Яромир Хладик написал несколько книг, но они не принесли ему удовлетворения. В одной он видел «всего лишь прилежание»[2]. Другую характеризовали «небрежность, вялость, неточность». Третья пыталась доказать несостоятельность ошибочной идеи, но делала это с помощью «не менее ложных доказательств». Я сам давал жизнь лишь книгам, безупречным и сверкающим не более, чем рекламные ролики зубной пасты, но все же могу глубоко ему посочувствовать, особенно небольшому лицемерию, которое помогало Хладику в повседневной жизни. «Подобно всякому писателю, – говорит Хорхе Луис Борхес, – он судил о других по их произведениям, но хотел, чтобы о нем судили по замыслам».

А что же было в планах у Хладика? О, Хладик рад, что вы спросили! Он пишет драму в стихах «Враги», и ей предстоит стать никак не меньше, чем шедевром. Она войдет в его наследие, усмирит его шурина и даже вернет «фундаментальный смысл бытия». Но только если ему удастся преодолеть небольшое препятствие – ну знаете, написать ее.

Здесь я хочу извиниться перед читателями, потому что история принимает мрачный оборот. Хладика – еврея в захваченной фашистами Праге – арестовывает гестапо. За судом на скорую руку следует смертный приговор. Накануне казни герой обращается к Богу:

Если я не одна из Твоих ошибок и повторений, если я существую на самом деле, то существую лишь как автор «Врагов». Чтобы окончить драму, которая будет оправданием мне и Тебе, прошу еще год. Ты, кто владеет временем и вечностью, дай мне этот год!

Проходит бессонная ночь, наступает рассвет – время казни – и, когда сержант уже отдает последний приказ расстрельной команде, когда Хладик замирает в преддверии смерти, когда кажется, что все уже безвозвратно потеряно… Вселенная застывает.

Господь даровал Хладику тайное чудо. Это единственное мгновение с каплей, скатывающейся по его щеке, и смертоносными пулями, повисшими в воздухе, увеличилось, растянулось, расширилось. Мир остановился, но мысли героя нет. Теперь Хладик может закончить свою драму, составляя и доводя до совершенства строки в своем сознании. Этот момент будет длиться год.

Сейчас, на переломе судьбы, которой никто не мог бы позавидовать, Хладик получает подарок, способный стать предметом зависти любого.

«Цель каждого художника, – однажды написал Фолкнер, – художественными средствами остановить [на картине] течение самой жизни и закрепить его». (Разумеется, сам Хладик является плодом фантазии писателя Хорхе Луиса Борхеса.) «Tempus fugit», – писал Исаак Ньютон, что означает: время бежит. «Tempus fugit, – заявляли средневековые солнечные часы, – время бежит». Хотя наши цели различаются, все мы – художники, ученые и даже те болтливые невежды, которых мы зовем «философами», – охотимся за одним и тем же невероятным призом. Мы хотим поймать время, удержать в руках мгновение так, как это сделал Хладик.

Увы, время уклоняется и ускользает. Вспомните знаменитый «парадокс стрелы» от неисправимого греческого тролля Зенона Элейского.

Идея: представьте себе стрелу, летящую в воздухе. Теперь мысленно остановите ее, как это произошло при расстреле Хладика. Стрела по-прежнему движется? Нет, конечно, нет – стоп-кадр по определению является застывшим. В любой отдельно взятый момент стрела неподвижна. Но если время состоит из моментов, а ни в один момент стрела не движется… тогда как же она может двигаться?

Философы в Древнем Китае играли в подобные игры разума. «То, что не поддается измерению, не может быть собрано в целое, – писал один из них. – Оно имеет размер в тысячу километров». В математическом смысле мгновение не имеет измерений. Оно не обладает ни длиной, ни протяженностью. Оно длится ноль секунд. Но, поскольку ноль, умноженный на ноль, равен нулю, два мгновения также составляют нулевое время. Это же относится и к десяти мгновениям, и к тысяче, и к миллиону. Получается, что любое исчисляемое количество мгновений будет в целом продолжаться ноль секунд.

Однако если никакое количество мгновений никогда не складывается ни в какое время, то откуда взялись месяцы, годы и матчи по крикету? Как стремящиеся к нулю мгновения составляют бесконечную временну́ю линию?

Вирджиния Вульф отмечала, что время «заставляет растения и животных расцветать и увядать с потрясающей пунктуальностью». Но «не оказывает такого простого эффекта на сознание человека. Более того, его разум работает с одинаковой странностью, независимо от того, в каком времени находится тело».

Мы охотимся за моментами истории, уродуя время. С помощью песочных часов и размеченных свечей мы поделили день на часы. С помощью маятников и передаточных механизмов разбили часы на минуты (слово «минута» означает «малая» [часть часа]) и после этого – на секунды (более мелкая единица второго порядка, мельчайшая часть минуты). Далее мы разложили время на миллисекунды (половина взмаха крыльев мухи), микросекунды (яркий проблеск стробоскопа) и наносекунды (за каждую из которых свет совершает путешествие на 30 сантиметров), не говоря уж о пико-, фемто-, атто-, зепто- и йоктосекундах. Затем поток названий истощился, предположительно потому, что у доктора Сьюза кончились идеи, но мы продолжаем «мельчить» время. В конце концов вечность распадается на единицы планковского времени, составляющие примерно одну миллиардную триллионной доли йоктосекунды, или количество времени, необходимое для того, чтобы свет прошел пути через протон. Ни один инструмент не может выйти за пределы этой максимальной краткости: физики настаивают, что это наименьшая значимая единица времени, насколько мы можем его понимать (или, как я, не понимать).

Где же, где же ты, мгновение? Где-то за планковским временем? Если мы не можем ни собрать моменты в интервалы, ни разбить интервалы на моменты, так чем же тогда являются эти невидимые, неделимые вещи? Пока я пишу книгу в обычном мире бегущего времени, в каком же искрящемся немире создает свое произведение Хладик?

В XI в. математики впервые нащупали ответ на этот вопрос. В то время как европейские мудрецы рвали на себе волосы, пытаясь рассчитать дату Пасхи, индийские астрономы занимались предсказанием солнечных затмений. Им требовалась ювелирная точность. Астрономы начали членить единицы времени так давно, что прошло почти 1000 лет, прежде чем появились какие-то приборы, которые могли бы их измерить. Одна трути равна менее чем 1/30 000 секунды.

Эти бесконечно малые частицы времени проложили дорогу к понятию, которое называется таткалика-гати – мгновенное движение. Как быстро и в каком направлении движется Луна в данный конкретный момент?

А что насчет этого момента?

А как сейчас?

А сейчас?

В наши дни таткалика-гати известна под более скучным названием – производная.

Возьмем движущийся велосипед. Производная измеряет, как быстро изменяется его положение, то есть скорость велосипеда в отдельно взятый момент. На графике внизу это отражается в кривизне линии. Более крутая кривая указывает на более быстрый велосипед и, таким образом, бо́льшую производную.

Конечно, в любой отдельно взятый момент велосипед, как и стрела Зенона, неподвижен. Таким образом, мы не можем рассчитать производную в застывшем кадре. Вместо этого мы работаем с помощью сокращения интервала. Во-первых, определим скорость велосипеда в десятисекундный интервал, затем попробуем интервал в одну секунду, затем – 0,1 секунды, 0,01 и 0,001…

Таким хитрым способом мы незаметно подкрадываемся к мгновению, подступаем все ближе, ближе и ближе, пока рисунок не проступает совершенно явственно.

Для другого примера возьмем реакцию синтеза, когда два элемента соединяют свои молекулы, чтобы создать новый химический элемент. Производная измеряет, как быстро растет концентрация вещества, то есть скорость реакции в отдельно взятый момент.

Или представим себе остров, переполненный кроликами. Производная измеряет, насколько быстро меняется размер популяции, то есть скорость ее роста в данный конкретный момент. (Для этого графика мы должны на непродолжительное время принять выдумку о «дробных кроликах», но если ваша вера в невероятное зашла столь далеко, то, я уверен, вы справитесь с любой задачей.)

Этот «хлеб с маслом» всех математиков странным образом похож на поэтическую фантазию. Производная – «мгновенное изменение», она захватывает движение в отдельный момент, как будто ловит молнию в бутылку. Это отрицание Зенона, который сказал, что в отдельно взятое мгновение ничего случиться не может, и оправдание Хладика, который верил, что за один момент может произойти все что угодно.

Теперь, вероятно, вы можете себе представить, как закончилась история Хладика. 12 месяцев он сочинял свою пьесу. «Он трудился не для потомства, – говорит Борхес, – даже не для Бога, чьи литературные вкусы были ему неведомы». Он писал для себя. Он работал, чтобы удовлетворить то, что Томас Вулф считал вечной жаждой художника:

…Навечно закрепить в нерушимых структурах единственный момент человеческого бытия, единственный момент красоты жизни, страсти и неописуемого красноречия, который проходит, загорается и гаснет, всегда просачиваясь сквозь наши пальцы с течением песчинок времени, навсегда ускользающих от нашей отчаянной хватки, ибо река течет и удержать ничего нельзя.

Хладику удалось удержать реку. Не имеет никакого значения, что «Врагов» никто никогда не прочтет или что пули через краткий промежуток времени возобновят свой путь. Важно только то, что он дописал книгу, которая теперь будет существовать всегда, в этот единственный момент, который сам по себе является вечностью.

Исаак Ньютон был любопытным ребенком. Здесь под «любопытным» я подразумеваю «жадным до знаний», а также «очень странным». В одной из историй говорится, что чтение так захватывало юного гения, что его домашняя кошка растолстела, подъедая нетронутые завтраки, обеды и ужины. Или вспомните о том, как он впервые провел исследование по оптике. Встречали ли вы когда-нибудь настолько любопытного ребенка, чтобы он рискнул своим зрением ради проблеска истины? В своем дневнике Ньютон писал: «Я брал шпильку [палочку с тупым концом] и вдавливал ее между глазом и костью, как можно ближе к боковой части глаза. Нажатие… приводило к появлению нескольких светлых, темных и цветных кругов».

Жаль, но сегодня мы редко вспоминаем Ньютона как калечащего самого себя владельца тучной домашней кошки. Вместо этого мы помним его как гения, которому на голову упало яблоко.

На самом деле сила воздействия фрукта на его мозг преувеличена. Как рассказывал сам сэр Исаак Ньютон, все, что потребовалось для того, чтобы часы его разума совершили историческое движение, – это быстро промелькнувшее перед глазами падающее яблоко. «Сидя в саду в одиночестве, – вспоминал Генри Пембертон, друг Ньютона, – он начал размышлять о силе тяготения». Падение яблока навело ученого на мысль о том, что, как бы высоко мы ни поднялись – на крышу, на вершину дерева или горы, – притяжение не исчезает. Оно, перефразируя слова Альберта Эйнштейна, является «жутким действием на расстоянии». Вещество Земли, кажется, притягивает вещество других тел, независимо от того, как далеко они находятся.

Любопытный молодой человек пошел дальше. (На этот раз никаких булавок, только размышления.) Что, если притяжение простирается дальше вершин гор? Что, если его сила действует гораздо дальше, чем мы можем предположить?

Что, если она достигает Луны?

Аристотель никогда не верил в это. Звезды выстраиваются в идеальный порядок, словно ноты в музыкальной симфонии или родственники моей жены, организующие торжественный обед. Жизнь на Земле – анархия, источник беспорядка, как я, когда устраиваю ужин для друзей. Как эти два королевства могут следовать одним и тем же законам? Какой сумасшедший, пытавшийся выколоть себе глаза, решится объединить земное и небесное?

Весной 1666 г. этот сумасшедший 23 лет от роду отдыхал в тенистом саду своей матери. Он увидел, как падает яблоко, а затем, в порыве вдохновения, представил еще одно падающее яблоко, на этот раз на том расстоянии, где находится Луна. Один маленький шаг для Apple, гигантский скачок для фрукта.

Ньютон приблизительно представлял, о каком расстоянии идет речь: если взять за единицу расстояние от поверхности Земли до ее центра, то Луна находится примерно в 60 таких единицах.

Как может вести себя притяжение при таком огромном удалении?

Даже самые высокие горы не предлагают никакой подсказки. В масштабах космоса, по сравнению с Луной, вершина Эвереста, считай, что вовсе не удалена от поверхности Земли – так, выступает над ней на толщину волоска… Но давайте предположим – с помощью грандиозного и слегка нарушающего ход истории «скачка», – что притяжение ослабевает на больших расстояниях. Чем больше вы удаляетесь, тем слабее его сила. Сейчас я ссылаюсь на знаменитый закон обратного квадрата Ньютона.

Если расстояние увеличивается вдвое, то сила притяжения составляет 1/4.

Если возрастает втрое – 1/9.

При десятикратном увеличении – всего 1/1000.

Наше великолепное яблоко, путешествующее по космосу, оказавшись в 60 раз дальше от ядра Земли по сравнению со своими висящими на яблоне братьями и сестрами, подвергнется всего 1/3600 силы притяжения. Если вы никогда не делили на 3600, позвольте мне сообщить: этот процесс делает вещи намного меньше.

Бросьте яблоко у поверхности Земли, и за первую секунду оно упадет на 4,9 м. Это примерно уровень второго этажа здания.

Бросьте «астрояблоко» с высоты, на которой находится Луна, и за первую секунду оно переместится чуть больше чем на один миллиметр. Это толщина прекрасной во всех отношениях кредитной карты.

В те времена движение Луны по орбите оставалось тайной. Считалось, что лучше всего его объясняет вихревая теория Рене Декарта, согласно которой все небесные объекты следуют своими маршрутами благодаря кружащимся, как в водовороте, потокам частиц, словно игрушки в ванне, устремляющиеся к сливу, когда из него вынимают пробку. Но наступило время перемен – annus mirabilis Ньютона, его «чудесный год», который «чудесным» же образом растянулся на 18 месяцев. Пережидая в Вултсорпе, у матери, эпидемию чумы, свирепствовавшей в Лондоне, Ньютон разработал идеи, которые легли в основу современной математики и физики. Он сформулировал законы движения, раскрыл оптические секреты призмы, не забывал обращать внимание на предметы быта и изобрел математический анализ.

А заодно, благодаря падению яблока, сверг с пьедестала вихри Декарта.

Как знал предшественник и брат Ньютона по духу Галилей, горизонтальное движение не влияет на вертикальное. Оставьте одно яблоко падать строго вертикально, а другое точно такое же яблоко киньте горизонтально в любую сторону, и они ударятся о землю в один и тот же момент. Разумеется, их горизонтальные траектории разойдутся, но вертикальное движение определяется одной и той же единовластной силой – притяжением.

Теперь поднимите свои яблоки на вершину очень высокой горы и бросьте их с силой супермена. Поздравляю! Вы попали в знаменитую иллюстрацию из шедевра Ньютона «Математические начала натуральной философии», демонстрирующую диковинные физические процессы падения с большой скоростью.

Здесь благодаря искривлению земной поверхности наше аккуратное разделение вертикального и горизонтального движения исчезает. То, что в один момент является горизонтальным, в другой становится вертикальным. Чем сильнее бросок, тем дольше продолжается падение.

Бросьте яблоко с силой, как это делает питчер Высшей бейсбольной лиги, и оно пролетит небольшое расстояние, прежде чем упасть на землю. Оно может добраться из точки А в точку В.

Бросьте яблоко по-настоящему сильно, как питчер «Ред Сокс» в сторону наглого игрока «Янкиз», и горизонтальное движение уведет фрукт от поверхности Земли, продлив падение. Возможно, он проделает весь путь до точки С.

Бросьте яблоко невообразимо сильно, как Генри Ровенгартнер[3] на стероидах, и оно полетит от Земли так быстро, что каждый момент падения будет просто возвращать яблоко на первоначальную высоту. Таким образом, яблоко сможет падать вечно.

Орбита – это всего лишь постоянное падение, и никакие картезианские[4] вихри здесь не требуются.

Как все это работает с нашим отважным лунным яблоком? Ну, это задача для математического анализа, так что возьмем бесконечно малый момент – одну-единственную секунду путешествия. На таком коротком отрезке изогнутую линию орбиты можно считать прямой линией.

Здесь мы обозначим расстояние, которое пролетит яблоко, если будет подвергаться воздействию только силы притяжения.

А что теперь? Следующим шагом Ньютона было изящное геометрическое доказательство. Построим прямоугольный треугольник. Нам нужно узнать длину гипотенузы (самой длинной стороны). Поэтому впишем его в более крупный треугольник, сохраняющий те же пропорции.

Поскольку треугольники являются подобными, их стороны соотносятся одинаково:

Решив уравнение, получаем следующий ответ

Как вы помните, наше яблоко опускается с малой скоростью 1 мм/с – около 3 % скорости ленивца на поверхности земли. И тем не менее, чтобы удержать фрукт на орбите, мы должны запустить его со скоростью 1 км/с, что примерно в три раза больше скорости звука.

Казалось бы, невероятно, немыслимо! Луна падает как брошенное в сторону яблоко? Действительно, сэр Исаак? Можете ли вы подтвердить этот смешной мысленный эксперимент какими-либо – как это называется – доказательствами?

Ну, давайте прикинем время, за которое наше лунное яблоко сделает оборот по орбите вокруг Земли. На таком большом расстоянии ему придется пройти путь в 2,5 млн км по окружности. При движении со скоростью чуть больше 1 км/с сколько времени займет это путешествие?

Ха, вы только посмотрите на это! Наши расчеты совпали – с погрешностью менее 0,7 % – с периодом реальной лунной орбиты. Это удивительным образом подтверждает теорию Ньютона: Луна действительно падает, как огромное яблоко сорта «ред делишес» (и ее почти так же хочется съесть). Как заключил биограф Джеймс Глейк:

Яблоко само по себе ничего не значило. Оно представляло только половину пары – второй в ней была Луна… Яблоко и Луна сошлись при случайном стечении обстоятельств, создали обобщение, связали явления разного масштаба: близкое и далекое, обыкновенное и неизмеримое.

Теорию сэра Исаака трудно переоценить. Она определяет единственную универсальную силу, которая управляет земным и небесным королевствами, и порождает современный взгляд на реальность – механическая Вселенная, работающий как часы космос, подчиняющийся ясным, недвусмысленным и нерушимым законам, развиваясь от одного мгновения к другому.

Французский ученый Пьер-Симон Лаплас сказал об этом так: вообразите себе могучий ум, которому ведомы расположение всех предметов и мощность каждой силы. Подобный разум должен был бы знать все. «Ничего не было бы определенным, – сказал Лаплас, – а будущее, как и прошлое, стояли бы перед его глазами».

Весь мир – это дифференциальное уравнение, а все люди – всего лишь его переменные.

Не все приняли точку зрения Ньютона. Поэт Уильям Блейк не стал стесняться в выражениях и заявил: «Наука – это древо смерти». Писатель Алан Мур разъяснял: «Для Блейка границы мысли Ньютона были холодными каменными стенами внутреннего подземелья, куда заключено все человечество».

Сильно сказано!

Как бы то ни было, у Ньютона имелись полчища настоящих защитников. Перекрывая рекорды Александра Поупа («Был этот мир глубокой тьмой окутан. / Да будет свет! И вот явился Ньютон»[5]) и Уильяма Вордсворта («Тихое лицо / Как циферблат ума, что в одиночку / Плывет сквозь мысли странные моря»[6]), одним из самых яростных адвокатов Ньютона был философ и фанат науки Вольтер, который называл ученого «творческим духом», «нашим Христофором Колумбом» и (возможно, несколько перегибая палку) «божеством, которому я приношу жертвы». Именно Вольтеру мы обязаны одним из самых поэтических описаний математического анализа в истории: «искусство вычислять и измерять именно то, существование чего не может быть постигнуто», а также популярностью истории о яблоке, которое он поместил в центр интеллектуальных исканий ученого.

Если учесть, какой ореол мифов окутывает ее, насколько мы можем доверять сказке о яблоке?

«Эта история, разумеется, правда, – говорит Кейт Мур, глава архивов Королевского общества, – но, следует признать, ее можно было бы рассказать получше». Ньютон и сам подогревал интерес к этому случаю вместо того, чтобы честно рассказать о том, какими маленькими шажками и рывками наука постепенно движется к прогрессу. Не стоит забывать, что 15 лет он провел, совершенствуя свои теории, опираясь на работы Галилея, Евклида, Декарта, Валлиса, Гука, Гюйгенса и множества других ученых. Теории появляются на свет не просто так, у них есть корни. Они растут. В тот момент в нашем саду знаний еще не произросло полноценное понимание гравитации. Солнце только согрело своими лучами его первые ростки.

Перебравшись в Англию и впервые переступив порог частной школы, насчитывающей 462 года истории, где я должен был стать преподавателем, я никак не мог поверить в свою удачу. Каждое утро учителя собирались в комнате отдыха и пили чай с бутербродами. Понятия «комната отдыха преподавателей» и «перерыв» уже были мне знакомы по прежнему месту работы. Но каждое утро бывать на пиру, словно в ожившей иллюстрации из жизни Хогвартса? «Я никогда к этому не привыкну», – говорил я своим новым коллегам.

Но я привык.

Ученые называют это ослаблением реакции на раздражитель. Это означает, что у меня было зрение, как у динозавра: хорошо натренированный замечать то, что движется, я не замечал всего, что неподвижно, даже если оно было намазано маслом. Возможно, это явление имеет объяснение с точки зрения эволюционной психологии, а может быть, я неблагодарная скотина, но в любом случае привыкание поддается систематизации с точки зрения математики. Мы растем, привыкая к функции, каких бы высот она ни достигала. С течением времени для того, чтобы привлечь наше внимание, требуется производная – ненулевая величина изменений. Только более новая новизна может захватить нас.

Однажды, налив чашку горячего чая и пережевывая кусок зернового хлеба (тьфу ты, а я думал, что взял белый!), я присел на диван рядом со своим другом Джеймсом, учителем английского.

– Как дела? – поприветствовал я его.

Джеймс воспринял этот дежурный вопрос так, как он принимал все: с полнейшей серьезностью.

– На этой неделе я счастлив, – ответил он. – С некоторыми вещами еще есть проблемы, но все становится лучше.

Очевидно, в первую очередь я являюсь учителем математики, а уже во вторую – человеческим существом, потому что на откровение своего друга я ответил следующим образом:

– То есть функция твоего счастья принимает средние значения, но первая производная является положительной.

Джеймс мог вырвать бутерброд из моей руки, выплеснуть свой чай мне в лицо и завопить:

– Наша дружба кончена!

Вместо этого он улыбнулся, наклонился и – клянусь вам, все так и было! – сказал:

– Звучит увлекательно. Объясни мне, что это значит.

– Ну, – начал я читать лекцию, – изобрази график изменения уровня своего счастья со временем. Линия проходит на средней высоте, но в данный момент поднимается – это и есть положительная производная.

– Понятно, – ответил он. – Значит, отрицательная производная означает, что дела идут хуже?

– Ну, – я увильнул от прямого ответа, – в каком-то роде.

Я демонстрировал педантичность, за которую математиков так любят. (Или правильно сказать «критикуют»?)

– Отрицательная производная означает, что значение уменьшается. Для некоторых функций – например, личного долга или физической боли – хотелось бы иметь отрицательную производную. Но в случае со счастьем – да, это не очень хорошо.

Это был довольно необычный первый урок по дифференциальному исчислению. Большинство студентов постигают эти идеи не с помощью зыбкой психологии функции «счастья», а через ясную и лаконичную физическую картину «положения». Например, обозначим положение велосипедиста на велодорожке как p. В начальной точке p = 0; через 800 м p = 0,8 км.

Что выражает здесь производная? То, как быстро p изменяется в определенный момент времени. Мы называем ее p´ (произносится «p штрих») или (более наглядно) «скорость».

Большое значение p´ – скажем, 14 м/с – означает, что положение изменяется быстро, скорость высока. Маленькое значение – к примеру, 0,6 м/с – говорит о низкой скорости. Если p´ равно нулю, то положение не меняется вообще; велосипед стоит на месте. А если p´ отрицательно, то мы движемся по дорожке назад: велосипедист сменил направление.

Из нашего первоначального графика (определяющего положение в каждый момент) мы можем вывести совершенно новый, определяющий скорость в каждый момент. Вот откуда взялось слово «производная» – она выводится, или производится.

Джеймс, умница, проникся математическим анализом так, будто это было неким видом инопланетной поэзии. Как учитель английского он был профессиональным исследователем языка и способности слов фиксировать человеческий опыт. В сухом языке производных он, кажется, нашел своеобразную «литературность».

– А есть еще и вторая производная, – сказал я.

Джеймс серьезно кивнул:

– Расскажи мне.

– Это производная производной, она говорит о том, как меняется величина изменений.

Джеймс нахмурился по вполне понятной причине: это была какая-то бессмыслица.

Я попытался снова.

– Производная – это величина улучшения твоего состояния. Вторая производная спрашивает: ты изменяешься все быстрее и быстрее? Или улучшение замедляется?

– Хм-м-м-м, – Джеймс прикусил губу. – Я бы сказал, что быстрее и быстрее. Значит, вторая производная… положительная, верно?

– Да!

– А если улучшение замедляется, – продолжил он, – тогда первая производная по-прежнему остается положительной, а вторая становится отрицательной.

– Да.

– Мне это нравится, – сказал Джеймс. – Я должен научить этому всех своих друзей. И когда они будут спрашивать, как мои дела, я смогу сообщать им о своем эмоциональном состоянии с помощью всего нескольких показателей.

– Что-то вроде: h положительная, h штрих отрицательная, h два штриха положительная?

– О-о-о, дай подумать! – Джеймс воспринял мое заявление как лингвистическую загадку, краткую и безыскусную форму записи. – Это означает… Я счастлив… И я становлюсь менее счастлив… Но снижение моего уровня счастья замедляется?

– Все верно.

Для выражения тонких оттенков эмоций этот язык может показаться неестественным или топорным, как заявления «Человек счастлив!» или «Человек грустит!». Но, как и все производные, это что-то вроде физической метафоры – аналогия движения через пространство.

Как мы уже видели на примере велосипеда, производной положения является скорость. А производная скорости? Это ускорение. (Его также можно назвать p´´, или «p два штриха».)

Производные и вторые производные дают четкую информацию. Чтобы понять разницу, представьте себе ракету сразу после отрыва от земли, когда лица астронавтов расползаются, как желе. Скорость еще низкая, но изменения происходят быстро, поэтому ускорение высокое.

Может быть и обратная ситуация. Летящий на эшелоне самолет имеет высокую скорость, но она является постоянной и не меняется, поэтому ускорение равно нулю.

(Как показывают эти примеры, скорость оказывает не очень большое влияние на наши тела. Биомеханическое значение – то, что сдавливает, вызывает тошноту, замешательство и восторг, – имеет ускорение, так как оно представляет собой воздействующую на нас силу.)

«Поэзия начинается с тривиальных метафор, – написал однажды Роберт Фрост, – затем идут недурные метафоры, "изящные" метафоры, пока, наконец, не приходит черед глубоких размышлений». Не уверен, что Фрост нашел бы много поэтического в производных – они являются безнадежно прямыми, говорят только об одной вещи с досадной точностью, – но почва здесь богата метафорами. Если скорость говорит нам об изменении положения, то и ускорение говорит об изменении скорости, и точно так же соответствующая производная указывает на изменения в счастье.

Джеймс – не последний знаток метафор – знал, какой вопрос нужно задать следующим:

– А что насчет третьей производной?

В физике третья производная (p´´´, или «p три штриха») называется рывком. Она определяет изменение в ускорении, которое приводит к изменению силы, воздействующей на тело. Представьте себе мгновение, когда водитель резко нажимает на тормоза автомобиля, или момент отрыва ракеты от пусковой установки, или микросекунду, когда кулак врезается в лицо. Появляется новая сила. Ускорение меняется.

Я никогда не обучал рывку, кроме как в книгах. Три производных – это чертовски много. «Конечно, тот, кто может усвоить вторую или третью флюксию, – писал философ XVIII в. Джордж Беркли, используя термин, который Ньютон применял для производных, – как я думаю, разберется с любой проблемой божественной природы».

– Это довольно сложно понять, – предупредил я Джеймса. – Физическое объяснение достаточно хитрое.

Но в следующие пять минут я пересмотрел взгляды, заполучив в свои сети ярого приверженца математического анализа.

– Не сдавайся! – выкрикнул Джеймс. – Третья производная – это просто: это изменение в изменении изменения моего счастья.

Он говорил все громче, коллеги уже с тревогой оглядывались на нас.

– На самом деле я должен получить все производные! Бесконечный каталог чисел, описывающий, как меняется мое счастье, и как меняется изменение, и как меняется изменение изменения… Тогда мои друзья смогут точно понять, как я себя чувствую, даже без единого слова.

– Это так, – сказал я. – По правде говоря, если они будут точно знать, как изменяется твое счастье в данный конкретный момент – всю бесконечную цепочку производных, – тогда они смогут предсказать твое эмоциональное состояние как угодно далеко в будущем. При наличии достаточного количества производных они смогут рассчитать твое счастье до конца жизни.

– Еще лучше! – Джеймс бешено рассмеялся и захлопал в ладоши. – Мне больше никогда не придется говорить с друзьями!

Я забеспокоился:

– А не окажет ли это само по себе отрицательное воздействие на твой уровень счастья?

Джеймс отмел все возражения:

– Я просто выражу все в производных. Они поймут.

И тут прозвенел звонок. Даже учительский рай приходится иногда покидать, чтобы провести уроки. Отправляясь в класс, я оставил чайную чашку на стойке. Надеюсь, я пробормотал слова благодарности Саре – женщине, которая готовила для нас бутерброды и мыла посуду, – но, зная о своих дурных привычках в то время, могу сказать, что случались дни, когда я забывал это сделать.

Я люблю изобретать математические слова. По крайней мере, мне нравится пытаться это делать. Жестокая правда состоит в том, что канселтарсис (от англ. сancel – отмена) и алгебраж (пламенный гнев из-за того, что пришлось потратить несколько часов на поиск крошечной алгебраической ошибки) так до сих пор и не прижились. Увы, есть и другие вещи, в которых достижения Готфрида Лейбница превышают мои скромные успехи, поскольку именно он ввел в математический лексикон такие слова, как:

● константа (постоянная) – величина, которая не изменяется;

● переменная – величина, которая изменяется;

● функция – правило, устанавливающее соотношение между данными на входе и на выходе;

● производная – одномоментная величина изменений[7];

● математический анализ – система исчисления, которую он разработал.

А если еще перечислить символы, которые Лейбниц, хотя и не придумал, но ввел во всеобщий обиход (например, ≅ для конгруэнтности, = для равенства и использование скобок для группировки), то становится ясно, что, делая математическую запись в XXI в., мы идем путем Лейбница, проложенным в XVII в. Но даже если это и так, все вышеперечисленные достижения – всего лишь примечания к его самому значительному вкладу из всех.

Букве d.

Это звучит ужасающе просто. Больше напоминает «Улицу Сезам», чем Гарвард Ярд[8]. «Все, что Лейбниц сделал, – это поставил d перед х, – шутил легендарный математик сэр Майкл Атья в 2017 г. – Очевидно, таким образом можно стать знаменитым».

Если уж быть справедливым, то любой ощутимый прорыв для удобства обозначений в ретроспективе кажется очевидным. Как часто вы благодарите Роберта Рекорда, изобретателя знака =, позволившего нам опускать бесконечные «равняется»? Цель математических символов – позволить нам перенести мысли на бумагу. Удачно выбранные обозначения ощущаются столь естественными, что вы забываете об искусственности всего процесса. Не стоит заблуждаться: математическая система обозначений – это технологическое достижение, расширение возможностей нашего мозга другими средствами, такое же сверхъестественное и значительное, как роботизированная конечность.

И никто в истории не изобретал символов, обладающих той же наглядной ясностью, как нововведения Готфрида Лейбница. «Подозреваю, что своими успехами в математике, – размышляет специалист в области информационных технологий Стивен Вольфрам, – Лейбниц в значительной степени обязан тому, что вложил немало сил в систему обозначений».

Родившийся в 1646 г., всего через несколько лет после Ньютона, «сооснователя» математического анализа, Лейбниц проявил себя в самых разнообразных областях. Философ, человек, ведущий светский образ жизни, и, как показывают портреты, обладающий головой, на которую возлагались гигантские парики, он мог бы включить «изобретение математического анализа» всего лишь одной строкой в свое резюме. Он был самым известным в Европе специалистом по геологии, Китаю, сложным юридическим вопросам, то есть, если говорить обобщенно, самым известным специалистом в Европе. Один королевский заказчик с тяжелым вздохом называл Лейбница «мой живой словарь». За свою жизнь ученый написал 15 000 писем более чем 1000 корреспондентов.

Лейбниц заботился о своих читателях. В отличие от Ньютона, который намеренно написал «Начала» тяжелым стилем («дабы избежать нападок дилетантов от математики»), Лейбниц ценил комфортное общение. Поэтому, разрабатывая понятия математического анализа, он озаботился тем, чтобы снабдить их ясными и подходящими символами.

Такими символами, как d.

В математике Δ (греческая буква «дельта») обозначает изменение. Возьмем достойный заголовков газет пример, который имел место этим утром и о котором шесть месяцев назад вы не могли услышать: я вышел на пробежку.

Если принять за х пройденное мной расстояние, то Δх – это изменение расстояния за определенный промежуток времени. Скажем, 26 км (поскольку это моя книга, я могу и солгать, если мне этого захочется).

Теперь, если t – это время, то Δt – время, затраченное на пробежку. Пусть это будет два часа (потому что это упрощает расчеты, а не для того, чтобы я показался скоростным монстром).

Какой была моя скорость? Ну, для того чтобы рассчитать величину изменений, мы делим. Δх разделить на Δt, это дает 13 км/ч.

А теперь что насчет моей скорости ровно в час дня? Производная, как вы, возможно, помните, – это мгновенная величина изменения. Она не анализирует неторопливый интервал времени – два часа. Она показывает единственный момент, стоп-кадр.

Но тут возникает проблема. За этот бесконечно малый промежуток времени никакого времени не прошло и я не покрыл никакого расстояния. Δх и Δt равны нулю. А 0/0 дает не слишком иллюстративный ответ.

Возьмем видоизмененные обозначения Лейбница. Вместо Δх и Δt рассмотрим dx и dt – бесконечно малые приращения положения и времени.

Исходя из этого, производная у Лейбница будет обозначаться dx/dt.

Здесь есть одна уловка: dx и dt не являются реальными числами, и по-настоящему вы не можете делить их. Запись не является буквальной, она, скорее, напоминает аналогию или магический пасс рукой. Но именно это делает символизм таким мощным. Гарвардский математик Барри Мазур сравнивает производную Лейбница с пиктографическим алфавитом китайского или японского: не просто произвольно выбранный знак, но крошечная выразительная иллюстрация сущности понятия. Мазур относит ее к своим «любимым частям математической терминологии» именно по этой причине: она «визуально объясняет саму себя».

Я должен признаться. Студентом я предпочитал обозначения, на которые повлияли работы Ньютона (с которыми мы имели дело в главе III). Для меня все это дело с dx/dt выглядело громоздким, сложным и, что хуже всего, словно содержащим в себе мину-ловушку: дробь, которая в действительности не является дробью.

Но со временем я сумел оценить тайную мощь d Лейбница – ее огромную гибкость. Тогда как производные предполагают единственную переменную на входе (часто – это время), символика Лейбница простирается гораздо шире. Она позволяет нам выстроить огромное количество классов переменных в сложном «балетном» порядке.

Чтобы увидеть это, давайте зайдем в класс, где идет урок экономики. Или, еще лучше, в конференц-зал компании, производящей игрушки.

Мы с вами делаем плюшевых мишек, продаем определенное количество (q) по определенной цене (p). Что случится, если мы незначительно повысим цену? В целом мы продадим меньше мишек, но точный ответ дает производная dq/dp. Она показывает текущий показатель изменения количества с учетом цены.

Тем не менее q зависит не только от p. Возможно, мы занимаемся рекламой и вкладываем а долларов в телевизионные ролики. В этом случае dq/da выражает незначительное влияние, которое каждый дополнительный доллар, вложенный в рекламу, оказывает на продажи.

И опять же, если мы даем больше рекламы, возможно, нам понадобится поднять цену. Это означает еще раз рассмотреть dp/da: как цена, которую мы назначаем, зависит от рекламного бюджета.

Мы даже можем перевернуть наши производные с ног на голову. Что насчет dp/dq? Это соотношение укажет нам на то, как цена отреагирует на бесконечно малое изменение количества.

Может ли обозначение производной со штрихом провернуть такие фокусы со столь разнообразными производными? Да бросьте! Только проворная d Лейбница может справиться с задачей с подобной грациозностью и точностью. И это делает язык Лейбница идеальным для обсуждения самого полезного применения математического анализа – искусства оптимизации.

Не знаю, как насчет вас, но я пришел в бизнес по производству плюшевых медведей не для того, чтобы завести друзей. Я в нем даже не для того, чтобы делать плюшевых хищников, которые портят здоровье детей и ослабляют естественный страх перед медведями. Я здесь, чтобы делать деньги, и вследствие этого на выходе для меня имеет значение только одна переменная: выгода.

Чтобы максимально увеличить выгоду, мы не должны ставить слишком низкую цену. Скажем, изготовление плюшевого мишки стоит $5, в таком случае продавать его за те же $5 – это не бизнес, а благотворительность. $5,01 немногим лучше: конечно, мы продадим множество медведей по такой низкой цене, но, даже если их будет миллион, наша прибыль составит всего $10 000.

С другой стороны, слишком задирать цену мы тоже не хотим. Если мы будем просить $5000 за одного медведя, то, возможно, какой-нибудь наивный миллиардер и купит одного. А может быть, и нет. В любом случае мы продадим слишком мало, чтобы получить какую-либо существенную выгоду.

