Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому, придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель, ученик Платона, одно время был наставником Александра Великого.

Он основал замечательную философскую школу и написал много книг. Его труды служили неисчерпаемым источником познания в течение многих столетий — в мрачную эпоху, когда в непросвещенном и полном тревоги мире еще не было печатных книг и лишь рукописные труды благочестивых книжников передавались из рук в руки.

Почему философов интересуют естественные науки? Как естественные науки связаны с философией? Что такое философия?

Философия — это не таинственная и далекая от жизни схема недоступных для понимания аргументов; философия — это размышление человека о своих собственных мыслях и понятиях. Философия как наука занимается теорией познания, разрабатывает системы познания и правила логики для критического анализа, философы интересуются вопросами о том, что истинно и что бессмысленно, что правильно и что ложно, а также суждениями о ценностях.

Подобно тому как специалисты врачи дают нам советы, касающиеся здоровья, питания, сна и т. д., так и ученые-философы дают нам рекомендации, способствующие правильному мышлению и пониманию во всех областях нашей интеллектуальной деятельности.

Мы сами выступаем в роли философов-дилетантов каждый раз, когда размышляем о нашей жизни и ее связи с окружающим миром, когда задаем вопросы вроде: «Действительно ли это так?», «Действительно ли это существует?», «Что значит утверждение о том, что то-то верно?», «Почему арифметика верна?», «Действительно или мнимо счастье?», «Причиняет ли булавка боль в том же самом смысле, в каком она создает укол?». Размышления о нашем месте в мире тесно связаны с научным познанием мира, поэтому неудивительно, что великие философы изучали естественные науки и оказали влияние на их развитие. Нельзя приняться за естественные науки, не сделав первого шага в философии.

Вы должны будете допустить, что существует окружающий мир, вы должны захотеть разобраться в нем и «понять» его. А при сборе фактов, формулировании научных законов или выдвижении теории философское начало в вас будет требовать ответа на вопрос: «Истинны ли они?». Размышляя над этим, вы, быть может, измените свое мнение о естественных науках. Когда вы завершите этот курс, вы, возможно, не решите еще общефилософской проблемы, но в той или иной степени приобщитесь к философским размышлениям и построите свою собственную философию естествознания.

Аристотель унаследовал общую философскую концепцию Платона. Отвечая на вопрос о конечной истине и реальности, Платон отбрасывал наблюдаемые нами индивидуальные различия между предметами и выделял простые идеальные формы. Собакам он ставил в соответствие идеальный класс собака, всем разновидностям камней — идеальный камень и т. д. Затем он выдвинул утверждение, что реально существуют только эти прообразы, или идеальные формы. Эти формы, или сущности, универсальны и неизменны, а отдельные их воплощения — лишь тени идеальных форм. Аристотель применил учение о классах вещей в качестве основы для логических заключений (если…, то…). И все же Аристотелю, пристально наблюдавшему и систематизировавшему природу, пришлось приписать отдельным камням и отдельным собакам в известной степени реальное существование. Поэтому его мировоззрение представляло собой некий компромисс. Впоследствии те, кто изучал его труды, наделяли обычные предметы все большей реальностью и стали рассматривать лежащие в основе их классы как понятия, порожденные человеческим мышлением, или просто как названия. Эта последняя точка зрения, согласно которой отдельные вещи реально существуют, приемлема для ученого, экспериментирующего с предметами и явлениями природы: ему хотелось бы верить, что он работает с реальными вещами.

В предлагаемом отрывке Вильям Дэмпьер[4] называет подобную точку зрения «номинализмом», хотя современные философы употребляют этот термин в несколько ином смысле.

«Независимо от истинности учения Платона об идеях с метафизической точки зрения породивший его склад ума не приспособлен к тому, чтобы продвинуть вперед естествознание. По-видимому, ясно, что, хотя философия по-прежнему оказывала преобладающее влияние на науку, развитию научных методов в большей степени благоприятствовал номинализм — сознательный или бессознательный.

Однако Платоновы поиски "форм постижимых вещей" можно, вероятно, рассматривать как догадки о причинах видимых явлений. Наука, как мы ее теперь понимаем, не может иметь дело с истиной в конечной инстанции; она способна лишь нарисовать картину природы в том виде, как ее воспринимает человеческий ум.

Наши представления обладают в известном отношении реальностью в этой идеализированной картине мира, но отдельные вещи — это не реальности, а изображения. Поэтому может оказаться, что современная форма [Платоновой концепции] идей будет ближе к истине, нежели грубый номинализм. Тем не менее скороспелые гипотезы, лежащие в основе большинства экспериментов, означают допущение о реальности отдельных вещей, и большинство ученых говорит о номинализме, не имея о нем представления…

Характерная слабость индуктивных наук у греков становится очевидной, если внимательно проанализировать их метод. Искусно оперируя теорией перехода от частного к общему, Аристотель на практике часто терпел самые плачевные неудачи. Опираясь на немногочисленные факты, он стремился к самым широким обобщениям. Естественно, из этого ничего не получалось; фактов было недостаточно и не было необходимой научной базы для их описания. Более того, Аристотель рассматривал метод индукции как просто вынужденный первый шаг к истинной дедуктивной науке, в которой логически выводят следствия из полученных ранее посылок».

Если про Аристотеля можно сказать, что он стимулировал развитие опытного естествознания, то Платон, пожалуй, был ближе к современному физику-теоретику с его приверженностью к основным принципам, лежащим в основе вещей. В качестве инструмента для своих рассуждений Аристотель разработал замечательную систему формальной логики, строгую систему аргументации, которая, исходя из принятых фактов или допущений, приводит к непреложному выводу. Занимаясь естественными науками, он прежде всего пытался извлечь из наблюдений некоторые общие принципы. Такой подход мы называем индуктивным. Затем он стремился, исходя из этих принципов и руководствуясь логикой, получить новое научное знание. Система логики Аристотеля сама по себе была замечательным открытием, но она стесняла развитие раннего опытного естествознания, ибо слишком много внимания уделялось аргументации. Эта система сильно повлияла на развитие нашей цивилизации. Большинство из нас не отдает себе ясного отчета в том, насколько на наш образ мышления повлияла логика Аристотеля с ее многовековой традицией, хотя многие мыслители сегодня подвергают сомнению ее строгую простоту. Доказательство в этой системе логики велось от одного абсолютного «да» или «нет» до другого абсолютного «да» или «нет», оно приводило благодаря логическим рассуждениям к верному выводу при условии, что верной была и исходная посылка. «Каждый ли человек смертен?», «Четырежды три равно четырнадцати?», «2+2=4?», «У всех собак 7 ног?». Мы отвечаем на любой из этих вопросов абсолютным «да» или «нет» и затем выводим из них ответы на вопросы вроде таких, как «Смертен ли Джонс?», «У моего терьера 7 ног?».

А вот попытайтесь ответить на такие вопросы: «Хорошо ли самопожертвование?», «Имел ли успех Линкольн?», «Правилен ли мой эксперимент по проверке закона Бойля?». Это важные вопросы, но было бы глупо настаивать в этих случаях на получении ответов типа «да» или «нет». Если вместо этого мы расширим диапазон наших суждений, то можем потерять кое-что в «логике», но существенно выиграем в интеллектуальном развитии. Лучше держаться подальше от людей, пытающихся представить любую проблему или спор в виде набора абсолютных утверждений и отрицаний.

Логика Аристотеля сама по себе была неуязвима; современные логики считают ее ограниченной и неплодотворной, но «истинной»[5]. Мое и ваше мышление пострадало под влиянием существующей многие столетия средневековой схоластики, слепо и упрямо заставлявшей придерживаться буквы учения Аристотеля, пострадало от «пропитанной казуистикой и книжной ученостью атмосферы отрешенного от мира средневекового университетского образования». Эта средневековая аристотелева традиция внедрена в сегодняшний язык и мышление, и люди, часто заблуждаясь, хотят услышать в качестве ответа абсолютное «да» или «нет».

Так, люди, приученные считать, что они должны выбирать между полным успехом и полной неудачей, приходят в отчаяние, столкнувшись с тем, что не могут достичь заветного — полного успеха.

Студентам в колледже, спортсменам на состязаниях, людям в служебной деятельности, пожилым, оглядывающимся на свою жизнь, — всем нам, считающим абсолютный успех единственной альтернативой неудачи, грозит жестокое разочарование. К счастью, многие из нас идут на более разумный компромисс, отказавшись подходить к самому себе с требованиями, основанными на позиции абсолютного «да» или «нет», и пользуются собственной мерой успеха. Тогда мы обнаруживаем, что нам легче ужиться с противоречивой смесью наших достижений и неудач. И в науке, где простая логика казалась некогда столь надежной, теперь мы более осторожны. Мы уже не считаем необходимым, например, на вопрос, является ли луч света волной, твердо ответить «да» или «нет». Мы должны сказать, что в некотором отношении луч света — волна, а в других отношениях — нет.

Мы более осторожны в выборе формулировок. Памятуя о том, что наши современные научные теории представляют собой скорее способ смотреть на природу и понимать ее, нежели ее подлинный портрет, мы задаем вопрос уже по-иному. Мы уже не спрашиваем: «Является ли луч света волной?», а говорим: «Ведет ли себя луч света, как волна?» И тогда мы вправе ответить: «В одних обстоятельствах — да, в других — нет». Там, где последователь Аристотеля утверждал бы, что электрон должен находиться либо внутри некоторого ящика, либо вне его, мы предпочли бы сказать, что электрон находится и там и там! Если вы сочтете, что подобные осторожные высказывания парадоксальны и способны лишь вызвать раздражение, вспомните две вещи: во-первых, вы воспитаны на аристотелевой традиции (и, возможно, было бы вполне благоразумно поставить под сомнение ее высокий авторитет); во-вторых, физики сами испытывали такое же смущение, как вы, когда эксперименты впервые вынудили их в какой-то степени изменить свои взгляды, но они предпочитают быть верными в большей степени эксперименту, нежели формальной логике.

Аристотель и авторитет

Аристотель интересовался главным образом философией и логикой. Он писал также научные трактаты, суммируя знания, которыми располагало человечество в его время, т. е. около 2000 лет назад. Труды Аристотеля по биологии были хороши потому, что носили главным образом описательный характер.

В своих трудах по физике Аристотель слишком много занимался основополагающими законами и последующими «логическими» рассуждениями на основе этих законов. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит или как происходит. Аристотель весьма просто объяснял причины падения тел: он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности земли. Описывая, как падают тела, он высказывал утверждения вроде следующих: «…точно так же, как направленное вниз движение куска свинца или золота или любого другого тела, наделенного весом, происходит тем быстрее, чем больше его размер…», «одно тело тяжелее другого, имеющего тот же объем, но движущегося вниз быстрее…».

Аристотель с большим искусством обсуждал как философ причины падения тел и, вероятно, имел в виду более общий аспект изучения падающих тел, зная, что камни падают быстрее, чем птичьи перья, а куски дерева — быстрее, чем опилки. При продолжительном падении тело под действием трения о воздух начинает двигаться с постоянной скоростью, и, возможно, Аристотель имел в виду именно это обстоятельство[6].

Однако последующие поколения мыслителей и учителей, которые, пользовались книгами Аристотеля, толковали его утверждения неверно и учили тому, что «тела падают со скоростью, пропорциональной их весу».

Средневековые философы еще больше увлекались рассуждениями и пренебрегали экспериментальной проверкой. Большинство ранних трудов по геометрии и алгебре было утеряно, и экспериментальной физике пришлось ждать, пока их не нашли и не перевели. На протяжении всей эпохи средневековья труды Аристотеля были непререкаемы, причем в неправильном толковании. Простые люди, подобно детям, любят уверенность; они готовы слепо поклоняться авторитету и проглатывать его учение целиком. Вы улыбнетесь при этом и скажете: «Мы — цивилизованные люди, мы так не поступаем». Но вы можете тут же спросить: «Почему эта книга не сообщает нам факты и не излагает прямо необходимые законы с тем, чтобы мы могли быстро изучить настоящую науку?»

А ведь это-то и выражало бы вашу потребность в непреложном авторитете и спокойной уверенности! Мы теперь осуждаем «аристотелев догматизм» как ненаучный, но имеются еще люди, предпочитающие выносить суждения по написанному в книге, вместо того чтобы посмотреть, что же происходит на самом деле. Современный ученый — реалист; он ставит эксперименты и твердо придерживается полученных результатов, даже если они идут в разрез с тем, что ожидалось.

Логика и современная наука

Тяга к логике Аристотеля может ограничить кругозор, и использование этой логики в средние века, несомненно, тормозило развитие науки; но сама по себе логика — важный инструмент всякой подлинной науки.

Нам приходится размышлять индуктивно, как это делал Аристотель, и переходить от экспериментов к простым правилам. Мы часто считаем эти правила справедливыми вообще и переходим от них к предсказаниям и объяснениям. Некоторые наши аргументы базируются на логике алгебры, другие следуют правилам формальной логики, а иногда оказываются весьма произвольными.

Выводя научные правила из установленных ранее законов, мы верим в «неизменность природы»: мы верим, что то, что происходит в пятницу и в субботу, произойдет и в воскресенье или что некое простое правило, справедливое для нескольких различных спиральных пружин, действует и для остальных пружин[7].

Помимо всего прочего, мы полагаемся на согласие выводов разных наблюдателей. Именно это отличает иллюзии и галлюцинации, с одной стороны, и науку — с другой. Иллюзии у всех разные, тогда как научные результаты одинаковы у многих наблюдателей. В самом деле, ученые часто отказываются признать открытие, пока его не подтвердит ряд экспериментаторов.

Ученые идут дальше предположения о том, что природа проста, что существуют правила, которые могут быть установлены; они предполагают также, что к тому, что происходит в природе, можно применять логику. В этом заключается то, что помогло науке родиться из суеверий, — все укрепляющееся убеждение в том, что природа устроена рационально. Математика и элементарная логика играют важную роль в развитии науки и являются ее верными слугами. Современный ученый использует их в еще большей степени, но для экспериментальной проверки он возвращается вновь к природе. У идеального ученого, выражаясь фигурально, голова витает в облаках выдумок, руки ворочают математикой и логикой, а ногами он стоит на твердой почве эксперимента.

От греков к Галилею

«Изучая науку прошлого, студенты очень легко впадают в ошибку, полагая, что люди, жившие в прежнее время, были глупее их современников».

И. Бернард Кот

Авторитет Аристотеля рос и сохранялся до XVII столетия, когда итальянский ученый Галилей открыто и с насмешкой выступил против него. К тому времени многие стали, по-видимому, втайне сомневаться во взглядах Аристотеля на земное тяготение и движение. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против традиционной механики и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении (при этом они употребляли архаичную терминологию) и наделяли движущиеся предметы «импульсом» (impetus), понимая под этим собственное движение, или количество движения тела, благодаря которому поступательное движение тела происходит без приложения силы.

Великий ученый Галилей одним из первых способствовал продвижению науки на ту новую ступень развития, где критическое мышление и фантазия ученого соединились с экспериментированием в единое содружество теории и эксперимента.

Галилей обобщил имевшиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Он порвал с последователями Аристотеля, когда те не приняли его учения и с пренебрежением отнеслись к изобретенному им телескопу. Галилей обрушился с язвительными нападками на всю их научную систему, противопоставив ей свою собственную механику. Он расчистил нагромождения, мешавшие ясному мышлению, и положил в основу своей схемы реальный эксперимент, причем не всегда опирался в своих выводах на собственные опыты, а чаще на опыты более ранних исследователей.

Мысленные опыты

В своих книгах и лекциях Галилей часто прибегал к рассуждениям, основанным на здравом смысле, ссылаясь на так называемые «мысленные опыты». Так, рассматривая прочность канатов на разрыв, он рассуждал следующим образом: предположим, что канат диаметром 25 мм способен выдержать ровно 3 т. Канат вдвое большего диаметра (50 мм) имеет вчетверо большую площадь поперечного сечения (πr²) и, следовательно, содержит в 4 раза больше волокон. Поэтому канат вдвое большего диаметра обладает вчетверо большей прочностью и должен выдерживать уже 12 т. Вообще, прочность должна возрастать как (диаметр).

Галилей привел это доказательство и распространил его на деревянные балки, опоры и кости животных[8]. В некоторых мысленных опытах имеют дело с упрощенными или идеализированными условиями, например падение тел в вакууме[9].

Законы свободного падения тел в идеальном случае

Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью. Галилей писал: «…различие в скорости движения в воздухе шаров из золота, свинца, меди, порфира и других тяжелых материалов настолько незначительно, что шар из золота при свободном падении на расстоянии в одну сотню локтей наверняка опередил бы шар из меди не более чем на четыре пальца. Сделав это наблюдение, я пришел к заключению, что в среде, полностью лишенной всякого сопротивления, все тела падали бы с одинаковой скоростью»[10]. Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы свободного падения для идеального случая:

1. Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью.

2. Движение происходит «с постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т. е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину.

Предположив, что эти законы справедливы в идеальном случае, мы могли бы проверить их в реальных опытах, учтя отклонения, обусловленные трением.

Опыт, приписываемый Галилею

Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни[11]. (Одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 kГ.) Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня.

Он, несомненно, проделывал в молодости грубые опыты и знал, как и вы, что при этом происходит. Но он не стал ломать устои науки с помощью одного опыта. Галилей ускорил истинное развитие физики, опровергнув нелепые догматические утверждения последователей Аристотеля, и, использовав идеализированный подход к экспериментальным фактам, тем самым положил начало новому этапу в развитии науки. Именно это, а не падающая башня в Пизе стало вехой в истории науки. С великими личностями связано много легенд — о вишневых деревьях, подгоревших пирогах и т. п. Хотя ученым и доставляет удовольствие разоблачать эти анекдоты, следует признать, что они бывают полезны, ибо говорят о том, что думали о великом человеке его современники. Но легенда о бросании различных предметов с падающей башни в Пизе ничего не дает даже в этом отношении. И все же мы можем говорить об этом опыте совершенно безотносительно к Галилею и развитию науки как о символе простого опыта. В вашем самостоятельном опыте с бросанием двух различных камней оба камня падали почти одинаково и тяжелый камень не падал значительно быстрее, как думают некоторые. Мы будем обращаться к этому мысленному опыту, поскольку он напоминает о двух вещах: о необходимости прямого эксперимента и об удивительном, простом и очень важном факте, связанном с земным тяготением.

Фиг. 3. Символический эксперимент Галилея.

Честное экспериментирование и авторитеты

Из опытов, которые вы проделали сами, не следует, что все тела падают одинаково; из них не следует даже, что большой и маленький камни падают строго одинаково, и если, повинуясь книге или словам преподавателя, вы сказала бы, что все тела падают строго одинаково, вы обманули бы себя, поступившись честной наукой.

Мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково.

Приняв точку зрения Галилея, согласно которой простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха, вы сразу же легко сможете объяснить свои наблюдения, хотя при этом еще нужно будет исследовать сопротивление воздуха. Можно предположить, что вы никогда не слышали о точке зрения Галилея и пришли к ней, проделав серию опытов со все более и более плотными телами. Обнаружив, что по мере увеличения размеров тел или плотности материала, из которого они сделаны, движение тел оказывается более одинаковым, вы могли бы на основе некоторого предположения сформулировать правило и для идеального случая. Чтобы разобраться в обвинении, выдвигаемом против сопротивления воздуха, можно было бы попытаться уменьшить его, используя обтекание такого предмета, как, скажем, лист бумаги.

Предположение Галилея; решающий эксперимент Ньютона

Галилей мог лишь уменьшить сопротивление воздуха, но не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений с постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Этот скачок от реальных наблюдений к идеальному случаю явился замечательным вкладом Галилея в науку. Позже, оглядываясь назад, он смог «объяснить» различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха. Галилею удалось даже изучить сопротивление воздуха, определить его характеристики и понять, каким образом его можно учесть. Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросал сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея.

Научные объяснения

Когда мы «объясняем» различие в падении тел сопротивлением воздуха, то, как это часто бывает в науке, «объяснить» означает указать на сходство между исследуемым фактом и каким-то другим, уже известным фактом. По существу мы говорим: вы знаете о сопротивлении ветра, когда вы перемещаете какой-нибудь предмет в воздухе. Так вот, падающие тела испытывают сопротивление ветра, которое каким-то образом зависит от их объема. Деревянный и свинцовый шары одного размера, двигаясь с одинаковой скоростью, испытывали бы одинаковое сопротивление воздуха (откуда воздуху известно о том, что находится внутри шара?). Но свинцовый шар весит больше, притягивается сильнее, поэтому сопротивление воздуха имеет для него меньшее значение по сравнению с притяжением Земли[12].

Дальнейшие исследования

Это объяснение ведет к целой цепи новых исследований: действия ветра на летящее тело, трения в жидкости, обтекания тел.

Результаты изучения этих явлений находят приложение в баллистике и самолетостроении. Из более детального и строгого изучения правила поведения тел, из исследования нарушений этого правила возникает новая наука.

Вы могли бы продолжить опыты в другом направлении, создавая все большее сопротивление, используя сначала воздух, потом воду, и установить факты, имеющие важное значение для конструирования кораблей и самолетов. Простые опыты с трением в жидкости можно проделать, бросая небольшие шары в воду.

Шары разных размеров падают неодинаково. Более того, скорость шаров перестает возрастать после того, как они пролетают некоторое расстояние. Каждый шар, по-видимому, достигает постоянной скорости, а затем совершает равномерное движение вниз с этой скоростью. А что же дальше? Дальнейшие исследования привели бы вас к закону Стокса для трения, действующего в жидкости на движущийся шар (этот закон играет важную роль при измерении заряда электрона).

Исследуя падение более мелких тел (таких, как пылинки или капельки тумана), вы обнаружили бы в их движении удивительные нерегулярности, изучение которых в свою очередь могло бы дать ценные сведения из области атомной физики.

Опыты и рассуждения Галилея, которые вы повторили, привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью.

Другими словами, утверждение «все свободно падающие тела падают одинаково» есть некий экстракт, искусственно выделенный учеными из реальных явлений природы. Такой подход представляется разумным: сперва при определенных упрощающих предположениях или ограничениях вывести общее правило, затем искать новые условия и исключения, а потом использовать их, чтобы отшлифовать это правило и распространить наше познание на новые факты. Что касается свободного падения тел, то мы можем теперь проверить первоначальное правило, бросая предметы в вакууме. Попросите, чтобы вам продемонстрировали опыт Ньютона с монетой и пером. Однако в физике часто приходится довольствоваться лишь тем, что наше правило представляет собой некое упрощение, и верить в него как в идеальный случай, имея при этом лишь косвенные подтверждения правильности этого правила.

Ограничение числа переменных

Помимо пренебрежения сопротивлением воздуха, мы ограничили наше изучение свободного падения тел еще тем, что сосредоточили внимание только на одном — сопротивлении скорости падения разных тел. Мы не обращаем внимания на то, какой шум производят тела при падении, как они вращаются вокруг своих осей, не интересуемся тем, какие происходят изменения температуры, и т. д. Сузив на время наши интересы, мы облегчаем возможность нахождения простого правила. Это опять-таки разумный подход к научным изысканиям. Во многих исследованиях мы не только сосредоточиваем внимание на нескольких сторонах явления, но и стараемся, чтобы все прочие стороны оставались неизменными и не вносили путаницы в результаты. В физике мы почти всегда ограничиваем наши исследования одной парой одновременно меняющихся параметров. Например, мы сжимаем воздух в сосуде и измеряем его объем при различных давлениях, поддерживая температуру постоянной. Или мы нагреваем газ и измеряем давление при различных температурах, поддерживая постоянным объем.

Из этих опытов мы можем вывести два полезных «газовых закона», которые можно объединить в один замечательный закон. Если бы мы не ограничивали число переменных во время экспериментов, а предоставляли изменяться и температуре, и давлению, и объему, то, конечно, и тогда смогли бы обнаружить этот закон. Но наши измерения были бы запутанными и сложными, и заметить связывающее их соотношение было бы куда труднее. В других естественных науках, таких, как биология и психология, ученые, последовав опыту физики, нашли бы этот метод опасным. Ограничивая свое внимание одной стороной развития или поведения объекта изучения, исследователь может упустить из виду индивид или психику в целом. При попытке применить методы естественных наук к общественным наукам, например к экономике, такая опасность оказывается еще более серьезной.

Почему тела падают?

Аристотеля интересовал ответ на вопрос: «Почему?». Почему тела падают? А что вы ответите на этот вопрос? Если вы скажете: «Вследствие гравитации, или земного притяжения», то не будет ли это означать, что вы просто прячетесь за длинное слово? Слово «гравитация» латинского происхождения и означает тяжелый или весомый. Вы говорите: «Тела падают, потому что они весят».

Почему же тела весят? Если вы ответите: «Вследствие силы тяжести», то это будет замкнутый круг. Если вы ответите: «Потому что Земля притягивает их», то следующий вопрос будет: «Откуда вы знаете, что Земля продолжает притягивать тела, когда они падают?». Любая попытка доказать это, применяя какое-либо приспособление для взвешивания во время падения, приводит к неудаче.

Вам, возможно, придется сказать: «Я знаю, что Земля притягивает их, потому что они падают», и вы снова вернетесь к началу.

Подобными рассуждениями можно довести молодого физика до слеэ. Действительно, физика не объясняет тяготения, она не может установить его причину, хотя может сообщить о нем кое-что полезное. Общая теория относительности дает нам возможность представить себе тяготение в новом свете, но по-прежнему не устанавливает его первопричины. Мы можем сказать, что тела падают, потому что их притягивает Земля, но когда мы хотим объяснить, почему Земля притягивает тела, то все, что мы можем в действительности сказать, это: «Просто потому, что притягивает. Так устроена Природа»[13].

Это вызывает разочарование у тех, кто надеется, что наука должна объяснить все. Мы же теперь считаем, что подобные вопросы о первопричине относятся уже к компетенции философии.

Современная наука спрашивает о том, что и как, но не спрашивает о первичном почему. Ученые часто объясняют, почему происходит то или иное явление. Однако это не означает, что указывается первопричина или дается конечное объяснение; объяснение лишь связывает рассматриваемое явление с другими явлениями, относительно которых мы уже пришли к соглашению. Наука может лишь дать нам некоторое успокоение и понимание, связав вместе якобы различные факты. Так, сейчас наука не может сказать нам, что такое электричество, но говорит нам, что гул грома и треск искусственной электрической искры — почти одно и то же, рассеивая тем самым внушающее страх суеверие.

Аристотель объяснял падение тел следующим образом: «Естественное место тел — на поверхности Земли, поэтому они стремятся занять это место». Сегодня это объяснение называют глупым.

