Все права защищены.

Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Рис. 1. Иллюстрация, как логистическая регрессия дает оценки α = 1,16 и β = 1,25

Рис. 2. Иллюстрация теоремы Байеса

Рис. 3. Нормальное распределение

Рис. 4. Как предположение о марковости может оценивать передачи в футболе

Рис. 5. Парадокс дружбы для четырех участников

Рис. 6. Как меняется со временем отношение к трем товарам

Рис. 7. Иллюстрация к вычислению корреляции между Кайли и косметикой

Рис. 8. Как отслеживающая переменная отслеживает вознаграждение

Рис. 9. Как обучается нейронная сеть

Рис. 10. Иллюстрация сортировки слиянием и алгоритма Дейкстры

Существует ли секретная формула обретения богатства? Или счастья? Или популярности? Или уверенности в себе и здравомыслия?

Если вы просматриваете книги в местном магазине и выбрали эту или только что щелкнули по кнопке «Заглянуть» в онлайн-магазине, то знайте: есть множество заголовков, которые предлагают вам какую-нибудь формулу для успеха в жизни.

Мари Кондо советует убраться. Шерил Сэндберг – не бояться действовать. Джордан Питерсон призывает выпрямиться. Брене Браун – быть уязвимыми[1]. Вам говорят, что вам надо, пес раздери, успокоиться; прекратить делать вон ту фигню, забить на всё, не быть лохом и извлекать пользу из каждого чертова момента в жизни. Нужно рано вставать, заправлять постель, расчищать путь, меньше делать, больше запоминать, избавляться от хлама в голове, добиваться целей, взращивать силу воли, писать формулы счастья[2], «поступать как женщина, думать как мужчина»[3]. Есть формулы любви, богатства, план успеха и пять (или восемь, или двенадцать) правил уверенности в себе. Есть даже, видимо, чудо-уравнение, которое обещает сделать невозможные цели неизбежными[4].

Эти советы парадоксальны. Если бы все было так просто, если бы существовали несложные формулы для получения всего, чего мы хотим от жизни, то откуда же все эти книги и журналы, заполненные нравоучениями (зачастую противоречивыми)? Почему так много воодушевляющих телешоу и выступлений на конференциях TED с мотивационными монологами? Можно же просто сформулировать уравнения, дать несколько примеров, как они работают, и закрыть всю индустрию самосовершенствования и правильного мышления. Если здесь все так «математично», аксиоматично, почему не дать ответ прямо сейчас?

Количество предлагаемых решений жизненных проблем растет, и все труднее поверить, что есть одна формула для успеха (или даже несколько). Может, на самом деле нет простого лекарства от всех проблем, что ставит перед нами жизнь?

Я хочу, чтобы вы подумали о другой возможности – той, о которой повествует книга. Я расскажу историю о замечательном обществе людей, взломавших этот код. Они обнаружили несколько уравнений (десять), которые могут принести успех, популярность, богатство, уверенность в себе и здравомыслие. Они хранят секрет, пока остальные ищут ответы.

Это тайное общество было с нами столетиями. Его члены передавали свои знания из поколения в поколение. Они занимали высокие посты на государственной службе, в финансовой сфере, в академических кругах, а с недавнего времени – в технологических компаниях. Они живут среди нас, незримо, но активно консультируя нас, а иногда и контролируя. Они богаты, счастливы и уверены в себе. Они открыли секреты, которых так жаждут остальные.

В книге Дэна Брауна «Код да Винчи» криптограф Софи Невё при расследовании убийства своего деда обнаруживает какой-то математический код. Она знакомится с профессором Робертом Лэнгдоном, который открывает ей, что ее дед был главой тайного общества Приорат Сиона, где мир понимается через единственное число – золотое сечение (φ ≈ 1,618).

«Код да Винчи» – выдумка, но тайное общество, которое я изучал в рамках этой книги, имеет много общего с описанным Брауном. Его тайны зашифрованы в коде, который мало кто понимает до конца, а его члены общаются с помощью загадочных документов. Общество уходит корнями в христианство, его раздирают внутренние моральные сражения и конфликты. Но, как мы вскоре узнаем, оно во многом отличается от Приората Сиона. В частности, в нем нет ритуалов. Именно поэтому его гораздо труднее обнаружить, но его деятельность повсеместна. И оно невидимо для тех, кто снаружи.

Но откуда о нем знаю я? Ответ очень прост. Я в нем состою. Двадцать лет я участвовал в его работе, все более тяготея к его внутреннему кругу. Изучал работы этого общества и применял его уравнения на практике. На своем опыте ощутил успех, который может дать доступ к его коду. Работал в ведущих университетах мира и получил должность профессора прикладной математики за день до своего тридцать третьего дня рождения. Решал научные задачи в самых разных областях – от экологии и биологии до политологии и социологии. Консультировал людей из правительства, из области спорта, азартных игр, финансистов и специалистов по искусственному интеллекту. И я счастлив – отчасти благодаря своему успеху, но в основном, полагаю, из-за того, что секреты, которые узнал, сформировали мое мышление. Эти уравнения сделали меня лучше: сбалансировали мое мировоззрение и помогли понимать действия других.

Членство в клубе дало мне много знакомств с единомышленниками. С такими людьми, как Мариус и Ян – молодые профессиональные игроки, получающие выгоду на азиатских рынках ставок; Марк, микросекундные расчеты которого дают прибыль от небольших неэффективностей в ценах акций. Я работал с аналитиками футбольного клуба «Барселона», изучавшими, как Лионель Месси и компания контролируют поле. Я встречался с техническими экспертами, работающими в Google, Facebook, Snapchat и Cambridge Analytica, которые управляют нашими соцсетями и создают будущий искусственный интеллект. Я лично наблюдал, как исследователи Моа Бёрселл, Николь Нисбетт и Виктория Спейсер используют уравнения, чтобы обнаружить дискриминацию, понять наши политические дискуссии и сделать мир лучше. Я учился у старшего поколения – например, у 94-летнего профессора Оксфорда сэра Дэвида Кокса, открывшего код, на котором построено это тайное общество.

Теперь я готов рассекретить это общество. Я буду называть его «Десятка» – по числу уравнений, которые должен знать каждый компетентный участник. Я готов открыть эти секретные уравнения.

Проблемы, которые решает «Десятка», включают повседневные вопросы. Нужно ли вам бросать работу (или разрывать отношения) и пробовать что-то другое? Почему вы ощущаете, что менее популярны, чем окружающие? Сколько усилий надо приложить, чтобы стать популярнее? Как лучше справляться с огромным потоком информации из соцсетей? Должны ли вы позволять своим детям пялиться в телефон по шесть часов в день? Сколько эпизодов какого-нибудь сериала Netflix вам нужно посмотреть, прежде чем пробовать что-то другое?

Возможно, это не те проблемы, которые, на ваш взгляд, должно решать тайное общество. Но дело вот в чем. Один и тот же небольшой набор формул может дать ответы на тривиальные и глубокие вопросы, рассказать о вас как о личности, а также об обществе в целом. Уравнение уверенности, введенное в главе 3, которое помогает решить, стоит ли вам бросать работу, также позволяет профессиональным игрокам узнать, когда у них есть преимущество на рынке ставок, и выявляет малозаметные расовые и гендерные предубеждения на работе. Уравнение вознаграждения, описанное в главе 8, показывает, как соцсети довели общество до критической точки и почему это не обязательно плохо. Если мы поймем, как интернет-гиганты используют данное и другие уравнения, чтобы вознаграждать нас, влиять на нас и классифицировать нас, мы сможем лучше сбалансировать свое пользование соцсетями, играми и рекламой, а также погруженность в них наших детей.

Мы знаем, что эти уравнения важны, поскольку принесли успех людям, которые их уже применяют. В главе 9 излагается история трех инженеров из Калифорнии, которые использовали уравнение обучения, чтобы увеличить на 2000 % время, затрачиваемое людьми на просмотр YouTube. Уравнение ставок, уравнение влияния, уравнение рынка и уравнение рекламы изменили, соответственно, ставки, технологии, финансы и рекламу, принеся миллиарды долларов небольшому числу членов «Десятки».

По мере того как вы будете изучать уравнения в этой книге, начнут обретать смысл всё новые аспекты мира. Когда вы смотрите глазами участника «Десятки», крупные проблемы становятся мелкими, а мелкие – тривиальными.

Если вы просто ищете быстрые решения, то, конечно, есть одна загвоздка. Чтобы попасть в «Десятку», нужно овладеть новым способом мышления. Она просит разделить мир на три категории: данные, модель и бессмыслица.

Одна из причин, почему «Десятка» сегодня так сильна, в том, что данных сейчас больше, чем когда-либо: движения на фондовой бирже и рынках ставок, личная информация о том, что мы любим, покупаем и делаем, которую собирают Facebook и Instagram. Государственные организации владеют данными о том, где мы живем, как работаем, в какую школу ходят наши дети, сколько мы зарабатываем. В опросах общественного мнения собираются и обобщаются наши политические взгляды и позиции. В соцсетях, блогах и на новостных сайтах копятся новости и мнения. Регистрируется и сохраняется каждое движение звезд спорта на игровых полях.

Взрывной рост данных очевиден всем, но участники «Десятки» осознали важность математических моделей для их объяснения. Как и они, вы можете научиться строить модели, использовать уравнения для управления данными и их использования, чтобы получить выгоду – небольшое преимущество над другими.

Последняя категория, бессмыслица, – то, что нужно научиться распознавать. Вы поймете, что, как бы ни приятно было говорить чушь и как бы много времени мы этому ни посвящали, вам придется отказаться от этого, когда вы начнете мыслить как участник «Десятки». Вам нужно назвать бессмыслицу бессмыслицей, когда вы с ней встретитесь, – и неважно, кто ее говорит. Я покажу вам, как игнорировать бессмыслицу и сосредоточиться на данных и моделях.

Это не просто очередная книга по самосовершенствованию. Это не Десять заповедей. Это не список того, что разрешено, а что запрещено. Здесь есть уравнения, но нет рецептов. Вы не можете просто заглянуть на страницу 181 и узнать точное количество эпизодов сериала Netflix, которые вам нужно посмотреть.

Правила и рецепты эксплуатируют наши страхи. Но эта книга не использует страхи, а объясняет, как эволюционировал код «Десятки» и как он определял последние 250 лет человеческой истории. Мы будем учиться у математиков, которые разработали этот код, и поймем философию, лежащую в основе их мышления. Обучение у «Десятки» подвергает сомнению многие наши повседневные принципы. Вас ждет переосмысление терминов (например, политкорректность), переоценка суждений о других людях и пересмотр стереотипов.

Это также рассказ о морали, поскольку с моей стороны было бы неправильно раскрыть так много секретов, не исследовав, как общество «Десятки» повлияло на мир. Если какая-то малая группа людей может управлять остальными, нам нужно знать, что определяет их выбор. Эта история заставила меня заново оценить себя и мои действия, задаться вопросом, можно ли считать «Десятку» добром или злом, и задуматься о моральных правилах, которые нам нужно установить для себя в будущем.

Передавая силу новому поколению, дядя Человека-паука говорит ему: «С большой силой приходит большая ответственность». Когда на карту поставлено так много, скрытые возможности «Десятки» требуют еще большей ответственности, чем костюм Человека-паука. Вы узнаете секреты, которые могут изменить вашу жизнь. И вам придется также задуматься о том, какое влияние они оказали на мир, в котором мы живем. Слишком долго этот код был доступен только немногим избранным.

Сейчас мы поговорим об этом – открыто и вместе.

Я сижу вечером в кафе и вижу, как он заходит. Пожимает руку официанту, затем руку бариста, обмениваясь улыбками и парой слов. Сначала он меня не видит, а когда я встаю, чтобы подойти к нему, замечает еще одного знакомого. Теперь раунд объятий. Я снова сажусь, ожидая, пока он закончит.

Его известность здесь частично объясняется его прошлым профессионального футболиста и тем, что он часто появляется в телевизоре, но он популярен и благодаря тому, как себя держит: уверенно, дружелюбно, находит время поговорить с людьми, уделив несколько слов каждому.

Усевшись со мной, уже через несколько минут он вовсю разглагольствует: «Я думаю, что делаю хорошее дело, поскольку показываю людям свои способы работы. Мне кажется, иногда этого не замечают. Я просто делаю свое дело, говорю как есть, я честен, как и нужно в этой игре. У меня куча контактов. Полно встреч, как вот эта с вами, чтобы поддерживать связи. Люди желают поговорить со мной, поскольку у меня уникальный способ смотреть на всё. Из-за моего прошлого, ни у кого другого этого нет. Вот что я хочу донести, когда сижу здесь с вами…» Наблюдения перемежаются байками о временах, когда он играл, несколькими отрепетированными историями, где упоминаются громкие имена, и своевременными шутками.

Он улыбается, смотрит прямо в глаза и временами заставляет меня чувствовать, что я просил у него всю эту информацию. Но я просил не это.

Я хотел поговорить об использовании данных – как в СМИ, так и в футболе. К сожалению, пока я не слышу ничего толкового.

Я называю людей такого рода «Мой путь» – по песне, которую прославил Фрэнк Синатра[84]. Суть каждой из их историй – двигаться осторожно, встречать вызов с поднятой головой и доводить дело до конца. Из этого может получиться красивая мелодия, и в те две-три минуты, пока очередной господин «Мой путь» обнимается и здоровается, проходя по кафе, окружающие получают удовольствие.

Но это работает, пока он переходит от одного человека к другому.

А я сейчас застрял в этом положении, и мне некуда деться.

Стыдно признаться, но первые несколько раз, когда я разговаривал с футболистами вроде господина «Мой путь», я верил их историям. С момента публикации моей книги «Футболоматика» в 2016 году[85] меня приглашали в некоторые ведущие футбольные клубы мира, а их представители посещали меня. Меня приглашали на радио и телевидение, чтобы рассказывать об игре вместе с бывшими профессионалами. Переход из научной среды к общению с бывшими футболистами, телеперсонами, скаутами и членами советов директоров клубов Премьер-лиги опьяняет. Мне нравилось слушать закулисные истории об игроках и больших матчах и узнавать о жизни на тренировочных полях. Если использовать самое распространенное футбольное клише, то мечта стала реальностью: я превратился из болельщика в того, которому доверяют люди, близкие к самому действу.

Я до сих пор люблю слушать такие истории и воочию наблюдать реальный мир футбола. Но интересные истории слишком часто сопровождаются «геройскими» рассказами о взглядах очередных господ типа «Мой путь», о том, как их успехам помешали жульничающие соперники и как бы они могли сделать всё лучше, если бы им дали такую возможность.

Поскольку я математик, эти парни часто решают, что должны объяснить мне ход своей мысли. Они начинают рассказывать, что я смотрю на мир не так, как они, – при этом не выяснив, как же я воспринимаю жизнь.

«Думаю, статистика отлично подходит для размышлений о прошлом, – скажет мне такой человек, – но у меня есть предвидение и интуиция для будущего».

Потом он объяснит, что обладает уникальной способностью определять свое конкурентное преимущество. Или как его уверенность в себе и сильный характер помогают принимать правильные решения. Или как он обнаружил метод находить закономерности в данных, которые я (по его мнению) упустил. В своих рассказах он, как правило, обходит неудобные моменты. «Ошибки я начал делать, только потеряв концентрацию», – говорит он мне. И всегда подчеркивает свои сильные стороны: «Когда я сосредоточен, я все делаю правильно».

Однако, начав работать в индустрии футбола, я уж точно не осознавал, сколько времени мне придется выслушивать рассказы людей о том, почему они считают себя особенными.

Мне следовало бы это понимать лучше, поскольку такое происходит не только в футболе. Я встречал то же и в промышленности и бизнесе: специалисты по инвестициям говорили мне о своих уникальных качествах. Им не нужна математика, ведь у них есть чутье, которого нет у специалистов по количественному анализу («квантов»[86]). Руководители технических компаний объясняли мне, что их стартап преуспел благодаря уникальным взглядам и талантам. Даже ученые занимаются тем же. Исследователи-неудачники рассказывали, как другие украли их идеи, а успешные ученые утверждали, что придерживались своих принципов. Каждый из них делал это по-своему.

Встает вопрос, на который сложно ответить: как узнать, говорят мне что-то полезное или нет?

Парень, с которым я сейчас сижу, очевидно, просто переполнен. Он без остановки говорит о себе последние полтора часа. Но многим другим людям есть что сказать полезного, причем включая иногда и господина «Мой путь». Вопрос в том, как отделить ценные сведения от самолюбования.

Подход специалистов по прикладной математике к этому вопросу таков: разделить все, что вам говорят, на три категории. Первые две обсуждались в предыдущих главах: это модель и данные. Модели – наши гипотезы о мире, а данные – опыт, который позволяет нам установить истинность или ложность наших гипотез. Господин «Мой путь», о котором я сейчас рассказываю, создает третью категорию: бес-смыслица. Он рассказывает истории о своих триумфах, неудачах и ощущениях, но ничего конкретного о том, как он думает или что он знает.

Я использую дефис в слове «бес-смыслица», чтобы заставить вас задуматься. Этот трюк позаимствован у философа Алфреда Джулса Айера из Оксфордского университета, который способствовал становлению моего взгляда на математику. Айер признавал, что «бессмыслица» – очень провокационное слово, но использовал его для описания информации, которая не исходит от наших чувств. То, что чувствует «Мой путь», как он воспринимает свои успехи и неудачи, не основано на наблюдениях или на том, что можно измерить. Айер внес предложение: когда «Мой путь» или кто-то еще рассказывает вам что-то, вам нужно спросить, проверяемо ли его утверждение. Можете ли вы в принципе определить, истинно ли какое-то утверждение или нет, используя данные, которые получаете от органов чувств?

Проверяемые утверждения, например, «наш самолет вот-вот потерпит крушение», «Рэйчел – стерва», «чудеса случаются», «Ян и Мариус обладают определенным преимуществом на рынке ставок», «шведские работодатели принимают расово предвзятые решения о том, кого приглашать на интервью», «Джесс нужно поменять работу, если она желает ощущать себя более счастливой» и т. д. Утверждения именно такого рода я формулировал в качестве моделей в этой книге. Когда мы сравниваем модели с данными, то проверяем, насколько они истинны.

Мы не требуем, чтобы у нас имелся доступ к данным для проверяемости нашей модели. Когда Айер в 1936 году опубликовал книгу «Язык, истина и логика»[87], которая объясняла принцип проверяемости, еще не было фотографий обратной стороны Луны. А потому нельзя было утверждать, что гипотеза о существовании там гор истинна или ложна. Однако она относилась к проверяемым; и когда советский космический аппарат «Луна-3» облетел вокруг нашего спутника в 1959 году, гипотеза была протестирована.

Утверждения об ощущениях господина «Мой путь» и его вере в себя – дело другое. Его байки могут содержать интересные подробности, имена реальных людей и события, которые происходили на самом деле, но они не поддаются проверке. Мы не можем придумать тест, который бы подтвердил (или опроверг) то, что он обладает «уникальным способом смотреть на вещи»; или проверил бы, что именно есть у него такого, чего «ни у кого другого нет»; или откуда он знает, что относится к делу, а что нет. Такой тест невозможен, поскольку человек неспособен правильно объяснить основу своих утверждений. Он не может отделить свое ощущение от фактов, и мы не можем переформулировать его утверждения в виде модели, которую несложно проверить на соответствие данным. Песню господина «Мой путь» определяет мешанина личных идей. То, что он говорит, не данные и не модель. Это бессмыслица в буквальном смысле слова.

«Ла Масия», Барселона. Когда дело касается глубокого интеллектуального подхода к этой прекрасной игре, ничто не сравнится с тренировочным комплексом футбольного клуба «Барселона». Академию для молодых игроков основал в 1979 году легендарный Йохан Кройф; здесь разработана философия, которая пронизывает все, что делается в клубе.

Я прошел мимо небольшой группы болельщиков, каждый из которых надеялся взглянуть на игроков, пока они будут входить или выходить через главные ворота, и добрался до бокового входа новой «Ла Масии». Так же, как многие университеты переехали из старинных традиционных зданий в новые сверкающие сооружения, «Ла Масия» перекочевала из фермерского дома, где изначально располагалась, в современный корпус со стеклянными фасадами.

В «Ла Масию» меня пригласил Хавьер Фернандез де ла Роза, глава отдела спортивной аналитики клуба «Барселона» и докторант в области искусственного интеллекта. Он попросил меня провести презентацию моей недавней работы и рассказать о способах анализа игры.

Внутри новая «Ла Масия» также похожа на современный факультет университета, поскольку здесь ведется не только преподавание, но и исследовательская работа. Только что закончили тренировку игроки основной команды, молодежь занималась на другом поле. Хавьер сидел в ярко освещенном офисе с батареей мониторов перед собой и рядами книг позади. В других клубах, где я бывал, доминировали места для тренировок, а аналитиков можно было найти разве что в труднодоступном закутке. Здесь же и у игроков было все, что может им понадобиться, и у исследователей – собственное пространство для работы и размышлений, чтобы планировать и совершенствовать стиль игры команды. Организация пространства в «Ла Масии» отражала тот футбол, каким видел его я: разум играет вместе с телом.

Мы с Хавьером тут же взялись за работу. Отправились в его офис, уселись за свои ноутбуки и стали сравнивать записи. Как вы оцениваете передачи? Как отслеживаете движение игроков? Как делите матч на разные игровые состояния? Каким определением контратаки пользуетесь? Как моделируете контроль поля? Вопросы и ответы летали туда-сюда. Данные, модель, данные, модель, данные, модель, потом еще больше моделей. Это продолжалось и продолжалось.

В какой-то момент – как мне показалось, довольно неожиданно – Хавьер сказал, что мне пора провести семинар для остальной части его группы. Мы прошли в просторный зал для семинаров, подключили мой ноутбук к большому экрану, и я начал говорить снова – на этот раз перед аудиторией из тренеров, скаутов и аналитиков. Затем пять или шесть человек из первого ряда стали прерывать меня и задавать вопросы об использованных данных, моих предположениях и результатах. Они рассказали о собственных находках и о том, что я мог бы улучшить.

Команда аналитиков «Барселоны» давала мне именно то, что я люблю в исследованиях: глубокое погружение непосредственно в модель и данные. Идеальный день исследований увенчался первым рядом мест стадиона, и я смог вечером увидеть в действии Лионеля Месси и компанию. Пока солнце садилось за стадионом «Камп Ноу», я, вероятно, был как никогда близок к тому же двигающемуся телу, которое видел ранее тем же днем в координатах в виде кривой на экране своего компьютера.

Я сосредоточил свою презентацию в «Барселоне» на одном конкретном игроке. В то время, через несколько месяцев после чемпионата мира 2018 года, меня очень интересовал Поль Погба. И «Барселона», если верить газетным слухам, тоже им интересовалась.

Я был поклонником Погба очень долго, поскольку он больше других определяет игру своей команды. Хотя Месси – талисман «Барселоны», философия клуба состоит в том, чтобы быть чем-то большим, нежели просто суммой частей, и не сосредоточиваться на каком-то одном человеке. Безусловно, Криштиану Роналду заметен на поле, но по большому счету он традиционный, очень атлетичный бомбардир. Стиль мадридского «Реала» или «Ювентуса» не строится вокруг его способностей.

Когда Поль Погба играет за «Манчестер Юнайтед», он и есть эта команда, а во время чемпионата мира он определял игру сборной Франции, выигравшей трофей. Такова моя гипотеза. Но как ее проверить? В отличие от Месси или Криштиану Роналду, Погба не забивает прорву голов. На чемпионате мира он отправил мяч в ворота всего один раз. Да, в финале, что само по себе достижение, но множество игроков забили больше его. Так что одни только голы не объясняют его мастерство.

Математическая идея, которую я использовал для оценивания Поля Погба, – сосредоточиться на его вкладе в команду, забивающую гол, а не на голах, которые он забивает сам. Здесь футбольный болельщик может спросить, не имею ли я в виду голевые передачи – те, которые привели к успеху. Первая передача – пас игроку, который забил мяч; вторая (предголевая) – пас игроку, который отдал затем голевую передачу, и т. д. Учет передач в голевых комбинациях – часть моего подхода, но небольшая. Вместо того чтобы придавать особый статус голам и голевым передачам, я оцениваю все действия на поле: отборы, пасы, перехваты и т. д. Моя цель – измерить, как каждое из них повышает вероятность того, что своя команда забьет гол, и снижает вероятность того, что гол забьет соперник.

Чтобы добиться этого, сначала нам нужно подумать, как описать футбольный матч числами. Допустим, пас делается из точки (x₁, y₁) в точку (x₂, y₂). Чтобы понять такие координаты, представьте поле с высоты птичьего полета, и пусть ось x проходит по боковой линии, а ось y – по линии ворот. Началом координат (0, 0) будем считать угловой флажок справа от ворот атакующей команды. Тогда у противоположного углового флажка будут координаты (105, 68) (типичное футбольное поле имеет длину 105 метров и ширину 68 метров: такие размеры рекомендует ФИФА). Каждый пас во время матча можно описать примерно так: вратарь выбивает далеко мяч на фланг: (10, 30) → (60, 60), передача мяча к центру поля: (60, 60) → (60, 34), подача в чужую штрафную площадь: (60, 34) → (90, 40). Представьте себе игру в виде последовательности координат, определяющих передачи и дриблинг игроков. Каждый фрагмент игры (цепочка владения) разбивается на отдельные действия, которые можно описать в координатах x и y.

Теперь мы хотим определить, как любое действие отдельного игрока в таких цепочках владения увеличивает шансы команды на гол и/или снижает шансы на гол у соперника. Для этого я делаю математическое предположение. Как правило, когда математик говорит вам, что он собирается «сделать предположение», это означает, что он желает сказать что-то ложное и просит вас попридержать скепсис и использовать свое воображение. Это несколько отличается от повседневного использования данного слова. Например, я могу сказать жене о гостях, приглашенных на ужин: «Предполагаю, они появятся около семи». Или: «Предполагаю, что мы снова проиграем», если моя команда проигрывает два мяча за пять минут до конца игры. И то и другое, скорее всего, верно, но это не математические предположения.

В математике слово «предполагать» используется, чтобы описать некоторое множество вещей, которые необязательно верны, но о которых мы не желаем сейчас беспокоиться. Я просто хочу, чтобы вы придержали свое неверие, а затем посмотрим, к чему нас приведет наше предположение, – при этом не станем обсуждать само предположение. Однако важно, чтобы оно было сделано с самого начала, поскольку это основание нашей модели, и когда мы сравниваем модели с реальностью, нам нужно быть честными в отношении их ограничений.

Мое предположение таково: качество паса в футболе зависит от координат его начальной и конечной точек, а не от того, что происходит до и после паса, или от того, какие игроки находились на поле во время этого паса, или от чего-то в таком духе. Иными словами, если Погба может отдать пас с середины поля, скажем из точки (60, 34), в штрафную площадь – в точку (90, 40), эта передача всегда будет иметь одинаковое влияние на шансы Франции забить гол – независимо от того, что еще происходит в матче.

Впрочем, очевидно, что такое предположение некорректно. Например, в игре чемпионата мира против Перу за одну минуту Погба сделал две передачи в штрафную примерно из одной точки поля. В первом случае мяч перелетел через защитников и попал к Мбаппе, который пытался ударить пяткой в прыжке, но не смог направить мяч мимо вратаря. Во втором случае мяч, пущенный низом, дошел до Оливье Жиру, удар которого заблокировал защитник, но после рикошета Мбаппе открыл счет в матче. Согласно моему предположению, эти две передачи – одна из которых привела к голу, а другая нет – имеют одинаковую ценность для Франции как команды.

Отбросив недоверие, мы можем построить модель всего, что происходит в футбольном матче. Вместе с моим коллегой Эмри Долевом я использовал базу данных, куда входят начальные и конечные координаты всех передач, сделанных за много сезонов на высшем уровне – в английской Премьер-лиге, Лиге чемпионов, испанской Ла Лиге, на чемпионатах мира и т. д. Мы проверили, приводил ли каждый пас в итоге к удару по воротам. Это позволило нам создать статистическую модель, которая связывает координаты начальной и конечной точек паса с вероятностью забить гол (см. рис. 4). Так мы смогли присвоить определенную оценку каждому пасу – независимо от того, что происходило перед ним или после него.

Рис. 4. Как предположение о марковости может оценивать передачи в футболе

Когда мы с Эмри присвоили определенное значение любому действию в любом матче, мы смогли в итоге оценить Поля Погба. Он выделяется двумя умениями: вернуть мяч в центр поля и мгновенно превратить защиту в атаку с помощью длинных точных передач. Во время чемпионата мира он сделал несколько потрясающих пасов, получая мяч в центре поля, разворачиваясь и доставляя его в ноги партнеров по команде далеко на половине противника. Он увеличивал шансы Франции забить больше, чем любой другой игрок команды.

У «Барселоны» уже есть человек, который играет на поле схожую роль: это Серхио Бускетс. Месси – звездный атакующий игрок, имя которого известно всем, а Бускетс – мотор, который приводит команду в движение, начиная атаки с середины поля. Бускетс и Погба во многом разные, однако их роднит способность производить сильное впечатление игрой в полузащите. Бускетс на пять лет старше Погба; когда двигатели стареют, они становятся менее эффективными.

Разработанную нами с Эмри модель можно применить к любому профессиональному игроку в любом матче. Она может за секунды оценить их так же, как оценила Погба. Это позволяет командам подбирать себе игроков, которые точно соответствуют требованиям. Когда один игрок уходит, ему можно подобрать сделанную на заказ замену.

Традиционный способ оценивать игроков – заставлять скаутов смотреть матчи и писать отчеты. Технический директор одного известного клуба недавно показал мне свою базу данных для потенциальных кандидатов. Он мог искать 17-летних футболистов из пятой лиги Швеции или 15-летних игроков в бразильских юношеских лигах. Зеленая галочка рядом со спортсменом означала, что его игру просматривал скаут. Директор мог щелкнуть по любому игроку мира и прочитать отчеты разных скаутов о нем.

Наша модель дополняет этот подход. Она рассматривает конкретное умение перемещать мяч из одной точки поля в другую. Когда какой-нибудь скаут оценивает игрока, он благодаря своему опыту оценивает его расположение на поле, его понимание обстановки и взаимодействие с партнерами. Однако каким бы хорошим ни был скаут, он не может заявить, что оценивает каждый пас игрока в Премьер-лиге. А вот модель вполне может.

Когда я говорю с тренерами и скаутами, то свои предположения описываю именно так. Вместо «статистика показывает, что Погба был лучшим полузащитником на чемпионате мира» я говорю: «Если нас интересует, насколько далеко игрок продвигает мяч от центра поля, то и при игре на чемпионате мира, и при игре за “Манчестер Юнайтед” Погба – один из лучших в мире по этому показателю».

Изложение наших предположений и выводов в разговоре с другими людьми очень важно; и не только когда мы говорим о футболе, но и когда обсуждаем всё, что нас волнует. Разделение мира на модели, данные и бессмыслицу требует от нас быть честными в отношении того, что мы предполагали, когда делали выводы. Оно просит нас хорошенько подумать о точке зрения – как нашей собственной, так и других людей.

* * *

Основа большинства математических моделей для измерения умений – уравнение, выражающее так называемое марковское свойство (марковость)[88]. Будем называть его марковским предположением. Вот оно:

P(S_t+1|S_t) = P(S_t+1|S_t, S_t–1, S_t–2, …, S₁) (Уравнение 4).

Величина P(S_t+1|S_t) определяется так же, как в уравнении 2 в главе 2. P означает вероятность того, что мир находится в состоянии S_t+1, а символ|– «при условии». Дополнительный компонент в формуле – индексы t + 1, t, t – 1 и т. д. для каждого из таких событий. Иными словами, P(S_t+1|S_t) означает «вероятность того, что мир будет находиться в состоянии S_t+1 в момент времени t + 1, при условии, что ранее он находился в состоянии S_t в момент времени t».

Ключевая идея марковости в том, что будущее зависит только от настоящего, но не от прошлого, которое привело нас к этому настоящему. Уравнение 4 говорит, что будущее состояние в момент времени t + 1 зависит только от состояния в настоящее время t, так что мы предполагаем, что прошлые состояния S_t–1, S_t–2, …, S₁ роли не играют.

Для примера представим Эдварда, бармена в оживленном заведении. Он стремится обслуживать своих клиентов максимально быстро. Количество гостей может меняться, но Эдвард старается взять как можно больше заказов. Обозначим S_t количество людей, которые ожидают заказа в минуту t.

Эдвард приступает к работе. В момент начала его смены обслуживания ждут S₁ = 2 человека. Нет проблем. Он наливает пару пинт первому парню в очереди и приносит бокал вина женщине за ним. Пока он обслуживает этих двоих, в очереди появляются еще трое, поэтому в минуту t = 2 в очереди S₂ = 3 человека. Эд всех их обслуживает и видит, что в минуту t = 3 ждут уже S₃ = 5. На этот раз он успевает обслужить только трех человек, а двое остаются, плюс за следующую минуту к ним добавляются еще четверо, и S₄ = 6.

Марковское предположение говорит, что для измерения умений Эда достаточно знать скорость обслуживания клиентов: нам требуется знать, как S_t+1 зависит от S_t. Количество людей, которые ждали ранее в тот вечер – S_t–1, S_t–2, …, S₁, – не играет роли в анализе его умений в данный момент. Для оценки мастерства бармена это вполне разумное предположение. Эдвард может обслуживать примерно двух-трех человек в минуту – это разность между S_t+1 и S_t.

Руководитель Эда, незнакомый с марковским предположением, может заглянуть в бар, заметить много ожидающих в очереди клиентов и заключить, что Эд плохо выполняет свою работу. Эд мог бы разъяснить боссу марковское свойство и сказать, что нужно учитывать два показателя: скорость появления людей в баре и скорость их обслуживания. Эд несет ответственность только за второй. Или он мог бы просто сказать: «Сегодня здесь действительно напряженно. Просто посмотрите, как усердно я работаю». Так или иначе, Эд использует марковское предположение, чтобы объяснить, как корректно измерять его умения.

