Вы когда-нибудь рассматривали фрукты и овощи в местном супермаркете? Некоторые из них выглядят просто жутко: например, желтый цитрон пальчатый выглядит как осьминог из произведения Г. Ф. Лавкрафта. Другие же странным образом прекрасны. Сладкий картофель обладает замечательной неоднородной формой, похожей на бесформенные глыбы земли; в луке есть такие же кольца, которые можно найти в стволах деревьев; а если разрезать яблоко поперек, можно увидеть, что семена расположены в форме звезды. Это каким-то чудным образом доставляет удовольствие. Даже декоративная капуста – которая продается в садовых магазинах – имеет особую геометрическую привлекательность.

Но ничто не может сравниться по красоте в овощном отделе с капустой романеско. На самом деле, от нее трудно отвести взгляд. Романеско – это один из сортов Brassica oleracea, или просто капусты, она имеет форму сосновой шишки, но на ее поверхности находится изобилие других шишек меньшего размера, а на поверхности этих меньших шишек находятся еще шишки и так далее. Каждая шишка меньшего размера выглядит как и исходная, самая большая шишка, так что если вы решите срезать с изначальной шишки маленькую шишку и сфотографируете ее, а потом положите это изображение рядом с фотографией целого соцветия, то вы просто не сможете определить, где какая шишка.

Математики скажут, что форма капусты романеско самоподобна. Если вы увеличите изображение капусты и внимательно присмотритесь к деталям, то увидите то же самое, что бы вы увидели, не увеличивая это изображение. При самоподобии объект выглядит одинаково, несмотря на его масштаб. Это также отличительная черта фракталов, которые изучал математик Бенуа Мандельброт, благодаря которому они получили широкую известность. Его книга «Фрактальная геометрия природы» (1982) помогла представить этот вид объектов миру. (Эта книга, по сути, стала переработкой его книги «Фракталы: форма, случайность и размерность» 1977 года.) Мандельброт выявил множество форм в природе, которые имели самоподобную структуру: изрезанная береговая линия, облака и изысканный узор жилок в листьях. Кажется, что природа любит самоподобные формы; чем больше вы будете их искать, тем больше вы их найдете.

Бенуа Мандельброт также изучал то, что сейчас называется множеством Мандельброта, это множество комплексных чисел в последовательности, которая не уходит в бесконечность. Когда вы изображаете множество Мандельброта на графике, оно приобретает округлую выпуклую форму, которая интересна математикам отчасти оттого, что чем больше вы увеличиваете какую-то часть, тем больше деталей вы видите. На самом деле, когда вы увеличиваете изображение, вы вновь и вновь начинаете видеть исходную форму множества Мандельброта.

Что может быть проще измерения длины чего-либо? Если мы, например, хотим узнать длину стола, то для этого можно использовать рулетку. Если мы хотим узнать дистанцию от одного города до другого, мы можем записать показания одометра в машине. Или можно взять карту и с помощью линейки высчитать дистанцию между двумя городами, а потом, используя масштаб карты, перевести сантиметры в километры или дюймы в мили.

Но вот измерение береговой линии – это более сложный процесс. Оказывается, что длина каждой отдельно взятой береговой линии зависит от длины устройства, которое используется для ее измерения. Как правило, чем меньше измерительное устройство, тем длиннее береговая линия. Теоретически, по мере того, как измерительное устройство становится все меньше и меньше, длина береговой линии увеличивается до бесконечности. Как такое возможно?

Как и многие другие формы в природе, береговые линии имеют изрезанную и неправильную форму. Таким образом, чем ближе вы рассматриваете ее, тем больше деталей замечаете. Например, если бы вы смотрели на Северную Америку с высоты спутника, то береговая линия казалась бы относительно гладкой, без особых отличительных черт. Но если вы сами идете по береговой линии, помимо всего прочего, вы замечаете узкие заливы, небольшие выступы берега и камни. А если вы опуститесь на колени, то сможете разглядеть каждый камешек и листик. Если вы воспользуетесь микроскопом, то ваши измерения дойдут и до молекул. На каждом новом уровне детализации ваши единицы измерения уменьшаются от километра до метра, от сантиметра до микрометра; и каждый раз территория измерения увеличивается. Если бы вам надо было измерить береговую линию Великобритании, используя палку длиной 100 км (около 62 миль), то конечная длина составила бы более 2800 км (примерно 1700 миль). Но если бы вы уменьшили палку до 50 км (31 миля), новая длина береговой линии составила бы 3400 км (2100 миль).

Парадокс береговых линий показывает, что хотя математика может предоставить измерения с необыкновенной точностью, она также может показать неопределенность, свойственную самой структуре реальности.

Побережье Канады – самая длинная в мире береговая линия, примерно 152 100 миль. Но вы только представьте, насколько она была бы длиннее, если бы ее измерили рулеткой.

Представьте солнечный день в парке в самый разгар лета. Вполне возможно, там есть ребенок, который пускает мыльные пузыри. Неважно, пускаете ли вы их с помощью пластиковой палочки или большого обруча, сделанного из соломинок и веревки, мыльные пузыри – с их мерцающей поверхностью и шаровидной формой – это воздушное воплощение веселья.

Они также являются кладезем для математических размышлений. Математики уже давно знают, что если вы хотите поместить определенный объем воздуха в форму с наименьшей площадью поверхности, то эта форма – шар. А что, если вы хотите поместить два объема воздуха? Есть подозрение, что лучшим способом будет использовать двойной пузырь. Двойной пузырь – это форма, когда два пузыря соединены. (Вы, возможно, видели его, когда использовали пену для ванн.) Обычно пузыри отделены плоской мембраной; если один пузырь больше другого, то мембрана немного выпирает в сторону большего пузыря. В 19 году математики Джоэл Хасс, Майкл Хатчингс и Роджер Щлафли опубликовали статью, в которой доказали, что форма двойного пузыря – это наиболее эффективная форма для заключения двух одинаковых объемов воздуха. Но что, если два объема воздуха разные? Является ли двойной пузырь и в этом случае лучшим способом заключения воздуха в форму с наименьшей площадью поверхности?

Ответ положительный. В 2000 году математики Фрэнк Морган, Майкл Хатчингс, Мануэль Риторе и Антонио Рос опубликовали статью, в которой доказали, что двойной пузырь – это лучший способ заключения любых двух объемов воздуха в форму с наименьшей площадью поверхности. Они показали, что двойной пузырь имеет меньшую площадь поверхности, нежели другие бесчисленные формы, которые могут принять два соединенных между собой пузыря, включая тот странный случай, когда один пузырь обхватывает середину второго, как пончик. (В математике форма пончика имеет специальное название – тор, – которое возникает в подобласти топологии.) Более того, эта математическая команда доказала это без использования компьютера.

Это один из тех случаев, когда математика может использовать человеческий разум для исследования процессов, которые происходят в природе, чтобы разгадать их тайны. Все, что вам нужно, это бумага и карандаш.

Мыльные пузыри не лопаются дольше, чем пузыри из других веществ, как, например, из чистой воды, из-за эффекта Марангони, который описывает явление переноса вещества вдоль границы сред с разным поверхностным натяжением. Он назван в честь итальянского физика Карло Марангони, который опубликовал свою находку в 1865 году. По существу, когда дело касается мыла, эффект Марангони стабилизирует границы пузыря, делая его прочнее и долговечнее, нежели простой пузырь.

Джексон Поллок создал одни из самых культовых картин XX века, и некоторые исследователи утверждают, что их притягательность берет начало в математике. Если быть совсем точным, то ученые утверждают, что в своих картинах в технике разбрызгивания, которые Поллок закончил в 1940-х, он использовал фракталы, являющиеся геометрическими элементами, которые повторяют друг друга в больших и маленьких масштабах. Некоторые также утверждают, что работы Поллока зачаровывают, так как в них схвачены некоторые фрактальные качества окружающего мира. (Фракталы часто возникают в природе, например в текстуре облаков.)

Фракталы обладают размерностью физических величин, также как линии (одна величина) и мячи (три величины), но, в отличие от этих объектов, фракталы имеют величины, которые включают в себя дробную метрическую размерность. Вообще, математики подразделяют фрактальные величины по шкале от 0 к 3. Некоторые одномерные фракталы, такие, как сегментированная линия, имеют фрактальную размерность от 0,1 до 0,9. Двухмерные фракталы, такие, как контур береговой линии, имеют фрактальные размерности, колеблющиеся от 1,1 до 1,9. И трехмерные фракталы, такие, как кочан цветной капусты, имеют фрактальную размерность от 2,1 до 2,9.

В конце 1990-х физик Ричард Тэйлор заметил, что картины Поллока в технике разбрызгивания имеют фрактальные свойства, и предположил, что можно определить фрактальные характеристики его работ. Используя определенный вид анализа, человек предположительно мог бы выяснить, была ли та или иная картина написана Поллоком. Техника Тэйлора заключалась в том, чтобы отсканировать фотографии работ Поллока и перенести их на компьютер, а затем наложить сетку на цифровые изображения. Потом компьютер делал анализ картины, сравнивая рисунок как на всей картине, так и на ее маленьком участке в 2 см. Тэйлор обнаружил, что в картинах Поллока действительно есть фракталы. Например, было установлено, что одна картина – «Номер 14» – содержит фрактальную размерность 1,45, что соответствует размерности многих береговых линий.

Спустя годы, однако, исследователи из Университета Кейс Вестерн Резерв нашли доказательство, что техника Тэйлора не выявляла работы Поллока достоверным образом. Один докторант обнаружил, что незаконченный скетч, который она сделала с помощью фотошопа, прошел тест Тэйлора. Другое исследование показало, что две картины студентов Кейс Вестерна также прошли тест Тэйлора, в то время как две подлинные картины Поллока его не прошли. Исследователи также пришли к выводу, что этот тест не содержал достаточного количества данных, которые бы с точностью определяли принадлежность картин.

За более явными примерами математики в искусстве обратитесь к работам Пита Мондриана, который в своих работах для большего эффекта использовал прямые линии и четырехугольники.

Есть что-то странное в фракталах (см. главу 1.4), это трудно объяснить, но легко показать на примерах. Одним из таких примеров является снежинка Коха, форма которой основана на кривой Коха, которая впервые была упомянута шведским математиком Нильсом Фабианом Хельге фон Кохом. Чтобы создать снежинку Коха, для начала нужно взять равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны имеют одинаковую длину). Теперь поделите каждую сторону на три равные части. Используя среднюю часть каждой стороны, образуйте другой равносторонний треугольник остриями наружу так, что эта средняя часть станет его основанием. Продолжайте процесс бесконечно.

В результате такого процесса возникает странное явление: в итоге получается, что снежинка Коха имеет бесконечную длину. Каждый раз, когда вы создаете треугольник посередине одной из сторон снежинки, вы увеличиваете длину на одну треть. А так как процесс продолжается бесконечно, так и периметр снежинки увеличивается бесконечно.

Вот еще один странный результат: несмотря на то, что периметр увеличивается безгранично и становится все больше и больше, пространство, которое занимает снежинка, – хоть и постоянно увеличивается – имеет границу. Если представить круг, нарисованный вокруг изначального треугольника, то станет ясно, что снежинка Коха никогда не выйдет за пределы этого круга. Она может приблизиться к кругу, но никогда не выйдет за его пределы. Поэтому в каком-то смысле математический объект с бесконечной длиной окружен конечной площадью. Странно!

Некоторые фракталы формируются не путем добавления, а путем удаления. Снежинка Коха создается путем добавления пиков к центру сегментов линий, а чтобы создать вид под названием фрактал Cesaro, нужно эти пики убрать. Результатом будет снежинка, которая будет выглядеть, будто ее пожевала акула. Однако в итоге чем сложнее они обе будут становиться, тем более похожими они станут для человеческого глаза.

Бутылки Клейна странные. Позвольте мне объяснить как следует. Чтобы их понять, нужно представлять четвертое измерение – пространство, которое существует под прямым углом к нашему трехмерному пространству, – и хоть они и странные, бутылки Клейна могут содержать секрет судьбы нашей вселенной.

Бутылка Клейна впервые была описана немецким математиком Феликсом Клейном в 1882 году, ее оригинальное название звучало как Kleinsche Fläche, что в переводе с немецкого значит «пространство Клейна», но скорее всего было перепутано с Kleinsche Flasche, отсюда и название – «бутылка Клейна». В любом случае, это название и закрепилось. Бутылка Клейна представляет собой поверхность – двухмерная труба, – и, подобно шару, бутылка Клейна не имеет границ. Она также является неориентируемой поверхностью, то есть направления будут меняться по ходу движения вдоль поверхности.

Но бутылки Клейна получили известность по другой причине: у них нет внутренней и внешней сторон. Они попросту сливаются в одно пространство. (Бутылку Клейна можно назвать аналогом ленты Мебиуса (см. главу 1.7), у которой есть только одна сторона. На самом деле, если разрезать бутылку Клейна пополам, то в итоге получатся две ленты Мебиуса.) Еще одним известным фактом является то, что бутылка Клейна не может существовать в трехмерном пространстве. Чтобы, скажем, создать ее из листа бумаги, вам для начала нужно будет сложить из него цилиндр. Затем вместо того, чтобы соединить оба конца друг с другом, образуя пончик, вы скручиваете один конец. А это невозможно сделать, если не «поднять» один конец цилиндра в четвертое измерение. Так как мы живем в трехмерном пространстве, лучшее, что мы можем сделать – это продеть один конец сквозь цилиндр и соединить скрученный конец с другим концом. Полученная фигура проходит сама через себя, но если бы мы были жителями четырехмерного пространства, то бутылка Клейна вовсе не пересекала бы саму себя.

Чтобы понять почему, представьте, что вы живете в двухмерном пространстве. Теперь представьте, что в этом пространстве есть ограниченная линия, вроде двухмерной веревки. Если кто-нибудь попросил бы вас сложить из нее цифру восемь так, чтобы веревка не пересекала себя, то вы бы понятия не имели, как это сделать. Как такое может быть возможно? Чтобы это сделать, вам нужно было бы «приподнять» линию в трехмерное пространство; в этом случае фигуру можно было создать без пересечения.

Вернемся к связи между бутылками Клейна и судьбой вселенной. Будущее вселенной – включая судьбу звезд, галактик и даже самого космоса – зависит отчасти от общего вида вселенной. Ученые называют множество возможных форм вселенной, которые были бы совместимы с их наблюдениями: некоторые формы напоминают лист бумаги, который бесконечно простирается во всех направлениях – трехмерное пространство, известное как Евклидово пространство с размерностью, равной 3, – другие же «замкнуты», это значит, что хоть они и очень большие, они в конце концов замыкаются. (Примером такой замкнутой фигуры является шар. Если вы начнете идти от одной точки на поверхности шара и будете идти по прямой, то непременно вернетесь на начальную позицию.) Однако насколько нам известно, вселенная может принимать разные формы. Мы живем на сферическом объекте, но наша окружающая обстановка подсказывает нам, что мы живем на бесконечно большой плоской равнине, то место, где мы живем во вселенной, дает нам основание полагать, что вселенная простирается по прямым линиям во всех направлениях, но на самом деле на расстояниях, за которыми мы не можем наблюдать, вселенная может выглядеть как седло или цилиндр. Или же она может иметь форму бутылки Клейна.

Так что если вы думали, что четвертое измерение не имеет никакого отношения к вашей повседневной жизни – подумайте еще раз. В действительности вы можете в нем жить.

Родился в 1849 году, преподавал математику в Геттингенском университете и проявлял небывалый интерес к геометрии. Он также был известен своим браком с внучкой философа Георга Вильгельма Фридриха Гегеля!

В математике маленькие вещи могут иметь большие последствия. Возьмите, например, полоску бумаги любой длины. Держите концы этой полоски в разных руках и поверните ее на 180 градусов. Теперь приклейте концы друг к другу. Вы только что создали настоящий математический парадокс из простых канцтоваров. Объект, который вы сделали, называется лентой Мебиуса.

Ленты Мебиуса – особое явление в математике, так как они неориентируемые, то есть имеют лишь одну сторону. Это может прозвучать как что-то невообразимое, но вы сами можете доказать ее односторонность. Возьмите карандаш и начинайте чертить линию в любой точке ленты. (Убедитесь, что вы чертите линию, параллельную ленте, чтобы карандаш не сошел с бумаги.) В конце концов карандаш вернется на начальную позицию. А что особенно важно, так это то, что черта остается на всей поверхности ленты. Если бы у ленты было две стороны – внешняя и внутренняя, – то карандашная линия была бы только на одной из сторон, вторая осталась бы нетронутой.

Этот странный односторонний объект похож на экзотику – он таковым и является, – но ленты Мебиуса время от времени встречаются и вне книг по математике и классных досок. Например, в 1957 году компания B.F. Goodrich создала конвейерную ленту Мебиуса. Такой способ позволял ленточному конвейеру работать дольше, так как вся поверхность ленты изнашивалась равномерно. Те же цели преследовали и некоторые магнитофонные ленты и ленты для пишущих машинок: эта форма позволяла использовать максимум поверхности лент, что повышало их практичность. Ленты Мебиуса также есть и в мире электроники – а именно в некоторых резисторах (что позволяло им противостоять потоку электроэнергии) – и в биологии: некоторые конфигурации молекул имеют структуру ленты Мебиуса.

Лента Мебиуса была названа в честь Августа Фердинанда Мебиуса, немецкого математика, жившего в XIX веке, который ее и изобрел. (Оказалось, что та же лента была изобретена практически в то же самое время другим немецким математиком, Иоганном Бенедиктом Листингом, который ввел в использование математический термин «топология».) У Мебиуса была отличительная родословная: его предком был Мартин Лютер, один из богословов, который помог начать Реформацию в начале XVI века, а еще он учился вместе с Карлом Фридрихом Гауссом, одним из самых выдающихся математиков в истории.

Лента Мебиуса служит отличным примером простого объекта, который может сделать каждый, но который имеет глубокий математический подтекст. И нет ничего лучше, чем держать математику в своих руках.

Музыка и математика имеют интересную связь. Теоретики музыки иногда изображают на бумаге, как различные аккорды из двух нот связаны друг с другом, принимая во внимание то, что можно записывать их двумя способами (C-F или F-C, например). Чтобы показать эту связь на листе бумаги, нужно скрутить его и сделать из него ленту Мебиуса.

Вы не ожидаете найти математику в паре ваших ботинок. Но поглядите вниз на ваши завязанные шнурки. Эти перевязанные узлы на самом деле могут привести к сложным математическим мыслям.

Этот раздел математики известен как теория узлов. Узлы в математике, однако, отличаются от узлов в вашей повседневной жизни одним значимым способом: у них нет свободных концов, то есть они замкнуты. На самом деле, вы можете сделать такой узел самостоятельно. Возьмите кусок веревки – или сваренные спагетти, или лассо – и завяжите обычный узел. Теперь возьмите концы и соедините их с помощью скотча. В итоге у вас может получиться крендель, но в любом случае это будет математический узел!

И хотя отчасти теория узлов хорошо нам знакома, в ней есть свои особенности. В своей книге об узлах Колин Адамс дал следующее определение узлу в математике: «это замкнутая кривая в пространстве, которая не пересекает себя ни в одной точке». Такое определение может натолкнуть вас на мысль о том, какой же узел является простейшим. Таким узлом является простая окружность, такой узел называют «незаузленным». (А еще его называют тривиальным.) Также самыми простыми узлами являются «восьмерка» и «трилистник».

Что конкретно происходит в течение одного дня теоретика, занимающегося узлами? Они обычно стремятся узнать, можно ли развязать тот или иной узел, не разрезая его, или можно ли определить, что узел на самом деле является тривиальным, но в необычной форме. Но теория узлов больше волнует не математиков вовсе. Биологи интересуются теорией узлов из-за ДНК – молекулы, которая кодирует материалы, необходимые для всех живых организмов, – которая иногда может содержать узлы, а они, в свою очередь, могут влиять на то, как информация в молекуле ДНК может интерпретироваться клеточными механизмами организма. Химики также заинтересованы в узлах. Многие из них хотели бы разобраться со сцепленными молекулами, так как в зависимости от узла определенная молекула может совершенным образом поменять свое поведение. (При одной конфигурации вещество может вести себя как масло, а при другой – как гель.) Даже один или два поворота могут иметь существенные последствия.

Математик XIX века Питер Гатри Тейт создал классификацию узлов, согласно количеству их пересечений. Он также выдвинул три гипотезы, включая альтернирующие узлы (при проходе такого узла пересечения чередуются «сверху» и «снизу»), хиральные узлы (они не эквивалентны своему зеркальному отражению) и число закрученности (геометрическая величина, которая описывает зацепления в узлах). Все три гипотезы не так давно были доказаны.

Посмотрите на карту метро любого города в мире. Что вы видите? В отличие от атласов, в которых показывается каждый поворот и изгиб дороги, карта метро выглядит довольно просто. Она состоит из прямых линий, окружностей и кривых. (Для примера откройте карты метро Лондона, Бостона или Вашингтона.) Однако поезда метро редко следуют таким совсем не сложным маршрутам: поезда проезжают целую серию препятствий на пути от одной станции до другой. Но несмотря на такое расхождение, карта метро все равно помогает путешественникам в навигации. Как так получается, что эти карты выбрасывают такое количество информации и все равно остаются полезными?

Ответ скрывается в области математики, которая известна как топология. Топология связана с геометрией и изучает то, как формы меняются, когда их растягивают, сжимают, тянут, перекручивают или искажают. (Слово «топология» от греческого «место», «учение».) Однако изменения, изучаемые топологией, должны подчиняться правилу: изменения не должны нарушать оригинальную целостность фигуры. Например, фигуры, которые были порезаны или приклеены друг к другу, не могут считаться допустимыми предметами для топологического изучения. С другой стороны, создаются новые формы, когда вы до конца натягиваете резинку, скручиваете ее в шар или перекручиваете в форму кренделя – все это допустимо. Вкратце, в топологии вы должны быть способны вернуть новую форму в ее первоначальное состояние за одно непрерывное движение. Если вы можете это сделать, то с точки зрения топологии эти две формы эквивалентны.

Теперь отношение карты метро и настоящего маршрута поездов становится ясным. Карта метро – это топологическая трансформация физического маршрута подземки. В некотором смысле карта показывает версию маршрута поездов, которая была растянута и разглажена, будто она сделана из жвачки для рук. Согласно топологии, две формы – схема метро и маршрут, который в действительности существует в системе общественного транспорта, – идентичны.

Шанхайское метро в Китае является самым длинным метро, судя по длине маршрутов, его пути имеют протяженность более 330 миль. Но метро Нью-Йорка имеет самое большое количество остановок в мире – 468 станций.

Оригами – это японское искусство складывания фигурок из бумаги, в Соединенных Штатах оно является времяпрепровождением для детей. Многие из нас видели журавлей, стаканчики и шарики, заполненные воздухом, из бумаги. Но немногие подозревают, что оригами тесно связано с математикой.

Одним захватывающим свойством оригами является умение выйти за рамки традиционной математики, особенно геометрии. Используя лишь сложенную бумажку, человек может поделить угол на три равные части, это задание неподвластно циркулю и линейке в традиционной геометрии. Человек может также использовать оригами, чтобы удвоить куб, это еще одна задача, с которой геометрия справиться не может. (Удвоение куба – это проблема, которой занимались еще в Древнем Египте и Греции. Чтобы удвоить куб, нужно было создать куб, объем которого был бы вдвое больше объема заданного куба. Такую процедуру невозможно закончить, так как сторона большего куба будет равна кубическому корню из 2, а эту длину нельзя построить с помощью циркуля и линейки.)

На самом деле, математическое изучение оригами привело к созданию своих геометрических аксиом, совокупности принципов и определений, похожих на те, что изучал Евклид, известный математик, который жил в Греции более 2000 лет назад. Эти семь принципов известны как правила Фудзиты; они описывают все варианты получения одной новой складки на листе бумаги. Математика в оригами также привела к теореме Кавасаки, которая гласит, что в совокупности углов, которые исходят из одной точки, сумма переменных углов равна 180 градусам.

Сам предмет изучения оригами часто является математическим, помимо того что он становится практически независимой математической областью, которая имеет свои аксиомы и доказательства. Некоторые люди создают трехмерные фигуры из модульных компонентов оригами, которые имеют форму треугольников или пятиугольников. Некоторые люди делают оригами-версию платоновых тел, пяти правильных многогранников (это трехмерные фигуры, у которых все грани являются правильными многоугольниками). Другие же создают гиперболические параболоиды, имеющие форму седла и напоминающие нечто среднее между квадратом и бабочкой. И наконец, некоторые используют оригами, чтобы доказать теорему Пифагора.

В некотором смысле оригами и математика, кажется, делят одну ДНК. И нет ничего лучше, чем создавать что-то своими руками, чтобы лучше понять какое-то математическое понятие. Забудьте о карандашах и графиках, попытайтесь найти математику в складывании листов бумаги!

Каждый год в сотрудничестве с организацией OrigamiUSA Американский музей естественной истории создает Праздничное дерево, украшенное фигурками оригами. На елку вешают примерно 800 фигурок. В 2014 году тема основывалась на фильмах «Ночь в музее», поэтому среди фигурок можно было найти Теодора Рузвельта, Тираннозавра Рекса и статую с острова Пасхи.

Это один из раздражителей современного мира. Вы ищете в кармане или сумке свои наушники и видите, что они спутаны в какой-то невообразимый узел, который невозможно распутать. Вы достаете садовый шланг из подвала – и смотрите-ка – он каким-то образом превратился в узел. Вы достаете из упаковки рождественскую светодиодную гирлянду, которая лежала на чердаке, и обнаруживаете сплошной ком из узлов. Почему так много вещей в нашей жизни постоянно запутываются, несмотря на наши попытки всеми способами избежать этого?

Оказывается, существует математическое объяснение тому, что длинные гибкие вещи, такие, как шнуры, шнурки и веревки, завязываются в узлы. Два физика из Калифорнийского университета в Сан-Диего опубликовали исследование на эту самую тему в 2007 году. По существу, есть только несколько вариантов, при которых скомканные веревкоподобные объекты оставались незапутанными – например, когда секции веревки остаются параллельными самим себе, не касаются друг друга и не имеют точек пересечения – и много-много вариантов, при которых веревка запутывается. Вообще, шнурок или веревка запутываются в течение нескольких секунд. Все, что для этого нужно – это один свободный конец, который пересекает часть самой веревки. На этом этапе свободному концу уже ничего не стоит запутаться в остальной части веревки.

Во время своего исследования команда из Сан-Диего поместила веревки разной длины на 10 секунд во вращающуюся коробку, которая работала от мотора. Они проанализировали получившиеся узлы с помощью математической теории узлов, пытаясь найти математическое уравнение (в этом случае полином Джонса), которое бы соответствовало каждому узлу. (Теория узлов классифицирует узлы по количеству пересечений.) Они обнаружили, что в 96 % случаев узлы были простыми, то есть число пересечений варьировалось от 3 до 11. Команда также обнаружила, что чем короче была веревка – меньше полуметра, – тем меньше узлов на ней образовывалось, но если длина приближалась к 2 или 6 метрам, то вероятность запутывания резко возрастала, вплоть до 50 %. Если же веревка была длиннее, то вероятность сильно не возрастала.

Поэтому вы можете сколько угодно ругать свои наушники, но когда в следующий раз кропотливо будете распутывать их, попытайтесь оценить математику, скрывающуюся за ними.

Запутанные телефонные шнуры породили целую индустрию. В те времена, когда люди полностью полагались на телефонные аппараты с проводом, изобретатели создали специальные устройства против спутывания: от вращающихся на 360 градусов частей до трубок, которые вставлялись в витой шнур, для того чтобы оградить людей от этого ежедневного раздражителя.

В прошлом велосипеды выглядели чудаковато. В XIX веке у велосипедов были огромные передние колеса и крохотные задние колеса. Педали прикреплялись непосредственно к переднему колесу, которое могло достигать почти 5 футов (более 150 см) в диаметре, а человек должен был запрыгивать на сиденье как на лошадь. Такие велосипеды вскоре вышли из моды, отчасти из-за того, что если велосипед наезжал на кочку, то человек мог запросто перелететь через руль. Позднее производители начали делать велосипеды, используя шестерни и цепи, такое нововведение не только позволило человеку сидеть по центру велосипеда и улучшило тем самым баланс, но также позволило менять передачи в зависимости от местности. Вам необязательно менять передачи, когда вы едете по ровной поверхности, но когда вы поднимаетесь на холм, смена передачи может показать разницу между непринужденной ездой на велосипеде или толканием его в гору. Но как на самом деле работает смена передач? Каким образом они помогают ехать в гору или с горы эффективнее?

Ответ зависит от передаточного отношения. Когда вы подсоединяете шестерню большего размера к шестерне меньшего размера, то если вы проворачиваете одну, то и вторая тоже будет вращаться, но с другой скоростью. Давайте представим, что передняя шестерня в три раза больше, чем задняя. За один оборот передней шестерни задняя будет выполнять три оборота. Подумайте об этом с точки зрения окружности колеса. (Если вы помните уроки математики в школе, длина окружности равна числу Пи, умноженному на диаметр окружности.) Если диаметр передней шестерни равен 3 дюймам, то длина ее окружности равна 3π, то есть примерно 9,42 дюйма. Поэтому если вы поставите точку на крае шестерни, а потом провернете ее один раз, то путь этой точки в пространстве – если перевести его на бумагу – будет равен 9,42 дюйма.

