Если бы нам необходимо было ограничиться всего одной рекомендацией, мы посоветовали бы делать именно это. В играх полно математики, и они дают идеальную возможность «запустить» у ребенка математическое мышление. Сегодня родители намного меньше играют с детьми, чем когда-то. Отчасти дело здесь в отсутствии свободного времени – все мы сегодня загружены гораздо сильнее, чем прежде. Но причина не только в этом. Сейчас так много увлекательных электронных игр, что дети, естественно, в любой момент готовы сесть перед экраном, зайти на игровой сайт – или включить игровую приставку – и погрузиться в игру. А ежели игры связаны с математикой, разве от этого не все выигрывают? В конце концов, когда ребенок полностью занят и изучает математику, то родитель может заняться чем-нибудь другим, не чувствуя себя при этом виноватым.

К сожалению, в этой схеме не хватает импровизации, присущей совместным играм родителя и ребенка. Когда мальчик или девочка собирается бросить кубик, мама может сказать: «Так-так, сколько тебе сейчас нужно выбросить, чтобы догнать меня?» При игре в «Монополию» вы могли бы сказать: «Ну-ка, сможешь ли ты сыграть роль банкира и разменять мне £500 по £100 и £50?» Использовать настольные, карточные и другие интерактивные игры, которые мы описали в этой книге, – отличный способ естественным образом познакомить ребенка с математическими идеями.

Если вы всегда выигрываете или получаете правильный ответ, есть опасность, что единственное, что усваивает ребенок в результате ваших совместных занятий математикой, – то, что вы сильны в этом предмете. А дети во всем похожи на нас: если постоянно проигрываешь, очень скоро начинаешь думать, что существуют игры и поинтереснее. Конечно, вы знаете своего ребенка лучше, чем кто-либо, и сможете понять, как часто следует позволять ему выигрывать и какое соотношение здесь будет оптимальным. Позволять детям всегда выигрывать тоже не следует: это не подготовит их к неудачам, а испорченные капризные дети никому не нравятся!

Кстати говоря, математические идеи можно привлекать даже тогда, когда вы позволяете ребенку «выиграть» в чем-то, что вообще не имеет отношения к математике. Например, большинству родителей трудно заставить сына или дочь отправиться вечером в кровать. Как правило, детям нравится, когда папа или мама предлагает им уложиться в «заданное» время; такая ситуация их стимулирует. «Спорим, ты не будешь готов к тому времени, когда я досчитаю до… тринадцати». Затем вы считаете с такой скоростью, чтобы ребенок с трудом, но успел к сроку, – а это дает вам прекрасную возможность закончить примерно так: «Одиннадцать, одиннадцать с половиной, двенадцать, двенадцать с половиной, двенадцать и три четверти, двенадцать и семь восьмых…» Таким образом ваш ребенок познакомится на подсознательном уровне с понятием возрастающих дробей… Да, вот такие мы провокаторы ☺.

Как чувствует себя ребенок, если мама или папа садится рядом с ним за стол и говорит: «Ну хорошо, давай-ка порешаем примеры»? Многие дети при этом испытывают примерно такие же ощущения, как и тогда, когда взрослые ставят перед ним тарелку c противной вареной морковкой, приговаривая: «Съешь-ка, ты знаешь, это полезно». Немедленная реакция – сопротивление. Вместо того чтобы превращать занятие математикой в обычный урок, хоть и с родителями, найдите способы обращаться к ней как бы невзначай. Разгружая посудомоечную машину, скажите: «О, сегодня на обед, надеюсь, суповых тарелок хватит – давай-ка проверим». Складывая покупки, спросите: «Если хлеб стоит 84 пенса, а молоко – 33, сколько стоит то и другое вместе?» (Не обязательно при этом пояснять, кому вы задаете вопрос – себе или ребенку.) Дожидаясь очереди в кассу, попробуйте примерно оценить общую стоимость покупок. Кто из вас сделает это точнее? Или даже, если вы идете в школу, а мимо проезжает 23-й автобус, можно неожиданно спросить: «Послушай, я вот тут подумал, 23 – это простое число?» Такой вроде бы случайный, без всякой видимой причины, разговор наводит на мысль о том, что математика – это что-то, о чем можно при случае поговорить точно так же, как говорят, например, о погоде.

Запомните три кита повседневных занятий математикой: деньги, часы и кулинарные рецепты. Все три сферы предоставляют идеальные возможности попрактиковаться в математике. Вместо того чтобы самому оплачивать покупки в магазине, позвольте сыну или дочери сделать это. Привлеките ребенка к отмериванию и взвешиванию ингредиентов, указанных в рецепте приготовления какого-то блюда. Подарите ему наручные часы, чтобы он мог в любой момент назвать вам время. Старайтесь говорить спокойно и доброжелательно. Вот, к примеру, хорошая тактика работы со временем – сказать (небрежно, как всегда): «Мне кажется, уже половина двенадцатого, а по твоей оценке сколько?» А кухня – вообще идеальное место для изучения самых разных математических действий и явлений, включая измерения, перевод единиц из одной системы в другую, дроби («полпачки»), пропорции («это рецепт на четыре порции, а нам нужно рассчитать ингредиенты на десять человек») и умножение («в этой коробке печенье уложено в три ряда и четыре столбика, сколько в ней всего умещается печенек?»).

Как можно заинтересовать ребенка задачей наподобие «Прибавь к семи одиннадцать»? Прежде всего нужно сделать так, чтобы поиск ответа оказался процессом увлекательным. Простого сомнения: «Могу поспорить, ты не знаешь, сколько будет семь плюс одиннадцать», – может быть достаточно, чтобы подстегнуть любопытство многих детей. Но побольше изобретательности не помешает. Один знакомый нам папа любил собрать своих детей вместе и прошептать им заговорщически что-нибудь вроде: «Эй, давайте-ка проберемся тайком к дому мистера Памфри и напишем у него на дорожке мелом таблицу умножения на восемь». Дети с удовольствием отправлялись в такое замечательное приключение. Как они хихикали, выводя на дорожке мелом «4 × 8 = 32», как бросились наутек, когда мистер Памфри (который, разумеется, был с папой заодно) вышел из дома и поймал их за этим делом! Еще один очень надежный способ – объявить о том, что вы готовы сделать что-нибудь чрезвычайное, скажем, залезть под стол и погудеть паровозом, если кто-нибудь верно ответит на тот или иной математический вопрос. Немногие дети в возрасте до восьми лет смогут устоять перед таким соблазном и не включиться в игру.

Дети часто изобретают собственные методы решения математических примеров. Иногда они выбирают окольные пути, иногда находят более простые подходы. Вы можете, конечно, подтолкнуть сына или дочь к использованию быстрых и надежных способов; но не нужно – и даже нельзя – принуждать ребенка пользоваться непонятным ему приемом. Вообще, не существует одного-единственного метода, который идеально подходил бы для всех задач. К примеру, числа 3786 и 4999 разумно сложить в уме (3785 + 5000), тогда как для сложения 3786 и 4568 вам потребуются бумага и карандаш или калькулятор. Сколько будет 45 умножить на 99, несложно подсчитать в уме (45 × 100 = 4500, это на 45 больше, чем нужно, поэтому ответ 4455), но 45 на 68 вы так просто не умножите.

Мы, как умудренные жизнью взрослые, знаем, что увлечения у людей бывают самые разные: фотографирование поездов, коллекционирование марок, поиск простых чисел и т. п. Наша культура то и дело напоминает нам, насколько странными являются эти хобби; людей, которые отдают им свое время, считают большими оригиналами. Истина, однако, заключается в том, что почти все мы в глубине души чудаки, а главные чудаки – дети. Большинство детей с удовольствием выполняют одни и те же задания, любят абстрактные игры и проявляют энтузиазм там, где взрослые, возможно, видят только скуку и примитив. Представление о том, что какая-то деятельность может быть эксцентричной или унылой, мальчикам и девочкам не свойственно, и в определенном смысле грустно лишь то, что такое отношение им со временем прививают. Если вы объявите: «Эй, ребята, давайте-ка определим номер этого поезда», – дети, вероятнее всего, будут рады откликнуться на ваше предложение – если, конечно, вы сможете их убедить, что и вам самим это интересно. Да, ваши дети фотографируют поезда. Смиритесь с этим.

Говоря ребенку: «Отлично, на этот раз ты постарался как следует!», стремитесь к тому, чтобы в ваших словах звучало искреннее восхищение. Независимо от того что вы чувствуете на самом деле, демонстрируйте свой интерес к математике – и ваши дети тоже ей заинтересуются. И может быть, она вам в конце концов действительно понравится – любовь к математике может быть заразна.

Наш список того, чего делать не надо, очень короток. Строго говоря, в нем всего два пункта, но оба они очень важны.

Этого не стоит ожидать даже после 50-кратного объяснения. Может пройти очень, очень много времени, прежде чем в мозгу у ребенка «что-то щелкнет», и математические идеи станут его второй натурой. Ребенок может сегодня знать, что семью семь равно сорок девять, но завтра, когда то же самое встретится в другом контексте, он может внезапно решить, что ответ – сорок семь. Это нормально. Не забывайте: у вас, вероятно, ушел не один год на то, чтобы достичь нынешнего уровня владения числами (каков бы он ни был).

И особенно, не говорите так, будто вы этим гордитесь. Взрослые часто признаются: «Я всегда был безнадежен в математике», чуть ли не хвастаясь. Почему? Отчасти дело в том, что многие взрослые искренне убеждены в своей неспособности к математике, поскольку живо помнят, как трудно им было в школе и как много ошибок они делали в математических тестах. В какой-то степени срабатывает защитный механизм: если сказать, что ничего не смыслишь в математике, то можно быть уверенным, что никто не задаст математических вопросов. Но утверждение о неспособности к математике может нести и другой, менее явный, но куда более коварный смысл: «…и посмотрите, сегодня я успешный взрослый человек, так что знание математики не так уж важно».

Дети с готовностью подхватывают эту мысль, и в итоге отторгают математику. Они заранее знают, что этот предмет им наверняка не понравится, что он повлечет за собой неудачи, да и вообще проку от него никакого. Правда же в том, что многие мамы и папы, объявляющие себя неспособными к математике, попросту лукавят. Эти родители зачастую без труда справляются с домашней бухгалтерией, составляют планы и расписания, легко справляются с множеством задач одновременно и играют в стратегические игры.

Часто говорят, что люди, объявляющие себя неспособными к математике, никогда не говорят ничего подобного про чтение или грамотное письмо. Отчасти это происходит потому, что люди путают широкое понятие «математики» с узкой ее областью – арифметикой. Если кто-то представляется вам как учитель родного языка, то вы же не будете сразу же нырять в кусты и говорить: «Господи, я всегда был неспособен грамотно писать». Вы понимаете, что главное в родном языке – идеи и воображение, а не скучная формальная грамматика, орфография и пунктуация. Однако это достаточно точный аналог того, как люди ведут себя по отношению к математике.

Школьный опыт, подкрепленный широко распространенными предубеждениями, подталкивает нас к тому, чтобы считать математику всего лишь сложной арифметикой. На самом же деле математика – нечто гораздо большее. Это творческая и глубоко философская дисциплина, требующая богатого воображения. К несчастью, и необходимость выполнять учебный план и работать с большим числом детей с самыми разными способностями ограничивает возможности учителя; по существу, преподаватель не в состоянии познакомить детей с творческим аспектом математической деятельности (хотя на свете немало учителей, которым, несмотря ни на что, это удается).

К счастью, есть еще одно место, где ваши дети могут больше узнать о том, что такое реальная математика – та, что может приносить удовольствие и требует богатого воображения. И это место – дом, а знакомиться с математикой они могут вместе с вами, мама и папа.

Ребенок впервые сталкивается с математикой, когда учится называть числа и считать предметы; многие дети овладевают этими навыками к моменту поступления в школу. Поэтому, если у ваших детей первый этап уже позади, вы, возможно, решите пропустить данную главу. Однако все же нам хотелось бы на мгновение задержать вас и напомнить о том, какая это хитрая и сложная штука, наша система счисления. Древний римлянин или грек, телепортированный в первый класс современной школы, застыл бы в благоговейном изумлении перед системой записи чисел – ведь «1» в ней может означать и одну вещь, и десять, и даже тысячу. Что же касается запятой в десятичной дроби и странных слов, таких как «сорок» или «девяносто», обозначающих почему-то «четыре десятка» и «девять десятков» соответственно, то они просто поставили бы беднягу в тупик. Числа совсем не так просты, как нам, привыкшим к ним взрослым, кажется. Не стоит удивляться, что многие дети, научившись считать, долгие годы не могут разобраться в «позиционной системе».

В этой главе мы расскажем немного о том, как человечество обзавелось нынешней системой счисления и как ее сегодня преподают в школах. Мы также познакомим вас с кое-какими играми и другими приемами, которые помогут вам закрепить знания ваших детей об этой системе и могут оказаться такими же интересными и полезными для десятилетних детей, как и для дошколят.

1. Дети думают, что 6000 – это на один больше, чем 5099.

2. Записывают «сто тридцать шесть» как 10 036.

3. Не сознают, что в числе 243 содержится 24 группы по 10, а не просто четыре десятка.

4. Думают, что 3,453 меньше 3,35, потому что в первом числе присутствуют тысячные.

5. Думают, что 0,75 меньше 0,203, потому что 75 меньше 203.

Наша система счисления работает следующим образом: объекты в ней группируются в десятки, десятки десятков слагаются в сотни, десятки сотен образуют тысячи и т. д. Выбор именно десятки в качестве основы для счета объясняется, конечно, тем, что у каждого из нас на руках по десять пальцев – и на ногах тоже, для ровного счета.

Эта система десяток («десятичная») настолько нам знакома, что кажется почти естественной – ну, просто числа так устроены. На самом же деле этой системе в том виде, в каком мы ее знаем, – то есть с сотнями, десятками, единицами и всем остальным, – а также ее каждодневному применению для расчета денег и различных измерений, всего несколько сотен лет. Мы знаем, что детям требуется не один год, чтобы научиться «расшифровывать» написанные значки и бегло читать; точно так же и на освоение придуманной нами системы называния, чтения и записи чисел нужно время.

Идея группировать числа по десяткам получила признание много веков назад, о чем явно свидетельствует изобретение абака. Первые абаки делались из глины и имели желобки, в каждом из которых помещалось девять небольших камешков. Как только счет доходил до десяти, вместо десяти камешков клали один – причем уже в следующий желобок. Когда и этот желобок заполнялся девятью камешками, с появлением десятого все десять опять заменялись на один, который вновь оказывался в следующем желобке. Записывать не было нужды – камешки в желобках помогали следить за счетом. Для обозначения более крупных групп использовались особые символы, к примеру, X для десятки и C для сотни в римской системе.

Ранние системы счисления не имели знака для обозначения нуля. В конце концов, если в желобке абака нет ни одного камешка, то как обозначить пустоту? У римлян 305 записывалось просто как CCCV, а тот факт, что в числе нет десяток, с очевидностью вытекал из отсутствия в записи знаков X.

Ситуация начала меняться с введением нашей современной (арабской) системы счисления. Один и тот же символ – к примеру, 3 – использовался для обозначения трех единиц, или трех десятков, или трех сотен, или трех миллионов и т. д. Теперь важны были не только сами символы, но и место, которое они занимали в числе. Если в сотенном желобке абака лежали три камешка, в единичном – пять, а бороздка, отвечающая за десятки, оставалась пустой, то писцы начали записывать 3 5. Но как быть с промежутком между 3 и 5? Как дать понять, что он оставлен намеренно, а не возник в результате неаккуратности писца? Или, к примеру, что пропущены только десятки, а не десятки и сотни одновременно и что 3 означает 300, а не 3000? Эту проблему удалось решить изобретением нуля (0), который стал использоваться для обозначения пустого места. Появление нуля между 3 и 5 – 305 – удерживало 3 и 5 на их законных местах единиц и сотен. Значение 3 в данном случае становится однозначно: три сотни, 300. Отсюда и одно из названий нашей системы счисления – позиционная система.

Запись чисел с использованием их разрядных значений приобрела особую роль с изобретением печатного станка. Когда бумага стала дешевой, люди смогли отложить в сторону свои «старые» счетные методы – абаки – и перейти к новой, более универсальной технологии – бумаге и перу. Некоторые историки считают, что в то время об «отупляющем» влиянии письменного счета (по сравнению со счетом на абаке) спорили не меньше, чем сегодня говорят об отупляющем влиянии калькуляторов, пришедших на смену вычислениям на бумаге. Возможно, вопрос «Что ты будешь делать, если у тебя сломается перо?» тогда служил эквивалентом сегодняшнего «Что ты будешь делать, если у тебя в калькуляторе сядет батарейка?». Мало того, и сегодня в мире найдутся такие места, где самым популярным счетным инструментом до сих пор служит абак. В Японии тоже используется своеобразная форма абака – соробан, – и опытные пользователи считают на нем быстрее и точнее, чем с помощью ручки и бумаги.

Чтобы узнать побольше о позиционной системе, которую мы принимаем как нечто само собой разумеющееся, давайте посмотрим, как могло бы обернуться дело, если бы у человека было не десять, а восемь пальцев на руках.

Система счисления, которой мы пользуемся, основана на подсчете пальцев на руках. После того как все пальцы оказываются посчитаны, нам нужно начать заново, поэтому для того, чтобы зафиксировать наличие у нас двенадцати предметов, мы говорим, что у нас есть один полный набор пальцев плюс еще два – и записываем это как 12. Это серьезный шаг для мальчика или девочки – соотнести единицу в числе 12 с «одним набором из десяти штук». Чтобы помочь вам встать на место ребенка и оценить сложность стоящей перед ним задачи, вам полезно поработать с незнакомой системой счисления. Представим, какой могла бы быть математика, окажись у нас на руках не десять пальцев, а всего восемь (как обычно рисуют у мультяшных героев, таких как Барт Симпсон или Микки-Маус). Тогда счет выглядел бы так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12…

Этот вариант счета известен как система счисления с основанием восемь, или восьмеричная система. Обратите внимание: на самом деле в ней никогда не используется цифра 8. В этой системе 10 означает не десять, а восемь – одну группу из восьми единиц. Так что в мире восьмипалых 12 – это группа из восьми единиц плюс две единицы, что означает десять в нашей обычной системе отсчета.

Идею системы счисления с каким-то конкретным основанием можно связать с любым числом пальцем. Представьте себе, к примеру, инопланетянина всего с двумя пальцами. Он никогда не стал бы использовать число 2. Вместо этого счет у него начинался бы так: 1, 10, 11… а дальше? В двухпальцевой математике нет цифры 2, так что после 11 идет 100. Затем 101, 110, 111, 1000 (соответственно, 1000 означает число 8: одна восьмерка, нет четверок, нет двоек, нет единиц). Счет на двух пальцах известен как система счисления с основанием два или, как ее чаще называют, двоичная система счисления.

Многие британские родители – и наверняка бабушки и дедушки – изучали в школе числа в разных системах счисления. Тому была серьезная причина, поскольку в обычной жизни им каждый день приходилось сталкиваться со счетом в системах, отличных от десятичной. К примеру, в шиллинге было 12 пенсов, в футе – 12 дюймов, в фунте – 16 унций, в галлоне – 8 пинт.

Теперь, когда большая часть мира пользуется метрической системой, необходимость изучения других систем счисления стала куда менее очевидной, но представление о том, как они работают, помогает лучше понять десятичную систему, которой мы пользуемся и склонны воспринимать как нечто само собой разумеющееся. А тому, кто хотел бы разобраться в основах работы компьютеров, без понимания двоичной системы не обойтись (позже мы поговорим об этом более подробно).

Прежде чем более внимательно рассмотреть нашу систему счета больших чисел, давайте попытаемся понять, в чем сложность того, что приходится осваивать маленьким детям в процессе обучения счету.

Во-первых, разумеется, им приходится заучивать новые названия: один (раз), два, три и т. д. И, хотя взрослым это кажется очевидным, детям необходимо узнать и запомнить, что эти слова следует произносить в определенном и всегда одинаковом порядке (а вот, например, игрушечных мишек, красиво рассаженных на диване, можно называть в любом порядке, да и расположить их можно по-разному). Многие известные детские считалки – «Раз, два, три, кому хочешь, дари!»; «Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять…» – придуманы именно для того, чтобы помочь ребенку освоить счет.

При знакомстве с числами дети видят в них скорее «описания», «ярлычки», не имеющие отношения к «количеству». Фраза «Саше четыре годика» для ребенка не слишком отличается от фраз «Саша – мальчик» или «Саша маленький». Номера домов, кнопки на мобильнике, телевизионные каналы – дети со всех сторон окружены числами-ярлыками и не воспринимают их как что-то связанное с количеством. Разумеется, мы как родители помогаем им увидеть эту связь, но работы здесь еще много. Так, если, занимаясь с четырехлетним ребенком, вы выложите на стол шесть конфет, пересчитаете их и попросите малыша дать вам три штучки, то он уверенно протянет вам одну конфету – ту, на которую указал ваш палец на слове «три», вместо того чтобы дать сразу три. Это очень серьезное достижение – произнося «один, два, три, четыре, пять, шесть» и показывая пальцем на последнюю в ряду конфету на слове «шесть», осознавать, что теперь «шесть» может быть ярлычком для всех конфет вместе, а не только для той одной, на которую палец указал последней. И это при условии, что ребенок уже преодолел одно серьезное препятствие и научился координировать три вещи: указывать на конфету ровно в тот момент, когда произносится очередное счетное слово; следить за тем, чтобы не пропускать ни конфет, ни слов, а также за тем, чтобы не сосчитать ни одну из конфет дважды. Учиться счету лучше на реальных объектах, а не на картинках, потому что посчитанные предметы можно отодвигать в сторону (чтобы не сосчитать их повторно) и делать это одновременно с произнесением соответствующего счетного слова.

А теперь представьте, что вам шесть или семь лет и вы только начинаете чувствовать себя уверенно в этой игре, которую взрослые называют счетом; вы уже умеете загибать пальчики по очереди и считать их все, сколько есть. И тут вдруг появляется кто-то, кто начинает называть все ваши десять пальчиков «один»! Согласитесь, римским детям, у которых для этого был специальный символ – X, жилось намного легче.

Та же сложность обнаруживается, когда дети начинают осваивать счет денег, для начала – монет. Почему пятипенсовик, который уступает по размеру монете в один пенни, должен обладать такой же ценностью, как пять монет по одному пенни? Маленький ребенок всегда предпочтет пять отдельных монет.

Здесь могут помочь различные игры и занятия, в ходе которых нужно собирать, группировать, обменивать и называть предметы. Придумайте какую-нибудь простую игру: пусть ребенок собирает пенни, и всякий раз, когда у него наберется пять монет, обменивает их на одну пятипенсовую. Или можно собирать цветные счетные палочки или фишки – когда наберется десять красных палочек, обменивайте их на одну синюю. Десять синих палочек, если столько наберется, можно будет обменять на одну желтую. При этом имеет смысл разговаривать с ребенком о палочках: «Смотри, у меня две синие палочки и три красные. Если я обменяю их все на красные палочки, сколько палочек у меня будет?»