Что нам нужно, так это производная. Если мы будем поднимать цену с бесконечно малым приращением, как это скажется на выгоде?

Производная положительна? Это означает, что подъем цены увеличит выгоду. Иными словами, мы назначаем слишком низкую цену.

Отрицательная производная? Это означает, что снижение цены принесет выгоду, поскольку привлечет больше клиентов. Иными словами, мы назначаем слишком высокую цену.

Мы хотим найти особый момент – цену, при которой производная точно равна нулю.

Максимум – это момент перехода, когда производная из положительной превращается в отрицательную. Между тем минимум – это полная противоположность: момент, когда производная из отрицательной превращается в положительную. Логика на самом деле очень простая: если ты в минимуме, просто двигайся вперед – и подъем начнется. Это лучшее, что можно сделать.

Мы определили максимум не по его общим свойствам («это самая высокая из всех точек графика»), но по частным характеристикам. Посмотрите на левую часть графика, она поднимается вверх. Посмотрите на правую – она снижается. Посмотрите прямо на обозначенную на нем точку: здесь производная равна нулю. Это определение максимума исходя из анализа бесконечно малых. Это очень остроумный трюк, похожий на то, как определить вершину горы с помощью анализа образца почвы.

Первой публикацией в истории математического анализа была статья Лейбница, вышедшая в 1684 г., – «Новый метод максимумов и минимумов» (Nova Methodus pro Maximis et Minimis). «В мире не происходит ничего, – однажды сказал математик Леонард Эйлер, – в чем не был бы виден смысл какого-либо максимума или минимума»[9].

Когда Лейбницу было слегка за двадцать, он решил присоединиться к эксклюзивному сообществу алхимиков. (Да, это был XVII в., все занимались этим.) Чтобы доказать свою алхимическую состоятельность, Лейбниц составил список профессиональных жаргонных слов, из которых соорудил длинное, выразительное и достаточно бессмысленное письмо с просьбой о приеме. Это сработало: пораженные алхимики выбрали его своим секретарем. Но – ну еще бы! – Лейбниц разглядел правду через обман. Он ушел через несколько месяцев, позднее объявив группу «братством золотодобытчиков».

Для меня в этом весь Лейбниц. Во-первых, вы овладеваете языком. Затем появляется истина, какой бы она ни была. Менее чем через десять лет после овладения невнятной галиматьей алхимиков этот резкий молодой человек разработал математический словарь, который миллионы людей используют по сей день.

Смог ли он когда-либо превратить свинец в золото? Нет. Он сделал лучше: превратил строчную букву d в неподвластный времени язык мгновения.

На первых страницах «Жизни на Миссисипи» Марк Твен[10] показывает читателям то, чего они так страстно желают, – статистику. Длина реки Миссисипи составляет 6920 км. Ее бассейн – 3 237 485 км². Ежегодно она наносит 406 млн тонн ила. «Если бы эту грязь уплотнить, – рассчитывает Твен, – вышел бы массив площадью в квадратную милю (1,6 км². – Здесь и далее прим. ред.) и вышиной в двести сорок один фут (73 м)». Это все чрезвычайно познавательно, хотя, возможно, несколько сухо для писателя, чьи книги то провозглашались самыми забавными, то запрещались как богохульные.

Но не беспокойтесь, фанаты Марка Твена! Этот человек сам сказал: «Вначале дайте ваши факты, а потом можете переиначивать их столько, сколько вам заблагорассудится». Такой виртуозный выдумщик, как Твен, мог рассказывать истории о чем угодно – даже о числах. Для примера:

Как и во всех старых реках, воды Миссисипи струятся через лениво петляющие повороты. На одном участке своего течения она извивается так, что тянется на 2000 км, тогда как по прямой там всего 1086 км. И время от времени река прорезает узкие перешейки земли, укорачивая свое русло. «Не раз она сокращала свой путь на тридцать миль (48 км) одним прыжком»[12], – говорит Марк Твен. По сравнению с тем, что было за 200 лет до того, как вышла книга Твена, нижний отрезок реки между Каиром, штат Иллинойс, и Новым Орлеаном, штат Луизиана, сократился с 1955 до 1899 км, а затем до 1688 км и даже 1566 км.

Здесь снова дадим слово рассказчику:

Не играет ли Твен в какую-то глупую арифметическую игру? Вовсе нет! Это выдающаяся геометрическая игра. В основе математического анализа лежит фундаментальная геометрия, которая одновременно делает производные возможными и полезными, – всюду присутствующая геометрия прямой линии.

Посмотрите сами!

Мы можем нарисовать график, показывающий длину Нижней Миссисипи (от Каира до Нового Орлеана) в разные годы за время ее истории.

Да, наши данные несколько скудны, но нисходящее направление графика видно четко. В наши дни у статистиков есть излюбленный метод украшения таких схем. Этот инструмент известен экономистам, эпидемиологам и любителям поспешных обобщений как «линейная регрессия».

Во-первых, мы определяем «центральную точку» графика. Ее координатами является среднее арифметическое координат имеющихся данных.

Затем из всех прямых, проходящих через эту точку, мы выбираем ту, которая больше других совпадает с данными, то есть ближе всего проходит к уже обозначенным точкам.

Вот и все! Сейчас мы совершили переход от нескольких разрозненных точек – неподатливых и статичных – к великолепной непрерывной линии. Она включает в себя бесконечное количество точек и может быть продлена в любом направлении на такую длину, какая нам будет угодна.

Например, мы можем продлить прямую в далекое прошлое:

Подумать только! Миллион лет назад Миссисипи была просто громадной рекой, более миллиона километров длиной. Именно тогда она выглядела как гигантская удочка, висящая над Мексиканским заливом. Та, настоящая Миссисипи простиралась на расстояние в пять раз большее, чем от Земли до Луны, и при каждом обороте каменного спутника вокруг нашей планеты окатывала его, как из пожарного шланга.

Поскольку прямую можно продлить в двух направлениях, мы можем развить нашу линейную модель и вперед во времени:

Вот оно! В начале XXVIII в. Миссисипи будет иметь длину менее 1,6 км. Чтобы приспособиться к этому, североамериканский континент сомнется, как скрученная в шарик бумажка, в результате чего Каир и Новый Орлеан обретут свое долгожданное соседство вдоль реки. Между ними будет маячить расселина глубиной в 800 км, разрывающая земную кору.

Я прямо слышу, как вы жалуетесь. «Никакая серьезная математика, – скажете вы, – не может основываться на таком шатком фундаменте».

Ха! А что такое «серьезная» математика? Математика – это логическая игра, глупая шутка, состоящая из абстракций. И, как и во многих играх, прямые – это то, без чего невозможно обойтись для упрощения. Они помогают обойти медленные извилины математического анализа точно так же, как спрямившееся русло укорачивает путь реки. Именно поэтому прямые используются везде – в статистических моделях, в более многомерных преобразованиях, в экзотических геометрических поверхностях и, больше всего, в самой сущности производных.

Возьмем параболу. Если бы у вас были глаза, как у хорошо накачанного кофеином летчика-аса, едва бросив взгляд на рисунок ниже, вы заметили бы: парабола прямой не является.

Вместо этого она является – прошу прощения за использование математического жаргона – кривой. Но давайте посмотрим на нее поближе. Что вы видите теперь?

Это все еще кривая, да. Но у этой кривой меньше изгибов, эта парабола менее параболическая. А посмотрите, что будет, если мы приблизим ее еще больше:

Искривление является мягким, постепенным. Мы словно напеваем себе под нос, чтобы уснуть. Приблизьте его еще, и кривизна станет такой малозаметной, что невооруженный глаз просто откажется ее воспринимать. Фактически линия остается кривой, но для любых практических целей ее можно считать прямой.

И в бесконечно малом масштабе – меньше всех известных размеров, но все же не равном нулю – кривая достигает того, что мы ищем. Она становится – по крайней мере, в нашем воображении – по-настоящему прямой.

И какое же отношение это имеет к производной? Непосредственное.

Производная, как вы помните, – это уровень изменения в определенный момент. Например, она может сказать нам, как длина Миссисипи изменяется в отдельно взятое мгновение.

Но длина Миссисипи не изменялась с постоянной, устойчивой скоростью. Она какое-то время оставалась одной и той же, затем резко сокращалась, а потом постепенно увеличивалась. Будучи обычными людьми, мы не можем испытывать неудовлетворенность из-за того, что река течет и постоянно движется, но в качестве математиков явно выражаем недовольство. Как мы можем вынести такое беспорядочное поведение береговой линии? Как мы будем говорить о степени изменений, когда река не способна придерживаться какого-либо показателя дольше, чем одно мгновение?

Простой способ: мы можем изменить масштаб, как сделали это с параболой. В бесконечно малом масштабе изгибы графика выпрямятся, позволив нам расшифровать производную.

Таким образом, все дифференциальное исчисление основывается на одном простом наблюдении: приближение выпрямляет.

В большом масштабе Земля не является плоской. В самом деле, все наши безнадежные попытки сгладить ее, такие как проекция Меркатора, вызывают искажения, из-за которых Гренландия (имеющая площадь менее 2,59 млн км²) кажется такой же большой, как Африка (площадью почти 31 млн км²). Но в маленьких масштабах? Эй, да почему бы нет! Подойдите достаточно близко, и вы никогда не заметите кривизну. Если мне нужно проплыть по Миссисипи от Каира, штат Иллинойс, до Колумбуса, штат Кентукки, 32 км, или всего 0,08 % длины окружности земного шара, то плоская карта подходит мне просто идеально.

Твен совершил старую, как мир, ошибку, перепутав местную линейность с глобальной. И то, что он сделал в шутку, другие совершают всерьез. В своей язвительной книге «Как не ошибаться» (How Not to Be Wrong) (из которой я взял многие идеи для этой главы) Джордан Элленберг приводит замечательный пример подобной ошибки. Вышедшая в 2008 г. статья в журнале Obesity утверждала, что к 2048 г. доля взрослого населения США, имеющего лишний вес, достигнет – внимание, барабанная дробь! – 100 %.

Исследователи продлили свою линейную модель слишком далеко, доведя ее до космической пустоты, в то время как в реальности график искривляется.

Еще один случай: в 2004 г. журнал Nature опубликовал короткую заметку, где отмечалось, что у женщин время, которое они показывают в олимпийских забегах на 100 м, сокращается быстрее, чем у мужчин. Таким образом, «если подобная тенденция сохранится», пишут авторы с усмешкой, женщины сравняются с мужчинами к Олимпийским играм 2156 г., когда представители обоих полов будут пробегать стометровку за рекордные 8 секунд.

Увы, к тому времени, когда в Космическом Париже, Лунном Йорке или Народной республике Google состоятся Олимпийские игры 2156 г., я могу голову дать на отсечение: «текущая тенденция» не будет иметь места. Все это потому, что «текущие тенденции» всегда выглядят линейными, но дуга истории таковой никогда не бывает. Если экстраполировать ту же самую модель на Древнюю Грецию, мы узнаем, что воины пробегали то же расстояние за 40 секунд. Этой бодренькой прогулочной скорости недавно достигла пожилая женщина из Луизианы в возрасте 101 года. Будущее же выглядит еще более странным, поскольку скорость золотых медалистов, согласно этой модели, должна будет повышаться до тех пор, пока не достигнет значений, возможных разве что в сериале «Звездный путь».

Жизнь похожа на Миссисипи. Она течет. Она изгибается. Подойдите достаточно близко, и, возможно, вы увидите прямую, но в целом она никогда не останавливается и всегда извилиста.

Под конец я приведу еще один отрывок из «Жизни на Миссисипи» о том, как грязь оседает в дельте реки:

Отложения ила постепенно наращивают сушу, но именно постепенно: за двести лет, прошедшие с тех пор, как река вошла в историю, берега продвинулись в море меньше чем на одну треть мили (540 м).

Ученые думают, что устье находилось прежде у Батон-Руж, там, где кончаются холмы, и что двести миль (322 км) суши между этим местом и заливом были созданы рекой. Простой подсчет дает нам возможность без труда определить возраст этой части страны: ей сто двадцать тысяч лет[14].

И снова мы видим линейную модель. Марк Твен берет данные за два последних столетия, за которые суша приросла на 540 м, что составляет около 270 см в год, и, опираясь на эти цифры, приходит к выводу, что 120 000 лет назад дельта реки лежала на 322 км выше по течению.

Увы, Твен совершает ту же ошибку, что и исследователи из журнала Obesity, которую в других местах он высмеивал. Насколько нам известно, появление реки Миссисипи датируется концом последнего ледникового периода, то есть это произошло каких-то 10 000 лет назад. Линейная модель Твена простирается еще на 110 000 лет в прошлое, как река, текущая в глубины космоса. Он потребовал от производной рассказа о вечности, забыв, что она говорит лишь о мгновении.

В английской школе случается беда – так начинается рассказ Конан Дойля «Случай в интернате». Из общежития исчезает десятилетний сын богатого герцога. Также пропали преподаватель немецкого языка, один-единственный велосипед, и отсутствует какая-либо линия, объединяющая все разнородные факты. После того как местная полиция терпит неудачу, отчаявшийся директор школы приходит в квартиру по адресу Бейкер-стрит 221В, чтобы попросить о помощи самого почитаемого из всех вымышленных сыщиков.

– Мистер Холмс, – говорит он, – речь идет о деле чрезвычайной важности, и я умоляю вас применить все свои способности, чтобы раскрыть эту тайну!

Несколько часов спустя Шерлок Холмс и доктор Ватсон крадутся по «бурой торфяной равнине»[15] и натыкаются на первую подсказку: «вьющуюся черной лентой тропинку. Посередине, на сырой земле, четко виднелись отпечатки велосипедных колес». Именно в этот момент Холмс пускает в ход классический дедуктивный метод:

Эти следы, как вы сами можете убедиться, ведут от школы.

– Или по направлению к школе.

– Нет, мой дорогой Ватсон. Отпечаток заднего колеса всегда глубже, потому что на него приходится бо́льшая тяжесть. Вот видите? В нескольких местах он совпал с менее ясным отпечатком переднего и продавил его. Нет, велосипедист, несомненно, ехал от школы.

Какие достижения в физике! Какие гениальные способности к геометрии! Есть только одна проблема, которую маскирует сладкоголосая проза и которую показывает самая простая схема.

Здесь мы видим более толстую линию, пересекающую более тонкую. Понятно ли из этого, каким путем ехал велосипед? Увы, нет, потому что Холмс допустил нехарактерную для него ошибку. След заднего колеса всегда пересекает след переднего. Это не дает никакой подсказки по поводу направления, но является простым следствием особенностей конструкции велосипеда, где переднее колесо может поворачиваться, тогда как заднее остается закрепленным.

Как Холмс мог так опростоволоситься? «Возможно, – предполагает профессор математики Эдвард Бендер, – он недавно принял очередную дозу опиума». Кто-то может обвинить сэра Артура Конан Дойля, но я считаю, Холмс должен нести ответственность за свои ошибки, как и любой вымышленный персонаж.

К счастью для герцога, существует точный и элегантный метод выяснить, в каком направлении двигался велосипед, по оставленным им следам. Этот метод основывается на простом, но действенном понятии дифференциального анализа – касательной.

Слово «касательная» происходит от латинского tangere («касаться», «трогать»), как и слова tangible («осязаемый», «ощутимый») и «танго»; все эти слова связаны с проявлениями нежности и прикосновениями. В математике касательная совпадает с кривой в одной точке. Так она на какое-то мимолетное мгновение принимает относящееся к конкретному моменту направление кривой, ее производную.

Например, если кривая изображает путь машины, то касательная будет указывать направление света фар.

Или, для более наглядной демонстрации, привяжите веревку к камню, раскрутите его над головой и подождите, пока веревка порвется. Камень полетит по прямой: касательная – это его путь в момент разрыва.

А что же насчет велосипеда? Поскольку заднее колесо закреплено на раме, в любой отдельно взятый момент оно гонится за передним. Другими словами, его направление в конкретный момент движения указывает туда, где находится переднее колесо.

Давайте проверим этот факт при помощи приведенной ранее загадки. Без каких-либо подсказок о глубине следа можем ли мы определить, где отпечаток переднего колеса?

Элементарно, мой дорогой Холмс! Просто найдите момент вдоль одной из линий, когда касательная указывает в пространство, в направлении, куда велосипед никогда не ехал. Могло ли заднее колесо повернуться туда? Никогда! Оно всегда повторяет поведение переднего колеса. Таким образом, линия с направленными вовне касательными должна принадлежать переднему колесу.

Теперь вопрос на 6000 фунтов – такое вознаграждение назначил герцог в рассказе: в каком же направлении двигается велосипед?

Есть только два возможных варианта. Во-первых, предположим, что велосипед двигается слева направо. Проведем соответствующие касательные для заднего колеса, продлив их до тех пор, пока они не пересекутся со следом переднего.

Расстояние от заднего до переднего колеса вдоль касательной должно соответствовать длине велосипеда. Но здесь это расстояние меняется от точки к точке. Нам остается только заключить, что во время своего путешествия велосипед менял длину, как двухколесная игрушка на пружине. Такой велосипед должен бы принадлежать ездоку, не имеющему себя равных в ловкости и обладающему сомнительным здравомыслием.

В «Случае в интернате» есть подходящий комментарий:

– Холмс! – воскликнул я. – Это неправдоподобно!

– Браво! – сказал он. – Вывод исчерпывающий. В моем изложении событий есть что-то неправдоподобное, следовательно, я допустил ошибку… Где же я ошибаюсь?

В нашем случае ошибка совершенно ясна. Мы не рассмотрели альтернативу – ведь велосипед мог двигаться справа налево.

Ага! Эти касательные, к счастью, одной длины. Они говорят о велосипеде прочной конструкции, вполне правдоподобном. Значит, мы можем прийти к выводу, что велосипед двигался в этом направлении.

Разве это не замечательный ход мысли? Он позволяет увидеть за следами факты и, расшифровав язык геометрии, раскрыть истину. Тщательное изучение улик сочетается здесь с безупречным логическим анализом. Разве не в этом секрет триумфа гениального сыщика – и, в нашем случае, высшей математики?

Отношения Холмса с математикой вполне понятны – это его зеркальное отображение. Именно поэтому, когда Конан Дойлю хочется ввести в повествование антагониста, который станет противостоять наблюдательному сыщику, он придумывает математика профессора Мориарти. «Наполеон преступного мира» описывается как «гений, философ» и «абстрактный мыслитель», кроме того, он – «прославленный автор “Движения астероидов”, книги, затрагивающей такие высоты чистой математики, что, говорят, не нашлось никого, кто мог бы написать о ней критический отзыв»[16].

Поневоле приходишь в уныние, стоит подумать, как быстро Мориарти разобрался бы в следах велосипеда. Соперник Холмса, можно быть уверенными, знал о касательных.

Я сам впервые узнал о загадке с велосипедом из прекрасной биографической книги «Гений играет: пытливый ум Джона Хортона Конвея» Шивон Робертс. В одной запоминающейся сцене команда из трех математиков собирается вести экспериментальный курс в Принстоне. Он представляет собой «подпольную, бунтарскую попытку», направленную на то, чтобы показать, что «математика и поэзия похожи», и называется «Геометрия и воображение». Ожидая, что на занятиях будет не более 20 студентов, преподаватели ошарашены, когда выясняется, что на курс записалось 92 человека. Как рассказывает Робертс, молодые люди не потратили свои деньги зря:

Преподаватели строго соблюдали ритуал и появлялись в классе все разом, иногда с большой помпой и важностью, порой они несли флаг, время от времени надевали велосипедные шлемы, часто тянули за собой детскую тележку, наполненную многогранниками, зеркалами, фонариками и свежими продуктами из продуктового магазина…

Для одного урока преподаватели «отыскали огромные рулоны бумаги, разорванные на полосы размером, по меньшей мере, 1,8 метра на 6 метров» и ездили по ним на велосипедах с вымазанными краской колесами. В результате получились эпические полотна геометрического велосипедного искусства, головоломки в натуральную величину. Студенты, как юные Шерлоки, получили задание определить, в каком направлении ехал каждый велосипедист.

Но преподаватели добавили деталь, которая, возможно, озадачила бы самого Мориарти:

Тем не менее часть из этих следов поставила студентов в тупик. Эту серию линий Питер Дойль [один из преподавателей] оставил на листе бумаги, когда ездил туда-обратно на велосипеде с одним колесом.

Это история о том, как рождаются вирусные сенсации. Решайте сами, что это будет: может быть, хулахупы, кубики Рубика, тамагочи или дешевый вариант последних, который еще называют iPhone. Но это не обязательно должна быть игрушка! Вы можете выбрать лингвистику, технологию, социальную сеть, образование опухолей или популяцию кроликов. Что угодно, что бы ни пришло вам в голову и, как это обычно бывает с повальными увлечениями, что тут же хочется получить всем вокруг.

«Как, – спросите вы, плюясь от возмущения, – как одна глава может годиться на любой случай жизни, как вы можете предлагать каждому выбрать свое собственное приключение?»

Ну, потому что на самом деле это история кривой. Эта кривая:

Эта основная модель, которая называется логистической кривой, – одна из величайших математических моделей, не говоря уж о том, что она является триумфом элементарного математического анализа. И, как и любая классическая пьеса, она разыгрывается в трех актах.

Акт I. Ускорение.

Когда мы что-то начинаем, наше увлечение еще не является модным веянием. Это всего лишь дикая прихоть. «Я буду продавать камень как питомца», – говорит какой-то сумасшедший. «Я поставлю танец с необычными движениями рук, и весь мир будет восторженно кричать: “Эй, макарена!”» Или даже: «Я введу в компьютер странички с фотографиями лиц и стану тем самым Цукербергом, Разрушителем миров».

Звучит как иллюзорная мечта? Возможно. Но вначале рост идет медленно.

Но дела обстоят не так безрадостно, как кажется. Во время неблагоприятного начала рост на самом деле идет по экспоненте.

Слова «экспонента» или «экспоненциальный» проникли в обычный язык, как некоторые другие математические термины. («Внутреннее произведение» и «двудольный граф» все еще пребывают в трагическом забвении.) Тем не менее, как это всегда бывает, когда альтернативная рок-группа добивается успеха, по пути кое-что утрачивается. Об экспоненциальном росте обычно говорят как о синониме «очень быстрого», но его математическое значение гораздо более чудесно и точно: величина растет пропорционально своему размеру.

Другими словами, чем она больше, тем быстрее растет.

При линейном росте за каждый период времени прибавляется одно и то же количество. Это может происходить медленно, как прибавление одного кольца к стволу дерева каждый год. Или это может быть быстро, как рост мутантного дерева в сказке о Джеке и бобовом зернышке, когда каждое новое кольцо прибавлялось за миллисекунду. Важна не скорость, а постоянство. Если темп роста никогда не меняется, то он является линейным.

В противовес этому возьмем, к примеру, стартап, чья прибыль растет на 8 % каждый месяц. Поначалу 8 % от мизерного количества – это сущая безделица. Но со временем компания расширяется, и эти 8 % соответствуют все большим и большим цифрам. За девять месяцев доход удваивается, а за десять лет фирма превращается из гусеницы с выручкой в $1000 в месяц в огромную бабочку с прибылью в $8 млн в месяц. Дайте ей еще десять лет, и она станет громадиной с ежемесячным доходом в $1 трлн – 15 % мирового ВВП. Вот это и есть экспоненциальный рост.

Вы можете уловить суть этого различия по двум коротким уравнениям:

Но медовый месяц с экспонентой не может длиться вечно, иначе любое массовое увлечение захватило бы всю Вселенную. В реальности подобное пока что случалось только дважды: с крупяными куклами[17] и деббингом[18]. Немного времени спустя нас ждет акт II – Перегиб кривой.

Как и «экспоненциальный рост», выражение «точка перегиба кривой» перекочевало в обычный язык из учебников математики. Я сам всегда аплодирую вирусному распространению математического жаргона, но должен отметить, что фраза: «момент, когда рост неожиданно становится взрывным» – придает точке перегиба кривой почти противоположное значение.

При росте по логистической кривой перегиб происходит не в момент, когда начинается быстрый рост. Он происходит, когда быстрый рост доходит до кульминации, до своего максимума, и, таким образом, начинается долгое, медленное понижение.

Производная, как вы помните, говорит нам об изменениях графика. Положительная производная? Он растет. Отрицательная? Снижается.

Вторая производная говорит нам о том, как меняется первая производная – то есть о самом темпе роста. Положительная вторая производная? Тогда наш рост ускоряется. Отрицательная вторая производная? Он замедляется.

Точка перегиба кривой – это момент перехода, когда вторая производная меняет знак: отрицательный на положительный или (при росте по логистической кривой) положительный на отрицательный. После того как скорость растет и растет, как у потерявшего управление поезда или заигранного хита, ускорение, наконец, останавливается, и рост начинает замедляться.

Это особый момент в истории массовых увлечений – триумф с привкусом горечи, поскольку все вершины достигнуты. В случае, скажем, с Instagram – это месяц, когда к нему присоединилось наибольшее количество пользователей. Социальная сеть еще не получила свое самое широкое распространение, но пик самого быстрого распространения пройден. Она расширялась быстрее, чем когда-либо ранее, и такого роста не будет уже никогда. Согласно графику то, что произойдет дальше, – это зеркальное отражение первоначальной траектории: каждому моменту ускорения теперь соответствует спад.

Это приводит нас к акту III – Насыщение.

В этот момент массовое увлечение перерастает свою крутизну. О нем знают родители. О нем знают даже бабушки и дедушки. Даже те, кто не в курсе модных тенденций популярной культуры – например, учителя математики, – могут решить присоединиться к стороне победителя. Чувство гордости первых адептов этого веяния сменяется теперь пренебрежением. Как подметил король парадокса Йоги Берра, «в этот ресторан больше никто никогда не ходит, потому что он всегда переполнен».

При экспоненциальной модели рост пропорционален размеру. Рост по логистической кривой добавляет еще один очень важный момент: рост пропорционален размеру, а также расстоянию от максимальной величины.

Чем ближе к максимуму, тем медленнее рост.

Лес может вместить только определенное количество кроликов, экономика – определенное количество электромобилей, человеческий глаз может выдержать только определенное количество просмотров «Gangnam Style». Ресурсы каждой системы конечны. Facebook никогда не сможет стать больше, чем население планеты, если только не снимет свой пагубный запрет заводить страницы дельфинам и гориллам.

В качестве иллюстрации обратимся к химии и королевству автокаталитических реакций.

Химия изучает реакции разных видов, такие как «взрывные», «пенящиеся» или «с красивыми цветами». Иногда в дело вступают особые молекулы, которые ускоряют реакции, как услужливые помощники. Их называют «катализаторами».

В некоторых, очень немногих, реакциях катализаторы производятся сами по себе. Это создает положительную обратную связь: чем больше катализаторов получается, тем быстрее и быстрее вещество пенится и/или взрывается… Но такие циклы не могут длиться вечно. Как только первоначальный запас ингредиентов на входе стремится к нулю, мы остаемся со множеством катализаторов, но катализировать теперь нечего. Реакция замедляется.

Повальные увлечения следуют той же логике. Чем больше людей ими интересуется, тем больше людей они могут привлечь. Петля обратной связи растет по экспоненте – по крайней мере, какое-то время. Но раньше или позже количество тех, кого можно привлечь к этому занятию, истощается. Вокруг множество рекрутеров, но привлекать некого. Переизбыток катализаторов, но катализировать нечего.

Если вам нравится пафосный химический жаргон, вы можете сказать, что вирусное массовое увлечение – это автокаталитическая реакция среди людей.

Математические модели делятся на две части. Механистические модели воплощают принципы оригинала, как модель самолета с соответствующим по размеру двигателем. Тогда как феноменологические модели имеют только поверхностное сходство, как модель самолета, которая великолепно выглядит, но летать не может.

До того как протестировать приведенную в этой главе модель, вы имеете право задать совершенно справедливый вопрос: к какому типу она принадлежит?

В Кремниевой долине сказали бы, что к механистическим моделям. Определите «коэффициент вирусности» (для количества новых людей, которых привлекает каждый последователь массового увлечения), оцените размер всего рынка, набросайте презентацию в PowerPoint, и – ба-бах! – вы готовы привлекать инвесторов.

С другой стороны, вот реальная история именитого биолога, который с помощью модели роста по логистической кривой решил предсказать численность населения США. Он взял данные по началу ХХ в., щелкнул пальцами и пришел к выводу, что размер населения страны стабилизируется где-то около отметки в 200 млн человек – цифра, которую мы перекрыли 120 млн человек назад.

Если она не помогает нам предсказать, когда массовое увлечение начнет выравниваться, то какая же тогда польза от логистической модели? Может быть, это просто сказка, всего лишь история в графической форме?

Может быть. Но не преуменьшайте ее ценность. Мы с вами – персонажи этой истории. Структура рассказа определяет наши действия, наши мысли, наши «заказы навынос». Мы с вами – существа, рассказывающие истории. Эти истории определяют наши действия и мысли. И даже если история роста по логистической кривой не помогает делать предсказания, она может, по крайней мере, намекнуть, что ждет нас в будущем, обогатить наше мышление и указать, на что стоит обратить внимание.

То, на что указывают нам математические модели, слишком сложно для восприятия. Небольшое упрощение – здоровая человеческая реакция, по крайней мере до тех пор, пока мы читаем написанное мелким шрифтом прежде, чем поиграть в игрушку.

Яркий ноябрьский день в Массачусетсе. Ветер сдувает листья с деревьев, словно зима спешит сорвать осенние украшения. Я держу в руке чашку чая и рассказываю про эту книгу, на тот момент представляющую собой неряшливо намеченные контуры и несколько наполовину готовых абзацев, своей подруге, преподавательнице английского языка Брайанне. Я объясняю, что это экскурсия в мир математического анализа, но без вычурных уравнений. Никаких замысловатых вычислений. Только идеи и понятия, иллюстрированные историями, охватывающими весь опыт человечества – от науки до поэзии, от философии до фантазии, от высокого искусства до повседневной жизни. Легко краснобайствовать, когда книга еще не написана.

Брайанна слушает хорошо. Она сама относит себя к «нематематическим людям», но, по моему мнению, любопытна, вдумчива, проницательна. Именно такая, как читатель, до которого я надеюсь достучаться. Пока мы болтаем, ей что-то приходит в голову – загадка, которую когда-то загадал ее коллега, учитель математики. Она хватает листок бумаги и рисует прямоугольник.

– Какова длина отмеченной точками части? – спрашивает она.

– Семь сантиметров, – отвечаю я. – Три плюс четыре.

– Хорошо, – говорит она, – а что насчет этого?

– По-прежнему семь, – говорю я. – Два горизонтальных участка в сумме дают четыре; два вертикальных – три. Если разбить линию на несколько частей, это не изменит общую длину.

– Правильно, – соглашается она. – А чему состоящая из точек часть равна сейчас?

– Все еще семь. По той же логике.

Она чертит снова:

– А сейчас?

– Семь…

– Хорошо, а если мы будем делать бесконечно малые шаги по этой лестнице и у нас получится такая форма?

Я нахмурился. Это теорема Пифагора, самое старое правило практически в любом учебнике: a² + b² = c². В этом случае если а = 3, а b = 4, то с = 5. Я так и сказал.

– Пять. Да, точно. – Брайанна наставила на меня карандаш, как микрофон. – А что здесь происходит?

В гостиной находятся следующие люди: (1) муж Брайанны Тайлер, в прошлом преподаватель математического анализа, а ныне предприниматель в сфере интеллектуального анализа данных, (2) моя жена Тарин, математик-исследователь, и (3) я, человек, который пишет книгу о математике. На троих у нас более 40 лет изучения математики и научные степени, полученные в Массачусетском технологическом институте, Калифорнийском университете в Беркли и Йеле. Мы все знаем всё о пределах и сходимости бесконечного ряда, о геометрии аппроксимации. Мы знаем, что семь не равно пяти.

Но перед этой задачей мы теряемся. Я чувствую себя так, словно мироздание меня одурачило – подкралось со спины и хлопнуло по левому плечу, чтобы я посмотрел не в том направлении. Я, кажется, слышу его хихиканье. Или это просто шум ветра.

– Неравномерная сходимость? – таинственно бормочет Тарин под нос.

– Нет четких пределов, – говорит Тайлер несколько неуверенно.

У меня самого в голове крутится несколько возможных опровержений в пику мирозданию, но ни одно из них ни капельки ничего не проясняет и не объясняет.

Все, что я могу сказать:

– Ух!

Загадка Брайанны нацелена в самое сердце математического анализа, в основополагающее философское понятие под названием предел. Предел – это конечный пункт назначения бесконечного процесса. Вы не обязательно достигнете предела: вы подходите к нему все ближе и ближе – ближе, чем это можно описать или вообразить. Брайанна в своей загадке установила по-настоящему «скользкий» предел. Он неким парадоксальным образом указывает сразу в двух направлениях. На каждом этапе длина равняется семи, а потом каким-то образом в самом конце вечности она становится пятью.

Подобные парадоксы давно одолевают математический анализ. Поколение спустя после того, как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон впервые разработали эту часть математики, Джордж Беркли устраивал им трепку за небрежный образ мыслей. Ньютон требовал пристально изучать значения не до того, как они исчезнут (когда они все еще являются конечными числами), не после этого (когда они равны нулю), но когда они исчезают. Что он имел в виду?

«А что это за… исчезающие бесконечно малые? – глумился Беркли. – Они не являются ни конечными, ни бесконечно малыми величинами, ни даже ничем. Может быть, мы не будем называть их призраками былых величин?»

Парадокс Брайанны далеко не единственный. Другой вариант начинается с равностороннего треугольника. Если предполагать, что все три стороны равны, то путь по красным линиям в два раза дольше, чем по черной.

Далее возьмем две красные стороны, разделим каждую из них пополам, и, таким образом, наш путь вверх и вниз превратится в вверх-вниз-вверх-и-вниз.

Длина красной части не изменилась: мы просто перераспределили участки. Таким образом, они по-прежнему равны удвоенной длине черной стороны. И мы можем повторять и повторять этот процесс – делить и перераспределять, делить и перераспределять, а красный участок будет оставаться равным двум черным на всех этапах.

Если мы будем повторять деление бесконечное количество раз, то первоначальная красная треугольная «палатка» превратится в прямую линию из пылинок, неотличимую от черной. Но… не привело ли это к тому, что путь вырос в два раза?

Исследователям потребовались столетия ложных шагов и осечек, чтобы разобраться с этой проблемой. «Чтение трудов математиков этого периода, – пишет профессор Уильям Данхэм, – напоминает прослушивание произведений Шопена, которые исполняются на пианино, где несколько клавиш расстроены: в один момент можно оценить гениальность музыки, а в другой она режет слух».

Ставящая в тупик правда – она сбивает с толку не меньше, чем несомненная простота этой проблемы, – состоит в том, что не ко всему можно применять предельный переход.

Возьмем последовательность 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999… На каждом этапе мы получаем дробь – нецелое число. Но каким-то образом на вымощенной желтым кирпичом дороге к бесконечности последовательность превращается в единицу.

Означает ли это, что единица не является целым числом? Черт побери, нет! Это просто значит, что конечная точка движения не обязательно должна напоминать путь, который привел вас к ней. Деревянные ступеньки могут привести к лестничной площадке, покрытой ковром.

Вот пример, который моя жена приводит на первых занятиях по математическому анализу: треугольная волна, двигающаяся через плоскость вдоль оси х.

Каждая точка в какой-то момент является нулем, затем на короткий период времени, во время прохождения волны, она не равна нулю, затем это снова нуль, навеки и даже дольше. Каждая точка, таким образом, рано или поздно приближается к нулевой отметке. Это означает, что пределом всего сценария является горизонтальная линия, ось х.

Но что происходит с волной? Не стирает ли ее предел с лица земли, как нейтронная бомба?

Одним словом, да. Пределы могут это сделать.

В действительности вы никогда не «достигнете» предела. Приблизиться к нему вы, конечно, можете – так близко, что почувствуете его запах, его боль, но коснуться его не удастся. Прыжок к пределу – это трансцендентальный акт, это сродни переходу к смерти: скачок от подвластного времени тела к существующей вне времени душе. Почему любая принадлежащая нам вещь должна пережить это путешествие? У наc есть волосы и зубы, но разве мы ожидаем, что после смерти будем существовать в виде волосатых и зубастых духов?

Чудо математического анализа, неизмеримая тайна всей этой науки в том, сколь многое переживает этот смертельный скачок. И производная, и интеграл ограничены пределами. Тем не менее они не прекращают свое существование. Они работают.

Такие загадки, как та, что нам загадала Брайанна, стимулировали развитие математики в XIX в. Целое поколение ученых совместно работало, чтобы раз и навсегда разгадать парадоксы в математическом анализе. Это означало превращение интуитивной, геометрической работы их предшественников в нечто четкое и нерушимое, в переосмысленный математический анализ, который сохраняет некоторые первоначальные черты, но избавляется от других.

Именно так обстоит дело с предельными процессами. Что-то исчезает, как осенние листья, что-то остается, как ветви деревьев зимой.

Год 1827. Наш главный герой – веселый седовласый ботаник по имени Роберт Броун. Он склоняется над микроскопом, вглядываясь в предметное стекло с пыльцой, – занятие, которое за десятки лет до появления кабельного телевидения можно было считать развлечением по выходным. Броун замечает нечто непривычное.

Танцевальную вечеринку в миниатюре.

Крошечные частицы зернышек пыльцы колеблются перед его глазами. Они танцуют джиттербаг[19]. Они исполняют джайв[20]. Они подпрыгивают, как зерна кукурузы на горячей сковородке, или как накачанные кофеином кролики, или как я на свадебной вечеринке у друга. Они извиваются, как будто слышат песню «Uptown Funk». Что же поддерживает эту неистовую активность?

