкий. Вот и все».
Бетти сжалась на полу. Свет в квартире тускнел. Силуэт Джека со спины был неумолим – темная нависающая масса, медленно поднимающая кулак. Малышка снова заплакала.
Четыре. Диагональная линия цифр, уходящая в бесконечность.
Он снова лежал на полу. Опустив взгляд, он увидел на руке кровь. Рядом лежал нож. Джек неподвижно сидел на полу, прислонившись к кушетке. Вокруг него расплывалась лужа крови. Бетти ползла к Дэвиду.
Пять, этот момент. Прямо сейчас.
Примечание автора
Изложение диагонального аргумента Кантора, сделанное мисс By, обходит то обстоятельство, что десятичная репрезентация любого вещественного числа в виде бесконечной последовательности цифр является неоднозначной. То есть любое число, например 2, может быть записано или как 1,99999…, или как 2,00000…, а это увеличивает вероятность того, что новое число, созданное посредством диагонального аргумента, может попросту оказаться альтернативной формой другого числа, которое уже имеется в списке. Это противоречие можно устранить, введя требование, чтобы вещественные числа в этом списке придерживались формы…99999… и чтобы в создаваемом числе не использовался ноль.
Вставки о работе мозга и восприятии времени основаны на результатах исследований, проведенных Дэвидом Иглменом и Дэниелом Гилбертом.
Перевел с английского Андрей НОВИКОВ
© Ken Liu. The Countable. 2011. Печатается с разрешения автора.
Рассказ впервые опубликован в журнале «Asimov's» в 2011 году.