Второе серьезное препятствие – язык, который мы используем для счета. Англоязычных детей, например, могут сбить с толку слова eleven и twelve (11 и 12): почему не one-teen и two-teen, тогда как есть, скажем, sixteen и seventeen (16 и 17)? Во французском языке после достаточно логичного счета десятками до 60 (soixante) счет внезапно меняет курс и описывает 70 как «шестьдесят десять», 80 как «четыре двадцатки», а 90 – как «четыре двадцатки десять».

Откровенно говоря, это настоящая путаница![2] Китайцы в данном смысле более последовательны и логичны. 13 у них обозначается как один-десять три, а 46 – четыре-десять шесть. Что проще: «один-десять три плюс один-десять шесть будет два-десять девять» или «тринадцать плюс шестнадцать равно двадцать девять»? Некоторые даже считают, что изучение китайского счета дает детям лучшее понимание основ числовой системы, и именно благодаря этому преимуществу представители государств Дальнего Востока постоянно побеждают на математических олимпиадах учащихся из стран Запада.

С написанием чисел тоже проблемы. Мы говорим «шестьдесят семь» и пишем 67 – достаточно логично, порядок цифр соответствует порядку произносимых слов. Но говоря «семнадцать», мы пишем 17 – порядок цифр здесь обратный по отношению к слышимому (это же число французы логично называют «десять-семь»). Дети, которые пытаются написать 61 вместо 16, не просто ошибаются – они разумно пытаются связать то, что они слышат и произносят, с тем, что приходится писать. А слово «сорок» вообще ничего не говорит о том, что нужно записывать.

Ловушки поджидают детей и в названиях сотен. В английском 473 звучит как «четыре сотни и семьдесят три» (four hundred and seventy three), и отдельное слово «сотни» иногда приводит к том, что дети пишут не 473, как нужно, а 40073.

Имея в виду, что изменить систему названий чисел не в нашей власти, как мы можем помочь ребенку? Полезно вместе поиграть с большими числами, попутно исследуя их возможности. Очень соблазнительно думать, что для ребенка логично знакомиться с числами идя от маленьких к большим: сначала числа до 10, потом – до 20, затем – до 30 и т. д. Но обратите внимание: именно с наименованием маленьких чисел в языке наблюдается такая путаница. Игры с более крупными числами помогают ребенку понять, что числовая система вовсе не хаотична и общая логика в ней все-таки присутствует. На прогулке, например, предложите ребенку заняться счетом и заодно поиграть: «Давай-ка посчитаем, начиная с шестидесяти», «Посчитаем, начиная с семидесяти пяти, а называть следующее число будем по очереди». Игра должна быть веселой. «Посчитаем десятками, начиная с сорока, договорились? Пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят. Что дальше? Девяносто!» Обрадуйтесь, если ребенок скажет, что после восьмидесяти должно идти девятьдесят: согласитесь, это очень логично.

Полезно также играть с по-настоящему большими числами. Для того чтобы назвать большое число, мы группируем используемые для его записи цифры по три. Подумайте, как вы назовете следующее число: 876 452 781. Прислушайтесь, уловите закономерность: восемьсот семьдесят шесть миллионов четыреста пятьдесят две тысячи семьсот восемьдесят один. Вырисовывается почти вальсовый ритм: раз-два-три, раз-два-три, раз-два-три. Сотни, десятки и единицы – основные строительные кирпичики в названиях всех больших чисел.

Когда ребенок считает уже уверенно, он начинает открывать для себя числовые закономерности. Одна из простейших закономерностей – четные и нечетные числа, различать которые способны даже четырехлетние дети. Гуляя по улицам, вы можете показывать детям, что дома «считаются» не по обычным правилам. На одной стороне располагаются дома с номерами 2, 4, 6, 8, 10…, а на другой – 1, 3, 5, 7, 9… Дети быстро схватывают эту закономерность, так что стоит вам спросить: «А какой будет номер следующего дома?», – как ребенок начнет считать двойками.

Можно считать, что ребенок на самом деле овладел счетом, если он способен считать не только вперед, но и назад. Обратный отсчет перед пуском ракеты – замечательная штука, помогающая ребенку запечатлеть в памяти обратный порядок цифр (можно найти какую-нибудь видеозапись с таким отсчетом, реальную или из фантастического фильма: ПЯТЬ… ЧЕТЫРЕ… ТРИ… ДВА… ОДИН… ПУСК!).

Есть также небольшой фокус с обратным счетом, которым можно развлечь маленького ребенка, который уже знает, что у него должно быть десять пальчиков.

– А ты знаешь, что у меня одиннадцать пальцев?

Ребенок с любопытством изучает свои и ваши руки.

– Нет, десять!

– Я сейчас покажу тебе, что у меня их одиннадцать. Так, сначала левая рука, на ней… [указываете по очереди на пальцы левой руки] десять, девять, восемь, семь, шесть пальцев [произнося «шесть», поднимаете мизинец вверх]. Так, это шесть. Теперь добавляем пять пальцев на другой руке, шесть и пять вместе получается 11».

После этого ваш «одураченный» на короткое время ребенок будет с большим жаром и энтузиазмом объяснять и демонстрировать вам, что на самом деле пальцев у вас десять.

Чему равно самое большое число, которое вы в состоянии придумать? 18… 94… 100… 1000. Чему на самом деле равно самое большое число? И существует ли самое большое число? Это игра, в которую обожают играть дети.

Здесь очень кстати приходятся слова, обозначающие большие числа: при перечислении они начинают звучать немного глупо. Миллионы, миллиарды, триллионы… «дофигаллионы»! Это еще один хороший повод для разговора о разрядных значениях, поскольку количество нулей в числе становится очень важным.

Представить себе миллион чего-нибудь чрезвычайно трудно. Большинству детей кажется, что даже тысяча – это о-очень много. Можно подтолкнуть воображение ребенка, выхватив из газетной статьи или из новостей произвольное большое число – к примеру, сумму, уплаченную клубом за футболиста. «Роналду только что продали за 80 миллионов фунтов», – может прозвучать в новостях. Услышав это, вы спрашиваете: «А ну-ка, сколько тебе пришлось бы копить карманные деньги – пусть это будет, скажем, £10 в неделю, – чтобы купить Роналду?»

Возможно, вы удивитесь, но большинство детей считает, что такую сумму можно накопить за год. «Это не так? А сколько же? Десять лет? Сто лет?» – спрашивают дети с возрастающим интересом.

На самом деле правильный ответ – 160 000 лет. Но даже это число мало что значит для большинства детей. Поэтому вам следует объяснить, что 160 000 лет назад – эпоха до начала последнего ледникового периода. Неандертальский человек все еще обитал в глухих уголках Европы. Представьте, что мог бы сказать пещерный человек: «Знаешь что, мне бы хотелось заполучить через 160 000 лет Роналду в свою команду, так что если я сегодня начну откладывать по десять мамонтовых шкур в неделю, то когда-нибудь я смогу его купить». Согласитесь, при такой постановке вопроса и правда возникают сомнения в том, что какой бы то ни было футболист в принципе может представлять собой такую ценность…

Пройдите в самую большую комнату своего жилища. А теперь вообразите, что вся ширина этой комнаты представляет собой миллиард. Какую часть ширины в таком случае занимает миллион? Поскольку миллион – число большое, естественно подумать, что точка, соответствующая этому числу, окажется на достаточном, заметном расстоянии от стены. В действительности же, если ваша комната, скажем, имеет ширину пять метров, то «миллионная» отметка будет располагаться всего лишь в пяти миллиметрах от стенки. В сравнении с миллиардом миллион – крохотная величина. «Миллионы», «миллиарды», «триллионы» наполняют наши газеты. Все названия звучат солидно, на самом же деле очень полезно сформировать у ребенка представление о том, что между большим, очень большим и огромными числами – дистанция огромного размера.

…и так далее.

В конце концов мы добираемся до «бесконечности» и успокаиваемся до тех пор, пока кто-нибудь не скажет: «Бесконечность плюс один». Но что такое бесконечность плюс один? (Если захотите узнать об этом, см. «Бесконечность и дальше» в главе «Большие идеи для маленьких человечков».)

Мы уже видели, как наша система счета работает с группировкой чисел по десяткам, когда каждый разряд в числе в десять раз больше, чем его сосед справа (сто в десять раз больше десяти, тысяча в десять раз больше ста и т. д.). Эта же модель работает и в обратном направлении. Читая слева направо, увидим, что каждый следующий столбец в десять раз меньше предыдущего (сто в десять раз меньше тысячи, единица в десять раз меньше десятка). Но зачем останавливаться на этом?

Мы можем поделить единицы на кусочки, которые будут в десять раз меньше: десятые доли. А эти десятые доли поделить на кусочки, которые вновь будут в десять раз меньше: сотые доли. Мы называем все эти доли десятичной дробной частью, или десятичными знаками. В английском языке они обозначаются словом decimals – с ним связано слово «децимация», произошедшее от латинского decimatio. (В Древнем Риме существовало жестокое наказание с таким названием: если когорта в войске совершала какой-то проступок, то в ней казнили каждого десятого солдата просто по счету).

Когда математики придумали принцип образования десятичных дробей, встал вопрос: как записывать эти новые числа? Можно было бы, конечно, писать просто но кому-то в голову пришла блестящая идея просто обозначить специальным значком место, где заканчиваются целые числа и начинается дробная часть: 93,58. В настоящее время в качестве такого значка в разных странах используются точка и запятая.

Десятичные знаки в дробной части тоже могут продолжаться сколь угодно долго:

Так что числа могут не только увеличиваться, но и уменьшаться до бесконечности.

Сложение и вычитание – два краеугольных камня в фундаменте математики, и именно на этой стадии изучения математики мамы и папы скорее всего столкнутся с незнакомыми методами и терминами, такими как «числовая прямая» и «факты сложения».

Самое, возможно, серьезное изменение в преподавании сложения и вычитания заключается в том, что сегодня детей в первую очередь – прежде чем переходить к сложению и вычитанию столбиком – учат устному выполнению этих действий. В данной главе объясняется, почему акценты сместились таким образом.

Из двух названных тем наибольшие трудности для детей представляет вычитание. Большинство родителей воспринимают вычитание просто как противоположность сложению, но на самом деле все несколько сложнее, потому что у вычитания есть множество разных смыслов. Слово «вычесть» может означать и «отнять», и «найти разницу», и даже «сложить». К примеру, если у вас есть 201 каштан, а потом вы 196 из них убрали, сколько у вас осталось? Ребенок, вероятно, уверен, что для ответа нужно решить сложный пример на вычитание, а взрослый, скорее всего, видит здесь необходимость сложения (сколько нужно прибавить к 196, чтобы получить 201… а, это просто, пять!). Именно потому, что сложение и вычитание часто представляют собой одно и то же, мы и объединили их в этой и следующей главах. Сначала мы посмотрим, почему методы и приемы устного счета приобрели такое значение и чем они отличаются от обычных арифметических действий, производимых в уме, а также поговорим о том, как вы можете поддержать ребенка при освоении этих методов. В следующей главе мы рассмотрим такие случаи сложения и вычитания, когда эти действия невозможно легко выполнить устно, а также те методы письменного сложения и вычитания, которым детей в настоящее время обычно учат в школе.

1. Чтобы выполнить сложение или вычитание, ребенок считает вперед или назад единицами, тогда как существуют более простые методы. К примеру, если надо к 17 прибавить 9, он начинает считать: 18, 19, 20,… хотя намного быстрее было бы прибавить десять и затем вычесть один.

2. Ребенок сразу же хватается за ручку и бумагу и начинает считать в столбик, хотя стоит задуматься и можно без труда найти более простой устный способ (245 + 299 или 4003 – 2996).

3. Уверен, что вычесть – значит непременно «отнять», и не осознает, что это может означать также «найти разницу»; к примеру, на сколько я выше своего брата?

4. Дети думают, что нельзя вычесть большее число из меньшего, поэтому решить пример 7 – 11 невозможно (слава богу, в банке так не считают).

Одного восьмилетнего мальчика спросили: «Если малыш родился в 1998 году, то сколько лет ему исполнилось в 2001 году?» Он без колебаний ответил: «Три».

Этому же мальчику чуть позже дали пример: 2001 – 1998. Внезапно здравый смысл отказал ребенку и включился автопилот. Вот его расчет:

Он нашел разницу между цифрами в каждом столбце и записал ее. Проблема с вертикальными вычислениями состоит в том, что они заставляют сосредоточиться на цифрах в числе, а не на самих числах. Это означает, что ребенок, выполняя такие операции, проделывает все механически и не задумывается о разумности ответа.

Устный счет сегодня не похож и не должен быть похож на устный счет 1950-х и 1960-х гг. Тогда дети испытывали сильное давление – нужно было как можно быстрее отвечать на вопросы учителя, задаваемые всему классу, – и часто испытывали чувство стыда, если им не удавалось поспевать за всеми. (Один из нас, Майк, ходил в школу, где за промедление ученики получали удар линейкой по рукам. Логика такого отношения непонятна ему до сих пор.)

Устный счет нужен для того, чтобы человек мог посмотреть на предложенные числа и увидеть самый подходящий метод вычисления. Вам следует объяснить ребенку, что, прежде чем что-то считать на бумаге, нужно спросить себя: «А нельзя ли проделать это в уме?»

Рассмотрим такой пример: 2734 + 3562.

Числа здесь не выглядят особенно «дружелюбными», и самое разумное – взять лист бумаги и карандаш и посчитать столбиком.

Но как насчет этого: 3998 + 4997?

На первый взгляд очень похоже на первый пример. Однако секундное раздумье перед тем, как начать складывать в столбик, – и можно заметить, что оба числа приближаются к целому количеству тысяч, то есть к числам, кратным 1000: 3998 близко к 4000, а 4997 – к 5000. Сложить 4000 и 5000 несложно, это будет 9000. Теперь все, что нужно сделать, – это чуть-чуть подправить результат; он на 5 больше, чем нужно (2 от 3998 и 3 от 4997). Так что ответ 8995. Несмотря на то что описание кажется длинным и занимает несколько строк, все это проделывается очень быстро. Быстрее, чем взять бумагу и карандаш. И вероятность ошибки меньше.

Прежде чем разбираться в том, как помочь ребенку освоить методы устного счета, подобные упомянутому выше, полезно приглядеться к ранним стадиям обучения сложению и вычитанию.

Большинство из нас, взрослых, обучалось сложению и вычитанию так давно, что мы успели уже позабыть, как долго нам пришлось осваивать эти навыки. Обычный четырехлетний ребенок вполне способен сказать вам, что два банана плюс три банана будет пять бананов или два нагеля плюс три нагеля будет пять нагелей, даже если он представления не имеет, что такое нагель. Но спросите у него, сколько будет три плюс два, и ребенок посмотрит на вас с недоумением: для него это слишком абстрактно. (В классическом исследовании один четырехлетка на вопрос о том, сколько будет три плюс два, ответил: «Не знаю, я еще не хожу в школу».)

Начав учиться в школе, ребенок и правда учится складывать и вычитать абстрактные числа: 3 + 5, 7 – 4 и т. д. При этом он заучивает так называемые факты сложения[3], как может объявить вам ваш ребенок или его учительница. Это начало путешествия детей в страну устного счета – математического навыка, которому в сегодняшней начальной школе уделяется гораздо больше внимания, чем в прежние времена.

Идеальное средство помочь ребенку как следует усвоить состав чисел – игра. Любая настольная игра с двумя кубиками заставляет мальчика или девочку тренироваться в сложении случайных чисел от 1 до 6. Вы без труда можете приспособить любую классическую игру-бродилку для игры с двумя кубиками. Сначала можно немного «подправить» один из кубиков, наклеив на грани стикеры и обозначив три из них одной точкой, а другие три – двумя. Бросание двух кубиков – такого вот упрощенного и стандартного – создает условия для того, чтобы ребенок попрактиковался в прибавлении к числу единицы и двойки – а это ключевое умение для маленького ребенка.

Домино тоже хорошо помогает усвоить состав чисел. Дайте сыну или дочери посмотреть на костяшку столько времени, чтобы он мог понять, сколько там точек с той и другой стороны, но не успел сосчитать все точки вместе. Сможет ли он определить суммарное количество точек? Переверните костяшку, пусть ребенок проверить результат.

Одним из удивительных результатов исследования того, как дети складывают и вычитают, стало следующее открытие: оказывается, развитию навыков устного счета помогает использование бумаги и карандаша! Речь идет об использовании их не для традиционных вычислений столбиком, а для облегчения решения не требующих сложных расчетов задач. Если отмечать на бумаге то, что происходит в голове, и фиксировать промежуточные шаги, то вашему ребенку будет проще рассказать, что он делает, – и в следующий раз вспомнить приемы устного счета.

Умение складывать – естественный результат развития навыка простого счета, и рано или поздно наступает ключевой момент, когда ребенок понимает: чтобы сложить пять конфет и четыре конфеты, не обязательно считать все девять: можно начать с пяти и посчитать после этого еще четыре. В школе для этого используют числовую прямую; от цифры 5 проводят стрелку, добавляя таким образом 4 и получая 9.

По мере того как добавляемые числа становятся больше, полезно бывает разбить процесс сложения на шаги. Вместо того чтобы складывать 8 и 7, дети могут сначала прыгнуть от 8 на 2 (чтобы получить 10), а затем прыгнуть еще раз, на оставшиеся 5, чтобы получить 15.

Разделение числа на части известно сегодня в начальной школе под громким названием – «разбиение». (Большинство родителей, конечно, знакомы с этой идеей, – просто раньше для нее не придумывали специального названия!) Как вы увидите в дальнейшем, знание о разбиении понадобится при изучении всех разделов арифметики, так что стоит добавить это слово в свой словарь.

Простейшие примеры на вычитание решаются точно так же, только двигаться по числовой прямой нужно справа налево, а не слева направо. Так что пример 12 – 5 можно реализовать либо одним прыжком налево, либо в два этапа, к примеру, как показано ниже.

Как только ребенок усвоил базовые факты сложения (для чисел от 1 до 10), он оказывается готов к овладению новыми навыками устного счета. Сегодня детям рекомендуют мысленно представлять себе неразмеченную числовую прямую, на которую при расчетах они будут помещать числа.

Благодаря числовой прямой дети начинают открывать для себя, что существует много различных методов, которые можно использовать при сложении.

Рассмотрим пример: 55 + 37

Если ваш ребенок уже уверенно складывает и вычитает в уме и имеет базовое представление о разрядных значениях, то он, вполне возможно, изобретет для себя метод решения подобных примеров, основанный на разбиении обоих чисел на десятки и единицы:

• складываем 50 и 30, получаем 80;

• добавляем 5, получаем 85;

• прибавляем оставшиеся 7, получаем 92.

Можно отразить эти шаги на неразмеченной числовой прямой:

Чуть более продвинутый подход состоит в том, чтобы разбить на десятки и единицы только одно из чисел. Это позволяет исключить из расчета один шаг:

• складываем 55 и 30, получаем 85;

• к 85 прибавить 7 получится 92.

Неразмеченная числовая прямая наглядно иллюстрирует этот метод:

Дети, судя по всему, «естественно» склоняются к использованию первого метода и очень соблазнительно позволить им работать так, как им удобнее всего. Но если вы сумеете подтолкнуть ребенка к применению второго метода, это поможет ему, когда придет время осваивать вычитание.

Ребенок должен не только осваивать новые методы устного счета, но и регулярно практиковаться в их использовании, чтоб они стали частью его второй натуры. Возможно, вы сейчас подумали о всевозможных рабочих тетрадях по счету, которые продаются в любом магазине, или о подборках примеров в интернете. Есть ли место для подобных вещей? Да, есть, но важнее разговаривать с детьми о различных методах счета. Не стоит усаживать ребенка за стол и заставлять решать по 20 примеров одним и тем же методом просто потому, что они идут подряд в каком-то пособии. Конечно, можно попросить ребенка обвести карандашом все примеры, которые, как ему кажется, он мог бы решить в уме, можно поделиться с ним своими любимыми задачками и таким образом показать ребенку, что к вычислениям следует подходить осмысленно, а не бездумно.

Гораздо более приятная возможность попрактиковаться в устном счете – игры и головоломки.

1. Нарисуйте таблицу, состоящую из четырех строк и четырех столбцов.

2. Напишите карандашом восемь чисел, которые в сумме дают волшебное число – в данном случае 19, вдоль верхней границы таблицы и сверху вниз по левому краю. Очень хорошо, если все числа будут разными, но это не обязательно. К примеру, вы можете выбрать следующие восемь чисел (проверьте, дают ли они в сумме 19):

3. Теперь заполните клетки таблицы числами, полученными при сложении числа, написанного над столбцом, и числа, указанного слева от строки. К примеру, в левой верхней клетке таблицы должно стоять 3 + 4, поэтому впишите туда 7 (у вас получилась так называемая таблица сложения). Как будет выглядеть частично заполненная таблица, см. далее.

4. Сотрите числа, написанные карандашом вокруг таблицы. Волшебный квадрат готов к использованию.

Теперь всякий раз, когда вы выберете ровно по одному числу из каждого столбца и каждой строки, сумма выбранных чисел составит 19.

Чтобы составить волшебный квадрат с иной суммой (к примеру, она будет равняться 43), просто позаботьтесь о том, чтобы числа вдоль границ таблицы на Шаге 2 из перечисленных выше в сумме давали 43. Из волшебных числовых таблиц получаются замечательные открытки ко дню рождения. Просто нарисуйте на открытке соответствующую таблицу – и позаботьтесь о том, чтобы в сумме числа составляли возраст того, кому эта открытка предназначается.

Метод вычитания при помощи числовых прямых работает в точности так же, как и в случае сложения, но двигаться по прямой при этом приходится влево, а не вправо. Однако некоторые подходы к вычитанию оказываются проще других.

Скажем, взгляните на такой пример: 55 – 37 =?

Разбиение обоих чисел на десятки и единицы и попытка вычислять в уме может запутать ребенка, если только он не умеет свободно обращаться с отрицательными числами. Если не проявить достаточной осторожности, можно получить примерно следующее:

1. Вычитаем 30 из 50, получаем 20.

2. Вычитаем 7 из 5 (получаем –2). Могу я это сделать? Может быть, нужно вычесть пять из семи? Получится два.

3. Что же делать дальше? Прибавить два к 20, вычесть два из 20, или что? Помогите!!!

Все будет намного проще, если вы начнете с целого первого числа (в данном случае 55) и вычтете из него сначала десятки, а потом единицы.

1. Вычитаем 30 из 55, получаем 25.

2. От 25 отнимаем семь. Ответ – 18.

Логику, лежащую в основе этого метода, опять же можно прекрасно проиллюстрировать при помощи неразмеченной числовой прямой.