Возможно, это жизненная сила пыльцы, похожее на перемещение сперматозоидов вечное движение половых клеток растений? Нет. Начнем с того, что, даже если жидкость стоит в закрытом сосуде целый год, танец так и не останавливается. (Реальная проверка танцевальной вечеринки!) Далее Броун обнаруживает такое же движение у частиц стекла, гранита, дыма и даже пыли, собранной с великого сфинкса в Гизе, из чего мы можем сделать вывод, что в те времена туристы запросто могли поскрести исторический памятник, чтобы собрать бесплатные образцы для опытов.

Броун был не первым, кто обнаружил это явление. Поколением раньше ученый по имени Ян Ингенхауз заметил, что частицы угля трепыхаются в алкоголе. Почти за 2000 лет до этого римский поэт Лукреций писал о пыли, дрожащей в луче света. Это древний вездесущий танец.

Так что же он собой представляет?

Итак, весь мир состоит из атомов. Они находятся в постоянном движении. Без электронного микроскопа атомы мы увидеть не можем, но можем заметить более крупные частицы, которые атомы все время бомбардируют, – частицы, такие как пыль со сфинкса и пыльца цветов. Представьте себе огромный шар в парке Дисней Эпкот[21], который непрерывно бомбардируют миллиарды невидимых маленьких шариков, и вы уловите эту идею.

В любой отдельно взятый момент совершенно случайный удар с одной стороны немного перевешивает удар с противоположной. Это вызывает отклонение частицы в одном направлении. В следующий момент схема меняется и частица движется в другом направлении.

Это продолжается вечность, момент за моментом, мгновение за мгновением.

Джига частиц, получившая название «броуновское движение», приводит в замешательство. Это движение частиц беспорядочно, то есть частицы не отдают предпочтения каким-либо направлениям. Оно непредсказуемо, иначе говоря, прошлые движения не дают никакой подсказки, в каком направлении частица будет двигаться в дальнейшем. Но, возможно, самое необычное из всего – это характер изменения направления.

Эти изменения в нашей математической модели являются недифференцируемыми.

Термин требует дополнительных разъяснений, поэтому представьте себя бейсбольным мячом. Я бросаю вас в воздух со скоростью 25 м/с. Предположим, вы простили мое агрессивное поведение, и мы вместе задаемся вопросом, что же происходит после этого. Вы пронзите атмосферу и отправитесь в долгое одинокое странствие среди звезд?

Боюсь, что нет, мой простроченный красными нитками друг! Вы житель Земли, попавший в гравитационную ловушку планеты. Поэтому через секунду вы замедлитесь до 15 м/с. Еще через секунду ваша скорость упадет до 5 м/с. А через следующую половину секунды вы замедлитесь еще сильнее, пока, наконец, не измените направление и не начнете падать с ускорением в направлении земли.

В верхней точке траектории нас ждет необычный и удивительный момент, когда вы уже перестали подниматься, но еще не начали падать. В этот краткий «чих» времени вы лишены движения, «путешествуете» со скоростью ноль метров в секунду.

А что, если мы снабдим вас ракетными ускорителями? Если когда-то вы были всего лишь просто шаром из воловьей кожи, то теперь стали оснащенным реактивным двигателем шаром из воловьей кожи. С помощью реактивной тяги вы взмываете вверх, а потом несетесь вниз. Не является ли это другим видом перемены направления?

На самом деле нет. Разумеется, то, что когда-то занимало целую секунду, теперь происходит за какие-то ее доли, но общая схема сохраняется. После того как ваше движение вверх замедлилось, и до того, как началось движение вниз, существует единственный момент смены направления, когда ваша мгновенная скорость равна нулю.

Только если очень напрячь свое математическое воображение, мы можем представить другой вариант развития событий, скажем, такой:

Тут происходит нечто невероятное. Вы переходите непосредственно от движения вверх к движению вниз без какого-либо промежуточного момента, о котором стоило бы говорить: никакой паузы, никаких пропусков хода, никаких удлинений седьмого иннинга.

Даже приближение – наш стандартный прием для всего, что касается математического анализа, – не вносит никакой ясности. Не важно, как близко вы смотрите или как замедляете видео, – этот момент перехода остается загадкой. Миллиардной долей секунды ранее бейсбольный мяч летел со скоростью 10 м/с вверх, а миллиардную долю секунды спустя он летит со скоростью 10 м/с вниз. Нет замедления, нет ускорения, только неожиданная смена курса, такая внезапная и таинственная, что сознание едва ли сможет ее уловить.

С какой скоростью бейсбольный мяч движется в этот момент? На самом деле движение настолько ничтожно, что само понятие скорости теряет смысл. В это мгновение бейсбольный мяч не имеет скорости. На жаргоне математического анализа функция его положения недифференцируема.

Теперь, после неожиданного рикошета, давайте вернемся к броуновскому движению. То, чего никак не может сделать бейсбольный мяч, частицы при броуновском движении, кажется, делают каждый день. Постоянно.

Изолированная точка недифференцируемости, единственное резкое изменение в движении, которое в иных случаях растягивается по гиперболе, – это само по себе плохо. Но через полвека после Броуна математик Карл Вейерштрасс создал куда более пугающую математическую функцию. Он не ограничился одной недифференцируемой точкой, и даже двумя, и двадцатью. Он придумал функцию, которая является недифференцируемой повсюду.

На графике франкенфункции Вейерштрасса каждая отдельная точка имеет острый угол.

Пытаетесь представить это? Я тоже, друзья мои, я тоже! Самое лучшее, что я могу предложить, – это некоторое приближение: первые несколько шагов по эволюционной лестнице, которые через бесконечное восхождение ведут к демоническому дикобразу Вейерштрасса.

Давайте разберемся с природой этого ужаса. Это единственная, неразрывная кривая без скачков и пробелов. Но она настолько зубчатая и непутевая, что ни человеческая рука, ни графическое программное обеспечение не могут ее нарисовать. Этот находящийся за границами воображения монстр, как пишет математик Уильям Данхэм, «забил последний гвоздь в гроб геометрического восприятия как надежного основания математического анализа».

Эмиль Пикар, французский математик, выражал глубокое сожаление по поводу этого изменения. «Если бы Ньютон и Лейбниц могли только подумать, что неразрывные функции не обязательно должны иметь производную, – заверял он, – дифференциальное исчисление никогда бы не было изобретено». Еще один французский математик Шарль Эрмит высказался еще более беспощадно: «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления, которое представляют собой функции, не имеющие производных».

В истории математического анализа дьявол Вейерштрасса с заостренными отметинами на лице олицетворяет собой точку, где произошел резкий разворот, внезапное изменение направления.

В такие времена может показаться, что математика вначале потеряла голову где-то в облаках, а потом потеряла облака под своим собственным задом. Кого заботят невозможные детали, все эти абстракции, которые нельзя даже представить? Не охотился ли Вейерштрасс из любви к искусству всего лишь за каким-то философским понятием, рассчитанным на дешевый успех, презирая главное предписание о том, какой должна быть математика? Ну, вы знаете, полезной.

Виновен по всем пунктам. «Это действительно так, – говорил Вейерштрасс, – нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом».

И тем не менее, если вы с детства привыкаете к существованию резких поворотов, возможно, вы увидите, куда они ведут. Эта недифференцируемость повсюду, характерная черта, которая делает шипастого питомца Вейерштрасса таким пугающим и нереальным, особенность, которая ошарашила целое поколение математиков… В общем, именно так и работает наша модель броуновского движения.

Путь частицы при броуновском движении не просто включает в себя несколько углов. Вся их жизнь – острые углы. Каждое мгновение всюду присутствующая пыль делает новое и совершенно непредсказуемое движение в безумном танце. Поскольку производная – всего лишь скорость, броуновское движение – это что-то вроде неподвижного движения, глухой отголосок деятельности, которую традиционный математический анализ никак не может описать, разве что сказать «Вау!», «Ого!» или «Что?!».

Мне нравится необычность броуновского движения – пути, который ни одна рука не может зарисовать, движения, которое нельзя обозначить никакой скоростью. Именно поэтому власти позволили Броуну скрыться с фрагментом Большого сфинкса? Возможно, они чувствовали, что его работа, как загадки сфинкса и математический анализ, была игрой парадоксов и древних головоломок – одновременно совершенно невозможной и полностью реальной.

Где-то в далеком будущем, когда проводить отпуск с семьей на Марсе стало обычным делом, а то, что кто-то носит зеленые волосы, припорошенные жемчужной пылью, никого не удивляло, жила-была счастливая в браке жена по имени Оона. Ее муж Джик был «самым прекрасным мужчиной во всей Солнечной системе», хотя главным доказательством этого заявления было то, что «он всегда помнил о годовщинах», так что, возможно, конкурентов у него было не очень много. Далее мы узнаем, как Джик прилагал усилия для того, чтобы «поделиться своими интересами», и регулярно давал Ооне уроки математики.

Как вымышленный персонаж, придуманный в 1948 г., Оона понятия не имела о том, что значит «самоутверждаться за счет женщины». Вместо этого она с радостью принимала уроки Джика и считала себя счастливицей. «Вот здорово! – думала она. – Множество мужей никогда не говорят со своими женами, только жалуются на плохую еду».

Однажды Джик пришел домой с великолепным подарком: «самым лучшим роботизированным мозгом, который когда-либо придумывали». Устройство называлось «визи-мат». Джик объяснил:

В отличие от других подарков Джика визи-мат действительно помогает Ооне. И для высокотехнологичной машины вымышленного будущего он действует достаточно простым способом, показывая, как умножение связано с прямоугольниками.

Например, то, что 5 × 4 = 20, лучше всего можно понять, представив прямоугольник 5 × 4.

Это же работает и для умножения дробных чисел, скажем 6 × 2,5. Вы получаете 12 целых квадратов и шесть половинок, а всего – 15.

Так можно даже объяснить, как «возведение в квадрат» получило свое название, поскольку удвоение количества само по себе создает квадрат.

«Учить математике без иллюстраций – это преступление, – говорил Бенуа Мандельброт[22], – смехотворное занятие». Но каким-то образом такие учителя, как я, часто не могут следовать этому правилу. В том XXI в., где мы обитаем и где есть такие инструменты, как Wolfram|Alpha[23] и Desmos[24], которые могли бы посрамить визи-мат, мы в своей профессиональной деятельности остаемся теми же Джиками.

Возьмем одно из первых правил курса математического анализа: производной функции х² является 2х. Должен отметить, что, объясняя ученикам этот факт, я всегда шел по алгебраическому пути:

Почему я продолжаю оставаться Джиком? Неужели стандартизированное обучение неумолимо ведет к механическому запоминанию? Или это связано с тем, что мы, учителя, не знаем хороших наглядных материалов, так как сами являемся продуктами системы? Или это затянувшееся влияние Бурбаки, радикальной группы математиков ХХ в., чей боевой клич «Смерть треугольникам!» предупреждал, что визуальное восприятие вводит в заблуждение, а абстрактный символизм – единственная твердая почва под ногами?

Какой бы ни была причина, визи-мат предлагает альтернативу. Начнем с возведения в квадрат, умножения х на х.

Производная, как вы, возможно, помните, – мгновенный уровень изменения. Следовательно, необходимо задать вопрос: «Если мы немного изменим х, на сколько изменится х²?»

Так давайте пойдем вперед и немного увеличим х, назвав это dx.

Рост х² происходит в трех областях: двух длинных, тонких прямоугольниках (каждый х увеличивается на dx) и в крошечном квадратике в углу (dx на dx).

Здесь мы остановимся, чтобы порассуждать о природе миниатюрности. Примерно так: вот это маленькое, а это просто крошечное. Скажем х = 1, а dx = 1/100. Это достаточно мало, верно? Конечно, но (dx)² в сотню раз меньше: всего лишь 1/10 000. Это такое крошечное значение, что предыдущее по сравнению с ним выглядит огромным.

А если dx еще меньше, например 1/1 000 000? Тогда (dx)² в миллион раз меньше и равняется только 1/1 000 000 000 000. Это новый уровень миниатюрности.

Что же представляет собой dx в действительности? Это стремящаяся к нулю величина меньше любого известного числа. (Джон Валлис, изобретатель значка бесконечности, записывал бесконечно малые величины как 1/∞, хотя ваш учитель может рассердиться из-за такого обозначения.) Так что (dx)² не просто в сотню или миллион раз меньше, оно бесконечно меньше, это бесконечно малое от бесконечно малого. Оно с таким же успехом могло бы быть нулем.

Так на много ли вырастет х²? Если игнорировать пренебрежимо малое (dx)², он вырастет на два прямоугольника – один по ширине, другой по высоте.

Следовательно, производная равна 2х.

Вернемся в гостиную будущего. Оона находит демонстрацию захватывающей.

Так вот что они имели в виду, когда говорили о возведении числа в квадрат! Не просто умножение его на себя самого или что там Джик говорил, но превращение числа в самый настоящий квадрат… Тогда математика – это не просто набор цифр, букв и глупостей. Она что-то значит, а математическое выражение, как предложение, о чем-то говорит.

Возбужденная Оона погрузилась в следующий демонстрационный пример визи-мата. Как может с зевком или всхлипом подтвердить любой студент-математик, производная х³ – это 3х². У Ооны – и у меня, и у моих студентов, и, черт побери, у любого человека, который когда-либо подвергался алгебраической пытке вроде той, которую устроил ведомый благими намерениями Джик, – возникает один вопрос: «Почему?»

Визи-мат знает. Если х² дает нам квадрат, то х³ – куб.

Опять же, позволим х вырасти на небольшую величину dx и понаблюдаем: каждая сторона куба тоже увеличивается.

Это создает множество новых областей. Во-первых, есть три плоских квадрата, их глубина бесконечно мала.

Далее, есть три узких стержня, их глубина и ширина бесконечно малы.

А в углу находится один очень маленький куб, его высота, ширина и глубина бесконечно малы.

Эти последние четыре объекта – узкие стержни и претендующий на оригинальность куб – меньше самого мелкого, крошечнее крошечного. Они представляют собой практически ничто по сравнению с напоминающими листы бумаги квадратными областями. Таким образом, производная получается следующим образом: когда вы увеличиваете сторону куба, куб вырастает на три плоских квадрата, по одному на измерение.

Увидев, как визи-мат разворачивает перед ней все это, Оона внимает ему с удовольствием.

Теперь, когда она знала, что наконец может понимать все эти математические штуки, в ее крови заструилось что-то вроде пузырьков радости.

Больше не надо видеть, как Джик разочарован и задет, больше не надо слушать, как он говорит, говорит, говорит, пока она пытается понять, что, во имя Системы, все это значит. Отныне со всеми этими проблемами она может обратиться к визи-мату.

Вся эта история взята из рассказа «Алеф с нижним индексом один» (Aleph Sub One) Маргарет Сент-Клер, забытой современницы Азимова, Брэдбери и Кларка. В ее работах технологический оптимизм соединяется с социальным пессимизмом. Оона живет во времени, когда приспособления становятся все лучше и лучше, а люди остаются все теми же. «Я люблю писать об обыкновенных людях из будущего, – однажды объяснила Сент-Клер, – окруженных сложными техническими приспособлениями, порожденными супернаукой. Но эти люди, я уверена, знают о том, как вся эта техника работает, не больше, чем современный водитель осведомлен о законах термодинамики».

В этом отношении «Алеф с нижним индексом один» – выдающийся рассказ. Визи-мат, в отличие от агрегатов для уборки и приготовления пищи, одаривает Оону чем-то, что действительно имеет вес, – пониманием. Теперь она может взглянуть сквозь малопонятные формулы и увидеть стоящее за ними значение. Она может увидеть свет в конце длинного темного тоннеля лекций Джика.

Очень своеобразная точка зрения: освобождение женщины через геометрическую визуализацию.

«Битва между геометрией и алгеброй напоминает сражение между представителями различных полов, – сказал однажды математик сэр Майкл Атья. – Это навечно… Дихотомия между алгеброй как способом делать что-то с помощью формальных манипуляций и геометрией как способом мыслить на концептуальном уровне – две составляющих математики. Вопрос только в их правильном балансе».

Оона могла бы вмешаться: «В балансе? А зачем нам вообще нужна вся эта неразбериха алгебраических символов?»

Потому что геометрия имеет ограничения. Производные функций х² и х³ нарисовать несложно, но для х⁴ вам придется изобразить тессеракт в четырех измерениях. Удачи вам в этом занятии. Оона попробовала это сделать на визи-мате, но без особого успеха. Она увидела «что-то вроде куба или набора кубов, от которых у нее заболели глаза». Мгновение спустя изображение исчезло, став плоским «так быстро, что Оона не была уверена, действительно ли его видела».

Именно в этот момент Оона приняла судьбоносное решение – скормить визи-мату самое ужасное, самое сложное выражение, какое она только могла придумать.

Она напряженно писала почти пять минут, обильно украшая свою работу различными dx, n-ными степенями и достаточным количеством e… Под уравнением своим круглым детским почерком Оона написала N = 5.

Когда машина затрещала и отключилась, Оона пожала плечами и ушла, занявшись хозяйством. Когда она вернулась, ее дом был поглощен «некой неестественной красноватой мутью, медленно вращающейся и напоминающей водоворот, который получается, когда вы спускаете воду из ванны». Попытка отобразить кошмарное уравнение Ооны создала уничтожающий пространство вихрь.

Для меня это выглядит правдоподобно: бессмысленные математические символы вполне способны разрушить реальность.

В конце концов Оона сумела спасти ситуацию, подсунув «улитке» написанную от руки записку: «Извините, я сделала ошибку. N не равна пяти. На самом деле N равна нулю (0). Вихрь получил ее записку, и «на какой-то момент казалось, что Вселенная качается на краю бездны. Затем все выглядело так, как будто нечто пожало плечами и решило утихомириться».

Возможно, не все производные могут быть визуализированы.

Давным-давно, 29 или 30 столетий назад, жила-была принцесса по имени Элисса. Согласно сохранившимся текстам, ее брат Пигмалион был «тем еще парнем». Это вежливый способ рассказать о том, что он убил мужа Элиссы из желания поживиться золотом.

Прихватив с собой свои мозги, хитрость и, без сомнения, недавно возникшие проблемы с доверием, Элисса бежала через Средиземное море на побережье Африки. Она прибыла туда с большим количеством последователей, но у них не было ничего, что можно продать. Даже жульничая, Элисса сумела выторговать только «кусок земли, который она могла покрыть бычьей шкурой».

Выглядит не очень. Но Элисса была хитроумной леди. Как написано в одном из источников, она велела разрезать шкуру «на самые тонкие полосы», а затем, подойдя к прописанному в договоре с поистине вызывающей восторг ловкостью, она представила слова «участок, который можно покрыть» как «часть земли, которую можно охватить».

Такими были условия самой известной античной задачи на максимизацию. Какой участок земли вы можете отгородить с помощью некоторого количества длинных полосок кожи?

Эта загадка сегодня известна как изопериметрическая задача: приставка изо- здесь означает «тот же самый», а периметр – «подлая леди». По этимологическому совпадению периметр также означает «длина границы плоской фигуры».

Вопрос состоит в том, как можно захватить наибольшую площадь из всех возможных форм.

Не знаю, какими единицами длины пользовалась Элисса. Вероятнее всего, не метрами, если только она не была одной из первых, кто их применял. Поэтому, скажем, ее полоски соответствовали 60 «бычьим футам» (каждый из которых равен «1/60 общей длины, имевшейся у Элиссы»).

Теперь упорядоченная система геометрии предоставляет бесконечное разнообразие форм для города Элиссы.

Чтобы избежать такого разброса (и сложных расчетов площади), давайте возьмем самый простой класс фигур – прямоугольники.

Имея шкуру быка определенного размера, Элиссе предстояло пойти на сделку. Чем больше она будет расширять основание прямоугольника, тем меньше будет высота, и наоборот. Увеличьте одно из измерений с 17 до 18, и другое тут же понизится с 13 до 12.

Мы можем иначе сформулировать формулу площади прямоугольника: не «ширина × высота», а «основание × (30 – основание)».

На графике сверху каждая точка обозначает возможный прямоугольник, зарождающуюся империю Элиссы. На левом краю находятся глупые планы, такие как 1 × 29, на правом – их зеркальные отражения, скажем 29 × 1. Благодаря каждому из них получается очень узкая территория площадью 29 квадратных единиц, зауженная до такой степени, что даже Бостон покажется просторным.

Почему получаются такие нежизнеспособные результаты? Просто рассмотрите производные. Отношение скажет нам о том, как площадь реагирует на изменение основания.

Тем временем скажет нам, как площадь реагирует на изменение высоты.

Увеличьте основание, и площадь чуть-чуть изменится. Увеличьте высоту, и она взлетит ввысь. Если пользоваться другими терминами, ничтожно мало, в то время как огромно. Это порок всех подобных прямоугольников, напоминающих по форме спагетти, с удлиненным основанием и хилой высотой. По такому замыслу почти вся драгоценная бычья шкура уйдет на прижимистую производную, не оставив ничего щедрой.

Более умный план? Тратить, пока производные не станут равны. Это произойдет, как показывает график, когда стороны станут равны, в квадрате 15 × 15.

Решили ли мы проблему Элиссы? Не пора ли перерезать красную ленточку и начать занимать места на парковке? Не так быстро – у принцессы в запасе есть еще один трюк. Вместо того чтобы раскладывать полоски из бычьей кожи по открытой равнине, что, если ей отгородить участок на побережье Средиземного моря? Таким образом, вместо того чтобы выкладывать четыре стороны, ей понадобятся только три.

Ранее Элисса могла позволить себе квадрат 15 × 15. Сейчас она может отгородить область 20 × 20. Площадь увеличивается с 225 единиц до 400, город обрастает пригородами. Теперь-то мы уже можем выбирать мэра и, наконец, начинать жаловаться на строительство?

Однако, чтобы проверить, вернемся к производным. Вот что говорит нам самое маленькое увеличение высоты дает увеличение площади на 10 таких единиц.

Не так уж плохо! И можно предположить, что то же самое происходит с

Черт возьми! Дополнительное приращение основания увеличит площадь на 20 таких единиц. Производные не равны!

По результатам проверки это имеет смысл. Каждый маленький участок высоты тянет за собой две стены, тогда как каждый участок основания – только одну. Таким образом, ширина «дешевле» в два раза. Квадратная форма перераспределяет ресурсы: мы ищем форму, при которой обе производные равны.

Теперь пора перейти к другому графику:

Оказывается, максимальную площадь займет прямоугольник 15 × 30, охватывающий 450 квадратных единиц.

Триумф, как ни крути! Элисса превратила свой перенаселенный Манхэттен из бычьей шкуры в просторный Хьюстон. Но, использовав кое-что под названием «вариационное исчисление», подразумевающее различные виды кривых, Элисса может получить больше площади от своих ничего не подозревающих партнеров по торговле. Это дает нам в действительности самое оптимальное решение – полукруг, диаметром которого является береговая линия.

Приблизительная площадь этой фигуры – 573 квадратные единицы. Совсем неплохо для оптимизации за один день.

Все это, как утверждают римские историки, произошло в конце IX в. до н. э. В последующие годы на полукруглом участке земли появился процветающий и сильный портовый город-государство под названием Карфаген. Он был могущественной державой, пока Рим не повел против него войны и, в конце концов, с трех попыток, не одолел его. Многие годы Катон Старший заканчивал каждую свою речь словами: «Карфаген должен быть разрушен» («Delenda est Carthago»), что, должно быть, звучало несколько странно, скажем, на открытии нового парка.

В эпической поэме Вергилия «Энеида» Элисса выступает как любовница титулованного Энея, основателя Рима. Вергилий называет ее Дидоной. Под этим именем она вошла в основной состав канона западной культуры: 11 раз ее упоминал Шекспир, она стала героиней 14 опер, а также появилась в компьютерной игре «Цивилизация». Как говорил Дидоне Эней, «твоя честь, твое имя, твои заслуги будут жить вечно».

В наши дни город Элиссы с периметром из бычьей шкуры является прибрежным пригородом Туниса.

Предупреждаю заранее: я собираюсь закончить эту главу длинной, укрепляющей серией обязательных упражнений. Вот такую книгу для чтения на пляже вы купили. Если только – здесь я просто немного подтруниваю – вы не обменяете эту домашнюю работу на книгу апокалиптических комиксов.

Правда? Ну, делайте, как вам нравится.

В качестве компромисса давайте начнем эту главу, как мне нравится: с классической проблемы оптимизации, которую можно найти в любой книге по математическому анализу, начиная с «железного века» учебников по этой науке. Задача звучит примерно так: «Два положительных числа при умножении дают 100. Какой может быть их наименьшая сумма?»

Для начала мы можем попробовать различные пары чисел и посмотреть, что они дают в сумме.

Если первое число обозначить как A, то второе всегда равно 100, деленное на А (иначе говоря, 100/А). В результате получается следующий график:

Минимум находится там, где производная точно равна нулю, что происходит, когда А = 10. Это означает, что второе число также 10, и, таким образом, минимальная сумма – 20. Выпейте безалкогольного шипящего сидра – задача решена!

Эта задача приятна и аккуратно подстрижена, как придомовая лужайка в пригороде. Вы исследуете возможности. Вы взвешиваете варианты. И в конце вы приходите к единственному решению – триумф равновесия и эффективности. Почему авторы книг по самосовершенствованию и IT-компании так активно призывают нас к «оптимизации». Если понимать ее буквально, оптимизация призвана делать вещи лучше. Кто, за исключением поклонников сериала «Звездный путь: Вояджер», предпочтет худшее лучшему?

Но это только одно понимание оптимизации. Сразу за углом скрывается дикий мир. Позвольте себе нечто простое и безрассудное – сделайте наоборот. Вместо того чтобы искать минимальную сумму, найдите максимальную.

Если подбирать правильные пары множителей, сумма может расти и расти, так, что мы потеряем над ней контроль, и раздуется до бесконечности, как обещания политика или вопли младенца. Как может понять любой избиратель или родитель, мы попали в кошмар оптимизатора. Никакого максимума здесь нет, только беспредельный, бесконечный подъем.

В 2003 г. философ Ник Бостром написал эссе об этических последствиях применения искусственного интеллекта, существенно превосходящего человеческий. Он включил в работу краткое описание того, как даже самая возвышенная цель при не испытывающем колебаний руководстве может привести к варварскому уничтожению всего, подобно графику, устремленному в бесконечность. Этот замысел в стиле фильма ужасов с тех пор вошел в обиход и воображение людей.

Я даю вам… Умножитель скрепок для бумаги.

Как в басне Эзопа «Черепаха и технологическая сингулярность[25]», мораль этой сказки совершенно ясна: никогда не создавайте силу, которой безразлично ваше выживание и которую вы не можете остановить. «Искусственный интеллект не испытывает к вам ненависти, – говорит философ Элиезер Юдковский, – не ощущает и любви, но вы сделаны из атомов, которые он может использовать для своих нужд».

Действительно ли существует эта угроза? Не сойдут ли через несколько секунд поезда с рельсов или это всего лишь зарисовка на ноутбуке градостроителя? Математик Ханна Фрай склонна придерживаться последней точки зрения. «Возможно, было бы куда более полезно подумать о том, как мы пройдем через революции в вычислительной статистике, чем через революцию в искусственном интеллекте, – пишет она в своей книге «Привет, мир! Оставаясь человеком в эпоху алгоритмов» (Hello World: Being Human in the Age of Algorithms). – Честно говоря, мы очень далеки от создания интеллекта даже на уровне ежика. Никто пока что не продвинулся дальше червя». Другие настроены менее оптимистично. «Часто случается, – пишет Юдковский, – что от ключевого технического изобретения, которое, казалось, появится только через несколько десятилетий, нас отделяет всего пять лет».

Стоит спросить: почему мы с вами не ведем себя как Умножитель скрепок? Я встречал людей – черт, да я сам бывал таким! – чьи цели были сомнительными или даже хуже. Мы способны на моральную слепоту, эгоистичную жадность и, когда стоим в медленно двигающейся очереди в магазине, на внезапный порыв кого-нибудь убить. Если Умножитель скрепок уничтожает мир ради глупой цели, почему мы с вами не уничтожаем мир, принимая во внимание, что наши цели являются далеко не возвышенными?

Отчасти дело в том, что нам просто не хватает сил. Но, кроме того – и это звучит более утешительно, – мы устроены сложнее и потому не способны так несгибаемо, не зная сомнений, идти к подобной цели.

Испытывали ли вы ничем не замутненную радость, когда играли в ладушки с карапузом? Необыкновенное умиротворение от созерцания многоцветного заката? Сладость идеального молочного коктейля? Ощущали ли вы состояние потока, выполняя значительную работу, чувство гордости от неожиданных перепостов, тепло на душе от дружеского общения с леопардовым гекконом? Если да, то вы знаете, что счастье – это не нечто, существующее отдельно. Для человечества нет одной-единственной переменной, чтобы ее оптимизировать. Как писал Уолт Уитмен:

По-твоему, я противоречу себе?

Ну что же, значит, я противоречу себе.

(Я широк, я вмещаю в себе множество разных людей.)[26]

Просто возьмите наш мозг, который не сделан по единому, унифицированному стандарту. Он представляет собой мягкое розоватое вещество, появившееся из запасных частей за тысячелетия эволюции. Он похож на архисложные компьютерные программы, организацию которых не может понять ни один программист. Именно поэтому жизнь так богата и бывает такой странной.

Математики могут дать нам инструкции о том, как оптимизировать. Но решать, что оптимизировать, остается задачей людей. И я голосую против скрепок.

Однажды вечером беспокойной осенью 1974 г. в роскошном ресторане отеля в столице США собралось пять человек, чтобы пообедать стейками, а на десерт заняться математическим анализом. Среди них было трое государственных чиновников (Дональд Рамсфелд, Дик Чейни и Грейс-Мари Арнетт), один редактор The Wall Street Journal (Джуд Ванниски) и один экономист из Университета Чикаго, Артур Лаффер, чье имя вскоре войдет в анналы истории экономики – а все благодаря исписанным чернильной ручкой салфеткам.

Неопытная администрация Форда столкнулась с дефицитом бюджета. Президент предложил общепринятое консервативное решение – повысить налоги. Возможно, сердца избирателей это не согрело бы, но ведь такое решение срабатывало столько раз! Если средств не хватает, нужно брать больше. Если только не спросить Артура Лаффера. Он считал, что правительство может наполнить свои сундуки, не повышая налоги, а понижая их. Я получаю больше денег, вы получаете больше денег, правительство получает больше денег. Эй, загляните под свои стулья – все получают больше денег!

Чтобы объяснить свою идею, Лаффер схватил салфетку и нарисовал производную, которая изменила мир.

Вначале представьте мир, где ставка подоходного налога равнялась бы нулю. В нем проблема Форда с дефицитом только усугубилась бы, потому что правительство никогда не получало бы никаких денег.

Другая крайность – ставка налога в 100 % – едва ли намного лучше. Когда служба по внутреннему налогообложению забирает каждый грош, который вы зарабатываете, зачем тогда вообще зарабатывать деньги? Вместо этого вы можете трудиться по бартеру, или работать подпольно, или распевать язвительные антиправительственные песенки на городских площадях. Пытаясь заграбастать весь экономический пирог, правительство только раздавливает его.

А теперь переходим к математическому анализу. Как доход правительства (обозначим его G) отвечает на изменения ставки налога (обозначим ее T)?

Иногда положительна, то есть повышение налога приводит к стремительному росту дохода, к примеру от 0 % до 1 %. В других случаях отрицательна, иначе говоря, повышение налога ведет к понижению дохода – скажем, от 99 % до 100 %.

Если предположить, что не будет никаких внезапных скачков или разворотов, мы можем применить небольшой, но прославленный шедевр математического анализа – теорему Ролля. Она гласит, что где-то между 0 % и 100 % есть особая точка, магическая налоговая ставка, повышающая доход до максимума, где равна нулю, и правительство получает от экономики столько, сколько может.

Где же именно находится эта точка? Неясно. Теорема Ролля – это то, что математики называют «теоремой существования»: она утверждает, что объект существует, но не указывает, где и как его найти.

Не важно. Лаффер не утверждает, что мы должны найти максимум. По его мнению, вам просто не надо оказываться справа от него, там, где понижение налогов приводит к тому, что все теряют свою прибыль. Только держащий в страхе всю экономику злодей из бондианы или не разбирающийся в математике круглый дурак могли бы возразить против этого.

Лаффер приводит пример президента Кеннеди, который понизил верхнюю границу предельной ставки с 91 % до 70 %. Результат был до странности асимметричным. Тогда как доля правительства в каждом маржинальном долларе упала более чем на четверть (с $0,91 до $0,70), доля работника увеличилась более чем в три раза (с $0,09 до $0,30). Это, как утверждает Лаффер, дало богатым людям стимул работать. Они с ревом бросились в свои офисные здания, как футбольные болельщики на игру. Уровень заработной платы взлетает вверх, налогооблагаемая база растет, музыка гремит, и даже правительство получает доход.

Логику здесь определяет простой математический анализ, ничего нового. Джон Мейнард Кейнс, Эндрю Меллон, мусульманский философ XIV в. Ибн Хальдун – Лаффер цитировал их всех как своих предшественников, отрицая какую-либо свою заслугу. Так что, думаю, вы уже догадались, в честь кого назвали график.

За это наименование мы можем благодарить Джуда Ванниски.

Кем он был, кроме того что являлся редактором The Wall Street Journal и фанатичным сторонником Лаффера? Согласно комментатору-консерватору Роберту Новаку, «гением», «адвокатом, который изменил мир» и «самым умным человеком, какого мне приходилось встречать»; согласно The New York Sun, «портящим факсы, ищущим публичности мозговым трестом в лице одного человека», а по версии внутреннего источника Джуда Ванниски – «самым влиятельным политическим экономистом последнего поколения».

«Хотел бы я быть настолько же компетентным хоть в чем-то, – сказал его соперник Джордж Уилл, – насколько он компетентен во всем».

Взглянув на кривую Лаффера, Ванниски увидел исторический поворот. Можно забыть о консервативном пристальном внимании к борьбе против дефицита. Можно забыть о старом выражении противников налогов «держать правительство на голодном пайке». Во время этого обеда, который, как он заявил, был срежиссирован заранее, Ванниски увидел организацию нового мира. Теперь снижение налогов становилось выгодным для всех или даже для всех-всех-всех-всех-всех-всех-всех…

Свое видение он изложил в фундаментальном труде, вышедшем в 1978 г. и скромно озаглавленном: «Как устроен мир» (The Way the World Works). Эта книга быстро стала библией новой экономики «с приоритетом предложения». В 1999 г. в своем ретроспективном собрании National Review включил ее в сотню самых великих документальных произведений столетия. «Я иду сразу за кулинарной книгой “Радость приготовления пищи”», – шутил Ванниски, хотя, если быть точным, «Радость приготовления пищи» занимает 41-е место, а Ванниски – 94-е.

Кривой Лаффера в книге отведена основная роль. На самом деле это ее главный герой, графическое представление самой цивилизации. «Тем или иным образом, – писал Ванниски, – все сделки, даже самые простые, проходят в соответствии с ней». Он предрекал, что «ее использование будет распространяться… Избиратели во всем мире узнают…»

У меня есть только одно замечание: кажется, Джуд Ванниски не понимал смысла кривой.

Вновь и вновь он говорит о пике кривой как о «точке, в которой избиратели желают, чтобы их облагали налогом». Не уверен, с какими именно избирателями встречался Ванниски, но я никогда не встречал ни одного, добивающегося максимальной выгоды для правительства. Никто не любит налоговую службу до такой степени.

Ванниски пишет:

В этой формулировке косвенным образом подразумевается существование в каком-то месте идеальной налоговой ставки, не слишком высокой и не слишком низкой, но способной поощрять максимальную налоговую активность и дающей самый высокий и наименее болезненный уровень дохода от налогов.

Не нужно иметь докторскую степень, чтобы понять: «самый высокий» и «наименее болезненный» уровень дохода от налогов – это далеко не синонимы и даже несопоставимые понятия. Ванниски пишет так, как будто ось y одновременно представляет две переменные – доход от налогов и общую производительность. Но график работает не так.

Вскоре после дерзкого и таинственного скачка воображения Ванниски начинает представлять кривую Лаффера как метафору всего – например, отца, воспитывающего сына. «Суровые наказания за нарушения крупных и мелких правил» сравниваются с высокой налоговой ставкой. Они могут «вызвать только угрюмые бунты, хитрость и ложь (уклонение от налогов по всей стране)». Тем временем отец, который является сторонником вседозволенности, напоминает низкую налоговую ставку и «подталкивает к открытым, бесшабашным бунтам»: «раскрепощенное взросление его сына происходит за счет остальной семьи».

Если воспринимать эту аналогию буквально, то ее автор заменяет «доходы правительства» «общим количеством наказаний». Он утверждает, что отцы должны стремиться извлечь максимум пользы из своих наказаний. Не наказывайте слишком сурово, иначе сведете на нет весь смысл наказаний.

В ничем не ограниченной прозе Ванниски кривая Лаффера перестает быть экономическим или даже математическим понятием. Он превращает ее в призрачный символ новой эры, нечто едва ли действующее по правилам, не мысль, а, скорее, эмоцию.