Теперь давайте представим, что задняя шестерня равна 1 дюйму в диаметре. Тогда длина ее окружности составит 3,14 дюйма, и с каждым поворотом путь этой точки будет равен 3,14 дюйма. Но при каждом обороте передней шестерни – 9,42 дюйма – задняя шестерня должна сделать три оборота. (Согласно разнице в диаметре, кстати, передаточное отношение для этих шестерней будет составлять 3:1.)

Следовательно, вы можете сделать так, чтобы задняя шестерня вращалась три раза за одно вращение педалей (хотя вам и придется нажимать в три раза сильнее), что идеально для спуска с горы.

Шестерни не только полезны, но с ними еще и весело играть. Во многих игрушках на рынке сейчас содержатся шестерни, включая Gears! Gears! Gears, Gear & Rotor Fun и наборы BlueLotus Rotatable Building Gears Sets. Некоторые такие игрушки продуманы до мелочей: на сайте Brickowl.com можно найти 57 разных видов шестерней для наборов Lego, включая шестерни с 40 зубцами, шестерни с 24 зубцами и внутренним сцеплением и скошенные шестерни с 20 зубцами.

Капли дождя являются не тем, чем вы думаете. По крайней мере, их форма отличается от той, какую вы, возможно, сразу же представляете. В мультфильмах, на синоптических картах и картинках капли дождя обычно изображены в форме слезы с закругленным низом и двумя сторонами, которые сверху сужаются в одну точку.

В реальности капли дождя имеют совершенно другую форму. Все капли дождя сначала представляют собой сферические объекты, так как вода в атмосфере ловит частички дыма и пыли. Как только капелька обретет достаточный вес, она начинает падать. Когда она падает, поверхность натяжения капли – вызванная водородной связью между молекулами воды – удерживает круглую форму капли. Когда капля набирает скорость, однако, давление воздуха, действуя на нижнюю часть капли, делает ее плоской, как дно сковородки. В этот момент капля дождя больше напоминает верхнюю часть булочки для гамбургера. Если капля становится слишком большой, а это иногда случается, когда на пути к земле она сливается с другими каплями, она распадается на несколько маленьких капель – предел прочности составляет примерно 4 мм в диаметре.

Капли дождя отличаются по размеру. В среднем, маленькая капелька во время небольшого шторма может достигать 0,5 мм в окружности, но во время сильной бури она может достигать 5 мм в окружности.

Все знают, что знак «Движение без остановки запрещено» является восьмиугольником; то есть имеет восемь равных сторон. Но не все знают, почему этот знак имеет такую форму. Почему восемь сторон? Почему не три или десять?

Этому есть два объяснения.

1. В отличие от квадратных знаков, которые используются повсеместно, восьмиугольные знаки могут быть прочитаны с разных направлений. Водитель А будет знать, что водитель Б должен был остановиться, согласно знаку, даже если водитель А приближался с другой стороны и не видел лицевую сторону знака.

2. Инженеры транспортного планирования своевременно поняли, что сообщение можно донести не только с помощью слов на знаках, но и с помощью самой формы знаков. Поэтому они создали стандартизованные знаки, придерживаясь идеи, что чем больше сторон было у знака, тем о большей опасности этот знак свидетельствовал. Например, круглый знак – можно предположить, что у него бесчисленное количество сторон, – используется для запрета движения. Треугольные знаки используются для предупреждений, чтобы оповестить, что дальше дорога сужается или есть опасность диких животных на дорогах.

Так что в следующий раз, когда сядете за руль, обратите внимание на форму знаков дорожного движения. Эти формы могут спасти вам жизнь!

Первый знак дорожного движения в США появился в Детройте в 1915 году и представлял собой квадратную металлическую пластину с черными буквами на белом фоне. Но именно Ассоциация государственных дорожных ведомств Миссисипи Вэлли в 1923 году настоятельно рекомендовала разнообразить формы знаков. И в 1935 году было решено, что знак «Движение без остановки запрещено» будет красным.

Пентагон – это штаб-квартира Министерства обороны США, которая находится недалеко от Вашингтона, а в переводе с английского «pentagon» означает «пятиугольник». Это здание является одним из самых больших административных зданий в мире, площадь которого в два раза превышает площадь Эмпайр-стейт-билдинг. Там работают примерно 25 000 человек. На самом деле здание Капитолия в Вашингтоне могло бы вместить в себя лишь одну из пяти сторон Пентагона. Но почему Пентагон имеет форму пятиугольника?

После начала Второй мировой войны США решили, что им нужен новый объект для их разрастающегося Военного ведомства. Был выбран Арлингтон, экспериментальная ферма под руководством Министерства сельского хозяйства, она располагалась рядом с Арлингтонским кладбищем, местом захоронения солдат и ветеранов войны. Из-за дорог и других особенностей местности это место имело пятиугольную форму, поэтому планы для нового здания Военного ведомства органично вписались в форму этого пространства. Но власти вскоре передумали строить военный объект вблизи такого эмоционального места и решили перенести его в другое место, которое раньше было месторасположением Гувер Филд, первого аэропорта Вашингтона. Менять архитектурные планы было уже поздно, так что, хотя архитекторы изменили некоторые элементы дизайна, форма пятиугольника осталась.

К счастью для всех, у такой формы были свои преимущества. Пройти из одной точки здания в другую можно меньше чем за десять минут, и архитекторы могли с легкостью расположить объекты и коммуникации общего пользования по всему зданию.

Пентагон охватывает примерно 583 акра, а его площадь составляет более 6 миллионов квадратных футов. В здании семь этажей… о которых нам известно.

Вы когда-нибудь замечали, как часто треугольники появляются в вашей повседневной жизни? Неважно, едете ли вы на работу на велосипеде (в центре велосипедной рамы есть треугольник) или мчитесь по автомагистрали (можно увидеть треугольники в опорах линий электропередачи), но треугольники возникают вновь и вновь. Есть ли в этом причина или производители велосипедов и инженеры используют эту фигуру с тремя сторонами развлечения ради?

Оказывается, есть хорошее объяснение тому, что треугольники так часто возникают в среде, созданной руками человека. Треугольники – на редкость устойчивая фигура, а это делает их идеальным выбором для структур, которые должны быть стабильными. Представьте, что углы треугольника соединены шарнирами: сами по себе углы будут подвижными, а вот треугольник будет устойчивым. Вы даже можете представить треугольник из соломинок, изгибы которых будут образовывать углы. Несмотря на изгибы, треугольник останется стабильным, будто сделан из сплошного пластика. Можете ли вы назвать другие места, где вы видели треугольники?

Треугольник – музыкальный инструмент – впервые исполнил соло-партию в Концерте для фортепиано с оркестром № 1 Франца Листа. Один скептически настроенный критик окрестил эту партию «Концертом для треугольника».

Небо голубое. Камни твердые. Трава зеленая. Существуют аспекты в мире, с которыми мы сталкиваемся каждый день, это часть нашей жизни, которая нам настолько близка, что мы о ней почти не задумываемся. Иногда математика может заставить нас взглянуть на эти повседневные вещи под другим углом, с новым пониманием.

Одной из таких вещей являются крышки люков. Они обычно круглые, но почему? Разве им не подойдет любая другая форма?

Оказывается, что круг – это идеальная форма, чтобы закрыть люк, потому что круг является одной из немногих форм, которая не может провалиться в отверстие, имеющее ту же форму. Чтобы в этом разобраться, представьте люк в форме треугольника. Допустим, этот треугольник не является равносторонним. (Возможно, одна сторона равна одному футу, а две других равны двум футам каждая.) Если мы поднимем крышку так, чтобы она стояла перпендикулярно земле, то короткой стороной треугольника крышка может с легкостью упасть в люк. А все это потому, что две другие стороны люка будут иметь длину в два фута, а объект длиной в один фут может запросто поместиться в отверстие длиной в два фута. Единственным способом предотвратить падение крышки будет создание крышки такой формы, чтобы при любом повороте ни одна сторона не была больше или меньше любой другой стороны. Круг под это описание подходит идеально.

Ходят слухи, что в результате испытания ядерного оружия под землей в 1950-х одна крышка люка улетела в космос. Эта легенда не подкреплена доказательствами, но возможно, берет свое начало из реального случая, произошедшего во время операции Plumbbob, серии испытаний ядерного оружия в 1957 году. Во время одного такого испытания кусок металла весом 2000 фунтов взлетел в воздух со скоростью 66 км/сек (41 миля в секунду). Эту крышку так нигде и не нашли.

Мир игрушек – это очередное место, где можно найти математику. Когда я был ребенком, я думал, что наборы Lego – это лучшая игра во всем мире. Было в этом что-то крайне отрадное, когда ты сидишь перед коробкой разобранного конструктора и думаешь, что хочешь построить. Как оказалось, наборы Lego предназначены не только для игр. Они также могут показать аспекты математики, которые в других случаях не были бы очевидными.

А именно, конструктор Lego играет роль в изучении сложной системы. Марк Чангизи и другие исследователи из Института Дьюка недавно провели исследование, чтобы получить ответ на вопрос, который кажется обманчиво простым. У всех систем есть компоненты: в телах есть клетки, у компьютера есть процессор, в экосистемах есть птицы и деревья. Исследователи хотели узнать, если система – неважно, состоит ли она из животных, клеток или электронных частей, – становится больше, увеличивается ли количество разновидностей компонентов? Сравним внутренний механизм наручных часов и старинных напольных часов. В напольных часах точно будет больше отдельных частей, но попадут ли эти детали в большее количество категорий, чем у наручных часов?

Исследователи доказали, что количество категорий в разных системах действительно возрастает по мере того, как масштаб объекта увеличивается. Они составили график и увидели, что у количества категорий и количества компонентов есть интересная закономерность. А именно, число разновидностей компонентов возрастало пропорционально количеству деталей, согласно степенному закону. (Степенная функция выглядит как Y = kXa. Y и X – это две переменные, которые мы хотим изучить; в этом случае Y обозначает количество компонентов, а Х – количество разновидностей компонентов. В этой формуле k – это любое число, называемое константой, а a – это показатель переменной Х.) Исследование также показало, что хотя количество разновидностей компонентов возросло вместе с количеством деталей, скорость замедлилась, когда количество деталей становилось все больше и больше.

Но когда они посчитали количество деталей и их разновидность в наборах Lego, они увидели, что количество разновидностей деталей росло быстрее, чем в других системах. Другими словами, чем больше набор Lego, тем больше разновидностей деталей в нем содержится. Любители Lego, коим является сам Чангизи, опасаются, что такой рост возник из-за разницы дизайна разных наборов. На сегодняшний день наборы Lego выпускаются в разных тематиках, включая «Звездные войны», «Ниндзяго», «Черепашек-ниндзя» и «Властелина колец». Некоторые опасаются, что такой количественный рост привел к специализациям деталей, то есть большое количество деталей подходит только одной теме или даже одному набору. У любителей оригинальных деталей Lego такая перемена вызывает только грусть. Но игрушки Lego продолжают быть разносторонними в другом смысле: они приходятся по душе широкому сегменту населения, включая математиков.

Кто занимается дизайном наборов Lego, которые мы можем купить в магазинах? Эти таланты также работают над моделями в полный рост в парках Legoland по всему миру. Чтобы стать мастером Lego, потребуются годы практики, и эти специалисты часто выявляются на публичных конкурсах.

Без воздушных змеев весна и лето просто не были бы самими собой. Но их очарование выходит за рамки трепета управления куском материи во время легкого ветра. Традиционные американские воздушные змеи являются хорошим примером особого вида четырехугольника. Обычный воздушный змей имеет четыре стороны, как квадрат или прямоугольник. Но в отличие от этих двух фигур, стороны воздушного змея группируются друг с другом по длине. Поэтому две короткие стороны примыкают друг к другу так же, как и две длинные стороны. Именно такое расположение сторон придает воздушному змею эту отличительную форму вытянутого ромба.

Форма воздушного змея интересна также и тем, как множество змеев может быть сложено, чтобы покрыть плоскость (которая является идеализированной плоской поверхностью, как лист бумаги, не имеющий толщину). Вы можете взять любого воздушного змея с любым углом между сторонами и использовать его вместе с бесчисленным множеством идентичных змеев, чтобы полностью покрыть плоскость так, чтобы между отдельными фигурами не оставалось зазоров. Такое покрытие называется мозаичным размещением. (Представьте плитку в вашей ванной, тогда вы поймете, о чем идет речь.) Воздушные змеи играют роль и в мозаике Пенроуза – особом виде разбиения плоскости, где отдельные детали формируют узоры, которые не повторяются в обычном порядке.

Форма воздушного змея также определяет свои идеальные летные условия. Воздушные змеи в форме ромба лучше всего летают во время легкого ветра, но им нужен хвост для устойчивости. Треугольные змеи могут летать в практически безветренную погоду. А шестисторонние змеи, которые появились в Японии сотни лет назад, очень маневренны, их обычно используют в соревнованиях. (Если вы заставите упасть воздушного змея противника, то вы выиграли!)

Существует два способа узнать площадь воздушного змея. Если вы знаете длину двух диагоналей, тогда вы можете умножить эти длины и разделить результат на 2. Или если вы знаете длину короткой и длинной стороны, а также градус угла между ними, тогда вы можете воспользоваться тригонометрией: умножьте длину короткой стороны на длинную, а потом умножьте результат на синус угла.

Не все трехмерные фигуры созданы равными. Подумайте о тех фигурах, которые существуют или могли бы существовать. Некоторые, как форма картофелины, бугорчатые и неровные. Другие, как звезда, аккуратные, с прямыми линиями. Шары гладкие и круглые, а фигурки в тетрисе имеют острые углы.

Однако некоторые фигуры особенные. Они обладают характеристиками, которые изучались тысячелетиями. Такая историческая группа включает в себя платоновы тела. Эти трехмерные фигуры названы в честь философа, который жил в Афинах в 400-х годах до н. э., они построены с помощью двухмерных фигур, таких, как квадраты, треугольники или пятиугольники. Но двухмерные фигуры должны соответствовать некоторым условиям, чтобы быть способными превратиться в платоново тело.

1. Во-первых, они должны быть правильными, то есть все их линии должны быть одной длины и все углы должны находиться под одинаковым градусом.

2. Во-вторых, они должны совпадать, то есть быть идентичными. Если вы положите одну фигуру на другую, то они должны полностью совпасть по размеру. (Другими словами, вы не сможете сделать платоново тело из треугольников разного размера.)

3. В-третьих, в каждой вершине – место на каждой фигуре, где соединяются линии, – должно быть одинаковое количество фигур.

Существуют пять и только пять платоновых тел.

1. Тетраэдр имеет четыре стороны, все они являются треугольниками.

2. Гексаэдр, или куб, состоит из шести квадратов.

3. Октаэдр имеет восемь сторон и выглядит как две пирамиды, соединенные основаниями. (Как и у тетраэдра, все стороны октаэдра являются треугольниками.)

4. Додекаэдр имеет двенадцать сторон, каждая сторона представляет собой пятиугольник.

5. Икосаэдр имеет двадцать сторон, каждая из которых является треугольником.

А если вы задумались, почему существует только пять платоновых тел, то у Евклида – древнегреческого математика – есть ответ на этот вопрос. Он нашел доказательство и включил его в Книгу 13 в его «Началах». Найдите этот труд, если вам интересно.

Но эти фигуры считались не просто математическими загадками. В своем диалоге «Тимей» Платон, греческий философ, утверждает (от лица одного из персонажей), что каждое тело соответствует одному элементу природы. Тетраэдр ассоциировался с огнем, куб – с землей, октаэдр – с воздухом, икосаэдр – с водой, а додекаэдр – с расположением созвездий в небе.

Сотни лет спустя, в конце 1500-х, Иоганн Кеплер использовал платоновы тела, чтобы объяснить структуру Солнечной системы. Он хотел понять, почему планеты расположены так, как они расположены. Кеплер сопоставил орбитам (которые он представил как круг) планет платоновы тела. Начиная с внутренней части Солнечной системы, порядок платоновых тел начинался с октаэдра, который соответствовал Меркурию, затем шли икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и куб. (Согласно Кеплеру, существовали лишь пять планет.)

И хотя объяснения Кеплера оказались неверными, один факт остался неоспоримым: платоновы тела действительно являются частью природы. Например:

• Многие минеральные кристаллы принимают форму кубов, включая столовую соль (хлористый натрий); если бы вы прошлись по берегу Мертвого моря, то обязательно наступили бы на большие кубы соли, которые прибило к берегу из глубин моря.

• Алмазы и плавик часто образуют кристаллы в форме октаэдров.

• Такие вирусы, как герпес, часто имеют форму икосаэдров.

• Атомы часто образуют связи в форме тетраэдра. Молекулы метана и ионы аммония состоят из четырех атомов водорода в форме тетраэдра в окружении атома углерода или азота.

Платоновы тела – это не просто что-то, записанное в древнегреческих трудах, они в буквальном смысле летают в воздухе, которым мы дышим, и находятся в земле, по которой мы ходим.

Каждое платоново тело содержит так называемый двугранный угол, который является внутренним углом между двумя гранями. Так как каждая грань платонова тела одинакова, значит, все двугранные углы этого тела тоже будут равными. Например, в кубе двугранный угол равен 90 градусам, как и угол при вершине. Но в тетраэдре двугранный угол равен 70,6 градуса, а угол при вершине – 60 градусам. Чем больше двугранный угол, тем больше тело будет напоминать шар.

Когда вы смотрите, как Тайгер Вудс делает первый удар на открытом чемпионате США по гольфу, вы можете не представлять, что за этим моментом скрывается математика, которая помогает его мячу лететь сквозь воздух. Но это правда, а все благодаря геометрии впадинок на мяче.

Сотни лет назад мячи для гольфа делали из дерева или резины, а поверхность их была абсолютно гладкая. Согласно легенде в мире гольфа, когда гольфисты вновь и вновь использовали один мяч, они заметили, что старые, неровные мячи летели дальше, чем новые, гладкие. Позже ученые поняли, что ямки или впадинки позволяют воздуху вокруг мяча оставаться ближе к изогнутой форме мяча, уменьшая турбулентность в воздухе за мячом, которая и вызывает торможение. Традиционно ямки имеют форму круга, но недавно их стали делать в форме шестиугольников. Производитель Callaway утверждает, что шестиугольные ямки покрывают больше поверхности мяча, следовательно, на нем меньше плоской поверхности между каждой ямкой и, естественно, меньше торможения.

Мячи для гольфа бывают разных размеров, но в основном имеют 300–500 ямок. Обычный мяч для гольфа имеет 336 ямок.

Проведите эксперимент: возьмите газету и оберните ей арбуз, словно хотите подарить его другу на день рождения. Что же получается? Неважно, как усердно вы стараетесь, но на нем всегда будут складки и загибы, которые будут торчать в разные стороны; бумага никогда не будет лежать ровно на поверхности арбуза. (Чтобы бумага повторила форму арбуза, вам необходимо взять ножницы и разрезать ее на части, но даже в этом случае вам скорее всего, придется время от времени приглаживать складки.) В действительности невозможно сложить такую ровную поверхность, как лист бумаги, в форму шара, не разрезая и не сгибая его.

Обратное действие будет таким же трудным. Очистите грейпфрут так, чтобы у вас остался один кусок в форме шара, и попытайтесь его разгладить. Шкурка неизбежно порвется. Вы не сможете ее полностью разгладить, если не порежете или не порвете ее. Но почему превращение плоской поверхности в круглую или круглой в плоскую такое трудное? Что мешает плоской и круглой поверхностям спокойно преобразовываться одна в другую?

Ответ скрывается в куске пиццы и в работах Карла Фридриха Гаусса, немецкого математика, который родился в 1777 году и умер в 1855 году. (Гаусс занимает особое место в истории математики. Его считают одним из величайших математиков со времен Древней Греции и обычно называют Принцем Математики. Не забывайте, что он был учителем Августа Фердинанда Мебиуса – см. главу 1.7.) Гаусс доказал теорему об искривлении поверхности, которая известна как theorem egregium (от лат. – «выдающаяся теорема»).

Чтобы понять теорему Гаусса, представьте человека, которого уменьшили до одного дюйма и поместили на поверхность цилиндра. Если человек начинает идти, он может найти множество маршрутов, которым он может следовать. Например, он может пройти вдоль верхушки цилиндра по прямой линии. Или он может пройти вдоль изогнутой части цилиндра по кругу, пока не вернется в отправную точку. (Нам придется представить, что этот человек надел уж очень липкие ботинки.) Он также мог бы идти по спирали, кружась вокруг цилиндра и одновременно продвигаясь вдоль его длины. Теорема Гаусса гласит, что можно измерить кривизну этого цилиндра, используя все эти маршруты, их нужно умножить друг на друга, и получится значение. Плоская поверхность имеет нулевую кривизну – в конце концов, она плоская, – а криволинейная траектория имеет положительную кривизну. (Вогнутая кривая – которая выгнута внутрь – будет иметь отрицательную кривизну.) Когда вы умножаете кривизны, то в итоге умножаете положительное значение на ноль, в результате чего получается ноль (так как любое число, умноженное на ноль, дает ноль). Получается, что цилиндр имеет нулевую гауссовскую кривизну.

В теореме Гаусса также говорится о поверхности фигуры. Утверждается, что вы можете сгибать и растягивать поверхность и она будет иметь ту же гауссовскую кривизну, что и изначально, до тех пор, пока вы не нарушите ее целостность. Поэтому неважно, как сильно вы будете мять или деформировать цилиндр, гауссовская кривизна от этого не изменится.

Это приводит нас к пицце. Если вы когда-нибудь пытались держать большой кусок пиццы ровно в руке, особенно если на этом куске много расплавленного сыра и пеперони, то вы знаете, что конец пиццы всегда падает и вам становится трудно его есть. С другой стороны, если вы сложите кусок продольно, то конец вовсе не падает, а смотрит прямо, а начинка остается там, где ей и место. В чем же дело? Итак, если вы посчитаете кривизну не согнутого куска пиццы, то получите ноль. (Любые возможные траектории, по которым может пройти однодюймовый человек на поверхности куска являются плоскими.) А это значит, что вы можете сколько угодно двигать или сгибать этот кусок, но его кривизна будет все равно равна нулю.

А теперь посмотрите на кусок пиццы, конец которого смотрит вниз. Траектория от корочки до конца будет изогнутой, а траектория от одной стороны до другой – прямой. Теперь если мы сложим кусок, то траектория от одной стороны до другой будет кривой, а от корочки до конца – прямой.

Что же все это значит? Неважно, как согнут кусок, одна возможная траектория должна быть прямой (так как плоская кривая имеет нулевую гауссовскую кривизну, и нам нужен ноль в расчетах, чтобы получить в результате ноль). Если траектория между сторонами плоская, то траектория от начала до конца будет кривой. Если траектория от начала до конца плоская, то траектория между сторонами будет кривой.

Вернемся к изначальной задаче: мы не можем аккуратно обернуть арбуз бумагой или разровнять кожуру от грейпфрута потому, что плоские и круглые объекты имеют разную гауссовскую кривизну. Так что в следующий раз, когда будете заказывать пиццу, подумайте о гауссовской кривизне и смело сгибайте ваши куски пиццы.

Карл Гаусс был вундеркиндом. Однажды в школе его попросили сложить все числа от 1 до 100. Сообщается, что он нашел решение за считанные секунды. Он предложил разбить сумму на 50 пар чисел – 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д., сумма каждой такой пары составляла 101. Поэтому результат составлял 101 × 50, или 5050.

Вы когда-нибудь были в тематическом парке Epcot и стояли под гигантской сферой под названием «Космический корабль “Земля”»? Если да, то вы знакомы со структурой геодезического купола. Геодезические купола состоят из треугольных деталей, расположенных рядом друг с другом так, что вершина одной из них находится рядом с основанием другой. Таким образом, вместо гладкой сферы или купола мы получаем слегка угловатый геодезический купол (напоминающий диско-шар).

Геодезические сферы и купола (разрезанные напополам сферы) чрезвычайно легкие и прочные, они стали популярными в середине 1900-х благодаря Бакминстеру Фуллеру, инженеру, который хотел с помощью изобретений решить человеческие проблемы. Создание структуры из треугольных деталей дает более стабильную конструкцию, нежели из квадратных. Фуллер представлял геодезические купола как эффективное, доступное жилье. Экономия возникала бы из формы: сферы покрывают определенное пространство минимальной площадью поверхности, тем самым в теории снижая затраты на строительные материалы. Открытое внутреннее пространство также позволяет воздуху легко перемещаться, тем самым потенциально сокращая затраты на обогрев и кондиционирование помещения. На самом деле, геодезические купола – это воплощение сентенции Фуллера «делать больше с меньшими затратами».

Вы также можете думать о геодезических куполах как о платоновых телах (см. главу 1.20). Как и эти красивые фигуры, геодезические купола созданы из одного вида многоугольников – треугольников, – только в геодезических куполах эти треугольники как бы выталкиваются так, что они становятся ближе к линии воображаемой сферы, обволакивающей купол. И, как и в случае с платоновыми телами, геодезические купола демонстрируют мощь и величие геометрии.

Если вы хотите своими глазами увидеть геодезический купол, вам не обязательно ехать в Disney World. Его можно увидеть и в ботаническом саду Миссури в Сент-Луисе, если посетите Климатрон, купол высотой 70 футов и 175 футов в диаметре, он построен из алюминиевых жердей и панелей из оргстекла.

Почему так мало домов в форме купола? Возможно, из-за того, что в куполах меньше пространства, которое реально можно использовать, чем в обычных домах.

Бакминстер Фуллер опережал свое время. Фуллер известен своими инновационными изобретениями, такими, как автомобиль «Димаксион» с тремя колесами, он также посвятил себя помощи человечеству, пытаясь найти способы «делать больше с меньшими затратами». Он также внес свой вклад в развитие языка и придумал такие термины, как «космический корабль Земля» и «синергетический».

Представьте двухмерный мир, населенный разумными фигурами, квадратами и шестиугольниками, линиями и кругами, которые умеют думать и общаются друг с другом так, как это делаем мы в трехмерном мире. Таков посыл «Флатландии», романа, опубликованного в 1884 году, его автором является Эдвин Э. Эбботт, школьный учитель и священник. Главный герой в книге – квадрат, который рассказывает читателю о правилах и традициях Флатландии, включая форму домов – пятиугольники, чтобы углы домов не были слишком острыми и не могли причинить вред жителям Флатландии, которые могли случайно на них натолкнуться, – и иерархию жителей. Женщины во Флатландии предстают как прямые линии, солдаты и рабочие низшего класса являются равнобедренными треугольниками, у которых один угол очень острый (тем лучше для войны). Мужчины среднего класса представлены квадратами и пятиугольниками, а элита – шестиугольниками. Чем больше сторон у фигуры, тем выше ее звание; самое высокое положение в обществе занимают круги.

Выдающейся особенностью этого романа является тот факт, насколько хорошо здесь объясняется концепция измерений. Квадрат посещает Лайнландию и Пойнтландию и общается с жителями Сферландии, которая является трехмерной, и квадрат пытается понять это. Вы можете себе представить, как трудно будет объяснить двухмерной фигуре, что такое третье измерение. Правда, как можно это сделать? Вы можете попробовать сказать, что третье измерение находится «наверху» или перпендикулярно плоскому миру, в котором живут люди, но что это будет значить для этого существа? Как это существо может представить направление, которое не лежит на плоскости, а каким-то непонятным образом возвышается? «Флатландия» помогает читателю понять саму природу измерений, с момента публикации этой книги это еще никому не удавалось сделать лучше.

Если вы не хотите читать книгу, вы можете посмотреть фильм «Плоский мир». Он вышел в 2007 году, роли озвучивали Мартин Шин, Кристен Белл и Майкл Йорк, а сюжет строится вокруг приключений Артура Квадрата.

Футбольный мяч, который вы пинаете по выходным, имеет несколько математических секретов. Если вы к нему присмотритесь, то увидите, что он покрыт пятиугольниками и шестиугольниками в повторяющемся узоре. На самом деле этот узор из фигур значит, что футбольный мяч – это усеченный икосаэдр, который имеет 12 пятиугольных и 20 шестиугольных поверхностей, всего их 32. Более того, каждая сторона каждого пятиугольника касается шестиугольника, а стороны каждого шестиугольника касаются попеременно пятиугольника и другого шестиугольника. Однако в усеченном икосаэдре пятиугольники и шестиугольники абсолютно плоские. А пятиугольники и шестиугольники на футбольном мяче выпуклые для того, чтобы сгладить края и сделать мяч круглым.

Усеченный икосаэдр выделяется среди других фигур, так как является одним из архимедовых тел. Стороны этих трехмерных фигур, названных в честь Архимеда, одного из величайших математиков Древней Греции (и всей истории человечества), состоят из двух или более правильных многоугольников (фигуры, стороны которых имеют одинаковую длину, например шестиугольник). Похожие фигуры, платоновы тела (см. главу 1.20), имеют в качестве сторон один правильный многогранник. (Представьте куб, все стороны которого являются квадратами.)

Усеченные икосаэдры можно найти не только в спорте. Они также встречаются в природе, на микроскопическом уровне, в форме бакминстерфуллерена, молекулы, состоящей из 60 атомов углерода. Эта молекула предстает в форме шара, она была названа в честь Бакминстера Фуллера, инженера и изобретателя, и открыта в 1980-х. Некоторые вирусы, например вирус хлоротичной крапчатости коровьего гороха, имеют форму усеченного икосаэдра. Такая особая форма, кажется, встречается повсюду и в природе, и в мире, построенном руками человека.

