Возникновение человека[1]

Астрономия почти так же стара, как Человек. Когда же появился человек и почему он стал заниматься астрономией?

Человек начал проявлять себя как разумное существо несколько сотен тысяч лет тому назад, о чем свидетельствуют наскальные рисунки в пещерах, исследованные еще очень неполно. Этих данных недостаточно, чтобы прийти к более определенным выводам, и, по мнению антропологов, прежде всего следует решить, что мы понимаем под словом Человек. Каковы основные черты, отличающие человека от животных? Решение определенных задач? Но ведь крысы, например, могут без посторонней помощи выбираться из лабиринта, а муравьи ведут настоящие сражения. Применение различных орудий? Но обезьяны часто пользуются палками и камнями, а некоторые даже строят примитивные хижины на деревьях. Забота о будущем? Пожалуй, наиболее отчетливое отличие человека от животного появляется именно тогда, когда человек начинает изготовлять орудия для использования их в будущем. Такая работа для будущего содержит в себе простую форму рассуждения: если…, то…. Человек делает стрелы для охоты на дичь, которую может встретить, роет могилы для умерших, веря, что им предстоит загробная жизнь. Заботы о пополнении запасов пищи и постройке жилища могут при наличии речи привести к более обширным планам… совместной жизни… традициям… законам….

Таким образом, человек начинает проявлять себя как планирующее и рассуждающее существо, беспокоящееся о будущем. Он пытается приспособиться к изменяющимся условиям окружающей среды, меняет предметы своего обихода применительно к погоде, для защиты от нападений, наводнений, голода. Он совершенствует орудия труда, одежду, условия жизни, продукты питания и прочее, чтобы противостоять каждому новому изменению среды. Это давало ему значительно более высокие шансы выжить.

Каков возраст человечества? Быть может уже миллион лет назад первобытный человек, умеющий создавать орудия труда, в некоторых отношениях отличался от своих обезьяноподобных «собратьев». Примерно 200 000 лет назад существовал примитивный неандерталец, которого затем вытеснили наши более способные предки. Его основным занятием была охота, он владел лишь грубыми орудиями, но уже умел пользоваться огнем и заботливо хоронил умерших. Существует очень мало указаний на то, какими были наши прямые предки более 100 000 лет назад[2], когда люди пользовались каменными орудиями. В течение следующих 80 000 лет каменные орудия совершенствовались, появились изделия из кости с резьбой и рисунками; но люди по-прежнему были дикарями и жили небольшими группами. Художники каменного века изготовляли маленькие статуэтки, символизирующие плодородие, и рисовали на стенах пещер животных. Некоторые из дошедших до нас фигурок и изображений представляют собой истинные произведения искусства.

Лишь 12 000 лет назад началась эпоха земледелия. Наступил новый период в жизни человека — агрономия дополнила случайные урожаи, охота на диких животных стала уступать место приручению и разведению скота, его выгону на пастбища; люди начали пользоваться гончарными изделиями для приготовления пищи, возникло производство продуктов питания, простые ремесла.

Вслед за этим, за пять или шесть тысяч лет до нас началась новая эра: отдельные селения стали объединяться в государства, появились различия в жизни города и деревни, возникла цивилизация. Люди строили большие города, в которых развивались вторичные отрасли индустрии, снабжаемые организованным сельским хозяйством и обогащаемые торговлей. На смену каменным орудиям пришли изделия из металла: меди, бронзы, железа. Для решения задач, связанных со строительством, развитием ремесел и торговли, с вопросами управления, потребовались знания арифметики, геометрии, измерения веса, длины, площади, объема, времени. Снабжающее города сельское хозяйство нуждалось в календаре для своевременной посадки растений, ухода за животными и использования разливов для орошения земель. Длительные перевозки товаров по морю и суше потребовали компаса. В эпоху ранней цивилизации компас, часы и календарь были столь же необходимы, как и сейчас. Все это дала людям астрономия.

Развитие человека

Три тысячи лет назад на Земле уже существовали цивилизации. Благодаря систематическим наблюдениям за Солнцем, Луной и звездами были созданы часы, календарь и компас. Пока человек был лишь добытчиком пищи, для него Солнце, Луна и звезды служили не более чем грубым ориентиром. Астрономия как наука складывалась на протяжении десятка тысяч лет. Если этот срок покажется вам слишком долгим, выразите его в количестве поколений; от дикаря с примитивным мышлением до цивилизованного человека, владеющего астрономией, прошло четыреста поколений, а до современного уровня знаний — еще сто двадцать поколений. Таков быстрый процесс покорения природы и интеллектуального развития человечества.

Возникновение астрономии

Самые первые сведения о небесных явлениях накапливались медленно. В течение столетий первобытный человек наблюдал звезды, принимал Солнце как нечто непреложное, полагался на лунный свет во время охоты и даже отсчитывал время по лунным месяцам. Солнце служило ему грубыми часами днем, звезды — ночью[3], восход Солнца определял восток, заход — запад; наибольшая высота Солнца (полдень) в течение всего года неизменно указывала юг, а ночью Полярная звезда — север.

При смене времен года ежедневный путь Солнца изменяется: зимой путь Солнца над горизонтом ниже, чем летом, место восхода Солнца также смещается по линии горизонта. Таким образом, по траектории Солнца можно было составить календарь времен года, как по расположению звезд на ночном небе, так как оно меняется каждую ночь в течение всего года.

По мере развития земледелия и скотоводства календарь играл все более важную роль. Необходимо было уметь предсказывать наступление времен года, чтобы подготовить почву и вовремя посадить зерновые культуры. Овцы, прирученные человеком одними из первых, приносят ягнят в определенный сезон, поэтому первобытным пастухам тоже нужен был календарь. Создание примитивного календаря сейчас кажется нам делом несложным, но в древние времена это было настоящим искусством. Обычно календари составляли священнослужители, которых уважали и даже освобождали от тяжелой работы — ухода за скотом и полевых работ.

По мере развития городской цивилизации сведения о движении Солнца, Луны и звезд собирались и записывались со все возрастающей точностью. Эти наблюдения систематизировались и с их помощью делались прогнозы. Так, уровень воды в реке Нил поднимается в определенные времена года; очень важно не только для земледелия, но и та соображений безопасности прогнозировать наводнения. Судьба рыбаков и мореплавателей зависит от прихоти океана, его приливов и отливов, поэтому закономерности в этих явлениях и зависимость их от фазы лунного месяца тщательно отмечались. Для городов время также играло важную роль — часы и календари были необходимы для торговли и путешествий[4].

Измерение времени способствовало интеллектуальному развитию. «Отсчитывая время по положению тени и учась пользоваться звездными часами, человек стал применять геометрию. Он научился определять свое положение в мировом пространстве и на Земле»[5].

Фиг. 1. Грубая схема развития человечества.

_{«Возраст Вселенной» не только представляется фантастической догадкой, но всецело зависит от нашего выбора шкалы времени, астрофизики все еще обсуждают этот вопрос.}

Астрономия и религия

Почему в древности люди придавали значение астрономии не только с практической точки зрения и почему вокруг Солнца, Луны, планет и звезд создавались различные мифы и суеверия?

В жизни человека ослепительно сверкающее Солнце играло огромную роль, и человек начал понимать это, как только стал задумываться над тем, что его окружает. Солнце давало свет и тепло людям, животным и посевам. Луна же служила источником света для охотников, влюбленных, путешественников, воинов. Эти огромные светильники казались тесно связанными со всей жизнью человека, и не удивительно, что за ними наблюдали и им поклонялись. Звезды являли собой мириады светильников меньшего размера и также служили источником удивления и поклонения. Люди воображали, что их передвигали боги или демоны, и наделяли звезды способностью творить добро или зло. Нам не следует считать подобные представления глупыми суевериями; ведь Солнце приносило долгожданное лето, а Луна давала полезный свет. Поэтому наивному уму представлялось вполне возможным просить Солнце и Луну приносить и другие дары Яркая звезда Сириус всходила на рассвете, во время разливов Нила, и если египтяне считали, что Сириус вызывает наводнение, то это вполне простительно. Смешение следствия и причины — ошибка, которую часто совершают и в наши дни.

Когда выяснилось, что яркие небесные тела как бы блуждают среди остальных, то за «планетами» (буквальный перевод «странники») стали наблюдать с тревожным интересом. Позднее в ранней цивилизации люди пришли к суеверным выводам, что их судьбами и характерами управляют Солнце, Луна и блуждающие планеты. Так развитию астрономических наблюдений способствовали суеверие я вера в волшебство.

Таким образом, развитие астрономии тесно переплелось с развитием религии; впрочем, и до сих пор они довольно тесно связаны, так как современная астрономия трактует о происхождении Вселенной и о ее будущем. Ниже изложены предположения о том, какими были ранние стадии этого развития[6].

Наука, магия и религия

Науку породила магия. Первобытный человек жил во власти сил природы. Его примитивный разум заставлял смотреть на природу, как на могущественное существо, которое можно в чем-то убедить. Он пытался вызвать дождь, прыгая и квакая, подражая лягушке, он старался добиться успеха в охоте, рисуя на стенах пещер животных, он зарывал умерших вблизи очага, надеясь согреть их и вернуть им жизнь, и клал возле могил орудия и пищу, которые могут им понадобиться в загробной жизни. Он проводил своего рода научные эксперименты, в основе которых лежали примитивные рассуждения. И не его вина, если представления — его были ошибочными. Современный человек не верит колдунам, ибо они не могут извлечь выводов из своих наблюдений — основной недостаток суеверия, упорной слепой веры. Первобытный человек не был способен разумно рассуждать и не мог правильно относиться к суевериям и предрассудкам.

Соблюдая ритуалы и поклоняясь магическим изображениям, человек проникался верой в могущество духов; он верил, что существуют добрые божества, которые могут ему помочь, и злобные демоны, которые приносят несчастья, верил в существование могущественных богов, которые управляют его судьбой. Точно ребенок, он пытался умилостивить богов, просил, чтобы они обеспечили ему хорошую погоду, здоровье, удачную охоту. Впоследствии первоначальные причины и цели были забыты, а обряды продолжали выполняться по привычке.

Важным фактором в развитии человеческого общества явилась речь. Заговорив, человек создал основы собственного мышления. Иные существа тоже могут общаться между собой — пчелы танцами передают друг другу сведения о наличии меда, лаем собаки выражают злобу, жалобу, радость. Речь открыли перед человеком огромные интеллектуальные возможности. В ходе длительного развития речь не только позволила человеку обмениваться информацией, но дала возможность накопить эту информацию и передать ее последующим поколениям. Затем речь поднялась на более высокий уровень — появились слова, выражающие абстрактные представления. Таким образом, речь открыла человеку новую область идей и рассуждений. Конечно, прогресс этот произошел не сразу. Словесная форма мышления вначале была нечеткой и бессвязной, рассуждения не доводились до конца, слова для описания тех или иных предметов были ошибочными, похожими на нынешний детский лепет.

С возникновением разговорной речи начала развиваться религия, стали вырабатываться правила поведения отдельных личностей и общества в целом. Даже еще до развития речи в семейном укладе человек получал понятие повиновения, а с помощью разговорной речи из поколения в поколение стали передаваться такие традиции, как, скажем, уважение к родителям и др. По мере того как семейства объединялись в роды… деревни… племена…, традиции превращались в законы и обычаи во имя общего блага. На основе таких традиций, из стремления избежать несчастья и во имя успеха возникло чувство необходимости объединяться в общины, возникла религия.

Первобытная религия переплетается с мифами о богах, с религиозными обрядами, с попытками привести в систему окружающую человека природу и развивающиеся социальные отношения. В создании религии астрономия играла важную роль. Своего рода первыми профессиональными астрономами были священники (мудрейшие люди деревни или племени) — составители календаря. Их преемником явилось могущественное духовенство первых городских цивилизаций. Так, в древнем Вавилоне священники были банкирами, врачами, учеными, правителями — они стояли во главе государства. Накопленные ими знания легли в основу многих наук. Накопленная в течение многих лет информация дошла до нас впоследствии в виде библейских текстов. Но было ли это наукой?

Наука — искусство понимать природу

Любознательность и стремление накапливать знания были свойственны людям с самых древних времен. Первобытный человек копил и использовал знания — таково было начало прикладной науки. Затем он начал систематизировать знания, применять их и размышлять над ними. Это трудный шаг — от отдельных примеров к обобщениям. Понаблюдайте, как это пытается делать ребенок. Трудно уловить идею общего поведения, закона или абстрактного качества. Однако это существенный шаг в превращении набора тех или иных фактов в раздел науки. В нашем современном понимании наука никогда не являлась просто скоплением информации. Сами ученые, начиная, пожалуй, с раннего духовенства, были не просто собирателями, коллекционерами знаний. Они рылись в фактах, чтобы достичь более глубокого понимания, пытались извлечь общие идеи из наблюдаемых ими событий.

Ученые стремились узнать, что произошло и как произошло, и в течение многих веков размышляли над тем, почему произошли те или иные события. Эта тяга к познанию имела существенное значение для того, чтобы человек мог выжить; поколение, по-детски не желающее ничего понимать и ничего выяснять, вряд ли может существовать. Стремление к приобретению знаний могло возникнуть по необходимости, диктуемое страхом; оно могло быть рождено желанием заменить своенравных богов заслуживающей доверия властью. Но был и другой фактор: интеллектуальное наслаждение природой, наслаждение пониманием того, что происходит, наслаждение, получаемое от создания науки. Это наслаждение могло родиться в те далекие времена, когда первобытные люди рассказывали своим детям об окружающем мире, о природе, о богах, когда люди каменного века, которые с большим вниманием наблюдали за животными, создавали свои рисунки на камне и, видимому, наслаждались своим искусством.

Подобное удивление и восхищение характерно для каждого века, когда ученые создавали науку как искусство понимать природу.

Ученые прошли длинный путь — от страха перед своенравными богами до создания упорядоченных правил, но всегда их увлекало чувство любознательности и восхищения перед достигнутыми результатами.

Страх и беспокойство, удивление и восхищение — два аспекта главной движущей силы науки и религии. Две тысячи лет назад Лукреций считал, что «наука освобождает человека от страха перед богами». Уолт Уитмен сокрушался о многочисленных заботах человека и в то же время радовался тому удовлетворению, которое испытывает ученый;

«Я верю, что — листик травы не меньше поденщины звезд, И что не хуже их муравей, и песчинка, и яйцо королька, И что древесная жаба — шедевр, выше которого нет, И что ежевика достойна быть украшением небесных гостиных, И что малейший сустав моих пальцев посрамляет всякую машину, И что корова, понуро жующая жвачку, превосходит любую статую, И что мышь — это чудо, которое может одно сразить секстильоны неверных, И я могу каждый день в течение всей своей жизни смотреть на дочку фермера, Которая кипятит свой железный чайник и печет песочное печенье. Я думаю, я мог бы жить с животными, они так спокойны и замкнуты в себе, Я стою и смотрю на них долго-долго. Они не скорбят, не жалуются на свой злополучный удел. Они не плачут бессонными ночами о своих грехах, Они не изводят меня, обсуждая свой долг перед богом, Разочарованных нет между ними, нет одержимых бессмысленной страстью к стяжанию, Никто ни перед кем не преклоняет коленей, не чтит подобных себе, тех, что жили за тысячу лет, И нет между ними почтенных, и нет на целой земле горемык».

Уолт Уитмен, «Листья травы»[7]

Теория — собрание фактов; предсказание явлений

Накопление знаний по астрономии происходило со времен древних цивилизаций — от простой регистрации тех или иных фактов до систематических наблюдений, которые давали материал для составления календарей, увеличивая в то же время запутанный клубок связанных с астрологией суеверий. Из этих фактов возникали легенды, поучавшие детей или успокаивавшие простой народ. В этих легендах Солнце считалось божеством, планете Beнера поклонялись, рассказывалось об «обители блаженства», находящейся над хрустальным сводом звезд. Но сами легенды не были лишь суеверными мифами. Это были предвестники научной теории, их связь с фактами была слабой, скорее фантастической, однако они создавали основу для «объяснения» этих фактов. Когда зародилась греческая цивилизация, ее мыслители основали в науке новые методы: они стали искать общие схемы объяснения, которые взывали бы к человеческой любознательности. Они уже не довольствовались простыми мифами, удовлетворявшими любопытство толпы. Они ставили себе задачу «предвосхитить явление», т, е. создать такую схему, которая могла бы объяснить факты. Это было гораздо важнее простого собрания фактов или создания для описания каждого нового факта отдельной теории. Это был интеллектуальный прогресс, начало создания научной теории.

Первые греческие ученые нарисовали простую картину устройства Вселенной, но по мере накопления данных они усложняли схемы, чтобы объяснить детали тех или иных явлений: сначала простые факты о Земле, затем более детальные схемы, объясняющие движение небосвода в целом, а также Солнца, Луны и планет в отдельности.

На каждой стадии ученые пытались на основе немногих простых допущений или общих принципов создать возможно более логичное и полное «объяснение» или описание наблюдаемого явления. Такое объяснение должно было способствовать систематизации накопленных фактов и получению дальнейших предсказаний. Но прежде всего она должно было укреплять веру в существование системы, объединяющей различные явления, в разумное устройство природы. Хотя поиски схемы иногда диктовались практической необходимостью, например необходимостью создания календаря, удовлетворение, получаемое учеными от четкого объяснения разнообразных явлений, далеко выходило за эти рамки. Вынуждаемые необходимостью задавать вопрос почему, греческие философы искали и создавали научные теории. Хотя наши современные стремления проверять все с помощью эксперимента и богатство научного оборудования привели к огромным изменениям в наших представлениях, мы по-прежнему разделяем восторг греков перед теорией, которая «предвосхищает явления».

В этой главе рассказано о некоторых греческих ученых. Посмотрим, как создавались их теории.

Древнегреческая астрономия

Свыше 3000 лет назад, когда происходило развитие греческой цивилизации, поэты (и среди них великий Гомер) слагали повествования о существовавших прежде государствах и пытались ответить на некоторые вопросы об устройстве мира. Землю тогда считали островом, омываемым большой рекой и накрытым, как огромным колоколом, небесным сводом. Обитель богов находилась на «краю Земли». Ад (страна мертвых) также находился на краю Земли или, возможно, под Землей. Солнце ежедневно поднималось из омывающей Землю реки и скользило затем по лежащему над Землей небосводу.

Около 2500 лет назад появились ученые, пытавшиеся создать разумное описание окружающего мира.

Фалес (~ 600 г. до н. э.) был основоположником греческой науки и философии. Впоследствии его репутация как одного из «семи мудрецов» стала столь легендарной, что ему начали приписывать невероятные открытия, вроде предсказания солнечного затмения. Фалес собрал все, что было сделано до того времени в области геометрии (вероятно, это были сведения, почерпнутые в Египте), и привел геометрию в некую систему принципов и выводов, т. е. положил начало той науке, которую Евклид привел к расцвету.

Фалес считал, что Земля — плоский диск, плавающий на воде; однако он знал, что Луна светится отраженным солнечным светом. Следовательно, он размышлял над наблюдаемыми явлениями, стараясь понять причины, их обусловившие. Предполагают, что Фалес знал о том, что магнитный железняк, природный магнит, может притягивать железо; считают также вероятным, что он открыл появление электрических зарядов при натирании янтаря (по-гречески янтарь — «электрон»). Более того, он предложил общее объяснение устройства Вселенной. Фалес считал, что вода — это «высший принцип», исходное вещество, из которого построено все остальное. Это было смелое начинание в «натурфилософии». Фалес был истинным ученым, ибо считал, что строение Вселенной можно объяснить на основе обычных знаний и рассуждений.

Тогда считалось, что звезды прикреплены к вращающейся сфере. Фалес обнаружил наклон эклиптики, т. е. годовой траектории Солнца относительно звезд. Такое отделение годового движения Солнца от суточного было очень важным шагом. Звездный пояс вдоль траектории Солнца был разделен на двенадцать равных частей, «знаков зодиака», каждая из которых носила название определенного созвездия. Траектории Луны и планет очень близки к траектории Солнца, поэтому и они также проходят через знаки зодиака.

Фиг. 23. Вселенная по представлению Фалеса.

Фиг. 24. Ежегодный путь Солнца по звездному небу согласно представлениям древних греков.

_{Плоскость эклиптики составляет угол с плоскостью экватора. Солнце показано в положении, соответствующем середине лета, другие положения также указаны на рисунке. Небесная сфера не вращается, она как бы скреплена с Полярной звездой.}

Пифагор (~ 530 г. до н. э.). Ко времени основания Пифагором философской школы (в области религии, науки, политики…) была подготовлена почва для восприятия представления о шарообразности Земли. Рассказы путешественников о кораблях и звездах должны были бы навести любознательных на мысль о том, что Земля имеет кривизну. Однако в представление о Земле как о шаре трудно было поверить. Вы принимаете это представление легко, ибо оно внушалось вам с детства, а вот понаблюдайте за ребенком, который впервые узнает об антиподах, жителях противоположного полушария, где люди ходят по отношению к нам «вниз головой»! Сам Пифагор, вероятно, считал Землю круглой, но нам неизвестно. принадлежала ли большая часть открытий Пифагору или его ученикам; школа его процветала примерно двести лет.

Последователи Пифагора представляли себе Землю шарообразной, сплошь населенной и окруженной концентрическими прозрачными сферами, на каждой из которых находилось небесное тело. На самой внутренней сфере — Луна, которая, очевидно, ближе к Земле, чем остальные светила. Внешняя сфера содержала звезды, а промежуточные сферы — Меркурий, Венеру, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн. Внешняя звездная сфера совершала полный оборот в течение дня и ночи; другие сферы вращались несколько медленнее, что обусловливало запаздывание движения Солнца, Луны и планет. Это была простая научная теория с простой схемой вращающихся сфер (сферы, постоянные скорости вращения), о которой можно было сказать, что она основана на простом общем принципе (сферы — это «совершенные» формы, а постоянные вращения — «совершенные» движения). Сферы, несущие планеты, располагались в соответствии со скоростями вращения последних: Сатурн, движущийся почти так же, как звезды, отстающий от них только на один оборот за тридцать лет, помещался сразу за звездной сферой; затем шли Юпитер, Марс и Солнце; Венера и Меркурий помещались непосредственно внутри или вне сферы Солнца. Такое расположение светил по скоростям было удачной догадкой. Теперь известно, что Сатурн, Юпитер и Марс — это «внешние» планеты, отстоящие от Солнца дальше, чем Земля, причем Сатурн — наиболее удаленная планета, а Марс — ближайшая.

Фиг. 25. Небесная сфера по представлению Пифагора.

_{Школа Пифагора считала Землю сферической и отличала суточное движение звезд, Солнца, Луны и планет от медленного движения этих светил вспять по отношению к звездному небу.} 

Фиг. 26. Система хрустальных сфер по представлениям древних греков.

_{Выделены вращающиеся сферы двух планет, увлекаемые сферой звезд, совершающей полный оборот в течение суток}

Фиг. 27. Сечение всей системы хрустальных сфер в плоскости эклиптики.

Некоторые последователи Пифагора считали, что вращение за 24 часа можно дробить на части, и предполагали поэтому, что внешняя звездная сфера увлекает за собой при своем вращении все другие сферы. Внутренние сферы должны медленно вращаться в обратном направлении внутри внешней сферы, увлекая, таким образом, Солнце, Луну и планеты к зодиакальному поясу звезд. Каждая внутренняя сфера имеет свою собственную скорость, один оборот в год в случае Солнца, один в месяц в случае Луны…. один в двенадцать лет в случае Юпитера….

Пифагор сделал несколько открытий в области геометрии. Хотя теорема о «квадрате гипотенузы» была известна задолго до него, он первый дал ее вывод. Пифагор развил также теорию чисел. Он учил, что «числа — это сущность вещей», основа всех знаний о природе, и его школа уделяла много внимания арифметическим свойствам чисел и их применениям в науке. Он придавал некоторым числам мистические значения, которые волновали воображение людей за много лет до него и еще долго после. Среди первобытных людей некоторые числа считались счастливыми, а некоторые — несчастливыми, и им придавали магические свойства. Впрочем, до наших дней маститые ученые при обсуждении структуры атомов и структуры Вселенной пользуются термином «магические числа»[16]. Мистицизм Пифагора проявлялся вновь и вновь в ходе развития науки. Недалекие люди осуждают этот мистицизм, считая его коварным утесом, который может вызвать крушение корабля науки, большинство же приветствуют его как спасительный буй, который может поддерживать на поверхности плодотворные теории, когда движение вперед кажется трудным. В наши дни неспециалисту трудно провести различие между полезным мистицизмом (таким, например, как представление о положительном электроне и об «антивеществе») и эксцентричной чепухой. Различие, однако, достаточно резкое: современный ученый, даже когда он настроен весьма мистически, пользуется ясным словарем, составленным из четко определенных терминов, значение которых согласовано между ним и его коллегами; и он не только проводит эксперименты для проверки и подтверждения своих предположений, но настаивает на критическом исследовании надежности экспериментальных данных. Человек с причудами может ссылаться на эксперимент, соответствующий его целям, но ему не удается завоевать доверие с помощью предвзятого выбора. Среди ученых существует некое общее здравомыслие, не ограничивающее плодотворное воображение, а направляющее его в разумные каналы.

Пифагор был здравомыслящим ученым. Развивая науку в музыке (области прекрасной с точки зрения изучения свойств чисел), он приписал простые числовые соотношения музыкальным тонам. Эти соотношения сохранились и поныне: чтобы две ноты, отстоящие друг от друга на октаву, звучали абсолютно в тон, они должны иметь частоты колебаний, — относящиеся как 2:1, а частоты нот, отстоящие друг от друга на квинту, должны относиться как 3:2. Чтобы такие же гармонические интервалы давали струны арфы: различной длины, частоты их тоже должны находиться в соотношении 2:1 для октавы и 3:2 для квинты. Другие простые соотношения частот, например 4:3, дают приятный аккорд, а сложные отношения, вроде 4,32:3,17, звучат неприятно (диссонансом) для нашего слуха, воспитанного на классической музыкальной гамме. Представление об основных гармонических пропорциях было распространено Пифагором и на астрономию. Его последователи считали, что сферы, содержащие планеты, располагаются в соответствии с музыкальными интервалами: их размеры и скорости, вращения должны удовлетворять простым числовым соотношениям. Вращаясь с соответствующей скоростью, каждая сфера издает музыкальный тон. Вея система сфер образует гармонию, «музыку сфер», неслышную обычным людям; впрочем, многие считали, что чести ее слышать был удостоен великий учитель Пифагор. Но по тем временам даже эта фантастическая схема не была антинаучной. Научными данными тогда почти совсем не располагали; расстояния от Земли до Солнца и планет не были известны, и не было даже надежды их измерить, так что небесные гармония лишь усиливали интерес к этим проблемам. Спустя восемь веков один романтически настроенный историк писал: «Пифагор считал, что Вселенная звучит и устроена в соответствии с гармонией; он первый свел движение семи небесных тел к ритму и звучанию»[17].

Филолай. Солнце, Луна, Венера, Меркурий, Марс, Юпитер, Сатурн — семь планет в том порядке, как их перечисляли греки, — все медленно движутся среди звезд с запада на восток. Звезды же увлекают за собой все ежедневно с востока на запад. Это несоответствие, портившее всю простоту схемы, можно устранить, предположив, что вращается Земля, а не звезды, тогда все светила будут двигаться в одном направлении. Филолай, ученик Пифагора, придерживался следующей точки зрения: центром Вселенной является не Земля, а центральный огонь — «сторожевая башня богов»; Земля вращается вокруг этого огня, совершая за сутки полный оборот по малой орбите, причем ее обитаемая часть всегда обращена в противоположную сторону от этого центрального огня.

Это движение Земли объясняло ежедневное движение звезд на небе: внешняя хрустальная сфера при этом могла покоиться. (Были еще более далекие предположения — между Землей и центральным огнем находится еще одна планета, которая предохраняет антиподов от ожога, а быть может сама есть антипод; наличие этой планеты увеличивало общее число небесных тел до священного числа Пифагора — десяти.)

Столь фантастическая схема была весьма революционной: согласно ей Земля рассматривалась как планета, а не как божественный центр, и вращение звездной сферы можно было свести к ежедневному вращению Земли. Эта схема могла бы послужить основой для более поздних теорий движения Земли, но просуществовала она недолго и в ней никогда не предполагалось, что центром центром мироздания является Солнце или что Земля просто вращается. Эта последняя простая идея вскоре была высказана, но не встретила поддержки.

Последователи Пифагора знали, что Земля круглая. Они основывали свои предположения на простом принципе (совершенство сферы) и на фактах. Движение небесных тел они описывали с помощью простой схемы, которую можно было назвать теорией, в противоположность более точным повседневным правилам, развитым в Вавилоне. Если рассматривать эту первую греческую систему вращающихся сфер как некую машину, выдающую предсказания, то она была безнадежно неточной, зато как система знаний оказалась действительно превосходной, ибо давала ощущение разумности устройства Вселенной.

Фиг. 28. Схема Филолая.

_{а — система сфер; б — схема орбит. Земля вращается вокруг центрального огня, совершая полный оборот за 24 часа Этим объясняется суточное движение звезд, Солнца, Луны и планет. Сферы медленно вращаются в том же направления, на них находятся Солнце, Луна и планеты.}

Сократ (~ 430 г. до н. э.). Этот великий философ боролся за ясность мышления и четкие определения, осуждая сумасбродные фантазии астрономов. Вероятно, именно он помог астрономии стать индуктивной наукой, основанной на экспериментальных наблюдениях.

Примерно в то же время два философа, Демокрит и Левкипп, пытались создать атомистическую теорию, чтобы объяснить свойства материи и даже строение мира в целом. Они считали невероятным, что материю можно беспредельно делить на все более мелкие части. Должны существовать крошечные неделимые атомы. Хотя у этих ученых не было экспериментальных доказательств и они основывались лишь на фантастических предположениях, им удалось создать теорию, которая выглядит разумной и в наши дни[18].

Они подготовили атомистическую теорию, над которой задумывались и которой иногда пользовались на протяжении многих веков, пока развитие человеческих знаний в области химии не привело в течение последних двухсот лет, наконец, к созданию атомной теории. Их записи были утеряны, но римский поэт Лукреций изложил двумя столетиями позже эти идеи в своей великолепной поэме. Он считал, что «разум освобождает человека от страха перед богами» — поэтическая версия современной точки зрения о том, что «наука излечивает от суеверий».

Хотя атомистическая теория не была непосредственно связана с астрономией, однако высказывавшееся в ней утверждение о том, что атомы отделены друг от друга пустотой, позволило легче усвоить представление о пустом пространстве между небесными телами и за ними, в противоположность представлению древних греков о том, что пространство ограничено и заполнено невидимым эфиром.

Платон (~ 390 г. до н. э.), строго говоря, не был астрономом. Он считал правильной простую схему сфер и размещал по порядку их скоростей вращения: Луну, Солнце, Меркурий и Венеру, движущиеся вместе с Солнцем, Марс, Юпитер, Сатурн. Первая схема, которая, казалось, успешно описывала движения планет, была создана Евдоксием, возможно по предложению Платона.

Евдоксий (~ 370 г. до н. э.) изучал геометрию и философию под руководством Платона, затем путешествовал по Египту и, возвратившись в Грецию, стал великим математиком и основателем научной астрономии. Собирая греческие и египетские данные по астрономии и добавляя лучшие из наблюдений, проведенных в Вавилоне, он предложил схему, которая могла объяснить наблюдаемые явления.

Система из нескольких сфер, по одной для каждого движущегося небесного тела, очевидно была неудовлетворительной. Планета не движется с постоянной скоростью по круговой траектории относительно звезд, она движется то быстрее, то медленнее, даже временами останавливается и начинает двигаться в обратном направлении. Солнце и Луна движутся по своим, годовым и месячным траекториям с переменными скоростями[19]. Евдоксий разработал схему, состоящую из большого числа концентрических сфер, подобно шелухе луковицы. Каждой планете соответствовало несколько сфер, расположенных одна внутри другой и вращающихся вокруг различных осей: по три сферы для Солнца и Луны, по четыре для каждой планеты и одна внешняя сфера для всех звезд. Каждая сфера закреплена на оси, которая проходит через отверстие в следующей сфере, и расположена вне, причем оси вращения имеют различные направления. Комбинированные движения с надлежащим образом выбранными направлениями вращения соответствуют наблюдениям. Такая система была проста по форме (сферы) и основана на простом принципе (равномерное вращение); она могла удовлетворительно объяснить наблюдаемые факты путем введения, по мере необходимости, добавочных сфер. Это была в самом деле хорошая теория.

Чтобы создать хорошую теорию, мы должны располагать простыми принципами или допущениями и должны уметь вывести из них схему, достаточно разумно объясняющую все факты. Полезность теории и эстетическое наслаждение, которое мы в ней находим, зависят как от простоты принципов, лежащих в ее основе, так и от того, насколько точно она соответствует фактам. Делая предсказания, мы ожидаем, что они окажутся плодотворными, но часто плодотворность обусловлена двумя достоинствами — простотой и точностью. Для ученых Греции, да и для многих современных ученых, хорошая теория — это просто теория, которая может точно объяснить все явления. Оценивая качества той или иной теории, следует спросить: «Настолько ли она проста, насколько это возможно?» и «Насколько точно она объясняет явления?».

Если мы спросим также: «Правильна ли она?», то это не вполне справедливое требование. Мы могли бы составить истинную историю движения планет, описывая их положения день ото дня за последние 100 лет; наше описание было бы верным, но настолько далеким от простого, настолько бесхребетным, что мы должны были бы его назвать просто перечнем фактов, а не теорией[20].

Фиг. 30. Схема Евдоксия.

_{Солнце, Луна и планеты имеют несколько сфер, вращающихся с постоянной скоростью вокруг различных осей. Комбинация этих движений имитирует видимые движения Солнца, Луны и планет на звездном небе.} 

Первоначальные представления греков о хрустальных сферах были похожи на мифы или сказки для детей; это было простое объяснение явлений, созданное учеными для простых людей. Однако Евдоксий попытался придумать такую модель, которая описывала бы действительное движение планет и предсказывала бы их будущее. По всей вероятности, он рассматривал свои сферы как геометрические конструкции, а не как реальные небесные тела, поэтому для него не представляло труда вообразить, что существует несколько дюжин таких сфер, плавно вращающихся одна внутри другой. Он не указывает механизма, обеспечивающего вращательное движение сфер; можно считать, что эти движения осуществляются богами или же просто существуют в воображении математиков.

Вот как Евдоксий объясняет движение планеты с помощью четырех сфер.

Планета укреплена на внутренней сфере, где-то на ее экваторе. Внешняя из четырех сфер вращается вокруг идущей с севера на юг оси, совершая полный оборот за 24 часа, что объясняет суточное движение планеты со звездами. Следующая внутренняя сфера вращается вокруг оси, закрепленной во внешней сфере и наклоненной под углом 23¹/₂° с севера на юг, так что ее экватор является эклиптикой Солнца и планет. Эта сфера вращается в собственном «году планеты» (время, в течение которого планета обходит зодиак), так что ее движение соответствует общему движению планеты относительно звездного неба[21]. Эти две сферы эквивалентны двум сферам простой системы — внешней звездной сфере, которая увлекает за собой все внутренние, и собственной сфере планеты. Третья и четвертая сферы совершают одинаковые и противоположно направленные вращения вокруг осей, наклоненных одна к другой под некоторым малым углом. Ось третьей сферы вращается в зодиаке второй, а четвертая несет саму планету, как бы вставленную в экватор. В результате сложения всех этих движений планета движется по петлеобразной траектории. Полную картину этого трехмерного движения трудно наглядно представить.

С помощью всего 27 сфер Евдоксий построил систему, хорошо имитирующую наблюдаемые движения планет. Основой его схемы являлись простые сферы, вращавшиеся с неизменными скоростями вокруг общего центра — Земли. Построение этой системы потребовало сложных математических вычислений: надо было рассмотреть четыре движения для каждой планеты и выбрать надлежащим образом оси и скорости вращения, чтобы получить соответствующие наблюдениям результирующие движения. Эту задачу удалось решить с помощью сложных геометрических построений. Евдоксий пользовался в некотором роде гармоническим анализом (в трехмерной форме!) за две тысячи лет до Фурье. Это была хорошая теория.

Хорошая, но не очень. Евдоксий знал, что его система несовершенна и что более точные наблюдения приводят к дальнейшим затруднениям. Очевидный выход из положения — увеличение числа сфер — был использован его последователями. Один из его учеников, посоветовавшись с Аристотелем, добавил еще 7 сфер, что значительно улучшило согласие с наблюдаемыми фактами.

Фиг. 31. Часть схемы Евдоксия.

_{Четыре сферы, описывающие движение планеты. Внешняя сфера совершает один оборот за 24 часа, следующая внутренняя сфера совершает один оборот за планетный «год». Две внутренние сферы вращаются с одинаковыми и противоположно направленными скоростями, совершая оборот в течение одного земного года, что определяет петлеобразную траекторию планеты}

Например, изменения в движении Солнца, обусловливающие различие времен года, можно было после этого усовершенствования предсказать надлежащим образом. Самого Аристотеля беспокоило то, что сложное движение, совершаемое четверкой сфер одной планеты, должно передаваться соседней четверке планет, хотя это было нежелательно. Он ввел дополнительные сферы, чтобы «развязать» движение планет, так что в результате получалось всего 55 сфер. Этой системой пользовались в течение столетия или даже больше, пока не была предложена более простая геометрическая схема (один энтузиаст пытался восстановить ее спустя 2000 лет, введя 77 сфер).

Аристотель (340 г. до н. э), великий учитель, философ и ученый-энциклопедист, был «последним великим философом-созерцателем в античной астрономии». Он был очень религиозен и верил в то, что на великолепных усеянных звездами небесах существует бог. Он восхищался астрономией и уделял ей много времени. Поддерживая схему концентрических сфер, он выдвигал следующий догматический довод: сфера — идеальная форма. Этот предвзятый взгляд на орбиты планет существовал в течение столетий. По той же причине считалось, что Солнце, Луна, планеты, звезды должны иметь сферическую форму. Небеса, таким образом, есть область совершенства, неизменного порядка и круговых движений. Пространство между Землей и Луной Аристотель считал подверженным изменениям с естественной тенденцией к падению тел по вертикали.

На протяжении многих веков сочинения Аристотеля представляли собой единственную попытку систематизировать природу в целом. Они переводились с одного языка на другой, передавались из Греции в Рим и Аравию и снова через несколько столетий в Европу для переписки, перепечатки, изучения и цитирования как авторитетный источник. Долгое время после того как хрустальные сферы были отвергнуты и заменены эксцентрическими кругами, об этих последних говорили как о сферах; средневековые схоласты то и дело возвращались к хрустальным сферам в своих дискуссиях и считали эти сферы реальными. Различия между совершенными небесами и подверженной изменениям Землей оставались столь значительными, что спустя 2000 лет Галилей вызвал огромное возмущение, доказав существование гор на Луне и предположив, что Луна подобна Земле. И даже Галилей, понимая законы движения, все же считал, что падение тел на Земле трудно связать с вращением небесных тел.

Аристотель сделал много, чтобы доказать, что Земля круглая. Для этого он приводил следующие соображения:

1) Симметрия: сфера симметрична и совершенна.

2) Давление: составные части Земли, стремясь упасть естественно к ее центру, сжимают ее в виде шара.

Упоминались также следующие факты:

3) Тень: при затмении Луны край тени Земли, падающей на Луну, всегда имеет круглую форму, тогда как плоский диск отбрасывал бы овальную тень.

4) Высота звезд на небосводе: даже при коротких путешествиях на север или на юг путешественник замечает изменения положения созвездий.

Эта смесь догматических «рассуждений» и основанного на эксперименте здравого смысла типична для Аристотеля; он сделал очень много для развития науки. Его учение — замечательный труд всей его жизни — имело большой резонанс и оказало огромное влияние на дальнейшее развитие науки. С одной стороны, он систематизировал научные факты и зафиксировал будоражащие мысль вопросы; с другой стороны, выявил основные проблемы научной философии, проведя различие между истинными физическими причинами вещей и воображаемыми схемами, создаваемыми для объяснения явлений.

Фиг. 32. Доказательства шарообразности Земли.

_{а — корабли исчезают за линией горизонта; б — когда наблюдатель едет на север, Полярная звезда занимает все более высокое положение, положение других звезд меняется, а некоторые звезды, находящиеся на юге, исчезают из поля зрения; в — тень Земли, падающая на Луну во время затмения, имеет круглую форму, а не овальную.} 

Фиг. 33. Доказательство вращения Земли.

_{Опыт Комптона — кольцеобразная трубка с водой, содержащая опилки, внезапно переворачивается, по опилкам можно судить, насколько незначительно движение воды, маятник Фуко — длинный маятник, совершающий колебания, медленно меняет плоскость колебаний, гирокомпас — ось вращения маленького гироскопа с грузом устанавливается в направлении с севера на юг.}

Вскоре после Аристотеля Евклид собрал все предшествующие работы по геометрии, добавил ряд собственных и создал великолепную науку, развитую с помощью дедуктивной логики. Такого рода математическое построение, разумеется, справедливо по отношению к лежащим в его основе допущениям и определениям. Проверить, насколько оно удовлетворяет законам окружающего мира — задача эксперимента. Поэтому мы не должны подвергать сомнению ту или иную область математики, но и не имеем права считать ее естественной наукой.

Научная школа в Александрии

Александр Великий основал мощную империю. За двенадцать лет он прошел со своими войсками из Греции через Малую Азию, Египет, Персию к границам Индии и обратно к Вавилону. В начале своего похода он основал в устье Нила большой город — Александрию. Здесь собралось много греческих ученых, и Александрийский музей (или Александрийский университет) стал крупным центром просвещения. Школа астрономов возникла примерно в 330 г. до н. э. и процветала в течение нескольких веков. Ученые проводили точные наблюдения, конструировали новые приборы; были попытки измерить расстояние до Солнца и Луны и определить действительные размеры этих светил; создавались новые и более совершенные теории.

До того как эта школа перешла от представления о вращающихся сферах к эксцентрическим кругам, греческий астроном Аристарх (~ 240 г. до н. э.) сделал два упрощающих предположения:

1) Земля вращается, и этим вращением объясняется суточное движение звезд;

2) Земля движется вокруг Солнца совершая полный оборот по орбите в течение года; другие планеты движутся подобным же образом — это объясняет видимые движения Солнца и планет относительно звезд.

Эта простая схема не имела успеха: она противоречила традициям и была лишь идеей, не подкрепленной измерениями, как это сделал много позже Коперник. Возможность движения Земли по орбите вызывала возражения с точки зрения тогдашних представлений о механике, которые впоследствии оказались даже еще более серьезными; кроме того, эта идея немедленно привела к другого рода затруднениям с точки зрения астрономов. Если Земля движется по орбите, имеющей большую протяженность, то в течение года у созвездий должны наблюдаться параллаксы. Между тем таких параллаксов не наблюдалось, и Аристарх мог объяснить этот факт только тем, что звезды удалены от Земли на расстояния, бесконечно большие по сравнению с диаметром земной орбиты.

Таким образом, он не только «поместил» звезды гораздо дальше, чем предполагалось ранее, но и освободил их от необходимости находиться всем на одной большой сфере. Поскольку звезды находятся так далеко, они могут быть рассеяны в пространстве и находиться в покое, в то время как Земля будет вращаться.

Фиг. 34. Схема Аристарха.

_{а — система сфер; б — схема на которой показаны орбиты планет. Показаны две планеты: P1 — может быть Марсом, Юпитером или Сатурном, Р2 — Меркурием или Венерой.}

Измерения размеров и расстояний

Астрономы стали пытаться определить действительные размеры Солнца, Луны и Земли и их взаимные расстояния. Ранее существовали лишь смутные догадки: некоторые считали, что Солнце и Луна находятся очень далеко, — другие же — что они находятся непосредственно за облаками; считали, что Солнце имеет такие же размеры, как Греция, а Луна меньше…. Надежные измерения могли бы превратить астрономию в значительно более реальную науку, но их было трудно осуществить.

Человек обычно определяет расстояние на глаз, оценивая угол между лучами зрения, когда оба глаза направлены на предмет. Наши глаза расположены слишком близко друг к другу, и с их помощью нельзя определять расстояния до предметов, удаленных на большие расстояния. Поэтому мы пользуемся для этой цели более длинной базой и измеренными углами. Затем мы, соблюдая масштаб, строим диаграмму или используем тригонометрию.

Фиг. 35. Соотношение между размерами удаленного предмета и расстояние до него.

_{Соотношение можно найти, держа монету известных размеров на измеренном расстоянии так, чтобы она закрывала предмет, с помощью этого метода нельзя определить абсолютные размеры или расстояния.}

_{а — схема дана не в масштабе; б — «угловые размеры» Солнца и Луны, нанесенные в масштабе. Измерения показывают, что Солнце и Луна видны с Земли поя углом 1/3°. Тригонометрические таблицы дают соотношение 1:110 для основания и высоты.}

Теперь мы знаем, что для Луны база в 1000 миль дает угол всего ¹/₄°. Для Солнца этот угол равен ¹/₁₆₀₀° и его очень трудно измерить даже сейчас, когда наблюдатели располагают большими возможностями.

Размеры Солнца (или Луны) можно просто связать с расстоянием до нас, измеряя угловой диаметр. Держите монету в вытянутой руке, то придвигая ее ближе к глазам, то отодвигая дальше, пока она не закроет солнечный диск. Измерив диаметр монеты и расстояние ее от глаза и определив отношение этих размеров, можно получить отношение диаметра Солнца к расстоянию Солнца от Земли. Это отношение равно примерно ¹/₁₁₀. С помощью прибора можно измерить угол, под которым диаметр Солнца виден с Земли; этот угол почти точно равен ¹/₂°. Нарисуйте на большом листе бумаги треугольник, угол при вершине которого равен ¹/₂° и измерьте длину его сторон. Или же воспользуйтесь простыми тригонометрическими соотношениями. Вы найдете, что расстояние от основания треугольника до его вершины приблизительно в 110 раз больше основания. Отсюда следует, что расстояние от Солнца до нас в 110 раз больше его диаметра. Почти то же соотношение справедливо и для Луны — Луна и Солнце кажутся приблизительно равными по величине, что подтверждается полными затмениями Солнца, когда Луна точно закрывает его. Измеряя одну из этих величин — диаметр или расстояние — и пользуясь коэффициентом 110, можно определить другую величину. Обычно измеряют расстояние, оценивая его на глаз.

Фиг. 36. Оценка расстояний.

_{а — по углу между лучами зрения; б — на основании тoго, что расстояние до Луны, определенное по углу между лучами зрения, позволило бы наблюдателю, находящемуся на расстоянии 1000 миль, заметить разницу в ¹/4°.} 

Размеры Земли

В первую очередь надо было определить размеры самой Земли, затем выразить другие величины через земной радиус.

Эратосфен (~ 235 г. до н. э.) произвел первые измерения размеров Земли. Он сравнил направление вертикали, проведенной к данному участку поверхности земного шара, с направлением параллельного пучка солнечных лучей в двух пунктах, отстоящих друг от друга на известном расстоянии. Он предположил, что Солнце находится настолько далеко, что все солнечные лучи, достигающие Земли в данный момент, практически параллельны.

Эратосфену надо было проводить одновременные наблюдения в двух отстоящих друг от друга пунктах. Надежных часов, которые можно было бы сравнивать и переносить с места на место, у него не было, поэтому он обеспечивал одновременность наблюдений, выбирая полдень (когда Солнце находится в самом высоком положении) одного и того же дня в пунктах, расположенных на одной и той же долготе. Он проводил наблюдения в Александрии, где работал, и сравнивал их с наблюдениями, проводившимися некогда в Сиене[22], в 500 милях южнее. Наблюдения в Сиене сводились к следующему: в полдень, 22 июня, солнечные лучи, падая в глубокий колодец, достигали, воды и отражались вверх.

Эратосфену было известно об этом из литературных данных. Отсюда следовало, что полуденное Солнце находилось в Сиене в этот день вертикально над головой наблюдателя. Эратосфен измерил в полдень того же дня длину тени, отбрасываемой обелиском в Александрии, и нашел, что направление солнечных лучей составляет 7¹/₂° с вертикалью. Отсюда он заключил, что все солнечные лучи, падающие на Землю, параллельны. В этих опытах вертикали (радиус Земли) имели различные направления. Отсюда следовало, что радиусы Земли в Александрии и в Сиене пересекаются в центре Земли под углом 7¹/₂°. Если этот угол в 7¹/₂° соответствует 500 милям на поверхности Земли, то скольким милям будут соответствовать 360°? Остальное уже сводилось к простой арифметике. Измерить расстояние в 500 миль в те времена было трудно — вероятно, — такие измерения производились военными, чеканившими шаг. Имеются сомнения по поводу единиц, которыми пользовался Эратосфен, но по некоторым сведениям его ошибка была меньше 5 % — замечательный успех столь ранней попытки. Эратосфен пытался также определить расстояния до Солнца и Луны.

Фиг. 37. Определение размеров Земли по Эратосфену.

Размеры Луны и ее расстояние от Земли

Размеры Луны сравнивались с размерами Земли путем наблюдения лунных затмений. Отмечая время, в течение которого тень Земли пересекала Луну, Аристарх нашел, что диаметр тени, отбрасываемой Землей на Луну, в 2¹/₂ раза больше диаметра Луны. Если бы Солнце представляло собой точечный источник света, находящийся на бесконечно большом расстоянии, то Земля отбрасывала бы от падающего на нее потока параллельных солнечных лучей тень, поперечное сечение которой равнялось бы поперечнику Земли. В этом случае мы имели бы:

ДИАМЕТР ЗЕМЛИ = 2¹/₂ ЛУННЫХ ДИАМЕТРА,

или

ДИАМЕТР ЛУНЫ = ²/₅ ДИАМЕТРА ЗЕМЛИ,

т. е.

РАССТОЯНИЕ ОТ ЗЕМЛИ ДО ЛУНЫ, РАВНОЕ 110 ЛУННЫМ ДИАМЕТРАМ

= (²/₅)∙110 ЗЕМНЫХ ДИАМЕТРОВ

= 44 ЗЕМНЫМ ДИАМЕТРАМ, ИЛИ 88 ЗЕМНЫМ РАДИУСАМ.

Отсюда следует, что если принять радиус Земли равным, согласно Эратосфену, приблизительно 4000 миль, то расстояние от Земли до Луны должно быть равно 350 000 миль. Предположение, что Солнце находится на бесконечности, представляется разумным, однако было бы неправильно считать его точечным источником, и Аристарх, конечно, это знал. Солнце — огромный пылающий шар, и поэтому тень от Земли (или другой планеты), на которую падает поток солнечных лучей, будет иметь коническую форму (с углом раствора ~ ¹/₂°). При полном солнечном затмении Луна может лишь закрыть Солнце от наших глаз, причем конус лунной тени будет кончаться практически у Земли. На расстоянии от Луны до Земли тень от Луны суживается на целый лунный диаметр.

При лунном затмении ширина земной тени, отбрасываемой на то же расстояние (от Земли до Луны), должна уменьшиться на ту же величину, т. е. на лунный диаметр. Аристарх рассуждал следующим образом:

ДИАМЕТР ЗЕМЛИ — ОДИН ДИАМЕТР ЛУНЫ = 2¹/₂ ДИАМЕТРАМ ЛУНЫ,

т. е.

ДИАМЕТР ЗЕМЛИ = (1 + 2¹/₂) ДИАМЕТРАМ ЛУНЫ

= ⁷/₈ ДИАМЕТРА ЛУНЫ

или

РАССТОЯНИЕ ОТ ЗЕМЛИ ДО ЛУНЫ = 110 ДИАМЕТРАМ ЛУНЫ

= (²/₇)∙(110) ДИАМЕТРАМ ЗЕМЛИ

= 31,4 ДИАМЕТРА ЗЕМЛИ, или 63 РАДИУСАМ ЗЕМЛИ.

Более точные измерения, выполненные Аристархом и его последователями, показали, что расстояние от Земли до Луны равно 60 земным радиусам (что с точностью до 1 % совпадает с современными измерениями), т. е. около 240 000 миль.

Фиг. 38. Измерение размеров Луны (и, следовательно, расстояния до нее) древними греками.

_{Наблюдения затмений показали, что ширина тени, отбрасываемой Землей на Луну, равна 2,5 диаметра Луны. Однако тень Земли сужается по мере того, как увеличивается расстояние до Земли, потому что Солнце — не точечный источник. Тень Луны почти исчезает на расстоянии от Луны до Земли, поэтому тень от Земли должна сузиться на ту же величину (один лунный диаметр) на этом расстоянии. Следовательно, диаметр Земли должен равняться 3,5 лунного диаметра.}

Позднее расстояние от Земли до Луны было измерено следующим образом: наблюдатели на двух удаленных друг от друга пунктах, на одной долготе одновременно наблюдали Луну. Они измеряли угол между направлением, под которым была видна Луна, и между вертикалью в данной местности. Зная эти углы u и v, можно было определить положение Луны, если известно расстояние между пунктами. Большое расстояние измерить древним астрономам было трудно, но можно было воспользоваться вместо этого углом между радиусами Земли, соответствующими двум пунктам. Так что наблюдатель в каждом пункте измерял угол между местной вертикалью и тем направлением, под которым он видит определенную звезду.

Для этой цели подходит Полярная звезда или любая другая, наблюдаемая в своей наивысшей точке. Как показано на фиг. 39, б, сумма двух измеренных углов (х + у) дает угол z в центре Земли. На фиг. 39, в изображены три известных угла u, v, z; известно также, что радиусы R равны. Чтобы найти расстояние от Земли до Луны, можно либо прибегнуть к тригонометрии, либо сделать в масштабе простой чертеж (фиг. 40) на большом листе бумаги (древние астрономы пользовались насыпанным на пол песком) — нарисовать круг и провести радиусы ОА и ОБ, образующие угол z, равный сумме измеренных углов х + у. Нужно продолжить эти радиусы, чтобы они представляли вертикали в пунктах А и В. Из А следует провести линию до Луны АР, измерив угол u, который она образует с радиусом ОА, а из B провести прямую BQ. Точка пересечения этих прямых М определяет положение Луны на диаграмме. Измерив отрезок ОМ и разделяв его на радиус ОА, получим расстояние от Луны до Земли как кратное радиусу Земли.

Фиг. 39. Измерение расстояния от Земли до Луны.

Фиг. 40. Вычисление отношения расстояния до Луны к радиусу Земли на основании измерений.

Точные измерения дают:

РАССТОЯНИЕ ОТ ЗЕМЛИ ДО ЛУНЫ = ОКОЛО 60 РАДИУСОВ ЗЕМЛИ

~= 240 000 миль.

Размеры Солнца и его расстояние от Земли

Расстояние от Земли до Солнца оценить гораздо труднее даже сегодня, ибо Солнце крайне ярко, велико и очень удалено от нас.

Угол между лучами зрения глаз при наблюдении Солнца слишком мал, чтобы его можно было измерить, не прибегая к телескопу. Однако Аристарх придумал остроумную схему, с помощью которой удалось, хотя и очень приближенно, оценить расстояние от Земли до Солнца. Он наблюдал за Луной в той стадии, когда видна точно ее половина (фиг. 41).

Фиг. 41. Расстояние от Земли до Солнца.

_{Определение расстояния от Земли до Солнца по известному расстоянию от Земли до Луны греческими астрономами. Они пытались измерить угол х (или SEM), который равен приблизительно 90°.}

Солнечный свет должен падать на Луну под прямым углом к ЕМ (направлению взгляда наблюдателя). В этот момент наблюдатель измеряет угол между направлениями от Земли к Солнцу и от Земли к Луне. Этот угол, SEM, оказался почти (но не совсем точно) прямым. В большом треугольнике SEM два угла были известны. Третий малый угол, ESM, в основном и определяет расстояние от Земли до Солнца. Он получается вычитанием из 180° и очень мал: по оценке Аристарха он равен 3°, на самом же деле всего ¹/₆°. Поэтому вывод Аристарха о том, что расстояние от Земли до Солнца примерно в 20 раз больше, чем до Луны, был занижен приблизительно в 20 раз. Это соотношение (расстояние до Солнца)/(расстояние до Луны) получается от рассмотрения углов на чертеже соответствующего масштаба или с помощью очень простой тригонометрии (EM/ES — косинус угла SEM. Поэтому ES/EM = 1/cos LSEM легко находится из тригонометрических таблиц).

Таким образом, астрономам в Александрии были известны приближенные значения размеров небесной системы и этими значениями (с незначительными изменениями) пользовались астрономы в течение многих столетий:

Земля: радиус 4000 миль.

Луна: расстояние от Земли 60 земных радиусов, или 240 000 миль; собственный радиус 1100 миль.

Солнце: расстояние от Земли 1200 земных радиусов (это значение считалось неточным, каким оно и было); собственный радиус 44 000 миль.

Планеты: расстояния до них были совершенно неизвестны, но предполагалось, что все они находятся дальше, чем Луна.

Звезды: расстояния до них также были совершенно неизвестны, предполагалось, что они находятся за Солнцем и планетами.

Из этих оценок видно, что на рисунках, иллюстрирующих затмения, обычно совершенно не выдержан масштаб. Фиг. 42 и 43 дают более близкие к действительности схемы, основанные на современных измерениях. Не удивительно, что затмения происходят столь редко. Призрачных конусов теней можно и не заметить. Орбита Луны наклонена под углом 5° к видимой траектории Солнца, поэтому затмения происходят еще реже.

Фиг. 42. Солнце, Луна, Земля.

_{Чертеж дан не в масштабе. Солнце расположено слишком близко к Земле. Луна чрезмерно велика и расположена слишком близко к Земле.}

Фиг. 43. Конусы теней Луны и Земли (в масштабе).

Более поздние теории

Смелое предположение о том, что Земля вращается и движется вокруг Солнца, не было встречено благосклонно Александрийской школой. По-прежнему оставалось популярным представление о том, что Земля покоится и находится в центре мироздания, однако модель с вращающимися концентрическими сферами была слишком сложной. Не совсем равномерное движение Солнца по «орбите» можно было описать, используя эксцентрическую окружность: согласно этой модели, Солнце движется по такой окружности равномерно. Земля же неподвижна и находится не в центре круга, а на некотором расстоянии от него. При этом, если наблюдать за Солнцем с Земли, будет казаться, что оно движется быстрее в некоторые времена года (примерно в декабре, в точке А) и медленнее на 6 месяцев позднее (в точке В). Это была неплохая теория. Теория должна быть простой и основываться на простых допущениях[23].

Фиг. 44. Схема эксцентрической орбиты Солнца.