Как бы то ни было, благодаря неутомимой и несколько несуразной защите Ванниски кривая Лаффера завоевала популярность. Через несколько недель после вышеупомянутого обеда в 1974 г. президент Форд начал проводить новую политику, отказавшись от повышения налогов. В 1976 г. только что переизбранный конгрессмен Джек Кемп согласился на 15-минутную встречу с Лаффером, в итоге они проговорили весь вечер, как лучшие подружки, собравшиеся на пижамную вечеринку. «Наконец я отыскал избранного представителя народа, который был таким же фанатиком, как я», – сказал Ванниски. Еще один сторонник экономики предложения писал позднее: «Именно Джек Кемп практически в одиночку заставил Рональда Рейгана обратиться к экономике предложения». В 1981 г. Рейган подписал закон о значительном снижении налогов, соавтором которого был Кемп.

Менее чем за десятилетие закорючки на бумажной салфетке стали законом страны.

В тот же самый год, после четверти века составления колонки математических игр для Scientific American, писатель Мартин Гарднер посвятил свой последний выпуск этой рубрики острой критике сторонников экономики предложения. Цитируя Джеймса Джойса – «самый странный сон, который можно увидеть в полусне», – он устраивает разнос кривой Лаффера как чрезмерно упрощенной и граничащей с бессмыслицей.

Возьмем ось х: «ставка налогообложения». Что это вообще может значить в такой системе, как наша? Среднюю маржинальную ставку? Верхнюю? Не должно ли быть разницы между суммами выплат тех, кого можно отнести к низшей категории по величине дохода, и тех, кого можно отнести к высшей категории? Чтобы компенсировать утраченную сложность, Гарднер выдвинул контраргумент: «новую кривую Лаффера». Здесь «одна и та же» налоговая ставка может привести к множеству различных результатов, в зависимости от особых обстоятельств.

«Как и старая кривая Лаффера, – ерничал Гарднер, – новая также является метафорической, хотя явно представляет собой лучшую модель реального мира».

В конце концов, это вопрос эмпирический: может ли понижение налогов привести к повышению доходов? Находятся ли Соединенные Штаты сейчас – или находились тогда – с правой стороны (которая на самом деле является неправильной стороной) кривой?

Короткий ответ: возможно, нет. Экономисты пытались точно определить пик, но оценки очень разнятся. Ткните пальцем в середину графика, и вы попадете примерно в 70 %, именно такого уровня удалось достичь Рейгану. К тому времени, когда он покинул свой пост, этот показатель достигал 28 %, что определенно находится на левой стороне кривой.

В опросе 2012 г. приняли участие 40 ведущих экономистов, которых спрашивали, не можем ли мы находиться на правой стороне кривой Лаффера. Ни один не сказал в ответ «да». Несогласие колебалось от осторожных замечаний («Это кажется неправдоподобным, но невозможным не является») до категоричных заявлений («Такого никогда не случалось в прошлом. Нет никаких причин думать, что так произойдет в будущем») и даже до насмешек («Мы действительно побывали на Луне. Эволюция существует. Понижение налогов ведет к уменьшению дохода. Исследования показывали это тысячу раз. Хватит уже!») Один экономист отметил: «Это же Лаффер!»

Коллеги Лаффера по экономическому цеху, кажется, готовы выбросить его исписанную салфетку в мусорную корзину.

Тем не менее кривая по-прежнему остается мощным орудием политической пропаганды. «Эту идею вы можете объяснить любому конгрессмену за шесть минут, – отмечает экономист Хэл Вариан, – и он будет говорить о ней целых шесть месяцев». График показывает рынок труда как живой организм, меняющий размер и форму в качестве реакции на схемы налогообложения, используемые правительством. Эта точка зрения прижилась: сегодня «динамическая оценка» понижения налогов является обычной процедурой, а мысль о том, что «снижение налогов стимулирует рост», стала широко распространенным клише.

Смитсоновский институт сейчас хранит клочок салфетки, обнаруженный среди бумаг Ванниски после его смерти. «Если вы облагаете продукт налогом, результат хуже, – написано на ней. – [Если вы] субсидируете [продукт], [результат] выше. У нас работает налогообложение… и не работает субсидирование, и мы имеем праздную жизнь и безработицу. Последствия очевидны!» Салфетка адресована «Дону Рамсфелду», датируется 13/09/74 и подписана «Артур Б. Лаффер».

Лаффер говорит, что эта салфетка не настоящая, она была воссоздана позднее. Это запоздалый сувенир, сделанный по просьбе Ванниски много лет спустя. Оригиналом, по словам Лаффера, должна была быть бумага, он никогда не портил узорчатые салфетки. Кроме того, запись выглядит слишком аккуратной. «Смотрите, как тщательно она сделана! – сказал Лаффер журналистам из The New York Times. – И объясните, как поздно вечером за стаканом вина вы сможете писать так ровно!»

Я верю Лафферу. Конечно, Ванниски умел рассказывать отличные истории, но реальность всегда немного сложнее.

Качества, которые больше всего восхищают людей в собаках, – писал корреспондент The New Yorker Джеймс Тербер, – это их собственные достоинства, странным образом усиленные и измененные». Вероятно, поэтому о нем писали в газетах, его снимали на телекамеры и забрасывали его почетными званиями, как мозговыми косточками. В его собачьей интуиции нам виделось подобие человеческого интеллекта, подтверждение нашего с трудом добытого знания.

Но, возможно, больше всего людей приводят в восторг умильные собачьи морды. «Если бы этот пес был уродцем, – со смехом говорит мне Тим Пеннингс, – вряд ли он имел бы такой успех».

История началась в 2001 г. «У меня и мысли не было о том, чтобы взять собаку», – рассказывает Пеннингс о своей первой встрече с Элвисом. Но, когда годовалый пес не колеблясь лизнул его колено, математик решил попробовать – в любом случае, «только на шесть месяцев». Их любовь продлилась десяток лет. Элвис бывал в кабинете Тима и посещал его уроки. «Его знали во всем кампусе, – говорит Пеннингс. – Неофициальный символ колледжа Хоуп».

Когда им не надо было давать уроки, парочка любила посещать пляж Лейктаун на песчаном восточном берегу озера Мичиган. Пеннингс бросал в воду теннисный мячик, Элвис стремглав мчался по пляжу, а потом с брызгами нырял за ним.

– Это служило толчком для моей памяти, – говорит Пеннингс. – Я думал: «Ага, именно такой путь я рисую каждый раз, когда решаю задачу Тарзана и Джейн».

– Это может только университетский преподаватель, – позднее с серьезной миной говорил один студент на CNN, – испортить такую великолепную игру чем-то вроде математического анализа.

Задача довольно стара. Тарзан, этот необразованный недотепа, провалился в зыбучие пески, и Джейн должна его спасти. Но ее отделяет от возлюбленного река (для простоты не будем учитывать ее течение) и небольшой путь вниз по берегу. Как Джейн добраться до Тарзана за минимальное время?

Один вариант: направиться к нему по прямой. Это сводит к минимуму расстояние, которое нужно преодолеть. Но, если учесть, что плавает Джейн медленнее, чем бегает, будет ли мудро с ее стороны провести почти все время в воде?

Альтернатива: пробежать по берегу, пока она не окажется точно напротив Тарзана, а потом переплыть реку под прямым углом. Это уменьшит расстояние, которое надо проплыть (что, возможно, подходит для пугающе неподвижной реки), но путь в целом удлинится.

Между этими двумя крайностями у Джейн есть множество менее экстремальных вариантов, когда она пробегает часть пути вдоль берега, а потом плывет по диагонали.

Эта загадка просто создана для математического анализа. Небольшая корректировка точки прыжка в воду оказывает крошечный эффект на общее время. Найдите, где эта производная равна нулю, и вы определите идеальный путь для Джейн с минимальным временем.

Мог Элвис, столкнувшись с подобной проблемой, выбрать оптимальный путь? Или, как спросил Пеннингс в заглавии своей исследовательской работы: «Знают ли собаки математический анализ?»

Во-первых, нам нужно задать несколько переменных: r – скорость бега Элвиса, s – скорость, с которой он плывет, x – расстояние, на котором мячик находится от берега, и z – расстояние до мячика по пляжу.

Последнее важное решение – это переменная y: какой угол должен срезать Элвис?

Проведя некоторые алгебраические преобразования, Пеннингс вывел удивительную формулу:

Почему эта формула удивительная? Не столько из-за того, из чего она состоит (просто куча символов), но из-за того, что в ней отсутствует. В формуле нет z.

В следующие годы Пеннингс подчеркивал этот момент, читая лекции студентам. «Что должен Элвис сделать, – спрашивал Тим, – если я отойду еще на десяток метров, прежде чем бросить мяч?» Иными словами, если z вырастет, что произойдет с y?

Подавляющее большинство отвечающих – более 90 % – выбирали вариант (б). Но тогда Пеннингс говорит о том, что в формуле нет z. Ее отсутствие указывает на то, что оптимум не зависит от z. Не важно, насколько далеко от береговой линии начнет движение пес – 10 метров, 100 метров, 100 километров: Элвис всегда должен выбирать один и тот же момент, чтобы войти в воду.

– Вы все с этим согласились, – говорил Пеннингс слушателям. – Это казалось очевидным. Но тем не менее математика преодолевает мнение масс. Она преодолевает вашу интуицию. Она преодолевает все это.

Мог Элвис также прорваться сквозь песок и волны, чтобы добраться до своей награды? Мог собачий мозг добиться успеха там, где спасовал человеческий? Неутомимые Пеннингс, Элвис и помогавший им студент провели день на пляже, собирая данные. Во-первых, замерили время, чтобы определить скорость пса: на земле Элвис преодолевал 6,4 м/с, а в воде – 0,91 м/с. Во-вторых, экспериментаторов ждало главное событие. Пеннингс провел 13-метровую черту с разметкой вдоль берега. Он бросал мячик 35 раз, 35 раз гнался за Элвисом, пока пес не нырял в воду, 35 раз втыкал отвертку в песок, чтобы сделать отметку, и 35 раз бросался, чтобы измерить расстояние, на котором мяч находился от берега до того, как Элвис схватил его.

– Что вы делаете, охотитесь за своей собакой с крестовой отверткой? – спросил какой-то прохожий.

– Провожу научный эксперимент, – ответил Пеннингс, вместо того чтобы нескромно сказать правду: он творил историю математики.

Формула Пеннингса предсказывала линейную связь между х (расстоянием, на котором мяч находился от берега) и y (точкой, где Элвис прыгал в воду). Нанеся на график 35 точек, за исключением двух попыток, когда слишком нетерпеливый Элвис прыгал прямо в воду, отметая разумное объяснение о том, что «даже у студента-отличника может быть плохой день», Тим получил впечатляющую картину.

Он отправил статью «Знают ли собаки математический анализ?» в журнал College Mathematics Review. Редактор Андервуд Дадли – мечтатель, достойный своего имени, – немедленно ее принял, поместил фотографию Элвиса на обложку и написал Пеннингсу письмо: «Когда следующие поколения читателей прочтут эту статью, они скажут: “В те дни жили гиганты”. И будут правы».

Историей заинтересовались Chicago Tribune, Baltimore Sun, NPR и BBC. В письме из Букингемского дворца были добрые пожелания королевы. В Wisconsin State Journal статья об Элвисе стояла на первой странице, а оборот отвели под графики. Популяризатор математики Кит Девлин посвятил главу своей книги «Математический инстинкт» (The Math Instinct) Элвису и даже предлагал назвать книгу «Знают ли собаки матан?». Издатель отговорил его, предупредив, что слово «матан» отпугнет читателей. (Забавно: мой говорил мне то же самое.)

Гениальность этой истории, как и гениальность самого Элвиса, в простоте.

– Скорее всего, – говорит Пеннингс, – есть сотня математиков, которые кусают локти, думая: «Я мог давным-давно сделать это со своей собакой!»

Двое исследователей из Франции – психолог Пьер Перрушет и математик Хорхе Галлего – сделали еще один шаг вперед. Во-первых, они повторили эксперимент с лабрадором-ретривером по кличке Сальса. Затем ученые бросили решительный вызов интерпретации Пеннингса. Они задались вопросом, действительно ли Элвис исследовал все возможные пути, чтобы выбрать оптимальный. Такой путь кажется чудовищно сложным для собаки. «Это позволяет предположить, – писали они, – что собаки, возможно, способны рассчитать… весь маршрут еще до того, как начнут бежать».

Французская пара исследователей предложила альтернативу: «Cобаки пытаются оптимизировать свое поведение, основываясь на каждом моменте». В любое отдельно взятое мгновение Элвис (или Сальса) просто должны были решить: бежать или плыть?

Если находишься далеко от мячика, бежать будет быстрее. Если близко, то путь по берегу получается слишком непрямым, и, таким образом, плыть оптимальнее. Элвису не надо рассчитывать весь путь заранее, ему просто нужно знать свою собственную скорость при беге и плавании и раз за разом выбирать более быстрый способ добраться до цели.

Эта стратегия кончается одним и тем же путем, тем не менее в ней нет «сложных бессознательных мысленных вычислений» глобальной оптимизации.

Возможно, собаки все-таки не владеют математическим анализом.

Случилось так, что эта статья – «Может быть, собаки просто оценивают относительную скорость, а не занимаются оптимизацией?» – попала к Пеннингсу для рецензии. «Какая чудная идея!» – подумал он и одобрил статью. (Непредвзятость – это черта истинного ученого.) Но неделю спустя в жаркий полдень Пеннингс вновь оказался на пляже вместе с Элвисом, и на этот раз они вместе плескались в воде, играя в «подай-принеси». Пеннингс бросал мяч, Элвис ловил его и приносил обратно.

– В какой-то момент, – вспоминает Тим, – я забросил мяч далеко. Пес поплыл к берегу, пробежал по пляжу, а затем поплыл обратно.

У профессора просто челюсть отвисла:

– Секундочку! Он двигался не к мячу! Он решал задачу в целом, а не проблему относительной скорости!

Если в каждый момент Элвис выбирал кратчайшее направление, тогда зачем он поплыл к берегу? Это уводило его от мячика. Только тип мышления, способный на глобальную оптимизацию, мог позволить выбрать такой путь. В результате появилась еще одна статья об Элвисе, на этот раз озаглавленная «Знают ли собаки о бифуркации?».

Многие годы Пеннингс и Элвис вместе посещали различные мероприятия. В завершение каждого разговора Тим ставил Элвиса на стол перед аудиторией.

– А теперь внимательно следите за его глазами и ушами, – советовал математик.

Затем тихим и таинственным голосом он спрашивал:

– Элвис, какой будет производная от х³?

Все глаза были устремлены на корги, а пес смотрел на Пеннингса, склонив голову.

– Видите это?! – восклицал профессор. – Видите, что он делает?

Еще одна многозначительная пауза.

– Он ничего не делает. Он никогда ничего не делает, когда я задаю ему этот вопрос.

Спойлер: собаки не владеют математическим анализом. Но естественный отбор – это мощное средство оптимизации. Чем быстрее собака сможет добраться до еды, тем выше ее шансы – и шансы ее детей – на выживание. Таким образом, со временем собаки, которые выбирают самые эффективные пути, начинают доминировать в популяции. Поколение за поколением собаки «учатся» математическому анализу. По той же самой причине шестиугольные ячейки сот уменьшают количество отходов, разветвление легких увеличивает площадь поверхности, а артерии млекопитающих минимизируют обратный кровоток. Природа каким-то странным образом владеет математическим анализом.

«Мы не знаем, почему Пеннингс так удивлен, – писали на сайте Национального дня чистопородных собак, – Элвис был псом породы вельш-корги пемброк, а мы все знаем, как ОНИ умны».

В самом деле, Элвис вскоре получил почетную докторскую степень колледжа Хоуп вместе с официальной грамотой и ярко-оранжевым капюшоном. Пеннингс сделал для Элвиса визитные карточки, но, пытаясь сократить латинскую фразу «собачий доктор наук», он случайно превратил ее в «собачий гинеколог». Вот таким получилось еще одно историческое удостоверение личности этой прокладывающей новые пути собаки.

В электронном письме Пеннингс поделился со мной своей коронной идеей, которую он вынашивал годами, – написать книгу под названием «Математика как ее понимают собаки». Снабженная фотографиями Элвиса книга должна была включать математический анализ (оптимизацию, относительные величины), высшую математику (бифуркации, теорию хаоса), некоторую часть гуманитарных наук, основные свойства построения моделей (иными словами, действительно ли Элвис начинает плыть, как только входит в воду? Да, потому что даже на мелководье его короткие 13-сантиметровые ноги не касаются дна)… и (это было во втором письме, которое пришло несколько мгновений спустя) урок скромности. Элвис, возможно, ничего и не знал о производной х³, но пес-профессор многому может нас научить.

Элвис умер в 2013 г. «Никакой собаке не нравится приближение смерти, – писал Тербер, – но я никогда не видел, чтобы пес демонстрировал человеческий панический страх перед ней. Для собаки смерть – это последнее неизбежное принуждение, последний неотвратимый след, который уводит по зловещей тропе».

– Элвис начал свой путь как собака, которая действительно была хорошим другом, – сказал мне Пеннингс. – К тому времени, когда он умер, он был моим хорошим другом, которому просто случилось быть собакой.

Возможно, вы замечали, что в математике существует множество символов – разнообразный алфавит иксов, семерок и ■. В идеале тот, кто занимается математикой, должен знать, что эти символы означают: скрывается ли за х «пространство» или «время», указывает ли y на «годы» или «картофелины», говорит ли zzz о z³ или «храпе». Для каждого знака есть значение, но не для каждого значения есть знак.

Увы, «идеальный» – это не самое лучшее прилагательное для учебной аудитории. Скорее всего, вы обнаружите, что студенты делают заметки на страницах и зубрят все без всякого понимания, не возвращаясь к пройденному, пока процесс не доводится до автоматизма. Соедините иксы, уберите семерки, а если сомневаетесь, добавьте ■. Это все напоминает ведение бухгалтерского учета на языке, которым вы не владеете. Не важно «почему», единственный вопрос «как»: «Как я могу получить это из этого?» Здесь можно процитировать «Процесс» Кафки: «Мне кажется, тут, безусловно, есть что-то научное. Я, правда, мало что понимаю, но, наверно, тут и понимать не следует»[27]. При этом Кафка описывал тоталитарную бюрократию, а не мои уроки математики, но, как гласит народная мудрость, «что в лоб, что по лбу».

Каким же образом конкретное значение уступает чистой абстракции? Наберитесь храбрости, и я вам это покажу.

Начнем с дружелюбной физиономии прямоугольника со сторонами А и В. Его площадь является произведением этих сторон АВ.

Теперь представим, что его параметры меняются со временем, как у города, год за годом разрастающегося на север и на восток. Ширина (А) растет со скоростью А´, а длина (В) – со скоростью В´.

Вопрос: как быстро увеличивается площадь АВ?

Это математический анализ, то есть мы размышляем об отдельно взятом моменте. В это летучее мгновение ширина увеличивается на бесконечно малую величину (которую мы можем назвать dA или А´), и длина делает то же самое (соответственно, при этом получается dB или В´).

Мы можем разделить эту зону роста на три части: (1) длинная тонкая полоса справа, (2) еще одна сверху и (3) крошечный квадратик. Этой умилительной третьей частью можно пренебречь по причинам, описанным в главе X; если каждая тонкая полоска имеет толщину человеческого волоса, то квадратик имеет площадь, как у одной-единственной клетки. Мы можем исключить его из наших расчетов.

Теперь определим, насколько велики две оставшиеся зоны роста. С рисунком это очень просто: одна – произведение А´ на В, а другая – В´ на А.

Таким образом, размер зоны роста – это сумма площадей двух полосок.

Пока что все идет хорошо? Ну так пришло время забыть обо всем. Забудьте прямоугольник и полоски роста. Забудьте сопутствующие факторы, геометрическое значение и логическую цепочку. Забудьте, что мы с вами когда-то встречались, забудьте, что этот прямоугольник вообще существовал. На обесцвеченной поверхности вашей памяти остается только одна, последняя строка символов: (АВ) ´ = А´В + В´А.

Теперь применим ее наугад к тысяче различных сценариев. Применим к x sin (x), к e^x cos (x) и (х + 7)¹⁰(3х – 1)⁹. Применим к физике, экономике, биологии и, пока Меркурий в зените, к астрологии. Применим механически и бессмысленно, как робот, который делает свою автоматическую домашнюю работу.

Эта бессмысленная манипуляция, это «перебрасывание символами» – не ошибка математического анализа. Это его особенность.

Матан – система, бюрократическое образование, формализованный свод правил. Посмотрите на само происхождение термина: английское слово calculus происходит от латинского «камешек», указывающего на те камни, которые использовались для счета на абаке. Абак – это средство для расчетов, инструмент для механизации мысли, и это роднит его с математическим анализом.

Как объясняет Владимир Арнольд, Готфрид Лейбниц старался разработать математический анализ «в виде, специально приспособленном для обучения людей, которые его совсем не понимают»[28].

Эта фраза попадает в яблочко. Арнольд совершенно прав. В начале XVII в. перебрасывание символами было не в моде. «Символы бедны и некрасивы, но они необходимые подпорки для иллюстрации, – писал философ Томас Гоббс, – им уместно появляться на публике не более, чем позорным необходимым делам, которыми вы занимаетесь в своих комнатах». И не сказать, что Гоббс был одинок в своем брюзжании. В то время математическая традиция предпочитала ненадежным алгебраическим выводам точность геометрии.

Но в подходе Гоббса есть недостаток, на который с радостью укажет любой студент: вы должны все понимать. Это тошнотворное, скудное и жестокое дело, и очень небыстрое.

Множество математиков работало с производными и интегралами до Ньютона и Лейбница. Но они решали свои проблемы мудрыми методами для «одноразового употребления», то есть подходящими к конкретной ситуации. Идеей «математического анализа» – словосочетание, которое ввел в обиход Лейбниц, – было создание единой структуры для вычислений. Века спустя математик Карл Гаусс будет писать о таких методах: «С их помощью нельзя достичь того, чего нельзя было бы достичь без них». В трудные моменты я говорил то же самое о вилках. Но точно так же, как я продолжал пользоваться за обедом столовыми приборами, Гаусс видел значительную ценность математического анализа: «Любой, кто всесторонне овладел им, способен без всяких бессознательных проблесков гениальности, которыми никто не может управлять, решить соответствующую проблему, даже если делает это механически…»

Когда мои студенты прибегают к зазубриванию правил, они не предают дух математического анализа. Они принимают его. Даже когда они возвращаются к неверной формуле (АВ)´ = А´В´ – искушающая цепочка символов, не имеющая никакого абстрактного смысла, – они просто повторяют ошибку, которую сам Лейбниц делал в своих ранних заметках.

По своей конструкции матан – это автоматическое мышление.

К 1680 г. Лейбниц освоил бесконечно малые – одно из самых трудных и ершистых философских понятий. Почему он не добавил еще больше понятий? Почему не все понятия? Ученый задумал язык, словарь которого включал бы все возможные идеи, а грамматика воплощала бы в себе саму логику – эсперанто космоса. Универсальный алфавит (лат. characteristica universalis) интерпретировал бы все наблюдения как механические и подчиняющиеся правилам, как в арифметике. «Рассуждение, – писал Лейбниц, – будет производиться путем перемещения цифр и знаков», иначе говоря, с помощью жонглирования символами. «Если кто-то будет сомневаться в моих результатах, – продолжал он, – я должен сказать ему: «Calculemus, давайте посчитаем, сэр, и, таким образом, взяв перо и чернила, мы вскоре сумеем решить вопрос».

В мечтах Лейбница все было математическим анализом.

Увы, на самом деле это не так. Последние десятилетия своей жизни Лейбниц чах в маленьком городе Ганновере в Германии, его злобный работодатель заставлял ученого закончить генеалогическое исследование. Мораль для школьников: вовремя сдавайте свои сочинения.

Еще хуже вышло со спором о приоритете открытия математического анализа, который разгорелся у Лейбница с Ньютоном. Лейбниц опубликовал свои результаты первым, но Ньютон высказал схожую идею раньше, и общественное мнение оказалось на его стороне. Научная общественность признала Лейбница интеллектуальным вором. Как сказал математик Стивен Вольфрам, этот дележ математического анализа стал поворотной точкой:

Я пришел к осознанию того, что, когда Ньютон выиграл информационную войну против Лейбница… на кону было не только признание заслуг; это был и способ размышления о науке… У Лейбница была более широкая и философская точка зрения, он видел математический анализ не только как некий инструмент сам по себе, но как пример, который должен вдохновлять… на другие виды универсальных инструментов.

Сегодня мы можем видеть, что Лейбниц стремился в будущее. Мы видим это не только в универсальном алфавите, но и в его сочинениях, где он пытался систематизировать трудные юридические случаи; в его беспрецедентной работе по бинарной системе – математике, основанной на нулях и единицах, и в машине, которую он пытался построить в течение нескольких десятков лет – одном из первых в истории механическом калькуляторе, выполняющем четыре действия.

Лейбниц стремился к компьютерной эпохе за века до ее наступления.

Компьютер – это наш универсальный язык. Он способен сделать все, что можно выразить с помощью логики. Он может умножать, делить, генерировать простые числа, добавлять собачьи мордочки на фотографии и говорить вам, на какое из классических полотен вы больше всего похожи. Он может учиться. Он может создавать. Это мыслящий механизм, непревзойденный жонглер символами, и эти символы, которыми компьютер манипулирует, формируют вещество нашей реальности.

В наши дни все вокруг действительно стало подвидом матана.

«Если бы история пошла по другому пути, – пишет Вольфрам, – то можно было бы провести прямую линию от Лейбница к современным компьютерам». В нашей реальности путь получился более извилистым. Прорывные открытия, сделанные Лейбницем в XVII в., привели к золотому веку символьных вычислений в XVIII в., которые, в свою очередь, в XIX в. вызвали обратную реакцию, когда все были одержимы аксиоматизацией и математической строгостью. В ХХ в. это вылилось в работу над формальными системами и вычислимостью, в результате чего в XXI в. появился ноутбук, на котором я сейчас печатаю это бессвязное предложение.

Побежден ли Лейбниц или ему удалось отстоять свою правоту? Живем ли мы в мире, история которого отрицает ученого? Или вокруг нас находятся его мечты? Подозреваю, что есть только один способ узнать это. Берите бумагу и ручку, друг мой. Посчитаем!

Послушай, Капля, отдай себя без сожаления, и взамен ты достигнешь океана.

РУМИ

Коктейльная вечеринка. Напиток в руке, светский разговор, можно разглядывать красивых девушек. Все это довольно приятно, пока кто-нибудь не спросит, чем я занимаюсь. Если смотреть на то, как меняются лица собеседников во время моего ответа, можно подумать, что я говорю: «Я член мафии», или «Я коррумпированный судья», или «Я путешественник во времени, которого послали предотвратить апокалипсис, для чего надо убить всех присутствующих на этой вечеринке».

В действительности я отвечаю: «Я учитель математики».

Понятно, мы с коллегами не всегда воздаем должное красоте нашего предмета. Я говорю слово «круг», и немногие студенты вспоминают стихи Джона Донна: «Но если ты всегда тверда / Там, в центре, то должна вернуть / Меня с моих кругов туда, / Откуда я пустился в путь»[29] – или представление Паскаля об устройстве Вселенной: «Вселенная – это не имеющая границ сфера, центр ее всюду, окружность – нигде»[30]. Нет, в голову приходят наполовину заученные формулы. Задачи из учебника. Бесконечные цифры после запятой в числе π.

Я чувствую себя обязанным защитить честь своего предмета, доказать, что он принадлежит к перекрывающим друг друга кругам Эйлера. Поэтому я делаю то, что сделал бы любой на моем месте: со скоростью голодного зверя хватаю порцию еды со стола с закусками.

– Какова площадь этого куска огурца? – требую я ответа.

Тот, кто бросил мне вызов, хмурится:

– Это странный вопрос.

– Вы правы! – кричу я. – Это странный вопрос, потому что площадь определяется с помощью крошечных квадратиков – квадратных дюймов, или квадратных сантиметров, или даже квадратных миллиметров, – а этот круглый ломтик огурца не может быть разделен на квадратики. Из-за закругленных краев его площадь трудно измерить. Поэтому… что же нам делать?

В этот момент я вооружаюсь ножом. Возможно, мой собеседник пугается, но, если мне повезет, он увидит, что я имею в виду.

– А! – восклицает он. – Мы можем порезать его на кусочки!

И мы режем несчастный огурец, как крошечный пирог, так, чтобы получилось восемь маленьких ломтиков. Расположив их иначе, мы получаем фигуру другой формы, но имеющую ту же площадь, что и первоначальный кусок огурца.

– Это почти прямоугольник, – отмечает мой оппонент. – А площадь прямоугольника найти просто. Нужно только умножить его высоту на ширину.

– Так какой же будет высота и ширина? – спрашиваю я.

– Ну, ширина – это, должно быть, половина длины окружности огурца. А высота, наверное, радиус огурца.

– Так задача решена?

– Не-а, – отвечает он. – На самом деле это не прямоугольник. Он неровный. Искаженный.

– Специальный термин, – объясняю я, – это «колеблющийся». Так что же нам делать?

Размышляя в этом направлении, мы берем еще один кусок огурца и рассекаем его на 24 еще более тонких ломтика. После их тщательного раскладывания получается фигура подобной формы, только слегка менее колеблющаяся, чуть менее шатающаяся. Другие гости смотрят на нас с благоговейным страхом и восхищением или, возможно, с жалостью и отвращением – я никогда не мог определить разницу.

– Теперь он более прямоугольный! – говорит мой собеседник. – Но еще не совсем.

Так что мы берем еще один ломтик огурца и нарезаем его еще тоньше.

– Теперь это прямоугольник? – спрашиваю я.

Вздох:

– Нет. Он все еще колеблется по высоте и шатается по ширине. Все эти загибы здесь, пусть даже они стали микроскопическими.

– Специальный термин, – объясняю я, – это «малипусенький».

– Надо нарезать огурец на неисчислимые ломтики, каждый из которых бесконечно мал, – говорят мне. – Это единственный способ создать прямоугольник. Но… это невозможно.

Мой оппонент колеблется:

– Не так ли?

Возможно это или нет, но математик по имени Евдокс сделал это еще 24 века назад, на территории, где в наши дни находится Турция. Мы называем такой подход «методом исчерпывания» не потому, что он что-то исчерпывает, а потому, что определенное расхождение постепенно исчезает, или «исчерпывается». Это расхождение между приближением (колеблющимся прямоугольником) и тем, к чему он стремится (идеальным, свободным от колебаний прямоугольником). Проследуем по этому логическому пути до конца, и мы увидим, что площадь круга – это то же самое, что площадь прямоугольника: произведение радиуса и половины длины окружности.

Или, если вы предпочитаете уравнения:

На столовой салфетке мы набросали интеграл в зачаточном виде. Рассечь проблемный объект на неисчислимые части, каждая из которых бесконечно мала; переместить их, сложить более простую совокупность и из этого перемещения сделать выводы о первоначальном объекте – эти шаги формируют шаблон, наметки интегрального исчисления.

Возможно, к этому моменту у моего собеседника кончилось вино. Вполне справедливо. Мы обмениваемся кивками и визитными карточками, чтобы больше никогда не встречаться. Предполагаю, именно для этого визитные карточки и служат – всеобщий знак, заменяющий слова «прощайте навсегда!».

Или, возможно, любопытство моего оппонента только усилилось. Он снова наполняет мой бокал, я набиваю карманы сыром, и, глубоко вдохнув, мы снова погружаемся в математику.

– Крутая формула! – говорит он. – Но это не совсем то, что я учил в школе.

– Это потому, что мы определили площадь через длину окружности, – говорю я. – А мы еще не нашли, чему равна длина окружности.

– Так как же мы это сделаем?

Вначале мы совершим небольшой экскурс в историю. Основополагающий древнекитайский трактат по математике называется «Математика в девяти книгах». Я считаю, что давать ему такое прозаическое название было просто стыдно. Другие древнекитайские математические тексты называются как-то вроде «Эссе о бассейне мечты» или «Яшмовое зеркало четырех первоэлементов». Составлявшиеся в течение нескольких веков «Девять книг» содержат в себе всё – от арифметики до геометрии и операций с матрицами, это математическая библия, обладающая неизмеримой глубиной и полнотой.

Есть только одна проблема: в ней напрочь отсутствуют объяснения. Это просто набор процедур без малейшего намека на конкретные случаи или разработку. На мой взгляд, самый худший вид учебника.

Тут на сцену выходит математик III в. Лю Хуэй. Он не был автором «Математики в девяти книгах»; он написал к ним комментарии, совсем как принц-полукровка в романе Джоан Роулинг; он был вдумчивым читателем, снабдившим примечаниями старый пыльный текст и таким образом вдохнувшим в него новую жизнь.

Оригинальная книга обходила стороной вопрос о длине окружности. Лю Хуэй был не таким человеком, чтобы не обращать на него внимания. Идя по его стопам, я набираю горсть зубочисток из фруктовой нарезки и располагаю их в виде треугольника на огуречном кружке.

– Вот! – заявляю я. – Длина окружности!

Мой собеседник поднимает бровь.

– Каждая сторона треугольника, – объясняю я, – это длины диаметра. Таким образом, весь периметр – это или приблизительно 2,6.

– Но это периметр треугольника, – отвечает он. – Не окружности.

– Естественно, – отвечаю я. – Кто может измерить кривую? Мы только можем приблизить ее к прямым линиям.

– Ну, если таков ваш подход, – говорит он с усмешкой, – вам лучше закончить чем-то подобным.

Быстрая перестановка удваивает количество сторон в моей фигуре с трех до шести.

– Шестиугольник, – заявляю я. – Да. Теперь периметр этой фигуры равен трем диаметрам. И это действительно длина окружности, не так ли?

Едва ли. Мы только воссоздали предположение из оригинальной «Математики в девяти главах». Тем не менее, если еще немного поделить и разложить, мы последуем за Лю Хуэем и получим фигуру с 12 сторонами.

Немного тригонометрических вычислений на коленке, и мы узнаем, что периметр 12-угольника равен 3√^– 6 − 3√^– 2, или приблизительно 3,11.

Уже лучше. Но все еще не длина окружности. Не точно.

«Делите снова и снова, пока не настанет момент, когда дальше делить будет невозможно, – писал Лю Хуэй. – В результате мы получим правильный многоугольник, вписанный в окружность, и не останется никаких пустых участков». На самом деле этот процесс никогда не завершится, но он приближает к истине. Зубочистки ломаются на все меньшие и меньшие кусочки, где-то в конце вечности процесс достигнет апогея, и у нас будет неисчислимое множество кусков, каждый из которых является бесконечно малым. Все вместе они составят длину окружности.

Лю Хуэй дошел до многоугольника со 192 сторонами. В V в. его последователь Цзу Чунчжи сделал даже больше – 3072 стороны, и это позволило ему добиться такой точности, которую в течение следующего тысячелетия не смог превзойти никто. Длина окружности, по оценке Цзу, составляла 3,1415926 диаметра.

Знакомые цифры?

Сегодняшние поклонники числа π, бурно отмечающие его день и страницами заучивающие знаки после запятой, не первые в своем страстном увлечении. В XV в. индийские и персидские исследователи заложили зачатки математического анализа, определив число π с точностью до 15-го знака после запятой. В 1800-х гг. упрямец Уильям Шэнкс потратил десять лет своей жизни на то, чтобы вычислить 707 знаков, причем первые 527 из них действительно оказались правильными. Сегодняшние суперкомпьютеры могут рассчитать число π с точностью до миллиардного знака; если все эти цифры распечатать, а страницы с ними переплести, то получится библиотека, по размеру сопоставимая с гарвардской и такая же скучная.

Если учесть, что ряд чисел бесконечен, мы нисколько не приближаемся к концу. И все эти знаки совершенно бесполезны, нам никогда не понадобится ни один из тех, что находятся дальше первых нескольких десятков. Так почему же число π так нас завораживает?

Причина, думаю, очень проста. Люди что-то видят, и людям нужно это измерить. Круг – это неотъемлемая и неподатливая часть нашей реальности, как масса Земли, расстояние до Луны или количество звезд в Галактике. Даже более неподатливая, чем другие, потому что число π не меняется со временем. Оно остается константой логического мироздания. Поэт и лауреат Нобелевской премии Вислава Шимборская посвятила числу π гимн. Она писала: «ибо небо и земля прейдут, / но не Пи, только не оно, / оно продолжается пять, / уходит восемь, / не останавливаясь семь, / стремя, о, стремя беспечную вечность / все дальше»[31].

Математики Античности рассекали окружность на неисчислимые куски, каждый из которых был бесконечно малым. Они делали это, чтобы лучше познать целое – площадь из клочков, длину окружности из обломков. Оглядываясь назад, мы можем распознать в этих попытках древних математиков то, чем они и являлись, – начало интегрального исчисления.

Я назвал часть своей книги, посвященную интегральному исчислению, «Вечности» в основном потому, что таким образом получается поэтическая пара названию «Мгновения». Кто-то другой мог бы назвать эти истории об интегралах «Эпопеи», «Совокупности», «Океаны» или…

Где-то в этот момент мой собеседник опускает глаза. Я следую за ним взглядом и вижу, что ковер засыпан обломками зубочисток и кусочками огурцов.

– Наверное, мы должны все это убрать, – говорю я.

Но к тому времени, когда я заканчиваю предложение, мой соратник уже исчезает, оставив после себя один-единственный след: прямоугольник, скользнувший в мою руку так незаметно, что я даже до сих пор его не замечал, – визитную карточку.

«Война и мир» Льва Толстого – произведение настолько великое, настолько масштабное и настолько изнурительно длинное, что даже спустя 150 лет после его выхода в свет первые читатели только подбираются к концу этого эпохального романа. Кажется, они под впечатлением. «Если бы сам мир мог писать, – отмечал Исаак Бабель, – он бы писал, как Толстой». Среди шести квинтиллионов страниц романа скрыты мысли Толстого о самом его творении, о том, что это значит – писать историю целой цивилизации. И его выбор метафоры – скажем так – может удивить обыкновенного читателя:

Эта своеобразная математическая фраза – «бесконечно малые элементы» в нескончаемом ряду – не случайная оговорка, сорвавшаяся с языка. Толстой говорит об интегралах.

