В тот год под рождественской елкой посреди обычной футбольной символики и атрибутики лежало нечто новое. Это был словарь английского языка Collins — один из тех огромных классических словарей, которые при необходимости можно использовать в качестве баррикады. Я не знаю, почему мои родители сочли нужным купить десятилетнему сыну словарь: в то время я не особо интересовался словами. Тогда у меня в жизни были две страсти: футбольный клуб «Ливерпуль» и математика. Если мои родители полагали, что этот подарок расширит мой кругозор, то они жестоко ошибались. Я поразмышлял о своей новой игрушке и решил, что смогу использовать ее хотя бы для поиска больших чисел. Сначала я искал «биллион», затем «триллион», а вскоре обнаружил «квадриллион». Игра продолжалась до тех пор, пока я не наткнулся на поистине великолепный «центиллион». Шестьсот нулей! Конечно, в старом варианте с длинной шкалой наименования больших чисел; сейчас мы перешли на короткую шкалу, и центиллион имеет менее вдохновляющие триста три нуля, а миллиард (он же биллион) — девять нулей, а не двенадцать.

Однако на этом все закончилось. В моем словаре не было ни гуголплекса, ни числа Грэма, ни даже TREE(3). Мне бы понравились эти колоссы. Подобные фантастические числа могут привести вас на грань понимания, на передний край физики и раскрыть фундаментальные истины о природе нашей реальности. Но наше путешествие начинается с другого большого числа, которого тоже не было в моем словаре: 1,000000000000000858.

Полагаю, вы разочарованы. Я обещал вам покататься на левиафанах, а это число вовсе не кажется большим. Даже народ пирахан из тропических лесов Амазонии может назвать что-то большее, хотя их система числительных включает только hói (один), hoí (два) и báagiso (много)[5]. Еще хуже, что это число даже не такое красивое и элегантное, как π или √2. Оно кажется замечательно непримечательным во всех смыслах.

Все это верно до тех пор, пока мы не начинаем думать о природе пространства и времени и об экстремальных случаях взаимодействия человека с ними. Я выбрал именно это число, потому что оно стало мировым рекордом, отражающим пределы нашей физической способности связываться со временем.

16 августа 2009 года ямайскому спринтеру Усэйну Болту удалось замедлить свои биологические часы в 1,000000000000000858 раза. Ни один человек никогда не замедлял время настолько, по крайней мере без механической помощи. Возможно, вы знаете это событие под другим названием. В тот день на чемпионате мира по легкой атлетике в Берлине Болт побил мировой рекорд в беге на 100 метров, разогнавшись на отрезке между 60 и 80 метрами до скорости 12,72 метра в секунду. На трибунах сидели родители бегуна Уэлсли и Дженнифер, и в каждую секунду, прожитую их сыном на этом отрезке, они проживали чуть больше: если точно, то 1,000000000000000858 секунды.

Чтобы понять, как Болту удалось замедлить время, нам нужно ускорить его до скорости света. Нам надо спросить, что произошло бы, если бы спринтер смог догнать свет. При желании вы можете назвать это мысленным экспериментом, но не забывайте, что Болт сумел побить три мировых рекорда на Олимпийских играх в Пекине, питаясь куриными наггетсами. Вообразите, чего он мог бы достичь при правильном рационе.

Чтобы иметь хоть какую-то надежду догнать свет, необходимо предположить, что он движется с конечной скоростью. Это далеко не очевидно. Когда я сказал своей дочери, что свет от ее книги достиг ее глаз не мгновенно, она сразу же проявила скептицизм и настояла на проведении эксперимента, чтобы выяснить, верно ли это на самом деле. Обычно всякий раз, когда я чересчур близко подхожу к экспериментальной физике, у меня идет кровь из носа, но у моей дочери, похоже, обнаружилось больше практических умений. Для определения скорости света она предложила такой метод: выключите свет в спальне, затем снова включите его и посчитайте, сколько времени потребуется, чтобы свет дошел до вас. Это ровно тот же эксперимент, который Галилео Галилей и его помощник провели с закрывающимися фонарями 400 лет назад. Как и моя дочь, физик пришел к выводу, что свет распространяется если и не мгновенно, то необычайно быстро. Скорость света велика, но конечна.

К середине XIX века некоторые физики — например, француз с прекрасным именем Ипполит Физо — взялись определить достаточно точное (и конечное) значение скорости света. Однако чтобы правильно понять, что значит догнать свет, нам нужно сначала сосредоточиться на замечательной работе шотландского физика Джеймса Клерка Максвелла. Она также проиллюстрирует прекрасную синергию между математикой и физикой.

К тому моменту, когда Максвелл изучал поведение электричества и магнетизма, у ученых уже имелись намеки, что они могут оказаться двумя сторонами одной медали. Например, Майкл Фарадей, один из самых влиятельных ученых Англии, несмотря на отсутствие у него формального образования, ранее открыл электромагнитную индукцию, показав, что изменение магнитного поля порождает электрический ток. Французский физик Андре-Мари Ампер также установил связь между этими двумя явлениями. Максвелл взял эти идеи и соответствующие уравнения и попытался придать им математическую строгость. Но он заметил некоторые неувязки: для переменных полей и токов закон Ампера оказывался неверным. Максвелл провел аналогию с уравнениями, описывающими течение воды, и определил поправки для предложений Ампера и Фарадея. С помощью математических рассуждений он нашел недостающие части этой электромагнитной головоломки, и в результате возникла картина, обладающая беспрецедентной элегантностью и красотой. Именно эта стратегия, впервые предложенная Максвеллом, раздвигает границы физики в XXI веке.

Создав свою математически непротиворечивую теорию, объединяющую электричество и магнетизм, Максвелл заметил нечто волшебное. Его новые уравнения допускали волновое решение — электромагнитную волну, где электрическое поле периодически меняется в одном направлении, а магнитное — в другом. Чтобы понять, что обнаружил Максвелл, представьте, что вы плаваете с аквалангом и к вам приближаются две морские змеи. Они двигаются по одной прямой, но электрическая извивается в направлении вверх-вниз, а магнитная — влево-вправо. Что еще хуже, они мчатся к вам со скоростью 310 740 000 метров в секунду. Возможно, последняя часть аналогии ужасает сильнее всего, но она — как раз самая замечательная часть открытия Максвелла. Дело в том, что величина 310 740 000 метров в секунду была скоростью, вычисленной Максвеллом для своей электромагнитной волны: она просто выскочила из его уравнений, как математический чертик из табакерки. Любопытно, что эта величина оказалась также очень близкой к оценкам скорости света, установленным Физо и другими учеными. Вспомните, что, согласно убеждениям того времени, электричество и магнетизм не имели ничего общего со светом; однако оказалось, что они, по-видимому, представляют собой волны, бегущие с одинаковой скоростью. Современные измерения скорости света в вакууме дают значение 299 792 458 метров в секунду, но и параметры уравнений Максвелла теперь известны с улучшенной точностью, так что это чудесное совпадение сохранилось. Благодаря ему Максвелл понял, что свет и электромагнетизм должны быть явлениями одной природы: удивительная связь между двумя, казалось бы, различными свойствами физического мира была обнаружена математическими методами.

Это еще не все. Волны Максвелла включали не только свет. В зависимости от частоты их колебаний (иными словами, от скорости изгибания змей из стороны в сторону) эти волновые решения описывали радиоволны, рентгеновские и гамма-лучи, и, какими бы разными ни были их частоты, скорость перемещения волн всегда оказывалась одинаковой. В 1887 году немецкий физик Генрих Герц измерил скорость распространения радиоволн и установил, что она равна скорости света. Когда ученого спросили о следствиях его открытия, Герц скромно ответил: «Оно совершенно бесполезно. Это просто эксперимент, доказывающий, что маэстро Максвелл был прав». Конечно, всякий раз, когда мы настраиваем радиостанцию на нужную частоту, мы вспоминаем о реальном влиянии открытия Герца. Но даже если он преуменьшал собственную значимость, Герц был прав, называя Максвелла маэстро. В конце концов, шотландец оказался дирижером самой изящной математической симфонии в истории физики.

До того как Альберт Эйнштейн произвел революцию в нашем понимании пространства и времени, ученые в основном полагали, что световым волнам требуется определенная среда для распространения — точно так же, как океанским волнам необходимо двигаться через какую-то воду. Такая гипотетическая среда для света была известна как светоносный эфир. Предположим на мгновение, что эфир реален. Если бы Усэйн Болт догнал свет, ему пришлось бы мчаться через эфир со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Если спринтер наберет такую скорость, что он увидит, двигаясь рядом с лучом света? Свет больше не удаляется от него, поэтому будет выглядеть как электромагнитная волна, колеблющаяся вверх-вниз, влево-вправо, но на самом деле никуда не перемещающаяся. (Представьте морских змей, извивающихся из стороны в сторону, но в итоге остающихся на одном и том же месте в океане.) Однако не существует явного способа приспособить законы Максвелла к волне такого рода, и это заставляет предположить, что законы физики для такой «турбонаддувной» версии ямайского спринтера должны кардинально отличаться.

Это тревожит. Когда Эйнштейн пришел к тем же выводам, он понял, что в самой идее догнать свет есть что-то неправильное. Теория Максвелла была слишком красива, чтобы отказываться от нее только потому, что кто-то быстро двигается. Эйнштейну также требовалось разобраться со странными результатами эксперимента, проведенного весной 1887 года в Кливленде. Два американских физика, Альберт Майкельсон и Эдвард Морли, пытались найти скорость движения Земли относительно эфира, используя некое хитроумное расположение зеркал, но ответ всегда оказывался нулевым. Такой результат означал, что Земля — в отличие от почти всех других планет в Солнечной системе и за ее пределами — почему-то двигается вместе с этим заполняющим пространство эфиром, с точно такой же скоростью и в точности в том же направлении. Как мы увидим далее в этой книге, подобных совпадений без веской причины не бывает. Поэтому просто-напросто эфира не существует, а маэстро Максвелл всегда прав.

Эйнштейн предположил, что законы Максвелла (как и любые другие физические законы) никогда не изменятся, как бы быстро вы ни двигались. Если вас запереть на корабле в каюте без окон, вам не удастся провести эксперимент, который определит вашу абсолютную скорость, потому что таковой не существует. Ускорение — совсем другая история, мы к нему еще вернемся, но, пока капитан корабля плывет с постоянной скоростью относительно моря (будь то десять узлов, двадцать узлов или скорость, близкая к скорости света), вы и ваши коллеги-экспериментаторы в каюте будете находиться в блаженном неведении. Если вернуться к Усэйну Болту, то мы знаем, что его погоня за светом окажется тщетной. Он никогда не догонит луч, потому что законы Максвелла неизменны. Как бы быстро он ни бежал, свет всегда будет удаляться от него со скоростью 299 792 458 метров в секунду.

Все это противоречит нашей интуиции. Если гепард бежит по равнине со скоростью 70 миль (113 км) в час, а Болт преследует его со скоростью 30 миль (48 км) в час, то обычная логика подсказывает, что гепард каждый час будет увеличивать свой отрыв от спринтера на 40 миль (65 км) — просто потому, что его относительная скорость равна 70–30 = 40 миль в час. Но когда мы говорим о луче света, двигающемся по равнине со скоростью 299 792 458 метров в секунду, то неважно, как быстро бежит Болт, — луч света все равно будет двигаться относительно него со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Свет всегда будет двигаться со скоростью 299 792 458 метров в секунду[6] — относительно африканской равнины, относительно Усэйна Болта, относительно стада паникующих антилоп-импал. Это действительно не имеет значения. Мы можем подвести этот итог в одном твите:

Эйнштейну бы это понравилось. Он всегда говорил, что его идеи следовало бы именовать теорией инвариантности, сосредоточив внимание на их наиболее важных аспектах: постоянстве скорости света и инвариантности законов физики. Ироничное название «теория относительности» придумал немецкий физик Альфред Бухерер, критиковавший работу Эйнштейна. Мы называем ее специальной теорией относительности, чтобы подчеркнуть тот факт, что все вышеизложенное применимо только к равномерному движению, или движению без ускорения. Для ускоренного движения (когда гонщик «Формулы-1» нажимает на газ или ракета взлетает в космос) нам нужно нечто более общее и глубокое — общая теория относительности Эйнштейна. Мы подробно поговорим об этом дальше, когда погрузимся на дно Марианского желоба.

А пока давайте придерживаться специальной теории относительности Эйнштейна. В нашем примере предполагается, что Болт, гепард, импала и луч света двигаются с постоянной скоростью друг относительно друга. Их скорости могут различаться, но не меняются со временем, и главное, несмотря на эти различия, все видят, что световой луч удаляется от них со скоростью 299 792 458 метров в секунду. Как мы уже видели, это общее представление о скорости света, безусловно, противоречит нашему повседневному пониманию относительных скоростей, когда одна скорость вычитается из другой. Но причина здесь только в том, что вы не привыкли путешествовать со скоростями, близкими к световой. Иначе вы бы смотрели на относительные скорости совсем по-другому.

Проблема во времени.

Видите ли, вы предполагали, что в небесах есть какие-то огромные часы, которые сообщают нам точное время. Возможно, вы не считаете, что предполагаете такое, но это именно так, — в частности, когда начинаете вычитать относительные скорости, руководствуясь тем, что считаете здравым смыслом. Мне жаль вас разочаровывать, но эти абсолютные часы — фантазия. Их нет. В реальности существуют лишь часы на вашем запястье, часы на моем запястье или часы на Boeing 747, летящем через Атлантику. У каждого из нас есть собственные часы, собственное время, и показания этих часов не всегда совпадают, особенно если кто-то мчится со скоростью, близкой к световой.

Предположим, я поднимаюсь на борт Boeing 747 и вылетаю из Манчестера. К тому моменту, когда самолет достигает побережья в Ливерпуле, он летит со скоростью несколько сотен километров в час. К легкому раздражению других пассажиров, я решаю подкинуть мяч в салоне на пару метров. Моя сестра Сьюзи (живущая в Ливерпуле) находится на пляже, когда самолет двигается над ней, и, с ее точки зрения, мяч пролетает значительно дальше — примерно двести метров или больше. На первый взгляд кажется, что такая ситуация не требует серьезного пересмотра нашего повседневного представления о времени. В конце концов, быстро летящий самолет просто переносит мяч с собой, и, естественно, Сьюзи видит, что он перемещается намного дальше. Но теперь поиграем в аналогичную игру со светом. Я ставлю вертикально на полу салона фонарик и включаю его: вертикальный луч света двигается перпендикулярно направлению движения самолета. Через какое-то очень короткое время я вижу, как свет достиг потолка салона. Если бы Сьюзи могла заглянуть внутрь, она увидела бы, как свет распространяется по диагонали, поднимаясь от пола к потолку, но при этом также перемещаясь горизонтально вместе с самолетом.

^{Траектория светового луча в глазах Сьюзи на пляже}

Для нее это расстояние по диагонали больше, чем то расстояние по вертикали, которое измерил я; следовательно, она увидела, что свет прошел большее расстояние, нежели увидел я. Однако свет и для нее двигался с такой же скоростью. Это может означать только одно: для Сьюзи свету потребовалось больше времени, чтобы пройти свой путь. Иными словами, с ее точки зрения, мир внутри самолета должен двигаться в замедленном темпе. Этот эффект известен как замедление времени.

Степень замедления зависит от относительной скорости — скорости моего самолета относительно сестры или скорости Усэйна Болта относительно его родителей на трибунах стадиона. Чем ближе вы к скорости света, тем больше замедляется время. Когда Болт бежал в Берлине, его максимальная скорость составляла 12,42 метра в секунду, а время замедлилось в 1,000000000000000858 раза[7]. Это рекорд для человека.

Существует и еще одно следствие замедления времени: вы стареете медленнее. Например, Усэйн Болт постарел примерно на 10 фемтосекунд меньше, чем все зрители на трибунах во время берлинского забега. Конечно, фемтосекунда — это не так уж и много (всего лишь одна миллионная доля от миллиардной доли секунды), но все же он постарел меньше, так что, вернувшись в состояние неподвижности, он прыгнул в будущее, хотя и совсем чуть-чуть. Если вы не очень хорошо бегаете, то для замедления времени можно воспользоваться механическими средствами, и есть все шансы, что у вас получится даже лучше. Например, российский космонавт Геннадий Падалка провел в космосе 878 дней 11 часов и 31 минуту на борту космических станций «Мир» и МКС, вращаясь вокруг Земли со скоростью примерно 28 000 километров в час. В результате ему удалось попасть в будущее на рекордные 22 миллисекунды раньше по сравнению с его семьей, оставшейся на Земле[8].

Однако вам незачем становиться космонавтом, чтобы путешествовать во времени таким образом. Таксист, который ездит по городу сорок часов в неделю в течение сорока лет, окажется на несколько десятых микросекунды моложе по сравнению с человеком, который просто сидит на месте. Если вас не впечатляют микросекунды и миллисекунды, подумайте, что может случиться с бактериями, оказавшимися на борту корабля Starshot, который ученые хотят направить к альфе Центавра. Starshot — детище венчурного капиталиста-миллиардера Юрия Мильнера, который планирует разработать аппарат с солнечным парусом, способный долететь до ближайшей к нам звездной системы со скоростью в 20 процентов от световой. Альфа Центавра находится от нас на расстоянии около 4,37 светового года, поэтому до окончания такого путешествия землянам придется ждать более двадцати лет. Однако для самого аппарата и безбилетных бактерий на его борту время замедлится до такой степени, что путешествие займет менее девяти лет.