_{Солнце движется по окружности, находясь на конце радиуса; который вращается с постоянной скоростью, как в простейшей системе сфер. Наблюдатель на Земле находится не в центре, поэтому движение Солнца ему кажется неравномерным, как в действительности и происходит — быстрее в декабре, медленнее в июне.}

Эти требования удовлетворялись: движение по окружности с постоянным радиусом происходило с постоянной скоростью. Это постоянство было необходимо с точки зрения древних греков, а фактически с точки зрения каждого методически мыслящего ученого. Без него теория превратилась бы в нечто бесформенное.

Поместить Землю не в центре круга означало досадное отклонение от симметрии, но и скорость Солнца при этом оказалась несимметричной — наше лето продолжительнее зимы. Аналогичная схема была пригодна и для Луны, для планет же требовалась более сложная схема. Каждая планета должна была равномерно двигаться по кругу, совершая полный оборот в течение собственного «года» вокруг неподвижной Земли, находящейся не в центре этого круга, а на некотором расстоянии от него, но тогда весь круг, орбита планеты и центр круга должны совершать полный оборот вокруг Земли за 365 дней. Таким образом, к основному вращению добавлялось еще одно (по окружности радиуса ЕС), в результате чего планета двигалась по эпициклоиде. На это движение накладывалось суточное движение всей звездной картины.

В другой схеме, приводившей к аналогичным результатам, вводился неподвижный главный круг (деферент) с радиальным плечом, вращающимся с постоянной скоростью. Конец плеча несет на себе малый круг (эпициклоиду). Радиус этого малого круга несет на себе планету, которая движется с постоянной скоростью, совершая один оборот за 365 дней. Хотя эти схемы оперируют с кругами, в них по-прежнему употребляли термин «сферы». В течение многих столетий астрономы привыкли рассматривать «движение небесных сфер», а сферы сами становились все более и более реальными по мере того, как восхищение греков чистой теорией уступало место детской настойчивости в поисках истины.

Фиг. 45. Схема эксцентрической орбиты планеты.

_{Каждая планета находится на конце радиуса, который вращается с постоянной скоростью, весь этот круг — центр, радиус и планета совершают один оборот в год вокруг эксцентрично расположенной Земли. Вообразим, что радиус СР продолжен и представляет собой ручку сковородки, сковородка совершает вращательное движение по кругу с малым радиусом ЕС, так как ее вращает вокруг Е, как центра, домашняя хозяйка, которая хочет быстро растопить на ней кусок масла. Заставьте затем ручку СР тоже вращаться — очень медленно, как в случае внешней планеты, подобной Юпитеру.}

Больших успехов добился Гиппарх (~ 140 г. до н. э.), «один из величайших математиков и астрономов всех времен»[24]. Он был внимательным наблюдателем, создавал новые приборы и использовал их для определения положения звезд. Он составил звездный каталог, в котором дал классификацию звезд по их яркости и указал положение примерно тысячи звезд, пользуясь понятиями небесной широты и долготы. Насколько известно, Гиппарх создал первый небесный глобус. В те времена телескопов не существовало[25], единственным прибором был человеческий глаз. Для измерения углов служили простые приборы, подобные циркулю. Тем не менее Гиппарх измерял углы с точностью ¹/₆°. Гиппарх был создателем сферической тригонометрии, он применил ее для исследования Солнца и Луны. Он показал, что эксцентрические круги и эпициклы эквивалентны с точки зрения описания небесных движений.

Добавляя собственные наблюдения к наблюдениям древних греков и вавилонским записям, он разработал системы эпициклов Солнца и Луны. Проделать то же для планет оказалось труднее из-за отсутствия точных данных, и он приступил к новым измерениям.

Исходя из наблюдений греков, сделанных за 150 лет до него, Гиппарх открыл очень малый, но играющий очень важную роль, астрономический сдвиг: «прецессию равноденствий». Во время весеннего равноденствия между зимой и летом Солнце находится в определенном месте зодиака и возвращается в это положение каждый год. Гиппарх обнаружил, что во время следующего весеннего равноденствия Солнце находится не точно в том же участке звездного неба. Оно попадает в тот же участок неба приблизительно на 20 минут позднее; таким образом, в момент, соответствующий равноденствию, Солнце находится еще на пути к данному участку неба, приблизительно на ¹/₇₀° ближе через год и почти на 1¹/₂° — по прошествии столетия. Гиппарх обнаружил это явление по разным значениям долготы звезд в старых и новых записях долготы отсчитывались вдоль зодиака от весеннего равноденствия, т. е. от того места, где экватор пересекает эклиптику. Так как все долготы изменялись на один или два градуса за столетие, Гиппарх сделал вывод, что пояс зодиака смещается с этой скоростью по небесной сфере, увлекая с собой все звезды, тогда как небесный экватор и Земля остаются неподвижными[26]. Это движение кажется незначительным — его период составляет 26 000 лет, однако оно существенно для астрономических измерений и всегда учитывалось со времени открытия его Гиппархом. Само это открытие знаменовало вершину успеха наблюдений.

Прецессию было трудно наблюдать, пока Коперник, спустя 16 столетий, не упростил задачу, рассмотрев ее совершенно с иной точки зрения (см. гл. 16). Но и тогда она оставалась необъясненной и вне связи с другими небесными явлениями, пока Ньютон не нашел простого объяснения. Открытая как некий загадочный сдвиг, прецессия превратилась в признак тяготения.

Гиппарх оставил потомству прекрасный звездный каталог, схемы эпициклов и результаты наблюдений планет — бессмертный памятник астроному. Но все эти достижения вынуждены были лежать втуне два с половиной столетия, пока великий математик Птолемей не создал на их основе стройную теорию.

Фиг. 46. Схема эксцентрических орбит.

_{Показаны орбиты Солнца и планеты Р}

Фиг. 47. Схема эксцентрических орбит и схема эпициклов.

_{а — точка С и круг с радиусом орбиты планеты вращаются вокруг неподвижной Земли; б — Земля остается неподвижной в центре главного круга (деферент).} 

Фиг. 48. Траектория планеты в схеме эпициклов.

_{При комбинации двух круговых движений получается эпициклоида, по которой движется планета.}

Фиг. 49. Прецессия равноденствий.

_{В добавление к суточному движению всего небесного свода вокруг оси, проходящей с севера на юг, и ежегодному движению Солнца по его эклиптическому пути в зодиаке Гиппарх открыл медленное вращение всей звездной картины вокруг оси эклиптики (перпендикулярной к зодиаку)}

Птолемей (~ 120 г.) произвел «критическую переоценку наблюдений движения планет». Он собрал работы Гиппарха и его предшественников, добавил свои собственные наблюдения, создал первоклассную теорию и оставил великолепное изложение всей совокупности накопленных астрономических знаний, которая в течение последующих четырнадцати столетий играла решающую роль в астрономии. Положения Солнца, Луны и планет по отношению к неподвижным звездам были нанесены Птолемеем на карту, причем углы были измерены с точностью до доли градуса. Он смог поэтому разработать систему эксцентрических хрустальных сфер и эпициклов, которая не только была так усовершенствована, что точно описывала движение светил в прошлом, но с успехом позволяла предсказывать их будущие положения.

Птолемей создал великолепный математический аппарат, основанный на простых принципах, способный на протяжении веков предвосхищать явления. При этом он не рассматривал хрустальных сфер, а концентрировал свое внимание на вращающемся радиусе, (или «спице»), на конце которого находилась планета и который, вращаясь, как бы увлекал ее за собой. Он изложил всю свою систему движения светил — Солнца, Луны и планет — в трактате под названием «Альмагест».

Птолемей создал следующую картину: звездное небо — это сфера, вращающаяся вокруг неподвижной оси и совершающая полный оборот за 24 часа; Земля должна оставаться в центре небесной сферы, в противном случае звездная картина должна обнаруживать параллакс. Земля — это сфера, которая должна покоиться и тому есть ряд причин: если бы Земля двигалась, предметы, брошенные вверх, должны были бы отставать от нее. Солнце движется вокруг Земли согласно простой эпициклической схеме Гиппарха; Луна движется по более сложной эпициклоиде.

Исследуя «пять блуждающих звезд» — планеты, Птолемей обнаружил, что не может описать их движение простой эпициклоидой. Между теорией и наблюдением существовали расхождения. Он попытался создать схему эпициклов, в которой Земля находилась бы не в центре главного круга, а была бы несколько сдвинута относительно него, т. е. расположена эксцентрично.

Этого оказалось недостаточно, и Птолемей построил схему, в которой не только расположил Землю эксцентрично, но и сдвинул центр равномерного вращения в противоположную сторону. Он предложил схему, приведенную на фиг. 50, которая успешно описывала движения Солнца, Луны и планет. В его схеме С — центр главного круга, Е — Земля, расположенная эксцентрично; Q — точка, находящаяся на таком же расстоянии от С по другую сторону (QC = CE). Плечо QA вращается с постоянной скоростью вокруг Q, описывая равные углы за равные промежутки времени и неся на себе центр А маленького круга, эпицикла, который движется таким образом по главному кругу. Радиус эпицикла АР и, следовательно, планета Р, вращается с постоянной скоростью. Это была отчаянная, но успешная попытка подтвердить справедливость схемы кругов, вращающихся с постоянной скоростью.

Фиг. 50. Система Птолемея.

_{Эта система очень точно описывает движения Солнца, Луны и планет.}

Птолемей был вынужден считать, что плечо главного круга также вращается с постоянной скоростью. Этим плечом не мог быть проведенный из центра радиус, как в простой эпициклической схеме. Им не мог также быть и радиус, проведенный из точки Е. Но можно было спасти положение, взяв плечо, проведенное из равноудаленной точки Q, вращающейся с постоянной скоростью. Таким образом, для главного круга каждой планеты имелись три точки, расположенные близко друг к другу, каждая с характерными свойствами:

Е — Земля неподвижна

С — Центр главного круга с плечом СА постоянной длины

Q — Равноотстоящая точка с плечом QA, вращающимся с постоянной скоростью

Подбирая подходящие радиусы, скорости вращения и расстояние ЕС (= CQ), Птолемей смог составить схему для всех планет (для Меркурия потребовался еще один дополнительный круг).

Для каждой планеты главному кругу придавался различный наклон и сам эпицикл имел наклон по отношению к главному кругу. Это была сложная система главных и вспомогательных кругов с различными радиусами, скоростями, наклонами и эксцентриситетами различной величины и направлений. Эта система, работающая подобно сложному передаточному механизму, позволяла из года в год точно предсказывать положения планет и определять эти положения в прошлом. Подобно хорошей системе механизмов, она была основана на простых принципах: круги с постоянными радиусами, вращение с постоянной скоростью, симметрия эквантов (равноотстоящих от центра точек: QC = CE), постоянные наклоны кругов[27] и неподвижная Земля.

В «Альмагесте» Птолемей подробно описал схемы для каждой планеты и дал таблицы, по которым можно было определить движение каждого небесного тела. Книга была скопирована (разумеется, от руки), переведена с греческого на латинский, арабский и затем опять на латинский, по мере того как культура продвигалась на Восток, а затем опять в Европу. Существуют современные печатные варианты этой работы с переводами. Книга эта в течение столетий служила руководством для астрономов и справочником для мореплавателей. На основе содержащейся в ней информации развивалась астрология — специфическое скопление человеческих страхов, надежд, стремлений к наживе, которая нуждалась в подробных сведениях о положениях планет.

Схема Птолемея была эффективной и достаточно разумной. Мы можем сказать то же самое о нашей современной атомной и ядерной физике. Истинны ли эти теории? И древние греки, и современные ученые стали бы возражать против такой постановки вопроса; однако если бы вы предложили более простую и более плодотворную теорию, они приветствовали бы ее.

Фиг. 51. Система Птолемея для Солнца S и двух планет Р и Р'.

_{Е — неподвижная Земля; С — центр круга; Q — равноудаленная точка QС = СЕ.}

Задача

Опишите своими словами и расскажите, используя диаграммы, о методе, применявшемся греками для определения

а) радиуса Земли;

б) расстояния от Земли до Луна;

в) расстояния от Земли до Солнца.

Такой была созданная Птолемеем картина строения Вселенной — сложной, неуклюжей системой; однако долгое время ею с успехом пользовались. Вам она может показаться неестественной и даже немыслимой, но Птолемею и многим после него невероятной казалась противоречащая ей схема, согласно которой Земля вращается вокруг Солнца. Ведь если Земля движется, то предметы будут сбрасываться с нее при вращении или отставать от нее при движении. Ближайшие из неподвижных звезд должны менять свои видимые положения при движении Земли по орбите в течение полугода.

Наивным представлениям о природе движения суждено было дожидаться учения Галилея и ясного мышления Ньютона, чтобы рассеялся туман первого возражения. Второе возражение оставалось бы в силе, если бы звезды не обнаружили абсолютно никаких параллаксов. Мы знаем теперь, что параллаксы существуют, но они слишком малы и их нельзя наблюдать без достаточно точных приборов, и первые успешные наблюдения были проведены в 1832 г. Упомянутые выше возражения против гелиоцентрической гипотезы отступали на задний план перед еще одним возражением, которое возникало, казалось, естественным образом из человеческой психологии, из свойственного человеку эгоцентризма.

Земля, на которой Мы живем, должна быть центром Вселенной — другие небесные тела должны вращаться вокруг Нас[29]. Эта точка зрения, подкрепленная наблюдениями, легко находила поддержку как в наивном эгоцентризме, так и в учениях греческих философов. Поэтому мы не должны удивляться тому, что система Птолемея, согласно которой Земля с живущими на ней людьми являлась центром Вселенной, считалась правильной на протяжении всего средневековья, пока с наступлением эпохи Возрождения людей, мышление которых становилось все более гибким и пытливым, не стали тревожить различные вопросы.

Точка зрения, согласно которой не Солнце вращалось вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца (гелиоцентрическая система), высказывалась некоторыми греческими астрономами и обсуждалась на протяжении нескольких веков (с XII по XV) то тем, то другим философом или священнослужителем как нереальная теория и не встречала сколько-нибудь значительной поддержки.

В систему Птолемея верили и считали ее единственно правильной на протяжении примерно тысячи лет. Население Европы интересовалось наукой только как базой для словесных дискуссий; новые принципы получали права гражданства не на основе экспериментальных данных, а благодаря логическим умозаключениям, опиравшимся на авторитетные источники. Влияние церкви все возрастало, просвещение всецело зависело от нее, наука тоже находилась во власти ее догм. Любые диспуты, даже простой призыв к эксперименту, к проведению каких-либо наблюдений, могли бы вызвать к жизни ряд волнующих вопросов, угрожавших непреложности установленных церковью законов. В те времена, когда церковь повседневно направляла и наставляла простой народ, а короли и дворянство управляли с ее помощью, такого рода покушения на рутину встречались в штыки.

В течение десяти веков со времени создания греческой астрономии до первых научных экспериментов возникали те или иные теории, но работы этих ученых остались неизвестными. После многовекового темного царства средневековья забрезжил свет.

Английский монах Роджер Бэкон (~ 1250 г.) стал взывать о необходимости проведения экспериментов. Он был честным и горячим человеком, нападал на священников и философов, настаивал на том, что накапливать знания необходимо на основе фактов, а не корпеть над скверными латинскими переводами. В своих книгах он клеймил невежество и предрассудки, призывая людей: «Перестаньте подчиняться догмам и авторитетам; взгляните на мир!»

Его резкое поведение послужило причиной конфликта с его собратьями монахами и с церковью. Учение Роджера Бэкона, по всей вероятности, было под запретом, а его книги, как и книги его единомышленников, на долгое время были забыты. Бэкон на столетия опередил свое время. (Жившему много позднее Фрэнсису Бэкону приписывали новый подход к науке. Однако вряд ли его вклад был более значителен.)

Двумя столетиями позже появился Леонардо да Винчи (~ 1480 г.) — великий художник, мыслитель и ученый. Занимаясь механикой, он классифицировал понятия массы, силы, движения, он высказал новые научные представления и создал искусные модели. Его знаменитые заметки являются сокровищницей изобретений в области механики и едва ли не самых прекрасных в истории искусства рисунков. Составляя эти заметки, он выступал как в роли историка, так и в роли пророка, занося в них интересные идеи, свои и чужие, и остроумные схемы, которые он придумывал. Это было началом нового подхода к науке, того, о котором мечтал Роджер Бэкон.

Тем временем накапливались астрономические данные, в том числе наблюдения арабских астрономов и др. Нужды медицины и мореплавания дали толчок развитию науки в эпоху Возрождения.

Николай Коперник родился в польской Пруссии. Насколько известно, жизнь он вел спокойную, небогатую событиями. Был религиозен, способностями обладал не столь уж блестящими, но его вдохновляла любовь к истине. У него был четкий взгляд на вещи и достаточно храбрости, чтобы не побояться бросить вызов укоренившимся традициям, хотя он отнюдь не жаждал входить в конфликт с хранителями этих традиций — церковью и государством.

Коперника воспитывал дядя, влиятельный Фрауэнбургский епископ. Дядя хотел его направить по собственным стопам и решил за него его судьбу. Сначала он послал его в школу, а затем в Краковский университет. Наряду с другими предметами в университете Коперник изучал и астрономию и научился обращению с неуклюжими астрономическими приборами того времени. Затем он путешествовал по Италии, изучал греческий язык и церковное право, за что получил степень доктора. Астрономию он продолжал изучать, имея уже возможность читать оригинальные греческие тексты. Спустя несколько лет (двадцати шести лет от роду) он посетил Рим и прочел там курс лекций по математике (а возможно, и по астрономии?). Тем временем дядя добился в 1497 г. избрания его каноником в кафедральном соборе и дал разрешение провести еще два года в Италии для изучения медицины и церковного права.

И вот Коперник в возрасте тридцати с небольшим лет вернулся на родину. Там он и провел остаток жизни, отдавая свое время церковным обязанностям, ведению бухгалтерских церковных книг (практически он вел все хозяйство капитула), случайным медицинским консультациям и размышлениям о том, как устроена Вселенная.

Он любил одиночество и, по-видимому, имел немного друзей, хотя репутация его как ученого привлекла к нему ряд учеников.

Он не любил принимать участие в долгих дискуссиях, которые в те времена были очень распространены; однако когда к нему обратились с просьбой помочь государственной комиссии упростить монетную систему, он охотно принял в этом участие и представил четкий и толковый проект, который и был принят сенатом.

Коперника интересовали разнообразие и противоречивость мнений о движении планет. Система Птолемея казалась ему слишком неуклюжей, он считал, что бог, создавая Вселенную, мог придумать что-нибудь получше. Он верил в то, что планетная система, сферы и прочее были сотворены богом, но считал, что созданная богом система должна быть простой и величественной именно благодаря своей простоте. Он собрал наблюдения над движением планет и составил таблицы, значительно более надежные, нежели существовавшие до него; размышляя над движениями планет, он был поражен тем, насколько проще стала бы система Птолемея, если бы ее центром являлось Солнце. Основываясь только на интуиции, он предположил, что Земля — такая же планета, как и все остальные. Это уже было переворотом в существовавших тогда представлениях. Он предположил, что все планеты движутся по круговым орбитам вокруг неподвижного Солнца, и пришел к выводу, что Земля обходит Солнце за год, вращаясь при этом вокруг своей оси и совершая полный оборот за 24 часа. Тогда «неподвижные звезды» и Солнце могли, по его мнению, покоиться в небе.

Эта схема заменила эпициклы Птолемея простым круговым движением. Суточное движение звезд, увлекавшее за собой Солнце, Луну и планеты, очевидно, можно было заменить суточным вращением Земли. Эта возможность обсуждалась, но была отвергнута, так как механизм подобного движения был непонятен. (Считалось, что при вращении Земли было бы слышно завывание ветра, создаваемого потоком воздуха, и что при падении камня с высокой башни участок, на который должен был камень упасть, уходил бы из-под него. С другой стороны, звезды и другие небесные тела могли совершать вращение по сферам Птолемея, так как сферы и вращения считались присущими небесам.)

По мнению Коперника, сложные, неравномерные движения Солнца и планет на фоне звездного неба можно было значительно упростить, предположив, что Солнце неподвижно, а планеты вращаются вокруг него. Основной вклад Коперника в астрономию заключается именно в том, что он «остановил» Солнце и поместил его к центр планетной системы. Тогда стало очевидно, что ежегодное движение Солнца по эклиптике — лишь кажущееся; оно обусловлено вращением Земли вокруг Солнца. Сложное движение планеты по эпициклоиде складывается из собственного движения планеты по кругу и движения Земли вокруг Солнца. (С этой точки зрения система эпициклов являлась как бы расплатой за то, что ранее не было известно о движении Земли.) Такое соблазнительное представление о планетной системе, в центре которой находится Солнце, существовало и ранее, но оно не встречало сколько-нибудь значительной поддержки. Коперник, исследовавший подобные идеи в старых записях, обладал не только ясным умом, но к огромным количеством экспериментальных данных для их дальнейшего развития.

Движение планеты по эпициклоиде Коперник объяснял следующим образом. Предположим, что Земля вращается вокруг Солнца по круговой орбите, а Юпитер также вращается вокруг Солнца, но более медленно и по орбите большего радиуса (фиг. 54).

Фиг. 52. Система Коперника.

Фиг. 53. Система Коперника с более поздними добавлениями.

_{а — вся система в целом; б — внутренняя область в увеличенном масштабе.}

_{Орбиты почти круговые. Солнце несколько смещено от центра системы. Доказано расположение орбит, но размеры даны не в масштабе.}

Фиг. 54. Объяснение Коперником движения планеты по эпициклоиде.

_{Прямые E1J1, E2J2 и т. д. — линии наблюдения, идущие от Земли к Юпитеру (наблюдения производятся через каждые два месяца).}

_{а — показаны две стадии, б — показано несколько стадий; в — показано еще большее число стадий. Линия наблюдения совершает сложные колебания.}

Неподвижные звезды должны находиться гораздо дальше, так как мы не наблюдаем параллаксов. Отмечая положение Юпитера относительно неподвижных звезд, мы смотрим вдоль воображаемой линии, соединяющей Землю с Юпитером и идущей дальше к звездам. Тогда по мере того, как Земля совершает вращение по своей орбите, а Юпитер также вращается вокруг Солнца, только медленнее, эта линия колеблется то в одну, то в другую сторону, описывая эпициклоиду среди звезд. Когда Земля находится в точке Е₁, Юпитер находится в точке J₁, и наблюдатель, смотрящий вдоль линии Е₁J₁, видит Юпитер на фоне звезд в положении J*₁. Когда Земля проходит точки Е₁, Е₂, Е₃, Е₄, Е₅, Е₆ и т. д., Юпитер медленно движется от J₁ к J₂, J₃, J₄, J₅, J₆ и т. д. Наблюдатель на Земле видит Юпитер в направлениях Е₁J₁, Е₂J₂ и т. д., и ему движение этой планеты по мере вращения Земли представляется то в прямом направлении, то в обратном. Этот процесс показан более подробно на фиг. 55.

Фиг. 55. Объяснение Коперника.

_{Видимые положения Юпитера на фоне звездного неба. Это фиг 54, в, выполненная в другом масштабе (здесь линия наблюдения, идущая к J*1, является продолжением E1J1). Линии наблюдения проведены параллельно соответствующим линиям на фиг. 54, в.}

Коперник объяснил движения Марса, Юпитера и Сатурна по эпициклоидам, предположив, что они вращаются вокруг Солнца по большим круговым орбитам, проходящим вне орбиты Земли. По его представлениям, Венера и Меркурий движутся по меньшим орбитам, находящимся ближе к Солнцу, нежели орбита Земли, и лежащим внутри нее. Этим можно было объяснить их поведение, т. е. то, что они находятся ближе к Солнцу и колеблются то в одну, то в другую сторону по обе стороны от него. Таким образом, одна и та же схема объясняла движение как «внутренних», так и «внешних» планет.

Коперник не только предложил более простую схему, но извлек из нее новую информацию о размерах орбит различных планет и о том, в каком порядке они расположены. В системе Птолемея круговые орбиты могли иметь любые размеры и не играло роли, какую планету считать самой внешней. В гелиоцентрической схеме орбиты располагались в определенном порядке и их размеры находились в определенных соотношениях. Из видимых движений планет Копернику было очевидно, орбиты каких планет наибольшие, а каких наименьшие.

Задача 1

Попробуйте с помощью фиг. 54 и 55 ответить на следующие вопросы.

Предположим, что периоды времени, в течение которых Земля и Юпитер совершают полный оборот вокруг Солнца, остались теми же (наш год, «год» Юпитера), но изменился радиус земной орбиты. Как изменится форма петель видимой траектории Юпитера на фоне звездного неба,

а) если радиус земной орбиты станет очень малым?

б) если радиус земной орбиты станет почти таким же большим, как радиус орбиты Юпитера?

Порядок расположения планет должен был быть следующий!

СОЛНЦЕ, в центре неподвижное;

Меркурий, ближайшая к Солнцу планета;

Венера;

Земля и вращающаяся вокруг нее Луна;

Марс;

Юпитер;

Сатурн, самая далекая из известных тогда планет.

Считая орбиты планет правильными окружностями, Коперник вычислил на основании уже имеющихся наблюдений их относительные радиусы и смог поэтому дать в надлежащем масштабе довольно точную карту планетной системы. Чтобы получить из этих относительных значений действительные радиусы, ему нужно было измерить абсолютную величину любого из них, например расстояние от Солнца до Земли. Это расстояние было-известно лишь очень приближенно[30], поэтому масштаб созданной им полной схемы планет не был особенно надежен.

Определение радиусов орбит

Чтобы представить себе, как Коперник вычислял относительные радиусы, попробуйте решить эту задачу для внутренней планеты, скажем для Венеры. Венера находится ближе к Солнцу, чем Земля, и движется вокруг него по орбите меньшего радиуса. Эта орбита видна с Земли под таким углом, что Венера представляется наблюдателю то впереди, то позади Солнца, но путь, совершаемый ею, недолог, и она как бы возвращается обратно. Поэтому Венеру можно наблюдать только вблизи Солнца как утреннюю или вечернюю «звезду». Когда наблюдателю кажется, что Венера находится дальше всего от Солнца, как раз в той точке, где она как бы поворачивает и начинает двигаться в обратном направлении, на самом деле она должна находиться в точке С, лежащей на касательной, проведенной от Земли к орбите Венеры (фиг. 56).

Фиг. 56. Определение относительных радиусов орбит.

_{Расстояние от Солнца до Венеры здесь больше, чем это соответствует масштабу.}

Когда Beнера находится в положениях А, В, D…, будет казаться, что она ближе к Солнцу. Согласно геометрическим свойствам окружности, касательная перпендикулярна радиусу SC. Таким образом, в треугольнике ECS угол при вершине С прямой, а угол при вершине Е можно измерить с Земли. Зная эти углы, можно изобразить в масштабе подобный треугольник и найти соотношение между SC и SE, т. е. между радиусами орбит Венеры и Земли соответственно.

Чтобы измерить требуемый угол при вершине Е, нужно определить угловое расстояние между Венерой и Солнцем в тот момент, когда наблюдателю кажется, что Венера наиболее удалена от F Солнца. Если вы не сможете произвести непосредственных измерений из-за слепящей яркости солнечных лучей, подождите захода Солнца, определив предварительно, в каком месте он произойдет, а затем наблюдайте за Венерой день за днем, пока расстояние между нею и Солнцем не окажется наибольшим. Представить, как измеряется угол, можно с помощью соединенных между собой брусков с просверленными в них отверстиями для наблюдений, хотя в действительности метод измерения будет несколько более сложным. Наблюдения показывают, что угол SEC приблизительно равен 46°. Если начертить и измерить треугольник с углами 46, 90 и 44°, то получится, что отношение сторон SC к SE равно примерно 72/100. Отсюда следует, что радиусы орбит Венеры и Земли относятся как 72:100. Рисовать треугольник нет необходимости, если имеются тригонометрические таблицы, которыми в свое время располагал и Коперник. Отношение SC/SE равно sin 46°, который, как видно из таблиц, равен 0,72. Коперник определил этот угол путем измерений и выполнил те же вычисления для Венеры и Меркурия. Для внешних планет геометрические построения гораздо сложнее, но Коперник примерно тем же способом вычислил относительные размеры их орбит. Так он смог нанести орбиты в масштабе на карту и правильно разместить планеты на орбитах в некоторый начальный момент. Чтобы предсказать их положения в другие моменты времени, ему надо было знать длительность «года» каждой из планет, т. е. время, в течение которого планета совершает полный оборот по орбите. Эти периоды обращения Коперник определил из записанных ранее наблюдений. Он установил, сколько времени требуется планете, чтобы совершить оборот и вернуться на прежнее место.

Пользуясь полученными до него данными, Коперник нанес положения планет на карту (в соответствующем масштабе) и определил их положения в прошлом, настоящем и будущем. Он мог проверить их прежние положения и сделать отсюда вывод, насколько правильна его «картина», или «теория», как мы будем ее теперь называть. Эта проверка дала положительные результаты, хотя и имелись расхождения, которые после тщательных вычислений привели к видоизменению простой картины.

Коперник приводил и другие доказательства правильности своей теории:

1) Марс много ярче (кажется большим по размеру) в некоторые времена года, очевидно, потому, что находится в это время ближе к Земле. Согласно системе Птолемея, Марс движется вокруг Земли по слегка эксцентрической орбите; однако на основании этого нельзя удовлетворительно объяснить довольно значительные изменения его расстояния от Земли. Согласно же схеме Коперника, это расстояние меняется в пределах от суммы радиусов орбит до их разности. Действительно, Марс ярче всего, когда его расстояние от Земли наименьшее, в те времена года, когда Марс и Земля находятся по одну и ту же сторону от Солнца, — Марс «противостоит» Солнцу в полночь, когда находится у нас над головой.

2) Как раз в тот момент, когда внешняя планета проходит обратную часть петли, она находится точно против Солнца (противостояние). Птолемей не мог объяснить этого факта, который с очевидностью следует из геометрических построений Коперника (см. фиг. 55).

3) Если Венера и Меркурий ближе к Солнцу, чем Земля, и обращаются вокруг него по малым орбитам, то, смотря на них, мы должны видеть не всю планету, а лишь ту ее сторону, которая обращена к Солнцу и ярко освещена (фиг. 57). Так что эти две планеты должны иметь две стадии, или «фазы», подобно Луне, когда она переходит постепенно от новолуния к полумесяцу, затем к полнолунию и т. д.[31]. В случае большой планеты, Венеры, эти стадии, по мнению противников системы Коперника, должны были бы тоже наблюдаться, а поскольку они не наблюдались, то следовало считать всю гелиоцентрическую систему неверной. Существует рассказ, скорее всего недостоверный, о том, что Коперник ответил на это возражение следующим образом: «Если бы когда-либо удалось в достаточной степени усовершенствовать наше зрение, мы смогли бы наблюдать фазы Меркурия и Венеры». Через сто лет фазы Венеры действительно удалось наблюдать с помощью телескопа Галилея.

Фиг. 57. Фазы Венеры с точки зрения наблюдателя на Земле.

Венцом работ Коперника была данная им новая простая интерпретация прецессии равноденствия. Прецессия, открытая еще греками, описывалась как медленное вращение всей звездной системы (и Солнца) вокруг оси эклиптики, тогда как Земля, ее экваториальная плоскость и ось, проходящая с севера на юг, остаются в покое. Коперник «перевернул» это представление, предположив, что покоится Солнце и плоскость его эклиптики, т. е. плоскость земной орбиты остается неподвижной. Экваториальная плоскость Земли (и небесный экватор) медленно вращается, все время образуя с эклиптикой угол 23¹/₂°. После этого Коперник смог дать простое описание прецессии: ось вращения Земли описывает конус с углом раствора 23¹/₂°, совершая полный оборот за 26 000 лет. Хотя Коперник дал ясную картину того, что происходит при прецессии равноденствий, он не знал «причины» этого явления. Задача была решена Ньютоном, который показал, что это явление, подобно многим другим астрономическим явлениям, — результат всемирного тяготения.

Хотя Коперник стремился к максимальной простоте, он пришел к выводу, что движение с постоянной скоростью по простым круговым орбитам не соответствует наблюдаемым фактам. Ему пришлось предположить, что орбиты эксцентричны, и даже ввести маленькие эпициклы. При этом простота несколько пострадала.

Стало, пожалуй, труднее догадаться о тех простых правилах, которые лежат в основе движения планет и которые позднее были открыты Кеплером. Но, подобно Птолемею, Коперник настойчиво добивался того, чтобы его схема точно соответствовала его наблюдениям. В этом отношении обе системы являлись хорошим описанием наблюдаемых движений небесных тел, и мы не должны называть «неверной» ни ту, ни другую.

Фиг. 58. Схема, иллюстрирующая прецессию равноденствий.

Коперник потратил 20 лет на составление и совершенствование своей схемы. За это время он стал известен среди математиков и астрономов, некоторые приезжали к нему, вели с ним беседы, проводили совместные исследования, и распространяли его идеи. Он посылал в письмах друзьям краткое описание своей схемы. Но, он не жаждал славы. Многие убеждали его опубликовать свои работы: звездные карты, таблицы, большую схему Солнечной системы с полным обоснованием и со всеми разработанными им деталями. Даже после того, как один из его друзей опубликовал предварительное сообщение о его системе. Коперник еще много лет не открывал ее миру, желая все исправить и улучшить, прежде чем предложить консервативно настроенным читателям столь радикальное изменение существовавшей до того точки зрения. Коперник опасался конфликта с церковью, служителем которой являлся сам; да и его друг, который предложил взять на себя расходы по опубликованию книги, был кардиналом. Но Коперник знал, что выход книги вызовет бурю, он боялся оказаться в смешном положении. Чтобы убедить враждебно настроенных читателей, требовались хорошо продуманный критический анализ существовавшей дотоле точки зрения на строение Вселенной и приведенные в стройную систему данные.

Фиг. 59. Прецессия равноденствий.

_{Изображение большого участка северного звездного полушария (~90° х 90°), иллюстрирующее медленное движение небесного Северного Полюса на фоне звезд. Точка, в которой ось вращения Земли пересекает звездное небо, медленно движется по почти круговой траектории, совершая один оборот примерно за 26 000 лет (по Р. Боллу).}

Фиг. 60. Сравнение системы Птолемея и системы Коперника.

_{а — система Птолемея, изображенная без учета эксцентриситета, или «эквантов». Порядок и соотношения размеров орбит не определены. Радиусы эпициклов даны не «в масштабе»; б — система Коперника, изображенная без учета эксцентриситета, или малых эпициклов. Соотношения орбит даны грубо в масштабе. Орбита Луны изображена не в масштабе.}

Попытка опровергнуть систему Птолемея, созданную и многократно подтвержденную великими людьми прошлых веков и ставшую почти священной благодаря традиции и той практической пользе, которую она до сих пор приносила, была нелегкой задачей. Система Птолемея была неточной, даже в календаре, составленном на ее основе, было огромное количество ошибок. И все же никто не сомневался в ее правильности. Астрономы лишь пытались внести поправки в радиусы орбит и изменить «экванты», чтобы получить лучшее согласие с наблюдениями. Коперник хотел, чтобы его теория стояла на незыблемой почве. Он мог позволить себе не торопиться, так как твердо верил в то, что истина должна восторжествовать.

В конце концов, уступая уговорам друзей, он написал большую книгу, которая была отдана в печать и опубликована незадолго до его смерти. Эта книга носила название «De Revolutionibus Orb mm Goelestium» (Об обращениях небесных сфер). On посвятил ее папе римскому. Вот цитата из его предисловия к книге[32]:

«Думается мне, святейший отец, что некоторые лица, как только узнают, что я в сочинении моем о движениях небесных сфер допускаю различное движение земного шара, без дальнейшего разбора осудят меня и мои воззрения. Я вовсе не столь высокого мнения о своей теории, чтобы не обращать внимания на мнения других. Хотя знаю, что мысли философа довольно далеки от суждения народного, так как первый обязан во всем доискиваться истины настолько, сколько дано от бога уму человеческому, но тем не менее я полагаю, что должно отрешиться от взгляда, далекого от истины. По этой причине, рассуждая сам о собою о том, сколь нелепо покажется всем, знакомым с утвердившимся в продолжение стольких веков мнением о неподвижном положении Земли в центре Вселенной, если я, наоборот, стану утверждать, что Земля движется. Я долго колебался, обнародовать ли в печати мои исследования…».

Далее он пишет:

«Если бы нашлись пустые болтуны, которые, хотя вовсе не сведущие в математических науках, дозволили бы себе осуждать или опровергать мое предприятие, намеренно искажая какое-либо место Священного Писания, то я не стану на них обращать внимания, а, напротив, буду пренебрегать подобным неразумным суждением…».

В своей книге Коперник привел таблицы звезд и описал наблюдения над движением планет. В ней дано также пространное изложение новых представлений о строении Солнечной системы.

Книга была сдана в печать и издана в Нюрнберге. Она начинается с общего описания новой системы и ее преимуществ[33].

Затем идут главы, излагающие необходимые сведения из тригонометрии, и раздел, посвященный сферической астрономии. После этого подробно обсуждается «движение» Солнца (или, вернее, Земли) с объяснением прецессии равноденствий. Затем рассматривается движение Луны, а в последних двух разделах очень подробно описаны движения планет. В самом конце приводятся измерения расстояний до Солнца и Луны и радиусы орбит для всех планет.

Это была поистине великая книга, имевшая огромное значение. Коперник так и не читал ее в отпечатанном виде. Ожидая ее выхода в свет, он, уже семидесятилетний старик, тяжело заболел и был частично парализован. Первая отпечатанная копия была прислана ему 23 мая 1543 г.; он видел ее, прикоснулся к ней и в ту же ночь тихо скончался.

Задача 2

Составьте список ученых, которые упоминались в главах, посвященных античной астрономии

а) ученых, которые придерживались точки зрения Коперника (приведите, если сможете, даты);

б) ученых, которые придерживались геоцентрической точки зрения на строение Вселенной (приведите, если сможете, даты).

Задача 3. Временные графики

а) На большом листе миллиметровки или, обычной бумаги начертите «временной график», показывающий рост астрономических знаний от первобытного человека, вавилонян и т. д. вплоть до греческой школы в Александрии.

б) Нарисуйте другую схему, охватывающую период от древних греков до Коперника, и укажите на ней наиболее выдающихся астрономов,

Задача 4. Размеры орбит

а) Поясните с помощью диаграммы, как Коперник определял радиус орбиты какой-либо планеты. Дайте геометрическое доказательство.

б) Радиусы каких планет можно определять с помощью описанного в предыдущем вопросе метода?

в) Какие другие астрономические измерения напоминают метод, описанный в первом вопросе?

Задача 5. Траектории планет

Наблюдения показали, что планеты, например Юпитер, движутся относительно звезд по петлеобразной траектории, «эпициклоиде».

а) Как получал такую траекторию Птолемей?

б) Как объяснял Коперник такую траекторию планеты?

Задача 6

а) Из чего следует, что Венера должна иметь фазы, аналогичные фазам Луны?

б) Из чего следует, что Юпитер не имеет фаз? (Приведите схему).

Революция, совершенная теорией Коперника

Коперник стремился вырваться из окружавшей его атмосферы аристотелева догматизма. В поисках любезной ему истины он сумел создать более совершенную картину Вселенной, чем та, которая существовала до него. Хотя Коперник настойчиво преследовал поставленную перед собой цель, он был миролюбив, деликатен, внимателен к другим и убедил многих в правильности своей точки зрения. После его смерти созданная им теория строения нашей планетной системы стала приобретать все большую и большую известность. Составленные им таблицы проверялись, исправлялись и издавались. Определенная Коперником продолжительность года (365 дней 5 часов 55 минут 58 секунд) была использована позднее одним из римских пап для реформы календаря, в котором до этого имелась несогласованность с временами года.

Когда около восьмидесяти лет до этого советовались с самим Коперником по поводу реформы календаря, он не решился на нее, ибо хотел сперва завершить и четко сформулировать свою теорию строения Вселенной. Новый календарь явился дополнительным и очень важным его вкладом в астрономию. Мы пользуемся до сих пор этим календарем. Схема високосных лет так хороша разработана, что будет соответствовать солнечному календарю времен года с точностью до одного дня еще 3000 лет!

Однако по мере того, как последователи Коперника стали пропагандировать новую систему не так скромно и тактично, как в свое время он сам, ее значение становилось все более явным. Она стала волновать философов, ею заинтересовались не только ученые, которых она побуждала к созданию и развитие новых идей, но и простые люди; породила она в открытую оппозицию церкви.

В течение столетия, прошедшего со дня смерти Коперника, его работа, которую он посвятил папе, стала предметом самых ожесточенных споров, какие когда-либо знало человечество. Как это могло произойти? Дело в том, что работа Коперника не только опровергала все то, что ранее казалось очевидным и принималось как нечто само собой разумеющееся, она противоречила существовавшему в течение веков мировоззрению. Коперник объявил войну (хотя сам и не отдавал себе, вероятно, в этом отчета) огромному взаимному переплетению образа мыслей и верований.

В те дни не существовало еще деления науки на отдельные области, такие, как физика, биология, физиология, психология, социология, языкознание, искусство, философия. Получая ныне образование в специализированных учебных заведениях, мы едва ли можем представить себе запутанную и тесно переплетенную картину мировоззрения времен средневековья. Ученые того времени, встречаясь друг с другом, устраивали дискуссии, несли просвещение в народ и были специалистами во всех областях, они стремились сохранить такую схему, которая была бы прочной основой всех знаний и связывала бы все науки в единую систему.

В то время считалось, что природа состоит из четырех основных элементов: земли, воздуха, огня и воды. Жидкости обладают текучестью, потому что состоят главным образом из воды; твердые тела обладают большой плотностью и прочностью, потому что состоят главным образом из земли, и т. д. Поведением людей управляют четыре «склонности»; в соответствии с тем, какая из них преобладает в человеке, он может быть сердитым, грустным, спокойным, твердым. Планетам, этим «блуждающим» по небу звездам, приписывались различные свойства, которые связывали их как с человеком, так и с четырьмя физическими элементами. Их связывали с темпераментом человека и его судьбой, а также с металлами, свойства которых считались зависящими от пропорций, в каких они содержат землю и огонь. (Например, Марс олицетворял бога войны, сердитый нрав, горячий металл.) Планеты и звезды связывали человека с божественным провидением. Система небесных сфер являлась для человека идеальной моделью Вселенной. За внешней звездной сферой находились небеса, занимавшие самое почетное место в схеме Вселенной. Посягнуть на устроенную таким образом планетную систему означало изменить все учение о природе и человеке и даже отношение человека к богу.

Но разве Коперник посягнул на планетную систему с ее движущимися сферами? Он лишь передвинул центр этой системы от Земли к Солнцу. Чтобы понять, почему это разрушало все мировоззрение в целом, посмотрим, сперва, почему существование сфер принималось как нечто не требующее доказательств.

Профессор Дингл так описывает точку зрения одного историка:

Но вскоре стало ясно, насколько огромно значение работ Коперника. Если Земля вращается, то уже нет необходимости считать, что вращается и небесная сфера, на которой закреплены звезды. Более того, звездам вовсе не надо находиться на такой сфере — они могли просто висеть в небе на любом расстоянии от Земли, и если это так, то, возможно, и на самых различных расстояниях.

Они могли находиться и в удаленной области неба. Это было потрясающим переворотом взглядов. Где же тогда должно было находиться то Небо, с которым были связаны все религиозные воззрения, где должно было находиться жилище бога и обиталище душ умерших? Через сто лет после Коперника Джордано Бруно, высказавший предположение о том, что пространство бесконечно и содержит бесчисленное множества звезд, представляющих собой солнца, находящиеся на огромных расстояниях от нашей планетной системы, за свои кощунственные взгляды был сожжен на костре как еретик.

Кроме того, Коперник лишил Землю ее привилегированного положения центра Вселенной и уравнял ее в правах с Марсом и Юпитером как планету, вращающуюся подобно им вокруг Солнца. Вся система сфер стала казаться менее сложной и менее необходимой; это совершенно изменило существовавшие ранее взгляды на то, что планеты влияют на находящуюся в центре планетной системы Землю и на судьбы населяющих ее людей.

Если теория Коперника вызвала переворот в умах ученых, то как могла воспринять ее огромная масса простых людей, когда они начали понимать ее значение? Несостоятельной оказалась не только система сфер, в которую незыблемо верили до тех пор, но под угрозой коренных изменений находилась вся система накопленных до того знаний и верований.

Труды Коперника дошли до простого народа главным образом благодаря тому влиянию, которое они оказали на астрологию. В течение многих столетий суеверный народ — почти все, от короля до нищего, — верил, что Солнце, Луна и планеты влияют на их судьбы. Судьбу человека предсказывали по его гороскопу, который составлялся на основе положения планет в момент его рождения. Считалось, что гороскоп, составленный опытным и уважаемым астрологом, может помочь королям мудро (или надежно) управлять государством и может предсказать будущее любого человека. Пока Земля рассматривалась как центр небесной системы, вокруг которого странным образом блуждают планеты, было естественно считать, что движения планет совершаются ради нас и даже могут управлять нашей судьбой. Когда же Коперник передвинул Солнце в центр планетной системы, предположив, что Земля только одна из планет, он предопределил этим падение астрологии — из советника королей и утешителя простых людей она превратилась в то, чем является и теперь, — в забавную сказку. И все же цивилизованный человек настолько доверчив, беззащитен, а быть может, и романтичен, что публикуемые и в настоящее время книги по астрологии еще находят своего читателя.

Церковь начала борьбу против системы Коперника скорее всего по двум причинам: во-первых, эта система противоречила учению церкви в области астрономии и философии и, во-вторых, утверждение новой системы ставило под вопрос, вернее, даже отрицало авторитет и традиции системы Птолемея. Бунтари, борцы за новые идеи, которым доставляет удовольствие опровергать то, что уже существует, редко находят поддержку. В те дни церковь ревностно оберегала свою власть и настаивала на беспрекословном подчинении. Всякий, кто подвергал сомнению авторитет церкви или не соглашался с ее учением, рисковал жизнью и, по мнению церкви, своей душой. Таких людей в те времена было немного. Это были мученики науки. Проповедующий новую теорию ученый мог быть безопасным для церкви; однако тот, кто настаивал на истинности этой теории, оказывался уже бунтовщиком. А кто ниспровергает что-то, может восстать и по другому поводу, кто настойчиво спорит, отстаивая свою точку зрения, способен восстать и против церкви или государства (против любого авторитета). Это уже было опасно. Не прошло и ста лет, как книга Коперника «Об обращениях небесных сфер» была внесена в список запрещенных церковью книг (в этом списке она оставалась 200 лет, разрешена она была, т. е. вычеркнута из списка, лишь в 1830 г.).

В то бурное для астрономии время появился Тихо Браге, великий наблюдатель звездного неба, чьи поразительно точные измерения послужили основой для открытий Кеплера и последующих объяснений Ньютона. Галилей был современником Кеплера и подвергался тяжелым гонениям. По прошествии нескольких веков взгляды Коперника стали казаться безопасными. Как отмечает Лодж[36], подобная трансформация происходит систематически, из столетия в столетие. В начале XIX века геологов яростно осуждали как нечестивых критиков истории сотворения мира по Библии. По прошествии нескольких десятилетий геологию оставили в покое и осуждению и запрету подверглась теория эволюции — это гонение, пожалуй, продолжается в известной степени и поныне.

Каждая эпоха имеет группу, а иногда и несколько групп ученых-мятежников, которых преследуют и осуждают, а затем по прошествии некоторого времени начинают считать безвредными. Некоторые из таких людей просто чудаки, другие же — мудрые пророки, определяющие характер развития человечества и знаний, люди, которые намного опережают свое время.

Тихо Браге

Тихо Браге был старшим сыном в благородной датской семье, «настолько благородной и невежественной, насколько могли ее такою сделать шестнадцать полей ее герба». Единственными достойными занятиями для настоящих аристократов считались охота и война; хотя чтение книг в то время стало уже входить в моду, считалось, однако, что этим должны заниматься только монахи, что наука бесполезна и, пожалуй, сродни колдовству. Тихо, вероятно, воспитали бы в соответствующем духе и он стал бы военным, если бы его не усыновил дядя, человек, значительно более образованный, нежели родители Тихо. Родители неохотно согласились отдать сына и отдали только тогда, когда родился второй сын. Дядя дал Тихо хорошее образование. С семи лет Тихо начал изучать латинский язык; его родители возражали, но дядя убедил их, что это поможет Тихо при изучении права. В возрасте 13 лет Тихо поступил в университет, чтобы изучать философию и право; там внезапно он заинтересовался астрономией. Произошло это случайно. Астрономы предсказывали затмение Солнца. Когда оно действительно произошло в указанное время, Тихо был поражен и восхищен наукой, которая способна совершать такие чудеса — делать столь точные предсказания. Он продолжал изучать право, но сердце его было уже отдано астрономии. На свои карманные деньги он купил астрономические таблицы и латинский перевод «Альмагеста» Птолемея, чтобы серьезно заняться изучением астрономии. Спустя три года дядя послал его в сопровождении наставника за границу, чтобы он мог, путешествуя, ознакомиться с обучением праву в германских университетах. Но и там Тихо продолжал втайне заниматься астрономией. Большую часть ночи он проводил, наблюдал звезды и используя небесный глобус размером не больше кулака. На все деньги, которые ему удавалось получать от своего наставника, он покупал приборы и книги, не говоря, на что они ему нужны. Вскоре он обнаружил, что таблицы положений планет неточны. Таблицы Птолемея отличались от таблиц Коперника: и те и другие не соответствовали действительности. Ему было всего 16 лет, но он понял то, чего до него не удалось понять профессиональным астрономам Европы, — для утверждения той или иной астрономической теории прежде всего необходим длинный ряд точных наблюдений. На основе немногочисленных и носящих случайный характер наблюдений над движениями планет нельзя было решить, какая из систем небесных тел правильна. Всю дальнейшую жизнь Тихо Браге посвятил выполнению этой задачи.

Когда ему было 17 лет, он наблюдал интересное событие — сопряжение Юпитера и Сатурна. Две планеты находятся в сопряжении, когда одновременно пересекают одну и ту же небесную долготу, находясь как бы близко друг к другу. Такое странное «сближение» планет можно было предсказать с помощью таблиц Птолемея или Коперника. Суеверные люди видели в подобных событиях знамение и верили, что оно приносит удачу или беду. Молодой энтузиаст Тихо Браге наблюдал сопряжение Юпитера и Сатурна и сравнил отмеченное им время этого события с предсказаниями таблиц. Оказалось, что расхождение с таблицами Птолемея (после их пересмотра Альфонсом) равнялось одному месяцу[37], а с таблицами Коперника — нескольким дням. Тогда Тихо решил посвятить свою жизнь составлению более совершенных таблиц и выполнил эту задачу более чем успешно. Он стал одним из самых искусных наблюдателей. Но несмотря на аристократическое происхождение и образование, он был суеверен и свято верил в оккультные силы и влияние движения светил на судьбу человека. Он верил, что именно предсказанное сближение планет вызвало Страшную чуму, пронесшуюся спустя некоторое время по Европе.

Тихо начал проводить свои наблюдения с простым прибором: парой планок, соединенных наподобие циркуля, одна ножка которого указывала на планету, а другая на неподвижную звезду. Он измерял угловое расстояние с помощью нарисованного на бумаге круга с делениями (фиг. 61), положение планеты он часто определял на глаз, когда она образовывала прямоугольный треугольник с двумя известными ему звездами. Вскоре он стал использовать рейку с ползунком, на концах которого имелись мушки.

Фиг. 61. Первые приборы Тихо Браге.

Наблюдатель, глядя через прицел на конце рейки, наводил мушку на звезды и таким образом измерял угол между ними. Браге обнаружил, что прибор проградуирован неточно, и тщательно составил таблицу поправок, дающую ошибки для каждого участка шкалы — точный метод, которым он пользовался потом всю жизнь. Так поступают хорошие экспериментаторы: чтобы увеличить точность своих измерений, они не пытаются сконструировать «идеальный прибор», они пользуются надежным и чувствительным прибором, который градуируют соответствующим образом. Затем составляют таблицу поправок, которой и пользуются при измерениях.

Угроза войны заставила Тихо Браге возвратиться домой. Его дядя умер, а остальная семья встретила его холодно. Его порицали за то, что он оставил изучение права, и с презрением отнеслись к его увлечению астрономией. Разочарованный, Тихо покинул Данию и уехал в Германию, чтобы там продолжать свои исследования. Во время путешествия он приобрел друзей среди богатых астрономов-любителей в Аугсбурге. Он убедил их в необходимости проведения очень точных измерений, и они совместно сконструировали огромный квадрант для измерения положений звезд и планет (фиг. 62).

Фиг. 62. Первый квадрант Тихо Браге (построен совместно с друзьями).

_{Эта иллюстрация, как и последующие, взята из составленного самим Тихо Браге описания его приборов и его научных трудов}

Этот деревянный прибор имел столь большие размеры, что потребовалось двадцать человек, чтобы перенести его на предназначенное место в сад и установить его там. Круг этого квадранта имел радиус около 5 м 70 см. Смотря на Солнце или Планету через отверстия DE, наблюдатель мог отсчитывать их «высоту» с помощью указателя АН по шкале. Огромные размеры прибора позволяли производить довольно точные измерения. Квадрант был проградуирован до шестидесятых долей градуса. У Тихо и его друзей был также секстант радиусом около 2 м. С этими приборами Тихо приступил к точным измерениям положений планет.

Во время пребывания в Германии с Тихо произошло неприятное происшествие. Отличаясь вспыльчивым характером, он затеял ссору, поводом к которой дослужили какие-то расхождения из-за математики; последовал вызов на дуэль, дрались на шпагах, причем встреча была в один из декабрьских вечеров. Дуэль проходила почти в темноте, и Тихо лишился части носа. Ему пришлось сделать себе фальшивый нос (из металла или мастики, скорее из выкрашенного металла). Судя по рассказам, Тихо всегда носил с собой маленькую коробочку с клеем, чтобы в случае надобности можно было прикрепить сдвинувшийся с места протез.

Проведя четыре года в Германии, Тихо Браге вернулся домой, где на этот раз уже был принят радушно, ибо слава его как астронома все более росла. Аристократические родственники начали доброжелательнее смотреть на науку и к Тихо относились уже с некоторой долей восхищения.

Когда отец Тихо Браге умер, второй дядя пригласил Тихо в свое имение и отвел ему специальное помещение для занятий алхимией, так как увлечение Тихо всякого рода чудесами влекло его и к алхимии. Это не означало, однако, разрыва с астрономией, ведь астрология того времени тесно связывала планеты с различными металлами и их свойствами. Занятия алхимией имели свою положительную сторону: они дали Тихо возможность изучить металлы, пригодные для изготовления различных приборов. Поэтому он часто соединял свои исследования в области алхимии с исследованиями но астрономии.

Новая звезда

Спустя год после возвращения Тихо Браге на родину на небе ярко засияла новая звезда, ее видели в течение многих месяцев. Звезда была столь же яркой, как Венера, и ее можно было видеть даже при дневном свете[38]. Изумленный и восхищенный, Тихо тщательно наблюдал за этой звездой с помощью большого секстанта и обнаружил, что она находится очень далеко, что это одна из неподвижных звезд «в восьмой сфере, которая прежде считалась неизменной». После многочисленных наблюдений и записей Тихо опубликовал сообщение об этой звезде.

Слава Тихо Браге росла, и группа молодых аристократов обратилась к нему с просьбой прочитать курс лекций по астрономии. Сначала он отказался, считая, что это унизит его достоинство как человека благородного происхождения, но затем по просьбе короля согласился.

К тому времени Тихо, к ужасу его семьи, женился на простой крестьянской девушке, но это помогло ему, видимо, освободиться от некоторых аристократических предрассудков.

Большая обсерватория Ураниборг

Жизнь Тихо была так тесно переплетена с астрономией, что он решил снова переехать в Германию; однако король Дании Фредерик II, понимавший, что исследования Тихо могли принести честь той стране, где они проводились, сделал ему великолепное предложение. Если Тихо согласится работать в Дании, ему предоставят для его обсерватории остров, обеспечат его земельными владениями, большим окладом содержания и выдадут деньги для строительства. Тихо с радостью принял это предложение. Наконец-то представилась возможность осуществить давние мечты.

Тихо построил и оборудовал великолепную, дотоле не виданную обсерваторию, на которую были затрачены огромные средства[39]. Он назвал ее Ураниборг — Небесный Замок (фиг. 63).

Фиг. 63. Ураниборг.

_{Эскиз главного здания, построенного примерно в 1580 г.}

Обсерватория была построена на холме на острове Вен и окружена стенами, расположенными квадратом, стороны которого, выходившие на север, восток, юг и запад, были длиной по 75 м каждая. В главном здании находились великолепные жилые помещения, лаборатория, библиотека и четыре большие обсерватории с чердачными помещениями для студентов и наблюдателей. При обсерватории имелись мастерские для изготовления приборов, печатный станок, бумажная фабрика и даже тюрьма для непокорных слуг. Тихо сделал и установил примерно дюжину больших приборов и столько же приборов меньшего размера. Эти приборы были лучшими из тех, какие удалось сконструировать и выполнить; они были проградуированы и проверены с поразительным искусством и фанатическим стремлением к точности. Некоторые приборы были проградуированы с точностью до ¹/₆₀° и с их помощью можно было измерять даже доли этой величины.

В библиотеке Тихо установил огромный небесный глобус, который он заказал в Аугсбурге за несколько лет до постройки обсерватории. Глобус был покрыт полированной латунью и представлял собой точную сферу диаметром в человеческий рост. По мере того как проводилась работа в обсерватории, на глобус наносились положения звезд. Эта работа длилась 25 лет.

Фиг. 64. Большой глобус Тихо Браге.

В лаборатории Тихо находился большой стенной квадрант с движущимися прицелами для наблюдения звезд при их прохождении через отметку в отверстии в противоположной стене. Этот квадрант был одним из главных приборов Тихо, и пустой участок стены внутри латунной дуги квадранта был украшен большой картиной, на которой были изображены сам Тихо, ведущий наблюдения, ученики, занимающиеся вычислениями, знаменитый глобус, собака, главные приборы, библиотека в обсерватории Ураниборга. На фиг. 65 приведена гравюра, изображающая эту роспись и двух наблюдателей, пользующихся квадрантом и примитивными часами того времени. (По мнению самого Тихо, портрет на стене имел большое сходство с оригиналом.)

Фиг. 65. Стенной квадрант Тихо Браге.