Тем не менее в известном смысле оно сходно с нашей современной точкой зрения. Аристотель просто говорил: «Тела падают. Это естественно». Однако он развивал свою схему слишком далеко. Он объяснял, что плывущие над нами облака поднимаются кверху, потому что их естественное место — наверху, в небе, и упускал таким образом из виду некоторые простые факты о плавучести[14].

Аристотель много занимался установлением «естественного места» и «естественного пути». Он различал «естественное движение» (падающих тел) и «насильственное движение» (брошенных тел). Он мог бы создать учение о силах и движении, если бы не ошибка, связанная с перенесением на все движения обывательского представления о лошади, тянущей телегу. Если лошадь развивает постоянное усилие, телега движется с постоянной скоростью. Это, по-видимому, и привело Аристотеля к представлению о том, что для поддержания постоянной скорости движущегося тела необходима постоянная сила, причем большая сила поддерживает большую скорость. Это разумное объяснение для случая, когда телу приходится преодолевать силу сопротивления. Однако оно приводит к заблуждению в случае свободного падения тел. Это объяснение не учитывает силы сопротивления и не дает возможности увидеть, что происходит, когда нет сопротивления.

Чтобы объяснить движение летящего тела, греки представляли, что оно поддерживается «напором воздуха», а для объяснения движения звезд и планет им потребовались еще более таинственные силы. Согласно представлениям греков, чтобы сохранить неизменным движение, необходим толчок. Стрела, пока она не отделилась от лука, движется под действием толчка, создаваемого тетивой. Для объяснения движения летящей стрелы потребовалось призвать на помощь еще одну силу. Философы — последователи Аристотеля рассматривали напор воздуха, толкающий стрелу, не просто как порыв ветра, движущийся вместе с нею, а как циркуляцию воздуха, при которой воздух впереди стрелы расталкивается в стороны и, обтекая стрелу, толкает ее сзади.

Этот напор воздуха с успехом предотвращал образование бессмысленного вакуума за стрелой.

Представление о напоре воздуха, дополненном начальными возмущениями, утвердилось настолько прочно, что им воспользовались как доводом при доказательстве невозможности движения в вакууме падающих тел. В вакууме, где сопротивление отсутствует, любая сила поддерживала бы движение с бесконечной скоростью, рассуждали греки, поэтому вакуум невозможен. Бог никогда не мог бы создать вакуум. Сам Аристотель понимал, что в вакууме все предметы падали бы одинаково, но он тоже рассматривал это как доказательство невозможности существования вакуума.

Масса

Чем бы в действительности ни было земное тяготение, все тела, если не учитывать влияния сопротивления воздуха, падают одинаково. Это приводит к удобному представлению, с которым мы будем встречаться снова и снова, — к представлению о массе.

Предположим, что у нас имеются два куска свинца, весом 1 и 0,5 кГ. Держа их в руках, мы чувствуем, что большой кусок притягивается сильнее, ощущаем его больший вес. Именно поэтому нам кажется, что он будет падать быстрее. В действительности же это не так. Должен существовать какой-то другой фактор, нечто такое, что приходится преодолевать удвоенной силе веса. Основанием для такого предположения служит тот факт, что движение должно сообщаться вдвое большему количеству свинца. К свинцовой чушке вдвое большего размера, содержащей вдвое большее количество свинца, необходимо приложить удвоенную силу притяжения, чтобы привести в такое же движение. Галилей ощупью подошел к представлению о количестве вещества, которое мы называем массой, но четко это было сформулировано лишь Ньютоном. Представление о массе понять не просто, но мы будем много раз к нему возвращаться, ибо оно играет в физике очень важную роль.

Сейчас мы обратим внимание на замечательный факт: независимо от материала, из которого состоит тело, притяжение силы тяжести в точности пропорционально количеству притягиваемого вещества. Земное тяготение, эта таинственная сила, притягивает без всяких различий любое тело, из чего бы оно ни состояло, притягивает два кирпича вдвое сильнее, чем один, 4 м³ свинца в 4 раза сильнее, чем 1 м³. Таким образом, на тело, в котором заключено больше вещества, действует большая сила притяжения, и при свободном падении его движение будет таким же, как движение меньшего тела.

Поле силы тяжести

Это обстоятельство, в котором мы убеждаемся повсюду, мы называем наличием тяготения, способностью притягивать тела. Мы говорим, что существует поле силы тяжести. Придумывая новый термин[15], мы ничего нового не объясняем, но впоследствии он будет нам полезен.

В данный момент вы должны представлять себе поле силы тяжести как способность притянуть к Земле, заставить падать (с пропорционально возрастающей силой) любое тело, помещенное в это поле. То же самое происходит с кусочками железа вблизи магнита: магнитное поле способно притянуть их. В трубке вашего телевизора электрическое и магнитное поля ускоряют летящие электроны и быстро перемещают по экрану пучок, создающий изображение.

Мы, пожалуй, несколько увлеклись новыми словами и представлениями, такими, как масса и поле, появляющимися в результате простых экспериментов. Если мы будем просто поклоняться новым представлениям и словосочетаниям, то рискуем вернуться к тому положению, когда явления объяснялись колдовством. Если же мы будем пользоваться этими новыми представлениями для развития наших знаний, экспериментально проверяя выдвигаемые нами предположения, то они помогут успешному развитию науки.

Доказательство Галилея

Галилей был большим мастером полемики. Последователи Аристотеля сплели целую сеть «научных» доводов, основанных на утверждениях Аристотеля, однако Галилей их побил их же собственным оружием. Логические рассуждения убеждали их больше, нежели экспериментальное доказательство, поэтому Галилей рассмотрел следующий мысленный эксперимент. Возьмем три одинаковых кирпича: А, В, С. Выпустим их одновременно из рук, предоставив им возможность свободно падать. Теперь соединим А и В цепью (невидимой целью, которой на самом деле не существует) так, чтобы они образовали одно тело А + В, вдвое более тяжелое, чем С. Выпустим их снова из рук. Последователь Аристотеля теперь предположил бы, что тело А + В будет падать вдвое быстрее, чем тело С, но на самом деле это тело представляет собой два отдельных кирпича, поэтому оно будет падать точно так же, как и прежде, т. е. с такой же скоростью, что и тело С. «Позвольте, — возразит последователь Аристотеля, — ведь тела А и В соединены цепью. Один из кирпичей каким-то образом слегка опередит другой и потянет его вниз, заставив всю комбинацию из двух кирпичей падать быстрее». «Да, но в таком случае, — говорит сторонник Галилея, — второй кирпич, несколько отставая, потянет первый назад, заставив всю комбинацию двигаться медленнее!». Не считаете ли вы, что в сопоставлении А + В и С заключено в зародыше представление о массе?

Фиг. 4. Мысленный эксперимент Галилея.

Свободное падение

Если все свободно падающие тела движутся одинаково, то это движение само по себе заслуживает детального исследования. Оно могло бы рассказать нам кое-что о природе вообще, о чем-то общем для всех падающих предметов. Свободно падающие тела движутся все быстрее и быстрее, они ускоряются. (Это слово означает лишь «движутся быстрее», употребление его не делает наше утверждение более научным.) Какого же рода ускоренное движение они совершают?

1. Возрастает ли скорость скачкообразно? Эксперимент отвечает на этот вопрос отрицательно.

2. Возрастает ли скорость в прямой пропорции к пройденному расстоянию! Галилей путем остроумных рассуждений показал, что это весьма маловероятно[16]

3. Возрастает ли скорость прямо пропорционально времени?

4. Возрастает ли она пропорционально квадрату времени?

5. Или каким-то иным, более сложным образом?

Поскольку мы задаем вопрос о реальной природе, ответ на него могут дать только эксперименты. (Если вы хотите узнать, какого роста был Авраам Линкольн, вам придется узнать это у кого-нибудь, кто фактически измерял его рост. Сведения, почерпнутые из книг, бесполезны, если они не исходят первоначально из реальных измерений. Одна алгебра ничем не сможет вам помочь.) Мы могли бы отправиться прямо в лабораторию и упрямо экспериментировать, надеясь получить важный материал из множества измерений. Или же мы могли бы сначала все обдумать, высказать предположения относительно каких-то простых типов движения, рассчитать результаты для каждого из них, а затем проверить эти результаты в лаборатории экспериментально. Оба метода содействовали бы развитию науки.

Индуктивный и дедуктивный методы

Первый метод называют индуктивным. Мы собираем информацию либо в лаборатории, либо из накопленного багажа профессиональных знаний и затем извлекаем из этой информации простое правило или описание явлений природы. Этот процесс вывода общих положений мы называем индуктивными выводами, или просто индукцией. Сначала собираются экспериментальные данные, а затем из этих данных выводятся общие правила или законы. Так, наблюдая в течение нескольких лет за Луной, можно было бы извлечь правило, по которому Луна регулярно обращается вокруг Земли, совершая примерно 13 оборотов в год и, пользуясь методом индукции, можно прийти к уверенному выводу, что так будет продолжаться и впредь. Далее, из обширных наблюдений лунного затмения мы могли бы вывести индуктивным путем правило, согласно которому затмения Луны происходят несколькими регулярными сериями, причем в каждой такой серии затмения следуют одно за другим через постоянный промежуток времени, близкий к 18 годам.

Второй метод называют дедуктивным. Мы исходим из каких-то общих правил или представлений, а затем путем логических рассуждений выводим из них частные следствия или предсказания.

Ученые проверяют затем подобные предсказания на опыте. Если эксперимент подтверждает предсказания, то мы продолжаем развивать свою схему. Если же результаты эксперимента расходятся с нашими выводами, мы подвергаем сомнению первоначальные предположения и пытаемся видоизменить их. Например, мы могли бы предположить, что затмения Луны вызываются тем, что Земля оказывается на пути солнечных лучей и отбрасывает тень на Луну; далее мы делаем предположение о характере движения Солнца и Луны и затем путем дедукции приходим к выводу, что затмение должно снова произойти через промежуток времени, достаточный для того, чтобы Солнце и Луна вернулись в то же самое положение по отношению к Земле. Этот промежуток времени должен быть «наименьшим общим кратным» одного лунного месяца и одного солнечного года. Так, комбинируя простые наблюдения и разумные предположения, мы могли бы сделать дедуктивный вывод о восемнадцатилетнем цикле повторения затмений. (Для успешного расчета в качестве солнечного года необходимо взять особый, короткий год, связанный с меняющейся орбитой Луны.)

Ланцелот Хегбен указывает: «Читателям детективной литературы известны два типа сыщиков. Одни придерживаются метода Фрэнсиса Бэкона, собирая на картотеку по крупицам всю относящуюся к делу информацию. Другие, подобно Ньютону, следуют какой-то идее и, как Ньютон, тотчас отбрасывают ее, если она приходит в противоречие с наблюдаемыми фактами. Единство науки — в природе результата исследований, в единстве теории и практики. Каждый вид поиска по-своему полезен, и лучший сыщик тот, кто сочетает оба метода, руководствуясь своей идеей для проверки гипотез, причем готов к появлению новых фактов»[17].

Один из ведущих американских физиков П. Бриджмэн следующим образом выразил общую точку зрения: «Я бы сказал, что не существует научного метода как такового, и самая существенная особенность методики научной работы состоит просто в том, что ученый должен действовать во всю силу своего ума, не гнушаясь ничем, за что можно было бы ухватиться».

Изучение ускоренного движения индуктивным и дедуктивным методами

Первоначальное развитие науки было обязано главным образом индуктивному методу познания; в нашем рассмотрении свободного падения тел мы пользовались методом индукции и на основании многих наблюдений установили общее положение, согласно которому все тела, свободно падающие в вакууме, движутся одинаково. Изучая детали этого движения свободного падения, Галилей, по-видимому, использовал одновременно оба метода. Он выдвигал плодотворные гипотезы и умело использовал геометрию и логические рассуждения.

Мы воспользуемся теперь вторым методом, т. е. дедукцией. Начнем с принятия некоторого правдоподобного правила, а затем сопоставим выводы из принятого правила с действительным свободным падением тел.

Выберем приведенное выше предположение 3 (стр. 37), т. е. примем, что скорость свободно падающего тела возрастает равномерно на одну и ту же величину за равные отрезки времени. Можно дать более удобную формулировку этого предположения, сказав, что оно предусматривает движение «с постоянным ускорением», но для этого необходимо придать слову ускорение вполне определенный смысл. Назовем ускорением величину

[ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ], или ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ

Давая это определение ускорению, мы на самом деле выбираем величину (приращение скорости)/(затраченное время), удобную для пользования, а затем как-то называем ее. Мы вовсе не раскрываем истинного смысла, заключенного в слове «ускорение»! Мы делаем выбор и приписываем выбранной величине наименование, потому что она оказывается удобной для описания рассматриваемого явления природы.

Поскольку мы часто будем иметь дело с изменяющимися величинами, нам необходим краткий способ записи величин «изменение…» или «приращение…». Выберем для этого символ Δ — греческую букву дельта. Первоначально этот символ употреблялся вместо буквы d в слове «difference» (разность). Тогда наше определение[18] ускорения будет выглядеть следующим образом:

УСКОРЕНИЕ = [ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] = [ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАНИЙ ЧАСОВ],

a = Δv/Δt,

где а — ускорение, v — скорость, t — время.

Дедуктивный анализ движения с постоянным ускорением

Теперь выразим наше предположение о свободном падении тел при помощи этой новой терминологии. Предположим, что для тел, совершающих свободное падение (в вакууме),

Δv/Δt постоянно

Эта запись формулирует чрезвычайно смелое предположение о реальной природе. Справедливо ли оно? Постоянна ли величина Δv/Δt. Чтобы непосредственно проверить это, нам пришлось бы воспользоваться специальным прибором, чтобы измерить ускорение тела (Δv/Δt) на каждом этапе его падения. Такие приборы существуют, но они сложны, и нам не удалось бы получить с их помощью необходимого убедительного доказательства справедливости предположений. Поэтому мы последуем примеру Галилея и прибегнем к помощи логической машины — математики, чтобы получить вывод, который затем можно будет проверить на опыте.

Математика говорит: если ускорение a(=Δv/Δt) постоянно и s — расстояние, пройденное за время t с этим постоянным ускорением, то

s = 1/2 at²,

если движение начинается из состояния покоя, и

s = v₀t + 1/2 at²,

если движение начинается со скоростью v₀ в момент t = 0, когда включаются часы. (Логическое доказательство правильности этого «если…, то…» дается в приложении I, стр. 60.) В этих соотношениях 1/2 а — это число, поскольку мы предполагаем, что а постоянно; поэтому для движения, которое начинается из состояния покоя,

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ = (ПОСТОЯННОЕ ЧИСЛО)∙(ВРЕМЯ)²,

или

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ возрастает прямо пропорционально (ВРЕМЯ)²,

или

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ изменяется прямо пропорционально (ВРЕМЯ)²,

или

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ пропорционален (ВРЕМЯ)² [или: ~ (ВРЕМЯ)²].

(Так сокращенно записывается любая из приведенных выше формулировок. Вместо слова «пропорционален» мы будем употреблять также знак ~.)

Например, если тело, движущееся с постоянным ускорением, проходит определенный путь за 1 сек, считая с момента начала движения из состояния покоя, то оно пройдет в 4 раза больший путь за 2 сек после начала движения из состояния покоя, в 9 раз больший путь за 3 сек и т. д.

Задача 1. График ускоренного движения

а) Предположим, что жук ползет к себе домой, совершая движение, для которого справедлива формула:

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ ~ (ВРЕМЯ)².

Начиная движение из состояния покоя, жук проходит за первую секунду 5 мм. Какой путь он пройдет за 2 сек от начала движения? За 3 сек? За 4, 5, 6 сек?

б) Проведите на листе бумаги прямую линию; отметьте исходную точку вблизи одного конца проведенной линии и нанесите на ней шкалу в сантиметрах. Нанесите отметки, соответствующие месту нахождения жука в конце каждой секунды.

Задача 2. Простое правило

Галилей предложил для равномерно-ускоренного движения соотношение s ~ t² (где s — весь пройденный путь за все время t с момента начала движения из состояния покоя); он сформулировал для такого движения еще одно простое правило, связывающее расстояния d₁, d₂…, проходимые в течение следующих друг за другом односекундных интервалов, т. е, расстояние, пройденное за первую секунду, расстояние, пройденное в течение следующего интервала продолжительностью 1 сек, и т. д. Найдите такое правило в задаче 1 и сформулируйте его. (Указание. Вычислите d₁ = s₁ — 0, d₂ = s₂ — s₁… и найдите правило, связывающее эти расстояния, проходимые за 1 сек.)

Задача 3. Научное мышление

а) Правило, о котором идет речь в задаче 2, можно было предвидеть, поразмыслив над ускоренным движением, исходя из здравого смысла и не пользуясь алгебраическими формулами или каким-либо конкретным примером.

Каким образом? (Указание. Путь, пройденный за 1 сек., является мерой…?… за этот промежуток времени.)

б) Ограничено ли правило задачи 2 (подобно соотношению s ~ t²) движением, начинающимся из состояния покоя при t = 0, или оно применимо к любому движению с постоянным ускорением?

Задача 4. Анализ движений

Ниже приведены данные о пути, пройденном четырьмя велосипедистами, совершившими различные по характеру движения. Все велосипедисты проходили мимо поста Р в момент пуска часов. Пройденные ими расстояния от Р спустя 1, 2, 3, 4, 5 сек даны в следующей таблице:

а) Попытайтесь проанализировать каждое из этих движений, проверяя постоянство ускорения не при помощи соотношения s ~ t², а в свете ответов на приведенные выше задачи 2 и 3.

б) Опишите, если сможете, общий характер движения, когда оно происходит не с постоянным ускорением.

Экспериментальные исследования

Можно показать, что справедливо и обратное. Если пройденный путь s прямо пропорционален t², то ускорение постоянно[19]. Это утверждение дает нам соотношение, которое можно проверить, исследуя реальные движения. Пусть часы отсчитывают равные интервалы времени; будем измерять расстояния, которые проходит падающее тело за промежутки времени, отсчитываемые с момента начала движения из состояния покоя и находящиеся в отношении 1:2:3… Если проходимые телом расстояния будут находиться в отношении 1:4:9…, то движение происходит с постоянным ускорением. Или, как это делают в одном из лабораторных экспериментов, можно измерять время t для различных расстояний s, проходимых от начала движения, и проверить справедливость соотношения s = (постоянное число)∙(t²) путем арифметических расчетов или построения графиков.

Свыше трех столетий назад Галилей воспользовался этим методом, хотя и не располагал ни современными часами, ни методом графического анализа. Галилей был одним из первых, кто предложил точные часы с маятником, но сам, по-видимому, не делал таких часов. Для измерения времени Галилей пользовался большим баком с водой, в котором было отверстие, откуда вода вытекала в сосуд. Он оценивал промежутки времени, взвешивая вытекшую воду, — метод грубый, но тем не менее достаточно точный для проверки установленного им закона. Свободное падение тел с высоты, доступной в то время экспериментатору, было довольно непродолжительным, и выполнить эксперимент при помощи прибора Галилея[20] было слишком трудно. Поэтому Галилей «управлял» земным тяготением, используя наклонную доску, по которой скатывался шар. Он измерял промежутки времени, за которые шар проходил расстояния 0,5, 1 м и т. д. от начала движения из состояния покоя.

На основе грубых опытов и разумных предположений Галилей пришел к выводу, что шар скатывается вниз по наклонной доске с постоянным ускорением. Считая этот вывод справедливым для любого наклона и переходя в своих рассуждениях к вертикально стоящей доске, Галилей предположил, что он будет справедлив и для свободного падения[21].

Представление о постоянном ускорении было высказано более ранними исследователями, но они были осмеяны. Галилей сделал все зависящее, чтобы свести к минимуму трение, угрожавшее усложнить дело, хотя мы теперь знаем, что постоянное трение не нарушает простого соотношения. Результаты Галилея были приближенными, но, по-видимому, они убедили его в правильности сделанного им предположения. Это был самый простейший доступный его представлению вид ускоренного движения, и на Галилея, вероятно, повлияла та вера, которая вдохновляла всех ученых — от греков до Эйнштейна, — вера в то, что природа в своей сущности проста.

Позднейшие эксперименты, выполненные с помощью усовершенствованной аппаратуры, подтвердили вывод Галилея. Движение происходит с постоянным ускорением, т. е. Δv/Δt = const во всех перечисленных ниже случаях:

а) шар или колесо катятся по наклонной доске;

б) тело скользит или тележка движется на колесах по гладкой наклонной доске;

в) тело падает свободно.

Однако каждая такая экспериментальная проверка показывает лишь, что ускорение постоянно в данном конкретном случае и в пределах точности данного эксперимента. Если мы как ученые хотим поверить в то, что существует общее правило, выведенное из этих экспериментов, если мы хотим описать явление природы с помощью простого «закона», который послужит исходной точкой для новых дедуктивных выводов, то нам потребуется множество взаимно согласованных доказательств, которые явятся основой нашего вывода. Чем больше таких доказательств, чем более разнообразны они, тем лучше; ни одним нельзя пренебрегать. Если же результаты какого-нибудь эксперимента противоречат общему правилу (а результаты некоторых экспериментов действительно ему противоречат), то их снова тщательно проверяют. Пословица «Исключение подтверждает правило», хотя часто ее понимают неправильно, превосходна с точки зрения ученого, если слову «подтверждает» придавать значение «испытывает», «проверяет». Если же слово «подтверждает» употребляется в обычном значении «показывает, что то-то и то-то правильно», то пословица лишена смысла[22].

Исключения вовсе не доказывают, что правило верно. Исключения заставляют подвергать правило тщательной проверке и указывают на ограничения его применения. Они заставляют задать вопрос: «Что является виной?», либо выявляют ограничения, накладываемые на правило, либо заставляют проводить эксперименты более тщательно. В любом случае правило становится более очевидным.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ

Необходимо проследить за какими-нибудь опытами по ускоренному движению и проделать их самим. Эти опыты не только заставят вас почувствовать, что экспериментальная база науки более реальна, чем это казалось раньше, но позволят вам с большим доверием отнестись к огромному множеству накопленных наукой экспериментальных доказательств. Галилей по существу лишь высказал мудрые предположения, другие исследователи дополнили их тщательными измерениями, и вам следует проделать кое-какие измерения и высказать свои взгляды.

Опыт 1. Возьмем небольшую тележку, пустим ее вниз по длинной установленной наклонно доске и измерим ускоренно тележки. Измерять скорости в лекционном опыте — задача не простая, но, чтобы показать, как определяется ускорение, достаточно приближенной оценки. Мы измеряем скорость тележки в каком-либо пункте А, в начале движения тележки, а затем еще раз — в пункте В, расположенном несколько ниже. Разность между этими скоростями дает нам приращение скорости Δv. Промежуток временя Δt, в течение которого скорость возрастает на указанную величину, представляет собой время, за которое тележка перемещается из А в B. Тогда ускорение равно Δv/Δt.

Чтобы измерить Δt, укрепим на тележке тонкий стержень М и измерим с помощью секундомера время, за которое М перемещается от А до В.

Чтобы оценить скорость тележки в точке A, мы должны зафиксировать промежуток времени, в течение которого тележка проходит короткий путь в окрестности точки А. Мы могли бы установить в этом месте короткую доску, середина которой совпадала бы с точкой А, как на фиг. 6, и измерить время, за которое стержень переместится на длину доски.

Фиг. 6. Демонстрационный опыт.

Однако при измерении коротких промежутков времени ошибки оказываются слишком большими, поэтому лучше установить доску на движущейся тележке и измерять время ее прохождения мимо точки А с помощью фотоэлемента. На фиг. 7 показана удачная схема эксперимента.

Фиг. 7. Схема опыта, в котором с помощью двух фотоэлементов и трех электрических часов измеряется ускорение тележки при движении по наклонной плоскости.

_{Электрическая схема включения часов и фотоэлемента для пункта А такая же, как для пункта В. Часы С для измерения продолжительности движении тележки не показаны; ими управляет сам экспериментатор.}

Луч света падает под прямым углом к направлению движения тележки и попадает на фотоэлемент, в цепи которого при освещении возникает электрический ток. Этот ток усиливается и используется для приведения в действие электромагнита. Электромагнит связан с электрическими часами и удерживает их в выключенном состоянии. Когда пучок света перекрывается, электромагнит выключается и часы начинают идти. На тележке укреплен лист картона, который перекрывает пучок света, пока тележка проходит соответствующий отрезок пути. Таким образом, часы идут в то время, пока тележка проходит мимо фотоэлемента в точке А, и регистрируют время, за которое картон перемещается мимо пучка света. За это время тележка должна пройти расстояние, равное длине картона. Тогда величина

ДЛИНА КАРТОНА / ВРЕМЯ ЗАТЕМНЕНИЯ

дает скорость тележки.

Нам потребуется трое часов: одни для измерения общей продолжительности движения между двумя пунктами А и В, в которых определяются скорости, другие для измерения того времени, когда картон проходит мимо пункта А, и третьи — для таких же измерений в пункте В.

Приведенная ниже задача иллюстрирует расчет ускорения.

Задача 5

Предположим, что длина картона, укрепленного на тележке, равна 60 см, а затемнение в пункте А продолжается 0,30 сек. Какова скорость тележки при прохождении пункта А? Если продолжительность затемнения в пункте В равна 0,10 сек, то чему равна скорость тележки а пункте В? Чему равно приращение скорости Δv? Если тележка проходит путь от А до В за 2,0 сек, то чему равно ее ускорение?

В задаче 5 ничего не говорится о том, что движение начинается из состояния покоя. Тележка, проходя мимо пункта А, находится в движении, и мы можем сообщить ей любой начальный толчок.

Таким образом, можно повторить эксперимент при самых различных начальных скоростях. Мы можем даже толкнуть тележку вверх так, чтобы, проходя первый раз мимо пункта А, она двигалась в обратном направлении; но при этом мы должны внимательно следить за знаками + и —. Измерения позволяют определить ускорение независимо от начальной скорости. Будет ли ускорение одинаково при различных начальных скоростях — это вопрос к самой природе. Чтобы ответить на него, вам придется принять участие в реальном опыте.

В условиях лаборатории вы сможете провести опыт с колесом, скатывающимся по наклонным направляющим. Измерить непосредственно ускорение или (возрастающую) скорость нелегко.

Вместо этого нужно измерить расстояние, пройденное от начала движения, и время движения, а затем проверить, удовлетворяют ли обе величины соотношению

ПРОЙДЕННОЕ РАССТОЯНИЕ ~ (ВРЕМЯ)².

Собрав надежные данные измерений, необходимо произвести проверку как арифметически, так и на графиках.