Приемы устного счета эффективны в том случае, когда дети в состоянии складывать в уме небольшие и крупные числа или вычитать небольшие числа из более крупных. Здесь полезны два метода, которые одинаково хорошо работают и со сложением, и с вычитанием.

Первый метод называется мостиком, или переходом, через десяток. Если вы хотите прибавить, скажем, шесть к 137, полезно подумать о разбиении шестерки: сначала добавляем три к 137, затем «отскакиваем» от 140 и добавляем оставшиеся три. Вот как ребенок показал, как это делается, на пустой числовой прямой:

Аналогично для вычитания.

142 – 8 =

142 – 2 = 140 и 140 – 6 = 134.

Второй метод называется компенсацией: вы прибавляете или вычитаете больше или меньше, чем нужно, а затем «компенсируете» это в ответе. К примеру, при прибавлении 9 метод компенсации заключается в том, чтобы прибавить 10 и отнять 1:

Опять же, это работает и в случае вычитания.

267 – 48 проще представить себе как 267 – 50; это равно 217. Но ведь при этом мы отнимаем на 2 больше, чем нужно (нам надо вычесть не 50, а 48), так что ответ следует подправить, вернув 2 на место: получится 219.

Научившись демонстрировать ход своих рассуждений при помощи неразмеченной числовой прямой, ребенок может приступить к изобретению других методов, работающих с конкретными типами чисел: 55 + 39 =

Здесь можно было бы добавить сначала 30, а затем 9, но, будучи уверенными в своих силах, мальчик или девочка могут попробовать и иной способ: сначала прибавить 40, а затем вычесть 1.

Ваш ребенок в школе будет учиться не только тому, как выполнять сложение или вычитание; он должен также усвоить, когда следует применять каждую из этих операций. Как правило, дети без труда понимают, в каком случае нужно что-то складывать, но вычитание в этом плане воспринимается хуже.

Многие люди читают примеры вроде 37 – 19 как «от тридцати семи отнять девятнадцать»: их первые впечатления о работе с вычитанием связаны с тем, что что-то убирают или отнимают. Отсчитываем 37 счетных палочек, а теперь 19 убираем, сколько остается? Но ведь при помощи вычитания можно решать множество самых разных задач, в том числе тех, где ничего не «отнимается».

У меня 37 наклеек, а у моего друга 19. На сколько наклеек у меня больше?

Эту задачу можно решить вычитанием: 37 – 19, но ничего здесь ни у кого не отнимается – в конце концов я останусь при своих 37 наклейках, а у моего приятеля их по-прежнему будет 19.

Аналогично, предположим, что новая игра для игровой приставки, о которой я мечтаю, стоит £37. Пока в моей копилке набралось £19. Сколько еще мне нужно накопить?

Дети склонны решать такие задачи при помощи счета вверх от 19 до 37, что можно записать как 19 +? = 37, но вы можете перевернуть пример и спросить: «Чему равно 37 – 19?»

В этом случае неразмеченная числовая прямая также представляет собой мощный образ и помогает ребенку освоить методы вычитания в уме, а также исследовать различные его смыслы. Мы предлагаем вам подумать чуть-чуть над следующими тремя примерами: прежде чем читать дальше, попробуйте найти ответы и осмыслить, как вы это сделали:

130 – 17; 130 – 118; 130 – 49.

Первый пример большинство людей решает путем «отъема»: они удаляют 17 из 130, как правило сначала отнимая 10 и получая 120, а затем отнимая 7 и получая 113. Но «отнимать» 118 из 130 – довольно громоздкая процедура. Проделать это можно, но вы, скорее всего, сказали себе: «Так, 12 и 118 будет 130». Иными словами, вы, вместо того чтобы «отнимать», добавляли к 118 и по существу искали разницу между двумя числами. 130 – 49 иногда подталкивает к другой «компенсационной» стратегии: 49 близко к 50, поэтому вычтем 50 из 130, получим 80 и добавим единицу обратно (в порядке компенсации за ту лишнюю единицу, которую мы вычли, когда вычитали 50 вместо 49). Все эти методы можно наглядно представить на неразмеченной числовой прямой.

Многие учителя сегодня рекомендуют детям сопровождать счет такими вот короткими то ли рисунками, то ли записями, потому, что, по данным психологов, дети постепенно начинают работать с каким-то воображаемым вариантом числовой прямой и в дальнейшем могут складывать и вычитать уже без всяких записей.

Еще одна ловушка, поджидающая ребенка при знакомстве с вычитанием, – отрицательные числа. Отчасти сложность здесь связана с тем, что такие числа намного труднее представить себе, чем положительные (натуральные) числа.

Не исключено, что формально ваш ребенок познакомится с отрицательными числами только в 5-м или 6-м классе, но практически он столкнется с ними наверняка раньше. Во многих зданиях есть подземные этажи, так что лифт вполне может ездить на этаж номер –1, –2 и т. д. А в холодные зимние дни ребенок может обратить внимание на то, что термометр показывает температуру на улице, скажем, – 5 °C. В обоих случаях речь идет о числах, которые располагаются «ниже» 0, так что вы можете помочь ребенку осмыслить эти числа, если повернете числовую прямую вертикально, так чтобы отрицательные числа действительно оказались ниже нуля. В отличие от обычной горизонтальной числовой прямой назвать ее можно числовой лесенкой. Нуль на ней располагается посередине, и к положительным числам приходится идти вверх, а к отрицательным – вниз. После этого отрицательные числа можно называть «подземными». (Вероятно, к тому моменту ваши дети не успеют еще столкнуться с превышением кредитного лимита, но это, конечно, тоже «подземные» числа.)

Поскольку когда-нибудь долги в жизни ваших детей станут привычными, вы можете даже дать им представление об арифметических действиях с отрицательными числами. Знак «+» – движение вверх, знак «–» – вниз. Поэтому 3 – 5 означает, что нужно начать на уровне 3 и пройти вниз пять шагов, после чего оказываешься на подземном уровне 2.

Вероятно, нет ничего удивительного в том, что детям (и взрослым) пример 9 – 5 кажется намного проще, чем 5 – 9. Те и другие представляют себе числовую прямую и движение – либо влево, если прямая горизонтальна, либо вниз, если она вертикальна. Начав с девятого этажа и пройдя пять этажей вниз, попадаешь на четвертый. Если нужно начать с пятого этажа и спуститься на 9 этажей, то эту операцию можно разбить на два этапа: сначала пройти пять этажей до нулевого, а затем еще четыре – и окажетесь на этаже номер –4. (На самом деле это правило действует всегда: если поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, ответ получится тот же, но с противоположным знаком. Так что 48 – 23 дает 25, а 23 – 48 дает –25.)

Еще одна путаница, связанная с отрицательными числами, – беспорядочное использование слова «минус». Минус может использоваться для обозначения действия (как в предложении «Восемь минус три равно пяти») или состояния («Температура была минус шесть градусов»). Лучший способ устранить эту путаницу – никогда не использовать слово «минус» в разных смыслах. Можно, к примеру, всегда обозначать действие словом «вычесть»[4].

В чем же заключался фокус Гаусса? Напомним: дети получили задание найти сумму: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … и так до 100.

Гаусс поступил хитро. Вместо того чтобы складывать числа последовательно, он заинтересовался тем, что получится, если записать все числа подряд, а ниже выписать их еще раз, но уже в обратном порядке.

Записав это, Гаусс понял, что если сложить попарно числа, оказавшиеся одно над другим, то получится следующее:

101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101.

Понятно, что это просто 101 × 100, простой пример на умножение с ответом 10 100. Нужная нам сумма составляет ровно половину данной величины, то есть 5050.

Вот вам доказательство (если, конечно, здесь нужно что-то доказывать) того, что иногда полезно немного подумать о задаче, прежде чем начинать вычисление стандартным методом. Как думаете, не стоит ли рассказать ребенку эту историю в качестве сказки на ночь?

В предыдущей главе мы рассказали, как помочь детям складывать и вычитать. Мы утверждали также, что в любом случае им будут встречаться примеры, которые сложно решить в уме. Можно сказать, что в вопросе о том, что лучше – расчеты ручкой на бумаге или калькулятор, мир образования раскололся надвое. Некоторые убеждены, что, как ручка (или карандаш) и бумага в свое время являлись передовой технологией, так и нынешним детям следует пользоваться современной технологией – калькуляторами. Другие по-прежнему ратуют за ручку и бумагу, говоря: «А что, если в калькуляторе сядут батарейки?» или «Представьте, что калькулятора у вас под рукой нет». Имея в виду, что у большинства детей под рукой скорее окажется электронное устройство, чем бумага и карандаш, очень трудно доказывать их приоритет (кроме того, исследования, вопреки распространенным представлениям, показывают, что разумное использование калькуляторов не вредит пониманию). Правда в том, что мало кто из детей будет пользоваться письменными методами и считать ручкой на бумаге после того, как покинет школу. Польза от этих методов не сводится к тому, что их можно практически использовать во взрослой жизни; скорее они позволяют детям почувствовать числа и развить свои арифметические навыки.

1. Дети часто складывают и вычитают числа последовательно, цифра за цифрой, и не задумываются о том, насколько разумным получается ответ.

2. Иногда не к месту применяют плохо заученные правила, вроде «нельзя вычесть 9 из 7», в результате чего пример 67 – 29 имеет ответ 42.

3. Используют письменные методы и решают на бумаге, когда решить в уме было бы проще и быстрее.

Вы, должно быть, давно ждете, когда же речь зайдет о традиционном методе сложения. Многие из нас учили в школе, что складывать 146 и 879 следует так:

Мы заучивали алгоритм механически, так что в конце концов он начинал казаться чем-то, что само собой разумеется, но для ребенка такой способ действий далеко не очевиден. К примеру, при решении приведенного примера взрослые говорят: «К шести прибавить девять будет 15; пять пишем, один в уме. Далее к четырем прибавляем семь и один, будет 12; два пишем, один в уме…» и т. д. Но «к четырем прибавить семь и один – будет 12» в действительности означает «к 40 прибавить 70 и 10 равно 120», а в следующем столбце рассматривается на самом деле не «один прибавить восемь, прибавить один», а «100 прибавить 800, прибавить 100». Мы понимаем этот шифр, но дети, у которых пока нет солидной подготовки, его не понимают.

Если даже сложение в столбик способно запутать ребенка, то вычитание столбиком (метод, которому обучались в школе старшие поколения) может оказаться настоящим минным полем.

Вот один из методов вычитания, который вы, возможно, осваивали в школе. Требуется решить пример 784 – 356:

Вы начинаете с правого столбца и говорите: «Шесть из четырех не вычитается, поэтому занимаем единицу из предыдущего разряда, шесть вычесть из 14 равно восьми; возвращаем один; пять плюс один будет шесть; восемь минус шесть будет два…» и т. д. (На самом деле, в зависимости от вашего возраста и школы, в которой вы учились, в алгоритме могут быть небольшие различия и маленькая «1», которую вы возвращаете или занимаете, может писаться в разных местах – как поется в песне Тома Лерера «Новая математика», написанной в 1960 г.)

Других мам и пап, возможно, учили «поправлять» верхнее число:

Вы опять-таки начинаете справа и говорите: «Шесть из четырех не вычитается, занимаем десяток из восьми [поскольку на самом деле это 80] и добавляем к четырем, получаем 14. Шесть вычесть из 14 – это 8, а 5 вычесть 7 равно 2…» То есть учили «брать» 10 из 8, но на самом деле здесь ничего ниоткуда не занимается, просто 784 разбивается на 770 + 14.

Маленькие дети, которые только начинают осваивать математические записи, не видят необходимости ставить символы в строго определенном порядке. Для них 3 + 4, 4 + 3 или даже 3 4 + или + 3 4 означает ровно одно и то же: сложить 3 и 4. Аналогично они не видят разницы между вариантами 7 – 3 и 3 – 7: то и другое означает попросту вычесть 3 из 7 (ведь если мы говорим «вычесть 3 из 7», то разумно записать сначала 3, а уж потом 7). Затем появляется взрослый, который очень хочет помочь (назовем этого человека мисс Строгость), и говорит: «Невозможно вычесть большее число из меньшего, поэтому не пиши 3 – 7, пиши 7 – 3». В принципе она не права, вычесть большее число из меньшего можно – мы не сомневаемся, что такое иногда случается с вашим банковским счетом. Математики придумали отрицательные числа именно для того, чтобы можно было получить ответ для выражения вроде 3–7. Просто ребенок пока не умеет этого делать.

Через какое-то время еще один доброжелательный взрослый (назовем его мистер Безупречность) показывает ребенку, как выполнять вычитание столбиком:

«Начинай с единиц, – наставляет малыша мистер Безупречность. – Из восьми вычесть пять будет три, из шести вычесть четыре будет два, из четырех вычесть два получится два». (На самом деле мы при этом вычитаем 40 из 60 и 200 из 400, но это уже другая история.)

Еще позже ребенок сталкивается, скажем, с таким примером:

– и голоса Строгости и Безупречности начинают спорить у него в голове:

Безупречность: «Начинай с единиц».

Ребенок: «Из двух вычесть девять».

Строгость: «Невозможно вычесть большее число из меньшего».

Ребенок: «Если мне нельзя из двух вычесть девять, то можно от девяти отнять два, это будет семь».

Таким образом, следуя полученным советам, ребенок начинает писать такие вещи, как:

Маленького ребенка правила могут только запутать, вот почему в настоящее время их придерживают до тех пор, пока ребенок не научится по-настоящему понимать, что делает. Тесты показывают, что ученики, с одной стороны, ошибаются, производя вычисления «старым» методом, а с другой – находят совершенно правильные решения, если пользуются собственными приемами.

В начальной школе ваш ребенок действительно начинает осваивать письменные вычисления столбиком, но поначалу используемые им приемы могут показаться вам немного не такими, к каким вы привыкли. В настоящее время многие школы вводят вертикальные методы сначала в «расширенном виде», который делает метод понятнее и к которому можно вернуться, если что-то забылось. Вот как может быть организовано сложение:

Вычитание можно организовать по аналогичному принципу, а затем видоизменить числа так, чтобы сделать вычитание в каждом столбце возможным.

На этом этапе по-прежнему имеются сложности в вычитании девяти из двух и 80 из 50, так что числа в верхней строке могут быть представлены в ином виде (разбиты на части по-другому), чтобы вычитание в каждом столбце стало выполнимым.

Отсюда уже недалеко и до традиционной компактной формы записи.

Процесс любых вычислений, будь то сложение, вычитание или что-то более хитрое, заканчивается очень важным этапом. Нужно проверить, есть ли вообще смысл у полученного ответа. На выработку этого навыка требуется время, поскольку большинство детей, решив пример, считают дело сделанным и отчаянно стремятся перейти к следующему заданию.

Проверить расчет не обязательно означает еще раз совершить ту же самую процедуру. Самые, пожалуй, полезные проверки – те, когда понимаешь, что произошла ошибка, даже если представления не имеешь, в чем она состоит. К примеру, 27 + 42 не может равняться 843, потому что оба слагаемые здесь меньше 100. Мы не знаем, в чем была ошибка, но мы точно можем сказать, что она там была! Научите ребенка искать очевидные ошибки; сформируйте у него привычку всегда задавать себе вопрос: «Разумно ли выглядит этот ответ?»

От сложения до умножения – один шаг, но с этим шагом множатся и проблемы – как для детей, так и для их родителей. Для детей основная трудность состоит в усвоении все более абстрактных идей, а для родителей – в том, что именно в этот момент незнакомые им методы и новый язык начинают по-настоящему заявлять о себе.

Обучение умножению естественным образом распадается на две составляющие: заучивание наизусть базовых фактов умножения (традиционно известных как таблица умножения) и овладение инструментами, позволяющими производить умножение более крупных чисел. Эта глава посвящена таблице умножения.

Газеты регулярно печатают пугающие статьи, в которых утверждается, будто в школах детей больше не учат таблице умножения. Так вот, это неправда. Нам не приходилось видеть ни одной школы, где не хотели бы, чтобы дети знали таблицу умножения, или факты умножения, как некоторым работникам образования в Англии нынче нравится их называть.

В чем пресса и школы временами расходятся, так это в том, как лучше добиться, чтобы дети накрепко запомнили все необходимое.

1. Дети не знают, чему равно 7 × 8.

2. Не видят, что задачу надо решать умножением (потому что в ней не сказано прямо: «Чему равно 8 умножить на 4?»)

3. Не понимают, что если ты знаешь, что 4 × 9 = 36, то ты знаешь также, чему равно 9 × 4, 36: 4 и 36: 9.

4. Не знают, как воспользоваться своими знаниями и восстановить по ним забытый кусочек таблицы.

5. Каждый раз считают 4, 8, 12, 16, 20, 24, вместо того чтобы раз и навсегда запомнить: 4 × 6 = 24.

Дети впервые сталкиваются с умножением в раннем возрасте и воспринимают его как упрощенный (или более короткий) способ сложения. Вместо того чтобы складывать: семь плюс семь плюс семь плюс семь, – очень удобно сразу вспомнить, что четыре раза по семь будет 28. Эти базовые расчеты имеют такое огромное значение в любой области математики – да и в большинстве других областей – что жизненно важно накрепко их запомнить.

Приведем в табличной форме те 100 фактов умножения (от 1 × 1 до 10 × 10), которые детям необходимо хранить в памяти и уметь в любой момент извлечь оттуда.

И это все. Выучите эту таблицу, и у вы обзаведетесь великолепным фундаментом для любых арифметических действий – и для математики в целом – на всю жизнь.

Но если бы все было так просто! Заучивание детьми таблиц умножения на разные числа – источник огромной головной боли для родителей, особенно когда им кажется, что дети не способны запомнить их так же быстро и легко, как когда-то они сами.

Прежде чем погрузиться вместе с ребенком в мир умножения, стоит отойти немного в сторону и осознать, что простой пример на умножение можно описать удивительным количеством разных способов. Возьмите пример 3 × 4. Можно прочитать его как:

• трижды четыре (или четырежды три);

• три раза по четыре;

• три умножить на четыре;

• произведение трех и четырех;

• три группы по четыре.

Постепенно ваш ребенок начнет понимать, что все это в сущности одно и то же и что все эти фразы означают умножение, но поначалу ему это далеко не очевидно. Вы можете помочь сыну или дочери, если, вместо того чтобы повторяться, будете как бы между прочим использовать разный язык в разговорах об умножении. К примеру: «Так сколько будет трижды четыре? Что получится, если взять три раза по четыре?»

(Для полноты картины упомянем о том, что при переходе в мир алгебры, где числа принято обозначать буквами, вы встретите еще пару способов, при помощи которых можно представить умножение. Поскольку буква «х» внешне похожа на знак умножения, вместо этого знака умножение нередко будут обозначать точкой или, еще чаще, вообще никак не обозначать! К примеру, «4(b – 3)» означает 4 умножить на (b – 3). Но ваш ребенок, вероятно, не встретит подобных обозначений до средней школы, поэтому, если математика у него в школе изучается не углубленно, не стоит вносить лишнюю путаницу и раньше времени знакомить его с этой идеей.)

Большинство взрослых учило таблицу умножения посредством зубрежки, читая ее подряд, как стихи. «Единожды четыре – четыре, дважды четыре – восемь, трижды четыре – двенадцать…» и т. д. Как правило, таблица умножения на отдельные числа заучивали последовательно – сначала таблицу умножения на два, затем на три… и так далее вплоть до 10. Существовало два способа заучивания таблицы – то число, на которое идет умножение, можно было называть либо первым, либо вторым. Так что вместо варианта «единожды четыре это четыре, дважды четыре – восемь…» вы, возможно, учили так: «четырежды один – четыре, четырежды два – восемь, четырежды три – двенадцать…»

Вне зависимости от порядка называния чисел, зубрежка, конечно, работает. Не исключено даже, что распевное «четырежды восемь – тридцать два» звучит у вас в ушах всякий раз, когда вы решаете примеры; кроме того, дети вообще хорошо заучивают на слух. Еще одно преимущество зубрежки вслух состоит в том, что это повторяющийся процесс, и можно не сомневаться, что если повторять что-то достаточно часто, то рано или поздно это запомнится, причем как следует. Поэтому если вашему ребенку нравится читать таблицу умножения нараспев, не мешайте ему, лучше похвалите.

Однако не всем детям нравится декламировать вслух и учить наизусть. К тому же распевная декламация таит в себе еще одну опасность. Поскольку строки в таблицах не рифмуются, можно спокойно декламировать их в правильном ритме – но с совершенно неверными ответами. «Четырежды восемь – тридцать шесть» слетает с языка не менее гладко, чем «четырежды восемь – тридцать два». Невозможно мгновенно определить, который из ответов верен, – можно только полагаться на собственную память. Ни в каком другом случае проблема дырявой памяти не проявляется так ярко, как с примером 7 × 8.

Если вы хотите понять, действительно ли человек знает таблицу умножения, семью восемь – то, что вам нужно. Именно на этом примере проще всего поймать кого-то на ошибке. Именно этот пример большинству людей труднее всего запомнить. 7 × 8 = 56. Или, может быть, 54? Или 58?

Заучивание таблиц умножения по порядку – сначала на два, затем на три, затем на четыре и т. д. – не самый эффективный способ выучить все, что нужно. Наиболее естественная для детей схема заучивания таблицы состоит в том, чтобы начать с самого простого и постепенно двигаться к самому сложному. Разумна такая последовательность:

• Умножение на десять (10, 20, 30…), которое дети усваивают естественно в процессе обучения счету.

• Умножение на пять (все-таки у всех нас по пять пальцев на руках и ногах).

• Умножение на два. Пары, четные числа и удвоение знакомы даже маленьким детям.

• Умножение на четыре (ведь это всего лишь удвоение умножения на два) и восемь (удвоение умножения на четыре).

• Умножение на девять (существуют достаточно удобные приемы, см. ниже).

• Умножение на три и шесть.

• Умножение на семь.

Советы относительно того, как помочь детям усвоить эти таблицы, можно найти в этой же главе ниже.

Помогая ребенку выучить таблицу умножения, очень важно объяснить ему, что порядок чисел не имеет значения: 3 × 7 дает тот же ответ, что и 7 × 3. Математикам эта мысль так нравится, что они придумали для нее особое название: коммутативный закон.

Взрослым серьезнейшая идея о том, что умножению свойственна коммутативность, обычно кажется самоочевидной. С детьми все по-другому. Нужно немало времени, чтобы эта идея закрепилась в сознании мальчика или девочки, – ведь при знакомстве с умножением это его качество, как правило, явно не проявляется. Если у Джо есть три пакетика с конфетами, в каждом из которых лежит по семь конфет, а у Сэма – семь пакетиков с тремя конфетами в каждом, не слишком очевидно, что у Джо ровно столько же конфет, сколько и у Сэма. (Если предложить маленькому ребенку два этих варианта, он с большой вероятностью выберет семь пакетиков в надежде получить больше конфет.)