Уравнение 4 отличается от виденных нами ранее тем, что не дает ответа сразу. В уравнениях 1–3 мы закладывали данные в модель и улучшали свое понимание настоящего или ближайшего будущего. Уравнение 4 – предположение. Это шаг к ответу, однако еще не ответ. Когда мы имеем дело с работой бармена, марковское предположение предлагает нам смотреть на скорость, с которой Эдвард обслуживает клиентов. Аналогичное предположение мы делали в модели футбольных пасов: предполагали, что можно забыть все, что происходило до получения мяча Полем Погба, и все, что происходит после передачи. Это позволяло нам измерить, как конкретные передачи помогли его команде.

Важно быть честным и до создания модели (при предположениях), и после (сработали ли они так, как мы думали). В этом отличие от господина «Мой путь», который объясняет свои несчастья чужими ошибками или просто невезением. Мастерство создателя модели в том, чтобы определить, какие события включить в нее, а какие можно безопасно игнорировать. Какие события и измерения действительно характеризуют истинную ситуацию в баре, футбольной команде или в какой-то другой организации?

Мы могли ошибиться в своем предположении. Пока мы подбадривали Эда, на максимальной скорости смешивающего и подающего свои коктейли, его босс высовывает голову из офиса во второй раз. Теперь он видит огромную кучу грязных стаканов. Эд забыл включить посудомоечную машину! Наша ошибка и досадная ошибка Эда объясняются неверным предположением. Мы сочли, что единственно важное в баре – посетители, и забыли о мытье посуды.

Управляющий показывает Эду, как работать с посудомоечной машиной, и говорит ему, что теперь будет оценивать его и по скорости обслуживания посетителей, и по скорости мытья посуды. Вместе они переделывают свою модель; и теперь, например, состояние S_t = {5, 83} говорит, что в баре 5 ожидающих посетителей и 83 грязных стакана. Теперь и Эд, и управляющий счастливы. Пока менеджер не заметил, что Эд забыл взять еду, которую заказали клиенты…

Когда вы рассматриваете свою жизнь, ключ к успеху – честность в тех аспектах, которые вы пытаетесь улучшить. Например, можно считать самым важным фактором успеха свою заработную плату. Марковское предположение говорит, что нужно меньше беспокоиться о тех повышениях, которые у вас были в прошлом и больше не относятся к делу, а больше заботиться о том, как ваши нынешние действия улучшают ваш доход. Честно скажите себе, что для вас важна именно зарплата, но если из-за того, что вы тратите слишком много времени на работу, начнут страдать отношения с близкими, то объясните им, что вы ошиблись в своих предположениях. Пересмотрите их и начните заново.

* * *

Принцип проверяемости, изложенный Айером в книге «Язык, истина и логика», возник из мышления группы философов, известных как «Венский кружок». У его истоков стояли физик Мориц Шлик, возглавлявший группу, и Рудольф Карнап, ученик выдающегося логика и математика Готлоба Фреге[89]. Сумрачным героем этого движения был Людвиг Витгенштейн. Он учился у Бертрана Рассела в Кембридже и не участвовал активно в работе кружка, но именно его «Логико-философский трактат»[90] наиболее четко продемонстрировал идею, что все значимые утверждения должны проверяться с помощью данных. Седьмое положение Витгенштейна – «О чем невозможно говорить, о том следует молчать» – было окончательным «заткнитесь» для всех, кто сомневался в силе верификации.

В 1933 году 22-летний Айер как-то сумел получить приглашение поучаствовать в дискуссиях «Венского кружка», а спустя три года появилась его книга. Благодаря ему подход кружка, известный как логический позитивизм, распространился из континентальной Европы в Англию. Вторая мировая война привела Карнапа и его идеи в США. К моменту победы в войне почти весь западный мир принял принципы экспериментальной проверки.

В первой половине XX столетия мышление в духе логического позитивизма трансформировало «Десятку». В фокусе всех научных исследований оказались модели, а Альберт Эйнштейн переписал законы физики, используя новую математику. Теперь такой подход должен был получить уникальную авторитетность. Модели и данные становились не просто одним из способов познания мира, а единственно возможным.

Дело не в том, что участники «Десятки» создавали свои исследовательские кружки, чтобы лучше понять Витгенштейна, Рассела, Карнапа и Айера. Некоторые из них читали философские труды, но большинство следовали собственным суждениям о том, как применять модели, и приходили к тем же выводам, что и эти философы. Помните, что в сознании участников «Десятки» никакой «Десятки» нет, так что не может быть и собраний для определения ее принципов. Но логический позитивизм хорошо вписывался в собственное мышление общества. Он описывал именно то, что они делали с тех времен, когда де Муавр создал уравнение уверенности.

В Европе настал золотой век «Десятки». В России на рубеже веков это общество основал Андрей Марков (прославившийся цепью), а после революции в СССР его деятельность продолжил другой Андрей – Колмогоров. Он определил аксиомы для вероятности, объединив в общую структуру работы де Муавра, Байеса, Лапласа, Маркова и других математиков. Теперь код можно было передавать от учителей небольшим группам студентов. Летом Колмогоров приглашал самых способных учеников к себе на дачу, где предлагал им задачи, обсуждая их по очереди, оттачивая умения учеников и совершенствуя код. Несмотря на чистки, советское руководство раз за разом доверяло «Десятке» – чтобы развивать социальные идеи, вести космическую программу и разрабатывать новую экономику.

Схожий дух интеллектуальной свободы и доверия к «Десятке» распространился в Европе. В Великобритании центром математики был Кембридж. Именно здесь Рональд Фишер переписал в уравнениях теорию естественного отбора; Алан Тьюринг описал свою универсальную вычислительную машину и изложил основы информатики; Джон Мейнард Кейнс использовал свои студенческие математические исследования, чтобы изменить то, как правительства принимают решения в экономике; а Бертран Рассел вел синтез западной философии. И именно в Кембридж приехал учиться в конце войны Дэвид Кокс.

В Австрии, Германии и Скандинавии «Десятка» лихо разбиралась с физическими вопросами. Эрвин Шрёдингер написал уравнения квантовой механики, Нильс Бор предложил математику атома, Альберт Эйнштейн – ну, сделал все, чем он знаменит. Французы, изгнавшие де Муавра двести лет назад, не были полностью убеждены в принципе проверяемости до окончания войны (а может, и позже). Но именно французский математик Анри Пуанкаре заложил основы области математики, позднее ставшей известной как теория хаоса.

Разделение «Десяткой» модели и данных было важнейшим событием еще и потому, что на него не влияли религиозные убеждения. От христианства, которому Ричард Прайс приписывал уравнение суждений, потихоньку отказались. Проверка здесь была невозможна. Предположение, что математические истины нам дал Бог, считалось бессмысленным. Идея, что мы можем жить в аллегорической пещере Платона, была нонсенсом. Тот факт, что уравнение уверенности берет начало в азартной игре, ничего не менял в его применимости и поэтому тоже не имел значения. Все представления о религии и этике следовало отбросить и заменить строгим проверяемым мышлением.

* * *

Нынешняя группа участников «Десятки» совместно обсуждает текущие проблемы: теорию относительности, изменения климата, бейсбол или опросы по поводу брексита. В последние сто лет темы менялись, но характер дискуссий оставался тем же. Он отличается точностью. Члены общества честны в своих предположениях. Они обсуждают, какие аспекты мира их модель объясняет, а какие нет. Когда они не согласны, то сравнивают предположения и внимательно изучают данные. Создатель модели может ощущать гордость, когда она наилучшим образом интерпретирует данные, или испытывать легкое разочарование, когда она не срабатывает, но важнее всего сама цель – найти объяснение, которое будет в наименьшей степени неверным.

Тех, кто не говорит на языке моделей и данных, либо потихоньку предостерегают, либо вежливо игнорируют – от предубежденных политиков, орущих футбольных тренеров и гневных болельщиков до сверхусердных экоактивистов и невежественных отрицателей, толкователей культурных войн и марксистов-фундаменталистов, Дональда Трампа и женоненавистников. «Десятка» – небольшая группа, которая постепенно приближается к истине, пока остальное человечество движется все дальше по спирали.

* * *

Люк Борнн расслаблен, носит футболку и улыбается в камеру своего компьютера. Мы разговариваем по скайпу в феврале 2019 года: он сидит в своем ярко освещенном офисе в Сакраменто; я на своем темном цокольном этаже в Швеции. За ним я вижу растянутую майку баскетбольного клуба «Сакраменто Кингз» с его фамилией, а в другой части офиса – обязательный ряд научных книг. Разница во времени заметна по нашей энергичности. Я сижу и пытаюсь вспомнить свои вопросы, а Люк крутится в офисе на своем стуле, выхватывая книги с полки и показывая их мне на экране.

Люк – вице-президент по стратегии и аналитике в «Кингз». Он не следовал тому, что сам называет традиционным путем в баскетбол и к его нынешней должности. Он тыкает пальцем за спину и говорит:

– Когда мы последний раз дали объявление о вакансии на роль аналитика сюда, у нас было больше тысячи заявлений, и большинство мечтали работать в спорте с того времени, как были вот такими, – его рука показывает рост четырехлетнего ребенка. – Я только начал научную работу в Гарварде, моделируя передвижение животных и системы климата, и случайно встретился с Кирком Голдсберри [аналитик НБА, бывший специалист по стратегии в баскетбольном клубе «Сан-Антонио Спёрс»], где он показал мне все эти данные.

Люка очаровал масштаб наблюдений. Здесь была информация о здоровье и форме игроков, нагрузке на их суставы, схемы перемещений всех спортсменов во время тренировок и матчей, данные о передачах и бросках. Фиксировалось все относящееся к баскетболу, однако тренеры команды использовали это очень слабо.

– Для меня, – говорит Люк с нарастающим возбуждением в голосе, – это был не просто крутой спортивный проект, а буквально самая интересная научная задача, с которой я когда-либо сталкивался.

Он обладал идеальным набором умений для того, чтобы справиться с этой задачей, и быстро выдал результат. В докладе, представленном на конференции по спортивной аналитике в Школе менеджмента Слоуна при Массачусетском технологическом институте в 2015 году, они с Кирком ввели новый показатель для игры в защите, который назвали counterpoints[91]. Успех подхода Люка вызвал интерес владельца футбольного клуба «Рома», который назначил его директором по аналитике. В «Роме» он быстро научился представлять информацию визуально (с помощью графиков и диаграмм), и это стало эффективным способом донести математические идеи до скаутов и тренеров. Именно во время его пребывания в «Роме» клуб подписал двух игроков мирового класса – нападающего Мохаммеда Салаха и голкипера Алиссона Бекера, которые позже перешли в «Ливерпуль» и выиграли Лигу чемпионов в 2019 году.

– Я точно не ставлю себе в заслугу их подписание, – говорит он мне, – в механизмах футбольных трансферов слишком много подвижных деталей. Но скажу, что Салах с Алиссоном были проданы после того, как я ушел в «Кингз». Я не несу ответственности за их продажу!

Когда я говорю Люку, что мне интересно поговорить о марковском предположении, его лицо светится даже сильнее, чем при разговоре о футбольных трансферах.

– Мы использовали его с самого начала в нашей статье о набираемых очках, – говорит он.

Система очков Люка автоматически показывает, кто кого как опекает, и позволяет измерить, какие игроки лучше всего действуют в ситуациях один на один. Например, во время рождественской игры 2013 года между «Сан-Антонио» и «Хьюстон Рокетс» позиция в защите Джеймса Хардена из «Рокетс» лучше всего прогнозировалась позицией форварда «Спёрс» Кавая Леонарда. В том противостоянии лучше был Леонард, набравший в матче 20 очков. Алгоритм Люка приписал 6,8 из этих очков оценке защиты Хардена.

– Всем нам хотелось бы знать Модель Бога, – говорит Люк с понимающей улыбкой. – Такая модель подсказывала бы Леброну Джеймсу, что ему делать дальше, чтобы иметь максимальные шансы на набор очков. Но все мы знаем, что такое невозможно.

Ключ к построению полезной модели – решить, что принять «за данность», какие предположения сделать. Модель Бога брала бы в таком качестве все, что когда-либо происходило в прошлом: каждую тренировку, на которую приходил Леброн Джеймс, каждый матч, где он играл, что он ел на завтрак в течение всей жизни, как он завязывал шнурки перед матчем. Это правая сторона уравнения 4. В качестве данных берется вся жизнь Джеймса до момента его броска. Люк как создатель модели должен проявить свое умение решить, что можно игнорировать. Он приходит к выводу, что из этого нужно оставить в левой части уравнения 4, когда он делает марковское предположение.

Люк продолжает: «Когда мы моделируем Леброна Джеймса, то учитываем, где он на площадке, жестко ли против него защищаются, где его партнеры по команде. Затем делаем предположение, что все происходившее более чем за несколько секунд до этого не важно. И обычно такое предположение работает».

Я спрашиваю Люка: а как же комментаторы, которые говорят о последних 5–10 минутах матча что-то вроде «Он сегодня выглядит не идеально» или «Игрок поймал кураж». Люк отвечает:

– Это субъективность. Лучший прогноз дает не средний результат игрока за последние пять бросков, а его позиция на площадке вместе с позициями оппонентов в момент броска, а также общий уровень баскетболиста.

Важный вопрос в баскетболе – когда атакующий игрок должен отдать пас на дугу партнеру, который бросит трехочковый (броски с более близкого расстояния приносят по два очка). Марковское предположение позволяет Люку воспроизвести весь сезон НБА с помощью компьютерного моделирования. В одной из таких моделей «альтернативной реальности» виртуальных баскетболистов внутри дуги «заставляют» пасовать или вести мяч в позицию для трехочкового броска. Результаты такой симуляции понятны: если игрок не рядом с кольцом, то лучше вывести мяч за линию трехочковой дуги и бросить с расчетом набрать максимум.

Именно здесь Джеймс Харден показывает свою истинную ценность. Он провел больше матчей с минимум 50 набранными очками, чем любой из ныне действующих игроков в НБА, включая Леброна Джеймса, и этот результат достигнут в основном благодаря дальним броскам. Он довел до совершенства любимое движение: когда изображает перемещение внутрь дуги, словно собирается вести мяч, а затем отшагивает назад и бросает трехочковый.

В модели Люка команда Джеймса Хардена «Рокетс» была ближе всего к трехочковому математическому совершенству. Возможно, здесь нет ничего удивительного, если учесть, что генеральный менеджер клуба Дэрил Мори окончил Северо-Западный университет по специальности «информатика и статистика». Люка с его выводами уже опередил другой математик. Харден уже использовал трехочковую стратегию, которую с тех пор окрестили Moreyball[92].

Баскетбол стал не только спортивным сражением на площадке, но и битвой математических умов за ее пределами. Теперь бой идет за то, у кого в модели будут лучшие предположения. Сейчас Люк встраивает в свое марковское предположение давление в защите и время на бросок, используя методику, именуемую тензором переходных вероятностей; он рассчитывает определить, когда есть смысл бросать отчаянный двухочковый на исходе отведенного времени. Возможно, тензор переходных вероятностей Люка и не так зрелищен, как дальний бросок Хардена после финта с отшагиванием назад, но он, безусловно, столь же элегантен.

* * *

Фильм Moneyball (в российском прокате «Человек, который изменил всё») – история бейсбольного тренера Билли Бина, сыгранного Брэдом Питтом, об одном из самых фанатичных применений статистики всех времен. Фильм рассказывает, как генеральный менеджер клуба-аутсайдера «Окленд Атлетикс» с небольшим бюджетом собрал команду из малоизвестных игроков на основе их статистических показателей. Команда в итоге выдала серию из двадцати побед подряд.

Фильм заканчивается тем, что Бин отказывается от предложенной ему высокооплачиваемой должности в знаменитом клубе «Бостон Ред Сокс» и остается со своим клубом. Эта романтическая концовка не особо отражает то, что произошло в бейсболе после успеха «Окленда».

Бин – бывший игрок, а не статистик и не экономист по образованию. Но когда владельцы бейсбольных клубов стремились повторить его успех, они обращались непосредственно к математикам[93]. Билл Джеймс, создатель статистического подхода, примененного Бином, действительно получил должность в «Бостон Ред Сокс» и работает там с 2003 года. «Ред Сокс» также назначили своим директором по информационным сервисам математика Тома Типпетта.

Еще один клуб, добившийся успеха благодаря статистическому подходу, – «Тампа-Бэй Рейс», который в 2010 году нанял Дуга Фиринга, занимавшегося исследованием операций в Гарвардской школе бизнеса. За пять лет, которые Дуг проработал в команде, она трижды доходила до четвертьфиналов плей-офф Главной лиги бейсбола, хотя имела одну из самых маленьких зарплатных ведомостей в лиге[94]. Затем Дуг перешел в «Лос-Анджелес Доджерс», где в его аналитической группе трудилось двадцать человек, из которых минимум семеро имели магистерские либо докторские степени по статистике или математике. Они анализировали всё – от расположения в защите и порядка отбивания до длительности контрактов игроков. Я встретился с Дугом вскоре после того, как он в феврале 2019 года ушел из «Доджерс» и создал свою компанию, занимающуюся спортивной аналитикой. Прежде всего я спросил его, был ли он большим фанатом бейсбола.

– Я бы сказал, что по сравнению с людьми, которые трудятся в сфере спорта, я, может, и не фанат, – пошутил Дуг, – однако относительно всего населения можно сказать, что я большой фанат.

Дуг всю жизнь болел за «Доджерс» и мечтал работать в клубе.

Современная бейсбольная аналитика уходит корнями в работу статистиков-любителей, интересующихся этой игрой. Когда я спросил Дуга о теории «Манибола», он сказал, что «во многом успех игроков “Окленда” принадлежал Полу ДеПодесте (в фильме его сыграл Джона Хилл), который взял методы, уже использовавшиеся открыто, и реализовал их во внутреннем процессе принятия решений в рамках клуба».

Дуг описал, как в бейсболе на смену менеджерам с успешными игровыми карьерами и интуицией постепенно пришли выпускники университетов из Лиги плюща[95] с опытом работы с данными.

– Бейсбол можно упрощенно представить как ряд матчей один на один между питчером и бэттером[96], – говорил Дуг, – и марковское предположение во многих ситуациях работает очень хорошо.

Потому-то этот вид спорта анализировать проще, чем другие. И математики здесь победили быстрее.

Дуг с энтузиазмом отзывался о ранних научных статьях, посвященных бейсбольной аналитике, выходивших в 1960-е и 1970-е. Джордж Линдси в своей работе 1963 года использовал одну статистическую модель, чтобы отвечать на разные вопросы – например, когда нужно постараться украсть базу[97], а когда игроки защищающейся команды должны располагаться ближе к бьющему. Его марковское предположение состояло в том, что на игру влияют количество выбывших игроков и расположение бейсболистов по базам. Он нашел оптимальные стратегии для бьющего и игры в поле, опробовав свои модели на данных, которые вручную собрал его отец, полковник Чарльз Линдси; они включали 6399 полуиннингов[98] в сезонах 1959–1960 годов. Свои выводы Линдси предварял предупреждением: «Повторим, что эти расчеты относятся к мифической ситуации, когда все игроки “средние”»[99].

Такая слегка преувеличенная честность – рассматривать свою модель одновременно как нечто мифическое и полезное – признак настоящего специалиста по математическому моделированию. Точное изложение предположений так же важно, как и точное изложение результатов.

Такие математические модели создавались в основном теми, кто находился вне игры, – людьми, очарованными статистикой и стремившимися ее применить. Как только в каком-то виде спорта признаётся мощь чисел, там начинают приветствовать тех, кому этот код знаком; людей же без таких умений просят проходить мимо. В бейсболе этот переход закончен. В баскетболе он продолжается, в футболе начинает распространяться. «Ливерпуль», который подписал лучших игроков «Ромы», принадлежит американскому бизнесмену Джону Генри – человеку, который привел Билла Джеймса в «Бостон Ред Сокс». Для поиска людей «Ливерпуль» нанял физика Иэна Грэма. Когда клуб выиграл Лигу чемпионов в 2019 году, газета The New York Times спрашивала в интервью у него и его коллеги – физика и аналитика Уильяма Спирмена об их ролях[100]. Разрешая такое интервью, клуб радостно подтверждал их участие в успехах команды. Победитель английской Премьер-лиги сезона 2018/19 – «Манчестер Сити» также имеет серьезную бригаду аналитиков; как мы уже видели, у чемпиона испанской Ла Лиги – «Барселоны» она тоже есть. Другие команды, в первую очередь «Манчестер Юнайтед», кажется, еще этого не уловили. Похоже, они понятия не имеют, сколько реально стоит для них Поль Погба.

Красная сторона «Манчестера» получила предупреждение[101]. Правила, которые применимы везде, действуют и в спорте. Модели побеждают. Бессмыслица проигрывает.

* * *

Когда вы собираетесь измерить свои умения или умения других, вам нужно четко сформулировать собственные предположения. Каково состояние дел до того, как вы начнете действовать, и какими они станут потом? Определитесь, какие сферы вашей жизни вы хотели бы улучшить. Возможно, желаете лучше познакомиться с математикой или чаще выходить на пробежки? Будьте честны: отметьте, какие уравнения знаете или сколько километров в неделю пробегаете. Зафиксируйте текущее положение и начните работать. Через месяц снова изучите ситуацию. Уравнение умений предлагает вам быть честными в отношении начальных предположений. Не оправдывайте свою неудачу, утверждая, что пытались достичь чего-то другого, и не преуменьшайте успехи, отвлекаясь на неудачи в других сферах своей жизни. Однако прежде чем продолжить, заново проанализируйте свои предположения. Оцените, в чем вы хотите стать лучше. Не зацикливайтесь на истории. Используйте марковское предположение, чтобы забыть прошлое и сосредоточиться на будущем.

В разговоре с Люком Борнном я осознаю, что мне самому нужно кое-что усовершенствовать. Мне надо быть терпеливее, когда я разговариваю с господином типа «Мой путь». Если отказаться от карикатурного изображения таких людей, изложенного в начале главы, им действительно есть что предложить. Такой человек обладает опытом и энергией. Он хорошо ладит с людьми. И он знает и любит свой вид спорта. Как мне удержать господина «Мой путь» от такого количества бессмыслицы и помочь ему сосредоточиться на датах и моделях?

Люк рассказывал мне, что ему нередко приходится сидеть на собраниях скаутов, где обсуждение увиденного недавно игрока начинается с фразы:

– Тебе нравится этот парень?

– Да, нравится, – отвечает другой скаут.

– Да, он крутой, – добавляет третий.

– Ну а мне он не нравится, – замечает первый.

В таких ситуациях Люк пытается для контекста добавить статистику. Скажем, третьему скауту он говорит: «Ну, вы его видели 22 ноября, а статистика показывает, что у него тогда выдался матч всей жизни. Так что…»

Теперь обсуждение может принять новое, более информированное направление. Скауты могут совместно посмотреть видео и побеседовать о том, насколько характерно оно для игры баскетболиста.

Люка поразило, насколько открыт персонал в спортивных клубах. Каждый встреченный им скаут желает получить всю доступную информацию. Как и математики, они жаждут данных. Люк пытается представить способ организовать всю такую информацию в форме базовой модели.

– Мы стараемся быть честными в отношении того, что говорят наши модели, – сказал мне Люк. – Мы выкладываем на стол всё и сообщаем скаутам свои предположения. Это становится фундаментом в их дискуссиях.

Он предоставляет своей организации статистические сводки, диаграммы, газетные отчеты – всё, что им нужно. Он старается не использовать в разговоре слово «данные», поскольку оно, как правило, фигурирует в спорах о надежности данных или о человеческом знании; он считает себя поставщиком информации. Как риторически спросил меня Люк, «кто не желает дополнительной информации?».

Меня заинтриговало то, что себя он рассматривает в основном как ресурс, и я не мог не высказаться по этому поводу:

– Вы так говорите, будто ставите себя на уровень ниже скаутов…

– Может, в каком-то смысле, – ответил Люк, немного подумав. – Мне нет нужды быть единственным умным человеком в «Кингз». Я предпочел бы быть тем, кто делает всех остальных умнее.

Мой опыт показывает, что такая скромность характерна для многих статистиков и специалистов по прикладной математике.

Я вспомнил свою беседу с сэром Дэвидом Коксом. Когда мы обсуждали понятие гениальности, он стал очень задумчивым.

– Я не пользуюсь словом «гений», – сказал он мне. – Оно очень сильное… И я никогда не слышал, чтобы кто-то называл кого-то гением, за исключением, возможно, Фишера.

Кокс имел в виду кембриджского математика Роналда Фишера, признанного отцом современной статистики.

– И даже тогда, – добавил он, – вероятно, это слово использовалось слегка саркастически. Может быть, это очень по-английски, но я считаю, что оно уже перебор.

Сэр Дэвид назвал нескольких человек, которых он действительно мог быть счесть гениями: Пикассо, Моцарт, Бетховен.

Слово «гений» часто употребляют применительно к точным и прикладным наукам: гений Альберта Эйнштейна в физике, Джона Нэша в экономике или Алана Тьюринга в информатике. Их вклад, безусловно, впечатляет; но это слово не отражает того, как стоит смотреть на их работу. Кажется, она становится недоступной для всех остальных, а сам математик превращается в господина «Мой путь», который считает себя умнее вас или меня.

В «Барселоне» есть гении. Это Лионель Месси, Серхио Бускетс, Самюэль Умтити и другие. Они видят то, чего мы никогда не увидим. Их игра создает произведения искусства, которые мало кто может повторить.

Члены «Десятки» не гении. Мы создаем идеи, которые можно повторить и измерить. Мы сортируем и организуем данные. Избавляемся от бессмыслицы. Предоставляем модели. И когда мы добиваемся наилучших результатов, мы делаем это незаметно.

Вы когда-нибудь задумывались о вероятности того, что вы – именно вы, а не кто-то еще? Я не имею в виду кого-то слегка другого – скажем, человека, который был (или не был) в Диснейленде или видел все (или не все) фильмы «Звездных войн». Нет, кто-то совсем другой: родившийся в другой стране или даже в другое время.

Население нашей планеты составляет примерно 8 миллиардов человек. Это означает, что вероятность оказаться конкретным человеком – примерно 1 к 8 миллиардам. Шансы угадать все номера в лотерее 6 из 49, которая проводится в Великобритании, равны примерно 1 к 14 миллионам, поэтому вероятность выиграть в такой лотерее по единственному билету в 570 раз выше, чем вероятность того, что вы – это вы.

Иногда я представляю себе Вселенную, в которой каждый день просыпаюсь случайным человеком. Вышеприведенные вычисления говорят: мы можем почти забыть о том, что дважды подряд проснемся собой (шансы на это тоже равны 1 на 8 миллиардов), но чему равна вероятность, что мы проснемся в том же городе, где заснули? В шведском Уппсале, где я живу, примерно 200 тысяч жителей. Значит, вероятность того, что я проснусь завтра здесь же, составляет всего около 1 / 40 000. Если я продолжу свое путешествие в течение пятидесяти лет, каждое утро просыпаясь случайным человеком, то шансы, что однажды снова окажусь в Уппсале, составляют примерно 50 %[102]. Можно сказать, что подбрасывание монетки определит, увижу ли я снова восход в моем родном городе.

В своем случайном путешествии каждые два года я проводил бы день в Лондоне и день в Лос-Анджелесе. Нью-Йорк, Каир и Мумбаи посещал бы почти раз в год[103]. Большой Токио с его населением 38 миллионов был бы моим домом почти дважды в год. Хотя вероятность проснуться в любом конкретном населенном пункте мала, у меня будет гораздо больше шансов оказаться в густонаселенных городских районах, чем в сельской местности. Больше всего шансов проснуться в Китае, затем в Индии. Если и можно найти какую-то стабильность во всей этой суматохе обитания в случайных телах, то она в этих двух странах. В совокупности в них проживает 2,8 миллиарда человек, поэтому примерно 2,5 дня в неделю я жил бы в одном из этих государств. В Африке окажусь примерно раз в неделю, а в США – чуть чаще раза в месяц. Мое путешествие, которое, вероятно, никогда не вернет меня в исходную точку, напоминает мне, что я одновременно и исключительно маловероятен, и до невозможности незначителен.

А теперь представьте, что я просыпаюсь не как человек, выбираемый наугад из всего населения планеты, а как один из тех, на кого подписан в Instagram. Я не активный пользователь этой социальной сети для фотографий и поэтому подписан только на нескольких френдов, которые нашли время, чтобы отыскать меня. Так что я проснусь одним из них: возможно, это будет школьный приятель или коллега-ученый из другого университета. Я получу на день их тело, узнаю, каково быть ими (возможно, даже отправлю какое-нибудь сообщение старому себе), а затем отправлюсь в постель и проснусь снова другим случайным человеком – одним из тех, на которых подписаны уже они.

Я могу даже снова проснуться Дэвидом Самптером. Типичные пользователи Instagram имеют 100–300 подписчиков, поэтому с учетом симметричных отношений (я подписан / на меня подписаны) есть вполне разумный шанс (примерно 1 / 200), что я проснусь собой. В любом случае крайне вероятно, что проведу несколько дней, путешествуя по своей социальной группе (мои френды, френды френдов и в целом люди, которые близки мне по культуре и происхождению).

Затем происходит то, что навсегда меняет мою жизнь. Я просыпаюсь Криштиану Роналду. Ну, не обязательно КриРо. Может, это будет Кайли Дженнер, Дуэйн «Скала» Джонсон или Ариана Гранде[104]. Знаменитости могут быть разными, но само превращение в звезду гарантировано. Примерно через неделю после начала путешествия я стану одним из самых известных людей в Instagram. У этих знаменитостей сотни миллионов подписчиков, среди них есть люди из моей социальной группы, и вскоре я прыгну в их тела.

Я вполне могу оставаться в мире знаменитостей неделю или даже больше. Криштиану Роналду подписан на Дрейка, Новака Джоковича, Снуп Догга и Стефена Карри[105], так что мне предстоит перемещаться между спортивными звездами и рэперами. Из Дрейка я прыгаю в Фаррелла Уильямса, а затем в Майли Сайрус; она же ведет меня к Уиллоу Смит и Зендае[106]. Теперь я свободно перемещаюсь по миру музыкантов и кинозвезд.

Затем после двух недель славы происходит еще одна трансформация – даже более драматичная, чем пробуждение в теле Снуп Догга. Однажды утром, проведя весь прошлый день на съемках боевика, я просыпаюсь школьным другом Дуэйна «Скалы» Джонсона. В этот момент осознаю ужасную истину. Я потерялся. Сейчас почти нет шансов, что я когда-нибудь снова стану Дэвидом Самптером. Совсем скоро я опять вернусь в круг знаменитостей, буду тусоваться со звездами и вывешивать фотографии своего полуобнаженного тела. Иногда эти периоды будут прерываться путешествиями по списку звезд рангом ниже, а изредка – кратковременным пребыванием в телах обычных людей; но после этого я снова вернусь в сияющий мир звездной жизни.

Вероятность того, что я стану собой завтра, становится крайне мала – возможно, один на триллион, а то и меньше. Все случайные путешествия по Instagram сходятся к знаменитостям и остаются там.

Одно важное уравнение XXI века выглядит так:

Забудьте о миллиардных заработках при использовании логистической регрессии в азартных играх. Это уравнение – основа индустрии с триллионами долларов. Это Google. Это Amazon. Это Facebook. Это Instagram. Это суть любого интернет-бизнеса. Оно создает суперзвезд и подавляет повседневное и обыденное. Оно создает авторитетов и возводит на престол королей и королев социальных сетей. Оно причина нашей непрерывной потребности во внимании, одержимости восприятием себя, разочарования и увлечения модой и побудительными мотивами знаменитостей. Из-за него мы ощущаем себя потерянными в море рекламы и продакт-плейсмента. Оно сформировало все аспекты нашей онлайн-жизни.

Это уравнение влияния.

Вы можете подумать, что такое важное уравнение очень трудно объяснить или понять. Это не так. Фактически я уже объяснил его, когда представил, как стал Криштиану Роналду, Дуэйном Джонсоном или Уиллоу Смит. Достаточно связать символы A (обозначает переходную матрицу) и p_t (вектор, определяющий вероятность оказаться тем или иным человеком в какой-то социальной группе в момент времени t) с тем путешествием, которое мы только что совершили по населению всего мира.

Чтобы наглядно представить переходную матрицу, вообразите себе электронную таблицу, в которой и строки, и столбцы подписаны именами людей. На пересечении стоит вероятность проснуться завтра другим человеком. Вообразите, что в мире живет всего пять человек: я, Дуэйн «Скала» Джонсон, певица Селена Гомес и еще двое, о ком я никогда не слышал: назову их Ван Фан и Ли Вэй. Если я предположу (как в своем первом мысленном эксперименте), что каждое утро просыпаюсь случайным человеком, то матрица A будет выглядеть так:

Столбцы и строки матрицы помечены инициалами пяти обитателей мира. Каждый день я смотрю на столбец того, кем сегодня оказался, а затем число в каждой строке сообщает мне вероятность того, что завтра я стану тем, с кем связана эта строка. Поскольку все числа равны 1/5, то это означает, что завтра я с равной вероятностью стану одним из пяти людей (включая меня самого).

Если я предположу (как во втором мысленном эксперименте), что буду просыпаться в теле того человека, на кого подписан в Instagram, то матрица A будет выглядеть иначе. Чтобы было интереснее, пусть Скала застрял на какой-то математической задачке и решил подписаться на меня в Instagram. Предположим, Селена Гомес познакомилась с Ван Фан и Ли Вэем на одном из своих концертов, подумав, что они здорово смотрятся вместе (я забыл упомянуть, что они пара), и подписалась на них. Разумеется, все подписаны на Селену и на Дуэйна. Тогда мы имеем:

Когда я Дэвид Самптер, для меня есть только два возможных варианта на завтрашний день: Селена или Скала. Поэтому в каждой из соответствующих клеток в моем столбце стоит 1/2. То же верно и для Скалы Джонсона. Остальные жители планеты могут перейти в трех других людей. Нули по диагонали матрицы отражают тот факт, что мы не можем остаться собой второй день подряд, потому что не подписаны на себя.