ОПЫТ С УСКОРЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ

Продолжим рассмотрение воображаемого движения с постоянным ускорением. Предположим, что измерения дали следующие результаты:

Эти измерения слишком малочисленны, кроме того, они сделаны через такие интервалы, что трудно произвести надлежащую проверку, но для иллюстрации их достаточно. Четыре значения: 5,1; 5,4; 5,0; 5,3 — это результаты четырех попыток измерить время прохождения расстояния 60 см. Случайные ошибки могут быть устранены усреднением полученных результатов, хотя часть ошибок все же может остаться, например ошибка, возникшая вследствие преждевременного выключения секундомера нетерпеливым экспериментатором. Усредним полученные данные, складывая их и деля на 4:

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ = (5,1 + 5,4 + 5,0 + 5,3)/4 = 20,8/4 = 5,2 сек

Поступая подобным же образом с другими промежутками времени, можно составить табл. 2[23].

Беглый взгляд на эти цифры показывает, что время не возрастает пропорционально пройденному расстоянию. График на фиг. 8, построенный по этим значениям, свидетельствует о том же самом. Он показывает, что тело движется все быстрее и быстрее, т. е. с ускорением.

Фиг. 8. Зависимость пройденного расстояния от времени.

Правда, глядя на этот график, сказать нельзя, постоянно ли ускорение[24]. Чтобы проверить это, построим другой график, который в случае постоянного ускорения будет иметь вид прямой линии. Какой график нужно строить, видно из предположения о постоянном ускорении и из дедуктивного отношения:

РАССТОЯНИЕ ~ (ВРЕМЯ)².

Отсюда следует, что нужно построить на графике зависимость пройденного расстояния от квадрата времени. В соответствии с этим составим табл. 3.

Затем построим график фиг. 9.

Фиг. 9. Зависимость пройденного расстояния от квадрата времени.

Чтобы проверить, постоянно ли ускорение, проведем через начало координат «наилучшую» прямую. Мы произвольно проводим для проверки прямую линию, но стараемся провести ее так, чтобы она проходила «как можно ближе к возможно большему числу» точек на графике.

В этом примере точки лежат близко к проведенной прямой. Если мы считаем, что отклонения точек от прямой объясняются несовершенством нашей аппаратуры, то мы говорим, что, насколько можно судить из проведенных измерений, движение происходит с постоянным ускорением.

Построение графика с указанием возможных ошибок опыта

Если мы желаем яснее обнаружить наличие погрешностей в полученных нами данных, мы можем превратить каждую наносимую на график точку в пятно и представить таким образом погрешности измерения в величине времени и расстояния (см. фиг. 10, а, где точки, отвечающие измеренным значениям, заменены пятнами, характеризующими погрешность результата).

Измерение времени менее надежно, чем измерение расстояния, поэтому каждое пятно размыто больше в ширину, чем в высоту.

Поскольку мы не знаем действительных значений ошибок наших опытов, а знаем лишь их вероятное значение, каждое пятно должно простираться на неопределенное расстояние от соответствующей точки. Однако мы должны указать, что внешние области пятна отвечают маловероятным ошибкам. Это можно было бы сделать, затушевав пятно, как показано на фиг. 10, б. Рисовать такое пятно — слишком утомительная процедура, поэтому обычно принято изображать ошибки прямоугольником определенного размера, таким, чтобы вероятность нахождения истинного значения в пределах прямоугольника имела какое-то стандартное значение, скажем ¹/₂. Размеры прямоугольника показывают при этом ошибки, которые, по мнению экспериментатора, могут иметь место.

Фиг. 10. Изображение ошибки на графиках.

Физики часто приводят ошибки или погрешности на графиках, но объединяют их и выражают погрешности величин, откладываемых на графике по горизонтали и по вертикали, в виде погрешности величины, откладываемой по вертикали. Экспериментатор оценивает вероятную ошибку Δy, допущенную им при измерении величины, откладываемой по вертикали. Он оценивает также вероятную ошибку Δх; величины, откладываемой по горизонтали, а затем задает вопрос: «Если я допустил такую ошибку Δх, то как велика при этом будет ошибка величины у, которая бы в точности ее учитывала?». Это дает ему значение Δy°, эквивалентное допущенной им ошибке Δх. Он проводит вертикальную прямую длиной (Δy + Δy°) с центром в экспериментальной точке. Тогда каждой точке, наносимой на график, будет соответствовать такое пятно, выражающее величину погрешности, как показано на фиг. 10, в.

Нахождение скорости при помощи касательных

Если бы мы могли построить график изменения скорости со временем, то это позволило бы непосредственно изучать ускорение.

Фиг. 11. Скорость равна наклону касательной.

Для этого необходимо оценить значение скорости в различные моменты времени.

Мы можем определить скорость, проводя касательные к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. Если провести касательную к кривой в некоторой точке, то наклон касательной даст скорость тела в данный момент времени и в данном месте. Чтобы убедиться в этом, выберем некоторую точку Р на этой кривой (фиг. 11), а затем переместимся вверх по кривой в точку Q, соответствующую более позднему моменту времени. Находясь в точке Р, тело уже прошло некоторое расстояние за какой-то промежуток времени. От Р до Q тело проходит еще небольшой отрезок пути Δs за малый промежуток времени Δt.

Тогда средняя скорость в интервале между Р и Q равна отношению

[РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ОТ Р ДО Q]/[ВРЕМЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ Р ДО Q]

или

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ = Δs_PQ/Δt_PQ (см. фиг. 11, a),

= ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ МАЛОГО ТРЕУГОЛЬНИКА PQM,

= ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА больших размеров, подобного треугольнику PQM,

= h/b на фиг. 11, а,

= наклон хорды, соединяющей точки Р и Q, или

ВЫСОТА/ОСНОВАНИЕ.

Если точки Р и Q расположены очень близко одна от другой, то соединяющая их линия почти совпадает с касательной к кривой в «точке» PQ, и скорость по-прежнему определяется наклоном этой «касательной». В пределе, как говорят в математике, когда точка Р приближается к Q, хорда превращается в касательную к кривой в этой точке; величины Δs и Δt становятся равными нулю, но отношение Δs/dt по-прежнему имеет вполне определенное значение, равное отношению h'/b' в любом треугольнике больших размеров, у которого касательная является гипотенузой, как на фиг. 11, б. Если PQ — хорда, то ее наклон определяет среднюю скорость движения от точки Р к точке Q. В пределе, когда Р и Q совпадают, наклон касательной определяет скорость в момент времени, соответствующий точке Р, в которой проводится касательная. Дело в том, что наклон касательной совпадает с наклоном бесконечно короткого отрезка кривой, характеризующего движение в данной точке. Проводя касательные во многих точках кривой и измеряя наклон этих касательных, мы могли бы определить несколько значений скорости, по которым можно было бы построить новый график, выражающий зависимость скорости от времени.

Форма этого графика позволила бы нам судить о том, постоянно ли ускорение, однако проведение касательных — дело не простое, и, чтобы с уверенностью делать выводы, пользуясь полученным набором значений наклона касательных, пришлось бы строить исходный график очень тщательно, с большим числом дополнительных точек. Поэтому на практике постоянство ускорения проверяют путем построения другого графика, выражающего зависимость расстояния от квадрата времени.

Однако мы можем воспользоваться указанным выше свойством касательной для построения первоначального графика. Хотя наш график, представленный на фиг. 8, проходит через начало координат, трудно судить о ходе кривой вблизи начала координат, поскольку измерять очень короткие перемещения сложно. Мы не можем с уверенностью сказать, какая из трех представленных на фиг. 12 кривых верна.

Фиг. 12. Различные варианты графика фиг. 8, изображающего зависимость пройденного расстояния от времени.

Мы можем выяснить это, рассуждая следующим образом: согласно полученным данным, тело начало двигаться из состояния покоя. Следовательно, начальная скорость тела равна нулю. Поэтому наклон касательной к кривой в начале координат должен быть равен нулю, касательная должна быть расположена горизонтально. Отсюда можно заключить, что из трех кривых фиг. 12 верна, по-видимому, средняя.

Арифметическая проверка постоянства ускорения

Результаты нашего мысленного опыта можно еще проверить с помощью арифметического расчета. Если ускорение постоянно, то

РАССТОЯНИЕ = (ПОСТОЯННАЯ)∙(ВРЕМЯ)².

Поэтому расстояние/(время)² = const. И наоборот, если отношение (расстояние)/(время)² постоянно, то постоянно и ускорение. Чтобы проверить это, расширим нашу таблицу, дополнив ее еще одним столбцом (табл. 4).

Чтобы из чисел, приведенных в последнем столбце, сделать определенный вывод, необходимо знать точность измерений. Иначе мы сможем лишь сказать, что движение, по-видимому, происходит с ускорением, довольно близким к постоянному.

Как графический, так и арифметический способы проверки, о которых только что шла речь, трудно применить при малом количестве данных. Но это всего лишь мысленный пример: истинная проверка должна явиться результатом ваших собственных опытов.

Труды многих ученых специалистов и тех, кто просто интересуется физикой, утвердили веру в открытие Галилея: тела, свободно падающие под действием земного тяготения, и тела, скользящие или скатывающиеся вниз по наклонной плоскости под действием с1, илы тяжести, движутся с постоянным ускорением.

Дальнейшие эксперименты показывают, что ускорение имеет одно и то же значение даже в том случае, если тело начинает, движение не из состояния покоя, а получив толчок. Если в момент пуска часов тело имеет скорость v₀, то соотношение s = ¹/₂ at² уже неверно; мы должны воспользоваться в этом случае соотношением s = v₀ + ¹/₂ at² (см. приложение I). Однако ускорение а остается тем же самым. Едва ли оно могло бы быть другим: каким образом шар может «узнать», что он начал двигаться после полученного толчка, а не скатывался с большей высоты по той же самой наклонной плоскости?

Величина ускорения

Эксперименты не просто убеждают нас в том, что ускорение постоянно, а дают его фактическое значение. Если а постоянно, то расстояние = (¹/₂ а)∙(время)², и (расстояние)/(время)² = 1/а (ускорение).

Таким образом, в нашем случае 0,076 и т. д. представляет собой оценки величины ¹/₂ а. Отсюда получаем а = 0,152, или ²/₁₃. Но указать число ²/₁₃ недостаточно — две тринадцатых чего?

Подобное число само по себе ничего не дает, если не сказано, в каких единицах оно выражено. Мы получим это число, разделив расстояние в метрах на (время)². Поскольку время измеряется в секундах, ответ должен быть в м/сек² (читается: «метр на секунду в квадрате» или «метр в секунду за секунду»).

Единицы измерения ускорения

Вернемся к определению ускорения и найдем единицы, в которых оно выражается:

a = [Δv, измеренное в единицах скорости, т. е. м/сек]/[Δt, измеренное в единицах времени, т. е. сек] = УСКОРЕНИЕ, измеренное в единицах ускорения, т. е. м/сек∙сек

Таким образом, ускорение измеряют в единицах м/сек∙сек, которые мы записываем в виде м/сек∙сек, или м/сек².

Употребление слов «на» и «в»

Слова «на» и «в» нашли широкое употребление в науке. Мы употребляли их выше в значении «деленное, на» или «на каждый (каждую)…», т. е. в значениях, которые они имеют в обычной арифметике. Позднее мы будем говорить об ином значении этих слов, когда они используются для словесного выражения отношения или пропорции.

В арифметике мы делим 10 центов на 5 и получаем 2 цента. Или мы делим 10 овец по 5 овец и получаем 2 отары. Мы сомневаемся в возможности делить 10 овец на 5 центов — ведь речь идет, возражаем мы, о предметах разного рода. Но иногда мы делим предметы одного рода на предметы другого рода, например, если 10 центов разделить на 5 мальчиков, то у каждого мальчика окажется в кармане 2 цента. А разделив 60 центов на дюжину апельсинов, получим стоимость каждого апельсина. В науке часто производят подобные деления, и чтобы ответ был верным, он должен содержать как число, так и единицы измерения. Если жук, двигаясь с постоянной скоростью, проползает 3 да за 2 часа, то мы можем сказать: «Если разделить 3 м на 2 часа, т. е. записать 3 м/2 часа, то получим 1,5 м в час». Ответ показывает расстояние, которое жук проползает за каждый час, но это не означает, что жук передвигается обязательно в течение одного часа. Это применимо и к ¹/₄ часа, и к ¹/₂ часа, и к 1¹/2 часам, а возможно, и к 2¹/₂ часам.

Эта формулировка применима даже к очень коротким интервалам времени: жук может ползти с той же самой скоростью 1,5 м в час в течение нескольких секунд. Мы можем мысленно сократить интервал времени, по-прежнему считая, что жук ползет со скоростью 1,5 м в час. В пределе мы говорим, что жук обладает скоростью 1,5 м в час в некоторый определенный момент времени. Это уже новое представление, представление о скорости в некоторый момент времени. Мы не можем теперь делить расстояние на промежуток времени — деление нуля на нуль не имеет смысла; тем не менее спидометр будет показывать в какой-то момент времени скорость 1,5 м в час. Правда, настоящий жук передвигается то быстрее, то медленнее, но мы легко можем представить себе идеального жука, передвигающегося с постоянной скоростью. В таком случае единица «один метр в час» — это уже не результат деления, а самостоятельная величина, единица скорости изменения пути, и скорость 1,5 м в час — это скорость изменения пути, предельное значение, отмеченное в некоторый момент времени.

Математическое понятие предела появляется и в физике, и в математическом анализе. Чтобы постичь сущность понятия предел, посмотрим, чему равна сумма большого числа членов ряда: 1, ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ¹/₁₆…. Сумма первых двух членов равна 1¹/2, сумма трех членов 1³/₄, десяти членов 1³¹¹/_⁵¹² и т. д. Сколько бы членов ряда мы не брали, сумма никогда не будет в точности равна 2, но можно как угодно близко подойти к 2, если взять достаточно большое число членов ряда. (Заметим, что сумма всегда меньше 2 на величину, равную как раз последнему взятому члену. Поэтому эту разность можно сделать как угодно малой.) Таким образом, мы говорим, что 2 есть предел суммы большого числа членов ряда.

Наклон касательной, о котором шла речь выше, тоже представляет собой предел, а именно предел наклона хорды, проходящей через две точки на графике.

До нынешнего века физики имели дело с большим числом непрерывно изменяющихся отношений, таких, как скорость, плотность, освещенность. Теперь же оказалось, что множество физических величин характеризуется скачкообразным изменением, подобным резким изменениям скорости настоящего жука; эти величины не удается непрерывно уменьшать до предельных значений. Для примера рассмотрим отношение (масса)/(объем), которое мы называем плотностью. Мы можем поделить массу большого куска алюминия на его объем или массу маленького куска алюминия на его объем и получим одинаковую плотность.

Но если мы попытаемся продолжать определять таким образом плотность, переходя ко все меньшим и меньшим количествам вещества, то, дойдя до одного-единственного атома, вынуждены будем остановиться. Какие отношения физических величин можно вычислить в пределе в математическом смысле этого слова? Какие величины не обладают «атомистической» природой? Этот вопрос заслуживает внимания, и мы вернемся к нему в самом конце нашего курса. Употребляя слова «на» или «в» или знак косой черты, который их заменяет, для обозначения понятия «деленный (деленная) на» или «на каждый (каждую)», стоит подумать, что эти слова играют определенную роль в представлении об отношении.

Единицы измерения, применяемые в науке

В обыденной жизни мы измеряем скорость в метрах в секунду или в километрах в час; инженеры тоже часто пользуются этими единицами. Ускорение мы выражаем в м/сек на секунду, а иногда в таких менее привычных единицах, как км/час на секунду. Однако ученые во всем мире условились применять метрическую систему единиц, и мы будем пользоваться одним из вариантов этой системы, системой метр — килограмм — секунда. В этой системе (ее называют сокращенно «системой МКС») длины и расстояния измеряются в метрах, масса вещества — в килограммах, а время — в секундах. Точная длина метра определяется длиной тщательно сохраняемого бруска из тугоплавкого металла, копии которого находятся в метрологических лабораториях всего мира.

Килограмм представлен куском из тугоплавкого металла, принятого за эталон. Метр делится на 100 сантиметров (каждый сантиметр соответствует примерно ширине пальца), а килограмм делится на 1000 граммов. Хотя во многих курсах физики применяют единицы сантиметр и грамм, мы примем новую используемую сейчас систему единиц — метр и килограмм, дабы облегчить понимание таких электрических единиц, как амперы и вольты. Метр и килограмм сокращенно обозначаются м и кг.

Грамм первоначально был определен как масса одного кубического сантиметра воды. При этом плотность воды (масса/объем) приобретает удобное значение 1,00 г в 1 см³ (удобное, но чреватое недоразумениями, и его без всякого ущерба можно опустить). Плотность воды вовсе не равна 1,00 кг/м³; полый куб с внутренними размерами 1 м х 1 м х 1 м вмещает 1000 кг воды, поэтому плотность воды равна 1,00 г/см³, или 1000 кг/мг³.

В нашей системе МКС скорости измеряются в метрах в секунду, а ускорения — в метрах в секунду на секунду.

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения можно измерить. Показать, что ускорение постоянно, когда тело падает все быстрее и быстрее, трудно, хотя, конечно, это можно сделать с помощью современных приборов для измерения времени; некоторые из этих приборов позволяют измерить промежуток времени с точностью до одной миллионной доли секунды. Если принять, что ускорение постоянно, то его довольно легко измерить, определив промежуток времени, за который тело проходит известный отрезок пути, и воспользовавшись соотношением s = ¹/₂ at². Отсюда a = 2s/t². Постоянное ускорение свободного падения, происходящего «под действием земного притяжения», обозначают символом g и записывают g = 2s/t². Подставляя в эту формулу полученные из опыта значения s и t, можно вычислить g. Однако сопротивление воздуха ограничивает точность полученного значения; кроме того, трудно быть уверенным в том, что мы начинаем отсчет времени именно в тот момент, когда тело начинает двигаться, а продолжительность падения тела весьма мала, поэтому такие измерения не дают точного значения g. А для решения ряда задач в физике необходимо точно знать значение g. Можно ли исключить влияние сопротивления воздуха? Нельзя ли наблюдать падение тела много раз, скажем, несколько тысяч раз и, измерив общее время для всех опытов, определить время одного падения с большей точностью? К этой, на первый взгляд совершенно недостижимой цели приводит задуманный еще Галилеем простой опыт.

Измерения дают значение g, близкое к 9,8 м/сек². На экваторе g несколько меньше, а на Северном полюсе — несколько больше.

Сила и ускорение

Мы считаем, что на падающее тело действует сила притяжения Земли, направленная вниз; мы называем ее весом тела. Чтобы удерживать тело в подвешенном состоянии, мы должны создать опору, способную выдерживать полный вес тела. Перерезав веревку, на которой подвешено тело, мы считаем, что на тело по-прежнему действует его вес, однако теперь весу не противостоит натяжение веревки. Если мы предполагаем, что вес тела остается постоянным во время его падения, можно считать, что эта постоянная сила «создаст» постоянное ускорение свободного падения. Тележка скатывается по наклонной плоскости с ускорением, составляющим долю g; сила, тянущая тележку вниз по наклонной плоскости, составляет лишь долю веса тележки. Позднее вы узнаете, чему равна эта доля; она зависит от наклона плоскости. Зная эту долю веса, можно было бы, следуя Галилею, сопоставить силу, направленную вдоль наклонной плоскости, и ускорение движения вниз по наклонной плоскости. Какое соотношение должно предположительно существовать между силой и ускорением?[25]. Первые экспериментаторы, такие, как Галилей, смогли найти соотношение, изучая падающие и скатывающиеся по наклонной плоскости тела.

Мы его вскоре рассмотрим. Оно играет очень важную роль в физике и технике, и этому основному соотношению подчиняется движение звезд и поведение атомов.

Нам еще предстоит рассмотреть вопрос о силе и ускорении.

В заключение выскажем некоторые сомнения. Откуда вам известен вес тела, когда тело свободно падает? Когда вы сидите на стуле, вы ощущаете поддерживающую силу со стороны стула и вам кажется, что вы чувствуете свой собственный вес. Но выпрыгнув из окна, почувствуете ли вы свой вес? Предположим, вы прыгаете из окна, а в руках держите кусок металла, причем пытаетесь взвесить его в момент падения. Предположим на минуту, что, дабы сделать вашу временную лабораторию более удобной, вас вместе о куском металла и приспособлением для взвешивания заключили в огромный ящик и сбросили этот ящик с большой высоты, предоставив ему свободно падать. Предположим далее, что в ящике нет окон. Что произойдет с куском свинца, когда вы выпустите его из рук, находясь внутри ящика? Будет ли он падать на пол? Поразмыслив, вы придете к выводу, что земное притяжение как бы исчезнет. Скажете ли вы, что тяжесть действительно исчезла или что ваша лаборатория движется вниз с ускорением? Если нельзя сказать, в чем разница, то существует ли вообще разница? Обсуждение этих вопросов привело бы вас к теории относительности.

ПРИЛОЖЕНИЕ I. АЛГЕБРА

В этом приложении мы не собираемся открывать новых законов физики или пересматривать старые, мы намерены лишь произвести своего рода механическую обработку понятий. Начнем с предположения, которое представляется ясным для понимания, а именно с предположения о движении с постоянным ускорением, и заставим алгебру дать нам некоторые логические следствия. Полученные результаты — это просто старые сведения, которым придана новая форма. Они будут полезны при изучении реального мира — при выводе этих результатов мы можем спокойно сидеть в башне из слоновой кости и верить в то, что наши действия — действия совершенной логики — верны с точностью до предположений, на которых они Определение. Выберем в качестве величины, с которой мы будем иметь дело, изменение скорости в единицу времени:

Определение. Выберем в качестве величины, с которой мы будем иметь дело, изменение скорости в единицу времени:

[ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ВРЕМЯ ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ], ИЛИ Δv/Δt

Поскольку эта величина — понятие, удобное для пользования, мы назовем ее ускорением. Тогда формулировка «ускорение = Δv/Δt» представляет собой лишь словарное определение, объясняющее, чему мы дали это название.

Предположение. Мы предполагаем, что ускорение постоянно. (Иначе говоря, мы исследуем вид движения, при котором величина Δv/Δt постоянна. Существует много других типов движения, общих по своему характеру, но этот тип движения — простой и в то же время очень важный, поэтому мы исследуем его подробно.)

Итак, Δv/Δt — постоянная, величину которой мы обозначим через a.

Пользуясь нашим методом, основанным на элементарной алгебре, мы будем предполагать, что средняя скорость тела, движущегося с постоянным ускорением, в точности равна среднему из скоростей в начале и в конце перемещения. Таким образом, мы предполагаем, что

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ = (НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ)/2

Мы говорим также, что

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ = СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ∙ВРЕМЯ,

или

s = v^-/t

Заметим, что мы пользуемся точкой в качестве знака умножения; сейчас так принято, и мы будем прибегать к этому знаку для перемножения таких единиц, скажем, как чел∙час; кроме того, мы поставили сверху черту над буквой v для обозначения «v среднее».

Терминология. Примем следующие обозначения:

1) Ускорение — а м/сек на секунду.

2) Скорость движущегося тела в момент пуска часов (т. е. при t = 0) равна v₀ м/сек. Сокращенно записываем это в виде

Начальная скорость = v₀ м/сек при t = 0.

3) Скорость движущегося тела по прошествии t сек равна v м/сек, или

Конечная скорость = v м/сек.

4) Путь, пройденный за время t сек, равен s м.

Как уже было сказано, это лишь расшифровка принятых буквенных обозначений. Мы можем дать более связную формулировку: движущееся тело, начав двигаться со скоростью v₀, проходит расстояние s за время t с ускорением а и достигает конечной скорости v.

Соотношения. Теперь заставим поработать алгебру и получим с ее помощью ряд соотношений:

(1) v = v₀ + at,

УСКОРЕНИЕ а = Δv/Δt

= [ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (словарное определение),

= [КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ — НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (если ускорение постоянно),

= (v — v₀)/t

Последняя строка дает лишь среднее значение ускорения, только если ускорение непостоянно, как мы здесь предполагаем. Чтобы получить удобное выражение для конечной скорости v, нужно произвести перегруппировку величин по правилам алгебры. Исходя из равенства

a = (v — v₀)/t

которое мы считаем истинным, и умножая обе его части на t, мы приходим к выражению, в такой же степени справедливому:

a∙t = v — v₀.

Прибавляя к обеим частям этого равенства v₀, получаем еще одно уравнение, равносильное первому:

v₀ + at = v — v₀ + v₀ = v

или

v₀ + at = v

Поменяв местами обе части последнего равенства, получим

v = v₀ + at

Изменения, которым мы подвергли исходное равенство a = (v — v₀)/t, представляют собой лишь изменения, допускаемые правилами логики.

Полученный результат v = v₀ + at точно так же верен или неверен, как исходное равенство a = (v — v₀)/t. Мы видим в этом случае, что новая «формула» — это просто новый вариант прежнего отправного положения, поскольку она гласит:

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ∙ВРЕМЯ

_{Величина ПРИРАЩЕНИЯ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ должна равняться приращению скорости}

Согласно этой формулировке,

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ = КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ

Читателям, знакомым с алгеброй, это рассмотрение должно показаться излишне длинным. Можно было бы просто написать

a = (v — v₀)/t, следовательно, at = v — v₀, или v = v₀ + at.

Если же в выводе формул вы видите некое таинство, то это рассмотрение следует прочесть внимательно. Неопытный читатель может, пожалуй, ухватиться за высказанные нами слова в защиту алгебры, но дело не в этом; нужно отвыкнуть от ошибочных представлений об «истинности» формул или о том, что в выводе формул есть нечто таинственное.

(2) s = 1/2 (v + v₀)∙at

При экспериментальной проверке мы будем иметь дело с расстоянием, а не со скоростью. Чтобы выяснить, как соотношение между пройденным расстоянием и затраченным временем вытекает из нашего предположения о постоянном ускорении, нам надо знать расстояние при изменяющейся скорости. Руководствуясь здравым смыслом, мы приходим к предположению, что нужно пользоваться средней скоростью v^-, получаемой сложением начальной и конечной скоростей и делением их суммы на 2. Таким образом,

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ v^- = (v₀ + v)/2,

Мы пользуемся этой средней скоростью как неизменной величиной вместо реальной изменяющейся скорости и находим пройденное расстояние, умножая среднюю скорость на время. Таким образом,

РАССТОЯНИЕ s = v^-t,

или

s = 1/2 (v + v₀)∙at

В этом соотношении ускорение а не фигурирует. Тем не менее соотношение неверно, если ускорение непостоянно (см. задачу 6). Это выражение не простая перегруппировка прежнего выражения; оно содержит предположение относительно средней скорости. Это предположение (до сих пор оно было основано лишь на «здравом смысле») можно проверить с помощью математического анализа или изящного геометрического способа, предложенного еще Галилеем (см. задачу 6). Оба способа показывают, что при движении с постоянным ускорением такое употребление средней скорости правильно. Для других типов движения нужны какие-то иные способы усреднения, арифметическое среднее брать не годится[26]. Таким образом, наше предположение верно для движения с постоянным ускорением; мы используем его в качестве примера лишь постольку, поскольку знаем, что оно верно. Так, элементарное изложение приспосабливается для получения правильных результатов. Хотя это иногда неизбежно, такой подход оставляет, к сожалению, впечатление, будто ученый лишь выдвигает правдоподобные гипотезы, он не дает представления о том, как на самом деле ученый-естествоиспытатель осторожно нащупывает путь, подвергая свои предположения честной проверке. Поэтому вам необходимо изучить задачу 6.