Существуют 13 архимедовых тел. Среди них есть кубооктаэдр, чьи стороны имеют форму квадратов и треугольников, и усеченный октаэдр, чьи стороны имеют форму квадратов и шестиугольников.

Вы могли давно не держать его в руках, но кубик Рубика – разноцветная головоломка, – который предстал перед публикой в начале 1980-х, считается самой продаваемой игрушкой в истории. Он имеет шесть сторон, каждая из которых состоит их трех движущихся рядов и девяти мини-кубов, каждый мини-куб покрашен в один из шести цветов, таким образом, кубик является мучительной, но такой затягивающей задачкой: как только все цвета перемешаны, нужно поворачивать ряды, пока каждая сторона не будет состоять из мини-кубов одного цвета.

Но кубик Рубика не только сводит с ума и является веселым времяпрепровождением, он еще и наводит на несколько математических мыслей. Сначала он наводит на мысль о комбинаторике, которая изучает различные способы конфигураций из каких-то объектов. Существует поразительное количество способов сборки мини-кубов кубика Рубика. На самом деле, общее количество перестановок равно 43,252,003,274,489,856,000, или примерно 43 квинтильонам. Крайне сложно понять, насколько это число большое. Для начала представьте, что у вас есть 43 квинтильона кубиков Рубика, и вы поставили их друг на друга, тогда башня из них достигла бы космоса. Насколько бы их хватило? До МКС? До Луны? Ответ может вас удивить: когда башня будет достроена, она продлится 261 световой год.

Вы можете осознать это ошеломляющее количество и другими путями. Например, 43-квинтильонов кубиков Рубика будет достаточно, чтобы покрыть ими весь земной шар. Не один раз и даже не два, а 273 раза. Или подумайте, сколько времени у вас займет попробовать каждую перестановку. Допустим, что каждая перестановка ряда займет одну секунду, тогда все возможные варианты займут почти 1,5 квадрильона лет, а это намного больше, чем возраст вселенной.

Размышляя над кубиком Рубика, вы также можете познакомиться с алгоритмами. В математике алгоритм – это набор инструкций, который приводит вас из одного состояния дел в другое с помощью ряда конкретных шагов. (Подумайте об инструкции по сборке вашей новой книжной полки из IKEA как об алгоритме.) Люди, которые соревнуются за то, чтобы собрать кубик Рубика за самый короткий промежуток времени – своеобразный вид спорта, который известен как скоростная сборка кубика Рубика, – запоминают алгоритмы, которые диктуют им, как повернуть ряд, чтобы сдвинуть определенные мини-кубы на место. Алгоритмы имеют систему записи, в которой буква или символ обозначают одну из сторон кубика. Например:

Ф = фасад

З = задняя сторона

П = правая сторона

Л = левая сторона

В = верхняя сторона

Н = нижняя сторона

Также есть символы, которые могут подсказать, крутить сторону по часовой стрелке или против. Например, Ф значит крутить фасад, или переднюю сторону, по часовой стрелке; Ф’ – против часовой. Итак, алгоритм для сбора среднего ряда кубика Рубика может выглядеть так:

^{В П В’ П’ В’ Ф’ В Ф}

Для скоростной сборки люди обычно запоминают до сорока таких алгоритмов.

По подсчетам, с 1980 года было продано 350 миллионов кубиков Рубика по всему миру, что делает его самой продаваемой игрушкой в мире. Это значит, что каждый седьмой человек на земле пытался его собрать.

В следующий раз, когда воспользуетесь ксероксом, взгляните на листы бумаги еще раз: для их дизайна ушло немало математического планирования. Размеры, согласованные с Международной организацией по стандартизации (ИСО) специально для форматов А и В, были созданы на основе особой геометрии, которая имеет свои преимущества, когда вы делаете копии.

Особой характеристикой форматов А и В является соотношение двух концов данного листа бумаги. Для двух форматов коэффициент ширины к длине составляет 1:√2. Это значит, что каждый лист А4 составляет половину площади листа А3. А лист А3 составляет половину площади листа А2. Использование √2 означает, что каждый формат бумаги имеет одинаковое отношение ширины к высоте; каждый формат является идеально масштабированной версией большего или меньшего формата бумаги. Например, формат А4 – который примерно соответствует американскому формату Letter – имеет ширину 210 мм и длину 297 мм. Соответствующие размеры формата А3 будут составлять 297 и 420 мм.

В результате, если вы используете ксерокс и вам нужно уменьшить формат А4, то вы можете превратить его в формат А5, который при повороте будет соответствовать двум копиям, которые идеально поместятся на лист А4 без лишнего пространства. А так как у каждого размера одинаковое соотношение, неважно, насколько вы будете уменьшать или увеличивать, информация на бумаге появится в той же пропорции. Даже в таком обывательском задании, как копирование, геометрия может облегчить нашу жизнь.

Понятия, встречающиеся в мире бумаги, очень часто незнакомы обычному человеку. Например, десть – это набор из 24 или 25 листов бумаги одинакового размера, что равно 1/20 стопы (которая равна 400 или 500 листам бумаги).

Если вы когда-нибудь видели карту на чьей-либо стене или дорожный атлас, то вы смотрели на математику в действии. Как вы уже поняли из главы 1.22, когда читали о Гауссе и пицце, невозможно идеально превратить сферическую форму в двухмерную форму. В результате любая карта Земли – или любой другой планеты или сферического тела – будет иметь искажения. Но каким именно образом информацию на шаре превращают в информацию на листе бумаги? Другими словами, как превратить глобус в карту?

Вот здесь в работу вступает математика. Существуют разные виды карт, и каждая из них отображает Землю по-разному. Каждый вид называется проекцией. Вы, возможно, уже слышали о проекции Меркатора (представлена Герардом Меркатором, фламандским картографом, в 1569 году), которая стала отличным помощником морякам, так как, чтобы добраться из точки А в точку Б, штурману надо было всего лишь начертить линию между этими точками, и он знал точное направление по компасу, которое и приводило его в точку назначения. А если вы когда-либо видели настенную карту мира, опубликованную National Geographic, тогда вы знакомы с проекцией Робинсона. (Карты Робисона были спроектированы так, чтобы в приполярных регионах было меньше искажений, а на картах Меркатора они выглядели куда хуже, чем они есть на самом деле.)

Некоторые карты выполнены в форме круга, и центром обычно являются Северный или Южный полюса. Возможно, вы видели древние карты с такой конфигурацией, где были изображены две круглые карты. Такие карты являются стереографической проекцией. В отличие от некоторых карт, стереографические проекции являются конформными, то есть все углы в них приближены к реальности. (Однако этого нельзя сказать о расстоянии и площади.) Кроме того, окружности на глобусе Земли отображаются как окружности на стереографической карте. Если окружности проходят через точку проекции – центр карты, – тогда они отображаются на карте в виде прямых линий.

В некоторых проекциях, включая проекцию Меркатора, относительные величины континентов искажены. Проекция Галла – Петерса, названная в честь Джеймса Галла и Арно Петерса, пытается скорректировать некоторые искажения, тем самым относительная величина континентов получается более точной. Вы можете помнить знаменитый эпизод «Западного крыла», где эту проекцию поддержала выдуманная Организация картографов за социальное равенство.

Математика может показаться сложной и не связанной с повседневной жизнью, но вы можете столкнуться с ней в самых банальных местах. На самом деле, связь с математикой XVII века можно проследить в отделе сладостей в вашем ближайшем магазине.

В 1611 году Иоганн Кеплер, который стал известен благодаря открытию законов движения планет (см. главу 1.20), высказал гипотезу, согласно которой, если вы используете частицы в форме шара, то нет лучшего способа заполнить пространство, чем сложить шары так, как складывают апельсины на рынке. (Она еще известна как гипотеза Кеплера.) Используя эту технику, которая называется гранецентрированная кубическая упаковка, человек может заполнить примерно 74 % данного пространства. Если шары заполняют банку бессистемно, то они заполняют примерно 64 % пространства.

Теперь перейдем к конфетам. Исследователи обнаружили, что частицы, которые выглядят как M&M’s – приплюснутые шары или сфероиды, – заполняют сосуд так же, как и шары. Если их сложить как апельсины, то они тоже заполняют примерно 74 % объема. Но если их насыпать в сосуд беспорядочно, то они выигрывают у шаров и заполняют 71 % пространства, а это намного больше, чем у шаров. Некоторые люди считают, что сфероиды эффективнее заполняют пространство, нежели шары, так как они могут переворачиваться, пока не попадут в конфигурацию, которая использует больше пространства. Другие фигуры показывают еще лучший результат. Беспорядочно насыпанные эллипсоиды – похожи на мячи для американского футбола или на миндаль в шоколаде, если вам так больше нравится, – могут заполнить до 74 % объема.

Кеплеру так и не удалось доказать свою гипотезу, однако Гаусс смог предоставить неполное доказательство в 1800-х. Последний шаг в доказательстве был сделан в 1990-х, когда математик Томас Хейлс использовал компьютерную программу, которая и помогла доказать гипотезу. Но доказательство оказалось таким длинным – несколько сотен страниц, – что он воспользовался компьютерным алгоритмом, чтобы проверить его!

В 1995 году ярые любители сладости проголосовали за добавление нового цвета в упаковку M&M’s. Выиграл синий цвет, который набрал 54 % голосов. (Всего было отдано 10 миллионов голосов.) Среди финалистов также были розовый и лиловый цвета.

Если вы любите игры, то можете увлекаться танграмами, головоломкой из Китая. Некоторые люди считают, что она возникла тысячи лет назад, хотя первое опубликованное доказательство появилось в 1813 году. Классический набор танграм состоит из семи фигур: двух больших треугольников, среднего треугольника, двух маленьких треугольников, одного квадрата и одного параллелограмма (прямоугольника, у которого две короткие стороны наклонены в одну сторону). Все треугольники являются прямоугольными, то есть один угол в каждом треугольнике равен 90 градусам. Фигуры могут быть сделаны практически из любого материала, включая дерево, пластик, стекло или панцирь черепахи. На самом деле, вы сами можете сделать свой набор танграм с помощью бумаги, карандаша, линейки и ножниц.

Целью игры является сложить семь деталей, чтобы получить сложную фигуру, такую, как человек или животное. (Набор танграм обычно содержит книгу с возможными фигурами.) Детали не должны перекрывать друг друга, и край одной детали должен касаться края как минимум одной другой детали.

Связь между таграмами и математикой очевидна: фигуры пришли из геометрии, раздела математики, который изучает линии, точки и углы. Но танграмы наводят и на более глубокие математические размышления. Некоторые математики задавались вопросом, сколько фигур можно сложить из семи деталей набора танграм. Но в голове у них были вовсе не фигуры овец или моряков. Вместо этого они думали о выпуклых многоугольниках, таких фигурах, как пятиугольники и квадраты, у которых есть три или более сторон и ни одна сторона не наклоняется в сторону центра. Математики обнаружили, что игрок может создать из семи деталей 13 выпуклых многоугольников: два пятиугольника, шесть четырехугольников, один треугольник и четыре шестиугольника. Головоломка простая, но, как и многое в математике, имеет глубокий аспект, который не сразу виден.

Не все наборы танграм состоят из треугольников и прямоугольников. Один вид – яйцо Колумба – сначала предстает двухмерной фигурой. Потом его делят на детали, у некоторых из них изогнутые края.

Если вы поедете в Сент-Луис в Миссури, вы не сможете не увидеть «Ворота Запада», это громадная постройка из стали и бетона, которая достигает в высоту 630 футов. Достроенная в 1965 году арка символизирует историческую роль Сент-Луиса в качестве ворот на запад для тех, кто колонизировал Северную Америку. Арку можно также рассматривать как дань уважения математике, так как ее форма напоминает цепную линию, своего рода арку, которая образовывается, когда цепь прикрепляют к двум стойкам с обеих сторон, и при этом она ниспадает к земле. (Если быть более точным, то «Ворота Запада» – это перевернутая версия почти цепной линии.) Цепные линии вы можете увидеть в линиях электропередачи между вышками и в форме тяжелого троса, который держит корабль в порту. Вы также можете их увидеть в виде бархатных канатов, которые ограждают людей, стоящих в очереди в кино или на концерт.

Цепные линии похожи на параболы – другой вид кривых, – но уравнение для них было получено лишь в 1691 году тремя математическими титанами: Христианом Гюйгенсом, Якобом Бернулли и Готфридом Лейбницем.

Перевернутые цепные линии часто встречаются в архитектуре, придавая красоту и грацию разным пространствам. Их можно увидеть, например, под террасой «Дома Мила» Антони Гауди, а еще они поддерживают крышу Зимнего сада Шеффилда в Южном Йоркшире в Великобритании.

Представьте прекрасное архитектурное сооружение, и вы, вероятно, подумаете о цепном мосте. Эти парящие конструкции узнаваемы благодаря кабелям, которые не только выглядят красиво, но и выполняют важную задачу: они поддерживают проезжую часть, которая проходит под ними. Эти волнообразные кривые также являются примерами парабол, форм, знакомых математикам и которые можно найти во многих местах физического мира.

Если вы помните декартову систему координат из уроков геометрии, то вы также помните, что можете построить параболу с помощью уравнения y=х². Или вы можете помнить, что парабола относится к классу фигур, известный как коническое сечение, которое образуется, когда плоскость, как лист бумаги, пересекает круговой конус разными способами. (На уроках физики вы, возможно, учили, что кабели передают силу тяжести, оказываемую тяжелой дорогой и машинами на башни моста, которые направляют эту силу вниз в землю.) Кабели также имеют форму парабол отчасти из-за дороги и движения по ней. Без этого веса кабели могли бы принять форму больше похожую на цепные линии, то есть форму, которую принимают такие висячие объекты, как веревки, когда единственной силой, которая на них действует, является гравитация (см. главу 1.31).

Естественно, не во всех мостах есть кабели. Некоторые мосты содержат такие структурные компоненты, как фермы. Они обычно сооружаются из множества компонентов, обычно треугольников, которые соединены так, что вся конструкция ведет себя как единое целое.

Если вы живете там, где ходят автобусы, вы, наверное, замечали, что иногда стоите на остановке намного дольше, чем рассчитывали, а автобусов все нет и нет. Вы смотрите на горизонт, ваша нога нервно стучит по асфальту, и вдруг видите два подъезжающих автобуса. «Черт! – вскрикиваете вы. – Почему они не могут приезжать равномерно? Что не так с транспортной системой в этом идиотском городе?»

Но оказывается, автобусы группируются не потому, что проблема в транспортной системе. На самом деле, это просто неизбежно. Представьте два автобуса, которые выезжают из автобусного парка рано утром в начале смены. Допустим, они выезжают оттуда с десятиминутным интервалом. Если бы автобусу нужно было подъехать к остановке, подождать определенное количество времени и уехать, то они бы не группировались. Но, естественно, на каждой остановке он должен набрать пассажиров, а время, которое нужно человеку, чтобы сесть в автобус, у всех разное. (Сравните пожилого человека с тростью и 10-летнего мальчика.) Более того, на некоторых остановках собирается огромное количество ожидающих пассажиров. (Возможно, эта остановка находится рядом со школой и каждый день примерно в 3 часа дня толпа учащихся выходит и ждет автобус, чтобы доехать до дома.) В любом случае, автобус может застрять в любой точке маршрута.

Если подумать об этом, то становится понятно, почему автобусы могут подъезжать по несколько штук. Когда одному автобусу приходится долго ждать, пока все пассажиры сядут, например, некоторые садятся медленнее, чем остальные, или группа ждущих пассажиров сама по себе большая, то увеличивается время, за которое автобус доедет до следующей остановки для сбора пассажиров, а значит, их станет больше. Потом когда автобус наконец приезжает на эту следующую остановку, все эти люди еще дольше садятся в автобус, а это значит, что на следующей остановке также будет больше людей. Этот процесс в сущности только становится хуже.

В это время автобус, который едет за отстающим автобусом, подъезжает на остановку и видит, что там его ждет очень мало пассажиров. Это потому, что большая часть уехала на предыдущем автобусе (отстающем). Так как ждущих пассажиров меньше, автобусу не надо долго ждать, пока все в него сядут. Поэтому он может трогаться сравнительно быстро, тем самым уменьшается время до прибытия на следующую остановку. И пока отстающий автобус едет все медленнее и медленнее, следующий автобус едет все быстрее и быстрее. В конце концов, этот автобус догоняет отстающий автобус, и они оба продолжают ехать по маршруту вместе (если только отстающий автобус не решит проезжать остановки, чтобы увеличить расстояние между ними).

Скопление автобусов – это пример теории хаоса, раздела математики, который изучает, как небольшие изменения при первоначальных условиях могут привести к непредсказуемым результатам в конечном итоге. В этом случае небольшие изменения во времени, которое люди тратят на посадку в автобус, значительно влияют на позицию автобуса в сравнении с другими автобусами этого маршрута.

Если вы слышали что-либо о теории хаоса, тогда вы, скорее всего, слышали и об эффекте бабочки. Впервые это понятие ввел математик Эдвард Лоренц в 1960-х. Он изучал погодные факторы и заметил, что маленькие отклонения в данных, которые вносят в модель прогнозирования погоды, имеют совершенно разные результаты. Согласно эффекту бабочки, ввод такой маленькой информации, как взмах крыла бабочки, может привести к такому резкому отклонению, как ураган.

Вы любите азартные игры? Если любите, тогда вы могли сталкиваться с математикой, сами того не ведая, в форме ошибки игрока.

Давайте представим, что вы кидаете кости. Каждая игральная кость имеет шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – поэтому вероятность выпадения каждой цифры равна 1:6. Допустим, что вы бросили кость десять раз. И представим, что у вас выпали следующие результаты:

Обычно люди думают, что если цифра шесть еще не выпала, то вероятность ее выпадения в следующий раз выше, чем если бы она выпала, допустим, три раза во время предыдущих десяти попыток. «У меня еще не было шести, – кто-то может подумать про себя, – поэтому она выпадет в ближайшие попытки». Но на самом деле вероятность выпадения цифры шесть ничем не отличается от вероятности ее выпадения во время первых десяти попыток. Ошибка – это логический ход мысли, она кроется в мысли, что предыдущие попытки влияют на будущие. Даже если вы бросили кость сто раз, и цифра шесть так и не выпала, то вероятность ее выпадения в следующих ста попытках все равно остается 1:6.

Ошибку игрока еще называют ложным выводом Монте-Карло, это название, возможно, возникло в один из вечеров в казино Монте-Карло в августе 1913 года. В ту ночь в рулетке выпал черный цвет 26 раз подряд. В ходе игры все больше и больше игроков ставили на красный, так как были уверены, что чем больше раз выпадает черный, тем выше вероятность выпадения красного. Но, естественно, вероятность выпадения черного или красного не зависит от количества игр. Согласно вероятности выпадения, каждое новое вращение рулетки является первым.

Математики и статистики иногда описывают ошибку игрока как веру в то, что неодушевленные предметы – такие, как рулетка или игральные кости – имеют память. Такая вера выливается в убеждение, что, зная свое «поведение» в прошлом, неодушевленные предметы могут приспособить свое будущее «поведение» согласно этому. Но, естественно у этих предметов нет памяти; каждое вращение рулетки или бросок костей абсолютно независимы (в случае, если оборудование не настраивали специальным образом). Поэтому имейте это в виду, когда решите делать на что-то ставки!

Другим примером ошибки является переход на личности, в котором характер человека берется как доказательство за или против какого-либо утверждения, когда как в реальности характер человека для истинности этого утверждения не имеет никакого значения. Например, допустим, что вы и другой человек спорили насчет смертной казни, и каждый из вас пытался доказать общему другу свою правоту. Представим, что ваш оппонент по спору недавно изменил жене. Если вы бы сказали третьему лицу: «Ты не должен всерьез воспринимать моего оппонента, так как он нарушил супружескую верность», – то вы бы совершили ошибку, перейдя на личности. Личная жизнь вашего оппонента никак не зависит от верности его аргументов.

Во время трансляции награды Американской киноакадемии друзья и члены семьи собираются около телевизора в ожидании конца премии, чтобы узнать, кто же выиграл в номинации «Лучший фильм года». Но как именно академия решает, кто выиграет? Оказывается, в процессе участвует математика в форме процедуры, которая называется рейтинговым голосованием.

Большинство людей знакомы с этим видом голосования: вы получаете список кандидатов и отмечаете имя того человека, которого хотели бы видеть победителем. Давайте представим, что это выборы президента. Официальное лицо просматривает бюллетени, подсчитывает голоса и определяет, кто набрал большее количество. Этот человек и становится президентом.

В рейтинговом голосовании голосующие ставят отметки у каждого имени в списке, а не только отмечают того, кто, по их мнению, должен выиграть. Если в списке пять имен, то голосующий ставит 1 тому человеку, которого он хотел бы видеть победителем, затем 2, кого он бы поставил на второе место, и так далее до пяти. Когда избирательная комиссия садится изучать бюллетени, она делает стопки для каждого из пяти кандидатов. Все бюллетени, на которых кандидат А находится на первом месте, помещаются в стопку кандидата А, все бюллетени, на которых на первом месте находится кандидат Б, идут в стопку кандидата Б, и так далее. Если одна из стопок набирает более 50 % голосов, то этот человек выигрывает. Если нет, то кандидат с наименьшим количеством голосов выбывает. Но процесс продолжается! Избирательная комиссия вновь просматривает бюллетени, теперь они смотрят на второе место в каждом бюллетени, и процесс повторяется. Все бюллетени, на которых кандидат А стоит на втором месте, собираются в стопку кандидата А, и так далее. Как и ранее, кандидат, набравший наименьшее количество голосов, выбывает из борьбы. Этот процесс повторяется с третьим и четвертым местами и ниже, пока один из кандидатов не наберет более 50 % голосов в стопке. Голосование не всегда такое простое, как кажется.

Числа управляют Оскаром. С момента первой церемонии награждения Американской киноакадемии в 1929 году было выдано более трех тысяч статуэток. Спонсор мероприятия, Академия кинематографических искусств и наук, имеет примерно 6000 членов. А фильмами с наибольшим количеством номинаций являются «Все о Еве» и «Титаник», у каждого фильма было по 14 номинаций.

Классический случай, где появляется математика – разгар ливня с ураганом. Допустим, что вы попали под ливень и у вас нет с собой зонта. Что вы должны сделать, чтобы как можно меньше намокнуть? Стоять без движений, конечно, не вариант. Вы просто промокнете до нитки. Кажется, что двумя самыми реалистичными вариантами будут пойти или бежать до ближайшего укрытия. Если вы пойдете, то кажется, что вы промокнете больше, так как дольше будете находиться под дождем. А если побежите, то промокнете больше, так как столкнетесь с большим количеством капель во время бега. Каков же ответ?

Математика поможет нам разобраться. Для начала давайте переформулируем проблему, чтобы нам было легче с ней справиться. Во-первых, вместо реального человека представьте человека в виде трехмерного прямоугольника (как огромный кирпич). Во-вторых, представьте, что дождь льет с постоянной интенсивностью, то есть нет внезапных сильных потоков дождя и перебоев. В-третьих, поставим условие, что дождь идет прямо, то есть под прямым углом относительно земли. Теперь у нас замечательные простые условия, с помощью которых мы можем решить эту задачу.

Давайте определим, сколько дождя – какой объем дождя, если быть точнее – упадет на голову человека-кирпича (которая является плоской поверхностью). Так как мы знаем, что дождь падает под прямым углом с постоянной интенсивностью, то по мере того, как человек-кирпич будет идти или бежать вперед, дождь будет падать на поверхность с постоянной интенсивностью. У этой постоянной интенсивности есть удивительное последствие: неважно, бежит ли человек или идет, он будет двигаться под одинаковым количеством дождя. Вы можете представить эти объемы дождя так, же в виде трехмерных прямоугольников: прямоугольник дождя, который падает на стоящего человека, выглядит как обычный прямоугольник; прямоугольник дождя, который падает на идущего или бегущего человека, будет косым. Но – и это решающая часть – объемы обычного и косого прямоугольников одинаковы. (Посчитайте объем трехмерного параллелограмма, а правильнее будет назвать его параллелепипедом, умножив длину на высоту и на ширину.) И так как поверхность человека всегда остается одинаковой (как и объем идущего дождя), объем воды, с которым человек сталкивается во время ходьбы или бега, одинаковый.

Если бы мы хотели узнать общий объем воды, который вылился на человека во время ливня, мы могли бы написать следующее уравнение:

Общий объем = [время, проведенное под дождем × скорость дождя] + [расстояние до убежища × скорость дождя]

Так как расстояние между вами и убежищем не меняется, единственным способом намокнуть по минимуму – это провести под дождем как можно меньше времени. А добиться этого можно, только если бежать как можно быстрее.

Алессандро де Анджелис, физик из Университета в Удине в Италии, установил, что если человек бежит, а не идет во время ливня с неизменными переменными, то он останется более сухим на 10 %. Итак, в 1987 году в Европейском журнале физики было опубликовано исследование, в котором он сделал вывод, что лучше идти и не тратить лишнюю энергию, так как разница была не очень очевидной.

Покупки в магазине могут быть полны всякого рода раздражений. Чья-то тележка может загораживать прилавок. Ваши любимые хлопья могли закончиться. И где найти хумус?

Но самым худшим раздражением, которое может закрасться вам в самую душу и начать отравлять весь ваш организм, является ожидание в очереди на кассу. И вот вы стоите с тележкой, полной колбасы, макарон и яблок, и перед вами выбор самой быстрой, по вашему мнению, кассы. Но как только вы делаете выбор, очередь, как вам кажется, перестает двигаться благодаря одному покупателю, который ищет мелочь. Теперь все другие очереди движутся быстрее вашей. И почему вам всегда кажется, что очередь, которую выбрали вы, никогда не является самой быстрой?

Есть раздел математики, который как раз занимается этим вопросом. Он называется теорией очередей и берет свое начало в Копенгагене в первой декаде XX века. Инженер и математик Агнер Краруп Эрланг пытался выяснить минимальное количество телефонных линий, необходимых в городе, чтобы проходило большинство звонков. (В этот исторический период соединение осуществлялось людьми, которые вставляли разъем в отверстие для каждого звонка.) Телефонные компании хотели избежать приобретения слишком маленького количества телефонных линий, что могло вызвать задержки, если много человек совершали звонки в одно время, или слишком большого количества телефонных линий, что значило бы, что компания заплатила за оборудование, которое ей не нужно.

Имя Эрланга навсегда связано с телефонией: эрланг – это единица телефонной нагрузки или телекоммуникационного трафика, используемая для определения объема трафика. Его открытия применяются и за пределами телефонных сетей, включая дорожное дело, Интернет и строительство фабрик.

Но вы, скорее всего, сталкивались с теорией очередей во время выполнения своих дел. Математики обнаружили, что если посетители формируют извилистую очередь в форме «змейки» и их посылают на следующую освободившуюся кассу, то время ожидания может быть радикальным образом сокращено. (Такой вид очереди можно встретить в некоторых банках, когда люди ждут своей очереди к кассиру, или в некоторых магазинах.) В отличие от традиционной очереди, в которой один медлительный человек или кассир может задержать всю очередь, очередь в форме «змейки» обеспечивает минимальное время ожидания, так как медлительный человек все еще может тянуть время на кассе, но в это время другие посетители могут проходить на другие кассы. Задержки неизбежны, но в целом последствия будут не такими плохими.

Когда перед человеком встает выбор – очередь справа или очередь слева, – некоторые считают, что левый маршрут будет быстрее. Это потому, что у 90 % населения основная рука – правая, поэтому они инстинктивно идут направо. Это могут быть выдумки, но если вы стоите в очереди в парке развлечений, то стоит попробовать пойти в левую очередь.

Если вы видели фильм 1982 года «Бегущий по лезвию», вы помните эту сцену, где мужчина сидит за столом и сквозь облако сигаретного дыма пытается понять, кто сидит за другим концом стола: мужчина или робот. Кажется, эту идею – тест на наличие сознания – можно найти лишь в научной фантастике XX века, но, по правде говоря, она существует вот уже сотни лет. Рене Декарт упоминает ее в своей книге «Рассуждение о методе» (1637), где он утверждает, что если перед вами машина, которая выглядит и ведет себя как человек, вы все равно сможете отличить, что он ненастоящий.

1. Во-первых, машина не сможет убедительно говорить во многих ситуациях, то есть, другими словами, она никогда не сможет выйти за рамки запрограммированной речи.

2. Во-вторых, она никогда не сможет вести себя универсальным способом. (Декарт имеет в виду, что машины обычно специализируются на одной задаче, например сварке или печати. А так как они создаются для ограниченного числа целей, у них нет способности взаимодействовать с миром творчески и спонтанно.)

Однако самый подробный пример процедуры, которая могла отличить машину от живого существа, обладающего разумом, был представлен в 1950 году в работе Алана Тьюринга, британского математика и криптографа, который во время Второй мировой войны взломал код немецкой шифровальной машины «Энигма». Его работа «Вычислительные машины и разум» содержала тест, который помог бы ответить на вопрос: «Может ли машина обладать разумом?»