Теперь обратите внимание, что для создания моей модели я использовал марковское свойство (уравнение 4 из главы 4): предположил, что то, кем я был два дня назад, никак не влияет на то, кем оказался сегодня. По сути, матрица A определяет цепь Маркова: она дает нам переходные вероятности для перемещения из одного состояния в другое, при этом следующее состояние зависит только от нынешнего, но не более ранних.

Будем постепенно двигаться по дням с помощью нашей матрицы A. Предположим, в первое утро я проснулся Дэвидом Самптером. Теперь вычислим вероятности того, кем я стану завтра.

Я объясню, как умножаются матрицы, в примечаниях[107], но важнее всего обратить внимание на два столбца чисел в скобках по обеим сторонам от знака равенства. Они называются векторами, и каждый элемент вектора – число от 0 до 1, которое определяет вероятность того, что я окажусь определенным человеком в определенный день. В день 1 я Дэвид Самптер, так что число в моей строке равно 1, а остальные элементы вектора – 0. В день 2 я могу оказаться либо Селеной Гомес, либо Дуэйном Джонсоном (поскольку Дэвид Самптер подписан только на них), и в этом векторе есть два числа 1/2 для них, а остальные равны 0.

В день 3 все становится интереснее. Мы имеем:

Я могу оказаться кем угодно из пяти человек. Скорее всего, я буду Дэвидом Самптером или Селеной Гомес, но с вероятностью 1/6 могу оказаться также и Джонсоном, и одним из китайских френдов Селены. Давайте произведем умножение еще раз, чтобы найти, кем я могу оказаться в день 4.

Теперь мы видим, как знаменитости выходят на центральные роли. Глядя на вектор вероятностей, вычисленный для дня 4, мы обнаруживаем, что вероятность оказаться Скалой или Селеной Гомес – 23/72 – почти вчетверо выше, чем вероятность оказаться Дэвидом Самптером (всего 6/72).

Каждый раз, умножая нашу матрицу с переходными вероятностями на вектор очередного дня, мы переходим на один день в будущее. А теперь вопрос, который стал движущей силой для всех моих путешествий по населению мира: насколько часто я буду одним из этих пяти людей через очень большой промежуток времени?

Именно на этот вопрос и отвечает уравнение 5. Чтобы увидеть как, заменим матрицу и векторы символами. Матрицу мы уже назвали A, а вектор назовем p_t и p_t+1. Тогда наше умножение матриц примет сжатую форму:

A∙p_t = p_t+1,

где p_t – вектор, определяющий вероятность быть тем или иным человеком в нашей социальной группе в момент t. Мы станем использовать индекс t, чтобы обозначать время, как в предыдущей главе. Мы уже видели, что

Переходим к уравнению 5, которое я повторю здесь:

A∙p_∞ = p_∞.

Мы считаем, что прошло бесконечно много времени, поэтому разницы между t и t + 1 нет. Можем заменить эти индексы значком бесконечности ∞. Задумайтесь об этом. Отсюда следует, что если мы прыгали между телами достаточно много дней, то не имеет значения, прыгнем ли мы еще один раз: вероятность оказаться в некотором теле будет постоянной и определяться вектором p_∞. Назовем его стационарным распределением. Оно дает нам неизменное распределение вероятностей нахождения в том или ином состоянии (в теле того или иного человека) через очень большое время, когда то, кем мы были изначально, уже забылось.

Уравнение 5 определяет вероятность того, что я буду определенным человеком в какой-то день в отдаленном будущем. Осталось решить уравнение. Для вселенной из пяти человек, в которой я сейчас обитаю, мы находим, что:

Обратите внимание, что два вектора слева и справа от знака равенства одинаковы. Это значит, что, сколько бы раз я ни умножал на этот вектор переходную матрицу A, результат не изменится. Именно таковы в отдаленной перспективе мои вероятности оказаться тем или иным человеком.

Вывод? У меня вдвое больше шансов проснуться Дуэйном Джонсоном, чем Дэвидом Самптером, и еще больше – Селеной Гомес. Больше даже шансов стать Ван Фан и Ли Вэем, чем Дэвидом. Если перевернуть вероятности, можно узнать, сколько времени мы проведем в телах всех жителей нашего мира. Шестьдесят дней – примерно два месяца, и стационарное распределение говорит нам, что в среднем 8 дней из них я буду Дэвидом, 16 – Джонсоном, 18 – Гомес, по 9 – Ван Фан и Ли Вэем. Когда время сдвигается к бесконечности, более половины жизни я проведу как знаменитость.

* * *

Ясно, что мы не просыпаемся каждое утро разными людьми, но Instagram дает нам возможность заглянуть в чужую жизнь. Каждая увиденная фотография – момент, когда подписчик несколько секунд ощущает, каково быть кем-то еще.

Twitter, Facebook и Snapchat тоже дают возможность распространять информацию и влиять на чувства и мысли подписчиков. Стационарное распределение p_∞ измеряет такое влияние; и не только с точки зрения того, кто на кого подписан, но и с точки зрения скорости, с которой тот или иной мем или идея распространяется среди пользователей. Люди с большими вероятностями в векторе p_∞ влиятельнее и распространяют мемы быстрее. Люди с маленькими вероятностями в векторе p_∞ менее влиятельны.

Вот почему уравнение 5 – уравнение влияния – так ценно для сетевых гигантов. Оно говорит им, кто в их соцсети самые важные люди, и при этом компании ничего не знают о том, кто они в реальности и чем занимаются. Измерение влиятельности – всего лишь вопрос матричной алгебры, и этим бездумно и некритично занимается компьютер.

Изначально уравнение влияния применила Google при разработке своего алгоритма ранжирования страниц PageRank – незадолго до рубежа веков. Компания вычисляла стационарные распределения для сайтов в предположении, что пользователи случайным образом щелкают по ссылкам на посещенных сайтах, чтобы выбрать следующий, на который перейдут. По этой причине в результатах поиска они выше ставили сайты с более высокими значениями p_∞. Примерно в то же время Amazon стала создавать матрицу смежности A для своего бизнеса. В ней связывались те книги, а позже игрушки, фильмы, электроника и другие товары, которые люди покупали вместе. Определив тесные связи в матрице, компания смогла давать рекомендации для клиентов под заголовком вроде «Вам также может понравиться». Twitter использует стационарное распределение в своей соцсети, чтобы найти и предложить вам людей, на которых можно подписаться. Facebook применяет те же идеи при обмене новостями, а YouTube – чтобы рекомендовать видеоролики. Со временем подход развивался, появлялись дополнительные детали, но базовым инструментом для нахождения влиятельных лиц в соцсети остается матрица смежности A и ее стационарное распределение p_∞.

За последние два десятилетия это привело к неожиданному результату. Система, которая первоначально создавалась для измерения влияния, превратилась в его создателя. Алгоритмы на базе уравнения влияния определяют, какие публикации должны занимать видное место в социальных сетях. Идея в том, что если некто популярен, то этого человека желают выслушать больше людей. Результатом становится цикл обратной связи: чем влиятельнее человек, тем большую заметность дает ему алгоритм, а от этого его влияние еще больше растет.

Один бывший сотрудник Instagram рассказал мне, что изначально основатели компании очень неохотно применяли в бизнесе алгоритмы и математику. «Они видели в Instagram нечто очень нишевое, артистичное и считали алгоритмы негодными», – говорил он. Эта платформа предназначалась для обмена фотографиями между близкими друзьями. Все изменилось после успеха Facebook. «За последние пару лет платформа стала совершенно иной. Один процент ее пользователей имеет более 90 % подписчиков», – заметил мой собеседник.

Вместо того чтобы побуждать пользователей подписываться только на друзей, компания применила к своей сети уравнение влияния. Оно еще сильнее раскручивало самые популярные аккаунты. Возникала обратная связь, и аккаунты знаменитостей росли всё сильнее. Едва Instagram стал использовать уравнение влияния, как и все платформы социальных сетей до него, его популярность резко возросла – в нем более миллиарда пользователей.

* * *

Математические методы, используемые при конструировании соцсетей, появились задолго до возможности создания таких приложений. Вовсе не Google изобрела уравнение влияния: его происхождение восходит к Маркову, который предложил свойство, получившее его имя, для рассмотрения цепей состояний, где каждое новое состояние зависит только от предыдущего. Именно это и происходит при моем случайном путешествии по Instagram.

Решая уравнение 5 для моего мира из пяти человек, я слегка поленился. Я нашел ответ – вероятность, с которой буду тем или иным человеком в отдаленном будущем, – многократно перемножая матрицу A и вектор p_t, пока тот не перестал меняться. Сделав это, я нашел p_∞.

Такой метод в итоге приводит к правильному ответу, но он не особо изящен. И Google им не пользуется. Свыше ста лет назад математики Оскар Перрон и Георг Фробениус показали, что для любой цепи Маркова с матрицей A существует единственное стационарное распределение p_∞. Итак, независимо от структуры социальной группы мы всегда можем вычислить, сколько времени будем проводить тем или иным человеком, если станем случайным образом перемещаться между людьми. Это стационарное распределение можно найти с помощью метода Гаусса, который, как и нормальная функция, связан с именем Карла Фридриха Гаусса, однако восходит к более древним временам: китайские математики решали системы линейных уравнений с помощью этого метода больше двух тысяч лет назад. К матрице A применяются так называемые элементарные преобразования, чтобы привести ее к более удобному виду и найти в итоге p_∞. Это дает возможность быстро и эффективно находить влиятельных людей даже для сетей с миллионами участников.

На протяжении XX века «Десятка» изучала свойства сетей; соответствующая область математики называется теорией графов. Еще в 1922 году Джордж Удни Юл описал математику, стоящую за ростом популярности в Instagram, в терминах процесса, который позже был назван «предпочтительным присоединением»: чем больше у человека подписчиков, тем больше он привлекает к себе внимания, и его известность растет. Затем, в начале XXI века, всего за несколько лет до появления Facebook, эта область исследований расширилась и стала именоваться наукой о сетях: сейчас она описывает распространение мемов и фейковых новостей, изучает, как соцсети создают маленький мир, в котором все соединены через шесть рукопожатий, и потенциальную возможность поляризации[108].

«Десятка» была готова. Ее участники оказались среди основателей и первых работников будущих гигантских соцсетей. В основе их бизнеса лежит уравнение влияния. Зарплата, предложенная людям с нужными умениями, была достаточно соблазнительной даже для самых идеалистичных участников общества. И что еще важнее, эта работа давала им свободу для творческого мышления, создания новых моделей и их практического применения.

Вскоре перед участниками «Десятки» поставили задачу установить, как мы реагируем на соцсети. Они управляли лентой новостей Facebook, чтобы посмотреть, как пользователи реагируют, получая только негативные новости; они создавали кампании в сетях, чтобы побудить людей голосовать на выборах; конструировали фильтры, чтобы пользователи читали больше тех новостей, которые им интересны. Они контролировали то, что мы видели, определяя, видим ли мы публикации друзей, новости (фейковые и реальные), знаменитостей или рекламу. Именно участники «Десятки» стали влиятельными – не из-за сказанного ими, а благодаря их решениям о том, как нам связываться друг с другом. Они знали о нас даже то, чего мы не знали сами…

* * *

Вероятно, ваши друзья намного популярнее вас. Я ничего не хочу сказать о вас как о человеке, не желаю быть к вам несправедливым, но могу утверждать это с определенной уверенностью.

Математическая теорема, известная как парадокс дружбы, утверждает, что большинство людей в любой социальной сети, включая Facebook, Twitter и Instagram, менее популярны, чем их друзья[109]. Начнем с примера. Представьте, что мы убрали Дуэйна Джонсона из той социальной сети, которую описывали ранее. Теперь нас четверо – я, Селена Гомес, Ван Фан и Ли Вэй, и они имеют, соответственно, 0, 3, 2 и 2 подписчика. Вероятно, китайская пара чувствует себя довольно популярной за счет компании Гомес, но у меня есть для нее сюрприз. Я прошу каждого участника сети посчитать среднее число подписчиков у их друзей. Я подписан только на Селену Гомес, у нее три подписчика, поэтому среднее число подписчиков у моих друзей равно 3. Гомес подписана на двух людей, у каждого по 2 подписчика, так что среднее число подписчиков у ее друзей равно 2. Ван Фан и Ли Вэй подписаны друг на друга и на Гомес, поэтому их друзья в среднем имеют 2,5 подписчика. Таким образом, среднее число подписчиков у друзей в этой сети равно (3 + 2 + 2,5 + 2,5) / 4 = 2,5. Только Селена Гомес имеет больше друзей, чем ее подписчики. У Ван Фан, Ли Вэя и у меня число подписчиков ниже среднего.

Причина парадокса дружбы заключается в разнице между случайным выбором человека и случайным выбором отношения дружбы (см. рис. 5). Для начала выберем наугад одного человека. Ожидаемое (среднее) количество подписчиков у него – сумма числа подписчиков у всех пользователей, поделенная на общее число пользователей платформы. Для Facebook это число составляет около 200. Для нашей сети из четырех человек это (0 + 3 + 2 + 2) / 4 = 1,75. В теории графов это называется средним числом ребер, входящих в узел[110]. Выше мы показали, что среднее число подписчиков у друзей в этой сети равно 2,5, что больше, чем 1,75 – среднее число подписчиков.

Рис. 5. Парадокс дружбы для четырех участников

То же произойдет, если мы снова вернем в нашу сеть Дуэйна Джонсона. Результат сохранится, даже если Селена Гомес подпишется на меня. Парадокс дружбы можно доказать для любой соцсети, в которой каждый подписан на одно и то же количество людей. Доказательство таково. Сначала выберите наугад одного человека во всей сети; затем – кого-нибудь, на кого этот человек подписан. Если представить ситуацию иначе, то мы, выбрав двух связанных людей, взяли какую-то случайную связь среди всех изображающих отношения «подписанности» людей в соцсетях. В теории графов такие связи называются ребрами графа. Теперь, поскольку популярные люди имеют (по определению) больше входящих ребер, на конце любого данного ребра мы с большей вероятностью найдем популярного человека, чем если бы выбирали человека наугад. Таким образом, случайно выбранный друг случайно выбранного человека (человек на конце ребра), вероятно, имеет больше друзей, чем случайно выбранный человек. Это и показывает, что парадокс дружбы справедлив[111].

Такова математическая теория. Как все это работает на практике? Кристина Лерман, исследователь из Университета Южной Калифорнии, решила выяснить это. Она и ее коллеги взяли социальную сеть пользователей Twitter в 2009 году (на такой ранней стадии развития соцсети в ней было всего 5,8 миллиона пользователей) и рассмотрели отношения «подписанности»[112]. Ученые обнаружили, что люди, на которых был подписан типичный пользователь Twitter, имели примерно вдесятеро больше подписчиков, чем он. Только 2 % пользователей были популярнее своих подписчиков.

Лерман и ее коллеги пришли еще к одному выводу, который полностью противоречит интуиции. Оказалось, что подписчики случайно выбранного пользователя Twitter были в среднем в двадцать раз лучше связаны! Хотя кажется разумным, что люди, на которых мы подписаны, популярны (в конце концов, многие из них – знаменитости), гораздо труднее понять, почему люди, подписанные на нас, оказываются намного популярнее нас. Если они подписаны на вас, как они могут быть популярнее? Это не выглядит справедливо.

Ответ – в нашей склонности создавать взаимные отношения. Когда кто-то подписывается на вас, появляется определенное социальное давление, заставляющее сделать то же в ответ. Отказ выглядит грубостью. В среднем люди, подписанные на вас в Instagram или отправившие вам запрос в друзья в Facebook, также с большой вероятностью отправят аналогичные запросы другим людям. В результате они составят большую часть нашей социальной группы. И это еще не всё. Исследователи также обнаружили, что ваши друзья выкладывают посты чаще, получают больше лайков, репостов и охватывают больше людей, чем вы.

Как только вы примете математическую неизбежность непопулярности, ваши отношения с соцсетями начнут улучшаться. Вы не одиноки. По оценке Кристины Лерман и ее коллег, 99 % пользователей Twitter в том же положении. В самом деле, у популярных людей положение может оказаться еще хуже. Подумайте об этом. В нескончаемом поиске лучшего социального положения «крутые ребята» пытаются добиться взаимных отношений с теми, кто успешнее их. Чем чаще они это делают, тем скорее оказываются в окружении людей, которые популярнее, чем они сами. Это слабое утешение, но приятно осознавать, что те, кто кажется успешным, вероятно, ощущают то же, что и вы. Возможно, за исключением Пирса Моргана и Джоан Роулинг, оставшийся 1 % пользователей Twitter – либо аккаунты знаменитостей, которыми управляют пиар-службы, либо, весьма вероятно, люди, которые почти обезумели от стремления постоянно находиться в соцсетях.

* * *

Я не собираюсь присоединяться к тем, кто предлагает вам уйти из соцсетей. Мантра математика – не сдаваться. Нужно разделить все на три составные части: данные, модель и бессмыслицу.

Рекомендую начать сегодня. Прежде всего посмотрите на данные. Проверьте сами, сколько подписчиков или взаимных друзей имеют ваши друзья в Facebook или Instagram. Я только что сделал это для Facebook и обнаружил, что 64 % моих друзей популярнее меня. Затем вспомните модель. Популярность в соцсетях создается с помощью обратной связи, благодаря которой люди привлекают больше подписчиков. Это статистическая иллюзия, порожденная парадоксом дружбы. Затем убирайте бессмыслицу. Не жалейте себя и не ревнуйте к другим: просто осознайте, что мы часть Сети, которая искажает нашу самооценку самыми разными способами.

Психологи пишут и говорят о наших когнитивных искажениях, при которых отдельные люди или общество в целом воспринимают субъективную реальность, не совпадающую с реальным миром. Список таких искажений растет: «горячая рука», эффект присоединения к большинству, ошибка выжившего, предвзятость подтверждения, эффект фрейминга[113]. Участники «Десятки», разумеется, не отрицают существования таких искажений, но для них важнее не ограничения человеческой психологии. Вопрос в том, как убрать фильтр и увидеть мир четче. Для этого они придумывают сценарии «Что, если?». Что, если я буду просыпаться каждый день другим человеком? Что, если я путешествую по Snapchat как интернет-мем? Что, если буду читать только те новости, которые мне предлагает Facebook, и смотреть только фильмы, рекомендованные Netflix? Как тогда будет выглядеть для меня мир? И как это отличается от «более справедливого» мира, в котором я уделяю равное внимание всей доступной мне информации?

«Десятка» предлагает вам представить себе невероятные, фантастические сценарии. Затем они становятся математическими моделями. После этого можно начинать цикл. Модель сравнивается с данными, а те используются для совершенствования модели. Медленно, но верно участники «Десятки» могут убрать фильтр и раскрыть нашу социальную реальность.

* * *

Лина и Микаэла открывают свои аккаунты в Instagram и показывают мне свои телефоны. «Это реклама или селфи?» – спрашиваю я Лину.

Лина показывает фотографию местного пекаря, который демонстрирует на камеру поднос, полный пирожных в виде сердечек. Фотография выглядит настоящей, но идея здесь в приглашении подписчиков в магазин. Лина отвечает, что это селфи, но она классифицирует аккаунт как компанию.

Лина и Микаэла работают над своей дипломной работой по математике[114]. Они изучают, как Instagram представляет им мир. Незадолго до того, как они начали свой проект, Instagram снова обновил алгоритм, который определяет порядок показа фотографий. Компания заявила, что акценты сместились в сторону приоритетов снимков от друзей и семьи.

В результате многие популярные люди ощутили угрозу. Шведская блогерша и гуру соцсетей Анита Клеменс (65 тысяч подписчиков) сказала: «Психологически трудно видеть, как мои подписчики исчезают. Мне почти сорок, интересно, каково это для всех молодых авторитетов?»[115]

Клеменс ощущала, что она активно работала «для своих подписчиков», а новый алгоритм не доносил до них ее сообщения. Чтобы проверить ограничения, она опубликовала свою фотографию с новым партнером: легко было ошибочно решить, что на снимке она беременна.

Эта фотография широко разошлась по платформе, а затем Клеменс раскрыла, что ее основной целью была проверка того, какие снимки срабатывают, а какие нет. Заявление о своей беременности в Instagram, похоже, работает, если вы желаете привлечь больше внимания.

Хотя реакция на один снимок с ложной беременностью дает очень мало информации, можно сказать, что Клеменс проводит своего рода эксперимент. Келли Коттер из Университета штата Мичиган обнаружила, что многие популярные люди в Instagram пытаются понять алгоритм и манипулировать им[116]. Они открыто обсуждают расходы и выгоды от лайков и комментирования максимально возможного количества постов, проводя A/B тестирование для разных стратегий (вспомните уравнение ставок). Часто такие люди пытаются определить, не «затеняет» ли их сайт, опуская их посты ниже в ленте подписчиков. Когда Instagram изменил свои алгоритмы, многие из этих людей поспешили написать в социальных сетях заявления с хештегом #RIPInstagram.

Теперь Лина и Микаэла планировали тщательнее изучить алгоритм Instagram исходя из собственной позиции типичных пользователей. В течение месяца они будут открывать свои аккаунты только один раз в день в 10 утра, смотреть на порядок показываемых фотографий и отмечать тип каждого поста и сообщения. Так они могут проверить гипотезу популярных лиц, что алгоритм затеняет их и снижает их приоритет.

«Я думаю, что более редкое появление в аккаунте пойдет нам на пользу», – говорит Микаэла, имея в виду то, что они собирают данные всего один раз в день. Как и многие из нас, эти молодые женщины проверяют свои соцсети чаще, чем на самом деле хотят.

Задача в том, чтобы провести обратную разработку (реверс-инжиниринг) алгоритма, который использует Instagram: выяснить, что сеть от них скрывает (если она это делает). В математике это называется обратной задачей, и один из примеров использования – современная компьютерная томография. Когда пациент лежит в аппарате, во всех направлениях производятся снимки с помощью рентгеновских лучей. Материалы разной плотности в нашем теле поглощают рентгеновские лучи по-разному, что позволяет видеть скелет, легкие, мозг и другие системы нашего тела. Обратная задача в этом случае – собрать все снимки воедино, чтобы получить полное изображение наших внутренних органов. Математический метод, лежащий в основе этого процесса, – преобразование Радона (названное в честь предложившего его австрийского математика Иоганна Радона), которое дает возможность восстановить точную трехмерную картину по отдельным двумерным изображениям.

У нас нет преобразования Радона для социальных сетей, но имеется – в форме уравнения 5 – ясное понимание того, как они поглощают и изменяют социальную информацию. Чтобы провести обратную разработку процесса деформации данных, который применяет Instagram, Лина и Микаэла использовали статистический метод под названием бутстрэппинг. Каждый день они брали первые 100 сообщений в своей ленте и случайным образом перемешивали их, создавая новый порядок. Они повторяли этот процесс 10 000 раз, получая распределение перестановок, которое имело бы место, если бы Instagram просто показывал посты случайно, не устанавливая для них какие-то приоритеты. Сравнивая положение популярных людей в реальной ленте Instagram с таким рандомизированным ранжированием, они смогли определить, сдвигаются ли такие люди в их ленте вверх или вниз.

Результаты резко противоречили мнениям, вызвавшим появление хештега #RIPInstagram. Не нашлось подтверждений тому, что каких-то популярных людей угнетали: их положение в лентах Лины и Микаэлы статистически не отличалось от того, каким оно было бы при случайном порядке. Оказалось, что Instagram нейтрально относится к таким лицам. Однако некоторые аккаунты получили существенный приоритет: друзья и семья поднимались на верх ленты. Это происходило в основном за счет новостных сайтов, политиков, журналистов и организаций. Instagram не столько снижал влияние популярных людей в ленте, сколько увеличивал влияние друзей и семьи и затенял аккаунты, которые не платили за рекламу.

Самым показательным в кампании #RIPInstagram было ощущение незащищенности популярных людей. Они внезапно осознали, что у них не так много контроля над социальным положением, как они думали. Их позиции определялись алгоритмом, который способствовал популярности, а теперь они беспокоились, что ее отнимет другой алгоритм, ориентированный на друзей.

Это исследование показало, что настоящие влиятельные лица в сети не те, кто публикует снимки своей еды и моментов жизни. Скорее, это программисты Google, Facebook и Instagram, конструирующие фильтры, через которые мы смотрим на мир. Они решают, кто популярен и что популярно.

Для Лины и Микаэлы эксперимент оказался терапевтическим. Лина сказала мне, что изменился ее взгляд на Instagram. Она ощутила, что теперь лучше использует свое время в этом приложении. «Вместо того чтобы прокручивать ленту в поисках интересного, я останавливаюсь, увидев посты друзей. Я знаю, что дальше будет просто скукота», – говорит она.

Уравнение влияния справедливо не для одной социальной сети; оно относится ко всем. Его сила – способность показать, как структура онлайн-сетей формирует ваш взгляд на мир. Когда вы ищете товары на Amazon, то попадаете в систему «вам также может понравиться», поскольку самые популярные продукты показываются первыми. Twitter сочетает полярные мнения с возможностью оспаривания ваших взглядов людьми со всего мира. В Instagram вас окружают друзья и семья, вы ограждены от новостей и мнений. Используйте уравнение 5, чтобы честно рассмотреть, кто и что на вас влияет. Напишите матрицу смежности для вашей социальной сети и посмотрите, кто находится в вашем онлайн-мире, а кто вне его. Подумайте о том, как эта соцсеть влияет на вашу самооценку и как контролирует информацию, к которой вы имеете доступ. Подвигайтесь в ней и посмотрите, как это затрагивает других людей, с которыми вы связаны.

* * *

Через несколько лет Лина и Микаэла, которые планируют стать преподавателями математики, будут объяснять подросткам, как алгоритмы телефонов фильтруют взгляды на мир. Большинству детей этот урок поможет разобраться в сложной социальной группе, в которую они встроены. А некоторые увидят другую возможность – карьерную. Они станут серьезно учиться, глубже понимать математику и узнавать, как применять алгоритмы, используемые Google, Instagram и прочими компаниями. Некоторые из них могут пойти дальше и стать частью богатой и влиятельной элиты, которая контролирует, как нам подается информация.

В 2001 году сооснователь Google Ларри Пейдж получил патент на использование уравнения 5 при поиске в интернете[117]. Изначально тот принадлежал Стэнфордскому университету, в котором тогда работал Пейдж, и Google приобрел его за 1,8 миллиона акций компании. В 2005 году Стэнфорд продал эти акции за 336 миллионов долларов. Сегодня они стоили бы в десять раз больше. Применение уравнения 5 – это лишь один из многих патентов Google или Facebook, где к интернету применяют математику XXI века. Теория графов стоит миллиарды для технических гигантов, ее применяющих.

Тот факт, что математические формулы, созданные почти за сто лет до подачи патента, могут принадлежать какому-нибудь университету или компании, похоже, противоречит духу «Десятки». У участников всегда были секреты, однако ими обычно делились, их использовали все желающие. Должны ли у общества быть принципы, которые не позволяют его участникам ограждать свои открытия или получать сверхприбыль от своих тщательно собранных знаний?

Оказывается, ответ на этот вопрос далеко не очевиден…

Разделение мира на модели, данные и бессмыслицу дало участникам «Десятки» чувство уверенности. Им больше незачем было беспокоиться о последствиях; достаточно применять свои умения на практике. Они превращали любую задачу в числа и данные, четко формулировали предположения, рационально рассуждали и отвечали на поставленные вопросы.

Первоначально участники трудились на государственной службе и в государственных исследовательских организациях. В 1940-е и 1950-е они продолжали работу Ричарда Прайса, создавая системы национального страхования и обеспечивая услуги здравоохранения. Именно в это время Дэвид Кокс стал работать в текстильной промышленности, используя математику для промышленного роста. В 1960-е и 1970-е участники «Десятки» заняли должности в таких исследовательских учреждениях, как Bell Labs в Нью-Джерси, NASA, в министерствах обороны в странах – участницах холодной войны, а также в элитных университетах и стратегических аналитических центрах вроде корпорации RAND. Внутри групп происходила консолидация знаний. В 1980-е и 1990-е результатами заинтересовалась финансовая индустрия, которая нанимала участников «Десятки» для управления своими фондами.

Освободившись от бессмыслицы, общество полагало, что его участники сами способны решить мировые проблемы. Богатые и влиятельные соглашались, платя им огромные деньги за управление инвестиционными фондами. Правительства полагались на них, планируя экономическое и социальное будущее своих стран. Межправительственные организации отдавали им центральную роль в прогнозировании изменений климата и определении целей развития.

Но кое о чем математики «Десятки» забыли. Алфред Айер писал об этом в книге «Язык, истина и логика», однако это не было понято так же хорошо, как другие идеи логического позитивизма, которые двигали общество вперед. Когда Айер использовал принцип проверяемости, чтобы отделить математику и науку от бессмыслицы, он обнаружил, что категория бессмыслицы гораздо шире, чем признают большинство ученых. Он продемонстрировал, что мораль и этика также относятся к категории бессмыслицы.

Айер доказывал это поэтапно. Он начал с классификации религиозных истин. Он показал, что вера в Бога непроверяема: нет эксперимента, который мог бы подтвердить или опровергнуть существование Господа. Он писал, что верующий может заявлять, будто Бог – загадка, выходящая за рамки человеческого понимания, или мы имеем дело с актом веры, или Бог – объект мистической интуиции. Айер принимал все эти объяснения, пока верующему было понятно, что они – «бес-смыслица». Верующие не должны и не могут подразумевать, что Бог или любое иное сверхъестественное существо играет какую-то роль в наблюдаемом мире. Религиозные убеждения любого человека или учение пророка нельзя подтвердить данными, поэтому они непроверяемые. Если же какой-то верующий утверждает, что его убеждения поддаются верификации, то их можно проверить данными и (с большой вероятностью) доказать их ложность. Религиозные убеждения были бессмыслицей.

До этого момента большинство участников «Десятки» принимали и понимали рассуждения Айера. Они соответствовали их взглядам и убеждениям. Они уже отвергли чудеса и больше не нуждались в Боге. Но Айер пошел дальше. С атеистами, выступавшими против религий, он обращался с таким же холодным пренебрежением, как и с верующими. Атеисты обсуждали бессмыслицу, поэтому и сами участвовали в ее создании. Эмпирически обоснованными утверждениями о религии могли быть только те, что касались анализа психологических аспектов отдельного адепта и/или роли веры в обществе. Оспаривание же убеждений было таким же бессмысленным, как и их отстаивание.

Этим дело тоже не закончилось. Далее Айер отверг практический аргумент, выдвинутый кем-то из других участников «Венского кружка», что нам следует стремиться к величайшему счастью для всех. Он утверждал, что невозможно использовать одну только науку, чтобы решить, что такое «благо» или «добродетель», либо чтобы оправдать наши действия в балансе между счастьем сейчас и состоянием в будущем. Мы можем моделировать скорость, с которой онлайн-казино забирают деньги у клиентов, слишком бедных для азартных игр, но неспособны использовать нашу модель, чтобы сказать: нехорошо, что игроки тратят деньги так, как хотят. Специалист по моделированию климата может сказать: «Если мы не сократим выбросы CO₂, будущим поколениям грозят неустойчивый климат и нехватка продовольствия»; но это не скажет нам ничего о том, стоит ли оптимизировать свою жизнь сейчас или лучше подумать о благополучии наших внуков. Для Айера все стимулирование к моральному поведению, все заявления вроде «Мы должны помогать другим», «Нам нужно действовать ради общего блага», «Мы несем моральную ответственность за сохранение мира для будущих поколений» и «Вам не следует патентовать математические результаты» были эмоциональными всплесками, относящимися к сфере психологии, которые не содержали никакого значимого смысла.

Точно так же рассуждение Айера не допускает эмпирической проверяемости таких индивидуалистических эмоциональных заявлений, как «жадность – это хорошо» или «позаботьтесь в первую очередь о себе». И снова это бессмыслица, хотя и глубоко укоренившаяся в нашей психике. Нет способа проверить такие утверждения на основе нашего опыта, кроме как обсудить относительный финансовый и социальный успех людей, следующих таким максимам. Мы можем смоделировать факторы, которые привели какого-то человека к богатству и славе. Или измерить личностные характеристики тех, кто добился успеха. Либо говорить о том, как эти черты развились в результате естественного отбора. Но мы не можем использовать математику, чтобы доказать: те или иные ценности по сути – благо или добродетель. Принцип верификации, так здорово помогающий участникам «Десятки» моделировать мир, оказался бесполезным при определении морального пути.

Если «Десятка» не может найти мораль изнутри, откуда у нее чувство уверенности? И чьим интересам она на деле служит, если нет моральной ориентации? Может, все не так добродетельно и правильно, как воображал Ричард Прайс?

Я сидел за столиком в одном из первоклассных ресторанов Гонконга, глядя на порт. Один из крупнейших инвестиционных банков мира пригласил меня пообедать с его лучшими аналитиками рынка. Первоклассным было все – от перелета с моей женой до пятизвездочной гостиницы и еды, которую мы сейчас поглощали.

Обсуждение дошло до одного из самых серьезных противоречий в их мире – разницы между долгосрочными и краткосрочными инвестициями. Эти мужчины (и одна женщина) работали в основном над долгосрочными вопросами, управляя ростом пенсионных фондов. Их решение инвестировать в какую-то компанию определялось ее базовыми принципами, структурой управления, планами и положением на рынке. Это был мир, который они понимали и в котором были уверены. Если бы они не знали, что делают, мы бы не сидели в ресторане с такой великолепной панорамой.