Один из лучших способов наглядно показать ребенку, почему 3 × 7 равно 7 × 3, заключается в использовании массива. «Массив» – слово, которого вы, вероятно, не встречали в курсе школьной математики, но сегодня оно прочно вошло в соответствующий лексикон и активно используется. Это специальное математическое слово, обозначающее набор чисел или фигур, заключенный в прямоугольник. Вот, к примеру, массив из трех строк и семи столбцов.

Массив – чрезвычайно важное понятие, это простое и визуальное средство помочь ребенку разобраться в том, как работают умножение и дроби. Сколько всего точек в прямоугольнике 3 на 7? Три строки по семь элементов насчитывают 21 элемент. Иными словами, массивы – доступный для понимания способ наглядно представить умножение, в данном случае 3 × 7 = 21.

Что, если мы нарисуем массив двумя разными способами?

Первый массив показывает 3 × 7, второй 7 × 3. (Традиционно эти схемы «читаются» в таком порядке: строки, затем столбцы.) Очевидно, что в обоих массивах должно быть одинаковое число точек (их не обязательно при этом считать поштучно), поскольку, если первый массив повернуть на четверть оборота, он будет выглядеть в точности как второй. Иными словами, 3 × 7 = 7 × 3.

И в самом деле, каким бы ни был массив (или какие бы числа вы ни перемножали), ответ будет один и тот же, с какой стороны ни посмотри. 247 × 196 – то же самое, что 196 × 247, и чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить о массивах.

Если вы уже усвоили с детьми идею о том, что 3 × 7 – это то же самое, что 7 × 3, то число фактов умножения, которые вам необходимо запомнить, резко уменьшается. Стоит заучить 3 × 7 – и в качестве бонуса вы получаете ответ на 7 × 3. Это, по существу, математический эквивалент рекламного приема «купи один, второй получи бесплатно». Знание этого переместительного закона снижает число фактов умножения со 100 до 55 (не ровно наполовину из-за случаев возведения в квадрат, таких как 3 × 3 или 7 × 7, которые не имеют пары).

Можно увидеть, как происходит это снижение, если еще раз посмотреть на 100 чисел в таблице умножения на 10, приведенной ранее.

Каждое из чисел, расположенных выше пунктирной диагонали (к примеру, 5 × 8 = 40), присутствует и ниже нее (8 × 5 = 40). Пунктирная диагональная линия является также линией симметрии. (Обратили внимание, какие числа стоят на пунктирной линии? См. ниже.)

Результат умножения числа на само себя (1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 и т. д.) известен как квадрат числа. Это потому, что графически такое умножение соответствует квадратному массиву. Если вы вернетесь к таблице умножения и посмотрите на ее диагональ, то увидите, что всю ее составляют квадраты чисел.

В дальнейшем эти величины так часто всплывают в школьном курсе математики, что имеет смысл выучить их отдельно от остальной таблицы. У них есть интересная особенность, которую вы можете исследовать вместе с ребенком. Перечисляя квадраты чисел – 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, обратите внимание, на сколько они каждый раз увеличиваются:

Эта любопытная связь между квадратами чисел и нечетными числами – прекрасный пример того, как разные виды чисел связаны между собой в математике.

Первая и самая простая таблица, которую следует заучить – таблица умножения на 10: 10, 20, 30, 40… По существу, это простое расширение последовательности 1, 2, 3, 4.

Кроме того, дети относительно легко заучивают таблицу умножения на пять, и помогают им в этом руки и ноги, наглядно представляющие четыре пятерки. Удобно также, что числа в таблице умножения на пять всегда заканчиваются на 5 или 0 – простая закономерность, позволяющая ребенку сразу понять, есть такое число в данной таблице или нет. (Кстати говоря, это приложимо и к более крупным числам: мы точно знаем, что число 3 451 254 947 815 присутствует в таблице умножения на пять, хотя мы и не сможем в этом убедиться с помощью калькулятора: на экране устройства такое число просто не поместится).

Дети легко удваивают числа. Вероятно, это связано с наличием у нас двух рук по пять пальцев на каждой. Одолжите им свою пару рук, и все удвоения в пределах удвоенной десятки будут быстро выучены.

Однако дети не всегда связывают удвоение с умножением на два. Ребенок может знать, что, если удвоить шесть, получится 12, но когда вы спрашиваете его, чему равно шестью два, ему приходится считать: 2, 4, 6, 8, 10, 12. В таком случае следует напомнить ему, что шестью два – то же самое, что дважды шесть, а дважды шесть – это и есть удвоенная шестерка.

Таким образом, если ваш ребенок хорошо удваивает, то он, по существу, знает таблицу умножения на два. При этом он вряд ли сразу сообразит, что с ее помощью можно быстро представить себе таблицу умножения на четыре – для этого нужно всего лишь удвоить и еще раз удвоить.

Эта же идея распространяется и на восьмерки. Чтобы найти, чему равны восемь троек, нужно эту тройку удвоить (получив шесть), еще раз удвоить (получив 12) и еще раз удвоить (24).

В данном подходе замечательно то, что способность решать примеры не исчерпывается, когда заканчивается таблица умножения.

Четырехкратное удвоение какого-либо числа – это все равно что взять это число 16 раз, пятикратное удвоение – 32 раза и т. д. Сколько будет 32 умножить на 18? Нужно просто удвоить 18 пять раз. 18, 36 (× 2), 72 (× 4), 288 (× 16), 576 (× 32).

Один из способов освоить таблицу умножения на девять состоит в том, чтобы взять результат умножения на десять и вычесть лишнее. Чему равно девять раз по семь? Десять раз по семь – это 70, вычитаем семь, получаем 63. Возможно, быстрый набросок соответствующего массива поможет закрепить эту идею в сознании ребенка.

Если вы заучили таблицу умножения на девять только до «девятью десять», то девятью 25 поставит вас в тупик. Но десять раз по 25 это 250, вычитаем 25, получаем 225. 9 × 25 = 225.

Существует и другой удобный способ освоить таблицу умножения на девять. В нем используются пальцы, а дети обожают это.

Держите руки перед собой ладонями вниз. Представьте, что ваши пальцы (включая и большой) пронумерованы от 1 до 10. 1 – мизинец на левой руке (крайний палец слева от вас), 10 – мизинец на правой (крайний палец справа).

Чтобы умножить какое-то число на девять, загните палец с соответствующим номером. Скажем, вас интересует девятью 7. Загните палец, который вы мысленно обозначили как седьмой номер.

А теперь взгляните на свои руки: число пальцев слева от загнутого даст вам число десяток в ответе; в данном случае это 60. Количество пальцев справа даст число единиц: три. Итог: 9 × 7 = 63. Попробуйте: этот метод работает со всеми однозначными числами.

Для детей таблица умножения на три – одна из самых сложных. В данном случае практически не существует никаких приемов (некоторые предлагают сначала удвоить число, а затем к результату прибавить его же; тогда 3 × 7 будет дважды семь (то есть 14) и еще 7 (21), но на самом деле это не быстрее, чем посчитать: 7, 14, 21). В общем, следует примириться с тем, что умножение на три придется просто вызубрить. Поэтому лучше сначала разобраться с остальными таблицами, чтобы дать ребенку возможность обрести уверенность в себе.

Таблица умножения на шесть следует непосредственно из таблицы умножения на три; здесь, опять же, все сводится к удвоению. Если умеешь умножать на три, просто удвойте результат – и получите умножение на шесть. Таким образом, 3 × 7 = 21, 6 × 7 = 42.

Итак, все, что у нас осталось, – таблица умножения на семь. Есть хорошая новость. Если ваш ребенок успешно овладел таблицами, описанными выше, нет нужды вообще ничего заучивать: все уже есть в остальных таблицах.

Однако для полноты картины ваш ребенок, возможно, захочет выучить таблицу умножения на семь отдельно, поэтому мы познакомим вас с игрой, которая поможет ускорить этот процесс. Вам потребуется столько игральных кубиков, сколько сможете найти. Десять, к примеру, – отличное количество. Можно устроить соревнование. Скажите сыну или дочери, что хотите посмотреть, кто из вас сможет быстрее сложить выпавшие на кубиках числа. Однако, чтобы дать детям шанс, позвольте им самим решить, сколько кубиков бросать. А чтобы повысить шансы ребенка на выигрыш, можете договориться, что тот должен сложить числа, указанные на верхних гранях кубиков, а вы – те, что и на верхних, и на нижних.

Пусть каждый ребенок выберет по крайней мере два кубика и положит их в стакан или кружку (в них удобно трясти кости, добиваясь случайности броска). Вам нужно знать лишь, сколько кубиков взял ребенок.

Как только кубики брошены, вы можете сразу же посчитать, какую сумму дадут числа на верхних и нижних гранях! Каким образом? Очень просто: умножив число кубиков на семь. Таким образом, если было взято три кубика, сумма верхних и нижних чисел составит 21. (Причина, разумеется, в том, что числа на противоположных гранях игральной кости всегда дают в сумме семь.)

Дети будут так поражены скоростью ваших подсчетов, что тоже захотят овладеть этим методом, чтобы когда-нибудь воспользоваться им в игре с приятелями.

В эпоху так называемой Британской имперской системы мер и «недесятичных» денег каждому необходимо было владеть счетом до 12 × 12 (тогда в шиллинге было 12 пенсов, а в футе 12 дюймов). Для сегодняшних детей все это – древняя история; им, воспитанным в метрической системе измерений, достаточно владеть умножением в пределах 10.

Вот только… 12 то и дело всплывает в расчетах: множество людей по-прежнему меряет и считает в дюймах (в Америке это стандарт), а яйца и сегодня продают дюжинами и полудюжинами.

Мало того. У ребенка, свободно перемножающего числа больше десяти, начинает вырабатываться понимание того, как перемножаются большие числа. Знание таблиц умножения на 11 и 12 помогает заметить интересные закономерности, которые вы вполне могли бы пропустить, если бы остановились на десяти. Приведем полную таблицу умножения до 12.

Обратите внимание: число восемь, к примеру, встречается в таблице четыре раза, тогда как 36 – пять раз. Если соединить все ячейки с числом восемь, получится плавная кривая. То же можно сказать и про ячейки с числом 36. В самом деле, если какое-то число появляется в таблице больше двух раз, то все места его появления можно соединить плавной кривой примерно одинаковой формы – и если нарисовать на одной таблице все такие кривые, то они ни разу не пересекутся между собой. (Кривую такой формы называют гиперболой.)

Вы можете подтолкнуть своего ребенка к самостоятельному исследованию, которое займет его (может быть) на полчаса, а то и больше. Распечатайте несколько экземпляров таблицы умножения двенадцати первых чисел на 12, а затем попросите его сделать следующее:

• раскрасить все ячейки с четными числами красным цветом, а с нечетными – синим;

• определить, какие числа встречаются там чаще всего;

• сказать, сколько в таблице встречается различных чисел;

• ответить на вопросы: «Какое самое маленькое число не встречается в этой таблице? Какие еще числа от 1 до 100 в ней отсутствуют?»

Таблица умножения на 11 строится проще всего.

1 × 11 = 11

2 × 11 = 22

3 × 11 = 33

4 × 11 = 44

5 × 11 = 55

6 × 11 = 66

7 × 11 = 77

8 × 11 = 88

9 × 11 = 99

Но что же дальше? Есть очень симпатичный простой прием, позволяющий без труда умножить любое число от 10 до 99 на 11:

• Возьмите любое число от десяти до 99 – пусть это будет, скажем, 26.

• Разбейте его на два числа и раздвиньте их, чтобы в середине образовался пробел: 2 _ 6.

• Сложите между собой две цифры вашего числа. 2 + 6 = 8 и вставьте то, что получилось, в середину: 2 8 6

Это ответ! 26 × 11 = 286.

Но будьте осторожны. Что получится, если вы перемножите 75 × 11?

• Разбиваем число: 7 _ 5

• Складываем: 7 + 5 = 12

• Вставляем результат в середину и получаем 7125, что очевидно неверно!

В чем дело? В этом примере есть небольшая хитрость, которую нужно применять тогда, когда цифры, использующиеся для обозначения числа, в сумме дают десять или больше (7 + 5 = 12). Прибавляем один к первой из наших цифр. Следовательно, 75 × 11 будет не 7125, а (7 + 1)25, или 825. Так что фокус на самом деле не так прост, как может показаться.

Овладев таблицей умножения и прочно включив ее в свой математический арсенал, дети начинают двигаться дальше и изучать методы и стратегии умножения и деления более крупных чисел. Как мы видели, письменные методы, которые преподают сегодня в школе, довольно сильно отличаются от тех, что преподавали учащимся еще несколько лет назад. Если дети умудряются ошибаться даже при сложении и вычитании на бумаге, то вероятность ошибок в длинных примерах на умножение и деление оказывается еще выше. Одна из причин состоит в том, что они приступают к умножению длинных чисел сразу после решения множества задач на сложение и вычитание таких чисел. А поскольку те и другие примеры оформляются сходным образом, дети часто начинают применять к умножению правила, уже усвоенные ими применительно к сложению: как ни печально, получить при этом верный ответ удается не всегда. Поэтому не спешите с умножением и делением – не исключено, что вашему ребенку кажется, будто он понимает, что происходит, хотя на самом деле это не так.

1. Дети делают ошибки при использовании приемов, которые были усвоены механически, без понимания того, что на самом деле происходит.

2. Считают, что умножение означает многократное сложение (тогда как на самом деле умножение часто связано с пропорциями).

3. Уверены, что умножение всегда делает числа больше (и оказываются в тупике, обнаружив, что при умножении на число уменьшается).

После того как ребенок уверенно овладеет таблицей умножения, он готов приступить к умножению более крупных чисел. В прежние времена это означало, что он немедленно начинает умножать в столбик.

Распространено мнение, будто когда-то давно чуть ли не все школьники умели правильно умножать в столбик и получали верные ответы в 99, если не в 100 процентах случаев. Но это всего лишь миф. В то время как некоторые дети действительно с удовольствием пользовались этим компактным, проверенным веками приемом, многие другие овладевали им с большим трудом. Даже если ребенок умел умножать столбиком и получал верные ответы, он зачастую плохо понимал, почему этот способ работает, и, по существу, пользовался им как черным ящиком: вставляешь числа и смотришь, что получится на выходе. А если ребенок долго не практиковался, он часто забывал важные составляющие метода и в расчетах сразу появлялись ошибки. Некоторым же вообще не удавалось научиться этому замечательному методу.

Умножению в столбик учат и сегодня, но, как правило, лишь после того, как дети пройдут несколько важных предварительных этапов и у них сформируется верное представление о том, что они делают.

Напомним о том, как делается умножение в столбик. Умножим 36 на 24:

Смысл в том, чтобы умножать на отдельные цифры числа 24 последовательно, справа налево. Выполняя действия, вы, вероятно, проговариваете про себя примерно следующий сценарий: «Четырежды шесть будет 24, четыре пишем, два в уме, четырежды три будет 12, плюс два, равно 14… 144. Сдвигаемся на одну позицию влево, дважды шесть – 12, 1 в уме, дважды три – шесть, плюс 1, будет семь, итого 72». Затем вы складываете 144 и 72 (то есть на самом деле 720, но в нашем примере нуль не пишется) и получаете ответ.

И это прекрасно, если вы верно выполняете все правила. Что, к несчастью, получается далеко не у каждого ребенка.

На первом этапе после освоения таблицы умножения дети учатся умножать двузначные числа на однозначные (3 × 14).

Базовый метод такого умножения основан на использовании массивов, о которых мы говорили, когда обсуждали, «почему 3 × 7 равно 7 × 3». Пример 3 × 14 можно представить в виде массива точек так:

Ребенок при желании может просто сосчитать точки, но если он хорошо знает таблицу, массив можно разбить на части, которые уже легко вычисляются. В данном случае удобнее всего разбить (опять это слово!) 14 на десять и четыре:

Отсюда очевидно, что 3 × 14 – то же самое, что 3 × 10 плюс 3 × 4, или 30 + 12.

Вместо того чтобы вырисовывать каждую точку (что, кстати, может подтолкнуть ребенка к простому их пересчету), далее детям рекомендуют представлять массивы точек в виде прямоугольников, а числом точек подписывать верхние и боковые стороны этих прямоугольников.

3 × 14 превращается в следующее:

Обратите внимание: прямоугольники рисуются не в масштабе – в этом нет нужды. Мы просто чертим прямоугольники, в которые можно вписать ответы, приблизительно так:

Иными словами, 3 × (10 + 4) = 30 + 12 = 42.

Более сложные примеры можно решать аналогичным способом. 24 × 36 возможно представить так:

Этот большой прямоугольник разбиваем на части, представляющие десятки и единицы…

Получается нечто, напоминающее решетку, – именно поэтому такой метод называют методом решетки. Теперь, чтобы найти 36 × 24, нужно сложить число точек, которые уместились бы в каждой секции решетки.

Сложите шесть раз по 100, два раза по 60, три раза по 40 и 24 – и получите ответ 864. Прием может показаться нудным и длинным (он такой и есть!), но применять его быстрее, чем пересчитывать все точки поштучно. Кроме того он дает возможность понять, что, собственно, происходит.

Многие дети быстро соображают, что можно сэкономить время, если блоки сделать побольше. Намного проще разбить 24 × 36 так:

Теперь нам нужно выполнить всего четыре действия:

Ответ находится путем сложения результатов действий во всех четырех ячейках решетки или: 600 + 120 + 120 + 24.

Если ребенок уже уверенно пользуется методом решетки, ему остается сделать всего один небольшой шаг – и вообще перестать тратить время на чертеж. Вместо этого он записывает то, что раньше помещалось в решетке, в виде четырех отдельных примеров:

Это уже очень близко к традиционному методу умножения столбиком, и детям, которые чувствуют себя уверенно, можно показать, как сделать последний шажок и перейти к компактному варианту записи (см. «Сложение столбиком: стандартный метод» в главе «Сложение и вычитание: письменные методы»).

Но зачем двигаться к этому таким кружным путем? Причина в том, что не все дети добираются до умножения в столбик в его традиционной форме. Тем, кому плохо дается умножение, метод решетки гарантирует алгоритм, который они способны понять. И если ребенок на любом этапе вычислений что-то забывает или начинает путаться, он может «отступить» и прибегнуть к предыдущему методу, чтобы восполнить недостающее. Так что нельзя сказать, что от детей теперь не требуют умения умножать в столбик. Скорее цель в том, чтобы движение к этому происходило поэтапно, поскольку понимание в данном случае не менее важно, чем владение методом.

Метод решетки можно применять для перемножения не только двузначных, но и вообще любых чисел – хотя, разумеется, с увеличением чисел процесс становится более сложным.

Возьмем, 134 × 46. Можно решить этот пример так:

Если есть желание, так можно перемножать и тысячи, и более крупные числа. Хотя к тому моменту, когда ваш ребенок станет заниматься такими сложными расчетами, он почти наверняка будет уже знаком с традиционным методом умножения в столбик.

У метода решетки есть еще одно достоинство, весьма важное, хотя и не существенное для учащихся начальной школы. Вероятно, вы помните, как во времена вашего детства математика в средней школе плавно переходила в алгебру и числа все чаще заменялись буквами. В частности, начинали появляться такие выражения, как (a + b) умножить на (c + d).

Что получится, если перемножить и раскрыть скобки? Многие родители при виде подобного застывают в страхе, пока не поймут, что это в точности та же процедура, что используется при перемножении чисел методом решетки. Представьте, что (a + b) умножить на (c + d) – это то же, что (20 + 4) умножить на (30 + 6), и вообразите, что вписываете эти числа в решетку и складываете результаты.

Все выглядит в точности так, как было бы с числами:

Поэтому ответ таков: a c + a d + b c + b d. Метод решетки представляет собой намного более удачное основание для изучения алгебры, чем метод умножения столбиком. Просто чтоб вы знали…

Деление часто оказывается для ребенка самой сложной из основных математических операций. Язык здесь может быть еще более непонятным, чем при умножении: «три в два не укладывается», «делим на», «остаток переходит». Насколько важно в целом деление столбиком, и почему оно вызывает у всех такие проблемы? Кроме того, если деление все уменьшает, то почему деление на 0,5 на калькуляторе дает в качестве ответа большее число?

1. Дети не до конца осознают, что деление – действие, обратное умножению, и потому не используют известные им факты умножения для получения соответствующих фактов деления. К примеру, если вы знаете, что 7 × 4 = 28, вы знаете также, что 28: 7 = 4 и 28: 4 = 7.

2. Считают, что при «делении» речь идет исключительно о том, что кто-то с кем-то «делится» («поделите 42 яблока на шесть человек»), но не о многократном вычитании («разложите 42 яблока в пакеты по семь яблок в каждом»).

3. Уверены, что деление все уменьшает. Но если поделить 35 конфет между пятью детьми, у каждого окажется по семь конфет, однако всего конфет по-прежнему будет 35. Конфеты никуда не пропали, их просто перераспределили.

Деление обычно представляют детям как идею о равном распределении. Особенно их увлекает идея раздачи конфет (и каждый хочет быть уверенным в том, что получит свою справедливую долю). Поэтому, если речь идет о примере 48: 8, то, как правило, он представляется в виде «реальной» задачки: «У меня есть 48 ирисок, и я хочу разложить их поровну в восемь пакетиков. Сколько конфет я положу в каждый пакетик?»

Но существует и другой способ интерпретации честного раздела. Сравните предыдущую задачку с этой: «У меня есть 48 ирисок. Я хочу разложить их в пакетики по восемь штук в каждом. Сколько пакетиков у меня получится?»

Эту задачу тоже можно решить, разделив 48 на восемь.

Между двумя этими задачами есть серьезное различие. В первом случае, в задаче с распределением, мы знаем, сколько у нас ирисок и в сколько пакетиков мы их хотим разложить. Чего мы не знаем, так это того, сколько ирисок в конце концов окажется в каждом пакетике. Чтобы решить эту задачу практически, вам пришлось бы в буквальном смысле распределять 48 объектов: обозначить как-то восемь пакетиков и раскладывать: «Одну тебе, одну тебе…», – пока ириски не закончатся.

Во второй задаче ситуация немного иная. У вас по-прежнему имеется 48 ирисок; на этот раз вы знаете, сколько ирисок вы хотите положить в каждый пакетик, зато не знаете, сколько получится пакетиков. Чтобы решить эту задачу практически, вам пришлось бы выложить кучкой 48 объектов, а затем взять из кучки восемь конфет и положить их в первый пакетик, еще восемь положить во второй и т. д., пока все ириски в кучке не закончились бы. Здесь деление – это скорее повторяемое вычитание, чем распределение.

Важно, чтобы ваш ребенок был знаком с задачами как на «распределение», так и на «повторяемое вычитание».

Во-первых, от того, как будет интерпретирована задача, может на удивление сильно зависеть, насколько легко ребенку будет вычислить ответ (точно так же, как в вычитании отнесение к варианту «отнять» или «найти разницу» меняет восприятие примера 2001 – 1998).

Один специалист по образованию исследовал, как детям видятся 6000: 6 и 6000: 1000.