Представьте себе битву. Встречаются две армии, одну из них ждет победа. «Военная наука, – говорит Толстой, – принимает силу войск тождественною с их числительностью»[33]. Армия из 10 000 человек в два раза сильнее, чем армия из 5000, в десять раз сильнее войска из 1000 человек и в 1000 раз сильнее, чем десяток попавшихся на вступительные ритуалы братства новобранцев только что из колледжа. Так что число о чем-то говорит.

Но Толстой усмехается. Он проводит аналогию с физикой. Какое пушечное ядро взрывается с большей силой: то, которое имеет массу десять килограммов, или то, которое весит пять килограммов? Понятно, что это зависит от того, с какой скоростью они движутся. Если я запущу легкое ядро и прокачу по ковру более тяжелое, то разница в массе не будет иметь значения. Более легкий объект окажется более мощным, а более тяжелый – безвредным.

То, что оказывается верным насчет пушечных ядер, можно применить и к тем парням, которые ими палят: сила – это нечто большее, чем просто размер. «В военном деле, – пишет Толстой, – сила войска есть также произведение из массы на что-то такое, на какое-то неизвестное х»[34].

Так что же представляет собой этот х? По мнению Толстого, это «дух войска, большее или меньшее желание драться и подвергать себя опасностям»[35]. Когда пять сотен трусливых и не преданных какой-либо идее солдат выходят против четырех сотен разозленных и воодушевленных воинов, вы знаете, кто победит. В сущности, Толстой просит нас представить каждую армию как прямоугольник. Вместо ширины на длину мы умножаем массу на силу духа. Где произведение будет больше, то есть какой прямоугольник имеет бо́льшую площадь, та армия и сильнее.

Но не все солдаты одинаковы. Некоторые добиваются успеха в бою, другие дрожат, а третьи немедленно попадают в плен, поэтому для них требуются дорогостоящие спасательные миссии (гм, Мэтт Дэймон[36]). Как наша математика отражает эту разницу? Нам нужно отказаться от упрощенной геометрии одного прямоугольника в пользу более сложной конструкции.

Мы все сделали? Едва ли. Толстой посетовал бы, что я использую дискретные величины, размышляя о непрерывном мире. И так делаю не только я – это ленивая и гнусная привычка всех историков, чья работа – дробить реальность на части. Этот лидер против того последователя, этот результат против той причины, этот удар против того сломанного носа. Все это только причудливые срезы в непрерывном течении исторического процесса. С таким же успехом мы можем навешивать бирки на части океана или отхватывать по кусочку ветер.

Сила войска – это не сотня мелких составляющих, не тысяча еще более мелких и не миллион совсем крошечных. С точки зрения Толстого, вам нужна «бесконечно малая единица для наблюдения – дифференциал истории»[37].

Сила войска – это интеграл.

Эта теория выходит за пределы результатов определенных битв; книга называется не «Схватка и мир». Интеграл Толстого сосредотачивает в себе жизнь и смерть, добро и зло, шоколад и ваниль, рождение и гибель любой нации, когда-либо являвшейся на мировую арену. Понять историю – это произвести грандиозный акт математического анализа, стать не Геродотом, а Ньютоном.

Если это выглядит как радикальная, амбициозная теория истории, которую слишком трудно применить, то дзынь-дзынь-дзынь! Вот три аргумента для скептиков. Внесу ясность: Толстой не заявлял, что у него есть все ответы. Он просто ощущал, что история в ее нынешнем состоянии – это дымящаяся груда бессмыслицы.

Западная историография, можно сказать, начинается с V в. до н. э. – «Историей» Геродота. В вычурном абзаце, открывающем ее, Геродот определяет правила игры: создать запись событий, свершенных великими людьми, объясняющую «причину того, почему они ведут войны», и удостовериться в том, что «великие и удивления достойные деяния… не остались в безвестности». Толстой, вступая в диалог два тысячелетия спустя, объявляет весь этот проект напрасной тратой времени.

История – это не что иное, как собрание басен и бесполезных мелочей, пересыпанных массой ненужных цифр и собственных имен. Смерть Игоря, змея, ужалившая Олега, что же это, как не сказки?[38]

По мысли Толстого, Геродот и его последователи совершили состоящую из трех частей ошибку. Можете запасаться попкорном, потому что сердитый, надменный Толстой чрезвычайно забавен.

Во-первых, недомыслие с событиями. Историкам свойственно выдергивать ряд явлений – коронация, битва, бал, соглашение – и изучать их так, как будто они рассказывают всю историю. Толстой считает: «Нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого»[39].

Во-вторых, что даже более оскорбительно, историки подробно останавливаются на действиях «великих людей». Как будто гений Наполеона или осторожность Александра могут объяснить движения масс. Толстой находит это поразительно наивным; это почти недостойно язвительного опровержения.

Например, посмотрите внимательно на такое явление, как война. Люди оставляют свои дома и семьи. Они совершают марш-броски на сотни километров и убивают иноземцев или сами умирают от их рук. Они проливают кровь. Их кровь проливают. Но зачем? Не лучше ли им было остаться дома и играть в карты? Какая сила заставляет их присоединиться к этому абсурдному спектаклю, этому преступлению против разума? Война – для чего она хороша?

Для Толстого объяснения историков о «великих людях» не заслуживают уважения, они находятся всего лишь в половине шага от того, чтобы взывать к Санта-Клаусу или Зубной фее. Точно так же вы можете связать эрозию гор с каким-нибудь парнем с лопатой. «Великие люди» в истории, как говорит Толстой, – это не причины, а результаты. Они летят на гребне волны, заставляя самих себя (и историков) поверить, что каким-то образом ею управляют.

«Царь, – говорит Толстой, – есть раб истории». А историки, которые говорят о влиянии короля, – «как глухой человек, отвечающий на незаданный вопрос».

В-третьих, это неправильное понимание причины. Вся история направлена на то, чтобы определить особые причины происшедших событий. Для Толстого это тупик, гиблое дело. Не имеет значения, какие именно причины вы выбираете: короли и генералы, журналисты крупных изданий, вредители из Кремниевой долины. Огромное количество вероятных причин показывает недостаточность любой отдельно взятой.

Чем больше мы углубляемся в изыскание причин, тем больше нам их открывается, и всякая отдельно взятая причина или целый ряд причин представляются нам одинаково справедливыми сами по себе, и одинаково ложными по своей ничтожности в сравнении с громадностью события, и одинаково ложными по недействительности своей (без участия всех других совпавших причин) произвести совершившееся событие…[40]

Безучастные историки ищут одномерные объяснения результатов, которые имеют эффект в бесконечных измерениях. Это провал при попытке понять разнообразие, полноту истории. Это словно считать несколько песчинок причиной дюны.

Короче говоря, Толстой считает историков обманывающими себя сочинителями сказок, чьи заключения «без малейшего усилия со стороны критики распадаются, как прах, ничего не оставляя за собой»[41].

Я лично восхищаюсь лютой жестокостью, с которой Толстой нападает на историю. В эпоху, когда еще не было рэп-баттлов и баталий в Twitter, это стало бы, без сомнений, самой интересной передачей на телевидении. Но бросаться обвинениями легко. Что же Толстой предлагает конструктивного?

Толстой знал, где должна начинаться история: с крошечных, мимолетных мгновений человеческого опыта. Всплеск храбрости, вспышка сомнений, неожиданное желание съесть начос – такие внутренние порывы есть то единственное, что имеет значение. Более того, Толстой знал, где история должна закончиться: огромными, всеохватывающими законами, объяснениями столь же грандиозными, как то, что они пытаются прояснить.

Остается только один вопрос: а что же должно быть посередине? Как перейти от бесконечно малого к непредставимо огромному? От крошечных проявлений свободной воли к неумолимому движению истории?

Хотя сам он и не мог заполнить провалы, Толстой ощущал, что должно быть на их месте. Нечто научное и предсказуемое, нечто определенное и неоспоримое; то, что собирает в одно целое, объединяет, связывает крошечные частицы воедино; что-то, похожее на закон притяжения Ньютона; что-то современное и поддающееся количественному определению… такое, как… о, ну я не знаю…

Как интеграл.

Рассмотрим, к примеру, математический факт того, что ни одна отдельно взятая точка не влияет на результат интегрирования.

Какое еще понятие лучше иллюстрирует решительное утверждение Толстого о том, что великие люди не имеют значения? Какой способ может лучше показать, что, если изъять из потока истории любого человека – не важно, маленького или большого, – этот поток никак не изменится?

Толстой восхищался тем, что математический анализ сделал для изучения механики. «Для человеческого ума, – писал он, – непонятна абсолютная непрерывность движения»[42], именно поэтому мы и попадаемся на парадоксы Зенона. Матан, «допуская бесконечно малые величины… тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать»[43]. По аналогии можно сказать, что историки – нахальные маленькие Зеноны, дробящие поток времени на необоснованные, не связанные друг с другом события. Математический анализ, как считал Толстой, может исправить несовершенство нашего мыслительного процесса, восстановив единство и непрерывность истории.

Я могу представить счастливый финал этой сказки. «Война и мир» опубликована. Глупые старые историки читают эту жгучую прозу, пронзительно вопят и рассыпаются в прах. Новые историки, искушенные в математическом анализе, занимают кресла своих предшественников. Эти правильно рассуждающие свежие головы измеряют «дифференциал истории» и разрабатывают окончательную теорию исторического изменения. Ура! Абсолютные законы найдены и подтверждены! «Великие люди» в истории читают эти законы, пронзительно вопят и рассыпаются в прах. Крестьяне заявляют права на их кресла. Нобелевские премии раздаются в огромных количествах, и все мы живем долго и счастливо.

Как ни грустно, 150 лет назад все произошло совсем по-другому.

В те дни никто на самом деле не ожидал открытия детерминированных законов истории. Вместо этого науки представлялись как расположенные в неоднородной последовательности от точных (таких как математика и физика) до гуманитарных (скажем, психологии и социологии).

В своем самом невыносимом настроении точные науки любят хвастаться и злорадствовать, как будто точные означает сложные, а гуманитарные – простые. Дело, конечно, обстоит совсем наоборот. Чем «легче» наука, тем более сложным являются описываемые ею явления.

Физики могут предсказать поведение атомов. Но соберите достаточное количество атомов, и расчеты станут слишком громоздкими и тяжеловесными. Нам нужны другие, новые законы – химические. Затем соберите достаточное количество химических элементов, и сложность снова захлестнет нас. Чтобы перейти к новым теориям и правилам, нам понадобится биология, и так далее по этой прямой. В каждый переломный момент роль математики меняется: из доподлинной она превращается в ориентировочную, из детерминистической – в статистическую, из обобщенной – в противоречивую. Простые явления (такие как кварки) следуют математическим законам с рабской покорностью. Сложные феномены (например, маленькие дети) подчиняются им в гораздо меньшей степени.

О чем же просит Толстой? Ему не так уж много и надо: только того, чтобы самые сложные явления подпадали под действие самых строгих математических законов. Только чтобы люди вели себя, как планеты. Надо ли говорить, что мы все еще ждем появления этой теории.

В Толстом наблюдается противоречие: с одной стороны, он чуток к мелочам и обладает даром улавливать искрометные мгновения повседневной жизни. С другой стороны, его снедает желание получить ответы на глобальные вопросы: что движет людьми? Почему случаются войны? Отчего воцаряется мир? Интеграл – это мостик между даром Толстого и его мечтой. Предполагается, что он может соединить мир, который писатель знает (мешанину частных явлений деталей), и мир, которого он страстно желает (идеально управляемое королевство), чтобы сплавить бесконечное разнообразие с идеальным единообразием.

Интеграл Толстого не имел успеха как наука, но, думаю, был прекрасен как метафора. В такой схеме мира люди так малы, что их можно считать бесконечно малыми, и так многочисленны, что им практически нет числа. И тем не менее добавьте каждого из этих отдельных людей, и вы получите человеческую природу. Если следовать такой логике, история не принадлежит какой-либо группе или подгруппе – ни королям, ни президентам, ни богине воинов по имени Бейонсе, ни какой-то отдельно взятой леди, – но всем отдельно взятым леди.

История – это сумма всех людей, проживших ее.

Она не поддается ни научным прогнозам, ни математическим законам. Скорее, это поэтическая правда, художественная правда – но в сумме всех бесконечно малых частей она значит ничуть не меньше, чем другие.

Если бы я вдруг стал профессиональным художником (что очень маловероятно), я бы нарисовал математический анализ в образе суммы Римана.

Роскошно, да, но перед нами не просто смазливая мордашка. Сумма Римана воплощает в себе сущность интеграла. Она носит имя Бернхарда Римана, застенчивого жителя Германии, одаренного богатым воображением. Он прожил всего 39 лет, но оставил свой след (и свои граффити-теги) во всех областях математики: Риманова поверхность, геометрия Римана, гипотеза Римана. В «Википедии» даже имеется страница под названием «Список объектов, названных в честь Бернхарда Римана». Там перечислены 70 пунктов, среди которых есть даже астероид и лунный кратер. «С каждым простым актом мышления, – писал Риман, – в нашу душу входит что-то постоянное и существенное».

Сумма Римана предлагает окончательное решение важной проблемы: что же представляет собой интеграл?

Один простой ответ на этот вопрос – «площадь, находящаяся под кривой». Достаточно справедливо. Но ты видишь где-то поблизости кривые, парень? Функции – это густонаселенные джунгли. Все треугольники, круги и трапеции, которые вы изучали в школе, были домашними мышками и кошками по сравнению со свирепыми зверями, которых вы найдете в непроходимых дебрях математики, с монстрами, которых никакая формула не может заключить в клетку.

Сумма Римана – это нечто вроде универсальной формулы, дротика с транквилизатором, который может успокоить любую функцию. Хотя действует она очень коварно, сама по себе идея чрезвычайно проста: добавляйте все больше, больше и больше прямоугольников.

Мы можем начать с четырех. Они стоят бок о бок, создавая линию горизонта из высотных зданий, их этажи направлены вниз к оси х, а крыши создают саму функцию. Если мы нарисуем график так, чтобы они находились внутри, то результат можно назвать «нижней суммой» – заниженной оценкой площади фигуры.

Теперь мы повторяем это упражнение, но на этот раз «потолки» прямоугольников не подпирают график функции, а лежат на нем, протыкая границы фигуры. Теперь мы немного переоцениваем реальную площадь, находя «верхнюю сумму».

Это хорошая практика для любого действия по оценке, начиная с бюджета проекта и заканчивая угадыванием количества мармеладного драже в банке. До того как дать один ответ, вначале переоцените количество и недооцените его, сузив разброс возможностей между этими двумя пределами.

В любом случае в четырех прямоугольниках ничего особенного нет. Мы можем взять их 20 штук.

И тут «ловушка Римана» начинает удерживать зверя. Видите, как сокращается разрыв? Видите, как растет нижний потолок и падает верхний? Две суммы приближаются к единственной истине, и чем больше прямоугольников мы используем, тем ближе они сойдутся. Что насчет сотни прямоугольников, тысячи или миллиона? Что насчет миллиарда прямоугольников, квадриллиона или гугола? Что насчет бесконечного числа прямоугольников?

Теперь «ловушка Римана» захлопнулась. Мы отправляемся в воображаемое путешествие за грань возможного, где две оценки встретятся посередине, придя к одному значению – настоящая площадь, интеграл во всей красе.

Эта история объясняет смысл интеграла. Мы покрываем какую-то область бесчисленными крошечными прямоугольниками, каждый из которых имеет высоту y и ширину dx, то есть площадь y × dx. Последний штрих – это размашистый S-образный символ Лейбница, сжатая эмблема непрерывности и полноты, которая обозначает «сумму этого бесконечного множества вещей». (Забавный факт: в английском языке «интегральное исчисление» (integral calculus) – это анаграмма выражения «галантные завитки» (gallant curlicues).)

Хорошо, вот это и есть концепция интеграла Римана. «Но что насчет семиотики?» – спросите вы.

Хотя, возможно, вы не спросите. Возможно, никто никогда не спросит. Тем не менее разве сумма Римана не напоминает линию горизонта небоскребов Нью-Йорка? «Квадраты света следуют один за другим, уходят ввысь и теряются в ней», – писал о вечернем Нью-Йорке поэт Эзра Паунд. «Город взлетающей в высоту геометрии, – говорил эссеист Роланд Барт, – окаменевшая пустыня ячеек и решеток». Как и контур зданий на фоне неба, сумма Римана – это ансамбль, построенный из вертикальных линий.

Специалист по городскому дизайну Кристоф Линднер заметил, что «сопряженная геометрия этих форм… практически эксклюзивно выстраивает и определяет город с помощью вертикалей». (Тем временем писатель Генри Джеймс называл город «головокружительным» – словом, с которым вы могли бы смириться, если бы были Генри Джеймсом.) То же самое можно сказать и о сумме Римана: когда количество прямоугольников увеличивается, их ширина уменьшается, и мы имеем дело с объектом, направленным исключительно по вертикали.

Некоторые считают, что линия горизонта в городе подражает природе и даже в чем-то превосходит ее. В романе «Источник»[44] Айн Рэнд писала: «Я бы отдала самый прекрасный закат в мире за один взгляд на силуэты нью-йоркских небоскребов на фоне неба». «Этот архитектурный облик, – подхватывает литературный критик Морин Корриган, – мне милее, чем самый безмятежный закат или покрытые снегом вершины гор». Сумма Римана, как и контуры зданий, живет в таинственной долине. Ее упрощенная геометрия приближенно выражает перетекающую кривую, точно так же как силуэты зданий подражают природному пейзажу.

Риман преподнес свою теорию миру в 1854 г. А полвека спустя Анри Лебег разработал другую, и она оказалась лучше.

Чем же именно? Я просто ощущаю, как гневные плевки поклонников Римана и/или жителей Нью-Йорка летят в меня со всех сторон. Если оставаться справедливым, для большинства практических целей оба определения вполне эквивалентны. То, которое предложил Риман, спотыкается только в верхних слоях математического анализа, где атмосфера становится разреженной и абстрактной.

Возьмем печально известную функцию Дирихле. Вы вводите число. Если оно рациональное на выходе получается единица; если число иррациональное (как √^– 2 или π), на выходе – ноль.

Теперь раскрою вам грязный секрет числовой оси – подавляющее большинство чисел являются иррациональными. Рациональные создают только тонкий слой пыли на том, что в своей основе есть иррациональный мир. (Возможно, это напомнит вам планету, на которой вы живете.) Таким образом, в правильном математическом смысле, интеграл этой функции, то есть площадь под этими частицами рациональной пыли, должен быть равен нулю. И именно об этом нам говорит интеграл Лебега.

Но интеграл Римана не может это обработать. Пыль загрязняет механизм, поэтому нижняя сумма всегда равна нулю, а верхняя сумма всегда остается единицей. Не важно, сколько прямоугольников вы используете, – эти две суммы никогда не сойдутся.

Мои скромные возможности не позволяют объяснить метод Лебега во всех подробностях, но я буду рад поделиться аналогией, которую он использовал. В письме к другу Лебег сравнивает свой интеграл и интеграл Римана с помощью образа человека, считающего свои деньги:

Я должен заплатить определенную сумму, которая лежит в моем кармане. Я достаю из него купюры и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в каком нахожу, пока не наберу всю сумму. Так действует интеграл Римана. Но я могу поступить по-другому. Достав из кармана все деньги, я раскладываю все купюры и монеты в соответствии с их стоимостью, а потом передаю одну за другой несколько кучек кредитору. Так работает мой интеграл.

Короче говоря, Риман пересчитывает купюры и монеты в том порядке, в котором они поступают.

Лебег, напротив, перераспределяет их, собирая пенни с пенни, никели с никелями, даймы с даймами[45].

Если вы находите, что интеграл – еще более неуловимое и расплывчатое понятие, чем производная, то не беспокойтесь. Так кажется не только вам. Производная получается с помощью бесконечного приближения, но интеграл на самом деле не связан с отдалением. Скорее он разрезает объект на бесконечное множество кусочков, перераспределяет их и вновь складывает, чтобы узнать что-то новое о целом.

А что же тогда с нашей метафорой о городских небоскребах? Если интеграл Римана – это линия горизонта с силуэтами домов, то чем же, черт побери, является интеграл Лебега?

Я считаю, что это город, такой, каким мы знаем его сегодня. В XXI в. мы обнаружили, что связаны не по географическому принципу (восток или запад) – подход Римана, но по более абстрактному критерию – метод Лебега. Цифровая эпоха реорганизовала нас: Facebook соединяет с друзьями, LinkedIn – с коллегами и работодателями, Tinder делит по сексуальной привлекательности, а Twitter – на знаменитостей голубых кровей и немытых плебеев. Лебег жил в головокружительном городе Римана, а мы с вами живем в странных многоярусных ландшафтах, которым Лебег нашел новое определение.

В основе каждого раздела математики лежит правило, настолько глубокое, что оно становится известно как фундаментальная теорема. Оливер Нил, математик-исследователь, когда-то выявил более 150 таких кратких основных законов в различных областях, начиная с геометрии – a² + b² = c² – и заканчивая арифметикой – каждое число можно разложить на простые множители (и «Бойцовским клубом»: «первое правило “Бойцовского клуба” – не упоминать о “Бойцовском клубе”». Я шучу: Нил, конечно же, выполнил это правило, не включив его в свой список). В любом случае во всей этой тверди оснований самая великая теорема из всех относится, как вы уже догадались, к тригонометрии.

Да нет, я снова пошутил. Математический анализ здесь на голову выше всех остальных. И первым математиком, который подарил нам фундаментальную теорему матана, была Мария Гаэтана Аньези[46].

Мария родилась в 1718 г., и к 1727 г. она бегло говорила на французском, греческом, латинском и иврите, не считая родного тосканского диалекта. Также она по праву прославилась своей речью, которую хотя и не написала, но перевела на латынь, запомнила и рассказала. Речь была посвящена защите прав женщин на образование, и ее главным аргументом, как я подозреваю, была сама личность оратора.

Отец Марии наслаждался ее успехом. Он был разбогатевшим купцом и видел в способностях дочери потенциальную возможность повысить социальный статус всей семьи.

Вскоре Аньези – старший ребенок в семье, где у нее было 20 братьев и сестер, – стала достопримечательностью обеденных мероприятий, которые называли conversazioni. Буквально это слово переводится как «разговоры», но более точное его значение – «вечеринки умников». Между музыкальными интерлюдиями гостей приглашали обсудить со вступившей в подростковый возраст Марией вопросы науки и философии. Она выступала с импровизированными речами об оптике Ньютона или движении приливов, затем вела беседу, отвечая на вопросы собравшихся о метафизике или математических кривых. После, в конце вечера, всех обносили шербетом! Даже не знаю, что это было: тоска типа урока латыни или же веселуха типа тусовки с мороженым на уроке латыни.

Очевидно, сама Аньези пребывала в смешанных чувствах. Учиться, спорить и болтать о науке? Она была руками и ногами за. Привлекать к себе внимание, соревноваться и выбивать для себя социальный статус? Этого не так уж сильно и хотелось. К 20 годам Мария выторговала у отца освобождение от conversazioni. Вместо этого она проводила время, работая в больницах, обучая неграмотных женщин чтению и помогая бедным и больным. Ну, знаете, все эти занятия бунтующей против родителей дочери.

В 30 лет Аньези опубликовала свою первую и единственную книгу «Основы анализа для итальянской молодежи» (Instituzioni Analitichead Uso della Gioventù Italiana). Первоначально книга задумывалась как способ обучить математике младших братьев Марии, но потом превратилась в нечто большее – способ обучить математике младших братьев кого угодно. «Она пришла к мысли, – говорит историк Массимо Маззотти, – что может работать над более амбициозным проектом – введением в математический анализ, который проведет новичка от начал алгебры к новым дифференциальным и интегральным методам. Это стало бы великолепной работой по обобщению…»

В самом деле, труд должен был стать самой полной, доступной и хорошо организованной книгой, когда-либо написанной по математическому анализу, а также первой работой, объединяющей интеграл и производную под одной обложкой. Такой всеобъемлющий охват позволил Аньези подчеркнуть маленький и давно известный факт. То, что даже можно назвать фундаментальным фактом.

Итак, перейдем к фундаментальной теореме матана.

Для математиков обратные процессы – это действия, которые отменяют друг друга, уравновешивая противоположности. Представьте, что вы прибавляете 5, а затем отнимаете 5. Первое действие приведет вас от А к В, а второе – от В к А.

То же самое происходит с умножением и делением на 3. Возьмите любое число, умножьте на 3, а потом разделите на 3. Дайте я угадаю: вы получили то самое число, которое было вначале! Мне стоило бы податься в экстрасенсы, правда?

В математике очень много подобных противопоставленных пар. Возведение тройки в квадрат дает 9, квадратный корень из 9 возвращает тройку. Геометрическая прогрессия превращает 2 в 100, логарифм делает из 100 снова 2. Год занятий наполняет невежественный разум знаниями, лето возвращает его к первоначальному состоянию.

Фундаментальная теорема математического анализа – это простой и потрясающий факт: производная и интеграл противоположны друг другу. Я не вкладываю в эти слова обычного, фигурального смысла. Это не то же самое, что сказать «Гермиона и Рон – полные противоположности друг другу», потому что она рассудительна, а у него горячая голова, она девушка, а он парень, она умна, а он… ну, в общем, Рон. Нет, я говорю о противоположности в точном математическом смысле.

Я объясняю это студентам на примере из физики. Скажем, у нас есть функция положения: мы точно знаем, где находилась наша машина в каждый момент времени в течение двух последних часов.

Можем ли мы исходя из этой информации определить скорость машины? Конечно! Просто посмотрите на угол наклона графика. Это называется дифференциацией или взятием производной.

Теперь сотрите все с вашей воображаемой доски. Представьте, что мы начали с функции скорости: мы точно знаем, как быстро ехала наша машина в каждый момент времени в течение последних двух часов.

Можем ли мы из этой информации определить, как менялось положение машины, то есть как быстро она двигалась? Разумеется! Пройденное расстояние – это просто область под кривой. Этот процесс называется интегрированием или взятием интеграла.

Таким образом, производная и интеграл – поиск угла наклона кривой и поиск области под ней – противоположны друг другу. Первая извлекает одно мгновение из потока времени, второй восстанавливает поток, собирая его по капле.

Но это мое объяснение, а не то, которое дала Аньези. Молодая женщина из XVIII в. не ездила на автомобилях. На самом деле в своей книге она вообще отказалась от каких-либо физических объяснений.

Не то чтобы Мария была безразличной или небрежной учительницей. Однажды, когда отец заставил ее во время послеобеденных посиделок читать наводящую ужас научную лекцию, она извинилась перед гостями, сказав, что «не любит публично говорить о таких вещах, когда на одного увлеченного человека приходится двадцать умирающих от скуки». Нельзя сказать и что она не любила физику саму по себе, – черт возьми, в ней она была местным знатоком. Так почему же она отказалась от примеров из физики, которые помогают сделать математический анализ конкретным и наполнить его смыслом? Неужели братья никогда не спрашивали ее о том, как «это можно приложить к реальному миру» и не задавали вопрос: «А как нам это использовать?»

Может, они это и делали, но для Аньези математика не была связана с практикой. Это был священный путь к Богу. Чистое логическое мышление давало человечеству опыт познания божественного, приближения к вечной истине. Для такого набожного человека, как Аньези, только это имело значение. Зачем же марать небесное земным, геометрию физикой?

Рафинированный подход Аньези дал жизнь бессмертному творению. «Терминология и условные обозначения настолько хорошо подобраны и современны, – пишет историк математики Хоакин Наварро, – что не надо добавлять ни одной запятой, чтобы они стали понятны современному читателю». Чтобы оценить точку зрения Аньези на фундаментальную теорему математического анализа, рассмотрим интеграл как сумму бесчисленных крошечных прямоугольников, размещенных под кривой графика.

Производная измеряет изменение всей этой области, другими словами, размер последнего прямоугольника, который присоединился к линии горизонта.

Но учитывая бесконечно малое dx, размер этого прямоугольника всего лишь высота кривой.

Это значит, что если вы (1) начнете с кривой, (2) интегрируете ее и (3) дифференцируете, то вернетесь к тому, с чего начали. Хотя это кажется непохожим на наш разговор об автомобиле выше – эти два примера иногда рассматривают как «первую фундаментальную теорему» и «вторую фундаментальную теорему», – обе дороги ведут в одном направлении. Опять же, производные и интегралы действуют, как яд и антидот или карандаш и ластик.

Согласно фундаментальной теореме, весь математический анализ – это один гигантский символ инь-ян.

Аньези понимала единство противоположностей лучше, чем кто-либо другой. Только посмотрите, какие тождественные сущности она воплотила: математику и мистику, католическую традицию и зачатки феминизма, изучение науки и религии. Она даже соединила самых ярых противников – Ньютона и Лейбница, чья вражда все еще горела ярким пламенем, когда Мария приступала к своей книге. Как никто другой, Аньези сумела объединить флюксии англичанина с дифференцированием немца, добившись такого идеального слияния, что один из кембриджских профессоров математики срочно выучил итальянский, чтобы перевести ее шедевр на английский.

Мария не воспринимала ничего из вышеперечисленного как противоречие. Маззотти пишет, что «само по себе отнесение науки и религии к противоборствующим силам для Аньези не имело смысла». Это наша эпоха разделила разум и веру. Аньези думала по-другому.

В 1801 г., когда нетерпеливый профессор из Кембриджа переводил ее книгу, он ошибочно принял слово versiera (термин, который моряки используют для обозначения паруса) за его омоним, сокращение от avversiera (ведьма). Таким образом, математический график определенного вида стал известен англоговорящим читателям как «ведьма Аньези». Это навеки сохранилось как свидетельство гениальности Марии и недостатков любительского перевода.

Сегодня фундаментальная теорема математического анализа, возможно, самое сильное и широко распространенное упрощение в математике. С ним интеграл – эта утонченная сумма бесконечного количества стремящихся к нулю частей – становится просто антипроизводной. Мы можем забыть замысловатые линии крыш Римана, искусные преобразования Лебега, геометрические маневры Евдокса и Лю Хуэя. Это просто обратная сторона производной. Мы словно много лет регулярно взламывали дверь, чтобы попасть в дом, и, наконец, узнали о существовании ключей.

Но не этим прославилась Аньези. «Для нее математический анализ был способом отточить разум так, чтобы он мог по достоинству оценить Господа, – пишет Маззотти. – Она верила в рассудочную духовность, а не в нелепую набожность или порожденное воображением суеверие». Через этот трезвомыслящий взгляд мы получаем лучшее представление о математическом анализе – дисциплине одновременно практической и по своей природе прекрасной.

В этом смысле нас всех можно отнести к итальянской молодежи.

Ричард Фейнман ненавидел уроки математики. Вся проблема была в том, что перед тем, как дать ученику решить задачу, учитель всегда представляет метод, которым ее следует решать. Где здесь приключение? Любой дерзкий проект становится вялым и безжизненным – государство тупиц, созданное тупицами и для тупиц.

С другой стороны, математический клуб он обожал. Это была игровая площадка, школа колдовства обманщиков и волшебства импровизации. Для решения задач требовалась только алгебра (никакого математического анализа), но для каждой был окольный путь. Если ученик пытался применить стандартный метод, ему не хватало времени. Вместо этого нужно было найти короткую дорогу, упрощающую решение. Например…

Конечно, вы можете продираться через арифметику. Но значительно быстрее изменить точку зрения и сделать течение реки системой координат. Стать шляпой.

Производные немного похожи на уроки математики у Фейнмана. В любом учебнике, стоящем той бумаги, на которой его напечатали, и даже в некоторых, которые и того не стоят, вы найдете четкий и определенный список формул дифференцирования. Применяйте эти законы, и вы не сможете ошибиться.

А что же насчет интегралов? По фундаментальной теореме математического анализа они являются антипроизводными, или производными наоборот. Производная х² равна 2х, интеграл 2х равен х². Но, как вы знаете, если когда-нибудь пытались провернуть обратно фарш, склеить разбитую вазу или – что в самом деле невозможно – отменить подписку на журнал, вряд ли это получится. Интегрирование, по тому же принципу, наполнено множеством интересных исключений. В матане его можно считать аналогом математического клуба Фейнмана.

«Не важно, насколько обширна таблица интегралов, довольно редко удается найти в ней тот самый интеграл, который нужен» – так говорится в необычайно самокритичных «Стандартных математических таблицах». Например, проверьте вот эти два: Не беспокойтесь о частных случаях, просто посмотрите: эти вопросы похожи, и, таким образом, ответы на них должны быть похожи. По крайней мере, ответы должны быть одного уровня сложности. Поэтому если первый из них arctg (x), то второй должен быть…

Хм…

Проверяю свои заметки…

Хорошо, проверяю интернет…

Ну ладно, я должен был догадаться…

Это

Надо же, как все обернулось!

Если дифференцирование – это правительственное здание с сияющими окнами и снабженными аккуратными табличками конференц-залами, то интегрирование – заколдованный дом с привидениями, полный странных зеркал, скрытых лестниц и неожиданных потайных ходов. Не существует никаких безошибочных правил, чтобы безопасно пройти через него, есть только беспорядочное собрание разнообразных инструментов.

Математик Огастес де Морган поэтично подвел итог подобным соображениям таким образом:

Общее интегрирование – только память о дифференцировании. Различные ухищрения, через которые проявляет себя интегрирование, – это не изменения неизвестного в известное, а переход от форм, в которых память не сможет служить нам, в те, с помощью которых она выполнит свою работу.

На первый взгляд новичку непонятно, что же делать с Но используйте замену переменной – обыденный метод интегрирования, – и эта досадная загадка станет достаточно безобидной которую можно найти в любой таблице общеизвестных интегралов. На самом деле ничего не изменилось, кроме используемого языка, имени переменной.

Решение в том, чтобы изменить систему координат. Стать шляпой.

Самостоятельно изучая интегрирование в дальнем углу кабинета физики в своей школе, Фейнман так и не научился некоторым стандартным методам. Вместо этого он собрал инструменты, позволяющие уйти с проторенной дорожки, – такие изящные, но малоизученные маневры, как «дифференцирование под знаком интеграла».

«Я использовал эту чертову штуку снова и снова», – писал Фейнман позднее, после получения Нобелевской премии по физике.

В Массачусетском технологическом институте и Принстоне однокашники Фейнмана обращались к нему с интегралами, которые они не могли взять. Фейнман решал их, часто прибегая к этому мощному трюку. «С интегралами я заработал себе великолепную репутацию, – писал он, – и все потому, что мой набор инструментов отличался от того, что было у всех остальных». С производными все танцуют один и тот же танец, но интегралы дают каждому проявить свой собственный стиль.

Во время Второй мировой войны Фейнман присоединился к группе ученых, работавших в Национальной лаборатории в Лос-Аламосе[47]. Он переходил из подразделения в подразделение, осваивал азы и везде чувствовал себя бесполезным. Однажды один из исследователей показал ему интеграл, который загнал всю команду в тупик на целых три месяца. «Но почему вы не решите его, использовав дифференцирование под знаком интеграла?» – спросил Фейнман. На всю задачу ушло полчаса.

Я сам никогда не изучал этот метод, поэтому обратился к Google. Мои изыскания привели к Math 55 в Гарварде – «возможно, самому сложному математическому курсу для студентов-бакалавров в стране», если верить «Википедии». Среди преподавателей курса есть лауреаты Филдсовской премии (например, Манджул Бхаргава), преподаватели Гарварда (например, Лиза Рэндалл) и Билл Гейтс (ну, то есть Билл Гейтс). «Это определенно своего рода культ, – сообщил студенческой газете Harvard Crimson Раймонд Пьерхамберт, когда-то изучавший курс, а теперь ставший преподавателем Оксфорда. – Я воспринимал его скорее как суровое испытание, а не уроки математики». Инна Захаревич, теперь преподаватель Корнеллского университета, сохранила более приятные воспоминания. «Там меня заставляли заниматься моим любимым видом размышлений, – говорит она. – Брать базовую вещь, которая, как я считаю, мне известна, и действительно очень, очень, очень серьезно над ней размышлять».

В 2002 г. 18-летняя Захаревич прочитала воспоминания Фейнмана. «Я не знала, что такое дифференцирование под знаком интеграла. Я спросила отца, и мы обсудили подход в целом». Затем в один прекрасный день в октябре преподаватель курса Math 55 Ноам Элкис показал студентам формулу:

В математике символ! не выражает энтузиазма. Он говорит об операции «факториал», которая означает «перемножьте все натуральные числа от 1 до этого числа».

Очень круто. Очень мило выглядит. Но это определение чрезвычайно ограниченно: оно имеет смысл только для целых чисел.

В начале XVIII в. Леонард Эйлер нашел новый способ определить факториал – тот самый интеграл, который Элкис показал студентам Math 55. Это обещало распространить понятие на все числа и позволить вам вычислить π! или 1,8732! или √^– 2! – в общем, все, что вашей душеньке угодно.

Есть только одна проблема: можем ли мы быть уверены, что новое определение полностью соответствует старому? Как мы узнаем, что они равны для таких чисел, как 3 и 11?

Захаревич смотрела, как Элкис развертывает стандартное доказательство равенства на примере: повторяющееся, утомительное применение интегрирования по частям. Это широко распространенный и в данном случае достаточно тяжеловесный метод. «Я была подавлена, – вспоминает Захаревич, – потому что доказательство было таким безобразным».