А вот в краткосрочных перспективах аналитики были не так уверены. Торговля стала алгоритмической, и они не понимали, что делают алгоритмы. Участники обеда спрашивали меня: какие языки программирования должны изучать их новые сотрудники? Какими математическими навыками обладать? Какие университеты дают лучшие магистерские степени в области науки о данных?

Я пытался ответить на эти вопросы как можно лучше, но понял, что упускаю очевидное. Я считал само собой разумеющимся то, чего у этих людей не было. Я предполагал – из-за красивой панорамы и ресторана с мишленовскими звездами, – что эти парни походят на меня, смотрят на мир через призму математики и именно поэтому так богаты. Когда вначале рассказал им о том, как использую марковское предположение для анализа последовательностей владения в футбольных матчах, аналитики кивали и выглядели весьма осведомленными. Они бросали модные словечки: «машинное обучение» и «большие данные». Я, конечно, понимал, что они не знали всех деталей того, над чем я работал, но верил, что они улавливали ключевые идеи.

Аналитики не хотели подпортить впечатление. И я внезапно понял это в тот момент, когда они спросили о навыках, которые необходимы их новым работникам. Они понятия не имели, о чем я говорю, и очень мало знали об уравнениях. Аналитики не умели программировать и считали статистику не наукой, а списком чисел в приложении к годовому бухгалтерскому отчету. Один из них спросил меня, можно ли считать математический анализ важным навыком для выпускника математического факультета.

Как я мог быть таким наивным? Почему я не заметил этого раньше? В тот день мы слушали одного парня, который написал книгу о том, почему нам следует «думать медленно»[118]. Это было очень «вдохновляюще». Он повторял слово «ме-е-е-е-е-е-едленно» очень неторопливо, чтобы мы понимали, что перед принятием решения нам следует притормозить. И рассказывал истории о том, как до-о-о-олго держал акции и они выросли в цене или как устанавливал большо-о-о-о-ой интервал времени для оценки своих активов. И он вещал нам о спорах с каким-то другим парнем, который считал, что нужно действовать быстро. Один из примеров, который он приводил в доказательство своей точки зрения, касался калифорнийской компании, занимающейся автоматической торговлей. В этой сфере даже время пересылки данных о цене с западного побережья в торговый зал в Чикаго слишком велико. По этой причине компания переехала, передвинув свои основные структуры к фондовой бирже. Однако производительность используемого алгоритма упала. Он работал лучше, когда расстояние было больше.

Вывод выступавшего был таков: данный случай подтверждает, что медленнее – значит лучше. Это было явно неверно. История, по сути, повествовала о том, как алгоритм, настроенный на одно время, может не работать при других параметрах. Банальное наблюдение. В лучшем случае это можно считать историей о том, что если ваш алгоритм настроен не на такую шкалу времени, как другие, то у вас может быть какое-то преимущество. Все алгоритмы торговли поблизости от фондовой биржи были настроены на использование неэффективностей для коротких промежутков времени, а трейдеры западного побережья могли эксплуатировать неэффективности на несколько более продолжительной шкале. Так было, пока они не перенесли сервер. Но в более медленных временных масштабах нет ничего уникального.

Безусловно, в сфере принятия решений – как в экономике, так и в психологии – существуют высококачественные исследования, но докладчик не соблюдал базовые научные стандарты. Он давал полупродуманные рекомендации по инвестициям, используя ложную дихотомию времени, – и казалось, что у него есть какая-то теория. Но моя цель не разбить его аргументы, меня беспокоило то, как его рассказы и истории других докладчиков на конференции воспринимались присутствующими. Аналитики рынка, которые почти ничего не знали об алгоритмах в основе бизнеса, рассказывали друг другу случаи, чтобы другие чувствовали себя умнее.

Я позволил себе стать частью этого. Казалось, моя роль здесь – предложить такие же истории: о ставках в Премьер-лиге, скаутах из футбольных клубов и алгоритмах Google. Они подтвердили бы убеждения хозяев, что они понимают, как работает высокочастотная торговля или спортивная аналитика. Но еще больше, чем незнание ими технических деталей высокочастотной торговли, меня тревожило то, что из алгоритмов, которые использовали эти трейдеры, можно было извлечь полезные уроки. Они могли бы помочь найти более сбалансированный подход к их работе. Однако эти люди рассматривали алгоритмы как черный ящик, методы небольшой горстки специалистов по количественному анализу, которым они платят зарплату, чтобы эти «кванты» приносили им прибыль; и они, похоже, даже не пытались понять то, что знают эти специалисты и чего до сих пор не могли ухватить они сами.

Более того, они опасались задавать вопросы, когда могли не понять ответов. Я ощущал за столом этот страх и, к своему стыду, потворствовал ему. Вместо того чтобы рассказать им то, что им нужно было знать, я продолжал пичкать их историями, которые они ожидали услышать: рассказывал о своем визите в Барселону, о Яне и Мариусе и о том, как футбольные скауты находят новых игроков. Они выглядели заинтересованными, и вечер прошел приятно. У них тоже было что рассказать и хватало действительно интересных историй. Один из них недавно встречался с Нассимом Талебом, которого я очень уважаю. У другого дочь занималась математикой в Гарварде. Я пил вино и пропитывался этой атмосферой. Я радовался, когда подходила моя очередь рассказывать разные случаи, и старался излагать как можно лучше.

Не судите меня. Нет причин, по которым я не могу наслаждаться компанией людей, которые не разбираются в математических деталях торговли. Иногда они могут быть даже забавнее, чем те, кто в этом разбирается.

А вот что я мог бы рассказать, если бы не был таким лицемером.

Нельзя раскрыть секреты финансовых рынков, не начав с этого фундаментального уравнения:

Уравнения упрощают мир, концентрируя много знаний в небольшом количестве символов, и уравнение рынка – блестящий пример. Если мы хотим распаковать знание, заключенное в этом уравнении, нам нужно шаг за шагом разобраться с ним.

Это уравнение описывает, как меняется величина X, которая представляет «ощущение» инвесторов в отношении текущей стоимости какой-то акции. Это ощущение может быть положительным или отрицательным, так что X = –100 означает реально плохое ощущение о будущем, а X = 25 – довольно хорошее. Экономисты говорят о «быках» и «медведях» на рынке. В нашей модели бычий рынок в будущем положителен (X > 0), а медвежий отрицателен (X < 0). Если мы хотим большей конкретики, то можем представлять себе нашу величину X как количество «медведей» (людей, играющих на повышение) минус количество «быков» (играющих на понижение). Но на этом этапе мы не хотим связываться с конкретной единицей для измерения X. Вместо этого думайте об X примерно как об улавливании эмоций. Это могут быть не инвесторы, а чувства на собрании, когда объявляют о сокращении рабочих мест, или ощущение после того, как ваша компания получила большой заказ.

В математике принято ставить слева в уравнениях то, что мы желаем объяснить, а справа – то, что, по нашему мнению, дает объяснение. Именно это мы делаем в нашем случае. Слева стоит величина dX. Буква d обозначает изменение. Соответственно, dX – «изменение в ощущении». Обратите внимание, как атмосфера в помещении мрачнеет, когда вы обнаруживаете, что ваша работа под угрозой. Такая угроза сокращения может быть dX = –12. Если новый заказ поможет вашей компании работать еще несколько лет, то dX = 6. А если он еще и большой, то может оказаться, что dX = 15.

Не надо фокусироваться на единицах, которые я использую для этих величин. Когда мы решаем школьные задачки, то обычно складываем и вычитаем реальные предметы – яблоки, апельсины или деньги; сейчас же мы можем позволить себе большую свободу. Я понимаю, что не существует такой вещи, как изменение эмоций ваших коллег dX = –12, но это не означает, что мы не можем написать уравнение, которое пытается уловить изменения в ощущениях группы людей. Именно это и есть цена какой-нибудь акции: это то, как инвесторы ощущают будущую стоимость компании. Мы хотим объяснить изменения в наших коллективных ощущениях по поводу инвестиций в конкретные активы или в отношении к какому-то политику либо потребительскому бренду.

В правой части уравнения три слагаемых – hdt, f(X)dt и σ∙ε_t. Самая важная часть здесь – сигнал h, далее обратная связь f(X) и стандартное отклонение σ (или шум). Коэффициенты, на которые умножены эти величины, указывают, что мы интересуемся изменениями (d) во времени (t). Шум умножается на ε_t (или небольшие случайные отклонения во времени). Эти слагаемые моделируют наши ощущения в виде комбинации сигнала, социальной обратной связи и шума. Сейчас мы уже способны понять нечто фундаментальное, но сначала рассмотрим конкретный пример.

Возможно, вас интересует, можно ли применить уравнение рынка для выбора пенсионной программы. Боюсь, здесь ответа придется подождать. Есть более насущные вопросы – например, стоит ли вам отправиться смотреть новый фильм из вселенной Marvel. Или какой тип наушников лучше купить. Или куда поехать в отпуск в следующем году.

Рассмотрим решение о покупке новых наушников. У вас припасено 200 фунтов, и вы просматриваете сайты в поисках оптимального варианта. Вы идете на страницу компании Sony и читаете технические характеристики; вы смотрите отзывы о японском бренде Audio-Technica; вы видите, что все знаменитости и спортивные звезды пользуются Beats. Что выбрать?

Я не могу посоветовать вам, какие наушники купить, но могу рассказать, как нужно подходить к этой задаче. Проблемы такого рода относятся к разделению сигнала h, обратной связи f(X) и шума σ. Начнем с Sony и будем использовать переменную X_Sony, чтобы измерить, насколько потребители любят этот бренд. Мой первый качественный кассетный плеер и пара наушников, купленные в 1989 году у Ричарда Блейка уже подержанными, были выпущены как раз Sony. Они классические и надежные. Для уравнения 6 продукты Sony имеют фиксированное значение h = 2, а в качестве промежутка времени возьмем dt = 1 год. Поскольку единицы «ощущения» произвольны, сама по себе величина 2 не важна. Значима величина сигнала относительно социальной обратной связи и шума. Для Sony мы выберем f(X) = 0 и σ = 0. Иными словами, есть только сигнал.

Если мы начинаем с X_Sony = 0 в 2015 году, то для 2016-го в силу равенства dX_Sony = h ∙ dt = 2 получаем X_Sony = 2. В 2017-м у нас X_Sony = 4 и так далее – до 2020-го, в котором X_Sony = 10. Позитивное ощущение от Sony растет, потому что сигнал положителен.

О другом бренде, Audio-Technica, вы знаете намного меньше. На паре каналов в YouTube у него хорошие отзывы. Один фанат в вашем местном магазине аппаратуры утверждает, что именно этот бренд самый популярный у японских диджеев, но информации у вас немного. Если пользоваться советами только из одного-двух источников, возникает риск, и именно он создает шум. Поскольку рекомендации об этих наушниках японских диджеев поступили от небольшого числа лиц, мы дадим им σ = 4, итого шум будет вдвое больше сигнала.

Уравнение рынка для бренда Audio-Technica получилось таким: dX_AT = 2dt + 4ε_t. Мы можем считать, что компонент ε_t дает нам каждый год какое-то случайное число[119]. Иногда оно положительное, иногда отрицательное, но в среднем ε_t = 0, а его дисперсия равна 1.

Выбирая случайные значения для ε_t, мы можем моделировать случайную природу информации о бренде Audio-Technica. Именно это, как правило, делают специалисты по количественному анализу, когда моделируют изменения в цене акций. В любой конкретной задаче они запускают миллионы имитаций и смотрят на распределение результатов.

Сейчас, чтобы посмотреть, как работает такое моделирование, я «запущу» имитацию с выбранными ранее случайными значениями. Предположим, в 2015 году случайная величина ε_t = –0,25. Тогда dX_AT = 2–4 ∙ 0,25 = 1. Если в следующем году ε_t = 0,75, то dX_AT = 2 + 4 ∙ 0,75 = 5, а если в 2017 году ε_t = –1,25, то dX_AT = 2–4 ∙ 1,25 = –3. Ваше доверие к бренду Audio-Technica со временем растет (в 2016, 2017 и 2018 годах величина X_AT составляет 1, 6 и 3 соответственно), однако более хаотично, чем в случае Sony.

Наконец, у нас есть продукт с социальной обратной связью: Dr Dre’s Beats. Эти наушники предназначены для того, чтобы вы выкладывали свои фото в социальных сетях и создавали у других ощущение, что нужно последовать вашему примеру. Beats заставляют вас верить в рекламную шумиху. По мере того как такое ощущение возникает у знаменитостей и сетевых авторитетов, оно привлекает все больше людей и становится сильнее. В нашей модели мы могли бы установить, например, f(X) = X: ощущение для наушников Beats растет пропорционально своей величине. Чем больше любят Beats, тем больше любви к ним производится. Это дает нам уравнение рынка dX_B = 2dt + X_Bdt + 4ε_t: изменение отношения для Beats составляют 2 единицы роста, X_B для социальной обратной связи и 4 единицы для шума.

Вообразим, что бренд Beats начался с плохого года в 2015-м, случайный фактор ε_t = –1. Предположим, что изначально у нас X_B = 0. После применения уравнения рынка получаем dX_B = 2 + 0–4 ∙ 1 = –2. К началу 2016-го наше доверие к X_B отрицательно, X_B = –2. В следующем году дела с шумом обстоят лучше, ε_t = 0,25, но обратная связь ограничивает улучшение ситуации: dX_B = 2–2 + 4 ∙ 0,25 = 1. Поэтому в 2017-м X_B = –1. В течение 2018 года ε_t = 1, и отношение к Beats начинает улучшаться: dX_B = 2–1 + 4 = 5. Теперь X_B = 4, и социальная связь определяет взлет: несмотря на плохонький 2019-й с ε_t = 0, мы имеем dX_B = 2 + 4 + 0 = 6, и ощущение от Beats сохраняется: X_B = 10. Слагаемое социальной обратной связи усиливает и хорошее, и плохое: сначала это может мешать популярности товара, но когда какое-то отношение установилось, то оно усиливается все быстрее.

Я, конечно, создаю карикатурное изображение Sony, Beats и бренда японских диджеев. И прежде чем кто-то из них подаст на меня в суд, покажу вам реальную трудность для вас как потребителя. Просматривая сайты и расспрашивая друзей, вы измеряете ощущения людей от тех или иных наушников. Для нашей модели они сведены воедино на рис. 6.

Рис. 6. Как меняется со временем отношение к трем продуктам

В различные периоды верхнюю строчку в соответствии с ощущениями потребителей занимают разные товары. В 2016 и 2018 годах лучшей считалась Sony. В 2017-м – наушники Audio-Technica. А в 2019 и 2020-м лучшим товаром выглядит Beats.

У вас может возникнуть соблазн сделать из вышенаписанного вывод, что следует отдать предпочтение Sony, у которой самый надежный сигнал. Но помните, что у всех остальных товаров тоже есть реальный сигнал, и в нашем примере он одинаков для всех: h = 2. Правая сторона уравнения рынка говорит вам, что нужно копать глубже. Для любого бренда в уравнение будут входить все три компонента. Ваша задача как слушателя – обнаружить сигнал в обратной связи и шуме. То же рассуждение можно применять ко всем потребительским продуктам – от последнего блокбастера или онлайн-игры до кроссовок и дамских сумочек. Чаще всего вы руководствуетесь ощущением о продуктах, но в реальности хотели бы знать об их качествах.

Задача для фондовых рынков ровно та же. Мы часто знаем только рост цены акции dX, но нам хочется узнать и силу сигнала. Может быть, здесь важная составляющая – социальная обратная связь, создающая ажиотаж? Каковы источники смущающего шума?

* * *

Веками участники «Десятки» видели только сигнал. Вдохновленный неизбежной силой ньютоновского тяготения, шотландский экономист XVIII века Адам Смит описал невидимую руку, которая приводит рынок к равновесию. Обмен продуктами уравновешивает спрос и предложение. Итальянский инженер Вильфредо Парето формализовал взгляды Смита с помощью математики, описав наше постоянное экономическое развитие в сторону оптимальности. Сигнал прибыли неизбежно ведет нас к стабильному процветанию. Во всяком случае так они считали.

Первые редкие признаки нестабильности – тюльпанная лихорадка в Голландии или крах Компании Южных морей – давали мало реальных оснований для беспокойства. Только после распространения капитализма по всему миру для взлетов и падений потребовались объяснения. От Великой депрессии 1929 года до биржевого краха 1987-го повторяющиеся кризисы демонстрировали обществу, что рынки несовершенны – они могут быть беспорядочными, со значительными колебаниями. Шум стал таким же сильным, как сигнал.

Как физика в начале XX века из ньютоновской превратилась в эйнштейновскую, так эволюционировала и математика рынков.

В 1900 году французский математик Луи Башелье опубликовал свою диссертацию «Теория спекуляций», в которой описывались два компонента уравнения 6. Эйнштейн в 1905 году, еще до публикации своей теории относительности, объяснил, как движение пыльцы в воде вызывается случайными ударами молекул воды. Казалось, эта новая математика случайностей способна идеально описать удары, которые внешние события наносят экономическому процветанию, и участники «Десятки» начали создавать новую теорию. На протяжении большей части XX века новым источником прибыли стал шум. Для разработки и определения цены деривативов, фьючерсов и опционов используются дальнейшие развития базовой теории – например, модель Блэка – Шоулза. Участников общества привлекали как для создания, так и для управления этими новыми моделями. По сути, им поручили управлять денежной массой мира.

Точно так, как ньютоновский детерминистический анализ был неправильной моделью финансовых рынков, во взгляде на бомбардировку рынка шумами отсутствовал один крайне важный элемент: мы участники рынка. Мы не частицы, на которые воздействуют какие-то события; мы активные агенты, одновременно и рациональные, и эмоциональные. Мы ищем сигнал в шуме и в процессе влияем на других людей, учимся у них, манипулируем ими. Математическая теория не имеет права пренебрегать человеческой сложностью.

Вдохновленные таким открытием, некоторые участники «Десятки» выбрали новое направление исследований. Институт Санта-Фе в Нью-Мексико собрал математиков, физиков и других ученых со всего мира. Они начали набрасывать новую теорию сложности, которая пыталась учесть наши социальные взаимодействия. Она прогнозировала большие непредсказуемые колебания цен на акции, вызванные стадными действиями трейдеров. Модели утверждали, что по мере увеличения волатильности следует ожидать еще более серьезных всплесков и спадов, чем те, что мы видели в прошлом. Исследователи публиковали одно предупреждение за другим в профильных научных журналах[120]. Секреты «Десятки», как всегда, были открыты, их могли прочитать все. К сожалению, очень немногие удосужились это сделать.

Один из исследователей в Санта-Фе, Дж. Дойн Фармер, покинул институт, чтобы претворять эти идеи на практике. Позже он рассказывал мне, что работа была очень тяжелой, гораздо сложнее, чем он мог себе представить, но она окупилась. Во время азиатского кризиса 1997–1998 годов, пузыря доткомов в 2000-м и финансового кризиса 2007 года инвестиции Фармера оказались в безопасности: они были защищены от потрясений, обрушивших финансовые учреждения и правительства и посеявших семена политического недовольства по всей Европе и в США.

Математики могли бы с определенным основанием сказать, что они с самого начала знали о будущих катастрофах. В отличие от других, они были к ним готовы. Пока многие теряли, участники «Десятки» по-прежнему получали прибыль.

* * *

Я забежал вперед. Рассказ о том, как математика перешла от понимания рынков в терминах простого сигнала к оценке шума и в итоге к учету социальной обратной связи, – это хорошо, но здесь упускается важный момент. Звучит слишком похоже на сказку о том, как на каком-то этапе человеческое безумие было исправлено с помощью новых методов мышления.

Да, математики извлекли уроки из своих ошибок за последнее столетие и по-прежнему опережают всех, но есть еще одно необходимое важное замечание: они на самом деле понятия не имеют, как найти истинный сигнал в шуме финансовых рынков.

С моей стороны это довольно смелое заявление, придется его объяснить шаг за шагом. Секрет первоначального успеха уравнения рынка можно найти в главе 3. Математики, работавшие в сфере финансов в 1980-е, смогли разделить сигнал и шум, собрав достаточно наблюдений. В первой версии уравнения рынка, созданной Луи Башелье, не было f(X): оно просто описывало рост уверенности в компании (и, соответственно, в цене ее акций) как комбинацию сигнала и шума. Такое математическое знание уже позволяло трейдерам снижать воздействие случайностей, которым подвергались их клиенты. Это давало им преимущество над теми, кто не понимал случайности, смешивал сигнал и шум.

Более чем за десять лет до кризиса 2007 года одна группа физиков-теоретиков заявила, что уравнение рынка, основанное только на сигнале и шуме, опасно. Они показали, что такая модель не дает достаточных колебаний цены акций, которые объяснили бы значительные всплески и спады, наблюдавшиеся в предыдущее столетие. И пузырь интернет-компаний, и азиатский кризис 1998 года привели к обвалу цен до значений, которые не могла предсказать простая модель сигнала и шума.

Чтобы понять масштаб таких больших отклонений, вспомните де Муавра и его опыт с подбрасыванием монеты. Он обнаружил, что количество орлов после n бросков обычно лежит в интервале размера, пропорционального √n–. Центральная предельная теорема расширила результат де Муавра и говорит, что то же правило с √n– приложимо ко всем играм и даже ко многим жизненным ситуациям, например опросам общественного мнения. Ключевое предположение, необходимое для применения центральной предельной теоремы, – независимость событий[121]. Мы складываем результаты независимых вращений рулетки или спрашиваем независимые мнения множества разных людей.

Простая рыночная модель сигнала и шума также предполагает независимость при ценообразовании. Согласно ей, будущая стоимость акций должна следовать правилу σ√n– и нормальному распределению. В реальности дела обстоят не так. Физики-теоретики из Санта-Фе и других научных центров мира показали, что колебания будущих цен на акции могут оказаться пропорциональными более высоким степеням n, например n^2/3 или даже самой величине n[122]. Это делает рынок крайне волатильным, а прогнозы почти невозможными: акция за день способна потерять всю стоимость. Это эквивалентно тому, что де Муавр подкинул монету 1800 раз и получил 1800 решек.

Причина этих колоссальных колебаний в том, что трейдеры не действуют независимо друг от друга. В рулетке одно вращение колеса не зависит от другого, и можно применять центральную предельную теорему. Однако на фондовом рынке один продающий трейдер заставляет другого потерять уверенность и тоже продавать. Это делает недействительными предположения теоремы де Муавра, поэтому она неверна; и колебания в цене акций уже нельзя считать небольшими и предсказуемыми. Участники фондового рынка – стадные животные, которые следуют друг за другом и в подъемах, и в спадах.

Не все специалисты по финансовой математике понимали, что центральную предельную теорему нельзя применять к рынкам. Когда я встретился с Фармером в 2009 году, он рассказал мне об одном коллеге из брокерской компании, которая (в отличие от собственной компании Фармера) потеряла много денег по время кризиса 2007–2008 годов. Тот специалист назвал банкротство инвестиционного банка Lehman Brothers «событием двенадцати сигм». Как мы видели в главе 3, отклонение более чем на 1σ бывает примерно один раз из трех; на 2σ – один раз из двадцати, а на 5σ – один раз на 3,5 миллиона случаев. Отклонение на 12σ случается один раз из… не могу даже назвать уверенно это число, потому что мой калькулятор дает сбой, если я пытаюсь найти что-то больше 9σ. В любом случае это крайне маловероятное событие, и оно никак не могло произойти – если только модель была правильной.

Эти физики-теоретики, возможно, обнаружили математику, стоящую за большими уклонениями, но явно были не единственными, кто описывал стадный менталитет трейдеров. Две книги Нассима Талеба – «Одураченные случайностью» и «Черный лебедь» – содержат занятно высокомерный, но исключительно прозорливый анализ финансового мира до 2007 года. Книга американского экономиста Роберта Шиллера «Иррациональный оптимизм», написанная примерно в то же время, дает более академичное и тщательное изложение близких идей[123]. Когда физики-теоретики, прагматичные инвесторы с количественным подходом и экономисты из Йельского университета говорят о недостатках модели одно и то же – вероятно, прислушаться к их словам вполне разумная идея.

На рубеже тысячелетий многие физики-теоретики, пришедшие на работу в финансовую сферу, нашли на рынке определенное преимущество. Они сохраняли это преимущество в течение всего финансового кризиса и выиграли, когда рынки рухнули. Добавив слагаемое с f(X) в свои уравнения рынка, они оказались готовыми к таким событиям, как крах Lehman Brothers, когда трейдеры занимали друг за другом экстремальные и рискованные позиции.

Сейчас все специалисты по финансовой математике знают, что рынки – комбинация сигнала, шума и стадности: их модели показывают, что крахи будут происходить, и позволяют им хорошо представлять, насколько масштабными они будут в долгосрочной перспективе. Однако математики не знают, почему или когда происходят такие крахи; по крайней мере не более того, что это имеет какое-то отношение к стадной ментальности. Они не понимают фундаментальных причин подъемов и падений. Когда я сидел в онлайн-казино в главе 3, я знал, что игра несправедлива и у казино есть преимущество. Я знал, что сигнал составляет 1/37 – это средние потери игрока при одном запуске рулетки. Я мог узнать это, просто посмотрев, как устроено колесо. В главе 4 Люк Борнн рассматривал вклады всех баскетболистов в общую игру команды, чтобы измерять умения игроков. Он нашел сигнал умений, сочетая свои знания игры и хорошо выбранные предположения. В главе 5, когда Лина и Микаэла занимались обратной разработкой алгоритма Instagram, они могли начать с понимания, как социальные сети искажают их взгляд на мир. Во всех этих примерах модель давала представление, как действуют рулетка, баскетбол и социальные сети соответственно. Уравнение рынка само по себе понимания не дает.

В разное время исследователи пытались понять, смогут ли они сделать еще один шаг и найти на рынках истинный сигнал. В 1988 году, после Черного понедельника 1987-го, Дэвид Катлер, Джеймс Потерба и Ларри Саммерс из Национального бюро экономических исследований написали статью под названием «Что двигает биржевыми ценами?»[124] Они установили, что такие факторы, как промышленное производство, процентные ставки и дивиденды, которые влияют на доходность фондового рынка, могут объяснить только примерно треть колебаний на рынке акций. Затем проверили, не играли ли какую-то роль важные новости – например, войны или смена президента. В дни таких серьезных новостей значительные колебания стоимости акций действительно происходили, но имелось изрядное количество дней, когда никаких новостей не было, а рынок активно двигался. Подавляющее большинство движений на фондовой бирже нельзя объяснить внешними факторами.

В 2007 году Пол Тетлок, профессор экономики Колумбийского университета, предложил «коэффициент пессимизма СМИ» для колонки «В ногу с рынком» газеты Wall Street Journal, которая составляется ежедневно непосредственно после закрытия торгов[125]. Этот коэффициент учитывает, сколько раз в колонке использовались разные слова, и тем самым измерялось общее настроение в отчете автора о дневных торгах. Тетлок обнаружил, что существовала связь между пессимистическими словами и падением акций на следующий день, но позже на неделе эти падения обращались вспять. Он заключил, что колонка «В ногу с рынком» вряд ли содержит полезную информацию о долговременных трендах. Другие исследования показали, что сплетни в чатах интернета и даже то, что люди говорят друг другу в биржевых залах, могут предсказать объемы торговли, но не направление движения рынка[126]. Надежных правил для прогнозирования будущей цены акций просто не существует.

Хочу сразу прояснить два момента. Во-первых, эти результаты не означают, что новости о компании не влияют на стоимость ее акций. Акции Facebook упали после скандала с Cambridge Analytica. Акции BP – после катастрофы с разливом нефти на буровой платформе Deepwater Horizon. Однако в этих случаях события, вызвавшие изменения в цене акций, были еще менее предсказуемы, чем сама их стоимость, что делало их более-менее бесполезными для инвестора, стремящегося к прибыли. Когда вы слышите новости, их слышат все. Возможность получения преимущества пропадает.

Во-вторых, еще раз подчеркну, что модели, основанные на уравнении рынка, обеспечивают полезное долгосрочное планирование рисков. Мой друг, математик Майя, работает в крупном банке. Она использует уравнение 6, чтобы оценивать различные риски, которым подвержен банк, затем покупает страховку, чтобы защитить его от неизбежных подъемов и спадов. Майя видит, что нематематики редко понимают ограничения той модели, которую она использует. Когда мы в последний раз обедали с ней и ее коллегой Пейманом, она сказала:

– Самая большая проблема, с которой сталкиваюсь у нематематиков, – они воспринимают результаты моделей буквально.

Пейман согласился:

– Вы показываете какой-нибудь доверительный интервал для промежутка времени в будущем, а они считают его истиной. Очень немногие понимают, что наша модель основана на весьма слабых предположениях.

Майя и Пейман борются с восприятием, что раз это математика, то это должно быть истиной. Уравнение рынка не таково. Его основной посыл в том, что нам нужно быть осторожным, поскольку в будущем может произойти почти что угодно.

Многие трейдеры разделяют такой взгляд на финансовые рынки: мы можем застраховаться от колебаний, но неспособны понять, почему они случились. Когда в начале 2018 года рынки временно упали, а потом подскочили опять, Манодж Наранг, генеральный директор компании MANA Partners, занимающейся алгоритмической торговлей, рассказал деловому изданию Quartz: «Понять, почему на рынке что-то произошло, лишь немногим проще, чем понять смысл жизни. Обоснованные предположения есть у многих, но знаний нет»[127].

Если трейдеры, банкиры, математики и экономисты не понимают причин движения рынка, почему вы думаете, что вы понимаете? Что заставляет вас считать, будто акции Amazon достигли своего пика, а бумаги Facebook продолжат падать? Что придает вам уверенность, когда вы говорите о выходе на рынок в нужное время?

Летом 2018 года меня пригласили на Power Lunch на канале CNBC – одну из крупнейших программ деловых новостей в США. Я и раньше бывал в новостных студиях, но сейчас был совершенно другой размах: огромный зал размером с хоккейный стадион, заполненный журналистами, которые бегали во все стороны между столами. Повсюду располагались экраны с изображениями сияющих офисов в Сиэтле, подземных залов с мощными компьютерами в Скандинавии, крупных заводских комплексов в Китае и деловой встречи в одной из африканских столиц. Ведущие передачи взяли меня в монтажную комнату, чтобы посмотреть, как вся эта информация объединяется для эфира. Видеоролики со всего мира перекрывались бегущими цифрами цен на акции и заголовками последних новостей.

Уравнение рынка научило меня тому, что почти всё на этих экранах – бессмысленный шум или социальная обратная связь. Это бессмыслица. Нельзя получить ничего полезного, наблюдая за ежедневными изменениями цены акций или за экспертами, объясняющими, почему вам нужно или не нужно покупать золото. Есть много инвесторов (в том числе кое-кто из тех, с кем я встретился тогда в Гонконге), умеющих определить удачные инвестиции путем тщательного изучения принципов бизнеса, в который они инвестируют. Однако если исключить систематическое исследование того, как работает компания, то все советы по инвестициям – случайный шум. Они включают мотивационные раздумья гуру, которые иногда зарабатывали деньги в прошлом.

Эта неспособность предсказать будущее на основании прошлого относится и к нашим личным финансам. Покупая дом, не беспокойтесь о том, как менялись цены в этом районе в последние несколько лет. Вы не можете использовать этот тренд для прогнозирования будущего. Вы должны четко осознавать, что цены на жилье подвержены колоссальным колебаниям – в соответствии с настроениями рынка. Убедитесь, что вы морально и финансово готовы к обоим случаям. И тогда купите тот дом, который вам нравится больше всего и который вы можете себе позволить. Найдите район, который вам по душе. Решите, сколько времени можете вложить в ремонт. Обратите внимание на время на дорогу до работы и до школы. Важны общие принципы рынка, а не то, находится ли ваш дом в «перспективном районе».

Когда дело доходит до покупки акций, не мудрствуйте слишком много. Найдите компании, которым доверяете, вложите деньги и смотрите, что происходит. Кроме того, вложите некоторую сумму в какой-нибудь индексный инвестиционный фонд, распределяющий ваши средства по акциям большого числа разных компаний. Убедитесь, что у вас хорошая пенсия. Вы не можете сделать больше. Не зацикливайтесь на этом.

Проверить настоящее качество трех видов наушников очень просто. Составьте плейлист из любимых десяти песен и прослушайте их в каждой паре наушников по очереди. Порядок песен для каждой пары сделайте случайным. Оцените звук. Не спрашивайте друзей и не смотрите на мнения в интернете. Слушайте сигнал.

* * *

Математики – люди хитрые и коварные. Как только мы говорим вам, что все случайно, то обнаруживаем какое-нибудь новое преимущество. Когда мы устанавливаем, что с помощью математики невозможно предсказать долговременные тенденции для стоимости акций, то двигаемся в противоположном направлении. Мы рассматриваем всё более короткие промежутки времени. Мы находим преимущество там, где люди неспособны производить расчеты.

15 апреля 2015 года на биржу вышла компания Virtu Financial. Она была основана семью годами ранее трейдерами Винсентом Виолой и Дугласом Сифу и разработала новаторские методы для высокочастотной торговли – покупки и продажи акций в течение миллисекунд после совершения сделки на фондовой бирже на другом конце страны. Вплоть до момента предложения своих акций Virtu была крайне скрытна в отношении своих методов и заработанных сумм. Но для выхода на биржу через IPO (первичное публичное размещение акций) ей требовалось раскрыть для проверки свои финансовые дела и детали бизнеса.

Секрет вышел наружу. В течение пяти лет торговли Virtu понесла убытки всего в один день. Этот результат был поразителен по любым меркам. Финансовые трейдеры обычно имели дело со случайностью; они привыкли, что неотъемлемой частью получения прибыли оказываются недели или месяцы убытков. Virtu убрала из трейдинга спады, оставив только подъемы.