Так как трудно точно определить, что есть мысль и что включает в себя размышление, Тьюринг предложил другой путь в решении проблемы. Его тест, который сначала назывался «Игра в имитацию», определяет вместо этого, может ли машина обмануть человека так, чтобы тот подумал, что разговаривает с машиной. В этой игре ведущий беседу человек сидит в одной комнате, а в двух других сидят машина (скажем, что это компьютер) и другой человек. Ведущий беседу человек может посылать сообщения в текстовой форме и компьютеру, и человеку. И компьютер, и человек могут отвечать ему. Задача спрашивающего – выяснить, кто из них человек, а кто машина. Если он за одну треть времени не может определить правильно, где машина, а где человек, то машина проходит этот тест. Согласно Тьюрингу, если машина проходит тест, то справедливо утверждать, что она обладает интеллектом. (В конце концов, не через умение ли общаться мы определяем, что другие люди обладают разумом?)

Тест Тьюринга потрясающий, потому что он бросает вызов тому, что, по мнению большинства людей, влечет за собой мышление. Большинство людей скажет, что мышление происходит внутри чьего-либо мозга, что это скрытое действие, которое всегда невидимо для других людей. Но тест Тьюринга утверждает, что нам не нужен доступ к чьему-либо внутреннему миру, чтобы узнать, есть ли там разум.

Вопросы, которые задаются во время теста Тьюринга, не должны быть особенно сложными и глубокими. Обыденные и даже скучные вопросы тоже отлично подойдут. Например, недавно тест Тьюринга провели в Университете Рединга в Великобритании, компьютер спросили, какая была в тот день погода, какой у него был самый любимый предмет в школе и любит ли он футбол.

Однако тест поднимает больше вопросов, чем дает ответов. Неужели прохождение теста действительно говорит о наличии интеллекта или это просто показывает, что компьютерная программа успешно имитировала человека? Доказывает ли это, что эта программа – нечто большее, чем чисто механическая перестановка символов? И если мы утверждаем, что все, что происходит, – это переход электронов с одного места на другое, и за этим процессом нет ничего похожего на разум, как мы можем быть уверены, что то же самое не происходит внутри мозга человека?

Даже сегодня тест Тьюринга не потерял свою привлекательность. Тесты Тьюринга проводят каждый год; в 2014 году в России виртуальный собеседник Женя Густман прошел его, убедив 33 % судей, что он человек. Однако некоторые люди оспаривают эту победу: Женя был создан, чтобы имитировать 13-летнего мальчика из Украины, который выучил английский как второй язык.

Несмотря на достижения и в военное время, и в мирное, с Тьюрингом очень жестоко обошлись в Великобритании. Узнав о гомосексуализме Тьюринга – а это было уголовным преступлением в то время, – британское правительство арестовало его в 1952 году. Так как считалось, что гомосексуалистов могут шантажировать, его допуск к засекреченной информации был отозван, и ему предложили выбрать между тюремным заключением и инъекциями эстрогена, которые подавляли либидо. Он выбрал инъекции. Возможно, из-за того, как относилось к нему правительство, в 1954 году Тьюринг покончил жизнь самоубийством.

Тест Тьюринга показал возможности цифрового компьютера, который мог выполнять математические операции, используя чисто математические средства (см. главу 3.14). Цифровые компьютеры, конечно, являются прототипом сегодняшних ноутбуков и смартфонов, которые могут не только умножать, вычитать и прибавлять, но и выполнять сложные программы, такие, как Facebook и разного рода браузеры. Поэтому Тьюринг и его идеи помогли создать область искусственного интеллекта, которая находит отклик в научной фантастике и инженерных отделах по всей стране.

Недавно Алан Тьюринг проник в умы людей новым способом. В 2014 году вышел фильм «Игра в имитацию», который рассказал о нем. В главной роли снялся Бенедикт Камбербэтч, в фильме показан период, когда Тьюринг пытался расшифровать код «Энигмы» во время Второй мировой войны. В фильме показано, как он взломал код с помощью предшественника современного компьютера. Специальная техника, которой он пользовался, стала известна миру благодаря недавнему разглашению рассекреченных документов.

Если вы плывете на лодке в открытом океане, как вы определите, где находитесь? Чтобы усложнить задачу, давайте исключим использование GPS или всего, что связано с электричеством. (Google-картами пользоваться нельзя.) Проблема кажется непреодолимой, но мореплаватели веками определяют свое месторасположение, поэтому мы знаем, что это возможно. В чем секрет?

Ответ кроется в углах и геометрии. Для начала давайте вспомним, что делает этот вид навигации возможным. Если вы видели глобус, то знаете о линиях, которые его пересекают. Некоторые из них горизонтальные и располагаются над и под экватором (линия, которая опоясывает глобус по центру). Эти линии известны как линии широты. Другие линии вертикальны; они пересекают север и юг и пересекаются на Южном и Северном полюсах. Они известны как линии долготы. Чтобы узнать линию долготы, вам понадобятся часы, но нам интересно узнать широту. Это навигационный узел, который развязывается с помощью математики.

Решающим моментом будет осознание, что позиция солнца в полдень в любой день года зависит от вашей настоящей линии широты. Чем ближе вы к экватору, тем больше полуденное солнце приближается к углу в 90 градусов над вами. Чем дальше вы двигаетесь на Северный или Южный полюс, тем больше угол уменьшается, другими словами, когда вы отправляетесь на юг или на север, солнце появляется все ниже и ниже в облаках. Вы также можете применить эти принципы в обратном направлении. Если вы можете определить угол полуденного солнца относительно вас, то сможете узнать, на какой широте находитесь.

Вычисление этих углов – это работа секстанта, ручного измерительного инструмента, который выглядит как металлический кусок пирога со всякими прикрепленными к нему штуковинами. Одной из этих штуковин является зрительная труба. Чтобы воспользоваться секстантом, нужно посмотреть в трубу на небесное тело, например на луну, звезду или солнце (через фильтр, естественно). Изображение появляется на двух зеркалах. Потом вы двигаете алидаду, металлическую деталь, которая скользит по краю этого «пирога», пока изображение небесного тела на одном из зеркал не касается горизонта. На этом этапе вы смотрите на ту часть «куска пирога», на которой отмечены углы. Алидада будет указывать на угол. Этот угол может быть использован, чтобы определить широту, на которой вы находитесь.

Предположим, что 21 июня 2015 года вы отплыли на лодке от берега острова Рождества, австралийской территории около Индонезии в Индийском океане. Используя секстант, вы сможете определить, что солнце на 66 градусов выше горизонта. С помощью этой информации вы можете определить, что широта равна 10,48 градуса в Южном полушарии.

По существу, вы используете тригонометрию, которая изучает свойства треугольников, включая их углы, чтобы определить свое местоположение.

Если вы думали, что геометрия не имеет никакого отношения к вашей повседневной жизни, подумайте еще раз, особенно если вы окажетесь на лодке без электронных помощников посреди океана!

Первый настоящий секстант был изобретен Джоном Кэмпбеллом в 1757 году и был впервые использован по максимуму, включая и определение времени, исследователем капитаном Куком в 1768 году, когда он отправился в Новую Зеландию, чтобы нанести ее на карту.

Если у вас когда-либо были соседи по комнате, то вы знакомы с непростой задачей, стоящей перед тремя или четырьмя людьми, которым нужно поделить аренду дома или квартиры. Справедливо посчитать, кто сколько должен заплатить, может быть сложнее, чем это кажется. Задача трудная, так как комнаты очень часто отличаются друг от друга – например, в некоторых больше ламп, а в других больше пространства – и каждый человек может оценивать любой аспект по-разному. Как разделить комнаты и аренду, чтобы каждый остался доволен, а не завидовал соседу?

Эти проблемы попадают под категорию справедливого дележа и свойственны многим областям, включая математику, экономику, право и политику; справедливый дележ занимается разделением товаров так, чтобы каждая сторона получила справедливую долю. Разделение должно также происходить таким образом, чтобы ни одна сторона не захотела поменять свою долю товара на другую. Примеры справедливого дележа можно наблюдать при разводах, на аукционах и даже на войне.

В 1999 году Френсис Су, профессор математики из колледжа Харви Мадд, опубликовал исследование, в котором объяснил, как решить проблему справедливого дележа, используя лемму Шпернера, теорему, затрагивающую раздел математики, известный как комбинаторика (см. главу 1.26). Изначально лемма затрагивает треугольники. Возьмите треугольник и разделите его внутри на маленькие треугольники. Вы можете разделить его на любое количество треугольников; просто убедитесь, что они плотно прилегают друг к другу и между ними нет свободного пространства. Дальше обозначьте вершины большого треугольника цифрами 1, 2 и 3 так, чтобы каждая вершина была обозначена разными цифрами. На этом этапе заметьте, что углы некоторых треугольников меньшего размера касаются как минимум одной стороны большого треугольника. На каждом угле напишите цифру. На стороне между вершинами 1 и 2 отметьте каждый угол меньших треугольников 1 или 2. (Какую цифру вы поставите, зависит только от вас.) На стороне между вершинами 2 и 3 отметьте каждый угол 2 или 3, а на стороне между углами 3 и 1 отметьте каждый угол 3 или 1. Что касается углов внутри большого треугольника, вы можете отметить их цифрами 1, 2 и 3 в любом порядке. Лемма Шпернера утверждает, что там должен быть хотя бы один маленький треугольник с вершинами 1, 2 и 3. Их может быть больше чем один, но их всегда будет нечетное число.

Когда лемму Шпернера применяют при дележе аренды, цифры заменяются буквами, которые обозначают имя каждого арендатора, а каждый треугольник, большой и маленький, представляет разное распределение аренды. Согласно лемме, существует такое распределение аренды, которое удовлетворит каждого жильца настолько, что он не будет завидовать ничьей комнате или доле аренды. Другими словами, так как в большом треугольнике есть маленький треугольник с вершинами 1, 2 и 3, то есть и способ распределить комнаты и аренду так, чтобы все были счастливы.

Лемма Шпернера – это пример математической находки, которая может показаться абстрактной и неприменимой в повседневной жизни, но на самом деле может помочь людям решить проблему быстро и эффективно.

Особый пример справедливого дележа возник после Второй мировой войны, когда члены антифашистской коалиции пытались выяснить, что делать с Берлином. В итоге они поделили город на четыре секции. Секции США, Великобритании и Франции сформировали Западный Берлин, а секция СССР сформировала Восточный Берлин.

В следующий раз, когда вы окажетесь на чьем-либо дне рождения, подумайте, что такое простое действо, как разрезание торта, породило огромное количество математических мыслей. Как можно убедиться, что каждый гость был доволен куском, который ему отрезали, и, более того, не хотел ничей кусок больше, чем свой собственный? Задача становится сложнее, когда приходит понимание, что не всем может понравиться один и тот же кусок торта: некоторые любят больше крема; другие его вовсе не любят. Одни хотят цветочек на своем куске, другие хотят буквы. Математики попытались ответить на вопрос, есть ли способ разделить торт так, чтобы каждый человек остался доволен своим куском. На самом деле, идеальный метод разрезания торта между двумя людьми должен отвечать трем критериям:

1. Ни один уже получивший кусок торта человек не хочет вместо него кусок, принадлежащий другому человеку. Тогда такое разделение не будет вызывать зависти.

2. Будет невозможно сделать кого-то счастливее, чем они уже есть, и при этом не расстроить никого другого. Это условие называется результативностью.

3. Разделение должно быть справедливым, то есть каждый человек должен видеть, что все куски имеют одинаковую ценность. (Например, если торт делили три человека, и каждый из них любил цветы из крема, они бы увидели, что разделили справедливо, если бы на каждом куске был цветок.)

В 2014 году два исследователя, Джулиус Барбанель из Юнион-колледжа и Стивен Брамс из Нью-Йоркского университета, опубликовали алгоритм в журнале The Mathematical Intelligencer, который, по их утверждению, отвечает всем трем критериям, результатом чего является идеальное разрезание торта на доли. (Однако их метод предполагает, что торт делят всего лишь два человека.) Алгоритм берет во внимание тот факт, что торт «гетерогенный», то есть он имеет разные части, которые два человека ценят по-разному. Один человек, например, может любить большое количество крема на внешнем крае торта, а другому больше нравится тесто, нежели крем. Кроме того, этот метод зависит от третьей стороны, которая выступает в качестве судьи. Наконец, в алгоритме упоминается функция плотности вероятности, которая является просто математическим способом представления предпочтений людьми разных частей торта.

В первом шаге алгоритма каждый человек представляет свою функцию плотности вероятности, или ФПВ, судье. (Судья может принимать различные формы: компьютер, старшая сестра, прохожий на улице или родители.) Судья отмечает на торте все места, где ФПВ пересекаются; другими словами, где пересекаются предпочтения каждого человека. Судья назначает порции согласно этим предпочтениям, и если на этом этапе каждый человек получает куски одинакового размера, алгоритм останавливается, и все начинают есть. Например, скажем, что человек А любит шоколадный торт, а человек Б любит ванильный. Если торт поделен пополам двумя разными вкусами, то судья просто может разрезать торт по демаркационной линии и дать каждому человеку кусок, который ему больше нравится. Но если торт разделен не поровну, то человек с большим куском отдает часть своей доли другому человеку, начиная с того места, где степень его предпочтений является наименьшей. Этот процесс продолжается, пока объем порции каждого человека не станет одинаковым.

Помимо метода Брамса – Барбанеля, который помогает двум людям справедливо поделить торт, существует другой, более общий метод, который может помочь неограниченному количеству людей разделить торт на неограниченное количество кусков. Этот метод изобрели Брамс и другой математик, Алан Тейлор, он был опубликован в январе 1995 года в выпуске журнала American Mathematical Monthly. Этот общий метод несколько сложный, но суть в том, что после того, как торт был порезан человеком А, человек Б может обрезать некоторые куски, чтобы сделать их более одинаковыми, если он чувствует, что человек А несправедливо порезал торт. Затем человек В может обрезать куски, потом человек Г и так далее. Кроме того, этот метод обеспечивает наличие лишних кусков торта, поэтому если кто-то почувствует себя обманутым, они всегда смогут выбрать один из оставшихся кусков, который будет такого размера, каким бы его хотели видеть.

Справедливый дележ предполагает аддитивную полезность. Другими словами, если я люблю немного крема, тогда я полюблю и много крема; чем больше, тем лучше. С другой стороны, если удовольствие, которое я получил от поедания крема, было не аддитивным – другими словами, если бы оно было неаддитивной полезностью, – значит, после определенного количества сахарных вкусностей я не продолжу становиться счастливее. Исследования показали, что справедливый дележ не работает в ситуациях, связанных с неаддитивной полезностью.

Когда вы получаете посылку от курьерской службы UPS, вы можете подумать, что математика не имеет никакого отношения в процессе ее доставки к вашей двери. Но на самом деле математика играет важную роль в том, как работники в грузовиках доставляют посылки.

В самом сердце операций UPS лежит процесс определения кратчайшего маршрута, который выберет водитель. У UPS есть примерно 96 000 транспортных средств, среди которых можно найти как машины, фургоны, мотоциклы, так и средства с альтернативными видами топлива, и каждый водитель посещает в среднем 150 пунктов назначений каждый день. Увеличение маршрута водителем хотя бы на одну милю будет стоить компании миллионы долларов в год. Поэтому у них есть огромный стимул сделать маршрут как можно короче и эффективнее.

Такая проблема – нахождение лучшего маршрута – хорошо известна математикам, которые называют ее задачей коммивояжера. Название было придумано, когда была распространена торговля «от двери до двери»; коммивояжер должен был посетить определенное количество домов за один день, поэтому ему было необходимо продумать маршрут, который позволит обойти их за наименьшее количество времени. Задача коммивояжера является сложной для решения, так как нужно принимать во внимание огромное количество факторов. Например, если водитель запланировал объехать 25 мест назначений в один день, то количество возможных маршрутов достигает 15 триллионов вариантов. Но благодаря компьютерным алгоритмам – набору инструкций, служащих определенной цели, – UPS может снизить число возможных маршрутов за короткий срок.

Усилия UPS в улучшении алгоритмов дали свои плоды в 2000-х, когда они создали компьютерную программу ORION (комплексная оптимизация и навигация на дороге). Математические вычисления программы ORION сэкономили их водителям миллионы миль в год. Вы можете сделать это и сами, если вам нужно выполнить ряд заданий, мысленно вы продумываете наиболее эффективный маршрут, чтобы минимизировать время и энергозатраты, например, чтобы дважды не возвращаться в одно и то же место или не попасть в пробку в час пик.

Эта проблема появилась и на больших экранах. В 2012 году вышел фильм, рассказывающий о четырех математиках, перед которыми стоит вопрос: давать ли военному ведомству США решение о равенстве классов сложности P и NP (см. главу 3.17), зная что обнародование их работы будет нести моральные последствия, как только военные получат решение, они смогут взломать любой код в мире и получат беспрецедентную власть.

В сущности, алгоритм – это набор инструкций, который говорит вам, как достичь определенной цели за ограниченное число шагов. В теории алгоритмы не ограничены сферами математики и компьютеров. Если вы хотите смастерить скворечник, вам нужно следовать определенному набору инструкций. Если вы хотите сделать чашку на гончарном круге, вам опять же нужно будет следовать набору инструкций. Каждый из таких наборов инструкций является алгоритмом.

Вы наверняка знакомы с алгоритмами лучше, чем можете себе представить. В начальной школе, когда вы учились делить числа и складывать дроби, вы учились алгоритмам. Вы также учились алгоритмам, когда изучали последовательности действий при решении примеров (начать вычисления нужно всегда с того, что находится в скобках, а потом умножать, делить, прибавлять и вычитать). Другими словами, когда вы пытаетесь посчитать чаевые официанту в ресторане или сложить числа на салфетке, вы используете алгоритм.

Алгоритмы особенно важны в повседневном использовании Интернета. Если вы активный пользователь сети, вы сталкиваетесь с алгоритмами постоянно. Например, когда заказываете фильм, который вам порекомендовал Netflix, вы пользуетесь вычислительной мощностью алгоритма. Когда вы ищете слово в Google, определяете свои музыкальные предпочтения в Pandora, ставя лайки и дислайки песням, или ищете что-то на Amazon, алгоритмы обогащают ваш опыт в работе онлайн, соотнося то, что вам нравится и не нравится. С этой информацией сайты и программы могут предложить вам особые варианты, основываясь на ваших предпочтениях.

В 2006 году Netflix организовал соревнование, чтобы улучшить свой алгоритм по рекомендациям на 10 %, главный приз размером в 1 миллион долларов получила команда BellKor’sPragmatic Chaos. Ключом к победе стало то, что они предсказывали фильмы, которые понравятся людям, основываясь на разной информации, а потом сравнивали эти предсказания с оценками, которые зрители действительно в дальнейшем ставили фильмам. А рекомендации много значат для Netflix.

Некоторые примеры математического мышления, такие, как парадокс дней рождения (см. главу 3.20), являются странными и нелогичными, но другие являются настолько ненормальными, что даже профессиональные математики с трудом верят в их подлинность. Одним из таких примеров является парадокс Монти Холла, названный в честь ведущего телешоу Let’s make a deal. Решение этой проблемы настолько удивительное, что даже после тщательного объяснения большинство людей будут чувствовать, что оно не может быть верным. В какой-то степени это математический эквивалент квантовой механики (область физики, которая изучает мельчайшие компоненты веществ): странный, в него трудно поверить, но он является верным.

В передаче ведущий предлагает игроку три двери. За одной из них находится новая машина; за двумя оставшимися – коза (или что-либо другое, не такое классное, как машина). Ведущий просит игрока выбрать дверь, за которой, по его мнению, находится машина. Потом, не открывая эту дверь, ведущий открывает другую дверь, показывая козу. Теперь игрок может изменить свой изначальный выбор. Вопрос состоит в том, стоит ли игроку придерживаться первоначального выбора или выбрать другую дверь.

Ответ: игрок всегда должен выбирать другую дверь. В начале игры вероятность выбора двери с машиной равна 1 к 3, но выбор другой двери на этом этапе удваивает шансы до 2 к 3. Как это возможно? Большинство людей считает, что изменение решения не имеет значения: после того, как ведущий открывает дверь, показывая одну из двух коз, шансы на выигрыш теперь составляют 1 к 2, так как одна дверь теперь прячет машину, а другая – вторую козу.

Но это убеждение не является правильным. Вы поймете почему, если возьмете лист бумаги и напишете все возможные варианты. Суть в том, что ведущий всегда открывает дверь, за которой находится коза. (Он никогда не откроет дверь, за которой прячется машина, иначе он испортит всю игру!) Теперь без опоры на нашу интуицию давайте выясним возможные перестановки:

• Вариант 1: Игрок выбирает дверь с козой № 1. Ведущий открывает дверь с козой № 2. Первоначальный выбор приведет к козе № 1, изменение решения приведет к машине.

• Вариант 2: Игрок выбирает дверь с козой № 2. Ведущий открывает дверь с козой № 1. Первоначальный выбор приведет к козе, изменение решения приведет к машине.

• Вариант 3: Игрок выбирает дверь с машиной. Ведущий открывает дверь с козой № 1 или козой № 2. Первоначальный выбор приведет к машине, изменение решения приведет к козе.

Итак, из этих трех вариантов можно сделать вывод, что в 2 из 3 случаев изменение решения ведет к машине. Результат абсолютно нелогичный, но абсолютно верный. Такова сила математики.

Похожей проблемой является коробка Бертрана, названная в честь Джозефа Бертрана, который написал о ней в книге, вышедшей в 1889 году. Представьте три коробки: одна с двумя золотыми монетами; одна с двумя серебряными монетами; и одна с одной золотой и одной серебряной монетами. Теперь выберите одну любую коробку и любую монету. Если она золотая, то какова вероятность того, что вторая монета тоже будет золотой? Вы можете подумать, что шансы составляют 1 к 2, но на самом деле 2 к 3.

Когда вы думаете о жонглировании, вам, наверное, приходят на ум клоуны на днях рождения или цирк. Но вы, может быть, не знаете, что жонглирование стало темой для математических размышлений, одержимостью для людей, интересующихся головоломками и схемами. И как и математика, жонглирование обладает своей собственной нотацией.

Жонглерская нотация была создана независимо друг от друга жонглерами из Калифорнийского технологического института, Кембриджского университета и Калифорнийского университета в Санта-Круз в 1980-х. В жонглерской нотации каждому броску присваивается число. Нечетное число значит, что объект – скажем, мяч – подбрасывается одной рукой, а ловится другой, а четное число значит, что мяч остается в одной руке. Величина числа тоже очень важна: чем больше число, тем выше мяч подбрасывается в воздух. В броске с нотацией 3, например, мяч взлетит на уровне лица и в процессе перекинется на другую руку. В броске с нотацией 2 мяч взлетит на несколько сантиметров и будет пойман той же рукой. Страстные любители жонглирования могут делиться своими программами, записывая их с помощью жонглерской нотации, и могут использовать нотации других людей, чтобы попробовать новые конфигурации. Жонглеры также поняли, что нотация также отображает количество мячей, необходимых для той или иной программы. Количество мячей равно среднему числу всех чисел в нотации, таким образом, для программы 5551 вам понадобятся четыре мяча.

Жонглированием увлекался и Клод Шеннон, которого считают отцом теории информации. На самом деле Шеннон создал уравнение жонглирования: (F + D)H = (V + D) N (F – это время, которое мяч находится в воздухе, D – сколько мяч находится в руке, Н – количество рук, V – сколько рука остается пустой и N – количество жонглируемых мячей). А еще с помощью деталей конструктора Шеннон построил машину, в которой маленькие металлические мячи отскакивали от натянутой мембраны. В самом деле, клоуны и цирк!

Согласно Книге рекордов Гиннесса, рекорд по жонглированию наибольшим количеством мячей принадлежит Алексу Баррону из Великобритании. 3 апреля 2012 года восемнадцатилетнему молодому человеку удалось жонглировать одиннадцатью мячами и ловить их 23 раза подряд.

Математика не занимается лишь свойствами чисел. Некоторые области математики также пытаются изучить человеческое поведение, особенно то, как люди взаимодействуют друг с другом. Одной из таких областей является теория игр.

Теория игр была впервые представлена Джоном Форбсом Нэшем-младшим, математиком из Принстонского университета, который стал главным героем книги «Прекрасный ум. Жизнь математического гения и нобелевского лауреата Джона Нэша», по которой был снят фильм, вышедший в 2001 году с Расселом Кроу в главной роли. Игры, которые изучают теоретики игр, включают в себя не только шахматы и шашки. Они включают в себя разного рода взаимодействия между людьми, в которых решения, принимаемые одним человеком, зависят от решений, принимаемых другим человеком, включая деловые решения, войны и всякого рода экономические воздействия. Поэтому теория игр включает в себя не только чистые факты и правила, но и психическое состояние игроков, а также то, что каждый игрок думает об этих психических состояниях.

Один центральный элемент теории игр был назван в честь самого Нэша. Он называется равновесием Нэша, этот термин описывает игру, в которой каждый игрок не должен менять свою стратегию, даже если он знает стратегии всех остальных игроков. Другими словами, игра находится в равновесии Нэша, если никто не будет иметь преимуществ и не будет менять стратегии.

Вы, возможно, уже знакомы с примером равновесия Нэша: дилеммой заключенного. В этом случае два человека обвиняются в преступлении, и им грозит, предположим, три года тюрьмы. Но прокурор подозревает, что двое заключенных являются сообщниками, и предлагает каждому из них сделку. (Заключенные не могут никаким образом общаться друг с другом, поэтому они не знают, какое решение примет другой человек.) Если заключенный А признает, что заключенный Б – его сообщник, а заключенный Б не признает, то заключенный А получит один год тюрьмы – смягченный приговор, а заключенный Б получит пять лет тюрьмы. Верным будет и обратное: если заключенный Б признает, что заключенный А – его сообщник, а заключенный А не признает, то заключенный Б получит один год тюрьмы, а заключенный А получит пять лет тюрьмы. Если они оба сознаются, тогда оба получат по два года. Если посмотреть на общую картину, то кажется, что им обоим лучше во всем признаться. Но если каждый из них будет искать лучший выход, не зная, что решит другой, они оба решат ничего не говорить и получить по три года тюрьмы – первоначальный приговор, – хотя они и могли получить смягченный приговор, если бы признались во всем. Оказывается, случай, когда оба заключенных не признаются, соответствует равновесию Нэша, а остальное не соответствует.

Теория игр проникает во все уголки нашей жизни, даже в те, которые, кажется, не связаны с играми и принятием решений. Одним примером является недавнее решение авиакомпании Southwest Airlines позволить людям за дополнительную плату сесть в самолет раньше, чтобы у них точно было свободное место на багажных полках над головой для их сумок. Перед каждым пассажиром стоял одинаковый выбор, так что, решая, заплатить ли лишние деньги, каждый пассажир должен был помнить, что остальные тоже могли это сделать. (Оказывается, что дополнительная плата является наилучшим выбором.)

Возможно, вы видели видео на YouTube, где летит большая стая скворцов, или, может быть, вам посчастливилось наблюдать за ними вживую. В любом случае, вы наверняка были удивлены тем, как каждая птица скоординирована друг с другом, каждый скворец летит синхронно с другими птицами. (Ни один скворец, например, не делает резких поворотов и не сталкивается с соседом.) Вы также, возможно, восхищались тем, как внезапное движение нескольких скворцов с краю передавалось практически в ту же секунду на всю группу, и все скопление парящих тел в перьях, казалось, ведет себя как единый организм.

Такое поведение соответствует принципу безмасштабной корреляции. Когда группа особей организована таким образом, любое движение, сделанное одним, влияет на всех других участников, несмотря на размер группы. В группе скорость и направление одного скворца напрямую влияют только на скорость и направление его ближайших семи соседей, но информация быстро распространяется на всю стаю. Их поведение придерживается статистической модели, которая похожа на то, как намагничивается металл или как ведут себя кристаллы снега перед лавиной. (Недавно команда ученых выяснила, что стаи скворцов соблюдают безмасштабную корреляцию, создав компьютерную модель, которая воссоздала позиции и скорость в трехмерном пространстве настоящих скворцов в стае численностью от 122 до 4268 особей.) И скворцы показывают мастерство координации без лидера, который ведет всех остальных скворцов; вместо этого каждый скворец будто следует простым правилам: «Лети с той же скоростью, что и твой сосед» и «Не столкнись ни с кем». Однако, несмотря на все исследования, никто точно не знает, как скворцы или другие животные, которые обладают таким же групповым поведением, так быстро передают информацию.

Другие животные обладают похожим поведением. Анчоусы, например, плавают большими группами или косяками, которые поворачиваются и меняют направление не хуже скворцов. А косяки анчоусов могут быть огромными: в 2014 году у берегов Сан-Диего был замечен косяк, в котором насчитывалось около 100 млн рыб.

Математика может найти смысл даже в вашем завтраке. Представьте, что вы заказали три пышных американских блинчика в своем любимом кафе, и когда официант приносит их и кладет на стол, вы замечаете, что они разного размера и лежат как попало: самый большой лежит сверху, самый маленький – в середине, а средний в самом низу. Предположим, что вы хотите, чтобы ваши блинчики лежали по порядку, чтобы самый маленький лежал сверху, средний – в центре, а большой – снизу. Давайте также представим, что для того, чтобы переложить блинчики, вам нужно следовать такому правилу: вам нужно взять лопатку, вставить в любое место между блинчиками и перевернуть те блинчики, которые находятся поверх лопатки так, чтобы то, что было сверху, оказалось снизу, а то, что снизу, – сверху. Сколько раз вам придется перевернуть блинчики, чтобы они лежали по порядку, используя эту процедуру?