Обсерватория была великолепным храмом науки, и Тихо работал в ней в течение двадцати лет, измеряя и записывая положения звезд и планет с поразительной точностью. Отовсюду к нему съезжались ученики, чтобы работать под его руководством в качестве наблюдателей, регистраторов и вычислителей. Тихо проделал огромную работу — непрерывно наблюдались и регистрировались положения Солнца, Луны и планет. Он был намерен создать теорию, которая правильно описывала бы движения светил. Сначала он не особенно заботился о создании теории, хотя и настаивал на том, что, не располагая теорией, астроном не может успешно заниматься исследованиями. Позднее он предложил полезный компромисс, служивший как бы переходной ступенью для тех, которые находили скачок от Птолемея к Копернику слишком радикальным. Он предположил, что пять планет (за исключением Земли) движутся по круговым траекториям вокруг Солнца. Вся группа — Солнце, планеты и Луна — вращается вокруг Земли. Геометрически эта схема эквивалентна схеме Коперника, но в ней отсутствует неприемлемое представление о вращении Земли.

Фиг. 66. Движение планет по Тихо Браге.

_{Солнце движется вокруг неподвижной Земли, неся с собой все остальные планеты системы Коперника.}

Фиг. 67. Теория движений планет, предложенная Тихо Браге.

_{Эскиз дан не в масштабе. На нем показаны последовательные положения системы в январе, апреле, июле, сентябре. Планетная система движется подобно сковородке, которую вращает хозяйка, чтобы побыстрее растопить кусок масла.} 

Фиг. 68. «Астролябия», построенная Тихо Браге по эскизу той, которой пользовался Гиппарх.

_{Этим прибором непосредственно измерялась широта и долгота звезды или планеты. Тихо построил несколько усовершенствованных приборов, у которых одна из осей была параллельна оси, проходящей через полюса Земли.}

Фиг. 70. Большой квадрант Тихо Браге.

Тихо стал самым выдающимся ученым в Европе. Философы, государственные деятели, многие ученые и даже короли приезжала к нему в обсерваторию. Их принимали с необходимым великолепием и демонстрировали чудеса замка и собранные в нем приборы.

Однако Тихо был вспыльчив и высокомерен с теми, кого считал глупцами, да и с теми, кто, по его мнению, приезжал в обсерваторию, отдавая лишь дань моде. Таким людям он казался грубым и дерзким маленьким человечком со скверным характером, но те, кто был достаточно умен, видели в нем великого и страстного экспериментатора.

Несмотря на страсть к науке, Тихо был тщеславен и суеверен. У него в доме жил придурковатый карлик, и на банкетах, на которых задавала тон его жена, бывшая крестьянка. Тихо заставлял выслушивать высказывания этого карлика, настаивая на том, что они пророческие. «Это, вероятно, был забавный званый обед во главе со странным, неистовым, поразительно умным рыжеволосым человеком с медным носом. Порой он блистал умом и эрудицией, порой же заставлял всех присутствующих, как принцев, так и слуг, сдерживаться и покорно выслушивать бред слабоумного калеки»[40].

Печали и волнения

Хотя обсерватория привлекала отовсюду посетителей, трудный характер Тихо Браге доставлял ему самому немало неприятностей. Тихо обрел врагов при дворе короля, да, кроме того, еще не ладил со своими арендаторами. Когда король пожаловал Тихо в пожизненное пользование остров для строительства обсерватории, крестьяне, имевшие там маленькие фермы, должны были в качестве его арендаторов выполнять для него кое-какую работу.

Они сделали немало для строительства Ураниборга, а когда оно закончилось, Тихо принуждал их выполнять поденную работу для себя и своего хозяйства. Держался он высокомерно и предъявлял неразумные требования — иногда даже сажал в тюрьму непокорных. Иной раз жалобы обиженных доходили до короля, и тот принужден был вмешиваться. Король пожаловал Тихо и другие земельные участки, с коих рента должна была поставлять Тихо средства для его собственных нужд и нужд обсерватории. А от Тихо требовалось, чтобы он поддерживал эти владения в надлежащем состоянии, к королю же поступали жалобы, что Тихо своих обязательств не выполняет.

Интерес к работе Тихо служил ему защитой перед королем, но когда тот умер, через одиннадцать лет после постройки обсерватории, неприятности начали сыпаться как из рога изобилия. На трон взошел молодой король Христиан IV, окружавшие его придворные относились к Тихо недоброжелательно. Некоторые имения были у Тихо отобраны, и перед ним стал вопрос о будущем.

Он написал одному из своих друзей письмо, в котором говорил, что может покинуть остров, утешая себя мыслью, «что для великого человека каждая страна — родина» и что куда бы он ни отправился, над его головой будет то же самое небо. Молодой король относился к Тихо с симпатией, но вынужден был экономить. У Тихо отобрали еще несколько поместий. Видя, что ему не хватит денег на содержание Ураниборга, Тихо покинул остров и переехал на материк. Почувствовав недоброжелательное к себе отношение, он решил расстаться с неблагодарной родиной и искать нового покровителя и нового места для работы. С собой он взял лишь те приборы, которые были сравнительно невелики, и разместил их на временной квартире в Германии, ведя тем временем переговоры с императором Богемии Рудольфом — просвещенным правителем, очень интересующимся наукой. Тихо Браге написал длинное высокомерное письмо королю Дании Христиану, в котором соглашался вернуться на родину, но получил весьма прохладный ответ. Тем временем он напечатал большой иллюстрированный каталог своих приборов и разослал изящно переплетенные копии возможным покровителям, включая Рудольфа.

Новая обсерватория в Праге

После двух лет странствий Тихо наконец прибыл в Прагу, где был гостеприимно встречен Рудольфом, который предоставил для обсерватории замок и обещал щедрое содержание. Император искренно интересовался астрономией (и, вероятно, астрологией), но был беспечным правителем и не всегда полностью выплачивал Тихо обещанные деньги. Однако он помог Тихо восстановить свою обсерваторию и спас таким образом его работы. Таблицы Тихо Браге, которые были затем опубликованы, получили название «Рудольфовых таблиц».

В новом замке жизнь Тихо протекала так, как в Дании. Он перевез свои большие приборы из Дании через Германию и собрал вокруг себя небольшую школу астрономов и математиков. Но дух его был сломлен: он был чужестранцем в чужой стране. Он продолжал свои наблюдения и начал составлять «Рудольфовы таблицы», но все более и более падал духом. Прожив в Праге менее трех лет, он тяжело заболел и умер. Во время болезни, в бреду он часто восклицал «Ne frustra vixisse videar» («О, неужели я жил напрасно!»). Всю жизнь до дня смерти он посвятил достижению великой цели. Высказанное им сомнение не заслужил великий астроном, составивший каталог тысячи звезд так точно, что его наблюдения полезны и до сих пор, человек, в течение двадцати лет записывавший положения планет с точностью до ¹/₆₀°, ученый, чьи наблюдения стали основой работ Кеплера и Ньютона. Он преуспел в своих намерениях, и его труды представляют собой огромный вклад в науку. Нет, его жизнь не была прожита напрасно.

Перед самой смертью, находясь еще в сознании, Тихо собрал вокруг себя своих близких, просил их сохранить его труды и доверил одному из своих учеников, Иоганну Кеплеру, исправление и публикацию своих таблиц. Большие приборы некоторое время сохранялись, но во время последующих войн погибли; до наших дней сохранился только большой небесный глобус. Обсерватория на острове Вен была разрушена, и сейчас от нее почти не осталось следов. Дания утратила свой престиж научного центра, и лишь в этом веке слава ее возродилась, на этот раз благодаря Нильсу Бору.

Задача 1. Точность наблюдений Тихо Браге

Обычно Тихо проводил свои наблюдения с помощью отвесов и визиров, подобных ружейным прицелам. Его окончательные результаты характеризовались точностью до ¹/₆₀° (т. е. до одной минуты). Чтобы уяснить, насколько тщательно он должен был производить свои измерения, ответьте на следующие вопросы:

а) Предположим, что Тихо засекал в визиры планету и что эти визиры были соединены со шкалой, проградуированной в градусах; на этой шкале он мог отмечать положение вертикальной линии. Предположим, что угловая шкала была частью круга радиусом около 2 м. Современный транспортир обычно имеет радиус, равный примерно 7,5 см. Насколько тонкой должна была быть нить его отвеса, чтобы ошибка, равная одной толщине нити на шкале, соответствовала ошибке в 1 минуту при измерении угла? (Выразите ответ в долях сантиметра) (Указание. При r = 2 м длина всей шкалы, соответствующая 360° вдоль окружности, была бы… Тогда 1° должен соответствовать участку шкалы длиной… Тогда 1 минута должна соответствовать…)

б) С чем можно сравнить найденную вами величину — с толщиной веревки, струны, нити, паутины?

Задача 2

Чем объяснить, что короли зачастую покровительствовали астрономам?

Задача 3. Параллакс и звезды

а) Предположим, что звезды некоторой группы или созвездия, кроме одной, удалены от Земли на бесконечно большое расстояние, и эта единственная звезда находится от нас на расстоянии всего несколько миллиардов километров. Как будет выглядеть ее параллакс? Опишите траекторию (видимого) движения близкой звезды

1) вблизи эклиптики?

2) вблизи полюса эклиптики (под углом 90° от эклиптики)?

б) Чтобы решить, мог ли Тихо Браге надеяться на то, что обнаружит очень незначительный параллакс ближайших неподвижных звезд, попробуйте произвести следующее вычисление. За 6 месяцев Земля пройдет по своей орбите путь от одного конца диаметра до другого, равный 186 000 000 миль от А к В (фиг. 72).

Фиг. 72. К задаче 3.

_{Не в масштабе — реальный угол всего ¹/360°.}

Предположим, что Тихо наблюдал очень близкую звезду S на фоне других звезд, находящихся на гораздо большем, расстоянии. Наблюдая положение звезды S относительно фона, Тихо должен, был бы измерить угол ASB как угловое смещение звезды S на фоне более удаленных звезд. Предположим, что этот угол равен ¹/₃₆₀°. Представляется сомнительным, чтобы можно было обнаружить сдвиг меньше этой величины. Постарайтесь с помощью простых арифметических расчетов ответить на следующие вопросы:

1) Приняв, что угол ASB равен ¹/₃₆₀° и определите расстояние AS звезды от Земли. Воспользуйтесь методом, аналогичным тому, который описан в задаче 1,— прибегайте к тригонометрии для определения крайних углов. (Считайте, что дуга АВ с центром в S равна 186 000 000 x 200 000 000 миль.)

2) Сравните полученный в ответе на первый вопрос результат с современными измерениями. При измерении подобных расстояний обычно их выражают через промежутки времени, в течение которых свет проходит искомое расстояние. Свет проходит расстояние, равное диаметру земной орбиты АВ, приблизительно за 16 минут (а от Солнца до нас за 8 минут). Свет от ближайшей звезды доходит до нас примерно через 4 года (около 2 000 000 минут). Какому углу ASB соответствует это значение? (Избегайте тригонометрии, пользуйтесь простыми пропорциями.)

Молодой немец Иоганн Кеплер, которому Тихо Браге оставил свои таблицы, вполне заслуживал такого доверия. Он стал одним из величайших ученых своего века, и равным ему, пожалуй, можно считать лишь Галилея, а позднее его смог затмить только Ньютон: Как указывает Оливер Лодж[41], Тихо и Кеплер были поразительно разными: Тихо «аристократического происхождения, богатый, сильный, пылкий, обладающий талантами изобретателя и экспериментатора, но как теоретик и математик не выше среднего уровня». А Кеплер «бедный, болезненный, отнюдь не обладающий способностями как экспериментатор и склонностью к точным наблюдениям, но блестящий математик с тонкой интуицией». Работой Тихо интересовались короли, они оказывали ему покровительство и материальную поддержку (в течение некоторого периода довольно значительную). Жизнь Кеплера была полна лишений и неудач. Но обоих объединял глубокий интерес к астрономии и твердое решение осуществить поставленные перед собой задачи.

Кеплер родился в Германии в семье армейского офицера. Он был старшим сыном. Рос он слабым ребенком, сильно болел и часто жизнь его висела на волоске. Родители его были так бедны, что им пришлось открыть сельскую таверну, чтобы сводить концы с концами. Когда маленькому Иоганну исполнилось девять лет, его взяли из школы и до двенадцати лет он прислуживал в таверне. Затем он вернулся в школу, а потом поступил в университет, который благополучно окончил, считаясь вторым в своей группе. Тем временем отец его вернулся в армию, а мать перессорилась со всеми родственниками, включая и сына, который был счастлив удрать из дома. Сначала Кеплера не очень интересовала астрономия.

В университете он познакомился с теорией Коперника, стал ее сторонником, защищал ее во время университетских дискуссий и даже написал по поводу этой теории реферат. Но в то время его основные интересы лежали в области философии и религии, и он не уделял времени астрономии. Однако когда оказалась свободной вакансия лектора по астрономии, Кеплер, который в то время искал работу, скрепя сердце занял это место, заявив, что не оставляет надежды «получить возможность заняться более интересным делом». В те дни астрономия не пользовалась тем уважением, которое позднее сам Кеплер помог ей приобрести. Тем не менее он начал серьезно заниматься наукой, которую ему предстояло преподавать, и чем больше он изучал астрономию и думал о ней, тем больше увлекался и тем больше новых идей роилось в его голове. «Он был прирожденным мыслителем, подобно тому как Моцарт был прирожденным музыкантом», — говорит Лодж. Он должен был найти математическую схему, лежащую в основе планетной системы. Его беспокойный пытливый ум и пылкое воображение занимали задачи, связанные с числами и размерами[42].

Как и Пифагор, «он был убежден, что бог создал мир в соответствии с принципом идеальных чисел и что поэтому лежащая в основе мироздания математическая гармония… является реальной и доступной пониманию причиной движения планет»[43]. Сам Кеплер сказал: «Я размышлял над этим вопросом со всей энергией, на которую был способен мой ум».

Ум его пылал, он мучился вопросами: Почему существует только шесть планет? Почему их орбиты имеют именно такие пропорции и размеры? Связаны ли «периоды обращения» планет с размерами их орбит? Первый вопрос, «Почему именно шесть?», характерен для того времени. В наше время мы должны были бы искать седьмую планету. Но тогда казалось, что факты непреложны и что числа обладают магическими свойствами. В системе Птолемея насчитывалось семь планет (включая Солнце и Луну и исключая Землю) и даже доказывалось, что их столько и должно быть.

Кеплер пытался снова и снова найти простое соотношение, связывающее радиус одной орбиты с радиусом следующей. На основании наблюдений, проведенных Тихо Браге, Кеплер вычислил, что радиусы орбит в системе Коперника приближенно относятся как 8:15:20:30:115:195. Он пытался понять тайну этих отношений. Каждая догадка стоила ему немало труда, и каждый раз, когда оказывалось, что она не соответствует фактам, Кеплер честно от нее отказывался. Его мистически настроенный ум заставлял его считать, подобно древним грекам, что окружности — идеальные формы. Одно время он думал, что можно построить модель орбит, по которым движутся планеты, следующим образом: начертить окружность, вписать в нее равносторонний треугольник, затем вписать в этот треугольник еще окружность, в нее снова треугольник и т. д. Эта схема состоит из ряда окружностей, радиусы которых относятся как 2:1. Кеплер надеялся, что можно построить такие окружности, отношения радиусов которых будут соответствовать отношениям радиусов орбит, если пользоваться вместо треугольников квадратами, шестиугольниками и т. д.

Фиг. 73. Первая гипотеза Кеплера.

_{В правильный многоугольник (например, квадрат) мощно вписать окружность так, чтобы она касалась его сторон. Можно также вписать окружность, проходящую через вершины квадрата. Для этой окружности можно в свою очередь построить правильный многоугольник, в который она будет вписана. Отношение радиусов R/r этих окружностей будет одинаково для всех квадратов, другое значение R/r будет иметь место для всех треугольников. Геометрическая задача: каково будет отношение R/r для внутреннего и внешнего круга в случае квадрата? в случае треугольника?} 

Фиг. 74. Те же две окружности, полученные вращением правильного многоугольника (в данном случае треугольника).

_{Вращение происходит вокруг центра, в плоскости треугольника. Вершины его будут лежать на внешней окружности, а стороны, скользя, образуют внутреннюю окружность.}

Фиг. 75. Окружности, образованные рядом правильных многоугольников, разделенных внутренними и внешними окружностями.

_{Окружности можно подобрать так, чтобы их размеры соответствовали соотношениям размеров орбит планет. Однако даже при самом удачном выборе многоугольников не удается получить модели Солнечной системы.} 

Однако такие построения оказывались неудовлетворительными, и однажды он воскликнул: «Почему фигуры, помогающие получить орбиты в пространстве, должны быть плоскими? Надо пользоваться объемными фигурами». Он знал, что существует всего пять правильных многогранников. Греческие математики доказали, что их может существовать не более пяти. Попытавшись осуществить с помощью пяти таких многогранников систему из шести сфер, Кеплер нашел, что этим сферам будет соответствовать шесть определенных орбит.

Фиг. 76. Вторая гипотеза Кеплера.

_{Этот рисунок иллюстрирует схему Кеплера, который пытался так расположить правильные многогранники, чтобы получить наилучшее согласие с известными соотношениями размеров орбит различных планет.}

Правильные многогранники

Сколько может существовать различных правильных многогранников?

Правильный многогранник — это геометрическое тело с одинаковыми правильными плоскими гранями, т. е.

— все ребра имеют одинаковую длину

— все плоские углы одинаковы

— все пространственные углы одинаковы

— все грани имеют одну и ту же форму

(на фиг. 77, а даны примеры многогранников, не удовлетворяющих этим требованиям). Например, куб — правильный многогранник.

Фиг. 77. Многогранники.

_{а — неправильные}

Грани правильного многогранника могут представлять собой:

— равносторонние треугольники

— квадраты

— правильные пятиугольники

и т. д.

Опыт 1. Доказательство для граней, представляющих собой квадраты. Попробуйте построить угол правильного многогранника из нескольких плоских прямых углов.

Мы уже знаем, что каждый угол куба образуется пересечением трех его граней. Возьмите три квадратных куска картона, положите их на стол, затем попробуйте приподнять их, ухватившись за то место, где встречаются все три угла квадратов.

Квадратные куски картона образуют при этом трехгранный угол куба. Поэтому мы можем сделать правильный многогранник, каждый угол которого будет образован пересечением трех квадратных граней. (Нам понадобится еще три квадратных куска картона, чтобы сделать весь куб). Можем ли мы сделать иной правильный многогранник с одной или двумя, или четырьмя квадратными гранями, пересекающимися между собой?

Из одного квадрата мы не можем образовать многогранный угол.

С двумя квадратами мы получим лишь плоский двугранный угол.

С тремя квадратами мы получим трехгранный угол куба.

С четырьмя квадратами нельзя получить угол многогранника; их углы, смыкаясь, образуют плоскость.

Таким образом, с помощью квадратов можно построить лишь один правильный многогранник — куб.

Опыт 2. Попробуйте теперь образовать многогранник с помощью правильных пятиугольников. Сколько правильных многогранников можно получить, пользуясь гранями такой формы?

Попробуйте выполнить аналогичную задачу с шестиугольниками и другими многоугольниками. Попробуйте построить правильные многогранники с помощью треугольников.

Вывод. Только пять различных многогранников могут существовать в нашем трехмерном мире (фиг. 77, б). (Обращаем ваше внимание на то, что для доказательств, которыми мы здесь пользовались, необходимы не только эскизы, сделанные карандашом, но и модели из картона.)

Фиг. 77. Многогранники.

_{б — правильные.} 

Казалось, что найдено чудесное объяснение того, почему существует только шесть планет. Строя систему планет, Кеплер начал со сферы для земной орбиты, построил вокруг нее додекаэдр так, чтобы его грани соприкасались со сферой, затем описал вокруг этого додекаэдра другую сферу так, чтобы она проходила через его вершины; на этой сфере должна была лежать орбита Марса; вокруг этой сферы он построил тетраэдр, затем сферу для Юпитера, затем куб, затем сферу для Сатурна. Внутри земной сферы он поместил еще два многогранника, разделенные сферами, чтобы получить таким образом орбиты Венеры и Меркурия. Относительные радиусы сфер, вычисленные на основе геометрии, находились в соответствии с известными в то время относительными радиусами орбит планет, и Кеплер был в восторге: «Огромную радость, которую я испытал от этого открытия, нельзя выразить словами. Я уже не жалел о потраченном времени и не испытывал усталости; я не боялся трудных расчетов, не считал проведенных за вычислениями дней и бессонных ночей, стремясь выяснить, соответствует ли моя гипотеза теории орбит Коперника, или же моя радость должна рассеяться как дым».

Фиг. 78. Схема Кеплера с правильными многогранниками (заимствовано из его книги).

_{Относительные размеры орбит планет показаны шаровыми оболочками, отделяющими один многогранник от другого. Толщина этих шаровых оболочек подобрана таким образом, чтобы учитывался эксцентриситет орбит}

Теперь мы знаем, что это был лишь случайный успех. В более поздние годы Кеплеру самому пришлось подгонять соотношения радиусов своих сфер, чтобы они соответствовали фактам, а когда спустя несколько столетий были открыты другие планеты, схема Кеплера оказалась совершенно несостоятельной[44]. И все же этот «успех» привел Кеплера к дальнейшим великим открытиям.

Кеплер опубликовал свое открытие в книге, где привел также описание всех своих неудачных попыток. Столь необычный характер изложения присущ многим его сочинениям. Он рассказывал о том, как совершались его открытия. Он не боялся нанести вред своей репутации и лишь желал способствовать росту человеческих знаний, поэтому не скрывал своих ошибок, а подробно их описывал. «Ибо я считаю, — писал он, — что те пути, с помощью которых люди приобрели знания о небесных явлениях, не менее достойны восхищения, нежели сами открытия… Христофору Колумбу, Магеллану, португальцам не просто прощают их подробные описания странствий, было бы очень обидно, если бы этих описаний не было, и мы не могли бы наслаждаться, читая их; пусть и меня не порицают за то, что я поступаю точно так же».

Кеплер в своей книге превосходно защищал систему Коперника, используя веские доводы. Кеплер послал экземпляры своей книги Тихо Браге и Галилею, которые одобрили его смелое начинание. С этого времени возникла дружба Кеплера с этими великими людьми, продолжавшаяся всю жизнь[45]. В той же книге Кеплер высказал предположение, что каждая планета движется по своей орбите вследствие влияния, которое оказывает на нее Солнце — это была смутная и малоправдоподобная идея, которая помогла ему позднее открыть свой второй закон.

Кеплер был протестантом и под давлением католической церкви его лишили работы. Беспокоясь о своем будущем и стремясь посоветоваться с Тихо Браге по поводу наблюдений над движением планет, он переехал в Прагу. В то время Тихо Браге наблюдал за «трудной планетой» — Марсом; он писал Кеплеру: «Приезжайте не как чужестранец, а как друг; приезжайте и помогите мне вести наблюдения с теми приборами, которыми я располагаю». Пока продолжалась работа в обсерватории, Тихо пытался разработать подробную «теорию», создать схемы, которые бы поясняли его многочисленные наблюдения. Кеплер присоединился к Тихо Браге, пытаясь вместе с ним найти круговую орбиту Марса, которая соответствовала бы наблюдениям. Обидчивый и больной, Кеплер жаловался на то, что Тихо якобы обращался с ним как с учеником и не очень-то делился своими наблюдениями. Однажды, почти обезумев от усталости, он написал Тихо гневное письмо, полное несправедливых упреков, но Тихо мягко убедил его в том, что он неправ, и Кеплер, раскаявшись, писал ему:

«Высокочтимый Тихо,

как я смогу перечислить или должным образом оценить те милости, которыми вы меня осыпали? В течение двух месяцев вы щедро и безвозмездно поддерживали меня и мою семью:… вы оказывали мне всевозможные одолжения; вы передали мне то, что было вам особенно дорого… Я не могу без ужаса думать о том, что бог отступился от меня и предоставил меня моей собственной невыдержанности, дошедшей до такой степени, что я закрыл глаза на все ваши благодеяния; что вместо скромной и почтительной благодарности я позволил себе в течение трех недель неприязненно относиться к вашей семье и с безудержным гневом и крайней дерзостью к вам… Все, что я сказал или написал… против вашего превосходительства… я… признаю бездоказательным, фальшивым и лишенным всякой почвы».

После того как Кеплер вернулся в Германию, Тихо Браге вновь пригласил его, предложив ему на этот раз постоянное сотрудничество. Кеплер принял приглашение, но отсутствие денег и болезнь задержали его переезд, и когда он наконец достиг Праги, то оказался совсем без средств и в полной зависимости от Тихо. Тихо Браге исхлопотал для Кеплера должность «императорского математика»; обязанности его заключались в том, что он должен был помогать Тихо Браге составлять таблицы движений планет.

Вскоре после этого Тихо Браге умер, завещав Кеплеру опубликование своих таблиц. Хотя Кеплер все еще сохранял свою должность императорского математика, платили ему неаккуратно и он очень бедствовал. Одно время он даже стал публиковать альманах с предсказаниями судеб. Сама идея вызывала в нем отвращение, но он крайне нуждался в деньгах и знал, что астрология — та форма астрономии, за которую платят. До конца жизни, еще свыше четверти века, он занимался исследованием движений планет, стремясь узнать те простые законы, которым, как он был уверен, они должны были подчиняться.

Исследование Марса

К моменту кончины Тихо Браге Кеплер уже начал свои исследования, изучая главным образом движение Марса. С помощью какой схемы можно было бы описать орбиту Марса? Пользуясь представлением о круговых орбитах, Кеплер предположил, что планета движется по кругу, на некотором расстоянии от центра которого находится Солнце (подобно эксцентрично расположенной Земле по Птолемею, см. стр. 83). Затем он поместил точку Q по обе стороны от центра круга и провел от нее плечо к планете, считая, что оно должно вращать планету с постоянной скоростью вокруг Солнца. Он не настаивал подобно Птолемею, чтобы эксцентричные расстояния СЕ и CQ были равны, но вычислил для них подходящие пропорции на основе некоторых наблюдений Тихо Браге.

Затем, предположив, что планета движется по такой орбите, Кеплер сравнил ее последующие положения с данными Тихо. Не зная, какое положение в пространстве занимает линия ECQ, он, выбрав наугад направление, пытался так расположить круговую орбиту, чтобы получить соответствие с наблюдениями. Каждая такая попытка требовала долгих и утомительных вычислений. Кеплер произвел 70 таких попыток, прежде чем нашел направление и пропорции, которые находились в хорошем соответствии с дюжиной ранее измеренных долгот Марса. Его очень обрадовали эти результаты, но затем, к его разочарованию, оказалось, что схема плохо согласуется с широтами Марса. Он подогнал свои эксцентрические сдвиги так, чтобы они удовлетворяли этим широтам, однако на некоторых участках орбиты вычисленное положение Марса расходилось с наблюдениями на 8' (8 шестидесятых долей градуса).

Не могло ли столь малое расхождение объясняться ошибками наблюдений? Нет. Кеплер знал Тихо Браге и был уверен, что тот не мог допустить подобной ошибки. Тихо Браге уже не было в живых, но Кеплер доверял его записям. Это было большой и справедливой данью Кеплера по отношению к своему другу. Верный памяти Тихо и хорошо знакомый с его методами, Кеплер верил ему больше, чем своей, казалось бы столь успешной, теории. Он храбро принялся снова за утомительную работу, заявив, что на основе этих восьми минут должен построить теорию Вселенной.

Ему стало ясно, что круговая орбиту не соответствует действительности. Однако чтобы определить, какова же на самом деле форма орбиты, он должен был получить точное изображение орбиты Марса. Это было отнюдь не простой задачей, так как с движущейся Земли можно наблюдать лишь видимую траекторию Марса. Истинные расстояния были неизвестны; были измерены только углы, которые характеризовали лишь комбинацию орбитальных движений Марса и Земли. Тогда Кеплер попытался сперва определить орбиту Земли с помощью метода, который по справедливости можно назвать гениальным.

Определение орбиты Земли в пространстве и времени

Чтобы нанести на диаграмму орбиту Земли, по которой она движется вокруг Солнца, нужно произвести много серий измерений, определяющих положения Земли из двух неподвижных точек. Кеплер взял за одну из этих точек Солнце, за другую — Марс в различные моменты времени, когда он находился в одном и том же положении на орбите. Кеплер действовал таким образом: он отмечал «положение» Марса на фоне звезд при противостоянии (по отношению к Солнцу, в полночь, прямо над головой). Отсюда он определял направление базы Солнце — (Земля) — Марс, SE₁M (фиг. 79).

Фиг. 79. Схема Кеплера определения орбиты Земли.

_{а — направление, измеряемое в момент противостояния Марса; б — спустя один марсианский год Марс должен быть в том же положении; в — построение земной орбиты.}

Затем находил в записях Браге время, в точности соответствующее тому, которое прошло с данного момента за один марсианский год. (Марсианский год, т. е. время, в течение которого Марс совершал полный оборот по своей орбите, был точно известен из записей, которые велись в продолжение столетий.) Теперь Кеплер знал, что Марс находится в этом же самом положении М и что SM имеет то же направление. К этому времени Земля успевала перейти в положение Е₂ на своей орбите. Произведенная Тихо запись положения Марса на фоне звездного неба давала Кеплеру новое направление, Е₂М, а положение Солнца давало ему направление E₂S. Он мог определить углы треугольника SE₂M следующим образом: зная направления Е₁М и Е₂М (отмеченные на небесной звездной сфере), он мог вычислить угол А между ними. Зная направления Е₁S и E₂S, он мог вычислить образуемый ими угол B. Затем на диаграмме он мог выбрать две точки, изображающие S и М, и определить положение Земли Е₂, из концов базы SM провести прямые под углами А и В и найти их пересечение Е₂. Спустя один марсианский год он мог определить направления Е₃М и Е₃S из записей Тихо Браге и найти потом Е₃ на своей диаграмме. Таким образом, Кеплер, начав с точек S и М, мог определить точки Е₂, Е₃, Е₄…, что позволяло при достаточно большом числе точек определить форму орбиты. Зная теперь истинную орбиту Земли, он мог провести исследование в обратном порядке и определить форму орбиты Марса.

Он убедился, что орбиту Земли можно считать кругом со слегка смещенным центром, т. е. несколько напоминающей овал; но орбита Марса не имела сходства с кругом, она представляла собой вполне определенный овал, или же, как он считал вначале, имела яйцевидную форму; Кеплер все еще не мог найти ее математическое выражение.

Переменная скорость планет. Второй закон

Изучая движение Земли в пространстве, Кеплер заметил, что она движется по своей орбите неравномерно, быстрее зимой, чем летом. Он стал искать закон, по которому происходит изменение скорости и который мог бы заменить искусственный прием введения эквант. На мысль о существовании такого закона наводила прежняя гипотеза об импульсе, получаемом планетами от Солнца.

Кеплер считал, что движение должно поддерживаться силой, поэтому у него возникло представление о некоем «плече», идущем от Солнца к каждой планете и толкающем планету вдоль орбиты, и чем дальше расстояние, тем слабее должен быть толчок. Кеплер пытался (с помощью сложной геометрической схемы) сложить действия таких толчков от расположенного эксцентрично Солнца и открыл простой закон: радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, описывает одну и ту же площадь за равные промежутки времени. Этот радиус-вектор не вращается вокруг Солнца с постоянной скоростью (как хотелось бы Птолемею), но в его движении имеется некоторое постоянство — постоянная скорость прохождения одной и той же площади (Птолемею, вероятно, понравилось бы такое соотношение).

Рассмотрим, чему будут равны эти площади для равных промежутков времени, скажем за каждый месяц. Когда планета находится далеко от Солнца, радиус-вектор будет проходить за месяц длинный узкий треугольник; по мере приближения планеты к Солнцу треугольники будут становиться короче и шире — планета будет двигаться быстрее. Позднее, когда Кеплер уже знал форму орбиты Марса, он применил то же правило и нашел, что оно справедливо и для Марса. Таким образом, он получил простой закон, определяющий скорости планет: каждая планета движется вокруг Солнца с такой скоростью, что радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, описывает равные площади за равные промежутки времени. Кеплер высказывал лишь смутные догадки о «причине» такого явления, считая его результатом влияния Солнца, возможно магнитного происхождения; но он ценил этот закон за его простоту и четкость и пользовался им при дальнейших исследованиях. Мы называем этот закон вторым законом Кеплера. Первый закон Кеплера, открытый им вскоре после этого, определяет истинную форму орбит планет.

Орбита Марса. Первый закон

Начертив орбиту Марса (по сорока тщательно вычисленным точкам), Кеплер попытался дать математическое выражение для ее овальной формы. Он испытывал бесконечные затруднения, одно время даже говорил, что почти сходит с ума от тех трудностей, которые ему приходится испытывать. Желая получить финансовую поддержку, он писал императору в присущем ему напыщенном стиле: «Торжествуя победу над Марсом и приготовляя для него, как для побежденного, тюремные своды таблиц и оковы эксцентриков, я слышу то там, то тут шепот, что моя победа напрасна и что война бушует снова. Так как враг остался в доме, презренный пленник разорвал все цепи уравнений и вырвался из тюрьмы таблиц».

Фиг 80. Определение орбиты Марса по Кеплеру.

_{Орбита Марса представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Плечо, идущее от Солнца к планете, описывает равные площади за равные промежутки времени. На окружности эллипса отмечены положения планеты через промежутки времени, равные 1/20 времени обращения Марса (марсианского года). Скорость планеты при ее движении по орбите меняется так, что все указанные здесь секторы имеют одинаковые площади}

Фиг. 81. Солнечная система с окружающими Солнце эллиптическими орбитами.

_{Орбиты планет в нашей Солнечной системе имеют значительно меньшие эксцентриситеты. Кометы движутся по эллиптическим орбитам с бóльшими эксцентриситетами.}

Наконец, Кеплер нашел истинную орбиту Марса; она была заключена между эксцентрическим кругом, который был слишком велик по сравнению с ней, и вписанным внутрь круга эллипсом, который был слишком узок. И круг и эллипс расходились с наблюдениями, круг на +8' в некоторых участках орбиты, а внутренний эллипс на —8'. Кеплер внезапно понял, что орбита должна представлять собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Убедившись в правильности своего предположения, он был так восхищен, что украсил свой чертеж изображением победоносной Астрономии на триумфальной колеснице, чтобы подчеркнуть значение полученного им доказательства (фиг. 82).

Наконец-то он определил, истинную орбиту Марса[46]. Подобное же правило оказалось справедливым для Земли и других планет. В этом и состоит первый закон Кеплера, т. е. каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Фиг. 82. Диаграмма Кеплера из его книги о Марсе.

Третий закон

Таким образом, с помощью таблиц Тихо Браге, благодаря бесстрашию, уму и неустанной работе Кеплер вывел два великих «закона». Он продолжал размышлять над одним из тех вопросов, которые интересовали его и ранее: какова связь между размерами орбит планет и длительностью их периодов обращения? Теперь ему были известны радиусы[47] орбит, а периоды их обращения были известны с давних пор. (Как предполагали древние греки, планеты с большими периодами обращения имеют бóльшие орбиты.) Он был уверен, что между радиусом планеты и ее периодом обращения должно существовать определенное соотношение. Кеплер делал много попыток найти такое соотношение, но большинство попыток было безрезультатно, как и его планетная система из пяти правильных многогранников, другие же носили мистический характер.

К счастью, связь между радиусами и периодами обращения действительно существует, и Кеплеру посчастливилось испытать радость открытия. Он нашел, что отношение R³/T² одинаково для всех планет (здесь R — средний радиус орбиты планеты, а Т — период ее обращения, см таблицу).

Фиг. 84. Орбита Земли (изображена в соответствующем масштабе).

_{Эксцентриситет орбит планет нашей системы в действительности очень мал. Орбиты почти круговые, однако на основе наблюдений Тихо Браге, Кеплеру удалось показать, что они представляют собой не круги, а эллипсы. Показана орбита Земли в масштабе. Минимальный радиус орбиты обозначен здесь как 4,0000 см, максимальный — 4,0006 см. Эксцентриситет орбиты Марса превышает эксцентриситет орбиты Земли более чем в тридцать раз, но и в этом случае радиусы относятся как 1,0048 к 1,000. Меркурий — единственная планета со значительно бóльшим эксцентриситетом, ее максимальный радиус относится к минимальному как 1,022 к 1,000. Даже этот эксцентриситет орбиты представляется малым, однако это значение оказывается уже достаточным, чтобы скорость Меркурия при его движении по орбите изменялась согласно предсказаниям релятивистской механики. Действительно, орбита Меркурия должна прецессировать, т. е. должна (очень медленно) вращаться. Прецессия орбиты Меркурия равна всего 1/80° в течение столетия — она была найдена и измерена задолго до того, как появилась теория относительности и было сделано это предсказание!}

Фиг. 85. Соотношение между радиусом и «периодом обращениям для орбит различных планет.

_{Орбиты даны в грубом соответствии о масштабом}

Фиг. 86. Период обращения планеты.

_{Это время, за которое планета совершает полный оборот по своей орбите. Определяя истинный период обращения планеты из наблюдений, следует учитывать движение Земли}

Кеплер вновь был счастлив. Ему удалось вырвать у природы ее дивную тайну. Вот что он писал по этому поводу:

«То, что я предсказывал двадцать два года назад, то, во что я твердо верил задолго до того, как увидел «гармонии» Птолемея, то, что обещал моим друзьям в заглавии этой книги, в заглавии, которое я ей дал прежде, чем уверился в моем открытии, то, что я уже пытался искать шестнадцать лет назад и ради чего присоединился к Тихо Браге и переехал в Прагу, то, во имя чего я посвятил лучшие годы моей жизни астрономическим наблюдениям, — мне наконец удалось понять и объяснить, и успех мой превзошел даже самые оптимистические ожидания. Не прошло еще и восемнадцати месяцев с тех пор, как я заметил, наконец, первый проблеск света. Минуло всего три месяца с тех пор, как забрезжил рассвет, и несколько дней, как засверкало ничем не затуманенное восхитительное Солнце. Ничто не удерживает меня… жребий брошен, написана книга, которая будет прочитана либо теперь, либо потомками. Это меня не беспокоит; она может ждать своего читателя хоть целое столетие — ведь бог ждал шесть тысяч лет, чтобы увидели его творение».

Законы Кеплера

Потребовались годы вычислений, измерения, размышления и снова вычисления, — пока Кеплер не обнаружил среди прочих бесценных для него «гармоний» три великих закона:

ПЕРВЫЙ ЗАКОН. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

ВТОРОЙ ЗАКОН. Радиус-вектор (линия, соединяющая Солнце и планету) описывает за равные промежутки времени равные площади.

ТРЕТИЙ ЗАКОН. Квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца. (Или отношение R³/T² одинаково для всех планет.)

Первые два закона можно было проверить с помощью имеющихся данных. Таким образом, Кеплер был уверен, что его догадка правильна. Для проверки третьего закона нужны были лишь относительные значения радиусов орбит планет.

Значение трудов Кеплера огромно. Он открыл законы, которые затем Ньютон связал с законом всемирного тяготения. Конечно, сам Кеплер не отдавал себе отчета в том, к чему приведут его открытия. «Он не занимался утомительными поисками эмпирических правил, которые в будущем должен был привести к рациональному виду Ньютон. Он искал первопричины, математические гармонии, возникавшие у творца при сотворении мира»[48]. Кеплер не мог объяснить, чем обусловлено существование эллиптических орбит, но восхищался тем, что они существуют.

Вывод третьего закона

Вывод третьего закона сводился к угадыванию числового соотношения, которое было бы справедливо для нескольких пар чисел. Пытаясь удовлетворить определенному количеству данных (в рассматриваемом случае значениям Т и R для шести планет), можно сделать много неудачных попыток, и из подобных попыток, удовлетворяющих Т и R для шести планет, многие оказываются неверными в применении к седьмой планете (Урану, открытому позже). В свою очередь, успешные попытки для семи планет неверны для восьмой планеты (Нептуна). Привлечение все большего числа данных может устранить «неверные» попытки и оставить лишь «правильную». Но в каком смысле эта догадка «правильная»?

Некоторые верят, что в основе вещей, которые мы наблюдаем в природе, лежит некая абсолютная истина. Кеплер и Ньютон, вероятно, думали так же. Другие считают, что верное правило это просто?

а) то, что имеет наиболее общее применение (например, для наибольшего числа планет).

В этом смысле предположение Кеплера о том, что отношение R³/T² постоянно для всех планет, правильно, так как оно справедливо и для других планет, которые были открыты позднее, и для других систем, например для спутников Юпитера. Его правило пяти правильных многогранников было неверно, так как не соответствовало данным для шести известных планет, и оказывалось совершенно несостоятельным для случая более шести планет.

Утверждают также, что верен закон, который

б) наилучшим образом соответствует теории, связывающей воедино огромное многообразие наших знаний о природе.

Если эта теория была создана только для решения какой-либо частной задачи, как рабочая гипотеза, то закон (б) становится бессмыслицей — в этом случае он лишь означает, что данный закон верен только потому, что согласуется с теорией, специально созданной в предположении, что этот закон верен. Мы называем такую теорию теорией «ad hoc». Если же, однако, теория связывает данную проблему с другой областью науки, то закон (б) служит ей убедительной рекомендацией.

Ньютон, строя догадки о существовании всемирного тяготения, создал теорию, связывающую падение тел, движение Луны и движение планет с приливами и отливами и т. д. Он показал, что третий закон Кеплера (как и другие два его закона) с необходимостью следуют из этой теории. Таким образом, закон R³/T²  можно считать «верным» согласно обоим определениям: и по общей применимости, и по согласию с теорией. Он мог оказаться «неверной» догадкой, ожидающей, подобно закону «пяти правильных многогранников», большего количества данных, чтобы быть опровергнутым, или теории, которая не могла бы его «предсказать»[49].

Воображаемая «Задача Кеплера»

Чтобы судить о том, сколь сложно исследование, подобное тому, которое выполнил Кеплер, попробуем решить аналогичную задачу, пользуясь воображаемыми данными и воображаемыми соотношениями. Предположим, что вы придумали некую задачу и вам известна схема, по которой вы ее составили. Предложите мне найти эту схему. Вы предоставляете в мое распоряжение следующие данные

Вы знаете схему, так как сами ее придумали. (Эта система не подчиняется закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, «планеты» не реальные!) Действительно, вы получите Т в соответствии с выбранным соотношением: T = R² + 2. Таким образом, если будет открыта новая планета D с R = 5, то для нее Т будет равно 5² + 2, т. е. 27. Предположим, что вы сообщили мне данные для планет А, В и С (а данные для D попридержали).

В поисках закона я пытаюсь найти такую алгебраическую комбинацию T и R, которая была бы одинаковой для каждой из этих планет. Начиная с планет А и B, я замечаю, что T/R = 3/1 для А и 6/2 для В, т. е. в обоих случаях это отношение одинаково. Надеясь, что нашел правильный закон, т. е. что T/R для всех планет одно и то же, я нахожу это отношение для планеты С. В этом случае оно равно 18/4, т. е. не равно первым двум. Поэтому я должен отвергнуть первую догадку. Пробуя другие комбинации, я нахожу еще несколько таких, которые дают одинаковые отношения для А и В, но не годятся для планеты C. Наконец, я нахожу, что соотношение между T и R будет одинаково для планет А и В, если я разделю 8 на R, прибавлю R, умноженное на 7, и вычту T, т. е. нахожу комбинацию 8/R + 7R — Т.

Для планеты А получим: 8/1 + 7 x 1–3 = 12.

Для планеты В получим: 8/2 + 7 x 2–6 = 12.

Для планеты С получим: 8/4 + 7 x 4 — 18 = 12, т. е. то же самое.

Итак, по-видимому, я нашел общий закон, которому подчиняются планеты А, В и С. Считая, что этот закон справедлив, я намереваюсь его опубликовать, но тут вы сообщаете данные о планете D: R = 5 и T = 27. Применяя свое правило к планете D, я получаю: 8/5 + 7x5 — 27 = 9,6.

Выяснив, что ваши данные не могут содержать ошибки, достаточно большой, чтобы объяснить расхождение между значениями 9,6 и 12,0, и начинаю все сначала. Если я достаточно терпелив и мне сопутствует удача, я могу прийти к следующей схеме: прибавить 2 к R² и разделить полученный результат на Т. Тогда для всех четырех планет А, В, С и D получится один и тот же ответ, равный 1,000[50]. Это позволяет думать, что найден правильный закон. Дальнейшие проверки при наличии большего числа данных подтверждают его правильность, и если этот закон будет находиться в соответствии с некой общей теорией, то я могу считать, что моя задача решена. Приведем таблицу, иллюстрирующую ход решения задачи.

В последний момент была открыта еще одна «планета», е, таких малых размеров, что ее раньше не замечали. Ее данные тоже удовлетворяют окончательному правилу (в нашем примере в этом нет ничего удивительного, так как мы сами подогнали ее данные, заранее зная, какому правилу они должны удовлетворять) и находятся в противоречии с первыми попытками. Заметим, однако, что они почти точно соответствуют второй попытке, приводя к результату, равному 12,67. Если бы данные для планеты е были известны, когда я работал над своим вторым правилом, я мог бы поддаться искушению и решить, что 12,67 — значение, достаточно близкое к 12,00, и объяснить различие этих двух значений ошибкой эксперимента.

Труды Кеплера

Кеплер написал много книг и писем, в которых подробно излагал свои открытия, описывая не только достижения, но и неудачи. Описание открытых им законов перемешано с описанием других, порой мистических идей и открытий: тут и гармония планет, гипотеза а магнитном влиянии, намеки на гравитацию, и непрерывное восхищение своей первоначальной схемой планет на основе пяти правильных многогранников. Не забудьте, что Кеплер не знал, каким должен быть «правильный ответ» на поставленные им перед собой задачи. Он не имел представления о том, какая из его теорий получит подтверждение в дальнейшем. В конце концов ему удалось напечатать «Рудольфовы таблицы», частично оплатив самому расходы по их изданию, что для него было более чем затруднительно, и таким образом появились на свет надежные астрономические данные. Он написал хорошую популярную книгу по общей астрономии, в которой изложил и объяснил теорию Коперника и описал свои собственные открытия. Книга была немедленно запрещена церковью, и это совсем разорило его, так как после этого Кеплеру почти не удавалось печатать и продавать свои книги.

«Стремясь к открытию некого общего принципа…, Кеплер никогда не терял из виду предмет своего исследования», — пишет Д. Брюстер в своей книге «Мученики науки»[51]. Воображение влекло его к созданию самых различных гипотез. Наиболее правдоподобные или, может быть, особенно ласкающие воображение подвергались самому строгому анализу; и если они оказывались несовместимыми с результатами наблюдений и экспериментов, он немедленно отбрасывал их как несостоятельные; столь же строгой проверке подвергалась следующая гипотеза… Этот метод позволил ему преуспеть в самых трудных исследованиях и открыть те прекрасные и глубокие законы, которые стали впоследствии предметом восхищения.

В введении к книге о жизни Кеплера, выпущенной к 300-летнему юбилею ученого, Артур Эддингтон пишет:

«Я считаю, что не будет преувеличением рассматривать Кеплера как предшественника современного физика-теоретика, который пытается упорядочить теорию атома, подобно тому, как Кеплер упорядочил Солнечную систему. И дело не только в сходстве предмета исследования, но и в сходстве точек зрения. Мы способны забыть, что при открытии законов Солнечной системы, как и законов, лежащих в основе строения атома, существенным шагом явился отказ от механических моделей. Кеплер не ограничился размышлением о том, какие причины заставляют планеты двигаться в небе — система окружностей Птолемея или вихревые движения в более поздних гипотезах. А большинство из нас, вероятно, стало бы пытаться решить эту задачу так: мы подобрали бы некий конкретный механизм и с его помощью получили бы наблюдаемое движение, стремясь объяснить это движение и найти управляющие им законы. Кеплером же руководило чувство математической формы, эстетическое чутье, подсказывающее ему, какими должны быть те или иные соотношения. Теперь нам уже не кажется столь нелепым, что характер движения планеты должен вытекать из условия постоянства воздействия, а не из знания того, что же ее конкретно подталкивает. Кеплера также привлекала идея, согласно которой планета должна двигаться так, чтобы соблюдалось равенство площадей, описываемых за одно и то же время радиусом-вектором, — предположение, которое люди, мыслящие ортодоксально, отвергли бы как фантастическое. Интересно, как был принят современниками Кеплера подобный отказ от механических концепций? Нашлись ли среди них те, у кого подобный авантюризм научного мышления вызывал недовольство и которые не могли согласиться с новыми законами, не получив какого-либо объяснения или модели, демонстрирующей механизм действия этого закона? На смену Кеплеру пришел Ньютон, и тенденция выявлять механизмы постепенно опять стала играть доминирующую роль. И лишь в последние годы мы стали возвращаться к точке зрения, несколько схожей с точкой зрения Кеплера, и гармония сфер перестает тонуть в грохоте машин.»

Задача 1

а) К чему относится открытие Кеплера о соотношении «пяти правильных многогранников»?

б) Дайте краткое описание этой схема.

Задача 2. Законы Кеплера

а) Дайте краткие описания (с чертежами) первого, второго и третьего законов (основных законов, а не его схемы правильных «многогранников», так называемого «нулевого закона), или «Закона 0»).

б) Кеплер сам верил в существование чего-то, что поддерживает движение планет, и предполагал наличие своего рода рычага, идущего от Солнца к планете. Будет ли такой рычаг вращаться с постоянной скоростью? Если нет, то на какой стадии планетного года он должен вращаться наиболее быстро?

Задача 3. Задачи для современного Кеплера

Радиоактивные атомы испускают маленькие атомные «снаряды», которые представляют собой частицы, входящие в состав атомного ядра. Многие атомы, включая радий, испускают частицу, которая представляет собой электрически заряженный атом гелия (ядро гелия, или атом гелия, лишенный двух своих электронов). Это так называемые альфа-частицы (α-частицы). Атомный «взрыв», в процессе которого радиоактивный атом испускает α-частицу, происходит самопроизвольно, причем первоначальный атом превращается в атом совершенно иного рода, с другими химическими свойствами. Радиоактивные изменения дают нам информацию о структуре атомных ядер. Кроме того, они снабжают нас «снарядами», с помощью которых можно исследовать структуру других атомов, подобно тому как боксер «исследует» физиономии других боксеров. В частности, поток α-частиц применялся для исследования структуры атомов золота в знаменитом эксперименте, следствием которого явился коренной пересмотр атомной теории. Приведенная ниже задача относится к этому эксперименту.

Поток α-частиц направляется на очень тонкую золотую фольгу в вакууме. Большинство α-частиц проходит через фольгу, не испытав сильных столкновений с атомами золота, но некоторые α-частицы в результате столкновений изменяют свои направления. Очень небольшое число их даже возвращается назад. Эти наблюдения послужили основой новой теории, которая затем предсказала, сколько α-частиц из миллиона должно возвращаться в заданном направлении. Из теории следует, что должно иметь место определенное соотношение между числом вылетающих обратно α-частиц (на миллион) и скоростью, которую они имеют при падении на золотую фольгу. Эта теория была проверена экспериментально.

Ниже в таблице приведены некоторые данные этих измерений.

С помощью этих данных можно решить задачу, аналогичную той, которая стояла перед Кеплером, когда он уже располагал данными об орбитах планет, но еще не вывел третьего закона. Между N и v существует простая зависимость.

Можете ли вы определить эту зависимость? Попытайтесь сделать это самостоятельно, не прибегая к помощи книг. Если вы найдете искомое соотношение, покажите, насколько близко оно соответствует приведенным данным.

Конечно, те экспериментаторы, которые проводили этот опыт, имели по сравнению с вами то преимущество, что знали, какое соотношение надо испробовать прежде всего, но они должны были проделать сложнейший эксперимент. Нельзя ожидать, что в этих экспериментах, где приходится вести счет отдельным атомам, можно получить очень точные результаты; поэтому, в противоположность результатам Кеплера, ваша постоянная может колебаться в пределах 10 %.

В то время, когда Тихо Браге переехал в Прагу с частью спасенных им приборов, а Кеплер начал наступление на Марс, Галилею — современнику Кеплера — было за тридцать и он имел уже некоторую известность как математик и физик. За свою жизнь Галилей совершил ряд великих открытий и величайшее из них, пожалуй, — введение в качестве основы научного познания описания данного эксперимента на языке математики. Галилей упорно ставил опыты сам и использовал чужие эксперименты, пока не добивался правильного решения проблемы; но прежде всего он был великим мыслителем и учителем и обладал столь блестящим полемическим талантом, что мог выбить почву из-под ног у философов, воспитанных на старых традициях, пользуясь их же собственными аргументами. Он любил пользоваться тем, что мы называем «мысленными» экспериментами, т. е. воображаемыми экспериментами, которые служат проверке той или иной гипотезы[52]. В этих мысленных экспериментах Галилей опирался на представления о природе явлений, основанные на здравом смысле, или иногда обращался к действительным экспериментам, а затем предсказывал, какими должны быть те или иные факты или соотношения. Его справедливо можно считать не только отцом, экспериментальной физики, как это давно вошло в традицию, но и первым современным физиком-теоретиком.

Галилей собрал и систематизировал те факты и идеи, из которых много лет спустя Ньютон вывел законы движения. Он заимствовал многочисленные данные, полученные до него экспериментаторами и мыслителями; известны даже издания этих авторов, которые были им использованы в книгах. Он не был открывателем новой механики, однако создал стройную логичную систему механики, сделал ее убедительной и превратил во всеобщее достояние.

Сконструировав телескоп, он с его помощью получил новые данные, подтверждающие теорию Коперника и третий закон Кеплера. Галилей излагал и разъяснял теорию Коперника с поразительной четкостью и ясностью, опровергая тем самым установившиеся с давних пор традиции и ниспровергая признанные авторитеты. Он так страстно призывал к правдивым экспериментам и к их разумной интерпретации, что вдохнул в физику новую жизнь.

Галилей и новая наука

Наиболее значительным вкладом Галилея в новую науку явилось изменение методов обработки экспериментальных результатов. Он обратился вновь к методам Пифагора и Архимеда: знания, полученные экспериментальным путем, должны были приводиться в систему с помощью абстрактных математических представлений. Так, он с определенностью установил, что свободно падающий предмет проходит за промежутки времени, равные 1, 2, 3, 4… (отсчитываемые от того момента, когда предмет находится в покое), расстояния, пропорциональные 1:4:9:16 (т. е. что существует соотношение, которое мы сейчас выражаем с помощью алгебры в следующей компактной форме: s ~ t²). При выводе этого соотношения он не учитывал такие факторы, как сопротивление воздуха, вращение, движение в горизонтальном направлении, и описал идеальный случай падения тела в пустоте. С помощью простых математических рассуждений он вывел следующую форму этого закона: расстояния, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, увеличиваются в пропорции 1:2:3:4…, или, как мы говорим теперь, Δs (при Δt = 1) ~ t[54].

Галилей и его преемники не грешили против истины из-за того, что не учитывали при рассмотрении тех или иных задач такие реальные факторы, как сопротивление воздуха. Современный ученый может сформулировать идеальные законы механики для материалов, не испытывающих трения, тележек, не имеющих веса, нерастяжимых проволок…, а затем добавить реальные условия и видоизменить эти законы.

Галилей содействовал также полному изменению взглядов в области астрономии: он устранил резкое различие между небесными и земными явлениями. Коперник придерживался мистического представления об идеальных сферах, а Галилей пытался рассматривать планеты, Солнце и Луну как обычные земные тела. Он пользовался одним и тем же методом, решая задачу о шаре, катящемся вниз с холма, и о планете, движущейся в небе. Он не довел до конца это рассмотрение, так как все еще считал, что планеты движутся по естественным круговым орбитам, однако благодаря ему человек стал использовать общие математические законы для описания всей Вселенной.

Галилей применял математические методы к величинам, которые можно было непосредственно измерить. Он придавал большое значение таким «первичным» качествам материи, как длина, объем, скорость, сила; он отвергал как нечто, выходящее за пределы настоящей науки, такие субъективные понятия, как цвет, вкус, запах, музыкальный слух, которые, по его словам, исчезают, когда отсутствует наблюдатель[55].

Вспомним строки Шекспира:

Крик ворона и жаворонка пенье Равны, коль им внимают равнодушно…[55]

Так Галилей строил науку на трезвых математических рассуждениях и методах; впоследствии так поступал и Ньютон. Кроме того, Галилей ввел коренные изменения в философию — установил четкое разграничение материи и сознания. Продолжателем Галилея в этом направлении явился Декарт. Учение Галилея способствовало возникновению точки зрения на материю и движение как на нечто истинное и реальное, тогда как вкус, цвет и т. п. представлялись лишь ощущениями, вызываемыми в сознании наблюдателя формами или движениями атомов, хотя сами атомы точно следуют математическим законам. Столетием позже Беркли предположил, что даже первичные свойства материи субъективны; они воспринимаются нашим разумом как «ощущения». С этой точки зрения вся система научных законов и знаний, которую строил Галилей, — абстрактная картина, которую мы получаем на основе нашего субъективного восприятия внешнего мира.

Это хорошая картина, удобная, полезная, интересная, но это не тот мир, в котором мы существуем. Мир, каким бы реальным и конкретным он ни был вне наших ощущений, может быть значительно более сложным; чем нам удается «узнать», пользуясь доступными научными методами исследования. Если мы верим в то, что полученное нами с помощью этих методов представление о мире вполне реально и истинно, то можем найти законы механики, позволяющие проследить движение каждого атома от настоящего момента до далекого будущего и предсказать таким образом все события, включая наши собственные решения и поступки. Это лишило бы нас всякой свободы действия и всякой возможности выбора — очень печальная перспектива. Эти рассуждения применимы, однако, лишь к абстрактному миру ньютоновской науки, а не к тому сложному конкретному миру, который реально существует.

Жизнь и деятельность Галилея. Пиза

Галилей был сыном итальянского дворянина — философа и музыканта. Семья жила в Пизе, вблизи Флоренции. Молодой Галилей мечтал стать художником, но отец послал его в университет изучать медицину, чтобы он приобрел профессию, по тем временам весьма уважаемую и хорошо оплачиваемую. В университете Галилей воспользовался возможностью изучить геометрию. (Существует версия, будто Галилей, потрясенный тем, что открылось ему на лекции об Евклиде, умолял профессора математики взять его к себе в ученики.) Отец Галилея возражал против этого нового увлечения сына — в то время математики получали ничтожно малое вознаграждение за свой труд. Однако это не уменьшило энтузиазма Галилея. Он с увлечением читал сочинения Евклида и Архимеда и вскоре начал исследование свойств центра тяжести.

Когда Галилею минуло двадцать пять лет, герцог, один из членов правящей семьи Медичи, назначил его на должность преподавателя математики. Оплата была мизерной. С огромной энергией и энтузиазмом Галилей начал заниматься механикой движущихся тел, он увлеченно читал старинные книги, отделяя то, что представлялось разумным, от чепухи и проверяя утверждения и идеи с помощью эксперимента. Он с особым наслаждением раздражал последователей учения Аристотеля, доказывая им ошибочность то той, то другой их точки зрения. И хотя Галилей был прав, его запальчивость вряд ли была разумной.