Первоначальная оценка Virtu на фондовой бирже составляла 3 миллиарда долларов.

Заинтригованный гарантированными ежедневными прибылями, профессор астрономии Йельского университета Грег Лафлин захотел узнать, почему деятельность Virtu была такой надежной[128]. Дуглас Сифу говорил в интервью Bloomberg, что только 51–52 % сделок Virtu прибыльные[129]. Сначала это заявление озадачило Лафлина: если 48–49 % сделок убыточны, то для того, чтобы гарантированно ежедневно оставаться в плюсе, требуется очень большое их количество.

Лафлин подробно изучил тип сделок, которыми занималась Virtu. Компания получала прибыль, зная об изменении цен раньше конкурентов. Ее документы для IPO раскрыли, что компания контролировала корпорацию Blueline Communications LLC, разработавшую технологию высокочастотной связи, благодаря которой информация о ценах проходила между фондовыми биржами Иллинойса и Нью-Джерси примерно за 4,7 миллисекунды. В своей книге 2014 года о высокочастотном трейдинге Flash Boys[130] Майкл Льюис указывал, что при использовании волоконной оптики для связи между биржами задержка составляет примерно 6,65 миллисекунды. В результате Virtu имела преимущество примерно в 2 миллисекунды над волоконной оптикой.

В масштабе 1–2 миллисекунд маржа прибыли составляет около 0,01 доллара на акцию. Это означает, что часто сделки совершаются без прибыли или без убытка, то есть оказываются «нулевыми». Предположив, что 24 % сделок убыточные, а 25 % – «нулевые», Грег Лафлин вычислил среднюю прибыль от одной сделки: 0,51 ∙ 0,01 – 0,24 = 0,0027 доллара на одну акцию. Предоставленная компанией Virtu отчетность говорила о доходе в 440 000 долларов в день, откуда следовало, что Virtu ежедневно совершала 160 миллионов сделок с акциями[131]. Это составляло 3–5 % всех сделок на фондовом рынке США. Они получали крохотный процент от вполне заметной части всех сделок. Мельчайшее преимущество на максимально возможной скорости приносило большую гарантированную прибыль.

Я связался с Винсентом Виолой и Дугласом Сифу и попросил о беседе. Ни тот ни другой не ответили. Тогда я позвонил своему другу Марку[132], который работает на другого крупного алгоритмического трейдера, и спросил, не может ли он рассказать мне секрет компаний, подобных Virtu. Он выделил пять способов получения преимуществ трейдерами, занимающимися высокочастотной торговлей.

Первый – скорость. Благодаря обладанию высокоскоростными каналами коммуникации, такими как технология микроволновой связи, разработанная Blueline, трейдеры узнавали направление сделок раньше конкурентов.

Второй – вычислительная мощность. Загрузка расчетов по трейдингу в центральный процесс компьютера требует времени, поэтому группы из сотен разработчиков используют видеокарты в своих машинах для обработки сделок по мере поступления.

Третий – тот, что наиболее часто используют Марк и его команда, – основан на уравнении 6. В последние годы популярной формой инвестиций были биржевые инвестиционные фонды (exchange-traded funds, ETF), которые представляют собой «корзины» инвестиций в различные компании на более крупном рынке, например S&P 500 (индекс, который отражает капитализацию 500 крупнейших компаний США). Марк объяснял мне: «Мы ищем арбитражные сделки для разницы между стоимостью отдельных акций в ETF и самим ETF». Арбитражная сделка – это возможность заработать деньги без риска, используя разницу в цене на один товар. Если в течение достаточного количества миллисекунд индивидуальная стоимость всех акций в ETF не отражает стоимости самого ETF, то алгоритмы Марка могут определить последовательность покупок и продаж, которые обеспечат прибыль из такой разницы в ценах. Команда Марка определяет арбитражные сделки не только для текущей стоимости акций, но и для будущих цен. Чтобы оценить опционы на покупку или продажу какой-то акции для срока в неделю, месяц или год в будущем, используется некий вариант уравнения рынка. Если Марк и его команда способны вычислить будущую стоимость ETF и всех отдельных акций раньше других, то они могут получить прибыль без риска.

Четвертый способ получения преимущества состоит в том, что такая компания – крупный игрок. «Чем больше вы торгуете, тем дешевле обходятся транзакции, – объясняет Марк. – Еще одна польза состоит в наличных кредитах или кредитах ценными бумагами, которые можно использовать для покрытия инвестиций, для выплат по которым уходит три или четыре месяца». По сути, богатые становятся богаче, потому что их капитал больше, а расходы ниже.

Пятый способ – тот, который сам Марк за пятнадцать лет трейдинга на самом высоком уровне с капиталами в миллионы долларов никогда не использовал: он заключается в попытке спрогнозировать истинную стоимость продаваемых акций и товаров. Существуют трейдеры, которые для принятия решений по инвестициям смотрят на принципы различного бизнеса, используя опыт и здравый смысл. Марк не из них. «Я придерживаюсь мнения, что рынок умнее меня в отношении цен, когда я смотрю, верно ли установлены цены на фьючерсы или опционы, если предполагать, что рынок правильный».

Марк вернулся к тому, что, на мой взгляд, является самым важным уроком из уравнения рынка – тем, который применим не только к нашим экономическим инвестициям, но и к вкладам в дружбу, взаимоотношения, работу и свободное время. Не верьте, будто вы сможете надежно предсказать, что произойдет в жизни. Принимайте решения, которые кажутся вам разумными, в которые вы действительно верите (здесь вам, конечно, следует применить уравнение суждений). Затем используйте три слагаемых уравнения рынка, чтобы морально подготовиться к неопределенному будущему. Помните о слагаемом для шума: будет множество подъемов и спадов вне вашего контроля. Помните о социальном слагаемом: не дайте ажиотажу поймать себя и не огорчайтесь, если толпа не разделяет ваших убеждений. И помните слагаемое для сигнала: истинная стоимость ваших инвестиций существует, даже если вы не всегда можете увидеть ее.

* * *

«Десятка» контролирует случайности с растущей в течение последних 300 лет уверенностью, забирая деньги у инвесторов, которые не владеют таким кодом. Те, кто не знает математических секретов, видя рост курса, считают, что это сигнал, и вкладывают деньги. Видя падение курса, продают. Либо поступают наоборот, пытаясь оспорить рынок. В обоих случаях они не учитывают возможность, а в основном руководствуются шумом и обратной связью.

Посторонние начинают всё лучше понимать особенности финансовой игры. Члены «Десятки» терпеливо слушают, когда полупрофессиональные игроки или инвесторы-любители рассуждают о сигнале и шуме. Широко используются фразы вроде «одураченные случайностью», «обнаружение сигнала», «отношение сигнала к шуму» и «две сигмы» – они вылетают легко и с явной уверенностью. Пока идет такой разговор, «Десятка» продолжает находить новые преимущества на все более коротких временных промежутках – причем даже без поиска сигнала. Их алгоритмы используют возможность арбитража почти при любой сделке. Грег Лафлин внимательнее изучил сделки Virtu после прочтения книги Flash Boys Майкла Льюиса и статьи по этой теме в The New York Times, написанной американским экономистом Полом Кругманом[133]. В электронном письме Грег сообщил мне: «Идея [статьи Кругмана] заключается в том, что при высокочастотной торговле трейдеры используют более изощренные и морально сомнительные методы для нечестного получения денег на рынке». Однако данные от Virtu не соответствуют такой точке зрения: компания забирала менее 1 % от сделки для улучшения общей эффективности рынка. «Если у кого-то есть законное основание для покупки каких-то активов, а именно для долгосрочной выгоды и на основании здравых экономических принципов, расходы на транзакцию крайне низки, – говорил мне Грег. – Если кто-то пытается обыграть рынок в ежедневной торговле или паникует и желает разгрузить портфель в момент высокой волатильности, высокочастотная торговля получит выгоду от такого поведения».

Пока трейдеры играли на фондовом рынке подобно любителям, делающим спортивные ставки, математики старались использовать то, что эти трейдеры не понимали случайности. Как всегда, «Десятка» зарабатывала свои деньги благодаря крохотным преимуществам, анонимно, незаметно и без суеты.

* * *

Последний вопрос, который я задал Марку, касался моральной стороны: что он ощущал, получая быстрые прибыли от операций других людей? Я пояснил ему, что, когда его команда находит возможность арбитражной сделки, ее прибыль исходит от пенсионных фондов и инвесторов, которые торгуют не так быстро и точно, как он. Я спросил, как он относится к тому, что получает деньги от инвестирования моих пенсионных средств и средств других людей.

Мы разговаривали по телефону, Марк стоял в своем саду в зеленом пригороде крупного европейского города. Я слышал пение птиц, пока он тщательно обдумывал свой ответ. И мне было очень неудобно задавать ему вопрос, который, как я знал, лежал за пределами технических аспектов работы Марка: о его вкладе в общество. Такие люди, как Марк, – которые зарабатывают свои деньги анонимно, без суеты, раз за разом применяя уравнения, – глубоко честны по своей природе. Он вынужден анализировать свой вклад с той же строгостью, с которой анализирует фондовый рынок, так же тщательно, как вообще всё. Я знал, что сказанное им было верным с точки зрения фактов.

– Я бы спрашивал себя не о моральности отдельной сделки, а о том, становятся ли рынки более или менее эффективными из-за моей торговли. Несет ли ваш пенсионный фонд больше или меньше издержек, – сказал он. – До начала высокоскоростной торговли, если бы вы позвонили своему брокеру и спросили его о цене продажи и покупки, разница между ними была бы больше, чем сейчас.

Марк описал сомнительную практику, когда брокеры получали довольно высокий процент при совершении сделок. «Сейчас гораздо меньше более изощренных компаний, которые получают крохотную долю от каждой сделки». Брокеры старой школы, не умевшие правильно рассчитывать и бравшие большую долю, исчезли из бизнеса. И в целом складывается впечатление, что рынки эффективнее, чем были когда-то, но уверенности нет, поскольку объемы торговли тоже увеличились. Марк признал, что у него нет всех цифр и он не может сказать больше, однако его ответ соответствовал тому, что мне говорил Грег Лафлин.

Ответ Марка о роли высокочастотной торговли был неоднозначным, но честным. Он не прибегал к самооправданию, извинениям, идеологии или содержательным аргументам. Он превратил моральный вопрос в финансовый. Это был ответ, который бы одобрил Алфред Айер. Это был ответ участника «Десятки»: нейтральный и без бессмыслицы.

В течение пятнадцати лет в начале своей карьеры я исследовал, как животные ищут и собирают вознаграждение. Я не принимал какого-то решения, что должен этим заниматься, – просто так уж меня угораздило.

Два друга-биолога – Эймон и Стивен – как-то спросили меня, не хотел бы я съездить на день на Портленд-Билл (узкий полуостров на южном побережье Англии). Им нужны были муравьи. Эймон показывал мне, как аккуратно раскрыть небольшую трещину в скале, где насекомые могут прятаться. Казалось, всякий раз он оказывался прав, находя муравьев под выбранными камнями. Он быстро всасывал их импровизированным пылесосом в пробирку, которую нужно было взять в лабораторию.

В конце концов этого добился и я – встав чуть дальше от моих коллег под вздымающимся маяком. Это было приятное удовлетворение – втягивать колонию муравьев через оранжевую пластиковую трубку. Мы потратили пять лет на изучение того, как эти насекомые выбирают новое место для своего дома. Я создавал модели; они собирали данные.

Аналогичную цель имели прогулки по йоркширским болотам с Мадлен, которая тогда была в постдокторантуре и занималась биологией в Шеффилде: сюда летали медоносные пчелы от своего улья, чтобы собрать пыльцу с вереска. Здесь наши головы очистились от густого офисного воздуха, и я пытался связать мои уравнения с ее описаниями того, как пчелы и муравьи сообщают друг другу о пище. Мы работали вместе более десяти лет, наблюдая за тем, как разные виды общественных насекомых определяют, какие источники пищи использовать.

Многие обсуждения проходили в менее пленительных местах. Дора – тогда аспирантка в Оксфорде и первый мой друг после переезда сюда – рассказывала мне о своих голубях, когда мы сидели на холодной ступеньке у фургона с кебабами. Через несколько дней мы в кафе Jericho изучали результаты отслеживания ее птиц с помощью системы GPS. Через год вносили финальные штрихи в работу о том, как пары птиц меняют маршруты на пути домой.

Эшли тщательно конструировал Y-образные лабиринты для колюшек (мелких рыб). Я встретил его в пабе с Иэном, и мы обсудили, как можем моделировать их решения в группах. Вместе мы смотрели, как они избегают хищников и следуют друг за другом к еде.

Далее мой путь лежал за пределы Англии. Большеголовые муравьи в Австралии с Одри. Аргентинские муравьи с Крисом и Таней. Муравьи-листорезы на Кубе с Эрнесто. Домовые воробьи на юге Франции с Мишелем. Саранча из Сахары с Джеромом и Иэном. Слизевики в Японии с Тоси (а также с Одри и Таней). Цикады в Сиднее с Тедди.

Все мои коллеги тех лет теперь профессора в университетах по всему миру. Но это никогда не было нашей единственной целью. Мы люди, которые беседуют друг с другом, учатся друг у друга и решают проблемы совместно. Мы получали удовлетворение, отвечая на вопросы, и постепенно всё лучше понимали мир природы. Через пятнадцать лет я знал почти все о том, как животные принимают решения в группах. Тогда в моей голове еще не было ясности, однако, оглядываясь сейчас назад, понимаю, что практически за всем, что я тогда делал, стоит одно уравнение.

Чтобы выживать, животным нужны еда и убежище. И партнер для воспроизводства.

В основе этих трех требований для жизни лежит нечто еще более фундаментальное, что должны получать животные: информация. Они собирают информацию о еде, убежище и половой жизни исходя из собственного опыта и опыта других особей. Затем применяют ее для выживания и воспроизводства.

Муравьи – один из моих любимых примеров. Многие из них используют химический маркер-феромон, чтобы показать другим насекомым, где они были. Когда они находят лежащую на земле сладкую пищу, то оставляют метку. Другие муравьи ищут ее и следуют за ней до еды. В итоге срабатывает механизм обратной связи: все больше муравьев оставляют свои феромоны, и находить пищу можно все быстрее.

Людям тоже нужны пища, кров и партнер для воспроизводства. В прошлом мы тратили уйму времени на поиск информации, которая позволила бы нам получить и сохранить три этих важнейших элемента. В современном обществе такой поиск изменил форму. Для значительной части населения мира поиск предметов первой необходимости уже завершен, однако поиск информации о еде, жилье и сексе продолжается и расширяется: теперь он принимает форму просмотра кулинарных передач и реалити-шоу Love Island («Остров любви»); чтения сплетен о знаменитостях; изучения выставленного на продажу жилья и цен на недвижимость. Мы публикуем фотографии наших партнеров, обеда, детей и домов. Показываем всем, куда едем и что делаем. Как муравьи, мы стремимся поделиться тем, что нашли, и следовать полученным советам.

Мне неудобно признать масштаб своих ежедневных поисков информации. Я захожу в Twitter проверять уведомления; открываю почту в поисках новых писем; читаю политические новости, а затем пробегаю по спортивным. Я иду на онлайн-платформу Medium, где публикую свои тексты – чтобы увидеть, нравятся ли мои истории и нет ли там интересных комментариев.

Математический способ интерпретации моего поведения возвращает нас к игровым автоматам, упомянутым в главе 3. Каждое приложение в телефоне – все равно что дергание ручки автомата в надежде получить вознаграждение. Я тяну ручку Twitter: семь ретвитов! Теперь электронной почты: письмо с приглашением выступить. Класс, я популярен! Я тяну ручку новостей и спорта: очередная заморочка брексита или слух о трансфере. Заглядываю на платформу Medium – но никто не поставил лайк моим постам. О боже, эта ручка плохо работает.

Сейчас я представлю такую жизнь с приложениями – игровыми автоматами в виде уравнения. Вообразите, что я открываю Twitter раз в час. Вероятно, это заниженная величина, но начнем с простого предположения.

Обозначим как R_t вознаграждение, которое я получу за час t. Для простоты скажем, что R_t = 1, если кто-то сделал ретвит моего поста, и R_t = 0, если не было ни одного ретвита.

Представим вознаграждения за рабочий день с 9 до 17 часов в виде последовательности единиц и нулей. Например, она может выглядеть так:

Эти вознаграждения моделируют ретвиты внешнего мира.

Теперь нужно учесть мое внутреннее состояние. Обращаясь к этому приложению, я улучшаю свою оценку качества Twitter, его способности дать мне мгновенное ощущение самоутверждения, которое предоставляет только ретвит или лайк. Здесь мы можем использовать уравнение вознаграждения:

Кроме времени t и вознаграждения R_t сюда входят еще два символа: Q_t отражает мою оценку качества вознаграждения, а α определяет, насколько быстро я теряю уверенность при его отсутствии. Эти буквы требуют дополнительного пояснения.

Если я пишу: Q_t+1 = Q_t+1, это означает, что я увеличил Q_t на единицу. Эта идея используется в программировании внутри «цикла со счетчиком»: мы увеличиваем Q_t на 1 каждый раз, когда проходим цикл. Та же идея применяется и в уравнении вознаграждения. Но вместо прибавления 1 мы изменяем Q_t, добавляя два разных слагаемых. Первый компонент – (1 – α)Q_t – понижает оценку качества вознаграждения. Например, если мы выберем α = 0,1, на каждом шаге наша оценка будет снижаться на 1–0,1 = 90 % по сравнению с предыдущим уровнем. Это то же уравнение, которое мы сейчас используем, например, для описания того, как автомобиль каждый год падает в цене; далее мы увидим, как оно описывает испарение феромонов и других химических веществ. Второй компонент – αR_t – повышает нашу оценку стоимости вознаграждения. Если вознаграждение равно 1, добавляем α к нашей оценке.

Сложив оба компонента, можем увидеть, как работает уравнение в целом. Представьте, что я начинаю работу утром в 9 часов с оценкой Q₉ = 1. Иными словами, я на 100 % уверен, что Twitter даст мне вознаграждающий ретвит. Открываю его, но с разочарованием обнаруживаю, что R₉ = 0. Нет ретвитов. Нет вознаграждения. И я использую уравнение 8, чтобы изменить мою оценку качества на Q₁₀ = 0,9 ∙ 1 + 0,1 ∙ 0 = 0,9. Теперь я немного меньше уверен, когда открываю Twitter в 10 часов утра, однако на этот раз получаю то, что искал: R₁₀ = 1. Ретвит! Моя оценка качества не возвращается к исходному состоянию, но чуть двигается вверх: Q₁₁ = 0,9 ∙ 0,1 + 0,1 ∙ 1 = 0,91.

В 1951 году математики Герберт Роббинс и Саттон Монро доказали, что уравнение 8 всегда дает верную оценку среднего значения вознаграждения[153]. Чтобы понять этот результат, предположим, что вероятность получения вознаграждения (ретвита) за любой конкретный час равна R–, и пусть R– = 0,6, или 60 %. Перед тем как начать ежечасную проверку Twitter, я понятия не имел о значении R–. Моя цель – оценить значение этой величины по последовательности вознаграждений, которые я получаю после открытия Twitter. Они у нас представлены в виде последовательности из 0 и 1 – 011001011… Если та продолжается бесконечно, средняя частота единиц будет R– = 60 %.

Уравнение 8 быстро начинает отражать вознаграждения: R₁₁ = 0, и поэтому Q₁₂ = 0,919; R₁₂ = 0, и поэтому Q₁₃ = 0,827 и т. д., так что к концу дня мы получаем Q₁₇ = 0,724. Каждое наблюдение приближает меня к истинному значению R–. По этой причине Q_t часто называют отслеживающей переменной: она отслеживает значение R–. Рисунок 8 иллюстрирует этот процесс.

Рис. 8. Как отслеживающая переменная отслеживает вознаграждение

Роббинс и Монро показали, что для надежной оценки R– не нужно хранить всю последовательность нулей и единиц. Чтобы получать очередную оценку Q_t+1, надо знать текущую оценку Q_t и следующее вознаграждение в последовательности R_t. Если я все вычислил правильно вплоть до этого момента, то могу забыть о прошлом и сохранять только отслеживающую переменную.

Есть оговорки. Роббинс и Монро показали, что нам нужно очень медленно уменьшать со временем значение α. Помните, что α (греческая буква) – параметр, которые управляет скоростью забывания. Изначально у нас доверия нет, поэтому нужно уделять много внимания последним величинам, и поэтому α получает значение, близкое к 1. Со временем нам нужно понижать α, так что эта величина стремится к 0. Именно медленное уменьшение гарантирует, что наша оценка сходится к вознаграждению.

* * *

Представьте, что вы лежите на диване и вознаграждаете себя просмотром телевизора. На экране какой-то сериал Netflix. Первая серия – отличная (как всегда), вторая – средняя, третья – чуть лучше. Вопрос таков: сколько времени вам следует смотреть, прежде чем бросить сериал? Вашему мозгу это не особо важно, но вас это заботит. Вы хотите смотреть в выходной что-то хорошее.

Решение – использовать уравнение вознаграждения. Для телесериала хорошим значением для нашего показателя снижения доверия будет α = 0,5, или половина. Это очень высокая скорость забывания прошлого, но хорошее шоу должно постоянно дарить новые идеи.

Вот ваши действия. Вы ставите первому эпизоду оценку по 10-балльной шкале – скажем, 9. Итак, Q₁ = 9. Если смотрите серии подряд, то держите в голове число 9 и начните следующую серию. Поставьте ей оценку. Предположим, это 6. Теперь имеем Q₂ = 9/2 + 6/2 = 7,5. Удобно каждый раз округлять, так что новая оценка будет 8. Смотрим следующий эпизод. Пусть на этот раз мы ставим 7. Берем Q₂ = 8/2 + 7/2 = 7,5, снова округляем до 8.

Продолжаем в том же духе и дальше. Сила этого метода в том, что не нужно помнить, насколько сильно вам понравились предыдущие эпизоды. Вы отмечаете Q_t для последней серии в голове. Сохранять отслеживающую переменную Q_t можно не только при просмотре телесериала, но и при оценке того, нравится ли вам ходить на разные мероприятия, читать различных авторов или заниматься в классе йоги. Это единственное число для каждого занятия позволяет понимать общее вознаграждение за различную деятельность, не возвращаясь к конкретным моментам, когда вас втянули в разговор с одним скучным математиком во время выпивки после работы или когда вы повредили седалищный нерв во время йоги.

Когда бросать просмотр? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно установить личный порог. Я использую число 7. Если качество серий падает до 7, я останавливаюсь. Это довольно жесткое правило, поскольку оно означает, что если текущий уровень 8, а очередной эпизод получает оценку 6, то у меня получается 8/2 + 6/2 = 7 и я вынужден бросить просмотр. Но мне кажется, что это справедливо. Хороший сериал должен регулярно выдавать эпизоды уровня 8, 9 и 10. Если он достигает таких высот, то переживет оценку 6 и даже 5. Например, если текущее значение Q_t = 10 и я вижу серию, которая тянет только на 5, то Q_t+1 = 10/2 + 5/2 = 7,5, округляю до 8 и могу смотреть дальше. Однако для продолжения просмотра следующий эпизод должен оказаться хорошим. На основании этого правила я посмотрел три с половиной сезона «Форс-мажоров», два сезона «Большой маленькой лжи», полтора сезона «Рассказа служанки» и два эпизода сериала «Ты».

* * *

В большинстве компьютерных игр для отслеживания ваших успехов используется только одно число – набранные очки или уровень. Очки подобны Q_t в уравнении вознаграждения: они отслеживают ваши вознаграждения. Вы выбираете, что делать дальше: каким маршрутом поедете в гоночной игре Mario Kart, какого противника хотите выследить и убить в Fortnite, какой ряд переместите в игре «2048», на какую арену отправитесь за покемоном в игре Pokémon Go – и ваш счет меняется в зависимости от ваших успехов.

Ваш мозг действует аналогично. Химическое вещество дофамин часто называют элементом системы вознаграждения мозга, и иногда люди говорят, что были «вознаграждены» приливом дофамина. Однако такая картина недостаточно детализирована. Более двадцати лет назад немецкий нейробиолог Вольфрам Шульц рассмотрел экспериментальные данные по дофамину и пришел к выводу, что «дофаминовые нейроны активируются событиями, которые лучше прогноза, не затрагиваются теми, которые настолько же хороши, как он, и подавляются теми, которые хуже его»[154]. Итак, дофамин не вознаграждение R_t, а отслеживающий сигнал Q_t. Мозг использует его для оценки вознаграждения: он дает нам наш игровой счет.

Игры удовлетворяют многие наши базовые психологические потребности – например, демонстрацию умений решать задачи или работать совместно в группах[155]. Одна из причин того, что мы играем в игры, возможно, в том, что те измеряют степень выполнения задач. В реальной жизни все запутано. Когда мы принимаем какие-то решения на работе и дома, результаты порой непросты, и о вознаграждении судить сложно. В играх же все легко: если мы действуем правильно, то получаем вознаграждение; если плохо, то терпим убытки. Игры устраняют неопределенность и позволяют нашей дофаминовой системе заниматься тем, что ей больше всего нравится: отслеживать вознаграждения. Простота ведения счета в какой-нибудь игре, которая обеспечивается одной-единственной отслеживающей переменной, отражает работу наших биологических систем вознаграждения.

Индустрия компьютерных игр разобралась с уравнением вознаграждения. Одно исследование, в котором изучались британцы, ежедневно после работы игравшие в Block! (головоломка типа «Тетриса») или пользовавшиеся приложением для медитации Headspace, установило, что игроки в Block! лучше восстанавливались после рабочих стрессов. Эмили Коллинз, постдокторант из Университета Бата, проводившая эксперимент, позже заметила: «Медитация порой хороша для расслабления, но видеоигры обеспечивают психологическую отстраненность. Вы получаете внутренние вознаграждения и реальное ощущения контроля»[156].

Один разработчик компьютерных игр – Niantic – использовал наше желание получать вознаграждение для разработки игр, которые заставляют нас двигаться. В самой знаменитой их игре – Pokémon Go – нужно выходить в реальный мир и «собирать» маленьких созданий, покемонов, с помощью мобильного телефона. Эта игра поощряет к прогулкам, поиску монстриков, высиживанию их яиц и работе в команде. Если вы видели группу людей, стоящих перед местной церковью или библиотекой и бездумно стучавших по своим телефонам, то наверняка это были охотники за покемонами, собравшимися для захвата арены.

А сейчас я вам расскажу кое-что личное. О моей жене. Ловиса Самптер – очень успешная женщина. Она доцент в департаменте математического образования Стокгольмского университета. Учит студентов, которые сами однажды станут преподавателями в школах; организует крупные международные конференции и выступает на них; курирует магистров и аспирантов; пишет документы, определяющие политику образования, и ведет вдохновляющие беседы с учителями. Ловиса также квалифицированный преподаватель йоги. Я мог бы написать целую книгу о том, какая замечательная у меня жена, и большая часть была бы посвящена тому, как она терпела меня все это время и организовала нашу семейную жизнь.

Но личное – другое. Все, кто встречался с Ловисой, знают, какая она замечательная. Ее таланты – не секрет, а установленный эмпирически факт. Однако Ловиса добилась всего этого, живя с 2004 года с постоянными болями. В 2018 году ей поставили диагноз «фибромиалгия» – состояние, которое характеризуется хронической болью во всем теле; в первую очередь это проблема нервной системы. Организм Ловисы постоянно посылает в мозг болевые сигналы. Затем система отслеживания болей отправляет предупреждения вместо вознаграждения. Любая незначительная боль усиливается, из-за чего трудно спать, концентрироваться и оставаться терпимыми к близким. Лекарства неизвестны. Именно поэтому игра Pokémon Go стала важной частью жизни Ловисы: там она может получить какие-то вознаграждения, в которых ей отказывает ее организм.

Игра позволяет Ловисе сосредоточиться во время болей на чем-то другом, а также гарантирует долгие прогулки каждый день. Благодаря ей Ловиса нашла новых друзей, вместе с которыми «сражается на аренах» и участвует в «рейдах». Многие из таких игроков имеют работу, связанную со стрессами, – например, медсестры или врачи. Среди них есть также учителя и IT-специалисты, студенты и другая молодежь. Благодаря группе Ловисы появилась минимум одна семейная пара. Есть также немало людей, которых другая социальная среда, возможно, выталкивала, – например, безработная молодежь, безвылазно игравшая дома в PlayStation, которую Pokémon Go снова вывела во внешний мир.

У всех поклонников Pokémon Go имеется своя история о том, как игра им помогла. Одна пенсионерка начала играть, чтобы вместе со внуками делать то, что им может понравиться. Как и многие ее ровесники, она сравнивает это с хоровым обществом. «Идете в рейд и делаете свое дело. Преимущество в том, что вы можете хоть беседовать с другими, хоть просто спокойно стоять».

Еще у одного из товарищей Ловисы по игре есть партнер, больной раком. Игра для него – шанс выбраться наружу и подумать о чем-то другом. Некоторые страдали от долгой депрессии и получают удовольствие от помощи новичкам. У новой подруги Ловисы по игре – Сесилии – синдром Аспергера и синдром дефицита внимания и гиперактивности, один из симптомов – желание копить вещи, например рецепты и журналы. «Теперь я могу собирать и организовывать, не становясь скопидомом. И при этом получаю физическую нагрузку!» – сказала она Ловисе. Сесилия грубовато-пряма, с юмором, и это помогает Ловисе справляться со своими ощущениями.

Pokémon Go приносит стабильность в жизнь Ловисы и других людей. Вознаграждения идут устойчивым потоком – пусть и в непредсказуемое время, зато регулярно. «Это не лекарство, а скорее своего рода управление симптомами, – говорит мне Ловиса. – Это механизм выживания».

Ловиса и ее приятели всего лишь одна группа из многих разбросанных по планете любителей покемонов, жизнь которых улучшилась благодаря прогулкам и поиску вознаграждения. Йенни Солхейм Фуллер, старший менеджер, отвечающий в Niantic за гражданское и социальное влияние, рассказала мне об одном игроке, который страдал от посттравматического стрессового расстройства после возвращения из зарубежной поездки: «Стремление к успехам в игре вынуждало его выходить из дома и сосредоточиваться не на ПТСР, а на чем-то еще». Йенни добавляет: «Еще одна большая группа – аутисты. Мы встречали множество родителей, дети которых отличались невероятной чувствительностью к шуму и хаосу вокруг и не могли выходить на улицу. Сейчас же они стоят перед художественной школой, проводя рейды и разговаривая с другими людьми».

Йенни получала сообщения от онкобольных, благодаривших ее за игру, которая помогла им пережить тяжелое время. Она прочитала письмо от сына одного человека, пятнадцать лет страдавшего диабетом, а потом начавшего играть в Pokémon Go. «Сейчас он добрался до сорокового уровня, самого высокого, – писал сын. – Он стал одним из самых чутких пожилых игроков. Диабет больше не угрожает его здоровью, и ему уже не нужны инъекции».

Это всего лишь одна из историй, которые заставили Йенни и ее коллег плакать; когда она читала их мне, я тоже плакал. Ловиса достигла сорокового уровня летом 2018 года. И пусть внешнему миру это может показаться не самым впечатляющим ее достижением, я вижу, как она использовала вознаграждения, чтобы справиться с болью.

* * *

Результат Герберта Роббинса и Саттона Монро стал начальной точкой для области математики, используемой при обнаружении сигналов; она стала развиваться в 1950-х и 1960-х. Математики показали, что отслеживающую переменную Q_t можно использовать для оценки изменений в нашей среде. Вознаграждения – хорошие и плохие – можно наблюдать. В 1960 году Рудольф Эмиль Калман опубликовал основополагающую работу, показывающую, как надежно отфильтровать шум в вознаграждениях, чтобы раскрыть истинный сигнал[157]. Его метод использовали, чтобы оценивать скорость и положение объектов в роторах[158], что стало существенным шагом в разработке автоматических датчиков.

Затем теория обнаружения сигналов была соединена с новой областью – математической теорией управления. Ирмгард Флюгге-Лотц уже разработала систему прерывистого автоматического управления, которая давала возможность автоматически реагировать включением и выключением на изменения в температуре воздуха или турбулентности воздуха[159]. Ее работа, наряду с трудами других специалистов по теории управления, позволила инженерам проектировать автоматизированные системы, которые отслеживают изменения в окружающей среде и реагируют на них. Сначала их применили в термостатах, реагирующих на температуру в наших холодильниках и домах. Эти же уравнения легли в основу крейсерского режима для самолетов. Их также использовали для выравнивания зеркал в мощных телескопах, заглядывающих далеко во Вселенную. Именно эта математика управляла двигателем, который отвечал за начальные стадии торможения при приближении лунного модуля «Аполлона-11» к поверхности нашего спутника. Сегодня эти методы используются в роботах, которые трудятся на производственных линиях Tesla и BMW.

Теория управления создала мир устойчивых решений. Инженеры написали уравнения и потребовали, чтобы мир следовал этим правилам. Во многих случаях это прекрасно работало. Но мир неустойчив: бывают флуктуации и случайные события.

1960-е заканчивались новой контркультурой, бросавшей вызов установившемуся порядку, и «Десятка» тоже претерпела революцию. Акценты сместились с устойчивых линейных систем к неустойчивым, хаотичным и нелинейным. Именно такая математика повлияла на меня, когда я был молодым аспирантом в конце 1990-х, и я взялся за изучение всех этих математических теорий с экзотическими названиями: бабочка хаоса, модели песчаных лавин, критические лесные пожары, бифуркации в седловых точках, самоорганизация, степенные законы, критические точки… Каждая новая модель помогала объяснить сложность, которую мы видели вокруг.