В этот момент вы можете заметить кое-что подозрительное. Если наша отважная бактерия будет девять лет мчаться со скоростью в одну пятую от скорости света, то она пролетит менее двух световых лет, а это менее половины расстояния до альфы Центавра. То же и с Усэйном Болтом. Я сказал вам, что он бежал на 10 фемтосекунд меньше, чем вы думали, а поэтому в реальности он и преодолел меньшее расстояние. И это действительно так. С точки зрения Болта, дорожка двигалась относительно него со скоростью 12,42 метра в секунду, поэтому она должна была уменьшиться в длину примерно на 86 фемтометров (что соответствует размеру примерно 50 протонов). Вы можете даже поспорить, что он в каком-то смысле не совсем совершил забег. Для бактерии пространство между Землей и альфой Центавра будет двигаться очень быстро, и в результате оно сократится менее чем на половину своей первоначальной протяженности. Такое сокращение пространства или дорожки берлинского стадиона известно как релятивистское (или лоренцево) сокращение длины. Итак, вы видите, что бег не только уменьшает ваш возраст, но и помогает вам выглядеть стройнее. Если бы вы бежали со скоростью, близкой к скорости света, любой наблюдатель заметил бы, что вы расплющились, как блин, благодаря сокращению занимаемого вами пространства.

Тут есть еще кое-что, о чем вам следует побеспокоиться. Я только что сказал, что дорожка стадиона двигалась относительно Усэйна Болта со скоростью 12,42 метра в секунду. Следовательно, его родители двигались по отношению к нему с точно такой же скоростью. С учетом всего вышесказанного это означает, что Болт должен увидеть, как часы его родителей замедлились. Но это выглядит очень странно, потому что я уже сказал вам: родители Болта должны увидеть, как замедляются часы их сына. Однако на самом деле именно так и обстоят дела: как Уэлсли и Дженнифер видят своего сына в замедленной съемке (!), так и Болт тоже видит их в замедленной съемке. И вот тут есть один действительно тревожный момент: я ведь также отмечал, что Болт финишировал в забеге, оказавшись на 10 фемтосекунд моложе, чем был бы, если бы стоял на месте. Разве мы не можем перевернуть ситуацию и посмотреть на нее с точки зрения Болта? Для его родителей время идет медленнее, так почему они не могут меньше постареть? Кажется, у нас появился парадокс. Он известен как парадокс близнецов (обычно в его объяснении фигурируют близнецы), но, к сожалению, у Усэйна Болта нет близнеца. Впрочем, это неважно. Истина состоит в том, что именно Болт стареет меньше и остается чуть-чуть моложе. Но почему он, а не его родители?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно учесть роль ускорения. Помните: все, что мы до сих пор обсуждали, относится к равномерному движению, когда ускорение отсутствует. В те моменты, когда Болт бежит с постоянной скоростью 12,42 метра в секунду, он и его родители — инерциальные объекты. Это просто причудливый жаргонный термин, который сообщает, что они не ускоряются, на них не действует никакая дополнительная сила, ускоряющая их или замедляющая. Во всех таких случаях применяются законы специальной теории относительности, поэтому и Болт будет видеть своих родителей в замедленной съемке, и наоборот. Однако спринтер не бежит с постоянной скоростью на протяжении всего забега: сначала он разгоняется с нуля до максимальной скорости, а в конце снова замедляется. На отрезках, когда он ускоряется или замедляется, бегун не является инерциальным объектом (в отличие от своих родителей). Движение с ускорением — совершенно другое дело. Например, даже если запереть вас в каюте корабля без окон, вы однозначно сможете сказать, ускоряется ли корабль, потому что почувствуете силу, действующую на ваше тело. Слишком сильное ускорение может даже убить вас. Конечно, смерть Болту никогда не грозила, однако его ускорения и замедления было вполне достаточно, чтобы убрать эквивалентность между ним и его родителями. Такая асимметрия устраняет наш парадокс: более подробный анализ, где тщательно учитывается ускоренное движение бегуна, показывает, что немного меньше будет стареть именно Болт, а не его родители.

Важно понимать, что это не просто забавное развлечение с уравнениями. Это реальные эффекты, которые ученые уже измерили. Установлено, что быстро движущиеся атомные часы тикают медленнее, чем их стационарные аналоги; они «меньше стареют», подобно Усэйну Болту в Берлине. Еще одно свидетельство дала крохотная частица под названием мюон: у нее обнаружена «отсрочка смерти». Мюон очень похож на обычный электрон, вращающийся вокруг ядра атома, но примерно в двести раз тяжелее и живет гораздо меньше. Примерно через две миллионные доли секунды он распадается на электрон и маленькие нейтральные частицы, называемые нейтрино. В Брукхейвенской национальной лаборатории в Нью-Йорке проводится эксперимент, в ходе которого мюоны разгоняют по 44-метровому кольцу до скорости в 99,94 процента от световой. Если учесть известную продолжительность их жизни, можно ожидать, что мюоны до своего распада совершат только 15 кругов; однако каким-то образом они проходят примерно 438 кругов. Дело тут не в том, что у них как-то удлинилась жизнь (если бы вы двигались рядом с одним из мюонов с той же скоростью, вы бы все равно увидели, как он распадается через две миллионные доли секунды[9]), просто при движении на такой скорости длина окружности кольца уменьшается в 29 раз по сравнению с исходной. В результате мюон успевает пройти около 438 кругов, потому что на каждом круге из-за сокращения длины ему приходится проходить меньшее расстояние.

Сокращение длины и замедление времени помогают нам понять, почему ничто и никто (и даже Усэйн Болт) не может двигаться быстрее света. По мере того как Болт все ближе подбирается к скорости света, кажется, что его время замедляется до полной остановки, а расстояния, с которыми он сталкивается, стягиваются к нулю. Как можно еще больше замедлить время? Куда можно еще уменьшить расстояния? Просто некуда. Скорость света представляет собой некий барьер, и единственный разумный вывод состоит в том, что ничто и никто не может двигаться быстрее.

Ускоряясь и приближаясь к скорости света, Болт потребляет все больше калорий, пытаясь разогнаться все сильнее. Скорость света выглядит непреодолимым барьером, поэтому в конце концов его скорость начинает стабилизироваться, а ускорение замедляться. Чем ближе он к скорости света, тем труднее двигаться. Его инерция — сопротивление ускорению — становится все больше. В этом и состоит проблема с попыткой разогнаться до скорости света: инерция увеличивается до бесконечности.

Но откуда берется эта инерция? Единственное, что Болт привносит в систему, — это энергия, и именно она должна быть источником дополнительной инерции Болта. Энергия никуда не исчезает, она просто меняет свой вид, переходя из одной формы в другую. Таким образом, инерция должна быть какой-то формой энергии, и это должно быть истинно, даже когда Болт находится в покое. Хорошо то, что для Болта, находящегося в покое, мы точно знаем инерцию: это просто его масса, ведь чем он тяжелее, тем ему труднее двигаться. Масса и энергия являются одним и тем же — в соответствии с формулой Эйнштейна[10]: E = mc². Ужаснее всего в этой формуле то, какое огромное количество энергии (Е) можно получить из массы (m) благодаря огромной величине скорости света (c). Усэйн Болт в состоянии покоя весит около 95 килограммов, и, если всю эту массу преобразовать в энергию, она окажется эквивалентна 2 млрд тонн тротила. Это более чем в 100 000 раз превышает энергию, выделившуюся при взрыве в Хиросиме.

Теперь поговорим о пространстве-времени.

Погодите. Что это? Откуда оно взялось? На деле все это время мы говорили о пространстве-времени. Сокращение длины. Замедление времени. В вышеуказанных примерах время и пространство растягиваются и сжимаются в идеальном тандеме. Поэтому неудивительно, что они должны быть связаны, оказаться частью чего-то большего. Родившийся в Российской империи и проработавший почти всю жизнь в Германии математик Герман Минковский был настолько вдохновлен идеями Эйнштейна, что совершил первый прыжок в пространство-время. Он заявлял: «Отныне пространство само по себе и время само по себе уходят в мир теней, и в реальности существует лишь их своеобразное сочетание». Довольно любопытно, что Минковский некогда учил молодого Эйнштейна в Высшей технической школе Цюриха, хотя вспоминал его как лентяя, которого никогда не волновала математика.

Что на самом деле Минковский подразумевал под пространством-временем? Чтобы понять это, мы должны начать с трех пространственных измерений. У пространства есть три измерения, потому что для определения своего положения вам нужно указать три независимые координаты: например, две ваши GPS-координаты и высоту над уровнем моря. Теперь взгляните на часы и запишите время. Подождите 30 секунд и снова посмотрите на часы. Те два момента, когда вы смотрели на часы, произошли в одной и той же точке пространства, но в разные моменты. Мы могли бы различать их, введя еще одну (временную) координату для отображения момента, в который произошло каждое из этих событий. Таким образом, у нас есть четвертая независимая координата — четвертое измерение. Соединим их и получим пространство-время.

Чтобы должным образом оценить элегантность концепции пространства-времени, следует подумать о том, как мы измеряем расстояния — сначала в пространстве, а затем в пространстве-времени. Расстояния в пространстве можно измерить с помощью теоремы Пифагора. Вы, вероятно, помните это школьное утверждение о прямоугольных треугольниках: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако эта старая теорема дает гораздо больше, чем вы могли решить поначалу. Чтобы понять почему, давайте сначала построим пару перпендикулярных осей, как показано на левом рисунке.

Относительно этих осей точка P имеет координаты (x, y), и по теореме Пифагора мы легко получаем, что она находится от центра координат на расстоянии Если мы повернем оси вокруг начала координат O, как показано на правом рисунке, и определим новый набор координат (x', y'), расстояние от начала координат, очевидно, останется неизменным и теорема Пифагора будет работать так же, как и раньше:

d² = x² + y² = x² + y².

В этом и заключается настоящая прелесть теоремы Пифагора: расстояние остается неизменным даже при повороте координат.

Теперь о пространстве-времени. Минковский предложил нам объединить пространство и время. Конечно, в действительности нам хочется смешать три пространственных измерения с единственным временным измерением, но для простоты давайте рассмотрим одно пространственное, обозначенное координатой x, и соединим его со временем, обозначенным координатой t. Минковский определил, что для измерения расстояния d в этом пространстве-времени мы должны использовать странную форму теоремы Пифагора, которая задается формулой

d² = c²t² — x².

Да-да, именно так: знак минус. Что все это означает? Мы к этому еще вернемся, но сначала нам нужно понять фрагмент c²t². Мы хотим измерять расстояния и сразу констатируем очевидное: время — не расстояние. Чтобы превратить его в расстояние, нужно умножить его на какую-то скорость, а что может быть лучше скорости света? Это означает, что c²t² можно рассматривать как единицу измерения квадрата расстояния, а это именно то, что нам нужно, когда мы думаем о теореме Пифагора. Теперь о знаке минус. Мера расстояния в пространстве-времени должна оставаться неизменной всякий раз, когда мы выполняем аналогичное вращение пространства-времени: когда проводим те преобразования, которые переводят нас между наблюдателями, движущимися друг относительно друга, — например, преобразование, которое переводит положение родителей Усэйна Болта в положение его самого. Такие «вращения» называются преобразованиями Лоренца; они кодируют растяжение времени и сжатие пространства, которые делают физику относительности такой удивительно причудливой. Таинственный знак минус имеет решающее значение для сохранения неизменными расстояний в пространстве-времени всякий раз, когда вы совершаете такой переход между инерциальными наблюдателями в относительном движении. Возможно, проще всего это увидеть для света, который движется в пространстве со скоростью x / t = c. Подставив это в формулу Минковского[11], мы увидим, что свет находится на нулевом расстоянии от начала координат в пространстве-времени. Начало координат остается на месте всякий раз, когда мы «вращаем» наши пространственно-временные координаты, и поэтому свет должен выглядеть одинаково для всех наблюдателей. Ничто не движется быстрее света в пространстве, но в пространстве-времени он вообще не перемещается ни на какое расстояние. Вот что делает его особенным.

А что насчет вас? Что вы делаете в пространстве-времени? Ну я предполагаю, что вы удобно устроились в кресле и читаете эту книгу. Что бы вы ни делали, мы знаем, что вы не движетесь в пространстве, определенном относительно вас самих, но движетесь во времени и поэтому должны двигаться в едином пространстве-времени. Насколько быстро? Что ж, берем формулу для расстояния при x = 0, получаем и легко видим, что вы движетесь в пространстве-времени со скоростью d / t = c. Иными словами, вы перемещаетесь сквозь пространство-время со скоростью света. Как и все другие люди.

Соединив свои пространственно-временные координаты с расстоянием в пространстве-времени, Минковский начал строить удивительно изящную картину физики в терминах четырехмерной геометрии. Если записать на этом новом языке уравнения Максвелла, они обретают невероятно простую форму. Разделять пространство и время — все равно что смотреть на мир сквозь туман. Соедините их — и откроется мир удивительной красоты и простоты. Это и делает теоретическую физику таким замечательным предметом: чем больше вы понимаете, тем проще она становится. Возможно, это не более очевидно, чем использование Эйнштейном геометрии, чтобы победить силу гравитации и увидеть, что это обман. Эту историю мы расскажем попозже, снова используя замедление времени. Однако на этот раз мы не станем бежать вместе с Усэйном Болтом или мчаться сквозь космос с Геннадием Падалкой. Мы отправимся к центру Земли, где время идет чуть медленнее, чем на ее поверхности.

Бездна Челленджера

«В действительности сильнее всего ощущение одиночества, осознание того, как крохотный ты опускаешься в это огромное, необъятное, темное, неизвестное и неисследованное место» — так сказал канадский кинорежиссер Джеймс Кэмерон. Эти слова свидетельствуют об ощутимом чувстве страха, о том, что ситуация не под контролем, что человек во власти чего-то большего. Эти слова были бы уместны в сценарии его самого известного фильма «Титаник», однако на самом деле они выражали эмоции режиссера после возвращения из Бездны Челленджера — самой глубокой из известных точек океанского дна, которая находится в Марианском желобе на глубине почти 11 километров ниже уровня моря. Кэмерон отправился туда 26 марта 2012 года в глубоководном аппарате Deepsea Challenger и провел три часа, исследуя этот чуждый мир: находясь в полном одиночестве в самой враждебной среде на планете.

Кэмерон стал первым человеком, который погрузился на такую глубину со времен группы ВМС США пятьдесят лет назад[12], и первым, кто сделал это в одиночку. Однако, возможно, примечательнее всего тот факт, что он вернулся из этого путешествия, прыгнув вперед во времени на 13 наносекунд.

Прыжок Кэмерона в будущее произошел не из-за высокой скорости, как у Усэйна Болта или Геннадия Падалки, а благодаря глубине погружения. Дело в том, что время замедляется еще и тогда, когда вы погружаетесь в гравитационный колодец, в данном случае — отправляетесь ближе к центру Земли. Это эффект общей теории относительности, объединившей релятивизм и гравитацию — вершины гения Эйнштейна. Поскольку Джеймс Кэмерон провел довольно много времени на глубине, у него накопилась впечатляющая величина гравитационного замедления времени.

Однако больше всех к центру Земли приблизился экипаж российской научно-исследовательской экспедиции «Арктика-2007».

2 августа 2007 года пилот Анатолий Сагалевич, полярник Артур Чилингаров и бизнесмен Владимир Груздев спустились в точке Северного полюса на дно Северного Ледовитого океана на борту глубоководного аппарата «Мир-1», оказавшись на глубине 4261 метра. Может показаться, что это гораздо меньше, чем глубина Марианского желоба. Однако Земля — не идеальная сфера, она имеет форму сплюснутого с полюсов сфероида, который слегка выпирает на экваторе. Поэтому аппарат «Мир-1» оказался гораздо ближе к центру планеты, чем Deepsea Challenger. Проведя полтора часа на морском дне, трое мужчин на борту аппарата переместились вперед во времени на несколько наносекунд. Помимо взятия образцов почвы и фауны, они установили российский флаг из нержавеющего титанового сплава. Это событие вызвало ожесточенные претензии со стороны других арктических стран, которые увидели здесь попытку объявить этот регион российской территорией. Россияне отрицали это, заявив, будто собирались просто доказать, что российский шельф простирается до Северного полюса, и сравнив это с тем моментом, когда астронавты «Аполлона-11» установили американский флаг на поверхности Луны.

Хотя эта книга посвящена вовсе не международной политике, такие вещи никогда далеко не расходятся. Чтобы понять, как и почему эти глубоководные исследователи смогли замедлить время, нам нужно оказаться в начале XX века — во временах, когда мир воевал, а окопы заливало кровью простых людей, сражавшихся в тяжелой обстановке. В то время битвы бушевали и в мире науки. Британские физики (более других увлеченные идеями эфира и ведомые неукротимым лордом Кельвином) не жаждали принимать новые идеи Эйнштейна о времени и пространстве. Они опирались на Исаака Ньютона, легенду британской науки, чьи законы всемирного тяготения все еще оставались традиционной авторитетной моделью — даже спустя 300 лет после своего появления. Ньютоновская гравитация могла объяснить очень многое: от движения планет до траектории пуль, падающих в битве на Сомме. Однако в теории Ньютона имелось нечто тревожное — нечто, привлекшее более пристальное внимание к труду Эйнштейна: мгновенное действие на расстоянии.