«Обнаружение ошибок в устоявшихся взглядах вопреки трезвому рассудку может вдохновить и воодушевить молодого ученого. Чувство победы над противником способно повлечь резкости в выражениях, заставить смотреть на приверженца ошибочных мнений, как на врага науки. Подобно солдату, впервые обагрившему кровью врага свое копье, ученый способен запятнать свои первые достижения жестокостью… Галилей, по-видимому, вел непримиримую войну с последователями Аристотеля; и раздражение, которое возбуждали его многократные и успешные атаки, было столь велико, что до конца дней его преследовали со злобой, которую редко возбуждает простое различие во мнениях»[56].

Рассуждения Галилея о падении тел и ускоренном движении опрокинули существовавшие до того взгляды и, подобно доказательствам ложности старых доктрин, были встречены враждебно. Вокруг Галилея собирались восторженные поклонники, но одновременно росло и число врагов. Их злоба и зависть создали невыносимую обстановку в Пизе, и Галилей принял приглашение в Университет в Падуе, соседней республики Венеция. В Падуе он встретил философов, которые уже открыто говорили о том, что свободное падение тел должно происходить под действием некой силы, и сомневались в справедливости взглядов, полагавшихся на «естественное место вещей» или искавших «первопричину». Таким образом, в Падуе уже была подготовлена почва для учения Галилея.

Он читал свои лекции страстно и с поразительным мастерством, писал сочинения о движении, механике, астрономии. Но и здесь он получал столь скудное содержание, что вынужден был сдавать комнаты студентам и организовать мастерскую, в которой изготовлялись на продажу различные приборы[57].

Падуя

На новом посту в Падуе Галилей стал приобретать все большую известность. Он любил спорить, разъяснять и доказывать свою правоту. Никто не мог превзойти его в научных дискуссиях: он начинал с того, что излагал точку зрения своих противников более ясно, чем то могли сделать они сами, а затем разносил ее в пух и прах — в этом отношении он был истинным виртуозом.

В Падуе он пробыл двадцать лет и сделал очень много в области механики, многократно выступал он и с доказательствами правильности астрономии Коперника. Лекции собирали огромные аудитории; чтобы учиться у Галилея, в Падую приезжали многие высокопоставленные лица.

Когда на небе внезапно зажглась новая яркая звезда, Галилей прочел на эту тему три лекции. Его приходили слушать толпы народа, которых он упрекал за то, что внимание их привлекло случайное явление, тогда как кругом ежедневно происходят чудеса природы, которых они не замечают. Лекции Галилея приобрели такую популярность, что огромный зал Школы медицины порой не мог вместить всех желающих и Галилею приходилось выступать под открытым небом. С неотразимой силой и убедительностью проповедовал он новую науку.

Астрономия Коперника

В начале своей деятельности Галилей распространял идеи Коперника и доказывал его правоту спокойно, затем все более горячо и неосторожно. В своем «Диалоге» он, говоря от лица одного из собеседников, описывает, как сам пришел к убеждению в правильности теории Коперника:

«По этому случаю мне хочется рассказать вам некоторые происшествия, случившиеся со мной вскоре после того, как я впервые услышал разговоры об этом учении [системе Коперника].

Когда я был еще совсем юным и только что окончил курс философии… случилось, что некий… последователь Коперника приехал в наши края и прочел в одной академии две или три лекции на эту тему при большом стечении слушателей, вызванном, думается, более новизной предмета, нежели чем-либо другим. Я туда не пошел в твердом убеждении, что подобное мнение может быть только отменной глупостью. Когда я затем расспрашивал некоторых из присутствовавших на лекции, то услышал лишь сплошные издевательства, и только один человек сказал, что предмет этот не заключает в себе ничего смешного. Так как я почитал его за человека умного и очень рассудительного, то мне стало очень жаль, что я не пошел на лекцию, и с этого времени, встречая каждый раз сторонника мнений Коперника, я выспрашивал его, всегда ли он придерживался такого воззрения, и скольким я ни предлагал этот вопрос, я не нашел ни одного, кто бы не сказал мне, что он долгое время придерживался противоположного мнения и перешел к теперешнему под влиянием силы доводов, его убедивших. Испытывая их затем одного за другим, чтобы посмотреть, насколько хорошо они знакомы с доводами противной стороны, я убедился, что они владеют ими в совершенстве, так что поистине я не мог сказать, что они примкнули к этому мнению по невежеству, легкомыслию или, так сказать, умничая. Наоборот, скольких перипатетиков[58] и сторонников Птолемея я ни спрашивал, изучили ли они книгу Коперника (а из любопытства я спрашивал об этом многих), я нашел лишь весьма немногих, поверхностно знакомых с ней, и, думаю, ни одного, кто бы понял ее как следует. И от последователей учения перипатетиков я также старался узнать, придерживался ли кто-нибудь из них когда-либо иного мнения, и равным образом, не нашел ни одного такого. Вот почему, принимая во внимание, что среди приверженцев мнения Коперника нет никого, кто раньше не придерживался бы мнения противоположного и кто не был бы отлично осведомлен о доводах Аристотеля и Птолемея, и что, наоборот, среди последователей Птолемея и Аристотеля нет никого, кто придерживался бы ранее мнения Коперника и оставил его, чтобы перейти на сторону Аристотеля, принимая, говорю я, это во внимание, я начал думать, что тот, кто оставляет мнение, впитанное с молоком матери и разделяемое множеством людей, для того чтобы перейти к другому, отвергаемому всеми школами и разделяемому весьма немногими и кажущемуся поистине величайшим парадоксом, тот необходимо побуждается и даже принуждается к этому достаточно сильными доводами. Поэтому, мне кажется, любопытно, как говорится, испить до дна…»[59].

Учение Галилея о движении

В Пизе и Падуе Галилей собрал и привел в систему свои познания и идеи в области механики, которые он значительно позже изложил в трактате «Две новые науки». Одним из первых было его открытие замечательного свойства маятников; период колебания маятника (при малых амплитудах) не зависит от амплитуды. Существует легенда, что Галилей открыл это свойство маятников еще будучи студентом в Пизе при наблюдении затухающих колебаний паникадила в соборе. Галилей не имел точных часов (ведь именно он-то и открыл принцип действия точных часов), поэтому он пользовался для отсчета времени собственным пульсом[60]. Позднее он использовал свое открытие в медицине, сконструировав регулируемый маятник для счета пульса.

На одной из ранних стадий своей деятельности Галилей исследовал движение падающих тел и пришел к выводу, что существовавшее до тех пор представление о том, будто тяжелые тела падают быстрее, чем легкие, причем их скорость пропорциональна их весу, неправильно. Это представление восходит к Аристотелю, который, вероятно, рассматривал конечную скорость в случае очень долгого Падения, когда трение о воздух возрастало до тех пор, пока не начинало уравновешивать силу тяжести. Принимать это рассмотрение за закон падения тела из состояния покоя — бессмыслица, которую, однако, по прошествии столетий догматического учения стали считать неоспоримой. Галилей наблюдал, что тела, имеющие разные массы, падают с одинаковой скоростью, если не считать относительно малых отклонений, которые он объяснял сопротивлением воздуха. Он заметил, что раскатанный в тонкий листок кусок золота падает значительно медленнее, чем целый кусок. Он предложил произвести следующий решающий опыт: понаблюдать за падением кусочка свинца и клочка шерсти в пустоте, но в то время этот опыт осуществить было невозможно. Впоследствии он был проделан Ньютоном. Галилей возмущался последователями Аристотеля, утверждавшими, что за время, за которое пушечное ядро весом 100 фунтов падает на высоту 100 футов, мяч весом 1 фунт упадет всего лишь на 1 фут.

Реальный эксперимент, по его словам, приводит к различию в расстоянии, равному всего лишь ширине нескольких пальцев. «Как вам удается — спрятать 99 футов за двумя пальцами?» — спрашивал Галилей, высмеивая своих противников.

Галилей доказал правильность своего предположения о том, что все тела падают с одинаковой скоростью, сравнивая колебания маятников с легким и тяжелым грузами. Оказалось, что период колебания маятника, не зависит от веса груза. Движение маятника представляет собой как бы «замедленный» вариант падения, при котором можно точно измерить интервалы времени (можно измерять время нескольких колебаний и брать среднее, чтобы увеличить точность измерений); при этом трение практически отсутствует. (Поскольку период колебаний не зависит от амплитуды, то в этом случае трение о воздух не будет играть роли. Трение будет уменьшать амплитуду колебаний, но это не имеет значения!) Этот результат соответствует представлениям Ньютона о массе и тяготении, которые были сформулированы и развиты намного позднее. Тяжелый предмет весит больше, чем легкий, поэтому Земля сильнее его притягивает. С этой точки зрения мы должны были бы ожидать, что тяжелый предмет будет падать быстрее. Однако он содержит большее количество вещества (материи) или массы (термин, введенный позднее Ньютоном). Тяжелый предмет имеет большую «инерцию», нежели легкий, и нуждается в большей силе для своего ускорения[61]. Поэтому если эксперимент показывает, что тяжелые и легкие предметы падают с одним и тем же ускорением (или совершают одинаковые колебания вроде маятника), то это значит, что более тяжелый предмет имеет массу настолько большую, насколько больше его вес. Это замечательное свойство силы тяжести, согласно которому Земля притягивает тела с силой, пропорциональной их инертным массам. Галилей, по-видимому, принимал это положение, не доискиваясь его причины. В своих исследованиях силы и движения он не дал четкого определения массы. Это было сделано Ньютоном. В наш век, когда выяснилось, что масса связана с энергией, она приобрела новое значение.

Чтобы подробно исследовать падение тела, Галилей воспользовался наклонной плоскостью. Он описывает следующий эксперимент: шар катится по длинной, очень пологой наклонной плоскости — по доске с желобом, оклеенным гладким пергаментом (фиг. 87).

Фиг. 87. Опыт Галилея.

Время, в течение которого шар проходил отрезок пути, измерялось с помощью простых водяных часов: экспериментатор взвешивал количество воды, вытекающее через узкое отверстие из сосуда с водой. Измерения времени и расстояния находятся в следующем соотношении:

РАССТОЯНИЕ, ПРОХОДИМОЕ ТЕЛОМ ИЗ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНО КВАДРАТУ ВРЕМЕНИ.

Неизвестно, действительно ли Галилей сам произвел этот опыт или просто описал опыт, произведенный еще до него. Как бы то ни было, измерения были грубые, хотя Галилей считал, что установил правильный «закон». С помощью остроумных геометрических доказательств он показал, что этому закону должно с необходимостью подчиняться движение с постоянным соотношением Δv/Δt.

Таким образом, катящийся шар движется с постоянным ускорением. С помощью экстраполяции, переходя от малого наклона к большему и, наконец, к падению по вертикали, Галилей доказал, что свободно падающие тела имеют постоянное ускорение; следовательно, он получил закон, которому подчиняется их падение.

На произвольной наклонной плоскости сила, вызывающая ускорение, должна быть одинакова на всем пути. (Это — постоянная составляющая веса шара.) Таким образом, Галилей уже получил часть второго закона Ньютона: постоянная сила вызывает постоянное ускорение.

Рассматривая холмы с различными склонами, Галилей почти вплотную подошел к главному соотношению второго закона Ньютона: ускорение пропорционально силе; но это соотношение он выражал в геометрической форме, что не позволяло выявить роль силы. Галилей разработал экспериментальные методы науки о движении, которыми можно было пользоваться при решении самых разнообразных задач: о полете снарядов, движении маятников, планет, а позднее о движении различных механизмов и даже составных частей атомов.

Скорость у подножия холма

Галилей пришел к такому выводу: если шар катится вниз с одной наклонной плоскости А, а затем вверх по другой наклонной плоскости В, то он докатится до первоначального уровня, каков бы ни был наклон. Это привело его к очень важному общему допущению, на основании которого он сделал много предсказаний. Вообразим себе несколько различных склонов А₁, A₂, A₃ одной и той же высоты, примыкающих к склону В (фиг. 88).

Фиг. 88. Идеальный случай движения «с горки на горку».

Если предположение Галилея правильно, то шар должен подняться на одну и ту же высоту по склону В, независимо от того, с какого склона А он спустился. У подножия холма, перед тем, как шар начнет подниматься по склону В, он будет иметь импульс, необходимый для того, чтобы подняться на склон В до точки, соответствующей той же высоте. Этот импульс должен, следовательно, быть одним и тем же у подножия холмов А₁, A₂ и т. д., т. е. одним и тем же для всех склонов. Поэтому шар должен иметь одну и ту же скорость у подножия любого склона. Галилей сделал на основании этого общее предположение: скорости, приобретаемые телом, движущимся по плоскостям, имеющим различные наклоны, равны между собой, если равны высоты, с которых он спускается. Мы вкратце говорили об этом свойстве в гл. 7[62], где указывали, что оно относится ко второму закону Ньютона. Галилей обобщил этот вывод на случай холмов, имеющих неровные склоны. Используя приведенные рассуждения и постоянство ускорения, Галилей получил ряд геометрических следствий для движения тел по наклонной плоскости.

Правило «с горки на горку»

Успешной демонстрации опыта с шаром, скатывающимся вниз по одному склону и затем подымающемуся вверх по другому на ту же высоту, препятствует трение. В своих рассуждениях Галилей, вероятно, исходил не только из эксперимента, но и из теоретических соображений — он обладал гениальной интуицией и благодаря ей, опираясь на самые грубые эксперименты, выдвигал правильные гипотезы. Для своих коллег Галилей подкреплял гипотезу тщательными аргументами о сложных движениях вниз и вверх, так что гипотеза должна была представляться еще более правдоподобной. Рассмотрим следующий «мысленный эксперимент» Галилея (описанный позже другим автором). Предположим, что шар остановится на склоне В выше. Воспользуемся доской С (фиг. 89, а), заставим шар скатиться обратно к началу его движения по склону А и позволим ему снова скатиться со скоростью, которую он приобрел. Будем повторять этот процесс. Шар от раза к разу будет приобретать все больший и больший импульс, что является абсурдом. Если шар, поднимаясь по склону В, остановится ниже, мы должны будем производить отсчет от _{(…нечитаемый текст…)} такой подход к решению различных проблем имели большое значение. Кроме того, здесь, как и в любой другой области физики, дискуссия могла помочь выяснению данной проблемы, указать путь, по которому следует вести исследование.

Фиг. 89. «Мысленный опыт» Галилея.

_{а — шар остановился выше; б — шар остановился ниже.}

Сам Галилей доказал правильность своих рассуждений, выполнив то, что казалось невозможным, — осуществил удивительно простой, но убедительный вариант описанного опыта «с горки на горку», а именно опыт с гвоздем и маятником. В этом опыте гвоздь задерживает нить маятника, когда последний проходит через нижнюю точку; таким образом, маятник из длинного внезапно превращается в короткий. Во всех случаях груз маятника, падавший по длинной дуге большого радиуса, поднимается затем по дуге меньшего радиуса на ту же высоту (фиг. 90). Попробуйте сами произвести такой эксперимент.

Исследуя это явление, Галилей держал в своих руках ключ и одному из аспектов закона сохранения энергии, который в общем виде был, однако, сформулирован позже.

Фиг. 90. Опыт с гвоздем и маятником.

_{Груз маятника поднимается на одну и ту же высоту, независимо от изменения движения, вызываемого наличием гвоздя} 

…???…

действует сила, то оно продолжает двигаться с постоянной скоростью (по прямой). Хотя Галилей этого и не знал, в его руках был ключ к решению одной из загадок, связанных с движением планет.

Какие силы поддерживают движение планет, Луны и других небесных тел? Что подталкивает их вдоль направления движения по орбитам? На этот вопрос теперь можно было бы ответить: сила не нужна, так как движение этих небесных тел продолжается само по себе.

Независимость движения

Сложение скоростей, сил и т. д. по правилу параллелограмма было только что открыто; по существу оно означало, что один вектор не оказывает влияния на другой — они действуют независимо и складываются геометрически. В своих экспериментах Галилей настаивал на том, что движения (и силы) не зависят друг от друга.

Например, ускоренное движение по вертикали и постоянное движение по горизонтали просто складываются как векторы, одно движение не влияет на другое, каждое происходит независимо. Он применил это правило к полету снарядов и показал, что их траектории являются параболами.

Галилей многократно говорил об этой независимости векторов в своих диалогах, возражая критикам теории Коперника. Последние заявляли, что если Земля движется, то падающие тела будут отставать от нее. Галилей задавал им вопрос: как ведут себя предметы, падающие с мачты корабля, который плывет с постоянной скоростью? Если его противники начинали что-то бормотать о влиянии ветра, Галилей проводил «мысленный эксперимент» в каюте корабля. Он утверждал, что воздух и облака, которые участвовали в движении поверхности Земли, просто продолжают двигаться вместе с ней и далее. Он предлагал своим читателям задачи, подобные тем, которые приводились в конце гл. 1 и 2[63], и демонстрировал, что равномерное движение лаборатории не влияет на эксперименты, связанные со статикой, со свободным падением тел, с полетом снарядов. Равномерное движение лаборатории невозможно обнаружить никакими механическими опытами, проводимыми внутри нее. В этом и заключается принцип относительности Галилея.

Отъезд из Падуи

Галилей прожил в Падуе двадцать лет. Его стали уговаривать вернуться в родной город Пизу, в университет. Он не терял связи с семейством Медичи и теперь вел переговоры с герцогом о переходе на работу во Флоренцию, которая оплачивалась бы выше, чем его работа в Падуе, и оставляла бы больше свободного времени. Его обязанности в Падуе занимали всего лишь один час в неделю, но он вынужден был давать частные уроки, ибо получаемое жалованье было все еще слишком скудным, хотя преклонявшийся перед ним университет уже несколько раз увеличивал его содержание. «Он устал от университетов, от чтения лекций, от преподавания, от квартирующих у него студентов; ему надоели длинные мантии, которые он высмеивал в сатирических поэмах… от душной и мелочной атмосферы Падуи… Он хотел жить на родине, дышать родным воздухом, жить свободно, среди друзей, выбранных им самим»[64]. Ему необходимо было свободное время для исследований и изложения своих идей, нужна была поддержка влиятельных лиц. Галилей обещал герцогу, что, получая большее жалованье, он напишет ряд книг: «…две книги о системе Вселенной, обширное сочинение, включающее Философию, Астрономию и Геометрию; затем три книги о движении, три книги о статике, две о демонстрации принципов, одну о проблемах, а также книги о звуке и речи, о свете и цвете, о приливах и отливах, о составлении непрерывных величин, о движении животных и о военном искусстве»[65]. Одно это перечисление дает некоторое представление о широте интересов Галилея и о той страстности, с которой он предавался научным исследованиям.

Телескоп

Готовясь к переезду из Падуи в Пизу и Флоренцию, Галилей случайно услышал об изобретении телескопа. Пронесся слух, будто какой-то голландец, занимающийся изготовлением очков[66], изобрел такую комбинацию двух линз, которая позволяет увеличивать и как бы приближать отдаленные предметы. Услышав об этом, Галилей, разместив в зрительной трубе две линзы, сконструировал простой телескоп всего с трехкратным увеличением.

В качестве первой линзы он воспользовался слабовыпуклой линзой, а в качестве окуляра — вогнутой линзой. Этот прибор по всей вероятности, отличался от того изобретения, о котором он слышал, так что можно считать, что именно Галилей изобрел театральный бинокль («opera glass»), который мы теперь иногда называем телескопом Галилея. Он был в восторге от прибора, и слава об этом чуде вскоре широко распространилась. Толпы народа стремились посмотреть в телескоп. Венецианский сенат намекнул, что был бы не прочь иметь такой прибор, и Галилей незамедлительно подарил им экземпляр. Вскоре после этого его жалованье удвоилось!

В свой телескоп Галилей наблюдал Луну, планеты и звезды, испытывая, по его словам, «невероятное восхищение». Если вам никогда не приходилось видеть Луну в телескоп возьмите простой полевой бинокль и попытайтесь это проделать.

Фиг. 92. Телескоп Галилея.

_{а — две металлические трубы, из которых одна скользят внутри другой, с двумя линзами; б — окуляр, сильная плосковогнутая линза; в — объектив, слабая плосковыпуклая линза.} 

Наблюдая Луну, Галилей увидел парней горы и кратеры. Он даже примерно оценил высоту лунных гор по отбрасываемым ими теням. Эти наблюдения были встречены враждебно теми, кому с детства внушали, что Луна — шар с гладкой поверхностью.

Горы и кратеры придавали Луне сходство с Землей, а это противоречило учению Аристотеля, который проводил резкое различие между грубой, подверженной изменениям и разрушениям Землей и вечными, совершенными небесами. Телескоп нанес вый удар старой астрономии с ее идеальными сферами.

Люди по большей части консервативны и не любят, когда пришелец, упорно доказывающий свою правоту, ломает их привычные представления. Их отнюдь не радует что-то новое, они возмущаются, когда опровергают их поверья, особенно когда вера внушена им в детстве — ощущение прочности покидает их. И Галилей обнаружил, что его открытие многих просто злит. Он предлагал тем, кто приходил к нему, лично убедиться в том, что он прав, и многие, посмотрев в телескоп, действительно приходили в восхищение, однако некоторые отказывались смотреть, а кое-кто, и посмотрев, продолжал утверждать, что не верит в его открытие. Один последователь Аристотеля допускал, что горы на Луне существуют, но считал, что долины между ними заполнены невидимым хрустальным веществом, дополняющим поверхность до идеальной сферы.: На это Галилей возразил, что в таком случае на Луне могут существовать и горы из невидимого хрусталя, высота которых в десятки раз больше!

Хорошие линзы было трудно достать, и Галилей сам шлифовал и полировал их в своей мастерской. Ол делал это лучше других, и его телескопы оказывались намного совершеннее. И все же телескоп Галилея (сохранившийся во Флоренции) дает, конечно, несравненно худшее изображение, нежели современные приборы.

Галилей построил второй телескоп с восьмикратным увеличением, затем третий — с тридцатикратным. Последний потребовал особенно много усилий: ведь придать куску стекла правильную форму — задача трудная и кропотливая, а качество прибора в значительной степени зависит именно от тщательности полировки. В новом телескопе планеты выглядели яркими дисками. Звезды тоже казались ярче, а расстояния между ними больше, но они по-прежнему представлялись лишь точками. Галилея очень радовало, что он мог видеть в свой новый телескоп гораздо больше звезд. Светлая дымка Млечного Пути превратилась в мириады звезд.

 ^{(…очень плохое качество сканирования…)}

Фиг. 93. Фотография Луны в последней четверти (Ликская обсерватория).

_{Солнечный свет, падая на вершины гор вблизи края тени, выявляет грубый ландшафт, наблюдавшийся в телескоп Галилея.}

 ^{(…очень плохое качество сканирования…)}

Фиг. 94. Современная фотография лунных гор (Ликская обсерватория).

_{Часть фотографии фиг. 93, увеличенная примерно в 6 раз. Пик внизу снимка, отбрасывающий длинную тень, — горы «Питон»}

Фиг. 95. Эскиз горы «Питон» и ее тени.

_{Так определяются высоты лунных гор.}

Спутники Юпитера

С помощью нового телескопа Галилей сделал еще более важное открытие. Ночью 7 января 1610 г. он наблюдал три небольшие звезды, расположенные вблизи Юпитера, на одной прямой (фиг. 96), две к востоку от Юпитера, а одна к западу. Галилей принял их за неподвижные звезды и не обратил на них особого внимания, но на следующую ночь, случайно вновь взглянув на Юпитер, обнаружил теперь все три звезды уже к западу от Юпитера, причем расположены они были ближе друг к другу, чем в предыдущую ночь. Последнее обстоятельство, т. е. сдвиг, он объяснил движением Юпитера, но потом сообразил, что в таком случае Юпитер должен был бы двигаться в обратном направлении, ибо находился в то время на обратной части петли. Это уже было поистине загадочно. Галилей с нетерпением ждал следующей ночи, чтобы снова провести наблюдения, но небо было покрыто облаками. На следующую ночь, т. е. 10 января, были видны лишь две звезды к востоку от Юпитера. Вряд ли Юпитер мог передвинуться на значительные расстояния с запада на восток за один день и затем с востока на запад за два дня. Галилей решил, что «звезды» сами должны двигаться, и стал наблюдать за ними (см. фиг. 96). Так он открыл четыре маленьких спутника Юпитера.

Понаблюдайте сами за Юпитером в небольшой телескоп, даже в долевой бинокль. Вы не сможете не заметить его спутников и увидите их яснее, нежели это удалось тогда Галилею, использовавшему простые линзы.

Фиг. 96. Наблюдения спутников Юпитера, производившиеся Галилеем.

_{Эти рисунки представляют собой копию собственноручных зарисовок Галилея. Орбиты спутников лежат примерно в плоскостях, проведенных через прямую, соединяющую находящегося на Земле наблюдателя с Юпитером, поэтому спутники часто находятся то впереди Юпитера, то позади него или же попадают в отбрасываемую им тень. Так как их движение по орбитам происходит быстро, то приведенные картинки тоже быстро меняются и на них часто можно видеть не все четыре спутника, а лишь три или два.}

Кеплер, получив письмо Галилея и узнав об этом открытии, разделил его восторги, хотя наблюдение спутников Юпитера, казалось бы, противоречило представлениям Кеплера о существовании всего шести планет. Философы — последователи Аристотеля отнеслись к этому открытию не очень благожелательно, ибо наличие «лун» у Юпитера умаляло исключительную роль Земли и подтверждало теорию Коперника. Один из таких философов рассуждал следующим образом:

«Голова имеет семь окон — две ноздри, два глаза, два уха и рот; небеса имеют две благоприятные звезды, две неблагоприятные, две освещающие Землю и один Меркурий, нерешительный и безразличный. На основании этих и других подобных же явлений природы, например из существования семи металлов и т. д., которые утомительно было бы все перечислить, мы приходим к выводу, что число планет с необходимостью должно быть равно семи. Кроме того, спутники Юпитера невидимы невооруженным глазом, поэтому не могут оказывать влияния на Землю. Следовательно, если бы они и существовали, то были бы бесполезны. А потому они не могут существовать…».

Галилей писал Кеплеру:

«О мой дорогой Кеплер, как мне хочется от души посмеяться вместе с вами! Здесь, в Падуе, есть профессор философии, которого я многократно и настойчиво просил посмотреть на Луну и планеты в мой телескоп, но он упрямо отказывается. Почему вас нет здесь? Как бы мы похохотали с вами над этой восхитительной глупостью! А послушать только, как профессор философии в Пизе рассыпает перед великим герцогом логические доказательства, стараясь как бы с помощью магических заклинаний изгнать новые планеты с неба!»

Юпитер и его спутники представляли собой нечто вроде миниатюрной модели Солнечной системы Коперника — неоспоримое доказательство правильности его теории. Кеплер воспользовался измерениями Галилея для грубой проверки применимости третьего закона к спутникам Юпитера. Он нашел, что третий закон применим и в этом случае, хотя отношение R³/T² отличается от значения, соответствующего планетам Солнечной системы. В таблице на стр. 174 приведены современные, более точные данные. С тех пор был открыт ряд еще более отдаленных спутников, меньших размеров. Сейчас известна дюжина таких спутников.

* _{Размеры орбит спутников проще всего выражать через диаметр Юпитера. Для проверки третьего закона Кеплера радиусы можно выражать в тех же единицах, если же эти данные нужны в теории тяготения (например, для сравнения массы Юпитера с массой Солнца), то следует пользоваться в обоих случаях одними и тени же единицами, скажем милями.}

** _{Проверку легко произвести благодаря удачному выбору единиц — миль и часов.}

Возвращение в Пизу и Флоренцию

Когда Галилей согласился переехать во Флоренцию, ему пришлось отказаться от должности профессора в Падуе. Неожиданный отказ был встречен крайне недоброжелательно, поступок расценили как неблагодарный и даже нечестный. Однако новый пост сулил большие возможности. Галилей переехал во Флоренцию, потеряв некоторых своих друзей. Теперь у него оставалось больше времени для работы, но решение о переезде в общем оказалось неразумным, так как это было возвращение не только к друзьям, но и к врагам. (В студенческие годы Галилей был известен как «крикун и спорщик», он неистово нападал на тех кого называл «бумажными философами».) Галилей был искренним, но не очень тактичным человеком; противодействие, которое встречали его открытия и доводы, не столько огорчало его, сколько вызывало в нем чувство торжества. «Профессора — последователи Аристотеля, приспособляющиеся ко времени и обстоятельствам, иезуиты, занимающиеся политикой священники, а также робкие, но вполне почтенные люди, которые вечно опасаются всяких новшеств как в религии, так и в науке, объединились против деспотичного философа, поставившего под угрозу их знания»[67].

Во Флоренции Галилей с помощью своего нового телескопа продолжал изучать планеты и вскоре сделал новые открытия. Он обнаружил, что у Сатурна сбоку имеются какие-то выступы, как бы прикрепленные к нему. В современные телескопы Сатурн имеет вид большого яркого шара, окруженного плоским кольцом, напоминающим поля шляпы; теперь известно, что это кольцо состоит из пылевидных частиц, возможно кусочков льда, которые независимо друг от друга движутся вокруг Сатурна — целое полчище, иллюстрирующее третий закон Кеплера. В телескоп Галилея кольцо не было различимо и казалось, что по бокам Сатурна имеются еще две планеты. Затем Галилей обнаружил, что у Венеры существуют фазы, подобные фазам Луны. Этот факт явился уже прямым подтверждением теории Коперника. Галилей обнаружил также пятна на Солнце — движущиеся и изменяющиеся темные участки. Еще один удар, нанесенный представлению о непорочности небес!

Галилей со своим телескопом совершил необычайно успешную поездку в Рим, где его встретили с энтузиазмом. В то время телескоп являлся чудом, и церковь одобрила открытия Галилея.

Неприятности

Галилей вернулся в Пизу с намерением написать большой трактат о строении Вселенной. Система Коперника казалась ему правильной именно вследствие своей простоты. Она неоспоримо подтверждалась наблюдениями с помощью нового телескопа. Вращение Земли устраняло необходимость в представлении о казавшемся невероятным суточном вращении внешней сферы звезд, увлекаемой как бы «огромным приводным ремнем, идущим неизвестно откуда»[68], со странными передаточными механизмами к внутренним сферам. Предположение о том, что неподвижное Солнце находится в центре, а вокруг него вращается Земля как одна из планет, упрощало движение многих небесных светил и позволяло предсказать то, что Галилей видел в телескоп. Ему удалось увидеть даже модель Солнечной системы в виде Юпитера и его спутников. Но теория Коперника противоречила поэтичной библейской астрономии, которую проповедовала как римская католическая, так и протестантская церковь. Как раз в то время, когда Галилей с уверенностью почувствовал, что может доказать правильность теории Коперника, недовольство церкви внезапно усилилось. На Галилея стали нападать в проповедях, а доводы, которые он приводил в ответ, секретно отсылались инквизиции, в Рим. Друзья из Рима предостерегали Галилея, что доктрины Коперника находятся под серьезным сомнением. Ученики и друзья Галилея, включая самого герцога, благородно встали на его защиту, но он сам навлек на себя серьезные неприятности, начав писать вызывающие публичные письма о священном писании и о науке. В этих письмах он утверждал, что язык Библии следует понимать не буквально, а метафорически, когда речь идет о науке. Библия, по его словам, объясняет нам явления духовного порядка, а не явления природы; при этом он цитировал слова некоего кардинала: «Святой Дух учит вас тому, как попасть на небо, но не тому, как это небо устроено».

Так как священное писание и природа — создание одного и того же божественного творца, то они не могут противоречить друг другу, но служат они различным целям, и церковь не должна заставлять астрономов не верить в то, что они видят собственными глазами. Люди не должны осуждать книгу Коперника, не прочитав ее и не постаравшись ее понять. Таков был его открытый выпад.

Власти в Риме еще больше взволновались. Церковные астрономы, возмущенные писаниями Галилея, перестали его поддерживать. Встревоженный, Галилей поехал в Рим, чтобы самому выяснить сложившуюся обстановку. Но и там он продолжал непрерывно спорить как с друзьями, так и с врагами; «он не мог объяснить этим людям того, что в состоянии были понять только он и Кеплер: что три науки — математика, физика и астрономия стремятся к соединению, которое сделает их неотразимыми и создаст физическую науку о небесах»[69]». Тем временем церковь назначила группу экспертов по теологическим вопросам для исследования учения Коперника; эти эксперты высказались по поводу двух основных утверждений Галилея следующим образом:

УТВЕРЖДЕНИЕ, ЧТО СОЛНЦЕ НЕ ДВИЖЕТСЯ «неверно и абсурдно с точки зрения философии и является еретическим».

УТВЕРЖДЕНИЕ, ЧТО ЗЕМЛЯ ДВИЖЕТСЯ И ВРАЩАЕТСЯ «неверно и абсурдно и по меньшей мере ошибочно с точки зрения религии».

Галилей оставался в Риме, чтобы, как он считал, помочь дискуссии пойти по правильному руслу. Его вызвали и сказали, что доктрина Коперника осуждена как «ошибочная». На книгу Коперника наложен запрет — ни один благочестивый католик не должен читать ее до тех пор, пока она не будет «исправлена». А сам Галилей не смеет ее отстаивать или защищать истинность доктрины. Галилей выждал некоторое время, чтобы его нельзя было обвинить в трусости, и вернулся домой, как подобало благочестивому католику, испытывая, однако, горькое разочарование.

Во Флоренции Галилей оставался еще лет шесть. За это время был избран новый папа, который относился к науке более дружелюбно, чем его предшественник, к тому же он был другом Галилея.

Несмотря на плохое состояние здоровья, обрадованный Галилей предпринял утомительную поездку в Рим, чтобы поздравить нового папу; на этот раз его приняли великолепно. Он получил несколько аудиенций, папа оказал ему почести и вручил богатые подарки. Галилей даже попытался осторожно доказывать папе правильность системы Коперника, подчеркивая ее простоту. Кардиналы сдержанно молчали, но сам папа заметил: «Церковь не осуждает эту систему. Ее следует осудить не как еретическую, а лишь как опрометчивую». Однако, когда Галилей стал настаивать на своих взглядах, папа резко ответил, что прежний запрет остается в силе. Он посоветовал Галилею не ограничивать мудрость господа научной схемой: господь может создать любую схему по своему желанию — ловкий аргумент, способный, остановить развитие любой науки. Однако в конце концов папа позволил Галилею написать книгу, поясняющую доказательства, приводимые как в пользу теории Коперника, так и в пользу теории Птолемея. В книге должна содержаться лишь теоретическая дискуссия, предоставляющая высшей мудрости церкви решать, что есть истина.

Великий диалог

Галилей вернулся домой разочарованным, но все же польщенный оказанными почестями. Он был уверен в том, что получил разрешение написать давно задуманную книгу о строении Вселенной. Но он был слишком доверчив и недооценил церкви. Он продолжал тайно проповедовать идеи Коперника и писал свою книгу. Написал он ее в форме диалога — в те времена вполне обычная форма изложения. После некоторых затруднений с церковными цензорами, один из которых был личным другом Галилея, его книга была опубликована[70].

Диалог начинается с предисловия, обращенного к «благоразумному читателю», и выглядит самым неблагоразумным выпадом против инквизиции. Диалог ведется между Сальвиати, философом, который излагает точку зрения Коперника с помощью доводов Галилея, Сагредо, который, являясь как бы адвокатом Сальвиати, задает вопросы, указывает на возникающие трудности и оживляет диалог своим остроумием, и Симпличио, упрямым последователем Аристотеля и Птолемея, которого каждый раз побеждает своими доводами Сальвиати и подымает на смех Сагредо.

Фиг. 97. Титульный лист первого издания «Диалога».

Диалог был написан не по-латыни для ученых, а по-итальянски — для широкого круга читателей и изобиловал подробными рассуждениями и остроумными доводами. По словам одного из критиков, — это «непринужденное жизнеописание всего духовного мира того, времени»; по существу это выдающееся объяснение природы движения, земного и небесного, с исчерпывающими доказательствами правильности схемы Коперника. Диалог содержит много прекрасных идей и доказательств, но в нем имеются и серьезные ошибки. Галилей был великим ученым, но новая наука, которую он проповедовал, была еще не закончена и порой не ясна. Галилей никогда не понимал, что круговые орбиты не требуют подталкивания в направлении движения.

Он считал, что вертикальное падение присуще земным телам, а круговое движение — небесным телам (согласно Аристотелю), несмотря на то, что отлично понимал роль инерции в земной механике.

Галилей никогда не признавал эллиптических орбит Кеплера, может быть потому, что именно круговые орбиты считал необходимыми, а может быть потому, что представлял себе, насколько близки действительные эллиптические орбиты планет к круговым. Он считал, что приливы и отливы вызываются «дыханием Земли» — еще более нелепое объяснение.

Книга Галилея оказалась популярной и очень убедительной.

В противоположность ей книга Коперника была трудна — мало кто понимал ее истинное значение, к тому же она была запрещена. О ней велись разговоры и происходили тайные дискуссии, но большинство образованных людей не могло сложить воедино всей этой головоломки, которая благодаря приказанию свыше оставалась разобранной на части. Эту задачу выполнил Диалог — «собрал все воедино и впервые продемонстрировал картину в целом. Галилей не излагал в книге технических проблем; в Диалоге имелось много незаконченных мыслей и дерзких предположений. Однако книга соответствовала уровню образования людей того времени и непреодолимо убеждала их в правильности излагаемых идей. Это был заряд динамита, подложенный мастером своего дела»[71].

Слухи об этой мощной атаке на узаконенное церковью представление о строении Вселенной дошли до Рима и стали известны папе, который, хотя и был другом Галилея, приказал инквизиции запретить книгу и вновь подвергнуть проверке взгляды Галилея.

Дряхлый и больной Галилей был вызван в Рим. Там с ним в общем неплохо обошлись, признавая, что он выдающийся ученый, и предоставили ему даже удобное жилище, но инквизиция продолжала строгую проверку, формулируя его еретические высказывания и заставляя Галилея защищать свои идеи. Галилей знал, что его книга содержит опасные высказывания, но он ведь писал ее, получив на это разрешение. Первоначальный запрет был наложен лишь на утверждение, что астрономия Коперника истинна; правда, Галилей повиновался этому запрету не всегда и неискренне. Он чувствовал себя в безопасности до тех пор, пока не был представлен документ, по всей вероятности подложный, из которого следовало, будто бы Галилей обещал никогда не распространять и вообще не обсуждать систему Коперника. Теперь обвинение становилось очень серьезным: еретическое учение и написание книги, несмотря на клятву этого не делать. Не отрекшемуся от ереси и не раскаявшемуся еретику угрожали пытки. Галилей находился в большой опасности. Он нарушил приказ церкви; он изложил систему Коперника и опубликовал ее в виде книги (под очень сомнительным предлогом, что это лишь теоретические рассуждения); он даже осмелился критиковать интерпретацию, даваемую священным писанием. Могущественная и безжалостная церковь, которая жестоко преследовала сомневающихся и приговаривала к сожжению на костре непокорных еретиков, не могла, конечно, стерпеть столь вызывающего поведения. За стенами инквизиции с Галилеем обращались хорошо, да и в суде сначала к нему относились снисходительно; с ним спорили, предлагали привести доводы в защиту своих убеждений. Но его допрашивал суд, который обладал правом не только применить физические пытки, но и опирался на духовное превосходство церкви. Здоровье Галилея ухудшалось, а его все вызывали на допросы снова и снова. Однако он не отказывался от своих убеждений. Один из ведущих допрос, дружелюбно настроенный к Галилею, посоветовал ему сознаться в том, что он написал свой труд, движимый ложной гордыней, в этом случае его оставили бы в покое. Потеряв надежду доказать свою правоту, Галилей, наконец, согласился. Однако верховный суд церкви не был удовлетворен столь мягкой формой признания и продолжал настаивать на безоговорочном отказе от прежних убеждений. Галилей был вызван на «строгое следствие». Из судилища он вышел только через три дня. Неизвестно, насколько далеко зашла инквизиция в своем давлении на него. Физическим пыткам его не подвергали — он был слишком стар, однако ему пришлось пройти все ужасы моральных истязаний. В ходе допроса Галилей согласился полностью отречься от своих убеждений, взять назад свои еретические утверждения и признать неправильными прежние взгляды. Галилей принял приговор инквизиции как раскаивающийся грешник; не забудьте — он был набожным, хотя и любящим спорить, сыном церкви. Встав на колени, он прочитал требуемое отречение и поклялся никогда не верить в учение Коперника и не пытаться снова его распространять. Отречение представляло собой длинный документ, состоящий из унизительных извинений, признания ошибок, полного отказа от прежних взглядов, и все это под угрозой самых суровых наказаний. Стоя на коленях, Галилей подписал отречение.

Существует легенда, будто Галилей, поднявшись с колен, пробормотал: «А все-таки она (Земля) вращается!», но вряд ли это так. Поблизости не было друга, который мог бы услышать эти слова, к тому же Галилей был стар и совершенно подавлен. По словам Бертрана Рассела, «произнес это не Галилей, а весь мир».

Некоторое время Галилей находился в заключении, затем ему было разрешено вернуться домой, но на определенных и очень жестких условиях. Здоровье его пошатнулось, однако мысль, по его словам, была еще «слишком живой для столь немощного тела». Он написал большую книгу «Две новые науки». Она содержала описание его исследований ускоренного движения (которые легли затем в основу законов Ньютона), исследований упругости бревен и его обоснование исчисления бесконечно малых. Это был не популярный труд, а подробное специальное изложение. Работая над этой книгой, Галилей ослеп на один глаз, а вскоре и совсем лишился зрения. Он говорил по поводу своего несчастья: «Увы! Ваш верный друг и слуга полностью и непоправимо ослеп. Эти небеса, эта Земля, эта Вселенная, которую я, вопреки представлениям прежних веков, своими наблюдениями, в тысячу раз увеличил, для меня теперь сжались в узкую нору, которую я сам занимаю. Так угодно господу, поэтому и для меня это должно быть хорошо». Теперь ему была предоставлена большая свобода и, несмотря на тяжелую болезнь, он с помощью друзей продолжал писать. Но здоровье все ухудшалось, и в возрасте 78 лет он умер.

Спор науки с церковью

Труды Галилея, его лекции и дискуссии выявили разногласия между авторитарными представителями церкви и независимыми учеными. Своим резким поведением и убедительностью доказательств он навлек неприятности не только на себя, но и на науку в целом.

Биографы Галилея расходятся во взглядах на его конфликт с римской католической церковью, отражая тем самым собственные взгляды. Некоторые изображают его почти мучеником, находившимся под угрозой пыток со стороны фанатичной инквизиции, подозреваемым и преследуемым пленником, которому запрещалось провозглашать открытые им великие Истины; при этом церковь выступала как главный злодей, защищавший суеверия и предрассудки и старавшийся подавить в интересах догматической науки разъяснение простых явлений природы, что должно было бы укреплять всемирную религию. Другие считали, что Галилей сам навлек на себя беды горячими спорами и той оскорбительной манерой, с которой он старался рассеять заблуждения своих противников; эти историки изображали его неблагодарным по отношению к церкви, которая старалась разобраться в его учении и помогала ему материально; они указывали на то, что конфликт Галилея с церковью возник в результате его нападок на священное писание, т. е. в результате его прямого вмешательства в область, подвластную лишь церкви. Некоторые же сожалели о его раболепном поведении, о том, что он не стал мучеником науки, но это слишком жестокие упреки тому, кто почти всю жизнь был далек от раболепия.

Бертран Рассел пишет:

«Конфликт между Галилеем и инквизицией — это не просто конфликт между свободной мыслью и фанатизмом или между наукой и религией: это конфликт между методом индукции к методом дедукции. Те, кто верит в дедукцию как в метод познания, вынуждены где-то искать свои предпосылки, обычно в священном писании. Дедукция — этo метод выяснения истины, которым обычно пользуются юристы и верующие. Как метод познания дедукция терпит крах, когда возникают сомнения в правильность ее предпосылок, и те, кто в нее верит, должны неприязненно относиться к сомневающимся в непреложности истин священного писания. Галилей подвергал сомнению и учение Аристотеля, и священное писание и разрушал, таким образом, все здание средневековой науки. Его предшественники считали, что знают, как был создан мир, каково назначение человека, сокровенные тайны метафизики и принципы, управляющие поведением тел. Ничто во всей Вселенной, считали они, — ни духовное, ни материальное — не скрыто от них, ничто не таинственно, нет такого, что было бы невозможно изложить с помощью силлогизмов. А что по сравнению со всем этим богатством оставлял своим последователям Галилей? Закон падения тел, теорию колебаний маятника, эллипсы Кеплера? Можно ли удивляться тому, что разрушение накопленного богатства вызывало возмущение. Несколько истин, доказанных Галилеем, затмили тусклый свод средневековых представлений, подобно тому, как восходящее солнце своим сиянием затмевает бесчисленное множество звезд…. При противопоставлении желаемого действительному знания достаются с трудом. Даже слабое соприкосновение с реальным знанием выбивает почву из-под фантазии. Но знание приходит с большим трудом, нежели предполагал Галилей, и многое из того, что он считал правильным, оказалось лишь приближенно верным. Галилей сделал первый большой шаг к накоплению надежных и имеющих общий характер знаний. Поэтому его можно считать прародителем современной науки. Как бы мы ни относились к порождениям нашего времени — росту народонаселения, прогрессу медицины, поездам, машинам, радио, политике, рекламе мыла — все это идет от Галилея. Если бы инквизиция захватила Галилея, когда он был молодым, мы возможно и не были бы свидетелями, с одной стороны, атомного оружия и отравляющих газов, а с другой, — уменьшения бедности и болезней, которые характерны для нашего века»[72].

Главная ошибка и Галилея и церкви состояла в том, что схема Коперника рассматривалась не как гипотеза или часть «теории»; спор шел о том, истинна она или ложна.

«…было бы совершенно неверно утверждать, что церковь запретила Галилею продолжать научные эксперименты. Конфликт Галилея с церковью не имел ничего общего с его экспериментами. Он стал развиваться, если отвлечься от причин чисто личного порядка, со времени его отказа рассматривать по требованию церкви теорию Коперника как гипотезу, что в свете современной теории относительности представляется не столь уж неразумным требованием. О Галилее существует, вероятно, столько же мифов, сколько о любом святом»[73].

Сам Галилей, с его любовью к истине, мог более трезво относиться к теории Коперника как к гипотезе, хотя в механике он верил в абсолютно неподвижное пространство. Новое научное течение было враждебно встречено приверженцами классического учения, хотя их предшественники в эпоху Возрождения могли с радостью пойти ему навстречу. Церковь, занятая поддержанием своего духовного и политического могущества, его страшилась. (Еще при жизни Галилея Джордано Бруно был сожжен на костре за свои еретические взгляды, в частности за то, что пользовался астрономией Коперника. Согласно Бруно, если принять, что внешняя «сфера» звезд находится в покое, то звезды могут быть распределены в пространстве бесконечно далеко — мириады солнц, расположенных в небесах на сколь угодно больших расстояниях от Земли. Такое расширение границ нашей Вселенной было потрясающим новшеством для средневекового ума.)

Диалог был занесен в число запрещенных книг, и отречение Галилея читалось с амвона церквей и с кафедр университетов, «чтобы другим неповадно было». Новая протестантская церковь оказалась столь же нетерпимой. Выйдя из-под власти папы, ее руководители придавали еще больше значения буквальному толкованию Библии.

Мартин Лютер отзывался о Копернике, как о «глупце с вывернутой наизнанку астрономией». Не только в Италии, но и в других странах новая наука порицалась и строго запрещалась еще полстолетия.

Эта борьба отнюдь не исключение. Нечто подобное происходит почти в каждом веке. Противоречия между условиями жизни и сознанием людей, возможностями и верой приводят к борьбе между консервативными элементами, отнюдь не принадлежащими к одному и тому же слою общества, и передовыми кругами, причем причины не всегда одни и те же. В каждом веке, от Галилея до наших дней, эти битвы обычно кажутся столь серьезными, что быть на стороне борцов за новое или даже разделять их взгляды небезопасно… Спустя одно-два поколения обе стороны зачастую сожалеют о возникшей между ними вражде, однако сколь это ни печально, человечество извлекает из этого еще мало уроков.

Из поколения в поколение возникающие споры каждый раз кажутся столь же важными и серьезными, какими они представлялись и в те времена. Мы приводим ниже замечание, сделанное рукой Галилея на полях принадлежащего ему экземпляра «Диалога»:

«По поводу введения новшеств. Ну, кто может сомневаться в том, что новшества, стремящиеся сделать рабами чужой воли умы, созданные богом свободными, не могут не привести к сильнейшей смуте? Требовать, чтобы люди отказывались от собственных суждений и подчинялись суждениям других, и назначать лиц, совершенно невежественных в науке или искусстве, судьями над людьми учеными, наделяя их властью обращаться с последними по своему усмотрению, — это такие новшества, которые способны довести до гибели республику и разрушить государство».

Какой бы ни выглядела жизнь Галилея в описаниях историков, его труды лежат в основе физики и служат фундаментом для всех его последователей. Они служат основой знаний, на которой им уже в то время была построена механика.

Тысячелетие астрономии

В течение более чем ста веков от возникновения первых цивилизаций до Галилея астрономия прошла путь от наивных представлений, порожденных любопытством первобытного человека и его страхом перед природой, до хорошо организованной науки, готовой предоставить человечеству огромную лабораторию Вселенной для проведения исследований по механике, лежащей в основе всей физики. На протяжении многих столетий астрономией занимался лишь узкий круг составителей календарей и священников, и только изредка появлялся человек с пытливым умом, более наблюдательный, чем остальные, старающийся извлечь из запутанного клубка наблюдений суть нового закона. Пользуясь суеверием людей и их страхом перед непонятными явлениями природы, процветала астрология. Но подобно алхимии, которая много сделала для развития химии, развитию астрономии на ранних стадиях способствовала именно астрология. Затем стали появляться философы и ученые, стремящиеся к приобретению знаний ради самих знаний. Они старались извлечь из наблюдений довольно грубые рабочие схемы движения планет, Луны и Солнца. Они старались понять, чем обусловлены движения небесных светил, придумывая при этом причины, которые кажутся сейчас фантастичными и слишком сложными.

Много столетий астрономия, если не считать немногих способных наблюдателей, находилась как бы в спячке, тогда как цивилизация постепенно готовилась к новому пробуждению. В это мрачное время господствовало учение церкви и метод дедуктивных доказательств. Традиция заменяла эксперимент, предрассудки властвовали над наукой. И все же росла необходимость в науке — в в медицине, в навигации. Все чаще и чаще слышались настойчивые требовании: «Наблюдайте то, что происходит; прекратите споры о том, что должно произойти». Предрассудки отступали на задави план, оттесняемые экспериментальными наблюдениями и выводами, которые из них извлекались.

Эпоха Возрождения

В течение трех столетий, предшествовавших XVII веку, в Европе росли и распространялись идеи Возрождения — возникали новые взгляды в искусстве и литературе, возникали новые течения в религии. Крепкие тиски традиционной схоластики слабели, вековое невежество уступало место изучению греческих авторов в оригиналах; производство бумаги и рождение печати повсеместно способствовали распространению знаний, усиливался всеобщий интерес к науке; благодаря развитию навигации возникали новые рынки, новые богатства, новое отношение к окружающему, а также новые возможности интеллектуального развития; стали развиваться свободнее искусство и ремесла, помогая проявлению беспокойного и жаждущего знаний человеческого ума.

В эпоху Возрождения постепенно родилось представление о том, что человек свободен в своих поступках и не может быть рабом и хранителем традиций того круга, к которому он принадлежит. В эту эпоху люди с энтузиазмом стремились к приобретению знаний, а общие тенденции духовного развития подготовили почву для развития в XVII столетии науки: «…гуманисты… сыграли главную роль в том процессе расширения умственного горизонта, который и сделал возможным развитие науки. Если бы не они, люди с научным складом ума никогда не сбросили бы интеллектуальных оков предвзятых теологических мнений; без них внешние препятствия могли бы оказаться непреодолимыми»[74]

В эпоху Возрождения жил человек, ученый, опередивший свое время на одно или даже на два столетия, — Леонардо да Винчи. Он был гениален во всем, за что бы ни принимался, — в живописи, скульптуре, архитектуре, в технических изобретениях, физике, биологии, философии… — он считал наблюдение и эксперимент единственным правильным подходом к науке. «Он с презрением отвергал алхимию и астрологию… природа была для него не чем-то таинственным, а повседневным, предметом первой необходимости».

Он доверял логическим выводам арифметики и геометрии, так как они были основаны на концепциях универсальной истины; однако наука; по его мнению, должна быть основана на эксперименте.

Он говорил: «Бесполезны и полны ошибок те науки, которые не родились из эксперимента, матери всех фактов, и которые нельзя свести к одному ясному эксперименту». Его собственные исследования и опыты в области искусства, архитектуры, техники помогли приобрести обширные познания в различных областях науки: обнаружить свойства движения; сформулировать задолго до Галилея первый закон Ньютона в простой форме; изучить свойства потоков и давления жидкости, волн в воде и звуковых волн в воздухе; утвердить невозможность вечного движения. Он изучал также оптические явления, свойства глаза, законы перспективы. Имеются основания считать, что за 200 лет до Гюйгенса Леонардо да Винчи сконструировал маятниковые часы. Он считал, что окаменелости свидетельствуют о геологической истории Земли. Можно предположить, что именно он открыл систему кровообращения; он изучал анатомию человека и оставил целый ряд прекрасных рисунков, выполненных им при вскрытии трупов. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас рисунки и отрывочные заметки в записных книжках. «Если бы он опубликовал свои работы, наука могла бы сразу продвинуться далеко вперед и занять место которого она достигла лишь столетием позже»[75].

«Прогресс»

Возникло представление о прогрессе как некая новая точка зрения на развитие общества. Теперь мы считаем прогресс очевидной целью — прогресс в благосостоянии, образовании и т. п. — и могли бы счесть, что наши предки тоже всегда стремились к прогрессу. Однако в течение многих столетий люди старались следовать давно сложившимся традициям «золотого» века, и идея прогресса была им совершенно чужда. Передовые взгляды в эпоху Возрождения дали новый толчок развитию науки.

Семнадцатое столетие

Гелиоцентрическая система Коперника распространялась все быстрее и быстрее по мере того, как появлялись новые экспериментальные подтверждения, расширялась свобода слова и возможности преподавания. Тихо Браге и Кеплер проанализировали движение планет и вывели на основе этого анализа простые общие «законы». Галилей создал и развил механику; он спорил, учил и провозглашал свои идеи, стремясь утвердить науку, основанную на реальных фактах. Это был громадный прогресс от первоначальных, исполненных благоговейного страха. наблюдений за планетами и затмениями до телескопа Галилея и законов Кеплера. Для этого потребовалось десять тысяч лет, и если этот срок покажется вам слишком долгим, вспомните, что речь идет всего лишь о четырехстах человеческих поколениях. И разве так уж велик этот срок для того, чтобы от наивных суеверий перейти к фактам, определенным с математической строгостью? Многие считают такой прогресс быстрым. Однако за три или четыре поколения последующего столетия наука, основанная на множестве экспериментов, сделала значительно большие успехи.

В первые годы XVII века начался новый этап развития науки. Кеплер и Галилей вели свои исследования. Астрономия была уже готова предоставить человечеству для исследований по механике огромную лабораторию, причем такую, в которой отсутствовало трение. Проведение экспериментов стало модным занятием. К началу XVIII века полученные на основе наблюдений законы движения планет были использованы для проверки общих законов механики. Ньютон разработал новый метод научного исследования, в котором построенная наугад теория должна была давать большое разнообразие результатов по методу дедукции — методу, который был известен с давних времен, однако теперь результаты и выводы следовало проверять с помощью эксперимента. Дедуктивный метод, опасный и малонаучный при словесных доказательствах, занял теперь надлежащее место в науке, обеспечивая реальную связь между теорией и экспериментом. Изменения в политической, социальной и религиозной структуре западной цивилизации предоставили науке большие возможности. На протяжении всего лишь столетия наука расцвела и стала очень популярной; экспериментальные исследования и реалистические аргументы прочно вошли в жизнь.

В создании механики и разработке теоретических основ астрономии принимали участие многочисленные ученые. Одни изобретали новые или совершенствовали приборы, необходимые для физиков, хотя последние сами «ковали» необходимые инструменты, другие старались применить новый экспериментальный подход в новых областях науки. Благодаря все возрастающему обмену знаниями началось одновременное развитие многих наук. Ученые стяжали своей стране славу, и королевские милости им оказывались за это, а не из-за суеверий и страха перед неведомыми опасностями, как то бывало прежде. Кроме того, считалось, что ученые могут приносить пользу не только торговле и различного рода производствам, но и в период войн. Это был первый вклад ученых в промышленность[76], за что их деятельность в настоящее время так поощряется!

В это же время стали создаваться различные научные общества. Во Флоренции, а также в Париже были основаны Академии наук, в Лондоне — Королевское общество. Эти организации способствовали выходу науки из дебрей средневековья. Они оказывали поддержку экспериментальным исследованиям, поощряли дискуссии и обмен мнениями, но самым большим вкладом в развитие науки была публикация научных трудов. Ученым больше уже не приходилось ограничиваться личной перепиской для сообщения с своих научных открытиях. Теперь эти открытия проверялись на опыте, обсуждались, а затем публиковались в печати. С ними можно было ознакомиться и применить их на практике. Оживленная и широкая дискуссия способствовала, тому, что научные проблемы буквально «витали в воздухе»; наступила эпоха быстрого прогресса.

Основными вехами явились имена Коперника, Тихо Браго, Кеплера, Галилея и Ньютона. Но в создании науки XVII века велика заслуга и многих других ученых. Мы приводим здесь краткие сведения о некоторых из них; труды этих ученых были связаны с физикой и астрономией. Большие успехи были достигнуты также в развитии биологии и медицины (исследования системы кровообращения, механизма дыхания, исследования по эмбриологии…).

Уильям Гильберт (1540–1603). Врач, проводил опыты по магнетизму, написал на эту тему прекрасную книгу. Проводил также опыты по электростатике.

Фрэнсис Бэкон (1561–1626). Блестящий публицист, создавший систему исследования на основе эксперимента и индукции. Его система не была практична и не внесла значительного уклада в развитие науки. Бэкон отвергал работы Гильберта и Галилея и отрицал теорию Коперника. Однако он способствовал распространению представления о том, что природу нужно исследовать с помощью различного рода экспериментов, а не только описывать и обсуждать ее проявления.