Если у вас всего три блинчика, то вам понадобится перевернуть их два раза. В первый раз вы вставите лопатку под нижний блинчик и перевернете все три блинчика. Теперь самый большой блинчик будет снизу, самый маленький – в центре, а средний – сверху. На этом этапе вам надо вставить лопатку под самый маленький блинчик и перевернуть его и средний блинчик, тогда они поменяются местами. Теперь они лежат идеально!

Но математики обычно хотят узнать правила на общий случай, в нашем примере это будет стопка блинчиков из любого их количества и расположения. Какое максимальное количество переворачиваний потребуется, чтобы изменить порядок стопки из n-количества блинов? (Математики называют это число Pn, то есть количество блинов.) Pn для трех блинчиков равно трем, и это если рассматривать самое трудное расположение: маленький сверху, большой в центре, а средний снизу. (Математики обычно ищут максимальное число, а не минимальное, так как они хотят найти внешнюю границу.)

Так сложилось, что это очень трудная проблема. Математики нашли Pn, когда в стопке было 19 блинов, оно равно 22, но если блинчиков больше 19, то это число неверно. На самом деле никто не нашел общую формулу, которая выводит максимальное количество переворачиваний, нужных для того, чтобы сложить стопку из n-количества блинов по порядку.

Вторник на Масленой неделе – это время для католиков, когда они могут наслаждаться едой из сахара и масла перед Великим постом, традиционным периодом покаяния.

Логическая ошибка – это ошибка в процессе рассуждения, так что даже если вы начинаете с фактов, вы можете прийти к ложному заключению. Иногда логические ошибки связаны с теорией вероятности, традиционной математической темой. А в некоторых случаях логические ошибки, связанные с теорией вероятности, могут помочь признать виновность человека, подозреваемого в преступлении.

Одной такой ошибкой является ошибка прокурора. Когда человек использует эту ошибку в споре – в данном случае «спор» означает не ссору, а ряд аргументированных утверждений, которые нацелены на обоснование положения, – он пытается установить преимущество определенного возникающего факта. Но в процессе установления этих преимуществ он по ошибке сравнивает факт с неуместным набором событий.

Пример поможет ясно показать внутренние механизмы ошибки прокурора. Известный случай такой ошибки произошел в 1998 году на суде Салли Кларк, британки, чьи два ребенка умерли, когда им было всего несколько недель. Защита утверждала, что обе смерти были вызваны СВДС (синдромом внезапной детской смерти), а обвинение настаивало, что Кларк убила двоих детей. Обвинение построило свои аргументы на вероятности двух смертей от СВДС в одной семье. Так как смерть от СВДС является редким явлением, то два случая в одной семье будут еще более маловероятными. Один свидетель-эксперт, сэр Рой Мэдоус, педиатр, заявил, что шанс двух смертей от СВДС в одной семье равен 1:73 миллионам. Но он допустил две ошибки:

1. Первая состояла в мысли, что смерти не будут иметь какой-либо корреляции, будь то генетической или экологической; вместо этого он сделал расчеты, предполагая, что каждая смерть была абсолютна независима от другой. Но эта ошибка не была примером ошибки прокурора.

2. Ошибка возникла, когда сэр Рой рассчитал вероятность СВДС в одной семье против группы примеров, где и вовсе не было смертей от СВДС, то есть против большей части населения, чьи дети никогда не страдали от синдрома. На самом деле, такое сравнение неуместно.

Сравнение, которое должно было быть произведено, выглядит следующим образом. Из примеров, когда два ребенка в одной семье умирали в детстве, сколько смертей произошло из-за СВДС, сколько из-за убийства, сколько из-за комбинации СВДС и убийства и сколько по другим причинам? Дальнейшие расчеты профессора математики из британского университета Солфорд показали, что двойная смерть от СВДС более вероятна, чем двойное убийство в соотношении 4,5:9.

Что касается суда, то изначально Салли Кларк была признана виновной, но в 2003 году ее оправдали.

Существуют другие ситуации, в которых то, как вы смотрите на доказательства, может исказить выводы, которые вы можете сделать. В ошибке Берксона выборка заставляет человека поверить, что два качества причинно связаны, когда на самом деле это неправда; вместо этого связь заключена в выборке, которая была сделана. Например, определенная группа невысоких женщин может хорошо говорить на испанском, но это не значит, что невысокий рост и знание испанского как-то связаны. Две характеристики могут показаться связанными причиной, но отбор мог быть сделан из местности, где был высокий процент испаноговорящих людей (американский город с большим испаноязычным населением, например, а не маленький городок в Дании, где мало кто говорит по-испански).

Вы всю свою жизнь слушаете прогнозы погоды, но что они значат на самом деле? Когда метеоролог сообщает по телевизору, что завтра возможность выпадения осадков составляет 40 %, что он имеет в виду?

Предсказание погоды включает в себя теорию вероятности, фундаментальный раздел математики. И та часть прогноза погоды, которая предсказывает осадки, носит соответствующее название – вероятность осадков. Но часто люди не понимают, что значат эти 40 %. Это не значит, что дождь (или снег, град) будет идти 40 % времени или на 40 % данной территории. Это значит, что из 10 дней с примерно теми же условиями, что и завтра, осадки выпадут в течение 4 из этих 10 дней. (И наоборот, прогноз утверждает, что в течение 6 из этих 10 дней осадков не будет.)

Значение прогноза можно сделать еще точнее. Согласно Национальной метеорологической службе – федеральному агентству, предоставляющему стране информацию, касающуюся погоды, – 40 % вероятность дождя значит, что существует 4 из 10 шансов, что 0,01 дюйма – 1/100 дюйма – осадков выпадет где-то на территории района прогноза. Национальная метеорологическая служба использует специальную формулу для подсчета вероятности осадков: вероятность осадков = С × А. В этом уравнении С – уверенность в том, что осадки выпадут где-то в районе прогноза, а А – это процентная доля района, в котором выпадут осадки.

Но методы, которые используют для вычисления вероятности осадков, отличаются друг от друга. На телевидении, например, вероятность дождя 40 % означает, что существует 4 шанса из 10, что осадки – не просто 0,01 дюйма – выпадут в районе прогноза, и это включая три часа до или после прогноза. Этот метод гарантирует, что зрители будут обдумывать, взять ли с собой зонт.

Другим методом является ансамблевый прогноз, включающий в себя несколько прогнозов, каждый из которых вероятен и каждый из которых начинается с разных условий. Наблюдая за тем, как отличается каждый прогноз, метеорологи могут определить, какую изменчивость несет будущая погода: чем больше изначальные прогнозы отличаются, тем менее единодушны метеорологи в вопросе о направлениях таких погодных явлений, как шторм. Например, когда ураган «Катрина» бушевал у берегов Атлантического океана, перед тем, как он перешел в Мексиканский залив, прогнозы, где он столкнется с берегом, и тот путь, который он проделает по континентальной части США после этого, отличались коренным образом. Некоторые предсказывали, что «Катрина» ударит по Новому Орлеану, а другие утверждали, что она пойдет по восточной части Мексиканского залива. Однако как только «Катрина» пересекла Флориду, предсказания перестали разниться, и метеорологи лучше понимали, куда направится ураган.

Когда вы в следующий раз будете проходить тест, подумайте, а не воспользоваться ли вам математикой, чтобы улучшить свой результат. Это может стать неожиданным поворотом, но вы можете улучшить свой результат, даже если это тест не по математике!

В своей книге «Как математика может спасти твою жизнь» математик Джеймс Д. Стейн описывает стратегию, которая, по его словам, может улучшить ваш результат на один балл (предполагается, конечно, что вы ходили на уроки и учили материал). Первая часть стратегии – узнать, как будет оцениваться тест. Ответ на каждый вопрос будет приносить одинаковое количество баллов? И будут ли снимать баллы за неправильный ответ, как это делает SAT («Академический оценочный тест» в США. Прим. пер.)? Если баллы не снимают, вы должны постараться ответить на все вопросы, даже если вы делаете это наугад. (Стратегия Стейна работает только для определенных видов тестов: да/нет, с несколькими вариантами ответов и решение задач, которые можно найти в тестах по математике и другим естественным наукам.)

Затем Стейн рекомендует пройтись по тесту и ответить только на те вопросы, ответы на которые вы можете дать сразу, не задумываясь, или те, которые можете решить. Если вам нужно более двух секунд, вы должны остановиться и перейти к следующему вопросу. Потом вы должны посчитать, сколько вопросов осталось без ответов, и выяснить, сколько времени у вас осталось. Разделив одно на другое, вы получите среднее количество времени, которое можете потратить на каждый оставшийся вопрос.

Более того, вы не должны сначала отвечать на самые трудные вопросы. Вы рискуете потратить все время на несколько вопросов, когда можете набрать больше баллов, отвечая на большее количество более легких вопросов.

Возможно, вам говорили при прохождении теста с несколькими вариантами ответов, что, если вы не знаете ответа, вы всегда должны выбирать вариант «В». Это может быть не самой лучшей стратегией, тем более что ваши учителя, скорее всего, об этом знают и поэтому создавали этот тест, распределяя правильные ответы равномерно. Лучше сужать выбор и делать обоснованное предположение. Но если в вопросе 4 варианта ответа, у вас есть 25 % вероятности правильного ответа методом «тыка».

Обычно мы не думаем о том, что наши клетки нашего организма могут решать математические задачи, но недавние исследования показали, что эти крошечные живые единицы могут это делать. Данные клетки – это особый вид белых кровяных клеток в иммунной системе, чьей обязанностью является определение и поглощение чужеродных тел (вирусов или бактерий). Когда инфекция найдена, их задачей становится наиболее эффективно атаковать чужеродные клетки. Фактически это версия задачи коммивояжера (см. главу 2.10). В случае человеческого тела эта проблема несколько важнее, чем продажа товаров как можно большему числу людей: чем эффективнее белые кровяные клетки будут находить и уничтожать чужеродные тела, тем меньше вероятность, что организму будет нанесен вред.

Метод, который используют клетки, называется хемотаксисом, то есть в какой-то мере клетки находят чужеродные тела по запаху. Они обнаруживают их химические признаки и движутся в их направлении. Согласно симуляциям, которые были проведены на компьютере, когда белые кровяные клетки сталкиваются с 10 вирусами или бактериями, порядок атаки и устранения чужеродных тел всего на 12 % длиннее, чем самый короткий возможный маршрут. Довольно впечатляюще для живой единицы, которая меньше головки булавки!

Иммунная система вдохновила ученых создать новый научный раздел: искусственную иммунную систему (ИИС). Основной задачей ИИС является внедрение такого естественного явления, как память иммунной системы, в решение проблем в математике и инженерии. В более широком смысле, ИИС входит в область искусственного интеллекта и предлагает вдохновение для новых источников идей и инноваций.

Если вы когда-нибудь учили другой язык, то вы знакомы с процессом перевода. Студент, изучающий языки, дотошно анализирует каждое предложение, пытаясь выяснить значение каждого слова со словарем в руках и знанием грамматических правил в голове. Потом он определяет род и число и выделяет подсказки контекста. Если вы не владеете обоими языками в совершенстве, этот процесс будет трудоемким и будет выполняться по частям.

Но переводчик Google обходит всю эту работу стороной. Вместо этого программа по переводу Google использует статистические методы, чтобы сравнить документы на первом языке с документами на втором языке. Полагаясь на тексты, предоставленные ООН, которая обычно их публикует на шести языках (английском, французском, русском, испанском, китайском и арабском), программа выстроила огромную базу данных языковых примеров (база данных переводчика Google на данный момент использует информацию примерно на 80 языках). Она сканирует сотни миллионов документов в поисках структур и пытается определить, как слова чаще всего переводятся. Этот процесс, который вообще не зависит от знания определений слов или грамматики, называется статистическим машинным переводом. С математикой его связывает то, что он зависит от теории вероятности: при наличии предложения на языке А, какова вероятность того, что предложение на языке Б – это перевод первого предложения?

Статистический машинный перевод берет свое начало в теории информации, разделе прикладной математики, который занимается обработкой сигналов, сжатием данных и языками. Предполагается, что он родился благодаря инженеру и математику Клоду Шеннону с публикацией работы «Математическая теория связи» в 1948 году в журнале телефонной компании «Bell System». Теория информации используется в криптографическом анализе, а также в передаче сообщений с помощью мобильных телефонов и компьютеров. Без математики в теории информации телефон в вашем кармане будет не полезнее кирпича. И потрясающая возможность перевода текста с помощью вычислительной обработки данных с помощью сети станет невозможной.

Теория информации также необходима людям, которые работают под землей, чтобы добыть нефть. Их поле деятельности, сейсмическая разведка нефти, зависит от теории информации, чтобы устранить нежелаемый шум, который может стать помехой для сигналов из нефтяных месторождений, и выдать чистый сигнал.

Чем быстрее вы едете на своей машине, тем больше шансов у вас получить травмы. На высокой скорости у вас меньше времени, чтобы среагировать на другие машины на дороге, а тяжесть травм в результате аварии возрастает. Но на сколько именно каждая величина увеличивается или уменьшается? Математика может предоставить несколько полных ответов и, возможно, воодушевит вас ездить осторожнее.

Представим, что вы едете со скоростью 60 миль в час. Если вы знаете, что миля равна 5280 футам, то вы можете посчитать, что двигаетесь со скоростью 88 футов в секунду. А так как длина автомобиля равна примерно 15 футам, то за эту одну секунду вы будете проезжать длину в 6 автомобилей (так как 6 × 15 = 90, а это почти 88). Если по правилам безопасности вы должны следовать за машиной спереди так, чтобы между вами мог поместиться один автомобиль за каждые добавленные 10 миль в час к вашей скорости, то вас будет отделять длина в 6 машин (при условии, что эта машина едет с той же скоростью, что и вы). Эти вычисления показывают, что если у машины, которая едет спереди, вдруг лопает колесо, то у вас есть одна секунда, чтобы среагировать на это.

Поэтому следовать вплотную – это очень плохая идея.

Индекс тяжести по Гэдду определяет, насколько автомобильная авария воздействует на человека, который сидит внутри. Уравнение выглядит так: индекс тяжести = a5/2 (t), где а – ускорение, а t – время в секундах. Голова человека может вынести значения индекса тяжести, которые меньше 1000, если продолжительность времени очень короткая (порядка миллисекунд).

Это неизбежно. Когда вы покупаете банку орехов, то каким-то чудом все большие орехи оказываются сверху. То же самое происходит и с хлопьями: большие хлопья, как и орехи, оказываются сверху, так что на дне и в середине мы остаемся без этих вкусных кусочков. Помимо своего обескураживающего действия, так называемый эффект бразильского ореха имеет и другие связи с математикой. Но какие?

Одна популярная гипотеза связывает происхождение эффекта с размерами частиц (которыми могут быть орехи, хлопья, галька, маленькие стеклянные шарики или любые другие смеси объектов). Когда смесь частиц сталкивается, частицы двигаются вертикально, пусть даже на короткое расстояние. В этот момент между частицами образуется пространство и другие частицы по бокам контейнера его заполняют. Но крупные частицы не могут поместиться в пространство, освобожденное мелкими частицами. В результате крупные частицы все время движутся вверх. Как только они достигают вершины, они там остаются, а мелкие частицы двигаются в бок и потом вниз на дно продолжительным циклом, известным как гранулярная конвекция. (Вы видели конвекцию в действии, если видели кастрюлю с кипящей водой. Молекулы воды поднимаются наверх по мере того, как нагреваются, а потом опускаются, когда остужаются.) Математика в коробке хлопьев? Еще бы!

Люди, которые путешествуют по снежным горам, теперь могут носить устройства, которые увеличиваются в размере во время схода лавины, они становятся больше, и, следовательно, возрастает вероятность того, что вы будете двигаться к поверхности, если вас накроет снегом. Эта идея использует тот же принцип эффекта бразильского ореха, который потенциально может спасти жизнь.

В 1968 году немецкий математик Дитрих Браес обнаружил странную особенность сетевых систем, которая, казалось, бросает вызов здравому смыслу. Доктор Браес, который сейчас преподает в Рурском университете в Бохуме в Германии, изучал транспортный поток и заметил, что в некоторых случаях, когда поток машин был сильным, дополнительные дороги на самом деле только ухудшали ситуацию. Точно так же удаление дорог из некоторых районов, перегруженных трафиком, позволяло автомобилям легче передвигаться. Эта идея была не просто нелогичной; она противоречила догматам городского планирования. Как такое возможно?

В основе открытия Браеса лежит тот факт, что все водители эгоистичны. Они не координируют свои планы по вождению с другими водителями, и каждый хочет выбрать самый быстрый маршрут из точки А до точки Б. Например, представьте, что существуют два пути от центра города до торгового центра в пригороде. Каждый путь состоит из двух частей: одна секция дороги, которую водители могут проехать за 30 минут, и другая секция, более узкая, так что время на то, чтобы ее проехать, зависит от количества машин, которые по ней едут. (Можно сказать, время, которое необходимо для проезда этого участка, равно Т/5, где Т – количество машин на этом участке.) Также нужно отметить, что, хотя оба пути от центра города до торгового центра включают в себя два участка дороги, они появляются в разном порядке. (То есть на маршруте А узкая дорога идет до 30-минутной дороги, и наоборот для маршрута Б.)

Как долго 200 водителей будут добираться из центра города до торгового центра? Так как оба маршрута одинаковы – единственное отличие состоит в том, что участки дороги меняются местами, – мы можем предположить, что половина водителей выберет один маршрут, а другая половина – второй, и, таким образом, время в пути для каждого маршрута составит 50 минут.

Водитель на одном из маршрутов не будет иметь причины, чтобы поменять его, так как он не сэкономит на этом время. (В такой ситуации, когда вовлечено множество людей и каждый понимает, что будет делать другой на его месте, и никто не собирается менять свою стратегию, люди находятся в равновесии Нэша – см. главу 2.14).

Теперь представим, что между маршрутами построили более короткий путь в том месте каждого маршрута, где встречаются два участка. Эту дорогу можно проехать очень быстро. Теперь водители обоснованно захотят использовать один и тот же маршрут: они могли бы проехать участок Т/5 маршрута А, потом поехать по короткому пути, а потом по участку Т/5 маршрута Б. (Такой путь будет иметь зигзагообразную форму.) Но естественно, что все 200 водителей захотят так поехать, чтобы сократить время в пути, то есть путь займет 200/5 + 200/5, или 80 минут. Водители будут знать, что могут срезать дорогу, поэтому все выберут этот маршрут. В результате транспортный поток ухудшится.

Идея сокращения вариантов выбора для улучшения условий движений была использована в реальных городах, включая Сеул, столицу Южной Кореи. Когда шестиполосная дорога, проходящая через центр города, была демонтирована в середине 2000-х и на ее месте построили парк длиной в 5 миль, движение на самом деле стало более эффективным. Машины ехали по дорогам, которые уже существовали. Результат, может, бросил вызов здравому смыслу, но математика помогла открыть его мудрость.

Парадокс Браеса применяется не только к дорожному движению. В исследовании, опубликованном в 2012 году, ученые из института динамики и самоорганизации Макса Планка показали, что добавление линий электропередач к электросети не обязательно повышает ее производительность. Вместо этого новые линии могут в конечном итоге дестабилизировать ее, в зависимости от того, где они находятся по отношению к существующим линиям; поэтому меньшее количество линий иногда приводит к большей эффективности электросети.

Возьмите в руки лист бумаги. Сложите его пополам. Теперь опять сложите его пополам. Как долго, по вашему мнению, вы сможете его складывать? Эта математическая задача известна как проблема простыни, но она также с легкостью применима и к бумаге, полотенцам, фольге, лапше и всему, что вы можете сложить. В течение многих лет математики считали, что нельзя ничего согнуть больше 7 раз. Однако в 2002 году учащаяся средней школы в городе Помона, штат Калифорния, установила рекорд, сложив очень длинный лист туалетной бумаги – длиной в 4000 футов, если быть точным – 12 раз. Она это сделала, складывая в одном направлении и только после расчетов, которые установили длину бумаги, которой она должна обладать.

И что? Складывание чего-нибудь пополам вновь и вновь – это хороший пример для понимания экспоненциального роста. Когда размер (или число) растет экспоненциально, то на каждом этапе он принимает большее значение, а так как базисная величина растет каждый раз, то результат также очень быстро растет. Например, давайте возьмем обычный лист из блокнота с отрывными листами, толщина которого примерно составляет 1/10 миллиметра. Сложив его пополам, мы получим толщину, равную 2/10 миллиметра, сложив лист еще раз, мы получим 4/10 миллиметра. После того как мы сложим его 25 раз, толщина бумаги будет составлять 1 километр. После того как мы сложим его 42 раза, его толщины хватит, чтобы достать до Луны. После того как мы сложим его 81 раз, толщина бумаги охватит 127 786 световых лет. А после того, как мы сложим его 103 раза, бумага займет больше пространства, чем видимая часть Вселенной (примерно 93 миллиарда световых лет).

Специалист по компьютерным наукам Дональд Кнут однажды провел исследование о двухроликовых диспенсерах туалетной бумаги в общественных туалетах, в процессе он разделил людей на две группы. Одни берут бумагу из большего рулона, другие – из меньшего. В его исследовании он изучил вероятность того, к какому типу относится тот или иной человек и как это влияет на количество бумаги, оставшейся на рулоне, используя разные математические уравнения.

Возможность полета из Лос-Анджелеса в Нью-Йорк за 5 часов является чудом, но вот процесс посадки на самолет превращает это чудо в неприятность. Обычно пассажиры производят посадку на самолет все вместе, но хотя этот метод нацелен на предотвращение заторов, всегда будут неизбежны задержки, так как людям нужно время, чтобы положить багаж в отсеки над их головами. Кроме того, люди, чьи места у окна, часто ждут, пока те, которые уже сели в центре и у прохода, встанут, чтобы они могли сесть. Все эти факторы создают головную боль для уставшего путешественника, а потерянное время стоит денег авиакомпаниям.

Математики бросили свои умы на то, чтобы сделать посадку на самолет не таким суровым испытанием, и нашли решение. Секрет кроется в распределении и местах. Первыми должны садиться люди с местами на нечетных рядах. В этом случае между теми, кто пытается всунуть свой багаж в отсеки над головами, всегда остается один свободный ряд, что даст им пространство для маневров. Дополнительным требованием является то, что среди них первыми должны занять свои места люди, сидящие у окна. Затем идут те, кто сидит в центре, а потом те, кто сидит у прохода. Такой метод гарантирует, что никто не будет никого поднимать, чтобы сесть на свое место, и время будет сведено к минимуму. Весь процесс затем повторяется для тех, кто сидит на четных рядах. На деле этот метод настолько эффективен, что пассажиры производят посадку за 1/6 времени, которое обычно нужно для посадки. Так почему же авиакомпании не пользуются этим математическим методом? Может, математикам стоит приняться за работу, чтобы ответить на этот вопрос.

Авиалинии Southwest не дают мест, то есть люди вольны выбирать те места, которые они сами захотят, согласно номеру на посадочном талоне. (Этот номер присваивается при регистрации пассажира, но за дополнительную плату они могут получить номер получше – см. главу 2.14.) Неясно, является ли такой метод более эффективным, так как в уравнении присутствует степень случайности.

Тот постер М. К. Эшера, который, возможно, висел на стене вашей комнаты в общежитии, имеет больше связей с математикой, чем вы можете предположить. Рисунки Эшера являются примерами мозаики, замощения двухмерного пространства, такого, как лист бумаги, геометрическими фигурами так, что эти фигуры не накладываются друг на друга и между ними существует очень маленькое расстояние. Как доказывают иллюстрации Эшера, эти фигуры не обязательно должны быть треугольниками или квадратами, они могут быть птицами, ангелами, рыбами или каплями. На самом деле, мозаикой можно считать и пазл. Кусочки соединяются друг с другом и полностью заполняют пространство готового пазла без зазоров. Но мозаику можно найти не только в работах Эшера. Мозаика встречается как в необычайных плитках Альгамбрн в Испании, шестисторонних клетках в пчелиных сотах, так и в геометрических узорах, которые покрывают стены и полы древних римских построек, и в лоскутных одеялах.

Мозаика оказалась плодородным разделом математики. На протяжении веков математики обнаруживали, что мозаика принимала различные формы:

• Некоторые мозаики являются периодическими, их узоры повторяются, а другие – непериодическими, их узоры не повторяются.

• Некоторые мозаики правильные: они образованы путем повторения одного правильного многоугольника, фигуры, у которого стороны и углы имеют одинаковый размер. (Например, квадрат.)

• Другие мозаики являются полуправильными, то есть состоят из более чем одного правильного многоугольника.

Анализ продолжается. В 1891 году русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что правильные мозаики входят в одну из 17 категорий. И существует 8 видов полуправильных мозаик.

Это все доказывает, что математика – не только вычисления. Математика – это еще и нечто удивительное и ценящее красоту фигур.

Художник-график из Нидерландов Мауриц Корнелис Эшер провалил экзамены, которые позволили бы ему заниматься архитектурой. Но поездка в Альгамбру, мавританский дворец XIV века, вдохновила его сконцентрироваться на создании рисунков, которые полностью заполняли бы пространство. Остальное уже история.

Источник вдохновения для математики можно найти повсюду. Например, у математика Микаэля Вейдемо-Йоханссона из Института Йозефа Стефана в Словении возникла идея во время просмотра «Матрицы». Он заметил, что персонаж Меровинген носил галстуки с необычными узлами; один из них больше всего ему запомнился, так как складывалось впечатление, что сам галстук носил галстук. Заинтригованный, Микаэль провел исследование и выяснил, что команда из Кембриджа опубликовала исследование об узлах в математике. Два исследователя разделили завязывание галстука на серию шагов, которые могут быть представлены в виде букв. (Вот некоторые из них: «Л» – влево, «П» – вправо, «Ц» – центр, «Т» – когда конец галстука продевается через узел.) Они разделили возможные узлы на 101 категорию, в зависимости от общего количества действий и количества центрирующих движений – в общей сложности получилось 85 узлов.

Однако проблема заключалась в том, что узел Меровингена в этот список не входил. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что исследователи из Кембриджа – Йон Мао и Томас Финк – сделали два предположения, которые ограничили количество возможных узлов. Во-первых, они поставили условие, что все узлы должны быть покрыты ровным куском галстучной ткани, а во-вторых, движение, при котором один конец галстука вставляется в узел, должно выполняться в самом конце процесса. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что если бы он упростил формальный язык представления узлов галстуков и увеличил количество раз, когда один конец галстука мог оборачиваться вокруг другого, с 8 до 11, то он получил бы 177 147 возможных узлов. Он и еще два его товарища нашли 2046 категорий для петляющих узоров, которые могут потребовать до 11 действий.

Так что в следующий раз, когда вам надоест, как вы завязываете свой галстук, вспомните, что у вас достаточно вариантов, которых хватит вам на всю оставшуюся жизнь!

Когда вы только начали носить галстуки, вы, вероятнее всего, познакомились с простым узлом, который легче всего завязывается. Узел «Виндзор» – это более сложный узел, он стал популярным благодаря герцогу Виндзорскому и лучше всего подходит для рубашек с широким воротником.

У музыки и математики всегда были тесные отношения. Начиная с эпохи пифагорейцев и древних греков до композиций Баха, которые порой звучат как теоремы, превращенные в звук, и сложной структуры нотной грамоты – с четвертными нотами, гаммами и темпом, – музыка воплощает математику таким образом, как это могут делать не многие дисциплины. С одной стороны, математика в музыке очевидна: числа встречаются повсюду. Например, некоторые произведения имеют размер 4/4, вальсы – 3/4, а славянская музыка – 12/16. Некоторые ноты звучат в течение всего такта, другие же только 1/16 долю этого такта. Темп относится к количеству ударов в единицу времени. Метры говорят музыканту, сколько ударов в каждом такте и какая нота должна получить удар. Неважно, куда вы смотрите, музыка пронизана математикой.

Однако с другой стороны, математика в музыке не так очевидна, но эта спрятанная математика является основой всей музыки, независимо от того, в каком уголке мира она встречается. Этот скрытый математический аспект – характеристика музыкальных интервалов. Сыграйте две ноты на пианино одновременно, и в результате сочетание нот прозвучит или благозвучно, или ужасно.

Одним из самых благозвучных сочетаний из двух нот или интервалов является октава, в которой соотношение частот между звуками составляет 1:2. Если вы посмотрите на клавиши пианино, то примером октавы будет центральная нота «до», сыгранная вместе со следующей нотой «до». (Две ноты «до» будут отделять шесть белых клавиш.) Октавы также можно представить в виде соотношений. Так как одна нота в каждой октаве имеет частоту, которая будет в два раза выше, чем у другой, то соотношение будет равно 2:1. У других интервалов будут свои соотношения, а также определения «чистые», «уменьшенные», «увеличенные». (Понятие «чистого» интервала относится к интервалу, который наиболее благозвучен для большинства людей. «Увеличенный» интервал – это «чистый» интервал, к которому добавили полутон. Например, сочетание нот «до» и «соль» дают чистую квинту, а ноты «до» и «соль-диез» – черная клавиша или полутон выше «соль» – дают увеличенную квинту.) Соотношение чистой квинты равно 3:2, а соотношение большой терции – интервала, состоящего из 4 полутонов, – 5:4. Когда мы думаем о комбинациях нот в плане соотношений, это помогает выявить скрытую математику в музыке, которую мы слышим каждый день.