Почему это беспокоит? Представьте, что произошло бы, если бы Солнце внезапно исчезло. Конечно, мы все после этого умерли бы, но сколько времени потребуется, чтобы мы осознали свою печальную судьбу? В мире, где правит ньютоновская теория, сила гравитации действует мгновенно на больших расстояниях, поэтому мы узнаем о пропаже Солнца в тот момент, когда она произойдет. Беда в том, что солнечному свету нужно восемь минут, чтобы добраться до Земли. Согласно Эйнштейну, это означает, что нам потребуется не менее восьми минут, чтобы получить какой-либо сигнал от Солнца, включая тот, который говорит о его исчезновении. Ясно, что теории Ньютона и Эйнштейна находятся в прямом конфликте. Хотя Эйнштейн был далек от патриотизма, такая немецкая угроза ньютоновскому трону никогда не находила одобрения в Англии на фоне Первой мировой войны.

У самого Ньютона были серьезные опасения по поводу такого действия на расстоянии. В письме к ученому Ричарду Бентли в феврале 1692 года он писал: «Мысль, что… одно тело может воздействовать на другое на расстоянии через пустоту, без посредства какого-либо агента… представляется мне таким абсурдом, что, на мой взгляд, ни один человек, обладающий способностью судить о философских материях, никогда не сможет с ней согласиться».

В итоге Эйнштейн справился с этими проблемами, но для этого он отказался от Ньютона и его величайшего открытия. Он попросту отказался от существования гравитации.

Гравитация — обман.

Мне нравится начинать курс глубокого изучения гравитации с этой короткой фразы, даже если она расстраивает некоторых студентов. Но утверждение верно: гравитация — действительно обман. Даже на Земле можно стать невесомым, полностью устранив тяготение. Для этого отправляйтесь в роскошный город Дубай на краю пустыни и поднимитесь на вершину небоскреба Бурдж-Халифа — самого высокого здания в мире, уходящего в небо почти на километр. Оказавшись там, заберитесь в какой-нибудь большой ящик (вроде старой британской телефонной будки с затемненными стеклами) и попросите кого-нибудь сбросить вас вниз. Что происходит, когда вы падаете в этом ящике? На вас действует ускорение силы тяжести 1g, но оно действует и на пол ящика. Да, на ящик также будет воздействовать небольшая сила сопротивления воздуха, но, если воздух достаточно разрежен, вы станете более или менее невесомым и гравитация исчезнет. Конечно, я осознаю, что этот способ проверки гравитации слишком радикален. Но ведь на самом деле для ощущения эффекта невесомости вам вовсе не обязательно прыгать с Бурдж-Халифа. Достаточно съехать с крутого холма на своем автомобиле. Возможно, вам уже знакомо ощущение, когда ваш желудок начинает выполнять сальто. Это гравитация начинает исчезать, когда вы с ускорением спускаетесь по склону. Всякий раз, когда это происходит, я напоминаю себе (и всем, кто находится со мной в машине), что в животе непосредственно ощущаются эффекты гения Эйнштейна.

Когда Эйнштейн понял, что всегда может устранить эффекты гравитации, он назвал это самой счастливой мыслью в своей жизни. Смерть гравитации можно проследить вплоть до Галилея, гения эпохи Возрождения и основателя современной науки. По словам его ученика Винченцо Вивиани, Галилей сбрасывал сферические предметы разной массы с вершины наклонной Пизанской башни, демонстрируя профессорам и студентам, что те падают с одинаковой скоростью. Это противоречило старому утверждению Аристотеля о том, что более тяжелые предметы падают быстрее. Вопрос, действительно ли Галилей когда-то устраивал такие представления, остается предметом споров[13], но сам эффект, безусловно, реален. Одну версию такого эксперимента провел на Луне астронавт «Аполлона-15» Дэвид Скотт. Он взял молоток и перо, а затем одновременно выпустил их из рук. Без сопротивления воздуха оба объекта упали на поверхность Луны одновременно: как и предсказывал Галилей, они падали с одинаковой скоростью. Именно это универсальное поведение гарантирует, что и вы с телефонной будкой упадете с небоскреба Бурдж-Халифа в идеальном тандеме.

Но если мы можем полностью устранить гравитацию, то в каком смысле она реальна? Можем ли мы имитировать ее в открытом космосе? Имитировать гравитацию в космосе легко: достаточно ускориться. Если бы Международная космическая станция включила свои двигатели и начала подниматься на большую высоту с ускорением в 1g, то космонавты сразу бы перестали ощущать невесомость. Корабль будет двигаться вверх, однако космонавтам покажется, что они падают вниз — точно как под действием силы тяжести. Затемните иллюминаторы, и экипаж станции вполне может обмануться, считая, что МКС рушится на Землю.

Дело в том, что гравитация и ускорение неразличимы, — в космическом корабле с затемненными иллюминаторами у вас нет возможности узнать, ощущаете ли вы действие гравитации, или корабль ускоряется в пространстве. Это эйнштейновский принцип эквивалентности — физическая эквивалентность между гравитацией с одной стороны и ускорением с другой. Вы не можете отличить их друг от друга. Если вы все еще сомневаетесь, подумайте о том, что происходит, когда вы ведете машину и поворачиваете слишком быстро. Поверните налево, и вас как будто потянет к правой двери автомобиля. Это похоже на фальшивую силу тяготения, действующую вбок. Истина в том, что автомобиль ускоряется, когда поворачивает на перекрестке, а ваше тело при этом хочет продолжить движение в прежнем направлении, в результате чего вас откидывает к противоположной двери автомобиля.

Вернемся на мгновение к нашим глубоководным исследователям. Чтобы в полной мере оценить, как для них замедляется время, нам нужно снова подумать о свете. Как гравитация влияет на свет? Поскольку гравитация и ускорение неразличимы, мы можем спросить, как ускорение влияет на свет. Представьте, что вы на космическом корабле, летящем через пустое межзвездное пространство с постоянной скоростью. У вас в руках тарелка с желе[14], а у вашего друга — лазерное ружье. В случае дуэли вы бы проиграли, но это не поединок, а эксперимент. Вы предлагаете другу выстрелить лазером в желе. Когда он это делает, лазер прорезает желе по идеально прямой линии. Вы решаете повторить эксперимент, но на этот раз запускаете двигатели и начинаете разгонять ракету. Вы с другом немедленно почувствуете эффект фальшивой гравитации: теперь вы можете нормально стоять на полу космического корабля, с ускорением несущего вас в космос. Вы предлагаете включить лазер, и друг снова разрезает желе. Вы внимательно рассматриваете пути, которые проложил луч. Первый путь был прямым, однако второй оказался слегка изогнут, как показано ниже.

^{Что происходит, когда вы в космосе проводите лазерным лучом по желе, если космический корабль двигается с постоянной скоростью (слева) и если он ускоряется (справа)}

Что случилось со вторым световым лучом? Ничего особенного. Он по-прежнему прошел через пространство по прямой линии, однако в этот момент желе ускорялось «вверх» вместе с ракетой. С вашей точки зрения (и с точки зрения желе), световой луч искривился. Хотя в этом случае искривление оказалось просто следствием ускорения желе, принцип эквивалентности говорит, что точно так же луч света должен искривляться под действием гравитации.

И он искривляется.

Подтверждение появилось вскоре после окончания Первой мировой войны. Хотя в те трудные времена в Британии мало кто воспринимал новые идеи Эйнштейна, у него имелся один сторонник. Артур Эддингтон был вдумчивым честолюбивым астрономом и пацифистом и старался, чтобы британские ученые поддерживали довоенный интерес к работам немецких коллег. Хотя получить доступ к немецким научным журналам было трудно, он узнал о трудах Эйнштейна от голландского физика Виллема де Ситтера и решил проверить предсказание, что свет от звезд должен искривляться под действием гравитации Солнца. Проблема тут в том, что яркое солнце не дает возможности увидеть свет звезд. Эддингтон понял, что для проведения соответствующего эксперимента ему нужно солнечное затмение; по его расчетам, затмение должно было произойти 29 мая 1919 года на красивом португальском острове Сан-Томе и Принсипи у западного побережья Африки, а затем зона затмения пересекала Атлантику и попадала в северную Бразилию. На африканский островок отправились Эддингтон и королевский астроном Фрэнк Уотсон Дайсон, а вторая группа ученых поехала в город Собрал в бразильском штате Сеара. Несмотря на облака и дождь, угрожавшие успеху эксперимента, ученым удалось сфотографировать во время затмения несколько звезд из скопления Гиады. Когда снимки сравнили с ночными изображениями того же скопления, положение звезд не совпадало. Следовательно, фотография, сделанная во время затмения, подтвердила, что свет звезды, проходящий близко к Солнцу, искривился, что и породило несовпадение с ночными снимками. Предсказание Эйнштейна подтвердилось и попало в заголовки новостей по всему миру. Именно в этот момент он стал суперзвездой.

Искривление света имеет важные последствия для времени. Вдали от гравитационного поля свет движется по прямой линии, и нужно всего несколько наносекунд, чтобы он добрался от лампочки на одной стене МКС до картинки на другой. Но если мы разместим МКС на орбите вокруг черной дыры, то сильное гравитационное поле искривит свет. Изогнутые пути длиннее прямых, поэтому свету потребуется немного больше времени, чтобы пройти путь от одной стены к другой. Это означает, что событие длится дольше, если гравитация больше, а поэтому гравитация должна замедлять время.

Чем сильнее гравитационное поле, тем сильнее искривляется свет и тем больше замедляется время. Вот почему Джеймс Кэмерон смог совершить прыжок в будущее, нырнув на дно Марианского желоба. Гравитационное поле Земли там сильнее, хотя и ненамного, поэтому часы идут медленнее. Обратное тоже верно. Поднимитесь высоко — и гравитационное поле немного ослабеет, заставляя часы идти быстрее. Секунда, проведенная на вершине Эвереста, примерно на триллионную долю длиннее секунды на уровне моря. Астронавты «Аполлона-17» после своего полета (двенадцать с половиной суток, включая три дня на Луне) испытали рекордное замедление времени[15], вернувшись назад во времени примерно на миллисекунду[16].

В 1959 году ученые непосредственно измерили влияние гравитации на время в известном эксперименте, который прошел в башне Джефферсоновской физической обсерватории в Гарвардском университете. Роберт Паунд и его ученик Глен Ребка направляли гамма-лучи (высокоэнергетические электромагнитные волны) с вершины башни высотой 22,6 метра в приемник, расположенный внизу. Их идея заключалась в том, чтобы использовать в качестве меры времени частоту гамма-лучей: часы «тикали» с каждым новым колебанием электромагнитной волны. Оказалось, что в нижней части башни частота волн была больше, чем наверху. Это означало, что одна секунда внизу соответствовала большему количеству колебаний волны, чем секунда наверху. Вывод был однозначен: значение секунды должно оказаться разным на разных концах башни. Секунда внизу содержала большее количество колебаний, поэтому она должна быть длиннее. Как и предсказывал Эйнштейн, время у подножия башни текло медленнее, чем наверху.

Способность гравитации искривлять свет и замедлять время означает, что ядро Земли примерно на два с половиной года моложе ее поверхности[17]. Но как гравитация делает это, если на самом деле она — обман? Как она вызывает искривление света? Истина в том, что она вовсе его не вызывает. Свет всегда проходит через пространство по прямой линии, а искривляется само пространство. Чтобы представить, что происходит, возьмите апельсин из вазы с фруктами. Отметьте две точки на поверхности фрукта достаточно далеко друг от друга, а затем нарисуйте кратчайший путь между ними. Если вы не совсем уверены, какой путь кратчайший, представьте, что эти точки находятся на «экваторе» апельсина, а затем проведите линию вдоль этого «экватора». Теперь аккуратно очистите апельсин, чтобы его кожура осталась единым куском. Расправьте кожуру на столе. Какую форму теперь имеет линия, которую вы нарисовали? Она изогнута, верно? Это очень странно, потому что кратчайшее расстояние между двумя точками вроде бы должно быть прямой линией; однако оказывается, что это справедливо только для плоской поверхности. На искривленной же кратчайшие пути искривлены — точно так, как линия, нарисованная вами на апельсине. Именно так и двигается свет. Он следует по кратчайшему пути в пространстве, но поскольку пространство искривлено, то и путь искривлен. Если вы когда-либо летали на большие расстояния из Лондона в Нью-Йорк и смотрели на карту полета, то замечали, что самолет летит по странной кривой траектории, проходящей через канадскую Арктику. Причина в том, что авиакомпания рассчитала кратчайший путь, а он изогнут, как и поверхность Земли.

Конечно, на самом деле искривлена геометрия пространства-времени. Минковский предложил, как измерять расстояния в плоской геометрии пространства-времени, но, когда оно искривляется, меры для расстояний сплющиваются и сжимаются, растягиваются и вытягиваются. Что вызывает это сплющивание и сдавливание? Материя. Вы. Солнце. Земля. Все, что имеет массу, энергию или импульс, заставляет пространство-время искривляться и искажаться. Представьте лист резины, который растянут и имеет вид плоскости. Бросьте на него тяжелый камень, и лист прогнется. Это хорошая аналогия того, что материя делает с пространством-временем.

Свет будет двигаться в этом искривленном пространстве-времени по кратчайшему пути. Он следует по особому короткому пути — настолько короткому, что его длина в пространстве-времени равна нулю. Вспомните, что именно это делает свет особенным, и это остается верным, когда пространство-время искривляется. Эти пути света называются нулевыми геодезическими. А как насчет более тяжелых вещей, например планет или звезд? Что они делают в пространстве-времени? Тоже следуют по кратчайшим доступным для них путям — аналогам прямых линий. Их пути не совпадают с путями световых лучей, потому что они перемещаются не так быстро, но в пространстве-времени они выбирают наиболее экономичный маршрут из числа тех, что им доступен. Такие пути известны как времениподобные геодезические. В искривленном пространстве-времени они искривлены. В реальности они могут выглядеть очень искривленными. Траектория Земли настолько искривлена, что зацикливается и образует эллипс, по которому двигается наша планета в своем ежегодном путешествии вокруг Солнца. На самом деле она следует по времениподобной геодезической — прямой линии, проходящей через сильно искривленное пространство-время, которое создано гравитирующим Солнцем.

Вам может показаться, что я прибегаю к слишком большой поэтической вольности, описывая эти изогнутые пути как прямые линии, когда они — явно — не прямые. Но на самом деле я выражаюсь более буквально, чем вы, вероятно, думаете. Оказывается, интересующая нас геометрия пространства-времени всегда выглядит плоской при увеличении масштаба. Это немного похоже на то, как поверхность нашей планеты кажется сферической, когда вы смотрите на нее из космоса; однако, стоя на земле, можно решить, что она плоская. Разумеется, она плоская в хорошем приближении, пока вы работаете с увеличенным масштабом, и то же справедливо для пространства-времени. Увеличьте масштаб — и даже самая искривленная геометрия будет выглядеть точно так же, как пространство-время, описанное Минковским. Благодаря этой способности увеличивать масштаб и открывать пространство-время Минковского мы можем покончить с гравитацией, по крайней мере в достаточно небольшом объеме. Именно это происходило, когда вы прыгали с небоскреба Бурдж-Халифа. Конечно, Земля создает искривленное пространство-время, однако, спрыгнув с самого высокого здания в мире в телефонной будке, вы обнаружите, что увеличиваете масштаб и вовсе избавляетесь от гравитации, по крайней мере в очень хорошем приближении.

Эти кратчайшие пути — времениподобные геодезические — одинаковы, кто бы или что бы ни двигалось по ним. Молоток или перо — неважно: оба будут следовать времениподобной геодезической и путешествовать в пространстве-времени со скоростью света. Оба объекта падают в точности одинаково, как и предсказывал Галилей. Но только Эйнштейн объяснил, почему это происходит.

Теория Эйнштейна раз за разом торжествовала: ее диковинные предсказания подтверждались еще более диковинными экспериментами — от искривления света и амбициозной послевоенной экспедиции Эддингтона на остров Сан-Томе и Принсипи до гравитационного замедления времени и эксперимента с гамма-лучами, проведенного Паундом и Ребкой. Еще один важный метод проверки эйнштейновской теории дают орбиты планет, и примечательнее всего здесь траектория движения Меркурия. Хотя его орбита эллиптична, сам эллипс двигается, прецессирует, ежегодно чуть-чуть меняя свое положение. О таком неустойчивом перемещении Меркурия предупреждает даже ньютоновская теория гравитации (из-за гравитационных эффектов других планет), хотя предсказанные ею величины не соответствуют действительности. Когда французский математик Урбен Леверье заметил это, он предположил, что между Меркурием и Солнцем находится еще одна планета — невидимый темный Вулкан, который влияет на движение Меркурия. Согласно расчетам Леверье, гравитации Вулкана было бы достаточно, чтобы дать орбите Меркурия тот толчок, что необходим для ее непрерывного изменения. На предсказаниях такого рода Леверье построил карьеру: в августе 1846 года он предсказал существование планеты Нептун, исследуя изменения орбиты Урана[18]. Буквально на следующий день после получения письма с расчетами два немецких астронома Иоганн Галле и Генрих д’Арре обнаружили Нептун на расстоянии примерно одного градуса от местоположения, предсказанного Леверье[19]. А вот Вулкан так никогда и не нашли, несмотря на несколько ложных тревог. Вулкана в реальности не существует, а нестабильность орбиты Меркурия можно объяснить поправками, вытекающими из теории Эйнштейна. Меркурий больше других планет чувствителен к ним, потому что находится ближе всего к Солнцу.