Ученикам, воспринимающим деление как распределение, первый пример кажется простым – они без труда могут представить себе шесть человек и мысленно раздать каждому из них по 1000 предметов. А вот второй пример для них сложный, так как представить себе целую тысячу человек они не в состоянии. Напротив, тем мальчикам и девочкам, которые видят в делении последовательное вычитание, проще решить второй пример, – ведь все, что им нужно сделать, это вычесть 1000 из 6000 столько раз, сколько получится, то есть шесть. Зато вычитать раз за разом шесть из 6000 проблематично, стоит представить только, как долго это придется делать. Тот, кто сумеет проявить гибкость и правильно выбрать подходящую к случаю версию деления, без труда решит оба примера. Впрочем, вполне достаточно твердо знать, что 1000 × 6 = 6000 и вовремя воспользоваться связью между умножением и делением.

Вторая причина, по которой необходимо понимать оба типа деления, заключается в том, что, когда (в старших классах) дети начинают делить на дроби, какой-то смысл, если разобраться, сохраняет только деление как последовательное вычитание.

Что означает Что, 16 объектов можно распределить на человека? Я, конечно, могу разделить конфеты на двоих, но никак не могу разделить их на человека!

С другой стороны, если подумать: «Сколько раз могу я вычесть из 16?» – позволяет без труда решить задачу: ответ будет 32 раза. В 16 содержится 32 половинки. Поместите эту задачу в реалистичный контекст, и вы поможете своему ребенку лучше понять ее. Пусть некая пиццерия продает пиццы половинками. Они испекли и продали 16 пицц. Сколько было продано половинок? В главе про дроби мы поговорим об этом подобнее.

Простое число – это число больше единицы, которое не делится без остатка ни на какое другое целое число, кроме единицы и само себя. Дети зачастую знакомятся с простыми числами впервые, когда говорят о распределении, вот почему мы включили эти числа в главу о делении. Осмыслить простое число можно представив его себе как число, которое не позволяет честно разделить конфеты. Так, если у вас имеется 15 конфет, вы сможете разделить их поровну на пять человек (по три штуки каждому) или на трех человек (по пять конфет каждому). Но если у вас оказалось 13 конфет, то невозможно раздать их поровну никакому числу людей – можно только вручить все кому-то одному или выдать каждому по одной штуке.

Первые несколько простых чисел – это 2 (единственное четное простое число), 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. Математики обожают искать рекордно огромные простые числа и знают, что всякий раз, когда им удается получить очередное «самое большое» простое число, где-то дальше наверняка скрывается следующее, еще большее. (Откуда они это знают? Евклид доказал это более 2000 лет назад. Его доказательство красиво, но слегка сложновато для маленьких детей, поэтому мы не станем включать его в книгу.)

Делители и кратные не одно и то же, хотя ребенок склонен их путать. Те и другие тесно связаны с делением и умножением, и полезно в них разобраться, поскольку позже они помогут вам освоить приемы, используемые в примерах на деление.

Делители – это, если хотите, что-то вроде строительных блоков, которые перемножаются, чтобы составить число (и потому называются также сомножителями). Возьмите, скажем, число 18. Делители числа 18 – это 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Эти делители можно объединить в пары: 1 × 18 = 18, 2 × 9 = 18, 3 × 6 = 18.

В школе детей часто будут просить найти все делители того или иного числа, и полезно с самого начала делать это методически – начиная с единицы и двигаясь в сторону возрастания. Всякий раз, когда вы находите какой-нибудь делитель, вы можете найти и его «напарника». Так, для числа 18 делителями являются: один (его напарник – 18), два (здесь напарник – девять), три (напарник – шесть). Четыре не делитель, как и пять; а вот шесть – делитель, его напарник – три… но погодите, три уже было. Нет смысла двигаться дальше, потому что там нам будут попадаться только дубликаты.

Пары чисел могут иметь какие-то общие делители. К примеру, у 18 и 27 есть общие делители, три и девять. Девять – наибольший общий делитель, которым они обладают.

С другой стороны, числа, кратные для 18, – это 36, 54, 72 и любое другое целое число, умноженное на 18.

Любая пара чисел обязательно имеет общее кратное. Возьмите 18 и 25. Умножьте 18 на 25, и получите кратное 18. Умножьте 25 на 18 – и получите кратное 25. Но ответ в обоих случаях окажется один и тот же; это и будет общее кратное двух наших чисел (в данном случае 450).

У любых чисел имеется бесконечное количество общих кратных, так, для чисел шесть и девять общими кратными являются 18, 36, 54… и более крупные числа, такие как 360, 1800, 90 000 и т. д. Невозможно сказать, чему равно наибольшее общее кратное двух чисел (это означало бы вторгнуться в царство бесконечности), но всегда можно найти наименьшее общее кратное (для шести и девяти это 18).

Каким образом ребенок на самом деле решает пример 48: 8? Один способ состоит в том, чтобы просто вычитать раз за разом восемь из 48, до тех пор пока ничего не останется. И в этом способе нет ничего плохого, правда, он довольно медленный. Более быстрый способ деления – вспомнить таблицу умножения. Если вы хотите помочь ребенку успешно освоить деление, то лучшее, что вы можете сделать, – добиться по-настоящему уверенного умножения.

Откуда вы знаете, что 48: 8 = 6? Все дело в том, что вам абсолютно точно известно, что 6 × 8 = 48. (У нас есть теория, что никто вообще никогда и ничего не делит – вместо этого каждый интуитивно спрашивает себя, что надо перемножить, чтобы получить нужный ответ.)

Все числа, кратные пяти, заканчиваются на пять или на ноль. Все числа, кратные двум, – четные (то есть заканчиваются на 2, 4, 6, 8 или 0). Эти закономерности могут пригодиться и при работе в обратном порядке – когда потребуется определить, делится ли какое-то число нацело на другое число или нет. К примеру, мы, просто взглянув на последнюю цифру, можем точно сказать, что число 872 не делится без остатка на пять, но делится на два.

Существуют еще три признака делимости, которые могут оказаться особенно полезными, хотя причина, по которой они работают, не до конца очевидна:

Делимость на 3. Сложите между собой все цифры, используемые для обозначения числа. Только если получившаяся сумма кратна трем, само число нацело делится на три. К примеру сумма цифр числа 211 равна четырем, что не делится на три. С другой стороны, сумма цифр числа 174 равна 12, что делится на три, так что мы знаем, что 174 делится на три нацело (174: 3 = 58).

Делимость на 6. Если число четное и у него есть признак делимости на три (см. выше), оно делится на шесть. К примеру, 8412 делится на шесть, поскольку это число четное, а сумма его цифр равна 15.

Делимость на 9. Сложите все цифры числа. Если получившаяся сумма кратна девяти, и только в этом случае, число без остатка делится на девять. Таким образом, 442 не делится на девять (сумма его цифр равна десяти), а 378 – делится (сумма цифр равна 18).

Кто-то однажды сказал: «Всякий, кто в своей жизни решил уголком хотя бы два примера на деление, один из них решил напрасно».

Не исключено, что вам захочется вспомнить о ситуации, в которой вы в последний раз делили уголком (за исключением тех случаев, когда вы помогали ребенку справиться с домашним заданием). Австралия исключила это действие из своих учебных программ много лет назад, и никто, кажется, от этого не пострадал. В Великобритании кое-кто до сих пор рассматривает деление уголком как основу математики в начальной школе, так что, скорее всего, дети будут еще некоторое время этим заниматься. Напомним классический способ деления уголком[5].

517: 24. Здесь 517 – делимое, а 24 – делитель.

Мы не будем здесь рассказывать подробнее о делении уголком. Почему? Если вы уверенно владеете этим методом, то приведенного примера вам будет достаточно, чтобы все вспомнить, а если нет – лучше начать с нуля, используя методы, позволяющие разобраться, как это работает.

В тех случаях, когда делитель мал, процедура целиком не нужна. Поэтому для расчета 749: 7, можно использовать сокращенный вариант алгоритма (кстати говоря, в настоящее время его иногда называют методом автобусной остановки, поскольку форма записи здесь напоминает очередь из цифр в ожидании автобуса).

«Сценарий», которому учили многих из нас, выглядит примерно так:

• Семь укладывается в семь один раз, записываем 1 – первую цифру частного.

• Семь не укладывается в четыре, записываем это (пишем 0), переносим четыре.

• Семь укладывается в 49 ровно семь раз, пишем 7.

Ответ: 107.

Взгляните, как ребенок может решать пример 749: 7, если учитель предлагает ученикам разобраться в том, как работает деление.

Что здесь происходит? Точно так же, как процесс умножения можно расписать подробнее, в расширенной форме, здесь ребенок использует расширенную форму для выполнения деления. При этом он говорит себе примерно следующее:

• Сколько семерок я могу вложить в 749?

• Ну, 100 семерок – это 700, так что сто штук можно [ребенок записывает × 100 в левой колонке].

• После этого у меня остается 49.

• Я знаю, что семь семерок – 49, так что я могу взять еще семь раз по семь [записывает × 7 в левой колонке].

• Так что получится 107 [складывает 100 + 7].

Этот расширенный метод иногда называют делением «кусками», или методом группировки, и основан он на идее о том, что из делимого последовательно вычитаются большие «куски», или «группы». Такой подход можно использовать и при делении уголком.

Родители часто называют дроби одной из наиболее сложных тем в математике, хотя ваш ребенок, вероятно, с самого раннего возраста свободно пользуется простыми дробями и имеет о них вполне адекватное представление. К двум годам дети, как правило, успевают сообразить, что день рождения – это здорово, и знание о том, сколько тебе лет и когда у тебя очередной день рождения, всегда пригодится. Любой ребенок сообщит вам, что ему два с половиной года, и будет интуитивно понимать при этом, что два с половиной – это больше двух, но меньше трех, хотя ему никто и ничего, скорее всего, не рассказывал про дроби.

Но многие взрослые скажут, что изучение дробей отмечает тот момент, когда математика начала по-настоящему раскрываться перед ними и их детьми.

1. Дети считают, что половина всегда больше четверти (так почему же половина от 10 фунтов меньше, чем четверть от 100 фунтов?).

2. Полагают, что если разрезать нечто, скажем, на пять частей, то каждая часть непременно должна составлять одну пятую (даже если кусочки получились разного размера). Для многих детей «половина» – это «одна из двух частей».

3. Уверены, что, к примеру, четверть пирога всегда имеет одну и ту же форму.

4. Не понимают, что «половина», 0,5 и 50 % представляют одну и ту же дробь.

5. Плохо понимают разницу между «седьмым» (скажем, седьмым в ряду) и «седьмой частью» (например, той долей шоколадной плитки, которую вы получите, разделив эту плитку поровну с шестью друзьями).

В математике дробью называется любое число, выраженное как одно число, деленное на другое. Три разделить на четыре – это дробь, но и десять разделить на три тоже дробь. Дроби, записанные в виде одного числа, деленного на другое, называются обыкновенными» дробями. Верхняя часть дроби – числитель, нижняя – знаменатель. Эти два понятия дети вечно путают, поэтому их приходится заново объяснять при каждом использовании («числитель, то есть число над чертой…» или «знаменатель, тот, что снизу…»). Можно, конечно, придумать какое-нибудь мнемоническое правило, к примеру, такое: «В небе Чайка, на земле Змея», – и запоминать эти слова по первым буквам.

Не исключено также, что вы услышите от ребенка о двух типах обыкновенных дробей:

Правильные дроби – дроби, у которых числитель (число наверху) меньше знаменателя (это число внизу), к примеру, или «три седьмых».

Неправильные дроби – те, у которых числитель больше знаменателя, к примеру, или «одиннадцать пятых». (Название обманчиво, поскольку ничего «неправильного» в таких дробях нет.)

Дроби, в которых знаменатель (не забывайте, это число внизу, под чертой) равен десяти, 100 или любой другой степени десяти, известны как десятичные дроби.  – все это десятичные дроби, и гораздо чаще их записывают как 0,1, а также 0,03 и 0,017. Один конкретный тип десятичных дробей носит знакомое в повседневной жизни название – процент. Название «процент» означает всего-навсего «деленный на 100»: 73 процента можно записать как или 0,73, но обычно это число записывают как 73 %. Подробнее о десятичных дробях и процентах можно прочитать ниже в этой главе.

Для полноты картины вашему ребенку расскажут о так называемых смешанных числах, выраженных в виде целого числа, за которым следует дробь. Девочка, которая говорит, что ей четыре с половиной годика использует для обозначения своего возраста смешанное число.

Разделите пиццу на две равные части, и вы получите две половины. Три равные части называются третями, четыре – четвертями и т. д. (Немного напоминает нашу систему счисления: чем дальше, тем проще называть числа:  – это шестая часть, а  – седьмая и т. д.)

Как правило, дети легко понимают и запоминают названия этих частей, но нередко не осознают важность здесь слова «равные». Если разломить печеньку на две части, ребенок, скорее всего, опишет получившиеся кусочки как половинки, даже если они получатся неравными (а они, конечно, получатся, и не забудьте взять себе бо́льшую «половину»). Поэтому вы можете закреплять с детьми правильное значение дробей на наглядных примерах. Разделите пиццу и спросите: «Это половина?» или «А это четверть?», – а проверить, равны ли части, можно наложением их друг на друга.

Хотя со временем все мы привыкаем думать об как о самостоятельном числе, в детстве, когда ребенок начинает знакомиться с дробями, полезно всегда спрашивать: «Половина чего?»

Вообще, осваивать идею дробей и рассказывать о них очень удобно на примере еды. Некоторые уверены, что пиццу изобрели специально как средство визуализации дробей, ведь так естественно делить пиццу на части – на половинки, четверти, шестые доли и т. п. Большую помощь в освоении дробей – причем без всякой предварительной подготовки – могут оказать пачка сосисок или большая плитка шоколада (которую можно ломать на кусочки по «строкам» и «столбцам» и на которой удобно демонстрировать массивы). Вооружившись чем-нибудь съестным, вы сможете устранить многие трудности, которые частенько возникают у детей при изучении дробей.

Один из полезных способов познакомить ребенка с дробями – рассматривать их как результат честного деления чего-то вкусного: «Четверо детей делят поровну восемь сосисок. Сколько сосисок получит каждый из них?» и «Четверо детей делят поровну три пиццы. Сколько кусков пиццы съест каждый из них?»

Логика действий в обоих случаях одинаковая: разделить некоторое число на четыре.

Связь станет прозрачнее, если выразить ответ на первый вопрос в виде дроби:

Детям намного проще рассматривать дроби как результат операции деления. Кроме того, это делает деление самым простым из всех примеров на вычисление:

Чему равно 1234: 14?

Ответ очень прост и равен По существу, ответ заключен в вопросе!

Угостите двоих детей пиццей, и вы рискуете услышать громкий спор о том, какой кусок пиццы больше и кому он достанется. Классическое решение в подобной ситуации – предложить одному ребенку разрезать пиццу, а второму выбрать себе тот кусок, какой понравится; тогда оба они, по идее, будут уверены, что получили точно по полпиццы. Но что произойдет, если детей будет трое?

Простейшее честное решение (ну, почти честное) таково: первый ребенок отрезает от пиццы то, что он считает одной третьей, и предлагает этот кусок второму ребенку. Второй принимает кусок, если считает, что он составляет по крайней мере треть; в противном случае он разрезает оставшуюся часть пиццы пополам. После этого третий ребенок выбирает себе самый большой, по его мнению, кусок. Далее первый ребенок берет себе кусок, который сам отрезал в самом начале, если его еще не взяли; если этого куска уже нет, он берет себе тот из оставшихся, который кажется ему больше. Второй ребенок получает оставшийся кусок.

Уф… да, не так уж это просто. Но во всяком случае каждый в результате получает кусок, который, по его мнению, равен трети целой пиццы. Хотя есть здесь одна загвоздка, из-за которой все получается не так здорово. Если первый ребенок отрежет кусок, который окажется больше трети и второй ребенок возьмет его себе, то третий будет смотреть на него с завистью, – ведь он тоже взял бы этот кусок, если бы у него была такая возможность.

Простой процесс разрезания пиццы в реальной жизни может оказаться удивительно сложным!

Что больше: Ребенку это далеко не очевидно. Но ответить на этот вопрос будет проще, если думать о дробях как о процессе дележа сосисок между несколькими детьми. Тогда верхнее число (числитель) – количество сосисок, а нижнее (знаменатель) – число детей, между которыми эти сосиски следует разделить.

Вот здесь-то и пригодится детская интуиция. Представьте, что у вас есть пять сосисок, которые вы собираетесь разделить поровну на восемь человек, и вдруг появляется еще один ребенок, так что те же сосиски теперь придется делить уже на девятерых, – больше получит теперь каждый ребенок или меньше? Конечно, меньше. Поэтому меньше, чем Точно так же, если вы отварите еще пару сосисок и разделите их (теперь уже семь штук) между девятью детьми (вместо того чтобы делить пять сосисок между теми же девятью ребятами), то каждый ребенок получит больше. Поэтому больше чем

Такой ход мыслей – подобный рассуждениям, основанным на подсчете сосисок или других блюд, – во многих случаях заметно облегчает сравнение значений дробей.

Если вы хотите разделить пиццу на троих, то проще всего сделать это разрезав ее на три равные доли.

Но большинство людей делит пиццы совсем не так. Третья часть пиццы слишком велика и часто складывается, когда вы берете ее в руки. Вместо этого мы, повинуясь инстинкту, делим пиццу на шесть частей и раздаем каждому по две. То, что две шестых доли и одна третья – одно и то же, настолько очевидно, что нет, кажется, никакой необходимости даже проговаривать это. Тем не менее этот факт – основа принципа упрощения дробей и сведения их к простейшему виду: Упрощение дробей встречается в математике повсеместно, и владение этим навыком делает очень многие вычисления гораздо проще.

Ключ к упрощению дробей – найти числа, на которые делились бы одновременно и числитель, и знаменатель дроби (наибольший общий делитель). Положим, надо упростить

И числитель, и знаменатель этой дроби делятся на пять. Поэтому  – то же, что

Или можно записать числитель и знаменатель в виде произведения, так что:

При такой записи дроби найти простейший ее вид намного проще; нужно вычеркнуть числа, которые встречаются и в числителе, и в знаменателе (в данном случае вычеркиваем пятерки и получаем

(Если вам не нравится мысль о том, что что-то там зачеркивается, существует и другой способ. 2 × 5: 3 × 5 это то же самое, что что равно При такой записи очевидно, что ничто волшебным образом не пропадает, но расчет сильно упрощается.)

Некоторые дроби очень трудно сравнивать. Так, при помощи метода деления сосисок невозможно оказалось определить, что больше – В данном случае единственный способ разобраться сводится к использованию метода шоколадки. Представьте, что у вас есть шоколадка, которую вы можете разделить на пять и семь равных частей. Это означает, что число кусочков в шоколадке должно делиться на 5 и на 7. Следовательно, плитка шоколада должна иметь пять «строк» и семь «столбцов», примерно так:

При этом в плитке всего 5 × 7, или 35 кусочков. Теперь несложно разобраться, сколько кусочков составляет Это три пятых, то есть три строки – 21 кусочек.  – это четыре седьмых, четыре столбца, 20 кусочков. Таким образом, больше (чуть-чуть!), чем потому что больше, чем

Метод шоколадки дает возможность создавать дроби с одинаковым знаменателем (так называемым «общим знаменателем»), что позволяет без труда не только сравнивать дроби, но также складывать и вычитать их.

Методом шоколадки можно пользоваться и для сложения дробей. К примеру, чтобы сложить нужно найти общий знаменатель, который в данном случае равен 4 × 5 = 20:

Есть еще один фактор, который делает дроби сложной для усвоения и понимания темой. Дело в том, что детям приходится иметь с ними дело при решении самых разных задач. Дробь – это не просто часть какого-то одного целого объекта, как в случае с тремя четвертями пиццы.

Ответ может законным образом получиться в следующих ситуациях:

• Четыре голодных ребенка делят поровну три пиццы. Сколько кусков пиццы достанется каждому?

• Какая доля точек на этом рисунке белая?

• Каково соотношение числа черных и белых точек?

• До дома моей бабушки три мили, а до дома дяди – четыре. Какую часть пути до дяди составляет дорога к дому бабушки?

• На каждые четыре мелких рыбешки, которые съедает мама-дельфин, ее детеныш съедает три таких же рыбешки. Какую долю обеда своей матери съедает дельфиненок?

• Салим бросает две десятипенсовые монеты. Какова вероятность того, что у него не выпадут два орла?

• На какую величину указывает стрелка на этой числовой прямой?

Большинство учащихся начальной школы сталкивается только с простыми примерами на умножение дробей, такими как Но не вредно и выяснить, что происходит, когда вы начинаете перемножать более сложные дроби. Обратимся к сфере кулинарии и предположим, что по рецепту вам нужно взять половину от трех восьмых килограмма. Предлог от[6] является здесь ключом и указывает на то, что необходимо умножение. Где бы вы ни услышали «треть от чего-то» или даже «20 процентов чего-то», – будьте уверены, что сейчас вам предстоит умножать дроби.

Как вычисляют «одну треть от четырех седьмых»? Наша верная шоколадка и здесь поможет понять, о чем речь. Затемненные кружочки представляют Из них черные представляют

Алгоритм решения любых подобных примеров (таких как выглядит так:

• перемножить числители (в данном случае 1 × 4 = 4);

• перемножить знаменатели (в данном случае 3 × 7 = 21).

Записывается это так:

Чему равно

Не правда ли, сразу всплывают какие-то неопределенные (или вполне отчетливые) воспоминания о том, что что-то нужно «перевернуть»? Одна американская мама рассказала нам, что у них для запоминания этого правила был даже какой-то стишок. Может быть, такой: «Делить на дробь – пустяшное дело: переверни – и умножай смело».

Таким образом:

Все так, если вы уверены, что правило верное и ему надо следовать. Но подумайте вот о чем. Мы начинали с а закончили Реакция большинства людей на этот пример была бы приблизительно такой: «Ну вот, посмотрите, что получается. С этого момента математика перестает опираться на здравый смысл».

Давайте перенесем этот абстрактный пример в реальную жизненную ситуацию. Предположим, в рецепте приготовления теста для блинов предлагается на определенное количество блинчиков взять молока (не думайте о других ингредиентах – яйцах, муке и пр.). Сколько таких порций теста вы сможете изготовить из целого литра молока? Три.

Откуда вам это известно? Это потому, что литра входит в литр трижды. Точно так же, как именно благодаря делению вы знаете, что «2 укладывается в 8 четыре раза», тот факт, что литра входит в литр трижды», тоже становится очевиден в результате деления:

Теперь ответ в примере становится понятнее:

Десятичные дроби и проценты часто рассматриваются как что-то отличное от обычных дробей, таких как или Отчасти это объясняется тем, что они иначе выглядят: действительно, 0,5 или 50 % совсем не похоже на но смысл во всех трех записях содержится совершенно одинаковый. Зачем же тогда запутывать ситуацию и придумывать разные способы обозначения? Если все это просто то почему всегда так и не писать? Причина в том, что десятичные дроби намного проще сравнивать и удобнее проводить с ними расчеты. Помните, как трудно было сравнивать Так вот, если прибегнуть к помощи десятичных дробей и процентов, процедура сравнения стала бы намного проще.