(3) s = v₀∙t + (1/2)∙at²

Мы по-прежнему хотим выразить пройденное расстояние через время и ускорение, не пользуясь конечной скоростью. Мы получим это соотношение из выражений (1) и (2); с помощью одного из них мы найдем v и сможем поставить это полученное выражение вместо v в другом соотношении. Так,

s = 1/2 (v₀ + v)∙t или v = v₀ + at

следовательно,

s = 1/2 (v₀ + v₀ + at)∙t = 1/2 (2v₀ + at)∙t = (2v₀∙t)/2 + (at∙t)/2

Таким образом,

s = v₀∙t + (1/2)∙at²

Это соотношение удобно для экспериментальной проверки и описывает движение с постоянным ускорением.

Если отсчет времени начинается с момента, когда движущееся тело находится в состоянии покоя, то начальная скорость равна нулю, (v₀ = 0), и соотношение приобретает вид

s = (1/2)∙at²

Поскольку а постоянно, ¹/₂ а тоже постоянно, поэтому мы можем записать

s = (Постоянная)∙t², или s ~ t².

Таким образом, мы можем сказать: теория предсказывает, s ~ t² для движения, которое начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением. Говоря «теория предсказывает», мы имеем в виду, что, исходя из некоторых предположений и используя аппарат логического вывода (включая методы математики), мы как бы выразили эти предположения в несколько иной, новой форме. Если результаты эксперимента согласуются с этой новой формой, мы можем прийти к выводу, что наши предположения (и наш аппарат) «верны» или «подтверждены». Тем не менее зачастую мы не можем быть уверены в том, что выбранные нами предположения дают единственно возможное правильное объяснение. Осторожнее было бы сказать, что пока наши предположения соответствуют фактам.

Если в опытах с падающими телами вы обнаруживаете, что расстояния и промежутки времени с достаточной точностью удовлетворяют соотношению s ~ t², то можете сказать, что они удовлетворяют соотношению, предсказанному для движения с постоянным ускорением. Вы могли бы сказать, что падающие тела, по-видимому, движутся с постоянным ускорением. Производя опыты с шарами, скатывающимися вниз по наклонной плоскости, Галилей установил, что пройденные расстояния и промежутки времени довольно хорошо соответствуют соотношению s ~ t². Иначе говоря, измеренные Галилеем величины находились в согласии с его предсказанием, основанным на предположении о постоянстве ускорения.

Заметим, что эксперименты не подтвердили правильность этой формулы для движения с постоянным ускорением. Сама формула по необходимости, в силу законов логики, верна для любого движения с неизменным ускорением. Эксперименты показывают лишь, что движение скатывающихся тел в согласии с формулой (вероятно) происходит с постоянным ускорением. Сопоставляя экспериментальные данные с этой формулой, мы можем узнать кое-что о свойствах природы.

Вывод формулы, о которой идет речь, распадается на следующие этапы:

Определение ускорения: мы придумали эту величину, выбрали для нее название и затем стали ею пользоваться.

Выбор для анализа движения с постоянным ускорением. Этот выбор — один из возможных подходов к изучению действительного движения падающих тел. После того как выбор сделан, он позволяет двигаться дальше с помощью алгебры. Делая такой выбор, мы ничего не узнаем о свойствах природы.

Алгебра — своего рода логический автомат. Математика не рождает научные факты, хотя и помогает обнаруживать их.

Предположение, основанное на доводах здравого смысла, согласно которому в качестве v^- следует взять величину (v₀ + v)/2. Это предположение можно подтвердить для движения с неизменным ускорением геометрическими соображениями Галлилея или методами математического анализа.

Снова алгебра

Результат: удобное для экспериментальной проверки соотношение, выведенное исходя из наших предположений.

(4) v² = v²₀ + 2as [Соотношение в этой форме нам еще долго не потребуется. Этот раздел можно временно отложить.]

Мы можем использовать алгебру дальше, заставить наш автомат сделать еще несколько оборотов и получить другие варианты формул. У нас уже есть три соотношения, в которые

а) входят v, v₀, a, t, но не входит расстояние s;

б) входят s, v, v₀, t, но не входит ускорение а;

в) входят s, v₀, а, t, но не входит конечная скорость v.

Впоследствии нам понадобится соотношение, выражающее v через v₀, a, s и не содержащее время t в явном виде. Поскольку мы хотим, чтобы в это соотношение не входило t, мы можем получить его из любых двух прежних соотношений, исключая t. Например, можно использовать соотношения (1) и (3).

В этом случае v = v₀ + 2at дает t = (v — v₀)/a, и, подставляя это выражение в соотношение

s = v₀∙t = (1/2)∙at²

получаем

Приводит ли это соотношение к формуле (4)? Да, если вы наберетесь смелости и воспользуетесь правилами алгебры. Для этого вам придется возводить в квадрат и умножать обе части равенства на одну и ту же величину, перегруппировывать члены и производить упрощение. Вычисления будут громоздкими, но в конечном счете вы получите для v² выражение v²₀ + 2as. Попробуйте, если хотите, проделать эти вычисления.

Математику свойственно ярко выраженное поэтическое чувство формы математического языка, поэтому он счел бы приведенный выше метод чудовищно громоздким. Он сказал бы: «Имеется более изящный вывод…» и получил бы ответ быстро и красиво. Нематематиков, наблюдающих за его действиями, поразит превосходство его знаний, а атмосфера таинства может вызвать даже чувство досады. На самом же деле все обстоит значительно проще. Математик — только человек и, как любой другой исследователь, находит правильный путь в результате нескольких попыток, хотя простые задачи могут быть проделаны уже прежде и просто храниться в его памяти как «математический здравый смысл». Найдя ответ любым методом, громоздким или нет, математик может попытаться действовать от полученного результата, стремясь найти более изящный способ решения, подобно альпинисту, ищущему лучший путь восхождения. В этом нет греха, но математик часто забывает рассказать неспециалисту о той работе, которую он уже проделал прежде, и поражает его изящным методом, как бы извлеченным тут же из кармана. Давайте попробуем провести такой аналитический поиск, размышляя все время вслух. Ответ, который мы хотим получить, представляет собой выражение v² = v²₀ + 2as, полученное в результате утомительных и нудных алгебраических выкладок. Попробуем раскрыть это выражение. Можно ли, судя по его виду, легко видоизменить его путем алгебраических преобразований? Можно ли каким-то очевидным образом упростить или расчленить его? Нет, нельзя. Тогда придется действовать по-другому. Попробуем произвести перенос из одной части равенства в другую. Мы можем прийти к выражению v² — v²₀ = 2as. Можно ли, воспользовавшись методами алгебры, без большого труда сделать что-нибудь с этим выражением? Оказывается, можно. Левая часть этого равенства, содержащая множители (v + v₀)(v — v₀), нам давно знакома. Можно было бы составить левую часть равенства из этих множителей, если бы нам удалось каким-нибудь образом определить их по отдельности. Но где мы видели уже выражение (v + v₀)? Мы встречались раньше с этим множителем в соотношении (2); s = 1/2(v + v₀)t. Значит, v + v₀= 2s/t. А где мы встречались с величиной (v — v₀)? В определении ускорения, которое мы записали в виде a = (v — v₀)/t. Следовательно, (v — v₀) = at. Теперь нам нужно получить величину v² — v²₀, для этого достаточно перемножить (v + v₀) и (v — v₀). Воспользуемся с этой целью соотношениями (v + v₀) = 2s/t и (v — v₀) = at:

(v + v₀)(v — v₀) = 2s/t (at)

Таким образом, (v² — v²₀) = 2as, что приводит к нужной нам форме записи.

Теперь, располагая изложенным методом, к которому мы пришли в результате анализа, опустим детали наших изысканий и начнем снова.

Чтобы вывести соотношение v² = v²₀ + 2as изящным методом, начнем с определения ускорения

a = (v — v₀)/t

и с формулы, выражающей пройденный путь через среднюю скорость s = 1/2(v + v₀)t, и просто перемножим оба эти уравнения. Мы получим соотношение a∙s = 1/2(v² — v²₀), которое приводит к выражению

v² = v²₀ + 2as

Вот четыре соотношения между величинами v, v₀, a, s и t:

v = v₀ + at, s = 1/2(v + v₀)t, s = v₀t + (1/2)at², v² = v²₀ + 2as

Эти соотношения позволяют быстро вычислить значение любой входящей в них величины, если известны значения трех других величин.

Алгебра позволяет вычислить результирующий путь

Числовым значениям необходимо придавать подходящие знаки + и —. Например, если начальная скорость движущегося тела равна 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение составляет 1 м/сек/сек и направлено тоже на восток, то мы можем записать v₀ = +3 и а = +1. Если же v₀ = 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение в противоположном направлении равно 1 м/сек/сек к западу, то одна из этих величин должна записываться со знаком минус. Если мы говорим, что v₀ = +3, то мы должны записать а = —1, используя знак плюс для скорости, ускорения и пройденного пути в направлении на восток, а знак минус для перечисленных величин, направленных на запад. Тогда s будет равно результирующему расстоянию, пройденному за время t, а не арифметической сумме перемещений в западном и восточном направлениях. Это происходит потому, что при вычислении каждого отрезка пути мы приписываем знак плюс перемещениям в направлении на восток, а знак минус перемещениям на запад, и когда мы складываем эти отрезки пути со знаками + и —, стремясь найти s, то в соответствии с правилами алгебры получим результирующую разность перемещений. При v₀ = +3 и а = —1 движение будет замедленным: тело движется все медленнее и медленнее вперед в течение 3 сек, останавливается, а затем движется все быстрее и быстрее в обратном направлении. Через 5 сек траектория движения будет такой, как показано на фиг. 13: тело переместится на 4,5 м вперед, затем на 2 м назад, и результирующее перемещение будет равно 2,5 м.

Фиг. 13. Результирующее пройденное расстояние s.

Алгебра дает

Таким образом, s всегда означает результирующее расстояние, пройденное от старта до финиша.

Приведенные выше соотношения — это лишь инструменты, а не разделы науки, имеющие жизненно важное значение. Эти соотношения абсолютно верны для движения с постоянным ускорением и отнюдь не достоверны для других движений. Только эксперимент может сказать нам, в каких случаях они применимы к реальным явлениям окружающего мира.

Задача 6. Доказательство без математического анализа

Галилей не имел возможности воспользоваться математическим анализом, он предпочитал геометрию и рассматривал равномерно ускоренное движение следующим образом. Представим себе график скорости движущегося тела, откладываемый по вертикали в зависимости от времени, откладываемого по горизонтали. Если, тело движется с постоянным ускорением, его скорость должна возрастать с течением времени равномерно. График скорости должен представлять собой прямую линию. Она не обязательно должна проходить через начало координат, она может идти от начальной скорости v₀ при t = 0, достигая некоторого значения v в момент времени t.

Посмотрим теперь, что произойдет за некоторый очень короткий промежуток времени Δt, когда скорость равна, скажем, v₁. (Разумеется, v все время возрастает, но мы можем в качестве v₁ взять среднее за короткий промежуток времени Δt.) Тогда тело проходит за этот промежуток времени расстояние [(v₁)∙(Δt)]. Но на графике величина [(v₁)∙(Δt)]— это произведение [(высота)∙(ширина)] маленькой вертикальной полоски с основанием Δt, доходящей до прямой, которая представляет собой наш график. На фиг. 14, а площадь этой вертикальной полоски заштрихована.

Следовательно, полное расстояние, пройденное телом, определяется полной площадью всех таких вертикальных полосок, т. е. заштрихованной площадью на фиг. 14, б.

1) Если, как показано на фиг. 14, б, боковые стороны заштрихованной геометрической фигуры равны v₀ и v, а основание — промежутку времени t, то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши геометрические соображения.)

2) Если боковые стороны равны v₀ и v + at (что следует из определения ускорения), то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши рассуждения.)

3) Запишите ответы на первые два вопроса в виде выражений для s — расстояния, пройденного телом за время t.

4) Предположим теперь, что ускорение не постоянно, а, начиная с некоторого меньшего значения, возрастает до некоторого большего значения, так что скорость по-прежнему изменяется за время t от v₀ до v, но не равномерно.

а) Начертите новый график для этого случая.

б) Будут ли для него применимы выражения, полученные в качестве ответа на вопросы 1 и 2?

в) Какое слабое место было в прежних рассуждениях в приложении I, основанных на алгебре, которое теперь отсутствует?

Фиг. 14. К задаче 6.

Задача 7. Доказательство с помощью математического анализа

В пределе скорость v представляет собой изменение расстояния в единицу времени ds/dt, а ускорение а — изменение скорости в единицу времени dv/dt, или d/dt(ds/dt), или d²s/dt². Покажите, что если а постоянно, то справедливо каждое из следующих утверждений:

1) интегрирование dv/dt = a приводит к выражению v = v₀ + at (где v₀ — постоянная, значение v в момент времени t = 0);

2) интегрирование соотношения v = v₀ + at приводит к соотношению s = v₀t + ¹/₂at² (Указание. Вспомните, что v = ds/dt);

3) интегрирование dv/dt = a приводит к соотношению v² = v²₀ + 2as. (Указание. Попробуйте умножить обе части этого соотношения на v.)

Задача 8. Графики движения

На фиг. 15 показаны расположенные друг под другом три графика движения предмета по прямой. График I изображает зависимость пройденного расстояния от времени; график II — зависимость скорости от времени; график III — зависимость ускорения от времени. На всех трех графиках масштаб времени одинаков, а начало координат лежит на одной вертикальной прямой. Изображенные графики относятся к движению предмета с постоянным ускорением, начинающемуся при s = 0 (показано буквой А) и скорости v = 0 (показано буквой В) в момент времени t = 0. Для более сложных движений все три линии могут быть кривыми.

1) В общем случае произвольного движения график одной или более величин может быть получен из графика для некоторой другой из трех указанных величин по значениям наклона касательных. Какой (каких) именно? Объясните, почему.

Фиг. 15. К задаче 8.

2) В общем случае график одной или более величин может быть получен из графика другой из трех величин путем измерения площади под кривыми. Какой (каких) именно? Объясните, почему.

3) Мотоциклист стартует из положения покоя и движется в течение 6 сек с ускорением 4,5 м/сек²; в течение 10 сек он движется с постоянной скоростью, а затем тормозит и останавливается за 4 сек, двигаясь с постоянным замедлением. Начертите для этого движения три графика: I, II, III,

4) На фиг. 16 показан график II для движения автомобиля. Перечертите его и добавьте графики I и III.

Фиг. 16.

5) На фиг. 17 показан график III для движения тележки. Перерисуйте его и добавьте графики I и II.

Фиг. 17.

6) На фиг. 18 показан график I для движения груза длинного маятника по его траектории, близкой к прямой. Перерисуйте его и добавьте графики II и III. (Задача сложная. Над ней стоит как следует подумать.)

Фиг. 18.

ПРИЛОЖЕНИЕ II. ИЗМЕРЕНИЕ g

Мы, не задумываясь, объявили, что значение g равно 9,8 м/сек², но это значение появилось в результате лабораторных измерений. Вы будете пользоваться им для простых вычислений, связанных с падением тел, и для вычисления сил, которое имеет важное значение, когда g рассматривают как напряженность поля силы тяжести. Это столь полезная величина, что прежде, чем пользоваться ею, стоит посмотреть, как измеряется ее значение. Грубую оценку можно было бы сделать при помощи камня, секундомера и метрового куска веревки.

Задача 9. Приближенное измерение g

Экспериментатор бросает большой камень из окна 14-этажного дома и устанавливает, что камень достигает поверхности земли за время «чуть» больше 3 сек. Считая, что окно находится на высоте примерно 46 м над землей, оцените значение g в м/сек².

Более точное измерение можно проделать с помощью электрических часов, как показано на фиг. 19; вам следовало бы посмотреть такой опыт. Для очень точных измерений потребовалось бы прибегнуть к упомянутому уже эксперименту, в котором устранено трение и берется серия падений.

Фиг. 19. Измерение g.

Задача 10.Более точное измерение g

Металлический шар свободно падает с высоты потолка на пол. У потолка шар удерживается двумя металлическими штырями так, что замыкается электрическая цепь, и ток препятствует пуску электрических часов. Внезапно шар отпускают, и часы начинают отсчитывать время. Достигнув пола, шар соединяет две легкие металлические пластины, и замыкает другую электрическую цепь, в результате чего часы останавливаются. В реальном эксперименте шар падал с высоты 7 м, считая от верхних до нижних контактов, часы в это время отсчитали 1,20 сек.

а) Оцените значение g, используя приведенные данные,

б) Расскажите, какие предположения вы, сделали для этой оценки относительно типа движения и какими приборами вы пользовались, опишите ход эксперимента. (Укажите детали; старайтесь не употреблять шаблонных выражений вроде «точные приборы» или «избежать ошибок наблюдателя».)

Значение g в различных пунктах земного шара

Значение g было весьма точно измерено в нескольких метрологических лабораториях. Сравнительные измерения дали точные значения g во многих местах по всей Земле.

В обычных расчетах при решении задач и выполнении опытов следует пользоваться приближенным значением g = 9,8 м/сек/сек.

Арифметические задачи на свободное падение тел. Задачи с решениями

Если известно значение g, то можно производить простые расчеты для случая полета камней, стрел и т. д. В физике иногда пользуются такими расчетами при проектировании приборов или при выполнении опытов, но они не представляют собой важного раздела физики. В элементарных учебниках и на экзаменах этим расчетам придают большое значение, «поскольку они позволяют лучше понять ускоренное движение». Студенты, научившись механически решать подобные задачи, могут лишь приобрести вредное представление, будто «физика состоит из подстановки чисел в формулы». Мы хотим избежать этого нелепого представления о науке и не предлагали бы вам в этом курсе таких задач, если бы не два обстоятельства: во-первых, вы можете столкнуться с аналогичными вычислениями, которые имеют важное значение в атомной физике; во-вторых, эти расчеты покажут вам, какое место занимает математика в физике. По этим двум причинам мы рекомендуем проработать задачи 11–14. При этом, даже если вы в результате прежних занятий стали убежденным поклонником формул, лучше опустить эти задачи, пока уровень вашей подготовки не будет достаточен для критического анализа.

Задачи 11–14 снабжены решениями, хотя арифметические расчеты не приведены. Вычисления рекомендуется выполнять шаг за шагом на машинописных копиях текста задач. Эта методика — вы встретитесь с ней несколько раз на протяжении нашего курса — рассчитана на то, чтобы дать вам возможность приобрести навыки для самостоятельного решения задач, приведенных в конце приложения II. Заметьте, что, упрощая дело до такой степени (это может вам показаться даже обидным), мы имеем в виду помочь вам математикой, но не избавить от размышлений над физическим содержанием задачи. Прорабатывая предложенные задачи, забудьте о том, что вы хотите узнать какой-то метод их решения, а сосредоточьте внимание на получающихся физических результатах.

Проработайте предлагаемые ниже задачи на ускоренное движение, для чего перепечатайте на машинке или перепишите от руки текст, заполняя пропуски, оставленные для ответов. Вы научитесь решать подобные задачи, и, мы надеемся, вам будет приятно познакомиться с применением математики в физике. Вы увидите, что математика — это верный слуга, который, правда, иногда обнаруживает отсутствие сообразительности и выполняет данные ему приказания, ни с чем не считаясь.

Задача 11

Камень падает из состояния покоя с постоянным ускорением 9,8 м/сек/сек. (Дано: ускорение постоянно, сопротивлением воздуха в данном случае пренебречь.)

а) Какова будет скорость камня через 3 сек после начала падения?

б) Какое расстояние пролетит камень за 3 сек?

А. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость камня увеличивается на ____∙____ (единиц) за каждую секунду.

За 3 сек падения приращение скорости камня составит ____ м/сек.

Поскольку камень начинает падать из состояния покоя, его конечная скорость равна ____ м/сек.

б) Скорость возрастает от ____ м/сек (в начале движения) до ____ м/сек.

Средняя скорость равна ¹/₂ (____ + ____) или ____ м/сек.

Расстояние, пройденное с такой средней скоростью а 3 сек, равно (____)∙(____), или ____ м.

Б. Алгебраический метод

а) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек; время t = 3 сек, начальная скорость v₀ = 0. Подставляя эти значения в формулу v = v₀  + at, получаем

Конечная скорость v = ___ + ___ = ____ м/сек.

б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s получаем s = v₀t + ¹/₂at², получаем s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м

Примечание. Пользуясь методами алгебры, всегда сначала записывайте «формулу», как это было сделано выше. Кроме того, выписывая значения, которые ей собираетесь подставлять в формулу, записывайте после числа соответствующие наименования. Например, «t = 3 сек», а не «t = 3».

Задача 12

Мяч выпускают из рук со скоростью 3 м/сек и предоставляют ему возможность свободно падать в момент пуска часов.

а) Какова будет скорость мяча через 3 сек падения?

б) Какой путь пролетит мяч за 3 сек?

А. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/сек/сек означает, что скорость мяча возрастает на ____ (единиц) за каждую секунду.

За 3 сек падения приращение скорости мяча составит ____ м/сек.

Поскольку начальная скорость мяча равна 8 м/сек и направлена вниз, его конечная скорость будет равна ____ м/сек.

б) Скорость возрастает от____ м/сек в начале движения до конечной скорости _____ м/сек.

Средняя скорость равна [(____) + (____)]/2 или ____ м/сек.

Расстояние, которое мяч пролетит за 3 сек, обладая этой средней скоростью, равно ____ м.

А. Алгебраический метод

а) Ускорение а = 9,8 м/сек/сек направлено вниз; начальная скорость v₀ = 3 м/сек направлена вниз; время перемещения t = 3 сек.

Подставляя эти значения в формулу v = v₀ + at, получаем

Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек.

б) Подставляя приведенные выше значения в формулу s = v₀t + ¹/₂at², получаем:

Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ м

Задача 13

Находясь на верху башни, человек бросает вверх мяч со скоростью 3 м/сек в момент пуска часов.

а) Какова будет скорость мяча по прошествии 3 сек?

б) На сколько ниже начальной точки своего движения окажется дающий мяч через 3 сек?

Замечание. В этом случае мяч движется сначала вверх, причем все более и более медленно, обладая направленным вниз ускорением 9,8 м/сек/сек, что равносильно направленному вверх замедлению. Мяч достигает наивысшей точки движения (обладая тем же самым направленным вниз ускорением), после чего он падает (по-прежнему с тем же самым направленным вниз ускорением). В вопросах (а) и (б) ничего не говорится о наивысшей точке движения, и если ускорению и скорости приписать знаки + и — для направлений вниз и вверх, то алгебраический метод позволит правильно учесть переход через наивысшую точку и даст результирующее расстояния s. Поэтому, несмотря на то, что вам, может быть, показали методы, в которых сначала нужно вычислить длину пути до наивысшей точки, а затем перемещение вниз, не пользуйтесь этими методами — обратите внимание на приводимые ниже соображения.)

A. Арифметический метод

а) Ускорение 9,8 м/cек/сек означает, что за каждую секунду приращение направленной вниз скорости мяча составляет ____ ____.

Приращение направленной вниз скорости мяча за 3 сек составляет ____ м/сек. Но начальная скорость мяча равна 3 м/сек и направлена вверх, поэтому если учесть приращение скорости, направленной вниз, то конечная скорость мяча должна быть равна ____ м/сек и направлена вниз.

б) Чтобы вычислить результирующее расстояние, пройденное мячом при падении, необходимо знать среднюю скорость, направленную вниз.

Скорость мяча сначала направлена вверх, а в конце рассматриваемого промежутка времени — вниз. Чтобы правильно найти среднюю скорость, мы не можем просто сложить два числа, выражающие значение скорости, и разделить полученный результат пополам, так нужно было бы сделать, если бы мяч был брошен вниз, как в предыдущей задаче.

Б. Алгебраический метод

Ускорение а = +9,8 м/сек/сек (плюс означает «вниз»), начальная скорость v₀ = -3 м/сек (минус, поскольку скорость направлена вверх), время перемещения t = 3 сек.

а) Подстановка в формулу v = v₀ + at дает

Конечная скорость v = ____ + ____ = ____ м/сек.

б) Подстановка в формулу s = v₀t + ¹/₂at² дает

Расстояние s = ____ + ¹/₂ _____ = ____ (вверх?/вниз?).

Задача 14 (самая важная)

На дереве на высоте 15 м над землей сидит птица. Человек, стоящий на земле как раз под нею, бросает в птицу вертикально вверх камень, сообщая ему начальную скорость 20 м/сек, направленную вверх.

Через какой промежуток времени камень достигнет птицы?

А. Арифметический метод

Решение, основанное на правилах арифметики и соображениях здравого смысла или каком-либо одном из этих способов, оказывается, почти безнадежно громоздким. Можно било бы определить, где находится «наивысшая точка» и когда она будет достигнута, а затем, решать задачу, отправляясь от этой точки. Алгебраический метод более удобный и более интересный. Трудность заключается в том, что неизвестна скорость камня в момент, когда он достигнет птицы.

Б. Алгебраический метод

Здесь мы должны условиться о различии между направлениями вверх и вниз. Неважно, какому из них вы припишете знак +, пока вы будете придерживаться, сделанного выбора. (Испробуйте оба варианта: вы придете к одним и тем же уравнениям и получите одни и те же ответы в обоих случаях.) Представляется более удобным приписать знак + всем расстояниям, скоростям и ускорениям, направленным вверх. Мы будем решать задачу при этом условии. В этом случае (направленное вниз) ускорение следует записать в виде -9,8 м/сек/сек.

Тогда v₀ = +20 м/сек; s = +15 м; а = -9,8 м/сек/сек. Мы хотим определить время t, за которое камень достигнет птицы, сидящей на высоте 15 м над землей.