Эта предостерегающая история о противоположных судьбах Нептуна и Вулкана эхом отзывается и в XXI веке. Сегодня мы обсуждаем необходимость темной материи и темной энергии, чтобы привести нашу теорию в соответствие с реальными космологическими наблюдениями. Высказано предположение, что они не более реальны, чем Вулкан, и то, что мы видим, объясняется какими-то поправками, вытекающими из еще более новой теории гравитации — усовершенствованной теории Эйнштейна, касающейся астрофизики и космологии. Хотя эта идея обрела популярность на рубеже тысячелетий, недавно она заглохла после еще одного подарка для первоначальной теории Эйнштейна — открытия гравитационных волн в 2015 году. Эйнштейн предсказывал, что пространство-время — динамичный монстр, что по нему должна пробегать рябь — гравитационные волны, определенным образом искажающие форму времени и пространства. Существуют альтернативные теории, которые предсказывают волны, искажающие пространство-время иначе, но те волны, которые мы измерили, полностью совпадают с исходным предсказанием Эйнштейна. Если Солнце волшебным образом пропадет, нам сообщит об этом именно гравитационная волна — точнее, пространственно-временное цунами. Эта волна пройдет через Солнечную систему со скоростью света, разрывая гравитационное поле Солнца, и это станет последним апокалиптическим подтверждением торжества Эйнштейна над Ньютоном.

Если Усэйн Болт стал пределом относительности в мире людей, апогеем нашей физической способности игр со временем, то что эквивалентно гравитации? Где она искажает время до неузнаваемости? Ответ находится в «украшенном темном источнике бесконечного творения».

Он находится в Повехи.

Взгляд в бездну

Повехи. Это слово взято из «Кумилипо» — древней гавайской песни, описывающей сотворение мира. Его можно примерно перевести как «украшенный темный источник бесконечного творения». На языке маори оно просто означает «ужас». Повехи — монстр, ужасающий левиафан, скрывающийся в ядре Мессье 87 — сверхгигантской галактики в созвездии Девы. Жители Земли впервые увидели его в апреле 2019 года.

^{Изображение Повехи, полученное в проекте Event Horizon Telescope («Телескоп горизонта событий»)}

Поразительное изображение Повехи создала система Event Horizon Telescope, состоящая из восьми наземных радиообсерваторий, стратегически расположенных по всему миру. Если учесть размер и расстояние до источника, достижение было выдающимся. Представьте, что вы сидите в парижском кафе и с помощью телескопа пытаетесь прочесть газету в Нью-Йорке. Именно это требовалось, чтобы получить удивительное изображение с такими великолепными деталями.

Но что это за ужас, что за темный источник? Повехи — черная дыра гигантских размеров, в миллиарды раз массивнее Солнца. Это гравитация, доведенная до ужасающего предела. Мы уже видели, как свет искривляется под действием гравитации. Что происходит, когда вы усиливаете гравитационное поле, когда вы все больше искривляете пространство-время? Вы создаете тюрьму. Свет искривляется до такой степени, что оказывается в ловушке, он не может убежать; но если не может убежать свет, то не убежит ничто. Повехи — космическая темница, неумолимый ад, тюрьма для забытых.

Первым человеком, додумавшимся до таких ужасов, был английский священник. В ноябре 1783 года преподобный Джон Мичелл предположил, что могут существовать темные звезды — огромные астрофизические объекты, в пятьсот раз превышающие по размерам Солнце, гравитационное притяжение которых настолько велико, что даже свет не может от них вырваться[20]. Для того времени идея была увлекательной, хотя вскоре о ней забыли. Причина в том, что она базировалась на корпускулярной теории, согласно которой свет состоит из частиц, а после экспериментов Томаса Юнга на рубеже XIX века эта теория уступила место волновой модели света. Хотя работу Мичелла о черных дырах игнорировали почти два века, другие его труды снискали большее признание. Он был даже провозглашен отцом сейсмологии: его работа о разрушительном землетрясении и цунами, от которых в 1755 году пострадал Лиссабон, содержала идею, что землетрясение произошло из-за разломов земной коры, а не из-за атмосферных возмущений.

Сегодня большинство ученых считают, что черные дыры действительно существуют. Как правило, они образуются, когда у какой-то достаточно крупной звезды — как минимум в двадцать раз тяжелее Солнца — заканчивается топливо. Звезды получают энергию от ядерного синтеза, соединяя ядра атомов в своем ядре — печи, где постоянно взрываются термоядерные бомбы. Эта сила не дает звезде сколлапсировать под собственным весом: направленное наружу тепловое давление противодействует силе гравитации. Однако этот процесс не длится вечно. Как только звезда создает в своем ядре слишком много железа, процессы синтеза становятся неэффективными и она больше не может удерживать собственный вес. Наступает смерть звезды. Гравитация быстро начинает побеждать, сдавливая ее, и удавка становится все туже и туже. А затем взрыв! Звезда дает отпор, наносит резкий ответный удар безжалостной атаке гравитации. Борьбу ведут нейтроны — частицы в ядре звезды, яростно отталкивающие друг друга из-за сильного взаимодействия всякий раз, когда их прижимают слишком близко друг к другу. Внешние слои материи падают внутрь, ударяются о неподвижное ядро нейтронов и отскакивают. В одно мгновение волна давления пробивается к поверхности звезды, и она взрывается. Сверхновая, катастрофическое событие, ненадолго затмевающее всю галактику.

Что останется? Вероятнее всего, это будет нейтронная звезда — объект, плотность которого так велика, что чайная ложка его вещества будет весить столько же, сколько гора на Земле. Если общая масса нейтронной звезды не превысит примерно три массы Солнца, то у нее есть шанс на выживание. Чуть тяжелее — и гравитационная удавка снова начнет затягиваться. Ничего не смогут сделать и нейтроны. Ничто не сможет ничего сделать. Коллапс становится неудержимым. В конце концов звезда оказывается настолько плотной, что свет больше не может выйти наружу. Все, что когда-то было звездой, скрыто за горизонтом событий — люком в космическую темницу, сфероидальной поверхностью, после пересечения которой нет возврата.

Примерно одна звезда из тысячи достаточно тяжела, чтобы закончить свою жизнь под воздействием гравитации. Такие черные дыры массой со звезду есть повсюду, они разбросаны по всей галактике; это мрачные остатки самых больших и мощных звезд, когда-либо существовавших. Однако Повехи — это нечто большее. Черные дыры, появившиеся в результате смерти звезды, обычно имеют массу в 5–10 масс Солнца, а масса Повехи — это 6,5 млрд Солнц. Этот колосс — сверхмассивная черная дыра, которая находится в ядре огромной галактики M 87, удаленной от нас более чем на 50 млн световых лет. Повехи затмевает нашего собственного монстра: в центре нашей галактики Млечный Путь находится черная дыра массой 4 млн солнечных масс, которую называют Стрелец А*. Считается, что большинство галактик привязано к сверхмассивной черной дыре в их центре. Галактика 0402+379 содержит две такие черные дыры, — вероятно, это результат столкновения двух исходных галактик. В ядре 0402+379 должны бушевать цунами гравитационных волн, разрывающих пространство-время, пока два эти чудовища борются за верховенство. Сейчас мы не вполне понимаем, как появилась Повехи или любая другая из таких громад. Возможно, это прожорливые остатки гигантских звезд: когда-то эти черные дыры имели массу звезды, а потом выросли до гигантских размеров, миллионы лет питаясь всей материей, которая осмеливалась подойти к ним слишком близко.

Черную дыру определяет существование горизонта событий. Чтобы оставаться неподвижным на его поверхности, вам надо двигаться со скоростью света. Если вы приблизитесь к горизонту событий у черной дыры с массой звезды, это станет фатальным. В каком-то смысле это странно: вспомните, что гравитация — обман и мы можем избавиться от нее, забравшись в затемненную телефонную будку и упав (хоть с небоскреба Бурдж-Халифа, хоть к горизонту событий черной дыры). Проблема в том, что область, в которой мы можем от нее избавиться, — размер телефонной будки, — становится все меньше по мере того, как гравитационное поле усиливается, а пространство-время все больше искривляется. За пределами нашей будки есть опасные перепады гравитационного напряжения — приливы гравитации, которые нельзя игнорировать. Для черной дыры массой со звезду горизонт находится слишком близко ко дну гравитационного колодца, и приливы гравитации разорвут вас, как только вы подойдете слишком близко. С другой стороны, для сверхгигантской черной дыры вроде Повехи дно колодца находится дальше, поэтому прохождение через горизонт ничем не примечательно. Но как только вы переступите этот порог, ваши дни сочтены. Буквально. Время закончится. В центре черной дыры находится сингулярность — место, где пространство-время прикасается к бесконечности, где гравитационное поле неограниченно растет. Сингулярность — это не конец пространства, а конец времени. Как только вы пересечете горизонт событий, ваша траектория в пространстве-времени приведет вас в эту точку — в место, где не существует завтра, где нет будущего, даже в принципе. Когда вы приближаетесь к этому Армагеддону, гравитационные напряжения — эти чудовищные приливы — растягивают вас, как спагетти, атомы в вашем теле разделяются, их ядра разрываются на протоны и нейтроны, а те — на составляющие их кварки и глюоны. Какое бы сознание ни оставалось, оно будет стремиться к этой сингулярности, сострадательной неизбежности.

Однако сторонние наблюдатели, смотрящие издалека, как вы падаете в черную дыру, увидят совсем другую картину. Сначала они обнаружат, как вы ускоряетесь в сторону забвения, а если бы они могли как-то посмотреть на ваши субъективные часы у вас на запястье, они увидели бы, что эти часы замедляются все больше — по мере того как вы все глубже погружаетесь в гравитационный колодец. Пока вы приближались к горизонту событий, они (и вы) замедлились вплоть до полной остановки. Вы как будто застыли во времени и пространстве, украсив собой горизонт и став постоянным напоминанием о том, что может случиться, если вы подойдете слишком близко. Это вовсе не значит, что вы на самом деле не попадете в черную дыру; обязательно попадете, просто наблюдатели извне никогда этого не увидят, ведь каждый миг, который вы проводите на горизонте событий, для них будет вечностью.

Для объектов, находящихся подальше от горизонта, время не останавливается, но при достаточном приближении значительно замедляется. Если черная дыра достаточно быстро вращается, то могут существовать стабильные орбиты планет, которые подходят очень близко к горизонту событий. В принципе вы можете ненадолго побывать на них, замедлить время, а затем вернуться домой, оказавшись на целые годы в будущем. В фильме «Интерстеллар» экипаж космического корабля «Эндьюрэнс» испытал на себе всю силу гравитационного замедления времени, посетив планету Миллер, вращающуюся вокруг сверхмассивной черной дыры под названием Гаргантюа. Она вращается так быстро (всего на триллионную долю процента меньше теоретического максимума), что планета Миллер может приближаться к горизонту событий почти вплотную — на расстояние всего в несколько тысячных долей процента от радиуса горизонта[21]. Разведывательная группа находится на планете чуть более трех часов, но после возвращения герои обнаруживают, что их коллега, оставшийся на борту «Эндьюрэнса», постарел аж на двадцать три года. Нужно сказать, что черные дыры с таким моментом вращения невероятно редки (если они вообще существуют), поскольку есть природные механизмы, не дающие моменту увеличиться до уровня выше 99,8 процента от максимального. Это означает, что орбиты планет не могут располагаться настолько близко к горизонту, поэтому эффект замедления времени будет слабее. Вращательный момент Повехи вполне может оказаться примерно на уровне 99,8 процента. Три часа, проведенные на какой-нибудь планете, вращающейся близко к этой настоящей черной дыре, равнялись бы 32 часам и 24 минутам для тех, кто ждет на корабле-базе. Это не совсем «по-голливудски», зато Повехи реальна, мы ее видели, и, возможно, некоторые из ее планет населены существами, жизнь которых течет почти в одиннадцать раз медленнее по сравнению с нашим бешеным существованием на Земле.

Не стоит заблуждаться: изображение Повехи — убедительное доказательство существования черных дыр в природе, но не окончательное. Ведь мы видим не сам горизонт событий, а тень, которая в два с половиной раза больше. Несмотря на замечательные и впечатляющие изображения, полученные в проекте Event Horizon, самые убедительные доказательства существования черных дыр дают гравитационные волны.

14 сентября 2015 года ученые из LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory — Лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория) впервые обнаружили эту крохотную рябь на ткани пространства-времени. Система LIGO использует две обсерватории: выведенный из эксплуатации ядерный производственный комплекс в Хэнфорде и обсерваторию в кишащих аллигаторами болотах города Ливингстон. Эта мельчайшая рябь растянула и сжала четырехкилометровые рукава детекторов менее чем на ширину протона — таков был признак бурного слияния двух черных дыр массой в 36 и 29 солнечных масс, произошедшего где-то далеко в наблюдаемой Вселенной. Энергия, выделившаяся при слиянии, впечатляет: она эквивалентна массе трех Солнц или 1034 бомб, сброшенных на Хиросиму, и это взрывное пространственно-временное цунами сминает и растягивает пространство. Но, возможно, такую волну могло произвести какое-то другое событие или какой-нибудь иной экзотический компактный объект, не являющийся черной дырой? В момент слияния два объекта находились всего в 350 километрах друг от друга, а совокупная масса 65 Солнц втискивалась в область, менее чем вдвое превышающую размер предполагаемого горизонта событий. Трудно вообразить, что это была не пара черных дыр, стремящихся по спирали к последнему объятию, а что-то иное.

Число 1,000000000000000858 поначалу не казалось большим, но его оказалось достаточно, чтобы открыть дверь в незнакомый мир. Когда Усэйн Болт пробился к этому мировому рекорду замедления времени, он коснулся грани относительности. Он побудил нас заглянуть в мир физики, далекий от повседневной интуиции, где беговые дорожки сжимаются, а время замедляется. В самом крайнем проявлении это физика черных дыр, где время останавливается для несчастной жертвы, упавшей в горизонт событий. Нам посчастливилось жить в беспрецедентную эпоху открытия черных дыр: мы можем видеть темную тень, отбрасываемую гигантской дырой Повехи в сердце чудовищной галактики; мы можем слышать, как эти левиафаны сталкиваются, а гравитационные волны грохочут в пространстве-времени подобно релятивистскому раскату грома, сигнализирующего о свадьбе небесных богов. Физика этих богов предполагает призрачную истину о нашей физической реальности — голографическую истину, Вселенную, заключенную в голограмме. Именно эту историю мы продолжим рассказывать в следующих главах, исследуя идеи энтропии, хранительницы секретов, и квантовой механики, правящей в субатомном мире. Это история, которую можно рассказать с помощью чудовищных чисел, больше по величине и даже более интересных, чем число 1,000000000000000858.

В детстве мой двоюродный брат Джерард Грант любил рассказывать нам истории о привидениях. Он описывал, как видел в лунном свете призрак своего деда, молившийся перед статуей Девы Марии; или случай, когда он жил в кемпинге в отдаленной части Ирландии и, проснувшись, обнаружил, что бекон и яйца шипят на плитке возле его палатки. По его словам, тут действовал «маленький народец», лепреконы. Была даже байка о человеке, который предсказал собственную смерть. «Он увидел, как идет следом за самим собой, — рассказывал нам Джерард. — Доппельгангер, двойник. Точная копия. Тогда он понял, что умрет». И умер. Ну по крайней мере, так уверял Джерард.

Вы можете решить, что байкам о доппельгангерах не место в серьезной книге по физике и математике. Но когда дело доходит до рассказов о числовых колоссах, стоит ожидать неожиданного. Эта история начинается с гугола:

Это единица, за которой следует сто нулей, или десять в сотой степени. В гуголе есть десятичная элегантность, возможно даже декаданс, и мы можем смело считать его большим числом по любым земным меркам. Если бы вы выиграли в лотерею гугол фунтов стерлингов, вы могли бы купить себе роскошную яхту или даже целый флот роскошных яхт, авианосец или, если пожелаете, любое судно на всей планете. Вы сможете купить даже Соединенные Штаты Америки. США в целом, вероятно, обойдутся вам менее чем в 50 трлн долларов, что для гуголлионера пустяк. Вы сможете купить буквально все: каждую молекулу, каждый атом, каждую элементарную частицу в наблюдаемой Вселенной. Во Вселенной около 1080 частиц, так что с такой суммой вы можете позволить себе заплатить более квинтиллиона фунтов за каждую из них.