Она была ответственной ученицей и повторила все грубые алгебраические рассуждения на проведенной в тот же день контрольной. Но на обороте Инна написала альтернативное доказательство, применив любимый метод Фейнмана. «Я действительно хотела, чтобы Элкис знал это на будущее», – объяснила она. В доказательстве, которое я воспроизвожу ниже, скорее для красоты, чем с какой-либо еще целью, Захаревич вводит новый параметр, берет производную относительно него, а затем позволяет ей снова раствориться в тени. Эта производная – как совершенно незнакомый человек на дороге, который меняет вашу лысую покрышку, а затем уезжает, а вы так и не успели сказать ему спасибо.

Элкису это понравилось. Пылая учительской гордостью, он опубликовал доказательство в интернете, где спустя 16 лет на него наткнулся я.

«Применять это, – признает Захаревич, – действительно скорее искусство, чем наука».

Уверен, Фейнман одобрил бы подобное доказательство. Это полная дискредитация уроков математики и триумф математического клуба, более хитрого подхода, который определял все в жизни ученого. Возьмите его более позднюю работу в школьных советах. Как вспоминал биограф Джеймс Глик:

Он предложил первоклассникам учиться сложению и вычитанию примерно так же, как он вычислял сложные интегралы, – то есть выбрав любой метод, подходивший для решения этой задачи. В то время принято было считать, что «ответ не имеет значения, пока используется правильный метод». В понимании Фейнмана ничего хуже невозможно было придумать. «Ответ – это все, что имеет значение», – говорил он. Целая куча методов всегда лучше, чем один общепринятый.

Фейнман любил демонстрировать свой набор трюков. Однажды он предложил коллегам по Лос-Аламосу сформулировать любую задачу за десять секунд, пообещав вычислить решение меньше чем за минуту с точностью до 10 %. Его друг Пол Олам задел гордость Ричарда, спросив о тангенсе 10¹⁰⁰ (гугола), что потребовало бы вычислить 1/π с точностью до сотни цифр после запятой: слишком много даже для будущего нобелевского лауреата.

В другой раз Фейнман похвастался, что всё, что другие могут решить традиционным методом интегрирования по контуру, он сможет решить другими способами. Он выдержал несколько трудных задач и спасовал, только когда Олам – эта великолепная Немезида – дал «этот чертов огромный интеграл… Он развернул его так, что решить можно было только с помощью интегрирования по контуру! – вспоминает Фейнман. – Он всегда побеждал меня таким образом!». В этом вся радость и разочарование интегралов: никто – возможно, за исключением Пола Олама, – не может знать все трюки.

К 1917 г. Альберт Эйнштейн уже сделал себе имя. Если говорить конкретно, он был «тем самым Эйнштейном». Он вычислил размер атомов, заявил об эквивалентности материи и энергии, заложил начала квантовой физики и ввел в моду прическу, которую с полным правом можно назвать «взрыв сверхновой». Впечатляющее резюме, но больше всего Альберт гордился своей общей теорией относительности. Ее основное уравнение обладало неповторимой элегантностью. Оно обещало потрясающее путешествие в космос. Оно было ударом ногой с разворота прямо в лицо ньютоновской механике. Эта реальность была такой странной, что в газете The New York Times беспокоились, не поставит ли она под сомнение «даже таблицу умножения». И вся теория строилась на простом прозрении: Вселенная не является коробочкой, в которую сложены звезды и планеты. Она изгибается, она искривляется при наличии материи.

Настало время для мысленного эксперимента. Представьте себе, что я сижу на пенечке и наблюдаю, как мимо проносится луч света с неизменной скоростью 300 млн м/с. Тем временем вы гонитесь за лучом, пролетая мимо меня с огромной скоростью, скажем 200 млн м/с.

От кого луч удаляется быстрее – от меня или от вас?

Сложный вопрос! Скорость света – универсальная постоянная. Она всегда составляет 300 млн м/с и не изменяется никогда, ни для кого – даже для суперскоростного вас. Что меняется, так это кое-что менее прочное и более податливое: ткань пространства и времени. С моего места на пенечке свету требуется три секунды, чтобы покрыть 300 млн м до вас. С вашего места на звездолете «Энтерпрайз» для этого потребуется одна-единственная секунда. Таким образом, мои карманные часы идут в три раза быстрее, чем ваши.

Движение изменяет форму времени.

Вам уже кажется, что у вас начались галлюцинации? Тогда вы готовы к следующему шагу: материя изменяет и форму пространства. Солнце, например, не стоит на месте, как мяч для боулинга, лежащий в коробке. Оно, словно мяч для боулинга на надувном матрасе, прыгает по материи, искривляя окружающее пространство-время. Таким образом, когда планета обращается вокруг Солнца или яблоко падает на землю, они не во власти некоего необъяснимого ньютоновского притяжения. Они просто следуют по пути наименьшего сопротивления через изгибающийся четырехмерный ландшафт.

«Материя говорит пространству-времени, как ему изгибаться, – сказал физик Джон Уилер, – а изогнутое пространство говорит материи, как ей двигаться».

Все это воплотилось в определенную форму в ноябре 1915 г. в уравнении поля Эйнштейна. «Это уравнение умещается на половине строки, – пишет физик Карло Ровелли. – Однако в этом уравнении – целая Вселенная»[48]. Оно предсказало, что свет изгибается около тяжелых предметов, что временной поток расширяется по пути из долины к вершине горы, что гравитационные волны могут распространяться через всю Вселенную, что большие звезды могут схлопываться, образуя сингулярности (которые позже получили название «черные дыры»). «Невероятное богатство теории раскрывается в фантасмагорической цепи предсказаний, которые напоминают исступленный бред безумца, – говорит Ровелли, – но все до единого подтвердились»[49].

Тем не менее, хотя новые предсказания вылетали из этого уравнения, как патронусы из волшебной палочки, Эйнштейн остался недовольным. Конечно, общая теория относительности могла описать орбитальное движение планет и изгибы потоков фотонов. Но все это были ограниченные, конечные системы. Всего лишь частицы космоса. «Остается животрепещущий вопрос, – писал Эйнштейн коллеге, – распространяется ли понятие относительности до самого конца или может привести к противоречиям». Теперь ученый стремился завоевать главный приз – получить самого большого плюшевого медведя на этом карнавале.

Может ли теория относительности создать модель всей Вселенной?

Это был вопрос в духе интегрирования, переход от «множества маленьких сущностей» к «единому большому всему». На самом деле здесь буквально использовалось интегрирование: хотя в своей знаменитой статье 1917 г. Эйнштейн применяет другой подход, к 1918 г. он обнаружил, что, по существу, берет интеграл. Он предпочел именно такую подачу информации. «У новой формулировки есть одно крупное преимущество, – писал ученый, – в том, что количество… появляется в фундаментальном уравнении как постоянная интегрирования».

Какое количество? Мы до этого еще доберемся. Во-первых, что такое постоянная интегрирования?

Если вы спросите любого студента, изучающего математический анализ, то это раздражающее + С в конце каждого неопределенного интеграла. Эта закорючка используется для удобства обозначений, она не имеет отношения к тому интегралу, который вы вычисляете, но по какому-то непонятному правилу вы никогда не должны о ней забывать во избежание мелочной бюрократии при начислении баллов со стороны преподавателя.

Откуда взялась эта постоянная? Как мы уже обсуждали, интегрирование и дифференцирование – обратные процессы. Чтобы взять интеграл, мы смотрим на функцию и спрашиваем: от чего эта производная?

Представьте себе бегуна, который двигается с постоянной скоростью 7 км/ч. График его скорости будет выглядеть подобным образом:

А что насчет интеграла – это будет график местоположения? Вот одна из возможностей:

Но это позволяет предположить, что в полдень бегун стартовал из дома. В действительности мы не знаем, где именно началась его пробежка. Возможно, в километре от дома, или в двух, или в семи. Или в трех с половиной, но в противоположной стороне от дома, так что мимо него наш любитель спорта пробежал в половине первого.

Существует бесконечное количество возможных функций положения, которые отличаются только тем, что какое-либо фиксированное расстояние добавляется или убирается. Это может быть 7х, 7х + 1, 7х + 2, 7х + 3…

Вместо того чтобы составлять список бесконечных возможностей, из-за которых мы можем опоздать на обед, мы объединяем все семейство функций под простой формулой 7х + С. С – это постоянная интегрирования, сокращение от «любое число, которое придет в голову». Одним махом она трансформирует один-единственный график в бесконечную семью. Из-за ее краткости и лаконичности эту постоянную так легко забыть, но именно «семья» является источником ее силы и глубины.

Нет, Альберт Эйнштейн не забыл о постоянной. Я имею в виду, конечно же, не забыл – мы ведь говорим об одном из величайших ученых, когда-либо отказывавшихся от расчески.

Нет, он допустил гораздо более продуманную ошибку. И она оказалась куда более зрелищной.

«Я должен провести читателя по тому пути, которым прошел сам, – пишет Эйнштейн в статье 1917 г., – по этой достаточно неровной и извилистой дороге». В самом деле, он проводит нас через что-то вроде лабиринта улиц, ведущих только в одном направлении, с препятствиями на каждом математическом повороте. Первая попытка ученого описать всю Вселенную противоречила известным фактам. Вторая потребовала определить особую «правильную» систему координат, что шло вразрез с духом «относительности». А третий путь, предложенный одним из его коллег, «не только не оставлял надежды решить задачу, но, напротив, означал отказ от нее». Его знаменитое уравнение просто не давало Эйнштейну достаточной гибкости.

В конце концов, ученый сумел создать свою модель, только введя постоянную интегрирования Λ. Это греческая буква лямбда; на самом деле Эйнштейн использовал строчную букву λ, что, возможно, указывает на то, что он не относился к ней с уважением. Как бы то ни было, лямбда – это космологическая постоянная.

Это было чрезвычайно обоснованным, просто необходимым математическим шагом: без λ вся модель приходила в негодность. Постоянная предсказывала и сжимающуюся Вселенную (где много материи вокруг), и расширяющуюся Вселенную (если материи вокруг немного), и Вселенную, где материи вообще нет (и тогда не происходит ни сжатия, ни расширения, но Вселенная представляет собой пустое и грустное место). Только особое, тщательно подогнанное значение λ позволило Эйнштейну описать ту Вселенную, которую он знал: ту, в которой есть материя и которая не меняет размера.

Тем не менее ученый испытывал смешанные чувства. Вся статья в какой-то мере читается как некое извинение за лямбду. Он считал ее изъяном своей теории, неэлегантным усложнением. Необходимость этой буквы раздражала Эйнштейна, как мог бы раздражать двигатель автомобиля, заводящийся только в том случае, если эмблема производителя на капоте повернута определенным образом.

Так дела обстояли в течение десяти или чуть больше лет. Затем, в 1929 г., от астронома Эдвина Хаббла поступила грандиозная новость. На самом деле, если измерять ее в кубических метрах, то это была самая большая новость за всю историю человечества.

То, что все называли Вселенной, ею не являлось. Это была всего лишь наша Галактика, Млечный Путь. Размытые спиральные туманности в ночном небе оказались другими галактиками, по размеру такими же, как наша, но находящимися в миллионах световых лет. Причем большинство из них еще и отдалялись от нас. Таким образом, наша Вселенная не только гораздо больше, чем мы представляли ее раньше, но и каждую секунду расширяется. Галактики отдаляются друг от друга, как изюминки в поднимающемся пироге.

Расширяющаяся Вселенная означает, кроме того, что λ была совсем не обязательна, что теперь ее можно приравнять к нулю. Эйнштейну этого было достаточно. Ни секунды не колеблясь и не испытывая никаких сентиментальных чувств, он избавился от лямбды, объявив ее «теоретически неудовлетворительной» и равной нулю. (Возможно, так все и было: Эйнштейн действительно увлекался романтическими финалами.) «Если бы расширение Вселенной Хаббла было бы открыто в то время, когда создавалась общая теория относительности, – позднее писал ученый, – космологическая постоянная никогда бы не появилась». По словам его друга Георгия Гамова, Эйнштейн сообщил по секрету, «что введение космологической постоянной было самой грубой ошибкой, которую он когда-либо совершал в своей жизни».

Некоторые утверждали, что он возложил на λ вину за то, что не смог предсказать расширение Вселенной, которое стало бы жемчужиной в короне общей теории относительности. Но мало что говорит в пользу таких чувств у Эйнштейна. Он отважился зайти на территорию космологии с конкретной целью: теория относительности должна была создать непротиворечивую модель, причем ученый никогда не сокрушался об этом «неудавшемся предсказании». Скорее его недовольство лямбдой, вытекало из того, что с точки зрения эстетики постоянная интегрирования должна равняться нулю, совсем как у тех людей, которые настаивают, что детей должно быть не видно и не слышно.

Что бы ни вызвало эти слова о «самой грубой ошибке», настоящий промах говорил сам за себя.

В 1998 г. выяснилось, что Вселенная не просто расширяется. Расширение ускоряется. Одним махом пришлось вернуть к жизни космологическую постоянную из забвения, где она пребывала более 50 лет. Она даже возвратилась как заглавная буква. Ведь оказалось, что Λ все-таки не равна нулю: она передает существование «темной энергии» – диковинного явления, заполняющего пустое космическое пространство и оказывающего воздействие, противоположное воздействию силы притяжения. По современным представлениям, темная энергия занимает около 68 % космического пространства.

Постоянная интегрирования Эйнштейна не была просто глупой ошибкой, от которой можно отмахнуться. Все-таки речь идет о двух третях Вселенной!

Никто никогда не называл Альберта Эйнштейна безупречным математиком, и сам великий ученый никогда этого не делал. «Не беспокойся о своих проблемах с математикой, – писал он своему 12-летнему другу по переписке. – Я могу тебя заверить, что мои ошибки куда крупнее». Книга под названием «Ошибки Эйнштейна» (Einstein’s Mistakes) – ради бога, не пишите книгу «Ошибки Орлина»! – утверждает, что в 20 % его статей имеются значительные недочеты. Мистер Взрыв Сверхновой, вопреки всем ожиданиям, относился к этому с полным спокойствием. «Не ошибается тот, – колко заметил он, – кто не делает ничего нового».

Вот так все и происходит с постоянными интегрирования. Ими так легко пренебречь, их трудно интерпретировать, и иногда они действительно равны нулю. В других случаях за ними скрывается важнейшая информация. Начинающий математик может забыть постоянную интегрирования; специалист, напротив, помнит о ней, потом возвращается к ней и ее стирает, настаивая на том, что она все время равнялась нулю.

Не знаю, как насчет вас, но меня история об Эйнштейне заставляет испытывать благодарность за это психоделическое путешествие по расширяющейся Вселенной, где даже постоянные рассказывают об изменениях.

В феврале 1994 г. медицинский журнал Diabetes Care опубликовал статью исследовательницы Мэри Тай под названием «Математическая модель для определения общей площади под кривой толерантности к глюкозе и другими метаболическими кривыми».

Да, я знаю, что это заголовок-приманка для журналистов, падких на сенсации, но давайте отнесемся к нему с пониманием.

Что бы вы ни ели, в кровоток попадает сахар. Тело может получить глюкозу из чего угодно, даже из шпината и стейка, именно поэтому «Диета Бена Орлина» не прибегает к полумерам, а включает в себя только рогалики с корицей. Какой бы ни была пища, уровень сахара в крови повышается, а затем, со временем, возвращается к норме. Главные вопросы, связанные со здоровьем: насколько он повышается? Как быстро снижается? И, самое главное, какой траектории следует его график?

Гликемическая реакция – это не просто пик кривой или значение длительности; это целая история, совокупность бесчисленного количества крошечных моментов. Что врачам нужно знать, так это площадь области под кривой.

Увы, они не могут просто применить фундаментальную теорему математического анализа. Она для кривых, которые определяются аккуратными формулами, а не для тех, которые появились в результате игры «соедини точки» и основаны на эмпирических данных. Для таких неаккуратных реальностей нужны методы аппроксимации.

Именно этому посвящена статья Тай. «В модели автора, – объясняется в ней, – общая площадь под кривой вычисляется с помощью разделения этой области на маленькие сегменты (прямоугольники и треугольники), площадь которых можно точно вычислить с помощью соответствующих геометрических формул».

Тай пишет, что «при использовании других формул часто происходит существенная недооценка или переоценка общей площади области под метаболической кривой». Ее метод, напротив, вычисляет площадь с точностью до 0,4 %. Это умный геометрический трюк, если только не считать одного крошечного недочета.

Это Матан 101[50].

Многие века математики знали, что, когда дело доходит до практической аппроксимации, есть методы намного лучше, чем Римановы контуры зданий-прямоугольников. В частности, вы можете определить ряд точек на вашей кривой, а затем соединить их прямыми. Таким образом получится вереница длинных, тонких трапеций.

Забудьте 1994 г. Этот метод не был нов ни в 1694 г., ни в 94 г. до нашей эры. Древние вавилоняне использовали его, чтобы вычислить расстояние, которое проходит по небу планета Юпитер. Тай написала, рецензент одобрил, а Diabetes Care опубликовал работу тысячелетней давности, то, что трудолюбивый студент первого курса может сделать, выполняя домашнее задание. И все это подано так, будто является новым.

Математикам выпал день, богатый на возможности повеселиться.

Результат № 1. Несогласие и неодобрение. «Тай предложила простую, хорошо известную формулу, подчеркнув, что это ее собственная математическая модель – так было написано в одном из критических писем, полученных Diabetes Care, – и при этом допустила ошибку».

Результат № 2. Насмешки. «Потрясающее игнорирование математики!» – отметил один комментатор в интернете. «Это смешно!» – написали несколько других.

Результат № 3. Примирение. «Главный урок, который мы должны извлечь из этого, состоит в том, что рассчитать площадь областей под кривой достаточно трудно», – написал исследователь диабета, чью более раннюю работу раскритиковала Тай (как выяснилось, эта критика была основана на неправильном понимании). Письмо заканчивалось в примирительном тоне: «Боюсь, я тоже должен разделить ответственность за свой вклад в эту путаницу».

Результат № 4. Возможности для обучения. Два математика выразили несогласие с тем, на чем Тай пыталась настаивать. Она пыталась доказать, что ее формула связана не с трапециями, а с треугольниками и прямоугольниками. Они же нарисовали для нее картинку: «Как становится очевидно, если посмотреть на изображенную ниже фигуру… маленький треугольник и вытянутый прямоугольник составляют трапецию».

Результат № 5. Самокритика. «Как самоуверенный физик, – написал один комментатор в ответ на забавный пост в блоге, – я нахожу это смешным, но не могу перестать думать о том, что из-за этого поста мы выглядим даже хуже, чем они… Уверен, вы найдете множество физиков, которые говорят исключительно невежественные вещи о медицине или экономике».

К тому же исследователи-математики также известны тем, что заново изобретают колесо. Во время учебы в аспирантуре легендарный Александр Гротендик самостоятельно воссоздал интеграл Лебега, не понимая, что повторяет старую работу.

Как утверждает Тай, она не пыталась прославить свой метод. «Я никогда не думала о том, чтобы опубликовать модель как великое открытие или достижение», – писала она. Но коллеги «начали использовать ее и… поскольку исследователи не могут ссылаться на неопубликованную работу, я пошла на то, чтобы напечатать ее по их просьбе». Она просто пыталась поделиться своими мыслями, способствовать дальнейшему изучению.

Увы, в научном сообществе публикация статьи не означает, что вы лишь хотите поделиться с кем-то информацией. Это больше чем просто сказать: «Вот штука, которую я знаю!» Это нечто вроде демонстрационного щита, заявления: «Эй, вот штука, которую я знаю, потому что открыл ее, поэтому, пожалуйста, поставьте мне высокую оценку. Спасибо вам и доброй ночи».

У системы публикаций есть свои пороки. «Мы можем участвовать в научном дискурсе единственным способом, – пишет математик Изабелла Лаба, – публикуя исследовательские статьи. То есть фактически нам нужно получить новые, интересные и значительные результаты, и только тогда нам будет позволено внести свой вклад в науку».

Лаба сравнивает такую ситуацию с экономикой, где самой маленькой купюрой является 20-долларовая. Как кто-то в таком мире может получить сдачу в булочной? Вам придется или уговаривать клиентов покупать маффины сразу на двадцать баксов, или раздавать выпечку бесплатно. Тай предпочла заработать двадцатку, но ни один из этих вариантов не хорош. «Нам нужно ввести в оборот банкноты меньшего достоинства, – пишет Лаба. – Должна быть возможность сделать менее значительный вклад, скажем, в виде полезного комментария в блоге».

Интегралы нужны не только математикам. Гидрологи используют их, чтобы оценить поток загрязняющих веществ, проходящих через грунтовые воды; биоинженеры – чтобы проверить теории легочной механики; экономисты – чтобы проанализировать распределение доходов среди населения, его отклонение от состояния идеального равенства. Интегралы применяют исследователи диабета, механики, немного одержимые русские классики, да и все люди, которые ищут площадь области под кривой, бесконечную сумму стремящихся к нулю частей. Интеграл – это молоток в мире, полном гвоздей, и он не принадлежит только тем, кто его сделал.

Но преподаватели математического анализа, такие как ваш опечаленный и полный раскаяния автор, могут оступиться. Мы подчеркиваем первообразные – подход, который работает только в теоретических выкладках, когда мы явно задаем формулу для кривой. Это ставит философию над практикой, абстракцию над эмпирическим опытом.

Такой подход устарел. «Методы численного анализа выросли в одну из самых крупных отраслей математики, – пишет профессор Ллойд Н. Трефетен. – Большинство алгоритмов, которые делают их возможными, были изобретены после 1950 г.». Правило трапеций, увы, не находится среди них. Но математический анализ остается развивающейся областью науки, даже в годы после 1994-го.

«Природа подчинила человечество, – писал Иеремия Бентам[51] в 1780 г., – двум верховным властителям». Отказавшись от очевидных кандидатов (ореховый пирог и послеобеденный сон), он назвал этих властителей страданием и удовольствием. Полагаю, в этом есть смысл. Ведь теперь остается сделать всего лишь один маленький шаг до того, чтобы охотно принять вывод Бентама: мы должны свести страдание к минимуму и поднять удовольствие до максимума.

Так родился утилитаризм – философское течение, которое, как и всякая другая философия, приносит сейчас гораздо больше головной боли, чем во времена своего появления.

Утилитаризм предлагает нам искать все самое хорошее в наибольших количествах. Лучше, чтобы тебе потерли спинку 11 раз, чем 10. Лучше получить ноль пощечин, чем одну. Достаточно просто. Но что, если удовольствие и страдание противопоставлены? Приведем вполне приемлемый пример – представьте себе, что мы каким-то образом можем спасать жизни, пиная людей по голеням. Как мы должны воспринимать получающееся в итоге соотношение? Разумеется, спасение одной жизни стоит 50 пинков по голени. И даже 500. Но что насчет 50 000 или 5 млн? Что, если для того, чтобы спасти одну-единственную жизнь, нам придется пнуть все голени на Земле? Если боль в голени длится минуту, то это почти двести отпущенных человеку жизненных сроков, наполненных болью, – и все ради спасения одной жизни. Не лучше ли тогда пожертвовать одним и пощадить многих?

Должен ли один человек умереть ради спасения голеней всего человечества?

Утилитаризм низвел этику до уровня математики, до того, что философы называют «исчислением счастья». Чтобы составить мнение о предстоящем действии, нам нужно определить, сколько удовольствия и страдания оно нам принесет, и прикинуть, чего будет больше. Бентам любезно наметил в общих чертах соответствующие критерии:

Он даже срифмовал небольшое мнемоническое стихотворение, чтобы законодателям легче было держать в памяти эти критерии во время обсуждения законов:

Intense, long, certain, speedy, fruitful, pure –Such marks in pleasures and in pains endure.Such pleasures seek if private be thy end:If it be public, wide let them extendSuch pains avoid, whichever be thy view:If pains must come, let them extend to few[52].

Эй, мне нравятся хорошие стихи! Мне даже нравятся плохие стихи. Но какая-то моя часть хотела бы, чтобы Бентам написал еще кое-что в этом стиле, я имею в виду – никогда не думал, что это скажу, – в стиле учебника алгебры. «Поступай с душой, – однажды сказала Эмили Дикинсон, – как с алгеброй!»

Бентам согласился, хотя и отказался вести себя как правильный учитель алгебры. Где бесчисленные упражнения, примеры работ, аккуратные теоремы в рамочках? Прошло целых 100 лет, прежде чем экономист по имени Уильям Стэнли Джевонс предпринял попытку разработать метод исчисления счастья вне существовавшего на тот момент математического анализа.

В качестве первого шага он объявил, что ось y будет отражать интенсивность эмоции.

Ось х тем временем будет передавать протяженность эмоции.

Скажем, вы слушаете композицию «So Fresh, So Clean» дуэта Outkast – композицию, которая продолжается точно четыре минуты и доставляет постоянное наслаждение уровня «ужасно круто!». Вычисление радости, которую приносит этот опыт, – это, таким образом, простое умножение, как поиск площади прямоугольника.

«Но если интенсивность… – пишет Джевонс, – меняется, как какая-то функция, с течением времени» (что часто происходит с группами, которые не столь идеальны, как Outkast), тогда «количество эмоции измеряется сложением бесконечно малых или интегрированием.

По модели Джевонса выдающееся двухминутное поглаживание спины может каким-то образом оказаться «равным» достаточно хорошему пятиминутному поглаживанию. Два часа, в течение которых вам вроде надо сходить по-маленькому, могут в каком-то смысле быть «равны» 30 минутам, когда нестерпимо хочется сходить по-большому.

Роберт Фрост в заглавии одного стихотворения написал: «Чем счастье короче, тем ярче». Джевонс выразил это соотношение более определенно, математически.

Также Джевонс заявил, что страдание и удовольствие взаимно отменяют друг друга. Хотя некоторые другие последователи утилитаризма с ним не согласны – они доказывают, что «гедоны» (единицы удовольствия) и «долоры» (единицы страдания) так же несопоставимы, как яблочный сок и свитер апельсинового цвета, – Джевонс заявляет, что удовольствие и страдание просто «противоположны как положительные и отрицательные значения».

Если Бентам свел мораль к математике, то Джевонс поставил себе целью сделать следующий шаг, упростив ее до измерений. Этика стала упражнением в сборе данных. Если схемы Джевонса работают, тогда делать правильные вещи так же легко, как взвесить посылку или вычислить сумму чека в продуктовом магазине. Он обещает расположить по-новому бесконечное количество чрезвычайно кратких моментов нашей жизни так, чтобы получился единый интеграл, четкая моральная структура – и это с полным правом можно будет назвать величайшим прорывом в истории человеческой нравственности.

Проще простого, да только, как я полагаю, все это не сработает.

Через столетие после Джевонса команда психологов во главе с Даниэлем Канеманом[53] начала исследование непосредственного опыта людей при страдании: испытуемых заставляли опускать кисти рук в ледяную воду. (Психология – это социология для социопатов.) Одну руку погружали в воду температурой около 14° С на одну минуту. В другой раз вторую руку подвергали такому же испытанию, добавив дополнительные 30 секунд пребывания в воде, причем за это время температура постепенно повышалась до 15° С.

Позднее испытуемых спрашивали, какой опыт они повторили бы с большей готовностью.

По теории Джевонса никто не должен выбирать последний путь. В нем есть вся леденящая боль первого опыта плюс еще немного. Если только вы не арктический тюлень и не мазохист (или все вместе), дополнительное время пребывания в ледяной воде вам не понравится.

И тем не менее большинство испытуемых выбрали именно это. Оглядываясь назад на пройденные испытания, люди склонны не обращать внимания на то, как долго они длились. Вместо этого они сосредотачиваются на критических точках и окончании – на максимуме боли и на уровне боли в конце. Поскольку во втором опыте критическая точка была той же самой, а окончился он на несколько менее болезненной ноте, испытуемые вспоминали его более доброжелательно.

Эмоции в том виде, в каком они хранятся в человеческой памяти, не похожи на интеграл Джевонса. Перевешивают всегда последние из них. Вспоминаю одно высказывание Рэя Брэдбери: «Яркий фильм с посредственным финалом – это посредственный фильм. Напротив, средний фильм с великолепной концовкой – это отличный фильм». Что делает историю счастливой или грустной, циничной или дарящей надежду, трагической или комической? Это окончание, и больше ничего. Именно поэтому мы торопимся к постели умирающего и долго думаем о его последних словах. Именно поэтому последние минуты жизни могут перевесить все предшествующие восемь десятков лет.

Основа, на которой строится утилитаризм, – это субъективный опыт. Человеческие эмоции. Временами это основание кажется не слишком прочным и скорее напоминает поток раскаленной магмы. Это серьезный вызов мечте превратить нравственность в математику.

Но даже если и так, утилитаризм остается мощным и нужным голосом в моральной сфере. Конечно, мы можем спорить о том, что считать «величайшим добром» («Лучше быть недовольным Сократом, чем всем довольным дураком», – сказал экономист XIX в. Джон Стюарт Милль), или кто входит в число «величайших людей» («Большинство человеческих существ – сторонники видовой дискриминации», – предупреждал философ Питер Сингер), или как собрать миллиард субъективных знаний в единое множество (может быть, Лев Толстой сможет помочь?). И пусть мы отвергаем исчисление счастья по Джевонсу, но всякий раз, придумывая свои способы подсчитать то же самое – новые варианты, больше учитывающие сложную эмоциональную составляющую, – мы идем по его стопам. Явно или нет, последовательно или не очень, мы проживаем свои жизни, так или иначе исчисляя счастье.

Вы слышали о римлянах: упрямые, несговорчивые, начисто лишенные чувства юмора, да вдобавок это «наши-мраморные-обломки-будут-лежать-здесь-еще-тысячу-лет». В 212 г. до н. э. их армия подошла к побережью Сицилии, чтобы захватить непокорный маленький город Сиракузы. Историк Полибий отмечает, что они прибыли вооруженные до зубов, на 60 кораблях, «наполненных лучниками, пращниками и копьеметателями», захватив с собой четыре огромные осадные лестницы.

Но Сиракузы знали старую поговорку: «Попав в руки римлян, поступай, как римлянин». То есть сражайся, как с чертями в аду. Из маленьких и больших катапульт жители Сиракуз обрушили на римлян «град камней» и дождь железных дротиков. Затем из стен города появились огромные механические когти, хватавшие римские корабли и «бросавшие их на острые скалы или на дно моря». Историк Плутарх рассказывает: «Бо́льшая часть Архимедовых машин была скрыта за стенами, и римлянам казалось, что они борются с богами – столько бед обрушивалось на них неведомо откуда»[54].

Но дело обстояло намного хуже. Они сражались с Архимедом.

В обойме величайших математиков всех времен и народов Архимед единодушно признается ученым «первого ряда». Галилей называл его «суперчеловеком». Лейбниц твердил, что этот грек изменил само представление о гениальности, выставив более поздних мыслителей скучными и обыденными по сравнению с ним. «В голове Архимеда было больше воображения, – писал Вольтер, – чем у Гомера». Впрочем, Архимед, разумеется, никогда не получал Филдсовскую медаль – самую почетную в математике, но в его защиту можно сказать, что лицо мыслителя изображено на этой медали.

Хотите получить представление о его уме? Возьмите куб и разрежьте его на три равные части.

Три получившиеся фигуры – это идентичные пирамиды, каждая из которых имеет квадратное основание и острую вершину над одним из углов основания. Таким образом, каждая из них должна занимать 1/3 объема первоначального куба.

Пока все идет замечательно, но мы только начали.

Возьмите одну из этих пирамид и нарежьте ее на бесконечное количество чрезвычайно тонких ломтиков. Если я сделаю это правильно – а, принимая во внимание мою неуклюжесть в обращении с обычными кухонными ножами, вы, возможно, захотите лишний раз проверить мою работу с этим бесконечным концептуальным ножом, – каждое поперечное сечение должно быть идеальным квадратом.

Самый нижний квадрат представляет собой основание куба. Самый верхний выходит таким крошечным, что является одной-единственной точкой. Между этими двумя крайними случаями есть множество других квадратов промежуточного размера.

Теперь перейдем к дальнейшим действиям. Представьте себе эти квадраты как стопку бесконечного количества карт, каждая из которых толщиной с волос. Если перекладывать их с места на место, то объем не изменится, так что поехали! В данный момент у всех наших квадратов есть общий угол. Но почему бы не переместить их так, чтобы у них был общий центр? Это превратит нашу асимметричную пирамиду странного вида в классическую, в египетском стиле.

Самое замечательное – это то, что объем не изменяется. Он так и остается 1/3 от объема куба.

Теперь мы подошли к настолько гениальному и удобному шагу, что, когда математик Бонавентура Кавальери переоткрыл его в начале XIX в., его назвали «принципом Кавальери». На самом деле этот принцип придумал Антифон (V в. до н. э.), развил Евдокс (IV в. до н. э. – в действительности он впервые привел аргумент, о котором я говорю сейчас) и усовершенствовал Архимед (III в. до н. э. – вскоре мы доберемся до его уникального дополнения). Я собираюсь назвать его в честь охватившей ряды римлян паники «принципом бесчисленных бед».

Идея проста. Если вы имеете дело с трехмерными фигурами, то объем не меняется, когда вы заменяете одни поперечные сечения другими той же площади. Например, мы можем поменять наши квадраты на прямоугольники. Объем полученной теперь продолговатой пирамиды по-прежнему составляет 1/3 призмы, ранее известной как куб.

Или – эндшпиль великого гроссмейстера – мы можем превратить наши квадраты в круги. Неважно, что в действительности это делается с помощью карандаша и бумаги, называется квадратурой круга и по-настоящему невозможно. На практике – это для гимнастов, мы же с вами скользим по облакам чистой геометрии. Поэтому просто представьте, как каждый квадрат медленно превращается в круг, а площадь его не меняется.

Наша пирамида становится конусом. Наш куб становится цилиндром. И, таким образом, конус составляет 1/3 цилиндра, который содержит его.

Довольно круто, правда? Во II в. Плутарх писал:

…во всей геометрии не найти более трудных и сложных задач, объясненных посредством более простых и прозрачных основных положений… Собственными силами вряд ли кто найдет предлагаемое Архимедом доказательство, но стоит углубиться в него – и появляется уверенность, что ты и сам мог бы его открыть: таким легким и быстрым путем ведет к цели Архимед.

Тем не менее эти экскурсы в геометрию не описывают «военного гения». Читатель должен поинтересоваться: откуда взялись военные машины, сразившие римлян?

«Сам Архимед считал сооружение машин занятием, не заслуживающим ни трудов, ни внимания, – отмечал Плутарх, – большинство их появилось на свет как бы попутно, в виде забав геометрии». Как бы странно это ни звучало, такое часто происходит в истории математики. Бесцельная игра фантазии каким-то образом ведет к технологическому прорыву.

Хотя римляне не особенно оценили чисто математические достижения, они явно отдали должное смертельным когтям, крушившим их суда. Распознав в себе грабителей из древнего приквела к «Один дома», генерал Марцелл и его армия отступили.

В один прекрасный день несколько месяцев спустя Архимед рисовал фигуры на песке. Мне нравится представлять, что он вспоминал свое любимое доказательство – теорему, которую он велел друзьям и родным написать на его могиле.

Она начинается со сферы.

Мы заключаем ее в цилиндр, идеально подогнанный, как упаковка – к теннисному мячу.

Вопрос Архимеда заключался в следующем: какую часть цилиндра заполняет сфера?

(В действительности вопрос был более элементарным: насколько велика сфера? Но любое описание размера требует ссылки на что-то, что нам уже известно: к примеру, мой рост – это приблизительно 5 2/3[55] тех давно существующих единиц, которые называются футами. И тут-то в дело как раз и вступает цилиндр.)

Для начала разрежем всю фигуру пополам. Вместо теннисного мяча в контейнере мы получим полусферу в хоккейной шайбе.

Теперь, вместо того чтобы беспокоиться об объеме внутри полусферы, мы можем сосредоточиться на объеме вне ее. В духе «бесчисленных бед» мы можем считать эту область пачкой обручей или шайб, каждая из которых является окружностью с круглой дырой в середине.

Внизу этой стопки находится чрезвычайно тонкая шайба. Ее дыра занимает весь круг, оставляя только напоминающее струну кольцо. Наверху тем временем пребывает очень толстая шайба. Это почти целый круг с отверстием размером с булавочный прокол. Между ними находится целое семейство шайб.

Каковы площади этих фигур? После интерлюдии с хитрой алгеброй мы приходим к выводу, что площадь каждой равна πh², где h – расстояние от поверхности.

Это означает, что, применяя Принцип бесчисленных бед, каждую из них можно заменить кругом радиусом h.

Видите! У нас получился не странный кратер в форме полусферы, а простой конус, перевернутый острием вниз.

Как мы уже установили, конус заполняет 1/3 цилиндра. Таким образом, пустое пространство – то есть то, что было полусферой – заполняет 2/3.

Вывод: сфера заполняет 2/3 цилиндра.

Над этими чертежами на сицилийском песке Архимед мечтал об интегралах за тысячелетие до их изобретения. Площади и объемы, бесконечное количество ломтиков, перестановки, которые решают проблему непрерывности и кривизны, – все это химические ингредиенты, «первичный бульон», из которого позднее развились интегралы. Почему же тогда миру так долго пришлось ждать рождения математического анализа?

В тот день римляне взяли город. В течение нескольких часов Сиракузы были сожжены, а солдаты впали в состояние неистовства, грабя и убивая. «Множество жестокостей было совершено сгоряча и из жажды наживы», – писал историк Ливий. Тем не менее римский военачальник Марцелл настаивал на том, чтобы сохранить жизнь великому геометру, «находя в том, чтобы спасти Архимеда, столько же славы, сколько и в разрушении Сиракуз» (по словам другого историка).

Архимед даже не заметил падения города. Что значит какой-то грабеж и разрушения по сравнению с всепоглощающей красотой фигуры на песке?