Подстановка в соотношение s = v₀t + ¹/₂at² дает

____ = (____)t + ¹/₂(____)t².

Это обычное квадратное уравнение. Подобно решению всякого квадратного уравнения, решение его дает два ответа. Упростите и решите его любым методом.

Ответы: t = ____ сек, или t = ____ сек. Один ответ дает время полета брошенного камня до попадания в птицу. Выскажите свои соображения о значении другого ответа.

Каким образом наш верный слуга — математика при столь ограниченных указаниях мог бы поступить иначе, чем дать оба ответа?

Еще одна задача, подобная задаче 14. Попробуйте решить эту задачу, воспользовавшись методами, о которых говорилось в задачах 11–14, и приводимыми ниже указаниями. Если задача покажется вам слишком трудной, оставьте ее.

Задача 15. Двойные ответы

Человек, стоя на верху башни, бросает вверх камень с начальной скоростью 9,8 м/сек, направленной вверх. Рука человека находится на высоте 16 м над поверхностью земли.

а) Черев какой промежуток времени камень упадет на землю?

[Указание. Необходимо пользоваться знаками + и —. Если выбирать знак + для направления вверх, то ускорение должно иметь отрицательное значение, а расстояние s от руки до поверхности земли, направленное вниз, тоже должно иметь отрицательное значение; что касается начальной скорости, то она будет со знаком +. Если, испытывая отвращение к отрицательным знакам, вы выберете для величин, направленных вниз, знак +, то получите те же уравнения и те же ответы. Испробуйте, если хотите, оба варианта, но не смешивайте их в одном и том же расчете.]

б) Вы опять-таки получите квадратное уравнение, решение которого приводит к двум ответам. Попробуйте сформулировать смысл «другого ответа». При этом задайте себе вопрос: «Была ли когда-нибудь математическая машина информирована о том, что человек действительно бросил камень?».

Фиг. 20. К задаче 15.

Простые задачи на свободное падение (сопротивлением воздуха пренебречь).

При решении задач на ускоренное движение целесообразно привести в порядок данные, с которыми вы будете иметь дело (так поступает хороший инженер). Удобно свести эти данные в таблицу, подобную приведенной, и ставить вопросительный знак против искомых величин, а крестом отмечать величины, которые вам неизвестны и не нужны. (Показанная таблица составлена применительно к задаче 18.)

Тогда вам сразу будет видно, каким алгебраическим соотношением удобнее воспользоваться. (В этом примере следует воспользоваться соотношением, которое не содержит значения s.)

Задача 16

С вертолета, неподвижно висящего над землей, сбрасывают небольшой мешок с почтой.

а) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек?

б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды?

Задача 17. Свободное падение с движущегося объекта

С вертолета, опускающегося с постоянной скоростью 1,5 м/сек, сбрасывают небольшой мешок с почтой.

а) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек?

б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды?

в) На каком расстоянии от вертолета окажется мешок к концу второй секунды?

Задача 18

С вертолета, поднимающегося вверх с постоянной скоростью 1,5 м/сек, сбрасывают небольшой мешок с почтой.

а) Какова будет скорость мешка спустя 2 сек?

б) Какое расстояние пролетит мешок к концу второй секунды?

в) На каком расстоянии от вертолета окажется мешок к концу второй секунды?

Задача 19. Свободное падение с движущегося предмета

Какое общее свойство можно отметить, рассматривая ответы к задачам 16–18?

Задача 20. (Ответ потребуется для решения последующих задач)

Человек, стоящий на высоте 1,3 м над полом, оступается и падает.

а) Через сколько времени он упадет?

б) Какова будет его скорость непосредственно перед ударом о пол?

Задача 21. Торможение автомобиля

Автомобиль с гладкими шинами на мокром шоссе может развить ускорение ¹/₅ g и не более. (Чтобы двигаться с ускорением, автомобиль должен испытывать действие какого-то реального, приложенного извне толкающего усилия. Это усилие исходит от дороги, толкающей автомобиль благодаря трению. При шинах с гладким протектором трение может обеспечить ускорение до g/5; при попытке добиться большего ускорения колеса начнут проскальзывать, и трение станет еще меньше, что приведет к еще меньшему ускорению.)

а) Какую скорость разовьет автомобиль через 4 сек при указанном максимальном ускорении?

б) Какое расстояние пройдет автомобиль за 4 сек после начала движения из состояния покоя?

Задача 22. Торможение автомобиля и безопасность

Автомобиль с хорошими тормозами, но с гладкими шинами на мокром шоссе может обладать замедлением при торможении не более ¹/₅ g (см. задачу 21). Рассмотрите торможение этого автомобиля, ответив на следующие вопроси:

1) Ведя автомобиль со скоростью 36 км/час (=10 м/сек), шофер реагирует на замеченную опасность через 1 сек, принимает решение остановить автомобиль, включает тормоза и старается обеспечить максимальное замедление.

а) Какое расстояние пройдет автомобиль за 1 сек перед торможением?

б) Сколько времени должен действовать тормоз, чтобы скорость автомобиля снизилась с 36 км/час до нуля?

в) Какое расстояние пройдет автомобиль за период торможения?

г) Какое расстояние пройдет автомобиль а момента, когда шофер заметил опасность, до остановки?

2) Предположим, что скорость автомобиля вдвое больше, т. е. 72 км/час.

Какой путь пройдет автомобиль за время, указанное в пункте (г)?

3) Автомобиль движется со скоростью 36 км/час, шофер (после секундного размышления и т. д.) нажимает на тормоз так, что шины начинают скользить, трение становится меньше и замедление составляет всего g/8.

Какое расстояние пройдет автомобиль до полной остановки? (Трение скольжения, когда автомобиль движется юзом, создает меньшее максимальное усилие, чем трение без проскальзывания.)

4) Максимальное замедление автомобиля с новыми шинами на сухом бетоне составляет g/2. (Трение резины о бетон может обеспечить значительно большее замедление, но большинство тормозных механизмов непригодно для этого.) Вычислите для этого случая полную длину тормозного пути автомобиля, двигавшегося со скоростью 36 км/час.

Задача 23. Значение g в движущейся лаборатории

Современные портативные приборы для измерения времени позволяют отмечать время свободного падения 1–2 м из состояния покоя с точностью, достаточной для определения величины g с ошибкой не более 1 %. Предположим, что такой прибор дает значение g = 9,8 м/сек². Что, по вашему мнению, показал бы, такой прибор, если использовать его в следующих условиях:

а) В вагоне поезда, движущегося плавно с постоянной скоростью на горизонтальном участке пути? (Что произойдет, если уронить апельсин в движущемся поезде?)

б) В лифте, движущемся вниз с постоянной скоростью? (Подумайте…)

б) В лифте, свободно падающем после обрыва троса?

г) В лифте, движущемся вниз с ускорением 4,9 м/сек²?

д) В лифте, движущемся вверх с ускорением 4,9 м/сек²?

Задача 24

За какое время тело, свободно падающее из состояния покоя, пролетит 120 м?

Задача 25

Мяч брошен вверх со скоростью 24 м/сек. На какую высоту он поднимется?

Задача 26

Геолог обнаруживает в скалистой горе глубокую расщелину. Он бросает в нее камень и через 4 сек слышит звук удара камня о дно расщелины.

а) Оцените глубину расщелины,

б) Выскажите свои соображения о точности этого метода.

Задача 27

Камень, брошенный вертикально вверх с начальной скоростью 12 м/сек, через 1 сек попадает в птицу.

а) На какой высоте находится птица над человеком, бросившим камень?

б) Время 1,5 сек приводит к такому же ответу при определении высоты, на которой находится птица. Дайте физическое обоснование этой двойственности.

Задача 28

Зачем нужна электрическая лампочка (или какое-нибудь другое сопротивление) в схеме, изображенной на фиг. 19 (см. задачу 10)?

Задача 29

В опыте, о котором идет речь в задаче 10, могут встретиться следующие трудности:

1) При пуске часов отсчет времени, может начаться с опозданием на несколько десятых секунды.

2) При остановке часов прекращение отсчета времени может произойти с опозданием на несколько десятых секунды.

3) Штыри, прижимающие шар и удерживающие его у потолка, могут сообщить шару, когда его отпускают, небольшой толчок, направленный вниз.

4) Заметную роль может сыграть сопротивление воздуха.

а) Укажите для каждого из факторов 1–4 (считая его единственным действующим фактором), приведет ли он к завышенному или заниженному значению g; дайте краткое обоснование вашего ответа,

б) Что произойдет, если факторы 1 и 2 действуют одновременно и примерно одинаково?

в) Предложите эксперименты, с помощью которых можно было бы проверить действие каждого из мешающих факторов 1 и 2. Опишите их, снабдив где можно, эскизами.

Можно поступить еще проще, выбрав исходную точку ниже, ближе к полу. Если камни А и В ударятся об пол одновременно, независимо от того, с какой высоты они сброшены, то можно с уверенностью сказать, что оба камня в своем перемещении вниз все время находятся на одном уровне. Обратите внимание, как несколькими последовательными опытами можно заменить сложный комплекс одновременных наблюдений. Полагаясь на вывод, сделанный на основе такой серии опытов, мы исходим из предположения о «единстве природы».

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ

Опыт 1. Вертикальное и горизонтальное движения не зависят одно от другого. На фиг. 25 показан простой демонстрационный опыт: два металлических шарика выпускаются при помощи небольшой дружинной пушки. Пушка с пружиной сообщает металлическому шарику горизонтальную скорость; в тот же момент другой шарик освобождается и начинает свободно падать. Защелка освобождает толкатель, который под действием сжатой пружины движется в сторону шарика, свободно лежащего на опоре. Когда толкатель ударяет по шарику, сообщая ему горизонтальную скорость, левый конец толкателя выходит из канала внутри второго шарика, который начинает свободно падать. Оба шарика падают подобно камням А и В, о которых говорилось выше. Советуем вам внимательно последить за этим опытом и попросить, чтобы его повторили для разных высот.

Фиг. 25. Демонстрационный опыт.

Опыт 2. Горизонтальное движение остается неизменным. Летящий снаряд движется по вертикали с ускорением силы тяжести совершенно независимо от его горизонтального движения. Какова особенность горизонтального движения?

Симметричная траектория движения камня или шара дает основание считать, что горизонтальное движение не замедляется, иначе траектория походила бы скорее на кривую b на фиг. 21. Галилей, восставая против средневековых представлений, согласно которым для поддержания любого движения необходимо непрерывно прилагать силу (будь то сила земного тяготения, «нечистая сила» или порыв ветра), высказал предположение, что горизонтальное движение остается неизменным, поскольку отсутствует тяговое усилие, подобное силе земного тяготения, которое бы ускоряло или замедляло его. В одной из последующих глав вы увидите, как Галилей пришел к этому выводу путем теоретических рассуждений.

Можно непосредственно проверить это предположение ^[*^].

* * *

^[*^] _{Полезно было бы посмотреть такой опыт. Струя из водяных капелек выпускается из форсунки и освещается вспышками света, которые повторяются с такой же частотой, как импульсы форсунки. Этот эффект можно наблюдать в кино при изображении вращающегося колеса телеги, когда промежуток времени между кадрами оказывается как раз достаточным для поворота колеса на угол, образуемый двумя спицами; при этом спицы движутся «все вместе» между кадрами, и изображение на экране кажется неподвижным. Колесо как бы проскальзывает не вращаясь. Если увеличить скорость вращения колеса на 10 % (или замедлить съемку, то будет казаться, что колесо вращается, но со скоростью, разной примерно ¹/10 действительной скорости. В кино этот эффект нежелателен, однако в физике или технике такое прерывистое, или стробоскопическое, освещение часто используют, чтобы «заморозить», или замедлить, быстрое движение одинаковых предметов — спиц колеса или капелек воды. Подобное освещение можно использовать при изучении быстрых колебаний (например, звонка или струны скрипки). На фиг. 27 показана схема опыта с водяными капельками.}

_{Фиг. 27. Стробоскопическое освещение потока водяных капелек.}

_{Вода поступает из резервуара к небольшому стеклянному соплу по резиновой трубке, которая зажимается электромагнитом. Электромагнит, питаемый переменным током, сжимает трубку 120 раз в секунду (дважды за период переменного тока), в результате чего возникает струя из капелек, испускаемых с частотой 120 капелек в секунду. Струя освещается небольшим фонарем и располагается перед экраном, отбрасывая на него тень. При постоянном освещении струя кажется непрерывной. Если же между фонарем и струей расположить вращающийся непрозрачный диск с прорезью, то при освещении проходящими через прорезь вспышками света будут видны отдельные капельки. Диск с прорезью может приводиться во вращение синхронным двигателем, работающим от сети переменного тока. Тогда вспышки света будут синхронны с появлением капелек, и картина станет неподвижной. Для измерений на экран можно, кроме того, спроецировать прямоугольную сетку из проволоки.}

_{В простом демонстрационном опыте можно рассматривать движение шариков или водяных капель перед классной доской, вычертить и проанализировать криволинейную траекторию движения. Вы можете проделать опыт и самостоятельно, скатывая шарик по наклонной плоскости, когда он совершает движение под действием некоторой доли силы тяжести. На фиг. 28 показана схема такого опыта.}

_{Фиг. 28. Демонстрация и анализ движения тела, находящегося под действием некоторой доли силы тяжести.}

_{а — шар катится по наклонной плоскости; б — траектория движения шара, записанная на бумаге.}

_{Шарик движется поперек и одновременно скатывается вниз по наклонной плоскости, оставляя след при движении (для этого использована копировальная бумага). Чтобы произвести анализ движения, изобразите на листе бумаги, на котором вычерчена траектория движения, прямые с координатами}

_{x2 = 2x1, x3 = 3x1}

_{Измерьте y1, y2 и т. д. и проверьте, выполняются ли соотношения}

_{y2 = 2²y1, y2 = 3²y1 и т. д.}

* * *

На фиг. 26 показана фотография шарика, брошенного в воздух, полученная при помощи серии коротких световых вспышек, следующих через равные промежутки времени.

Фиг. 26. Траектория летящего тела, сфотографированного при помощи световых вспышек.

Произведите сами измерения по траектории на фотографии, проведя линии А₁В₁, A₂B₂, A₃B₃. Вы увидите, что линии разделены равными промежутками: A₁A₂ = A₂A₃ =… Шарик поднимается по вертикали все медленнее и медленнее, а затем падает все быстрее и быстрее; в перемещении же по горизонтали он движется, не ускоряясь и не замедляясь. Горизонтальное движение летящего шарика остается неизменным.

Галилей знал об этом свойстве движущихся предметов и дал эти представления Ньютону. В течение многих столетий до него большинство ученых настаивало на том, что для поддержания постоянной скорости движения необходимо действие силы.

Это представление древних и сегодня находит отклик, если мы полагаемся на здравый смысл. Чтобы ящик двигался по полу, вам приходится его толкать; автомобиль, катящийся по горизонтальному участку пути, потребляет бензин, и двигатель каким-то образом создает постоянное усилие. Если вы оставите движущийся предмет в покое, говорили древние, то он остановится. Но для Галилея и Ньютона шероховатый пол и ветер не оставляют движущееся тело в покое: они создают силы, которые действуют на тело и препятствуют его движению (мы называем их силами трения или сопротивления воздуха). Массивное пушечное ядро, движущееся с небольшой скоростью, испытывает лишь незначительное сопротивление воздуха; оно почти предоставлено самому себе в отношении движения по горизонтали и сохраняет это движение.

Отсюда возникает новое представление о движении, согласно которому движению тела присуще нечто, что поддерживает его, пока тело не встречает противодействия. Это нечто было названо мыслителями XIV столетия в Париже и Оксфорде «импульсом». Их труды дошли до Леонардо да Винчи примерно в 1500 г., а до Галилея около 1600 г. и оказали на них влияние. Если бы существовало книгопечатание, то современные взгляды на движение, возможно, распространились бы еще за три столетия до Галилея.

Импульс — удобное название этого качества движущегося тела, имеющее в современном словаре оттенок значения «движущий вперед». Впоследствии мы изменим это название на термин «количество движения», которому мы придадим более точный смысл[28]. Обратите внимание, что ни одно из этих слов ничего не объясняет: это в лучшем случае этикетки, наводящие на мысль, напоминающие о том, что движущееся тело несет свое движение с собой и не нуждается для его поддержания в усилии. Слово «импульс» латинского происхождения, оно обозначает «движение».

Наблюдая за движением пушечного ядра, Галилей говорил, что пушка сообщает ядру импульс, который ядро сохраняет. Горизонтальная часть этого импульса остается неизменной. Вертикальная часть, или, как мы говорим, вертикальная составляющая, изменяется под действием силы тяжести, как и при движении любого другого падающего тела. Если к ящику нужно прилагать постоянное усилие, чтобы он продолжал двигаться по полу, то это значит, что пол создает силы, препятствующие движению, Галилей и Ньютон сказали бы, что нашего постоянного усилия, направленного вперед, как раз достаточно для противодействия этой тормозящей силе. И в этом случае, когда ящик движется с постоянной скоростью, действующая на него суммарная сила равна нулю. На фиг. 31 показана схема опыта, предназначенного для доказательства этого утверждения, однако в этом доказательстве скрыт один существенный дефект.

Фиг. 29. Средневековые представления о движении.

_{а — движение пушечного ядра поддерживается напором движущегося воздуха; б — чтобы поддерживать движение тела неизменным, необходимо толкающее усилие.}

Фиг. 30. Представления Галилея и Ньютона о движении.

_{а — при равномерном движении результирующая сила равна нулю; б — тележка. Движущаяся по горизонтальному участку пути, обладает «импульсом»; в — сила, параллельная наклонной плоскости, составляет некоторую долю силы тяжести; г — действующая на тело результирующая сила увеличивает импульс тела.} 

Дело в том, что трудно или даже невозможно произвести честную экспериментальную проверку утверждения, что сила, направленная вперед, и сила трения о пол в точности равны и противоположны друг другу. На данном этапе вы должны принять это как изложение нашей точки зрения.

Мы впоследствии вернемся к этому представлению. Пока запомните, что, согласно прямым наблюдениям, для всех летящих тел, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь:

1) движение не зависит от размеров или массы предмета;

2) вертикальное и горизонтальное движения независимы;

3) вертикальное движение происходит с постоянным ускорением, направленным вниз, как и ускорение любого свободно падающего тела;

4) горизонтальное движение остается неизменным.

Фиг. 31. Демонстрация равномерного движения тела.

_{Один наблюдатель тянет ящик по шероховатому «полу», измеряя силу тяги пружинными весами. «Пол» опирается на ролики без трения. Второй наблюдатель удерживает «пол» при помощи пружинных весов.} 

Задача 1. Полет снаряда

Начертите график, изображающий движение бомбы, сброшенной в самолета, применив приведенные выше простые рассуждения. Самолет А (фиг. 32), летящий горизонтально на высоте 60 м над землей со скоростью 30 м/сек, сбрасывает бомбу В.

Фиг. 32. К задаче 1.

а) Начертите график, изображающий положения А и В в примерном масштабе спустя 1, 2, 3, 4, 5 сек после того, как бомба В отделилась от самолета. Обозначьте эти положения через A₁ и B₁, A₂ и B₂ и т. д. Считайте, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. (Эксперименты показывают, что при таких скоростях сопротивление воздуха лишь незначительно влияет на движение бомбы.)

б) Представьте, что самолет сбрасывает вдвое более тяжелую бомбу. Какова будет ее траектория по сравнению с первой бомбой, если сопротивлением опять-таки можно пренебречь?

в) Представьте, что самолет сбрасывает деревянную бомбу W, на движении которой заметно сказывается сопротивление воздуха. Начертите вероятную траекторию бомбы W, сделав необходимые разумные предположения; отметьте несколько положений W и A.

Задача 2

Представьте себе, что самолет в задаче 1 летит не горизонтально, а по наклонной прямой (фиг. 33), неизменно набирая высоту с постоянной скоростью.

Фиг. 33. К задаче 2.

а) Каково будет в этом случае движение бомбы в самом начале, когда она отделяется от самолета?

б) Забыв на некоторое время о самолете, опишите словами и начертите траекторию любого летящего массивного снаряда, движение которого начинается таким образом. (Если вы не уверены в своих предположениях, проведите необходимый опыт.)

в) Начертите график, изобразив несколько положений бомбы В. Покажите соответствующие положения самолета А. (Указание. Поскольку самолет летит с постоянной скоростью, он обладает постоянной горизонтальной составляющей скорости. Бомба…)

Задача 3

Если вам удалось решить задачу 2, то вы должны были сделать дополнительное предположение относительно вертикальной составляющей полета снаряда, которое не требовалось в задаче 1. Что это за предположение?

Вы можете убедиться в том, как «правила», выведенные из эксперимента, могут быть использованы в практических целях.

В средние века эти правила Галилея могли быть полезны в артиллерийском деле. В наше время они служат отправной точкой для современной баллистики, в которой детально учитываются такие эффекты, как сопротивление воздуха, движение Земли и даже переменная величина силы земного тяготения.

Полет тел и относительное движение

Галилей проделал воображаемые опыты на борту корабля, чтобы показать, что движение можно разложить на составляющие и что равномерное движение «лаборатории» можно не принимать во внимание. Предлагаемая ниже задача объясняет некоторые свойства относительного движения.

Задача 4 (трудная, но важная). Начало принципа относительности Галилея. Пассажир, находящийся в вагоне поезда, роняет апельсин. Апельсин падает ему на ноги. В рассуждениях, которые следуют ниже, сопротивлением воздуха можно пренебречь.

1) Представьте себе, что вагон неподвижен. Какова в атом случае траектория движения апельсина?

2) Представьте себе, что вагон движется вперед с постоянной скоростью, скажем 20 км/час. В этом случае, до того как апельсин выпал из рук, он, двигался вместе с пассажиром и вагоном с постоянной скоростью 20 км/час, направленной вперед. Таким образом, когда апельсин был выпущен из рук, он начал движение вперед со скоростью 20 км/час и стал падать.

а) Что произойдет с движением апельсина вниз с течением времени?

б) Что произойдет с движением апельсина вперед с течением времени?

в) Представьте себе, что неподвижный наблюдатель, стоящий у полотна железной дороги, смотрит в окно. Начертите траекторию апельсина, какой ее видит этот наблюдатель. Отметьте три или четыре положения падающего апельсина О₁, О₂…; отметьте соответствующие положения ног пассажира, F₁, F₂…

г) Начертите траекторию, наблюдаемую пассажиром в вагоне, отметив несколько этапов.

д) Представьте себе, что шторы в окне опущены и пассажир не может видеть того, что за окном. Считайте, что поезд движется плавно, без толчков.

Может ли пассажир на основании опытов с апельсином внутри вагона решить, что вагон движется? Если да, то какие наблюдения позволили бы ему сделать этот вывод? Если нет, то насколько реально движение вагона?

Есть ли какая-нибудь разница для пассажира (поскольку это касается экспериментов с бросанием апельсина), движется ли вагон вперед или же вся местность, лежащая за пределами вагона, движется назад? (С подобных вопросов начинается рассмотрение принципа относительности — сначала относительности медленного равномерного движения, о которой знал Галилей и которая является содержанием этой задачи, а потом относительности, которую рассматривал Эйнштейн. Следуя Эйнштейну, современные физики считают, что если эксперимент не в состоянии дать ответа на какой-то вопрос, то сам вопрос поставлен неправильно и представляет собой бессмысленную попытку доискиваться знания там, где это невозможно.)

На самом деле летящее тело не совершает отдельно горизонтального и вертикального движения. Когда тело движется по криволинейной траектории, направление его движения в любой момент совпадает с направлением касательной. Поднимаясь от А к В и С (фиг. 34), тело движется все медленнее и медленнее, а затем, падая от С до D и Е, движется все быстрее и быстрее; скорость тела при этом изменяется, поскольку изменяется под действием «земного тяготения» вертикальная составляющая.

Фиг. 34. Движение летящего тела.

Задача 5

Как видно из фиг. 26 (стр. 83), шарик за время каждой короткой вспышки оставляет небольшую метку.

а) Какую информацию можно извлечь, анализируя длины меток?

б) Какую информацию можно извлечь, анализируя направление меток?

в) Как можно по самим меткам (а не по расстоянию между ними) определить, происходит ли горизонтальное движение с постоянной скоростью?

г) Как можно по самим меткам сделать вывод относительно вертикального ускорения?

д) Верхняя метка выглядит почти как точка. Какой вид она должна иметь — точки или черточки? Почему?

е) Какое видоизменение опыта вы бы предложили, чтобы доказать ваш ответ на вопрос (д)?

ж) При фотографировании шарик не был просто брошен один раз и сфотографирован; пришлось сделать много фотографий и выбрать из них одну. Как по-вашему, по какой причине это пришлось сделать (возможную недостаточную квалификацию фотографа во внимание не принимать)?

Разложение движения по действительной траектории на горизонтальное и вертикальное (т. е. на компоненты) представляет собой искусственный прием, который принимается без доказательств. Каким правилам подчиняется разложение на компоненты, а также обратный процесс сложения компонент? Процесс сложения отдельных движений в одно движение, которое мы называем результирующим, имеет важное значение в навигации, где приходится складывать движения корабля и океанских течений или движения самолета и ветра. В следующем разделе мы займемся изучением такого сложения движений.

Геометрическое сложение

Наблюдая за полетом камня в воздухе по криволинейной траектории, никто не стал бы подразделять его на вертикальное и неизменное горизонтальное движения, а мы, как ученые, намерены проделать это разделение или анализ и обнаружить, что оба эти движения различного типа и не зависят одно от другого. Тут сразу же возникает ряд вопросов:

а) Каким образом разлагается на две составляющие, или компоненты, одно движение по наклонной прямой?

б) Каким образом два отдельных движения складываются в одно движение?

Мы можем угадать ответ на второй вопрос и использовать его, чтобы ответить на первый. Если попытаться сложить два или несколько движений, то нам придется следить за передвижением в различных направлениях. Вместо этого пусть движения совершаются в течение некоторого промежутка времени, скажем одного часа, а затем рассмотрим расстояния, пройденные за этот промежуток времени. Тогда задача сложения движений сведется к простой задаче сложения пройденных расстояний или перемещений[29].

Совпадают ли здесь правила сложения с правилом сложения в арифметике, когда, складывая 2 и 3, мы получаем 5?

Эксперимент вскоре убеждает нас в том, что это правило действует лишь в том случае, если отдельные складываемые перемещения происходят по прямой линии в одном и том же направлении. Тогда перемещение на 4 м в направлении на север и 3 м в направлении на север дают суммарное перемещение в направлении на север, равное 7 м; следовательно, скорость 4 м/сек и скорость 3 м/сек, обе в северном направлении, дают суммарную скорость 7 м/сек в северном направлении; скорость 4 км/час плюс 3 км/час, обе в одном и том же направлении, дают суммарную скорость 7 км/час (фиг. 35).