Легенда о гуголе начинается с Милтона Сиротты, девятилетнего племянника выдающегося математика Эдварда Казнера из Колумбийского университета. Казнер принадлежит к избранной группе людей, у которых есть собственное пространство-время, таких как Герман Минковский, Карл Шварцшильд и Рой Керр. Казнеровское пространство-время не похоже ни на одну Вселенную, которую вы когда-либо видели. Если бы вы оказались внутри него, то обнаружили бы, что одни измерения пространства расширяются, а другие сжимаются, как кусок теста, который растягивается в одну сторону и сжимается в другую. Впрочем, этот ужасающий мир не имеет ничего общего с гуголом. Когда Казнер придумывал это понятие, математик пытался передать необъятность бесконечности. Он подчеркивал, что даже те числа, которые кажутся очень большими, в любом практическом смысле исчезающе малы по сравнению с бесконечностью. Он решил проиллюстрировать этот факт, используя единицу с сотней нулей, но ему нужно было название для этой крохотной громадины. Десять дуотригинтиллионов или десять сексдециллиардов действительно не подходят. Предложение его племянника Милтона было гораздо лучше: гугол.

Забавно: число, которое превозносят за то, что оно такое большое, первоначально было введено, чтобы продемонстрировать, насколько оно мало. Вскоре Казнер и его племянник придумали еще одно фантастическое число: гуголплекс. Согласно первоначальному определению Милтона, гуголплекс — единица, за которой идут нули, «пока не устанешь». Чтобы выяснить, насколько велико оно в реальности, я провел эксперимент: за одну минуту я смог написать единицу со 135 нулями в довольно спокойном темпе, не устав, так что гуголплекс явно больше гугола. Чтобы немного подтолкнуть ситуацию, было бы неплохо нанять кого-нибудь, обладающего выносливостью Рэнди Гарднера. В середине 1960-х семнадцатилетний подросток Рэнди Гарднер бодрствовал 11 дней и 25 минут в рамках эксперимента по изучению последствий недосыпания. Если бы он потратил это время на написание гуголплекса, постоянно работая в моем неторопливом темпе, он бы написал единицу с 2 141 775 нулями. Это много, но в итоге Казнер потребовал менее расплывчатого определения гуголплекса и остановился на числе, далеко выходящем за рамки критериев Милтона. Казнер определил свое новое число как единицу, за которой следует гугол нулей. Вдумайтесь: гугол нулей! Десять в степени гугол! Хотя это число кажется поистине колоссальным, Казнер понимал, что существует бесконечное множество чисел, которые гораздо больше.

Например, гуголплексиан. Это единица, за которой следует гуголплекс нулей. Гуголплексиан также называют гуголплексплекс или гуголдуплекс. На деле эти последние термины намного мощнее, поскольку они позволяют нам использовать идею рекурсии для создания целой башни поистине огромных чисел. От гуголдуплекса можно перейти к гуголтриплексу (у которого за единицей следует гуголдуплекс нулей), а затем к гуголквадруплексу (с гуголтриплексом нулей) и т. д.[22]

Но мы увлеклись. Мы ограничимся гуголом и гуголплексом, потому что их уже более чем достаточно, чтобы пролить свет на следующий фрагмент любопытной физики и вернуться к предостерегающей истории о двойнике-доппельгангере. Дело в следующем: когда мы воображаем гуголианскую или даже гуголплексианскую Вселенную, мы можем начать задаваться вопросом, реальны ли двойники. Под гуголианской Вселенной я подразумеваю такую, которая имеет размер не менее гугола в любых земных единицах измерения расстояния, которые вы выберете (метры, дюймы, фарлонги — конкретная единица не имеет особого значения). Гуголплексианская Вселенная еще больше — ее поперечник составляет гуголплекс тех же земных единиц.

Идея космологических двойников восходит к физику из Массачусетского технологического института Максу Тегмарку[23]. Он вообразил огромную и великолепную Вселенную с далекими мирами, недоступными для любого телескопа, и оценил расстояние до вашей точной копии, имеющейся где-то далеко в космосе, — с точно такой же прической, тем же носом и даже теми же мыслями. Когда я впервые прочитал его заявление, я был настроен скептически. Не в обиду будет сказано, зачем Вселенной нужна еще одна ваша версия? Или моя? Или Джеймса Кордена?[24] А потом я сел и задумался. Заявление Тегмарка было следствием голографического мира, величайшей иллюзии во всей физике.

Я решил самостоятельно оценить это расстояние, используя определенные важные идеи, которые привели некоторых величайших физиков мира к голографической истине. Это история, которую мне нужно будет рассказать вам за две главы, между гуголом и гуголплексом. Она начинается с энтропии и того, что она может означать для человека и черной дыры размером с человека. Она уводит нас вглубь квантовой теории, волшебного компонента микроскопического мира, определяя, что в реальности означает, что вы — это вы, и ваш двойник — тоже вы. Моя итоговая оценка получилась чуть более консервативной, чем оценка Тегмарка, но они сравнимы. Я получил, что расстояние между вами и вашим двойником (в метрах, милях или любых других земных единицах, которые вы хотите использовать) находится где-то между двумя нашими громадинами: гуголом и гуголплексом. Иными словами, вы не найдете своего двойника в гуголианской Вселенной, но в гуголплексианской они почти наверняка будут существовать. Возможно, они даже читают точную копию этой книги.

Взгляните в зеркало. Что вы видите? Каждый раз, когда я смотрю на свое отражение, я обычно замечаю пятнышки седых волос или перекрещивающиеся морщинки, унаследованные от моей испанской бабушки — моей абуэлиты[25]. Они меня не волнуют. В конце концов, я физик-теоретик. Люди моей профессии не особо беспокоятся о своей внешности. Но я вижу ход времени, увеличение энтропии.

Если мы хотим оценить расстояние до вашего двойника, мы должны сначала понять, что такое энтропия, и осознать ужас ее увеличения. Энтропию часто понимают неправильно, легкомысленно считая синонимом беспорядка или разрушения. На самом деле ее лучше воспринимать как похитителя или тюремщика. Это ключ, который навсегда запирает энергию. И однажды сделает это с энергией всей Вселенной. Представьте себя на мгновение в викторианской Англии. Вы смотрите вниз на клубы черного дыма, поднимающиеся из труб какого-нибудь северного городка. Рабочие, как муравьи, ползут на фабрики; их дома, расположенные уступами, окутаны сатанинской дымкой смога. Именно тогда аппетит человечества впервые стал ненасытным: больше машин, больше энергии, больше мощности. Но это не может продолжаться вечно — и не потому, что планета умирает от последствий изменения климата, а из-за энтропии и ее угрожающего роста.

История энтропии началась на этих викторианских фабриках и в пытливом уме молодого французского военного инженера Сади Карно. Вдохновленный дымом и громом промышленной революции, Карно изобрел собственную область физики — термодинамику, посвященную динамике тепла и его связи с механической энергией. Всякий раз, когда вы сжигаете топливо, цель в том, чтобы преобразовать выделяющуюся теплоту во что-то полезное. Например, в двигателе вашего автомобиля топливо сгорает очень быстро, и получающиеся горячие газы толкают поршни. Затем это движение передается через коленчатый вал к колесам, и автомобиль едет. В начале XIX века никаких автомобилей не было, но идеи Карно вышли далеко за рамки поездов и фабрик того времени. Он понял, что ключ к двигателю — разница температур. Когда она существует, вы можете получить полезную механическую работу — например, перемещение поезда вперед или движущую силу машины. Однако тепло всегда будет переходить от горячего тела к холодному, пока разница температур не исчезнет, и на этом все закончится. Система прекратит работать, и вы уже не сможете подавать энергию к машинам.

Возможно, вы решите, что можно как-то перераспределить тепло (может быть, даже с помощью своей машины), чтобы снова что-нибудь нагреть или охладить в надежде на то, что разница температур опять появится и вы обеспечите какую-то полезную работу. Отчасти это верно, однако Карно сумел показать, что такое перераспределение всегда потребует вложить больше энергии, чем вы получите. Применительно к автомобилю эта идея означает следующее: вы преобразуете кинетическую энергию автомобиля обратно в топливо, и это избавляет вас от необходимости заправляться на бензоколонке. При достаточной ловкости вы могли бы вернуть часть этой энергии, но не столько, сколько вы изначально вложили, так что в итоге ваш двигатель заглохнет. Проблема в том, что в реальном мире вы всегда что-то теряете. Вы никогда не сможете полностью вернуть свои двигатели в исходное состояние, по крайней мере бесплатно. Знания такого рода были важны для викторианских предпринимателей, которые размышляли о потенциальной прибыли от своих заводов. Как мы увидим, они также будут важны для нас, если мы хотим понимать, как энтропийный психопат душит жизнь во всей Вселенной.

Трудно решить, что замечательнее всего в работе Карно: то, что он понял все это до того, как люди узнали о сохранении энергии (мы вернемся к этому чуть позже), или то, что он сделал это с помощью — так уж вышло — совершенно неправильной модели теплоты. Подобно многим своим современникам, он считал, что тепло — некий невесомый флюид, который называли тогда теплородом. На самом деле его не существует. В целом это не имело особого значения благодаря уникальной способности Карно отбрасывать детали и сосредоточиваться на том, что действительно важно. Через четыре года после публикации своих идей Карно уволился из армии, а через десять лет умер. В 36 лет его забрала эпидемия холеры, унесшая в 1832 году почти 20 000 жизней парижан. В соответствии с тогдашними правилами сожгли не только тело ученого, но и большую часть его вещей, включая несколько неопубликованных работ. Люди осознали гениальность Карно только через десятки лет, а содержание сожженных рукописей мы не узнаем уже никогда. Как мы увидим, такие трагедии повторятся много раз на протяжении всей истории термодинамики.

Одна из них — трагическая история Юлиуса фон Майера. После изучения медицины он в 1840 году отправился судовым врачом в экспедиции в Голландскую Ост-Индию. Если какой-нибудь моряк заболевал, Майер прибегал к кровопусканию: открывал вену пациента, чтобы попытаться облегчить симптомы. Обычная практика того времени привела Майера к поразительному открытию. Он заметил, что кровь в венах моряков была такой же ярко-красной, как и артериальная. А в более холодных краях, например в его родной Германии, венозная кровь, направляющаяся к легким, намного темнее и бархатистее, и причина тому — нехватка кислорода, который используется телом для поддержания тепла за счет медленного сжигания пищи. Майер понял: чтобы согреваться под тропическим солнцем, морякам достаточно сжигать меньше топлива, поэтому в их венах течет кровь с более высоким уровнем кислорода, чем можно было бы ожидать. Это означало эквивалентность тепла, выделяемого пищей в организме, и солнечного тепла. Майер пришел к выводу, что любое тепло эквивалентно энергии.

С помощью небольшого кровопускания судовой врач установил первый закон термодинамики: энергия никогда не создается и не уничтожается. Это вечный оборотень, который существует всегда, постоянно переходя из одной формы в другую. Он также определил, что теплота представляет собой форму энергии, в отличие от старой модели теплорода, которая вдохновляла Карно. Майер описал свои выводы, однако его работа не получила признания. Из-за отсутствия физического образования статьи немецкого медика отличались плохим изложением и изобиловали ошибками. Независимо к тем же выводам пришел английский физик Джеймс Джоуль, и благодаря большей научной строгости почти все заслуги в этом открытии приписали ему. Неприятности продолжались: вскоре после этого у Майера умерли двое детей, он впал в депрессию, попытался покончить жизнь самоубийством и закончил свои дни в психиатрической больнице — блестящий ученый, сломленный личной трагедией и пренебрежением коллег[26].

Ничто не может избежать проклятия термодинамики. В конце концов это коснется каждого из нас и каждой части Вселенной, в которой мы живем. Чтобы понять тот ужас, который ждет нас, предлагаю приготовить чашку чая. После заваривания вы видите разницу температур между чаем и окружающим воздухом. Согласно теории Карно, в этом случае можно установить крошечную тепловую машину, которая сумеет преобразовывать тепло в полезную механическую работу. Может, вы даже запустите какой-то крошечный моторчик. Разумеется, если вы отвлечетесь и оставите чай надолго, то тепло будет переходить от напитка к воздуху, пока они оба не дойдут до одинаковой температуры. В этом случае вы окажетесь вне игры: вся имеющаяся тепловая энергия внезапно станет бесполезной и недостижимой. Чтобы двигатель снова заработал, потребуется восстановить перепад температур, однако нельзя просто щелкнуть выключателем и ожидать, что он сам по себе появится. Для восстановления разности температур всегда нужны какие-то затраты энергии, и она должна поступать откуда-то еще. Проще всего вскипятить чайник и заварить еще одну чашку чая, но это не проходит даром.

Что-то забирает у нас энергию. Да, конечно, она не уничтожается, но уходит за пределы досягаемости. Кто или что ее забирает? Что заставляет тепло двигаться, когда мы надолго оставляем чашку горячего чая? Что стремится устранить разницу температур и помешать нам извлекать энергию, которую можно использовать?

Этот похититель — энтропия.

До этой идеи дошел немецкий физик и математик Рудольф Клаузиус, который пересмотрел работы Карно в свете открытий Джоуля и фон Майера. Энтропия — фактор переноса тепла, средство блокировки энергии. Клаузиус объявил ее свойством преобразований. Термин «энтропия» образован от греческого слова τροπή, означающего «обращение», «превращение», «поворотный момент», в частности в сражении. С помощью хитроумной математики Клаузиус вывел формулу, связывающую энтропию с энергией, которую она блокирует. Он обнаружил, что изменения энтропии растут вместе с изменениями энергии. Кроме того, энтропия оказывается наиболее чувствительной к ним при низких температурах, когда система находится в холодном состоянии[27].

Чтобы посмотреть на формулу Клаузиуса[28] в действии, представьте чайник, который получает энергию от термоядерного взрыва, и сорт чая, способный выдержать невероятно высокие температуры. Этот термоядерный чайник нагревает чай до 100 млн градусов Цельсия (выше температуры солнечного ядра). Что произойдет, когда миллионная часть миллиардной доли джоуля[29] тепла перейдет от чая в окружающий воздух? Поскольку напиток теряет часть своей тепловой энергии, то в соответствии с формулой Клаузиуса энтропия чая немного упадет — чуть менее чем на единицу. Когда воздух поглотит потерянную энергию, его энтропия возрастет. Вопрос: энтропия воздуха увеличится больше или меньше, чем на ту единицу, что была потеряна чаем? Ответ весьма примечателен. Окружающий воздух должен быть примерно в миллион раз холоднее такого сверхгорячего чая (иначе у вас серьезные проблемы). Поэтому его энтропия в миллион раз более восприимчива к изменениям энергии, — иными словами, она увеличится почти на миллион единиц. Возросшая энтропия воздуха значительно перевесит уменьшившуюся энтропию чая. Энтропия комбинированной системы — чая и воздуха — гарантированно возрастет.

Этот рост энтропии известен как второй закон термодинамики. Он говорит нам о том, что полная энтропия системы никогда не может уменьшаться. В некоторых случаях она остается на прежнем уровне, но в грубой хаотичной реальности физического мира она склонна повышаться, как это было с перегретой чашкой чая. Эта растущая энтропия становится причиной того, что ветряные мельницы и автомобильные двигатели всегда что-то теряют в окружающей среде. Второй закон можно применить даже к Вселенной в целом, и эта стрела времени, направленная из прошлого в будущее, показывает неуклонное возрастание энтропии. Именно это возрастание — эту стрелу, направленную в будущее, — я вижу, когда смотрю в зеркале на свои седые волосы. И это пугает меня — не из-за моего движения к старости, а из-за того, что все это означает для Вселенной. По мере того как энтропия Вселенной растет, она превращает все больше энергии в бесполезную передачу тепла. Она постепенно душит наши ресурсы, отнимая у нас способность выполнять работу, блокируя все больше полезной энергии, подобно смирительной рубашке, которая затягивается все сильнее. Будущее — постэнтропический кошмар, охваченный параличом. Нас ждет тепловая смерть, ждет Вселенная, в которой нет движения, действия.

Хотя Клаузиус объяснил, что делает энтропия, он не рассказал, что это такое. Так что же это? И какое отношение она может иметь к двойникам? Чтобы по-настоящему понять энтропию, нам нужно глубже заглянуть в двигатели промышленной революции, нужно посмотреть на газ внутри них.

По большей части газ — это ничто, обширное пространство пустоты, в котором беспорядочно перемещаются атомы и молекулы. Вы можете вообразить рой сердитых насекомых, запертых в пустом сарае, беспорядочно летающих от стены к стене слева направо и справа налево, сталкивающихся, падающих и снова поднимающихся. Чтобы представить, как газ становится все горячее, нужно вообразить, что эти мухи летают все быстрее. Под температурой понимается средняя кинетическая энергия, которая за счет движения есть у каждой молекулы (в нашем примере — у каждого насекомого). Время от времени при своем беспорядочном перемещении насекомые сталкиваются и упруго отлетают друг от друга. Они случайным образом отражаются от стен и предметов, и эта совокупная сила ощущается как давление. Если бы вы попали в этот сарай, они налетали бы на вас и вы бы ощущали их коллективное прикосновение. Если насекомых в сарае будет больше, они начнут налетать на вас чаще, касания станут сильнее, давление будет расти. Если мы начнем набивать ими сарай все больше, то такое давление раздавит вас и уничтожит. Как известно, именно такой ужас творится на Венере, где давление воздуха в девяносто раз выше, чем на Земле. Если вы окажетесь там, молекулы местного воздуха мгновенно раздавят вас насмерть.