Историки расходятся во мнении по поводу того, что сказал Архимед, когда к нему приблизился римский солдат. Возможно, он взмолился: «Пожалуйста, не стирайте мои круги!» Может быть, он разбушевался: «Не трогай моих чертежей, парень!» Весьма вероятно, что он прикрыл рисунки ладонями, как будто идеи значили намного больше, чем его собственная жизнь: «Лучше ударьте меня по голове, только не стирайте линии!» В любом случае все источники сходятся в одном: солдат убил Архимеда. Кровь заполнила прочерченные в песке дорожки, оставленные его пальцами. Марцелл настоял на подобающем погребении и осыпал родственников ученого подарками и милостями. Но виновник «бесчисленных бед» был мертв.

Сегодня величайшим наследием Архимеда считаются не катапульты и когти, а геометрия. Его понятные аргументы, его восприятие бесконечности, то, как близко он подошел к математическому анализу. Мог ли один легкий дополнительный толчок привести к нему? Мог ли матанализ возникнуть на Земле на тысячу лет раньше, чем это произошло в реальности?

Обдумайте высказывание математика Альфреда Норта Уайтхеда:

Гибель Архимеда от рук римского солдата – символ перемен первой величины в масштабе всего мира. Греки с их любовью к абстрактной науке уступили лидерство в европейском мире практичным римлянам.

В практичности в целом ничего плохого нет. Или все-таки есть. Премьер-министр Великобритании XIX в. Бенджамин Дизраэли определял практичного человека как «практикующего ошибки своих предков». Согласно Уайтхеду, именно это и делали римляне. Нигде в победившей стране вы не смогли бы найти искру воображения, которая была у побежденных.

Все их усовершенствования состояли в мелких технических деталях. Они не были мечтателями в достаточной степени… Ни один римлянин не поплатился жизнью за то, что был поглощен созерцанием математического чертежа.

Столетия спустя, когда жители Сиракуз забыли о наследии Архимеда, писатель Цицерон предпринял попытки отыскать его могилу. Он нашел ее, «скрытую кустами ежевики и терновника»: «маленькую колонну, едва видневшуюся над зарослями». Цицерон узнал могилу по тому, что было вырезано на ней, как и просил Архимед: сфера и цилиндр. Могила давно исчезла, но она запечатлелась в нашем коллективном воображении, которое может пережить пыль, кровь и все каменные строения, созданные руками римлян.

Мир «Флатландии» – романа о многих измерениях[56] – понятен из его названия. Место действия этого произведения, написанного в 1884 г., является абсолютно плоским: оно более плоское, чем блин, чем лист бумаги, чем женские характеры в фильмах Майкла Бэя. Это мир двух измерений, где имеются длина и ширина, но нет высоты. Тем не менее его обитатели – треугольники, квадраты, пятиугольники и так далее – не ощущают отсутствие одного измерения. На самом деле они, как канзасцы в Канзасе и техасцы в Техасе, не могут представить существование вне своего мира.

Пока в один прекрасный день не появляется очень странный визитер.

Вначале сфера выглядит всего лишь как точка, появившаяся из ниоткуда. Затем, по мере ее прохождения через Флатландию, рассказчик (по имени Квадрат) видит окружность, постепенно растущую в размерах.

В самом деле необычайно! Представьте себе, что бы вы чувствовали, если бы какой-то парень прошел через дверь и в этот момент увеличился в росте от 1,2 м до 1,8 м. (Возможно, вы бы ощутили себя, как я каждый раз, когда веду уроки у девятиклассников.) Квадрат задался вопросом, что же за чертовщина здесь происходит, но получил только зашифрованные ответы наподобие этого:

Вы называете меня Окружностью, но в действительности я не Окружность, а бесчисленное множество Окружностей различных размеров, от Точки до Окружности, достигающей тринадцати дюймов в диаметре, как бы сложенных вместе. Пересекаясь с вашей Плоскостью, я образую в сечении Фигуру, которую вы с полным основанием называете Окружностью. Ибо даже Сфера (так называют меня обитатели страны, в которой я живу), если у нее возникает необходимость предстать перед обитателями Флатландии, вынуждена принимать форму Окружности[57].

С помощью этих странных разглагольствований сфера находит способ рассказать о своей природе. Сфера – это стопка бесконечного множества дисков, отличающихся радиусом и чрезвычайно тонких. Понять сферу означает совместить – суммировать – все эти маленькие круги в единое целое.

Сфера – это интеграл окружностей.

Если вы посещали курс математического анализа на первом году обучения, то ранее уже встречались с этим понятием. Это завершающая тема, где лихо закручивается идея трехмерности.

(Предупреждение: если вы чувствительны к укачиванию и плохим каламбурам, обратите внимание на слово «закручивается».)

Для начала возьмите плоскую двухмерную область. Затем раскрутите ее вокруг оси, как жесткий флажок вокруг палки. Пространство, через которое она проходит, оформится в виде трехмерного объекта, называющегося «тело вращения».

Это вращение, как на гончарном круге, превращает двухмерные области в трехмерные объекты, Флатландию – в Трехмерие. Если вы хотите узнать объем созданного нами тела, подход будет очень простым: проанализируйте его как стопку бесконечного количества плоских дисков и объедините их.

Чтобы высчитать объем сферического «злоумышленника», вначале мы должны выбрать подходящую двухмерную область. Какая форма при вращении вокруг своей оси, как цыпленок на вертеле, создаст сферу с диаметром 13 см?

Подключите свой внутренний 3D-принтер, и, думаю, вы обнаружите, что этот фокус проделывает полукруг.

Забавный факт про полуокружности: они полны радиусов. Забавный факт про радиусы: каждый из них является гипотенузой прямоугольного треугольника. Это означает, что координаты каждой точки полуокружности подчиняются теореме Пифагора.

После небольших алгебраических манипуляций, которые я, как и любой рачительный хозяин, замел под ковер, чтобы спрятать из виду, мы получаем соответствующий интеграл. Это будет бесконечное количество бесконечно тонких дисков. Они начинаются с нулевого радиуса, возрастают до радиуса 6,5, а затем снова уменьшаются до нуля. Совсем как сфера, проходящая через Флатландию.

Я снова скрою от вас алгебраические детали и дам вам непосредственно конечный результат. Объем таинственной сферы равен или приблизительно 1150 кубических единиц.

В двух идущих друг за другом главах мы рассчитывали объем сферы. Возможно, вы заметили общие моменты. Оба метода начинают с того, что задача делится на две части, оба предполагают бесконечное рассечение, в обоих есть забавные картинки. И тем не менее они оставляют совершенно разное послевкусие, не так ли? Я лично предпочитаю доказательство Архимеда. Оно быстрое. Оно здравое. Детали в нем хорошо подогнаны друг к другу. Это работа мастера, это искусность и даже искусство.

Что же касается подхода с «телом вращения» – я не могу сказать, что он тешит душу. После многообещающего эстетического начала (вращение! бесконечные слои!) он заканчивается несколькими строчками грубой алгебры. Это словно прогулка пешком, которая каким-то образом ведет с живописной вершины холма в терминал аэропорта. Элегантная загадка, таким образом, сводится к упражнению.

И в этом-то все дело!

Мы все не можем быть Архимедами. На самом деле статистика доказывает, что никто из нас им не является. Если мы будем полагаться на космические озарения, чтобы решить стоящие перед нами задачи, нам придется ждать тысячелетия. Чтобы что-нибудь сделать, нам нужно превратить мистику в механику, текучее в статичное, невыразимое в нечто, что можно описать.

Тела вращения полностью выражают эту мысль. Любой из нас может спокойно пройти по пути, который раньше мог проделать только Архимед. В этом вся суть математического анализа: дать системный подход к решению задач, пугающих своей сложностью. Сделать каждого из нас Архимедом на автопилоте. Огромное семейство фигур – от кубов и конусов до пирамид и фигурок Микки-Мауса – можно рассечь и изучить с помощью тел вращения.

Как бы все это могло выглядеть для нашего героя из Флатландии, неустрашимого, но несколько обескураженного Квадрата? Вспомните, в начале истории он не мог видеть третье измерение. И даже не мог представить его. Чтобы понять его рассказ о том, что представляет собой жизнь во Флатландии,

положите на какой-нибудь стол в своем Пространстве монету достоинством в один пенни и, наклонившись над столом, посмотрите на него сверху. Монета покажется вам кругом.

Приняв затем вертикальное положение, начните медленно приседать таким образом, чтобы луч вашего зрения постепенно приближался к поверхности стола (а вы сами все более и более приближались бы к состоянию обитателей Флатландии). Вы увидите, что монета перестанет казаться вам кругом и примет овальную форму. Когда же, наконец, луч вашего зрения совместится с поверхностью стола (а вы как бы станете флатландцем), то монета вообще перестанет быть овалом и покажется вам, как вы сможете убедиться, отрезком прямой.

Как трехмерные создания мы можем видеть в двух измерениях, наше поле зрения словно холст художника или экран кинотеатра. По тому же самому принципу двумерные обитатели Флатландии могут видеть в 1D. Их поле зрения – это линия горизонта, выше и ниже которой ничего нет.

Так как же тогда вы объясните третье измерение этому бедолаге? В романе все попытки Сферы кончаются ничем.

Я: Не могли бы вы, ваша милость, указать или объяснить мне, в каком направлении простирается неизвестное мне третье измерение?

Незнакомец: Я прибыл к вам из третьего измерения. Оно простирается вверх и вниз.

Я: Ваша светлость, по-видимому, хотела сказать к северу и к югу?

Незнакомец: Ничего подобного! Говоря о третьем измерении, я имел в виду направление, в котором вы не можете взглянуть, потому что у вас нет глаз сбоку.

Я: Прошу прощения, ваша светлость, но достаточно даже беглого взгляда, чтобы ваша милость могла убедиться: там, где сходятся две мои стороны, у меня расположено великолепное око.

Незнакомец: Не спорю, но для того, чтобы вы могли заглянуть в Пространство, вам необходимо иметь глаз, расположенный не на периметре, а на боку: на том месте, которое вы скорее всего назвали бы своей внутренностью. Мы в Трехмерии называем ее нашей стороной.

Я: Иметь глаз в своей внутренности! Глаз в собственном желудке! Ваша милость шутит[58].

Когда язык и интуиция подводят, остается только одно спасительное средство. Нет-нет, не горсти галлюциногенов. Я имею в виду математический анализ. Даже если Квадрат не может увидеть форму неожиданного визитера, он тем не менее может рассчитать объем незнакомца. Расчет интеграла не требует всеобъемлющей визуализации или непосредственного опыта. Нужна просто определенная квалификация.

Если есть сомнения, математика поможет.

В колледже друг рассказал мне о «Флатландии» как о книге, с помощью которой «ты ближе всего подойдешь к тому, чтобы действительно увидеть четвертое измерение». Этот переломный момент наступает в конце романа, когда Квадрат просит Сферу показать ему не только три измерения, но и четыре:

Подобно тому как вы превосходите все Фигуры, населяющие Флатландию, объединяя множество Окружностей в единое целое, должно существовать Нечто, объединяющее в себе множество Сфер в одну высшую сущность, превосходящую по своему совершенству все Тела, обитающие в Трехмерии. Мы, находясь сейчас в Пространстве, взираем на Флатландию сверху и свободно заглядываем внутрь всех предметов. Точно так же должна существовать некая более возвышенная, более чистая область…

Но Сфера отказалась принимать свое собственное лекарство.

– Что за чепуха! – закричала она. – Оставим глупые шутки!

Я должен признать, что симпатизирую Сфере. Если существует четвертое пространственное измерение, то наша трехмерная реальность составит бесконечно тонкий его ломтик. Визитер из четырехмерного мира появится из ниоткуда посередине комнаты и будет меняться в размерах, потому что мы сможем видеть только одно его поперечное сечение за раз – не само существо, а его бесконечно малый слой.

Я могу все это описать словами. Но не могу вообразить и изобразить.

Тем не менее иногда там, где не может помочь размышление, на помощь приходит математический анализ. Чтобы вычислить объем четырехмерной сферы, мне просто надо собрать бесконечную коллекцию трехмерных.

На это мне потребовалась целая страница формул и несколько твитов, которые можно назвать помощью от моих добрых интернет-приятелей. Но я сделал это.

Мои действия похожи на рассказ математика Стивена Строгаца о его собственных школьных днях:

Я был трудягой. Стиль у меня был жесткий. Я искал метод, чтобы разгрызть задачу. Если это было отвратительно, трудоемко или требовало многих часов алгебраических вычислений, я не возражал, потому что в результате честного изнурительного труда гарантированно появлялся правильный ответ. На самом деле я любил именно эту сторону математики. В ней была справедливость. Если ты правильно начал, усердно трудишься и все делаешь правильно, то может быть тяжело и утомительно, но логика убеждает тебя, что в конце ты победишь. Решение будет тебе наградой.

Для меня огромным наслаждением было видеть, как рассеивается алгебраический дым.

Именно это нам дарит математический анализ. Он подтверждает нашу веру в космическую справедливость, в то, что тяжкий труд будет вознагражден, а долгие часы утомительной работы в конце концов принесут победу. В этом случае, когда дым рассеется и вы увидите объем четырехмерной гиперсферы, это будет

Пожалуйста, обратите внимание, что единицами измерения являются метры в четвертой степени. Что это означает, я не знаю, но, зуб даю, Архимед не знал тоже. И это утешает меня.

Это глава о двухстраничном примечании, опубликованном в 1996 г. Возможно, звучит не очень понятно, так что позвольте разрешить все сомнения: это действительно загадочная история. Даже фантастическая. Примечание, о котором идет речь, затрагивает колючие, как кактус, темы из различных скучных областей – от «пустыни» введения в математический анализ до невероятных оранжерей экспериментальной литературы. Книгу «Бесконечная шутка» Дэвида Фостера Уоллеса[59], в которой появилось это самое примечание, называют «шедевром», «запретной и эзотерической», «романом о жизни Центральной Америки в последние 30 лет» и «огромным, энциклопедическим собранием всего того, что, по всей видимости, приходило в голову Уоллесу».

Мой вопрос состоит в следующем: зачем Уоллесу понадобилось насиловать свою душу и наполнять литературное произведение таким странным содержанием? Зачем посвящать две мертвые страницы среднему значению теоремы интегралов, когда в мире есть столько других интересных вещей?

Что для него значит теорема о среднем значении и чем он является для теоремы?

Несмотря на величественное название, теорема о среднем значении довольно проста. Представьте себе, что у вас есть некие количественные изменения в определенный период времени – рост, падение, падение, рост. Теорема о среднем значении утверждает, что где-то среди постоянного изменения и движения есть магическое мгновение – момент, когда значение функции равно общему среднему значению.

Возьмем, например, путешествие на автомобиле. Вы проезжаете 200 км за четыре часа, ваша скорость все время меняется. Если вы возьмете на себя труд ее посчитать, то средняя скорость получается 50 км/ч.

Теорема о среднем значении утверждает, что, по крайней мере, в одно прекрасное мгновение во время вашего путешествия вы ехали точно со скоростью 50 км/ч.

Это действительно очень простая логика. Ехали ли вы со скоростью выше 50 км/ч все четыре часа? Нет, тогда бы вы проехали больше 200 км. Ехали ли вы со скоростью ниже 50 км/ч? Снова нет, тогда бы вы проехали меньше 200 км. Была ли ваша скорость все время ниже или выше 50 км/ч и никогда не достигала этой отметки? Нет, если только вы не сидите за рулем тюнингованного DeLorean. Таким образом, мы приходим к выводу, что, по крайней мере, в один момент вы двигались точно со скоростью 50 км/ч.

Еще один пример – скажем, температура воздуха меняется в течение дня. Она повышается. Она понижается. Она возвращается к прежней отметке. Вы даже можете немного поговорить об этом, поскольку «обсуждение погоды» входит в список задач по умолчанию вашего социального программирования.

А теперь как же мы определим общее среднее значение температуры?

Чтобы найти среднее нескольких чисел, мы их складываем, а потом делим на количество данных. Если в результате трех последних тестов вы получили 70, 81 и 89[60], то ваше среднее – это их сумма (240), деленная на количество данных (3). Это дает вам 80. Но в случае с температурой мы имеем бесконечное множество данных в каждый конкретный момент дня. Чтобы суммировать их все, нам понадобится интеграл.

Заметьте, что на чертеже внизу интеграл меньше, чем прямоугольник слева, и больше, чем прямоугольник справа, точно так же как средняя температура ниже максимума, но больше минимума.

О чем говорит нам теорема о среднем значении? Просто о том, что в какой-то момент дня температура равнялась среднему значению.

Ну хватит про теорему о среднем значении. Теперь обратимся к самому Дэвиду Фостеру Уоллесу, чтобы посмотреть, что он сделал с этой маленькой простой теоремой. На одной из страниц «Бесконечной шутки» мы находим «сложную детскую игру» под названием «Эсхатон». Для нее требуется «400 теннисных мячей, таких побитых и лысых, что их больше нельзя использовать для подач». Каждый из них символизирует собой ядерную боеголовку. Игроки делятся на команды (представляющие мировых политиков), а затем получают причитающееся количество боеголовок, высчитанное с помощью теоремы о среднем значении для интегралов.

То самое примечание находится в конце книги. Именно из него мы узнаем, что для каждой нации соответствующий выборочный показатель для определения ядерного арсенала высчитывается по формуле Чем больше это число, тем выше ядерная мощь. Но вместо того, чтобы распределять теннисные мячи, обозначающие боеголовки, в соответствии с текущим значением, «Эсхатон» использует скользящий средний показатель за последние несколько лет, расчеты которого (согласно рассказчику в романе Уоллеса) требуют использования теоремы о среднем значении.

Если все вышеизложенное не имеет для вас никакого смысла, не волнуйтесь. Дело в том, что ничего из этого не имеет никакого смысла ни для кого.

Теорема о среднем значении относится к «теоремам существования». Она говорит нам о том, что в какой-то момент температура должна достичь среднего дневного показателя. Она не говорит и не может говорить о том, где или когда наступит этот момент. Теорема только указывает на «стог» времени и уверяет нас, что наша иголка находится где-то среди этого бесконечного множества мгновений.

Я несколько раз перечитал примечание Уоллеса, чтобы удостовериться, что он действительно использует теорему о среднем значении для вычислений и что это и вправду не срабатывает. Я даже не пытался обсуждать плохо выбранные статистические данные (а зачем наказывать страны за военные расходы не на ядерное оружие?) или недостоверное объяснение теоремы о среднем значении (автор настаивает, что для вычисления среднего нужны только минимум и максимум). Весь этот абзац напоминает погоню за эффектом на уровне Джуда Ванниски.

Это только усилило мое стремление найти ответ на вопрос: «Зачем, Дэвид Форест Уоллес, зачем?!»

Согласно тому, что писал сам Уоллес, математика – это нить, которая соединяет всю историю его жизни. «В детстве я выдумывал вещи, которые походят на упрощенные версии дихотомий Зенона, – однажды признался он, – и размышлял о них, пока не почувствовал себя буквально больным». Даже его способности к теннису сводились в конечном счете к математике. «Меня награждали как человека с незаурядными способностями к физической культуре, – писал Уоллес, – как чудо-мальчика, повелевающего ветром и жарой… отбивающего “атакующие свечи” с причудливыми и изысканными закрутами». Уоллес вспоминал свой родной город на Среднем Западе (Эрбана, штат Иллинойс) как гигантскую координатную плоскость:

Я вырос среди векторов, прямых и прямых, перпендикулярных прямым, сеток координат и – в масштабе горизонтов – широких кривых линий географической силы… Я мог на глаз вычертить диаграмму областей над и под этими широкими кривыми в том месте, где сходятся земля и небо, задолго до того, как дошел до чего-то формального вроде интегралов или скорости изменения. Математический анализ был буквально детской игрой.

Но, будучи студентом Амхерстского колледжа, он наткнулся на свое первое препятствие в области математики. «Однажды я чуть не провалил основной курс матана, – писал Уоллес, – и с тех пор преисполнился отвращения к традиционному высшему математическому образованию». Об этом он подробно рассказывал следующим образом:

Проблема с уроками математики в колледже, которые… практически полностью состоят из размеренного поглощения и переваривания абстрактной информации… в том, что их лежащая на поверхности неподдельная трудность может одурачить нас и заставить думать, что мы действительно что-то знаем, тогда как все, что мы «знаем» в реальности, – это абстрактные формулы и правила их использования. Во время лекций по математике очень редко говорят, имеет ли данная формула вообще какое-то значение, откуда она взялась или какова цена вопроса.

Я встречал студентов, которые разделяют это раздражение, что заставляет большинство из них искать конкретные примеры. Дэвид Фостер Уоллес остается Дэвидом Фостером Уоллесом, он бросился в противоположном направлении, к самым одурманивающим и абстрактным закоулкам этой науки. «В таких дисциплинах, как математика и метафизика, – разглагольствовал Уоллес, – есть то, что мы считаем одной из самых странных черт сознания среднего человека. Это способность постигать вещи, которые мы, строго говоря, не можем постичь». Как отметил математик Джордан Элленберг, «он влюбился в технику и аналитику».

Став профессиональным писателем, Уоллес продолжал возвращаться к обсуждению вопросов математики. В одном интервью он объяснил, что «Бесконечная шутка» повторяет структуру пользующегося дурной славой фрактала под названием «салфетка Серпинского».

Любовь Дэвида Фостера Уоллеса к математике достигает кульминации в эссе «Нечто и еще больше: компактная история бесконечности» (Everything and More: A Compact History of Infinity). Это насыщенный формулами и графиками труд в его любимой отрасли современной математики – теории бесконечности Кантора.

Если вы не поняли этого из заголовка романа «Бесконечная шутка», то Уоллес восхищался бесконечностью:

Это нечто вроде предела в попытках избежать подлинных ощущений. Возьмите одну-единственную самую распространенную и угнетающую черту этого конкретного мира – а именно, то, что все кончается, уходит и является ограниченным, – а затем абстрактно представьте нечто, не обладающее этой характеристикой.

Я читал «Нечто и еще больше…» сразу после книги Юджинии Чанг «За рамками вечности» (Beyond Infinity), и это привело к забавному наложению. Чанг – математик-исследователь – написала легкую, не отягощенную техническими подробностями научно-популярную книгу, наполненную аналогиями, в дружественной манере. Уоллес – романист – предпочел насадить непроходимые заросли сносок. И воспринимается это намного хуже. «Люди спрашивают, о ком именно думал Уоллес, когда писал, – размышлял философ Давид Папино в обзоре для The New York Times. – Если бы он убрал некоторые детали, пусть бы даже при этом пришлось рассказать меньше, чем он знает, то привлек бы гораздо больше читателей».

В этом как раз фишка Дэвида Фостера Уоллеса: он никогда, абсолютно никогда не рассказывает меньше, чем знает.

Кажется, по большей части Дэвида Фостера Уоллеса привлекали в математике именно те качества, которые отталкивают от нее других, причем, возможно, именно потому, что у других они вызывают неприязнь. «Современная математика, как пирамида, – писал он, – и ее широкое основание часто не вызывает веселья… Возможно, математика – типичный пример того, к чему сперва надо привыкнуть».

Возьмем, скажем, старшую двоюродную сестру теоремы о среднем значении: теорему о промежуточном значении. Мои студенты стараются рассматривать ее как сияющую очевидность, облаченную в одежды математического пустословия. В нормальных выражениях она говорит о том, что если в прошлом году ваш рост был 150 см, а в этом – 156 см, то где-то посередине был момент, когда ваш рост составлял 153 см.

Здесь ничего новенького.

В учебниках эта теорема представлена следующим образом: если функция f является непрерывной для всех значений х, причем а ≤ х ≤ b, а f (a) ≤ k ≤ f (b) или f (b) ≤ k ≤ f (a), то где-то существует некое значение с, такое, что a ≤ c ≤ b, а f (c) = k.

Почему целое цунами символов выражает такую несомненную вещь?

Надо сказать, что в XIX в. – том периоде, который Дэвид Фостер Уоллес рассматривал в «Нечто и еще больше…», – математиков начали занимать новые вопросы, связанные с бесконечностью. Какие суммы стремятся к разумному объяснению? А какие нет? Что мы действительно знаем и как мы это узнали? С педантичной осторожностью сообщество математиков пыталось найти пути перестройки математического анализа, обосновав его не геометрией или интуицией, а арифметическими неравенствами и точными алгебраическими положениями. Именно тогда теоремы о промежуточном значении и среднем значении вошли в моду. Если вы хотите шаг за шагом доказать каждый факт в математическом анализе, то эти теоремы необходимы.

Но неужели это единственно правильная «математика»? Неужели все более ранние поколения ученых от Архимеда и Лю Хуэя до Аньези спотыкаясь двигались к «правильным» представлениям, обладающим аналитической строгостью, как древние язычники в чистилище Данте ждали своего часа до рождения Христа?

Когда Дэвид Фостер Уоллес прославлял математику, он имел в виду один определенный раздел этой науки, появившийся на свет в XIX в. и более близкий к философии (которую Уоллес изучал в колледже), чем к геометрии, комбинаторике и т. д. Этот раздел он называл «пахлавой абстракций исполинских размеров», имея в виду сладкий вкус дерзновенных устремлений, а не его устрашающую бессмысленность для студентов, многих из которых начинает тошнить от одних только ключевых понятий. Но Уоллес щеголяет ими на протяжении всего романа, и единственная возможная цель этого – сбить с толку и произвести впечатление. Мне этот раздел тоже нравился в колледже, но с тех пор я отошел от него, ощущая, что не стал от этого беднее, ведь изысканная эстетика не все, чем может восхищаться математик.

Математика – узор, сотканный из множества нитей: формальных и интуитивных, простых и значительных, мгновенных и вечных. Люби́те ту нить, которая вам нравится. Но не принимайте ее за весь гобелен.

В старой шутке спрашивается, способен ли Господь, будучи всемогущим, создать такой тяжелый камень, который он сам не сможет поднять. В вопросе содержится теологическая ловушка. Ответите «нет», и вы недооцените способность Господа творить; скажете «да», и вы неуважительно выскажетесь о его физической силе. Это называется «парадокс» – рана, которую логика наносит сама себе. Это довод, в котором кажущиеся правильными предположения приводят с помощью такой же с виду правильной логики к совершенно идиотическим заключениям.

И если вы думаете, что теология кишит парадоксами, то подождите, пока встретитесь с математикой.

«Труба Гавриила» (или «рог Гавриила»), мой любимый парадокс в математическом анализе, получил свое название в честь архангела Гавриила. Его труба, которая передает на землю послания с небес, чудесна и ужасна, конечна и бесконечна; это связующее звено между смертным и небесным. Такое название очень подходит объекту, обладающему внутренним противоречием.

Чтобы создать трубу, вначале начертите кривую, соответствующую уравнению y =1/x. Когда расстояние по оси х растет, высота по y падает. Когда x = 2, y = ½. К тому времени, когда х добирается до 5, y падает до 1/5. И так это и продолжается вдоль всей оси.

Вскоре x становится достаточно большим, а y – совсем крошечным. Когда х равен миллиону – что соответствует примерно 10 км пройденного пути, – у падает до толщины клеточной мембраны.

К тому времени, когда х добирается до миллиарда – то есть если вы читаете эту книгу в Лос-Анджелесе, то он находится где-то около Москвы, – y составляет По моим расчетам, это половина ширины атома гелия.

Тем не менее кривая движется, так и не пересекая ось, к неисчислимому горизонту, который мы называем «бесконечность».

Теперь мы должны закрутить эту кривую вокруг оси х, чтобы, рисуя тело вращения, получить трехмерную фигуру. Эта имеющая веретенообразную форму красота – собрание неисчислимого множества дисков, каждый из которых бесконечно тонок, – и есть труба Гавриила.

Как и любой трехмерный объект, «труба» позволяет провести два вида измерений. Во-первых, мы можем измерить ее объем – то есть какое количество кубических единиц воды требуется, чтобы ее наполнить. Во-вторых, мы можем измерить площадь ее поверхности – иначе говоря, сколько рулонов оберточной бумаги потребуется, чтобы ее завернуть.

Итак, сперва объем. В физической реальности бесконечный объект не может иметь конечный объем; нам нужна труба, которая становится тоньше атома, так что даже самые лучшие моторные навыки не позволят ее удержать. Но математика располагает другим видом реальности, где такое проявление ловкости – дело обычное. Поэтому, используя стандартные методы, мы получаем интеграл который равен π. Таким образом, объем трубы Гавриила составляет 3,14 кубических единицы с поправкой в ту или иную сторону.

Теперь площадь поверхности. Интеграл получается несколько более ужасающим: Но он только немного больше, чем куда менее пугающий интеграл Оказывается, все это равно… ну, какого-то определенного числа нет. Он неограниченно растет. И поскольку площадь поверхности немного больше этого интеграла, то мы можем заключить, что площадь трубы Гавриила равна ∞.

Вот мы и оказались на пороге противоречия. У трубы Гавриила есть конечный объем, то есть вы вольны заполнить ее краской, вы это можете. Тем не менее у нее нет конечной площади поверхности: при всем желании у вас не получится ее покрасить.

Но… если вы наполните ее краской, не будет ли это значить, что каждая точка поверхности окрашена?

Как и то и другое одновременно может быть правильным?

Первым, кто исследовал эту парадоксальную фигуру, был итальянский математик XVII в. Эванджелиста Торричелли. Вместе со своими приятелями Галилеем и Кавальери он прокладывал «королевскую дорогу через математические чащи», используя новомодную на тот момент математику бесконечно малых величин. «Очевидно, – писал Кавальери, – что плоские фигуры должны пониматься как куски, сплетенные из параллельных линий, а объемные тела – как книги, состоящие из параллельных страниц».

Эти ученые были поглощены бесконечными суммами, бесконечно тонкими элементами и странными объектами, такими как труба Гавриила, которая также известна как «труба Торричелли».

Это был математический анализ, выбирающийся из своей колыбели.

В то время орден иезуитов создал достойную восхищения систему университетов по всей Европе. Это были не просто хорошие учебные заведения, это были католические школы. «Для нас, – сказал один из лидеров ордена, – уроки и научные занятия – это нечто вроде крюка, на который мы будем ловить души». В этой учебной программе математика играла главную роль. «Без сомнений, – заявил один из иезуитов по имени Клавий[61], – математические дисциплины занимают среди всех остальных первое место».

Но не просто любая математика: она должна была быть евклидовой. Евклидова геометрия развилась с помощью четкой логики от самоочевидных предположений до нерушимых заключений без единого сбоя или парадокса. «Теоремы Евклида, – говорил Клавий, – сохраняют… свою истинную чистоту и неоспоримую несомненность». Иезуиты видели у Евклида модель самого общества, где власть папы является неопровержимой аксиомой.

Что касается работы Торричелли, иезуиты не относились к числу его фанатов. Историк Амир Александер в своей книге «Бесконечно малые: как опасная математическая теория сформировала мир» (Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the World) объясняет: «Тогда как евклидова геометрия являлась строгой, чистой и неопровержимо верной, новые методы были наполнены парадоксами и противоречиями и с равной вероятностью вели как к ошибке, так и к истине». Иезуиты считали трубу Гавриила анархистской пропагандой, угрозой порядку. «У них была тоталитарная мечта о неопровержимой истине и цели, которая не оставляла места сомнениям и спорам», – говорит Александер. Как подытожил Игнатий[62], еще один иезуит того времени: «То, что кажется нам белым, черно, если так говорит Церковь».

Таким образом, папа запретил бесконечно малые. Торричелли стал математическим преступником, а труба Гавриила – интеллектуальной контрабандой.

Ирония в том, что этот парадокс не так уж трудно разрешить. Как труба Гавриила может иметь внутреннюю часть, которую можно наполнить краской, и внешнюю часть, которую нельзя покрасить? Все это зависит от того, как мы думаем об этом процессе.

Как объясняет математик Роберт Гетнер, парадокс строится на предположении о том, что «площадь поверхности» соответствует тому, что нужно покрасить. Но окрашивание не является двумерным. «Если мы планируем покрасить комнату, – пишет он, – мы не будем просить 1000 квадратных метров краски». Как и бумага, окраска трехмерна. У слоя краски есть толщина, пусть и очень маленькая.

Поэтому первый подход: позволить толщине слоя краски постепенно исчезать, становиться все тоньше и тоньше вместе с трубой Гавриила. Пользуясь этим предположением, возможно покрыть поверхность конечным количеством краски. Парадокс разрешен.

Или, если хотите, вы можете выбрать другой подход. Предположим, что для слоя краски нужна некоторая минимальная толщина. (Это больше похоже на окрашивание в физическом мире; например, краска не может лечь слоем толщиной в от размера атома.) Таким образом, двигаясь вниз по оси, труба истончается до субатомных масштабов, но со слоем краски этого не происходит. В конце концов он станет в миллиарды раз толще окрашиваемого предмета. Это возвращает нас к нашему первоначальному выводу, что трубу невозможно покрасить. Только теперь еще и невозможно наполнить ее краской, потому что в определенный момент она становится тоньше, чем самая маленькая частица краски.

Если следовать этому предположению, то трубу невозможно ни окрасить, ни наполнить краской. И снова парадокс разрешен.

Я не могу однозначно сказать, совершили ли иезуиты начала XVII в. религиозную ошибку. Но я полагаю, что с математикой они ошиблись. Парадокс – это не то, чего следует бояться, и не то, что нужно истреблять. Это повод поразмыслить, приглашение к изучению.

Парадоксы произрастают не только в отдающих плесенью закоулках теологии и математики, но также, по словам профессора в области предпринимательства Марианны Льюис, и в корпоративной обстановке. Элементы, которые «кажутся вполне логичным, если рассматривать их отдельно» – краткосрочные цели, долгосрочный прогноз, стратегический приоритет, – становятся «иррациональными, противоречивыми и даже абсурдными, если совместить их». Это не обязательно плохо. «Парадоксы дают пищу способности к творчеству, – пишет Льюис. – Понимание парадокса может содержать ключ к тому, как справиться со стратегическими затруднениями и даже стать лучше, столкнувшись с ними». Парадокс – это песчинка, которая помогает создать жемчужину теории.

Дуглас Хофштадтер, автор книги «Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда»[63], пошел дальше. «В стремлении уничтожить парадоксы любой ценой, – пишет он, – слишком много внимания уделяют плоской последовательности и логичности и слишком мало тому причудливому и замысловатому, что придает вкус жизни и математике». Парадоксы прекрасны сами по себе, а работы Эшера хороши и без краски. Или, в данном случае, с бесконечным окрашиванием.

Мое первое прикосновение к Неберущемуся Интегралу состоялось весной, когда я учился в десятом классе.

Группа выпускников собралась в коридоре. Они были вооружены ручками и покрывали плакат закорючками, подписями и выдернутыми из контекста цитатами высказываний нашего учителя физики мистера Риахи. Это был обширный коллаж, полный шуток, которых я не понимал, шуток, которые я понимал наполовину, и шуток, которые мне очень хотелось понять.

Среди всего этого хаоса я заметил необычную мешанину символов:

Я указал на нее:

– Что это?

– Это интеграл e в степени – х в квадрате, – объяснил Дэвид, не прояснив ничего.

– Так в чем же шутка? – спросил я.

– ШУТКА В ТОМ, ЧТО ОН НЕБЕРУЩИЙСЯ, – ответила Эбби, которая всегда разговаривала, словно писала большими буквами.

– А-а-а-а-а… его проверяли? Никто не смог его решить?

Они захихикали.

– АХ, НЕДОУЧКА БЕН, ТРЕТИЙ ИЗ ТРЕХ, – обратилась ко мне Эбби (так оно и было: Бен Копанс и Бен Миллер стояли передо мной в алфавитном списке). – КАКОЙ ТЫ НЕВИННЫЙ И ТРОГАТЕЛЬНЫЙ!

– Как бы то ни было, если под проверкой ты имеешь в виду «когда-либо во Вселенной», – задумчиво сказал Барт, – то да. Его проверяли. И никто не смог его решить.

– То есть это как… делить на ноль? – спросил я.

– Скорее как делать из круга квадрат, – ответил Дэвид.

– ЭТО КАК ДОЖДЬ В ДЕНЬ ТВОЕЙ СВАДЬБЫ! – уточнила Эбби. – КАК ДЕСЯТЬ ТЫСЯЧ ЛОЖЕК, КОГДА ВСЕ, ЧТО ТЕБЕ НУЖНО, – ЭТО НОЖ!

Эбби была права. Если вернуться в детство математического анализа, Иоганн Бернулли писал об угрозе неберущихся интегралов. «Иногда мы не в состоянии сказать с полной уверенностью, можем ли найти интеграл заданной величины». В XIX в. математик Жозеф Лиувилль сказал об этом с определенностью: некоторые интегралы взять нельзя. Например, или ∫ ln (lnx) dx, или У этих интегралов нет чистых решений, точнее говоря, они «неразрешимы в элементарных функциях». Соберите все синусы, все косинусы, все логарифмы и кубические корни, какие вам захочется, но ни одна из стандартных алгебраических «отмычек» никогда не подойдет к формуле. Это замок без ключа, загадка без ответа, жесткий стейк в мире 10 000 ложек.

Я смотрел на символы. Большая загогулина не значила для меня ничего, пока еще нет. «Мы начнем матан через девять месяцев, – заметил ранее мой друг Роз, – и ты знаешь, что это означает: кто-то залетел от моего графического калькулятора». Шутку Роза я понял, но шутка выпускников ускользнула от моего ума.

Перенесемся на восемь лет вперед.

Моя первая работа в качестве преподавателя заставила меня задуматься о торговле подержанными автомобилями на окраине китайского квартала Окленда. Однажды на третий год преподавания я показал своим ученикам продвинутого курса математического анализа неберущийся интеграл: ∫ e^−x2 dx. В витиеватых и напыщенных выражениях я разъяснил его нерешаемость.