Фиг. 35. Сложение движений, совершаемых в одном и том же направлении.

_{а — лодка плывет со скоростью 3 км/час; человек идет со скоростью 4 км/час; б — скорость по отношению к берегу 7 км/час.}

Если же направления движения оказываются различными, то простая арифметика бессильна. Если к перемещению на 3 м в северном направлении прибавить перемещение на 4 м в восточном направлении, то мы не получим перемещения на 7 м. Точно так же скорость 4 тем/час в направлении на восток плюс скорость 3 км/час в направлении на север не даст в сумме скорости 7 км/час в каком-либо направлении. Чтобы действовать в соответствии с наблюдаемыми в жизни фактами, мы должны пользоваться другим типом сложения, которое мы называем геометрическим сложением.

Здравый смысл (в данном случае простые сведения, приобретенные при ходьбе пешком, вождении автомашин, плавании на лодке и т, д.) подсказывает, как следует производить геометрическое сложение. Предположим, вы хотите сложить перемещения на 4 м к востоку и на 3 м к северу, чтобы найти одно перемещение, которое привело бы вас из исходной точки в пункт назначения. На первый взгляд это кажется несерьезным, но попробуйте проделать это сами. Станьте лицом к северу, поставив ноги вместе. Затем попытайтесь проделать оба эти перемещения, т. е. 4 шага вправо и 3 шага вперед одновременно. Можно попытаться проделать это, совершая каждое перемещение одной ногой — правой в сторону, а левой одновременно вперед. Однако в результате можно оказаться в довольно неудобном положении (фиг. 36). Лучше проделать сперва одно перемещение, а затем другое, иначе говоря, продвинуться на 4 шага вправо, а затем сделать 3 шага вперед (фиг. 37).

Фиг. 36. Попытка сложить два движения, совершаемых в разных направлениях.

Фиг. 37. Сложение движений.

Можно проделать эти перемещения в другом порядке и прийти в тот же пункт назначения. Если бы вы смогли как-то проделать оба перемещения одновременно, то пришли бы в ту же конечную точку. В самом деле, это можно проделать, если приспособить ковер, который передвигался бы по полу при помощи электромотора.

Тогда, став на ковер (на фиг. 38 показан игрушечный автомобиль на коврике), можно было бы включить мотор, чтобы он протащил ковер на 4 шага вправо, а самому в это время сделать 3 шага вперед. По отношению к ковру вы сделаете только 3 шага вперед. С высоты птичьего полета покажется, что вы проделываете оба перемещения одновременно и приходите в тот же пункт назначения, как если бы вы сперва проделали одно перемещение, а потом другое.

Фиг. 38. Сложение движений.

_{Игрушечный автомобиль движется по ковру, а ковер в это время тянет по полу электродвигатель. Движение автомобиля по отношению к полу совершается по диагонали.}

Какое единственное перемещение могло бы заменить эти два, проделанные одновременно или по отдельности, и привести вас в тот же пункт назначения? Простое перемещение по прямой линии из исходной точки в конечную. Это перемещение называют суммой обоих перемещений. Если начертить перемещения в масштабе на бумаге, как на фиг. 39, то однократным перемещением, которое заменило бы оба перемещения (если бы они были сделаны по отдельности), будет перемещение R.

Фиг. 39. Сложение перемещений, происходящих под прямым углом.

Если перемещения совершаются не под прямым углом, то применимо такое же изображение в масштабе, как показано на фиг. 40.

Фиг. 40. Сложение перемещений.

Если перемещения совершаются одновременно (так бывает, когда полет самолета происходит при наличии ветра) мы можем по-прежнему считать, что сначала происходит одно перемещение, а потом другое, и прийти к результирующему перемещению R (фиг. 41).

Фиг. 41. Сложение перемещений.

Мы находим результирующее перемещение, беря сначала одно перемещение, а затем другое, как показано на фиг. 42, а или б. Объединяя обе эти фигуры (фиг. 42, в), мы видим, что результирующее перемещение дается диагональю параллелограмма, сторонами которого служат первоначальные перемещения.

Фиг. 42. Сложение перемещений.

Это правило для сложения перемещений несомненно верно; в этом нас убеждает здравый смысл, основанный на опыте, приобретенном начиная с раннего детства.

Это правило можно обратить и разложить перемещение R на компоненты А и В. Эти компоненты — одна из возможных пар перемещений, которые вместе дают R. Существует бесконечное множество таких пар, каждая из которых дает в сумме одно и точке перемещение R.

Фиг. 43. Примеры сложения перемещений по правилу параллелограмма.

Задача 6

а) На фиг. 44, а изображено перемещение R, разложенное на две компоненты А₁ и В₁; на фиг. 44, б показано то же самое перемещение R, разложенное на другую пару компонент А₂ и В₂. Скопируйте эти рисунки и добавьте к ним еще несколько, на каждом из которых было бы изображено то же самое перемещение R, разложенное на другие компоненты: А₃, В₃, А₄, В₄ и т. д.

Фиг. 44. Вектор R можно разложить на компоненты A₁ и B₁, A₂ и В₂ или на другие пары компонент. Компоненты вектора R не обязательно должны составлять между собой угол 90°.

б) Покажите, что компоненте А можно придать любое направление и любую величину и при этом найти такую компоненту В, которая в сумме с А даст R. (Это равносильно вычитанию векторов R-А, которое находит применение в физике и встретится нам в дальнейшем.)

Скорость

Направление перемещения имеет столь же важное значение, как и величина. В физике скорость связывают с определенным направлением. Скорость обладает обоими качествами: величиной и направлением[30]. Подчиняются ли скорости правилу геометрического сложения? Или, как сказал бы ученый, являются ли скорости «векторами»?

Векторы (определение)

Векторы — это величины, складываемые геометрическим способом. Они называются «векторами»[31] потому, что их можно охарактеризовать, проведя отрезок прямой, показывающий как величину вектора (в некотором масштабе), так и его направление.

Правило сложения двух векторов

Геометрическое сложение описывается следующим правилом. (Согласно определению векторов, оно автоматически применимо к ним.)

Чтобы сложить два вектора, выбирают подходящий масштаб и вычерчивают их в этом масштабе из одной точки, а затем строят на складываемых векторах параллелограмм. Тогда сумма векторов будет изображаться диагональю параллелограмма, соединяющей исходную точку с противолежащей вершиной.

При таком способе сложения сумма нескольких векторов определяется как единственный вектор, который может заменить первоначальные векторы, или производит такой же физический эффект.

Подобно тому как векторы А и В дают при сложении сумму R₂ (фиг. 45), можно сложить векторы А и В и С, прибавив С к R₂, в результате чего получим вектор R₃. Прибавляя далее вектор D, получаем R₄ и т. д. Или, проще говоря, любое количество векторов можно складывать, проводя следующий прибавляемый вектор из конца предыдущего, как показано на фиг. 46 (этот рисунок представляет собой лишь упрощение фиг. 45, б), и их сумма будет изображаться вектором, соединяющим исходную точку с конечной.

Фиг. 45. Сложение векторов путем построения параллелограмма.

_{а — этапы построения; б — результат построения.}

Фиг. 46. Сложение векторов путем построения многоугольника.

Какие величины относятся к векторам? Иначе говоря, какие величины складываются геометрически по правилу параллелограмма? Векторами являются перемещения, или, если называть их более строго, «направленные расстояния» или «смещения». Раз перемещения — векторы, то достаточно разделить их на промежуток времени, за который происходит перемещение, чтобы увидеть, что скорости — тоже векторы. Продолжая этот подход, мы видим, что ускорения — тоже векторы[32]. Нам встретятся и другие векторы, другие величины, которые нужно измерять с помощью приборов и которые подчиняются правилу геометрического сложения?

Здесь возникает важный вопрос: являются ли силы векторами, т. е. подчиняются ли они правилам геометрического сложения?

На этот вопрос нельзя ответить, просто подумав[33]. Ответ не очевиден и требует предварительного изучения (см. гл. 3).

Скаляры

Физические величины, которые имеют только величину и которым нельзя приписать никакого направления, называются скалярами; хорошими примерами скалярных величин служат объем и температура. Существуют и такие вещи, которые не являются ни векторами, ни скалярами, скажем доброта, а также некоторые величины, этакие «сверхвекторы», называемые тензорами. Примером тензоров могут служить напряжения в деформированном твердом теле: давление, перпендикулярное к любой площадке образца, и срезающие усилия, действующие вдоль нее. Более сложные примеры встречаются в математической теории относительности. Например, мы будем рассматривать количество движения mv как вектор с тремя компонентами: mv_x, mv_y, mv_z, а кинетическую энергию — как скаляр. Эйнштейн, придерживаясь обобщенного представления о пространстве-времени, предпочитал объединять количество движения и кинетическую энергию в «четырехвектор», т. е. с четырьмя компонентами: три для количества движения и одна для кинетической энергии.

Сложение нескольких векторов

Два вектора складываются по правилу параллелограмма.

Вверху фиг. 47 показано сложение A + B = R (знаки + и =, напечатанные жирным шрифтом, обозначают геометрическое сложение). Исходя из этого определения, мы можем прийти к более примитивным способам сложения «одного перемещения, а потом другого», как показано на фиг. 47.

Фиг. 47. Сложение векторов по правилу многоугольника.

Это простейший способ сложения нескольких векторов. Если нам нужно сложить векторы А, В, С, D, то можно было бы складывать их, применяя последовательное построение параллелограмма: получить сумму A + B, прибавить ее к С, а затем прибавить новую сумму к D. Однако такое построение утомительно, и если выполнить все его этапы на одном чертеже, получится изрядная путаница (фиг. 49, а). Вместо этого сложим А и В по правилам многоугольника, проведя В из конца А, затем прибавим С к их сумме, проведя С из конца этой суммы, затем прибавим D. Можно опустить промежуточные суммы и найти общую сумму R, соединив начало первого вектора с концом последнего (фиг. 49, б).

Фиг. 48. Никогда не складывайте векторы «голова к голове».

_{Получается совершенно неверный ответ, отнюдь не их сумма.}

Фиг. 49. Сложение нескольких векторов.

_{а — методом последовательного построения параллелограммов; б — методом построения многоугольника.}

Проведение параллельных прямых

Чтобы переместить вектор с одного места на листе бумаги в другое, нужно начертить на новом месте отрезок прямой, имеющий ту же длину и то же направление, что и прежний отрезок, т. е. новый отрезок должен быть параллелен первому. Существуют геометрические методы и приспособления, позволяющие провести прямую, параллельную другой прямой. Мы покажем вам хотя бы один способ построения параллельных прямых. Для этого не требуется сложного построения углов.

На фиг. 50 показан простой способ проведения параллельных прямых при помощи линейки или обложки книги (или любого прямоугольника или треугольника). Чтобы провести через точку А прямую P'Q' параллельную прямой РQ, расположите один край книги вдоль прямой PQ. Приложите к другому краю книги линейку. Прижав линейку к бумаге, перемещайте вдоль нее книгу до тех пор, пока та сторона книги, которую вы совместили с прямой PQ, не пройдет через точку А. Теперь проведите по этой стороне требуемую прямую P'Q' через точку А.

Фиг. 50. Простой способ проведения параллельных прямых.

Задача 7. Сложение скоростей

Корабль, попавший в туман, держит курс на север и идет, как считает штурман, со скоростью 4 м/сек; течение слабое. На самом же деле корабль сносит к востоку течением, скорость которого равна также 4 м/сек. Предположим, что туман, рассеялся и штурман уже может видеть близлежащие острова. В каком направлении, по его наблюдениям, фактически движется корабль? С какой скоростью?

Задача 8. Вычисление векторной суммы

Корабль отправился на, север и движется в тумане со скоростью 4 м/сек, как в задаче 7. Фактически корабль сносит к востоку течением, скорость которого равна 3 м/сек. Чему равна скорость корабля по отношению к суше?

Задача 9. Штурманская задача

Штурман пытается провести судно в тумане через узкий проход между рифами.

а) Он знает, что проход лежит к северо-востоку и что океанское течение сносит судно к востоку со скоростью 5 м/сек. Винт сообщает судну скорость 5 м/сек в направлении вперед. В каком направлении штурман должен вести судно, пользуясь своим компасом? (Указание. Проведите известный вектор скорости течения. Из начала этого вектора проведите прямую, совпадающую с направлением сумма, а из конца его проведите надлежащим образом вектор скорости, развиваемой судовым двигателем. Достройте параллелограмм.)

б) Представьте себе, что проход между рифами идет в северном направлении, скорость течения равна 5 м/сек, направлено оно на восток, а скорость, сообщаемая судну винтом, равна 9 м/сек. Постройте график и покажите направление, в котором штурман должен, вести судно по компасу.

в) Представьте себе, что проход лежит к северу, а скорость течения равна 5 м/сек, направлено оно на восток. Докажите, что судно можно провести через проход только в том случае, если судовой двигатель позволяет развить скорость больше 5 м/сек.

Влияет ли порядок, в котором складываются векторы, на сумму?

Складывая векторы один за другим по правилу многоугольника, можно было бы располагать их в другом порядке, скажем A, D, С, В…, а не А, В, С, D…, в результате чего получим другой многоугольник. Получим ли мы ту же векторную сумму?

Приводимая ниже задача дает ответ на этот вопрос.

Задача 10

На фиг. 51 показано несколько векторов А, В, С, D, E, которые все проведены, из одной точки О. Сложите эти векторы по правилу многоугольника, т. е. проводя каждый последующий вектор из конца предыдущего, следуя данным ниже указаниям. Приведенный здесь рисунок слишком мал для точного выполнения чертежа и измерений, поэтому прежде всего воспроизведите его в большем масштабе на листе миллиметровки так, чтобы каждой клетке соответствовал квадрат со стороной 2 см. Затем к вектору А, который уже проведен, прибавьте В, затем С, затем D, затем Е, проводя каждый из прибавляемых векторов из конца предыдущего. Для этого вам придется перенести вектора В, С, D, Е при помощи какого-нибудь способа проведения параллельных прямых. (Воспользуйтесь либо данными, взятыми из разграфленной сетки фиг. 51, либо способом, показанным на фиг. 50.)

Фиг. 51. К задаче 10.

Проведите отрезок, выражающий сумму. Измерьте и запишите его величину. Чтобы определить направление суммы, нужно либо измерить какой-то угол, либо найти наклон отрезка, выражающего сумму. Испробуйте оба способа следующим образом:

а) Измерьте и запишите угол между суммой и самым первым вектором А.

б) Проведите две взаимно перпендикулярные оси ОХ и ОY, направив ось ОХ вдоль вектора А. Затем опустите перпендикуляр h из конца векторной суммы на ось ОХ (точно проводить этот перпендикуляр не нужно, можно просто измерить его длину). Измерьте высоту h и длину основания Ь, отсекаемого перпендикуляром на оси ОХ. После этого вычислите отношение (высота h)/(основание b), которое называется наклоном отрезка R. Это позволит нам задать В, как вектор, величина которого равна…? а направление имеет наклон…?

Задача 11. Сумма однозначна

Получится ли иная векторная сумма, если складывать векторы в другой порядке? Проделайте снова задачу 10 на листе миллиметровки; начните, как и раньше, с вектора А, но прибавляйте к нему остальные векторы в другой последовательности: В, Е, D, С. Определите величину и направление суммы в этом случае.

Задача 12. Некоторые соображения по поводу сложения векторов

Представим себе векторы А, В, С, D, E в задаче 10 как перемещений, которые корабль должен совершить одно за другим. Представим себе оси ОХ, OY как направления восток и север, определяемые по компасу. Тогда одно перемещение, скажем В, переносит нас на некоторое расстояние к северу и на некоторое расстояние к востоку. Мы можем сказать, что перемещение В изменяет наш курс на столько-тo к северу и на столько-то к востоку. Фактически, же мы представляем себе перемещение В расчлененным, на компоненты, северную и восточную. Это называется «разложением вектора В на северную и восточную компоненты.

Фиг. 52.К задаче 12.

 _{Разложение вектора на пару взаимно перпендикулярных «компонент» XB и YB, заменяющих этот вектор} 

Мы можем таким же образом разложить все векторы. Некоторые из восточных или северных компонент могут оказаться отрицательными. Сумму R тоже можно представить себе разложенной на восточную и северную компоненты. Когда мы складываем векторы, А, В…, то каждый из них вносит свою долю в изменение курса к востоку и к северу.

Фиг. 53. К задаче 12.

_{Разложение векторов F, G, H, I, J на компоненты (составляющие) вдоль направлений X (восточное) и Y (северное).} 

а) Как, по-вашему, связана восточная компонента суммы с восточными компонентами векторов А, В,?

б) А как связана северная компонента суммы?

в) Как вы думаете, изменятся ли ответы на вопросы, (а) и (б), если изменить порядок сложения отдельных векторов?

Задача 13. Еще один способ сложения векторов

Предыдущая задача указывает еще на один способ сложения векторов, очень удобный при большом числе складываемых векторов, особенно если заданы углы, и мы умеем пользоваться тригонометрией. Мы едва ли будем пользоваться тригонометрией в нашем курсе, и элементы ее приводятся лишь, чтобы, показать, что существует стройный метод.

а) предположим, что известны, восточная компонента Х_R суммы R и северная компонента Y_R. Ha фиг.54 показаны R, Х_R и Y_R. Каким образом можно вычислить величину R, зная Х_R и Y_R? Запищите, уравнение.

Фиг. 54. К задаче 13.

б) Предположим, что известны восточная и северная компоненты каждого из векторов А, В…. (Предположим, что вектор А разлагается на компоненты Х_А, Y_А и точно так же разлагаются остальные векторы.) Как бы вы вычислили восточную и северную компоненту R? Напишите уравнения для Х_R и Y_R. (Примечание. Математики часто пользуются знаком Σ, заглавной греческой буквой «сигма», для обозначения «суммы всех величин). Например, если у членов банды А, В, С и др. имеются наличными М_А долларов, M_В долларов и т. д., то общее количество наличных денег у банды равно М_А долларов + M_В + М_С +… и это записывается в виде ΣМ. Воспользуйтесь знаком Σ при решении этой задачи.)

в) Запишите указания для вычисления величины суммы R нескольких векторов, если заданы восточная и северная компоненты всех векторов.

г) Дайте такие указания применительно к векторам задачи 10. Перерисуйте векторы задачи 10 на новом листе миллиметровки. Проведите необходимые перпендикуляры и измерьте восточную и северную компоненты (припишите знаки минус всем компонентам, направленным на запад или юг).

Вычислите величину суммы векторов. Вычислите наклон этой суммы, используя вектор А как горизонтальную базовую линию.

Задача 14 (для тех, кто знаком с тригонометрией)

В задаче 10 векторы А, В, С, D, Е образуют следующие углы с вектором А, который, как принято, направлен на восток: А: 0°; В: 76°,0; С: 123°,7; D: 225°,0; Е: 270°,0. Длины векторов, если чертеж сделан на миллиметровке с сантиметровыми клетками, равны приблизительно; А: 8,00; В: 4,12; С: 3,61; D: 1,41; Е: 2,00 см. Воспользуйтесь правилами тригонометрии и найдите северную и восточную компонента каждого вектора, следуя данным ниже указаниям.

а) Какая из следующих величин представляет собой восточную компоненту вектора В?

б) Вычислите значение восточной компоненты вектора В, пользуясь таблицами тригонометрических функций (можно взять четырехзначные таблицы, но лучше трехзначные; не тратьте время на вычисления по более точным таблицам). Вычислите также северную компоненту вектора В.

Назовите обе эти компоненты X_В и Y_В.

в) Проделайте то же самое для каждого вектора. Вычислите величину и наклон суммы векторов. Обратите внимание, что этот метод не требует вычерчивания в масштабе. Разумеется, им нельзя пользоваться, отрешившись от реальной ситуации и совсем не прибегая к чертежам. В таблицах тригонометрических функций как бы скрыты точные геометрические построения. Подобно числу π, синуса и косинусы, можно вычислить арифметически с помощью бесконечных рядов, но эти ряды, получены на основе геометрических допущений, проверенных сопоставлением с окружающим миром.

Фиг. 55. К задаче 14.

Задача 15

Воспользовавшись своими знаниями о векторах, покажите, как происходят горизонтальное и вертикальное движения летящего снаряда. На фиг. 56 показана траектория камня, брошенного в воздух. Скопируйте ее приблизительно в более крупном масштабе. Выделите ряд точек на траектории, скажем А, В, С, D, Е, и для каждой точки изобразите на чертеже горизонтальную скорость, вертикальную скорость и действительную (суммарную) скорость движения по примеру, данному для точки D.

Фиг. 56. К задаче 15.

_{Скорость движения в точке D направлена по касательной к кривой в этой точке.}

Анализ построения для точки D. Проведите в точке D касательную DT к траектории. Тогда действительная скорость направлена по касательной DT, Проведите из точки D отрезок горизонтальной прямой Н, который будет характеризовать горизонтальное движение. (Поскольку скорость движения камня неизвестна, считайте, что его горизонтальная скорость изображается отрезком Н, длина которого на фиг. 56 равна 1,1 см.)

Мы рассматриваем действительное движение вдоль DT как составленное из горизонтальной и вертикальной компонент, поэтому мы строим параллелограмм, представляющий собой прямоугольник, у которого Н — одна из сторон, а диагональ направлена по DT. Тогда вертикальная сторона V изображает вертикальную скорость в точке D, а диагональ R — действительную скорость движения по криволинейной траектории. Проделайте подобное построение в каждой из точек А, В, С, D, Е… на вашем рисунке (точные построения делать не нужно) и покажите, какие происходят изменения в движении. При этом не забывайте о важном свойстве горизонтального движения летящего снаряда.

Движение тел и параболы

Форму траектории движения тела можно проанализировать с помощью геометрии или алгебры.

Геометрический анализ. Предположим, что в горизонтальном направлении брошен камень. Камень проходит в своем горизонтальном движении одинаковые расстояния по горизонтали за каждую секунду, совершая в то же время ускоренное движение в вертикальном направлении. Падая, он пролетает по вертикали 4,9 м за первую секунду после начала движения, 19,6 м за первые 2 сек, 43,9 м за первые 3 сек и т. д. Нанесите на масштабную сетку положения камня в различные моменты времени. Выберите промежутки времени от начала движения, которые находятся в пропорции 1:2:3:4…. За эти промежутки времени камень в своем равномерном горизонтальном движении проходит расстояния по горизонтали, которые находятся в той же пропорции 1:2:3:4…

Однако камень, падая, проходит по вертикали расстояния, пропорциональные квадратам этих чисел, т. е. 1, 4, 9, 16…, поскольку

РАССТОЯНИЕ ПО ВЕРТИКАЛИ = ¹/₂∙g∙(ВРЕМЯ)²

а значения величины (время)² находятся в пропорции 1:4:9…

Отметьте положение камня в эти равноотстоящие друг от друга моменты времени, проведя вертикальные прямые через равные интервалы, скажем через 2 см; проведите также горизонтальные прямые на расстоянии 1 см вниз до исходного уровня, 4 см, 9 см и т. д., чтобы отметить расстояния по вертикали, пройденные камнем в падении. Тогда предсказанная траектория движения будет отмечена пересечениями вертикальных и горизонтальных прямых, как показано на фиг. 57. Это можно продемонстрировать, бросая шарики или выпуская водяные капли перед доской, на которой проведены такие прямые.

Фиг. 57. Сложение горизонтального и вертикального движений тела.

_{а — горизонтальное движение (не меняется); б — вертикальное движение с ускорением силы тяжести (свободное падение); в — сложное движение.}

Задача 16

Предположим, что опыт убедил нас в том, что движение тел действительно происходит по кривой, проходящей через отмеченные на сетке точки. В какой мере это убеждает нас в правильности представлений о движении в природе? В подобном опыте начальную горизонтальную скорость, сообщаемую телу, нужно выбрать так, чтобы траектория проходила по отметкам (фиг. 58, а). Предположим, мы уменьшили скорость и отметили на доске новую траекторию движения. Каким образом можно проверить, совершает ли тело такое же движение, что и прежде (фиг. 58, б)?

Фиг. 58. К задаче 16.

Алгебраический- анализ. Начертите на разграфленной бумаге с координатами х и у воображаемую траекторию летящего камня и найдите ее уравнение. Предположим, что камень брошен горизонтально из начала координат (0, 0) со скоростью 5 м/сек. Тогда за каждую секунду камень перемещается в горизонтальном направлении на 5 м. По прошествии t сек после начала движения камень переместится в горизонтальном направлении на 5t м, поэтому можно записать

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ, х = 5∙t м.

Через t сек камень, падая из состояния покоя, пройдет по вертикали расстояние у, определяемое формулой

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ПО ВЕРТИКАЛИ, y = ¹/₂ УСКОРЕНИЕ t² = ¹/₂ (9,8)∙t² = 4,9∙t² м

Эти формулы справедливы для любой стадии движения камня по его криволинейной траектории, поэтому мы можем записать

x = 5∙t

y = 4,9∙t²

Чтобы найти одно уравнение, описывающее траекторию движения, зададим себе вопрос: «Какое соотношение между х и у обеспечивает выполнение обоих приведенных выше требований на каждом этапе движения камня?» Для любой произвольно выбранной точки на траектории значения ее координат х и у должны удовлетворять обоим приведенным выше уравнениям для соответствующего значения t. Это значение t должно быть одинаковым в обоих уравнениях — ведь это время, когда камень достигает выбранной точки.

Поэтому мы можем избавиться от t, выразив из одного уравнения t и подставив полученное выражение в другое уравнение. Проделаем это.

Уравнение x = 5∙t дает t = x/5; подставляя выражение х/5 вместо t в уравнение y = 4,9∙t², получаем у = 4,9∙(х/5)², или у = (4,9/25)∙x².

Уравнение траекторий движения камня будет тогда иметь вид у = 0,196∙x².

В более общем случае, если камень брошен горизонтально с начальной скоростью v_гор м/сек и падает с вертикальным ускорением g м/сек на сек, то

x = v_горt и y = ¹/₂ gt²

Следовательно,

т. е. у = (постоянная)x², поскольку ¹/₂ g/v²_гop — постоянная величина.

Это уравнение параболы[34]

Воспользовавшись подобным уравнением, можно построить на клетчатой бумаге превосходные графики параболы. Постройте на бумаге с сантиметровыми клетками кривую, описываемую уравнением y = ¹/₂ x², взяв х = — 4, —3, —2, —1, 0, 1, 2 см и т. д.