Эту «насекомообразную» модель газа предложил в 1738 году Даниил Бернулли, швейцарский принц из аристократического Дома науки, в который входили его отец Иоганн и дядя Якоб — пионеры математического анализа и теории вероятностей[30]. Модель Бернулли позволила ему вывести из механики молекулярных столкновений закон Бойля, дающий соотношение между давлением и объемом газа. Несмотря на этот успех и солидное положение физика в научных кругах, другие ученые восприняли модель Бернулли не особо приветливо. В XVIII веке большинство физиков все еще придерживались модели теплорода, где температура определялась как плотность этого флюида. Они не понимали, зачем Бернулли представил теплоту как форму энергии, заключенной в микроскопическом движении мельчайших частиц. В конце концов, это происходило за целый век до Майера и его кровопускательных прозрений. Бернулли просто опередил свое время.

Чтобы еще больше усложнить жизнь Бернулли, его отец Иоганн попытался украсть работу сына, неправильно датировав собственную (более позднюю) рукопись, чтобы казалось, что она была написана раньше. Дух соперничества со стороны Иоганна и раньше портил отношения между ним и Даниилом. В 1733 году их самостоятельные работы поделили награду Парижской академии. Этот компромисс так разозлил Иоганна, что он порвал с сыном.

Когда теория теплорода умерла от руки Клаузиуса, блестящую идею Даниила Бернулли ждало возрождение. В частности, ею занимались трое ученых: Максвелл, маэстро электричества и магнетизма; тихий американец Джозайя Уиллард Гиббс; и в первую очередь — Людвиг Больцман, измученный гений, который в конце концов покончил с собой.

Клаузиус, Максвелл, Больцман, Гиббс и другие физики начали применять к модели Бернулли статистические методы. В конце концов, она описывала газ, где многочисленные беспорядочно движущиеся частицы отскакивали и прокладывали себе путь сквозь пустое пространство. Эти ученые показали, как из микроскопического хаоса могут возникать коллективные явления. Как и в случае гигантских стай скворцов, где не видны отдельные птицы, температура и давление в газе не определены в базовом микромире, однако проявляются на макроуровне благодаря силе больших чисел. Температуру можно воспринимать через среднюю кинетическую энергию молекул и то, как она изменяется вместе с энтропией. Но как насчет самой энтропии? Что это?

Энтропия — то, что учитывается[31].

Я говорю в буквальном смысле. Как объяснил Больцман, энтропия — на самом деле подсчет микросостояний. Микросостояние похоже на итоговую перепись для какого-нибудь макроскопического объекта; оно говорит вам все, что нужно знать о расположении всех атомов и молекул, где они находятся и что делают. Когда мы рассматриваем какой-то объем газа (или яйцо, или динозавра), мы знаем, что он состоит из множества мельчайших частиц. Каждый атом находится в той или иной точке, вращается определенным образом, двигается с определенной скоростью через короткие промежутки пространства, и таких атомов миллиарды и миллиарды. При этом сами атомы состоят из строительных блоков, имеющих, разумеется, собственные свойства. Чтобы полностью описать газ, яйцо или динозавра, вы можете создать (если сошли с ума) гигантский массив данных, перечислив положение, скорость, спин[32], любимый цвет, книги, музыку и любые иные характеристики для миллиардов строительных блоков в этой системе. Такой массив данных будет описывать конкретное микросостояние, предоставляя вам полную и точную информацию о рассматриваемом объекте.

Но дело вот в чем: даже если вы измените положение нескольких атомов здесь или там, никто этого не заметит. Яйцо будет выглядеть точно так же, объем газа сохранит ту же температуру, а динозавр по-прежнему останется трицератопсом, который должен был умереть 65 млн лет назад. Когда мы смотрим на крупные объекты, глупо беспокоиться обо всех мелочах. Энтропия — мера этой скрытой детальности. Она учитывает все микросостояния, которые поддерживают неизменность макроскопических свойств объекта. Со временем, когда яйцо или динозавр начинают распадаться, превращаясь в пыль, пропадает все больше их микроскопических деталей. Глядя на пыльные останки, все труднее отличить одно возможное микросостояние от другого. С тревожной неизбежностью количество микросостояний яйца или динозавра со временем увеличивается. Так растет энтропия: всегда возрастает и никогда не уменьшается.

Энтропия не обязательно связана с молекулами и атомами. Мы можем говорить об энтропии в любом контексте, пока существуют какие-то микросостояния и мы можем их подсчитать. Возьмем, например, программное обеспечение для распознавания лиц. Мой телефон признает меня, хотя я не всегда принимаю точно такое же выражение лица, как при регистрации. Он отбрасывает все лишние данные и считает множество чуть-чуть различающихся моих изображений одним и тем же объектом. Если бы вы сосчитали все изображения, то получили бы меру энтропии для моего лица.

Вот более количественный пример: в английской Премьер-лиге играют двадцать футбольных команд, которые в ходе сезона проводят с каждым из соперников по одному матчу дома и на выезде. В общей сложности получаем 20 × 19 = 380 матчей за сезон, каждый заканчивается одним из трех возможных исходов: победа дома, победа на выезде или ничья. Это означает, что существует 3380 разных вариантов футбольных сезонов. Однако многие из них приведут к одинаковой турнирной таблице, если нас интересует только количество очков, набранных чемпионами, занявшими второе место, и т. д. Мы можем думать о различных исходах как о микросостояниях и для любой итоговой таблицы подсчитать все способы, которые приводят к одному и тому же распределению очков. Это дало бы нам меру энтропии для Премьер-лиги.

Математика Премьер-лиги с двадцатью командами слишком сложна, чтобы разобраться в ней во всех подробностях, поэтому сократим число команд и представим урезанную лигу, в которой всего два соперника: «Ливерпуль» и «Манчестер Юнайтед». Ради математической простоты мы уберем все остальные команды, включая «Эвертон», «Арсенал», «Тоттенхэм Хотспур» и даже живущий на нефтяные деньги «Манчестер Сити». В сезоне такой ужатой Премьер-лиги состоятся всего две игры, а значит, возможны всего девять разных исходов. Если нас не беспокоит вопрос, кто на первом месте, а кто на втором, разные результаты матчей могут привести к одинаковой турнирной таблице. Поскольку за победу начисляется три очка, за ничью — одно, а за поражение — ноль, девять возможных исходов дадут четыре разные турнирные таблицы, как показано на следующем рисунке.

Посмотрим на таблицу A, где чемпион набирает шесть очков, а команда, занявшая второе место, не получает ни одного. Это можно реализовать двумя способами: «Ливерпуль» выиграет оба матча или проиграет оба. Иными словами, есть два разных микросостояния, которые дадут одну и ту же турнирную таблицу. Такой подсчет дает нам меру энтропии для таблицы А. Или, точнее, ее дает нам натуральный логарифм числа состояний.

Мне нужно быстренько объяснить, что такое логарифм. Логарифм числа X по основанию a (обозначается log_aX) — такое число b, что a^b = X, то есть степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось X. Например, если мы возьмем основание 10, то логарифм 100 по основанию 10 равен 2, поскольку 10² = 100, и мы можем написать log₁₀100 = 2. Если в качестве основания логарифма берут число Эйлера e ≈ 2,71828, то обычно используют обозначение ln и говорят о натуральных логарифмах. Например, lne² = 2, lne³ = 3, lne^0,12 = 0,12 и т. д. Натуральные логарифмы в науке используют гораздо чаще, чем десятичные.

Больцман предложил формулу для энтропии, использующую натуральный логарифм: S = lnW, где W — количество соответствующих микросостояний или количество способов. Вернемся к сокращенной Премьер-лиге. Энтропия таблиц A и C равна ln2 ≈ 0,693, энтропия таблицы B составляет ln4 ≈ 1,386, а энтропия таблицы D равна нулю (поскольку ln1 = 0). Точно так же мы считаем состояния и энтропию, когда говорим о яйцах или динозаврах. Единственная разница заключается в используемых числах. Количество микросостояний, которые могли бы описать съеденное на завтрак яйцо (или динозавра!), крайне велико; там понадобятся гуголы, в отличие от чисел 1, 2 и 4, которые обнаружились у нас для результатов двух команд в Премьер-лиге.

Итак, у нас определена энтропия для Премьер-лиги. Как увидеть ее вероятное увеличение со временем? Это довольно легко. Представьте, что сезон закончился таблицей А и, соответственно, энтропией ln2. Что произойдет в следующем сезоне? Если отдельные исходы матчей равновероятны, то с вероятностью ⁴/₉ энтропия останется на том же уровне ln2 (это случится, если в следующем сезоне реализуется таблица A или таблица C), с вероятностью ⁴/₉ энтропия увеличится до ln4 (если после сезона получится турнирная таблица B) и с вероятностью ¹/₃ она упадет до нуля (если получится таблица D). Таким образом, даже в нашем небольшом примере энтропия с большей вероятностью будет расти, чем падать.

Когда мы изменим числа до гугольных масштабов, необходимых для учета количества атомов в яйце или динозавре, эти преобладающие вероятности станут подавляющими. Увеличение энтропии уже не просто вероятно, а неизбежно. Представьте кубик льда при комнатной температуре. Эта система описывается микросостояниями для льда и со временем будет переходить в другие возможные микросостояния. Система совершает несколько микроскопических скачков между различными состояниями, и никто не удивится, обнаружив, что в итоге появится лужа. Есть небольшие шансы, что кубик останется льдом, но они ничтожны. При комнатной температуре мы получаем небольшое количество возможных ледяных микросостояний по сравнению с большим количеством водяных, а это просто означает, что лед с большой вероятностью растает.

С помощью этих статистических игр мы также можем понять законы термодинамики, в соответствии с которыми энергия попадает в плен к энтропии, а Вселенная движется к параличу. Ведь чем больше микросостояний вы накапливаете, тем больше растворяются ваши знания о яйце, динозавре или лужице. В каком-то смысле становится все труднее добыть полезную энергию, потому что вы не знаете точно, где она находится. Это немного напоминает попытку вора украсть драгоценный камень: если тот спрятан в большом особняке с сотнями комнат, то, скорее всего, на поиски уйдет очень много времени. Если особняк достаточно велик, а вор ищет наобум, он может никогда не найти драгоценность. То же и с энтропией, которая размывает энергию, из-за чего нам становится все труднее ее украсть. Больцман понял, что если вы пустите все на самотек, то беспорядок и невежество всегда будут возрастать. Посмотрите новости и послушайте политиков, и вы быстро поймете, что австрийский физик был прав.

Работа Больцмана поистине замечательна. Он не просто небрежно прыгал от микроскопического к макроскопическому, от лилипутов Лилипутии к великанам Бробдингнега. Он построил мост на прочном математическом фундаменте и четко показал, как по нему безопасно двигаться. Разумеется, как обычно, эти идеи физика встретили сопротивление, поскольку не все были готовы принять реальность атомов и преобладание пустого пространства. Справляться с таким сопротивлением Больцман оказался не готов. Блестящий ученый имел проблемы с психикой и отличался склонностью к резким перепадам настроения, маниакальному поведению и глубокой депрессии. Все закончилось еще одной трагедией для термодинамики: Больцман повесился в Дуино (недалеко от Триеста), когда его жена и дочь плавали в заливе. Он не оставил предсмертной записки. Неизвестно, привели ли к этому отчаянному поступку профессиональные проблемы ученого. Но мы точно знаем, что годом ранее Эйнштейн опубликовал работу, оставшуюся Больцману неизвестной, которая окончательно убедила научный мир в реальности атомов и соответствовала мосту, которым австрийский физик связал микро- и макромир[33].

Но вернемся к вам и вашему двойнику. Как яйцо, динозавр или определенный объем газа, вы тоже состоите из миллиардов атомов и молекул. Невозможно точно знать, где находятся все эти атомы и что они делают. В результате не существует одной схемы, одного массива данных, который мог бы идеально описать вас — человека, читающего эту книгу в своем макроскопическом мире. Таких массивов много. Разумеется, существует масса других микросостояний, которые не имеют ничего общего с вами — человеком, читающим эту книгу. Среди них найдутся те, которые описывают вас, но читающего журнал Hello! или корову, читающую журнал Hello! или газ из молекул при заданных температуре и давлении, и даже такие, которые описывают всего лишь пустое пространство. Вы занимаете (более или менее) кубический метр пространства, и для этого объема мы могли бы вообразить бесконечное количество различных сценариев — слегка различающихся вариантов вас, коров, газов, вакуумов. Поэтому должно существовать бесконечное количество микросостояний, которые в принципе могли бы описать любой конкретный кубический метр пространства. Верно?

Нет.

Это число конечно. Если бы оно было бесконечно, ничто не мешало бы энтропии в этом кубическом метре расти и расти, от гугола к гуголплексу, к числу TREE(3) и далее. Однако что-то ее останавливает: гравитация. Клаузиус учил нас, что энтропия и энергия растут совместно, а Эйнштейн объяснил, что энергия — это масса. Если вы попытаетесь втиснуть слишком много энтропии в кубический метр пространства, гравитация почувствует массу соответствующей энергии и призовет тюремщика. Неизбежно сформируется черная дыра.

Черные дыры — это энтропийный предел. Они скрывают свои микроскопические секреты лучше, чем кто-либо и что-либо. Это безликие незнакомцы, чью ужасную историю вы никогда не узнаете и даже не сможете узнать. Когда вы смотрите на них и пытаетесь что-то измерить, черные дыры сообщают о себе лишь три параметра: массу, заряд и спин. Все остальное остается скрытым. Представьте, что в глубине своего сада вы нашли маленькую черную дыру. Как узнать, из-за чего она образовалась? Предположим, на следующий день она все еще там же, но стала тяжелее, увеличив свою массу примерно на массу слона. Можете ли вы уверенно заявить, что дыра поглотила именно слона? Возможно, это было полное собрание сочинений Шекспира, у которого масса, заряд и спин совпадают с теми же характеристиками слона? Оба сценария привели бы к той же черной дыре с теми же тремя характеристиками, так откуда нам знать, какой из двух сценариев осуществился в реальности? Откуда знать истинную историю черной дыры?

Это умение черной дыры хранить тайны намекает на ее непревзойденную способность сохранять энтропию. Существует много причин для ее появления (будь то слоны или шекспировские тексты), и все же ни одна из них не закодирована в ее макроскопических характеристиках. Все теряется в сообществе возможных микросостояний, какими бы они ни были. Для любого данного объема пространства нет ничего более энтропийного, чем черная дыра, которая располагается в точности внутри этого объема, а ее горизонт событий касается внешнего края. Но если черные дыры — это энтропийный предел, то сколько в них имеется энтропии?

Для большинства макроскопических объектов (таких как яйца, люди или динозавры) энтропия растет с увеличением объема. Например, мама-трицератопс, которая в десять раз крупнее своего детеныша по всем трем измерениям, будет обладать примерно в 1000 раз большей энтропией. Это интуитивно понятно: взрослое животное занимает объем, который в 1000 раз больше и, следовательно, вмещает в 1000 раз больше атомов. Каждый атом дает несколько новых возможностей. Например, атом может вращаться в двух направлениях, и мы получаем две возможности для каждого атома. Для сотни новых атомов у нас 2100 вариантов, для миллиона — 21 000 000 вариантов и т. д. Ясно, что количество таких вариантов, микросостояний при увеличении количества атомов растет экспоненциально. Энтропия — логарифм этой величины, она избавляет от степени, так что она должна быть пропорциональна количеству атомов. Поэтому для мамы-трицератопса энтропия в 1000 раз больше, чем для ее детеныша.

Однако трицератопс — не такой уж энтропийный объект. Мы могли бы втиснуть в то же пространство миллиард трицератопсов, порождая давку ящеров с гораздо большей энтропией, но с тем же объемом. Яйца, люди, трицератопсы — ни один из этих объектов не находится на вершине энтропийной пищевой цепи. Там находятся черные дыры, и так уж вышло, что энтропия большой и маленькой черных дыр сильно отличается от энтропии мамы-трицератопса и ее детеныша. Энтропия черной дыры растет пропорционально площади горизонта событий, а не ее объему. Это противоречит интуиции, но только потому, что мы не привыкли иметь дело с объектами, которые настолько стиснуты сокрушительными объятиями гравитации.

В начале 1970-х израильско-американский физик Яаков Бекенштейн и его британский коллега Стивен Хокинг показали, что черная дыра с горизонтом событий площадью A_H имеет энтропию, определяемую формулой

Символ l_p означает планковскую длину[34]. Это самое маленькое расстояние в физике, имеющее смысл: около одной миллиардной от триллионной доли триллионной доли сантиметра. Эта длина соответствует масштабам, когда мы начинаем терять контроль над нашим пониманием гравитации, — здесь последняя начинает заигрывать с микромиром квантовой механики, где ткань пространства и времени становится нерезкой, размытой и, возможно, даже рвется.

Хокинг смог определить компоненты этой формулы с помощью определенных хитроумных термодинамических рассуждений, однако надлежащего микроскопического вывода этого уравнения по-прежнему не существует. А на деле нам больше всего хотелось бы взять типичную черную дыру и идентифицировать все микросостояния, соответствующие трем ее макроскопическим свойствам — массе, заряду и спину. Затем мы бы подсчитали эти микросостояния и проверили, будет ли получившаяся энтропия точно соответствовать формуле Бекенштейна и Хокинга. Никто еще не выяснил, как это сделать, — по крайней мере, для тех черных дыр, которые болтаются в центрах галактик[35]. Решение этой проблемы остается заветной мечтой для исследователей черных дыр.