Рене Декарт (1596–1650). Философ и математик. Родился во Франции в богатой семье; жизнь его протекала без особых забот, но свершил он много. Внес большой вклад в философию, математику, а также в анатомию. Исследуя оптические явления и движение тел, он был близок до некоторой степени к открытию законов Ньютона. Предложил остроумную теорию вихрей для объяснения гравитации, сил сцепления и движения планет. Самый большой вклад Декарта в науку — введение прямоугольной системы координат х и у, позволяющей получать алгебраические уравнения для кривых, касательных и т. д. Это открытие подготовило почву для создания дифференциального исчисления, которое позволило с помощью подобных графиков вычислять площади и строить касательные не путем измерений, а на основе решения уравнений. Такая система координат была названа в честь Декарта «декартовой» (или «картезианской»).

Отто фон Герике (1602–1686). Сконструировал действующую модель вакуумного насоса и применил ее для демонстрации существования атмосферного давления с помощью «магдебургских полушарий» — больших полых полусфер, которые нескольким упряжкам лошадей не удавалось растащить в разные стороны, если из шара, образуемого этими полусферами, предварительно был выкачан воздух.

Евангелиста Торричелли (1608–1647). Физик, создал первый барометр.

Блэз Паскаль (1623–1662). Богослов и ученый. Заложил основы теории вероятностей. Установил закон распределения давления в жидкости.

Роберт Бойль (1626–1691). Великий экспериментатор, изучавший физику вакуума, законы поведения идеальных газов, химию. Один из первых членов Королевского общества. Написал трактат «Химик-скептик».

Христиан Гюйгенс (1629–1695). Математик и физик, создатель волновой теории света. Сконструировал очень точные часы (вероятно, первую модель маятниковых часов) с корректирующим устройством, учитывающим незначительное увеличение периода маятника при большой амплитуде. Занимался исследованиями в области механики и еще до Ньютона вывел выражение v²/R для центростремительного ускорения.

Роберт Гук (1632–1702). Начал заниматься научной работой как ассистент Бойля, но вскоре достиг значительных успехов, и получил большую известность как экспериментатор и как теоретик. Его соперничество с Ньютоном приносило ему много огорчений; гениальные труды Ньютона затмевали его собственные и умаляли его достижения. Если бы не это соперничество, в котором победителем оставался гений Ньютона, Гука можно было бы считать одним из величайших ученых XVII века. Гук с горечью утверждал, что некоторые достижения Ньютона в области механики фактически открыты им, Гуком, еще раньше. Гук был одним из первых членов Лондонского Королевского общества.

Эдмунд Галлей (1656–1742). Астроном, друг Ньютона. Много сделал для того, чтобы помочь публикации «Принципов» Ньютона. Один из наиболее значительных членов Королевского общества.

Наука

В тот период наука развивалась по пяти основным направлениям: 1) по мере роста свободы слова росло и общее значение науки, основанной на эксперименте; 2) происходило накопление фактических знаний и теории, объясняющей полученные результаты; 3) развивались математические методы для решения тех или иных задач; 4) изобретались и конструировались новые приборы для проведения экспериментов и, наконец, 5) изменялись научные методы и отношение к науке.

1) Возросшее значение науки. На примере жизни Галилея мы уже видели, как возросло значение науки в ту эпоху. Отец Галилея считал математику да и науку вообще плохо оплачиваемым и малоуважаемым занятием, и все же Галилей, несмотря на бунтарский нрав, в конце жизни был уважаем как один из величайших людей в мире. Ньютону, Бойлю и Гуку не приходилось отстаивать свои научные позиции; они спорили лишь о своих открытиях, а не о праве на само открытие. Они писали свои труды, не страшась осуждения и не боясь показаться смешными, их заботили лишь приоритет и слава. Дискуссии и публикации трудов помогали науке становиться общенародной и универсальной. Так истинность науки начала воздействовать на человеческий разум.

2) Накопление знаний. Научные достижения XVII века значительны и многообразны: к ним следует отнести законы Кеплера, открытие кометы Галлея, закон Гука, открытие Гарвеем системы кровообращения, открытия Бойля в области химии и его закон для идеальных газов.

3) Достижения в области математики. Была изобретена декартова система координат. Графики связали алгебру с геометрией, с одной стороны, сводя геометрические формы и преобразования к сжатым алгебраическим выражениям, а с другой — позволяя наглядно представлять алгебраические уравнения.

На графике I фиг. 98 изображена проходящая через начало координат прямая линия, на которой нанесены точки (x₁, y₁), (x₂, y₂)…. Из подобия треугольников следует, что отношения y₁/x₁, y₂/x₂…. равны между собой, т. е. одинаковы для любой точки на прямой. Обозначим эту постоянную k. Тогда каждая точка на прямой будет представлена парой значений (например, x₁, y₁), удовлетворяющих соотношению у/х = k или у = kх. Это и есть алгебраическое описание графика, а прямая представляет собой геометрический образ данного соотношения. Если у и х — результаты физических измерений (например, s и t² для падающего тела), то прямая линия выражает соотношение y = (const)x, или у ~ х, а наклон прямой определяет постоянную.

Фиг. 98. Графики в декартовой системе координат.

График II иллюстрирует уравнение у = kх + с. В этом случае мы не можем сказать, что у ~ х, но можем сказать, что Δу ~ Δх.

На графике III изображена окружность, причем

для точки P₁

x²₁ + у²₁ = R²

для точки P₂

x²₂ + у²₂ = R²

таким образом, уравнение этой окружности имеет вид

x²+ у²= R²

Его можно переписать так:

x²/R² + y²/R² = 1

Эллипс можно получить равномерным растяжением окружности.

Нарисуйте окружность на листе резины и растяните этот лист (фиг. 99).

Фиг. 99. Растяжение окружности в эллипс.

Радиус R превратится в полуоси а и b. Окружность в соответствии о уравнением x²/R² + y²/R² = 1 и с площадью круга πR² = π∙R∙R превратится в эллипс, описываемый уравнением…?.. = 1 и площадью =?

Таким образом, с помощью декартовой геометрии эллиптические орбиты можно записать в виде алгебраических уравнений.

Возникли две серьезные математические проблемы, связанные с вычислениями: определение угла наклона касательных к кривым и площадей под кривыми с помощью математики, т. е. создание методов дифференцирования и интегрирования. Тангенс угла наклона касательной определяет скорость изменения функции. Вычисления сводятся просто к нахождению скорости изменения функции в некоторой точке. Это позволяет нам вычислять ускорения из выражения, описывающего изменение скорости, или скорости из выражения, связывающего расстояние и время. (Например: если s = 16t², то v = 32t; отсюда следует, что а = 32, т. е. постоянное значение.) Интегрирование — операция сложения бесконечно большого числа бесконечно малых величин: нахождение площади путем сложения элементов исчезающе малых размеров (как и в случае второго закона Кеплера) или нахождение силы притяжения между телами конечных размеров путем суммирования сил притяжения бесконечно малых элементов объема этих тел.

Вы уже пользовались графиками и вычислениями ранее, при решении задачи о колесе, катящемся вниз с холма.

1. ЭКСПЕРИМЕНТ —> ГРАФИК. Вы наносите на график зависимость s от t². Точки изображают события. Проведенная через эти точки прямая представляет собой совокупность фактов.

2. РАЗМЫШЛЕНИЯ —> ТЕОРИЯ. Предположите, что ускорение постоянно, рассматривая это как возможный простой закон природы. Вычислите необходимое соотношение между s и t. При интегрировании будут складываться все маленькие расстояния, проходимые с возрастающей скоростью; при этом получится, что при постоянном ускорении s должно меняться пропорционально t².

3. ПРОВЕРКА. Проведите через начало координат прямую, представляющую теоретическое соотношение s ~ t². Если ваши точки лежат близко к этой прямой, то это значит, что движение колеса происходит с ускорением, близким к постоянному. Прямая линия на вашем графике «пробная»; проводя ее, вы отвечаете на вопрос, «имеет ли место движение с постоянным ускорением». Проведя на вашем графике наиболее подходящую к экспериментальным точкам кривую, вы подтвердите вашу гипотезу — и получите таким образом закон, справедливый в данном случае.

4) Развитие приборостроения. Новые приборы, как и новые математические методы, могут способствовать быстрому развитию науки. Семнадцатый век был веком многочисленных изобретений в области приборостроения: телескоп, микроскоп, вакуумный насос, барометр, маятниковые часы, первые термометры — все эти приборы содействовали необычайным успехам экспериментальной физики и науки в целом.

5) Отношение к науке и новые методы. От древних греков до Галилея наука создавалась теми, кто собирал, наблюдал, составлял и размышлял[77]. Собиратели накапливали знания, которые были столь бессистемны, что их вряд ли можно было назвать наукой. Те, кто составлял схемы, систематизировали эти знания и извлекали из них правила, которые служили практическим целям, ибо позволяли зачастую суммировать факты и даже делать предсказания. Эти правила вместе с накопленными знаниями и методами для приобретения новых знаний и положили начало новой науке. Тем временем мыслители были заняты объяснениями, т. е. утверждениями, которые позволяли бы связать полученные знания между собой и обеспечить их лучшее «понимание» и восприятие. Многие объяснения или доводы рождались только на основе размышлений, почти вне связи с опытом.

Например, эпициклы объяснялись «идеальностью кругов», а принцип действия барометра — «невидимыми нитями, которые тянут ртуть вверх». Некоторые объяснения были не более чем простой констатацией фактов, вроде авторитетного заявления, что природа «устроена именно так»; например, поведение падающих тел объяснялось тем, что они стремятся занять «естественно наиболее низкое место на земле».

Человек должен был получить уверенность в том, что внешний мир устроен просто, в противном случае его одолевал бы страх перед неизвестным и он запутывался бы во все больших суевериях. По мере установления общих законов — схемы эпициклов, закона Гука, законов Кеплера — возрастало чувство надежности, и прежняя вера в то, что природа подчиняется определенным законам и устроена разумно, приобретала научную основу. Древние греки выводили свои объяснения и схемы явлений природы из нескольких общих идей, которые они просто принимали на веру. Например, из «совершенства кругов» они выводили эпициклы.

В течение XVII столетия дедуктивный метод рассуждений попал в немилость; в самом деле, он фактически навязывался известными авторитетами, но не имел научной основы. В середине этого столетия эксперимент стали считать реальным источником данных и проверки научных знаний. Люди занялись созданием правил или законов на основе экспериментов с помощью индуктивного метода. При этом они тоже считали, что природа проста и неизменна, т. е. что при тех же самых условиях будут снова и снова наблюдаться те же явления. Они все еще считали, что явления природы обусловлены некими причинами, однако смысл и значение этих причин оставались по-прежнему неясными.

Хотя индуктивный метод был честным методом, позволяющим выводить правильные законы, ему недоставало умения связывать явления воедино, и с его помощью нельзя было достичь того удовлетворения, которое дает настоящая теория. Ньютон, одаренный огромной интуицией, сначала рассматривал эксперимент, затем переходил к теории, а уж потом с помощью дедуктивного метода на основе этой теории предсказывал результаты, которые можно было впоследствии проверить. Таким образом, теория снова заняла свое место в науке, но уже на более надежном фундаменте. Она опять стала играть важную роль, как, например, теория всемирного тяготения, но уже не как хозяин науки, а скорее как ее слуга.

Еще позже, в прошлом веке, теория стала все более и более зависеть от того, насколько она продуктивна. Ученые спрашивали: «Может ли эта теория делать предсказания?» Если нет, ее отбрасывали или видоизменяли. Теперь такое обращение с теорией кажется нам слишком поспешным. Ее польза может заключаться не только в способности правильно предсказывать те или иные факты, но и в той схеме рассуждений, которую она нам предлагает.

Новая философия Декарта

Точка зрения ученых на науку менялась в соответствии с духом времени. Во Франции Рене Декарт предложил новую философию, которая длительное время оказывала сильное влияние на научное мышление. Одновременно с этим Декарт предложил новую модель Вселенной, и эта модель пользовалась популярностью в течение целого столетия. Убедившись в ошибочности классической философии, Декарт стал рассматривать мир в соответствии со своими собственными мыслями и чувствами, ставя под сомнение каждый свой вывод и проверяя его. На основе своих рассуждений он пришел к дуализму — представлению о двух различных мирах, существующих совместно и одинаково реальных: мир материи, обладающий размерами, формой и движением, и мир души и ума. Подобно тому как двое часов, находящихся рядом, могут показывать одинаковое время, так и эти два мира, совершенно отдельные, находятся в согласии, потому что «бог создал их таким образом».

В этой схеме материя — это нечто совершенно мертвое, неодухотворенное, способное лишь обмениваться движением с другой материей при соприкосновении. Движение материи первоначально должно было начаться по велению бога. Таким образом, согласно Декарту, бог уже не постоянно присутствующая сила, управляющая миром, а первопричина, которая привела Вселенную в движение, установив законы этого движения и предоставив ее затем самой себе. С тех пор движение может лишь передаваться от одной части материи к другой также с помощью материи. Поэтому пространства в Солнечной системе не могут быть пустыми. Они должны быть заполнены невидимым веществом, «эфиром» — носителем этого движения. Поскольку движущаяся область эфира не может простираться неограниченно, она должна образовывать замкнутые цепи, водовороты или вихри.

Таким образом, все пространство заполнено вихрями «эфира», большими и малыми, переплетающимися и обусловливающими движение видимых тел. Планеты движутся по своим орбитам под действием огромного вихря, принадлежащего Солнцу. Земля, вовлекаемая в этот вихрь вместе с другими планетами, имеет свой собственный меньший вихрь, который притягивает к ней предметы. Падение под действием силы тяжести подобно движению соломинки на поверхности воды, которая стремится попасть в центр водоворота. В меньшем масштабе эта картина объясняет силы притяжения между малыми частицами материи.

Такая схема одних водоворотов внутри других кажется нам теперь фантастичной; однако в те времена она имела хождение, ибо объясняла Вселенную в виде огромной машины, запущенной самим богом и продолжающей затем вертеться в соответствии с законами механики. Действительно, декартова картина Вселенной без пустоты, работающей подобно огромной машине, явилась серьезным препятствием, с которым пришлось считаться Ньютону, опубликовавшему свою теорию всемирного тяготения, Ньютон допускал существование вакуума и не объяснял происхождения сил тяготения и их первопричины. Теория Декарта, казалось бы, объясняла многое, но не имела сколько-нибудь солидных оснований — вихри невозможно было обнаружить, о них можно было лишь судить по тем движениям, существование которых они должны были объяснять. Ньютон занялся критикой вихрей с математической точки зрения. Показав, что они противоречат третьему закону Кеплера, и возражая против этой теории, он заявлял: «Я не измышляю гипотез».

Итак, Декарт разрешил сомнения, придя к выводу, что, создав Вселенную, бог позаботился и о действующих в ней законах. Декарт считал, что законы природы должны быть непогрешимы, ибо, создавая их, бог не мог совершить ошибки. Такая точка зрения на законы природы оказала сильное влияние на последующее поколение ученых — Ньютон и его современники считали, что они ищут великие законы, установленные богом, но еще не открытые.

Если вам покажется странной такая точка зрения трезво мыслящих ученых, то задумайтесь над тем, что те же самые проблемы существуют и сейчас на границе естественных наук и философии: какова природа пространства (носителя электромагнитного и гравитационного полей, описываемого релятивистской геометрией)? Что означают законы природы? С какого момента следует вести отсчет времени? Будет ли время продолжаться бесконечно?

Фрэнсис Бэкон

В то время как Декарт пытался объяснить происхождение Вселенной и ее законы на основе опирающейся на математику дедуктивной теории, в Англии Фрэнсис Бэкон пропагандировал индуктивный метод, основанный на систематических экспериментах. Он хотел достигнуть универсальных знаний с помощью организованной системы исследований, позволяющей собрать большое количество данных, на основе которых можно было бы приобрести необходимую информацию. Он считал, что наука не может идти вперед с помощью чистой дедукции и умозрительных рассуждений и не может быстро развиваться на основе случайно полученных данных. Ученые должны тщательно продумывать свои эксперименты и обрабатывать их, прибегая к индукции и строгой проверке.

Таким образом, Бэкон понимал разницу между «хорошим экспериментом» и «возней с тем или иным прибором». Если вы с удовольствием занимаетесь своей работой в лаборатории, то поймете его точку зрения, хотя, может быть, и не так-то легко сформулировать этот критерий научных исследований.

При исследовании движения колеса, скатывающегося с холма, вы следовали методу Галилея и Ньютона: собирали информацию, извлекали правила, придумывали гипотезу, делали выводы, проверяли эти выводы (строили на графике прямую) и т. д.

Фрэнсис Бэкон считал, что в науке нужны именно такие схемы; однако если вам доведется наблюдать за работой ученых, то вы убедитесь, что методы исследования бывают самые разнообразные.

Развитие физической науки нельзя уподобить шахматной игре с ее поочередными ходами; оно значительно сложнее и многообразнее. Нельзя также считать, что прогресс происходит лишь скачкообразно. Первая стадия размышлений и экспериментов может даже привести назад, к исходной точке — «вот из чего мы исходили», но при этом мы обогащаемся знаниями, которые оказываются полезными на следующей стадии (как при вторичном просмотре одного и того же фильма). По этому поводу говорят, что «наука сама себя вытаскивает за волосы»

Бэкон очень красноречиво доказывал необходимость создания организации профессиональных экспериментаторов и теоретиков. Но грандиозная схема была слишком искусственной, чтобы иметь успех; к тому же она преследовала скорее практические цели и не позволяла получить исчерпывающее понимание явлений природы. (В известной мере это похоже на неуместное рвение, которое и в наше время проявляет человек, не обладающий высокой научной квалификацией, но назначенный на пост директора большой научно-исследовательской лаборатории.) Предложения Бэкона оставались лишь бумажными схемами, но тем не менее они оказали большое влияние на членов Королевского общества, в частности на Бойля. Примерно к середине столетия «…под влиянием Бэкона искусство уступило место науке…»[78]. В настоящее время, спустя два столетия, мы видим, что в более глубоком смысле науку тоже можно считать искусством.

Развитие теории; необходимость современной науки

Семнадцатый век был бурным веком для астрономии, как, впрочем, и для других областей науки. Начало этого века ознаменовалось накоплением фактов и законов, которые требовали объяснения. Назрела необходимость в общей теории, которая могла бы объяснить и объединить целый ряд явлений. К концу столетия запас знаний и вызываемый ими интерес возросли и расширились, однако самым важным событием явилась созданная и опубликованная Ньютоном теоретическая схема, давшая единое «объяснение» и обещавшая еще больше в будущем.

Если вы хотите постичь современную физику, вы должны изучить лежащую в ее основе теорию. Вы должны почувствовать, какая теория «правильна». Едва ли вы узнаете об этом из поучений и рассуждений относительно теории. Надо просто изучить ее на каком-либо примере. В последующих четырех главах мы опишем и обсудим теорию всемирного тяготения Ньютона.

Орбитальное движение

Что заставляет планеты двигаться по орбитам Кеплера? Почему они находятся в постоянном движении и почему их орбиты представляют собой эллипсы? Эти вопросы вытекают естественным образом из открытий Кеплера, согласно идущей еще от философов Греции древней традиции задавать вопрос почему. Астрономы измерили и зарегистрировали то, как планеты ведут себя, т. е. их видимые движения. Коперник и Кеплер показали, каким образом движение планет может быть описано простой схемой, но на все эти «почему» они отвечали лишь в духе своего времени. Коперник допускал существование вращающихся сфер, считая, однако, что их движение должно быть проще, чем это следовало из системы Птолемея; Кеплер представлял себе некие рычаги, осуществляющие воздействие Солнца на планеты и толкающих их вдоль направления их движения; он говорил о мистическом магнетизме, придающем форму орбитам. Его рычаги были реальны только в одном смысле: они были необходимы для выражения его второго закона и дошли до нас в образе геометрических линий, прочерчивающих площади.

Задача 1. Вычитание векторов

При изучении движения планет нам будет необходимо производить вычитание векторов. Эта задача дается вам для практики.

1. Обычное (арифметическое) вычитание. Предположим, что мы хотим из 5 вычесть 2. Это можно сделать различными способами:

а) можно сказать; 2, вычтенное из 5, дает 3, или то же самое, но другими словами: 5–2 равно 3;

б) можно изменить знак с + 2 на —2 и задать дополнительный вопрос: сколько будет 5 + (—2)?;

в) можно подойти к задаче по-детски и спросить: сколько мы должны добавить к 2, чтобы получилось 5?

Последний прием дает ключ к вычитанию векторов (или нахождению разности двух векторов).

2. Векторы. Предположим, что мы имеем «старый» и «новый» векторы и хотим найти их разность. Мы опрашиваем. «.Какой вектор нужно добавить к «старому», чтобы получить новый» вектор?» [Эта задача подобна вопросу пункта (в), однако теперь требуется выполнить геометрическое сложение.]

а) Если оба вектора, старый вектор 2 и новый вектор 5, направлены на восток, то какова будет их разность? Какой вектор нужно добавить к вектору 2, чтобы получился вектор 5? Изобразите это:

б) Если векторы (старый вектор А и новый вектор В) направлены в разные стороны так, как это показано на схеме

то что же тогда будет их разностью? «Что должно быть добавлено к вектору А, чтобы получился вектор В?» Покажите это стрелками для каждого случая. В каждом случае мы должны вычесть А из В.

в) Если векторы не приложены к одной и той же точке, вы должны сначала перенести один из векторов или оба в общую точку. После этого найдите, вновь пользуясь стрелками, разность В — А для каждого случая, изображенного здесь.

Кеплеровы жесткие «рычаги», предназначенные для осуществления движения планет, вскоре оказались ненужны: новое учение Галилея представило всю проблему в другом свете. По мнению Галилея, движущееся тело, предоставленное самому себе, будет продолжать двигаться; он предложил остроумный мысленный эксперимент для обоснования такого взгляда. Поколением позже Ньютон выразил то же самое посредством некоторого рабочего правила, а именно своего первого закона:

Каждое тело остается, в состоянии покоя или прямолинейного движения с постоянной скоростью, если на него не действует сила.

Позже Ньютон более четко представил эту расплывчатую идею о движении с помощью определенного количества движения, которое можно рассчитать путем умножения массы на скорость, и сформулировал второй закон:

Действующая сила изменяет количество движения в направлении своего действия.

СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНА ДЕЙСТВУЮЩЕЙ СИЛЕ.

Это было эквивалентно следующему утверждению:

Произведение массы на ускорение пропорционально результирующей силе.

В период между Галилеем и Ньютоном эти новые представления о движении (к которым на ощупь шли философы далекого прошлого и которые были частично установлены Леонардо да Винчи много раньше Галилея и Декартом после него) зрели для того, чтобы сыграть свою роль в астрономии. Члены только что созданного Королевского общества, которые вскоре приветствовали пришедшего в их ряды Ньютона, горячо обсуждали законы Кеплера, задавая совершенно другие вопросы почему. Они больше не беспокоились о внешнем воздействии, направляющем планеты вдоль их траекторий. Галилей убедил их, что нет никакой необходимости в подталкивающей силе; планеты будут продолжать двигаться сами по себе, если их оставить в покое, подобно куску льда на поверхности замерзшего пруда или пуле в пространстве.

Ученые отбросили представление о кеплеровых рычагах. Вместо них были введены внутренние силы, заставляющие планеты двигаться по искривленным орбитам. Такие силы создают усилие «поперек движения» планеты и будут сообщать ей импульс в новом направлении. Что это за силы? Новый вопрос повис в воздухе.

Гук, Гюйгенс и Ньютон взялись за его решение.

Считая орбиты планет примерно круговыми и опираясь на третий закон Кеплера, они предположили, что между Солнцем и планетами существует взаимное притяжение, которое уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (см. следующую главу). Но может ли эта сомнительная и совершенно непонятная сила заставить планеты следовать по эллиптическим орбитам в соответствии с первым и вторым законами Кеплера?

Разобраться в этом было непосильной задачей для всех, кроме Ньютона.

Задача потребовала ясной формулировки законов движения и искусного математического аппарата. Ньютон не только решил эту задачу, но и превратил это решение в основу хорошей теории.

Прежде чем изучать его работы, следует распространить обсуждение вопроса о силе и движении на случай новых сил, искривляющих траекторию движущихся тел. Вы уже встречались с аналогичной ситуацией при рассмотрении полета снарядов, когда вследствие силы тяжести к горизонтальному движению добавляется вертикальная составляющая и в результате траектория становится криволинейной. Это ускоренное движение кажется более легким для понимания. Осмелимся сказать: «кажется более естественным», нежели равномерное движение по круговой орбите с постоянной скоростью.

Фиг. 100.

Ускорение тела, движущегося по окружности

Рассмотрим планету, движущуюся по окружности (камень на веревке, или самолет, или атом, фиг. 101). Будут ли они иметь ускорение? Если нет, то нам трудно будет отыскать действующую на них результирующую силу, но тогда почему они не движутся вперед по прямой? Так все же не имеет ли планета ускорения' Конечно, ускорение вдоль направления ее движения отсутствует, ведь мы выбрали случай движения с постоянной скоростью. Может быть, имеется ускорение, направленное поперек движения планеты, перпендикулярно ему?

Попытаемся нарисовать векторы, с помощью которых можно было бы рассмотреть изменение (вектора) скорости. Пусть тело Р перемещается по окружности радиусом R с постоянной скоростью v, представляющей абсолютную величину вектора скорости тела Р. Направление скорости совпадает с направлением перемещения тела в каждый момент времени. В точке А вектор скорости тела v направлен, как это показано на фиг. 102, по касательной. Если тело движется с постоянной скоростью, то в точках А и В величина вектора скорости v будет одной и той же, но направление будет различным, оба вектора не идентичны. Между точками А и В происходит изменение скорости. (А вследствие этого и ускорение, а поэтому… продолжая эти рассуждения, мы доберемся до планетной астрономии.) Для определения «ускорения» рассчитаем изменение скорости и поделим его на соответствующий интервал времени. Такая процедура предусматривает вычитание векторов для нахождения изменения скорости, что уже было сделано в задаче 1 в начале этой главы.

Фиг. 102. Векторы скорости.

Вывод формулы а = v²/R.

По мере движения тело Р изменяет свою скорость от (v вдоль АТ) до (v вдоль BT'). Для определения изменения скорости построим векторную диаграмму. Перенесем эти два вектора в общую точку X и проведем линию XY, представляющую вектор скорости v в точке А, и линию XZ, представляющую вектор скорости v в точке В.

Тогда XY будет «старая скорость», a XZ — «новая скорость». Каково же изменение скорости? Какой вектор следует добавить к старому вектору скорости для получения нового вектора скорости?

Такое изменение показано с помощью отрезка YZ, представляющего собой вектор и обозначенного Δv на фиг. 103.

Фиг. 103. Изменение скорости.

_{Скорости направлены по касательным, перпендикулярным радиусам, поэтому треугольник ОАВ подобен угольнику XYZ векторной диаграммы}

Тогда (Старый вектор v) + Δv путем сложения векторов дает (Новый вектор v).

Чтобы увидеть, куда направлен вектор Δv, изобразим заново первоначальный рисунок, но таким образом, чтобы векторы v сместились вдоль своих направлений до совмещения их точек приложения в точке С (фиг. 104).

Фиг. 104. Направление изменения скорости.

Тогда мы можем рассматривать точку С в качестве X, провести из этой точки старый вектор v и новый вектор v и провести также вектор Δv. Вектор Δv параллелен линии СО, проведенной из точки С в центр круга О. Если поместить точку В очень близко к А, то Δv будет направлен по радиусу от АВ к центру. Вектор Δv — это вектор скорости, направленный к центру круга.

Ускорение возникает только при изменении скорости[79]. Рассчитаем это ускорение путем деления величины изменения скорости Δv на интервал времени Δt, за который это изменение происходит. Время Δt равно времени прохождения телом Р расстояния по орбите между точками А и В со скоростью v. Фактически скорость v есть дуга . Для выражения Δv/Δt через v и R и т. д. мы вынуждены обратиться к геометрии, открытой современниками Ньютона. Соединим А и В хордой А‾В‾. Вся хитрость состоит (как это часто делается для решения геометрических задач) в добавлении одной вспомогательной линии, в данном случае хорды А‾В‾.

Рассмотрим теперь подобные треугольники на реальном рисунке и векторной диаграмме скоростей (фиг. 103). Радиусы ОА и ОВ на реальном рисунке образуют небольшой угол Е. Векторы скорости направлены по касательным перпендикулярно радиусам так, что вектор старой скорости v и вектор новой скорости v образуют тот же маленький угол Е[80]. Тогда на реальной картинке мы имеем треугольник ОАВ с равными сторонами R и R, образующими угол Е; на векторной диаграмме имеется треугольник XYZ с равными сторонами v и v, образующими тот же угол Е. Поэтому треугольники ОАВ и XYZ подобны. Значит, должно иметь место следующее соотношение:

(Короткая сторона, Δv / Одна из равных сторон, v) = (Короткая сторона, АВ / Одна из равных сторон, R)

в некотором треугольнике Δv/v = A‾B‾/R… в реальном треугольнике Δv = v∙A‾B‾/R

Теперь мы можем рассчитать «ускорение»:

УСКОРЕНИЕ = Δv/Δt = (v∙A‾B‾/R)/Δt = (v/R)∙(A‾B‾/Δt)

Для дальнейшего нам необходимо установить, что такое A‾B‾/Δt.

Что представляет собой [(хорда A‾B‾), деленная на (время движения от А до B)]? Мы знаем, что такое дуга . Это отношение (расстояние)/(время) на участке орбиты от А до B, т. е. скорость v. Но для очень короткой дуги, когда В близко к А, криволинейная дуга  очень близка к хорде A‾B‾.

Посмотрите на серию картинок, показанных на фиг. 105.

По мере сближения А и В дуга и хорда A‾B‾ становятся все меньше, в то же время уменьшается и различие между ними[81]. Говоря математическим языком, мы приближаемся к «пределу», когда В совпадает с А. Мы никогда не достигаем этого предела, но мы можем к нему приблизиться настолько, насколько захотим, и сделать различие между дугой и хордой настолько малым, насколько захотим.

Однако мы не только можем сделать разность  — A‾B‾ пренебрежимо малой — мы можем сделать пренебрежимо малым отношение (разность/хорда) или ( — A‾B‾)/A‾B‾. Это приводит к тому, что /A‾B‾ становится очень близким к единице. Таким образом, мы можем сказать, что при большом расстоянии между А и В дуга немного больше хорды, при малом расстоянии дуга примерно равна хорде, а при еще меньшем расстоянии дуга почти равна хорде. При сколь угодно малом расстоянии в пределе дуга равна хорде. Математики предпочитают описывать этот предел так: LIm(дуга/хорда) = 1. Теперь мы хотим определить ускорение в некоторый момент времени, когда В и А практически совпадают. Мы не собираемся определять значение этой величины, усредненное по большому расстоянию. Мы хотим знать предел ускорения, когда В совпадает с А. Таким образом, мы говорим: дуга = хорда,  — A‾B‾. Тогда

Дуга/Δt = Хорда/Δt, или /Δt = A‾B‾/Δt в пределе.

Следовательно,

Ускорение = Δv/Δt = (v/R)∙A‾B‾/Δt = (v/R)∙(v), в пределе (v/R)∙/Δt

так как /Δt есть v. Тогда ускорение Δv/Δt = (v/R)∙(v) или v²/R

или (Скорость на орбите)²/(Радиус орбиты)

Это соотношение ускорение — v²/R очень важно. Мы будем использовать его в теории движения планет, при изучении движения электронов, при изготовлении масс-спектрографов и конструировании циклотронов — везде, где мы сталкиваемся с движением по орбите. Было бы очень важно повторить для себя вывод этого соотношения и поверить в его значение. Поняв, как это делается, вы можете сократить вывод, ограничившись коротким объяснением, двумя эскизами и несколькими алгебраическими выражениями.

Два важных вопроса

Полученный нами результат, ускорение = v²/R, вызывает два вопроса:

1. Каким образом может движущееся тело иметь ускорение, но не двигаться быстрее или же не перемещаться к центру круга?

2. Не нужна ли сила для ускорения тела в направлении его движения в соответствии с соотношением F = M∙a. He действует t ли на массу М, движущуюся по окружности, сила М∙v²/R.

Оба эти вопроса являются выражением тех, реальных трудностей, которые возникли сразу же, как только люди оказались перед необходимостью объяснить движение планет по орбитам. Ответ на вопрос 2 следует из эксперимента: «Да, каждое реальное движение по окружности требует наличия реальной силы, направленной внутрь, a М∙v²/R есть величина этой силы». Чтобы тело могло двигаться по окружности, на него должна действовать сила, направленная к центру. Такая сила может осуществляться с помощью какого-либо реального внешнего воздействия — веревки, пружины или силы тяготения[82].

Пример А

Вращайте камень, привязанный к веревке (фиг. 107). Вы тянете за веревку, а веревка тянет камень к центру. Веревка буксирует камень и сообщает ему некоторое количество движения в новом направлении.

Представим себе, что веревка делает серию слабых рывков; рывок — и скорость изменила свое направление, еще рывок — снова изменение, еще, еще и так вдоль всей окружности. Если вы отпустите веревку, рывки прекратятся, прекратится и изменение скорости, а камень будет продолжать двигаться по касательной. (Сказать, что «камень улетает по касательной» — значит ввести в заблуждение).

Вращение камня на веревке по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, под действием пружины или веса обеспечивает наличие внутренней силы, которую можно измерить. Ниже описаны 3 опыта. Любой из них можно использовать для проверки справедливости соотношения F = M∙v²/R.

Фиг. 107. Вращение камня на веревке.

Опыт 1. Металлический шар, связанный шнуром со стальной пружиной, равномерно вращается по кругу (фиг. 108).

Пружина растягивается до некоторых пор, а затем длина R шнура + пружины остается постоянной во время вращения. Движение хронометрируется и затем рассчитывается величина силы М∙v²/R, направленной внутрь. Эта сила, фактически действующая со стороны пружины, определяется в отдельном эксперименте путем навешивания нагрузки на пружину.

Чтобы увидеть, насколько растянулась пружина при вращении, необходимо некоторое устройство.

Опыт 2. Металлический шар, привязанный к шнуру, равномерно вращается по кругу (фиг. 109).

Шнур спускается вниз в стеклянной трубке с гладкими открытыми концами и оттягивается с помощью груза W. Двигая трубку по маленькому кругу, экспериментатор поддерживает движение шара по горизонтальному кругу. Движение хронометрируется, и определяется значение силы М∙v²/R, направленной внутрь. Эта сила, фактически действующая на шар со стороны шнура, является силой натяжения и практически равна (за вычетом незначительного трения) весу груза W.

Опыт 3. В этом варианте опыта 2, когда трения нет, шар заменен тяжелым блоком, расположенным на куске сухого льда, скользящем по алюминиевому столу (фиг. 110). Шнур пропущен через отверстие в центре стола, а стеклянная трубка заменена маленьким блоком, который поворачивается в этом отверстии на очень хороших подшипниках.

Пример Б

Проследите за движением «конического маятника» (фиг. 111). Гиря маятника, движущаяся по окружности в горизонтальной плоскости, подвергается воздействию двух реальных сил — веса и натяжения веревки. Если вы измерите эти силы и сложите их как векторы, вы можете найти результирующую горизонтальную силу, направленную внутрь к центру орбиты гири. Измерив параметры орбиты и время одного оборота, вы можете проверить соотношение а = v²/R

Пример В

Шарик катится внутри воронка

по эллиптической орбите (фиг. 112, а).

Пример Г

Стальной шар катится по горизонтально расположенной стеклянной пластине в магнитном поле (фиг. 112, б). На практике обычно используется электромагнит, который располагается под столом. (Магнитное поле намагничивает шар так, что он притягивается к полюсу магнита. Получая подходящее ускорение, этот шар будет кататься вокруг полюса магнита.)

Фиг. 112. Примеры кругового движения с центростремительной силой.

_{а — стальной шар в стеклянной воронке; б — стальной шар на гладком столе в поле магнита.}

Пример Д

Движение Луны и планет.

Задача 2

Предположим, что тело, движущееся по окружности, должно увлекаться к центру реальной силой (вызванной действием такого реального агента, как веревка, пружина, дорога). Для каждого из перечисленных ниже случаев назовите воздействие, которое обеспечивает появление необходимой силы. (Первый ответ приводится в качестве образца.)

1. Камень, вращающийся на веревке «горизонтальной плоскости. (Ответ: «Натяжение веревки» или «Его тянет веревка».)

2. а) Тележка на крутом повороте.

б) Тележка, в точке А совершающая мертвую петлю (фиг. 113).

в) Тележка, в точке В совершающая мертвую петлю (фиг. 113).

Фиг. 13. К задаче 2.

3. а) Велосипедист делает крутой поворот на ровном участке дороги (фиг. 114).

б) Велосипедист делает крутой поворот на наклонном участке пути (фиг. 114).

4. Самолет в вираже.

5. Отрицательно заряженный электрон, движущийся в атоме вокруг положительно заряженного ядра.

Фиг. 114. К задаче 2.

Ускорение, без изменения скорости

На заданный ранее вопрос 2 дает ответ эксперимент: движение по окружности требует направленной внутрь силы величиной Mv²/R. А теперь снова вернемся к вопросу: почему тело с ускорением, направленным к центру круга, не движется быстрее и не перемещается ближе к центру? Это все еще остается непонятным, хотя теперь начинает казаться, что дело тут скорее в формулировке, нежели в физической сущности явления. Факты очевидны: движение по окружности существует, и для его поддержания необходимы силы, направленные внутрь. Под действием этих сил происходит изменение количества движения, в результате чего траектория тела искривляется, изменяя направление скорости, но не меняя ее величины. Если мы хотим включить такие изменения скорости в определение ускорения a = Δv/Δt, to следует считать, что при движении по окружности ускорение действительно имеет место. Если же мы ограничимся прежним определением «ускорения» — «движущийся все быстрее и быстрее», тогда равномерное движение по кругу может и не сопровождаться «ускорением». Если мы станем на такую точку зрения, то должны будем ввести новую категорию сил в дополнение к тем, которые определяются соотношением

«СТАРАЯ» СИЛА = МАССА∙СКОРОСТЬ ВСЕ УБЫСТРЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ.

Для новых сил верно другое соотношение:

«НОВАЯ» СИЛА = МАССА∙(СКОРОСТЬ)²/РАДИУС

Как следует из эксперимента, эти новые силы могут быть реальными силами, которые должны обеспечить движение тела по окружности. Однако во избежание хлопот мы не станем вводить такого ограничения, а будем применять термин «ускорение» для всех видов Δv/Δt, ибо из опыта[83] следует, что во всех случаях соотношение F = M∙a характеризует результирующую силу. Исходя из этого мы должны произвести две серии проверок соотношения F = M∙a; одна из них связана с рассмотрением прямолинейного движения, а другая — с телами, движущимися по окружности.

Двигаясь по окружности, тело устремляется внутрь к центру, в противном случае оно продолжало бы двигаться по касательной; уходя немного по касательной, тело притягивается к центру, и так оно движется, непрерывно стремясь внутрь, но не попадая в центр. Если такая ситуация вам кажется парадоксальной, то понаблюдайте за конькобежцем, выписывающим небольшие круги на льду, — он все время как бы падает, наклонившись вперед (фиг. 115).

На вопрос 1 следует ответить так: ускорение перпендикулярно направлению движения и поэтому не увеличивает скорости в этом направлении. Добавляясь к нулевой скорости, это ускорение увлекает тело по орбите постоянного радиуса.

Центростремительная или центробежная сила?

Сила, которая тянет тело к центру орбиты, изменяя лишь направление скорости, называется центростремительной. В противоположность этому сила, которая приводит к тому, что тело удаляется от центра, называется центробежной. Вы часто слышите эти названия, но, к сожалению, этот термин вводит в заблуждение, когда его применяют к движущимся телам. Конечно, существует направленная наружу центробежная сила, действующая на «партнера», расположенного в центре, например на человека, который держит веревку с вращающимся на ней камнем. Такой подход вносит путаницу в определение силы, действующей на движущееся тело. Поэтому термина «центробежная сила» лучше избегать. Однако, поскольку он широко распространен, особенно среди инженеров, мы должны будем вернуться к нему позднее и вкратце обсудить его значение.

Центростремительная сила. Mv²/R

Если масса М движется по окружности с радиусом R с постоянной скоростью v, то должно существовать реальное воздействие, обеспечивающее необходимую силу, равную Mv²/R (фиг. 116, а). Если результирующая реальных сил, действующих на М, больше Mv²/R, то скорость тела будет увеличиваться в направлении к центру и оно будет двигаться по свертывающейся спирали. Если действующие силы слишком малы, то траектория будет представлять собой раскручивающуюся спираль (фиг. 116, б). Существует много механических систем, в которых, как показано в приводимых ниже примерах, эта сила соответствует необходимой величине. Теперь мы подробно рассмотрим некоторые примеры движения по окружности — от камня на веревке до современной центрифуги.

Фиг. 216. Движение по окружности

Камень вращается на веревке. Веревка растягивается до тех пор, пока ее натяжение не станет равным силе Mv²/R, тянущей внутрь.

Тележка в «мертвой петле». На тележку действует сила тяжести и сила со стороны рельсов. Если пренебречь трением, то можно считать, что сила, действующая со стороны рельсов, направлена перпендикулярно им. Продолжите это обсуждение, отвечая на вопросы задачи 3.

Задача 3

Предположим, что тележка выполняет мертвую петлю, как это показано на фиг. 117. Чтобы тележка двигалась по окружности, в точке А должна действовать некоторая сила.

Фиг. 117. К задаче 3.

а) Какое направление должна иметь эта сила?

б) Что обеспечивает эту силу?

в) Какая другая сила (силы) должна действовать в точке А на тележку?

г) Какое влияние должна оказывать эта другая сила (силы) на движение тележки?

[Замечание. Отвечая на вопрос (г), забудьте про силы, о которых говорилось в вопросах (а) и (б). Это — реальная сила, и она должна присутствовать. Она играет особую роль. Здесь не имеет смысла заниматься сложением векторов, чтобы получить результирующую силу.]

Для движения тележки по окружности необходимо, чтобы в точке В была приложена сила.

д) Какое направление должна иметь эта сила в точке В?

е) Как обеспечивается наличие такой силы?

ж) Если тележка движется значительно медленнее, то потребуется много меньшая сила, Почему?

з) Почему сила в точке В может оказаться слишком большой? Что произойдет, если эта сила будет слишком велика?

Езда на велосипеде. Когда велосипедист движется по горизонтальному кругу, реальное воздействие должно обеспечить внутреннюю, центростремительную силу. На неровной дороге таким воздействием будет трение, оно обеспечивает горизонтальную силу, которая толкает шины в сторону. (На ледяной дорожке трение практически отсутствует и велосипедист не сможет сделать поворот, он будет проскальзывать вперед, считая, что вопреки желанию скользит в противоположную сторону.) При повороте велосипедист наклоняется вбок. Наклон сам по себе не увеличивает силы трения, но он необходим, ибо иначе сила, действующая на колеса со стороны дороги, опрокинет велосипедиста. Если он вместо прямой дороги движется по наклонному треку, то нет больше необходимости в боковой силе трения* наклонный трек отталкивает велосипедиста от своей поверхности с силой, которая имеет вертикальную компоненту, уравновешивающую его вес, и горизонтальную компоненту, которая обеспечивает необходимую центростремительную силу.

Самолеты. Пилот, совершая разворот, должен наклонить машину таким образом, чтобы давление воздуха толкало ее по направлению к центру круговой орбиты.

При повороте «подъемная сила» должна быть намного больше (это обеспечивается элеронами[84]), чем во время устойчивого горизонтального полета, когда она как раз уравновешивает вес самолета. Сам пилот тоже должен двигаться по кривой, и ему тоже необходимо некоторое направленное к центру давление. В наклоненном самолете на пилота с необходимой силой действует его кресло. А что же происходит с циркуляцией крови к голове пилота (направленной к центру виража)? Кровь должна не только участвовать в развороте, но и циркулировать от сердца к голове. Сердце должно нагнетать кровь с большим усилием, чтобы обеспечить достаточное питание мозгу, в противном случае кровь не достигнет мозга и пилот потеряет сознание или временно ослепнет. В нормальном состоянии, когда вы стоите неподвижно, ваше сердце прокачивает m килограммов крови вверх с силой (m 9,8) ньютон, чтобы обеспечить циркуляцию крови. Если самолет летит быстро (велика v) по кривой с малым R, сила, необходимая для прокачивания крови от сердца к голове, m(v²/R), может во много раз превысить (m 9,8). Сердце пилота может оказаться неспособным обеспечить эту силу m(v²/R), и тогда возможна временная слепота. Если вы ложитесь, а не стоите, нагрузка на сердце уменьшается. Если пилот не сидит в таком положении, чтобы его голова была направлена к центру кривизны его траектории, а ложится вдоль этой кривой, он может не терять сознания гораздо дольше.

Фиг. 118. Самолет делает мертвую петлю.

Фиг. 119. Силы воздушного давления на крылья и корпус толкают самолет по направлению к центру круга в петле и при повороте.

Фиг. 120. Когда человек находится в покое, стоит или лежит, сердце должно обеспечить приток крови к мозгу.

На фиг. 121 показаны результаты некоторых опытов. Центростремительное ускорение самолета v²/R выражено в единицах g.

Электроны в атомах. В одной из последующих глав мы рассмотрим строение атома, считая, что электроны вращаются по орбитам вокруг ядра.

Мы предполагаем, что законы Ньютона применимы и в данном случае и что сила m∙v²/R обеспечивается электрическим притяжением.

Молочные сепараторы и центрифуги. Если вращать по кругу привязанный к веревке сосуд с жидкостью (фиг. 122), то к каждому участку жидкости будет приложена центростремительная сила m∙v²/R, ибо в противном случае сосуд не мог бы двигаться по круговой орбите. В каждом случае направленная вовнутрь сила равна

(ПЛОЩАДЬ)∙(ДАВЛЕНИЕ НА НАРУЖНОМ КОНЦЕ) — (ПЛОЩАДЬ)∙(ДАВЛЕНИЕ НА ВНУТРЕННЕМ КОНЦЕ)

Фиг. 122.

Эти давления зависят от радиусов и скоростей, но не от содержания образца. Поэтому сила, создаваемая внешним воздействием, одинакова во всех случаях (для данного объема), но сила, необходимая для поддержания кругового движения, зависит от целостности образца, и как следствие — разделяющее действие. Некоторый участок объема жидкости (фиг. 123) движется по окружности и поэтому требует направленной внутрь результирующей силы для удержания его на круговой орбите. Такая сила должна быть обеспечена разностью давлений жидкости на его концах. Давление на внешний конец участка жидкости должно быть больше давления на его внутренний конец.

Фиг. 123.

Таким образом, имеется постепенное увеличение давления по мере приближения ко дну сосуда. Весьма похожее на обусловленный силой тяжести вертикальный перепад давления в стоящем сосуде. Однако в быстро вращающемся сосуде давление может быть намного больше. Пузырек воздуха или нечто легче жидкости будет испытывать это давление, но при очень малом m и m∙v²/R будет очень мало.

Легкое тело получило бы ускорение и увлекалось бы вовнутрь (к оси вращения). Сначала по мере движения вовнутрь тело будет двигаться ускоренно, пока не достигнет скорости, при которой внутреннее трение в жидкости в точности уравновесит дополнительную силу. Тогда

СИЛА, НАПРАВЛЕННАЯ ВОВНУТРЬ (из-за большого давления на внешнем конце) — СИЛА, НАПРАВЛЕННАЯ ВОВНЕ (из-за меньшего давления на внутреннем конце) — ТОРМОЖЕНИЕ БЛАГОДАРЯ ВНУТРЕННЕМУ ТРЕНИЮ (из-за движения жидкости вовнутрь) = РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА, (направленная вовнутрь, равна требуемой силе m∙v²/R)

Именно так получают сливки во вращающемся молочном сепараторе. На более плотные частицы, например на песчинки в мутной воде, действует такая же внутренняя сила, обусловленная давлением. Но для их удержания на круговой орбите требуется гораздо большая сила, нежели в случае пузырька воздуха; таким образом, песчинки будут двигаться по раскручивающейся спирали и попадут во внешнюю часть сосуда. Возьмем теперь сосуд с мутной водой, содержащей пузырьки воздуха. Если поставить ее на стол, муть будет оседать, а пузырьки воздуха из-за трения в жидкости медленно и равномерна двигаться вверх. Если вращать этот сосуд на веревке, то муть будет осаждаться, а пузырьки подниматься гораздо быстрее. Такие центрифуги позволяют ускорять осаждение тонких взвесей и даже разделять в воде крупные белковые молекулы.

Фиг. 127. Центрифуга.

Венский вальс. Танцующая пара вращается вокруг общей оси, держась друг за друга (на одном или на обоих каблуках, фиг 128).

Партнеры тянут друг друга вовнутрь; эта тяга обеспечивает необходимые центростремительные силы. Даже если масса партнера А больше массы партнера В, натяжения одинаковы и противоположно направлены (третий закон Ньютона). Эта «система» так подбирает радиус своей орбиты, чтобы силы уравновешивались.

В результате партнеры вращаются вокруг оси, проходящей через их общий центр тяжести. А теперь найдем алгебраическое выражение для такого танцевального вращения (фиг. 129).

Предположим, что А и В имеют массы М₁ и М₂ и вращаются вокруг общей оси по окружности с радиусами R₁ и R₂ со скоростями v₁ и v₂. Оба совершают один оборот за время Т. Тогда v₁ = 2πR₁/T и v₂ = 2πR₂/T (т. е. v₁/v₂ = R₁/R₂, хотя это и не необходимо). Обе центростремительные силы должны быть равны и противоположны друг другу, так как они обусловлены действием и противодействием танцоров. Таким образом,

М₁v²₁/R₁ = М₂v²₂/R₂

или

М₁∙(2πR₁/T)²/R₁ = М₂∙(2πR₂/T)²/R₂

т. е. М₁R₁ = М₂R₂ [сокращая ∙(2π)², Т² и т. д.]. Тогда произведение (масса)∙(расстояние от оси вращения) будет одинаково для обоих партнеров. Поэтому более тяжелый партнер располагается на меньшем расстоянии от оси. Если вы посмотрите, что сказано о нахождении положения центра тяжести двух тел в пособиях по физике, то найдете, что если R₁ и R₂ измерять от оси, проходящей через центр тяжести М₁ и М₂, то М₁R₁ должно быть равно М₂R₂ в соответствии со свойствами центров тяжести. Тогда для вращающихся систем М₁R₁ = М₂R₂ Именно поэтому танцующая вальс пара должна вращаться вокруг ее центра тяжести.

Подобное рассмотрение правильно описывает танцы с точки зрения физики, но вряд ли это практически полезна. Оно верно и в случае движения Луны и Земли и важно для понимания природы приливов. Астрономы используют его при рассмотрении движения двойных звезд. Вы встретите и другие примеры проявления центростремительной силы в астрономии и атомной физике.

Центробежная сила и средство от головной боли для инженеров

Движение по окружности требует реальной силы, направленной вовнутрь и производимой реальными внешними воздействиями. Представление о центростремительной силе поможет вам разобраться во всех проблемах, связанных с круговым движением. А вот что такое центробежная сила? Вы часто слышите это слово, даже сами его произносите, когда вам приходится вращать что-либо по кругу, вы найдете этот термин во многих книгах по физике. Существует множество мнений о том, что такое центробежная сила. Вы можете выбрать из них то, которое вам больше по вкусу.

МНЕНИЕ I: Центробежная сила — это ложная сила, представление о которой возникло на основе неправильного толкования запутанного взаимоотношения между воздействием, определяющим силу, и объектом приложения этой силы.

Если вы вращаете камень на веревке, ее натяжение тянет вашу руку наружу с той же силой, с какой тянет и камень внутрь. Это — настоящая центробежная сила, действующая на вашу руку, но не на вращающийся камень. Вы ощущаете, что вашу руку что-то тянет наружу и говорите: «Я чувствую, что камень и веревка оттягивают мне руку. Это свидетельствует о том, что центробежная сила тянет камень и веревка передает действие этой силы». Вот тут вы и ошиблись. Не существует никакой силы, действующей на камень. На самом деле веревка, оттягивая вашу руку наружу, в то же время тянет камень вовнутрь. Существует лишь одна действительная сила — центростремительная, тянущая камень вовнутрь

Фиг. 130. Центробежная сила?

Представьте себе, что вы собрались посетить аттракцион в парке и покататься на вращающемся полу. Вы и ваш спутник входите в помещение и садитесь на неподвижный полированный пол. Зная, в чем суть представления, вы прижимаетесь покрепче к полу» Когда пол начнет вертеться, вам покажется, будто какая-то неведомая сила отбрасывает вас от центра, и если бы не сцепление с полом, под действием этой силы вы стали бы скользить к ограждению.

Ваш спутник тоже заскользит к краю, если вы не удержите его, подтягивая к центру. Вы оба будете чувствовать, что боретесь с «центробежной силой». Но предположим теперь, что на вас смотрит неподвижный наблюдатель. Если смотреть на вращающуюся комнату извне, то будет казаться, что вы оба движетесь по круговой орбите и для удержания Вас на этой орбите необходимы реальные силы. Для вашего товарища это будет сила, действующая с вашей стороны и направленная вовнутрь, а для вас — это сила сцепления с полом. Повторим еще раз: вы просто воображаете, что существует некая сила, действующая извне на вашего товарища, поскольку вы уже приложили к нему реальную силу. С точки зрения постороннего наблюдателя эта внутренняя сила вовсе не компенсируется какой-то таинственной внешней силой; именно внутренняя «ила и обеспечивает ускорение вовнутрь и определяет ваше движение по кривой. Если вы отпустите вашего спутника, он при отсутствии трения будет двигаться по касательной. Его последовательные положения на касательной будут лежать все дальше и дальше от центра круга, так что вам, поскольку вы вращаетесь вместе с полом, будет казаться, что ваш товарищ скользит вдоль радиуса. На самом же деле он продолжает двигаться по прямой (по касательной) — это простой пример, иллюстрирующий первый закон Ньютона.

МНЕНИЕ II: Центробежная сила — заблуждение, проистекающее от того, что мы существуем во вращающейся системе, но пытаемся забыть об атом.

Из приведенного случая с вращающимся полом можно сделать следующий вывод. Для человека, сидящего на столе и не знающего, что он движется, существует внешнее силовое поле, наделяющее каждую массу М внешней силой Mv²/R. Независимо оттого, существует ли реальное внешнее воздействие, прилагающее силу, направленную вовнутрь для уравновешивания силы, направленной вовне, будет казаться, что любое тело, предоставленное самому себе, скользит наружу с ускорением v²/R. Становясь на точку зрения постороннего наблюдателя, следует считать и силовое поле, и скольжение наружу лишь кажущимися и обусловленными тем, что, пребывая во вращающейся системе, мы тем не менее забываем принимать в расчет ее движение.

МНЕНИЕ III: Средство от головной боли для инженеров.

Это прекрасное применение центробежной силы. Давайте строго отнесемся к слабо подготовленному молодому инженеру, который предпочитает статику — физику покоя (или равновесия) динамике, т. е. физике движения. Задачи, включающие ускорение и вращение, вызывают у него головную боль, и он хочет свести эти задачи к простым статическим силам, которые действуют в конструкциях мостов и подъемных кранов и в которых он хорошо разбирается. Это действительно можно сделать. Рассмотрим задачу о вращении конического маятника (фиг. 132).

На груз маятника действуют две реальные силы: его вес и сила натяжения веревки. Эти две реальные силы складываются и дают результирующую силу, направленную вовнутрь, Mv²/R, в противном случае груз не смог бы продолжать движение по круговой орбите. Значит, имеются две силы W и Т, которые дают направленную вовнутрь горизонтальную результирующую силу Mv²/R. Превратим эту задачу в статическую (т. е. в задачу с нулевой результирующей силой) путем добавления некоторой дополнительной фиктивной силы. Какую фиктивную силу нужно добавить к W и Т, чтобы результирующая сила обратилась в нуль? Эта сила должна быть равна — Mv²/R, или силе Mv²/R, направленной наружу. Некоторые профессора могут сказать этому инженеру: «Да, вы можете обратить любую задачу с круговым движением в статическую, еслико всем реальным силам добавите некую фиктивную центробежную силу Mv²/R и напишете уравнение, доказывающее, что все силы (включая фиктивную) дают в сумме нуль. Решение этого уравнения дает вам ту же самую информацию, что и метод, учитывающий только реальные силы, которые создают направленное вовнутрь ускорение, v²/R.

При таком подходе центробежная сила, несмотря на то что она фиктивна, тем не менее вполне пригодна для лечения головной боли у инженеров. Точно так же в качестве средства спасения от трудностей она используется в современной физике, но в этом случае это лишь полезный искусственный прием. Такой подход, которым пользуется большинство студентов, дает правильный ответ, но теория становится более трудной для понимания. В самом деле, ведь при этом реально существующее движение сводится к фиктивному покою. Тот, кто, введенный в заблуждение правильным ответом, отнесется с доверием к такому приему, будет чувствовать себя неуверенно, не зная, какая из этих сил реальна и как она действует. Если вы стремитесь к настоящему пониманию физики, то любой ценой избегайте этого лекарства от головной боли. И уж, конечно, не смешивайте это «центробежное-лекарство-от-головной-боли» с центростремительными силами, иначе получится чепуха!

МНЕНИЕ IV: Относительность.

Это мнение представляет собой несколько замечаний к очень извращенной теории относительности. Прочтите этот абзац для развлечения или сочтите его на некое предупреждение, но не превращайте его в нечто, похожее на средство от головной боли у инженеров. Взгляды, связанные с представлением об относительности движения, правильны, но только в системе определений, специально для этого сформулированных.

Разве нельзя оказать что-либо более положительное о центробежной силе? Некоторые ученые (см. мнение II) спрашивают. «Почему нехорошо наблюдать за предметами из вращающейся системы координат? Ведь в конце концов мы живем на вращающейся Земле Действительно ли «центробежные силы», возникающие из представлений, связанных с нашей вращающейся системой, отличаются от других сил, и так ли они нереальны? Разве можем мы быть уверены в том, что происходит на самом деле — вращаемся мы или кто-нибудь другой?» (Здесь мы вновь возвращаемся к временам Коперника и Птолемея.) Этот последний вопрос напоминает задачу с ускоряющимся железнодорожным вагоном, на примере которого проверялись законы Ньютона. Соорудив наклоненную комнату в таком вагоне, мы все же нашли бы те же самые законы: «тяготение», изменяющееся по величине и направлению. Мы догадываемся о том, что не можем обнаружить различия между эффектами, вызванными ускорением и силой тяжести. Эйнштейн построил общую теорию относительности на основе детального рассмотрения невозможности установить это различие.