Назначение процентов – сделать работу с десятичными дробями еще проще, особенно при сравнении. Как этого добиться? Надо превратить дроби в знакомые и удобные числа от 0 до 100.

По существу, проценты стали витриной всех дробей. Они используются всюду, идет ли речь о процентных ставках, инфляции, безработице и практически любых статистических данных, какие только приходят на ум. Тем не менее проценты могут причинять родителям и детям значительную головную боль. Почему?

Основная проблема в том, что проценты вводятся как самостоятельная категория. Найдите 20 % от 160. Чему равны 25 % от 80? При взгляде на такие примеры невольно задаешься вопросом: «Зачем?» В процентах появляется гораздо больше смысла, если использовать их для того, для чего они и придуманы, – для сравнения различных вещей.

Предположим, Дженни получила за тест по французскому а по итальянскому – По какому предмету ее результат лучше – по французскому или по итальянскому? Довольно часто дети ошибочно утверждают, что результаты одинаковы – в конце концов, по тому и другому предмету она не добрала по четыре балла. Можно показать ошибочность такого подхода, резко изменив число вопросов в тесте. Действительно ли результат теста, равный ничем не хуже, чем Сравнить два результата означает поставить их оба на одну общую шкалу. Перевести каждый из них в оценку в пределах 100 (процентов) – общепринятый способ сделать это, а сами проценты – общепринятая шкала. Дробь превращается в Теперь ясно, что Дженни лучше написала тест по французскому.

Именно с геометрических фигур и углов – иными словами, с геометрии – начиналась, по мнению древних греков, настоящая математика. Такие фигуры, как треугольники или пятиугольники, могут быть связаны с любопытными изящными закономерностями и составляют основу визуальной и художественной стороны математики. Кроме того, геометрические фигуры могут требовать сложных рассуждений и построений и потому являться серьезным вызовом для ребенка. Математиков интересуют не только сами фигуры, но и описание их положения в различных вариантах пространства. Развитие именно этой области математики сделало возможным полет человека на Луну. Ваш ребенок узнает, в частности, о координатной системе – сердце всех карт и графиков.

1. Дети считают, что размер угла определяется длиной линий, при помощи которых он нарисован:

(Здесь ребенок думает, что угол Б больше угла А.)

2. Они не осознают, что всякий квадрат – это прямоугольник (но не всякий прямоугольник – квадрат).

3. Думают, что шестиугольники всегда выглядят так:

А вот эта фигура никак не может быть шестиугольником:

Правильные геометрические фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники и т. д. – фигурируют в математике со времен древних греков. Этим объясняются их названия (по крайней мере, варианты названий), семь из которых происходят непосредственно от греческих названий чисел:

Однако – наверное для того, чтобы всех нас запутать, – название правильной четырехсторонней фигуры, четырехугольника, пришло из латыни (quadratus), тогда как 9– и 11-угольники встречаются так редко, что трудно найти человека, который знал бы, как они называются (на случай, если вас это интересует, скажем, что эти названия соответственно «нонагон» и «гендекагон»).

Числа в названиях действительно указывают на количество сторон в многоугольнике, а вот «гон» – часть названия, которая произошла от греческого gonu, означающего колено; это слово начали применять в отношении углов, поскольку колено человека тоже образует угол. Фигура называется правильной, если все ее стороны одинаковой длины, а все углы равны, так что вот это, к примеру, правильный шестиугольник:

С другой стороны, эти два шестиугольника не являются правильными (по крайней мере в строго математическом смысле этого слова):

Фигуры с большим числом сторон, как правило, называют просто многоугольниками, или полигонами, используя приставку поли-, что означает «много».

Многие правильные фигуры хорошо стыкуются друг с другом, и это учитывается при выборе деталей для украшения полов, составления мозаики, изготовления лоскутных одеял и других декоративных предметов. Организация фигур, известная как мощение, является стартовой точкой для целой области геометрии; мало того, этот раздел математики больше других интересен детям, увлекающимся прикладным искусством. Можно вовлечь таких детей в математические занятия так, что они даже не поймут, что это математика.

Самое очевидное мощение производится квадратами или прямоугольниками – за примерами не надо далеко ходить, достаточно взглянуть на полы в большинстве кухонь, на стены и на вымощенные плиткой тротуары. Однако с другими фигурами все гораздо интереснее.

Если взять любой треугольник, то всегда можно вымостить пол идентичными его копиями, соединив (к примеру) по два треугольника длинными сторонами:

То же относится к любым четырехугольникам, от квадратов:

…до трапеций:

…и до эмблемы из сериала «Звездный путь» (если, конечно, у нее будут прямые стороны):

Из правильных шестиугольников тоже получается отличное плотное покрытие (любая пчела может рассказать вам об этом).

Правильные пятиугольники не годятся для мощения – между ними остается некрасивая щель:

…а вот некоторые неправильные пятиугольники допускают мощение. У такого пятиугольника две его стороны должны быть параллельны друг другу. К примеру:

При мощении подобного рода фигурами образуется интересный, почти трехмерный эффект на плоской поверхности:

Равносторонние треугольники, квадраты и пятиугольники можно соединять между собой, чтобы образовать из них объемные фигуры, известные как платоновы тела. Всего таких тел пять. Три из них состоят из треугольников:

(«-Эдр» – от греческого hedra, «сиденье», означает плоскую грань объемной фигуры.)

Два других платоновых тела:

Складывание из бумаги объемных фигур входит в программу по математике в начальной школе. К семилетнему возрасту ваш ребенок, вероятно, успел уже познакомиться с так называемыми развертками, наверняка ведь ему случалось развернуть картонную коробку, да и в наборах различных конструкторов детям часто предлагается складывать объемные фигуры из деталей-многоугольников. К 11 годам ребенок должен уметь строить развертки не только кубов, но и призм (к примеру, треугольных коробочек), а также других правильных объектов.

Здесь представлены две развертки, из которых можно сложить куб:

Но изготовление развертки куба не сводится к тому, чтобы произвольным образом соединить шесть квадратов. К примеру, из этой развертки не получится полного куба:

Как ее ни складывай, две грани обязательно наложатся друг на друга.

Вы с легкостью представляете себе, как все это происходит? Если да, вам повезло. Дети в большинстве своем (и многие родители) могут определить, получится ли из развертки объемная фигура, только после того, как физически сложат бумагу по стыкам; именно в этот момент обычно приходит озарение. В классе учащимся, как правило, дают возможность – и время – складывать свои развертки. Однако во время тестов все придется проделывать в голове. Научиться этому можно только на практике.

Есть люди, зарабатывающие себе на жизнь придумыванием разверток, которые потом используются, скажем, для оформления упаковок различных товаров. Вы можете последовать их примеру и превратить создание разверток в развлечение, в домашнее хобби. Можно придумать и собрать собственную игральную кость из кусочков картона или изготовить складную шкатулку (непременно с изогнутой крышкой). Но почему не пойти еще дальше и не сделать с ребенком что-нибудь по-настоящему впечатляющее? Вы бы поверили, что следующая развертка, составленная из треугольников, складывается в модель (икосаэдр) планеты Земля? Глобус Земли должен быть в каждом доме, но насколько круче, если ваш глобус будет сложен из развертки? (Подобные развертки несложно найти в интернете.)

Всем известно, как выглядит футбольный мяч – тот самый, из черных и белых «заплаток»… Во времена нашего детства его можно было купить за £1 в ближайшем супермаркете. Но сможете ли вы нарисовать такой мяч по памяти, не глядя на него?

У большинства родителей, сделавших такую попытку, получилось что-нибудь в этом роде:

Выглядит… ну… неправильно. Причина в том, что большинство людей уверено, что футбольный мяч целиком состоит из шестиугольников. Иллюстраторы, мультипликаторы, даже чиновник – автор стандартного дорожного знака «футбольный стадион», который можно встретить по всей Великобритании, – все делают одну и ту же ошибку. (Взгляните на эмблему любого футбольного клуба, и вы поймете, что мы имеем в виду!) Но правильные шестиугольники хорошо ложатся только на плоскости, и если попытаться составить из шестиугольников шар, то неизбежно получатся бугры и складки.

А теперь взгляните на настоящий футбольный мяч:

На самом деле он состоит из чередующихся шести– и пятиугольников – если быть точными, то шестиугольников там 20, а пятиугольников – 12.

Можно также сделать футбольный мяч из икосаэдра. Икосаэдр имеет 20 треугольных граней и 12 вершин, в каждой из которых сходится по пять треугольников. Если срезать угол, получится пятиугольник.

Именно из-за этого воображаемого срезания получившийся многогранник называют усеченным икосаэдром – но большинству он известен просто как футбольный мяч.

Люди еще в глубокой древности испытывали потребность в измерении углов – это им было нужно для изучения звездного неба. Древние греки решили, что, размечая окружность, следует разделить ее на 360 «градусов». Почему 360, а не 100? Никто не может сказать с уверенностью, но существует одно весьма правдоподобное объяснение: 360 делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 и 12, не порождая дробей и не усложняя расчеты. По сравнению с этим, 100 делится только на 2, 4, 5 и 10. Поскольку дроби во времена Древней Греции популярностью не пользовались, весьма полезно было иметь здесь число, которое так легко делится.

Кроме того, число 360 весьма близко к количеству дней в году, так что имело бы смысл обозначить жизненный цикл красивым целым числом, которое представляло бы календарь.

Если 360° – это полная окружность, то половина окружности должна соответствовать 180°:

Четверть окружности составляет угол величиной 90°, который известен как прямой угол; обозначается такой угол маленьким квадратиком возле его вершины:

Углы меньше 90° называются острыми, больше 90° – тупыми. (Для полноты отметим, что угол больше 180° иногда называют «отраженным» – хотя вам вряд ли удастся найти много людей, которым это известно.)

Треугольники бывают трех типов, и считается, что ваш ребенок должен быть знаком со всеми тремя:

• Равносторонний треугольник – тот, у которого все три стороны (и все три угла) одинаковые.

• Равнобедренный – треугольник с двумя одинаковыми сторонами (и двумя углами).

• В разностороннем – все стороны (и все углы) разные.

У треугольников есть одна занятная особенность: если взять треугольник и измерить у него все три внутренних угла при помощи транспортира, их сумма всегда будет составлять 180°. Существует простой способ убедиться в этом: нужно нарисовать треугольник на листе бумаги, вырезать его, оторвать от него все три угла и сложить их вместе.

Это означает, что если вам известны любые два угла треугольника, вы можете определить, чему равен третий угол. К примеру, если два угла треугольника составляют 30° и 80°, то третий должен быть 180° – (30° + 80°), то есть 70°. И оказывается, что этот маленький кирпичик знания лежит в фундаменте огромного количества куда более хитрой геометрии в составе высшей математики – достаточная причина для того, чтобы ваши дети прочно усвоили данное правило.

Чему равен угол A между автомобилем и стеной?

Время, расстояние, площадь, объем, скорость, вес – все эти вещи необходимо измерять, и дети в школе тратят немало времени на освоение навыков работы с секундомерами, линейками, весами и другими устройствами для представления результата измерений в виде чисел. Однако считается, что дети должны научиться также измерять различные вещи при помощи воображения – прикидывая.

1. Дети не обращают внимания на «мертвую зону» на линейке (часть между нулем и концом линейки).

2. Уверены, что если какая-то фигура обладает большей площадью, то и периметр у нее должен быть больше.

3. Неверно интерпретируют шкалу, на которой нет отметки для каждого числа.

4. Используют неподходящие единицы для измерения чего-либо (к примеру, измеряют вес пера в килограммах).

Возможно, мы живем в метрическую эру, но и сегодня в Великобритании сохраняются некоторые остатки старой имперской системы мер и весов, к которым, как правило, относятся с большой любовью. Молоко и пиво по-прежнему продают в пинтах, дорогу измеряют в милях, площадки для крикета – в ярдах, а дорожки ипподрома – в фарлонгах. Мнения о том, следует ли отказаться от этих последних бастионов имперской системы и полностью перейти на более простую метрическую, разделились, хотя, говоря об этом, следует помнить, что США – самая влиятельная, наверное, культура на свете, хранит верность имперской системе. Инженеры в США все еще работают в милях, футах, фунтах и градусах Фаренгейта.

В школе ребенка будут учить метрической системе, у которой есть одно важное преимущество: все в ней кратно десяти. Но если ребенок будет знать метрические эквиваленты таких показателей, как фунт, ярд, дюйм и пр., это явно не окажется для него лишним.

Во многих случаях перевод из имперской системы мер и весов в метрическую может быть произведен (в целях грубой оценки) простым удвоением или делением на два. В таблице приведены самые распространенные единицы измерения и способы их перевода: сначала быстрый метод для получения приблизительного значения, затем более сложный, но позволяющий выполнить более точный расчет.

Ни один здравомыслящий человек не будет измерять расстояние от Лондона до Глазго в миллиметрах; глупо также использовать килограммы для измерения веса одного птичьего пера. Но почему? Дело в том, что человеческий мозг лучше всего работает с целыми числами от 1 до 1000, а не с очень маленькими или очень большими. Идея о том, что для измерения маленьких вещей нужно пользоваться маленькими единицами, а для измерения больших вещей – большими, понравится вашему ребенку и покажется ему разумной; вам же следует как можно больше говорить с сыном или дочерью о различных мерах и измерениях.

В настоящее время широко используются только две приставки к метрам, граммам и литрам, превращающие их в удобные и подходящие к случаю единицы:

Существуют также приставки для обозначения других, промежуточных десятичных степеней, но (за исключением традиционных сантиметров) они почти не используются:

Слово «периметр» происходит от греческого слова περί (вокруг). Дети часто путают измерение периметра какого-то объекта и измерение его площади. Можно без труда избавиться от этой путаницы, если всегда связывать периметр с куском веревки. Какой длины кусок веревки вам потребуется, чтобы обернуть им данную окружность – или, к примеру, данный бассейн?

Периметр окружности имеет особое название: «длина окружности». Длина окружности круга при делении на его диаметр дает постоянную величину: это число, немногим большее трех, очень близкое к 3,14 и известное всем как число пи (или π). С ним дети не сталкиваются до средней школы, но вы можете познакомить сына или дочь с этим загадочным числом, обратив внимание ребенка на многочисленные круглые объекты в доме – банку фасоли, диск DVD или пиццу. Можно взять шнурок и наглядно продемонстрировать, что трех диаметров чуть-чуть, но не хватит на то, чтобы обкрутить им соответствующий предмет.

От учащихся начальной школы не требуется знание того, как вычисляется объем твердого тела. Тем не менее дети знакомятся с измерением объема жидкости в литрах; считается также, что они должны чувствовать и разумно оценивать, больше или меньше литра жидкости входит в конкретную емкость.

Несмотря на то что объем тела не будет рассматриваться в этом курсе сколько-нибудь подробно, полезно познакомить ребенка с некоторыми идеями, имеющими отношение к объему. Взяв два листа А4, можно провести интересный эксперимент.

Скатайте один лист вдоль длинной стороны, чтобы получилась длинная тонкая трубочка, а второй – вдоль короткой стороны, чтобы трубка получилась потолще и покороче.

Эти две трубки имеют разную форму, но сделаны из одного и того же листа бумаги. В какую из них войдет больше гречневой крупы?

Если инстинкт говорит вам, что в каждый цилиндр должно поместиться одинаковое количество гречки, то он ошибается. В короткую широкую трубку входит больше – приблизительно на 40 %.

Теперь разрежьте лист A4 пополам и сверните два одинаковых широких цилиндра меньшего размера. Где объем больше – в крупном цилиндре или в двух его маленьких копиях? Возможно, первое, что подсказывает инстинкт, – это то, что между этими вариантами нет никакой разницы; однако после того, как вы сделаете цилиндры, верный ответ станет очевидным.

Просто взглянув на получившиеся цилиндры, можно увидеть, что две меньшие трубки в сумме вместят явно меньше, чем одна большая. Объем большой трубки, опять же, превосходит суммарный объем двух маленьких приблизительно на 40 %.

Когда многие из нынешних родителей учились в школе, ни статистика, ни теория вероятности практически не были включены в курс математики. Однако в настоящее время они составляют заметную часть учебного плана. Статистика, как правило, представляется как «обработка данных»; тема же, посвященная вероятности, – если в школе, где учится ваш ребенок, решили ее ввести (а она уже не входит в национальную программу обучения) – будет, вероятно, называться «Шанс».

«Обработка данных» – сухое формальное название для процесса, который может быть очень увлекательным: поставить вопрос; решить, какая информация необходима, чтобы на него ответить; собрать, разделить на категории и представить полученные сведения в виде таблиц; интерпретировать эти таблицы; использовать информацию для лучшего понимания окружающего мира. В то же время любой ребенок, хоть раз игравший в карты или в кости, знаком с идеей шанса (или вероятности), хотя в раннем возрасте дети, как правило, думают об этих вещах не слишком научно и называют их «удачей».

1. Дети полагают, что «отрицательная» информация менее полезна, чем положительная. К примеру, в игре «Угадай число» – варианте игры с 20 вопросами, когда один играющий должен задумать число, а другой – установить, что тот загадал, задавая вопросы, на которые нужно отвечать «да» или «нет». Вопрос «Это число четное?» и ответ «Нет» дает ровно столько же информации, что и вопрос «Это число нечетное?» и ответ «Да», но дети склонны оценивать ответ «Нет» как менее полезный.

2. Уверены, что диаграмма представляет собой «картину» события, и потому неверно ее интерпретируют.

3. Не осознают, что круговые диаграммы отражают соотношение частей в группе, а не размер группы в целом.

Если вам приходилось когда-нибудь что-нибудь подсчитывать, зачеркивая четыре палочки пятой (||||), для того, чтобы, скажем, знать, сколько очков набирается в игре или сколько людей входит в школьный зал, то вы, как и многие другие, продолжаете давнюю традицию. Ту, которой уже около 40 000 лет! Мы знаем об этом благодаря так называемой кости из Лебомбо – старейшему известному на данный момент математическому памятнику. Это кость павиана, на которой какой-то пещерный человек проводил подсчет и оставлял отметки. Этой кости примерно 37 000 лет, и, вероятно, она не была первым подобным предметом. Разумеется, мы понятия не имеем, что считали с ее помощью – прошедшие дни, добытых животных или членов племени, – кто знает? Но, как бы то ни было, ясно, что желание учитывать количество появилось у нашего биологического вида довольно давно.

На ранних экземплярах таких «счетных дощечек» отметки стоят простым частоколом, хаотично, но на более поздних костях уже отмечается какая-то система, а со временем нормой становится группировка по пять штук.

Такой счет – простейший способ сбора и представления данных. Подсчет одновременно двух вещей – к примеру, очков, набранных каждой командой в игре мальчиков против девочек, – производится точно так же и позволяет с одного взгляда определить и количество, и соотношение этих двух вещей.

Иногда эта система счета используется просто для регистрации каких-то одинаковых вещей или событий – числа людей, пришедших на представление, или машин, заезжающих на парковку. Но составив табличку, можно одновременно отслеживать и несколько параметров: сгруппировать машины по маркам; выяснить, чипсы с какими ароматами пользуются наибольшим спросом; подсчитать число леденцов каждого цвета в разноцветной упаковке. Такие таблички известны как частотные таблицы; полученные с их помощью данные часто представляют в виде графиков и диаграмм, преобразовывая информацию в визуальную форму.

Это – три слона, на которых держится любая обработка информации. Взгляните на множество перечисленных в предыдущих главах способов, при помощи которых мы группировали и называли числа – целые числа, дроби, четные/нечетные, квадраты чисел, кратные, делители и т. п. Или припомните разнообразные типы и названия геометрических фигур: симметричные, двумерные или трехмерные, правильные и т. п.

В основе обработки информации лежит умение замечать общие свойства объектов и их различия, а затем распределять эти объекты по категориям.

Которая из этих четырех фигур является здесь лишней?

Большинство людей сразу выберет треугольник, поскольку на данной картинке он единственная фигура с тремя сторонами. Но это лишь одна из возможных причин, по которым треугольник в этом наборе оказывается лишним. Как по-вашему, существуют ли другие объяснения? Прежде чем читать дальше, попробуйте назвать еще по крайней мере пять причин.

Вот некоторые:

• Его углы в сумме дают 180° (у каждой из остальных фигур сумма углов равна 360°).

• Он имеет три оси симметрии.

• У него самая маленькая площадь.

• У него самый маленький периметр.

• В нем три угла.

• Все его углы острые.

• Из шести таких треугольников можно сложить шестиугольник.

Треугольник не единственный возможный вариант ответа на вопрос «Какая фигура здесь лишняя?». В каждой из остальных фигур есть что-то, что ее выделяет: все, кроме одной, имеют равные стороны; все, кроме одной, имеют горизонтальное основание; у всех, кроме одной, все углы одинаковы… Это наглядно показывает, что классификация объектов редко бывает очевидной и однозначной. А поскольку при обработке информации постоянно требуется распределять информацию по категориям, то чем чаще ребенок будет придумывать и обдумывать всевозможные категории, тем лучше.

В определенный момент в начальной школе ваш ребенок познакомится с двумя способами сортировки – при помощи диаграмм Венна (о которых вы, вероятно, слышали) и Кэрролла (с которыми вы, скорее всего, не сталкивались). Хотя оба способа позволяют сделать, в сущности, одно и то же, данные в них представляются немного по-разному и потому акцент делается на разных вещах.

Чтобы помочь ребенку освоить диаграммы Венна, можно организовать игру с двумя связанными петлей веревочками и набором различных предметов. Можно разложить на столе яблоко, апельсин, оранжевый восковой мелок и простой карандаш и исследовать возможные способы разбиения этого множества предметов на две группы. Это может быть группа съедобных вещей и группа оранжевых предметов. Ребенок быстро поймет, что некоторые вещи следует отнести к обеим группам: так, апельсин оранжевый и к тому же съедобен. Значит, две веревочных петли должны будут пересечься.

Кроме того, хотя это не очевидно на первый взгляд, существует и четвертое место, где могут находиться предметы, – пространство вокруг петель. В нашем примере то, что не оранжевое и невозможно съесть, должно будет остаться за пределами обоих групп.

В начальной школе диаграмма Венна часто представляется только как пересечение двух контуров, но в некоторых ситуациях один из контуров может полностью находиться внутри другого. Так, если одна из петель представляет группу «животные, которые дают молоко», а вторая – группу «коровы», то, поскольку все коровы дают молоко, коровы полностью включены в группу молочных животных. Диаграмма Венна для этого случая становится похожей на яичницу-глазунью.