Ключевой оказалась такая идея: устойчивость желательна не всегда. Новые математические модели описывали, как меняются экологические и социальные системы: не всегда возвращаясь обратно к тому же устойчивому состоянию, но иногда колеблясь между состояниями. Они описывали, как муравьи создают тропинки к пище, как нейроны синхронно возбуждаются, как рыба плавает в косяках и как взаимодействуют биологические виды. Они рассказывали, как люди принимали решения, – и с точки зрения процессов внутри мозга, и в плане обсуждения в группах. В результате участники «Десятки» смогли занять должности на кафедрах биологии, химии и физиологии.

Именно эти математические методы я применял к данным, собранным биологами, с которыми работал.

* * *

На своем телефоне я открываю не только Twitter, но и множество приложений. Так и у муравьев и пчел есть не один источник пищи, а сразу несколько, и животные могут выбирать. На игровых автоматах есть много рычагов, и у нас нет времени дергать все. Задача в том, чтобы определить, какой рычаг тянуть. Мы знаем, что, потянув за один из них, можем получить достаточно хорошее представление о доступных вознаграждениях от этого игрового автомата. Но если мы проведем все время, дергая за этот рычаг, то не узнаем, что могут предложить другие машины. Это явление известно под названием «дилемма разведки/эксплуатации». Сколько времени тратить на использование уже известного, а сколько на изучение менее знакомых альтернативных вариантов?

Для решения этой задачи муравьи применяют химические вещества – феромоны. Их количество отражает оценку Q_t того, что имеется какой-то источник пищи. Теперь представьте, что у насекомых есть два источника с различными феромоновыми следами к каждому. Чтобы выбрать, каким путем идти, каждый муравей сравнивает количество феромона на обоих следах. Чем его больше, тем выше вероятность, что муравей последует этим маршрутом.

Выбор каждого следующего насекомого приводит к процессу подкрепления: чем больше муравьев пойдет по определенному пути и получит вознаграждение, тем вероятнее, что их сотоварищи отправятся тем же маршрутом. Пути с активным трафиком получают подкрепление; другие забрасываются. Это наблюдение можно сформулировать в рамках уравнения 9, где дополнительный коэффициент учитывает выбор муравьев[160]. Вот один из примеров:

Новый коэффициент учитывает, как муравей выбирает между двумя альтернативными путями. Величину Q_t можно представлять как количество феромона на пути к одному потенциальному источнику пищи, а Q'_t – на пути к другому. Теперь у нас две отслеживающие переменные (Q _t и Q'_t) – по одной для каждого источника или (если мы моделируем использование соцсетей) по одной для каждого приложения в телефоне[161].

Когда сталкиваешься с новым запутанным уравнением с кучей параметров, всегда полезно рассмотреть сначала более простой вариант. Взглянем на новый коэффициент без квадратов:

Если β = 0, это просто доля, которую одна отслеживающая переменная составляет от их суммы. Соответственно, вероятность того, что муравей использует конкретное вознаграждение, пропорциональна доле отслеживающей переменной для него. Теперь посмотрим, что произойдет при β = 100. Поскольку Q_t заключена между 0 и 1, она невелика по сравнению с числом 100, так что вышеуказанная дробь примерно равна 100 / (100 + 100) = 1/2. Вероятность того, что муравей будет использовать определенное вознаграждение, равна 0,5 (или пятьдесят на пятьдесят).

Проблема баланса между разведкой и эксплуатацией превращается в проблему нахождения оптимального уровня подкрепления маршрута. Это то же, что задача нахождения правильного значения β. Если подкрепление сильное (значение β очень мало), муравьи всегда следуют по пути с самым сильным запахом. Очень быстро второй источник забрасывается (насекомые перестают его посещать), и даже если он станет лучше, никто о нем не узнает. В результате муравьи оказываются прикованными к тому источнику, который казался лучше первоначально, даже если потом качество изменилось.

Слишком слабое подкрепление (значение β очень велико) приводит к противоположной беде. В этом случае насекомые выбирают маршруты наугад и не пользуются своими знаниями о том, какой из них лучше.

Ответ на задачу разведки и эксплуатации включает неожиданный поворот. Оказывается, решение дилеммы оптимального подкрепления связано с другим понятием, которое обычно возникает в совершенно другом контексте: критическими точками.

Поясню: критические (переломные) точки – моменты, когда накапливается какая-то критическая масса и система резко переходит из одного состояния в другое: например, мода внезапно распространяется после того, как авторитетные люди стали рекламировать этот бренд, или вспыхивает бунт, когда маленькая группа агитаторов заводит протестующих[162]. В каждом из этих и во многих других примерах подкрепление представлений приводит к внезапным переменам состояния. То же у муравьев – формирование феромонового маршрута происходит при достижении критической точки: путь начинается, когда небольшая группа муравьев решает двигаться к пище одной дорогой.

И вот удивительный вывод: наилучший способ сбалансировать разведку и эксплуатацию – чтобы муравьи оставались в состоянии, близком к критической точке. Если насекомые отойдут от нее, то слишком многие из них будут замкнуты на один источник пищи; они не смогут переключиться, когда появится что-то лучшее. Но если этому источнику будет привержено недостаточно насекомых и ситуация не дойдет до критической точки, то муравьи не смогут сосредоточиться на оптимальной пище. Они должны найти между разведкой и эксплуатацией золотую середину.

Муравьи эволюционировали так, чтобы оставаться в критической точке. Один из моих любимых примеров того, как они добиваются этого равновесия, обнаружила биолог Одри Дюссютур, работавшая с большеголовыми муравьями (этот вид получил свое название за необычно крупную голову). У них много поводов гордиться своей головой: они колонизировали большую часть тропического и субтропического мира, выиграв конкуренцию у других местных видов. Одри выяснила, что они используют два вида феромонов: один испаряется медленно и дает слабое подкрепление, другой же испаряется быстро и дает очень сильное подкрепление[163].

Мы с математиком Стэмом Николисом разработали модель с двумя уравнениями вознаграждения: одно для слабого, но длительно действующего феромона, а другое – для сильного, но короткоживущего. Мы показали, что комбинация этих двух феромонов позволила муравьям оставаться в районе критической точки. В нашей модели муравьи могли отслеживать два разных источника, переключаясь между ними всякий раз, когда качество пищи менялось. Одри подтвердила наши прогнозы экспериментально: когда она меняла качество еды, большеголовые муравьи переключали свои усилия на лучший источник.

Жизнь около критической точки характерна не только для муравьев. Для многих животных это бесконечное казино с игровыми автоматами. Не сидит ли в тех кустах какой-нибудь хищник? Есть ли еда там, где я нашел ее вчера? Где можно найти убежище на ночь? Чтобы выжить в этих условиях, эволюция довела животных до критических точек. Этот феномен я обнаруживал раз за разом в течение пятнадцати лет, когда изучал их поведение: саранча перемещается с такой плотностью, которая позволяет быстро менять направление движения; косяки рыб внезапно рассыпаются при нападении акул; скворцы в стаях дружно уворачиваются от ястреба. Двигаясь вместе, жертвы путают хищника.

Животные эволюционировали до критической точки. Они находятся в состоянии постоянной коллективной сознательности – переключаются от одного решения на другое, быстро реагируют на изменения. Для них это вопрос выживания.

А как насчет людей? Застряли ли мы на какой-нибудь критической точке? И если да, должны ли мы там оставаться?

* * *

В 2016 году Тристан Харрис обрушился на социальные сети. Предыдущие три года он работал в Google, но похоже было, что он этим сыт. Харрис ушел из Google и опубликовал на платформе Medium свой манифест. Заглавие утверждало: «Технологии захватывают ваш разум», а двенадцатиминутное содержание объясняло, как они это делают[164].

Аналогия, которую он выбрал для соцсетей, вам уже знакома: игровой автомат. По его словам, технологические гиганты фактически положили такие автоматы в карманы нескольких миллиардов человек. Уведомления, твиты, электронные письма, ленты Instagram и пролистывания-свайпы Tinder просят нас «потянуть за рычаг» и узнать, выиграли ли мы. Они прерывали наш день постоянными напоминаниями, а затем пропитывали нас страхом пропустить что-нибудь, если мы не дернем рычаг вовремя. Они соблазняли нас одобрением от наших друзей и побуждали отвечать взаимностью, ставя лайки и делясь публикациями, когда мы дергали рычаги одновременно с другими. Все это происходило в соответствии с собственными планами технологических компаний – заставить вас просмотреть рекламу и переходить по оплаченным ссылкам. Google, Apple и Facebook создали гигантское онлайн-казино и загребали прибыли. Наши карманные игровые автоматы вызывают такое привыкание, поскольку постоянно ставят нас перед необходимостью решать задачу разведки и эксплуатации. При этом социальные сети не простой игровой автомат: здесь тысячи ручек, и за все нужно потянуть, чтобы узнать, что происходит.

Ученым давно известно, какие проблемы доставляет мозгу животных наличие нескольких ручек. В 1978 году Джон Кребс и Алекс Касельник провели в Оксфордшире эксперимент с большими синицами[165]. Они предложили птицам две разные жердочки. Насесты были сконструированы так, что, когда синица садилась туда, иногда выпадала еда. Вероятность этого события была разной: на одной жердочке больше, чем на другой. Кребс и Касельник обнаружили, что в случаях, когда один насест был намного выгоднее другого, птицы быстро сосредоточивались только на нем. Но когда насесты были схожими, задача для птиц оказывалась сложной. Они перелетали между жердочками туда и обратно, пытаясь проверить, какая лучше. В моей терминологии синицы подошли близко к критической точке.

Математик Питер Тейлор показал, что уравнение вознаграждения полностью согласуется с этим результатом. Чем труднее выбрать вознаграждение, тем больше исследований-разведки требуется. Мы делаем то же, что и эти синицы, только у нас больше вариантов выбора. Мы открываем приложение за приложением. Но проблема не в доступности всех этих вознаграждений – она в желании мозга разведывать и эксплуатировать. Мы желаем быть уверенными в том, что знаем, где можно найти каждое из потенциальных вознаграждений. Нас подталкивают к критической точке.

Между использованием одного источника и нескольких огромная разница. Когда вы читаете какую-то книгу, играете в Mario Kart или Pokémon Go, смотрите «Игру престолов», играете в теннис с другом или идете в спортзал, вы сосредоточены только на одном источнике вознаграждения. Вам нравятся повторяющиеся сигналы о найденном предмете или звонки, отмечающие пройденный круг в гонке.

Ваше уравнение вознаграждения сходится к устойчивому состоянию. Это уравнение 1950-х, для которого Роббинс и Монро доказали устойчивую сходимость. Вы узнаёте, что сулит такая деятельность, и ваша уверенность медленно, но верно начинает соответствовать ожидаемому вознаграждению. Именно эта привычная стабильность и дарит удовольствие.

А когда вы пользуетесь соцсетями, то исследуете-разведываете и эксплуатируете много разных источников вознаграждения. На деле вы вообще не собираете вознаграждения, а отслеживаете неопределенную среду. Вспомните, что дофамин не вознаграждение, поэтому вы не получаете удовольствия. Вы в режиме выживания собираете как можно больше информации. Проблема не обязательно состоит в неограниченной доступности вознаграждений, она в том, что вам надо следить за всеми потенциальными источниками вознаграждения; это и делает вашу жизнь трудной. Вы подводите свой мозг к критической точке – ставите его на порог хаоса, перемещаете в переходную стадию. Неудивительно, что у вас стресс.

И в критической точке не только ваш мозг: там все общество в целом. Мы подобны муравьям, которые неистово носятся вокруг, пытаясь отслеживать источники информации. А те постоянно двигаются, меняют качество, иногда исчезают. Что же вы можете сделать с этой проблемой?

Центр гуманных технологий – организация, одним из сооснователей которой был Тристан Харрис, – предлагает рекомендации, как взять под контроль и увести разум от критической точки. Отключите все уведомления на телефоне, чтобы вас не прерывали постоянно. Измените настройки экрана, чтобы значки были неяркими и меньше бросались в глаза.

По большей части я согласен с советами Харриса. Это здравый смысл. Однако из того, как муравьи пользуются уравнением вознаграждения, можно извлечь не такие очевидные, но, возможно, даже более полезные идеи.

Во-первых, вы должны осознать невероятную мощь того, что ваш разум и общество в целом находятся в районе критической точки. Не случайно самыми экологически успешными видами муравьев стали те, которые используют феромоны наиболее эффективно. То же касается и перехода людей к переломным точкам. Они могут вызывать у вас стресс как у индивидуума, но общество на пороге критической точки способно быстрее генерировать и распространять новые идеи. Подумайте о множестве идей, которые появились вследствие движения #MeToo или #BlackLivesMatter. Эти кампании действительно заставили людей узнать о проблемах и смогли привести к переменам. Или, если вы придерживаетесь других политических убеждений, посмотрите на выборы Трампа или #MakeAmericaGreatAgain[166]. Подумайте о том, как появились эти идеи, и о реакции на них с обеих сторон.

Сегодня мы чаще вовлечены в политические дискуссии. Когда дело доходит до политических причин, то молодежь сейчас активнее, чем когда-либо, – как в интернете, так и в реальной жизни[167]. Мы словно стая птиц, кружащаяся в вечернем небе. Мы будто косяк рыб, носящийся при приближении хищника. Мы как пчелиный рой, летящий к новому дому; как колония муравьев, прочесывающая лес в поисках пищи. Мы человеческая толпа, просматривающая новости.

Оказывайтесь в этой критической точке и наслаждайтесь свободой в ней. Читайте одну новостную статью за другой. Получайте информацию, принимайте новые идеи и следуйте своим интересам. При написании этой книги я провел бессчетные часы в поисковой системе Google Scholar, просматривая научные статьи, уточняя, кто кого цитировал, и решая, какие научные вопросы важны. Общайтесь с людьми в Сети. Спорьте при необходимости. Отправьте письмо какому-нибудь полоумному старому профессору, который пишет для Quillette. Станьте частью информационного потока. Затем, когда вы проведете около часа в этой критической точке, я расскажу вам о второй идее, на которую наткнулся, глядя на муравьев.

Я понимаю, что мог создать у вас впечатление, будто муравьи – гиперактивные фанаты игровых автоматов. Это правда, когда они трудятся, и некоторые муравьи действительно работают очень усердно. Однако многие из них весьма ленивы. В любой конкретный момент большинство муравьев ничего не делают[168]. Пока меньшая часть сообщества бегают как сумасшедшие, оценивая и собирая пищу, большинство их сотоварищей просто бездействуют. Отчасти это связано с посменной работой; не все муравьи активны одновременно. Но в колониях также много насекомых, которые трудятся очень мало, редко выходят наружу и не участвуют в уборке. Почему муравьи в своей эволюции дошли до такой апатии, никто пока точно не знает, но если мы собираемся восхищаться меньшинством за его высочайшую активность, то нужно отдать должное и большинству за их расслабленное отношение к жизни.

Итак, когда вы уже некоторое время побыли в критической точке, поживите как ленивый муравей. Отрешитесь от всего. Поставьте «Игру престолов» на автоматическое воспроизведение. Посмотрите снова сериал «Друзья» от первого эпизода до последнего. Проведите неделю или месяц, собирая всех покемонов. Конечно, следует добавить все высоконравственные занятия вроде рыбалки, прогулок или сидения на крыльце. Но главное при этом – расслабляться без телефона. Не обращайте внимания на новости и бесконечные электронные письма, где вас указывают в качестве адресата копии. Не волнуйтесь, о них побеспокоится кто-то другой. Это вовсе не обязательно должно быть вашей заботой.

Уравнение вознаграждения говорит вам, что нужно сосредоточиться на настоящем, а не зацикливаться на прошлом. Помните то единственное число, что держите в голове. Если что-то происходит, обновите его; если нет, пусть ваша оценка чуть-чуть уменьшится. Убедитесь, что вы ощущаете разницу между устойчивыми вознаграждениями, которые продолжают поступать (пусть и нерегулярно) независимо от ваших действий, и неустойчивыми, которые со временем меняют свою природу. Устойчивые вознаграждения можно найти в дружбе и в личных отношениях; в книгах, фильмах, телевизоре; в долгих прогулках и рыбной ловле; в играх «2048» и Pokémon Go. Неустойчивые есть в социальных сетях, поиске партнера в Tinder, на большинстве рабочих мест и часто (хотим мы это признавать или нет) – в нашей семейной жизни. Не бойтесь в таких ситуациях вести разведку и эксплуатацию, однако помните, что максимальную отдачу от вознаграждений можно найти, находясь в критической точке. Так что прежде чем неустойчивые вознаграждения опрокинут вас в нежелательное место, найдите дорогу обратно к устойчивости.

Я набрал в телефоне запрос: «Кто в этом сезоне лучше – Месси или Криштиану Роналду?»

Я посмотрел на Людвига, Олофа и Антона, которые стояли перед экраном ноутбука. Людвиг нервно переступил с ноги на ногу: сначала тестируется его часть кода. Сможет ли футбольный бот преобразовать мою английскую фразу в язык, который ему понятен?

На экране побежал текст – результат работы мозга этого бота. Мой вопрос стал таким:

Бот справился! Он понял, что я имею в виду. Теперь очередь Олофа нервничать. Он должен был смоделировать игровые качества. Я не определил интересующий меня промежуток времени, но бот по умолчанию взял недавние матчи. Алгоритм Олофа может классифицировать характеристики как «плохие», «средние», «хорошие» и «отличные». Сейчас бота попросили оценить и сравнить двух отличных игроков.

Бот решил взять {мера: удары; турнир: Лига чемпионов}, чтобы сообщить о произведенных ударах и забитых голах в единственном турнире, где они играли оба. Мы могли видеть ответы на экранах: бот определил, кого из игроков он считает лучшим. Теперь осталось отправить эту информацию обратно на мой телефон – не в виде фигурных скобок, двоеточий и краткого текста, а в виде фраз, которые я мог бы читать.

Антон, который должен был конструировать ответы, сказал: «Существует больше 100 тысяч фраз, которые он может сказать. Различные способы составления предложений и выбора слов. Мне интересно, что он выберет».

Я смотрел на свой телефон. Потребовалось время. Нам определенно нужно поработать над пользовательским интерфейсом…

Наконец он ответил: «Из этих двух игроков я считаю лучшим Лионеля Месси. Он забил шесть раз и имеет отличные точки ударов в этом сезоне». Бот прислал мне ссылку на карту ударов со всеми ударами и голами футболиста в Лиге чемпионов. Конечно, по упоминанию «точек ударов» видно, что писал бот, но в такой формулировке было что-то очаровательное. И по сути моего вопроса он дал правильный ответ.

Студенты сконструировали этого футбольного бота частично с помощью математики, с которой мы познакомились в этой книге. Людвиг использовал уравнение обучения, чтобы научить программу понимать вопросы о футболе. Олоф применил уравнение умений, чтобы оценивать игроков, а уравнение суждений – чтобы их сравнивать. Затем Антон связал всё воедино с помощью одного финального уравнения – «Если… то…».

Прежде чем мы сосредоточимся на нем[188], я хочу посмотреть, на какой стадии нашего путешествия в математику мы находимся. Немного подумаем о том, что мы узнали.

Понимание уравнений может происходить на разных уровнях. Вы способны погружаться в их математические глубины, чтобы разобраться, как именно они работают и как их использовать. Если ваша цель – стать специалистом по обработке данных или статистиком в Snapchat, баскетбольном клубе или инвестиционном банке, вам необходимо совершить такое погружение. Эта книга – только начало.

Вы можете использовать десять уравнений иначе – менее техническим способом, мягче. Вы можете применить их для управления процессом принятия решений и для собственного представления о мире. Я полагаю, что вы можете использовать десять уравнений, чтобы стать лучше.

В западном мышлении исходные «если… то…» содержались в десяти заповедях. Если сегодня день субботний, то свято чти его. Если у тебя будут другие боги, то ты не предстанешь предо мной. Если у твоего соседа привлекательная жена, то ты не должен желать ее. И так далее. Проблема заповедей в том, что они негибкие и через несколько тысячелетий кажутся несколько устаревшими.

Девять уравнений, изученных нами, совсем другие. Они не устанавливают правил, что вам нужно делать в тех или иных ситуациях. Они предлагают определенный подход к жизни. Помните, как Эми в туалете услышала злые слова Рэйчел? Или как парадокс дружбы помог нам увидеть, что мы напрасно жаждем социального успеха других людей? Или когда вы раскладываете друзей по типам с помощью уравнения рекламы? В каждой из этих ситуаций я не говорил действующим лицам, что им следует делать на основании какого-то заранее определенного морального компаса. Я рассмотрел данные, определил корректную модель и пришел к разумному выводу.

Десять уравнений дают больше гибкости, чем десять заповедей. Они могут справляться с гораздо более широким кругом проблем и дать более детальные советы. Ставлю ли я десять уравнений выше десяти заповедей? Да, конечно. У нас были тысячелетия, чтобы развивать мышление: со времен исходной «Десятки» мы нашли способы лучше думать о проблемах. Я ставлю десять уравнений выше не только христианства, но и многих других подходов к жизни. То, как данные и модели сочетаются между собой, противостоя бессмыслице, придает математике чистую честность, которая позволяет ей подняться над любыми другими способами мышления.

Математическое знание – как дополнительный уровень интеллекта. Я также считаю (хотя это более спорно), что изучить десять уравнений – наша моральная обязанность. Я даже полагаю, что в целом уже проделанная работа участников «Десятки» благо для человечества. Не всегда, но чаще да. Изучая эти уравнения, вы помогаете не только себе, но и другим.

Такой вывод может показаться неожиданным, если учесть, что участники «Десятки» часто имеют преимущество перед теми, кто не обладает такими навыками. Может также показаться, что этот вывод противоречит философской позиции проверяемости, описанной Алфредом Айером, который говорил, что нельзя ожидать, чтобы в математике нашлись разумные ответы на моральные вопросы. Но вот во что я верю и что буду сейчас отстаивать. «Десятка» – это сила добра.

Чтобы выяснить, где в математике можно найти мораль, сначала нужно понять, где ее найти нельзя. С помощью метода исключения мы должны определить, что именно в математическом мышлении может подсказать нам, какие поступки «правильные».

Наше последнее уравнение «Если… то…» не одно уравнение, а сокращенное наименование множества алгоритмов, которые можно записывать в виде последовательности операторов «если… то…» и циклов «повторять… пока». Такие операторы – основа программирования. Например, в футбольном боте, созданном Антоном, мы найдем команды вроде:

Такого рода команды в сочетании со входными данными определяют, что будет на выходе.

В 1950-х, 1960-х и 1970-х зарождавшаяся информатика обнаружила целый ряд алгоритмов для обработки и организации данных. Одним из самых первых примеров был алгоритм сортировки слиянием, впервые предложенный Джоном фон Нейманом в 1945 году для сортировки чисел или по алфавиту. Чтобы понять, как он работает, сначала подумайте, как объединить два уже отсортированных списка. Например, у меня есть список букв в алфавитном порядке {A,G,M,X} и другой {C,E,H,V}. Чтобы создать сортированный список, объединяющий оба компонента, мне нужно идти слева направо по обоим спискам и ставить букву, которая идет раньше по алфавиту, в новый, а затем выбрасывать ее из исходного.

Попробуем. Сначала я сравниваю два первых элемента списков – А и С. Поскольку А в алфавите идет раньше, я помещаю ее в новый список и убираю из текущего. Теперь у меня три списка: новый {A}, первоначальные {G,M,X} и {C,E,H,V}. Я снова сравниваю первые элементы исходных списков, G и C, и добавляю C в новый список. Он принимает вид {A,C}. Теперь я сравниваю G и E, отправляя в новый список E: {A,C,E}. Это повторяется, пока я не получу сортированный список {A,C,E,G,H,M,V,X} и два пустых исходных.

Чтобы перейти от слияния уже отсортированных списков к сортировке произвольных, фон Нейман предложил стратегию, основанную на принципе «разделяй и властвуй». Полный список делится на более мелкие, и задача для каждого из них сводится к тому же методу – слиянию уже сортированных списков.

Предположим, мой первоначальный список таков: {X,G,A,M}. Сначала мы сливаем буквы {X} и {G}, получая {G,X}, и буквы {A} и {M}, получая {A,M}. Элегантность такого подхода в том, что на всех уровнях используется одна и та же техника. Разделив исходный список на достаточно мелкие части, мы в итоге приходим к списку, который гарантированно будет отсортирован, то есть к отдельным буквам. Затем, используя наше умение сливать два сортированных списка, мы гарантируем, что все создаваемые нами списки также будут отсортированы (см. рис. 10). Сортировка слиянием никогда не ошибается.

Рис. 10. Иллюстрация сортировки слиянием и алгоритма Дейкстры

Еще один пример – алгоритм Дейкстры, определяющий кратчайший путь между двумя точками. Голландский физик и программист Эдсгер Дейкстра разработал свой алгоритм в 1953 году, чтобы продемонстрировать «некомпьютерным людям» (как он их называл), что компьютеры могут быть полезными при расчете самого быстрого маршрута между двумя нидерландскими городами[189]. На придумывание алгоритма у него ушло всего двадцать минут – он сидел в одном из амстердамских кафе. Позже он рассказывал журналу Communications of the ACM[190]: «Одна из причин его красоты – отсутствие у меня карандаша и бумаги. Без них вы практически вынуждены избегать всех сложностей, которых можно избежать».

Представьте, что вы хотите проехать из Роттердама в Гронинген. Алгоритм Дейкстры предписывает вам сначала определить время поездки от Роттердама до всех соседних с ним городов. Процесс показан на рисунке 10. Например, Делфт получит 23 минуты, Гауда – 28, а Схонховен – 35. Следующий шаг – рассмотреть все соседние для этих трех городов и найти кратчайшее время пути до них. Например, от Гауды до Утрехта 35 минут, а от Схонховена до Утрехта – 32 минуты; поэтому кратчайшее общее время пути до Утрехта составляет 28 + 35 = 63 минуты через Гауду (это меньше, чем 35 + 32 = 67 минут через Схонховен). Алгоритм постепенно продвигается по территории Нидерландов, фиксируя кратчайшее расстояние до каждого города. Поскольку он каждый раз вычисляет кратчайший путь до любого города, то при добавлении нового города гарантировано, что до него тоже будет найден кратчайший путь. Алгоритм рассчитан не на конкретный Гронинген, он маркирует расстояния до всех городов; но когда в расчетах дело дойдет до него, алгоритм гарантирует, что нашел кратчайший путь.

Есть множество алгоритмов, похожих на сортировку слиянием Джона фон Неймана или нахождение кратчайшего пути[191]. Вот несколько примеров: алгоритм Краскала для нахождения минимального остовного дерева (например, схема кратчайшей железнодорожной сети, соединяющей все города страны); расстояние Хэмминга для обнаружения разницы между двумя частями текста или данных; алгоритмы построения выпуклой оболочки для изображения фигуры, окружающей некоторое множество точек; алгоритмы обнаружения столкновения в 3D-графике; быстрое преобразование Фурье для обнаружения сигнала. Эти алгоритмы и их вариации – строительные блоки для аппаратного и программного обеспечения компьютеров. Они сортируют и обрабатывают наши данные, перемещают электронные письма, проверяют грамматику и позволяют Сири или Алексе за секунды идентифицировать передаваемую по радио песню.

Математика «Если… то…» всегда дает правильный ответ, и мы всегда знаем, что делать дальше. Возьмите, например, футбольного бота, созданного тремя студентами магистратуры. Я мог задавать ему простые вопросы о футболе, он отвечал; но Антона его ответы не удивляли. Антон закодировал правила, которые определяют, что говорит бот, и программа четко следует им.

Почему я свалил в одно общее уравнение все алгоритмы «если… то…»? Потому что у них есть одно очень важное общее свойство: они универсальные истины. Алгоритм Дейкстры всегда найдет кратчайший путь; сортировка слиянием всегда отсортирует список имен от A до Z; выпуклая оболочка для множества точек всегда имеет одну и ту же конструкцию. Это утверждения, которые истинны независимо от того, что мы говорим или делаем.

В первых девяти главах этой книги мы использовали уравнения для проверки моделей, составления прогнозов и оттачивания нашего понимания реальности. Эти уравнения взаимодействуют с миром: мы позволяем прошлым данным информировать наши модели, а те прогнозируют будущие данные. Но алгоритмы «если… то…» негибкие. Они берут данные – скажем, список имен для сортировки или список точек, между которыми можно вычислить кратчайший путь, – и выдают ответ. Мы не пересматриваем свое знание мира на основе полученных ответов. Точно так же и наши наблюдения не влияют на истинность алгоритмов. Вот почему я называю их универсальными: их истинность доказана, они работают всегда.

Вышеприведенные примеры – алгоритмы из программирования, однако другие математические утверждения-теоремы из геометрии, анализа и алгебры также универсальные истины. В главе 5 мы видели пример парадокса дружбы. Сначала кажется невероятным, что наши друзья в среднем популярнее нас, но с помощью логических рассуждений мы показали, что это верно и иначе быть не может.

Математика полна удивительных результатов, которые сначала могут противоречить интуиции. Например, тождество Эйлера (названное в честь великого математика Леонарда Эйлера[192]) e^πi + 1 = 0 говорит нам о связи между тремя хорошо известными величинами, основанием натуральных логарифмов e = 2,71828…, π = 3,14159… и i = √–1. Этот факт так изящно сочетает фундаментальные константы, что его называют самой красивой формулой в математике[193].

Еще один пример – золотое сечение:

φ = (1 + √5) / 2 = 1,618…

Это число появляется, когда мы рисуем прямоугольник, который можно разрезать на квадрат и новый прямоугольник, подобный исходному. Иными словами, если сторона этого квадрата равна a, а стороны прямоугольника – a и b, то прямоугольник называется золотым, когда

Интересно, что число φ (фи) также появляется в связи с последовательностью чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…, которая получается, когда мы складываем два предыдущих числа для получения следующего (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3 и т. д.). Если мы рассмотрим отношение двух последовательных чисел Фибоначчи, то оно будет все сильнее приближаться к числу φ (например, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615…, 34/21 = 1,619… и т. д.). Эти два примера – всего лишь начальная точка для путешествия в чистую математику, где повседневная интуиция начинает подводить и только строгие логические рассуждения могут вести вперед.

Огромное количество математических теорем, оказавшихся истинными, побудило французского математика Анри Пуанкаре написать в своей книге 1902 года «Наука и гипотеза»: «Если все предложения, которые математика выдвигает, можно вывести друг из друга по правилам формальной логики, то каким образом математика не сводится к бесконечной тавтологии? Логический вывод не может нас научить ничему существенно новому… Неужели мы можем допустить, что все эти теоремы, которые заполняют столько томов, нужны только для того, чтобы окольным способом сказать, что А есть А?» Вопрос Пуанкаре был риторическим, поскольку он считал, что проблемы, с которыми он и другие люди сталкиваются при разгадывании математических истин, должны содержать нечто более глубокое, нежели просто логические утверждения.

Аналогичная точка зрения в книге Дэна Брауна «Код да Винчи» – оригинальной, хотя и вымышленной теории математического заговора. В книге профессор Лэнгдон говорит: «Когда древние открыли число фи [φ], они были уверены, что наткнулись на строительный блок, который Бог использовал при создании мира… Загадочное волшебство, присущее божественной пропорции, было написано в начале времен». Лэнгдон переходит к примерам (некоторые верны, некоторые нет), как золотое сечение, которое он называет божественной пропорцией, можно увидеть в биологии, искусстве и культуре. На протяжении всей истории участники «Десятки» использовали φ в качестве кода, причем имя одного из главных персонажей романа – СоФИ Невё – содержало ключ.

Должен признать, что этот аспект математики меня очень привлекает. Я наслаждался «Кодом да Винчи». Есть что-то невероятное в обнаруживаемых нами неожиданных связях – не только в числах вроде фи, но и в алгоритме Дейкстры для кратчайшего пути, и в сортировке слиянием фон Неймана. Такая простая элегантность кажется выходящей за рамки обыденной реальности. Может, за всеми этими уравнениями скрыт какой-то глубокий код?

Правильный ответ на вопрос Пуанкаре гораздо более незатейлив и прямолинеен, чем он ожидал: «да». Все великие теоремы математики, как и все алгоритмы сортировки и организации из информатики, говорят всего лишь, что А равно А. Все они представляют собой одну колоссальную тавтологию; это очень полезные и неожиданные тавтологии, но тем не менее тавтологии. Пуанкаре был прав буквально и неправ риторически.

Рассуждение, которое утверждает, что Пуанкаре был прав, можно найти в книге «Язык, истина и логика». В ней Айер использовал пример с треугольником. Представьте, что друг рассказывает вам о треугольнике, у которого сумма углов меньше 180 градусов[194]. У вас есть два способа отреагировать: либо сказать ему, что он измерил неправильно, либо сообщить, что объект, который он имеет в виду, не треугольник. Ни при каких обстоятельствах вы не измените своего мнения о математических свойствах треугольника на основании данных вашего друга. Он не найдет в реальном мире треугольника, подрывающего устои геометрии.

И не существует списка слов любого языка, который невозможно отсортировать по алфавиту. Если я покажу вам список, где Айер стоит после Самптера, и скажу, что это – результат сортировки слиянием, то вы скажете, что либо мой алгоритм не работает, либо я не знаю алфавита. Он точно не станет доказательством, что сортировка слиянием не работает. Аналогично не существует компьютерной сети, в которой кратчайший путь длиннее, чем второй, по краткости.

К сожалению для профессора Лэнгдона, причина появления числа φ = 1,618… во всех этих геометрических и математических соотношениях состоит в том, что оно являет собой положительный корень квадратного уравнения x² – x – 1 = 0. И изучение последовательности Фибоначчи, и нахождение золотого сечения приводят к решению одного и того же квадратного уравнения, поэтому дают один и тот же ответ. Нет никакого загадочного магического кода, скрытого в числе фи или в любом другом.