Попытайтесь подогнать траекторию движения реального тела к этой кривой. Положите лист бумаги, на котором построена кривая, на чертежную доску, расположенную наклонно к плоскости стола, и скатывайте по ней шарик или держите лист бумаги отвесно и подбрасывайте перед ним какой-нибудь небольшой предмет.

Движение снаряда, выпущенного из пушки под углом к горизонту

Если снаряд выпущен не горизонтально, а вверх, под некоторым углом к горизонту, то его траектория по-прежнему будет параболой. Алгебраически это можно показать, используя уравнение s = v₀t + ¹/₂ gt²,a не s = ¹/₂ gt². Таким образом, мы воспользуемся очевидной симметрией криволинейной траектории движения и можем сказать, что замедленное движение тела вверх до вершины траектории должно совпадать с ускоренным движением вниз, начинающимся от вершины, поэтому можно начертить всю траекторию, исходя из рассмотренной задачи движения снаряда, выпущенного горизонтально. Но все это лишь разумное предположение, хотя эксперимент подтверждает его. Можно рассуждать еще и так: двигаясь по ниспадающему участку траектории от вершины О, камень не может «знать», началось ли его движение в точке О или раньше, или позже. Поэтому камень, брошенный в какой-либо точке этого участка траектории, скажем в точке А, в сторону и вниз, должен двигаться по той же траектории, что и камень, брошенный горизонтально из вершины О, лежащей выше (фиг. 59).

Фиг. 59. Движение тела вверх и вниз.

_{Симметрия траектории заставляет предполагать, что движение вверх до «отрицательной пушки» подобно движению вниз от «нормальной» пушки, стоящей на той же горе. Вместе эти движения дают полную параболу. В таком случае тело, начавшее движение по этой параболе из точки А, должно двигаться по той же траектории, как если бы движение его началось раньше из вершины О. Соображения симметрии позволяют распространить эти рассуждения на всю параболу.}

То же самое справедливо для камня, брошенного вверх в точке В, Это наводит на мысль о расширении представления о независимости движений. Вертикальная компонента начального движения также остается неизменной, хотя к ней добавляется ускоренное движение свободного падения. С этим вертикальным движением, происходящим с постоянной скоростью, связано расстояние v₀t в соотношении s = v₀t + ¹/₂ gt². Тогда можно объединить оба постоянных движения, вертикальную и горизонтальную компоненты начального броска, и сказать, что начальное движение тела, брошенного под узлом к горизонту, остается неизменным во время полета, хотя к нему добавляется движение свободного падения по вертикали, которое обусловливает появление в уравнении слагаемого ¹/₂ gt². Итак, можно считать, что камень, брошенный, как показано на фиг. 60, совершает два движения: начальное движение вдоль прямой 45 и свободное падение, в котором камень проходит расстояния, отсчитанные от точек на прямой АВ, взятых через последовательные равные промежутки.

Фиг. 60. Анализ движения тела.

Это можно показать с помощью опыта с обезьянкой и ружьем.

Представим себе, что охотник, не принимающий во внимание силы земного тяготения, целится в обезьянку, которая повисла на дереве, ухватившись одной лапой за ветку. При выстреле пуля не попадет в обезьянку из-за свободного падения, как показано на фиг. 61.

Фиг. 61. Опыт с обезьянкой и воздушным ружьем.

_{Когда пуля вылетает из ружья, она разрывает контакт, электромагнит выключается и отпускает «обезьянку».}

Предположим теперь, что обезьянка следит за действиями охотника и, заметив вспышку, выпускает ветку в тот момент, когда пуля вылетает из ружья. С этого момента и обезьянка и пуля совершают ускоренные движения вниз под действием силы тяжести; обезьянка падает из состояния покоя, пуля, согласно нашему последнему представлению, падает от своей «невозмущенной траектории», прямой АВ. Что же происходит? Это можно показать при помощи железной фигурки обезьянки, которую удерживает электромагнит, обесточиваемый разрывом цепи при вылете пули из ствола воздушного ружья, направленного на фигурку.

Такие эксперименты подтверждают наше предположение о том, что падение по вертикали совершенно не зависит от начального движения, которое неизменно. Любое летящее тело с начала движения совершает свободное падение. Оно проходит 0.3, 1.4, 3.6, 4.9 и т. д. метров за 1, 2, 3, 4… четвертьсекундных промежутка времени после начала движения. Если линия начального движения направлена под углом к горизонту, то тело сначала поднимается вверх, а потом падает, тогда расстояние, проходимое им в единицу времени в свободном падении, станет больше того расстояния, на которое тело поднимается вверх за каждую единицу, времени вследствие сообщенного ему начального движения. (Обратите внимание, что показанная на фиг. 62 траектория является параболой.)

Фиг. 62. Свободное падение тела.

Вы видите, как мы своими рассуждениями разделили задачу о движении летящего снаряда на части, облегчив ее решение и подготовив для дальнейшего изучения специалистами по баллистике.

Наши усилия не внесли новых сведений, но облегчили пользование уже известными сведениями.

Когда движущимися телами являются быстрые электроны (или заряженные атомы) и на них воздействуют не силы тяготения, а электрические и магнитные поля, то к ним применимы такие же «правила», и мы используем изменения траектории для получения информации об электрическом заряде, массе и скорости электрона. Потом мы считаем, что поведение движущихся тел подчиняется тем же правилам, и предсказываем воздействие полей на частицы, движущиеся с другими скоростями. Так поступают инженеры — специалисты по электронным приборам при проектировании телевизионных трубок и других радиоэлектронных устройств; такие же расчеты проделывают ученые-атомники, когда искривляют пучки электронов или атомов, бомбардируя ими мишени или опознавая тяжелые и легкие атомы по различиям в их траекториях.

Задача 17. Полицейская

Водитель автомобиля, въехав на мост, сильно превысил скорость. Машину занесло, она ударилась об ограждение и, разрушив его, упала в реку. Расстояние до поверхности воды составляло 4,9 м. Полиция установила, что машина упала в реку не вертикально под провалом в ограждении, а на расстоянии 19,8 м от него по горизонтали.

а) Оцените скорость, с какой шел автомобиль до катастрофы.

б) Как по-вашему, завышено или занижено полученное значение скорости? Объясните, почему.

в) Сформулируйте четко свойства падающих тел, которые вы использовали, производя вычисления по пункту (а).

Фиг. 63. К задаче 17.

Задача 18. Поток электронов

Электрон, движущийся со скоростью 6 000 000 м/сек (совсем небольшая скорость для электрона) в горизонтальном направлении, попадает в область, где вертикальное электрическое поле сообщает ему ускорение, направленное вниз и равное 40 000 000 000 000 м/сек/сек, или 4∙10¹³ м/сек/сек. Область, в которой действует это поле, имеет протяженность 0,30 м в направлении первоначального движения. Таким образом, электрон движется по прямой в отсутствие поля, затем 0,30 м (по горизонтали) под действием вертикального поля, а потом снова попадает в область, где нет поля.

а) Как вы, полагаете, повлияет ли вертикальное ускорение на горизонтальное движение электрона?

б) Вычислите время, за которое электрон проходит через область, где действует поле.

в) Вычислите расстояние, которое пройдет электрон, совершая падение в области, где действует поле. (Это как раз то расстояние, которое экспериментатор измеряет, исследуя поведение электрона.)

г) Вычислите вертикальную компоненту скорости электрона в момент, когда он выходит из области, где действует поле.

д) Рассчитайте траекторию электрона и начертите (приблизительно) траекторию его движения до области, где действует поле, в этой области и возле нее.

е) Почему нет необходимости учитывать силу тяжести при решении этой задачи? (Она действует на электрон.)

Фиг. 64. К задаче 18.

Задача 19. Дальность полета снаряда (задача решается с помощью алгебры и тригонометрии)

1) Из старинной пушки, ствол которой установлен под углом 45° к горизонту, выпущено ядро со скоростью 141,4 м/сек.

а) Разложите эту скорость на горизонтальную и вертикальную компоненты.

б) Вычислите, через сколько времени с момента вылета ядра оно упадет на землю.

в) Вычислите дальность полета.

2) Из старинной пушки выпущено ядро со скоростью v₀ в направлении, которое составляет угол А к горизонту.

а) Разложите v₀ на горизонтальную и вертикальную компоненты.

б) Вычислите время, в течение которого совершается вертикальное движение с момента вылета ядра до момента его падения на землю.

в) Вычислите расстояние, которое ядро проходит по горизонтали (т, е. дальность его полета).

3) Воспользовавшись методами тригонометрии или математического анализа, покажите, что при данной начальной скорости v₀ дальность полета максимальна при А = 45°. (Вспомните, что 2sin x∙cos x = sin 2x.)

Задача 20. Измерение скорости летящего мяча

Физик хочет выяснить, с какой скоростью он может бросить бейсбольный мяч. Он бросает мяч горизонтально на высоте своего плеча, 1,2 м над поверхностью земли. Мяч падает на землю в 6 м от. того места, где стоит физик.

а) Чему равна начальная скорость мяча? (См. задачу 17.)

б) При вычислениях для ответа на вопрос (а) необходимо, помимо всяких формул для ускоренного движения, воспользоваться важным общим принципом, касающимся движения тел (его сформулировал Галилей). Что это за принцип?

в) Вместо того чтобы бросить мяч, наш физик бежит сам со скоростью, вычисленной в пункте (а), неся мяч на высоте плеча. На бегу он выпускает мяч, и мяч падает. Опишите, подумав как следует, траекторию падающего мяча:

Какой ее видит неподвижный наблюдатель?

Какой ее считает бегущий физик?

Задача 21

Автомобиль, движущийся со скоростью 20 м/сек (свыше 70 км/час) по горизонтальному участку горной дороги, делает неудачный поворот и падает в снежный сугроб с высоты 80 м (по вертикали).

а) Сколько времени продолжалось падение автомобиля?

б) На каком расстоянии (по горизонтали) от того места, где автомобиль снесло с дороги, он падает на землю?

в) Каково было ускорение автомобиля на полпути его движения вниз?

г) Какой угол с горизонтом образует «туннель», проделанный автомобилем в сугробе?

Задача 22

Человек держит ствол ружья горизонтально на высоте 3 м над землей,

а) Через какое время после выстрела пуля упадет на землю?

б) Патронная гильза выбрасывается горизонтально в сторону в тот момент, когда пуля вылетает из ствола ружья. Через какое время гильза упадет на землю?

в) Сможет ли человек (таким же способом) выстрелить на Луне на большее расстояние?

г) Дайте четкое обоснование вашему ответу на вопрос (в).

Задача 23

Находясь в большом лифте, человек бросает в горизонтальном направлении мяч со скоростью, близкой к 3 м/сек. Начертите для каждого из указанных ниже случаев траекторию движения мяча, какой ее видит человек в лифте,

а) Лифт движется вниз с постоянной скоростью 3 м/сек.

б) Лифт движется равноускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 10 м/сек/сек.

в) Лифт движется равноускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 3 м/сек/сек.

г) Лифт движется ускоренно с ускорением, направленным вниз и равным 19,6 м/сек/сек (это достигается применением специального оборудования).

Условие равенства нулю равнодействующей для постоянного равновесия сил должно выполняться для всей конструкции, например для всего крана или моста, но оно должно также выполняться для каждой отдельной детали конструкции, находящейся в состоянии равновесия. Применяя это условие к какой-нибудь определенной детали, например к стреле крана, к одной опоре моста, к заклепке, связывающей воедино несколько различных деталей моста, или к грузу маятника, нужно быть внимательным и учитывать все силы, действующие на данную деталь. Тогда мы сможем утверждать, что имеем полный набор сил, образующих замкнутую векторную диаграмму, если, конечно, деталь находится в равновесии.

При решении задач не следует включать в рассмотрение силы, приложенные к другим деталям. Сначала выберите и пометьте выбранную деталь, которая, как вы считаете, находится в равновесии.

Равновесие трех сил; треугольник сил

Если три силы находятся в равновесии, то их векторная диаграмма должна представлять собой замкнутый треугольник (фиг. 68). Если известны две силы, то можно вычислить величину и направление третьей. Этим пользуются при решении инженерных задач. Во многих конструкциях на каждую деталь, играющую важную роль, действуют как раз три силы. Чтобы конструкция была устойчивей, каждая деталь должна оставаться в состоянии покоя: сумма всех действующих на нее сил должна быть равна нулю. Таким образом, если к любой детали приложены три силы, мы строим для них замкнутый треугольник.

Фиг. 68. Три силы.

_{а — три силы в равновесии; б — три силы не находятся в равновесии.}

Рассмотрим теперь несколько примеров решения инженерных задач на сложение и разложение сил (задач статики). После того как вы разберете их вместе с нами, попытайтесь решить задачи, приведенные в конце главы.

Задача 1

Три мальчика тянут в разных направлениях в горизонтальной плоскости веревки, прикрепленные к большому железному кольцу (фиг. 69). Предположим, что на кольцо не действуют другие силы, даже сила тяжести. Каждый мальчик тянет веревку с силой 10 кГ, и кольцо остается в покое.

Фиг. 69. К задаче 1.

а) Чему равна величина суммы, тянущих сил?

б) Начертите векторную диаграмму сил, сложив эти силы.

в) Изобразите схему опыта, какой она выглядит сверху, и покажите направления действующих на кольцо сил.

г) Представьте себе, что один из мальчиков внезапно выпускает веревку из рук, а другие продолжают тянуть свои веревки. Каковы величина и направление суммы, сил, развиваемых двумя оставшимися мальчиками?

Пример А

Тяжелый маятник состоит из груза весом 4 кГ, подвешенного на веревке длиной 5 м, (фиг. 70). Груз оттягивается в сторону другой веревкой, посредством которой к грузу маятника прикладывают горизонтальную силу 3 кГ.

Фиг. 70. Общая схема, иллюстрирующая формулировку примера А.

1) Рассчитайте натяжение веревки маятника.

2) Какой угол образует маятник с вертикалью?

На груз маятника действуют три силы:

а) вес груза 4 кГ, направленный вертикально вниз;

б) горизонтальная сила натяжения 3 кГ;

в) натяжение веревки маятника неизвестной величины, направленное вдоль веревки вверх.

Чтобы рассчитать натяжение веревки маятника, построим две диаграммы; их нужно строить отдельно, ибо они относятся к совершенно разным вещам. Реальная схема — это рисунок, изображающий конструкцию, с которой мы имеем дело.

Эту схему можно изобразить в масштабе или просто нарисовать рисунок и указать на нем размеры. Диаграмма сил — это векторная диаграмма, на которой силы изображаются отрезками прямых. Диаграмму сил не следует строить над реальной схемой, хотя обе они могут быть сходны. В этой задаче мы будем строить векторную диаграмму для трех сил, действующих на груз маятника. После того как груз перестает раскачиваться и приходит в состояние покоя, сумма этих сил должна быть равна нулю. Поэтому векторы сил, построенные в масштабе, должны образовать замкнутый треугольник (фиг. 71).

Фиг. 71. Схема приложения сил (а) и диаграмма сил для груза (б).

_{Единственный известный размер показан в масштабе, угол может быть изображен неверно.}

Прежде всего проводим вектор, о котором нам все известно, — вектор силы, действующей на груз маятника по вертикали и равной весу груза 4 кГ. Изобразим этот вектор вертикальным отрезком АВ длиной 4 см со стрелкой, направленной вниз[37].

Затем мы добавляем еще один вектор, о котором нам опять-таки все известно, — горизонтальную силу 3 кГ, изображаемую отрезком ВС длиной 3 см. Отрезок, изображающий третью силу, должен замыкать треугольник, поскольку сумма сил равна нулю. Поэтому третья сила должна изображаться отрезком СА.

Измерив эту сторону построенного треугольника, мы находим 5 см, что соответствует натяжению веревки маятника 5 кГ.

Мы могли бы в этом случае постудить и по-другому: набросать примерный рисунок и, воспользовавшись теоремой Пифагора, найти искомую длину третьей стороны треугольника, она равна √(4² + 3²), или √25, т. е. 5 см. Направление этой стороны треугольника образует с вертикалью угол, характеризующийся уклоном (тангенсом), равным ³/₄. По таблицам тригонометрических функций или путем деления находим, что этот угол примерно равен 37°. Переходя к реальному маятнику, мы можем теперь сказать, что натяжение веревки равно 5 кГ и что веревка образует с вертикалью угол 37°.

Пример Б

Груз маятника 5 кГ, подвешенный на веревке длиной 1,5 м, оттянут в сторону на 0,9 м горизонтальной силой F. Какова величина этой силы? На фиг. 72 показан схематический рисунок и этапы построения диаграммы сил.

Фиг. 72. Построение диаграммы сил.

_{а — схема приложения сил; б — этапы построения диаграммы сил; поскольку треугольник может быть задан двумя углами и одной из сторон, построить диаграмму сил возможно.}

Построение диаграммы сил мы начинаем, проведя АС, вектор единственной силы, о которой нам все известно, — силы, направленной вниз и равной весу груза 5 кГ. Теперь прибавим к ней горизонтальную силу, т. е. проведем горизонтальную прямую из конца вектора АС. Но величина этой силы нам пока неизвестна, поэтому мы не знаем, какой длины должен быть изображающий ее отрезок. Однако мы знаем, что, прибавив к остальным двум силам натяжение веревки маятника, мы должны получить замкнутый треугольник сил (если груз маятника находится в равновесии). Поэтому вектор силы натяжения должен выходить из конца силы F и оканчиваться в точке А. Кроме того, натяжение веревки должно быть направлено вдоль самой веревки. (Можете ли вы представить себе веревку, позволяющую тянуть в каком-то ином направлении, нежели вдоль самой веревки?) Таким образом, мы переносим направление веревки с рисунка, изображающего реальную схему, на диаграмму сил и проводим через точку А прямую, параллельную направлению веревки. Этот отрезок наклонной прямой образует третью сторону треугольника сил ВА — натяжение веревки. Угол В примыкает к прямой, проходящей наклонно, и к горизонтальной прямой, при этом он должен быть образован пересечением обеих этих прямых. Найдя положение точки В, мы узнаем величину силы F, попутно мы определили также натяжение веревки маятника. Для нахождения величины интересующей нас силы мы построили точный чертеж и произвели измерение.

В этом случае числовые данные позволяют проделать простые вычисления, исходя из геометрических соображений, и можно рассчитать F по приближенным рисункам, рассуждая следующим образом: стороны треугольника сил ABC параллельны сторонам треугольника MNО на реальной схеме, следовательно[38], эти треугольники подобны. (По теореме Пифагора находим ОМ = 1,2 м.)

Итак,

F кГ/5 кГ на треугольнике сил = 0,9 м/1,2 м

Следовательно,

F = (5 кГ)∙3/4

т. е.

горизонтальная сила F = 3,75 кГ.

Аналогично,

Т кГ/5 кГ = 1,5 м/1,2 м

Отсюда натяжение веревки маятника Т = 6,25 кГ.

Пример В

Телефонный провод натянут между двумя опорами, отстоящими друг от друга на 6 м (фиг. 73), натяжение провода невелико. На провод, как раз посредине, села птица весом 2 кГ. Средняя точка провода провисла на 0,3 м от уровня, на котором находятся крайние точки провода, прикрепленные к опорам. Вычислите натяжение провода.

Фиг. 73. К примеру В.

(На первый взгляд эта задача может показаться надуманной, подобно множеству задач статики, однако на самом деле речь идет об очень серьезной проблеме, с которой сталкиваются при эксплуатации проводов телефонной связи и линий электропередач. Как показывает ответ на эту задачу, птицы и обледенения могут вызвать огромные натяжения в проводах, способные привести к их удлинению и даже разрыву.)

Построим диаграмму сил для небольшого центрального участка провода Y, где сидит птица[39]. На этот участок провода действуют три силы: вес птицы, направленный вниз, и натяжения провода Т₁ и Т₂, направленные под некоторым углом к горизонту. Угол между проводом и горизонталью назовем Е.

Построение диаграммы сил для Y (фиг. 74) начинаем с веса птицы — вполне известной нам силы.

Фиг. 74. Диаграмма сил (а) и схема приложения сил (б).

_{Масштаб: в 1 см — 0,5 м; в 1 см — 1 кГ.}

Проводим вертикальную прямую и откладываем на ней направленный вниз вектор АВ длиной 2 см, обозначающий вес птицы 2 кГ. Из точки В проводим отрезок ВС, параллельный правой стороне провода, обозначающий натяжение провода, затем — еще один вектор, параллельный левой половине провода. Этот вектор должен замкнуть треугольник, поскольку сумма сил, действующих на Y, должна быть равна нулю, Но мы не знаем, какой длины должны быть векторы натяжений. Поэтому проводим две прямые: одну из точки В вверх под углом Е, а вторую — через точку А, также под углом Е, и отмечаем точку С пересечения этих прямых. Теперь у нас есть треугольник сил, стороны которого можно было бы измерить и определить, исходя из выбранного масштаба.

Можно обойтись и без измерений, если удастся увязать диаграмму сил с реальной конфигурацией посредством подобных треугольников (фиг. 75).

Фиг. 75. Применение теоремы о подобных треугольниках.

_{а — схема приложения сил; б — диаграмма сил (все не в масштабе).}

Треугольник сил ABC не подобен треугольнику XYZ, но, как в большинстве таких задач, можно отыскать подобные треугольники, произведя простые дополнительные построения. В данном случае можно провести линии, показанные на фигуре пунктиром, и воспользоваться доказательством, данным ниже.

Треугольники WYZ и DBC подобны. В треугольнике DBC сторона DB представляет собой половину веса птицы, т. е. ¹/₂ (2 кГ).

В треугольнике WYZ сторона WY представляет собой вертикальный провес провода, равный по условию 0,3 м.

Таким образом,

3 м/0,3 м в треугольнике WYZ = Т₁ кГ/1 кГ в треугольнике DBC.

Отсюда натяжение Т₁ = (1 кГ)(10/1) = 10 кГ. Точно так же находим Т₂ = 10 кГ.

Птица весом 2 кГ способна создать натяжение 10 кГ. Как вы думаете, каково было бы натяжение, если бы провод не был так слабо натянут и провисал не на 0,3 м, а всего на 2 см?

Задача 2

Маятник состоит из груза весом 6 кГ, подвешенного на веревке длиной 3 м. Груз оттянут в сторону приложенной к нему горизонтальной силой. При этом натяжение веревки маятника, составляющей некоторый угол с вертикалью, равно 10 кГ.

а) Какова величина горизонтальной силы, приложенной к грузу?

б) Какой угол составляет с вертикалью нить маятника?

Задача 3

Хирург накладывает на плечо больного специальную шину и хочет приложить к ней вертикальную направленную вниз силу 5 кГ. Он предлагает для этого оттянуть шину вниз с помощью веревки. Чтобы плечи и грудная клетка больного не создавали при этом помехи, хирург осуществляет натяжение шины двумя веревками, идущими от плеча по обе стороны, спереди и сзади, причем каждая веревка образует угол 30° с вертикалью (фиг. 76).

Фиг. 76. К задаче 3.

а) Вычислите необходимое натяжение каждой веревки. (Постройте в большом масштабе наглядную диаграмму сил.)

б) Объясните проведенные вами вычисления.

Задача 4

Канатоходец, весящий 75 кГ, стоит посредине каната длиной 8,6 м, натянутого между двумя опорами, отстоящими друг от друга на 8 м (фиг. 77, а).

а) Найдите натяжение каната, сопроводив вычисления диаграммами и четкими объяснениями. (Примечание. При указанных размерах провес посредине составляет 1,7 м.)

б) Представьте себе, что канат удлинен с одной стороны и прикреплен к более высокой опоре, как показано на фиг. 77, б, причем углы, которые обе половины каната образуют с горизонтальным направлением, остаются прежними. Как это скажется на натяжении(ях)?

Фиг. 77. К задаче 4.

Задача 5

а) Какие из перечисленных ниже слов должны, по вашему мнению, обозначать векторы (вектор — это величина, которая подчиняется правилу геометрического сложения); сила, объем, ускорение, скорость, температура, плотность, доброта, скромность, влажность, электрическое поле?

б) Дайте (максимум в две строчки) письменное определение суммы, нескольких векторов. (Не приводите правила для нахождения суммы. Дайте ясное описание, из которого было бы видно, что это такое.)

в) Покажите с помощью рисунков и краткого описания, как правило параллелограмма для сложения векторов (т. е. правило геометрического сложения) ведет к способу многоугольника, при котором каждый последующий из складываемых векторов проводится из конца предыдущего.

Задача 6. Важное соотношение: груз на наклонной плоскости

Тело покоится на наклонной плоскости без трения; наклонная плоскость образует с горизонтальным направлением угол А (отношение высоты наклонной плоскости h к длине L таково, что sin A = h/L). Тело удерживается на наклонной плоскости от скольжения вниз веревкой, натяжение которой F параллельно наклонной плоскости. Земное притяжение действует на тело вертикально вниз с силой, которую мы называем весом тела W (фиг. 78).

Фиг. 78. К задаче 6.

а) Изобразите тело на наклонной плоскости и укажите стрелками направления W и F. Добавьте еще одну стрелку и укажите направление реакции опоры Р, с помощью которой наклонная плоскость действует на тело. Считайте, что, поскольку трение на наклонной плоскости отсутствует, реакция опоры Р должна быть перпендикулярна к поверхности наклонной плоскости. Покажите все ото стрелками, выходящими из тела.

б) Начертите еще один рисунок, показывающий, что векторы, W, Р и F при сложении дают нуль.

в) Если вы согласны, что оба ваши рисунка содержат подобные треугольники, то, воспользовавшись этим, выразите отношение F/W через h и через угол А.

г) Представьте себе теперь, что веревку перерезали так, что сила F исчезает и тело начинает двигаться с ускорением вниз по наклонной плоскости.

В отсутствие веревки на тело действует результирующая сила, направленная вниз по наклонной плоскости, такой же величины, как сила F, которая была направлена вверх по наклонной плоскости. Какова величина этой силы?

Задача 7

Рассмотрите задачу 6 другим способом. Разложите вес W на компоненты F (направлена вниз по наклонной плоскости) и Р (направлена перпендикулярно к наклонной плоскости). Выразите F через W u h и т. д. Это позволяет найти необходимое натяжение веревки и, если веревка отсутствует, — результирующую силу, направленную вниз по наклонной плоскости, которая вызывает ускоренное движение тела.

Задача 8

Незадолго до работ Галилея Стевин опубликовал остроумный «мысленный» эксперимент. Он рассуждал следующим образом. Представим себе связку гладких шариков в виде ожерелья, повешенную на треугольную призму (фиг. 79).

Фиг. 79. К задаче 8.

Связка должна находиться в равновесии: мы не предполагаем, что она, скользя по наклонной плоскости, будет двигаться вокруг призмы все быстрее и быстрее, просто потому, что на наклонной плоскости больше шариков.