Вернемся к тому кубометру пространства, который вы занимаете, а на самом деле к любому. Сколько микросостояний потребуется, чтобы быть абсолютно уверенными, что вы знаете всю его физику? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно рассмотреть все возможные микросостояния и довести дело до энтропийного предела. Иными словами, нужно взять самую большую черную дыру, которая может поместиться внутри этого объема. Площадь горизонта событий у нее будет около квадратного метра, поэтому по формуле Бекенштейна и Хокинга[36] получаем энтропию, равную примерно 10⁶⁹. Это соответствует примерно микросостояниям. Вот он, предел. Это самое большое количество микросостояний, которое вам когда-либо понадобится для описания произвольного кубического метра пространства.

Будучи амбициозным гугологом[37], я дам этому огромному, но конечному числу собственное имя: доппельгангион. Мы определили это число на стыке двух глав — между гуголом и гуголплексом. Вполне уместно: в конце концов, доппельгангион находится где-то между этими двумя колоссами. Он сильно возносится над гуголом, но не дотягивает до гуголплекса. Чтобы в полной мере оценить его значимость, нам придется продолжить поиски вашего двойника в следующей главе, изучая вопрос, что значит «быть вами» — вплоть до субатомного уровня.

Благодаря этому энтропийному пределу я знаю сейчас, что тот кубический метр, который занимаю, когда пишу эти слова, описывается по крайней мере одним из возможных микросостояний. Это также верно и для кубометра пространства, занимаемого принцем Гарри, Меган Маркл или газообразным инопланетянином из галактики Андромеды, замышляющим межгалактическую войну. И это правда о вас. Вы лучше, чем один на гугол, но не дотягиваете до одного на гуголплекс. Для любого из нас лучший вариант — оказаться одним на доппельгангион.

Возможно, я слишком добр. Из  микросостояний найдется сразу несколько, которые могут адекватно описать вас и ваши макроскопические черты — тот же нос, те же уши, то же довольное выражение лица и т. д. Предположительно ваш двойник использует такие же состояния. Если бы мы стремились к большей точности, можно было бы попытаться немного сократить число соответствующих микросостояний. Мы могли бы спрашивать о точном состоянии отдельных атомов в вашем организме или нейронах, инициирующих мысли в вашем мозге. Все зависит от того, насколько тщательно мы хотим определить вас и заодно вашего двойника. Насколько точным должно быть совпадение, чтобы говорить о двойнике? Достаточно ли вам одинаково выглядеть или также требуется, чтобы у вас были одинаковые мысли и одинаковое расположение атомов? Однако в тот момент, когда вы начинаете измерять состояния отдельных атомов, вы попадаете в микромир, в царство квантовой механики, то есть в тему следующей главы. Поиск вашего двойника превратился в квантовый квест. Если честно, так было всегда. Вселенная — квантовый объект. Вы — квантовый объект.

Как и ваш двойник-доппельгангер.

Вы немного перебрали, но это неважно. По вечерам в среду в вашем пабе проводят викторину, а сегодня задали вопрос об энтропии. Вы оказались единственным человеком, знавшим ответ, и поэтому сейчас вполне довольны собой. Когда вы, спотыкаясь, шагаете домой, вы видите прохожего на другой стороне улицы. Погодите. Он вроде на этой стороне. Или вообще посреди дороги? Вы не можете сказать. Что, черт возьми, происходит? Неужели вы действительно перепили?

Добро пожаловать в микромир, где каждый прохожий — чародей, где правит квантовая механика, а вы находитесь здесь, там, везде и нигде, затерявшись в вероятностном тумане. Возможно, вы удивлены, что я привел вас сюда, в самый крохотный из миров, когда наша конечная цель в том, чтобы вообразить гуголплекс — единицу, за которой следует гугол нулей, — и необъятность гуголплексианской Вселенной. Но у меня нет выбора. Если вы хотите должным образом оценить гуголплексианскую Вселенную и найти двойника, который живет в ней, вам необходимо понять квантовые законы. Они не похожи ни на что, к чему вы привыкли. Они странны и противоречат здравому смыслу. Но чтобы продолжить путешествие, нам нужно изучить новый образ жизни. Эта жизнь ниже уровня нашего обычного существования; она проходит в танце субатомных частиц, из которых состоим все мы. В танце, который делает вас вами (и вашего двойника — вами).

Квантовая механика выросла на обломках катастрофы. К концу XIX века физики открыто торжествовали. Они начали эру открытий и изобретений: электричество, магнетизм, свет, радио, атомы, молекулы и термодинамика. Их гений освещал улицы Лондона, Парижа и Нью-Йорка, приводил в движение двигатели промышленной революции и готовился изменить мир с помощью радио и телевидения. Однако не все шло гладко. В бочке меда имелась ложка дегтя, постыдный секрет, абсурд, порожденный лучшими и наиболее надежными идеями физики.

Ультрафиолетовая катастрофа.

Когда физик говорит об ультрафиолете, он просто имеет в виду то, что колеблется с очень высокой частотой. Например, вы, вероятно, слышали об ультрафиолетовом излучении. Это такое же электромагнитное излучение, как и видимый свет, но его частота больше, и мы его не видим. Ультрафиолетовая катастрофа проявилась, когда физики XIX века задумались о том, сколько энергии будет содержаться в высокочастотном излучении, поглощаемом или испускаемом определенными объектами. Вы можете ощутить эту катастрофу, не выходя из собственного дома[38]. Предположим, у вас на кухне есть духовка с идеальной изоляцией и вы поворачиваете ручку, выставляя температуру 180 °C. Вы задаетесь вопросом: сколько энергии имеется в духовке в тот момент, когда она достигнет нужной температуры? Чтобы выяснить это, загляните внутрь печи. Она кажется пустой, но вы знаете, что на самом деле это не так. Она заполнена волнами электромагнитного излучения, извивающимися, как морские змеи Максвелла из главы «1,000000000000000858». Вы замечаете, что некоторые змеи извиваются более яростно, чем другие, совершая больше колебаний между головой и хвостом. В этих колебаниях заключена энергия, и вы начинаете все это суммировать. С небольшой помощью привидения условного физика, жившего в конце Викторианской эпохи, вы можете вычислить общую энергию всех колебаний.

В ответе вы получите бесконечность.

Неудивительно, что викторианское привидение выглядит смущенным. Оно и должно смущаться — это же катастрофический ответ. Как оно могло так напортачить? Чтобы изучить происходящее, посмотрим на отдельную волну электромагнитного излучения. Мы можем представлять ее в виде пары морских змей-близнецов (электрической и магнитной), находящихся в духовке и извивающихся взад и вперед под прямым углом друг к другу, как показано на следующем рисунке.

Эта волна имеет две важные характеристики: частоту колебаний и амплитуду. Частота говорит нам, как быстро извиваются змеи, а амплитуда — величина их изгибов. Викторианское привидение рисует вам картину множества пар змей, извивающихся с одинаковой амплитудой, причем в полном диапазоне частот. Оно также сообщает вам то, что говорили ему Максвелл и Больцман: средняя энергия, хранящаяся в каждой паре змей, одинакова — она не зависит от частоты. На деле оно убеждает вас, что каждая пара несет около 6 зептоджоулей[39] энергии[40]; это в 100 трлн раз меньше, чем 200 калорий, которые вы получите от батончика Mars. Несмотря на это крошечное число, привидение говорит вам, что полный диапазон частот на самом деле бесконечен. Поэтому в печи находится бесконечное количество извивающихся змей, они наполняют печь бесконечным количеством энергии. Такая логика приводит вас к ультрафиолетовой катастрофе и бесконечно большому счету за электроэнергию.

Но паниковать пока не нужно. Сейчас мы знаем, как избежать этой катастрофы, благодаря гениальному немецкому физику Максу Планку. Как и многие герои этой книги, он пострадал в личной жизни: нацисты казнили его сына Эрвина за участие в неудавшемся покушении Клауса фон Штауффенберга на Адольфа Гитлера.

Планк понял, что не все змеи рождаются равными[41]: энергия, которую они несут, должна зависеть от того, как быстро они извиваются. Если он хочет избежать ультрафиолетовой катастрофы, то самые извивающиеся змеи должны в среднем нести все меньше энергии, чтобы компенсировать тот факт, что их бесконечно много. Планк придумал, как это должно происходить в реальности. Электромагнитные волны не могут обладать произвольным количеством энергии (как предполагало наше викторианское привидение). В энергетическом спектре должны существовать пропуски, которые становятся все больше по мере увеличения частоты, что уменьшает среднее значение. Планк также заметил, что для соответствия результатам экспериментов[42] эти промежутки должны быть очень точными. Разрешенные энергии могут появляться только четко определенными порциями (структурными элементами), и чем выше частота волны, тем больше такие порции.

Но Планк не называл их порциями. Он называл их квантами (от лат. quantum — «сколько»).

Чтобы лучше понять математику, стоящую за «порционной» идей Планка, представьте вариант «Игры в кальмара», где погрязшие в долгах участники рискуют жизнями, участвуя в детских играх в надежде получить колоссальный денежный приз. Предположим, что есть 511 игроков с разным уровнем долга.

• 1 игрок должен 8 млрд корейских вон.

• 2 игрока должны по 7 млрд вон.

• 4 игрока должны по 6 млрд вон.

• 8 игроков должны по 5 млрд вон.

• 16 игроков должны по 4 млрд вон.

• 32 игрока должны по 3 млрд вон.

• 64 игрока должны по 2 млрд вон.

• 128 игроков должны по 1 млрд вон.

• 256 игроков не имеют долгов.

В начале соревнования средний долг всех игроков составляет чуть меньше миллиарда вон (точнее, 982 387 476 вон). К концу первой игры жестко «устранили» всех, кто должен 1 млрд вон, 3 млрд вон, 5 млрд вон или 7 млрд вон. Игроков стало меньше, и их общая задолженность значительно сократилась: средний долг оставшихся снизился примерно до 657 млн вон на каждого. Пусть к концу второй игры выбывают задолжавшие 2 млрд вон и 6 млрд вон. Средний долг остальных игроков в этот момент составляет всего 264 млн вон на каждого. После каждой очередной игры участники выбывают, и в «спектре» долгов появляются всё большие пробелы, что снижает средний показатель задолженности.

Планк понял, что нечто подобное должно происходить и с волнами в вашей духовке. Когда вы проводите перепись энергии для волн определенной частоты, то обнаруживаете, что эти колебания поглощают энергию только порциями определенного размера. При этом для более высоких частот эти порции увеличиваются, а средняя энергия резко падает.

Планк вычислил, что для соответствия экспериментальным данным волны с частотой ω должны иметь энергии, кратные величине ħω, где ħ — очень маленькое число, так называемая постоянная Планка, меньше одной миллиардной от триллионной доли триллионной доли привычных единиц[43]. Как мы вскоре увидим, малость величины ħ и становится причиной того, что квантовый мир оставался скрытым от нас так долго.

В каком-то смысле очень странно, что у волн есть такая смирительная рубашка: законы природы вынуждают их выбирать определенный набор энергий в зависимости от их частоты. Например, по этим правилам волны с частотой 1033 герц могут иметь энергию только из целого числа джоулей: 1 джоуль, 2 джоуля, 3 джоуля и т. д., а другое количество энергии запрещено. Возникает вопрос: что произойдет, если я попробую скормить одной из этих волн половинку джоуля? Разве это не выведет волну за пределы допустимого диапазона и не вызовет революцию? Да, так бы и случилось, и поэтому волна просто откажется от еды! Она безмерно уважает закон, и базовые порции энергии (кванты) всегда останутся незыблемыми.

Эти порции ħω используют в качестве валюты постоянную Планка — примерно так же, как корейская вона присутствует в качестве валюты в «Игре в кальмара». Поскольку постоянная Планка очень мала (относительно наших повседневных единиц), нам потребовалось крайне много времени, чтобы вообще заметить существование таких порций. То же происходит и с деньгами: если вы торгуете исключительно товарами, которые стоят миллиарды вон, то не заметите разницу в одну вону. Сначала Планк рассматривал эти порции энергии и свою валюту как математическую диковину. Но оказалось, что его математические заклинания распахнули портал и обнаружили глубокие истины, касающиеся физического мира, как это случилось полвека назад с Максвеллом, изучавшим математику электричества и магнетизма. И все же Альберту Эйнштейну потребовалось мужество, чтобы пробраться через эту теорию и рассказать миру о том, что открыл Планк.

Чтобы правильно оценить его труды, нужно рассказать о небольшом эксперименте, в котором вы направляете луч ультрафиолета на цинковую пластину и металл начинает испускать электроны. В этом нет ничего особо странного. Ультрафиолетовый свет способен творить ужасные вещи, и я могу удостовериться в этом каждый раз, когда забываю нанести солнцезащитный крем. Странность в этом эксперименте заключается в том, что происходит, когда вы увеличиваете интенсивность света. Возможно, вы ожидаете, что электроны будут вылетать с большей скоростью, потому что в луче теперь больше энергии. Но этого не происходит. Да, вы получите больше электронов, однако скорость их вылета останется прежней. Единственный способ получить более быстрые электроны — увеличить частоту излучения. Например, рентгеновские лучи обладают более высокой частотой, чем ультрафиолетовые. Поэтому рентгеновский луч будет порождать более быстрые электроны, чем ультрафиолетовый, даже если использовать менее интенсивное рентгеновское излучение. Верно и обратное: если вы уменьшите частоту луча, электроны замедлятся, а если уменьшите до определенного предела, то они вообще перестанут испускаться. Например, если светить на цинковую пластинку видимым светом, электроны не появляются, потому что частота излучения слишком мала.

Это явление получило название фотоэффекта, и Эйнштейн дал объяснение необычным результатам, наблюдаемым в экспериментах. Шел 1905 год — его annus mirabilis, год чудес. Хотя в том же году ученый изложил специальную теорию относительности, он всегда считал свою работу, посвященную фотоэффекту, более революционной, бунтарской, противоречащей устоявшимся представлениям[44]. Мы можем понять суть этого бунта с помощью еще одной аналогии, пусть и алкогольной. Представьте, что вы в переполненном водочном баре, где сидит гугол посетителей, желающих выпить и ожидающих, пока их обслужат. Сейчас они трезвые, но после полулитра водки будут считаться пьяными и вышибалы вышвырнут их на улицу, где за развитием событий наблюдает Эйнштейн. В бар привозят водку — несколько тысяч миниатюрных бутылочек по 50 миллилитров. Посетители бара эгоистичны и друг с другом не делятся. Бармены распределяют бутылочки случайным образом, и из-за огромного количества клиентов большинство из них останется ни с чем. Некоторые посетители получат одну бутылочку, но маловероятно, что кому-то посчастливится добыть больше одной. В результате в баре не окажется ни одного человека, которому хватит водки, чтобы дойти до пьяного состояния, поэтому вышибалы никого не выставят за дверь. На следующий день в бар поступает миллиард 50-миллилитровых бутылочек, но ничто принципиально не меняется — все равно никто не получит достаточно водки, чтобы напиться и оказаться вышвырнутым на улицу. На третий день водочная компания решает повысить ставки. Она отказывается от миниатюрных сосудов и вместо них привозит в бар литровые бутылки. Этих бутылок несколько тысяч, и бармены снова распределяют их случайным образом. Через некоторое время Эйнштейн наконец замечает выставленных из бара людей. Они пьяны, и все без исключения держат в руке по литровой бутылке водки, наполовину опорожненной. На четвертый день компания снова использует литровые бутылки, но теперь их миллион. Эйнштейн видит, как на улицу вышвыривают гораздо больше пьяных, но каждый по-прежнему держит бутылку водки, опорожненную ровно наполовину.

Какое отношение к фотоэффекту имеют все эти жизненные радости? Эйнштейн осознал, что если свет делится на порции, как предположил Планк, то фотоэффект можно было бы легко объяснить с помощью нашей алкогольной аналогии. Вы можете считать бар металлической пластиной, посетителей — электронами, а доставку водки — лучом ультрафиолета. Если Планк прав, то свет обязательно доставляет энергию порциями определенного размера в зависимости от их частоты — точно так же, как водка всегда поставляется в 50-миллилитровых или литровых бутылках. Всякий раз, когда порция энергии попадает на цинковую пластину, 700 зептоджоулей уходят на то, чтобы выбить электрон, а весь остаток энергии идет на его ускорение. Поскольку размер порций фиксирован, остаток всегда одинаков, и поэтому электроны всегда летят с одинаковой скоростью. Если вы увеличите интенсивность луча, это принципиально ничего не изменит, а значит, на пластинку падает больше порций энергии, поэтому они выбивают больше электронов, но все эти частицы летят с той же скоростью, что и раньше. То же происходит и с водкой. Когда в бар привезли литровые бутылки, их количество уже не имело особого значения. Важно лишь то, что объема бутылки достаточно, чтобы перешагнуть полулитровый порог опьянения, и посетителя, добравшегося до этого порога, гарантированно вышвырнут за дверь с оставшейся половиной литра. Также становится понятно, почему электроны остаются на месте, когда на цинковую пластину падает видимый свет. Рассмотрим, например, синий свет: его кванты имеют энергию примерно 400 зептоджоулей, а этого недостаточно, чтобы выбить электрон.