Точка зрения Айера: математические теоремы не зависят от данных. Математика непроверяема. Она состоит из тавтологических утверждений, которые можно доказать с помощью логики, но сами по себе они ничего не говорят о реальности. В ответ на риторический тон Пуанкаре Айер писал: «Способность логики и математики удивлять нас, как и ее полезность, зависит от ограниченности нашего разума».

Пуанкаре вводил в заблуждение тот факт, что заниматься математикой порой трудно даже ему. По сути, математические результаты не зависят от наших наблюдений. Вот почему я говорю, что они универсальны. Они верны для всей Вселенной – независимо от того, что мы говорим и делаем, от научных открытий, от того, сделал их Пуанкаре или другой математик.

Как мы видели в этой книге, сила десяти уравнений в том, что они взаимодействуют с реальным миром, комбинируя модели и данные. В отрыве от данных уравнения не имеют глубокого смысла. Они определенно не несут нам какой-то морали и не имеют ничего общего с Богом. Это просто набор крайне полезных результатов, которые оказались истинными.

Чтобы найти загадку и мораль в математике, нам придется поискать не в самих теориях, а в других местах.

* * *

Я все откладывал звонок Мариусу. Ян попросил, чтобы я позвонил и все уточнил у него, прежде чем публиковать финансовые подробности их операции со ставками, и я несколько опасался, что Мариус может ответить отказом. Возможно, ему хочется хранить все это в тайне от любопытных глаз.

Я напрасно беспокоился. Мариус был рад поговорить и выложил мне все подробности. Их прибыли продолжали расти, хотя ему приходилось сложно.

– Если изо дня в день смотреть на цифры, можно сойти с ума, – сказал он.

В какой-то момент у них был неудачный период, когда друзья потеряли 40 тысяч долларов.

– Это был худший момент за все время. Ты реально начинаешь сомневаться. Но мы продолжили работать и не торопились. И числа снова поднялись. Потом опять упали… и поднялись.

Мариус сказал, что азартные игры научили его быть более терпеливым и концентрироваться на вещах, которые он может изменить.

– Мы не можем управлять колебаниями. Я научился не смотреть матчи, как во время чемпионата мира. Сначала я проверял наши ставки в режиме реального времени. Сейчас просто прихожу в офис и работаю, а обзор мы смотрим раз в квартал.

– Вы когда-нибудь задумывались о моральной стороне того, что делаете? – спросил я. – О людях, которые теряют, когда вы выигрываете?

– Я думаю, что азартные игры – щекотливый вопрос из-за всей этой рекламы, которая обманывает, – ответил Мариус. – Но в то же время всего лишь быстрый поиск в Сети по разным ставкам даст вам все, что нужно, чтобы оставаться в плюсе как любителю. Просто люди не хотят себя утруждать.

Он был прав. Это моральный урок из уравнения ставок. Если люди не хотят потратить несколько часов на поиск информации в интернете – почему Мариус должен за это отвечать? Мариус и Ян создали сайт, содержащий именно ту информацию, которая нужна этим людям для ставок у мягких букмекеров. Но очень мало кто делает ставки так, как они.

Я спросил Мариуса, что он будет делать, если рынки изменятся внезапно и он все потеряет.

– Никогда не знаешь, как все обернется. Такое всегда возможно, – ответил Мариус. – Но мне очень нравится то, что я делаю, и именно поэтому я счастлив. Мне не хотелось бы сидеть на пляже, пока какой-нибудь бот работает. Мне интересно копаться в данных и извлекать что-то оттуда.

Он обнаружил настоящий секрет «Десятки», и тот имел мало общего с количеством денег на его банковском счете. Его вознаграждением было количество новых знаний.

Можно ли это считать признаком морали? Думаю, да. Я считаю, что в подходе Яна и Мариуса есть интеллектуальная честность. Они не лгут о своих действиях. Они играют в игру по имеющимся правилам и выигрывают, потому что у них это получается лучше. То же можно сказать об операциях со ставками Уильяма Бентера и Мэттью Бенхэма в более крупном масштабе. Честность Бентера была поразительной. Все считали, что он остерегается раскрыть, сколько и где выиграл, однако он опубликовал статью о своих методах в научном журнале. Любой человек с математическими умениями сейчас может взять методы Бентера и применить их на практике.

Те, кто много работает, учится и проявляет настойчивость, – победители. Те, кто срезает углы, проигрывают. То же правило применимо ко всей «Десятке». Если выносим суждения, то вынуждены говорить, как данные сформировали наши убеждения. Когда строим модель умений, должны формулировать свои предположения. Когда инвестируем или делаем ставку – признаём свои прибыли и убытки, чтобы улучшить свою модель. Мы должны сообщать друг другу, насколько уверены в своих выводах. Мы вынуждены признаться, что не мы центр нашей социальной группы, и нам не стоит жалеть, что мы не самые популярные. Когда мы видим какую-то корреляцию, вынуждены искать причинно-следственную связь. Когда создаем технологию, нам демонстрируют, как она вознаграждает и наказывает людей, которые ею пользуются. Такова суровая мораль математики. В итоге истина всегда побеждает.

Участники «Десятки» – настоящие защитники интеллектуальной честности. Они излагают свои предположения, собирают данные и сообщают ответы. Когда они не знают полного ответа, то говорят нам, чего не хватает. Они перечисляют правдоподобные альтернативы и указывают вероятность каждой из них; они начинают думать о следующих шагах, которые можно предпринять, чтобы узнать больше.

Верните честность в свою жизнь. Десять уравнений вам в помощь. Начните с размышлений о вероятностях – и с точки зрения азартных игр, когда вы стремитесь получить желаемое, и с точки зрения понимания риска неудачи. Прежде чем делать выводы, улучшайте свои суждения, собирая данные. Повышайте свою уверенность, не убеждая себя в своей правоте, а крутя колесо много раз. Каждый урок, которому учат нас уравнения – от обнаружения фильтра, созданного нашей социальной группой, до понимания того, как социальные сети ведут нас к критической точке, – снова и снова напоминает о важности честного подхода к модели и использования данных для улучшения нас самих.

Если вы будете следовать этим уравнениям, то заметите, как окружающие начнут уважать ваши суждения и ваше терпение. Это первый смысл, в котором математика может быть источником морали. Она сообщает нам суровые истины о нас и о людях вокруг.

* * *

В биографии Алфреда Айера, написанной Беном Роджерсом, излагается история о встрече философа с боксером Майком Тайсоном в 1987 году[195]. Айер, которому тогда было семьдесят семь, находился на вечеринке на 57-й улице на Манхэттене, когда в комнату вбежала какая-то женщина со словами, что в спальне набросились на ее подругу. Айер обнаружил, что Тайсон пытался приставать к молодой Наоми Кэмпбелл (будущей супермодели).

Роджерс пишет, что Айер сказал Тайсону прекратить. Боксер ответил:

– Черт возьми, ты знаешь, кто я? Чемпион мира в тяжелом весе.

Айер стоял на своем.

– А я бывший профессор логики в Оксфорде. В своих областях мы оба знамениты. Предлагаю поговорить об этом как разумные люди.

Тайсон, который, видимо, оказался любителем философии, был достаточно впечатлен и отступил.

Впрочем, если бы Тайсон захотел ударить Айера интеллектуальным апперкотом, он мог бы спросить его, на каком основании философ считает оправданным вмешиваться в его заигрывания с Наоми Кэмпбелл. В конце концов, как утверждал сам Айер в книге «Язык, истина и логика», мораль лежит вне рамок эмпирической дискуссии. Хотя вполне могло быть так, что Кэмпбелл боялась Тайсона. Железный Майк мог спросить: «Существуют ли логические причины, по которым мужчинам ненормально навязывать себя женщинам при их собственном сексуальном влечении?»

Айеру пришлось бы признать, что он навязывает общепринятые нормы того типа собраний, на котором они присутствовали в данный момент. К этому Тайсон мог бы добавить, что его нормы, приобретенные в криминальной юности на улицах Бруклина, отличались от норм Айера, получившего образование в Итоне; а это оставляло им мало общих позиций для продолжения дискуссии. «И если вы не возражаете, – мог бы продолжить Железный Майк, – то я хотел бы вернуться к ухаживанию за этой красивой дамой тем способом, который считаю наиболее подходящим».

Не могу знать, в этом ли направлении шел их разговор, но точно известно, что во время их беседы Наоми Кэмпбелл сбежала с вечеринки. Майка осудили за изнасилование другой женщины спустя четыре года, и теперь он сексуальный преступник.

Эта история Тайсона и Айера иллюстрирует (среди прочего) фундаментальную проблему для любого последователя строго позитивистского подхода. Невозможно решить даже самые очевидные моральные дилеммы. Несмотря на честность математики и логического мышления, каждый человек должен сам разбираться со своей нравственностью.

Очевидно, здесь в логическом позитивизме чего-то не хватает. Вопрос – чего? Чтобы отточить наши представления о роли математики в морали, английский философ Филиппа Фут разработала в 1967 году мысленный эксперимент, который стал известным под названием «проблема вагонетки»[196]. Его можно описать так:

Эдвард управляет вагонеткой, у которой отказали тормоза. На рельсах перед ним пять человек, и насыпи настолько крутые, что люди не успеют сойти с пути. У рельсов есть ответвление вправо, и Эдвард может повернуть вагонетку туда. К сожалению, на правом пути тоже есть человек. Эдвард может либо повернуть вагонетку и убить одного человека, либо не поворачивать и убить пятерых.

Встает вопрос – что делать Эдварду: повернуть и убить одного либо ехать прямо и убить пятерых. Немного поразмыслив, большинство из нас обычно решают, что первый вариант лучше. Одно убийство лучше, чем пять. Пока все хорошо.

Теперь рассмотрим другой вариант проблемы вагонетки, предложенный в 1976 году Джудит Томсон – профессором философии из Массачусетского технологического института:

Джордж стоит на пешеходном мостике над рельсами для вагонетки. Они видит, что одна вагонетка приближается, а за мостом на рельсах стоят пять человек, и насыпи настолько крутые, что люди не успеют сойти с пути. Джордж понимает, что есть один способ остановить неуправляемую вагонетку: сбросить перед ней что-нибудь тяжелое на рельсы. Однако единственный имеющийся достаточно тяжелый объект – какой-то толстяк, который тоже смотрит на вагонетку с моста. Джордж может либо столкнуть его на рельсы перед вагонеткой, убив его при этом; либо не делать этого и позволить умереть пятерым.

Что делать Джорджу? С одной стороны, сбрасывать человека на рельсы явно неправильно. С другой – при бездействии он позволяет погибнуть пяти человекам (как если бы Эдвард не повернул вагонетку).

В опросе примерно 81 % американцев сказали, что на месте Эдварда отклонили бы вагонетку и убили одного человека; однако всего 39 % считали, что Джорджу нужно столкнуть толстяка и спасти пятерых[197]. Китайские и российские респонденты также были более склонны полагать, что Эдварду нужно действовать, а Джорджу – нет. Это поддерживает гипотезу, что у людей есть общее моральное представление для таких дилемм[198]. Однако культурные различия всё же имеются: китайцы скорее позволят вагонетке двигаться своим курсом в обеих ситуациях.

Джудит Томсон разработала этот второй вариант проблемы вагонетки, чтобы дилемма стала прозрачной[199]. Обе проблемы описывают одну математическую задачу – спасти пятерых или спасти одного; однако наша интуиция говорит, что они сильно отличаются друг от друга. Математическое решение простое – моральное гораздо сложнее. Проблемы вагонетки заставляют нас задуматься о действиях, которые мы готовы – или не готовы – предпринять для спасения жизней.

Проблема вагонетки лежит в центре многих произведений современной научной фантастики. Эта дилемма занимает от тридцати минут до часа в фильме (внимание: спойлер) «Мстители: война бесконечности» из вселенной Marvel. Философски настроенный суперзлодей Танос, став свидетелем того, как перенаселение полностью разрушило его родную планету, решает, что неплохо бы уничтожить половину населения вселенной. Он считает, что убийство половины людей сейчас спасет больше жизней в будущем, и – если рассуждать в терминах задачи Томсон – решает щелчком пальца сбросить миллиарды толстяков под вагонетку. В продолжении – «Мстители: финал» – Тони Старк сталкивается с более личной дилеммой того же типа: существование его дочери или возвращение друзей. Его просят сделать практически невозможный выбор.

Обычно в научной фантастике злодеи предпочитают столкнуть толстяка. Во многих случаях такое решение изображается в форме жесткой беспощадной логики. Роботы или ИИ принимают утилитарное решение спасти пятерых, а не одного – независимо от того, насколько ужасно действие, необходимое для достижения их цели. Для прагматичного робота, запрограммированного людьми на спасение максимального количества людей, в приоритете числа, а не чувства. При прочих равных условиях пользы от пятерых больше, чем от одного. Это точно тот же вопрос, который Филиппа Фут и Джудит Томсон иллюстрировали проблемой вагонетки: неверно считать, что мы можем решить такие проблемы с помощью утилитарного подхода. В фильмах роботы ошибаются, а если бы существовали в реальной жизни – ошибались бы тоже. Научная фантастика напоминает нам, что мы не можем создать универсальное правило, например

если 5 > 1, то печатать («спасти 5»),

чтобы решить все проблемы. Если мы так сделаем, то совершим самые ужасные моральные преступления, которые никогда не сможем оправдать перед будущими поколениями.

Когда я был моложе, мог смотреть на отказ от действия – даже сталкивания толстяка на рельсы – как на указание логической слабости части человечества.

С моей стороны это было ошибкой, и не только потому, что я оказался слишком строг к человечеству. По сути, делать такой вывод – логическая слабость. Проблема вагонетки иллюстрирует два момента. Во-первых, она подтверждает, что на вопросы реальной жизни нет чисто математических ответов. Это то же, что Айер отвечал на риторический вопрос Пуанкаре об «универсальной» природе математики. Это причина того, что кода да Винчи не существует. Наше ощущение универсальности математики – результат ее тавтологической природы, а не более глубокой истинности. Мы не можем использовать ее как божественные заповеди. Только – как в этой книге – в качестве инструмента для организации своей работы вокруг моделей и данных.

Во-вторых, дилемма вагонетки сообщает нам, что чистый утилитаризм – идея, что мораль можно построить вокруг попытки максимизировать счастье, жизнь или любую другую переменную – одно из величайших зол среди всех (одинаково неверных) моральных кодексов, доступных нам[200]. Правило «спасти как можно больше жизней» противоречит нашей нравственной интуиции и заставляет нас делать ужасные вещи. Если мы начинаем разрабатывать оптимальные моральные кодексы, то в итоге создаем моральный лабиринт.

Я пришел к выводу, что на эти дилеммы есть очень простой ответ: мы должны научиться доверять своей нравственной интуиции и пользоваться ею. Это и сделал Алфред Айер при стычке с Майком Тайсоном. То же сделала Моа Бёрселл, когда решила изучать расизм, увидев, как нацисты преследуют ее друзей. Это то, чем руководствовался я, когда изучал дела компании Cambridge Analytica, фейковые новости и предвзятость алгоритмов или руководил написанием диссертации Бьорна по иммиграции и подъеме правых сил в Швеции. Это то, чем руководствовалась Николь Нисбетт, когда рассматривала коммуникацию в политике. И именно это делает Человек-паук: с помощью своей интуиции и умений убивает плохого парня.

Проблема вагонетки говорит нам, что нужен более мягкий способ размышлений для таких моральных и философских дилемм – дополняющий жесткую брутальную честность использования моделей и данных.

Участники «Десятки», которые вносят наибольший вклад в общество, мыслят и мягко (используя свою нравственную интуицию, чтобы определить, какие проблемы им решать), и жестко (сочетая модели и данные ради честности своих ответов). Они прислушались и поняли ценность окружающих. Они осознают, что не более любого другого человека компетентны, чтобы выбирать проблемы, но более компетентны в умении их решать. Они служители общества, сохранившие тот дух, что ввел в «Десятку» Ричард Прайс почти 260 лет назад. Прайс был неправ насчет чудес[201], но верно указал на необходимость нравственности, когда мы применяем математику.

У меня нет убедительных доказательств, но я полагаю, что после того, как логический позитивизм отбрасывает идею универсального утилитаризма, у нас остается направляющая нас моральная интуиция. Именно этот мягкий способ мышления говорит нам, какие проблемы нужно решать.

* * *

Участникам «Десятки» нужно разговаривать, учиться справляться с силой, нам данной, – точно так же, как Человек-паук осознаёт свои слабости в каждом новом воплощении.

Быть мягким означает, что бездумно приумножать деньги невежественных банкиров, занимающихся инвестициями, ненормально. Это значит, что нам не следует патентовать основные уравнения, чтобы зарабатывать деньги. Мы должны продолжать открыто рассказывать об используемых алгоритмах, делиться всеми своими секретами с теми, кто готов потрудиться, изучая их.

Мы должны использовать свою интуицию, чтобы двигаться к важным вопросам. Нам стоит прислушиваться к чувствам других людей и выяснять, что для них важно. Многие из нас уже делают это, но нам нужно быть открытыми в отношении того, кто мы есть и почему делаем то, что делаем.

Нам надо быть мягкими при определении своих проблем и жесткими в их решении.

* * *

Я сижу в комнате для семинаров на цокольном этаже математического факультета одного из университетов на севере Англии. Перед нами Виктория Спейсер, политолог из Лидского университета; она представляет сегодняшних докладчиков. Вместе со своим коллегой по исследованиям и спутником жизни Ричардом Манном она организовала двухдневный семинар об использовании математики в сфере гражданской активности. Цель – свести вместе математиков, специалистов по данным, представителей власти и бизнеса и найти способы использования математических моделей, чтобы сделать мир лучше.

Впервые я встретил Викторию почти восемь лет назад, Ричарда – чуть раньше. Вместе еще с одним моим аспирантом – Шьямом Ранганатаном – мы работали над моделированием расовой сегрегации в школах Швеции[202], демократических преобразований в странах мира и разработкой методов, с помощью которых ООН может достичь своих зачастую противоречивых целей устойчивого развития. Мы не всегда говорили об этом вслух, но всегда втайне считали, что математика должна не просто изучать мир, а менять его к лучшему. Выбор слова «активность» в названии собрания – наша первая попытка открыто заявить о наших целях.

Мы не одиноки. После того как Виктория открывает семинар, участники встают один за другим и говорят, чем они занимаются. Адам Хилл из британской компании DataKind создал сеть, показывающую связи между людьми, сидящими в правлениях анонимных компаний, которые созданы в Великобритании для сокрытия владения. Сопоставляя права собственности, он и его команда могут обнаружить коррупцию и потенциальное отмывание денег. Бетти Наньонга из Уганды рассказала нам, как ее коллеги используют математические модели, чтобы понять причины студенческих забастовок в Университете Макерере, Кампала, где она работает. Анна Оуэн, научный сотрудник Лидского университета, показала, что Грета Тунберг была права, когда заявила, что Великобритания лгала, говоря о сокращениях выбросов CO₂[203]. Анна демонстрирует нам правильный расчет, учитывающий производство и транспортировку всех пластиковых товаров, которые мы импортируем из Китая. Среднестатистический человек в возрасте 60–69 лет – летая в отпуск или управляя большой машиной – создает в год на 64 % больше выбросов СО₂, чем молодой человек до 30 лет. Именно старшее поколение, некоторые представители которого критикуют Грету Тунберг, должно тщательнее всего думать об углеродных выбросах.

Возможно, вы не знали о нас до сих пор, но теперь знаете.

Секрет раскрыт. «Десятка» – это мы.

Эта книга началась для меня с вызова Хелен Конфорд. Она предложила мне перестать писать для других и выразить то, что я действительно хочу сказать. Я сообщил ей, что я не особо интересный человек, а она ответила, что судить об этом не мне, а ей. И я выполнил ее просьбу.

Я все еще не уверен, что интересен, но знаю, что она, а потом и Касиана Ионита помогли мне выбрать то, что я действительно хотел сказать, и сделать это интересным. Заслуга здесь принадлежит в первую очередь Касиане, одновременно деликатная и жесткая редактура которой сделала эту книгу такой, какова она есть. Спасибо вам.

От моего суперагента Криса Уэллбелова я узнал очень много об изложении и структурировании идей. Это сложно объяснить, но когда я пишу, то часто слышу, как Касиана, Крис и Хелен препираются в моей голове. Спасибо вам за те дискуссии, которых вы никогда не вели.

Благодарю Джейн Робертсон за внимательное техническое редактирование, Бориса Грановского – за дополнительную проверку математических выкладок, а Рут Пьетрони и ее группу в издательстве Penguin – за то, что собрали всё воедино.

Большое спасибо Рольфу Ларссону за то, что внимательно прочитал книгу и обнаружил одну «серьезную ошибку» и несколько мелких. Также благодарю Оливера Джонсона за обратную связь и предложения по рисунку 2.

Лучше всего я пишу, когда вокруг меня бурлит жизнь, поэтому спасибо футбольному клубу «Хаммарбю», математическому факультету Уппсальского университета, моей дочери Элизе и сыну Генри, а также друзьям, особенно Пеллингам, которые обеспечивали такую жизнь в течение последнего года.

Спасибо моему отцу за то, что познакомил меня с Алфредом Айером. Спасибо маме; жаль, что тебя «порезали», но все, что я написал о тебе, верно: ты вдохновляешь всех вокруг. Благодарю вас обоих за подробные вдумчивые комментарии.

Больше всего я хочу поблагодарить Ловису. Часто то, что я действительно хочу сказать, касается нашей жизни, разговоров, соглашений и споров. Надеюсь, что часть этого нашла отражение в книге.

Дэвид Самптер – профессор прикладной математики Уппсальского университета, Швеция. Автор книги «Футболоматика», переведенной на десять языков, и соавтор академического издания Collective Animal Behaviour. Консультировал ряд крупнейших футбольных клубов мира по вопросам аналитики, а также ставок.

Модельное мышление

Скотт Пейдж

Мари Кондо – японская писательница, автор книги «Магическая уборка. Японское искусство наведения порядка дома и в жизни». Шерил Сэндберг – член совета директоров Facebook, автор книги «Не бойся действовать». Джордан Питерсон – канадский психолог, автор книги «12 правил жизни. Противоядие от хаоса», первое из которых гласит: «Выпрямись и расправь плечи». Брене Браун – американская писательница, автор лекции «Сила уязвимости», с которой она выступала на ежегодной конференции фонда TED (Technology, entertainment, design – технологии, развлечения, дизайн). Здесь и далее прим. пер., если не указано иное.

Отсылка к названию книги египетского предпринимателя Мо Гавдата «Формула счастья» (Минск: Попурри, 2018).

Отсылка к названию книги американского комика Стива Харви «Поступай как женщина, думай как мужчина» (М.: Одри, 2011).

Вероятно, отсылка к названию книги Аарона Росса и Джейсона Лемкина «От невозможного к неизбежному» (From Impossible To Inevitable).

Эта статья была опубликована на платформе Medium: medium.com/@Soccermatics/if-you-had-followed-the-betting-advice-in-soccermatics-you-would-now-be-very-rich-1f643a4f5a23. Полное описание модели можно найти в моей книге «Футболоматика. Как благодаря математике “Барселона” выигрывает, Роналду забивает, а букмекеры зарабатывают состояния». Издана на русском языке (М.: Бомбора, 2018).

Разница между типами букмекеров не только в точности коэффициентов. Резкие быстрее реагируют на изменения ситуации корректировкой коэффициентов (часто это делается автоматически), ставки у них не ограничены. Мягкие меняют коэффициенты медленнее и вводят ограничения на ставки; они тоже имеют доступ к технологиям, но предпочитают охватить больше людей, которые в долгосрочной перспективе будут терять деньги. В России обычно говорят о рекреационных и профессиональных конторах. Первые (подавляющее большинство) рассчитаны на любителей азартных игр, вторые – на профессионалов, нацеленных на получение прибыли.

Каждая ставка умножает ваш капитал на 1,0003 (увеличение в 0,03 % на ставку). Если вы делаете по 100 ставок в день, ваш ожидаемый капитал к концу года составляет 1000 × 1,0003^{100 × 365} = 56 860 593,80.

В разных странах используются различные виды коэффициентов. Британский (или дробный) – отношение потенциальной чистой прибыли к сумме, которую надо поставить, чтобы ее получить. В нашем случае отношение 3/2 означает, что мы ставим 2 фунта, чтобы в случае победы получить чистую прибыль 3 фунта. Европейский (десятичный) коэффициент, который используется и в России, – это число, на которое умножается ставка для определения потенциальной выплаты. В нашем случае коэффициент 2,5 означает, что при ставке в 2 фунта мы получаем 2 × 2,5 = 5 фунтов, чистая прибыль снова составляет 3 фунта. Американский коэффициент – это сумма потенциальной чистой прибыли при ставке в 100 условных единиц (он может быть положительным или отрицательным). В нашем случае +150 означает, что на каждые 100 единиц ставки можно получить 150 единиц чистой прибыли. Для ставки в 2 фунта чистая прибыль равна 3 фунтам. Таким образом, все три числа, указанные автором, действительно определяют одно и то же.

Коэффициенты букмекера справедливы, если коэффициент на событие, умноженный на коэффициент против события, даст 1. Например, когда коэффициент на победу равен 3/2, а на ничью или поражение 2/3 – поскольку 3/2 × 2/3 = 1. Однако на практике букмекеры никогда не предложат справедливые коэффициенты. Например, в вышеприведенном примере они скорее дадут 7/5 на победу фаворита и 4/7 против, так что 7/5 × 4/7 < 1. Маржа букмекера в этом случае составит 1/(1 + 7/5) + 1/(1 + 4/7) – 1 ≈ 0,05 или 5 %.

Ваша ожидаемая прибыль на одну ставку составляет:

то есть 4 пенса потерь на ставку в 1 фунт.

Даже после пяти неудачных попыток вам не следует слишком отчаиваться. Если вероятность успеха на одном собеседовании составляет 1/5, вероятность того, что вам придется пройти минимум 5 собеседований, чтобы получить какую-то работу, составляет 1 – (1–1/5)⁵ = 67 %.

Benter W. Computer based horse race handicapping and wagering systems: a report // D. B. Hausch, V. S. Y. Lo, W. T. Ziemba, eds. Efficiency of Racetrack Betting Markets. Revised edn. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte Ltd, 2008. Pp. 183–198.

Модель работала и без этих старых коэффициентов (по сути, вычисляла коэффициенты с нуля) и даже давала небольшую прибыль. Однако главную выгоду принесло именно сочетание коэффициентов и корректирующего их алгоритма.

Бентер входил в состав команды, игроки которой отслеживали все вышедшие карты и за счет этого контролировали вероятность появления следующей карты. Команда получала крохотное преимущество, которого хватало, чтобы заработать. Однако в итоге Бентер с коллегами попали в черный список, и им было запрещено появляться в казино.

Модель стала всерьез окупаться как раз тогда, когда Бентер учел коэффициенты ставок.

Chellel K. The gambler who cracked the horse-racing code // Bloomberg Businessweek, 3 May 2018 // bloomberg.com/news/features/2018-05-03/the-gambler-who-cracked-the-horse-racing-code.

Крупным игроком на гонконгских ипподромах был бывший партнер Бентера по играм в казино Алан Вудс, с которым тот поссорился в первые годы работы над моделью. В итоге они использовали разные модели и ставили по отдельности (хотя часто привлекали одних и тех же людей в качестве помощников – такие ставки требовали участия множества людей).

Сам Бентер соглашается с суммой около миллиарда, но говорит, что существенная часть денег ушла его партнерам в Гонконге и США.

Bolton R. N., Chapman R. G. Searching for positive returns at the track: a multinomial logit model for handicapping horse races // Management Science. 1986. August. Vol. 32. No. 8. Pp. 1040–1060.

Он покинул колледж ради игры в казино.

Cox D. R. The regression analysis of binary sequences // Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological). 1958. Vol. 20. No. 2. Pp. 215–232.

В обоих случаях – в исследовательские организации.

Не следует считать, что это число – точное значение. Отчет Управления гражданской авиации «Мировая статистика катастроф со смертельным исходом, 2002–2011», CAP 1036 (июнь 2013), дает оценку 0,6 катастрофы со смертельным исходом на миллион совершенных полетов, не считая нападений террористов, для рейсов с 2002 по 2011 год. При этом в катастрофе со смертельным исходом погибают не все люди, и статистика отличается для разных стран, так что точную величину определить невозможно. В любом случае это число мало даже в масштабе миллионных долей.

В своей работе «Очерки к решению проблемы доктрины шансов» Томас Байес рассмотрел одну конкретную задачу с шарами, бросаемыми на стол, и поставил вопрос: если нечто произошло или не произошло определенное количество раз, какова вероятность, что это произойдет в следующий раз? Формально это не было теоремой. Имя Байеса не связывалось с таким подходом до ХХ века.

Культурная апроприация – принятие одной культурой элементов другой. Многие считают это вредным, полагая, что происходит эксплуатация культуры, из которой совершается заимствование. Бонго – латиноамериканский ударный музыкальный инструмент, род барабана.

Этот результат противоречит интуитивным представлениям, но математически он верен. Чтобы дополнительно убедить себя, предположим, что θ = 0,98, а истинная вероятность восхода составляет 98 %. В этом случае кажется неудивительным, если бы солнце вставало во все 100 дней его наблюдения. Вероятность 100 восходов подряд в этом случае равна 0,98¹⁰⁰ ≈ 13,3 %. Число небольшое, но и не пренебрежимо малое. Ту же логику можно приложить к числу θ = 0,985 ∙ (0,985¹⁰⁰ ≈ 22,1 %) и к другим значениям θ < 0,99. Хотя более вероятно, что значение θ превосходит 99 %, вполне правдоподобно, что оно меньше 99 % (точнее, вероятность – 36,2 %).

Юм Д. Исследование о человеческом разумении / Пер. С. И. Церетели. М.: РИПОЛ классик, 2017.

Рассуждения из этого абзаца взяты из работы Дэвида Оуэна «Юм против Прайса о чудесах и априорных вероятностях: свидетельство и байесовские вычисления» (Hume versus Price on miracles and prior probabilities: testimony and the Bayesian calculation // Philosophical Quarterly. 1987. April. Vol. 37. No. 147. Pp. 187–202.

Это вычисление предоставляется заинтересовавшемуся читателю. Используйте в помощь примечание 7 выше.

Аналогично. Используйте примечание 7 выше.

Zebrowski M. K. Richard Price: British Platonist of the eighteenth century // Journal of the History of Ideas. 1994. January. Vol. 55. No. 1. Pp. 17–35.

Price R. Observations on Reversionary Payments… To Which Are Added, Four Essays on Different Subjects in the Doctrine of Life-Annuities… A New Edition, With a Supplement, etc., Vol. 2. London: T. Cadell, 1792.

Poitras G. Richard Price, miracles and the origins of Bayesian decision theory // European Journal of the History of Economic Thought. 2013. February. Vol. 20. No. 1. Pp. 29–57.

Price R., Turgot A.-R.-J. Observations on the Importance of the American Revolution, and the Means of Making it a Benefit to the World. London: T. Cadell, 1785.

Vernon I., Goldstein M., Bower R. G. Galaxy formation: a Bayesian uncertainty analysis // Bayesian Analysis. 2010. Vol. 5. No. 4. Pp. 619–669.

Carter C. Is screen time toxic for teenagers? // Greater Good Magazine, 27 August 2018 // greatergood.berkeley.edu/article/item/is_screen_time_toxic_for_teenagers.

Odgers C. L. Smartphones are bad for some adolescents, not all // Nature. 2018. February. Vol. 554. No. 7693. Pp. 432–434.

Этот результат исходно был получен при исследовании британских подростков, см.: Przybylski A. K., Weinstein N. A large-scale test of the Goldilocks hypothesis: quantifying the relations between digital-screen use and the mental well-being of adolescents // Psychological Science. 2017. January. Vol. 28. No. 2. Pp. 204–215.

Если быть точнее, это формула 95 %-го доверительного интервала для числа успехов в схеме Бернулли.

Уравнение для кривой нормального распределения, которое де Муавр написал (в логарифмической форме) во втором издании своей книги по вероятности в 1738 году, таково:

где μ – среднее, а σ – стандартное отклонение.

Третью, последнюю версию работы можно найти на Google Books. De Moivre A. The Doctrine of Chances: Or, A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play. The Third Edition. London: A. Millar, 1756.

Найдем вероятность двух тузов в пятикарточной руке. Вероятность того, что первой картой вам сдали туза, равна 4/52. Вероятность того, что после этого второй картой тоже сдали туза, равна 3/51 (в колоде осталась 51 карта, из которых три – тузы). Следующие три карты должны оказаться не тузами, вероятности чего равны 48/50, 47/49 и 46/48. Эти события должны произойти одновременно, поэтому их вероятности нужно перемножить. Однако мы учли пока всего лишь одно размещение двух тузов среди пяти карт (когда они находятся на первом и втором месте). Всего таких комбинаций 10, поэтому общая вероятность равна:

Формула по де Муавру выглядит как где константа B была вычислена приблизительно как 2,5074. Стирлинг нашел точное значение константы В итоге эта формула обычно называется формулой Стирлинга, хотя по справедливости ее нужно называть формулой Муавра или хотя бы формулой Муавра – Стирлинга.

Walker H. M. De Moivre on the law of normal probability, 2006 // semanticscholar.org/paper/DE-MOIVRE-ON-THE-LAW-OF-NORMAL-PROBABILITY-Walker/d40c10d50e86f0ceed1a059d81080a3bd9b56ffd#citing-papers>.

Если имеется случайная величина Χ, то ее k-м начальным моментом называется число v_k = E(Χ^k), где E – математическое ожидание. Аналогично k-м центральным моментом называется число μ_k = E((Χ – EΧ)^k). В частности, первый начальный момент Χ – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины, второй – ее дисперсия, третий характеризует степень симметричности распределения, а четвертый – эксцесс, то есть показывает, насколько остра вершина распределения.