Кроме того, не существует правила, согласно которому петель (групп) должно быть обязательно две. Вы можете создать их столько, сколько нужно, чтобы представить все нужные вам категории, хотя в случае, когда групп больше трех, пересечения между ними сильно усложняются.

Этот вид диаграмм назван в честь автора «Алисы в Стране чудес», который занимался не только писательством, но и преподавал математику в Оксфорде. Чарльз Доджсон (настоящее имя Кэрролла) особенно интересовался логикой и в 1896 г. опубликовал книгу «Символическая логика» (Symbolic Logic), где представил диаграмму, названную им «двухбуквенной». Позже этой диаграмме дали имя ее автора, и сегодня каждый учащийся начальной школы изучает диаграмму Кэрролла как метод категоризации объектов.

Особенно удобна диаграмма Кэрролла для группировки математических объектов. К примеру, карточки с числами можно рассортировать по самым разным признакам: четные/нечетные, больше/меньше 20, кратные/некратные пяти…

Не так давно почти весь школьный опыт обработки данных сводился у учащихся начальной школы к рисованию столбчатых диаграмм по готовым наборам данных. Дети тратили много времени на раскрашивание диаграмм, но мало что реально узнавали об обработке данных. Теперь построение всевозможных диаграмм и графиков лучше поручить технике – любая электронная таблица может быстро представить ваши данные в виде таблицы или диаграммы, – поэтому учитель может больше внимания уделить полномасштабным проектам обработки данных.

Работа над проектом начинается с выбора темы исследования. Это может быть что-нибудь очень простое: «Каких машин больше на дороге перед школой – зеленых или желтых?» Здесь достаточно просто пересчитать те и другие автомобили, а затем представить данные для сравнения. Но дети вполне способны провести в классе и более тонкое исследование, скажем, такое: «Помогает ли повторение выучить таблицу умножения?»

Далее в классе дети обсудят, как можно это исследовать. К примеру, они могли бы договориться и в течение, скажем, недели каждый день повторять таблицу умножения (к примеру, таблицу умножения на три). Тогда они собрали бы данные о том, как класс знает эту таблицу в начале недели, для чего провели бы общий контрольную работу. Затем, после нескольких дней практики, повторили бы тест и вновь собрали данные.

Существует немало различных способов представления результатов. К таким способам относятся не только привычные столбчатые и круговые диаграммы и графики, но и множество других, более сложных форм, таких как точечная диаграмма. Одно из решений, которые необходимо принять в ходе работы над проектом по обработке данных, – о том, какой тип диаграммы использовать для представления результатов; это важно, поскольку диаграммы разных типов позволяют сделать разные выводы.

Отвечая на вопрос «Помогает ли повторение выучить таблицу умножения?», младшие дети могли бы изобразить рядом показатели каждого учащегося на блоке столбчатых диаграмм.

Затем они попытались бы интерпретировать полученные результаты, задавая себе примерно такие вопросы:

• На сколько максимально улучшился результат?

• Показал ли кто-нибудь ухудшение результата?

• У всех ли результат улучшился? У скольких улучшился?

• В целом показал ли класс улучшение?

Дети постарше, возможно, предпочли бы использовать точечную диаграмму, которая иногда бывает более информативной. На ней координатами точки служат результаты каждого ребенка в первом и втором тесте (по одной оси – в первом, по другой – во втором). Диагональная линия показывает, где находились бы все точки, если бы результаты обоих тестов были одинаковыми. У детей, получивших за второй тест более высокую оценку, точки ложатся выше этой линии, у тех, у кого оценка снизилась, – ниже. В таком представлении проще с одного взгляда понять, сколько детей показали лучший результат, и сколько – худший. (Похоже также, что те дети, кто плохо написали первый тест, как правило, повысили свои показатели, а те, кто в первый раз добились успеха, либо не улучшили прежний результат, либо улучшили его, но незначительно.)

Есть один забавный способ разобраться вместе с ребенком в том, что график – это вовсе не буквальное изображение происходящего. Для этого нужно построить график эмоционального состояния какого-нибудь действующего лица по ходу сюжета известной сказки. На оси Х размечаем ход времени, а по оси Y откладываем эмоции от самых негативных внизу до самых позитивных вверху. Каждый может выбрать сказку по своему вкусу, а затем попытаться сопоставить график с развитием действия. Представьте, к примеру, как приведенный график соотносится с чувствами Красной Шапочки и событиями сказки.

Один из видов круговой диаграммы придумала (или, по крайней мере, активно популяризовала) Флоренс Найтингейл. С его помощью часто отображают соотношения частей и целого, в частности в том, что касается самых разных групп населения. Так, можно показать, какая доля детей добирается до школы на тех или иных видах транспорта. С подобной диаграммой может столкнуться и ваш ребенок.

Здесь можно задать ребенку следующие вопросы:

• Какой вид транспорта является наиболее популярным?

• Какой процент детей ездит в школу на велосипеде? (Целый круг всегда представляет 100 %.)

Однако, не имея никакой дополнительной информации, мы не можем ничего сказать об абсолютном количестве детей. Круговая диаграмма сообщает нам, что половина, или 50 %, детей ходит в школу пешком, но мы не знаем, сколько это в численном выражении – 20, 100 или 1000 детей, поскольку полное число детей, о которых идет речь, никак не отражается на диаграмме. Но если бы мы знали, что в исследовании участвовали 100 детей, то могли бы ответить и на другие вопросы:

• Сколько детей ездит в школу на велосипеде? (25)

• Пятеро детей ездят на машине. А сколько ездит на автобусе? (20)

Ситуация становится более интересной и неоднозначной, если представлены две круговые диаграммы.

При рассмотрении этих двух круговых диаграмм выясняется, что процент детей, которые ходят в школу пешком, в Тритопской школе выше, чем в Санниглейдской. Но без дополнительной информации мы не можем точно сказать, действительно ли в Тритопской школе больше детей ходит пешком. Если в эту школу на своих двоих добирается 40 % детей, а всего там учится 100 человек, то без транспорта обходится 40 детей. В Санниглейдскую школу лишь 25 % учеников предпочитают приходить пешком, но если в ней учится 200 человек, то получается, что таких любителей пешего хода там 50 – больше в численном выражении, чем в Тритопской, хотя это и составляет меньшую долю от общего числа детей. В относительном выражении больше детей ходит пешком в Тритопскую школу, но в абсолютном – в Санниглейдскую. Обязательно предупредите ребенка, что если в задаче представлено две круговые диаграммы, то нужно быть настороже и очень внимательно читать заданные вопросы.

Возможно, вы сейчас задаетесь вопросом: зачем сбивать ребенка с толку и запутывать его всеми этими сложностями? Почему не занять его простыми понятными расчетами? Дело в том, что умение интерпретировать диаграммы – это первый шаг к способности противостоять лукавой статистике, каждодневно наполняющей новостные сообщения. К примеру, Королевское общество предотвращения дорожных происшествий сообщило, что в 2007 г. на дорогах Великобритании погибло 136 велосипедистов. В заголовках BBC прозвучало, что с 2004 г. число погибших велосипедистов выросло на 11 %. В абсолютных числах это означает, что погибло примерно на 14 велосипедистов больше. Конечно, любая смерть – трагедия, но отметим, что «погибло на 11 % больше людей» в заголовке смотрится намного внушительнее. И наоборот, та же BBC сообщила, что дома в результате несчастных случаев погибает в абсолютных числах 76 человек в неделю. Эта информация в сравнении с данными о том, что еженедельно погибает в среднем менее трех велосипедистов, шокирует. Заметьте, что министры говорят о предстоящих расходах в абсолютных величинах, а об их урезании – в относительных, то есть в процентах. Потратить на что-то дополнительные £2 млн звучит солидно, хотя в бюджете проекта эта сумма может составлять всего один процент. С другой стороны, урезание расходов на 0,5 % кажется умеренным, хотя в абсолютном исчислении может составлять миллионы и миллионы.

Мы, конечно, не утверждаем, что при помощи математики следует отпугивать детей от велосипедов, но не секрет, что к девяти или десяти годам многие мальчики и девочки начинают интересоваться такими вопросами, как изменение климата или защита исчезающих видов животных. Они уже в состоянии и разобраться в различных способах представления данных, и понять, как можно создать у читателя или зрителя разное впечатление в зависимости от того, в абсолютных или относительных величинах приводятся эти данные.

Только в конце 1970-х гг. калькуляторы подешевели в достаточной степени, чтобы появиться в каждом доме. Это означает, что многие родители – и почти все бабушки и дедушки – не имели или почти не имели опыта работы с ними в школе. Сегодня, конечно, калькуляторы – привычный предмет в классе. В этой главе мы поговорим о том, какие ловушки могут скрываться в любом, даже простейшем, калькуляторе, а также о том, как эти устройства могут помочь или помешать ребенку в усвоении математики.

1. Дети не подвергают сомнению ответ, полученный на калькуляторе, каким бы странным он ни был.

2. Порядок (или метод) проведения вычислений на калькуляторе может отличаться от того, что мы применяем при вычислениях вручную.

3. Смущают странные символы на некоторых кнопках.

4. Забывают очистить память калькулятора, прежде чем проводить следующее вычисление.

5. Неловкие пальцы нажимают не те кнопки.

6. Забывают вводить десятичную точку (потому что точка автоматически появляется в конце числа на экране).

Легко объяснить пресловутое снижение математических способностей в масштабах страны применением калькуляторов, но на самом деле все не так просто. Прежде всего отметим, что существует множество областей математики, в которых калькулятор попросту бесполезен. Взгляните хотя бы на вопросы в конце книги и убедитесь, что калькулятор вряд ли сильно поможет в их решении. (Ученые-математики часто говорят, что у них вовсе нет калькулятора, – так редко в их работе возникает необходимость в «вычислениях».)

Но калькуляторы и правда могут стать источником проблем. Сам факт их существования означает, что школы не горят желанием заставлять детей решать сотни и сотни примеров, как делали их мамы и папы, бабушки и дедушки. Какой в этом смысл, если во взрослой жизни необходимость в таких расчетах будет у них возникать очень редко? А значит, методы и принципы «ручных» расчетов, которые накрепко вбивались в головы предыдущих поколений, как правило, не остаются в памяти поколения нынешнего.

Еще одна проблема состоит в том, что дети – а иногда и их родители – действительно склонны верить, что калькулятор никогда не ошибается. Это правда в какой-то мере потому, что техника работает почти безошибочно. Но калькулятор не может ничего знать о том, верно ли человек поставил десятичную запятую и не ошибся ли он при нажимании кнопок, не говоря уже о том, правильно ли этот человек интерпретировал задачу, которую пытается решить. Вспоминается старая присказка тех времен, когда компьютеры только входили в нашу жизнь: «Мусор на входе, мусор и на выходе».

Как правило, калькуляторы появляются на уроках математики, когда детям исполняется примерно по восемь лет. К этому моменту учащиеся должны уже познакомиться с числами, разрядными значениями, сложением, так что осмыслить основные функции несложного калькулятора им вполне по силам. Однако зачастую оказывается, что многие дети сталкивались с такими вычислительными устройствами и до этого, поэтому полезно с раннего возраста знакомить своего ребенка с положительными и отрицательными сторонами калькуляторов и расчетов на них.

Семена здорового недоверия к калькулятору можно начинать сеять в достаточно раннем возрасте. Играть в игру «Прав ли калькулятор?» можно уже тогда, когда ребенок способен хотя бы сложить два числа. «Сколько будет четыре плюс два? – спрашиваете вы. – Так, посмотрим, что скажет калькулятор… Он говорить шесть. Это правда? Я не уверен, давай-ка проверим…» Когда вы вместе убедитесь, что четыре плюс два действительно будет шесть, вы неохотно согласитесь, что на этот раз калькулятор посчитал верно, но вы будете и дальше приглядывать за ним – на всякий случай… кто знает, что калькулятору в голову придет…

Еще лучше, если, прежде чем знакомить ребенка с электронным калькулятором, вы вместе с ним изготовите самодельный…

Калькулятор, с которым ваш ребенок в первую очередь столкнется в школе, будет похож на изображенный ниже. Он совершенно примитивен – казалось бы, что может пойти не так при первом знакомстве? На самом деле подводных камней здесь хватает.

Для начала заметим, что даже самые простые калькуляторы могут довольно сильно отличаться друг от друга, причем не только расположением кнопок, но и их набором. Одни приборы, например, не имеют отдельной кнопки ВЫКЛ (OFF), у других есть ВЫКЛ, но нет ВКЛ (ON), у некоторых, помимо кнопок + и –, есть еще особая кнопка +/–, а функции, связанные с помещением в память и извлечением из памяти, могут обозначаться самыми разными буквами и сочетаниями букв: M, RCM, MRC, MR (все они означают Memory Recall, то есть «Извлечь из памяти»)[8]. А ровно в тот момент, когда вам покажется, что на калькуляторе не осталось больше сюрпризов, вы обнаружите кнопку с буквами MU (Mark Up), которые не имеют отношения к памяти, а означают цену с наценкой – которая, может, и будет полезна какому-то количеству розничных торговцев, но совершенно ничего не говорит всем остальным.

Таким образом, про калькуляторы нельзя сказать, что если ты видел один калькулятор, то ты видел их все. И хотя считается, что дети намного быстрее и легче своих родителей осваивают электронные гаджеты, налицо множество подвохов, о которых следует помнить.

У большинства калькуляторов есть невинного вида кнопка, помеченная знаком процента (%). Однако пользоваться ей следует с большой осторожностью, на свой страх и риск. Более того, некоторые учителя математики относятся к этой кнопке как к запретному плоду из Эдемского сада и говорят своим ученикам: «Вы можете пользоваться на калькуляторе любыми кнопками, какие вам нравятся, кроме одной: никогда не нажимайте на «процент»». Почему так? Дело в том, что получить с помощью этой кнопки верный ответ можно только при правильном ее использовании, а ошибиться здесь проще простого.

Представьте, к примеру, что вы хотите узнать, чему равны четыре пятых в процентном выражении. Если вы совершите ошибку и нажмете в ходе расчета кнопку «равно» (которую дети привыкли нажимать, чтобы получить на экране ответ), то на большинстве калькуляторов вы получите следующие результаты:

На большинстве калькуляторов правильный способ найти 4: 5 в процентном выражении состоит в том, чтобы нажать 4 ÷ 5 % и не нажимать при этом кнопки «равно» (можете убедиться в этом на своем калькуляторе – ответ должен получиться 80, если нет, значит, ваш калькулятор работает не по стандартной логике). Но тот факт, что на разных калькуляторах нужно иногда нажимать кнопки в разном порядке, должен служить достаточно веским предупреждением: кнопки «%» следует избегать любой ценой.

Однако если вы все же хотите решать задачи на проценты с калькулятором, то вот как это делается на самых распространенных моделях.

Вычислить три шестнадцатых в процентном выражении:

Если вам нужны дополнительные доказательства возможности возникновения проблем при использовании калькулятора, попробуйте провести один из этих небольших экспериментов:

1. Введите на калькуляторе 1 ÷ 9. Умножьте результат на 9 и вычтите из того, что получилось, 1. Всякий знает, что 1 ÷ 9 × 9 = 1, а 1 – 1 = 0, но если у вас в руках будет обычный (дешевый) калькулятор, то окажется, что, по его мнению, 1 – 1 = –0,00000001.

2. Для более экстремального испытания скрытых возможностей вашего калькулятора (или их отсутствия) разделите 1 на 11, умножьте результат на 8, а затем на 11. Ответ, по идее, должен равняться 8 (деление и умножение на 11 сокращаются, остается пример 1 × 8), но, как правило, калькулятора хватает только на 7,999992 – наглядный пример того, как жестоко иногда электроника расправляется с простыми числами.

3. Попросите калькулятор сказать вам, четное ли число получится в результате умножения 87654321 на 12345678. Он не ответит – он может, вероятно, округлить результат вверх, но не в состоянии сообщить вам последнюю его цифру. Тогда как вам, разумеется, известно, что при умножении любого целого числа на четное результат тоже получается четный (можно даже точно сказать, если вспомнить принципы умножения в столбик, что последняя цифра в ответе будет 8).

Большая часть этой книги посвящена тем аспектам математики, с которыми ваш ребенок впервые познакомится в начальной школе. Но как быть с действительно серьезными областями математики – алгеброй, геометрией, логарифмами, представлениями о бесконечности? Это для старшей школы, не правда ли? Действительно, школьная программа помещает эти вопросы именно туда (и вы найдете их в нашей книге «Больше математики для мам и пап»), но на самом деле в «высшей математике» существует множество идей, которые будут не только понятны, но и интересны умненькому десятилетнему ребенку. В этой главе мы предложим вам семь способов (включая «волшебные») познакомить детей с некоторыми аспектами высшей математики.

– Задумай число, любое, какое захочется (но вам, возможно, захочется, чтобы оно было меньше десяти).

– Удвой это число.

– Прибавь к нему 10.

– Раздели на два.

– Наконец отними от того, что получилось, задуманное число.

– А теперь мы волшебным образом отгадаем, что в конце концов из всего этого получилось… 5!

Разумеется, именно столько должно было получиться.

Дети обожают этот фокус, потому что в нем что-то есть от чтения мыслей. (Но будьте осторожны, дети младше девяти лет запросто могут ошибиться в устных подсчетах, и ответ у них получится другой, что сведет на нет все ваше волшебство.) Они будут просить повторять его снова и снова, пытаясь вас «поймать» и понять, как вы это делаете. Они пробуют и пробуют, и в какой-то момент им может показаться, что вот нашлось число, на которое волшебство не действует. Конечно, это всегда сводится к арифметической ошибке (поэтому, если у ребенка получилось не 5, попросите его назвать задуманное число и пройдите вместе с ним все этапы, а затем с улыбкой «обнаружьте», что на самом деле из этого числа тоже должно было получиться 5). И в самом деле, в таких случаях всегда получается 5, даже если начать с дробного, отрицательного или просто большого числа.

Устный счет – отличная тренировка базовых навыков, но может быть, ваш ребенок заинтересуется тем, как и почему это работает. Для объяснения дайте задуманному сыном или дочерью числу какое-то забавное имя (например, Клякса) и представьте, что это число накрепко запечатано в конверт.

• Представь себе число: Клякса.

• Удвой это число. Что получится? Клякса и Клякса (или две Кляксы), а значит, два конверта с одинаковыми Кляксами внутри.

• Прибавь десять – десять может быть чего угодно, но пусть это будет десять пальцев. Получается две Кляксы плюс десять пальцев.

• Раздели результат на два. Половина от двух Клякс и десяти пальцев – это одна Клякса и пять пальцев.

• Отними задуманное число, то есть Кляксу. От одной Кляксы и пяти пальцев отнять Кляксу, останется пять пальцев.

Иными словами, не имеет значения, с какого числа вы начнете (Клякса), потому что в конце вы от него все равно избавитесь и останетесь только с числом 5 (пальцев).

Мы использовали условную Кляксу для представления произвольного числа, и то, что мы вместе проделали, вообще-то подпадает под формальное определение алгебры, которой учат в средней школе. Просто в школе Кляксе дают куда менее забавное имя – такое как x или y. Взрослые часто жалуются, что в детстве они никогда не понимали, почему числа нужно обозначать буквами. Волшебный фокус с Кляксой – удобный способ показать ребенку, что иногда полезно дать неизвестному числу имя.

Кстати говоря, если вы уже поняли, как работает базовая версия фокуса, вы можете посмотреть, что произойдет, если давать ребенку другие команды. Как можно изменить фокус, чтобы в ответе всегда получалось 6? (Ответ: прибавлять 12 вместо 10.) А если утроить, а не удвоить? Возможности бесконечны.

Математика может заявить о себе самым неожиданным образом. Например, когда раскрашиваешь карту, нежелательно, чтобы два соседних региона получились одного и того же цвета. Так вот, математикам потребовалось более 100 лет, чтобы доказать: для правильного расцвечивания географической карты потребуется не более четырех разных красок (регионы, соприкасающиеся в одной-единственной точке, соседними не считаются и могут быть одного цвета). Проверьте сами: можно раскрасить все области Австралии, используя только красный, зеленый, желтый и синий (для моря) цвета.

А теперь нарисуйте, не отрывая карандаша от бумаги, любые каракули так, чтобы прочерченная линия закончилась в той же точке, где и началась. Получится что-нибудь вроде:

Сколько красок нужно, чтобы раскрасить такую карту? Не более двух – не существует закорючки, для раскрашивания которой не хватит двух красок. Если вы сделаете каракули, скажем, черно-белыми, никакие две соседние области не окажутся одного цвета:

Убедиться в этом и поэкспериментировать может любой ребенок. Но чтобы объяснить данный феномен потребуется более хитроумная математика, известная как теория графов, – очень интересная, но выходящая далеко за пределы программы начальной школы.

Говорят, что старые фокусы – самые лучшие, и это совершеннейшая истина в отношении этого трюка с «чтением мыслей». Напоминания о нем часто можно встретить в рождественских хлопушках с сюрпризом и в детских наборах с фокусами.

Вам потребуется четыре карточки с числами, в точности такие, как показано ниже.

Сценарий таков: «Задумайте число от 1 до 15, но не говорите мне, что это за число. Теперь я покажу вам по очереди четыре карточки, и для каждой задам один и тот же вопрос: „Есть ли здесь ваше число?“ Те карточки, про которые вы скажете „Да“, я буду откладывать в сторону. После того как я покажу вам все четыре, я смогу волшебным образом угадать, какое число вы задумали!»

Чтобы найти задуманное число, возьмите те карты, на которых оно имеется, и сложите числа, расположенные на них в верхнем левом углу.

Вот пример. Предположим, вы задумали число 13. Это число есть на всех картах, кроме третьей. В их левых верхних углах стоят следующие числа: 1, 4 и 8. Сложив их, получим: 1 + 4 + 8 = 13. Работает! Но почему?

Взгляните на этот ряд чисел: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Это так называемые степени двойки, где каждое число получается путем удвоения предыдущего. Именно в них секрет карточного номера с чтением мыслей. Первое число на каждой карточке представляет собой степень двойки.

Оказывается, любое целое число можно получить сложением нескольких степеней двойки:

• Чтобы получить 6, нужно сложить 4 и 2.

• Чтобы получить 9, нужно сложить 8 и 1.

• Чтобы получить 14, нужно к 8 прибавить 4 и 2.

Вот как получаются все числа от 1 до 15:

Каждое число здесь единственным способом описывается определенной комбинацией из ответов «Да» и «Нет». К примеру, число 3 – это «Нет Нет Да Да», а число 13 – это «Да Да Нет Да». Замените «Да» на единицу, а «Нет» – на нуль, и вы получите 0011 для 3 и 1101 для 13. Это так называемые двоичные числа – фундаментальные числа, которыми пользуются компьютеры, ведь работа компьютеров на самом базовом уровне – это исключительно принятие решений типа да/нет. Этот факт придает двоичным числам огромное значение; можно сказать, что двоичная система счисления – самая важная на планете.