Теория относительности начинается с заявления, представляющего собой аксиому и состоящего в том, что мы не можем сказать, кто именно движется — мы сами или «кто-то другой», что не существует такого понятия, как абсолютное движение. Если это так, то выражение «абсолютное пространство» бессмысленно, оно не необходимо и не должно употребляться в науке. В таком случае рабочей геометрией «пространства» должна быть такая геометрия с помощью которой мы могли бы открыть те же самые физические законы независимо от того, что мы думаем о нашем движении, т. е. движемся ли мы или кто-либо другой. Что заставляет нас видоизменять ту простую геометрию пространства и движения, которую предложил Евклид и которой пользовались Галилей и Ньютон. Было сделано много неудачных попыток для выделения абсолютного движения (в случае постоянных скоростей), даже с помощью световых сигналов, поэтому мы чувствуем, что вправе принять принцип относительности и его видоизмененную геометрию. В практической жизни эти видоизменения незаметны. Они начинают играть роль лишь при очень больших скоростях, например в астрономии и в атомной физике. Распространяя принцип относительности на случай ускоренного движения, мы полагаем, что расположенный в определенном месте наблюдатель не сможет установить различия между эффектами, связанными с ускорением, и изменением силы тяжести в данном месте, таким образом, мы приходим к выводу, что гравитационные поля могут рассматриваться в качестве местных (локальных) изменений геометрии пространства-времени. Это и есть принцип эквивалентности Эйнштейна. Хотя такой подход является совершенно новым, практически он дает малые отклонения от закона всемирного тяготения Ньютона.

Распространяя эту идею на случай вращения, мы предполагаем, что локальный наблюдатель не может заметить различия между эффектами, связанными с вращением системы координат, и локальным изменением силы тяжести, если он движется вместе с системой. В этом случае тянущая наружу центробежная сила будет представляться ему (находящемуся на вращающемся полу) вполне реальной, дополнительной горизонтально направленной силой тяги, или силой тяжести. Для жука, помещенного в центрифугу, центробежная сила будет проявляться в качестве реального поля силы тяжести, только в тысячи раз более сильного, нежели обычная сила тяжести. Для жука сила тяжести будет направлена иначе — он забудет о ее прежнем направлении — и будет неизмеримо больше. Принципы общей теории относительности оказались очень полезными для координации мышления, и за все время не наблюдалось каких-либо противоречащих им явлений. С этой точки зрения центробежная сила вполне приемлема. Если мы хотим проверить эффекты, связанные с большими гравитационными полями, недостижимыми в условиях притяжения Земли, то можем воспользоваться, центрифугой.

Общий принцип эквивалентности запрещает нам называть те виды движения^ которых участвует Земля, абсолютными и заставляет использовать новую механику и геометрию, с помощью которых можно предсказать одни и те же эффекты независимо от того, вращается ли Земля вокруг Солнца или же звезды и Солнце вращаются вокруг Земли. Согласно общей теории относительности, вращающаяся Вселенная будет порождать «центробежные силы» на неподвижной Земле, так что невозможно выяснить (с помощью маятника Фуко или изменения величины g с широтой), вращается ли Земля или вращается то, что ее окружает. Поэтому, возвращаясь к старому вопросу: «Кто прав — Коперник или Птолемей?», мы должны в отличие от Галилея сказать: «Обе точки зрения допустимы, хотя одна из них представляет собой более простое описание явлений, пригодное для практического мышления и работы». Пред нами пример гегелевской идеи развития: тезис — антитезис — синтез.

А ваше мнение об этих четырех случаях?

Сделайте сами выбор. Однако при разборе задач и экспериментов, приведенных в этой книге, советуем пользоваться только центростремительными силами.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ОПЫТ

Опыт 4. Простая проверка соотношения «Необходимая сила = Mv²/R»

Вместо сложного устройства, которое можно приобрести вместе с инструкцией типа поваренной книги, где даются рецепты студентам, как «проверить этот закон», мы предлагаем некое приспособление, предназначенное для грубой, но наглядной проверки. Попытайтесь произвести эту проверку с помощью партнера. Если измерения и расчеты не ясны, обратитесь к здравому смыслу и обдумайте все, прежде чем просить о помощи. Сначала внимательно выслушайте воображаемый расчет прибора, который начиняет изобретать исследовательская группа, состоящая из следующих лиц: руководитель Сагредо, главный экспериментатор Сальвиати и его ассистент и критик Симпличио. (Этот прибор был разработан в результате ряда обсуждений с использованием промежуточных экспериментов, в которых проверялась пригодность предлагаемых конструкций.)

САГРЕДО. Мы хотим проверить предсказание о том, что движение по кругу требует некоторой силы, направленной вовнутрь и определяемой соотношением F = Mv²/R. Мы предлагаем крутить на веревке камень и измерять ту реальную силу, с помощью которой мы удерживаем камень на орбите. Затем мы сравним эту силу о той, которая предсказывается соотношениями a = v²/R и F = M∙а.

СИМПЛИЧИО. Нам необходима очень сложная аппаратура: измеритель скорости v.

САЛЬВИАТИ. Вздор. Просто измерьте время одного оборота. Тогда v будет равно длине окружности 2πR, деленной на это время.

СИМПЛИЧИО… и сложный прибор дли измерения силы.

Фиг. 135

САГРЕДО. Неверно. Ведь мы хотим выполнить совсем простую проверку.

САЛЬВИАТИ. Используйте для измерения натяжения веревки пружину. Позже мы сможем определить эту силу, подвешивая пружину и нагружая ее до тех пор, пока растяжение не станет таким же, как при вращении. Мы знаем, что хорошая стальная пружина надежна.

САГРЕДО. Простак! Если так слепо доверять законам, то вы должны помнить об их ограниченности. Знаете ли вы, что пружины могут растягиваться больше, чем это следует из закона Гука?

СИМПЛИЧИО. Мы можем остановить растяжение пружины, связывая ее концы длинной нитью.

САГРЕДО. О, прекрасно! И тогда, когда эта нить будет свободна, она не нужна; а когда ее натянут туго, она испортит наш эксперимент, внося дополнительное натяжение; так мы и не будем знать истинного натяжения.

САЛЬВИАТИ. Я думаю, что мы все же можем использовать предложение Симпличио. Нам как раз нужно знать, как сильно растягивается эта пружина во время вращения, чтобы потом, нагружая ее, мы могли довести ее до такого же растяжения. Если мы соединим концы пружины нитью, как это предложил Симпличио, мы будем вращать камень все быстрее и быстрее до тех пор, пока нить не окажется натянутой. Это мы можем назвать «стандартным растяжением».

СИМПЛИЧИО. Ну ладно, так мы найдем массу и скорость, но как мы измерим R? Удержим ли мы линейку около вращающейся пружины?

САЛЬВИАТИ. Можно измерить R позже, когда пружина будет подвешена вертикально и нагружена до стандартного растяжения.

СИМПЛИЧИО. Я понимаю смысл предложения о стандартном растяжении; но если при этом пружина натянется до предела, вновь будет в силе ваше возражение против предложенной мной нити — сила, добавляемая пружиной, будет неизвестна.

САЛЬВИАТИ. Почти до предела.

СИМПЛИЧИО. Я не понимаю, как мы определим, что пружина натянута почти до предела.

САЛЬВИАТИ. Давайте тогда используем другую, маленькую пружинку, привязанную к нити. Эта маленькая пружинка остается в нерастянутом состоянии, пока большая пружина не натянется туго.

СИМПЛИЧИО. Нужно ли измерять и натяжение маленькой пружинки?

САЛЬВИАТИ. Нет; маленькая пружинка служит только индикатором. Она не будет тянуть до тех пор, пока не начнет растягиваться, а натяжение ее будет столь мало, что создаваемая ею сила незначительна.

СИМПЛИЧИО. Даже я понимаю, что это становится ужасной неразберихой. Маленькая пружинка будет задевать за главную пружину.

САЛЬВИАТИ. Будет лучше, если мы поместим эту маленькую пружинку внутри главной пружины, а не будем протягивать ее снаружи.

СИМПЛИЧИО. Боюсь, что мы испортим маленькую пружинку, прежде чем сможем провести измерения. Мы будем крутить очень быстро и безнадежно растянем ее.

САГРЕДО. Хорошо, но вы уже предлагали средство против этого.

СИМПЛИЧИО. Да, воспользуйтесь снова моим предложением. Свяжите концы этой маленькой пружинки нитью.

САГРЕДО. Хорошо. Тогда мы сможем крутить все быстрее и быстрее, пока не заметим, что маленькая пружинка растянулась ровно наполовину; этим и будет определяться стандартное растяжение главной пружины.

САЛЬВИАТИ. Раскручивать будет легче, если мы привяжем основную бечевку к большому кольцу и наденем это кольцо на вертикально расположенную палку, которую экспериментатор держит в руке. Мы можем предотвратить соскальзывание кольца, добавив две шайбы и два гвоздя.

САГРЕДО. Теперь у нас есть, приспособление, которое стоит испытать.

СИМПЛИЧИО. Но мы еще не использовали закон Гука.

САГРЕДО. Мы в нем не нуждаемся. Мы просто подвесим пружину и измерим нагрузку, которая растягивает пружину до той же длины, что и во время вращения. Экспериментаторы должны потренироваться для того, чтобы вращать как раз с той скоростью, при которой маленькая пружинка окажется растянутой ровно наполовину; тогда они могут замерять время. После этого можно подвесить пружину вертикально и измерить ее натяжение при стандартном растяжении, нагружая ее. При этом можно одновременно измерить радиус орбиты — измерить R на подвешенной вертикально и нагруженной пружине.

СИМПЛИЧИО. О, так мне не придется все время бегать с линейкой.

САЛЬВИАТИ. Конечно нет, но вы можете помочь при измерении R. Боюсь, что центральный колышек не будет стоять неподвижно: экспериментатору, поддерживая вращение, придется двигать его по маленькому кругу. Наблюдая за этим, вы можете прикинуть из измерений на подвешенной пружине во время вращения, сколько надо добавить или вычесть, чтобы получить правильное значение радиуса.

СИМЦЛИЧИО. Но это еще больше, усложняет задачу. Теперь наше приспособление уже ненадежно. Я не верю в то, что мы сможем гарантировать точность измерений и сделать желаемую проверку.

САЛЬВИАТИ. А я смогу, если попрактикуюсь и буду очень внимательным.

САГРЕДО. Думаю, что оба вы ошибаетесь. Имелось в виду сконструировать простой прибор. Измерения будут приближенными. Но если выражение Mv²/R является точным, тогда различия между непосредственно измеренной силой и силой, рассчитанной из Mv²/R, будут обусловлены случайными ошибками измерения. Отклонения будут одинаково часты в одну и в другую сторону. Группироваться они будут вблизи нуля, если эксперимент делается много раз, предпочтительно разными наблюдателями. Я предлагаю просить большую труппу экспериментаторов, работающих попарно, испытать наш прибор. Пусть каждая пара выражает разницу между измеренной и «вычисленной» ими силой в процентах от ее величины. Изучая эти отклонения, мы узнаем, удалась ли наша проверка.

САЛЬВИАТИ. Мы даже сможем грубо оценить величину отклонений, обусловленных допустимыми ошибками эксперимента. Например, если один оборот совершается за 2 сек, то два экспериментатора могут замерить серию из двадцати оборотов несколько раз. Вряд ли они ошибутся более чем на несколько десятых долей секунды при полном измеряемом времени 40 сек, ошибка будет, скажем. 0,2 сек за 40 сек, или 2 сек за 400 сек, или 0,5 сек за 100 сек, т. е. 0,5 %. Время одного оборота используется для получения v, a v содержится в Mv²/R дважды. Таким образом, ошибка в измерении времени дает вклад 0,5 % + 0,5 % = 1 % в возможную ошибку Mv²/R. Мы можем оценить возможные ошибки, проистекающие из других ошибок измерения.

САГРЕДО. Пусть уже экспериментаторы сделают это сами. Тогда они больше узнают о достоверности своих результатов[85].

Задача 4

Из геометрии следует, что точка (или небольшое тело), движущаяся в постоянной скоростью v no кругу радиусом R, имеет центростремительное ускорение v²/R. Напишите геометрический вывод этого выражения. (Вы можете предположить, что скорость и ускорение — векторы, т. е. подчиняются законам геометрического сложения и вычитания. Вы можете пользоваться свойствами подобных треугольников. Дайте большие, очень четкие эскизы: один — для фактической картины, другой — для векторов.)

Задача 5

В предлагаемых ниже вопросах предполагается: 1) центростремительное ускорение равно v²/R и 2) в случае этого движения F = M∙a. (Вспомним, что всякий раз, когда вводится F = M∙a, сила должна быть выражена в ньютонах, если масса выражена в килограммах.)

а) Камень массой 2,00 кг вращается (с помощью веревки) по горизонтальной поверхности стола без трения. Длина веревки 4,0 м, следовательно, круг имеет радиус, равный 4 м. Камень движется по орбите со скоростью 7,00 м/сек. Рассчитайте ускорение камня, натяжение веревки. Приведите краткие пояснения.

б) Предположим, что веревка разрывается как pas при том натяжении, которое ей определили выше. Какова будет разрывающая сила в килограммах силы, кГ?

в) Как и в вопросе (а), камень массой 2,00 кг вращается по кругу на веревке длиной 4,0 м, но с такой скоростью, что он совершает пять оборотов ее 2 сек.

Рассчитайте его скорость (ответ оставьте в виде сомножителей, не подставляя численного значения π).

Рассчитайте натяжение каната. (Укажите единица измерения в ответе. Можно положить π² = 10.)

Задача 6

Веревка, подвешенная вертикально, может выдержать только 10,0 кг и рвется при малейшем увеличении нагрузки.

а) Какова разрушающая сила в килограммах силы?

б) Какова эта разрушающая сила в ньютонах?

Кусок такой веревки длиной 1,00 м используется для вращения камня массой 2,0 кг по горизонтальному кругу все быстрее и быстрее, пока веревка не разорвется.

в) Рассчитайте максимальную скорость камня на орбите и приведите краткое объяснение, как вы выполнили этот расчет.

Фиг. 145. К задаче 6.

Задача 7

Игрок с ракеткой, на которой находится мяч, крутит ракеткой перед собой. Объясните, каким образом такое движение не позволяет мячу упасть.

Фиг. 146. К задаче 7.

Задача 8

Самолет, летящий со скоростью 600 фут/сек (410 миль в час), преследует маленький самолет, летящий со скоростью 300 фут/сек. Маленький самолет поворачивает и удаляется по горизонтальному полукругу; самолет-преследователь старается нагнать его. Пилот может выдержать ускорение только до 5 g.

а) Рассчитайте радиус наименьшего полукруга, который пилот маленького самолета может благополучно выполнить при скорости 300 фут/сек.

б) Как долго (примерно) будет двигаться по своему полукругу маленький самолет?

в) Вычислите радиус наименьшего полукруга, безопасного для самолета-преследователя,

г) Где будет находиться самолет-преследователь, когда маленький самолет уже закончит свой полукруг (обозначьте его путь на эскизе)?

Задача 9. Вариант вывода соотношения а = v²/R (метод Ньютона)

Если тело движется по окружности от А до В, рассмотрите его как падающее тело с постоянным ускорением, направленным вниз. За время t оно пролетит с ускорением а расстояние h от той точки, в которой оно раньше покоилось.

а) Напишите уравнение для а через h и t, предполагая, что а постоянно.

б) Используя геометрическое свойство хорд круга, напишите уравнение, в котором h было бы выражено через другие измеряемые величины, приведенные на диаграмме.

в) Подставьте выражение для h в уравнение, полученное в вопросе (а).

г) Представьте, что В движется все ближе и ближе к А. Если В —> А, то горизонтальное расстояние х —> к дуге  и, поскольку В —> А, хорда MN —> к диаметру 2R. Внесите эти изменения в выражение для ускорения.

Фиг. 147. К задаче 9.

Задача 10. Центрифугирование

а) Центрифуга вращает пробирку по кругу со средним радиусом 1 фут со скоростью 5000 оборотов в минуту; содержимое пробирки находится при этом в силовом поле, во много раз большем g. Во сколько раз большем g?

б) Образец мутной воды содержит частицы, размер которых примерно равен размерам, кровяных шариков (диаметр 10^-5 м). Если пробирка расположена вертикально, частицы падают на дно с постоянной скоростью ~ ¹/₄ дм/мин. Таким образом, объем жидкости высотой 4 дм полностью очистится примерно зa ¹/₄ часа. (Эти частицы не осядут все на дно. Диффузия, связанная, с броуновским движением, поддерживает некоторое их количество во взвешенном состоянии.) За какое время тот же образец станет прозрачным в центрифуге, обеспечивающей ускорение, определенное в вопросе (а)?

в) Белковые молекулы [диаметр которых в несколько сотен раз меньше диаметра частичек мути, о которых говорится в вопросе (б), но велик по сравнению с диаметром других молекул, скажем соли или воздуха] осаждаются в воде примерно в 300 000 раз медленнее, чем частички мути (вопрос б). За какое время станет прозрачной помещенная в центрифугу 4-дюймовая пробирка, содержащая суспензию таких белковых молекул в воде?

г) Если, эту белковую суспензию не помещать в центрифугу, она никогда не станет прозрачной. Почему?

д) Если известна плотность частиц, то, исходя из спорости прояснения жидкости, можно определить диаметры частиц. (Сила торможения маленькой сферы пропорциональна ее радиусу и скорости.) Частички грязи (вопрос б) могут быть измерены с помощью микроскопа, молекулы же белка увидеть невозможно. «Химические» измерения (осмотическое давление) показывают, что молекулы белка в 10⁶ раз тяжелее атома водорода. Какая важная информация о строении атома может быть получена с помощью измерений на центрифуге?

Жизнь и труды Ньютона

Ньютон родился в тот год, когда умер Галилей. Еще ребенком он увлекался опытами. И подобно Галилею и Тихо Браге мастерил занимательные игрушки, вроде водяных мельниц[86], и даже измерял «силу» ветра, замечая, насколько он мог прыгнуть в длину по ветру и против него. Поступив в школу, он поначалу не проявил особых успехов в изучении основного предмета — латыни, но вскоре обнаружил необыкновенные способности в математике.

Его добровольный опекун дядя направил Исаака, когда тому исполнилось 19 лет, в университет. Там, в Кембридже, Ньютон с большим увлечением занялся логикой и изучил трактат Кеплера, посвященный оптике. Сделал он это так быстро и обстоятельно, что понял бессмысленность дальнейшего посещения лекций.

Ознакомившись с евклидовой геометрией, он счел ее детской забавой и начал изучать геометрию Декарта. Для этого ему пришлось напряженно работать, но это не смущало Ньютона — душой и телом он отдался изучению математики. Вскоре появилась его первая оригинальная работа. Будучи еще студентом, он открыл теорему, которая была впоследствии названа «Теоремой о биноме Ньютона»[87], а к тому времени, когда ему минул 21 год, он начал изучать бесконечные ряды и «флюксии» — основу дифференциального исчисления. Ньютон был слишком увлечен своей работой, а быть может, слишком скромен, но свои открытия он не публиковал — эта удивительная отрешенность, а возможно, и нелюбовь к публичным обсуждениям его трудов сохранилась на всю жизнь. Ньютон интересовался и астрономией, наблюдал гало Луны, комету.

Позднее он стал изобретать и строить свои собственные телескопы. Степень бакалавра Ньютон получил, продолжая исследования по математике и оптике, подавая зачастую профессору математики ценные советы. В последующие два года он сосредоточил свое внимание на Солнечной системе и начал размышлять о силе тяжести, распространяющейся до Луны и удерживающей ее на орбите, также как веревка удерживает вращающийся камень. Ньютону удалось получить выражение для центростремительного ускорения a = v²/R. Эта формула была ему нужна для проверки идеи о движение Луны. Он вывел эту формулу до того, как ее опубликовал Гюйгенс. Затем он применил этот подход и к планетам, предположив, что они удерживаются на своих орбитах гравитационным притяжением Солнца. Таким путем была установлена универсальность силы тяжести: притяжение между Землей и яблоком, Землей и Луной, Солнцем и Марсом, Солнцем и Землей…

На основе третьего закона Кеплера Ньютон сделал вывод, что силы притяжения должны убывать с увеличением расстояния и что притяжение должно изменяться как (расстояние)^-2. По существу он уже свершил свои великие открытия. Когда его спрашивали, каким путем он пришел к этим открытиям, Ньютон отвечал, что сделал открытия, думая о них[88]. По-видимому, это и был его метод: спокойное, постоянное обдумывание, непрерывное вынашивание мысли. Вероятно, именно таким образом родились многие великие идеи. Гений — не только терпение или «безграничная способность трудиться»; терпение и упорство должны еще сочетаться о большими способностями и мудростью, чтобы последние могли принести богатый урожай.

При проверке теории движения Луны Ньютон встретил серьезные трудности и перестал заниматься ею, отложив эту работу на несколько лет, а сам с головой ушел в оптические исследования, покупал призмы, шлифовал линзы, занимался исследованием спектра.

К 24 годам Ньютон заложил основы своих будущих великих открытий: дифференциального и интегрального исчислений, всемирного тяготения, теории света и цвета. Однако лишь немногие из полученных им результатов стали известны миру. Однажды профессор математики рассказал Ньютону о новом математическом открытии, которое обсуждалось в то время. Неожиданно Ньютон ответил, что еще несколькими годами ранее наряду с другими задачами он решил и эту задачу. Из представленных им записей следовало, что он провел более глубокое исследование и получил более общее решение. Этот случай произвел столь сильное впечатление, что, когда вскоре профессор ушел в отставку, Ньютон (ему было тогда 26 лет) был избран профессором математики одной из наиболее значительных европейских кафедр. На новом посту он читал лекции по оптике, однако все еще не публиковал своих математических трудов. В только что созданном Лондонском королевском обществе состоялась лекция Ньютона об изобретенном им отражательном телескопе. Члены Королевского общества пришли в восторг и избрали его членом общества. В дальнейших лекциях он изложил свои открытия в области учения о цвете. Именно тогда, после шестилетнего перерыва, Ньютон возвратился к работам по астрономии. Теперь он мог блестяще проверить теорию, основываясь на данных о движении Луны. Но он продолжал свою работу еще не менее двенадцати лет, не заявляя о своем открытии. Тем временем законы Кеплера ждали своего объяснения. Идея всемирного тяготения буквально витала в воздухе.

Члены рожденного недавно и процветающего Королевского общества горячо обсуждали эту идею. Им удалось доказать, что наличие некой силы, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния, может объяснить существование круговых орбит в соответствии с третьим законом Кеплера, однако эллиптические орбиты оказались для них слишком крепким орешком. Когда один из членов Королевского общества обратился к Ньютону за помощью, Ньютон спокойно ответил, что задача уже решена: он знает и может доказать, что из убывания силы тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния следует, что движение планет должно подчиняться всем трем законам Кеплера!

Затем наступило время написания, публикация (что делалось не всегда охотно) и распространения трудов Ньютона по механике, астрономии и математике, которая в них содержалась. Коллеги по Королевскому обществу просили его опубликовать свою теорию Солнечной системы. Созданная им книга оказалась более широкой по содержанию. Это был величайший трактат по механике: замечательная последовательность определений, законов, теорем и их применение к теории Солнечной системы с пояснениями, примерами и далеко идущими предсказаниями — величественное здание науки. Это были знаменитые «Принципы» Ньютона — «Математические принципы натуральной философии».

Почитатели трудов Ньютона провели его в парламент, а позднее он был назначен директором Монетного двора. Так был найден путь материально вознаградить ученого, а также отметить его заслуги. Ньютон серьезно принялся за работу и выполнил несколько исследований по металлургии, вспомнив свои ранние увлечения химией[89].

Назначение в Монетный двор и выборы в парламент в определенной мере соответствовали его стремлению стать влиятельным человеком. На шестьдесят первом году Ньютон был избран президентом Королевского общества. Он возглавлял это славное учреждение в течение 24 лет, до конца жизни. Когда Ньютону исполнилось 65 лет, его возвели в рыцарское достоинство, и он стал сэром Исааком Ньютоном. Не только соотечественники, но и жители близких и далеких континентов понимали, что среди них живет не просто великий человек, а гений, и делали все возможное, чтобы воздать ему должное, хотя в те времена ученые только начинали занимать подобающее им положение.

Ньютон умер в возрасте 85 лет. Он оставил после себя книги, посвященные законам движения, гравитации, астрономии и математике, и, кроме того, многочисленные сочинения на богословские темы. (Ньютон был искренне верующим человеком, хотя взгляды его на религию не были ортодоксальными. С блестящим успехом решив астрономические проблемы, он надеялся, что сумеет справиться также и с религиозными.) Ньютон возвысил астрономию; он дал ей совершенно новое место в науке и привел ее в порядок, использовав объяснения, в основе которых лежали созданные и проверенные им законы. Позже мы расскажем о развитии астрономии, а пока возвратимся к работам Ньютона в этой области.

Законы движения

Чтобы привести движения небесных тел в единую систему, Ньютону были необходимы законы движения. В сочинениях Галилея он нашел четкие определения силы и движения, но менее четкое понимание природы массы. Ньютон дал ясные и доступные новые формулировки определениям Галилея, тщательно проверив смысл введенных им терминов. Основные положения Принципов изложены в форме двух законов, которые используются в первой части. Затем Ньютон дополняет их и третьим законом, который сам проверяет опытным путем[90].

В этом смысле Ньютон был великим законодателем, приведшим законы в строгую систему, — своего рода Моисеем в физике. Конечно, Моисей устанавливал: законы с совершенно иных позиций, чем Ньютон, трактуя людям указания небес, тогда как Ньютон открывал законы природы и разъяснял их людям. Однако и Ньютон и Моисей познавали, систематизировали, учили. Моисей не был открывателем всех законов и правил. Он лишь собрал их воедино и обработал, чтобы сделать понятными и сообщить людям. Он был великим законодателем и великим учителем. Ньютон, подобно Моисею, был великим учителем, хотя был так застенчив и скромен, что учил скорее себя, нежели других. Многие труды Ньютон написал только для того, чтобы понять самому сущность вещей, но, увидев свет, эти труды осветили путь его современникам и ученым последующих поколений.

Был этот мир кромешной тьмой окутан «Да будет свет!» — и вот явился Ньютон.

Ньютон излагал свои законы ясно и просто, без излишней торжественности. Но поскольку он не любил дилетантского критицизма, математическая сторона его изложения отличается строгостью и элегантностью. Во времена Ньютона латынь была тем универсальным языком, на котором объяснялись ученые, поэтому Принципы написаны на латинском языке. В трудах, которые Ньютон писал на английском языке (например, в его книге по оптике), изложение кажется нам иногда напыщенным и неясным; объясняется это тем, что со временем в английском языке произошли значительные изменения и современный Ньютону язык звучит для нас непривычно. Если бы Ньютон писал свои законы в наши дни, они были бы написаны стилистически безупречно, без вводных фраз, которые так любят адвокаты. Ниже приведены законы Ньютона в оригинальной латинской формулировке, данной в Принципах, и их перевод,

_LEX I

_{Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum ilium mutare.}

_{LEX II}

_{Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis ilia imprimitur.}

_{LEX III}

_{Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.}

Каждый закон Ньютон сопроводил комментариями и объяснениями. Пользуясь современной терминологией, им можно дать такой перевод:

ПЕРВЫЙ ЗАКОН

Всякое тело остается в состоянии покоя или движется прямолинейно с постоянной скоростью, если на него не действует сила, изменяющая скорость тела.

ВТОРОЙ ЗАКОН

Если на тело действует сила, то изменение количества движения (Mv) пропорционально величине приложенной к телу силы; изменение происходит в направлении действия силы или:

Произведение массы на ускорение пропорционально результирующей силе, причем ускорение происходит в направлении действия силы.

ТРЕТИЙ ЗАКОН

Каждому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие

или:

При взаимодействии двух тел сила, приложенная со стороны первого тела ко второму, равна силе, приложенной со стороны второго тела к первому, и противоположно направлена.

Заметим, что в переводе второго закона вначале дана его формулировка, в которой используется понятие количества движения. Она и ныне является наиболее общей формулировкой. Ко второй формулировке, где используется ускорение, часто прибегают в процессе элементарного обучения, так как она выглядит проще.

В гл. 8[91] было указано, что эти две формулировки эквивалентны. Ниже показано, как одна форма закона переходит в другую: F ~ M∙a. Скорость изменения количества движения пропорциональна силе:

Δ(Mv)/Δt ~ F, т. е. (Mv₂ — Mv₁)/Δt ~ F

M(v₂ — v₁)/Δt ~ F, если М остается постоянной.

Иначе говоря,

M∙(Δv/Δt) ~ F т. е. Ma ~ F, или F ~ М∙а.

Пользуясь изобретенным Ньютоном дифференциальным исчислением:

d(Mv)/dt = M∙(Δv/Δt) = М∙а если М — величина постоянная.

Мы предполагали, что масса остается постоянной. Если масса меняется, то справедлива первая форма закона [Δ(Mv)/Δt ~ F], и именно ее выбрал Ньютон. Он понимал, что такая форма закона приложима к движению тела с переменной массой (например, вагонетка под дождем). Но он не мог, конечно, предвидеть применения этой формы закона в современной теории относительности, где она также справедлива для случая, когда масса возрастает с увеличением скорости. Это возрастание заметно только при очень больших скоростях.

Прежние представления о движении

Природа движения давно волновала ученых.

Леонардо да Винчи (за 150 лет до Ньютона) дал следующие формулировки, заимствованные, как предполагают, из еще более ранних источников:

1) Если сила перемещает тело за данное время на определенное расстояние, то та же сила половину такого тела переместит на такое же расстояние за вдвое меньшее время.

2) или:… та же самая сила переместит половину тела на вдвое большее расстояние за то же самое время,

3) или:… вдвое меньшая сила будет перемещать половину тела на то же расстояние за то же время.

Декарт (примерно за 40 лет до Ньютона) утверждал, что

1) все тела стремятся оставаться в неизменном положении;

2) движущееся тело стремится сохранить свою скорость и направление движения. (Здесь Декарт приводит богословский довод.)

Мерой силы, создаваемой телом, служит масса (ясно не определенная Декартом) и его скорость.

Вопрос: Какие из этих формулировок кажутся верными? (По крайней мере одна из них совершенно ошибочна.)

Опираясь на эти формулировки, а также руководствуясь книгами Галилея и собственными соображениями, Ньютон сформулировал три закона движения. В наши дни мы применяем их для описания разнообразных, движений — от катящегося вниз шара до старта ракет, планет на орбитах и даже потоков электронов. Эйнштейн добавил новую формулировку, но в большинстве случаев законы Ньютона очень хорошо описывают явления природы.

Законы Ньютона: Реальность ила Определения?

Подобно любому современному ученому, Ньютон пытался дать четкие определения скорости, количества движения и силы. В науке определение не является экспериментальным фактом, рискованным предположением или умозрительной идеей. Это скорее работа, заключающаяся в пояснении — по возможности точном — смысла слова, фразы или даже идеи. Например, мы определяем ускорение как Δv/Δt, после чего всегда под словом «ускорение» понимаем отношение приращения скорости к соответствующему приращению времени, а не что-то другое, например Δv/Δs или нечто неопределенное, вроде «более быстрого движения».

Мы определили «напряженность гравитационного поля в данной точке» как «силу тяжести, действующую на единичную массу, помещенную в эту точку». Это — и описание того, что мы понимаем под напряженностью поля, и четкое указание, как ее изменить.

Законы Ньютона были четкими правилами, основанными на наблюдении механических процессов. Они предназначены для предсказания движения в других случаях. Однако это не простые утверждения того, что получалось на опыте. Законы включали определения и описания понятий и представлений (масса, количество движения); они обеспечивали непротиворечивую схему предсказаний, основанную на этих определениях. Таким образом, определения часто входят в состав теории. Например, через двести лет после Ньютона получила развитие наука о термодинамических процессах, на основе которой с помощью понятия температуры были сделаны замечательные предсказания тепловых свойств. Но температурная шкала — особая, определенная собственно в схеме термодинамики. Мы обнаружим расхождения, если сравним термодинамическую шкалу температуры (шкалу Кельвина) с другими шкалами, такими, как шкала ртутного или газового термометров. Тем не менее мы не можем сказать, что одна шкала «неверная», а другая «истинная». Все шкалы определены четко и однозначно и одинаково пригодны для точного измерения не совсем определенного ощущения жары или холода, испытываемого человеком. Имея в виду определенные задачи, иногда отдают предпочтение одной шкале как наиболее удобной; когда имеют дело с теорией — ограничиваются шкалой, которая входит в теорию.

В соответствии с законами термодинамики и выводами из них нам приходится пользоваться шкалой Кельвина. К счастью, шкала Кельвина почти не отличается от шкалы обычного ртутного термометра, так что выводы термодинамики мы можем непосредственно использовать в практических целях.

Такое тесное переплетение эксперимента и определений, образующее теорию, характерно для современной науки. Если вы критически посмотрите на законы Ньютона, то придете к заключению, что первый закон содержит объяснение понятия силы, определяет ее природу, а второй закон определяет способ измерения или силы, или массы. Так, может быть, эти законы — просто плод нашей фантазии? Нет, это не так. Оба закона соответствуют реальным явлениям природы, что подтверждает эксперимент. В них содержится твердая фактическая основа, хотя ее, быть может, нелегко извлечь логически из входящих в эти законы определений.

Спустя два столетия после того, как Ньютон сформулировал свои законы, начали возникать трудности и сомнения. Ньютон принимал «относительность Галилея». В созданной им теории не имеет значения, движется ли наблюдатель с постоянной скоростью или находится в состоянии покоя. Однако Ньютон считал, что абсолютную систему отсчета можно обнаружить по эффекту вращения. (Если бы Земля оказалась в состоянии покоя, а небесные тела вращались вокруг нее, разве могли бы мы наблюдать кривизну земной поверхности, изменение силы тяжести, поворот плоскости качания маятника Фуко?) Ньютон писал об абсолютном движении: под действием сил возникают абсолютные ускорения, а не ускорения относительно какой-то движущейся системы координат. Но где находится неподвижная, фиксированная система отсчета? Земля, Солнце, звезды — все движется. Существует ли реальная фиксированная система отсчета? Если мы не можем указать такой системы, то стоит ли включать ее в наше рассмотрение механики? Вот из таких сомнений и возникла теория относительности[92]. На первых порах, изучая теоретическую механику, разумно забыть об этих сомнениях и принять законы Ньютона как простые, надежные рабочие правила. Используя их для решения задач, помните, что это — блестяще сформулированный итог согласованных определений и экспериментальных наблюдений. Это не застывшие законы, которые нужно цитировать, чтобы все стало на свои места! Они указывают нам, как нужно обрабатывать результаты проведенных опытов и как предсказывать, что должно случиться в будущих экспериментах. В то же время они знакомят нас с такими полезными понятиями, как масса и количество движения.

Ньютон и движение планет

Ньютон сформулировал свои законы так, чтобы иметь возможность пользоваться ими. Обратившись к проблемам астрономии, он сразу же ответил на вопрос, который не могли решить греки и который поставил в тупик Кеплера и даже Галилея: «Что удерживает Луну и планеты при их движении по орбитам?» Предполагалось все — хрустальные сферы, естественное круговое движение, вращающиеся рычаги и магнитные флюиды, вихри. Ньютон понимал, что такие объяснения содержат детали, в которых нет необходимости. Сила не нужна для движения планеты (первый закон).

Предоставленные сами себе, они будут вечно двигаться прямолинейно. Сила необходима, чтобы планеты двигались по криволинейной орбите, ибо если нет силы, то движение будет прямолинейным.

Какой должна быть величина внешней силы? Откуда она может взяться? Это были новые вопросы, поставленные Ньютоном.

Если к этому движению применим второй закон, то необходима внешняя сила, равная произведению массы на ускорение. Но чему равно ускорение при движении по орбите? Ньютон исследовал равномерное движение по круговой орбите. Орбиты Луны и большинства планет близки к окружности. Он пришел к тому же результату, что и другие ученые, решавшие эту задачу: ускорение, направленное к центру орбиты по радиусу, равно v²/R, где v — скорость на орбите, a R — радиус орбиты. (См. главу 21, где вводится это ускорение. Для этого используются геометрические представления, но масса и сила не фигурируют. Ньютон получил свой результат необычным путем, рассматривая движущееся тело как снаряд и каждый элемент длины окружности как участок вблизи вершины параболы, по которому движется снаряд.) Тогда сила должна быть равна Mv²/R и направлена по радиусу к центру орбиты. Так, Луна, движущаяся по круговой орбите, всегда испытывает ускорение в сторону Земли, но никогда не приближается к ней. Это можно представлять себе как падение с касательной к окружности на окружность, причем орбита образуется в результате того, что тело начинает «падать» и достигает в нужный момент следующего участка орбиты, не приближаясь, однако, к ее центру. Если это вам покажется странным, вспомните, что любой снаряд, летящий по параболе, в ее вершине испытывает, ускорение g, однако в этой точке снаряд не опускается и не поднимается, таким образом не приближаясь к Земле. Существуют моменты времени, когда ускорение имеется, но скорость в его направлении равна нулю. Можно сказать, что лунная орбита состоит из последовательных «вершин» парабол.

И вот, наконец, Ньютону удалось объяснить, откуда берется эта сила. Он предположил, что силы, заставляющие падать тела на поверхность Земли, могут также притягивать Луну и служат причиной ее движения по орбите. Существует легенда о том, что Ньютон обдумывал эту проблему, сидя в саду, и яблоко, упавшее ему на голову, подсказало решение. Такое притяжение мы называем «гравитацией» — словом, которое означает тяжесть или подразумевает какую-то связь с весом. Во многих случаях более подходит обычное слово вес.

Фиг. 148. Земное притяжение.

Ньютон предположил, что именно вес Луны удерживает ее на орбите. Если бы Луна находилась очень близко от поверхности Земли, то ее вес обусловливал бы ее ускорение g, равное примерно 9,81 м/сек², т. е. такое же, как и у яблока, если не считать, что объем Луны больше, и это, конечно, не разрешает поставить подобный эксперимент. Будет ли Луна иметь такое же ускорение на своей орбите? Будет лила орбите Луны v²/R ~ 9,81 м/сек²?Луна совершает полный оборот по своей орбите относительно неподвижных звезд за 27,3 дня. Ньютон знал, что радиус лунной орбиты R равен 60 радиусам земного шара, т. е. 60R. Ему был также приближенно известен радиус Земли, так что он мог вычислить скорость v, разделив длину окружности лунной орбиты 2πR на время Т, равное одному месяцу, а отсюда вычислялось ускорение v²/R. В ответе получалась величина, значительно меньшая 9,81 м/сек². Если «гравитация» меняется с расстоянием, g может быть значительно меньше на лунной орбите. Ньютон нашел простое правило убывания силы притяжения — закон обратной пропорциональности квадрату расстояния. По закону обратных квадратов убывают с расстоянием сила света, интенсивность радиоволн, звука, а также сила, создаваемая магнитным полюсом или электрическим зарядом.

Закон обратных квадратов справедлив во всех случаях прямолинейного распространения из источника при отсутствии поглощения[93]. Правильная мысль пришла в голову Ньютону, когда он пытался получить третий закон Кеплера! Он попробовал применить зависимость, обратно пропорциональную квадрату расстояния. Луна находится на расстоянии шестидесяти земных радиусов, а яблоко — на расстоянии лишь одного радиуса от центра Земли, поэтому притяжение в области Луны уменьшается в 1/60² раз, или в 3600 раз. Ускорение Луны уже будет не 9,81 м/сек², а 9,81/3600 м/сек². Легко подсчитать значение v²/R для Луны и убедиться, что оно совпадает с «предсказанной» таким способом величиной. Представьте себе тот восторг, который вы бы испытали, открыв это соответствие! Это была успешная проверка соотношений F = M∙a и a = v²/R и закона обратных квадратов для силы тяжести. Вы могли бы сделать первую проверку выдающейся теории — и великое открытие принадлежало бы вам!

Однако сам Ньютон, полный нетерпения, но дальновидный, не был полностью удовлетворен этой проверкой. По непостижимым причинам он отложил все вычисления еще на несколько лет. По-видимому, он стремился решить задачу о притяжении тела шаром с распределенной равномерно в нем массой, подобным Земле. Он уменьшил величину g в 60² раз, но уменьшение от 1 до (1/60)² предполагает, что тело на поверхности Земли, для которого ускорение g = 9,81 м/сек², находится как бы на расстоянии одного земного радиуса от притягивающего центра. Притягивает ли громадный круглый земной шар яблоко так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре на расстоянии 6300 км от поверхности? Близкие от яблока части земной массы должны притягивать его очень сильно (согласно закону обратных квадратов).

Фиг. 150. Задача Ньютона.

_{Яблоко, притягиваемое различными частями Земли (показаны четыре отдельных элемента)}

Другие части земной массы, находящиеся, например, на расстоянии 12 600 км от яблока, будут притягивать его очень слабо. Сила притяжения различных частей земной массы действует на яблоко под разными углами. Какова результирующая всех этих сил? Здесь мы сталкиваемся с очень трудной математической задачей — сложением бесконечного числа различных притяжений. Она легко решается с помощью интегрального исчисления, но этот тонкий математический аппарат в то время только создавался. Ньютон сам изобрел его для решения этой и других задач, входящих в его работу; одновременно это же сделал и немецкий математик Лейбниц. Его вычисления, связанные с движением Луны, были отложены до тех пор, пока он не убедился, пользуясь изобретенным им методом, что шар с равномерно распределенной массой притягивает тела так, как если бы вся его масса была сосредоточена в его центре, при условии, что каждый участок притягивает тела по закону обратных квадратов. «Как только Ньютон доказал эту замечательную теорему, а мы знаем по его собственным словам, что он и не мечтал получить столь замечательный результат, пока ему не удалось это сделать с помощью собственных математических исследований, весь механизм Вселенной предстал перед ним»[94]. После этого он вернулся вновь к изучению движения Луны и с помощью одного лишь расчета проверил свои законы движения, формулу v²/R и замечательную идею о законе обратной пропорциональности силы тяжести квадрату расстояния как причины движения Луны по круговой орбите. На сей раз Ньютон был удовлетворен вычислениями. Согласие было полное; необходимая сила получалась за счет уменьшения силы тяжести. Ньютону удалось раскрыть тайну движения Луны.

Объяснение Ньютона

С одной стороны, Ньютон дал объяснение проблеме, предположив, что Луну удерживает на орбите сила тяжести. С другой стороны, он ничего не объяснил. Не была объяснена сущность гравитации, не было высказано никаких соображений относительно того, что же, собственно, представляет собой сила тяжести. Ньютон лишь показал, что одна и та же причина вызывает или обусловливает и падение яблока и движение Луны. Подобное нахождение общих причин нескольких явлений и называется в науке «объяснением».

Если вы разочарованы, то примите во внимание, что такой шаг упрощает картину природы. Заметьте также, что в обычной речи слово «объяснить» означает сделать понимание явлений более простым, ясным. Это объяснение должно также содержать фундаментальные представления, но в работах Ньютона, как и в большинстве наук, основные, или первичные причины не проявляются. Эти работы показали, однако, что явления, которые казались обусловленными различными причинами, тесно связаны между собой. Несмотря на то что мы все глубже изучаем и познаем природу, находя общие связи, основной вопрос о происхождении Вселенной и о том, почему явления в ней протекают именно так, а не иначе, остается пока без ответа.

Всемирное тяготение

Итак, сила тяжести, или, точнее, значительно ослабленная сила тяжести, — вот что удерживает Луну на ее орбите. А как обстоит дело с планетами? Удерживает ли их на орбитах та же сила?

Фиг. 151. Всемирное тяготение.

Поскольку движутся они вокруг Солнца, а не вокруг Земли, то и притягивающая их сила должна исходить от Солнца, а не от Земли. Рассматривая этот вопрос, Ньютон пришел к выводу, что существует всемирное тяготение: все небесные тела испытывают взаимное притяжение, обратно пропорциональное квадрату расстояния. Последнее следовало из анализа третьего закона Кеплера, Ньютон заключил, что любая часть материи во Вселенной притягивается всеми другими телами. Он знал из опыта, что вес тел пропорционален их массе (их притягивает Земля). Следовательно, притяжение Земли изменяется пропорционально массе притягиваемого ею тела. Если, согласно третьему закону, притяжение взаимно, то из соображений симметрии нужно учитывать и М₁ — массу Земли, и М₂ — массу притягиваемого тела. Зависимость от расстояния была получена с помощью проверки закона обратных квадратов по движению Луны. Поэтому Ньютон включил в общий закон коэффициент 1/d². Вот сформулированный им закон всемирного тяготения:

F ~= M₁M₂/d², или F = (постоянная)∙M₁M₂/d², или F = G∙(M₁M₂/d²⁾,

Где G — универсальная постоянная; М₁ и М₂ — массы; d — расстояние между ними; F — сила, с которой каждое тело притягивает другое. Нужно помнить, что универсальная постоянная G имеет другой физический смысл, нежели g, — локальное значение ускорения силы тяжести[95].

Могут ли эти общие законы объяснить движение планет? Ньютон доказал, что могут. Он показал, что притяжение по выведенным им законам обусловливает движение планет по эллиптическим орбитам, причем в одном из фокусов эллипса должно находиться Солнце. Ему удалось легко вывести два других закона Кеплера, которые также вытекают из его гипотезы всемирного тяготения. (Эти законы справедливы, если учитывается только притяжение Солнцем. Но мы должны учитывать и действие на движущуюся планету других планет.) В Солнечной системе эти притяжения незначительны по сравнению с притяжением Солнца, однако в точных расчетах ими нельзя пренебречь.

Так Ньютон перенес простое представление о движении Луны на всю планетную систему. Он предположил, что любое тело притягивается другим с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. На основе этой гипотезы он создал подробную картину движения тел в Солнечной системе, свод законов, которые проверялись точными измерениями в течение двух столетий. Спутники планет подчиняются тем же законам. Даже кометы следуют общему правилу. И все эти движения определяются силой тяжести, которая хорошо известна на Земле. Ньютон объяснил небесную систему на основе единой рациональной схемы.

Это столь большое достижение, что следует специально проследить путь, которым Ньютон получил три закона Кеплера и затем использовал их в дальнейшей работе. Первое доказательство того, что движение планеты происходит по эллипсу, можно сделать либо используя изобретенное Ньютоном дифференциальное исчисление, либо опираясь на сложные и громоздкие геометрические доказательства. (Ньютон получил доказательство и геометрическим путем, чтобы убедить в своей правоте противников дифференциального исчисления.) Мы с большим сожалением опускаем это доказательство.

Выведем теперь третий закон Кеплера, а затем второй закон — закон равных площадей за равные времена. Второй закон следует из произвольной зависимости силы притяжения от расстояния, если эта сила действует по прямой, соединяющей центры планеты и Солнца. Но первому и третьему законам Кеплера удовлетворяет только закон обратной пропорциональности сил притяжения квадрату расстояния.

Третий закон Кеплера

Чтобы получить третий закон Кеплера, Ньютон просто объединил законы движения с законом всемирного тяготения. Эллиптические орбиты движения планеты получаются, если использовать методы дифференциального исчисления, учитывающего изменения радиуса и скорости планеты. В результате таких вычислений получится третий закон Кеплера.

Фиг. 152. Движение планет.

Для случая круговых орбит можно рассуждать следующим образом: пусть планета, масса которой равна m, движется со скоростью v по окружности радиуса R вокруг Солнца, масса которого равна М. Это движение может осуществляться только в том случае, если на планету действует внешняя сила mv²/R, создающая центростремительное ускорение v²/R (см. гл. 21). Предположим, что притяжение между Солнцем и планетой как раз и создает необходимую силу. Тогда

G∙(M∙m/d²) = m∙v²/R

и расстояние d между m и М равно радиусу орбиты R. Но скорость

v = ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ / ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ = 2πR/T

где Т — время, за которое планета совершает один оборот. Тогда

G∙(M∙m/R²) = [(2πR/T⁾²/R]∙m; G∙(M∙m/R²) = 4π²m∙R²/T²R

Чтобы получить третий закон Кеплера, нужно перенести все R и T в одну сторону уравнения, а все остальные величины — в другую:

R³/T² = G∙M/4π²

Если перейти теперь к другой планете, с другим радиусом орбиты R' и периодом обращения Т', то новое отношение (R')³/(T')² будет опять равно G∙M/4π²; эта величина будет одинаковой для всех планет, так как G — универсальная постоянная, а масса М — одна и та же для всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Таким образом, величина R³/T² будет одной и той же для всех планет в согласии с третьим законом Кеплера. Для других систем, например для спутников Юпитера, величина М будет другой (в этом случае М — масса Юпитера), a R³/T² будет иметь другое значение, одинаковое для всех спутников.

Масса планеты m сокращается. Несколько планет с различными массами могли выдвигаться по одной и той же орбите. Вы могли бы об этом догадаться — ведь это знаменитый эксперимент, но в космическом масштабе.

Если закон убывания силы тяжести отличается от закона обратных квадратов, то отношение R³/T² не будет одним и тем же для всех планет. Например, если использовать закон обратной пропорциональности кубу расстояния, то для всех планет постоянной будет величина R⁴/T²; в этом случае величины R³/T² будут пропорциональны 1/R и для разных планет будут разными. В действительности, как установил Кеплер, эти величины одни и те же. Это означает, что справедлив закон обратных квадратов.

Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R — средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.

Второй закон Кеплера

Приведем приближенные вычисления, выполненные Ньютоном. Будем основываться на втором законе Ньютона: изменение количества движения равно F∙Δt. Следовательно, изменение mv — вектор, направленный по линии действия силы F и пропорциональный ее величине.

Фиг. 153. Свободное движение планеты.

_{а — планета Р движется прямолинейно о постоянной скоростью, за равные промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади; б— свойства треугольников, которыми мы здесь пользуемся.}

Вначале предположим, что планета движется свободно, т. е. на нее не действуют силы. Мы можем провести радиусы, соединяющие планету с Солнцем, лишенным гравитации (фиг. 153). Планета Р будет двигаться с постоянной скоростью по прямой линии AF (первый закон Ньютона). Обозначим расстояния, пройденные планетой за одинаковые интервалы времени: АВ, ВС, CD и т. д. Так как скорость постоянна, то AB = BC = CD и т. д.

Рассмотрим площади, описываемые радиусом SP в процессе движения. Как сравнить треугольники SAB, SBC, SCD? У всех этих треугольников одинаковые высоты SM и одинаковые основания АВ, ВС, CD. Из этого следует, что площади треугольников равны. Радиус-вектор, проведенный из точки S, описывает одинаковые площади за равные интервалы времени, так что это простое движение подчиняется закону Кеплера.

Теперь предположим, что планета движется по орбите благодаря тому, что Солнце притягивает ее и сила притяжения направлена по радиусу PS. Чтобы упростить геометрическое рассмотрение, предположим, что притяжение действует только в точках А, В, С…. траектории, а остальное время планета движется свободно по прямой линии. Тогда траектория планеты будет выглядеть так, как показано на фиг. 154.

Фиг. 154. Движение планеты с «импульсным» притяжением.

_{В отсутствие притяжения в точке В планета Р двигалась бы по оси X.}

Предположим, что планета проходит отрезки АВ, ВС, CD и т. д. за одинаковые отрезки времени, а внешнее усилие возникает только в точках В, С, D и т. д. Планета движется равномерно вдоль АВ, затем в точке В испытывает мгновенное воздействие по направлению BS и резко изменяет свою скорость, начиная двигаться (уже с другой скоростью) вдоль ВС. Если исключить из рассмотрения точку В, то планета будет продолжать двигаться прямолинейно, как в рассмотренном выше простом примере! Продолжив прямую линию, отложим на ней отрезок ВХ, равный АВ. Если не учитывать притяжения в точке В, то планета пройдет расстояния АВ и ВХ за одинаковые отрезки времени, и радиус-вектор, проведенный из точки X, опишет одинаковые треугольники SAB и SBX. Но в действительности планета достигает вместо точки X положения С.

Повлияет ли это на равенство площадей? Если планета приходит в точку С, то нужно рассматривать треугольники SAB и SBC. Равны ли эти треугольники? Усилие действует в точке В по направлению к Солнцу вдоль прямой линии BS и изменяет направление движения. Это усилие придает планете добавочное количество движения, направленное по прямой BS, которое, складываясь с ее начальным количеством движения, обеспечивает движение планеты по прямой ВС. Начальное количество движения направлено по прямой АВ. Поэтому

НАЧАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ПО АВ + ДОБАВОЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ВДОЛЬ BS = НОВОЕ КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ, НАПРАВЛЕННОЕ ПО ВС.

Из второго закона Ньютона следует, что количество движения по ВС — вектор. Поэтому суммирование необходимо проводить по законам векторного сложения (фиг. 155).

Фиг. 155. Изменение количества движения в точке В.

Так как масса планеты постоянна, то мы можем сократить ее и пользоваться для сложения скоростями:

СКОРОСТЬ ВДОЛЬ АВ + ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ ВДОЛЬ BS = СКОРОСТЬ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ВС.

Изобразим скорость планеты вдоль прямой АВ отрезком АВ. Тогда отрезок ВХ также будет равен этой скорости, а отрезок ВС будет соответствовать новой скорости планеты, направленной по прямой ВС (так как все отрезки равны расстояниям, проходимым за равные промежутки времени). Пользуясь этим масштабом, мы можем построить векторную диаграмму (фиг. 156), выражающую записанные выше уравнения.

Фиг. 156. Повторение фиг. 165 для скоростей.

_{Масштаб выбран таким, чтобы АВ или ВХ равнялись начальной скорости вдоль АВ, до ее изменения под действием силы притяжения в точке В.}

Пусть ВХ (=AВ) — начальная скорость до воздействия усилия, а ВС — конечная скорость после воздействия. Изменение скорости будет равно вектору BY, направленному по линии BS в сторону точки S. Построив параллелограмм с диагональю ВС, получим требуемый результат. Из свойств параллелограмма следует, что сторона ХС параллельна BY, так что точка С лежит на линии, параллельной BS.

Теперь рассмотрим треугольники SBC и SBX, представленные на фиг. 157.

Фиг. 157. Повторение фиг. 154, точка С лежит на прямой ХС, параллельной BY или ВS (а); треугольники одинаковой площади заштрихованы (б).

Они имеют одно и то же основание BS и находятся между параллельными прямыми, поэтому площади их равны. Площадь SBC равна площади SBX, которая в свою очередь равна площади SBА. Следовательно, треугольники SBА и SBC имеют одинаковую площадь. По аналогичным причинам треугольники SBC и SCD тоже имеют равные площади. В конечном итоге все площади треугольников равны между собой и закон Кеплера для этого движения выполняется. При этом необходимо, чтобы усилие всходило из одной и той же точки S. Если теперь чаще прикладывать усилие (но соответственно меньшее по величине), мы получим орбиту, как на фиг. 158, близкую к гладкой кривой. При этом будет соблюдаться и закон Кеплера, потому что сила направлена от планеты к Солнцу. Если прикладывать усилия еще чаще, то в пределе мы придем к случаю непрерывной силы с орбитой в виде гладкой кривой. Это и доказывает справедливость второго закона Кеплера для гладкой криволинейной орбиты.

Фиг. 158. Уменьшение равных интервалов времени от А до В, от В до С.

_{Орбита близка к гладкой кривой. Когда орбита представляет собой гладкую кривую, каждый сегмент, перекрываемый за равные времена, можно рассматривать как малый треугольник. Следовательно, у всех сегментов должна быть одинаковая площадь}

Второй закон Кеплера и момент количества движения

Ньютон пришел ко второму закону Кеплера, исходя из основных положений своей механики. Закон обратных квадратов для этого не требуется. Любое притяжение, направленное к Солнцу как центру, будет обеспечивать выполнение этого закона.

В современной механике эта задача представляет собой случай сохранения момента количества движения. Что такое момент количества движения[96] и почему мы уверены, что он сохраняется? Ниже дано краткое объяснение, слишком примитивное, чтобы быть убедительным, но имеющее целью дать общее представление об этом фундаментальном законе сохранения.

Прямолинейное движение описывается такими понятиями, как расстояние (s), скорость (v), ускоряющая сила (F)…. законами и соотношениями типа F∙Δt = Δ(Mv)…, и такими принципами, как сохранение количества движения. Когда тело вращается, не совершая поступательного движения, мы можем применить законы Ньютона к каждой его движущейся части и составить эквивалентную схему. Вместо пройденного расстояния мы будем теперь иметь угол поворота (выраженный в радианах или числе оборотов). Вместо линейной скорости мы будем иметь дело с угловой скоростью (в оборотах в минуту или в радианах в секунду). Вместо силы будет фигурировать момент силы, равный произведению силы на плечо, — причина, заставляющая тело вращаться все быстрее и быстрее. Соотношению

СИЛА∙ВРЕМЯ = ПРИРАЩЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ,

т. е. второму закону Ньютона, будет соответствовать

МОМЕНТ СИЛЫ∙ВРЕМЯ = ПРИРАЩЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.

Задумайтесь над смыслом момента количества движения, и вы, вероятно, придете к правильному заключению: подобно тому как момент силы равен произведению силы на плечо (F∙r), момент количества движения равен количеству движения, умноженному на плечо (Mv∙r).

Умножьте F и Mv на плечо относительно выбранной оси, и вы получите вариант второго закона Ньютона для случая вращательного движения. Плечо — это перпендикуляр, проведенный от оси в направлении действия вектора силы или количества движения.

Предположим, что два невращающихся тела сталкиваются и в результате одно из них начинает вращаться. Силы взаимодействия тел равны и противоположно направлены (третий закон Ньютона); плечо относительно произвольной оси для этих сил будет одними тем же. Поэтому моменты силы обоих тел относительно выбранной нами оси будут одинаковы по величине и противоположны по направлению. Приобретенный одним телом при столкновении момент количества движения будет равен по величине моменту количества движения второго тела, а их направления будут противоположными. Следовательно, полный момент обоих тел, приобретенный ими в процессе столкновения, равен нулю. Если одно тело начинает вращаться, другое тоже будет вращаться, но в противоположную сторону, вокруг той же оси. При любом столкновении или другом виде взаимодействия момент количества движения сохраняется, он может только передаваться без потерь или могут возникать равные по величине и противоположные по направлению моменты количества движения.

Фиг. 159. Вращения и столкновения.