– Спойлер! – выкрикнула Адриана.

Несколько студентов покачали головами.

Но Бетсайда задала мне провокационный вопрос:

– Так у него нет области под кривой?

Ага, хорошая задачка! Думаю, никто не удивился, что я был небрежен и понятия не имел, как ответить на этот вопрос. Выяснилось, что у функции e^−x2 есть чрезвычайно красивый график.

Если вы возьмете конкретную ограниченную область – скажем, от 0 до 1, или от 0,9 до 1,3, или от –1,5 до 0,5, то в самом деле найдете ответ.

Тогда почему интеграл «неберущийся»? Потому что нет хорошей формулы для определения этой площади. Наша волшебная палочка – фундаментальная теорема математического анализа, которая вычисляет интегралы, беря антипроизводные, – здесь оказывается просто бесполезным прутиком. Машите ею хоть сотню лет: никакого магического ответа так и не появится.

– Мой графический калькулятор может это сделать, – сказал Ю Ханг. – То есть, если судить по вашим словам, он умнее всех математиков в мире.

– Ну… – я закашлялся. – Он определенно быстрее аппроксимирует интегралы через суммы Римана.

Самое лучшее, что мы можем сделать с такими функциями, – это аппроксимация. Мой тон выдавал мои предрассудки. Аппроксимация – это не настоящее решение. Она приблизительная. Второразрядная. Не считается.

– А вы уверены? – подзуживал Ю Ханг. – Этот калькулятор, кажется, умнее меня.

Когда урок закончился, я выскользнул из класса через заднюю дверь, которая в стиле Нарнии вела в кабинет статистики. Ее я преподавал первый год и все время спотыкался. Все мои инстинкты были чисто математическими, все доказательства и абстракции для статистики не подходили. Я чувствовал себя так, как будто перепутал виды спорта, словно учу детей сбивать подпрыгивающим теннисным мячиком кегли.

– Средний рост взрослого мужчины в США составляет 178 см, – начал я, – а стандартное отклонение – 9 см. Как много мужчин по нашим ожиданиям могут при этом иметь рост, по крайней мере, 2,14 м?

Как и очень многое в статистике, эта задача основывается на пологом уклоне кривой нормального распределения, также известной как колоколообразная кривая[64]. Ее широко распространенная форма описывает ошибки в измерениях, диффузные частицы, показатели IQ, количество осадков, результаты большого количества подбрасываний монеты, а также, с некоторыми оговорками, рост человека. Итак, начинаем.

Шаг 1: 2,14 м – это 214 см.

Шаг 2: Это на 36 см больше среднего значения.

Шаг 3: Это четыре стандартных отклонения от среднего роста.

Шаг 4: Мы обращаемся к таблице в конце учебника и узнаем, что четыре стандартных отклонения соответствуют процентилю… Хм, в действительности таблица обрывается на 3,5 стандартных отклонениях. Упс!

Шаг 5: Извинившись, я вытаскиваю ноутбук и запускаю Excel, который может провести нас за край таблицы. Наш ответ – 0,999968. Другими словами, люди ростом 2,14 м встречаются в США с 99,9968 процентиля – приблизительно 1 на 30 000 человек.

Мы анализировали этот результат – иначе говоря, спорили об относительных преимуществах Шакила О'Нила[65] по сравнению с Яо Мином[66], – когда меня вдруг осенило, что без всякого плана или предварительного намерения я провел два следующих друг за другом и очень разных урока по одной и той же теме.

Видите ли, кривая нормального распределения, которую мы используем, выглядит так:

Это просто сглаженная версия графика функции: она сдвинута и приплюснута, но в душе остается той же самой функцией. Что означает: у нее нет интеграла. И тем не менее мы тут сидим и ее интегрируем. Каждый день. Постоянно.

Не обращая никакого внимания на невозможность, вся статистика основывается на интегрировании того, что не может быть проинтегрировано. Каждой части населения (например, тем, чей рост находится в промежутке между 178 см и 188 см) соответствует область под кривой.

Природу не волнуют формульные антипроизводные. Таблицы в учебниках, заложенные в Excel формулы, графический калькулятор в рюкзаке Ю Ханга – все эти инструменты позволяют делать хорошие численные приближения. По большей части, это все, что вам нужно. Как подытожил Альберт Эйнштейн, «наши математические затруднения Бога не беспокоят. Он интегрирует эмпирически».

Я стоял у белой доски с маркером в руке. За молнией прозрения, как всегда, последовал медленный, раскатистый гром сожаления. Я хотел распахнуть дверь, которая отделяла кабинет математического анализа от кабинета статистики. Я хотел объяснить, каким дураком я был, покаяться в своем математическом шовинизме. «Абстрактные формулы, – хотел прокричать я, – не обязательно лучше конкретной аппроксимации! Бог интегрирует эмпирически, и эта правда делает нас свободными!»

Что удержало меня, кроме того, что этим я поставлю под вопрос свое психическое здоровье или (что примерно то же самое) прерву урок химии мистера Флеминга, это мысль об ухмылке Ю Ханга. «Я же вам говорил! – съязвил бы он. – Калькуляторы умнее математиков!» Не могу сказать за всех представителей моей профессии, но в моем случае я знал, что он был прав.

И снова переместимся во времени, теперь уже в сегодняшний день.

Я сижу в моем любимом кафе, потягиваю кофе сильной обжарки и занимаюсь «сбором информации» для книги, которую вы держите в руках (то есть отлыниваю от ее написания), и тут натыкаюсь на интеграл, названный в честь Карла Гаусса, как и многие другие вещи, которых он не открывал:

Кажется, из неберущегося интеграла есть исключение. Если заданная область включает в себя всю цифровую прямую от самого дальнего конца слева до самого дальнего справа, от одного неизмеримого горизонта до его недостижимого зеркального отражения, тогда ответ найти возможно.

Это, как ни странно, квадратный корень из π.

Скопление причудливых символов (е, π, ∞) немного напоминает мне о тождестве Эйлера e^πi + 1 = 0. Таким помешанным на математике ребятам, как я, хочется расцеловать это уравнение от восхищения. Констанс Рид[67] называла его «самой знаменитой формулой в математике»; Тед Чанг[68] описывает «чувство благоговейного восхищения в тот момент, когда прикасаешься к абсолютной истине»; Кит Девлин[69] даже сравнивает уравнение с «сонетом Шекспира, который каким-то образом ухватывает саму сущность любви».

Ничего не могу поделать с собой и задаюсь вопросом: где же восторженные рукоплескания в адрес решения интеграла Гаусса? Я пишу в Twitter:

Мне нравится тождество Эйлера так же, как музыка Beatles – с робким чувством того, что, возможно, они привлекают слишком много внимания.

Но интеграл Гаусса! Посмотрите на эту красоту, ребята! Это Moody Blues[70] всех уравнений с е и π!

Это только одна проблема. На самом деле я не знаю, почему эта формула верна.

Мне нравится считать себя любопытным исследователем. Также мне доводится жить с профессиональным математиком, в чьем разуме по полочкам разложено множество знаний, которыми я не обладаю. Но – и в этом парадокс моей семейной жизни – эти точки не соединяются. Я почти никогда не прошу жену чему-то меня научить.

Возможно, у меня просто нет такой привычки. Возможно, асимметрия обучения не согласуется с динамикой брака. Возможно, я менее любопытен, чем мне кажется, или во мне больше глупой гордости. Или, может быть, за время, прошедшее с 2003 г., я перестал быть ребенком, который всегда старается понять смысл любой шутки, и стал взрослым, который притворяется, что и так все понял.

В любом случае, сегодня я спрашиваю.

Тарин улыбается, берет купон со скидкой на крем-сыр и на обратной стороне показывает мне, как решается интеграл Гаусса. Возведите все в квадрат, примените теорему Фубини; переведите в полярные координаты, и – вуаля – результат налицо. Квадратный корень из π.

– Так интеграл неберущийся, – говорю я, – за исключением одного случая, когда он таким не является.

Где-то среди 10 000 ложек затесался один нож.

– О, – выдыхает Тарин, переворачивая купон, – нам не нужен был крем-сыр?

Я встаю, чтобы проверить содержимое холодильника, и это мгновение исчезает в вечности.

● Аристотель. Физика / Пер. В. П. Карпова. – М.: Эксмо-Пресс; Харьков: Фолио, 1999.

● Борхес Х. Л. Вымышленные истории / Пер. В. С. Кулагиной-Ярцевой. – М.: Амфора, 1999. – С. 178–188.

● Evers, Liz. It’s About Time: From Calendars and Clocks to Moon Cycles and Light Years – A History. London: Michael O’Mara Books, 2013.

● Gleick, James. Time Travel: A History. New York: Vintage Books, 2017.

● Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3rd ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010.

● Mazur, Barry. “On Time (In Mathematics and Literature).” 2009. http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/time.pdf.

● Stock, St. George William Joseph. Guide to Stoicism. Tredition Classics, 2012.

● Wolfe, Thomas. Of Time and the River: A Legend of Man’s Hunger in His Youth. New York: Scribner Classics, 1999.

Мои огромные благодарности Виктору Бласьё, чьи работы («История математики» и «Интуитивный математический анализ бесконечно малых величин» на IntellectualMathematics.com) вдохновили меня на эту главу и помогли ее сформировать. Как он указывает, тот способ, который я избрал для демонстрации доказательства Ньютона – вначале предположить, что закон обратных квадратов выполняется, а затем сделать вывод об орбитальном периоде Луны, – это что-то вроде перевернутой наоборот версии оригинала Ньютона.

«Орбитальный период, разумеется, известен, – объясняет Бласьё, – а загадкой является то расстояние, на которое Луна падает за одну секунду, – именно это нам нужно узнать с помощью косвенных рассуждений, поскольку нет никакого способа измерить его экспериментально. Это согласуется с законом обратных квадратов (который тут же независимо подтверждается предсказанием эллиптических орбит планет)».

● Connor, Steve. “The Core of Truth behind Sir Isaac Newton’s Apple.” Independent, January 18, 2010. https://www.independent.co.uk/news/science/the-core-of-truth-behind-sir-isaac-ewtons-apple-1870915.html.

● Epstein, Julia L. “Voltaire’s Myth of Newton.” Pacific Coast Philology 14 (October 1979): 27–33.

● Gleick, James. Isaac Newton. New York: Vintage Books, 2004.

● Gregory, Frederick. “Newton, the Apple, and Gravity.” Department of History, University of Florida, 1998. http://users.clas.ufl.edu/fgregory/Newton_apple.htm.

● Gregory, Frederick. “The Moon as Falling Body.” Department of History, University of Florida, 1998. http://users.clas.ufl.edu/fgregory/Newton_moon2.htm.

● Keesing, Richard. “A Brief History of Isaac Newton’s Apple Tree.” University of York, Department of Physics. https://www.york.ac.uk/physics/about/newtonsappletree/.

● Moore, Alan. “Alan Moore on William Blake’s Contempt for Newton.” Royal Academy, December 5, 2014. https://www.royalacademy.org.uk/article/william-blake-isaac-newton-shmolean-oxford.

● Voltaire. Letters on England. Translated by Henry Morley. Transcribed from the 1893 Cassell & Co. edition. https://www.gutenberg.org/files/2445/2445-h/2445-h.htm.

* Ницше Ф. Об истине и лжи во вненравственном смысле // Ницше Ф. О пользе и вреде истории для жизни. Сумерки кумиров, или Как философствовать молотом. О философах. Об истине и лжи во вненравственном смысле. – Минск: Харвест, 2003. – С. 356.

● Berkeley, George. The Analyst, edited by David R. Wilkins, 2002. Based on the original 1734 edition. https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.pdf.

● Frost, Robert. “Education by Poetry.” Amherst Graduates’ Quarterly (February 1931). http://www.en.utexas.edu/amlit/amlitprivate/scan/edbypo.html.

● Atiyah, Michael. “The Discrete and the Continuous from James Clerk Maxwell to Alan Turing.” Лекции, представленные на Пятом ежегодном форуме лауреатов премии Гейдельберга 29 сентября 2017 г.

● Bardi, Jason Socrates. The Calculus Wars: Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time. New York: Basic Books, 2007.

● Mazur, Barry. “The Language of Explanation.” Essay written for the University of Utah Symposium in Science and Literature, November 2009. http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/Utah.3.pdf.

● Wolfram, Stephen. “Dropping In on Gottfried Leibniz.” In Idea Makers: Personal Perspectives on the Lives and Ideas of Some Notable People. Champaign, IL: Wolfram Media, 2016. http://blog.stephenwolfram.com/2013/05/dropping-in-on-gottfried-leibniz/.

Мои благодарности профессору Татему за его любезный ответ на мой запрос по электронной почте, прояснивший, что экстраполяция и в самом деле была шуточной.

● Элленберг Дж. Как не ошибаться. Сила математического мышления / Пер. Яцюк Н.; науч. ред. Гельфанд М. С. – М.: Манн, Иванов и Фербер, 2017.

● Tatem, Andrew J., Carlos A. Guerra, Peter M. Atkinson, and Simon I. Hay. “Momentous Sprint at the 2156 Olympics?” Nature 431, no. 525 (September 30, 2004).

● Твен М. Собр. соч. в 12 т. Т. 4 – Жизнь на Миссисипи / Пер. Р. Райт-Ковалевой – М.: Государственное издательство художественной литературы, 1960.

Огромное спасибо Дэну Андерсону и приложению Desmos, которое я использовал для создания траекторий движения велосипедов.

● Bender, Edward A. “Sherlock Holmes and the Bicycle Tracks.” University of California, San Diego. http://www.math.ucsd.edu/~ebender/87/bicycle.pdf.

● Дойль, Артур Конан. Приключения Шерлока Холмса. Возвращение Шерлока Холмса / Пер. Н. Волжиной. – М.: АСТ, 2018. С. 404–441.

● Дойль, Артур Конан. Долина ужаса: Новые приключения Шерлока Холмса / Пер. А. Москвина. – М.: Кооператив АВИС: Прометей, 1990.

● Duchin, Moon. “The Sexual Politics of Genius.” University of Chicago, 2004. https://mduchin.math.tufts.edu/genius.pdf.

● O’Connor, J. J., and E. F. Robertson. “James Moriarty.” School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Moriarty.html.

● Roberts, Siobhan. Genius at Play: The Curious Life of John Horton Conway. New York: Bloomsbury, 2015.

Выражаю благодарность Ребекке Джекман, моей школьной учительнице химии, которая не несет никакой ответственности за любые ошибки в моем рассказе об автокаталитических реакциях, но именно ей я обязан теми местами, где ошибок не сделал.

● Jones, Jamie. “Models of Human Population Growth.” Monkey’s Uncle: Notes on Human Ecology, Population, and Infectious Disease, April 7, 2011. http://monkeysuncle.stanford.edu/?=933. Джонс обеспечил математическую модель «механистическое против феноменологического».

● Brown, Kevin. “The Limit Paradox.” Math Pages. https://www.mathpages.com/home/kmath063.htm. Я считаю, что мнение профессора Брауна многое проясняет и передает саму суть вопроса. Мне также нравится, что нигде на сайте его имя не появляется, что создает атмосферу «голоса самой математики».

● Dunham, William. The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008. Я наткнулся на книгу Данхэма в январе 2016 г. Его мысли об истории анализа несколько лет переваривались в моей голове. Эта книга, как говорится, настоящая жемчужина.

● Blåsjö, Viktor. “Attitudes toward Intuition in Calculus Textbooks.” Paper forthcoming, 2019. В этой статье Бласьё выступает против привычного рассмотрения функции Вейрштрассе как «смерти интуиции». Стоит прочитать, если вас интересует история.

● Dunham, William. The Calculus Gallery.

● Fowler, Michael. “Brownian Motion.” University of Virginia, 2002. http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm.

● Poincaré, Henri. “L’Oeuvre Mathématique de Weierstrass.” Acta Mathematica 22 (1899): 1–18. https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.acta/1485882041. Я не говорю по-французски, но, к счастью, этим языком владеет Google Translate.

● Yeo, Dominic. “Remarkable Fact about Brownian Motion #1: It Exists.” Eventually Almost Everywhere. January 22, 2012. https://eventuallyalmosteverywhere.wordpress.com/2012/01/22/remarkable-fact-about-brownian-motion-1-it-exists/.

● Roberts, Siobhan. King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry. New York: Walker, 2006. Примечательна цитатами и проникновениями в историю геометрического мышления (и его разрушения в руках этого ослепительного чудища Бурбаки).

● St. Clair, Margaret. “Presenting the Author.” Fantastic Adventures, November 1946: 2–5.

● St. Clair, Margaret. “Aleph Sub One,” Startling Stories, January 1948: 62–69. Признаюсь, что в рассказе разложение на множители (a + b) n происходит только для n = 2, 3 и 4; идея применить эти разложения для формул производных – моя собственная бесцеремонная экстраполяция.

● Thompson, Silvanus P. Calculus Made Easy: Being a Very-Simplest Introduction to Those Beautiful Methods of Reckoning Which Are Generally Called By the Terrifying Names of the Differential Calculus and the Integral Calculus. 2nd ed. London: Macmillan, 1914. Книга, доступная бесплатно онлайн, еще прекраснее, чем ее заглавие. Обратите особое внимание на вторую главу «О различных степенях малого». https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf.

● Lendering, Jona. “Carthage.” Livius.org: Articles on Ancient History. http://www.livius.orgarticles/place/carthage/.

● Lendering, Jona. “The Founding of Carthage.” Livius.org: Articles on Ancient History. http://www.livius.org/sources/content/the-founding-of-carthage/.

● Вергилий. Буколики. Георгики. Энеида / Пер. с латинского С. А. Ошерова; под ред. Ф. А. Петровского. – М.: Художественная литература, 1979. – C. 500–504.

● Bostrom, Nick. “Ethical Issues in Advanced Artificial Intelligence.” https://nickbostrom.com/ethics/ai.html.

● Chiang, Ted. “Silicon Valley Is Turning into Its Own Worst Fear.” BuzzFeed News, December 18, 2017. https://www.buzzfeednews.com/article/tedchiang/the-real-danger-to-civilization-isnt-ai-its-runaway.

● Fry, Hannah. Hello World: Being Human in the Age of Algorithms. New York: W. W. Norton, 2018.

● Уитмен У. Листья травы / Пер. К. Чуковского. – М.: Текст, 2016.

● Yudkowsky, Eliezer. “There’s No Fire Alarm for Artificial General Intelligence.” Machine Intelligence Research Institute, October 13, 2017. https://intelligence.org/2017/10/13/fire-alarm/.

● Yudkowsky, Eliezer. “Artificial Intelligence as a Positive and Negative Factor in Global Risk.” In Global Catastrophic Risks, edited by Nick Bostrom and Milan M. C´irkovic´, 308–345. New York: Oxford University Press, 2008. http://intelligence.org/files/AIPosNegFactor.pdf.

● Zunger, Yonatan. “The Parable of the Paperclip Maximizer.” Hacker Noon, July 24, 2017. https://hackernoon.com/the-parable-of-the-paperclip-maximizer-3ed4cccc669a.

● Appelbaum, Binyamin. “This Is Not Arthur Laffer’s Famous Napkin.” New York Times, October 13, 2017. https://www.nytimes.com/2017/10/13/us/politics/arthur-laffer-napkintax-curve.html.

● Bernstein, Adam. “Jude Wanniski Dies; Influential Supply-Sider.” Washington Post, August 31, 2005. http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2005/08/30/AR2005083001880.html.

● Chait, Jonathan. “Prophet Motive.” New Republic, March 30, 1997. https://newrepublic.com/article/93919/prophet-motive.

● Chait, Jonathan. “Flight of the Wingnuts: How a Cult Hijacked American Politics.” New Republic, September 10, 2007. http://www.wright.edu/~tdung/How_supply_eco_hijacked_US_Politics.pdf.

● Gardner, Martin. “The Laffer Curve.” In Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments, 257–71. New York: W. H. Freeman, 1986.

● Laffer, Arthur. “The Laffer Curve: Past, Present, and Future.” Heritage Foundation, June 1, 2004. https://www.heritage.org/taxes/report/the-laffer-curve-past-present-and-future.

● “Laffer Curve.” Chicago Booth: IGM Forum. June 26, 2012. http://www.igmchicago.org/surveys/laffer-curve. Цитируются слова Остана Гулсби, Бенгта Холмстрома, Кеннета Джадда, Анил Кашиап и Ричарда Телера.

● «Салфетка с кривой Лаффера». Национальный музей американской истории. http://americanhistory.si.edu/collections/search/object/nmah_1439217.

● Miller, Stephen. “Jude Wanniski, 69, Provocative Crusader for Supply-Side Economics.” New York Sun, August 31, 2005. https://www.nysun.com/obituaries/jude-wanniski-69-provocative-crusader-for-supply/19386/.

● Moore, Stephen. “The Laffer Curve Turns 40: The Legacy of a Controversial Idea.” Washington Post, December 26, 2014. https://www.washingtonpost.com/opinions/the-laffercurve-at-40-still-looks-good/2014/12/26/4cded164-853d-11e4-a702-a31ff4ae98e_story.html.

● Oliver, Myrna. “Jude Wanniski, 69; Journalist and Political Consultant Pushed Supply-Side Economics.” Los Angeles Times, August 31, 2005. http://articles.latimes.com/2005/aug/31/local/me-wanniski31.

● «Сто самых великих документальных произведений столетия». National Review. 3 мая 1999 г. https://www.nationalreview.com/1999/05/non-fiction-100/.

● Shields, Mike. “The Brain behind the Brownback Tax Cuts.” Kansas Health Institute News Service, August 14, 2012. https://www.khi.org/news/article/brain-behindbrownback-tax-cuts.

● Starr, Roger. “The Way the World Works, by Jude Wanniski.” Commentary, September 1978. https://www.commentarymagazine.com/articles/the-way-the-worldworks-by-jude-wanniski/.

● Wanniski, Jude. “The Mundell-Laffer Hypothesis – a New View of the World Economy.” Public Interest 39 (1975) 31–52. https://www.nationalaffairs.com/storage/app/uploads/public/58e/1a4/be4/58e1a4be4e900066158619.pdf.

● Wanniski, Jude. “Taxes, Revenues, and the ‘Laffer Curve.’” Public Interest 50 (1978): 3–16. https://www.nationalaffairs.com/storage/app/uploads/public/58e/1a4/c54/58e1a4c549207669125935.pdf.

● Моя огромная благодарность профессору Тиму Пеннингсу за то, что он уделил свое время (а также поделился газетными вырезками) – таким образом появилась эта глава. Рассказать историю Элвиса – большая честь для меня и моя почетная обязанность.

● Bolt, Michael, and Daniel C. Isaksen. “Dogs Don’t Need Calculus.” College Mathematics Journal 41, no. 10 (January 2010): 10–16. https://www.maa.org/sites/default/files/Bolt2010.pdf.

● “CNN Student News Transcript: September 26, 2008.” http://www.cnn.com/2008/LIVING/studentnews/09/25/transcript.fri/index.html.

● Dickey, Leonid. “Do Dogs Know Calculus of Variations?” College Mathematics Journal 37, no. 1 (January 2006): 20–23. https://www.maa.org/sites/default/files/Dickey-CMJ-2006.pdf.

● “Do Dogs Know Calculus? The Corgi Might.” National Purebred Dog Day, March 15, 2016. https://nationalpurebreddogday.com/dogs-know-calculus-corgi-knows/.

● Minton, Roland, and Timothy J. Pennings. “Do Dogs Know Bifurcations?” College Mathematics Journal 38, no. 5 (November 2007): 356–61. https://www.maa.org/sites/default/iles/pdf/upload_library/22/Polya/minton356.pdf.

● Pennings, Timothy J. “Do Dogs Know Calculus?” College Mathematics Journal 34, no. 3 (May 2003): 178–82. https://www.jstor.org/stable/3595798.

● Perruchet, Pierre, and Jorge Gallego, “Do Dogs Know Related Rates Rather Than Optimization?” College Mathematics Journal 37, no. 1 (January 2006): 16–18. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/cmj37-1-016-018.pdf.

● Thurber, James. Thurber’s Dogs: A Collection of the Master’s Dogs, Written and Drawn, Real and Imaginary, Living and Long Ago. New York: Simon & Schuster, 1955.

● Арнольд В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. – М.: Наука, 1989. – (Современная математика для студентов).

● Bardi, Jason Socrates. The Calculus Wars.

● Goethe, Norma B.; Philip Beeley, and David Rabouin, eds. G. W. Leibniz, Interrelations between Mathematics and Philosophy. New York: Springer, 2015.

● Grossman, Jane, Michael Grossman, and Robert Katz. The First Systems of Weighted Differential and Integral Calculus. Rockport, MA: Archimedes Foundation, 1980. Цитата из Гаусса находится на странице 187.

● Кафка Ф. Избранное: Сборник: Пер. с нем. / Сост. Е. Кацевой; предисл. Д. Затонского. – М.: Радуга, 1989.

● Wolfram, Stephen. “Dropping In on Gottfried Leibniz.”

● Паскаль Б. Мысли / Пер. с фр., вступ. статья, коммент. Ю. А. Гинзбург. – М.: Изд-во имени Сабашниковых, 1995. – С. 132.

● Dauben, Joseph W. “Chinese Mathematics.” In The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, edited by Victor Katz, 186–384. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007.

● Донн Дж. Прощание, запрещающее грусть / Пер. И. Бродского. (http://litcult.ru/lyrics.ljubimie-stihi/91).

● Hidetoshi, Fukagawa, and Tony Rothman. Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008.

● Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock.

● Ken’ichi, Sato. “Chapter 2: Seki Takakazu.” In Japanese Mathematics in the Edo Period. National Diet Library of Japan, 2011. http://www.ndl.go.jp/math/e/s1/2.html.

● Strogatz, Steven. The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity. New York: Mariner Books, 2013.

● Шимборска В. Число Пи. https://antipodes.org.au/pr_pi_61.html.

● Берлин И. История свободы. Россия / Предисл. А. Эткинда. – М.: Новое литературное обозрение, 2001.

● Dirda, Michael. “If the World Could Write…” Washington Post. October 28, 2007. http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2007/10/25/AR2007102502856.html.

● Толстой Л. Н. Война и мир. Т. 3, 4. – М.: Художественная литература, 1983.

● Corrigan, Maureen. Leave Me Alone, I’m Reading: Finding and Losing Myself in Books. New York: Random House, 2005.

● Dunham, William. The Calculus Gallery.

● Hamill, Pete. “A New York Writer’s Take on How His City Has Changed,” National Geographic, November 15, 2015. https://www.nationalgeographic.com/new-york-city-skylinetallest-midtown-manhattan/article.html.

● Lindner, Christoph. “New York Vertical: Reflections on the Modern Skyline.” American Studies 47, no. 1 (Spring 2006): 31–52. https://core.ac.uk/download/pdf/148648368.pdf.

● Айн Рэнд. Источник. В 2 т. – М.: Альпина Паблишер, 2020.

● Knill, Oliver. “Some Fundamental Theorems in Mathematics.” Harvard University. http://www.math.harvard.edu/~knill/graphgeometry/papers/fundamental.pdf.

● Mazzotti, Massimo. The World of Maria Gaetana Agnesi, Mathematician of God. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2007.

● Navarro, Joaquin. “Women in Maths: From Hypatia to Emmy Noether.” In Everything Is Mathematical. Barcelona: RBA Coleccionables, 2013.

● Ouellette, Jennifer. The Calculus Diaries: How Math Can Help You Lose Weight, Win in Vegas, and Survive a Zombie Apocalypse. New York: Penguin Books, 2010.

Мои благодарности Инне Захаревич за полезный и приятный обмен письмами.

● Фейнман Р. Ф. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! / Пер. с англ. С. Б. Ильина. – М.: АСТ, 2014.

● Gaither, Carl C. and Alma E. Cavazos-Gaither, eds. Gaither’s Dictionary of Scientific Quotations. New York: Springer Science & Business Media, 2008.

● Gleick, James. Genius: The Life and Science of Richard Feynman. New York: Pantheon Books, 1992.

● Ouellette, Jennifer. The Calculus Diaries.

● Ury, Logan R. “Burden of Proof.” Harvard Crimson. December 6, 2006. https://www.thecrimson.com/article/2006/12/6/burden-of-proof-at-1002-am/.

● Zakharevich, Inna. “Another Derivation of Euler’s Integral Formula.” Reported by Noam D. Elkies. Harvard University. http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/innaz.pdf.

Моя огромнейшая благодарность Полу Рамонду, студенту докторантуры по физике, который консультировал меня по космологии по Skype. Все допущенные ошибки – целиком на моей совести.

● Эйнштейн А. К космологической проблеме общей теории относительности // Эйнштейн А. Собрание научных трудов в 4 т. Т. 2. Работы по теории относительности 1921–1955 / Под ред. И. Е. Тамма, Я. А. Смородинского, Б. Г. Кузнецова. – М.: Издательство «Наука», 1966. – Серия «Классики науки». – С. 349–362.

● Harvey, Alex, “The Cosmological Constant.” New York University, November 23, 2012. https://arxiv.org/pdf/1211.6337.pdf.

● Isaacson, Walter. Einstein.

● Janzen, Daryl. “Einstein’s Cosmological Considerations.” University of Saskatchewan. February 13, 2014. https://arxiv.org/pdf/1402.3212.pdf.

● Munroe, Randall. “The Space Doctor’s Big Idea.” New Yorker, November 18, 2015.

● Ohanian, Hans. Einstein’s Mistakes: The Human Failings of Genius. New York: W. W. Norton & Company, 2008.

● O’Raifeartaigh, C., and B. McCann. “Einstein’s Cosmic Model of 1931 Revisited: An Analysis and Translation of a Forgotten Model of the Universe.” Waterford Institute of Technology. https://arxiv.org/ftp/arxiv/ papers/1312/1312.2192.pdf.

● O’Raifeartaigh, Cormac, Michael O’Keeffe, Werner Nahm, and Simon Mitton. “Einstein’s 1917 Static Model of the Universe: A Centennial Review.” https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1701/1701.07261.pdf.

● Rovelli, Carlo. Seven Brief Lessons on Physics. New York: Riverhead Books, 2016.

● Straumann, Norbert. “The History of the Cosmological Constant Problem.” Institute for Theoretical Physics, University of Zurich, August 13, 2001. https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0208027.pdf.

● Łaba, Izabella. “The Mathematics of Wheel Reinvention.” The Accidental Mathematician. January 18, 2016. https://ilaba.wordpress.com/2016/01/18/the-mathematics-ofwheel-reinvention/.

● Письма в журнал Diabetes Care, № 10 (октябрь 1994). Среди процитированных авторов были Ральф Бендер, Томас Волевер, Джейн Монако, Рэнди Андерсон и Мэри Тай.

● Medical Researcher Discovers Integration, Gets 75 Citations.” An American Physics Student in England. March 19, 2007. https://fliptomato.wordpress.com/2007/03/19/medical-researcher-discovers-integration-gets-75-citations/.

● Ossendrijver, Mathieu. “Ancient Babylonian Astronomers Calculated Jupiter’s Position from the Area under a Time-Velocity Graph.” Science 351, no. 6272 (January 29, 2016): 482–84.

● Tai, Mary. “A Mathematical Model for the Determination of Total Area under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves.” Diabetes Care 17, no. 2 (February 1994): 152–54.

● Trefethen, Lloyd N. “Numerical Analysis.” In Princeton Companion to Mathematics, edited by Timothy Gowers, June Barrow-Green, and Imre Leader. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008. http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf.

● Wolever, Thomas. “How Important Is Prediction of Glycemic Responses?” Diabetes Care 12, no. 8 (September 1989): 591–93.

● Бентам И. Введение в основания нравственности и законодательства. – М.: РОССПЭН, 1998. – (История политической мысли).

● Bradbury, Ray. Bradbury Speaks: Too Soon From the Cave, Too Far from the Stars. New York: William Morrow, 2006.

● Dickinson, Emily. “Bound – a Trouble.” (No. 269.) https://en.wikisource.org/wiki/Bound_ttps://en.wiki.

● Фрост Р. Чем счастье короче, тем ярче / Пер. Н. Голя. Источник: https://www.stihi.ru/2010/09/18/8591.

● Jevons, William Stanley. “Brief Account of a General Mathematical Theory of Political Economy.” Journal of the Royal Statistical Society, London XXIX (June 1866): 282–87. https://www.marxists.org/reference/subject/economics/jevons/mathem.htm.

● Kahneman, Daniel, Barbara L. Fredrickson, Charles A. Schreiber, and Donald A. Redelmeier. “When More Pain Is Preferred to Less: Adding a Better End. Psychological Science 4, no. 6 (November 1993): 401–5.

● Mill, John Stuart. Utilitarianism (edited by George Sher). Indianapolis: Hackett Publishing Co., 2002. Page 10.

● Singer, Peter. Animal Liberation: Updated Edition. New York: Harper Perennial, 2009.

* Здесь обыгрывается словосочетание «head crimes» – «главные» или «головные преступления» как «преступления голов». – Прим. ред.

● Архимед. Сочинения / Пер. и вступ. статья И. Н. Веселовского, перевод арабских текстов Б. А. Розенфельда. – М.: Физматгиз, 1962.

● Brown, Kevin. “Archimedes on Spheres and Cylinders.” Math Pages. https://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm.

● Leibniz, Gottfried Wilhelm Freiherr, and Antoine Arnauld. The Leibniz-Arnauld Correspondence. New Haven, CT: Yale University Press, 2016.

● Lockhart, Paul. Measurement. Cambridge, MA: Belknap Press, 2012.

● Плутарх. Сравнительные жизнеописания: В 3 т. / Изд. подготовили С. С. Аверинцев, М. Л. Гаспаров, С. П. Маркиш; отв. ред. С. С. Аверинцев. – М.-Л.: Издательство АН СССР, 1961–1964. – (Литературные памятники). (2-е изд., испр. и доп. – Сравнительные жизнеописания: В 2 т. – М.: Наука, 1994.)

● Polster, Burkard. Q. E. D.: Beauty in Mathematical Proof. New York: Bloomsbury, 2004.

● Полибий. Всеобщая история / Отв. ред. А. Я. Тыжов. (Серия «Историческая библиотека»). – СПб.: Ювента, 1994–1995.

● Rorres, Chris. “Death of Archimedes: Sources.” New York University. https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Death/Histories.html.

● Sharratt, Michael. Galileo: Decisive Innovator. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1994. P. 52.

● Whitehead, Alfred North. An Introduction to Mathematics. New York: Henry Holt and Company, 1911.

Спасибо моим друзьям из Twitter Бену Блам-Смиту (@benblunsmith) и Майку Лоулеру (@mikeandallie) за помощь с вычислением объема четырехмерной сферы.

● Эббот Э., Бюргер Д. Флатландия. Сферландия / Пер. Ю. А. Данилова. – СПб.: Амфора, 2015. Цит. по: https://e-libra.ru/read/465581-flatlandiya-sferlandiya.html.

● Strogatz, Steven. The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2009.

● Арнольд В. И. О преподавании математики // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. Вып. 1 (319).

● Cheng, Eugenia. Beyond Infinity: An Expedition to the Outer Limits of Mathematics. New York: Basic Books, 2017.

● Элленберг Дж. Как не ошибаться. Сила математического мышления / Пер. Н. Яцюк; науч. ред. М. С. Гельфанд – М.: Манн, Иванов и Фербер, 2017.

● Kakutani, Michiko. “A Country Dying of Laughter. In 1,079 Pages.” New York Times, February 13, 1996. https://www.nytimes.com/1996/02/13/books/books-of-the-times-acountry-dying-of-laughter-in-1079-pages.html.

● Max, Daniel T. Every Love Story is a Ghost Story: A Life of David Foster Wallace. New York: Viking, 2012.

● McCarthy, Kyle. “Infinite Proofs: The Effects of Mathematics on David Foster Wallace.” Los Angeles Review of Books, November 25, 2012. https://lareviewofbooks.org/article/infinite-proofs-the-effects-of-mathematics-on-david-foster-wallace/.

● Papineau, David. “Room for One More.” New York Times, November 16, 2003. http://www.nytimes.com/2003/11/16/books/room-for-one-more.html.

● Scott, A. O. “The Best Mind of His Generation.” New York Times, September 20, 2008. https://www.nytimes.com/2008/09/21/weekinreview/21scott.html.

● Wallace, David Foster. “Tennis, Trigonometry, Tornadoes: A Midwestern Boyhood.” Harper’s Magazine, December 1991.

● Wallace, David Foster. “Rhetoric and the Math Melodrama.” Science 290, no. 5500 (December 22, 2000): 2263–67.

● Wallace, David Foster. Everything and More: A Compact History of Infinity. New York: W. W. Norton, 2003.

● Alexander, Amir. Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. New York: Farrar, Straus and Giroux, 2014.

● Cucić, Dragoljub. “Types of Paradox in Physics.” Regional Centre for Talents Mihajlo Pupin. https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0912/0912.1864.pdf.

● Gethner, Robert M. “Can You Paint a Can of Paint?” College Mathematics Journal 36, no. 4 (November 2005): 400–402.

● Hofstadter, Douglas. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Basic Books, 1979.

● Smith, Wendy, and Marianne Lewis. “Leadership Skills for Managing Paradoxes.” Industrial and Organizational Psychology 5, no. 2 (June 2012).

Мои благодарности Тарин Флок за то, что она провела меня через доказательство интеграла Гаусса.

● Chiang, Ted. Stories of Your Life and Others. New York: Tom Doherty Associates, 2002.

● Oliva, Philip B. Antioxidants and Stem Cells for Coronary Heart Disease. Singapore: World Scientific Publishing, 2014. Page 534.