Используя технологии, разработанные в 1950-х для улучшения морских гидролокаторов, математик Скотт Рикард создал музыкальное произведение без повторов, но это не значит, что оно было абсолютно беспорядочно, и назвал его «самой неприятной музыкой в мире».

Многие игры имеют математическое подспорье, но, пожалуй, одна из них выделяется больше всех – это игра Го. Считается, что она была изобретена в Китае примерно 4000 лет назад. Эта игра особенно популярна в Китае, Японии и Корее и постепенно завоевывает западное сознание. (Например, американская ассоциация Го была создана лишь в 1935 году.) Правила игры просты: у одного игрока есть коллекция черных камней, а у другого – белых. Доска, которая обычно сделана из дерева, разделена на 19 × 19 линий, то есть сетка состоит из 19 полос и 19 столбиков. Игроки ставят камни на пересечении линий сетки с целью захвата и защиты территории. Вы можете захватить вражеский камень, окружив его своими камнями. Когда камень окружен, его убирают с доски.

Го практически утопает в математике. Например, посчитайте количество допустимых позиций: чуть больше, чем 2 × 10¹⁷⁰, а когда вы узнаете, что число атомов в известной нам Вселенной равно примерно 10⁸⁴, то эта цифра покажется еще невероятнее. Большие числа появляются также, когда вы сравниваете Го с шахматами. Когда в шахматы играет компьютерная программа, она может проанализировать последствия каждого хода, вплоть до семи ходов вперед. Но если компьютер применил бы эту технику к Го, то у него бы быстро случилась перегрузка. В шахматах компьютер может прорабатывать до 60 миллиардов возможностей во время каждого хода. Однако, чтобы думать на семь ходов вперед в Го, компьютеру придется просмотреть 10 000 триллионов возможностей.

Эта игра также помогла появиться совершенно новому классу чисел. В 1970 году математик Джон Конвей из Кембриджского университета изучал игру Го, в которую играли два мастера, и в результате пришел к идее сюрреальных чисел. Вы можете рассматривать сюрреальные числа как наборы инструкций, чтобы найти определенные числа на числовой прямой с помощью серии движений вверх и вниз. Все действительные числа – которые состоят из целых чисел, дробей, положительных, отрицательных и иррациональных чисел – считаются сюрреальными, но некоторые сюрреальные числа не являются действительными. В сущности, сюрреальные числа – это новый набор чисел (как рациональные или целые числа), которые вы можете найти на числовой прямой с помощью серии ходов: вниз, вверх, влево, вправо. Одним особенно большим сюрреальным числом является омега, это число на числовой прямой, когда вы следуете вправо бесконечное количество времени. (Омега – это наименьшее сюрреальное число, которое больше, чем любое действительное число.) В любом случае, толчком для этого открытия стала игра Го, и по сей день она приносит математическое удовольствие миллионам людей по всему миру.

Отелло – это игра, чем-то напоминающая Го, ее изобрели в 1880-х два англичанина, изначально она называлась Реверси, хотя игры имеют достаточные различия. В обеих играх игроки окружают камни противника, в Отелло окруженные камни, черные с одной стороны и белые с другой, переворачиваются. В Го окруженные камни остаются того же цвета. Кроме того, доска в Отелло имеет разлиновку 8 × 8, что куда меньше, чем 19×19 в Го.

Существует история, согласно которой визирь при дворе короля Ширхама в Индии Сисса Бен Дахир изобрел игру в шахматы. Довольный изобретением Дахира король Ширхам предложил ему выбрать в качестве дара то, что он захочет. Сисса Бен Дахир попросил, казалось бы, безобидный дар: одно зерно пшеницы за первый квадрат шахматной доски, два за второй, четыре за третий и так далее, каждый последующий квадрат получал в два раза больше зерна, чем предыдущий. Мы можем представить этот процесс в виде суммирования: 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ +… 2⁶³. (Мы остановились на 63, так как, хоть и на доске 64 квадрата, степень первой 2 равна 0, а не 1.) Такое суммирование, где число остается неизменным, а степень растет с каждым шагом прогрессии, называется геометрической прогрессией. И хоть и кажется, что сумма будет не такой уж большой, она на самом деле будет огромной. На деле это число будет равно числу шагов, которые необходимы, чтобы решить задачу Ханойской башни, то есть 18 446 744 073 709 551 615 (см. главу 3.4). Если предположить, что в тонне пшеницы примерно 100 миллионов зерен, Сисса Бен Дахир попросил примерно 200 миллиардов тонн пшеницы. Действительно ошеломительное количество.

Самая впечатляющая коллекция шахмат в мире известна как шахматы с острова Льюис. Она состоит из 93 фигур XII века, которые были обнаружены в 1831 году на шотландском острове Льюис (Внешние Гебриды). Они изготовлены из моржовых костей и зубов китов, и кажется, что они имеют скандинавские корни: ладьи выполнены в форме солдат, кусающих свои щиты, как это делали берсерки.

Иногда простые правила могут привести к удивительно большим числам. Представьте Ханойскую башню, игрушку, состоящую из трех стержней, установленных вертикально на устойчивой базе, и стопки деревянных колец – у каждого отверстие в центре, – нанизанной на один стержень. Каждый диск разного размера, и они сложены так, что самый маленький диск лежит сверху и, по мере возрастания, самый большой лежит снизу. Целью игры является переместить стопку дисков на другой стержень так, чтобы диски лежали в том же порядке, но вы можете передвигать только один диск за раз, и нельзя класть больший диск на меньший.

Шаги, необходимые для достижения цели, являются примером рекурсии. Передвижение первого диска требует одного хода, но каждый последующий диск требует в два раза больше ходов, чем предыдущий. Если дисков много, то количество ходов для решения головоломки непостижимо велико. Например, существует легенда о Ханойской башне. Согласно этой легенде, в Индии есть Ханойская башня с тремя алмазными иглами, и на одной из них находятся 64 золотых диска, каждый меньше чем тот, что под ним. Монахи Брахмы следят за дисками, и постоянно один из монахов переставляет диски на другую иглу, согласно тем простым правилам, которые были упомянуты ранее.

Как долго они будут выполнять эту задачу? Если каждый ход занимает 1 секунду, и монахи не делают перерывов, то перестановка стопки дисков займет 18 446 744 073 709 551 615 секунд, что равно 58 триллионам лет, это намного больше, чем текущий возраст Вселенной (которой примерно всего 13 триллионов лет). Огромные числа действительно могут содержаться в простых вещах.

Ханойская башня очень популярна в поп-культуре. В 1966 году в серии «Доктора Кто» Небесный игрушечник заставил Доктора сыграть в эту игру с 10 кольцами за ограниченное количество ходов (1023), он назвал ее Трилогической игрой. В 2011 году в фильме «Восстание планеты обезьян» эта головоломка, которую назвали Башней Лукаса, была использована для проверки интеллекта у обезьян.

Никогда не сбрасывайте со счетов простую идею, так как такие идеи иногда имеют большие последствия. Одной из таких идей является принцип голубей и ящиков, который впервые сформулировал немецкий математик Петер Густав Лежен Дирихле в 1834 году. Согласно этому принципу, если у вас есть три ящика и четыре голубя, и каждый голубь должен занять ящик, следовательно, в одном ящике должно быть больше одного голубя. (Принцип не говорит, сколько голубей находится в каждом ящике или что в каждом ящике находится голубь. Все четыре голубя могут находиться в одном ящике, а два остальных останутся пустыми.) Если мы захотим описать этот принцип в более общей форме, не ссылаясь конкретно на голубей (принцип также работает и с коровами, индейками, футбольными мячами или любыми другими объектами), то можно сказать, что если у нас есть Н контейнеров и М объектов и М превышает количество Н, тогда в одном из контейнеров будет как минимум один объект.

Вы можете использовать принцип голубей и ящиков для заявлений о мире. Допустим, что у вас есть пачка M&M’s, половина конфет красные, а другая половина – коричневые. Какое минимальное количество конфет вам нужно вытащить из пачки, чтобы у вас было как минимум две конфеты одного цвета? (Ответ: 3. Вы можете выбрать две конфеты одинакового цвета в самом начале. Но вы также можете выбрать одну красную и одну коричневую. В этом случае цвет третьей конфеты будет уже не важен – у вас будет пара. В таком же ключе представьте две коробки: одна для красных конфет, другая – для коричневых. Мы хотим найти минимальное количество конфет, которые мы должны вытащить из пачки, чтобы две из них оказались в одной коробке.)

Этот принцип можно использовать и чтобы определить, что два человека в Нью-Йорке имеют одинаковое количество волос на голове. У каждого человека примерно 100 000 волос на голове, а в Нью-Йорке живут примерно 8 миллионов человек. Так как существует 100 000 вероятностей количества волос на любой человеческой голове, тогда, скажем, что у нас есть 100000 ящиков. А 8 миллионов жителей Нью-Йорка соответствуют 8 миллионам голубей, следовательно, мы можем быть уверенными, что как минимум два голубя – или человека – занимают одну коробку, то есть у них одинаковое количество волос на голове.

По-английски принцип голубей и ящиков звучит как «pigeonhole principle», но иногда слово «pigeonhole» используется в контексте без ссылок на голубей и контейнеры. В Конгрессе используют словосочетание «to pigeonhole a bill», что значит «отложить законопроект в долгий ящик», грубо говоря, положить его на полку и на время о нем забыть.

Лабиринты давно являются частью поп-культуры, начиная от мифов о Тесее и Минотавре и заканчивая медитативными церковными лабиринтами Средневековья; от кукурузных лабиринтов, которые появляются в сельской местности осенью, до фильмов «Лабиринт» и «Бегущий в лабиринте». Но в то время, как они интригуют своей красотой, они еще являются частью семьи математических объектов.

Изучением лабиринтов занимаются теория графов и топология, разделы, которые рассматривают объекты схематически (похоже на анализ метро в главе 1.9). Если вы подумаете о лабиринте абстрактно, не размышляя о поворотах, которые вам придется делать, или о высоте стен или текстуре земли под ногами, вы увидите его как путь, который на определенном моменте сворачивает в новом направлении. Каждую такую точку мы можем назвать узлом. Дорога, соединяющая два узла друг с другом, называется ребром. Если мы посмотрим на лабиринт сверху, мы можем сделать рисунок, своего рода диаграмму, состоящую из узлов и ребер. После разметки всех узлов мы смогли бы увидеть путь, который привел бы нас к концу лабиринта.

Этот вид анализа впервые был проведен Леонардом Эйлером, швейцарским математиком, который жил в 1700-х. Он решил проблему, известную как Семь мостов Кенигсберга, и тем самым основал раздел теории графов. Проблема была основана на реальном городе Кенигсберг в Пруссии. Река Преголя протекала через город, а посреди реки был остров. После того как река проходила мимо острова, она разделялась на две части. Семь мостов соединяли остров с материком, и местные жители интересовались, можно ли пересечь каждый мост только один раз и вернуться в исходную точку, не пройдя ни по одному из них дважды. Представив мосты, остров и материк как абстрактную сеть, состоящую из узлов и ребер, Эйлер доказал, что такого пути не существует.

В лабиринте есть только одна дорога, ведущая от входа напрямую до центра. Говорят, что один известный лабиринт был построен по приказу царя Миноса под Кносским дворцом примерно 3000 лет назад на острове Крит. Согласно легенде, царь Минос построил лабиринт, чтобы заточить Минотавра, существо, рожденное от союза царицы и быка. Минос приказал жителям Афин присылать ему семь молодых мужчин и женщин каждый год, которых потом помещали в лабиринт на съедение Минотавру. Тесей решил положить конец этой ужасной традиции. Он вызвался добровольцем, и когда они все предстали перед царем, дочь царя Ариадна влюбилась в Тесея. Она дала ему клубок нити, чтобы он смог найти дорогу назад. Тесей убил Минотавра и выбрался из лабиринта, но по дороге назад в Афины он забыл поменять черные паруса на белые, так как это был знак отцу, что он выжил в схватке с Минотавром. Отец Тесея Эгей увидел четыре паруса и, сраженный печалью, бросился в океан.

Судоку – это, возможно, одна из самых наших любимых головоломок, но это не просто способ убить несколько свободных секунд (или часов). Затягивающая числовая головоломка также содержит в себе некоторые интересные математические крупицы.

Судоку состоит из сетки 9 × 9, один квадрат состоит из меньшей сетки 3 × 3. В каждом квадрате игрок должен заполнить клетки цифрами от 1 до 9 так, что каждое число появляется только один раз в ряду и колонке всего большого квадрата. Кроме того, каждое число должно появляться один раз в каждом квадрате 3 × 3. Создатель головоломки раскидывает несколько цифр в квадрате, они являются подсказками, которые помогают игроку решить задачу. Еще одной особенностью судоку является то, что у каждой головоломки есть только одно решение.

Группа математиков во главе с Гэри МакГуайром из Дублинского университетского колледжа обнаружила, что минимальное количество подсказок, нужное для уникального – то есть единственного – решения, равно 17. Если в головоломке меньше подсказок, то у нее не может быть уникального решения. Однако МакГуайр и его команда не смогли найти этому доказательства. Вместо этого они использовали грубую вычислительную мощность для поиска по всем возможным сеткам судоку. На самом деле, они потратили 7 миллионов часов вычислительного времени в Дублинском центре высокопроизводительных вычислений. Им была необходима вся компьютерная мощность, которую они могли использовать, так как число возможных раскладок судоку огромно: 6 670 903 752 021 072 936 960. Однако исследователям удалось уменьшить это число до более приемлемого размера с помощью алгоритма, основанного на принципе, что некоторые раскладки математически эквивалентны.

Все это показывает, что даже развлечение в вашей газете может содержать в себе интересную математику.

В 2002 году математики утвердили, что судоку является NP-полной задачей. (NP – недетерминированное полиномиальное время.) Что это значит? В сущности, не существует быстрого и легкого пути решения судоку, даже если очень легко определить, является ли данное решение правильным. NP время очень длительное. Что это значит для судоку? Что не существует быстрого и легкого пути решения судоку, даже если очень легко определить, является ли данное решение правильным.

«Звездная ночь» – это одна из самых красивых и знаковых работ Ван Гога, но в последнее время она известна не только за свою красоту, но также за скрытую в ней математику.

Оказывается, закрученные узоры в «Звездной ночи», а также в «Пшеничном поле с воронами» и в «Дороге с кипарисом и звездой» (две другие картины Ван Гога) демонстрируют странное сходство с турбулентными потоками. Такой вид движения, как турбулентность, можно увидеть в речном водовороте или в дыме от костра. Турбулентность также возникает в движении жидкости в трубах, а из-за турбулентного перемешивания теплого и холодного воздуха в атмосфере мы иногда чувствуем, как самолет начинает трясти во время полета. Хотя турбулентность – понятие обычное, описать его с помощью математики крайне сложно. Чтобы это сделать, математики должны понять решение уравнения Навье-Стокса, сформулированное в 1800-х, оно описывает движения жидкостей. На самом деле, эти уравнения очень сложно решить. (Существует история с участием турбулентности и физика Вернера Гейзенберга. Когда у него поинтересовались, что бы он спросил у Бога, если бы представилась такая возможность, Гейзенберг сказал: «Когда я встречусь с Богом, я задам ему два вопроса: почему теория относительности? И почему турбулентность? Я, правда, думаю, что у него будет ответ на первый вопрос».)

Чтобы определить, совпадают ли узоры в «Звездной ночи» с характеристиками турбулентного потока, ученые исследовали яркость красок, оставленных кистями Ван Гога. Они изучили цифровую версию его картины и сравнили яркость пикселей в пределах изображения. Они обнаружили, что схема яркости соответствует уравнениям, сформулированным в 1940-х русским математиком Андреем Колмогоровым, когда он пытался понять турбулентность, используя статистику. Так что живописная манера Ван Гога действительно имеет глубокое значение.

Андрей Колмогоров родился в 1903 году и был сыном сельского исследователя. У Колмогорова были разные интересы: в математике, среди прочего, он изучал теорию вероятности, топологию и турбулентность. Он также посвятил себя изучению истории и реформированию образования в Советском Союзе. Он умер в 1987 году.

Если вы сейчас сидите – встаньте и сделайте несколько шагов. Простое действие – передвижение из одной точки в другую – было предметом математических и философских размышлений более 2000 лет назад для Зенона Элейского. Зенон жил в Древней Греции предположительно во времена Сократа, хотя и не существует достоверных данных о его жизни. Зенон хорошо известен за разработку серии парадоксов, направленных на стимулирование нашего мышления о понятиях, какие мы можем иметь о мире, в котором живем. Парадоксы затрагивают понятия движения и времени и, следовательно, включают математические идеи о бесконечности.

Первая апория о движении представляет собой аргумент, согласно которому движение невозможно. Представим, что вы хотите дойти от кресла до двери. Для этого вы, естественно, должны сначала дойти до середины между двумя объектами. Но перед тем, как вы дойдете до этой точки, вы должны дойти до другой точки, той, что лежит между серединой и вашей исходной позицией (что равно 1/4 пути до двери). Поэтому, чтобы пройти любое расстояние, вам нужно преодолеть бесконечное число расстояний, а так как невозможно выполнить бесконечное количество заданий, апория утверждает, что вы никогда не дойдете до двери.

Этот парадокс существует на протяжении столетий, так как не ясно, как его опровергнуть. Так как парадокс опирается на понятие, что пространство состоит из бесконечного числа единиц, кажется, что парадокс был сформулирован, чтобы указать на проблемы этого предположения. Аристотель предложил своего рода решение, когда утверждал, что расстояние между двумя точками не содержит фактической бесконечности, а содержит потенциальную бесконечность.

Только недавно математикам удалось предложить другое решение. Расстояние, которое мы должны пройти до двери, может быть представлено как сходящийся ряд: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32… Математики показали, что, хотя этот ряд бесконечно длинный, он сходится к конечному числу: 1. На самом деле, понятие, что бесконечный ряд бесконечно маленьких частей сводится к конечному целому, формирует основу исчисления и позволяет вам вычислить площадь под кривой.

Теперь, когда пойдете к двери, вы можете оценить вековые математические рассуждения под ногами!

Используя эксперименты на основе квантовых свойств атомов, ученые могут заморозить атомы во времени с помощью квантового эффекта Зенона. Наблюдая за атомом определенное количество раз в течение определенного периода, ученые могут предотвратить его распад, в сущности запирая его в реальной версии апории Зенона о стреле. (В этом парадоксе Зенон просит нас представить, как стрела вылетает из лука. В любой конкретный момент стрела занимает пространство, равное ее длине. А так как любой временной отрезок состоит из серии мгновений, Зенон утверждает, что стрела всегда находится в состоянии покоя: она никогда не находится в движении.)

Время от времени находится какой-нибудь математик, который меняет ход истории. Одним из них был Клод Шеннон. В середине ХХ века Шеннон работал в Bell Labs (знаменитый исследовательский отдел AT&T), потом преподавал в Массачусетском технологическом институте. Он также был инженером по электронике и интересовался коммуникациями. Его исследование положило начало теории информации, благодаря которой появились цифровые компьютеры, Интернет и компакт-диски. Он также помог популяризировать термин «бит», что является сокращением от «двоичной цифры». Другими словами, Шеннон сделал будущее возможным.

Одна из идей пришла к Шеннону, когда он учился в магистратуре в Массачусетском технологическом институте. Он понял, что структура коммутационной схемы в аналоговых компьютерах и телефонных сетях напоминала структуру булевой алгебры (см. главу 3.19). В физическом смысле замкнутая цепь могла представлять логическое значение «истина», а открытая цепь – «ложь». В сущности, Шеннон понял, что можно записать работу логики в машине. Вы на самом деле можете решить проблему по логике и математике, используя переключатели и цепи. Это вылилось в магистерскую диссертацию Шеннона в 1938 году под названием «Символьный анализ реле и коммутаторов», теперь эту диссертацию называют самой важной диссертацией ХХ века.

Позднее, во время работы над взломом кодов во время Второй мировой войны, Шеннон заинтересовался дальней связью. Его мысли в конечном итоге переросли в книгу «Математическая теория связи», опубликованную в 1949 году. Шеннон изучал проблемы, присущие отправке сообщений на дальние расстояния по проводам, чем дальше было расстояние, тем сигнал становился все хуже и появлялось больше шума. Но путем преобразования информации в сообщении в основные единицы под названием «биты», состоящие из единиц и нулей, можно с легкостью восстановить сообщение на другом конце провода, так как единицы и нули очень легко отличить. А виды сообщений, которые можно передавать с помощью этих двух чисел, варьируются от видео до фотографий, от аудиофайлов до электронных писем: все, что можно передать через Интернет.

Шеннон также связал биты и понятие энтропии, которое для него указывает на количество информации в каждом конкретном сообщении. Вот его знаменитое уравнение:

Поэтому, когда в следующий раз будете отправлять письмо по электронной почте, подумайте о Клоде.

На техническом языке шифр – это четкий метод для кодирования информации. Примером является шифр замены, в котором одни буквы заменяются другими. В некоторых шифрах замены даже используются несколько алфавитов. В начале ХХ века электромеханические шифры, такие, как в немецкой машине «Энигма», означали, что машина, а не человек осуществляли эти замены.

Социальные сети на сегодняшний день являются большой частью общества. Велика вероятность того, что вы пользуетесь Twitter и Facebook, и возможно, Pinterest и Instagram. Еще со времен Friendster популярность социальных сетей сильно возросла. Но хотя соцсети имеют ряд преимуществ – они позволяют вам оставаться на связи с друзьями и знакомыми, – оказалось, что они снижают самооценку пользователей. Когда люди сидят на страницах друзей и видят фотографии на экзотических курортах, сообщения о повышениях и росте зарплаты или изображения новых машин и домов, они могут начать чувствовать себя неполноценными: почему их жизнь не такая хорошая, как жизнь их друзей?

Это явление – обобщенный случай так называемого парадокса дружбы. В 1991 году социолог Скотт Фельд изучал социальные сети, которые в те дни не включали в себя компьютеры и Интернет, и обнаружил, что в любой сети друзей у друзей человека А обычно будет больше друзей, чем у самого человека А. Другими словами, у ваших друзей всегда больше друзей, чем у вас. Но как такое возможно? Если вы мой друг, а я – ваш, то у каждого из нас есть друг. Кажется, что дружба таким образом сбалансирована.

Причиной парадокса является структура сети друзей. В любой сети несколько людей более популярны, чем все остальные; в среднем у них больше друзей, чем у остальных людей в этой сети. Следовательно, велика вероятность того, что если вы выберете любого человека из этой сети, то он будет дружить с одним из популярных людей. Ведь популярность подразумевает множество связей, и вы, вероятнее, будете дружить с тем, у кого 40 друзей, нежели с тем, у кого их 2. У вас больше шансов быть одним из 40, чем одним из 2. Но такой принцип применим к большинству людей в сети. Парадокс дружбы возникает из-за самой природы дружбы и небольших расчетов.

Как это все связано с социальными сетями? Ну, парадокс дружбы применяется не только к сетям, где люди сталкиваются лицом к лицу. Он еще применяется к электронным сетям. Поэтому, скорее всего, на ваших друзей в Twitter подписаны больше людей, чем на вас, и у большинства ваших друзей на Facebook больше друзей, чем у вас. А после недавнего исследования двух ученых парадокс дружбы зашел еще дальше: у ваших друзей не просто больше друзей, чем у вас, они еще и скорее всего богаче и счастливее вас. Ем Ен Хо из Университета Тулузы и Чо Хан Хен из Университета Аалто в Финляндии проанализировали сети ученых, в которых каждый ученый связывался с другим, если они вместе работали над исследованием. Ем и Чо обнаружили, что в каждой конкретной академической сети у связей ученого А было больше соавторов, чем у ученого А. Они также обнаружили, что у связей ученого А больше упоминаний и публикаций, чем у ученого А. Ем и Чо разработали математические характеристики такого вида сетей и узнали, что, если парадокс возникает в сети, он применяется к более чем одной характеристике – не просто к числу связей или упоминаний, – если эти характеристики отвечают определенным требованиям.

Поэтому, когда в следующий раз будете сидеть в социальных сетях и будете подавлены, помните, что большинство людей чувствуют себя точно так же.

Парадокс дружбы является примером предвзятости выбора. Так как ваш набор друзей зависит от людей, у которых изначально есть друзья, у этих друзей, вероятнее, больше друзей, чем у вас. У отбора скорее всего автоматически будут определенные характеристики лишь из-за того, как вы отобрали их для изучения. Другим примером является эффект пещерного человека. Так как люди нашли много следов первых людей в пещерах, легче сделать вывод, что наши предки обитали в пещерах. Но все, что они могли оставить за пределами пещеры, могло быть разрушено или размыто. Ошибка отбора – следы в пещерах – искажает вывод.

Кто бы мог подумать, что iPod и математика тесно связаны друг с другом? Оказывается, когда вы загружаете песню на компьютер или проигрываете цифровой музыкальный файл на плеере, вы пользуетесь математическим уравнением под названием преобразование Фурье.

Звучит странно, но представьте, что это своего рода инструмент: в сущности, он разделяет сложные волны на множество маленьких и соединяет простые волны обратно в сложные. И это могут быть почти любые виды волн, включая звуковые и световые. Когда звукорежиссеры хотят конвертировать аудиозапись в МР3-файл, они используют преобразование Фурье, чтобы выбрать отдельные частоты звуковой волны и отметить их амплитуду в каждый момент времени. Затем, если они хотят сжать файл, чтобы его было легче передавать через Интернет, они могут удалить частоты, которые человеческое ухо не может услышать. С другой стороны, звук на виниловой пластинке представляет собой цельную звуковую волну, частоты на ней нетронуты.

Человеческое ухо также может выполнять преобразование Фурье. В любой момент одна сложная звуковая волна входит в ухо, где происходит вибрация барабанной перепонки, и производит электрические волны, которые мозг потом анализирует и преобразовывает. Но вы никогда не слышите эту одну волну, вместо этого вы слышите человека, который слева от вас разговаривает по телефону, автобус, который сигналит автомобилю справа, щебечущую над вами птицу, которая сидит на дереве. Эта одна волна была разбита на составные части, и теперь вы можете выявить отдельные частоты и звуки и тем самым лучше взаимодействовать с миром.

Преобразование Фурье также можно встретить и в архитектуре, особенно в сейсмоопасных районах. Как и любой другой объект, каждое здание в городе вибрирует на своей собственной частоте. Представим здание в городе, в котором произошло землетрясение. Если колебания от землетрясения совпадают с естественным колебанием здания, колебания усилятся, и у такого здания вероятность разрушения становится выше. (Частота и сила колебаний – это два разных измерения.) Чтобы избежать разрушения, инженеры могут использовать преобразование Фурье для анализа отдельных частот типичных землетрясений в конкретном месте и потом «настроить» здание так, чтобы его частоты не совпадали с частотами землетрясений, которые чаще всего происходят в районе. Математика может буквально спасать города от разрушения.

Преобразование Фурье названо в честь Жана Батиста Жозефа Фурье, французского математика (1768–1830). Он его разработал, когда пытался определить, как тепло передается между твердыми телами.

Вы или ярый сторонник карт Google, или приверженец традиционных бумажных карт, но карты окружают нас повсюду. Они полезны и, несмотря на иногда возникающие трудности со складыванием, очень удобны. Зачастую они еще и очень красивые. (Посмотрите на карты из Средневековья, чтобы получить представление о художественности, которая вкладывалась в создание карт.) Карты также являются источником для одной из самых известных идей в математике: проблемы четырех красок.

Фрэнсис Гатри, английский студент, изучающий математику, впервые предложил проблему в 1852 году, когда пытался раскрасить карту округов Англии. Понимая, что ему необходимо всего четыре цвета, он задался вопросом, а нельзя ли применить это правило ко всем картам, даже к тем, которые еще не были созданы. Точнее говоря, Гатри интересовало, можно ли раскрасить карту, используя не больше четырех цветов, так, чтобы у двух граничащих территорий – округов, штатов, стран, чего угодно – не совпадали цвета. (Такие две территории должны иметь четкую границу. Если территории граничат углами, как штаты Юта и Нью-Мексико, то они не в счет.) Доказательство было наконец предоставлено в 1976 году, спустя 124 года после того, как Гатри задал этот вопрос, Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном, математиками из Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне. И хоть это было значительное достижение, доказательство вызвало неоднозначную реакцию в математическом сообществе, так как оно использовало компьютер.

Немецкий математик Герберт Греч нашел доказательство, которое является продолжением проблемы четырех цветов: в плоском графе, если в нем нет треугольников (по существу, нет пунктов с тремя вершинами), теорема Греча утверждает, что вам нужно всего три цвета для достижения такого же результата.

За последние несколько десятилетий компьютерная анимация шагнула далеко вперед, и самую большую эффективность в этом продвижении сыграли аниматоры из Pixar. Но компьютеры могут лишь следовать инструкциям, которые основаны на математике. Поэтому, когда перед аниматорами возникает новая проблема, такая, как изображение движения вьющихся волос Мериды из «Храброй сердцем», они обращаются за помощью к математике.