Ввиду этого вращающееся изолированное тело (например, фигурист, вращающийся на одном коньке) не может изменить своего момента количества движения. Сумма произведений Mv∙r, относящихся к различным его частям, не может измениться. Предположим, что тело сжимается (фигурист сводит руки). Тогда величины r убывают для частей тела, приближающихся к оси вращения, и если полный момент остается постоянным, величина Mv должна возрасти — тело начнет вращаться быстрее. Понаблюдайте за фигуристом: независимо от его желания он вращается быстрее, если сводит руки или сгибает вытянутую ногу.

Фиг. 160. Момент количества движения вращающегося вокруг своей оси шара остается неизменным, если к нему не приложен момент внешней силы.

«Изолированное вращающееся тело не может изменить своего момента количества движения». Примените это положение к вращающейся Земле, к человеку на вращающемся без трения стуле. Превратитесь сами в «изолированное вращающееся тело»: начните вращаться, встав на одну пятку так, чтобы вы смогли повернуться несколько раз, прежде чем силы трения остановят ваше движение. (Еще лучше встать или сесть на табуретку, которая свободно вращается.) Возьмите тяжелую книгу и подержите ее на расстоянии вытянутой руки. Теперь, начав вращаться, прижмите книгу быстро к себе. Обратите внимание, как это отразится на вашей скорости. В этом случае момент количества движения сохраняется. Но здесь применим и второй закон Кеплера: книга — «планета», притягиваемая вами — «Солнцем» — во время ее вращения. (В этом опыте участвует ваша масса, которая имеет большую величину, поэтому вы не сможете с достаточной точностью проверить закон Кеплера.)

Для реальной планеты притяжение Солнца не создает момента силы относительно оси, проходящей через Солнце, и, следовательно, не может изменить момент количества движения планеты относительно Солнца. На самом деле последний равен Mv∙r, где r — не «рычаг» Кеплера, а отрезок перпендикуляра, опущенного из центра Солнца на касательную к орбите (линию скорости). Когда планета приближается к Солнцу, r уменьшается и, чтобы Mvr было постоянным, v должна возрастать в той же самой пропорции.

Фиг. 161. Человек на вращающейся площадке увеличивает скорость вращения, когда приближает груз к оси.

Предположим, что за очень короткое время t планета проходит небольшой участок орбиты s со скоростью v = s/t. На этом участке момент количества движения планеты относительно Солнца равен Mr∙(s/t), или Ms∙r/t. Но s∙r равно произведению высоты на основание малого треугольника, который за время t описывает радиус-вектор. Эта величина равна удвоенной площади треугольника!

Следовательно,

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТЫ = (МАССА М)∙(ДВОЙНАЯ ПЛОЩАДЬ, ОПИСЫВАЕМАЯ РАДИУСОМ-ВЕКТОРОМ) / ВРЕМЯ t

Для случая притяжения Солнцем отношение

ОПИСЫВАЕМАЯ ПЛОЩАДЬ/ВРЕМЯ

не меняется: согласно второму закону Кеплера, величина описываемой в единицу времени радиусом-вектором площади не может измениться. Следовательно, когда Кеплер открыл свой второй закон, он показал лишь, что сила притяжения планет направлена точно к Солнцу и что не существует других сил, таких, как трение, обусловленное вязким эфиром.

Закон сохранения момента количества движения столь же универсален, как и другие законы сохранения механики — сохранение массы, количества движения и т. д. В атомной физике мы называем его сокращенно законом сохранения спина и не сомневаемся в его справедливости даже в сложнейших взаимодействиях между частицами и излучением.

Фиг. 162. Момент количества движения планеты mvr = m∙(s/t)∙r = m∙(двойная площадь)/время.

Плодотворная теория

Ньютон создавал свою теорию последовательно: сформулировал законы движения как исходные пункты разумных предположений, подкрепленных соображениями, полученными из экспериментальных данных; затем получил следствия законов, такие, как законы Кеплера, а затем проверил эти выводы на опыте. В случае законов Кеплера эксперименты уже были сделаны. Наблюдения Тихо Браге были прекрасной проверкой, так что, когда Ньютон получил теоретические результаты, экспериментальная проверка теории уже была заранее готова. Не приходилось поэтому сомневаться в том, что теория «верна». Теория оказалась ценнее отдельных фактов. Она давала ясное и полное представление о движении планет, связывая его с таким привычным явлением, как падение тел. Вооруженный мощными математическими методами и руководимый великолепной интуицией, Ньютон применил свою теорию к большому числу задач, вошедших в его Принципы. Некоторые из этих задач рассмотрены ниже.

I. Определение массы Солнца и Земли

Ньютон вычислил массу Солнца, выразив ее в земных массах. [В то время масса Земли не была известна и не могла быть определена без измерений, подобных более поздним измерениям, проведенным Кавендишем (см. гл. 23)

Фиг. 163. Вычисление отношения массы Солнца к массе Земли.

Вычисления могут быть выполнены следующим путем. (Индексы С, 3 и Л относятся к Солнцу, Земле и Луне соответственно.)

Для Движения Земли по орбите вокруг Солнца.

Обратите внимание, что масса Земли М_З сократилась,

Для движения Луны по орбите вокруг Земли:

Вновь масса Луны М_Л сократилась Теперь, разделив одно уравнение на другое, получим

Зная периоды и радиусы орбит, можно вычислить отношение масс Солнца и Земли.

II. Вычисление масс планет

Ньютону удалось оценить массы Юпитера и других планет, у которых есть спутники, в единицах массы Земли или Солнца (Луна не имеет спутников, поэтому ее массу, которая сокращается в первом уравнении, определить нелегко.)

III. Величина g на экваторе

Из-за вращения Земли вокруг своей оси тело будет весить меньше на экваторе, нежели на полюсе, потому что часть его веса должна обеспечить центростремительную силу, удерживающую тело в движении по окружности вместе с поверхностью Земли. Тело, подвешенное на пружинных весах, будет удерживаться меньшей силой, чем сила, действующая на это тело со стороны Земли. Поэтому взвешивание на пружинных весах дает для веса тела меньшее значение, чем его истинный вес, на величину mv²/R. Иными словами, напряженность поля силы тяжести Земли будет казаться меньше. Ньютон вычислил эту малую поправку к величине g, которую мы ныне можем наблюдать наряду с влиянием сфероидальной формы Земли.

IV. Несферичность формы Земли

Ньютон рассчитал отклонение формы Земли от сферы, исходя из следующих соображений. Предположим, что Земля вращалась так же, как и теперь, в те времена, когда она представляла собой полужидкую тестообразную массу. Какую форму она должна была принять? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим такую схему. Трубка с водой проходит через Северный полюс к центру Земли и оттуда к экватору (фиг. 164). Каков будет уровень воды в трубке у экватора, если трубка заполнена водой так, что-уровень воды у Северного полюса совпадает с поверхностью Земли? Давление воды на дне «полярной» трубки обусловлено весом воды в этой трубке, и это давление передается через колено на дно другого колена трубки. Вес воды во втором колене заставляет воду опускаться. Но в «экваториальной» трубке обе эти силы не равны. Они должны различаться на достаточную величину, чтобы обеспечить направленную внутрь центростремительную силу, действующую на воду в трубке, когда она вращается вместе с Землей вокруг земной оси. Поэтому вес воды в этом колене должен быть больше выталкивающего усилия со стороны «полярной» трубки на величину mv²/R, а водяной столб в «экваториальной» трубке должен быть выше, чем в «полярной». «Экваториальная» трубка должна возвышаться над поверхностью Земли, чтобы в ней уместилось дополнительное количество воды. Ньютон вычислил эту дополнительную высоту, оказавшуюся равной 24 км, и пришел к выводу, что на ранней стадии существования Земли, когда она была тестообразной, на — экваторе образовалась выпуклость примерно такой величины. Спустя короткое время измерения размеров Земли подтвердили этот вывод. У Юпитера этот эффект выражен более четко.

Фиг. 164. К оценке экваториальной выпуклости Земли.

V. Прецессия

Ньютон так объяснил прецессию равноденствий: ось вращения Земли описывает конус, ибо Солнце и Луна притягивают экваториальную выпуклость Земли. Земная ось наклонена к плоскости эллиптической орбиты Земли, поэтому экваториальная выпуклость приводит к несимметричному притяжению Солнцем и Луной. Мы остановимся здесь на эффекте, связанном с притяжением Солнцем. Сферическую Землю Солнце притягивало бы равномерно, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Равнодействующая сила в этом случае должна быть направлена по прямой, соединяющей центры Земли и Солнца, независимо от того, вращается Земля или нет (фиг. 166, а). Сфероид с экваториальной выпуклостью подвергается дополнительным воздействиям, приложенным к выпуклости (фиг. 166, б).

Фиг. 165. Прецессия равноденствий.

_{а — шарообразная Земля не прецессировала бы даже совершая суточное вращение; б — через сотни лет Земля вращалась бы по своей орбите с тем же наклоном; в — прецессия сплющенной Земли; г — через несколько столетий ось вращения повернется по поверхности конуса прецессии.}

Фиг. 166. Прецессия.

_{а — Солнце притягивало бы сферическую Землю с силой, действующей по линии, соединяющей центры Земли и Солнца, независимо от того, вращается Земля или нет; б — Солнце притягивает неравномерно выпуклости сплющенной Земли.}

Эти малые дополнительные силы не равны — большее притяжение испытывает часть, обращенная к Солнцу (фиг. 167).

_{Эти малые дополнительные силы равноценны некоторому добавочному притяжению, направленному по линии, соединяющей центры Солнца и Земли, и небольшой добавочной силе f, которая стремится опрокинуть земную ось.}

_{Как и в любом случае вращения тела вокруг собственной оси, действие какой-либо силы, стремящейся наклонить ось вращения, сводится не к наклону оси, а к возникновению прецессии вокруг другой оси.}

Фиг. 167. Солнце притягивает ближайшую часть выпуклости сильнее, чем отдаленную.

Дополнительные силы эквивалентны среднему притяжению всей выпуклости, направленному по линии, соединяющей центры, плюс небольшая сила f, которая как бы качает земную ось. Так как земная ось наклонена, эта сила направлена от центра под углом. Угол между земной осью и дополнительной силой больше всего отличается от прямого в середине лета и в середине зимы. Когда такая сила действует на вращающееся тело, она не опрокидывает его, как можно было бы ожидать. Возникает очень интересное движение, называемое прецессией; вы можете его наблюдать, наклонив ось быстро вращающегося волчка. В этом случае сила тяжести, действующая на волчок, не опрокидывает его, а заставляет ось вращения волчка описывать конус. Ньютон показал, что притяжение Солнца и даже в большей степени Луны вызывает прецессию земной оси по конусу с углом раствора 23¹/₂° с периодом 26 009 лет (фиг. 167). Наконец было дано объяснение прецессии. Ее наблюдали еще греки, затем пытался объяснить Коперник, но явление оставалось совершенно необъяснимым до Ньютона. Это движение казалось таким непонятным, что почти не было надежды найти ему простое объяснение. Однако Ньютон показал, что это еще одно из проявлений всемирного тяготения: вращающаяся вокруг оси Земля прецессирует подобно волчку.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ

На фиг. 168 показан опыт, иллюстрирующий земную прецессию. Рама с быстро вращающимся маховиком подвешена на длинной веревке. Веревка и рама позволяют маховику свободно вращаться относительно вертикальной или горизонтальной оси. Наклоненное вращающееся колесо продолжает вращаться, не совершая каких-либо движений. Если прикрепить резиновый шнур, который тянул бы раму, опрокидывая вращающееся колесо относительно горизонтальной оси, то колесо начнет прецессировать вокруг вертикальной оси (веревки).

Фиг. 168. Опыт, иллюстрирующий прецессию Земли.

Объяснение прецессии гироскопа

Земля, вращающийся волчок и «чудесный» гироскоп — все прецессируют одинаково, по одной и той же причине (фиг. 169).

Фиг. 169. Земля, волчок и гироскоп — все прецессируют одинаково, по одной и той же причине.

_{Приведенные на рисунке слова «ось момента силы» означают, что, действуя относительно этой оси, сила стремится опрокинуть вращающееся тело.}

Прецессия кажется необъяснимой, однако это всего лишь сложный пример применения законов Ньютона к вращательному движению тел. При отсутствии нецентральных сил момент количества движения тела остается неизменным по величине и по направлению. Если существует нецентральная сила, создающая опрокидывающий момент, то, складывая моменты количества движения как векторы, можно показать, что ось будет прецессировать. Этот вопрос рассматривается во многих книгах. Здесь дается простое объяснение того, что прецессия — прямое следствие второго закона Ньютона. На фиг. 170 представлено большое велосипедное колесо с массивным ободом, подвешенное на тросе РQ и совершающее прецессию.

Фиг. 170. Прецессия как случай движения, описываемого вторым законом Ньютона.

Рассмотрим количество движения элемента колеса А. Этот элемент движется вперед, но вес, опрокидывая колесо, перемещает А вправо, сообщая А некоторое количество движения вправо. Это количество движения складывается с основным, направленным вперед, так что результирующее количество движения элемента А будет направлено вперед и немного вправо. Аналогично, элемент В в нижней части колеса будет иметь количество движения, направленное назад и немного влево. Для того чтобы элементы А и В обладали такими количествами движения, колесо должно вращаться относительно вертикальной оси, т. е. совершать прецессию. Здесь проявляется механизм прецессии, но распространить это рассмотрение на другие части колеса оказывается очень сложно.

VI. Движение Луны

Луна испытывает многочисленные возмущения, отклоняющие ее от равномерного кругового движения. Прежде всего она движется по кеплеровскому эллипсу, как любой спутник, в одном из фокусов которого находится Земля. Но эта орбита испытывает небольшие вариации за счет притяжения Солнцем[97].

При новолунии Луна находится ближе к Солнцу, чем полная Луна, появляющаяся на две недели позднее, эта причина изменяет притяжение, что ведет к замедлению и ускорению движения Луны в течение месяца. Этот эффект увеличивается, когда зимой Солнце ближе, так что наблюдаются и годовые вариации скорости движения Луны. Кроме того, изменения солнечного притяжения меняют эллиптичность лунной орбиты; лунная орбита отклоняется вверх и вниз, плоскость орбиты медленно вращается. Ньютон предвидел эти эффекты в движении Луны и по возможности делал оценки их величин. Некоторые эффекты наблюдались уже давно, в некоторых следовало еще разобраться, и Ньютон просил королевского астронома провести измерения, ряд измерений был осуществлен много позже. Эллиптическая орбита поворачивалась в собственной плоскости со скоростью 3° в месяц, а первое вычисление Ньютона давало значение только 1¹/₂°. В течение многих лет после Ньютона математики решали эту проблему, стараясь объяснить расхождение. Они пытались даже заменить закон обратных квадратов законом обратной пропорциональности третьей степени. Наконец одному из них удалось обнаружить, что Ньютон незаконно пренебрег некоторыми членами в своих выкладках и что если их учесть, то теория будет согласоваться с экспериментом. Еще позднее в бумагах Ньютона были найдены правильные вычисления; из них стало ясно, что Ньютон сам обнаружил допущенную ошибку и получил правильный результат. Таким образом, Ньютон показал, что отмеченные нерегулярности в движении Луны вызваны всемирным тяготением. Он не разработал во всех деталях вопрос о солнечном притяжении, движение Луны осталось сложной проблемой, которая разрабатывается со все возрастающими подробностями и до наших дней. Идеальный метод решения проблемы — наиболее общий: лечить болезнь, а не каждый из ее симптомов отдельно, т. е. попросту рассчитать траекторию Луны в сложном поле силы тяжести Земли и Солнца.

Это знаменитая «проблема трех тел»: три большие массы находятся в пространстве и обладают данными начальными скоростями; нужно определить их движение в дальнейшем. Эта проблема выглядит простой, если ее решать по частям, однако полное ее решение пока получить не удалось.

VII. Приливы и отливы

Океанские приливы и отливы долгое время оставались загадкой, объяснить которую, казалось, можно было бы, установив их связь с движением Луны. Однако люди считали, что такая связь реально существовать не может, и даже Галилей осмеял эту идею. Ньютон показал, что приливы и отливы обусловлены неравномерным притяжением воды в океане со стороны Луны. Центр лунной орбиты не совпадает с центром Земли. Луна и Земля вместе вращаются вокруг их общего центра масс подобно двум плохо подобранным партнерам, танцующим вальс. Этот центр масс находится на расстоянии примерно 4800 км от центра Земли, всего лишь в 1600 км от поверхности Земли. Когда Земля притягивает Луну, Луна притягивает Землю с равной и противоположно направленной силой (третий закон), благодаря чему возникает сила Mv²/r, вызывающая движение Земли вокруг общего центра масс с периодом, равным одному месяцу. Ближайшая к Луне часть океана притягивается сильнее (она ближе), вода поднимается — и возникает прилив[98]. Находящаяся на большем от Луны расстоянии часть океана притягивается слабее, чем суша, и на этой части океана также поднимается водяной горб. Поэтому за 24 часа наблюдается два прилива. Вследствие вращения Земли движется и ее поверхность, тогда как приливные горбы, создаваемые притяжением Луны и Солнца, остаются еще на месте, так что приливы поднимаются и опускаются над сушей, движущейся под ними. Вода океана движется вместе с Землей, а приливные горбы идут как волны от берега к берегу. В результате сложных процессов, вызываемых трением и инертностью водяных масс, приливные горбы задерживаются, поэтому приливной горб находится не точно под Луной, а отстает в среднем на ¹/₄ суток. Солнце тоже вызывает приливы, хотя и не столь сильные, ибо большое расстояние до Солнца сглаживает неодинаковость притяжения. Два раза в месяц, когда солнечные и лунные приливы совпадают, наблюдаются особенно большие приливы. Когда солнечный и лунный приливы приходят в противоположных фазах, наблюдаются малые «квадратурные» приливы.

Фиг. 171. Океанские приливы и отливы обусловлены притяжением Луны.

_{Более сильное притяжение ближайшей к Луне части океана вызывает прилив. Малое действие притяжения на далекие от Луны части океана создает другую приливную волну.}

Фиг. 172. Отставание приливов.

_{В действительности приливные горбы отстают от Луны из-за инерции приливного трения, эффектов, связанных с вращением. Ввиду суточного вращения Земли приливы в большинстве мест на земном шаре отстают на 6 часов от Луны.}

Мы можем оценить «приливные силы», действующие на элемент вещества в разных частях Земли. Возьмем «элемент», который весит 30 000 000 ньютон в любом месте на поверхности Земли[99]. В центре Земли 3 земное притяжение, испытываемое этим «элементом», будет равно нулю (фиг.173).

Фиг. 173. Сила, вызывающая приливы.

Лунное притяжение создает силу mv²/(радиус 3G), соответствующую месячному движению элемента. Расчет показывает, что эта сила равна 100 ньютон. Во всех других точках А, В, С… сила, действующая в направлении Луны, такая же — 100 ньютон, но лунное притяжение равно 97 ньютон, в точке А и 103 ньютон в точке С. Таким образом, радиальные притяжения, приходящиеся на элемент, будут равны:

в А: 30 000 000 + 97, эта величина обеспечивает необходимые 100 ньютон и еще остается 29 999 997 для эффективного g;

в В: 30 000 000 + Вертикальная компонента лунного притяжения, которая имеет небольшой наклон. Эта компонента составляет 4000/240 000 от 100, или около 1,5. В этом случае эффективное g равно 30 000 001,5;

в С: 30 000 000 (внутрь) и 103 (наружу), что обеспечивает необходимые 100 ньютон и еще остается (внутрь) 29 999 997 для эффективного g.

Таким образом, в точках А и С элемент «легче», чем в точке В, — на него действует приливная сила, равная 4,5 ньютон. Эта сила и порождает два горба, причем на каждые 3000 т приходится только 4,5 ньютон.

VIII. Масса Луны

Сравнивая квадратурный и сизигийный приливы, мы можем разделить и сравнить действие Солнца и Луны[100]. Это проделал Ньютон и смог таким образом оценить массу Луны по величине вызываемого ею прилива. Иными словами, у Луны имеется необычный спутник — океанский водяной горб, который мы называем приливом. В течение двух столетий непосредственно определить массу Луны было невозможно, пока человек не запустил спутники для ее изучения.

IX. Кометы

Ньютон раскрыл природу комет — этих гостей Солнечной системы, которые всегда вызывали интерес и даже священный ужас. (Довольно странно, что даже в наши дни в широкой печати кометы рассматриваются как мистические явления. Бульварная пресса не осмелится назвать затмение чудом, ибо это вызовет смех, но когда появляется видимая комета или даже слух о ней, многие газеты из этого делают сенсацию, сообщая о «чудесном событии на небесах». Это невежество сохранилось вместе с теми предрассудками, которые обеспечили астрологии существование на века.)

Тихо Браге и Кеплер показали, что кометы не «чудесные явления», а тела, пересекающие, как тогда думали, орбиты планет только один раз. Их можно видеть лишь потому, что они освещаются солнечным светом, и по той же причине их можно наблюдать, когда они находятся на небольших расстояниях от Земли. Ньютон показал, что кометы движутся по очень вытянутым эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Их движение определяется, как и движение планет, гравитацией. Но они имеют очень малую величину, и их орбиты обладают значительно большим эксцентриситетом, так что их можно видеть только тогда, когда они проходят вблизи Солнца. Кометы уходят далеко за пределы орбит самых далеких планет, все время замедляясь (второй закон Кеплера); наконец, изменив направление в «вершине» эллипса (первый закон Кеплера), они после долгого путешествия прилетают опять в нашу область, разворачиваются на максимальной скорости вокруг Солнца и снова удаляются. Эллиптическая орбита кометы может быть измерена, и время ее возвращения точно предсказано. Одна из наиболее знаменитых комет названа по имени ее открывателя — Галлея (Галлей познакомился с Принципами Ньютона, когда их еще печатали). Это первый пример удачного предсказания времени — возвращения кометы, интервал между ее «визитами» оказался равным 76 годам. Ньютон как раз вовремя указал на одну из старых записей Кеплера и предсказал время будущих возвращений. Когда кометы возвратились точно в предсказанное время, они потеряли свою таинственность, но не потеряли своей славы. Их регулярное возвращение в предсказанные сроки позволяет проверить наши наблюдения и дает еще одно подтверждение закона всемирного тяготения. Можно проследить появление комет в прошлом.

Например, комета Ньютона, которую он наблюдал в 1680 г., а возвращения которой можно ожидать в 2255 г, могла быть той самой кометой, которая, по преданиям, возвестила о гибели Юлия Цезаря.

Фиг. 174. Схема Солнечной системы и комета Галлея.

_{Открытая самой последней, планета Плутон очень мала и движется по эллиптической орбите, простирающейся от орбиты Нептуна до очень больших расстояний. (Меркурий и Венера не показаны)}

В некоторых случаях комета испытывает сильное гравитационное возмущение, проходя вблизи больших планет, и переходит на новую орбиту с другим периодом. Вот почему мы знаем, что у комет масса невелика: планеты оказывают воздействие на их движение, а кометы не влияют на движение планет, хотя и действуют на них с такой же силой.

Если комета приходит из внешнего пространства с очень большой скоростью, она обходит Солнце и уходит в новом направлении, но движется не по эллипсу, а по гиперболе и в этом случае назад не возвращается[101].

Кометы движутся так быстро и приходят так редко, что еще до сих пор ученые ждут момента, когда можно будет применить современные средства к исследованию большой кометы. Считают, что кометы состоят из камней, пыли, газа и т. д., движущихся совокупно. Приближаясь к Солнцу, они все сильнее и сильнее отражают свет и кажутся все ярче и ярче. Когда комета проходит очень близко от Солнца, он может сильно нагреться и начать испускать собственное излучение. Излучение Солнца вызывает испарение вещества некоторых комет; рассеиваемый дополнительно на парах свет делает кометы более яркими и как бы увеличивает их объем. У многих комет образуется «хвост» из яркого вещества, который следует за кометой и изгибается, отклоняясь от ее орбиты в сторону от Солнца.

Фиг. 176. Комета, движущаяся по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце, проходит через Солнечную систему.

Почему хвост не движется вместе в остальными частями кометы? Тело комет состоит из отдельных частиц, но тем не менее все они движутся по общей орбите, так как солнечное притяжение пропорционально массе (вспомните символический эксперимент). Хвост — исключение. Он не движется вместе с остальной массой кометы и даже отклоняется в сторону. Из этого можно заключить, что существует отталкивающая сила между Солнцем и кометой, причем эта сила действует на хвост сильнее, нежели на остальные части. Хвост скорее всего состоит из мельчайших частичек пыли, а может быть, только из газообразного вещества. Почему на маленькие частицы действуют относительно большие силы, чем на большие? Поверхностное натяжение, внутреннее трение жидкости и некоторые другие силы изменяются пропорционально поверхности частицы, тогда как гравитационные силы пропорциональны массе, а значит — объему. Наиболее вероятно, что «поверхностными силами», действующими на кометную пыль, являются давление света и поток ионов, испускаемый Солнцем. Уменьшение линейного размера частицы в 10 раз ведет к уменьшению ее массы в 1000 раз, а поверхность при этом становится меньше только в 100 раз, поэтому относительное значение поверхностных сил по сравнению с гравитационным притяжением массы становится в 10 раз больше. Вблизи Солнца его световое излучение очень велико, кроме того, оно испускает потоки протонов, и давление на небольшие частицы начинает играть важную роль. Вероятно, именно поэтому хвост кометы отталкивается от Солнца.

Фиг. 177. Силы, действующие на частицы хвоста кометы.

_{Влияние давления света пропорционально площади поверхности, гравитационное притяжение пропорционально массам притягивающихся тел.}

X. Сила тяжести внутри Земли

С помощью интегрального исчисления Ньютон показал, что пустая материальная оболочка сферической формы притягивает находящуюся вне ее массу так, как если бы вся масса оболочки была сосредоточена в центре сферы.

Представив себе, что Земля состоит из концентрических оболочек (даже различной плотности), Ньютон смог прийти к заключению, что и Земля притягивает другие тела так, как будто вся ее масса сосредоточена в ее центре. Ньютон также показал, что помещенное в такую оболочку тело не испытывает на себе действия сил. Этот результат не имеет большого значения для толкования земного тяготения, хотя и очень важен в теории электричества, ибо позволяет осуществить превосходную проверку закона обратных квадратов для электрических зарядов. Об этом будет сказано подробнее в гл. 33[102].

Эти два результата, полученные для сферической оболочки, дают интересную картину гравитационного поля однородного шара. Вне его поле спадает по «закону обратных квадратов»: g изменяется как 1/R², где R — расстояние от центра. Если поместить тело внутри шара, то оно окажется как бы внутри оболочки, притяжение которой на него не действует. Тело остается как бы на поверхности внутреннего шара. У него меньшая масса, но оно находится ближе к центру. В результате внутри шара g изменяется пропорционально R.

Фиг. 178. Определение величины g.

XI. Искусственные спутники

Ньютон указал, что любой снаряд является спутником Земли. Допустим, что из пушки, стоящей на вершине горы, горизонтально выпущен снаряд. Медленно летящий снаряд падает на Землю по параболе, фокус которой расположен близко к вершине. В действительности траектория снаряда представляет собой эллипс, второй фокус которого находится в центре Земли. Парабола и эллипс неразличимы на малом участке траектории, наблюдаемой, пока снаряд еще не упал (Чтобы получилась действительно парабола, нужна большая, плоская «Земля», а не шарообразная, с постоянным значением g.) Более быстрый снаряд полетит по эллипсу, но с малым эксцентриситетом. Можно придать снаряду такую скорость, что он будет вращаться вокруг Земли подобно Луне, обходя Землю по круговой орбите многократно (при условии, что стрелявший человек освободит дорогу «маленькой луне», после того как произведет выстрел). Такова картина движения искусственного спутника, полученная Ньютоном. Для спутника Земли и Луны будет справедлив третий закон Кеплера.

Если снаряд летит со скоростью, превышающей ту, которая соответствует движению по круговой орбите, то его траектория будет представлять собой эллипс, ближайшим фокусом которого является центр Земли. Если снаряд будет лететь быстрее, его траектория превратится в огромную параболу. Если его скорость еще больше возрастет, то он будет двигаться по гиперболе и покинет Землю навсегда. Скорость, необходимую для такого «бегства», можно рассчитать. Такой расчет очень важен для космических полетов и уже давно применялся при определении скорости молекул газа, покидающих атмосферу Земли.

Фиг. 179. Орбиты спутников Земли (по рисунку Ньютона).

_{Когда эллиптические орбиты проходят через Землю, они показаны так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Поэтому на них как бы не распространяется уменьшение силы тяжести внутри земного шара.}

XII. Возмущения движений планет. Великое открытие

Движением планет управляет в основном Солнце, но другие планеты, подчиняющиеся закону всемирного тяготения, тоже создают небольшие силы, «возмущающие» простое движение. Ньютон изучал эти возмущения. Например, большая планета Юпитер притягивает соседний Сатурн, в результате чего наблюдаются заметные изменения орбиты Сатурна. Направление притяжения изменяется, так как Юпитер и Сатурн движутся по своим орбитам. Притяжение между ними значительно изменяется также и по величине, когда межпланетное расстояние меняется от минимального до максимального[103]. Это взаимодействие влияет на силу тяжести и вносит в движение планет изменения, которые, накапливаясь, в свою очередь несколько изменяют орбиты. Ньютон оценил этот эффект и показал, что полученные результаты соответствуют наблюдаемым особенностям движения Сатурна. Однако общее решение проблемы — весьма сложная задача, и Ньютон положил лишь начало ее исследованию.

Фиг. 180. Оставшиеся «необъясненными» возмущения Урана (в период от 1650 до 1850 г)

_{Крестиком отмечено открытие Гершелем Урана. Зная орбиту Урана, астрономы обнаружили, что Уран наблюдался и был зарегистрирован как звезда несколько раз. Эти даты обозначены полыми кружочками. Стрелкой указано минимальное расстояние между звездами, видимое невооруженным глазом.}

Исследование возмущений, движения планет на первый взгляд похоже на возню с мелкими деталями; между тем спустя столетие подобного рода исследования привели к выдающемуся успеху — открытию новой планеты. До этого первая планета, кроме пяти планет, известных еще Копернику, была открыта с помощью телескопа. В 1781 г. Гершель заметил звезду, которая была больше соседних звезд и двигалась по отношению к ним, что и доказывало, что это планета. Новую планету назвали Ураном. Она была удалена От Земли на вдвое большее расстояние по сравнению с Сатурном, а радиус ее орбиты и период обращения соответствовали третьему закону Кеплера.

Продолжавшееся изучение Урана позволило обнаружить небольшие отклонения от кеплеровской орбиты. Некоторые из них можно объяснить возмущениями, вносимыми Сатурном и Юпитером. Однако некоторая необъяснимая ошибка оставалась. По данным 1820 г. она составляла всего ¹/₁₀₀° Одни астрономы сомневались в точности закона обратных квадратов, другие высказывали предположение о существовании еще неизвестной планеты, возмущающей Уран. Это было остроумным предположением, но ставило почти неразрешимую проблему. Несмотря на это, два молодых математика, Адаме в Англии и Леверье во Франции, решили определить положение этой гипотетической планеты. Очень сложно рассчитать взаимодействие двух известных планет, а здесь была обратная задача, да еще речь шла о планете, о которой ничего не было известно, ни ее масса, ни расстояние, ни направление движения. Все это нужно было найти по незначительным отклонениям Урана от кеплеровской орбиты.

Фиг. 181. Возмущающие движение Урана силы, обусловленные Нептуном.

_{Показано положение планет в разные годы. До 1822 г притяжение Нептуна ускоряло движение Урана по его орбите, так что он приходил в точку наблюдения несколько раньше, чем это ожидалось. После 1822 г. притяжение Нептуна замедляло движение Урана.}

Адаме начал работать над этой проблемой, как только оставил студенческую скамью. Двумя годами позднее он написал королевскому астроному, сообщая ему, где следует искать новую планету. Точность вычислений Адамса лежала в пределах 2°, но королевский астроном не придал большого значения письму Адамса и запросил у него дополнительные данные. В те времена, как, впрочем, и теперь, профессиональных ученых забрасывали письмами эксцентричные энтузиасты, поэтому к такого рода письмам выработалось несерьезное отношение.

В то же время над проблемой совершенно независимо работал Леверье. Он изучил несколько гипотез и остановился на том, что существует неизвестная планета, и в конечном итоге пришел к результату, близкому к полученному Адамсом. Он тоже написал королевскому астроному, и только тогда последний начал тщательное, но медленно подвигавшееся исследование. К этому времени другие астрономы начали верить в возможность того, что «мы видим ее (планету), как Колумб видел Америку с берегов Испании». Леверье написал еще директору Берлинской обсерватории, который произвел наблюдения в указанном направлении, сравнил свои наблюдения с новой звездной картой и обнаружил новую планету. Открытие обошло весь мир и было подтверждено во всех обсерваториях. Эту новую планету, открытую на основе теоретического расчета, назвали Нептуном.

Методы Ньютона

Ньютон изложил свои астрономические исследования в Принципах. Он использовал метод дедукции для получения большого числа выводов из нескольких законов, но его трактовка существенно отличалась от дедуктивных методов греков и их последователей.

Ньютон создал свою теорию на основе предположений, вытекающих из эксперимента, затем получил из теории следствия, а уже потом проверил, насколько мог, эти следствия экспериментально. Поэтому его теория была связана с действительностью экспериментом и четкими определениями, она могла предсказывай, явления, которые в свою очередь проверялись опытом. Теория Ньютона «объясняла» множество чудес, сводя их к обычным уже известным явлениям.

Преемники Ньютона исказили его точку зрения на гравитацию. Они полагали, что Ньютон трактовал ее как «действие на расстоянии», как чудесную силу, мгновенно действующую в вакууме, в отличие от декартова пространства, заполненного вихрями, которые передают силу и движение. Ньютон попросту считал, что обратно пропорциональное квадрату расстояния силовое поле позволяет объяснить законы Кеплера и многие другие явления. Для этого ему не нужно было знать, как передается сила. Он прямо говорил о том, что причина тяготения ему неизвестна. Он предполагал, что тяготение должно быть некоторым видом воздействия, исходящего от каждого материального тела и пронизывающего каждое другое тело, но это было лишь описанием наблюдаемых свойств. Ньютон подчеркивал, что он не знает их первичной причины. «Hypotheses non fingo» — «Я не измышляю гипотез», — писал он однажды в раздражении. Он не желал вводить лишние детали в описание природы и не пытался высказывать предположения, которые не могли бы быть проверены. Однако в последних работах он высказал много остроумных догадок о природе света, строении атома и даже о механизме гравитации.

Обычно Ньютона описывают как холодного, логически мыслящего, лишенного эмоций гения, который создал стиль современной науки. Но один из его биографов, лорд Кейнес, изучивший многие рукописи Ньютона, обнаружил, что Ньютон был затворником, толковавшим природу мистически.

«Ньютон не был первым человеком века рационализма. Он был последним магом, последним из вавилонян или шумеров, последним великим умом, который взглянул на вещественный и интеллектуальный мир теми же глазами, что и люди, начинавшие создавать наше интеллектуальное наследство не менее чем 10 000 лет назад.

Исаак Ньютон, ребенок, родившийся после смерти отца, вдень Рождества Христова в 1642 г., стал любимцем богов»[104]. Ньютон сам чувствовал себя волшебником, разгадавшим божественную тайну Солнечной системы, используя записи с результатами измерений, опыты, которые должны были быть сделаны, сказания и даже просто догадки, внушенные древним авторам самим богом и содержащиеся в их трудах. Он преуспел в раскрытии тайн природы благодаря своему необычному дару упорно сосредоточиваться на интересующей его проблеме, «его сила интуиции была одной из самых замечательных, которой человек когда-либо был одарен». Не мог ли он таким же путем объяснить поведение материи и человеческого мышления, показать движение времени от сотворения мира до его конца? Этот потрясающий ум стремился, насколько его понял Кейнес, быть вместе «и Коперником и Фаустом». Все биографы, начиная от современников и кончая Кейнесом и Эйнштейном, считали Ньютона величайшим математиком из существовавших за последнее тысячелетие. Идеи Ньютона

Как творец науки Ньютон создал новый стиль, который до сих пор еще сохраняет свое значение. Как научный мыслитель он представляется выдающимся основоположником идей. Новые идеи рождались у него гораздо чаще, чем это можно было бы объяснить простой удачей. Он сформулировал законы движения, которыми мы пользуемся поныне и которые мы считаем очень точным приближением к действительности. Ньютон пришел к замечательной идее всемирного тяготения. На основании скудных данных ему удалось оценить массу Земли, хотя эту оценку в те времена проверить было невозможно. Только после опытов Кавендиша Земля была «взвешена». Для своей оценки Ньютон предположил, что плотность твердых тел не может быть меньше плотности воды. Плотность же центральных частей Земли должна быть больше, чем горных пород, находящихся на поверхности. Исходя из этого, Ньютон предположил, что средняя плотность земного вещества в 5 или 6 раз превосходит массу водяного шара такого же размера (а по современным измерениям — в 5,5 раз!).

Ньютон создал теорию световых волн, объяснявшую и свойства световых лучей, и интерференцию в тонких пленках (открытую и изученную им). Это была удивительная теория, в которой считалось, что свет состоит из частиц, сопровождаемых волнами, и которая объясняла на основе этого представления законы распространения света. Через сто лет волновая теория заменила корпускулярную и дискредитировала ее. Многие годы теория света Ньютона вызывала улыбку ученых. Теперь, двести лет спустя, наука располагает четкими доказательствами того, что свет сочетает в себе свойства и волн и корпускул. Ныне мы придерживаемся теории, удивительным образом напоминающей ньютоновскую! Еще раз возникшая у него идея оказалась правильной.

Я не думаю, что появление замечательных идей, характерное для Ньютона и других великих людей, связано с их сверхъестественной интуицией, чудесным вдохновением или сопутствующей им особой удачей. Полагаю, что появление идей у Ньютона объясняется его огромными познаниями, большой гибкостью ума, умением собирать и обрабатывать случайные данные и использовать другие явления, открытые всем, но слишком скоро забываемые рядовым человеком. Интуиция Ньютона необычайна именно потому, что он опирался на великую сокровищницу знаний и мог воспринимать и помнить то, что обыкновенный человек не воспринимает или быстро забывает. Как великий актер чувствует аудиторию, перед которой выступает, отталкиваясь в своем творчестве от прекрасного знания эмоций и поведения людей, так и Ньютон чувствовал природу и мог опираться на богатые наблюдения явлений. Выть может, именно в тонком восприятии окружающего мира — мира людей или мира предметов — и заключается величие.

Задача 1. Первая проверка закона всемирного тяготения

Ньютон не указал, почему падают яблоки. Назвав причину возникновения веса тел словом «гравитация», происходящим от латинского и французского слов «тяжелый», он ничего не объяснил. Утверждение «Земля притягивает яблоко» связывает причину притяжения с Землей, а не с небом, но ничего не дает для понимания сущности гравитации. Между тем, столкнувшись с вопросом «Что удерживает Луну и планеты на их орбитах?». Ньютон смог предложить «объяснение» в том смысле, что одно и то же свойство природы обусловливает также движение планет по орбите и падение яблок. Поэтому «объяснение» означает только объединение этих явлений, объяснение их одной общей причиной. Но уже это весьма полезно для дальнейших выводов и для упрощения наших представлений о природе.

Изучая движение Луны, Ньютон вычислил ее ускорение v²/R. Эта величина оказалась значительно меньше обычного значения g, равного 9,81 м/сек². Поэтому Луна должна была бы падать под действием силы тяжести, если бы земное притяжение не было значительно ослаблено расстоянием. Ньютон пытался рассмотреть простую форму зависимости ослабления притяжения — закон убывания силы тяжести обратно пропорционально квадрату расстояния. Он предположил, что с увеличением расстояния вдвое сила тяжести уменьшится в 4 раза, а если расстояние возрастет в 10 раз, то сила уменьшится в 100 раз и т. д.

Используя приведенные ниже данные, повторите вычисления Ньютона, определив (расчеты нужно вести с большой точностью[105]):

а) ускорение Луны в м/сек², если принять a = v²/R;

б) ожидаемое значение g на Луне в м/сек², считая, что «земное» значение g убывает по закону обратных квадратов. Нужно предположить, что Земля притягивает яблоко так, как если бы вся ее масса была бы сосредоточена в центре Земли, т. е. на расстоянии одного земного радиуса от яблока.

В связи с тем что ответ требуется дать в м/сек², величины расстояний нужно перевести в метры, а время в секунды, прежде чем подставлять данные в формулы. Впрочем, вы можете воспользоваться переходными коэффициентами и отложить перевод единиц, пока это не станет необходимым. Однако смешение километров, часов, метров, секунд может запутать вычисления.

Данные. Радиус Земли 6367 км.

Радиус лунной орбиты в 60,3 раза больше земного;

1 месяц = 27,3 дня (это абсолютный период обращения Луны по отношению к неподвижным звездам);

1 км = 1000 м; g яблока = 9,81 м/сек².

Задача 2. Третий закон Кеплера

Ньютон пришел к выводу о всеобщем характере закона, согласно которому сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния. Мы выражаем этот закон в виде F = GM₁M₂/d². Из этого закона («принципа») он вывел (предсказал) свойства движения Луны, планетной системы, приливов и т. д.

Получите третий закон Кеплера, пользуясь приведенными ниже указаниями. Предположите, что Солнце, масса которого М, удерживает на круговой орбите планету массой m за счет гравитационного притяжения, причем радиус орбиты равен R. Предположите далее, что планета движется с заданной скоростью v, затрачивая время Т (планетный «год») на то, чтобы совершить один оборот.

а) Получите в алгебраической форме:

— ускорение планеты;

— силу, необходимую, чтобы придать планете ускорение;

— силу гравитационного притяжения, если она подчиняется закону тяготения Ньютона;

— скорость v планеты, выраженную через величины R и Т.

б) Доказательство

— напишите полученное Ньютоном алгебраическое уравнение, согласно которому искомая сила, необходимая, чтобы придать планете ускорение, равна гравитационному притяжению;

— исключите из итого уравнения v, пользуясь соотношением, выраженным через величины R и Т;

— перенесите величина, R и Т в левую часть уравнения, а все остальное в правую часть, получив таким путем новое уравнение;

— найдете ли вы R³/T² в левой части нового уравнения? (Если нет, проверьте свои выкладки.) Установили ли вы, что правая часть одинакова для всех планет, что она постоянна и не содержит m, R, Т?

— будет ли это новое уравнение справедливо с той же самой правой частью для других планет с разными массами, орбитами, периодами обращения, но с тем же Солнцем? Следует ли из соображений Ньютона третий закон Кеплера?

Задача 3. Второй закон Кеплера (Закон «равных площадей»)

а) Что утверждает этот закон? (Приведите чертеж.)

б) Ньютон показал, что этот закон должен выполняться для любого движения планет, если…(?)

в) Просмотрите геометрическое доказательство, сделанное Ньютоном, затем запишите ваш вариант доказательства и дайте рисунок. (Сделайте лучше несколько четких рисунков вместо одного, слишком подробного.)

Задача 4. Относительные массы планет

а) Используя законы движения Ньютона, a = v²/R и закон всемирного тяготения F = GM₁M₂/d², покажите, как можно получить на основе астрономических измерений отношение (масса Юпитера)/(масса Солнца). Оцените конечный результат, не ссылайтесь на алгебраический результат.

б) Определите приближенно[106] это отношение (см. данные ниже).

в) Сделайте аналогичные оценки отношения (масса Земли)/(масса Солнца).

г) — Из экспериментов, подобных опытам Кавендиша, можно оценить мaccу Земли. Ее величина около 6,6∙10²¹ т. Вычислите приблизительно из приведенного выше отношения массу Солнца в тоннах.

Данные (некоторые из них могут не потребоваться).

Радиусы орбит планет (см. табл. в гл. 18).

Продолжительность «года» планет (см. табл. в гл. 18).

Данные о спутниках Юпитера (см. гл. 19). (Не пользуйтесь величинами радиусов орбит в единицах радиуса Юпитера, а используйте величины в милях. Времена даны в часах, преобразуйте их в единицы, которые вы использовали в других вычислениях.)

Данные о Земле:

Собственный радиус ~ 6300 км.

Время обращения вокруг оси 24 часа.

Радиус орбиты ~150 млн. км.

1 год ~= 365 дней ~= 3∙10⁷ сек.

Данные о Луне:

Радиус орбиты ~ 60 земных радиусов.

Собственный радиус ~1600 км.

1 месяц = 27,3 дня. (Это абсолютный период обращения Луны по отношению к звездам.)

Задача 5. Искусственные спутники

а) Предположим, что спутник Земли описывает круговую орбиту на высоте 6300 км чад поверхностью Земли, так что он находится на расстоянии 12 600 км от, центра Земли. Используя свои знания о движении планет, оцените время, которое требуется спутнику на один оборот по орбите.

Дайте ответ без сокращений, приведенный к округленному числу, выраженному в часах, или минутах, или днях, или годах. (Используйте любые данные, полученные в предыдущих задачах. Величина G вам не потребуется.)

б) Инженеры телевидения предлагают запустить спутник, который мог бы ретранслировать коротковолновые передачи, обеспечивая Западное побережье программами из Нью-Йорка. Им хотелось бы, чтобы спутник стоял на месте, находясь, например, все время над Чикаго, не используя двигателей для поддержания заданного положения.

Опишите движение такого спутника, наблюдаемого с далекого расстояния от Земли.

Рассчитайте высоту, на которой такой спутник мог бы находиться, (Дайте ответ в буквенном выражении, а затем в километрах.)

в) Спутник совершает оборот вокруг Земли за 90 минут (относительно звезд).

Предполагая, что его орбита круговая, оцените, на какой высоте над Землей находится такой спутник.

г) Предположим, что снаряд выпущен из пушки горизонтально с такой скоростью, что он никогда не упадет на Землю, а будет вращаться над самой Землей.

Какое время потребуется, чтобы снаряд возвратился в исходную точку (сопротивлением воздуха пренебрегаем)?

Оцените скорость снаряда.

Скорость, которую требуется определить выше, равна скорости точки на экваторе, если бы Земля стала вращаться со скоростью…(?)

д) (Требуется быстрый ответ — время 15 сек, по нему можно судить о том, насколько вы усвоили прочитанное.) Какое время потребовалось бы спутнику Земли, чтобы обойти ее по круговой орбите радиусом 400 000 км?

Задача 6. Атомная модель Бора

Бор создал простейшую модель атома водорода с электроном, движущимся по круговой орбите вокруг тяжелого ядра, в которой справедлив закон обратных квадратов для электрических сил. (Эта картина атома ныне считается неверной, но она еще применяется для объяснений, и даже физики, когда им нужна грубая картина, используют эту модель для прикидок.) Квантовая теория, сформулированная Бором, устанавливала, что могут существовать только те круговые орбиты, для которых

(Импульс электрона)∙(Размер орбиты) = n∙h,

еде h — универсальная постоянная Планка, a n — целое число 1, 2, 3 и т. д.).

а) С помощью законов Кеплера и Ньютона покажите, что радиусы разрешенных орбит должны быть пропорциональны n², т. е. 1:4:9… (Так что если невозбужденный атом имеет радиус х, то атом в возбужденном состоянии будет иметь радиусы 4х, 9х и т. д)

б) Радиус атома водорода (n ~= 1) примерно равен 0,5 А° (0,5∙10^-10 м). Возбужденные атомы водорода наблюдаются в звездах с n, равным 30. Каков «размер» такого атома?

Идеи закона всемирного тяготения уже «витали в воздухе», когда Ньютон производил свои расчеты. Ряд ученых размышлял о том, что лежит в основе законов Кеплера. Делались попытки ответить на вопрос, можно ли объяснить движение планет притяжением Солнца, которое ослабевает по мере удаления от него. Ньютон извлек доказательство из моря домыслов и расширил предположение о силе притяжения Солнцем до понятия о всемирном тяготении. Он проверил свое предположение об обратной пропорциональности силы квадрату расстояния, рассмотрев движение Луны, и на основе этого пришел к законам Кеплера. Последующие проверки этой идеи на движении спутников Юпитера показали, что между планетами и их спутниками действуют силы того же типа, что и между Солнцем и планетами. Таким образом, на основе экспериментальных доказательств множитель 1/d² в соотношении F = GM₁M₂/d² был вполне обоснован для случая Солнечной системы.

Символический эксперимент Галилея (фиг. 182) определяет множитель М₂, т. е. массу притягиваемого тела. Так как ускорение свободного падения g одинаково для всех тел, Земля должна притягивать их с силой, пропорциональной их массам М₂, М'₂.

Фиг 182. Символический эксперимент Галилея.

Ньютон полагался на свой третий закон (действие равно противодействию), который он считал частично подтвержденным в опытах с маятником по проверке сохранения количества движения. Гравитационное воздействие М₁ на М₂ должно быть равно и противоположно гравитационному воздействию М₂ на М₁, т. е. ₁F₂ = ₂F₁. Поэтому G должно быть одинаковым для обеих сил:

₁F₂ = G(M₁M₂)/d²,

₂F₁ = G(M₂M₁)/d²

Таким образом, притягиваемое и притягивающее тела взаимозаменимы и гравитационное притяжение должно быть пропорционально массе притягиваемого тела. Это кажется очень правдоподобным, даже несомненным для всех, кто верит в симметрию; однако проверить это экспериментально на основе астрономических измерений нельзя, поскольку мы сможем определить массы астрономических тел только тогда, когда космонавты доставят нам образцы и представят результаты своих наблюдений. На основе своей теории Ньютону удалось оценить отношения масс небесных тел; (масса Юпитера)/(масса Солнца), (масса Земли)/(масса Солнца) и даже, основываясь на догадках о роли приливов, отношение (масса Луны)/(масса Солнца), но он не мог вычислить массу каждого из этих тел в отдельности, так как не знал величины гравитационной постоянной G. Для определения величины G надо было выполнить в лаборатории эксперименты по измерению очень слабого притяжения между двумя телами с известными массами.

Измерение величины G

Величина гравитационной постоянной G оставалась неизвестной еще спустя полвека после Ньютона. Оценки величины G на основе предположений, подобных гипотезе Ньютона о средней плотности Земли, показали, что гравитационное притяжение тел в лабораторной обстановке должно быть безнадежно малым. Обычно сила тяжести кажется большой, так как обусловлена громадной массой Земли. А Солнце, обладая чрезвычайно большой массой, управляет всей планетной системой. Гравитационное притяжение тел привычных нам размеров настолько мало, что мы не замечаем его по сравнению с притяжением Земли и силами с малым радиусом действия, возникающими между телами, когда те находятся в «контакте». Поэтому стало ясно, что измерение G потребует тонких и сложных экспериментов.

В конце XVIII столетия несколько ученых предприняли отчаянную попытку провести такой эксперимент, используя в качестве притягивающего тела гору известных размеров. Они оценили значение G, измеряя притяжение горой расположенного вблизи нее маятника. Чисто астрономическим путем было измерено крошечное отклонение маятника от вертикали, обусловленное притяжением горы. С помощью геологии они оценили массу горы и ее «среднее расстояние» от маятника. Подставляя результаты этих измерений в формулу F = GM₁M₂/d², они получили величину G.

Фиг. 183 Установка Кавендиша.

_{а — планка, несущая маленькие свинцовые шарики, закручивание нити становится зaметным благодаря лучу света, отражающемуся от маленького зеркала А; б — для удвоения угла поворота большие шары помещались так, чтобы планка разворачивалась в противоположных направлениях.}

Примерно в то же время Кавендиш, а позже и многие другие измерили методом прямого «взвешивания» гравитационное притяжение между массивными кусками металла и маленьким металлическим шариком. Кавендиш прикрепил пару маленьких металлических шариков к легкой планке, подвешенной в виде трапеции на длинной тонкой нити. К маленьким шарикам он подносил большие свинцовые шары. В результате воздействия этих шаров на маленькие планка поворачивалась и закручивала нить до тех пор, пока эффект притяжения не компенсировался силами Гука в закрученной нити. Кавендиш измерил массы и расстояние от маленьких шариков до больших; для вычисления величины G ему надо было знать силу притяжения, т. е. упругую силу закручивания нити.

Для прямых измерений нить была слишком тонкой и непрочной. Поэтому Кавендиш измерял период простых гармонических колебаний планки (см. гл. 10[107]). Измерив также массу и размеры планки, он смог вычислить силу закручивания нити. Так он получил хорошую оценку величины G, которую подтвердили в аналогичных более тщательных экспериментах Бойс, Гейл и др. Во всех случаях использовалась столь чувствительная аппаратура, что даже слабые воздушные потоки могли исказить измерения. Чтобы избежать конвекции, Кавендиш разместил свою аппаратуру в ящике, затем поставил ящик в закрытой комнате и проводил наблюдения за аппаратурой с помощью телескопа из другого помещения.

Результаты измерения G

В приведенной на стр. 300 таблице собраны некоторые данные, полученные в многочисленных экспериментах по измерению величины G, выполненных за минувшие 220 лет. Она не только демонстрирует все возрастающую достоверность измеренных значений этой важной величины, но и служит хорошей основой для проверки соотношений

F ~ M₁

F ~ M₂

F ~ 1/d²

…

объединяемых формулой F = GM₁M₂/d²

Из данных таблицы следует, что, несмотря на большое разнообразие использованных значений масс, материалов и расстояний, все эксперименты дают в пределах ошибок одно и то же значение измеряемой величины. Если мы хотим продемонстрировать точность, с которой мы знаем величину G, для этого достаточно воспользоваться одним очень точным экспериментом. Но мы хотим дать убедительные доказательства применимости теории Ньютона и поэтому приводим результаты разнообразных экспериментов.

Современное использование эксперимента Кавендиша

Первые грубые измерения значения G дали хорошее представление о величине гравитационных сил. Притяжение между двумя людьми, сидящими рядом, неизмеримо мало; притяжение между Солнцем и Землей невероятно велико — его может заменить разве что стальной канат с диаметром, равным поперечнику Земли. Электрическое притяжение между электроном и ядром в атоме водорода сильнее их гравитационного притяжения примерно в

2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 раз (2∙10³⁹ раз).

Более поздние измерения дали очень точное значение G с ошибками меньше 0,2 %. Не далее как в 1942 г. Гейл из Национального бюро стандартов в Вашингтоне сделал одно из самых надежных измерений этой фундаментальной постоянной. До тех пор пока какая-либо новая теория не потребует более точных измерений, эксперимент Кавендиша едва ли будет повторен. Однако прибор такого типа нашел применение в конструкции дифференциального измерителя силы тяжести (фиг. 184), с помощью которого можно измерить весьма небольшие изменения силы тяжести вблизи горной породы, отличающейся по плотности от соседних пород.

Фиг. 184. Дифференциальный измеритель силы тяжести.

Этот прибор используется геологами для исследований земной коры и разведки геологических особенностей, указывающих на месторождение нефти. В одном из вариантов прибора Кавендиша два шарика подвешиваются на разной высоте. Тогда они будут по-разному притягиваться близким к поверхности месторождением плотной горной породы; поэтому планка при надлежащей ориентации относительно месторождения будет слегка поворачиваться. Такой прибор представляет собой модификацию «магического жезла», указывающего, где залегают металлы. То, что достаточно громоздкую конструкцию удалось сделать портативной и чувствительной, следует считать триумфом техники. Разведчики нефти заменяют теперь эти дифференциальные измерители силы тяжести инструментами, непосредственно измеряющими небольшие изменения величины ускорения силы тяжести g.

Чтобы проверить, влияет ли изменение температуры, наличие промежуточного экрана, кристаллическая структура и т. д. на гравитационное притяжение, были выполнены различные варианты эксперимента Кавендиша. Пока никаких изменений в величине G не обнаружено. По-видимому, эта величина есть универсальная постоянная даже тогда, когда М₁ и М₂ содержат массу, соответствующую ядерной энергии, которая может выделиться при распаде радиоактивного вещества: соотношение F = GM₁M₂/d² по-прежнему выполняется и значение G остается одним и тем же,

Рассуждения

В настоящее время большинство физиков рассматривает гравитационную постоянную в качестве такой же истинной постоянной, как скорость света, заряд электрона и некоторые другие универсальные мировые константы, которые, по-видимому, одинаковы для всех веществ и при любых условиях. Однако некоторые довольно смелые, но не слишком благоразумные люди предполагают, что G может медленно меняться с течением времени (см. ниже). Если предположить, что раньше G было много больше, то можно прийти к выводу, что в отдаленном прошлом гравитационные и электрические силы имели сравнимую величину.

Физики-теоретики пытаются связать поле силы тяжести с электрическим и магнитным полями в единой «общей теории поля».

Некоторые ученые надеются показать, что между G и другими основными физическими постоянными существует связь — возможно, через магнетизм или через полное количество элементарных частиц во Вселенной.

Самое существенное — это время

Некоторые физики и астрономы, рассуждая о свойствах пространства, времени и материи, высказывали предположение, что если постоянную G измерять прибором с использованием атомных часов, то она будет медленно меняться. (Пользуясь маятниковыми часами для измерения периода колебаний планки или помещая маятник вблизи горы, мы не должны обнаружить каких-либо изменений, так как при этом сравнивается G с земным ускорением силы тяжести g, которое содержит G в качестве множителя.) Возникает вопрос о времени. Как мы его себе представляем? И откуда мы знаем, что одна секунда теперь имеет такую же длительность, как и раньше? Существует несколько типов «часов». В одних в качестве единицы времени используют качание маятника, в других — простое гармоническое движение нагруженной пружины (см. гл. 10[108]); используют также вращение Земли (звездный день) или полный оборот Земли вокруг Солнца (солнечный год), движение атомов (спектральные линии, спины атомов…) или распад радиоактивных веществ (см. гл. 39[109]).

Показания ряда типов часов зависят главным образом от свойств атомов (т. е. от радиоактивного распада) и даже от вращения Земли, которое остается практически неизменным, даже если изменяется сила тяжести. Некоторые из часов прямо используют силу тяжести (маятники, солнечный год). Таким образом, нам придется иметь дело с двумя разными шкалами времени.

Геологи и астрономы высказывают интересные догадки о возрасте Вселенной, основанные на измерениях радиоактивности, температуры звезд, скоростей туманностей и расстояний до них. По оценкам возраст Вселенной достигает 10 миллиардов лет по атомной шкале времени. Существует также гравитационная шкала времени (т. е. маятниковые часы или солнечный год), в соответствии с которой дата рождения Вселенной намного сдвигается назад, возможно даже в «минус бесконечность»[110]. В этом случае вопрос о «возникновении Вселенной» представился бы в совершенно другом свете.

Многие из этих рассуждений — фантастические измышления на границе метафизики, между философией и наукой. Но даже реальные эксперименты по измерению величин g и G, проводимые теперь, могут в течение следующих 10 лет привести к неожиданному пересмотру наших взглядов на гравитацию, что отразится на широком круге вопросов: от стандартов хронометрирования до теоретической космологии.