Обзор истории центральной предельной теоремы можно найти в работе: Le Cam L. The central limit theorem around 1935 // Statistical Science. 1986, Vol. 1. No. 1. Pp. 78–91.

Статистика взята с сайта stats.nba.com/search/team-game/.

Just R. E., Weninger Q. Are crop yields normally distributed? // American Journal of Agricultural Economics. 1999. May. Vol. 81. No. 2. Pp. 287–304.

Если быть точнее, центральная предельная теорема говорит, что сумма случайных величин стремится к нормальному закону при числе слагаемых, стремящемся к бесконечности. При любом конечном числе слагаемых сумма лишь приблизительно является нормальной.

Сильвер Н. Сигнал и шум. Почему одни прогнозы сбываются, а другие – нет. М.: КоЛибри, 2015.

Поэтому стандартное отклонение σ = 0,71.

На самом деле ее преимущество может быть и больше 17, и меньше –11 пенсов, просто такие события выходят за рамки 95 %-го интервала, то есть имеют в совокупности вероятность менее 5 %. Мы считаем их маловероятными и пренебрегаем ими.

Эти величины дают нам число наблюдений, которое позволяет на 97,5 % (а не на 95 %) быть уверенными, что мы не сделаем ошибку и на самом деле h = 0 или меньше. Надежность в 97,5 % возникает, поскольку наш 95 %-й доверительный интервал покрывает и нижний, и верхний пределы для h. Существует также 2,5 %-й шанс, что мы недооценили наше преимущество и оно больше, чем дает наш доверительный интервал. Но при оценке выгодности игры недооценка преимущества роли не играет, так что значение имеют только те 2,5 %, что мы переоценили свое преимущество. Для этих величин также предполагается, что преимущество положительно, h > 0. Однако тот же результат получится при отрицательном преимуществе, если вместо h поставить – h.

Я проверил среднеквадратичное отклонение у нескольких гостиниц и обнаружил, что оно часто чуть меньше 1 – например, 0,8. Но для примерной оценки нам достаточно взять 1.

Arai M., Bursell M., Nekby L. The reverse gender gap in ethnic discrimination: employer stereotypes of men and women with Arabic names // International Migration Review. 2016. Vol. 50. No. 2. Pp. 385–412.

Никак не отрицая наличия расовых предрассудков в обществе, следует отметить, что предубеждения работодателя чаще экономические. Например, южане в шведском климате, вероятно, будут чаще болеть; мусульмане обязаны соблюдать пост длиной в месяц, который может отрицательно сказаться на их работоспособности. На работе скажется и низкий уровень владения шведским языком. Соответственно, иностранцу нужно лучшее резюме, которое перевесит опасения работодателя.

Bertrand M., Mullainathan S. Are Emily and Greg more employable than Lakisha and Jamal? A field experiment on labor market discrimination // American Economic Review. 2004. September. Vol. 94. No. 4. Pp. 991–1013.

Bailey Z. D., Krieger N., Agénor M. et al. Structural racism and health inequities in the USA: evidence and interventions // The Lancet. 2017. April. Vol. 389. No. 10077. Pp. 1453–1463.

Вот эмпирическое правило, которое я считаю полезным, но оно требует математического обоснования. Для примера пусть среди населения в целом представлена доля p людей определенного типа (например, белых). Дисперсия максимальна при p = 1/2, так что для всех значений p она не превосходит 1/2(1–1/2) = 1/4, и поэтому стандартное отклонение меньше 1/2. Поскольку 1,96 ≈ 2, то это означает, что доверительный интервал для выборочной доли Отсюда и эмпирическое правило.

Этот вопрос обсуждается, например, в работе: Pearson K. Historical note on the origin of the Normal Curve of Errors // Biometrika. 1924, December. Vol. 16. No. 3–4. Pp. 402–404.

T. Zuberi, E. Bonilla-Silva, eds. White Logic, White Methods: Racism and Methodology. Lanham, MD: Rowman & Littlefield Publishers, 2008.

Staddon J. The devolution of social science // Quillette, 7 October 2018 // quillette.com/2018/10/07/the-devolution-of-social-science/.

Питерсон Дж. 12 правил жизни: Противоядие от хаоса. СПб.: Питер, 2019.

В действительности сложно делать выводы о количестве социологов, которые боятся высказать свое мнение: именно потому, что они молчат.

Например, в ноябре 2018 года в интервью для ток-шоу Skavlan, идущего на телевидении Норвегии и Швеции.

В этой сфере используется довольно сложная и интересная математика. Например, существуют два разных гендерных разрыва – нескорректированный и скорректированный. Первый – простая процентная разница в средней почасовой зарплате женщин и мужчин. Но нужно учитывать разное соотношение мужчин и женщин в конкретной профессии, меньшее среднее количество рабочего времени у женщин и т. д. По причине этого показатель корректируют, вводят «объяснимую» и «необъяснимую» части и т. д. Получить представление о ситуации в ЕС можно из документа комиссии ООН unece.org/fileadmin/DAM/stats/documents/ece/ces/ge.30/2019/mtg1/WP12_Alcantara_RUS.pdf.

Auspurg K., Hinz T., Sauer C. Why should women get less? Evidence on the gender pay gap from multifactorial survey experiments // American Sociological Review. 2017. Vol. 82. No. 1. Pp. 179–210.

Moss-Racusin C. A., Dovidio J. F., Brescoll V. L. et al. Science faculty’s subtle gender biases favor male students // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2012. October. Vol. 109. No. 41. Pp. 16474–16479.

Bettinger E. P., Long B. T. Do faculty serve as role models? The impact of instructor gender on female students // American Economic Review. 2005. May. Vol. 95. No. 2. Pp. 152–157.

Master A., Cheryan S., Meltzoff A. N. Computing whether she belongs: stereotypes undermine girls’ interest and sense of belonging in computer science // Journal of Educational Psychology. 2016. April. Vol. 108. No. 3. Pp. 424–437.

Ross J. A., Scott G., Bruce C. D. The gender confidence gap in fractions knowledge: gender differences in student belief – achievement relationships // School Science and Mathematics. 2012. May. Vol. 112. No. 5. Pp. 278–288.

Amanatullah E. T., Morris M. W. Negotiating gender roles: gender differences in assertive negotiating are mediated by women’s fear of backlash and attenuated when negotiating on behalf of others // Journal of Personality and Social Psychology. 2010. February. Vol. 98. No. 2. Pp. 256–267.

Всеобъемлющий обзор этих вопросов в математике и инжиниринге см. в двух работах: Cheryan S., Ziegler S. A., Montoya A. K., Jiang L. Why are some STEM fields more gender balanced than others? // Psychological Bulletin. 2017. January. Vol. 143. No. 1. Pp. 1–35; Ceci S. J., Ginther D. K., Kahn S., Williams W. M. Women in academic science: a changing landscape // Psychological Science in the Public Interest. 2014. November. Vol. 15. No. 3. Pp. 75–141.

Цит. по Friedersdorf C. Why can’t people hear what Jordan Peterson is saying? // The Atlantic, 22 January 2018 // theatlantic.com/politics/archive/2018/01/putting-monsterpaint-onjordan-peterson/550859/.

Хорошее научное введение в эту методологию – следующая работа: P. Hedström, P. Bearman, eds. The Oxford Handbook of Analytical Sociology. Oxford: Oxford University Press, 2011.

Rode J. C., Arthaud-Day M. L., Mooney C. H. et al. Ability and personality predictors of salary, perceived job success, and perceived career success in the initial career stage // International Journal of Selection and Assessment. 2008, September. Vol. 16. No. 3. Pp. 292–299.

Если вы педантично настаиваете на использовании информации от 63 до 37 %, это нормально, но тогда вам нужно быть последовательными в своем подходе. Вам нужно вернуться к предыдущей главе этой книги и применить уравнение суждений, когда вы беседуете с Джейн и Джеком. Вам нужно начать с модели М – «Джейн покладистее Джека» при P{M} = 63 %. Теперь войдите в комнату, улыбнитесь и поговорите с ними одинаково. Даже небольшой зрительный контакт и несколько фраз дадут вам изрядное количество данных Д об их покладистости. Теперь вы можете обновить P{M|Д} и сделать улучшенное суждение. Исходная вероятность P{M} быстро потеряет актуальность.

Интервью в ноябре 2018 года для ток-шоу Skavlan.

Цитаты взяты из поста Питерсона в блоге, опубликованного в феврале 2019 года: The gender scandal: part one (Scandinavia) and part two (Canada) // jordanbpeterson.com/political-correctness/thegender-scandal-part-one-scandinavia-and-part-two-canada/.

Hyde J. S. The gender similarities hypothesis // American Psychologist. 2005. September. Vol. 60. No. 6. Pp. 581–592.

Zell E., Krizan Z., Teeter S. R. Evaluating gender similarities and differences using metasynthesis // American Psychologist. 2015. January. Vol. 70. No. 1. Pp. 10–20.

Hyde J. S. Gender similarities and differences // Annual Review of Psychology. 2014. January. Vol. 65. Pp. 373–398.

Rippon G. The Gendered Brain: The New Neuroscience that Shatters the Myth of the Female Brain. London: Bodley Head, 2019.

В рамках песни слова My Way точнее переводить «по-своему».

Переведена на русский язык: Самптер Д. Футболоматика. Как благодаря математике «Барселона» выигрывает, Роналду забивает, а букмекеры зарабатывают состояния. М.: Бомбора, 2018.

Quant – разговорное сокращение от quantitative («количественный»).

Издана на русском языке: Айер А. Дж. Язык, истина и логика. М.: Канон+РООИ «Реабилитация», 2010.

Название дано в честь русского математика Андрея Андреевича Маркова, который первым стал изучать случайные процессы и последовательности случайных величин, обладающие таким свойством. Они тоже носят его имя (марковские процессы и цепи Маркова).

Вы можете увидеть, как эту историю рассказывает сам Айер: A. J. Ayer on Logical Positivism and its legacy (1976) // youtube.com/watch?v=nG0EWNezFl4.

«Логико-философский трактат» был опубликован на немецком языке в 1921 году. В 1922-м появился английский перевод.

Этот показатель учитывает очки, набранные против конкретного защитника.

Отсылка к названию книги Майкла Льюиса Moneyball. (Переведена на русский язык: Льюис М. Moneyball. Как математика изменила самую популярную спортивную лигу в мире. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2013.) Но «Морибол» не просто стратегия опоры на трехочковые броски, а активное использование в игре сложной статистической аналитики.

Справедливости ради стоит сказать, что Бин тоже не сам вел расчеты: в «Атлетикс» этим занимался экономист Пол ДеПодест, прототип Питера Брэнда в фильме.

Reichard K. Measuring MLB’s winners and losers in costs per win // Ballpark Digest, 8 October 2013 // ballparkdigest.com/201310086690/major-league-baseball/news/measuring-mlbs-winner-and-losers-in-costs-per-win.

Лига плюща – группа из восьми частных престижных вузов на северо-востоке США (Йельский, Принстонский, Колумбийский, Пенсильванский, Корнеллский, Гарвардский, Брауновский университеты и Дартмутский колледж).

В бейсбольном матче участвуют две команды, которые по очереди играют в нападении и в защите. Игрок защищающейся команды (питчер) бросает мяч в сторону игрока противника (бьющего, или бэттера), который старается отбить мяч битой в поле. Если это удалось, бьющий может бежать по точкам, которые называются базами. Другие игроки защищающейся команды в поле стараются поймать мяч и разными способами не дать закончить такие пробежки. Побеждает команда, которая совершила больше пробежек. Реальная суть игры – противостояние питчера и бэттера: первый старается сделать сложный бросок, чтобы второму было труднее нанести хороший удар; бэттер старается выбить мяч как можно дальше.

Кража базы – одна из игровых ситуаций в бейсболе.

Матч в бейсболе обычно состоит из 9 периодов (иннингов). Каждый из них делится на две половины: половину времени каждая команда играет в защите, а половину – в нападении.

Lindsey G. R. An investigation of strategies in baseball // Operations Research. 1963. July – August. Vol. 11. No. 4. Pp. 477–501.

Schoenfeld B. How data (and some breathtaking soccer) brought Liverpool to the cusp of glory // New York Times Magazine, 22 May 2019 // nytimes.com/2019/05/22/magazine/soccer-dataliverpool.html.

Цвета «Манчестер Юнайтед» – красные, «Манчестер Сити» – голубые.

Если использовать данные автора о населении мира и Уппсалы более скрупулезно, то вероятность оказаться завтра в другом месте равна вероятность просыпаться в разных местах целый год (365 раз подряд) равна Пятьдесят лет с учетом високосных – это примерно 365 × 50 + 13 = 18 263 дня. Так что вероятность просыпаться не в Уппсале пятьдесят лет подряд равна или 63 %. Соответственно, вероятность оказаться в Уппсале хотя бы раз за 50 лет равна 37 %.

Я использую данные о населении, взятые из следующего документа ООН: The World’s Cities in 2018 – Data Booklet (ST/ESA/SER.A/417), United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division (2018).

Кайли Дженнер – американская модель и бизнесвумен. Дуэйн «Скала» Джонсон – американский актер. Ариана Гранде – американская певица и актриса.

Дрейк – канадский рэпер, Новак Джокович – сербский теннисист, Снуп Дог – американский рэпер, Стефен Карри – американский баскетболист.

Фаррелл Уильямс – американский рэпер, Майли Сайрус – американская певица, Уиллоу Смит – американская актриса и певица, Зендая – американская актриса, модель и певица.

Матрицы умножаются так:

Попарно перемножаем элементы первой строки и вектора-столбца, а затем суммируем все такие произведения. Это дает нам первый элемент результирующего вектора-столбца (в нашем случае 0). Затем попарно перемножаем элементы второй строки и вектора-столбца, а потом суммируем все такие произведения и получаем второй элемент результирующего вектора (1/2), и т. д. В общем случае умножение производится по такому же правилу.

Чтобы узнать больше об этой теме, рекомендую книгу: Newman M. Networks, 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2018.

Feld S. L. Why your friends have more friends than you do // American Journal of Sociology. 1991. Vol. 96. No. 6. Pp. 1464–1477.

Узлы графа – люди в соцсети. Соединяющие их ребра изображают «подписанность» одного человека на другого. В узел графа, соответствующий мне, входят несколько ребер из других узлов (тех, кто подписан на меня), так что число моих подписчиков – это число входящих ребер. В свою очередь, из узла, изображающего меня, выходит несколько ребер, ведущих к узлам, соответствующим тем людям, на которых подписан я сам.

Сейчас я докажу этот результат более строго. Пусть P{X_i = k} – вероятность того, что человек i имеет k подписчиков. Пусть сначала мы выбираем человека j, а затем человека i из числа тех, на кого j подписан. С помощью теоремы Байеса (уравнение 2) мы можем вычислить вероятность:

Мы знаем, что P{j подписан на i|X_i = k} = k/N, где N – общее число ребер в графе. Поэтому

Таким образом, когда k > EX_i, то P{X_i = k|j подписан на i} > P{X_i = k}, и наоборот, когда k < EX_i, то P{X_i = k|j подписан на i} < P{X_i = k}. Это говорит нам, что случайно выбранный человек, на которого подписан другой случайно выбранный человек, вероятно, имеет больше подписчиков, чем просто случайно выбранный человек.

Чтобы показать, что случайно выбранный человек имеет меньше подписчиков, чем средний человек, на которого он подписан, мы вычисляем ожидаемое (среднее) количество подписчиков для всех людей, на которых подписан j. Оно определяется так:

Таким образом:

Поскольку E[X_i] = E[X_j] – одно и то же значение для всех людей в социальной группе, ожидаемое количество подписчиков j будет меньше, чем у i (при условии, что j подписан на i).

Hodas N. O., Kooti F., Lerman K. Friendship paradox redux: your friends are more interesting than you // Proceedings of the Seventh International AAAI Conference on Weblogs and Social Media, 2013.

Заблуждение «горячей руки» – представление, что успех в данный момент повышает шансы на успех в дальнейших попытках. Эффект присоединения к большинству – ориентация на мнение и поведение других. Ошибка выжившего – вид систематической ошибки отбора, когда есть данные только по одной группе объектов. Предвзятость подтверждения – склонность человека к подтверждению своей точки зрения, восприятию только той информации, которая согласуется с его точкой зрения. Эффект фрейминга – когнитивное искажение, когда форма подачи информации влияет на ее восприятие.

Она опубликована: Norrman M., Hahlin L. Hur tänker Instagram? En statistisk analys av två Instagramflöden [How does Instagram think? A statistical analysis of two Instagram accounts] (undergraduate dissertation). Mathematics department, University of Uppsala, 2019 // urn.kb.se/resolve?urn=urn: nbn: se: uu: diva-388141.

Törner A., Anitha Schulman: “Instagram går mot en beklaglig framtid” [Инстаграм ведет к несчастливому будущему]. Dagens Media, 5 March 2018 // dagensmedia.se/medier/anithaschulman-instagram-gar-mot-en-beklaglig-framtid-6902124 (Клеменс – фамилия Аниты Шульман после замужества).

Cotter K. Playing the visibility game: how digital influencers and algorithms negotiate influence on Instagram // New Media & Society. 2019. April. Vol. 21. No. 4. Pp. 895–913.

Page L. Method for node ranking in a linked database. US Patent 6,285,999 B1, issued 4 September 2001 // patentimages.storage.googleapis.com/37/a9/18/d7c46ea42c4b05/US6285999.pdf.

Вероятно, речь о Даниэле Канемане, авторе книги «Думай медленно… решай быстро» (М.: АСТ, 2013). Прим. ред.

Если время (как в нашем случае) дискретно, то ε_t – последовательность случайных величин; если непрерывно, то ε_t – случайный процесс.

См., например, работу: Bouchaud J.-P. Power laws in economics and finance: some ideas from physics // Quantitative Finance. 2000. September. Vol. 1. No. 1. Pp. 105–112; Mantegna R. N., Stanley H. E. Turbulence and financial markets // Nature. 1996. October. Vol. 383. No. 6601. P. 587.

На самом деле центральная предельная теорема верна не только для независимых, но и для слабо зависимых случайных величин.

Обратите внимание, что √–n = n^1/2. Поэтому n^2/3 больше, чем n^1/2, когда n > 1.

Талеб Н. Н. Одураченные случайностью. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2010; Талеб Н. Н. Черный лебедь. М.: КоЛибри, 2015; Шиллер Р. Иррациональный оптимизм. М.: Альпина Паблишер, 2017.

Cutler D. M., Poterba J. M., Summers L. H. What moves stock prices? // NBER Working Paper No. 2538, National Bureau of Economic Research, March 1988.

Tetlock P. C. Giving content to investor sentiment: the role of media in the stock market // Journal of Finance. 2007. Vol. 62. No. 3. Pp. 1139–1168.

Antweiler W., Frank M. Z. Is all that talk just noise? The information content of Internet stock message boards // Journal of Finance. 2004. Vol. 59. No. 3. Pp. 1259–1294.

Detrixhe J. Don’t kid yourself – nobody knows what really triggered the market meltdown // Quartz, 13 February 2018 // qz.com/1205782/nobody-really-knows-why-stock-markets-went-haywire-last-week/.

Он опубликовал свои результаты в следующей статье: Laughlin G. Insights into high frequency trading from the Virtu initial public offering // online.wsj.com/public/resources/documents/VirtuOverview.pdf; см. также Hope B. Virtu’s losing day was 1-in-1,238: odds say it shouldn’t have happened at all // Wall Street Journal, 13 November 2014 // blogs.wsj.com/moneybeat/2014/11/13/virtus-losing-day-was-1-in-1238-odds-says-it-shouldnt-have-happened-at-all/.

Mamudi S. Virtu touting near-perfect record of profits backfired, CEO says // Bloomberg News, 4 June 2014 // bloomberg.com/news/2014-06-04/virtu-touting-near-perfect-record-of-profits-backfired-ceo-says.html.

Имеется перевод на русский язык: Льюис М. Flash Boys: Высокочастотная революция на Уолл-стрит. М.: Альпина Паблишер, 2015.

444 000 / 0,0027 = 164 444 444.

В целях защиты личных данных имя изменено.

Krugman P. Three Expensive Milliseconds // New York Times, 13 April 2014 // nytimes.com/2014/04/14/opinion/krugman-three-expensive-milliseconds.html.

Подробности см.: medium.com/me/stats/post/2904fa0571bd.

Число r_X.Y, определяемое уравнением 7, называется выборочным коэффициентом корреляции. Он соответствует коэффициенту корреляции для случайных величин X и Y, определяемому как где E означает математическое ожидание. Стоит уточнить, что и коэффициент корреляции, и выборочный коэффициент корреляции заключены в промежутке от –1 до 1, а не от 0 до 1, как можно понять из текста автора.

Здесь нужно заметить, что корреляционная зависимость и математическая зависимость случайных величин – разные вещи. Действительно, если коэффициент корреляции для случайных величин X и Y равен 1 (или –1), это означает их сильную зависимость; отсюда следует линейная зависимость X = aY + b. Однако если коэффициент корреляции равен 0, это ничего не говорит о независимости случайных величин X и Y. Даже зависимые случайные величины вполне могут иметь r_X,Y = 0, и поэтому малое значение коэффициента корреляции еще ничего не значит. А вот обратное верно всегда: если случайные величины X и Y независимы, то r_X,Y = 0.

Snapchat Marketing. The 17 types of Snapchat users, 7 June 2016 // snapchatmarketing.co/types-of-snapchat-users/.

«Брит-поп» – движение в британской музыкальной культуре 1990-х, возрождавшее гитарный стиль рок-музыки 1960-х.

Rosenberg N. A., Pritchard J. K., Weber J. L. et al. Genetic structure of human populations // Science. 2002. December. Vol. 298. No. 5602. Pp. 2381–2385.

Laughlin S. Gen Z goes beyond gender binaries in new Innovation Group data // J. Walter Thompson Intelligence, 11 March 2016 // jwtintelligence.com/2016/03/gen-z-goes-beyond-gender-binaries-in-new-innovation-group-data/.

См., например, Inglehart R., Baker W. E. Modernization, cultural change, and the persistence of traditional values // American Sociological Review. 2000. February. Vol. 65. No. 1. Pp. 19–51.

Inglehart R., Welzel C. Modernization, Cultural Change, and Democracy: The Human Development Sequence. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.

Dillon M. Asynchrony in attitudes toward abortion and gay rights: the challenge to values alignment // Journal for the Scientific Study of Religion. 2014. March. Vol. 53. No. 1. Pp. 1–16.

Lambrecht A., Tucker C. E. On storks and babies: correlation, causality and field experiments // GfK Marketing Intelligence Review. 2016. November. Vol. 8. No. 2. Pp. 24–29.

Sumpter D. Outnumbered: From Facebook and Google to Fake News and Filter-Bubbles – The Algorithms that Control Our Lives. London: Bloomsbury Publishing, 2018.

Эхо-камера – ситуация, когда человек окружен людьми, взгляды которых совпадают с его собственными (например, внутри субкультуры или среди друзей в соцсети). В этом закрытом пузыре общие идеи ходят по кругу, все друг с другом соглашаются, а альтернативная информация внутрь не попадает.

В оригинале использован каламбур – mass и math. Русский перевод вышел под названием: «Убийственные большие данные. Как математика превратилась в оружие массового поражения». М.: АСТ, 2017.

О’Нил К. Убийственные большие данные. Как математика превратилась в оружие массового поражения. М.: АСТ, 2018.

Cadwalladr C. Google, democracy and the truth about internet search // The Guardian, 4 December 2016 // theguardian.com/technology/2016/dec/04/google-democracy-truth-internet-search-facebook.

Caliskan A., Bryson J. J., Narayanan A. Semantics derived automatically from language corpora contain human-like biases // Science. 2017. Vol. 356. No. 6334. Pp. 183–186.

Angwin J., Tobin A., Varner M. Facebook (still) letting housing advertisers exclude users by race // ProPublica, 21 November 2017 // propublica.org/article/facebook-advertising-discrimination-housing-race-sex-national-origin.

Lambrecht A., Tucker C., Wiertz C. Advertising to early trend propagators: evidence from Twitter // Marketing Science. 2018, March. Vol. 37. No. 2. Pp. 177–199.

Robbins H., Monro S. A stochastic approximation method // Annals of Mathematical Statistics. 1951. September. Vol. 22. No. 3. Pp. 400–407.

Schultz W. Predictive reward signal of dopamine neurons // Journal of Neurophysiology. 1998. July. Vol. 80. No. 1. Pp. 1–27.

Przybylski A. K., Rigby C. S., Ryan R. M. A motivational model of video game engagement // Review of General Psychology. 2010. June. Vol. 14. No. 2. Pp. 154–166.

Dr Emily Collins speaking about digital games and mindfulness apps, EurekAlert! University of Bath // eurekalert.org/multimedia/pub/207686.php.

Kálmán R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. 1960. Vol. 82. No. 1. Pp. 35–45.

Auger F., Hilairet M., Guerrero J. M. et al. Industrial applications of the Kálmán filter: a review // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2013. December. Vol. 60. No. 12. Pp. 5458–5471.

Flügge-Lotz I., Taylor C. F., Lindberg H. E. Investigation of a Nonlinear Control System, Report 1391 for the National Advisory Committee for Aeronautics. Washington DC: US Government Printing Office, 1958.

Один из самых авторитетных специалистов в этой области, формализовавший модель, – Жан-Луи Денебург. Исходной точкой была работа: Goss S., Aron S., Deneubourg J.-L., Pasteels J. M. Self-organized shortcuts in the Argentine ant // Naturwissenschaften. 1989. Vol. 76. No. 12. Pp. 579–581.

Мы можем переписать это уравнение для другой отслеживающей переменной. Оно будет выглядеть так и описывать вознаграждения для альтернативного варианта:

См., например, работы: Гладуэлл М. Переломный момент. Как незначительные изменения приводят к глобальным переменам. М.: Альпина Паблишер, 2016; Болл Ф. Критическая масса. Как одни явления порождают другие. М.: Гелиос, 2008.

Dussutour A., Nicolis S. C., Shephard G. et al. The role of multiple pheromones in food recruitment by ants // Journal of Experimental Biology. 2009. August. Vol. 212. No. 15. Pp. 2337–2348.

Harris T. How technology is hijacking your mind – from a magician and Google design ethicist // Medium, 18 May 2016 // medium.com/thrive-global/how-technology-hijacks-peoples-minds-from-amagician-and-google-s-design-ethicist-56d62ef5edf3.

Krebs J. R., Kacelnik A., Taylor P. D. Test of optimal sampling by foraging great tits // Nature. 1978. September. Vol. 275. No. 5675. Pp. 27–31.

Make America Great Again («Вернем Америке былое величие») – слоган Трампа во время рекламной кампании 2016 года.

Loader B. D., Vromen A., Xenos M. A. The networked young citizen: social media, political participation and civic engagement // Information, Communication & Society. 2014. January. Vol. 17. No. 2. Pp. 143–150.

Этот вопрос активно изучала Анна Дорнхаус. Одна из работ: Charbonneau D., Hillis N., Dornhaus A. “Lazy” in nature: ant colony time budgets show high “inactivity” in the field as well as in the lab // Insectes Sociaux. 2014. February. Vol. 62. No. 1. Pp. 31–35.

В фильмах Спайка Джонза Her («Она») и Алекса Гарленда Ex machina («Из машины») речь идет об искусственном интеллекте.

Covington P., Adams J., Sargin E. Deep neural networks for YouTube recommendations. Conference paper, Proceedings of the 10th ACM Conference on Recommender Systems, September 2016. Pp. 191–198.

Снова отметим, что это выражение формально уравнением не является.

Градиент – векторная величина, показывающая направление наибольшего возрастания исходной числовой величины.

Либо градиентным спуском, если нам нужен минимум (в этом случае мы двигаемся по антиградиенту).

O‘Neil-Hart C., Blumenstein H. The latest video trends: where your audience is watching // Google, Video, Consumer Insights // thinkwithgoogle.com/consumer-insights/video-trends-where-audience-watching/.

Stokel-Walker C. Algorithms won’t fix what’s wrong with You-Tube // The New York Times, 14 June 2019 // nytimes.com/2019/06/14/opinion/youtube-algorithm.html>.

Здесь термин употреблен не в математическом смысле. Градиент – направление максимального изменения величины, но очевидно, что терять подписчиков можно и быстрее.

Проблема здесь в том, что, поднимаясь по градиенту, вы можете найти точку локального максимума, а не глобального.

Название канала означает примерно «Рукоделки за 5 минут». Существуют также ответвления канала (5-minute Crafts Family, 5-minute Crafts Like, 5-minute Crafts Recycle и т. п.) и версии на других языках; русскоязычная – «Бери и делай». Помимо огромного числа подписчиков (более 70 млн на конец марта 2021 года только на основном канале) более всего известен нерабочими лайфхаками, а также многочисленными проверками-«разоблачениями» от разных блогеров (по сути, «разоблачения» можно уже считать отдельным жанром роликов на платформе). Прим. ред.

Название канала означает «Произошло на самом деле».

Название канала означает примерно «Кабина историй». Этим словом в США назывались маленькие общедоступные студии звукозаписи, где можно было записать свою историю. Первая кабина появилась в 2003 году.

Orphanides K. G. Children’s YouTube is still churning out blood, suicide and cannibalism // Wired, 23 March 2018 // wired.co.uk/article/youtube-for-kids-videos-problems-algorithm-recommend.

Fisher M., Taub A. On YouTube’s digital playground, an open gate for pedophiles // New York Times, 3 June 2019 // nytimes.com/2019/06/03/world/americas/youtube-pedophiles.html?module=inline.

Silver D., Huang A., Maddison C. J. et al. Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search // Nature. 2016. January. Vol. 529. No. 7587. Pp. 484–489.

Другое уравнение, которое называется Softmax, очень похоже на уравнение 1, но в некоторых ситуациях с ним работать проще. В большинстве случаев Softmax и уравнение 1 взаимозаменяемы. (Softmax – обобщение логистической функции для многомерного случая. Прим. пер.)

Для сравнения: число атомов во Вселенной, по разным оценкам, составляет от 10⁷⁸ до 10⁸². Иными словами, даже если бы существовало столько вселенных, сколько атомов в нашей, во всех таких вселенных вместе все равно было бы гораздо меньше атомов, чем это число.

Mnih V., Kavukcuoglu K., Silver D. et al. Human-level control through deep reinforcement learning // Nature. 2015. February. Vol. 518. No. 7540. Pp. 529–533.

Mikolov T., Karafiát M., Burget L. et al. Recurrent neural network based language model. Conference paper, Interspeech 2010, Eleventh Annual Conference of the International Speech Communication Association, Japan, September 2010.

Это также не уравнение в обычном смысле слова.

Misa T. J., Frana P. L. An interview with Edsger W. Dijkstra // Communications of the ACM. 2010. Vol. 53. No. 8. Pp. 41–47.

Ассоциация вычислительной техники (Association for Computing Machinery) – международная организация в сфере компьютерной техники.

См. превосходную книгу: Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. Introduction to Algorithms, 3rd edition. Cambridge, MA: MIT Press, 2009.

Что тоже не совсем справедливо, поскольку в работах Эйлера этого равенства нет, хотя оно мгновенно следует из имеющейся там формулы e^ix = cosx + isinx. Однако задолго до Эйлера Роджер Котс предложил геометрическое рассуждение, из которого следует эквивалентная формула ix = ln(cosx + isinx).

Loh P.-S. The Most Beautiful Equation in Math, video, Carnegie Mellon University, March 2016 // youtube.com/watch?v=IUTGFQpKaPU.

Подразумевается треугольник в евклидовой геометрии.

Rogers B. A. J. Ayer: A Life. London: Chatto and Windus, 1999.

Foot P. The problem of abortion and the doctrine of double effect // Oxford Review. 1967. Vol. 5. Pp. 5–15.

Ahlenius H., Tännsjö T. Chinese and Westerners respond differently to the trolley dilemmas // Journal of Cognition and Culture. 2012. January. Vol. 12. No. 3–4. Pp. 195–201.

Mikhail J. Universal moral grammar: theory, evidence and the future // Trends in Cognitive Sciences. 2007. April. Vol. 11. No. 4. Pp. 143–152.

Thomson J. J. Killing, letting die, and the trolley problem // The Monist. 1976. Vol. 59. No. 2. Pp. 204–217. Описание проблемы вагонетки в основном тексте взято из этой статьи.

Больше о философских аспектах проблемы вагонетки и идее моральной интуиции можно прочитать в статье: D‘Olimpio L. The trolley dilemma: would you kill one person to save five? // The Conversation, 3 June 2016 // theconversation.com/the-trolley-dilemma-would-you-kill-one-person-to-save-five-57111.

В главе 3 и главе 5, излагая историю «Десятки», я не до конца объяснил, почему рассуждение Ричарда Прайса о чудесах было ложным. Научные доказательства против чудес, например Воскресения, исходят из базового понимания биологии, а не из того, что никто не совершил этого за 2000 лет после сообщений об Иисусе Христе. Нам следует рассматривать взгляд Прайса не как доказательство, что Воскресение могло быть, а как способ укрепить наши представления о доказательствах. Его рассуждение дает нам реальный и важный повседневный урок: тот факт, что мы не видели редкого события в прошлом, нельзя использовать как доказательство, что его не произойдет в будущем. Воскресение не выдерживает научного анализа, сочетающего данные и модель. Его можно объяснить только тем, что Иисус не был мертв либо о его смерти было неверно сообщено.

Spaiser V., Hedström P., Ranganathan S. et al. Identifying complex dynamics in social systems: a new methodological approach applied to study school segregation // Sociological Methods & Research. 2018. March. Vol. 47. No. 2. Pp. 103–135.

Вычисления Анны – часть следующей работы: UK’s carbon footprint 1997–2016: annual carbon dioxide emissions relating to UK consumption, 13 December 2012, Department for Environment, Food & Rural Affairs // gov.uk/government/statistics/uks-carbon-footprint.