Отрежем с двух концов ту часть связки, которая свободно свешивается под призмой. Поскольку эта часть связки симметрична, ее удаление не может нарушить равновесия. Исходя из этого, Стевин предсказал, что отношение F/W для груза на наклонной плоскости должно быть равно h/L. Попытайтесь продолжить и завершить его рассуждения и прийти к этому выводу. (Указание. Сосредоточьте все шарики, находящиеся на наклонной плоскости, в один сплошной кусок, а все шарики, висящие вертикально, — в другой кусок. Соедините оба куска нитью, перекинутой через блок.)

Задача 9

Конструктор намерен включить в свой прибор маятник, груз которого оттягивался бы в сторону шнуром, перпендикулярным к нити маятника, т. е. направленным по касательной к дуге, описываемой грузом (фиг. 80). Длина нити маятника 3 м, железный груз весит 10 кГ.

Фиг. 80. К задаче 9.

а) Какую силу Р нужно приложить к грузу маятника, чтобы оттянуть его на 0,3 м по горизонтали? Аккуратно постройте диаграммы и сопроводите ваши расчеты объяснениями.

б) Повторите расчет при условии, что груз оттягивается в сторону на 0,6; 0,9; 1,2; 1,5 м по горизонтали.

в) Что вы можете вообще сказать относительно силы Р, необходимой, чтобы сообщить грузу такие отклонения? (В этом заключается исходное положение теории колебаний маятника.)

Фиг. 101. Растяжение проволоки.

Фиг. 102. Кручение металлического стержня.

_{Левый конец образца зажат, а правый конец соединен с большим диском, который свободно вращается; грузы подвешены на ленте, обернутой вокруг диска. Стрелка указывает величину угла кручения.}

Фиг. 103. Прогиб деревянной балки.

_{а — балка закреплена одним концом; вблизи второго нагруженного конца измеряется вертикальное отклонение; б — балка оперта вблизи ее концов и нагружена в середине.}

Научные законы

Когда мы говорим, что проволока «подчиняется» закону Гука при небольших нагрузках, мы вовсе не хотим сказать, что Гук или его закон заставляют проволоку вести себя подобным образом. Мы просто подразумеваем, что она именно так ведет себя, — так показал эксперимент. И это пример того поведения, которое описывает в общем виде закон Гука. Слово «закон» дезориентирует. Оно используется в науке для характеристики зависимости или поведения (например, материала или вещества), которое установлено и имеет, по-видимому, весьма общий характер, а также представляется нам простым и важным.

Большинство научных законов найдено на основе эксперимента индуктивным путем, как и закон Гука. Некоторые были выведены методом дедукции из тех или иных теоретических схем: в химии закон кратных отношений развит на основе атомистической теории, закон равномерного распределения энергии между частицами выведен из статистической механики (и оказался частично неприменимым). Иногда утверждению присваивается другое название — «принцип», или «правило», или даже (достойный термин) «соотношение». Например: принцип сохранения энергии, квантовые правила отбора, соотношение масса-энергия Е = mс². Закон, принцип, правило[65] — теперь вы можете рассматривать эти понятия как очень схожие между собой; все они суммируют то, что мы обнаружили или что по нашему мнению может происходить в природе. Поэтому выражение «… подчиняется… закону» надо считать неудачным. Научные законы не командуют природой подобно полисмену. Их нельзя использовать для «объяснения» того, что подсказало нам мысль о существовании этих законов, но они могут пролить свет на другие эксперименты. Законы сами возникли из экспериментов, и вряд ли их можно считать ниспосланными свыше причинами явлений, выявленных самими экспериментами. Скорее законы — это простые правила, которые мы извлекаем из изучаемого нами запутанного клубка, основные нити экспериментальных сведений, которые вырабатываются в науке. Наука ничего не могла бы достичь, если бы знание было просто клубком запутанных фактов или случайных наблюдений.

Мы считаем, что существуют простые законы, которые мы ищем, и что каждый из них должен давать правильное описание природы, в которой их и обнаруживают. Но философия науки предостерегает нас от излишней доверчивости. Она напоминает нам, что в законах много искусственного. Природа, сведенная в систему законов, есть отражение наших представлений о природе.

Созданные человеком законы содержат допущения, отражающие наши надежды. Даже при выводе закона Гука мы считали, что для нахождения полной нагрузки можно складывать веса грузов, которыми мы нагружаем пружину. У нас нет способа доказать, что нагрузка, равная 200, плюс нагрузка, равная 300, составляют нагрузку, равную 500. Мы просто допускаем это в качестве определения «общей нагрузки». Таким образом, некоторые упрощения созданы нами самими; мы не втискиваем природу в простую форму, а стараемся упростить ее описание. Это несколько циничное заявление, вероятно, вас шокирует, но следует признать, что вы не одиноки. То же испытывают многие физики.

Иной взгляд на законы

Не происходит ли так, что однажды найденные научные законы существуют непрочно из-за постоянного ожидания открытия новых исключений из них или ограничений? Некоторые современные философы оспаривают подобную недооценку законов и приписывают им гораздо большее постоянство. Они считают, что закон представляет собой ясное выражение элементарных фактов, причем вопрос об ошибочности или неверности закона вообще не ставится.

Этот закон утверждает именно то, о чем идет речь, позволяя регламентировать нашу информацию. Роль науки, говорят эти философы, — в знании, которое выражается законом с соответствующими ограничениями.

Говоря о законе Гука «удлинение изменяется пропорционально нагрузке», мы не должны спрашивать: «Верно ли это утверждение?».

Скорее следует поставить такие вопросы: насколько факты соответствуют этому утверждению? Многие ли вещества в различных формах подчиняются ему? Приложимо ли оно к малому или большому диапазону удлинений? Если большая часть пружин и кусков проволоки подчиняется данному утверждению в пределах большого диапазона растяжений, то мы рассматриваем это как полезный факт, заслуживающий наименования закона. Мы можем нарисовать себе картину безграничной области применимости этого закона — от бесконечных удлинений до предельных сжатий, однако мы не строим иллюзий насчет того, что реальные материалы смогут подчиняться ему в таком диапазоне. Зато мы гордимся тем (а это почерпнуто, конечно, из опыта), что знаем пределы его применимости. Мы полагаем, что знаем, какой диапазон удлинений справедлив, скажем, для стальной проволоки и насколько близко в этом диапазоне экспериментальные замеры соответствуют закону.

Кроме того, мы исследуем вещества типа стекла или глины и подозреваем в этом случае наличие серьезных отклонений.

С этой точки зрения закон скорее похож на железнодорожное расписание. Расписание говорит не больше того, о чем в нем говорится; вопрос о его нарушении (не считая нелепых опечаток) не ставится. Но насколько точно курсируют поезда по этому расписанию, — уже совершенно другой, важный для пассажиров вопрос, на который может ответить только опытный специалист-железнодорожник. Заметьте, что этот взгляд на научный закон не так уж отличается, как кажется сначала, от первой точки зрения, согласно которой закон суммирует данные эксперимента. Мы просто вносим данные экспериментальных испытаний и знание ограничений черную записную книжку» с детальными знаниями. Это и делает его специалистом.

Основы знания, которые мы называем наукой, остаются в большей своей части постоянными, как бы вы ни смотрели на законы, но размышления об этих взглядах могут помочь вам увидеть, как подлинная природа, которая поистине очень сложна, может быть интерпретирована на основе простых законов.

Мы считаем, что существуют простые законы, которые должны быть найдены независимо от того, какую из двух описанных выше точек зрения мы предпочли. Вывод законов есть одна из форм научной деятельности в физике, но есть еще и мышление, обогащенное фантазией, а над всем этим искусство связывать законы воедино, которое вдохновляется надеждой найти общее объяснение или высказать новые предположения. В дальнейшем мы вернемся к обсуждению законов, концепций и теорий, а пока, изучая этот курс, вы должны изучать законы, принимая каждый из них с доверием, но критически, и заглядывать вперед, чтобы самим следить за тем, как развивается наука, когда законы связываются между собой[66].

Удлинение за пределами справедливости закона Гука

В устройстве, показанном на фиг. 101, удлинение медной проволоки А длиной в несколько метров измеряется стрелкой, которая скользит по шкале, прикрепленной к другой проволоке В, подвешенной к той же поверхности. До некоторой нагрузки (равной нескольким килограммам для медной проволоки диаметром 1 мм) проволока «подчиняется» закону Гука, удлиняясь на несколько миллиметров. Когда же нагрузка увеличивается еще больше, удлинение растет быстрее, чем следовало бы по закону Гука, затем резко возрастает и становится видимым. Наконец, растянувшись на сотни миллиметров, примерно до 40 % своей длины, проволока разрывается. Попытайтесь воспроизвести этот опыт с хорошо закрепленным отрезком медной проволоки. Внимательно осмотрите концы проволоки в месте разрыва.

Физиков интересуют эти изменения, они стараются истолковать их в терминах деформации кристаллов металла. При этом встречаются неожиданности: неправильности, вносимые спеканием множества малых кристаллов» делают проволоку значительно более прочной, нежели в случае монокристалла, слои атомов которого легко скользят один по другому. Межатомные силы, связывающие кристаллы, еще исследуются. Мы знаем, что эти силы быстро изменяются в зависимости от расстояния. Поэтому неожиданной является их способность привести к столь простому явлению, как закон Гука, даже при самых малых удлинениях.

Инженеры и упругость

Закон Гука открывает перед инженером возможность предварительно определять упругие изменения, возникающие при нагрузке в конструкциях. Он может вычислить прогиб моста, прежде чем мост построен, или определить закручивающую силу на валу гребного винта, измеряя малые деформации при закручивании. Для подобных целей он должен лишь точно знать поведение измеряемого образца материала; на основе этих данных инженер проектирует полномерную конструкцию. Его интересуют также свойства материалов за пределами применимости закона Гука, например при разрушающей нагрузке; эти данные он находит также по измерениям на образцах. Как экспериментаторы, составляющие справочные таблицы для инженеров, избавляются от ненужных подробностей? Как они приводят свои измерения к величинам, относящимся к самим материалам, а не к данному образцу?

Описания специальных задач теории упругости и поставленные в них вопросы покажут вам некоторые методы обработки данных, которыми пользуются инженеры, а работа над ответами на вопросы даст вам возможность продумать до конца «правила игры».

Некоторые вопросы представляют собой «упражнения», основанные на здравом смысле. Другие просто иллюстрируют полезные термины, введенные инженерами.

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Введение

Как и пружины, проволока или стержни из твердого материала (подобно стали), будучи нагруженными, удлиняются. До определенного предела удлинение прямо пропорционально нагрузке. Это пример общего правила, названного законом Гука в честь совершенного им открытия. Пределу, за которым это простое отношение нарушается, присвоено название предел пропорциональности (предел действия закона Гука).

Предел упругости — состояние, после которого образец непрерывно изменяется. Некоторые вещества при нагрузке, превышающей предел упругости, внезапно обнаруживают большую текучесть. Эта точка называется пределом текучести.

При еще большей нагрузке образец разрушается. Эта точка, называемая пределом прочности, расположена вблизи предела текучести (если такое же имеется).

Как инженерам, так и физикам чрезвычайно важно знать предел прочности, предел текучести, предел упругости, предел пропорциональности и зависимость между нагрузкой и деформацией в области действия закона Гука. Здравый смысл вам подскажет, как предсказать некоторые из этих параметров для проволоки и стержней одного размера, если вы располагаете экспериментальными данными по нескольким другим размерам. Задачи, приведенные ниже, указывают, как это сделать. (Для обозначения «изменяется прямо пропорционально» или «пропорционально» пользуйтесь символом ~.)

Разрушающие силы

Задача 1

Предположим, что разрушающая сила для данной проволоки равна 45,4 кГ. Разрушающая сила для пучка из четырех таких проволок, связанных вместе, будет равна ___ кГ. Если все четыре проволоки сплавить вместе в одну толстую проволоку (не изменяя длины), то следует ожидать, что эта толстая проволока также будет разрушена силой ___ кГ.

Площадь поперечного сечения толстой проволоки в ___ раз больше соответствующей площади одинарной исходной проволоки.

Это рассуждение, сделанное на основе здравого смысла, позволяет предположить, что отношение между разрушающей силой F_В и площадью поперечного сечения А проволоки или стержня, по-видимому, должно быть

________ _{(напишите алгебраическое выражение, используя знак ~)}

Задача 2

а) Имеются стержни квадратного сечения: небольшой, размером 25,4х25,4 мм², и крупный, размером 50,8х50,8 мм². Разрушающая сила для крупного стержня должна быть в раз больше. Вообще отношение между разрушающей силой F_В и шириной w квадратного стержня должно быть

________ _{(напишите алгебраическое выражение, используя знак ~)}

б) Имеются стержни или проволока круглого сечения. (Вспомните: площадь круга равна πr², или πd²/4, где d — диаметр круга.)

Если мы увеличим диаметр круга в 2 раза, то удваивается и радиус, а площадь круга увеличивается в ___ раз.

Если мы увеличим диаметр круга в 10 раз, то его площадь увеличится в ___ раз.

Вообще соотношение между диаметром d и площадью А для круга равно ___. Отсюда соотношение между разрушающей силой F_В и диаметром d для стержней и проволоки должно быть

________ _{(напишите алгебраическое выражение, используя знак ~)}

Задача 3

Поработайте над интересным приложением описанной методики к вопросу о размерах слонов. Мамонты, вымерли, быть может, потому, что были слишком тяжелы для своих собственных ног. Животное такой же формы, но построенное по удвоенной шкале так, что по сравнению с мамонтом его высота, длина и ширина вдвое больше, имеет объем больше в ___ раз, поэтому оно весит в ___ раз больше, если состоит тоже из мяса и костей. Однако ноги этого нового животного вдвое большего диаметра только в ___ раз сильнее. Таким образом, имеется предел для безопасных размеров животного. Должно ли это ограничение относиться и к китам? ___ Почему? ___

Задача 4

Допустим, что проволока в 2 раза длиннее испытываемого образца и к ней подвешен точно такой же разрушающий груз. Сила передается вдоль всей удвоенной длины, и разрушение произойдет, по-видимому, так, как и прежде. (Мы, конечно, понимаем, что разрушающая сила не увеличится вдвое, как не следует ожидать и того, что длинная проволока будет разрушена вдвое меньшей силой. Если, как это часто случается, разрыв произойдет в каком-то ослабленном месте, то на длинной проволоке более вероятно найти слабое место. В последнем случае более длинная проволока может легче разрушиться, но, отвечая на поставленный ниже вопрос, вы, не должны принимать во внимание этот довод.)

Каково отношение между длиной проволоки l и разрушающей силой F?

Напряжение

Задача 5

Просмотрев ответы на заданные вопросы, вы увидите, что, когда мы имеем дело с проволокой и стержнями разных размеров, но из одного материала, вопрос о том, разорвется ли проволока, определяется не только величиной приложенной силы (нагрузки), но и площадью поперечного сечения проволоки.

Для проволоки различных размеров разрушающая сила различна; но отношение (или дробь) (разрушающая сила)/(площадь поперечного сечения) должно быть одинаковым для всех образцов. Основываясь на ваших предыдущих ответах, согласны ли вы с этим? ___ Поэтому приведенное отношение открывает путь для определения той величины нагрузки, которую должен испытать материал, чтобы он разрушился (это относится больше к данному виду материала, чем к отдельному стержню). Отношение (разрушающая сила)/(площадь поперечного сечения) называется пределом прочности.

Пользуясь понятием напряжения, мы можем принимать решения, независимые от формы и размеров образца. Так, зная предел прочности материала, мы можем вычислить разрушающую силу для какого-либо отдельного стержня или отрезка проволоки.

Задача 6

Напряжение, вычисленное как отношение (сила)/(площадь), может служить главным мерилом качества обработки, которой подвергся материал. Нагрузки, соответствующие пределу пропорциональности, пределу упругости, пределу текучести, в большой степени следуют тем же отношениям, что и разрушающая нагрузка, хотя и различны по величине. Таким образом, существуют напряжения, соответствующие пределу текучести, пределу пропорциональности и т. д.

Если все нагрузки измеряются в кГ, а все диаметры в мм, то каждое из этих напряжений должно измеряться в ___ (единицы).

Если силы измерять в ньютонах, диаметры — в метрах, то все напряжения будут в ___ (единицы).

Эти единицы служат, кроме того, еще для измерения _? _.

Область применения закона Гука

Задача 7

Для удлинений по закону Гука мы можем опять представить себе связку проволок, скрученных в одну толстую проволоку. Исходя из этого, мы обосновываем способ определения силы, необходимой для того, чтобы произвести определенное удлинение, отнесенное к диаметру проволоки.

Чтобы связка из четырех проволок получила такое же удлинение, требуется сила, большая в ___ раз.

Площадь поперечного сечения такой связки, сплавленной в одну проволоку, будет в ___ раз больше.

Отсюда отношение между силой F, потребной для определенного удлинения, и площадью поперечного сечения А должно быть равно _? _ _? _.

Для проволоки круглого сечения отношение между силой F (для определенного удлинения) и диаметром d должно быть равно _? _ ~ _? _.

Задача 8

Отношение (растягивающая сила)/(площадь поперечного сечения) действительно определяет удлинение для данного материала. Мы называем это отношение напряжением. Тогда, если одинаковое напряжение приложено к проволокам разных диаметров, но одной и той же длины и сделанным из одинакового материала, удлинение для всех этих проволок должно быть одинаковым.

Объясните кратко, почему: ___

Задача 9

В пределах области действия закона Гука удвоение длины проволоки дает как бы две проволоки, каждая из которых будет растягиваться с первоначальным удлинением. Таким образом, общее удлинение при той же нагрузке будет в ___ раз больше.

Вообще отношение между удлинением Δl и длиной l проволоки для нескольких разных проволок из того же материала, несущих одинаковую нагрузку, будет ___.

Деформация

Задача 10

Рассматривая поведение проволоки различной длины, мы видим, что отношение (удлинение)/(длина) должно быть одинаковым для всех проволок из одного и того же материала при том же напряжении, хотя длина проволок различна. Считаете ли вы это утверждение рискованным? приемлемым? по-видимому, правильным? правильным? ___

Это отношение называется деформацией. Пользуясь им, мы можем отвлечься от длины образца и установить характеристику самого материала. Если мы измеряем удлинение и длину в миллиметрах то деформация должна измеряться в ___ _{(единицы)}.

Модуль

Задача 11

Инженерам и физикам часто бывает необходимо знать упругие свойства материала в определенном виде, пригодном для разнообразных форм и размеров образцов и разнообразных прилагаемых сил. С этой целью мы используем:

напряжение, которое представляет собой отношение

СИЛА/ПЛОЩАДЬ (к которой она приложена)

вместо собственно силы (нагрузки);

деформацию, представляющую собой отношение

ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ (или соответствующего размера)/ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ДЛИНА (или соответствующий размер)

вместо собственно изменения длины.

Тогда в пределах действия закона Гука, где простейшим утверждением является

УДЛИНЕНИЕ ~ НАГРУЗКА [или (НАГРУЗКА)/(УДЛИНЕНИЕ) = соnst],

мы получаем более обобщенное отношение, которое, подобно отношению (нагрузка)/(удлинение), постоянно. Но это обобщенное отношение не зависит ни от формы, ни от размера используемого образца. Оно одинаково для всех образцов данного материала. Чтобы вывести обобщеннов отношение, мы используем напряжение и деформацию вместо нагрузки и удлинения. Теперь мы можем представить закон Гуна в общей, итоговой форме:

?/? = const

Эта постоянная называется модулем. Чем легче вещество растягивается (или сжимается), тем

___________ должен быть его модуль.

_{(больше?/меньше?)} 

Используя напряжение и деформацию, можно представить закон Гука в общей форме: (напряжение)/(деформация) = const; это значит, что отношение

постоянно.

Такое отношение (напряжение)/(деформация) мы называем модулем.

В пределах справедливости закона Гука модуль является характеристикой материала, различной для различных видов деформации, но не зависящей ни от формы, ни от размеров образца и приложенной силы. Чем больше сила, необходимая для придания материалу заданной деформации, тем больше модуль. Следовательно, величина модуля характеризует жесткость материала, а не легкость его растяжения и т. п.

Для чистого растяжения стержня или проволоки с помощью растягивающей силы (мы об этом говорили) модуль, определяемый отношением (напряжение)/(деформация), называется модулем Юнга (модуль продольной упругости). Он относится также и к сжатию (фиг. 104,а). Инженеры пользуются им, чтобы заранее определять возможные изменения мостовых балок при их растяжении или сжатии.

При изгибе упругой балки одни волокна растягиваются, другие сжимаются (фиг. 104,б), поэтому модуль Юнга применяется и при изгибе. Пометьте резиновую трубку или резиновый брусок чернилами и постарайтесь растянуть или изогнуть их.

Фиг. 104. Растяжение (сжатие) стержня или проволоки (а) и изгиб балки (б).

Сильнее сжимаются и растягиваются внешние волокна, поэтому в них возникают большие давления и напряжения, препятствующие изгибу. Внутренние волокна претерпевают малые деформации, и, следовательно, в них возникают малые силы. Их можно удалить с небольшой потерей прочности, но с весьма существенной экономией в весе. Именно поэтому сплошные балки заменяются двутавровыми (I-образными, фиг. 105), а в велосипедных рамах ставят не сплошные, а пустотелые детали трубчатой формы.

Фиг. 105. Изогнутая балка.

_{а — балка разрезана на части А и В; б — волокна части В создают силы, приложенные к части А; в — двутавровая балка может быть намного легче, но обладает той же прочностью при изгибе.} 

Для других видов деформации существуют другие модули.

Для чистого изменения размера без изменения формы (т. е. чистого сжатия, фиг. 106) применяется объемный модуль.

Фиг. 106. Чистое изменение размеров.

Сжимающее напряжение легко осуществляется с помощью давления жидкости.

Для чистого изменения формы без изменения размеров (сдвиг) существует модуль сдвига. При кручении стержня происходит сдвиг, поэтому здесь применяется модуль сдвига. Попробуйте скрутить резиновый брусок или трубку, помеченные чернилами.

Положите толстую книгу на стол и толкайте переплет так, чтобы страницы скользили одна по другой. Начерченный карандашом на обрезе книги прямоугольник деформируется и приобретает форму ромба (фиг. 107 и 108).

Фиг. 107. Сдвиг.

_{При сдвиге квадратные стороны кубического блока принимают форму ромба.} 

Фиг. 108. Другой пример деформации сдвига.

_{Наклонные волокна блока растягиваются и сжимаются так, что его стороны из ромбов с острыми углами 45° становятся прямоугольниками. Попытайтесь проделать это с блоком большой книги.}

В книге происходит сдвиг; ее форма изменяется, но объем остается прежним. Вы можете вообразить, что каждый слой атомов или молекул (каждая страница книги) принужден скользить поверх следующего слоя, испытывая возрастающую сдерживающую силу. Когда стержень закручивается, волокна, первоначально параллельные оси стержня, отклоняются от нее и оказываются сдвинутыми (фиг. 109).

Фиг. 109. Закручивание цилиндра.

_{Волокно сдвигается и занимает наклонное положение, а квадраты, начерченные на поверхности цилиндра, иллюстрируют деформацию сдвигом. А — закрученный конец.}

Внутренние слои скрученного стержня претерпевают относительно малые деформации, создают малые противодействующие напряжения и, следовательно, мало участвуют в сопротивлении стержня скручиванию. Трубка почти так же прочна, как сплошной стержень, но намного легче.

Деформации в различных материалах

Жидкости и газы не оказывают постоянного сопротивления изменению формы, и, таким образом, модуль сдвига к ним неприменим. Но при изменении объема они проявляют упругие свойства, которые характеризуются объемным модулем сжатия. Жидкости подчиняются закону Гука, объем их изменяется в пределах большого диапазона давлений; газы легко отклоняются от закона Гука, и для них должен быть найден другой закон. Для твердых тел простые изменения сдвига и сжатия могут комбинироваться с более сложными видами деформаций, например в спиральных пружинах или в подъемно-транспортных машинах, и во всех случаях обычного поведения материалов по закону Гука отношение

НАПРЯЖЕНИЕ (соответствующее приложенным силам)/ДЕФОРМАЦИЯ (искажение)

выдерживается в широком диапазоне постоянным для данного материала; иначе говоря, (напряжение)~(деформация),

Закон Гука

Общая форма закона Гука

НАПРЯЖЕНИЕ/ДЕФОРМАЦИЯ = const

приложима ко всем материалам (в известных пределах) и ко многим видам деформации. Закон замечателен и полезен не только потому, что прост, но и вследствие широкого диапазона применения. Спиральная стальная пружина с плотно прилегающими витками может растягиваться до длины, в 5 или 10 раз превышающей первоначальную, прежде чем достигнет своего предела пропорциональности.

Можно изогнуть деревянную балку или навить «волосок» (спиральную пружину) под большим углом все еще по закону Гука. Даже обыкновенная металлическая проволока, подвергнутая растяжению, удовлетворяет закону Гука в пределах удивительного диапазона удлинений, оставляя далеко позади ничтожно малое удлинение, вызванное нагреванием. Можно представить себе, что ее атомы, нагруженные по отдельности тянущей силой, направленной против электрического притяжения, испытывают влияние индивидуальных сил, действующих по закону Гука.

Если построить кривую, представляющую величину у, деформацию, в зависимости от величины х, представляющей напряжение, закон Гука будет выражен прямой линией, проходящей через начало координат. Эта линия выражает зависимость у = kх. Точная формулировка для реальных материалов может быть гораздо более сложной математической зависимостью, но во многих случаях, когда у = (сложная функция х), мы можем выразить ее в виде ряда

у = А + Вх + Cx² + Dx³ +…,

где А, В, С…. — постоянные величины. В этом случае у = 0, когда х = 0 (если не приложено напряжение, то нет и деформации). Следовательно, А должно быть равно нулю. Из эксперимента известно, что закону Гука хорошо соответствует предположение, по которому С, D…. весьма малы. Тогда по закону Гука у ~= Вх. Однако, когда х возрастает, значения x², x³ и т. д. возрастают даже больше (поскольку при удвоении х значение x² становится в 4 раза больше, x³ — в 8 раз больше и т. д.). Следовательно, если С, D…. не равны точно нулю, мы должны ожидать, что их предельные значения становятся ощутимыми при больших напряжениях. Широкий диапазон применения закона Гука говорит нам, что эти константы удивительно малы. Все же они существуют, поэтому мы должны рассматривать наш великий и простой закон Гука только как гипотезу, очень близкую к природе. Открыли мы эту простую зависимость или измыслили ее?