Pixar опирается на алгоритмы – наборы инструкций – для моделирования сложных объектов и поведения, и они поняли, что им потребуется совершенно новый набор для создания волос Мериды, которые будут состоять из 100 тысяч различных элементов. Насколько это будет сложно сделать? Согласно правилам комбинаторики – если существует n элементов, то существует n² путей для их столкновения, – существует 10 миллиардов вероятностей взаимодействия элементов волос Мериды.

В Pixar также впервые разработали математический метод для того, чтобы сглаживать острые края, а это крайне важно для изображения гладких контуров кожи и одежды. Компьютерные аниматоры создают трехмерные фигуры, используя многоугольники – фигуры, у которых есть как минимум три стороны, но на получаемых объектах появляются бороздки, как будто их сделали из блоков. С помощью их разбиения на более мелкие части аниматоры находят средние точки каждой из сторон и усредняют их. После многократных повторов этого действия блочные линии изображения с острыми краями превращаются в настоящие плавные кривые. Прямые линии становятся параболами, и на экранах появляется отличительная манера Pixar.

Аниматоры и инженеры в Pixar, может, и достаточны умны для создания новых алгоритмов, но одна из их самых успешных картин «История игрушек 2» (1999) была практически утеряна из-за неосторожной ошибки. Эта лента одна из немногих оценена в 100 % на Rotten Tomatoes, она также взяла «Золотой глобус» за лучший фильм (комедия или мюзикл), но ее могли и вовсе не выпустить, так как кто-то случайным образом удалил файлы с компьютеров в Pixar. Это будет вам дружеским напоминанием, чтобы вы всегда делали резервную копию.

В последние несколько лет математики обнаружили, что популярная игра, в которую сейчас играют на Facebook и на мобильных устройствах, на самом деле является примером одной из самых сложных проблем в математической вселенной. Математические гуру доказали, что игра «Сага Candy Crush» является так называемым классом NP, то есть не существует простого прямого решения этой проблемы, хотя очень легко это решение проверить. Задачи класса NP отличаются от класса P, которые можно быстро решить.

Компьютерные ученые и математики с радостью хотели бы определить раз и навсегда, являются ли задачи класса Р и класса NP принципиально одинаковыми; то есть является ли каждая задача, которую можно легко проверить, той же задачей, которую можно легко решить. Решение этой задачи выдвинуто на премию задачи тысячелетия Институтом Клэя, и тот, кто сможет доказать, правдиво ли равенство P = NP или нет, получит заветный миллион долларов.

Одна из самых популярных игр на Facebook и на мобильных устройствах, игра «Сага Candy Crush» представляет собой игровую доску с разноцветными конфетами, включая лимонные леденцы и красные мармеладки. Игроки должны передвигать конфеты горизонтально или вертикально, чтобы создавать группу из трех одинаковых конфет.

Исследователи проанализировали скрывающуюся математику в игре «Candy Crush», отчасти используя сведение, то есть преобразование одной задачи в другую. Сведение помогает математикам определить, насколько трудно решить ту или иную задачу. Если новую задачу можно преобразовать в изначальную проблему, тогда обе задачи могут считаться одинаково сложными.

Математика может показать основные аспекты человеческого существования, которые, откровенно говоря, поражают разум. Например, какова вероятность того, что вы только что вдохнули молекулы, которые выдохнул на смертном одре тот, кто жил тысячи лет назад? Математика может ответить на этот вопрос с удивительно высокой степенью точности. Как такое возможно?

Проблема и ее решение изложены в книге «Математическая безграмотность и ее последствия» Джона Аллена Паулоса, профессора математики в Темпльском университете в Филадельфии. Паулос спрашивает, можем ли мы определить, вдохнули ли мы в этот самый момент молекулы, которые выдохнул Юлий Цезарь в последнюю секунду своей жизни после того, как Брут нанес ему роковой удар кинжалом. Оказывается, если вы принимаете несколько предварительных условий, то вероятность этого больше, чем 99 %!

1. Во-первых, вы должны считать, что те молекулы, которые выдохнул Цезарь, распространились более или менее равномерно по всей земной атмосфере. (В конце концов, прошло более 2000 лет с момента его смерти.)

2. Во-вторых, вы должны считать, что большинство из них до сих пор свободны (не связаны с другими молекулами).

Теперь начнем: допустим, что в атмосфере всего G (какое-то число) молекул. Еще предположим, что Цезарь выдохнул Z (другое число) из них. Так что вероятность того, что вы вдохнули одну из этих молекул, равна Z/G. Так как вероятности всегда меньше 1, то шанс, что вы не вдохнули одну из этих молекул, равен 1–Z/G.

Теперь представим, что вы вдохнули три молекулы: из-за принципа умножения, вероятность того, что ни одна из этих молекул не была выдохнута Цезарем, равна [1–Z/G]³. Естественно, этот принцип применим к любому числу, поэтому мы можем обобщить, что если вы сейчас вдохнули Т молекул, то вероятность того, что ни одну из них не выдохнул Цезарь, равна [1–Z/G]^T.

Поэтому вероятность того, что вы вдохнули хотя бы одну из этих молекул, можно представить, как 1–[1–Z/G]^T. А так как Паулос вычислил, что Z и Т, возможно, равны 2,2 × 10²², а G равна 10⁴⁴, то вероятность составляет около 99. Невероятно.

В этих расчетах о дыхании Цезаря мы сделали ряд (разумных) предположений. Предположения на самом деле играют большую роль в математике в целом. Например, Евклид основывал свои геометрические соображения на пяти постулатах, один из которых утверждает, что прямая линия может быть проведена между двумя любыми точками. А другой – что все прямые углы равны.

Компьютеры повсюду: начиная со смартфонов в вашем кармане до ноутбука в рюкзаке и гигантских серверов, которые позволяют Amazon обрабатывать онлайн-покупки, – вычислительные устройства проникли во все уголки повседневной жизни. Но как именно они работают? Как металлические компоненты внутри корпуса компьютера позволяют вам сидеть в Интернете, делиться фотографиями с друзьями или просто складывать или вычитать числа?

Ответ кроется в математике. Компьютерные схемы создаются в соответствии с принципами, изложенными Джорджем Булем, английским математиком, который жил с 1815 по 1864 год. Буль стал известен тем, что применил алгебраические методы к логике, дисциплине, которая концентрируется на правилах, по которым можно приходить к выводам, основанным на предпосылках. Классический пример логического аргумента – или набора утверждений, которые в сочетании с разумом обосновывают положение, – приводит нас к Сократу, древнегреческому философу. Вот этот аспект:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Следовательно, Сократ смертен.

Этот вид аргумента, известный как силлогизм, интересен, так как если первые два утверждения верны, то третье утверждение тоже должно быть правдой. И нам не обязательно использовать «люди», «смертен» и «Сократ». Мы могли бы их заменить на что угодно. Вот другая версия:

У всех птиц есть крылья.

Тукан – птица.

Следовательно, у тукана есть крылья.

Но логика может применяться не только к таким простым понятиям, как «люди» и «туканы». Она также относится к высказываниям, то есть утверждениям, которые могут быть истинными или ложными. Эти утверждения можно объединить с помощью слов «и», «или» и «не». Получившиеся комбинации могут иметь свою истинность значения. Вот несколько примеров высказываний:

В настоящее время существует король Франции.

Собаки могут дышать под водой.

Когда светофор красный, автомобили должны остановиться.

Первые два высказывания ложные; третье – истинное. Вот несколько примеров смешанных высказываний:

Солнце светит, и коровы пасутся на холме.

Либо идет дождь, либо снег.

Автомобиль движется, и его колеса поворачиваются.

Давайте разберем каждый пример:

• В случае первой комбинации, если оба высказывания о коровах и о солнце являются истинными, тогда конечное высказывание тоже истина. Если одно из них ложное (или они оба ложные), тогда все высказывание тоже ложное.

• Во втором примере целое высказывание является истиной, если истиной является высказывание о дожде или снеге.

• И опять-таки в третьем примере высказывание истинное, если оба высказывания являются истинными. Если хотя бы одно из них ложное, тогда все высказывание тоже ложное.

Нововведением Буля было то, что он заметил, что можно представлять логические высказывания при помощи символов, которые используются в математике. Если, например, высказывание о солнце было представлено как Х, а высказывание о коровах как Y, вы в некотором смысле могли бы сложить два высказывания и получить значение истинности: 1 для истины, 0 для лжи.

Хотя «и», «или» и «не» – это не просто абстрактные идеи. Инженеры в ХХ веке научились представлять их физическим способом, в виде логических элементов. Эти элементы в конечном итоге стали включаться в транзисторы и компьютерные чипы и лежат в основе вычислительных расчетов, которые делает каждый компьютер и по сей день. Все расчеты выполняются на основе определенной электрической ситуации, будучи «правдой» или «ложью». Таким образом, под каждым модным экраном бьется математическое сердце.

Историки утверждают, что Джордж Буль в детстве сам выучил латынь. Позже он стал деканом факультета естественных наук в Квинс Колледже в городе Корк и женился на Мэри Эверест (племяннице Джорджа Эвереста, в честь которого была названа гора Эверест).

Иногда математика показывает аспекты мира, которые кажутся невозможными, но которые тем не менее являются правдой. Рассмотрим, например, парадокс дней рождения. В любой группе людей какова вероятность того, что у двух из них день рождения в один день? Вероятность, на первый взгляд, не так уж и высока, так как в году 365 дней. Кажется, что вероятность, что в какой-нибудь случайной группе людей двое из них родились в один день, невероятно мала.

А все же это не так. Шанс, что два человека из группы делят один день рождения намного выше, чем вы думаете. На самом деле, в группе, состоящей из 23 человек, вероятность составляет 50 %. Как такое возможно? В конце концов, если вы являетесь членом этой группы, остается 22 человека, которые могли родиться с вами в один день, так что существуют только 22 вероятности совпадения. Это число совсем не впечатляет. Но помните, что вы не сравниваете свой день рождения со всеми. Каждый человек сравнивает дни рождения друг с другом! Итак, помимо 22 сравнений с вашей датой рождения, существует и множество других.

Чтобы увидеть, как такое возможно, представьте всех 23 человек в виде точек, выстроенных в линию. (Если хотите, возьмите лист бумаги и карандаш, чтобы нарисовать их.) Для сравнения дня рождения человека № 1 начертите линии от первой точки до всех остальных. Теперь сделайте то же самое для человека № 2. Заметьте, что линия между человеком № 2 и человеком № 1 такая же, какую вы уже нарисовали от человека №#1 до человека № 2 в первый раз сопоставлений. Так как мы не хотим повторять эти сравнения, число сравнений для человека № 2 на один меньше, чем у человека № 1, то есть 21. Процесс продолжается: для человека № 3 число сравнений равно 20. Общее число сравнений в этом случае равно не 22, а 22 + 21 + 20 + 19 …, и в конце концов выходит 253.

Теперь мы подошли к принципу, который часто используется в математическом мышлении; а именно, чтобы установить истинность, нужно доказать, что обратное является ложью. Итак, как мы можем вычислить вероятность того, что у двух человек из 23 день рождения в один день? Итак, помните, что дата рождения человека имеет 365 возможных вариантов (исключаем 29 февраля, которое появляется на календарях в високосный год). Тогда вероятность совпадения дат рождения составляет 364/365, так как существуют 364 возможных дат, которые будут отличаться от изначальной даты. В итоге получается 99,726027 % вероятность, что любые два человека рождены в разные дни.

Теперь давайте применим это мышление к группе из 23 человек. Каждое сравнение имеет 99,726027 % вероятность несовпадения. Не забывайте, что в нашей группе существуют 253 возможных сравнения, тогда общая вероятность того, что никакие два человека не родились в один день, составляет 99,726027 % × 99,726027 % × 99,726027 % × …, и так 253 раза. (Мы можем написать эти расчеты сокращенно, как 99,726027²⁵³). Конечная вероятность равна 49,952 %. Если такова вероятность, что два человека не делят одну дату рождения, то вероятность того, что два человека родились в один день, составляет 50,048 %.

Поэтому в следующий раз, когда окажетесь в большой компании людей, спросите их даты рождения и посмотрите, что произойдет!

Согласно Мэтту Стайлсу, журналисту из National Public Radio, 16 сентября – самый популярный день рождения среди американцев в возрасте 14–40 лет. Он определил, что сентябрь и июль – наиболее распространенные месяцы рождения. Самым редким днем рождения стало 29 февраля, а потом 25 декабря.

При звоне колоколов на ум нам приходят религиозные службы, университетские городки, средневековые городские площади и, возможно, многолетняя рождественская реклама конфет Hershey’s Kisses. Но иногда звон колоколов имеет глубокую связь с математикой, особенно с перестановкой (расстановка определенного набора объектов, когда важен порядок каждого расположения).

Вид колокольного звона, который построен на математике, называется колокольным перезвоном, он требует командной деятельности, то есть в группе людей каждый отвечает за один конкретный колокол (количество колоколов обычно варьируется между 6 и 8, но может доходить и до 16). Такой звон колоколов вы могли слышать в фильмах после большой свадьбы или коронации короля. Обычно колокол с самым высоким звуком называется дискантом/малым колоколом, а с низким – большим колоколом. В любой группе малому колоколу присваивается номер 1, каждому последующему – следующая цифра. (Если всего 4 колокола, то большой колокол будет номером 4.)

В колокольном перезвоне в колокола звонят в определенном порядке так, чтобы ни один колокол не звонил дважды за один перезвон. С каждым перезвоном позиция одного колокола может меняться только на одну позицию. Так что звонари могут начать звонить в колокола в следующем порядке: 1, 2, 3, 4. Потом они могут звонить 2, 1, 4, 3, а потом 2, 4, 1, 3. Кроме того, каждый перезвон не должен повторяться. В конце звонарь возвращается к порядку 1, 2, 3, 4. Если вы живете в Северной Америке или хотите послушать колокольный перезвон своими ушами, зайдите на сайт североамериканской гильдии звонарей www.nagcr.org.

Колокольный перезвон отличается от других видов колокольного звона, таких, как игра на карильоне, где музыкант сидит на стуле или скамье и нажимает на ряд рычагов, которые напоминают пианино. Самый большой карильон, состоящий из 77 колоколов, находится в пресвитерианской церкви Хиллз в Мичигане.

Если вы попросите студента назвать самый унылый, самый скучный, лишенный каких-либо компенсирующих качеств раздел математики, то он вполне может выбрать статистику. Одно лишь это слово вызывает в воображении образы калькуляторов и таблиц со сплошными числами. По крайней мере, такие образы вызывает стереотип.

А что, если я вам скажу, что статистика далеко не такая удручающая, как вы думаете?

Одним из способов убедить вас в этом будет рассказать о байесовской статистике, дисциплине, введенной Томасом Байесом, пресвитерианским священником, который жил в Англии в 1700-х. Тот вид статистики, с которым вы, возможно, знакомы, относится к частотной статистике. Если бы вы играли в блек-джек и вам бы выпали король и девятка, вы могли бы воспользоваться частотной статистикой и определить ваши шансы на блэк-джек при следующей раздаче карт.

Байесовская статистика, с другой стороны, постоянно пересматривает шансы по мере поступления новой информации. В случае игры в блек-джек вы не будете просто подсчитывать вероятность выпадения тройки или анализировать одни данные. Вы также будете держать в голове, какие карты уже сданы и мастерство дилера. С каждой новой информацией вероятность исхода игры пересматривается.

Однако байесовская статистика может намного больше, чем просто считать вероятность выигрыша в карточной игре. Она может спасать жизни. Например, ее использовали для нахождения Джона Олдриджа, рыбака, который упал со своего омароловного судна около побережья Лонг-Айленда в 2013 году. Его потеряли на обширной территории Атлантического океана, но когда береговая охрана приняла во внимание подводные течения в этом районе, а также путь, который прошел спасательный вертолет, им удалось сузить возможное местонахождение рыбака. Береговая охрана подсчитала примерное время падения Олдриджа с лодки, и компьютерная программа SAROPS проанализировала движение ветра и океанское течение, чтобы найти его наиболее вероятное местоположение в океане. Когда они, наконец, нашли его, он находился на плаву в течение 12 часов.

Классическим примером байесовского вывода является новорожденный ребенок, наблюдающий за восходом солнца. Каждое утро, когда ребенок наблюдает за восходящим солнцем, он получает все больше и больше доказательств, что солнце, на самом деле, взойдет и в следующее утро. Обновленная информация в форме новых наблюдений учитывается при ожидании ребенком будущих восходов солнца.

Пожалуй, ни один вид спорта не содержит в себе столько математики, сколько бейсбол. Статистика пронизывает все аспекты игры, начиная от удара до подачи, и ни один серьезный любитель бейсбола не может не иметь хотя бы элементарных знаний о числах. Но как люди считают эти числа?

Давайте посчитаем уровень подачи питчера. Этот статистический показатель применяется только к питчерам, чтобы определить, насколько хороши их подачи. Изначально в игре не было подающих, выходящих на замену основному питчеру; подающий, который начал игру, должен был ее и закончить. Так что если кто-то хотел посмотреть, насколько эффективен был подающий, он мог просто посмотреть, сколько игр питчер выиграл. Но когда стали появляться дополнительные подающие, исход игры стал зависеть не от одного питчера, поэтому общее число побед и поражений не точно может показать мастерство конкретного питчера.

Подсчет уровня подачи питчера может эту проблему решить: он сосредоточен на иннингах, а не на всей игре. Чтобы посчитать уровень подачи питчера, вам нужно сложить количество ранов и поделить это число на количество иннингов, в которых подавал питчер. (Очки, заработанные на пробежке, – это те, что сделаны по вине питчера, а не по вине других игроков.) Потом вы умножаете это число на 9, количество иннингов в игре. Например, если питчер пропустил 30 ранов за 90 иннингов, то его уровень подачи равен 3.00.

На протяжении истории бейсбола показатель хорошего уровня подачи менялся, но чем он ниже, тем лучше питчер. В начале 1900-х у хорошего питчера был уровень ниже 2. В наши дни уровень ниже 4 считается респектабельным.

В сезонах МЛБ 2011–2014 у Клейтона Кершоу был самый низкий показатель среди всех действующих питчеров, в 2014-м он составлял рекордные для него 1.77. Для сравнения, самый низкий показатель за всю историю бейсбола был у Тима Кифа, который составлял 0.86 в сезоне 1880 года.

В жизни каждого человека нет ничего более определенного, чем смерть и налоги, исключением может стать наличие бактерий. Эти крошечные организмы живут повсюду, на каждом континенте, в каждой среде, даже в нашем кишечнике, где они помогают нам переваривать пищу. Так как они очень маленькие, важным инструментом в их изучении является микроскоп. Но другим инструментом является математика, которая может прояснить аспекты жизненного цикла бактерий и, следовательно, способствовать здоровью человека.

В отличие от ДНК человека, бактериальный генетический материал не имеет форму двойной спирали. Вместо этого он имеет форму круга. Когда бактериальная клетка делится на две дочерние клетки, ее ДНК также должна поделиться на две части. И когда она делится, она запутывается и распутывается, пока не появляются два новых круга ДНК. Биологи долго изучали механизм деления бактерий, но им на помощь могут прийти математики.

Используя математический инструмент под названием анализ узлов, исследователи смогли лучше понять, как ферменты – молекулы, которые начинают и останавливают химические реакции, – соединяют и отсоединяют круг ДНК, включая фигуры, которые принимают молекулы. (Эксперименты показали ученым представление о процессе, но не пояснили конкретные шаги.)

Чем больше ученые будут узнавать о делении бактерий, тем лучше будут подготовлены к созданию нового поколения антибиотиков. Математика может стать причиной вашего быстрого выздоровления после вашей следующей болезни!

Ученые постоянно изучают микробы в нашем организме и то, какую пользу они нам приносят. В организме человека примерно 100 триллионов клеток, но только 10 % из них – это непосредственно ваше тело. Все остальное – это бактерии, вирусы и другие микроорганизмы.

Стереографические проекции можно найти не только на настенных картах (см. главу 1.28). На протяжении сотен лет они были основой одного из самых популярных астрономических приборов в истории человечества: астролябии. Астролябия часто была выполнена из латуни и составляла по меньшей мере 6 дюймов в диаметре. Это был своего рода портативный компьютер, который помогал морякам делать важные расчеты о времени дня и ночи, высоте небесных тел над горизонтом, времени будущих восходов и заходов солнца и определять широты. Астролябии также использовались для астрологических вычислений. (Астрономия была связана с астрологией на протяжении сотен лет.)

Астролябии – один из старейших научных инструментов. Их применяли еще в Древней Греции, и технологии, использованные в астролябиях, сохранились в исламском мире в Средние века. На самом деле, их продолжали использовать во время эпохи Возрождения и до 1700-х, когда стал популярным секстант. (Зеркала в секстанте позволяли мореплавателям производить расчеты, основываясь на настоящем горизонте Земли, а не на «ложном» горизонте, на котором основывали расчеты пользователи астролябии.)

Астролябии могли производить сложные вычисления, хотя и состояли всего из нескольких частей:

• «Тарелка» представляла собой круглую металлическую деталь, на которой располагались все остальные детали.

• «Тимпан» – круглый плоский диск с выгравированной линией, который находился на «тарелке». На «тарелку» можно было прикладывать разные «тимпаны» в зависимости от того места, где находился пользователь прибора.

• На «тимпан» накладывался «паук», содержащий отверстия, через которые был виден «тимпан». На «пауке» также были метки, которые указывали на важные функции «тимпана».

• Астролябии также включали в себя алидаду, которая помогала определять высоту небесных тел.

• Сверху астролябии крепилось кольцо, так что прибор можно было подвесить на веревке (это помогало расчетам).

На «тимпане» можно увидеть стереографические проекции. Каждый «тимпан» имел выгравированный шаблон линий, который соответствовал линиям широты Земли. На некоторых «тимпанах» были линии с другими элементами карты, такими, как линии времени, линии азимута и альмукантараты. Короче говоря, благодаря стереографическим проекциям стала возможна навигация по океанам, а также навигация по собственной астрологической судьбе. А все благодаря математике.

Покажите вашу любовь к математике и наденьте часы с астролябией (можно найти онлайн), хотя она будет, скорее, всего слишком маленькой для использования!

Вы можете найти математику почти везде, включая ваш обеденный стол. Насыпьте соль горкой на листе бумаги, в результате получится конус. Но этот конус не просто красив. Он также демонстрирует феномен, который называется углом естественного откоса. Это угол, который образует поверхность горки соли по отношению к горизонтальной поверхности стола.

На самом деле, все сыпучие материалы – включая песок и камни – имеют угол естественного откоса, даже валуны, которые падают с гор во время схода лавин. Более того, этот угол не является случайным, и он не меняется от ситуации. Он зависит от комбинации факторов, включая размер частиц, также важно, являются ли они гладкими или зубчатыми, есть ли вода между частицами (из-за нее они могут прилипнуть друг к другу) и насколько твердая поверхность, на которой они находятся.

Угол естественного откоса поваренной соли составляет 32 градуса, но углы могут быть и больше: 45 градусов для коры деревьев и кокосовых хлопьев. Углы естественного откоса могут быть и меньше: мокрая глина имеет угол в 15 градусов. Люди могут использовать углы естественного откоса, даже чтобы выяснить, развалится ли гора какого-либо материала, например гравия.

Так что не стесняйтесь высыпать соль из солонки во время следующего семейного ужина. Скажите всем, что делаете это во имя математики!

Пепел 40 градусов

Отруби 30–45 градусов

Гравий 30–45 градусов

Сухой песок 34 градуса

Снег 38 градусов

Пшеница 27 градусов

Возьмите любой круг и измерьте его окружность (расстояние вокруг края) и диаметр (расстояние от одной стороны круга до другой в виде прямой, которая проходит через центр круга). Они одного размера? Если нет, то насколько одно больше другого?

Так выходит, что окружность всегда больше, чем диаметр. Только этот факт уже поражает. В любом круге в мире – ободок вашей чашки для кофе, колесо на велосипеде, монета – внешняя линия края всегда больше, чем линия, проходящая через центр круга. Вам необязательно делать замеры, чтобы в этом убедиться (хотя вы, конечно, можете это сделать, просто чтобы доказать себе, что я говорю правду). Это свойство универсально; оно применяется ко всем окружностям, везде, во все времена. (Здесь я предполагаю, что все обсуждаемые нами окружности находятся на плоской поверхности.)

Теперь мы подошли ко второй потрясающей части взаимосвязи между окружностью круга и его диаметром. Для любых кругов окружность всегда больше на одинаковую величину. Эта величина не фиксированное число, такое, как 39: абсолютная разница между окружностью и диаметром большого круга, конечно, будет больше, чем у маленького круга. Одинаковым остается соотношение, или относительная разность. «Так это здорово, – скажете вы. – Насколько окружность больше? В два раза? В 1,5 раза?»

Вот где начинаются странности. В некотором смысле, сказать, насколько точно больше окружность, очень сложно. В течение тысячелетий люди знали, что окружность примерно в три раза больше диаметра, но на самом деле примерно в 3,14. Более точное число будет выглядеть так: 3,14159. Однако ряд чисел после запятой продолжается бесконечно без повторений. На сегодняшний день наиболее точный расчет этого коэффициента тянется на 8 квадриллионов цифр после запятой.

Это число – отношение длины окружности к ее диаметру или, другими словами, насколько одно значение больше другого – известно как Пи, буква греческого алфавита. Но его название не имеет никакого значения, если честно, с таким же успехом мы могли бы называть его «Фрэнк», или «Сэм», или «Фелиция». Важно то, насколько оно распространено в нашем мире – оно есть в каждом круге – и насколько оно необычно. Чтобы лучше понять всю его необычность, представьте, что ваш друг спросил, насколько вы выше своей собаки. Что, если бы вы ответили: «Ну, я не совсем уверен. Я примерно в два раза выше своей собаки, но чем больше я буду измерять, тем больше буду понимать, что мне никогда не вычислить точное значение». Каким образом на этот вопрос не может быть четкого ответа? Такова непостижимая натура Пи.

Для помешанных на математике 14 марта – особая дата. Это день Пи, отмечать этот праздник начинают в 1.59 дня (если вы сложите месяц, день и время, то получится как раз 3,14159). День Пи начали отмечать в Музее науки, искусства и человеческого восприятия Exploratorium в Сан-Франциско.

Некоторые числа являются особенными, а некоторые самые особенные числа являются простыми числами. Простые числа делятся только на себя и на 1. Например, 5 – это простое число, так как его можно разделить только на 5 и на 1. А 10 не является простым, так как его можно разделить на 1, 2, 5 и 10. Простые числа очаровывали математиков больше 2000 лет еще со времен древних греков и Евклида (одного из величайших математиков в истории и автора одной из самых влиятельных книг в человеческой цивилизации «Начала»).

Простые числа интересны, так как они являются фундаментальными составляющими всех других чисел. На самом деле, простые числа иногда называют атомами в математике, но порядок их появления, кажется, не поддается никакому закону. Согласно основной теореме арифметики, каждое число, которое больше 1, является или простым, или получено путем перемножения серии простых чисел. Вот несколько примеров:

2 – простое число.

3 – простое число.

4 = 2 × 2

5 – простое число.

6 = 2 × 3

7 – простое число.

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

10 = 2 × 5

11 – простое число.

12 = 2 × 2 × 3

13 – простое число.

И так далее.

Сколько простых чисел существует? Евклид доказал, что на самом деле их бесконечное количество. Неважно, как далеко мы находимся на числовой прямой, мы никогда не доберемся до последнего простого числа. Их всегда будет больше.

То, как Евклид пришел к этому выводу, стоит рассмотреть, так как это хороший пример того, как математики используют рассуждение в изучении чисел и их свойств.

1. Во-первых, помните, что каждое число – это простое число или же получено путем перемножения ряда простых чисел.

2. Во-вторых, мы будем использовать особый вид способа доказательств под названием reduction ad absurdum (доведение до абсурда): мы попробуем доказать противоположное тому, что мы пытаемся доказать. Если мы докажем, что это противоположное не может быть правдой, тогда мы будем знать, что противоположное ему утверждение – то, что мы изначально хотели доказать, – будет истиной.

Другими словами, мы собираемся доказать, что существует ограниченное количество простых чисел. Внимание, спойлер: если мы поймем, что наше доказательство упрется в логическое препятствие, то мы косвенно докажем, что противоположное утверждение является истиной и что количество простых чисел неограниченно.

Шаг первый: давайте изобретем число и назовем его «Джордж». Скажем, что мы можем получить Джорджа, если перемножим все простые числа, от первого до последнего, а потом прибавим к результату 1. (Не забывайте, что мы предполагаем, что существует ограниченное количество простых чисел.) Мы знаем, что Джордж должен быть простым числом или должен быть получен в результате умножения простых чисел. Мы сразу же можем увидеть, что если Джордж является простым числом, то мы доказали, что есть простое число – Джордж! – которое не входило в наш изначальный список. Теперь мы можем остановиться и похлопать себя по спине, так как наш результат будет актуален для любого количества простых чисел.

Но давайте представим другой вариант: скажем, что Джордж не является простым числом. Это значит, что его можно получить путем умножения двух или более простых чисел. Но ни одно простое число из нашего списка не подойдет, так как если мы будем использовать их в наших вычислениях, у нас всегда будет оставаться остаток 1. Следовательно, должны существовать другие простые числа, не из нашего списка, которые путем перемножения дадут нам Джорджа. Опять же мы доказали, что для любого ряда простых чисел всегда будут существовать простые числа, не входящие в него.