Задача 1

Ньютон догадался об универсальном характере закона тяготения. Мы выражаем его догадку посредством соотношения F = GM₁M₂/d². На основе своего предположения Ньютон предсказал поведение Луны, планетных систем, приливов и т. д.

1) Скажите, что обозначает каждая буква в приведенном выше соотношении, и поставьте присущие им размерности в системе единиц измерения метр, килограмм, секунда (МКС). Спишите этот пример и проделайте то же самое для остальных обозначений. (Пример: «G — универсальная постоянная, одинаковая для всех тел. Она измеряется в единицах ньютон∙метр²/кг².)

2) Величина G — это универсальная постоянная, измеренная Кавендишем и другими. Если мы будем измерять силу в ньютонах, массы в килограммах и расстояние в метрах, то получим для величины G значение, равное 6,66∙10^-11 (или 0,0000000000666) ньютон∙метр²/кг². Исходя из этой величины, можно определить массу Земли:

а) Используя приведенные выше формулу и величину G, рассчитайте силу притяжения Землей яблока массой 0,40 кг вблизи поверхности Земли. (Предположим, что притяжение останется таким же, если считать, что центр тяжести расположен в центре Земли на расстоянии 4000 миль от яблока.) Радиус Земли равен примерно 4000 миль, или около 6 400 000 м. Обозначьте массу Земли в килограммах через М[111].

б) Рассчитайте вес (т. е. притяжение со стороны Земли) яблока массой 0,40 кг в ньютонах.

в) Предполагая, что ответы на первые два вопроса одинаковы, напишите уравнение и решите его относительно массы Земли. Она будет выражена в килограммах. Переведите ее в фунты, затем в тонны. Используйте «оценку» (1 кг ~= 2,2 фунта)[112]

Задача 2. Как велико гравитационное притяжение?

Для оценки силы притяжения Земли Солнцем проведите следующий грубый расчет. Предположим, что гравитационное притяжение Земли можно заменить стальной проволокой и что натяжение проволоки удерживает Землю на ее орбите. Для хорошей стали натяжение на разрыв равно 100 тоннам силы на квадратный дюйм.

а) Оцените площадь сечения проволоки, способной удержать Землю на орбите.

б) Оцените диаметр этой проволоки.

Данные: G = 6,7∙10^-11 ньютон∙м²/кг²;

— расстояние от Солнца до Земли 93 млн. миль;

— масса Солнца около 2∙10²⁷ тонн;

— масса Земли 6,6∙10²¹ тонн.

Задача 3. Насколько мало гравитационное притяжение?

Приближенно рассчитайте притяжение между двумя сидящими молодыми людьми, предполагая, что они имеют сферическую форму и что масса одного из них 70 кг, а другого 90 кг, а расстояние между их центрами 0,80 м.

Задача 4. Другие силы кометы

Кометы — это, по-видимому, скопления твердых частиц пыли и газа.

а) Объясните, почему следовало бы ожидать, что комета, если ее движение определяется гравитацией, будет двигаться как целое, не изменяя своей формы (большие и малые частицы будут сохранять взаимное расположение), и не должна иметь хвоста, отстающего от нее или опережающего ее.

б) Действием каких сил можно объяснить наличие кометных хвостов? (Определите основные характеристики этих сил предпочтительно путем описания их математического выражения, а не их физической природы.)

в) Дайте обоснование вашему ответу на предыдущий вопрос.

Теория всемирного тяготения Ньютона приобрела мировую известность. Его «Принципы» выдержали три прижизненных издания. Популяризация книги стала модной при королевских дворах Европы. Объяснение «Принципов» для широкого круга читателей написал сам Вольтер. Была издана даже «Теория Ньютона в изложении для дам». На образованных людей теория Ньютона произвела впечатление не только способностью блестяще навести порядок «на небеси», но и тем, что она явилась предвестником грядущих великих открытий. Мы считаем теорию Ньютона правильной, ибо она оказалась простой, плодотворной и связала воедино множество различных явлений, дав людям глубокое понимание.

Теория проста, ибо основана на ряде четких утверждений. Эта простота не нарушается тем, что получение некоторых выводов требует использования сложной математики. Успех теории Ньютона породил попытки создать другие теории, в основе которых лежали бы также законы движения. Например, очень простым кажется поведение газов. Нельзя ли построить такую теорию, которая «предсказывала» бы закон Бойля и приводила бы к другим следствиям, обогащая наше понимание?

Такие попытки привели к созданию кинетической теории газов. Суть ее заключается в идее, которая, если вдуматься, как и большинство великих открытий, довольно проста: давление газа есть результат бомбардировки стенок мельчайшими частичками, «молекулами», газа. Газы обладают простыми свойствами. Они всегда заполняют сосуд и в отличие от твердых тел или жидкостей оказывают одинаковое давление на все стенки сосуда. При постоянной температуре произведение (давление)х(объем газа) остается постоянным независимо от того, сжат ли газ или разрежен. Нагревание газов увеличивает либо их давление, либо объем, либо и то и другое, но происходит это у всех газов одинаково. Газы подвижны, легко проникают друг в друга и просачиваются через поры в стенках. Можно ли «объяснить» эти свойства на основе механической картины? Последователи Ньютона возродили идею греческих философов о том, что вещество состоит из «атомов огня», находящихся в постоянном движении. Теперь, вооруженные механикой, они могли придать этой картине реальный смысл и выяснить, на что же способны «атомы». Наиболее поразительным свойством, которое смогла объяснить такая теория, был закон Бойля.

Закон Бойля

В 1661 г. Бойль «не без удовлетворения и восхищения» объявил о сделанном им открытии — давление и объем находятся «в обратной пропорции». Этим он хотел сказать: (давление)~(1/объем) или при сжатии воздуха произведение (давление)х(объем) остается постоянным. Тот факт, что воздух при нагревании расширяется, был хорошо известен, так что необходимость оговорки «при постоянной температуре» была очевидна. Так Бойль открыл «воздушную пружину» — пружину, которая в отличие от твердой пружины Гука обладает переменной жесткостью.

В лаборатории вам, вероятно, приходилось знакомиться с «опытом Бойля» на примере сухого воздуха, но это делалось не для того, чтобы «открыть» известный закон, а в качестве упражнения для проверки вашего «искусства в обращении с природой». Вы были ограничены малыми изменениями давления (скажем, от ¹/₂ до 2 атм), и точность лимитировалась колебаниями комнатной температуры и конусообразностью стеклянного цилиндра, содержащего газ[123]. Если отложить на графике зависимость давления от объема, то окажется, что точки лягут на гиперболу. Однако трудно быть уверенным, что получилась именно гипербола, и считать, что мы подтвердили закон Бойля[124]. Поэтому лучше откладывать зависимость давления от 1/объем и искать прямую линию, проходящую через начало координат.

Измерения, проведенные Бойлем, не были очень точны и ограничивались давлением от доли атмосферы до 4 атм. Если вы проведете более точные измерения, то обнаружите, что pV меняется лишь на десятые доли процента. На вашем графике зависимости р от 1/V экспериментальные точки лягут весьма близко к теоретической прямой, проходящей через начало координат.

Поскольку (масса)/(объем) есть плотность, а масса постоянна, то величина 1/V характеризует плотность, и закон Бойля гласит:

ДАВЛЕНИЕ ~ ПЛОТНОСТЬ

В этом и состоит смысл следующего утверждения элементарной теории газов: «если поместить в ящик вдвое больше молекул, давление увеличится ровно вдвое».

Фиг. 1. Закон Бойля.

При проверке закона Бойля все измерения делаются при одной и той же температуре, т. е. линии на графике являются изотермами. Разумеется, на одной диаграмме мы можем изобразить несколько изотерм, как на фиг. 2.

Фиг. 2. Изотермы (закон Бойля).

Однако с расширением области давлений наблюдаются заметные отклонения от закона Бойля. Этот закон лишь приближенно описывает поведение реальных газов. Он оказывается точным при малых давлениях и нарушается при больших, когда газ сжимается до высокой плотности. На фиг. 3 показаны экспериментальные данные при давлениях вплоть до 3000 атм. (Графики, описывающие поведение СО₂ вплоть до ожижения, приведены в гл. 30.)

Фиг. 3. Отклонения от закона Бойля для воздуха при комнатной температуре.

_{Кривые дают зависимость давления от объема для идеального газа, подчиняющегося закону Бойля. Точки показывают поведение воздуха и при малых давлениях неотличимы от кривых. Масштаб по горизонтальной оси растягивается в 10 раз, а по вертикальной оси сжимается в 10 раз.}

Теория

Бойль пытался угадать механизм, лежащий в основе его закона. Будучи хорошим химиком, он представил себе, что закон обусловлен поведением крохотных частичек. Частички газа, думал он, сопротивляются давлению, подобно груде маленьких шариков свалявшейся шерсти. Ньютон пошел дальше и вычислил силу отталкивания, необходимую для объяснения закона Бойля. Затем Д. Бернулли опубликовал свою теорию, которая предсказывала закон Бойля, не используя каких-либо специальных сил. Он показал, что движущиеся частицы, бомбардируя стенки сосуда, должны производить давление; он предположил также, что нагревание газа заставляет частицы двигаться быстрее. Это было началом современной теории. Попытка была смелая, но рассмотрение оказалось неполным. Лишь спустя столетие, в 1840 г., Джоуль и другие создали «кинетическую теорию газов», в основе которой лежало следующее утверждение:

Газ состоит из мельчайших упругих частиц, находящихся в быстром движении, а давление газа на стенки есть просто результат бомбардировки их этими частицами.

Джоуль показал, что такая теория может «объяснить» закон Бойля и дает важные сведения о самих частицах газа. Вскоре эта идея благодаря усилиям математиков и физиков превратилась в блестящую теорию, которая обогатила наше миропонимание.

Движущиеся частицы газа мы называем молекулами. Название это пришло из химии, где оно означает мельчайшие частицы вещества, которые могут еще существовать самостоятельно. Расщепите молекулу и вы получите отдельные атомы, свойства которых будут отличаться от свойств первоначального вещества. Так, молекула воды, Н₂О, дает два атома водорода и один кислорода, свойства которых отличны от свойств молекулы воды. Предоставленные самим себе отдельные атомы группируются в пары Н₂ и О₂ — молекулы газов водорода и кислорода. В кинетической теории газов мы имеем дело с молекулами и предполагаем, что они не расщепляются при соударениях. Кроме того, мы считаем, что молекулы действуют друг на друга лишь в момент соударения; когда они оказываются достаточно близко друг к другу, они испытывают действие отталкивающей силы, но на очень короткое время. В этом фактически и заключается соударение.

Теперь вы имеете все необходимое для построения кинетической теории газов. Попытайтесь сделать это. Предположите, что давление газа обусловлено упругими ударами молекул в стенки сосуда. Первый этап состоит в проработке задач 1 и 2. Они начинаются со столкновений шариков и кончаются бомбардировкой молекулами, и это позволяет предсказать поведение газов. После того как вы осилите задачи, возвращайтесь к обсуждению деталей.

Приведенные ниже задачи помогут вам построить кинетическую теорию газов.

Успех планетарной теории Ньютона стимулировал попытки построить другие теории, основанные на ньютоновых законах движения и ряде очевидных предположений. Теория газов рассматривает газ как скопление мельчайших молекул, очень часто сталкивающихся друг с другом. Приписывая молекулам некоторые простые свойства (включая основное предположение, что они существуют!) и допуская, что к ним применимы законы движения Ньютона, удалось вывести (предсказать) закон Бойля и многие свойства газов. Как и в большинстве теорий, для получения выводов мы на основании неких предположений должны проделать ряд вычислений. Чтобы облегчить эти вычисления, вам предлагается серия задач о столкновении шарика. Они подведут вас к вычислениям, которые дадут ценные предсказания. Основные вычисления могут показаться сначала трудноватыми просто потому, что они относятся к таинственным молекулам, но если, проделав вычисления, вы на время оставите их, то вскоре убедитесь, что они были вполне осмысленными.

Задача 1

I. Обмен импульсом (количеством движения)

Шарик массой 2 кг, двигаясь со скоростью 12 м/сек, ударяется под прямым углом в массивную стенку и останавливается.

1) Импульс шарика до соударения равен ___.___ _{(единиц)}

2) Импульс шарика после соударения равен ___.___ _{(единиц)}

3) Изменение импульса шарика равно ___.___ _{(единиц)}

4) Если третий закон Ньютона, который управляет соударением тел, верен и применим в этом случае, то мы можем сказать, что изменение импульса стенки (и того, с чем она скреплена) должно быть ___.___ _{(единиц)}

II. Сила, которую оказывают ударяющие о стенку шарики

Предположим, что о стенку ударяется множество шариков массой 2 кг каждый, движущихся со скоростью 12 м/сек. Пусть в течение 10 сек о стенку ударяются и останавливаются 1000 таких шариков. Каково будет оказываемое ими давление на стенку?

Фиг. 4. Сосуд содержит шарики или молекулы, которые движутся взад и вперед между стенками и своими ударами создают давление.

_{Вычисляется давление на переднюю стенку.}

Полное приращение импульса стенки (за период 10 сек) равно ___.___ _{(единиц)}

(Примечание. На самом деле изменение импульса происходит скачкообразно, один скачок за каждый удар шарика о стенку, но можно вычислить полное приращение импульса и, используя его, подсчитать среднюю силу, т. е. силу, усредняющую эти скачки за весь период 10 сек. Чтобы найти величину этих скачков, необходимо знать время, которое требуется шарику, чтобы потерять свой импульс, другими словами, — длительность отдельного соударения. Это время не дано, так что можно вычислить только среднюю величину силы.)

Средняя сила, действующая на стенку в течение 10 сек из-за потери 1000 шариками своего импульса, находится из формулы F∙t = Δ(mv). Средняя сила, F, действующая на стенку, должна быть равна ___.___ _{(единиц)}

(Заметьте, что соотношение F∙t = Δ(mv). есть не что иное, как второй закон Ньютона. Поэтому используемые в нем силы должны выражаться в абсолютных единицах, как и в законе F = m∙a, т. е. в ньютонах.)

III. Сила, действующая на стенку при ударе упругих шаров

Предположим, что, как и в предыдущей части задачи, 1000 шариков массой 2 кг каждый в течение 10 сек падают на массивную стенку перпендикулярно ее поверхности, но на этот раз они отскакивают назад с той же скоростью 12 м/сек.

1) Импульс каждого шарика до соударения ___.___ _{(единиц)}

2) Импульс каждого шарика после соударения ___.___ _{(единиц)}

(Помните, что импульс есть вектор. Не забывайте знаков + и —!)

3) Приращение импульса одного шарика равно ___.___ _{(единиц)}

4) Изменение импульса стенки равно ___.___ _{(единиц)}

(Примечание. Ответ не будет равен нулю.)

5) Если в течение 10 сек о стенку ударяется и отскакивает, 1000 шариков, то полное изменение импульса стенки равно ___.___ _{(единиц)}

6) Средняя сила, действующая на стенку на протяжении 10 сек, равна ___.___ _{(единиц)}

7) Если все 1000 шариков ударяются об участок стенки высотой 2 м и шириной 3 м, то среднее давление (= сила/площадь) на этом участке равно ___.___ _{(единиц)}

IV. Движение внутри ящика

Прежде чем заменить упругие шарики молекулами, мы должны поместить их в закрытый ящик. Возьмем продолговатый ящик длиной 4 м с единственным шариком внутри, который движется из конца в конец со скоростью 12 м/сек. Он ударяется перпендикулярно каждой из стенок и со скоростью 12 м/сек отскакивает в противоположную сторону. Теперь уже один и тот же шарик будет ударяться о каждую стенку много раз за 10 сек. Вместо того чтобы брать число шариков, ударяющихся о стенку, мы можем воспользоваться числом ударов, производимых одним шариком. Для нахождения силы, действующей на стенку, нужно считать удары только об эту стенку.

1) Между двумя последовательными ударами о стенку ящика шарик проходит расстояние туда и обратно, т. е. от передней стенки к задней и от задней к передней. Таким образом, он проходит ___ м.

2) При скорости 12 м/сек полное расстояние, пройденное шариком за 10 сек, равно ___ м.

3) Сколько раз шарик пройдет туда и обратно за 10 сек?

4) Сколько раз шарик ударится о переднюю стенку за 10 сек?

Таким образом, для получения 1000 ударов за 10 сек в ящике должно быть несколько шариков. На самом деле нужно примерно ___ шариков.

5) При каждом ударе о переднюю стенку импульс каждого шарика изменяется на ___.___ _{(единиц)}

6) За 10 сек шарик ударяется ___ раз о переднюю стенку ящика, и при каждом ударе импульс меняется на ___.___ _{(единиц)}

Полное приращение импульса передней стенки ящика за 10 сек равно ___.___ _{(единиц)}

Полная сила, действующая на переднюю стенку в течение 10 сек, равна ___.___ _{(единиц)}

(Давление определяется как сила/площадь, так что, если известна площадь, можно вычислить давление (среднее), вызванное ударами шарика. В нашем случае нет смысла вычислять давление, оказываемое одним шариком, можно проделать аналогичные вычисления для молекул и предсказать таким образом, давление газа.)

Теперь проведем аналогичные вычисления для молекул газа в сосуде.

Позднее мы повторим их с помощью алгебры (задача 2).

V. Молекулы газа в сосуде

Металлический сосуд длиной 4 м со стенкой 3 м х 2 м содержит одну молекулу газа, которая движется взад и вперед вдоль сосуда со скоростью 500 м/сек, упруго отскакивая от его стенок. Молекула приближается к одной стенке, ударяется о нее и, отразившись, летит с той же скоростью к другой стенке, снова ударяется и опять отскакивает с прежней скоростью 500 м/сек. Масса молекул примерно равна 6∙10^-26 кг.

(Примечание. Простые химические измерения показывают, что молекулы кислорода и азота (в воздухе) приблизительно в 30 раз тяжелее атома водорода. Сложные физические измерения говорят нам, что масса атома водорода равна 1,67∙10^-27 кг.)

1) При ударе о переднюю стенку и отскоке импульс молекулы изменяется на ___.___ _{(единиц)}

2) За 10 сек молекула проходит расстояние ___ м,

3) Между двумя последовательными соударениями о переднюю стенку молекула успевает долететь до другой стенки и вернуться назад, т. е. пройти расстояние ___ м.

4) В течение 10 сек молекула ___ раз пролетит туда и обратно и, следовательно, совершит такое же число ударов о переднюю стенку.

5) За 10 сек молекула раз ударится о переднюю стенку, изменяя свой импульс при каждом ударе на ___.___ _{(единиц)}

6) Полное изменение импульса передней стенки за 10 сек равно ___.___ _{(единиц)}

7) Средняя сила, действующая на протяжении 10 сек на переднюю стенку сосуда, равна ___.___ _{(единиц)}

8) Давление равно (сила/площадь). Стенка имеет площадь 2 х 3 м². Среднее давление на стенку равно ___.___ _{(единиц)}

VI. Множество молекул в сосуде

1) Предположим теперь, что сосуд содержит 6∙10²⁶ молекул (600 000 000 000 000 000 000 000 000). Это приблизительно соответствует реальному числу молекул в таком сосуде, если наполнить его воздухом при атмосферном давлении[125]. В действительности же они хаотически движутся во всех направлениях, но для упрощения вычислений примем, что они рассортированы на три независимые группы, причем одна группа летает вверх — вниз, другая направо и налево, а третья — взад и вперед. Из соображения симметрии молекулы должны быть поровну распределены между тремя группами (фиг. 5). Давление на переднюю стенку сосуда обусловливается только ударами молекул, движущихся взад и вперед. Продолжим вычисление давления, учитывая только треть всех молекул в сосуде, т. е. 2∙10²⁶, или 200 000 000 000 000 000 000 000 000 молекул, которые движутся со скоростью 500 м/сек вдоль 4-метрового сосуда, ударяются о его переднюю стенку, отскакивают со скоростью 500 м/сек, ударяются о заднюю стенку, отскакивают и так далее.

Используя результат части IV задачи, мы можем показать, что среднее давление на стенку сосуда будет равно ___.___ _{(единиц)}

(Эти данные описывают поведение воздуха в комнате. Какую величину атмосферного давления в тех же самых единицах показывает барометр?)

Каково отношение вычисленного выше давления к атмосферному, измеренному в лаборатории?

2) Предположим, что передняя и задняя стенки сосуда сблизились так, что длина сосуда сократилась до 2 м (т. е. до половины первоначальной длины) без изменения числа молекул, их скорости и площади этих стенок.

Среднее давление на переднюю стенку равно ___.___ _{(единиц)}

(Примечание. Арифметика в п. 2 почти та же, что и в п. 1. Решите и получите новый ответ.)

а) Вычислите давление р.

б) Вычислите произведение (давления)х(объем), умножив р на abc.

в) Повторите все решения с помощью алгебры. Возьмите сосуд длиной a, шириной b и высотой с, содержащий N молекул, движущихся со скоростью v м/сек.

Фиг. 5. К задаче 1.

_{Вместо случайных направлений движения, как изображено здесь (а), потребуем, чтобы были три группы (б) по 2∙10²⁶ молекул, движущихся параллельно граням сосуда. Теперь предположим, что давление на переднюю стенку создается ударами одной группы молекул (2∙10²⁶), движущихся взад и вперед (в).} 

Задача 2. Кинетическая теория газов (алгебра)

(Рассмотрим поведение молекул в сосуде на основе алгебры. К задаче следует приступать после того, как сделана и проверена задача 1.)

Предположим, что в сосуде заключено N молекул (N молекул во всем сосуде, а не в каждом кубическом метре). Пусть длина сосуда равна а м, а размер передней и задней стенок Ь x с м². В процессе хаотического движения со множеством соударений молекулы обмениваются импульсами и скорость их не остается постоянной. Однако мы полагаем, что если температура поддерживается постоянной, то их скорость близки к некой средней скорости, которую мы обозначим через v м/сек. Чтобы вычислить давление на стенку сосуда, мы должны учитывать только удары об эту стенку. Таким образом, для упрощения задачи мы считаем, что N молекул подразделяются на три равные группы, одна из которых движется вверх и вниз, другая влево и вправо, а третья — взад и вперед.

При вычислении давления на переднюю стенку мы учитываем только последнюю группу. Из соображения симметрии все N молекул должны разделиться между этими тремя группами поровну. Приняв эти предположения, ответьте на следующие вопросы, считая, что масса одной молекулы равна m кг.

1) При лобовом ударе молекулы о переднюю стенку и отражении изменение импульса равно ___.

2) Между двумя последовательными ударами о переднюю стенку молекула летит к задней стенке и возвращается, проходя полное расстояние ___ м.

3) За время t сек молекула, летящая со скоростью v м/сек, проходит расстояние ___ м.

4) Таким образом, в течение t сек молекула ___ раз возвратится назад и столько же рае ударится о переднюю стенку.

5) За время t сек молекула ___ раз ударится о переднюю стенку, передавал при каждом ударе импульс ___.

6) Таким образом, полное изменение импульса передней стенки из-за ударов одной молекулы за время t сек равно ___.

7) Но в сосуде находится N молекул, из которых ___ движутся взад и вперед. Полное изменение импульса передней стенки из-за ударов всех молекул в течение t сек равно ___.

8) Но F∙t = Δ(импульса), т. е. F = Δ(импульса)/t, а в нашем случае средняя сила, действующая на переднюю стенку сосуда на протяжении t сек, равна[126] ___.

9) Давление = (сила)/(площадь), а площадь передней стенки равна ___.

Таким образом, среднее давление на переднюю стенку равно ___.

10) Объем сосуда равен ___.

Таким образом, произведение (давление)-(объем) = ___.

Но m — масса одной молекулы, а их всего N, так что полная масса газа в сосуде, М кг = ___ кг.

Подставляя М в написанное выражение, находим:

(давление)∙(объем) = ___.

11) Если мы работаем с закрытым сосудом, исключающим утечку газа, то масса М постоянна.

Предположим, что температура также поддерживается постоянной. Тогда опыты показывают, что средняя скорость v будет оставаться постоянной. Если объем изменяется, то, согласно п. 10, ___.

12) Если мы измеряем объем газа, скажем в колбе, его массу (взвешивая колбу с газом и после его удаления) и с помощью барометра давление, то п. 10 дает возможность получить очень важную информацию — вычислить величину ___, которая представляет ___ молекул.

13) Единицы измерения. Если в п. 12 объем брался в м³, то массу нужно брать в ___, а давление должно измеряться в ___.

14) Из нашей теории получены два полезных предсказания: поведение газа п. 11 и заключение п. 12. Кроме того, получатся и другие результаты, но да все это нужно заплатить предположениями, которые легли в основу всего механизма. Выпишите на отдельном листе все предположения, сколько сможете,

а) относительно общих законов, применяемых к молекулам;

б) относительно предполагаемых свойств молекул, их поведения, размеров и т. д.

Трудности простейшей теории

Выражение, которое вы получили в задаче 2, по-видимому, приводит к непрерывному давлению молекул на стенку, предсказываемому законом Бойля. Но как может град ударов молекул создать непрерывное давление? Разве что они будут сыпаться c такой частотой, что сольются в постоянную силу. Для этого молекулы газа должны быть очень малы и многочисленны. Если они малы, то любая твердая преграда наподобие стенок сосуда будет казаться массивной по сравнению с отдельной молекулой. Тогда при соударении стенка сглаживает передаваемые ей импульсы в постоянное давление, которое мы и наблюдаем. (Что бы вы увидели, если бы стенки сосуда были столь же легкими, как сами молекулы?)

В приведенных задачах предполагалось, что молекулы летят от одной стенки к другой, не сталкиваясь по пути друг с другом, а ведь они, разумеется, сталкиваются, и без дальнейшей информации мы не сможем сказать, насколько часто. Как это повлияет на наши предсказания?

Фиг. 6. Сглаживание ударов.

_{Заштрихованная площадь — полная величина F∙Δt.}

Задача 3. Столкновения в простейшей теорпи

а) Покажите, что для простых рассуждений в задачах 1 и 2 не имеет значения, сталкиваются молекулы или нет. (Рассмотрите две молекулы, которые движутся взад и вперед, от одной стенки к другой и при встрече проходят друг над другом без соударения. Затем предположите, что они сталкиваются лоб в лоб и отскакивают назад. Почему их вклад в давление не изменится? Объясните это с помощью чертежа.)

б) Какие специальные предположения о свойствах молекул требуются для ответа на поставленные выше вопросы?

в) Предположим, что молекулы, стали очень большими (сохранив, однако, свою скорость, массу и т. д.). Как это повлияет на давление вследствие их соударений? Возрастет ли оно, уменьшится или останется прежним?

г) Дайте ясное обоснование вашего ответа на предыдущий вопрос.

Молекулярный хаос

Молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками совершенно случайным образом (лоб в лоб, под углом, вскользь) и поэтому не могут сохранять постоянную скорость v. Одни набирают скорость при соударениях, другие же теряют ее. Газ представляет собой хаос случайно движущихся молекул, скорости которых (при каждом соударении) могут изменяться в широких пределах. Но все же должно соблюдаться некое постоянство — ведь газ оказывает постоянное давление.

Выражение p∙V = ¹/₃ (N∙m∙v^¯2) вовсе не подразумевает, что все N молекул движутся с одной и той же скоростью и каждая дает вклад mv^¯2. Мы говорим, что молекула 1 движется со скоростью v₁, молекула 2 — со скоростью v₁ и т. д, а молекула N — со скоростью v_N. Тогда[127]

p∙V = ¹/₃ (mv₁² + mv₂² +… + mv_N²) =

= ¹/₃ [m∙(v₁² + v₂² +… + v_N²)] = ¹/₃ m∙(N∙Среднее v²)

Следовательно, v² в нашем выражении должно быть средним v^¯2. Именно поэтому мы ставим над ней черточку, обозначающую среднее значение. Так что теоретическая формула приобретает вид

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ m∙(N∙v^¯2)

Мы знаем, что если поместить газ в сосуд, то его давление с течением времени не будет прыгать вверх и вниз; давление и объем остаются постоянными. Следовательно, несмотря на все происходящие при столкновениях изменения, средняя скорость молекул v^¯2 остается постоянной. Таким образом, теория уже помогла нам навести порядок в молекулярном хаосе — получить постоянную v^¯2.

Более элегантный вывод

Введение множителя ¹/₃ для большинства выглядит как искусственный трюк. Вот более элегантный метод, в котором скорости молекул складываются с помощью простейших правил статистики. Предположим, что молекула 1 движется в сосуде со скоростью v₁ под углом к стенке (фиг. 7).

Фиг. 7. Другое рассмотрение движения молекул газа.

Каждая скорость v разложена на три составляющие _xv, _yv и _zv, параллельные граням сосуда. Затем по _xv² вычисляется давление и мы приходим к тому же результату.

Разложим вектор v₁ на три компоненты по осям х, у и z, параллельным стенкам. Тогда v₁ будет результирующей компонент скоростей _xv₁ вдоль оси х, _yv₁ вдоль оси у, a _zv₁, вдоль оси z. Поскольку оси взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора

v₁² = _xv₁² + _yv₁² + _zv₁²

для молекулы 2

v₂² = _xv₂² + _yv₂² + _zv₂²

для молекулы 3

v₃² = _xv₃² + _yv₃² + _zv₃²

…

и т. д.

v_N² = _xv_N² + _yv_N² + _zv_N²

Сложим все эти равенства:

(v₁² + v₂² + v₃² +… + v_N²) =

= (_xv₁² + _xv₂² + _xv₃² +… + _xv_N²) +

+ (_yv₁² + _yv₂² + _yv₃² +… + _yv_N²) +

+ (_zv₁² + _zv₂² + _zv₃² +… + _zv_N²)

Фиг. 8. Составляющие скорости.

По теореме Пифагора v₁² = _xv₁² + _yv₁² + _zv₁²

Разделив на число молекул N, получим среднее значение:

v^¯2 = _xv^¯2 + _yv^¯2 + _zv^¯2

Призовем теперь на помощь соображения симметрии и потребуем (игнорируя малые отклонения за счет гравитации), чтобы все три средних в правой части уравнения были равными; случайное движение большого числа молекул должно давать одно и то же распределение скоростей в любом направлении:

_xv^¯2 = _yv^¯2 = _zv^¯2

т. е.

v^¯2 = 3∙_zv^¯2

Чтобы получить давление на стенку сосуда, мы будем дальше рассуждать по аналогии с задачей 2, используя _xv — составляющую скорости молекул вдоль сосуда. (Именно эта составляющая скорости и нужна нам, ибо _yv и _zv влияют только на движение от одной боковой стенки к другой и не участвуют в передаче импульса нашим стенкам.) Поэтому вклад молекулы 1 в произведение (давление)∙(объем) будет m∙_xv₁^¯2, а вклад всех N молекул будет

m∙(_xv₁² + _xv₂² + … + _xv_N²), или m∙N∙_xv^¯2

Но он равен m∙N∙(v^¯2/3), так что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2

Предсказания кинетической теории газов

Рассмотрение молекулярных столкновений и законы Ньютона привели нас к выводу, что

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2

Он напоминает закон Бойля. Множитель ¹/₃ постоянен; N — число молекул — тоже постоянно (если они не улетают и не распадаются); m — масса молекул — постоянна. Поэтому если средняя скорость остается постоянной, то постоянно и ¹/₃ N∙m∙v^¯2, а следовательно, постоянно и p∙V, как обнаружил Бойль. Но остается ли неизменной скорость молекул? Сейчас мы не можем гарантировать это.

Но давайте на минуту забежим вперед и предположим, что молекулярное движение связано с тепловым состоянием газа и что при постоянной температуре средняя скорость молекул газа постоянна, как бы мы его ни сжимали[128]. Объяснение этого факта вы получите позднее, а сейчас примите его на веру. Сделав это, найдем:

Для газа при постоянной температуре произведение p∙V постоянно.

Более простая форма получится, если вместо объема изменять плотность: удвойте число молекул в том же сосуде, и давление удвоится.

Что это, удивительное объяснение закона Бойля? Едва ли удивительное. Мы вкладывали в него столько предположений, не упуская из виду желаемый результат, что он вряд ли может польстить нашему тщеславию. Теория, вобравшая столько предположений и предсказавшая один-единственный уже известный закон, и то при дополнительном допущении относительно постоянства температуры, вряд ли заслуживает внимания. Но наша теория — это только начало. Кроме того, она позволяет «объяснить» испарение, диффузию, внутреннее трение в газах. Она предсказывает, как ведет себя газ при сжатии, облегчает конструирование вакуумных насосов. Она приводит также к измерениям, подтверждающим законность наших предположений. Однако, прежде чем перейти к дальнейшему развитию теории, остановимся на вопросе: «на самом ли деле существуют такие штуки, как молекулы?»

Существуют ли молекулы?

«Самое страшное — это косвенные улики. Обвинитель имеет в своем распоряжении все средства для расследования. Он вскрывает факты и отбирает только те, которые, по его мнению, существенны. Но если он придет к заключению о виновности подсудимого, то для него существенными фактами будут лишь те, которые указывают на вину подсудимого. Вот почему косвенные улики — ложь. Сами по себе факты не имеют никакого смысла. Объяснение фактов — вот единственное, что принимается в расчет».

Эрл Станли Гарднер

«Дело о попугае — лжесвидетеле»

Сто лет назад молекулы казались полезным понятием. Это была плодотворная концепция, позволившая легко обнаружить закономерности у химических соединений и давшая толчок развитию простейшей теории газов. Но существуют ли молекулы на самом деле?

В те времена имелись лишь косвенные улики, которые делали эту гипотезу вероятной. Однако многие ученые были настроены скептически, а один великий химик вплоть до начала этого века даже настаивал на своем праве не верить в молекулы и атомы, хотя прямне экспериментальные доказательства появились довольно давно, примерно в 1827 г. Это было броуновское движение.

Броуновское движение

Шотландский ботаник Роберт Броун (1773–1858) сделал удивительное открытие — он увидел молекулярное движение. Рассматривая через микроскоп взвешенные в воде твердые частицы, он обнаружил, что они находятся в беспрестанном движении. Этот танец делал частицы похожими на живые существа, которые ни на минуту не прекращали своего движения. При нагревании танец убыстрялся, а после охлаждения замедлялся до первоначального темпа. Теперь мы знаем, что любые твердые частицы в жидкости будут участвовать в точно таком же беспорядочном танце, лишенном ритма и системы. Броун наблюдал результат столкновений молекул воды с твердыми частицами. Их толкали со всех сторон, как толкали бы слона, окажись он на футбольном поле во время матча.

Понаблюдайте сами за «броуновским движением». Посмотрите через сильный микроскоп на частицы сажи в воде. А еще проще, понаблюдайте в небольшой микроскоп за дымом. Наполните черный ящик дымом от сигареты или гаснущей спички и осветите его сбоку сильным светом. Дым рассеивает во всех направлениях голубовато-белый свет, часть которого попадает и в микроскоп. Под микроскопом дым представляется маленькими кусочками белого пепла, которые скачут туда и сюда в совершенно беспорядочном танце[129] (см., например, фиг. 89, стр. 530).

Понаблюдав за частицами пепла, вы поймете, почему Броун сначала принял их за живые существа, но вы можете представить себе, что это движение возникает в результате хаотических ударов молекул воздуха. Сегодня мы не просто считаем, что так может быть, а уверены, что это именно так и есть, ибо способны вычислить действие этих ударов и проверить наши вычисления с помощью наблюдений. Если бы молекул воздуха было очень много и они были бы бесконечно малы, они бомбардировали бы большую частицу пепла симметрично со всех сторон и мы не смогли бы увидеть броуновского движения. Но, с другой стороны, если бы окружающий воздух состоял из небольшого числа больших молекул, то частицы пепла при ударе молекул совершали бы неожиданные дикие скачки. Ясно, что истина лежит где-то посредине: в сосуде имеется множество молекул, ударяющих частицу пепла со всех сторон много раз в секунду. За короткий промежуток времени в нее попадали с каждой стороны сотни молекул, но на одну сторону случайно приходится на несколько сот толчков больше, чей на другую, и частица заметно перемещается. Большие скачки редки, но несколько мелких перемещений в одном и том же направлении превращаются в наблюдаемый сдвиг. Детальные наблюдения и расчеты говорят о том, что под микроскопом мы наблюдаем именно эти результирующие сдвиги. Хотя отдельные перемещения слишком незначительны и мы их не можем разглядеть, все же можно оценить их скорость, записывая и анализируя большие отклонения.

Вы сами увидите, что частицы поменьше танцуют быстрее. А теперь мысленно вообразите, что частицы становятся все меньше и меньше. Какое движение вы увидите, если размеры частиц достигают размеров молекул при условии, конечно, что мы сможем разглядеть саму молекулу? Но можем ли мы увидеть молекулы?

Можно ли увидеть молекулы?

Действительно, можно ли' А это было бы очень полезно. Мы уверены, что то, что мы видим, существует на самом деле, хотя имеется множество оптических иллюзий. Все исследования молекул, проведенные на протяжении прошлого века, привели ученых к заключению, что увидеть молекулы — дело безнадежное. Не просто маловероятно, а именно невозможно, и по веским физическим причинам. Мы реагируем на свет, который представляет собой волны с очень малой длиной волны — всего лишь несколько тысяч ангстрем от гребня до гребня[130]. Эти волны и создают видимое изображение Невооруженным глазом мы различаем форму булавочной головки с поперечником в 1 мм, или 1 0 000 000 А°;

— с помощью увеличительного стекла можем разглядеть волос толщиной 1 000 000 А°,

— с помощью слабого микроскопа видим частицы дыма размером 100 000 А°;

— с помощью сильного микроскопа видим бактерии размером от 10 000 до 1000 А°.

Но на этом ряд обрывается. Он должен оборваться — его ограничивает длина волны видимого света. Волны могут сделать видимыми препятствия, которые по своим размерам больше или порядка их длины. Например, океанские волны оставляют за островом ясно видимую тень спокойной воды. На меньшие препятствия они реагируют совсем по-другому. Встречая небольшое деревянное бревно, океанские волны не образуют за ним никакой тени. Они просто обтекают бревно и смыкаются за ним, как будто его и нет совсем. Слепой, бредущий по берегу штормового моря, может почувствовать присутствие близлежащего острова, но никогда не узнает о маленьком бревне, которое находится где-то тут же возле него[131].

Длины световых волн лежат в пределах от 7000 А° для красного света до 4000 А° — для фиолетового. Попытка проникнуть в область коротковолнового ультрафиолета путем применения фотопленки (вместо глаза), натолкнулась на препятствие — волны поглощались, еще будучи длиннее 1000 А°; линзы, образцы и даже сам воздух «непрозрачны» для такого ультрафиолета. Рентгеновские лучи с еще более короткими длинами волн способны проходить через вещество и создавать тени, но практически не фокусируются линзами. Хотя рентгеновские лучи и имеют малые длины волн и могли бы помочь проникнуть в более тонкие детали структуры, они дают лишь теневую картину. Таким образом, барьер, созданный волновой природой света, кажется непреодолимым. Мы можем увидеть бактерии размером до 1000 А°, а вот вирусам, имеющим в десять раз меньшие размеры, суждено остаться невидимыми. Увидеть же молекулы, которые меньше вирусов в десятки раз, совсем безнадежно. А между тем вирусы, вызывающие многие болезни, привлекают пристальное внимание медиков. Существует мнение, что вирусы находятся на границе между живыми организмами и химическими молекулами. Увидев молекулы, мы смогли бы ответить на многие важнейшие вопросы химии.

Невидимость молекул доставляла много неудобств, но казалась неизбежной. В начале этого века косвенную информацию о строении молекул удалось получить с помощью рентгеновских лучей. Упорядоченные структуры атомов и молекул в кристаллах могут рассеивать рентгеновские лучи регулярным образом, наподобие того, как «расщепляется» свет, проходящий через сотканный материал (посмотрите ночью на удаленный фонарь через тонкий носовой платок или зонтик).

Картины рассеяния рентгеновских лучей выявляют расположение атомов и расстояние между слоями в кристаллах. Они подтвердили оценку размеров молекул из измерений с помощью тонких пленок масла. В последнее время дифракционные картины позволили установить очертания некоторых больших молекул, т. е. не только установить детали кристаллической структуры, но и получить указания о форме молекул. Затем, пока некоторые физики сокрушались, что «нет надежды», был изобретен электронный микроскоп. В нем вместо света через исследуемый тонкий образец проходит пучок электронов, который затем фокусируется электрическими и магнитными полями, образуя на фотопленке сильно увеличенное изображение. Длины электронных воля настолько меньше световых[132], что позволяют различать даже «молекулы».

Поэтому теперь мы можем «рассматривать» вирусы с огромным увеличением и даже удается сфотографировать большие молекулы. Полученные контуры молекул хорошо согласуются с теми умозрительными картинами, которые рисовали химики, исходя из хитроумных рассуждений о химических свойствах этих молекул.

В последнее время созданы еще более «тонкие» методы. В конце нашей книги мы приводим фотографию отдельных атомов металла на острие булавочной головки. Почему мы не показываем ее сейчас? Да потому, что прежде необходимо познакомиться с атомной физикой, ее методами и подходами. Тогда вы поймете, насколько правильна эта фотография. Мы будем говорить об электронах сверхвысоких энергий, которыми сейчас прощупывают структуру атомных ядер, исследуя их теневое изображение.

За последнее 100 лет молекулы из мельчайших гипотетических кирпичиков теории превратились в такую реальность, что мы пытаемся даже разглядеть их форму. Большинство характеристик молекул — скорость, их число, масса, размер — были получены еще в прошлом веке на основе кинетической теории газов Теория порождала измерения, и измерения подтверждали теорию. А теперь мы оставим заботу о том, как увидеть молекулы, и посмотрим, что можно получить из простых экспериментов.

Измерение скорости молекул

Вернемся к нашему результату:

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ N∙m∙v^¯2

Если верить этому выражению, то можно оценить реальную скорость молекул. Ведь N — это число молекул, а m — масса одной молекулы, так что Nm — общая, масса молекул газа в сосуде. Следовательно, выражение переписывается в виде

ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = ¹/₃ M∙v^¯2

где М — общая масса молекул газа. Мы можем взвесить образец газа, измерить его объем при известном давлении, подставить результаты наших измерений в написанное выше соотношение и найти величину v^¯2 — среднее значение квадрата скорости.

Опыт 1. Необходимые измерения показаны на фиг. 9. Мы измеряем давление обычного комнатного воздуха ртутным барометром. (Высота столбика, плотность ртути и величина ускорения силы тяжести, g = 9,8 ньютон/кг, дадут давление в абсолютных единицах, ньютон/м²[133].)

Фиг. 9. Косвенное измерение скорости молекул на основе кинетической теории газов.

Взвесим воздух, который заполняет колбу. Для этого взвесим колбу, заполненную воздухом при атмосферном давлении, а затем, после того как весь или почти весь воздух выкачан из колбы, погрузим колбу в воду, откроем пробку, чтобы вода заместила воздух. Измерение объема воды в колбе даст нам объем воздуха известной массы. Подставив эта результаты, вычислим v^¯2, а следовательно, и квадратный корень из него √v^¯2, который можно назвать средней скоростью (точнее, средней квадратичной скоростью).

В задаче 4 приведены результаты этих измерений. Вычислите скорость.

Задача 4. Скорость молекул кислорода

Опыт показывает, что 32 кг кислорода при атмосферном давлении и комнатной температуре занимают объем 24 м³.

а) Вычислите плотность кислорода, т е. (масса)/(объем).

б) Используя соотношение кинетической теории газов, вычислите средний квадрат скорости молекул v^¯2.

в) Извлеките корень и найдите среднюю квадратичную скорость в м/сек.

Молекулы воздуха носятся со скоростью 400 м/сек! Итак, теория дает полезные предсказания и подтверждает свои предположения, как ей и пристало! Мы предположили, что газ состоит из молекул, которые, по-видимому, движутся быстро, и наша теория на основе простых измерений показывает, сколь быстро они движутся. Но теория не может доказать правильность собственных предсказаний. Результат может подтверждать лишь правильность предположений теории. Так что нужна экспериментальная проверка. Если теория пройдет одно или два испытания, мы вполне можем положиться на ее дальнейшие предсказания.

Скорость молекул; экспериментальные данные

Грубые указания о величине скорости мы можем получить, изучая скорость звука и броуновское движение.

Задача 5. Скорость звука

Мы считаем, что звук переносится волнами сжатия и разрежения, причем изменение плотности и движение передаются от одной молекулы к другой благодаря соударениям. Если воздух действительно состоит из движущихся молекул, то что вы можете сказать об их скорости, зная, что измерения скорости звука в воздухе дают величину 340 м/сек?

Задача 6. Броуновское движение

Поглядев в микроскоп на дым, вы увидите быструю пляску больших частиц пепла и бешеную — маленьких.

а) Частицы могут быть настолько малы, что их не видно. Каково их движение?

б) Считая молекулы еще меньшими частицами пепла, что можно сказать об их движении?

Обе задачи просто имеют общее решение. А вот опыт, который показывает, насколько быстро движутся молекулы газа.

Опыт 2. На дно тонкой стеклянной пробирки выпускается жидкий бром[134]. Жидкость немедленно испаряется, и бурый пар, или «газ», медленно расползается по трубке. Затем тот же эксперимент повторяется с пробиркой, из которой выкачан воздух. Теперь освобожденные пары брома движутся очень быстро. (Молекулы брома движутся столь же быстро и в воздухе, но распространение газа замедляется множеством столкновений с молекулами воздуха.)

Фиг. 10. Движение молекул брома.

_{а — диффузия брома в воздухе; б — бром, выпущенный в вакуум; в — капсула} 

Прямые измерения

Настоящей проверкой должны служить прямые измерения. Скорость молекул измерялась несколькими экспериментаторами. Мы рассмотрим типичный эксперимент, проделанный Цартманом.

Фиг. 11. Прямое измерение скоростей молекул.

_{а — схема опыта Цартмана; б — различные стадии вращения барабана; в — развернутый образец пленки}

_{1 — метки от молекул различных скоростей, 2 — нулевая метка, сделанная молекулами при неподвижном барабане.}

Опыт 3. Пучок молекул пропускался через прорезь в цилиндрическом барабане, который мог быстро вращаться. Это были молекулы висмута, которые испарялись в вакууме из жидкого расплава в маленькой печи. Затем серия экранов с прорезями выделяла узкий пучок, который попадал в барабан. При каждом повороте щель барабана пропускала только небольшую порцию движущихся молекул. Когда барабан покоился, молекулы пролетали к противоположной стенке барабана и создавали отметку на пленке, расположенной за щелью. При вращении барабана пленка за время пролета молекул через барабан перемещалась на заметное расстояние и метка сдвигалась в новое положение. По этому сдвигу метки, диаметру барабана и скорости его вращения вычислялась скорость молекул. Когда пленка была извлечена из барабана, то на ней оказалась резкая центральная метка из осевшего металла, а метка, возникшая при вращении, имела вид размазанного пятна, которое говорило, что скорости молекул не были одинаковыми, а были разбросаны в довольно широкой области. Молекулы газа движутся хаотически, испытывая столкновения, и следует ожидать, что в любой момент имеется довольно разнообразный набор скоростей. В предсказаниях же кинетической теории фигурирует средняя, точнее, средняя квадратичная скорость √(v^¯2). Распределение скоростей относительно средней можно предсказать о помощью математической статистики случайных событий.

В опыте Цартмана пучок горячих молекул пара будет обладать тем же распределением скоростей с пиком при величине, характеризуемой температурой. Измерения потемнения пленки дали в точности такое же распределение и среднюю величину, очень хорошо согласующуюся с предсказанной простейшей теорией (фиг. 12)[135].

Фиг. 12. Результаты опыта Цартмана.

_{Кривая характеризует плотность почернения (экспериментальные результаты). Крестиками показаны значения, предсказываемые кинетической теорией газов на основе статистики.}

Скорости молекул в других случаях. Диффузия

Взвешивание бутылки водорода или гелия при атмосферном давлении и комнатной температуре показывает, что эти газы менее плотны, чем воздух; углекислый газ более плотен. Поэтому, согласно нашему предсказанию, p∙V = ¹/₃M∙v^¯2, молекулы водорода и гелия движутся быстрее молекул воздуха (при той же температуре), а молекулы углекислого газа — медленнее. Вот что получается на самом деле.

Задача 7. Скорости

а) Если молекулы кислорода при комнатной температуре движутся со скоростью около 400 м/сек, то с какой скоростью движутся молекулы, водорода?

б) Какова средняя скорость молекул гелия по сравнению с молекулами водорода при той же температуре? (Найдите отношение «средних» скоростей.)

в) Какова скорость молекул углекислого газа по сравнению с молекулами воздуха при той же температуре? (Найдите отношение «средних» скоростей.)

Задача 8

Рискните угадать[136], будет ли скорость звука в гелии той же, что и в воздухе. А может быть больше или меньше?

Проверьте вашу догадку, наполнив органную трубу сначала воздухом, а затем гелием (или углекислым газом), или же вдохните гелий, а затем попробуйте сказать что-нибудь. (Рот и нос работают как миниатюрная органная труба.) Изменение скорости звука изменяет время, необходимое для прохождения звука от одной стенки трубы до другой, и изменяет таким образом частоту колебаний звука, повышая частоту основного тона.

Задача 9

Как, по вашему мнению, изменится скорость звука в воздухе при изменении давления и постоянной температуре? (Ответьте на этот вопрос, учтя, что 28,8 кг воздуха при комнатной температуре и давлении 1 атм занимают 24 м³, а при давлении 2 атм — 12 м³.)

Диффузия

Если скорости молекул разных газов столь отличны, то при прохождении через длинную тонкую трубку один газ должен отделяться от другого. Для этого трубочки должны быть настолько длинными и узкими, чтобы молекулы газа просачивались через них поодиночке.

Опыт 4. Подходящими порами обладает, например, неглазурованная керамика (фиг. 13 и 14). Именно такими порами пронизана белая керамическая кружка J. Если наполнить ее сжатым газом и закрыть пробкой S, то, как и следовало ожидать, газ через поры постепенно вытечет из кружки в атмосферу. Но если внутри и снаружи давление одинаково (атмосферное), то трудно ожидать утечки, даже если внутри и снаружи были разные газы. Однако изменения происходят, указывая на разные скорости молекул. Описанный опыт начинается с того, что внутри кружки находится воздух, а вне ее — другой газ, также при атмосферном давлении. Молекулы водорода проникают в кружку быстрое, чем оттуда выходит воздух, или же воздух выходит быстрее, чем «вползают» молекулы СО₂. Это качественная демонстрация диффузии, но она подсказывает способ разделения смеси газов. Поместите внутрь кружки смесь водорода и СО₂. Тогда водород независимо от того, что находится вне кружки — воздух или вакуум, будет диффундировать быстрее, чем СО₂, так что, повторяя этот процесс несколько раз, можно получить почти чистый водород.

Фиг. 13. Диффузия газов.

_{Водород диффундирует внутрь сосуда сквозь пористую стенку J быстрее, чем воздух из него} 

Фиг. 14. Диффузия газов.

_{Углекислый газ диффундирует внутрь сосуда через пористую стенку J медленнее, чем воздух из него}

В этом и состоит физический метод разделения, основанный на различии молекулярных скоростей, которое обусловлено различием масс молекул (фиг. 15). Здесь не требуется различия химических свойств, и им можно пользоваться для разделения «изотопов» — близнецов, которые совершенно идентичны химически, но немного отличаются атомным весом. Когда впервые были открыты изотопы — один образец газообразного неона оказался на 10 % плотнее другого, а одни атомы свинца тяжелее других, — это казалось любопытным курьезом. Разделение имело смысл с точки зрения демонстрации эффекта. Диффузия естественной смеси неона в атмосфере давала такую возможность. Ню после того как стало известно, что в природном уране перемешаны два изотопа, один из которых легко расщепляется, а другой нет, выделение редкого изотопа стало вопросом первостепенной важности. Сейчас для этого в огромных масштабах используют диффузию газов (см. задачу 11 и фиг.16–18; см. также гл. 30 и 43[137].

Фиг. 15. Диффузия газов.

_{Воздух и углекислый газ при атмосферном давлении разделяются пористой перегородкой. Сначала они занимали равные объемы при одинаковом давлении и содержали одинаковое число молекул (а). Но молекулы воздуха в среднем проходят по порам быстрее, чем молекулы СО2. Поэтому число молекул и давление становятся неодинаковыми (б).}

Фиг. 16. Разделение изотопов урана с помощью диффузии UF₆ через пористую перегородку.

_{Молекулы газа, много раз соударяясь, с перегородкой и стенками пор, частично проникают сквозь них.}

Фиг. 17. Разделение изотопов урана с помощью диффузии UF₆ через пористую перегородку (а) и многоступенчатое разделение диффузией (б).

_{Смесь, прошедшая первую ступень, перекачивается на вход второй ступени. Неиспользованная смесь перекачивается назад на вход предыдущей ступени}

Фиг. 18. Разделение изотопов урана с помощью диффузии.

_{Чтобы добиться почти полного отделения U²³⁵F6, необходимы тысячи ступеней}

Температура

Нагревание газа увеличивает р или V. С увеличением температуры всегда возрастает pV, а поэтому и ¹/₃ Nmv^¯2. Следовательно, нагревание газа увеличивает v² и заставляет молекулы двигаться быстрее. В этом суть эффекта повышения температуры.

Задача 10

а) Как по-вашему, при повышении температуря воздуха скорость звука станет больше, меньше или останется той же самой? Объясните.

б) Как вы думаете, при повышении температуры диффузия газов происходит быстрее, медленнее или с той же скоростью? Объясните.

Развитие кинетической теории газов

Мы не в силах дать точных ответов на подобные вопросы, пока не изучим подробнее теплоту, температуру и энергию. Затем мы сможем извлечь новые данные о внутреннем трении в газе, теплопроводности и найдем способ измерения массы отдельной молекулы, так что сможем сосчитать мириады молекул в объеме газа. Мы вернемся к кинетической теории газов после изучения энергии. И именно кинетическая теория газов приводит нас к понятию энергии.

Что такое mv²?

Выражение ¹/₃ Nmv² очень важно с точки зрения изучения газов. Оно означает (забудем на время множитель ¹/₃):

ЧИСЛО МОЛЕКУЛ ГАЗА∙(mv² одной молекулы).

Что же такое mv² для движущейся молекулы? Конечно, это масса, умноженная на квадрат скорости, но какого рода величину она характеризует? Каковы ее свойства? Уж не является ли она одним из членов ряда m… mv… mv²…? Масса m нам знакома. Она считается постоянной, а ее полное значение — сохраняющейся величиной. Знаком нам и mv — импульс. Он рассматривался как вектор, который также сохраняется. В такой ли степени полезна величина mv²? Строение ее таково:

mv∙v = Ft∙v,

или

СИЛА ВРЕМЯ ∙ РАССТОЯНИЕ / ВРЕМЯ

так что mv² имеет вид (сила)∙(расстояние). Полезно ли это произведение? Чтобы сила действовала на некотором расстоянии, необходим двигатель, потребляющий топливо. Топливо… энергия.

Мы увидим, что для появившегося в теории газов выражения mv² необходим только множитель ¹/₂, чтобы превратить его в «энергию».

Задача 11. Разделение урана (вариант см. гл. 30, задача 3)

Молекула кислорода содержит два атома, и мы обозначаем ее O₂; молекула водорода также состоит из двух атомов Н₂, а газообразный фторид урана имеет формулу UF₆.

Химические опыты показывают, что относительные массы атомов О, Н, F и U равны 16, 1, 19, 238. Доказательства и блестящая догадка Авозадро приводят к заключению, что стандартный объем любого газа при 1 атм и комнатной температуре содержит одно и то же число молекул независимо от сорта газа (одно и то же для О₂, Н₂ и UF₆). Кинетическая теория газов подтверждает эту догадку (см. гл. 30).

а) Обратившись вновь к задаче 7, вы увидите, что замена О₂ на Н₂ меняет массу молекулы в отношении 32:2. Каково изменение при той же температуре у v^¯2, т. е. у средней квадратичной скорости? (Во сколько раз молекула водорода при комнатной температуре движутся быстрее молекул кислорода? Напишите соотношение между новой скоростью и старой. Здесь вам не нужно повторять всю арифметику; просто проследите за изменяющимся множителем)

б) Проделайте то же самое, заменив кислород газообразным фторидом урана. Сделайте грубый арифметический расчет и найдите приближенное числовое значение.

в) Существует несколько сортов атомов урана. Масса обычного урана равна 238 (по сравнению с 16 для кислорода), но редкий изотоп 0,7 % в смеси, полученной из руды), тот самый, который легко делится, имеет массу 235. Один из способов (очень медленных) отделения этого редкого изотопа урана от обычного состоит в превращении смеси во фторид и диффузии газообразного фторида через пористую стенку. Поскольку молекулы фторида U²³⁵ имеют несколько иную скорость, то после диффузии получится смесь с иными пропорциями.

1) Обогащается ли она или обедняется U²³⁵?

2) Обоснуйте ваш ответ на предыдущий вопрос.

3) Оцените разницу в % средних скоростей молекул [U²³⁵F₆] и [U²³⁸F₆].

(Примечание. Как уже обсуждалось в гл. 11 (т. 1), изменение на х% в некоторой величине Q приводит к изменению ¹/₂ х% для величины √Q.)

Задача 12

На фиг. 13 и 14 показаны два примера диффузии. Опишите, что там происходит, и объясните эксперимент.

Задача 13. Сжатие газа с молекулярной точки зрения

а) Когда упругий шарик испытывает лобовое соударение с массивной стенкой, он отражается с первоначальной скоростью. То же происходит и с мячом, ударяющимся о массивную биту, которая удерживается на месте. Однако если бита движется в направлении к мячу, то он отлетит с другой скоростью. Как он будет двигаться — быстрее или медленнее?

б) (Вопрос трудный. Нужно хорошо подумать.) Что произойдет со временем упругого соударения, когда бита движется по направлению к мячу? Будет ли оно длиннее, короче или тем же самым, что и в случае неподвижной биты?

в) Если газ в цилиндре сжимается поршнем, его температура возрастает. Как это явление объясняется с точки зрения кинетической теорий газов?

г) Предположим, что сжатый газ расширяется и толкает поршень. Что произойдет с газом?

Задача 14. Размер молекул и их пробег

Пусть закрытый сосуд содержит большое число молекул газа при фиксированной температуре. Предположим, что по приказу волшебника молекула раздулись и стали больше, хотя их число, скорости и объем cocyда не изменились.

а) Как это повлияет на среднее расстояние от центра до центре молекул (сильно увеличится, уменьшится или изменится немного)?

б) Объясните ваш ответ.

в) Как это повлияет на среднее расстояние, проходимое молекулами между двумя соударениями (средняя длина свободного пробега)?

г) Объясните ваш ответ.