Чтобы определить, какое число связано с какой карточкой, достаточно просто посмотреть на ответы «Да» в каждом столбце приведенной таблицы. В первом столбце (8) «Да» стоит напротив чисел 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15, поэтому на первой карточке должны размещаться именно эти числа. Во втором столбце (4) «Да» относится к числам 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 и 15, и именно эти числа можно найти на второй карточке. И так далее.

Можно сделать этот фокус еще более впечатляющим, если использовать пять карточек. Правда, чтобы определить, какие числа должны располагаться на какой карточке, придется составить таблицу подлиннее. В ней должна быть дополнительная колонка (с числом 16 наверху), а сбоку следует написать числа от 1 до 31 (31 – наибольшее число, которое можно получить сложением 1, 2, 4, 8 и 16). Пять карточек, которые вы в конце концов получите, будут выглядеть так:

А теперь продемонстрируйте этот фокус кому-нибудь – пусть «жертва» выберет число от 1 до 31.

Сколько песчинок понадобится, чтобы заполнить песком всю наблюдаемую Вселенную? Глупый вопрос, ведь такого количества песчинок, чтобы заполнить Вселенную, просто не существует (откуда бы взялся весь этот песок?), но дети обожают глупые вопросы. А у этого к тому же есть ответ, который тоже звучит глупо: для этого потребовался бы миллион миллиардов миллиардов триллионов квадриллионов пентиллионов гекстиллионов песчинок… умноженный на три! Или, если записать это привычным способом как три с 90 нулями:

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Это длинное число, и писать его утомительно, но математики, к счастью, придумали для него более короткий способ записи. Данное гигантское число можно записать так: 3 × 1090. Число 90, записанное вверху маленькими цифрами, называется показателем степени, или экспонентой, а еще иногда его называют (осторожно, сейчас появится страшное слово) логарифмом (по основанию 10).

Большинство родителей припомнят, что слышали что-то о логарифмах в школе, но вряд ли они смогут сколько-нибудь подробно рассказать о том, как те устроены и работают. В лучшем случае мамы и папы скажут, что такое и как выглядят логарифмы. Но на самом деле идеи, которые стоят за этим понятием, вполне можно донести до десятилетнего ребенка.

Для начала напомните сыну или дочери о том, что площадь квадрата со стороной 10 равна 10 × 10, или «10 в квадрате». Кратко это можно записать как 102 (что имеет смысл, поскольку число 10 в полной записи повторяется дважды).

Поэтому не удивительно и понятно с точки зрения здравого смысла, что 10 × 10 × 10 записывается как 103.

А теперь зададимся вопросом: сколько будет 102 × 103? Если расписать это подробно, получится 10 × 10 × 10 ×10 × 10, или 100 000, но в краткой записи это будет 105. Вы заметили, что маленькие числа в обоих сомножителях (3 и 2) просто сложились и дали такое же маленькое число 5 в ответе?

Всегда ли работает такое сложение? Чему, как вы полагаете, равно 102 × 104? Если правило сложения работает, то в ответе должно получиться 106, поскольку 2 + 4 = 6 – и быстрая проверка показывает, что это верный ответ (100 × 10 000 = 1 000 000, или миллион).

Таким образом, при помощи логарифмов можно без труда превратить умножение в сложение. И это работает при любом основании. То есть 32 × 34 = 36 (2 + 4 = 6). Если записать полностью, то получится, что мы 3 × 3 (9) умножаем на 3 × 3 × 3 × 3 (81), и получается 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 (729). Это оказывается весьма полезным, когда числа становятся слишком большими для калькулятора. Так что теперь вы можете уверенно сказать, что 179 × 174 равно 1713, хотя при попытке проверить это утверждение при помощи электроники вы, вероятно, получите лишь сообщение об ошибке.

Далее. Если ваш ребенок готов признать, что такое правило сложения – штука хорошая и удобная и что правило это, судя по всему, работает всегда, вы можете воспользоваться ситуацией и расширить идею о применении степеней. Что такое 30? Большинство детей (да и большинство взрослых), скорее всего, скажет, что это нуль, но если вы усвоили, что правило сложения работает всегда, то 30 должно равняться 1. Почему? Посмотрите, скажем, на пример 30 × 32. Согласно правилу сложения степеней 0 + 2 = 2, так что ответ должен равняться 32 или, иными словами, 30 × 9 = 9… что означает, что 30 должно равняться 1. Более того, по этому правилу любое число в нулевой степени равняется 1!

Здесь не обойтись без некоторого осмысления, поэтому стоит остановиться и дать мальчику или девочке время освоиться с новыми идеями. Но на всякий случай – если вам или вашему ребенку не терпится двигаться дальше – добавим, что правило сложения степеней работает также для дробей и отрицательных чисел. К примеру, 101/2 – это квадратный корень из 10 (примерно 3,16), потому что 101/2 × 101/2 = 101. А что с отрицательными числами? 10–1 равно 0,1, или одной десятой, потому что 10–1 × 101 = 100 = 1. Очень хорошо, хватит!!!

Все это весьма серьезные идеи, и вполне возможно, что для многих ребят некоторые из них окажутся слишком серьезными. Но не забывайте, что очень большие числа, как правило, завораживают детей. Тот факт, что для записи числа, при помощи которого можно выразить размер Вселенной, достаточно всего трех или четырех цифр (к примеру, 1091), – интересная математическая загадка, которой имеет смысл поделиться.

Вернемся вновь к обычным повседневным числам. Ранее (см. «Площади более сложных фигур») мы описывали способ определения приблизительной площади треугольника при помощи подсчета квадратиков. Но, как известно многим родителям, существует и точная формула для вычисления площади треугольника. Возможно, вы помните формулировку: «Половина основания умножить на высоту».

Таким образом, если основание изображенного здесь треугольника – 6 м, а высота – 3 м, то площадь данной фигуры составит

Но почему площадь треугольника всегда равна половине основания, умноженной на высоту? Мало кто из родителей знает, чем это объясняется, большинство просто помнит правило.

На самом деле все очень просто, и если вы сами это поймете, то сможете просветить и своих детей. Возьмите произвольный треугольник и представьте, что располагаете его так, чтобы самая длинная его сторона оказалась внизу.

А теперь представьте, что помещаете свой треугольник внутрь тесного ящика и проводите вертикальную линию от верхней вершины треугольника к основанию.

Каждая часть треугольника представляет собой половину соответствующего прямоугольника, так что полная площадь будет составлять половину от площади всего прямоугольника – иными словами, половину произведения его основания на высоту.

Поместите два таких треугольника рядом. Промежуток между ними всегда будет представлять собой первоначальный треугольник, перевернутый вверх ногами, поэтому треугольники будут аккуратно вписываться в прямоугольную полосу, которая может продолжаться до бесконечности.

Это образец так называемого визуального доказательства, а доказательство – одна из важнейших концепций математики. Идея здесь в том, что вы можете с уверенностью сказать, что для треугольника любой формы в любой точке мира и в любой момент времени – сегодня, в прошлом или в будущем – площадь равна и всегда будет равна половине произведения основания этого треугольника и его высоты. Это очень мощная идея.

В одной старой математической загадке говорится о том, что у фермера Жиля была коза и 120 м ограды. Фермер хочет огородить для своей козы участок, на котором было бы как можно больше травы.

Сначала он пробует огородить территорию в форме равностороннего треугольника со сторонами по 40 м (тогда периметр составит как раз 120 м).

Площадь такого треугольника чуть меньше 700 м2 (основание треугольника равно 40 м, а высота оказывается примерно равной 35 м).

Можно ли сделать лучше? Фермер разворачивает свои 120 м ограды в квадрат 30 × 30 м.

Теперь площадь равна 30 × 30 = 900 м2. Получается, что если у вас имеется ограда определенной длины, то площадь квадратного поля, окруженного этой оградой, окажется больше, чем площадь поля треугольного.

Далее фермер пробует правильный шестиугольник, каждая сторона которого равна 20 м.

Теперь площадь поля составляет приблизительно 1039 м2 (один из способов вычислить эту площадь состоит в том, чтобы найти площадь одного сегмента шестиугольника, представляющего собой равносторонний треугольник, и умножить на 6).

Таким образом, при заданной длине ограды площадь, судя по всему, получается тем больше, чем больше сторон у вашего поля.

Пройдите в этом направлении дальше и рассмотрите поля в форме декагона (10 сторон) и икосагона (20 сторон); по мере увеличения числа сторон форма поля Жиля начинает напоминать круг. На самом деле круг – многоугольник с бесконечным числом сторон, и если фермер использует свои 120 м ограды для создания круглого поля, он сможет огородить почти 1150 м2 пастбища – намного больше, чем было в первоначальном треугольнике, и, мало того, максимально возможная площадь, которую Жиль может огородить. Это лишь одно из многих важных свойств круга, которыми объясняется его особая роль в геометрии.

Кстати говоря, на идее получать ответ, выбирая все более мелкие шаги и переходя в конце концов к шагам бесконечно малым, построена одна из важнейших областей высшей математики, известная как дифференциальное исчисление. Наши представления о высшей математике чуть ли не всем обязаны дифференциальному и интегральному исчислению, и мы должны благодарить Исаака Ньютона (и других) за идеи о математике бесконечно малых величин. Что подводит нас к еще одной, заключительной теме нашей книги…

Когда ваши дети будут смотреть мультсериал «Историю игрушек» или играть с фигуркой его главного героя, Базза Лайтера, задайте им вопрос по поводу его коронной фразы: «В бесконечность и дальше». Идея бесконечности начинает интересовать детей уже в пяти– или шестилетнем возрасте, потому что это «самое большое» возможное число. Это так или нет? Базз Лайтер, судя по всему, фактом своего существования утверждает, что можно проникнуть дальше бесконечности.

Само собой, бесконечность – странная идея, и вы поможете детям осознать ее, рассказав им, например, историю гостиницы Гилберта.

В гостинице Гилберта было бесконечное число комнат. Невероятно, но однажды ночью отель заполнился под завязку. В каждой из комнат под номерами 1, 2, 3, 4 и так до бесконечности кто-то остановился. Затем в дверь гостиницы постучал еще один человек и спросил: «Есть у вас комната?» Управляющий подумал немного и ответил: «Вам повезло, есть». Он послал всем своим постояльцам такое сообщение: «Пожалуйста, переселитесь в комнату с номером на единицу больше номера вашей нынешней комнаты». Человек из номера 1 переехал в номер 2, из номера 2 – в номер 3, из 3 – в 4 и т. д. Понятно, что у постояльца из любого номера, какой только можно представить, даже самого большого, найдется номер на единицу больше. Так что у каждого теперь есть комната, и все комнаты полны – за исключением номера 1, который теперь пуст. Управляющий вручает ключ от номера 1 новому постояльцу.

В странной математике бесконечно больших чисел вы получили ответ на вопрос «Сколько будет бесконечность плюс 1?» Бесконечность плюс 1 будет бесконечность. Большинство учащихся средней школы никогда не сталкивались ни с данной идеей, ни с задачей о гостинице Гилберта. Как правило, эти вещи впервые обсуждаются в университете. Но вы обнаружите, что восьмилетнему ребенку они тоже будут интересны.

Можно продолжить историю дальше. На следующий день к отелю подъехал автобус с бесконечным числом пассажиров, и все они хотели поселиться в гостинице. А та по-прежнему была полна. Что же делать? К счастью, у управляющего нашелся еще один план. На этот раз он передал всем постояльцам гостиницы просьбу переехать в комнату с номером в два раза большим, чем номер их нынешней комнаты. Постоялец из номера 1 переехал в номер 2. Из номера 2 – в номер 4, и т. д. А поскольку для каждого числа найдется число вдвое большее, то комнаты нашлись для всех. Если нарисовать две числовые прямые, то можно наглядно увидеть, что произошло.

Все постояльцы гостиницы переселились в четные номера. Следовательно, все нечетные номера оказались пустыми. А поскольку нечетных чисел существует бесконечное количество, все пассажиры безразмерного автобуса смогли найти себе по комнате. Это означает, что дважды бесконечность – это тоже бесконечность.

В самом деле, создается впечатление, будто зайти дальше бесконечности попросту невозможно. Ну, вообще-то это не так. Если возле гостиницы появится автобус с бесконечным числом пассажиров, у которых на футболках написаны все возможные десятичные дроби от нуля до единицы, то людей в автобусе окажется больше, чем комнат в гостинице. На самом деле существуют бесконечности, большие, чем та, о которой мы думаем при счете. Но это по-настоящему серьезная математика; может быть, с ней действительно лучше подождать, пока дети немного подрастут.

MDCLXVI – число 1666, год Большого лондонского пожара. Его можно найти на монументе возле Лондонского моста.

Полезно представлять себе числа в виде суммы его отдельных частей. 124 можно записать как 100 + 20 + 4. Не забывайте, что мы в данном случае работаем в системе счисления с основанием 8, так что 20 означает не двадцать (то есть две группы по 10), а две группы по 8, так что 20 в восьмеричной системе соответствует 16 в десятеричной. 100 в восьмеричной системе обозначает одну группу из 8 групп по 8, то есть 64 в десятеричной системе. Значит, 124 в восьмеричной системе счисления – это 64 + 16 + 4, или 84, в десятичной системе. Запутались? Представьте, как чувствует себя ребенок, когда впервые пытается разобраться в позиционной системе и разрядных значениях.

Большая часть примеров здесь удобна для устного счета.

а. В уме: если отнять два от 152 и прибавить их к 148, то пример превратится в 150 + 150 = 300.

б. В уме: 150 вычесть из 300 будет 150, поэтому 148 вычесть из 300 будет 152.

в. Не слишком упорядоченные числа – вероятно, лучше взять карандаш и бумагу или калькулятор.

г. В уме: хотя на первый взгляд этот пример очень похож на третий, число 698 близко к 700, а 843 – 700 = 143; учитывая лишнюю двойку, получим 145.

д. В уме: отнимаем 3 от 5003 и прибавляем к 4997. Получаем пример 5000 + 5000.

е. В уме: ответ 2003 (из 6002 вычесть 4000 получится 2002, и подправим ответ на единицу, поскольку 4000 уносит с собой лишнюю 1).

1. Чтобы вычислить сдачу с £50, проще считать через сложение:

2. Чтобы найти разницу в цене, вы, вероятно, воспользовались более традиционным вычитанием с компенсацией: £32,40 – £13,75 = £32,40 – £14 + £0,25 = £18,65.

1. 3865 + 2897 = 6761… Последней цифрой ответа должна быть 2, потому что 5 + 7 заканчивается на 2. (Еще один способ мгновенно заметить ошибку состоит в том, что при сложении двух нечетных чисел результат всегда получается четный.)

2. 4705 + 3797 = 9502… Поскольку 4705 меньше 5000, а 3797 меньше 4000, результат сложения должен быть меньше, чем 5000 + 4000.

3. 3798 – 2897 = 1091… Ответ должен быть меньше, чем 3800 – 2900, то есть меньше 1000.

8 × 7 – это то же самое, что:

2 × 7 = 14, удвоенное (получаем 28) и удвоенное еще раз – получаем 56.

9 × 78 – то же самое, что 10 × 78 (= 780) отнять 78, то есть 702. Можно было бы получить этот результат другим способом, тоже при помощи компенсации: 9 умножаем на 80 (= 720) и вычитаем 9 × 2 (= 18).

Вычисляем: 60 × 9. Это то же самое, что 6 × 9 (= 54), умноженное на 10 (= 540). Какой таблицей вы воспользовались при расчете – умножения на 6 или на 9 (или сами не можете сказать, какой именно!)?

1) 33 × 11 = 363

2) 11 × 62 = 682

3) 47 × 11 = 517

1. 37 × 46 = 1831… Последняя цифра ответа должна быть четной, потому что число 46 четное.

2. 72 × 31 = 2072… 70 × 30 = 2100, поэтому ответ должен быть больше 2100.

3. 847 × 92 = 102 714… 1000 × 100 = 100 000, поэтому ответ должен быть меньше 100 000.

В примере присутствует десятичная запятая, но это не повод для паники. £9,47 – то же, что 947 пенсов. Поэтому надо умножить 947 на 62, а это можно сделать так:

Если сложить все это вместе, получится 58 714 пенсов, или £587,14. (Как видите, при перемножении больших чисел, как здесь, метод решетки становится громоздким – но работает!)

Это хороший пример того, как могут быть связаны деление и вычитание. Прежде всего обратите внимание: разница между первым и последним числами равна 36 (43 – 7), а на то, чтобы дойти от 43 до 7, требуется четыре шага. Поэтому каждый шаг должен составлять 36: 4 = 9; следовательно, «расстояние» между соседними числами последовательности равно девяти.

37, 47 и 67 – простые числа.

1. 223: 3 = 71… Число 223 не делится нацело на 3 (сумма его цифр равна 7), поэтому ответ не может быть целым числом.

2. 71,8: 8,1 = 9,12… Этот пример близок к 72: 8 (= 9), и ответ должен быть меньше 9, потому что 71,8 меньше 72, а 8,1 больше 8.

3. 161,483: 40,32 = 41,36… Не позволяйте всем этим десятичным знакам себя отвлечь. Ответ в этом примере должен приблизительно соответствовать результату деления 160 на 40 (= 4). Так что предложенный ответ ошибочен и больше верного примерно в 10 раз!

1. Дробь больше – на то же число детей приходится больше сосисок.

2. Дробь больше – сосисок больше, а детей меньше.

3. Невозможно сказать при помощи «съедобных» рассуждений.

Число 48 можно исключить, разделив его на 6 × 4 × 2 в знаменателе:

Далее, 45 можно разделить на 5 × 3 (15), останется 3.

Таким образом, пример приобретает вид: 49 × 47 × 46 × 3 × 44. Калькулятор подтвердит, что в результате получится примерно 14 млн.

Секрет этой старинной загадки заключается в долях верблюжьего стада, назначенных отцом в наследство каждому сыну. Простейший способ разделить верблюдов – выделить каждому сыну по одной третьей части, и тогда, разумеется, Кроме того, отец мог бы раздать верблюдов так: или множеством других способов. Но, как бы он их ни разделил, все дроби в сумме должны были бы дать единицу.

Посмотрим, что на самом деле завещал старик:

Чтобы сложить эти три дроби, мы должны найти для них общий знаменатель, в данном случае 18. В восемнадцатых долях сыновья старика получают следующие доли:

Сложим все доли вместе – и заметим необычный факт: 9 + 6 + 2 = 17. Получается, что отец раздает не всех своих верблюдов, а лишь от них! А попытка найти от 17 верблюдов порождает только путаницу, на самом деле это а одного верблюда вообще не рассматривается.

Когда мудрец одалживает братьям своего верблюда, всего животных получается 18; это означает, что сыновья должны получить от 18, то есть как раз 17 верблюдов, о которых идет речь с самого начала. Теперь мудрец может забрать своего верблюда. Все довольны.

1. 33 от 220 – то же, что 3 от 20, или 15 %.

2. 40 % от £45 это то же, что 0,4 × 45, или £18. Таким образом, распродажная цена равна £45 – £18 = £27.

3. Большинство взрослых инстинктивно считают, что лучше сначала добавить НДС и лишь затем считать 10 % от более высокой цены – ведь тогда и скидка будет больше. Верный ответ, однако, состоит в том, что нет никакой разницы, в каком порядке производить расчет! Хотя это, возможно, с первого взгляда не очевидно, но, если подумать, то сделать 10 %-ную скидку с цены – то же самое, что умножить цену на 0,9. Добавить 20 % НДС – то же, что умножить цену на 1,2. Так что это хороший пример того, что при перемене мест сомножителей произведение не меняется (см. «Почему 3 × 7 равно 7 × 3» в главе «Простое умножение и таблицы»). Цена × 0,9 × 1,2 – все равно что Цена × 1,2 × 0,9. Ну хорошо, так говорит математика, но если вас все это сбивает с толку, то вы далеко не одиноки. Многим взрослым обязательно нужно убедиться в правильности подобных утверждений с помощью калькулятора, прежде чем поверить в них.

Вам потребуется плитка всего трех цветов. Мы обозначили эти цвета как А, B и C.

Обратите внимание: плитки во всех направлениях образуют упорядоченные последовательности ABC, ACB и т. д.

В сложенном состоянии эта развертка образует треугольную призму, напоминающую кусок сыра.

Угол, образуемый самим автомобилем, составляет 90°, а в сумме три угла дают 180°. Таким образом, A = 180 – 90 – 65, или 25°.

Уберите «заднюю ногу» и придайте рисунку симметричную форму, напоминающую бокал для вина.

Стрелки часов располагаются под прямым углом друг к другу в 3 часа и в 9 часов – это два самых простых и самых заметных случая. Возможно, дети подумают также о положении стрелок в четверть первого (12:15), но будьте осторожны: это не совсем прямой угол, поскольку часовая стрелка при этом показывает не строго вверх, она уже прошла четверть пути от 12 до 1. Но вскоре после 12:15 (незадолго до 12:17, если быть точными) наступит момент, когда между стрелками действительно будет прямой угол. Та же ситуация возникнет вскоре после 1:20, 2:25 и т. д. Сосчитайте такие случаи аккуратно и обнаружите, что существует 11 моментов, когда минутная стрелка на четверть оборота обгоняет часовую, и столько же моментов, когда она на четверть оборота отстает от часовой. Всего, следовательно, насчитывается 22 момента, когда угол между стрелками прямой.

Пирог будет готов в 18:10. (Если вы сообразите, что 90 мин. составляют полтора часа, разобраться в ситуации будет проще.)

Сначала выясните, что сторона каждого из квадратов равна 5 см. После этого определите путем подсчета, что периметр состоит из 14 таких сторон; следовательно, длина периметра равна 70 см.

Если присмотреться, диагональная линия, идущая из части A в часть D в нашем прямоугольнике, не является прямой, а имеет легкий излом. Более того, на самом деле эта диагональ представляет собой длинный тонкий параллелограмм, площадь которого в точности равна единице.

Бег на 100 м: бегун стартует медленно, стремительно набирает скорость, достигает максимальной скорости и сохраняет ее некоторое время, пересекает линию финиша, очень быстро замедляется и переходит на шаг.

1. 25 % выбрали компьютер.

2. Восемь детей выбрали спорт. (Если десять детей выбрали компьютер, то мы знаем, что это составляет 25 % от полного числа детей. Чтение и спорт вместе также составляют 25 %, то есть 10 детей, поэтому если два ребенка выбрали чтение, то восемь должны были выбрать спорт.)

3. 25 % – это десять детей, поэтому 100 % – 40 детей.

Упорядочим результаты бросков: 2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 11, 11.

Медианное значение – 6,5 (посередине между 6 и 7); среднее – 6,9 (69: 10), а моды здесь две, 6 и 11, поскольку каждое из этих значений появляется дважды.

а. 16

б. 161

в. 22

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти квадратный корень из 4692 – он равен приблизительно 68,4. Два последовательных числа должны располагаться по обе стороны от 68,4; иными словами, это 68 и 69. Перемножим их между собой, чтобы убедиться, что ответ действительно получится 4692.