Это один из примеров силы и красоты математического умозаключения.

Некоторые простые числа экзотичнее других. Числа Ферма, например, имеют вид 2²ⁿ + 1 и являются простыми. Однако единственными известными числами Ферма являются те, где n = 0, 1, 2, 3 и 4 и равны 3, 5, 17, 257 и 65537 соответственно.

Забудьте об электронной почте и социальных сетях. Тогда наиболее глубокое влияние Интернета на мир могут оказывать интернет-магазины. Но онлайн-коммерция таит в себе опасности. Когда вы вбиваете номер своей кредитной карты на такие сайты, как Amazon, и кликаете «Купить», что останавливает киберворов от перехвата этой информации и кражи номера?

Обратимся к математике. Безопасность работы в Интернете и криптография с открытым ключом в целом основаны на простых числах, особом виде чисел, которые делятся только на себя и на 1. (Для сравнения: число 10 делится на себя, 1, 2 и 5 и простым не является.) Примерами простых чисел являются 1, 3, 5, 7 и 11, но их существует бесконечное множество и соответственно могут расти на огромные расстояния. Существует математическое доказательство того, почему простых чисел бесконечное множество, но это уже другая история (см. главу 4.2).

Когда вы вбиваете номер своей кредитной карты онлайн, вы пользуетесь так называемым алгоритмом RSA. Он был назван в честь создателей – Рональда Ривеста (Rivest), Ади Шамира (Shamir) и Леонарда Адлемана (Adleman). Алгоритм был создан в 1977 году и является системой шифрования, которая основывается на огромных простых числах. В сущности, система обеспечивает безопасность ваших личных данных путем преобразования номера вашей кредитки в другой, чрезвычайно длинный номер, который получен в результате умножения двух длинных случайных простых чисел. Вы могли бы превратить этот новый номер обратно в номер своей карточки, если бы знали два простых числа, но безопасность ваших данных обеспечивается еще одним математическим фактом: крайне тяжело разложить большое число на простые числа. На самом деле, для очень длинного числа могут понадобиться сотни и тысячи лет для того, чтобы сеть суперкомпьютеров смогла найти два правильных простых числа.

Хотя в последнее время появилась информация, что система RSA не такая надежная, как думалось. Целостность системы зависит от генерации случайных простых чисел, но программы, которые этим занимаются – известные как генераторы случайных чисел, – кажется, не всегда создают такие уж случайные числа. Такое несоответствие оставляет место для мошенников, которые могут определить эти два простых числа и украсть конфиденциальную информацию.

В настоящее время онлайн-коммерция – а также онлайн-банкинг и связь – кажутся более или менее безопасными, но давайте надеяться, что математики могут разработать новую, более безопасную систему.

Любой, кто использует биткойны – виртуальную валюту, изобретенную в 2008 году, – должен иметь какой-то электронный кошелек, который находится в безопасности от криптографии с открытым ключом. На самом деле биткойн – это первая валюта, которая основывается на криптографии. Чтобы получить доступ к своим биткойнам, у вас должно быть два ключа: один публичный, а другой секретный, как пин-код или пароль. Два ключа математически связаны.

Все видели знак бесконечности: цифра восемь, лежащая на боку (∞). Но что такое бесконечность и как она связана с математикой?

Иногда бесконечность понимается как невероятно большое число, но такое понятие не совсем точное. Бесконечность – на самом деле не число, это идея. Это концепция непрерывности и безграничности. Тем не менее она появляется в математике снова и снова. Мы говорим, что последовательность чисел в Пи продолжается бесконечно; то же происходит, когда 1 делят на 3. В геометрии мы говорим, что на линии существует бесконечное множество точек и что линии тянутся в обоих направлениях бесконечно. Бесконечность является и родным, и чужим понятием в математическом мире.

Бесконечность также появляется в искусстве. М. К. Эшер изобразил муравьев, ползущих по ленте Мебиуса в, казалось бы, бесконечном путешествии, а в рассказе «Вавилонская библиотека» писатель Хорхе Луис Борхес создал бесконечное хранилище книг, содержащее каждый возможный набор букв и знаков препинания, коллекцию, которая обязательно содержит каждую когда-либо написанную книгу и которая будет написана в будущем.

Понятие бесконечности привело также к весьма странным идеям. В конце XIX века и в начале XX века математик Георг Кантор считал, что бесконечности могут иметь разные размеры. И натуральные числа (1, 2, 3, 4…), и действительные числа (которые включают такие числа, как Пи, 1/3 и 45,6778765) бесконечны, но бесконечность действительных чисел больше, чем натуральных. Размышления о бесконечности приводят и к другим неожиданным понятиям. Вы можете подумать, что количество точек в линии длиной в 1 фут меньше, чем на линии бесконечной длины, но на самом деле обе линии содержат одинаково бесконечное количество точек.

Бесконечность поражает, но, как и многое, связанное с математикой, взрывает мозг самыми загадочными и обескураживающими путями.

Не все математики принимают понятие бесконечности. Одна ветвь философии математики известна как финитизм; ее приверженцы утверждают, что только конечные объекты реальны. Как выразился математик Леопольд Кронекер: «Бог создал натуральные числа. Все остальное – дело рук человека».

В 1202 году итальянский математик опубликовал «Книгу абака», которая содержала то, что было признано как магическая последовательность чисел. В последовательности Фибоначчи (в честь математика, которого звали Леонардо Фибоначчи) числа на первый взгляд кажутся безобидными. Последовательность начинается с 1 и 1 (или иногда 0 и 1) и каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Таким образом, так как 1 + 1 = 2, 2 – следующее число в последовательности, потом идут 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Одной интересной особенностью этой последовательности является то, что числа сравнительно быстро становятся большими. (Если посчитать последовательность, состоящую из 18 позиций, получится следующее: 0, 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584.) Но другим более примечательным аспектом последовательности Фибоначчи служит то, что невероятным образом числа Фибоначчи являются частью природы.

Кажется, что, если вы посмотрите на мир с математической точки зрения, вы найдете числа Фибоначчи повсюду. Вы можете их найти, например, в том, как растут листья. Расположение листьев на стебле называется филлотаксисом, от греческого слова, которое переводится как «растение» и «расположение». На некоторых растениях листья прорастают из стебля по спирали. Если вы возьмете один лист и будете продвигаться наверх по стеблю по этой спирали, то сможете посчитать, через сколько листьев вы дойдете до позиции на стебле прямо над тем первым листом. Соотношение числа листьев по ходу стебля от первого листа до листа прямо над первым листом и количества раз, пройденных вокруг стебля, состоит из двух чисел Фибоначчи и называется филлотаксическим соотношением. Например, соотношение листьев яблони составляет 2:5, а для листьев ежевики и лещины обыкновенной – 1:3.

Или возьмите сосновую шишку. Если вы посмотрите сверху на верхушку шишки, вы сможете различить два вида кривых: одни закручиваются по часовой стрелке, другие – против часовой. Если вы посчитаете оба вида, увидите, что они являются смежными числами Фибоначчи.

Числа Фибоначчи также можно встретить в родословной медоносных пчел. Так как особи мужского пола развиваются из неоплодотворенных яиц, у них есть только один из родителей (пчелиная матка). Особи женского пола, с другой стороны, развиваются из оплодотворенных яиц и имеют двух родителей. Если проанализировать предков пчел мужского и женского полов, то числа Фибоначчи становятся заметными: мужские особи имеют 1 родителя, 2 бабушек и дедушек, 3 прабабушек и прадедушек, 5 пра-прабабушек и прапрадедушек, 8 пра-прапрабабушек и прапрапрадедушек и так далее. У женских особей 2 родителя, 3 бабушки и дедушки, 5 прабабушек и прадедушек, 8 прапрабабушек и прапрадедушек и так далее.

Числа окружают нас и выполняют широкий спектр функций. Некоторые, такие, как цифры на светофоре, показывают людям, через сколько они могут трогаться с места. Другие, такие, как числа в спорте в системе подсчета очков, помогают нам отслеживать, какая команда выигрывает. Те, что используются в медицинских осмотрах, помогают нам оценить состояние нашего здоровья (например, кровяное давление или уровень холестерина) и думать более основательно о тех уголках мира, которые нам трудно почувствовать. А некоторые числа используются для классификации и организации. Вы можете увидеть эти числа на корешках книг в библиотеке, а принадлежат они десятичной классификации Дьюи.

Система была сформулирована Мелвилом Дьюи и опубликована в 1876 году, когда он работал в библиотеке Амхерстского колледжа. Она революционизировала библиотечное дело. До введения системы Дьюи библиотечные книги обычно ставили по дате их появления в библиотеке. Вместо этого Дьюи сделал возможным распределять полки с книгами, согласно их теме, тем самым пользователям библиотек было легче самим искать и находить нужные книги. (До этого пользователям нельзя было брать книги с полок самостоятельно, это делали за них библиотекари.) Ниже приведены десять категорий, которые входят в десятичную систему Дьюи:

000 – 099: общие темы

100 – 199: философия и психология

200 – 299: религия

300 – 399: социальные науки

400 – 499: язык

500 – 599: естественные науки и математика

600 – 699: техника

700 – 799: искусство

800 – 899: литература и риторика

900 – 999: история, география и биография

Скорее всего, эта книга, которую вы сейчас читаете, попадет в секцию математики с индексом 510.

Каждый слышал от кого-нибудь: «Это случайность». Но что есть случайность? И как математическая случайность связана с нашей повседневной жизнью?

Оказывается, что в эпоху Интернета случайность крайне важна. Онлайн-сделки – включая банки, розничную торговлю и другие организации, которым необходима передача конфиденциальной информации, – основаны на генерировании случайных чисел для безопасного соединения (см. главу 4.3). Ряд чисел является случайным, если в нем нет видимой закономерности и нельзя предугадать, какое число появится после любого другого числа в последовательности. Когда вы играете в кости, числа выпадают случайным образом, но так как объем онлайн-операций огромен, а требования к случайным числам настолько велики, кинуть кости или вытащить цифры для них просто невозможно.

Ученые обратились к компьютерам, чтобы генерировать случайные числа, но так как компьютеры «в глубине души» являются детерминированными машинами (следуют правилам), то генерируемые компьютером случайные числа – вовсе не случайны. Если бы кто-то узнал алгоритм, по которому компьютер выбирает числа, а также начальное число, этот человек в теории мог бы предугадывать числа в последовательности. Последовательность выглядит случайной, но в реальности таковой не является. Вот почему компьютерные генераторы случайных чисел также известны как генераторы псевдослучайных чисел.

Однако ученые приблизились к созданию действительно случайных чисел с помощью устройств, изучающих такие физические явления, как радиопомехи, квантовое поведение фотонов и выделение тепла. Эти явления могут определить свою собственную случайность без алгоритмов, созданных человеком. Так как наше доверие к случайности растет вместе с доверием к Интернету, нам нужны все по-настоящему случайные числа, какие только возможны.

Генераторы случайных чисел – это не просто инструменты в руках ученых и математиков. Если вам нравится играть в лотерею, вы можете воспользоваться некоторыми сайтами, которые генерируют случайный выбор лотереи. Просто надо знать, что это не обязательно приведет вас к выигрышным числам.

В 1977 году дизайнеры Чарльз и Рэй Имзы выпустили фильм, где продемонстрировали широкий спектр размеров в нашем мире, начиная от царства крошечных атомов и заканчивая границами известной нам Вселенной. Фильм «Степени десяти» начинается с показа пары, отдыхающей в парке Чикаго. Камера расположена в метре над парой и вскоре начинает удаляться: каждые десять секунд камера отъезжает в десять раз дальше, чем она была до этого, и в следующем кадре показано в десять раз больше, чем в предыдущем. Вскоре зритель видит весь Чикаго, а потом и всю Землю. В конце концов, зритель покидает Солнечную систему и даже галактику Млечного Пути, путешествуя сквозь световые годы, чтобы увидеть структуру галактик во Вселенной.

Затем камера возвращается к паре и начинает приближаться, фокусируясь на руке мужчины. Теперь камера приближается в десять раз ближе каждые 10 секунд и в конце концов показывает протоны и нейтроны в ядре атома углерода в руке мужчины.

В целом путешествие охватывает 40 степеней десяти от 10^–16 до 10²⁴ метров. Путешествие стало возможным путем добавления нуля к концу шкалы измерения.

Некоторые числа можно назвать, но для восприятия они слишком велики. Одно из таких чисел – гугол = 10¹⁰⁰ или 1 и 100 нулей после нее. Название «гугол» было создано в 1938 году Милтоном Сироттой, 9-летним племянником математика Эдварда Каснера. Насколько гугол большой? Представьте, что общее количество элементарных частиц во Вселенной составляет примерно 10⁸⁰.

Для большинства стран мира стандартной системой измерения является метрическая система. Метрическая система была изобретена во Франции в 1799 году и была предназначена заменить разные стандарты измерения в Европе, которые отличались в каждом городе, округе и стране. Метрическая система облегчает измерения, определяя стандартную цифру основных единиц – метр, килограмм и секунда, – и позволяет людям модифицировать их, добавив префикс. А так как префиксы основаны на кратных числах 10, метрическая система еще известна как десятичная система. Вот некоторые префиксы:

Микро = 1/1 000 000

Милли = 1/1000

Санти = 1/100

Деци = 1/10

Дека = 10

Гепта = 100

Кило = 1000

Мега = 1 000 000

Так, например, километр – это расстояние, равное 1000 метрам, миллиграмм – масса, равная 1/1000 грамма. Другие базовые метрические единицы включают в себя ампер для электрического тока; кельвин для термодинамической температуры; моль для количества вещества; и канделу для света.

Одним из самых захватывающих аспектов метрической системы является то, как собственно определяются базовые единицы. Давайте рассмотрим метр. Сначала стандартный метр был охарактеризован как 1/10 млн расстояния между экватором и Северным полюсом, измеренное через Париж. Но из расчетов было исключено небольшое уплощение кривизны Земли, то есть расчеты отклонялись на 0,2 мм (Земля не идеальный шар). Позднее в 1889 году метр был определен как длина определенного металлической перекладины из платины или иридия. Однако ученым было неудобно использовать такие стандарты, так как перекладина могла менять форму в разных температурах и деформироваться при неправильной поддержке; любая попытка определить температуру метровой перекладины и системы поддержки должна была бы опираться на метрические единицы, включая сантиметры. Но так как метровая перекладина должна быть стандартной метрической единицей длины, то измерение ее с помощью других метрических единиц просто невозможно.

В наши дни стандартный метр измеряется более универсальным образом: как расстояние, которое свет проходит в вакууме за 1/299,792,458 секунды.

Английская система отличается от метрической тем, что ее единицы измерения разрабатывались в Англии веками и включают в себя единицы, которые использовали древние римляне и англосаксы. Названия этих единиц довольно благозвучны и включают такие термины, как «драхма», «пинта», «хогсхед». Ну, а если вы разбираетесь в вине, то знаете, что 4,5-литровая бутылка называется Реобоам, а 15-литровая – Навуходоносор.

На самом базовом уровне математика изучает числа, и некоторые из этих чисел просто немыслимы. Например, каков самый короткий промежуток времени, который человек может измерить?

Недавно ученые из Института нелинейной оптики и короткоимпульсной спектроскопии Макса Борна в Германии нашли способ измерять события с интервалом в 12 аттосекунд. Насколько коротка аттосекунда? Одна из них равна 1/1,000,000,000,000,000,000 секунды. Сколько это? За одну аттосекунду свет может пройти длину трех атомов водорода. Чтобы понять этот неимоверно короткий промежуток времени, проведем аналогию: соотношение аттосекунды и секунды – это как соотношение секунды и 32 миллиардов лет (что почти в три раза превышает возраст Вселенной).

Префикс «атто-» значит «18» на датском и стал частью порядка величины метрической системы. Метрическая система имеет широкий спектр префиксов. Вот текущий список префиксов:

Иотта – 10²⁴, или 1 септильон

Зетта – 10²¹, или 1 секстиллион

Экса – 10¹⁸, или 1 квинтильон

Пета – 10¹⁵, или 1 квадриллион

Тера – 10¹², или 1 триллион

Гига – 10⁹, или 1 миллиард

Мега – 10⁶, или 1 миллион

Кило – 10³, или 1000

Милли – 10^–3, или 1 тысячная

Микро – 10^–6, или 1 миллионная

Нано – 10^–9, или 1 миллиардная

Пико – 10^–12, или 1 триллионная

Фемто – 10^–15, или 1 квадриллионная

Атто – 10^–18, или 1 квинтильонная

Зепто – 10^–21, или 1 секстиллионная

Иокто – 10^–24, или 1 септильонная

Флэш – персонаж комиксов, который может передвигаться со скоростью света, он может воспринимать события, которые длятся меньше, чем аттосекунду, за это время вы, конечно, даже моргнуть не успеете.

Что общего у «Тайной вечери» да Винчи и «Сотворении Адама» Микеланджело? Они включают в себя то, что называют золотым сечением, соотношением чисел, которое можно найти как в природе, так и в человеческой деятельности.

Если вы помните из уроков математики, соотношение – это способ сравнения двух чисел или измерений. Например, предположим, что у вас есть четырехдверный седан. В нем будет 4 сиденья и, скорее всего, 4 колеса. Следовательно, соотношение колес и дверей будет составлять 4:4. (Мы можем уменьшить это соотношение как 1:1.) Или предположим, что вы любите животных и у вас 2 собаки и 5 кошек. Соотношение собак и кошек в вашем доме будет составлять 2:5.

Золотое сечение похоже на такого рода соотношения, только вместо 1:1 или 2:5 золотое сечение составляет 1:1,618. (Второе число на самом деле уходит в бесконечность без повторов, я просто его укоротил для удобства. Вообще оно выглядит как-то так: 1,61803398874989…)

Золотое сечение можно также найти в фигуре под названием «золотой прямоугольник». Соотношение ширины и длины этого прямоугольника равно 1:1.618 (продлен до бесконечности). Кроме того, если вы нарисуете внутри прямоугольника квадрат, то оставшийся прямоугольник имеет те же пропорции, что и изначальный прямоугольник! Другими словами, соотношение меньшей ширины и меньшей длины (b: a) равно соотношению большей ширины и большей длины (a: a + b).

Архитекторы и художники использовали золотое сечение в своих работах в течение тысячелетий, с тех пор, как человечество решило, что эта пропорция особенно приятна для глаза. Вот несколько примеров:

• Воображаемый прямоугольник, начерченный вокруг передней части Парфенона в Афинах, имеет эти пропорции.

• Великая пирамида в Гизе, одно из оригинальных семи чудес света, также включает в себя золотое сечение. Соотношение длины одной из сторон пирамиды – наклонной – и половины длины основания равно 1,61804.

• Если проанализировать «Тайную вечерю» да Винчи и «Сотворение Адама» Микеланджело на потолке Сикстинской капеллы, вы заметите, что обе композиции основываются на золотом сечении.

В любом музее будет полно примеров 1:1,618, как и в любом городе. Эти цифры вас окружают.

Многие верят, что люди использовали золотое сечение в искусстве и архитектуре на протяжении тысячелетий. С другой стороны, некоторые математики считают, что нет доказательств таким утверждениям и заявления, что в создании Великих пирамид, Парфенона или даже в работах Леонардо да Винчи использовано золотое сечение – всего лишь миф.

Помимо появления в мире искусства, золотое сечение еще можно найти повсюду в природе. На самом деле золотое сечение является частью нас самих. Оно встроено в каждую молекулу ДНК в каждой клетке нашего организма. (ДНК, или дезоксирибонуклеиновая кислота, кодирует информацию для создания белков, что, в свою очередь, помогает создавать структуру органов тела и тканей и регулировать их функции. Гормоны и ферменты являются белками, как и актин, который помогает мышцам сокращаться. Актин также является частью внешнего скелета клетки, который придает клетке форму.) Структура молекулы ДНК была расшифрована Джеймсом Уотсоном и Фрэнсисом Криком в 1953 году, которые и показали двойную спираль. Каждый полный поворот спирали состоит из 34 ангстрем в длину и 21 ангстрема в ширину – ангстрем составляет 100-миллионную долю сантиметра – и соотношение этих двух чисел равно 1:1,6190, что очень близко к золотому сечению 1:1,618.

Эти числа, 34 и 21, особенные еще по одной причине: они появляются в последовательности Фибоначчи, ряде чисел, который был открыт Леонардо Фибоначчи в XIII веке (см. главу 4.5). Каждое число в последовательности получается в результате сложения двух предыдущих чисел. И когда вы сравниваете два рядом стоящих числа в последовательности, соотношение между ними примерно равно золотому сечению. Кроме того, чем выше числа в последовательности, тем больше это значение будет приближено к золотому сечению. Таким образом, соотношение 5 и 8, стоящих почти в самом начале, равно 1:1,6, а соотношение 377 и 610 равно 1:1,61803714. Этот результат соответствует золотому сечению вплоть до пятой цифры после запятой.

Греческая буква Фи (φ) была впервые использована для обозначения золотого сечения в 1909 году американским математиком Марком Барром в честь Фидия, древнегреческого скульптора; многие люди считали, что он использовал золотое сечение в своих работах.

Одни из самых интересных математических фигур появляются в игрушках. Например, вы можете узнать, что такое эпитрохоиды, а также гипотрохоиды и рулетты, если повозитесь со спирографом. Если у вас когда-нибудь была возможность поиграть с этой игрушкой, то вы знаете, что она обычно состоит из двух полых внутри пластиковых кругов, с зубчатым внутренним или внешним краем. В комплекте также есть несколько пластиковых колес с зубчатым внешним краем и несколькими отверстиями внутри колеса, куда вставляется кончик ручки. Вы кладете один из пластиковых кругов на лист бумаги с картонной подложкой, затем выбираете колесо, вставляете ручку в отверстие и кладете колесо к внешнему или внутреннему зубчатому краю круга. Потом вы начинаете двигать колесо ручкой по кругу, тем самым на бумаге остаются замысловатые геометрические узоры.

Вот где появляются странные математические термины. Если вы кладете колесо у внешнего края круга, то узор представляет собой эпитрохоиду. Он выглядит как серия кривых, которая устремляется сначала к краю круга, а потом обратно. С другой стороны, если вы кладете колесо внутрь круга, то узор представляет собой гипотрохоиду, он может напоминать морскую звезду, звезду или пятиугольник с вогнутыми сторонами. Обе кривые являются примером рулетты, кривой, которая образуется, когда фигура перекатывается по неподвижной поверхности и точка на этой фигуре оставляет вихляющую линию. (Фигура не обязательно должна быть кругом.)

Корпус, в котором находится роторно-поршневой двигатель Ванкеля – движущая сила некоторых автомобилей Mazda, имеет форму эпитрохоиды. Этот двигатель был создан Феликсом Ванкелем, немецким инженером, который получил свой первый патент за устройство в 1929 году. В отличие от поршневых двигателей, двигатель Ванкеля имеет лишь одну движущуюся часть: вращающаяся часть имеет форму треугольника со слегка закругленными краями.

В данный момент огромная группа телескопов к северу от Сан-Франциско находится в поисках признаков внеземных цивилизаций в небе. Названная в честь Пола Аллена, бывшего исполнительного директора Microsoft, который способствовал его изобретению, антенная решетка Аллена содержит 42 радиотелескопа, каждый из которых имеет диаметр 6,1 метра. (Существуют планы собрать 350 таких телескопов.) Телескопы использует SETI, организация в Маунтин-Вью в Калифорнии, которая занимается поиском внеземного разума. Когда все отдельные телескопы будут на месте, они будут покрывать территорию в 1 гектар, или 10 000 квадратных метров.

Помимо того что математика вовлечена в разработку таких больших приспособлений и в обработку всех сигналов, которые будут собирать антенные решетки Аллена, математика также внесла свой вклад в общую идею, стоящую за всем проектом. В 1961 году доктор Фрэнк Дрейк, один из основателей SETI, создал уравнение, которое охватывает все элементы, какие должны приниматься во внимание во время поиска внеземных цивилизаций, способных генерировать сигналы, которые мы можем обнаружить на Земле. Вот уравнение Дрейка:

Что касается элементов, вот их определения:

N – количество цивилизаций в Млечном Пути, генерирующих электромагнитное излучение, которое могут обнаружить люди;

R* – скорость формирования звезд, которые могут содержать разумную жизнь;

fp – доля этих звезд, которые имеют планетарные системы;

ne – количество планет вокруг каждой звезды, на которой есть жизнь;

fl – доля этих планет, на которых действительно есть жизнь;

fi – доля планет, на которых есть жизнь, на которой есть также разумная жизнь;

fc – доля цивилизаций, генерирующих сигналы, которые мы можем обнаружить;

L – длина времени, за которое эти цивилизации испускают эти сигналы в космос.

В этом случае использование языка математики помогает формулировать групповое мышление и прояснять параметры проекта.

Физик Энрико Ферми (1901–1954) интересовался внеземными цивилизациями, а также помог в развитии того, что сейчас известно как парадокс Ферми. Согласно вычислениям Ферми, внеземные существа должны были уже установить с нами контакт. А так как они этого не сделали, Ферми задал знаменитый вопрос: «Ну, и где они в таком случае?»

Есть ли что-нибудь интересное с математической точки зрения, скажем, в мире насекомых? Если это насекомое – периодическая цикада, то есть без сомнения. Это насекомое живет в лесах восточной части США и принадлежит к роду Magicicada, в который входит семь видов. Вы могли слышать их летом, когда они цепляются за стволы деревьев и ветки и жужжат, чтобы привлечь потенциальных партнеров.

Математически важным аспектом этих цикад является их необычный жизненный цикл. Большую часть жизни периодические цикады живут под землей, до достижения половозрелости, питаются ксилемой, жидкостью в деревьях, которая содержит питательные вещества. Но после определенного количества лет цикада выходит из почвы, сбрасывает свой экзоскелет и, как бабочка, превращается во взрослую особь с крыльями, которая готова к спариванию. Когда именно эти цикады выходят из-под земли, зависит от вида. Это знаменательное событие происходит каждые 13 или 17 лет. Но это не просто цифры: 13 и 17 являются простыми числами, которые делятся только на себя и на 1; другими примерами простых чисел являются 5 и 11 (см. главу 4.2).

Почему жизненный цикл цикад состоит из простых чисел? Некоторые ученые предполагают, что цикады разработали такой цикл для того, чтобы перехитрить хищников. Чтобы увидеть, как простые числа защитят цикад от хищников, представьте, что цикады выходили бы из-под земли каждые 6 лет. Так как 6 делится на 1, 2, 3 и 6, жизненный цикл любого животного, который содержал бы эти числа, мог совпасть с жизненным циклом цикад, оставляя каждое новое поколение цикад уязвимым к атакам. Но так как цикады появляются по расписанию, которое включает простые числа, то вероятность, что другое молодое животное выйдет на охоту за едой тогда, как новый выводок цикад достигает половозрелости, снижена. Периодические цикады в сущности могут использовать простые числа в качестве защитного механизма.

Цикады не являются единственными организмами, у которых график воспроизводства связан с хищниками. Японский бамбук, например, цветет только раз в 120 лет. Ученые предполагают, что такое длительное время нецветения развилось, чтобы грызуны, которые питаются семенами, умирали между цветениями, в сущности регулируя популяцию грызунов. И где бы вы ни посадили бамбук, он будет цвести раз в 120 лет как по часам.

Цифры, которые мы используем каждый день, настолько привычны, что иногда мы не ценим их определенные аспекты. Но если бы вы пригляделись к нашим цифрам, то вы бы начали замечать их особенности. Например, наши числа состоят лишь из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но почему нет специального числа для 10? Или 85? Или 3001?

Ответ кроется в том, что наши цифры используют десятичную систему счисления. В этой системе каждая позиция в цифре обозначает определенную степень десяти. Если 1, 2, 3 или любое другое число находится в этой позиции, мы умножаем это число на эту степень десяти. Приведем пример:

В этой цифре 2 стоит на первом месте справа. Это место единиц, или 10⁰. Итак, мы умножаем 2 на 1. Следующая цифра левее – 4. Это десятки, или 10¹, поэтому мы умножаем 4 на 10. А 6 – это сотые, или 10², так что мы умножаем 6 на 100. Таким образом, цифра 642 обозначает (6 × 100) + (4 × 10) + (2 × 1), или шестьсот сорок два.

А есть ли другая система, которая использует не десятичную систему? Да, и на самом деле ее поддерживает каждый существующий компьютер! Это двоичная система, и, подобно десятичной, она основывается на позициях. Самая первая позиция справа – это 2⁰, или позиция единиц. Следующая позиция левее – это 2¹, или позиция двоек. Дальше идут позиции четверок, восьмерок и так далее. Но, в отличие от десятичной системы, в двоичной системе есть только две цифры: 1 или 0. Итак, если бы мы захотели записать цифру 5 в двоичной системе, то у нас получилось бы:

Здесь 1 находится на позиции четверок, 0 – на позиции двоек и 1 – на позиции единиц; вместе они равны пяти. (Компьютеры используют двоичную систему прежде всего потому, что легче определять два состояния – 1 и 0, которые соответствуют включению и выключению, – чем десять.)

Нули и единицы можно использовать для кодирования букв. Двоичный код переводит каждую букву в уникальный ряд из восьми нулей и единиц. Вариации такого кода были изучены мыслителем XVI века Фрэнсисом Бэконом и математиком и философом Готфридом Лейбницем в XVII веке.