Фотоэффект доказал, что свет состоит из частиц. Эти частицы (кванты видимого света) получили название фотонов. Фотонам предписано переносить строго определенное количество энергии. Они подобны муравью-рабочему, которому поручено нести конкретный лист конкретного размера. Это вызвало огромное беспокойство. Уже более ста лет, после новаторских экспериментов британского ученого-энциклопедиста Томаса Юнга, свет считали волной, а тут внезапно обнаружилось, что он ведет себя как поток частиц. Это все равно, как если бы вы однажды утром проснулись и услышали, что Грета Тунберг поддержала Дональда Трампа. О таком вы даже подумать не могли.

Юнг установил волновую природу света в классическом эксперименте. Он взял темный экран и прорезал в нем две щели очень близко друг к другу, а за ним поставил второй экран. Когда ученый направил луч света на первый экран, он обнаружил изображение на втором. Если свет — поток частиц, то на экране должна появиться непрерывная полоса света с максимальной интенсивностью посередине, непосредственно за двумя щелями. Здесь вы можете провести аналогию с градом пуль, выпущенных без разбора в сторону экрана. Проходя через узкие промежутки, они будут отклоняться и чаще попадать в середину экрана, чем в его края. Стоять в центре хуже всего, поскольку пули попадают с обоих направлений, — в отличие, скажем, от правого края, где вам будут угрожать только пули, прошедшие через правую щель. Однако в своем эксперименте Юнг не обнаружил такой «пулевой» картинки. Он увидел ряд светлых и темных полос, которые напоминали штрихкод на товарах из супермаркета.

^{Двухщелевой эксперимент Юнга}

Такая картина соответствует прохождению света одновременно через обе щели, подобно приливной волне, прорывающейся частями через смежные двери в прибрежной гостинице, а затем соединяющейся с собой с другой стороны. Темные полосы — это места, где гребень одной волны накладывается на впадину другой; при таком наложении волны ослабляются: результирующая амплитуда уменьшается. А вот светлые полосы — места, где волны складываются «созидательно», гребень с гребнем, в результате амплитуда их увеличивается и яркость экрана повышается. Появившаяся в эксперименте Юнга картина полос безошибочно указывала на то, что свет ведет себя как волна, а не как частица.

Но теперь фотоэффект, казалось, утверждал прямо противоположное.

Итак, что такое свет? Волна или частица?

Правда в том, что свет подобен идеальному театральному актеру. Он может менять свой костюм в зависимости от шоу. Когда продюсером становится Томас Юнг и на сцене ставится двухщелевой эксперимент, свет будет танцевать как волна. Когда постановкой шоу занимается фотоэлектрическая компания, свет будет танцевать как частица.

Возможно, вам кажется, что можно объяснить ситуацию, сказав, что фотоны — это частицы, а волнообразное поведение света — всего лишь макроскопический эффект, результат их собирания в «большие стаи». Ведь волны в реальности состоят из множества крохотных молекул воды, так что, возможно, когда у вас есть достаточно большая компания фотонов, они сговариваются вести себя подобно волне. В реальности компания фотонов — очень хороший способ представить себе обычный луч света. Но дело вот в чем: эксперимент Юнга приводит к тем же результатам, даже если вы снижаете интенсивность луча до совсем малого уровня — испускаете по фотону за раз. Каждый фотон попадает на экран в случайной точке, однако в конце концов все равно начинает появляться картинка штрихкода. Когда на сцене театра ставится двухщелевой эксперимент, даже одиночный фотон начинает танцевать, как волна. Это один из моих любимых фактов во всей физике: одиночная частица света действует как волна, почти как если бы она проходила через обе щели одновременно. Это абсолютный взрыв мозга. Это не имеет права быть правдой. Но это правда!

От этого факта никуда не деться: одиночный фотон может вести себя и как частица, и как волна, в зависимости от настроения. А как насчет того, что мы обычно считаем частицами, например электронов и протонов? Не могут ли они тоже быть волнами? Конечно, могут. Свет — не единственный актер на сцене; оказывается, материя более чем способна устроить точно такое же шоу. Когда два американских физика Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер пропустили электроны через пару щелей, те нарисовали картинку штрихкода на экране сзади, как и положено каждой уважающей себя волне.

К 1927 году, когда Дэвиссон и Джермер завершили свои эксперименты, эти результаты уже с нетерпением ожидали. Сцену подготовил более десяти лет назад самый знаменитый физик Новой Зеландии Эрнест Резерфорд, или, если называть его полным титулом, 1-й барон Резерфорд Нельсонский, кавалер Ордена Заслуг. Как следует из титула, Резерфорд был важным человеком — лауреатом Нобелевской премии и отцом ядерной физики. Еще до Первой мировой войны ученый провел эксперименты, которые установили, что атомы напоминают миниатюрную солнечную систему: электроны вращаются вокруг плотного центра, названного ядром. Широкое облако электронов несло отрицательный заряд, а ядро оказалось заряжено положительно. Наличие зарядов означало, что в динамике атомной Солнечной системы доминируют электромагнитные силы. Однако для Макса Планка модель Резерфорда не имела смысла: если электроны двигаются по орбите, то у них есть ускорение, а поэтому — согласно теории Максвелла — они должны излучать энергию и почти мгновенно обрушиваться на ядро. В результате атом должен превращаться в скучный нейтральный комочек. Реальные же атомы не имеют права на существование.

В Копенгагене эта проблема привлекла внимание бывшего футболиста по имени Нильс Бор. В подростковом возрасте он был вратарем датской команды «Академиск Болдклуб», а его брат Харальд играл там в полузащите. Харальд даже выступал за национальную сборную на Олимпийских играх[45], а вот Нильс решил сосредоточиться на физике и к 1913 году понял, как спасти атом.

Бор взял собственную валюту Планка, крошечную постоянную ħ, и выдвинул гипотезу, что электроны могут двигаться только по определенным орбитам, на которых они ничего не излучают. В частности, по этой причине орбиты не могут быть сколь угодно близкими к ядру. Бор вычислил, что в атоме водорода самая низкая из разрешенных орбит имеет радиус около пятидесяти триллионных долей метра. Радиус второй допустимой орбиты в четыре раза больше, следующей — в девять раз и т. д. Вы можете представить атом Бора в виде многоквартирного дома: первый этаж соответствует ядру, а на десятом (на расстоянии в девять этажей от первого) толпятся зомби. Если те окажутся на первом этаже, они выберутся на улицу и уничтожат весь город. Чтобы предотвратить катастрофу, власти перекрыли лестницы и перепрограммировали лифт, чтобы он останавливался только на определенных этажах. На десятом этаже лифт есть, но теперь он может останавливаться только на втором и пятом этажах (то есть на расстоянии в один и в четыре этажа от первого). Некоторые зомби натыкаются на лифт и попадают на другие уровни — иногда добираются до пятого этажа, а иногда и до второго. Но они никогда не попадут на первый этаж, потому что лифт там не останавливается. В результате город выживет. То же происходит и в атоме. Как только электрон достигает самого низкого из разрешенных уровней, рассчитанного с помощью собственной планковской валюты, ему запрещается опускаться ниже, поэтому атом может существовать.

Хотя Бор сформулировал правила, фактически он не объяснил, почему электрон должен им подчиняться, почему он может вращаться вокруг ядра только на определенном расстоянии. И здесь на сцене появляется молодой французский аристократ — Луи де Бройль, 7-й герцог Брольи. В 1924 году он защитил в Парижском университете докторскую диссертацию, где утверждал, что электроны на боровских орбитах можно воспринимать не как частицу, а как волну, образующую окружность, подобно изображению змея Уробороса, кусающего себя за хвост. В зависимости от импульса этого электрона соответствующая волна должна иметь четко определенную длину[46]. Длина волны — просто расстояние между соседними гребнями или впадинами в изгибах нашей змеи: у частиц с большим импульсом длина волны мала, а у частиц с малым импульсом — велика. Чтобы гребни и впадины аккуратно уложились в длину окружности, их должно оказаться целое число. Такое возможно только для окружностей строго определенных радиусов.

Ситуацию можно сравнить с группой людей, которые водят хоровод, то есть образуют круги из разного количества участников, держащих соседей за руки. В самом маленьком хороводе всего один малыш: он сцепил руки, держит сам себя. Далее идут два подростка: их руки вдвое длиннее, чем у малыша, и круг, который они образуют, больше в четыре раза (у двух человек вдвое больше рук, и они вдвое длиннее). Третье кольцо состоит из трех взрослых: их руки втрое длиннее рук малыша, поэтому кольцо в девять раз больше. Если бы труппа набрала гигантов с еще более длинными руками, которые вчетверо длиннее рук малыша, можно было бы продолжить и сделать круг из четырех человек. При этом каждый раз участники очередного хоровода, образовавшие круг, обнаруживают, что двигаются по окружности строго определенного радиуса. Ровно так же движутся и электроны в атоме.

Диссертация молодого де Бройля привлекла внимание Эйнштейна, который сразу же признал важность его идей. Де Бройль начал революцию. Появилась армия блестящих молодых физиков, готовых бросить вызов общепринятым знаниям, например: Вернер Гейзенберг, Эрвин Шредингер, Паскуаль Йордан и Поль Дирак. Одним из первых в бой отправился австрийский физик Шрёдингер. Его вдохновило услышанное на конференции небрежное замечание[47], что электрон как волна должен удовлетворять некому волновому уравнению. Чтобы решить эту проблему, он оставил свою жену дома на Рождество и отправился в домик на альпийский курорт Ароза в Швейцарии. Он прихватил копию диссертации де Бройля, а для компании — любовницу из Вены. Это были скандальные несколько недель, но к их концу Шрёдингер открыл одно из самых важных уравнений в физике[48].

Хотя Шрёдингер с помощью своего волнового уравнения смог воспроизвести правильную физику атома водорода, было не совсем ясно, что представляет собой эта волна. Шрёдингер использовал название «волновая функция» и был убежден, что она описывает распределение заряда электрона, словно он размазан по пространству. Но это не так. Хотя Дэвиссон и Джермер и зафиксировали волнообразную картину в своем двухщелевом эксперименте, та появилась только после того, как на экран попало большое количество электронов. А вот отдельный электрон всегда приземлялся в одном случайном месте — его собственный заряд никогда не разбивался и не распределялся в виде штрихкода, как пытался предположить Шрёдингер.

Суть происходящего понял Макс Борн (лауреат Нобелевской премии и дед актрисы и певицы Оливии Ньютон-Джон): волновая функция Шрёдингера — это волна вероятностей. Ее величина говорит вам, где может находиться электрон и насколько вероятно то, что он там находится[49]. Если бы вы стали его искать, то, скорее всего, обнаружили бы там, где вероятность максимальна, но никакой гарантии тут нет — он может оказаться где угодно, где эта волна есть. Пока вы не выполните какое-то измерение и не зафиксируете положение электрона, вы не можете знать, где он находится. Это определяется случаем.

Ситуация немного похожа на попытку выследить беглого преступника с помощью дешевого GPS-трекера. Вы не способны точно определить его местонахождение. В лучшем случае вы можете сказать, что он прячется где-то в городском торговом комплексе, возможно где-то в его середине, но вы не знаете наверняка. Истинное местоположение определяется случаем. В ваших силах расставить полицейских в стратегически выгодных точках вокруг торгового центра, однако вам неизвестно, кто из них на самом деле поймает беглеца. Вы узнаете, где находится преступник, только после того, как он будет пойман. Похоже, природа обрекла нас на использование дешевых GPS-трекеров. В двухщелевом опыте конечное положение отдельного электрона определяется случайностью, и только после того, как вы выполните много измерений и учтете много электронов, начнет проявляться закономерность, согласующаяся с волной вероятности. Последствия этого глубоки.

Детерминизм мертв.

Иными словами, прошлое не может полностью определять будущее. Мы знаем, что это справедливо для электрона в опыте Дэвиссона и Джермера: его судьба принципиально непознаваема. С определенной вероятностью он может оказаться в той или иной точке экрана, но никогда нельзя знать точно, где вы его найдете. Бог просто любит играть в кости. Природа — это игра, основанная на случае. Если вам не везет в любви, не отчаивайтесь, что ваша судьба — жить в одиночестве. Помните, что в микромире попросту нет такой вещи, как судьба.

Возможно, самое важное в этих волнах вероятности — то, как они накладываются друг на друга. Это справедливо для любой волны. Если вы плывете на корабле и бросите камень в воду, при падении он создаст небольшие круговые волны. Они накладываются на огромные волны, двигающиеся вверх и вниз от борта корабля. Такое наложение в физике называется суперпозицией. В двухщелевом эксперименте вы получаете волну вероятности для электрона, который проходит через левую щель, наложенную на волну вероятности для электрона, который проходит через правую щель. Конечный результат — волна, демократично сочетающая в себе две исходные, образуя красивую картинку штрихкода, которую мы видим на экране.

Теперь мы знаем, что, когда электрон падает на экран в двухщелевом опыте, он попадает туда, куда попал, с определенной вероятностью. Мы знаем, откуда электрон начал свое движение и где его закончил, но знаем ли мы, каким путем он двигался? Через какую щель он прошел — левую или правую? Мы не можем знать это наверняка и именно поэтому говорим о вероятностях, хотя здравый смысл заставляет уверенно предположить, что он прошел через ту или иную щель.

Ричард Фейнман не был в этом так уж уверен.

Фейнман был настоящей звездой физики — обаяние, привлекательная внешность и резкий нью-йоркский акцент. А еще он был гением. После Второй мировой войны Фейнман заявил, что если рассматривать электрон как волну, то можно считать, что он проходит через обе щели одновременно. И не потому, что он распределен в пространстве, как считал Шрёдингер. Он двигается куда более странно: буквально проходит и тем и другим путем.

И еще одним.

И еще одним.

На самом деле электрон движется всеми путями, которые вы можете себе вообразить. Он не просто выбирает самые проторенные дороги через обе щели. Он выбирает и бессмысленные пути — например, обходит вокруг самой дальней точки галактики Андромеды с нарушением ограничений на космическую скорость или зарывается в центр Земли, а потом выбирается обратно. Согласно Фейнману, в каком-то смысле электрон делает все это и еще много чего. Но вот что действительно важно: Фейнман показал, как присвоить определенное число каждому пути между двумя точками. Когда вы вычисляете среднее этих величин по всем различным путям, вы получаете волну вероятности для электрона, двигающегося между этими точками. Нет нужды конструировать электронную волну вручную — достаточно взять все возможные пути или, иными словами, все возможные истории и просуммировать их.

Это также относится и к вам, когда вы отправляетесь в магазин. Возможно, вы думаете, что шагаете прямо от дома до магазина, но это только один путь. На самом деле вы исследуете все возможные пути, в том числе и те, что уходят во все уголки Вселенной. Конечно, в вашем случае основной (абсолютно подавляющий) вклад в «сумму по всем историям» вносит смертельно скучный прямой путь из вашего дома в магазин. Это происходит потому, что макроскопический объект, подобный вам, состоит из несметного множества фрагментов, и все они обладают собственным квантовым поведением, как отдельный электрон или отдельный фотон. Но когда вы начинаете усреднять по всем этим взаимодействующим частям, проявляется совершенно прозаическая история повседневного существования, и квантовую размытость обнаружить гораздо труднее.

Полагаю, из-за всего этого вы сейчас чувствуете себя несколько неуверенно. Превосходно! Именно так и должно быть. Видите ли, неопределенность — это суть квантовой механики. Последняя просто развалится на миллион кусочков, если вы не примете принцип, который называется принципом неопределенности. Он утверждает, что вы не можете точно знать одновременно положение и импульс электрона или любой другой частицы. Это запрещено квантовой механикой.

Чтобы понять причину, представьте, что у вас есть микроскоп с высоким разрешением, который способен выделить отдельный электрон и определить, где он находится. Проблема в следующем: чтобы увидеть электрон, его нужно осветить. Однако пучок фотонов обладает определенным импульсом и при столкновении с электроном передаст ему часть этого импульса. Мы не знаем точно, какую именно. Чтобы уменьшить эту неопределенность, соприкосновение должно оказаться как можно более легким. Для этого прежде всего нужно максимально ослабить наш пучок — испускать всего по одному фотону за раз. Но даже такого смягчения недостаточно: нам также необходимо уменьшить импульс отдельных фотонов. А теперь вспомним, чему нас учил де Бройль: фотоны с малым импульсом имеют очень большую длину волны. Однако разрешение микроскопа зависит от длины волны падающего света: чем она больше, тем хуже разрешение. Таким образом, если у вас есть реальная определенность с импульсом электрона, у вас должна быть реальная неопределенность с его положением (его координатой).

Эта аналогия принадлежит самому Гейзенбергу, гордому баварцу, открывшему принцип неопределенности в 1927 году, в разгар квантовой революции. Аналогия слабовата, поскольку не учитывает квантовую природу взаимодействия между электроном и фотоном. Чтобы надлежащим образом понимать принцип неопределенности, нам нужно правильно его сформулировать. Каждый раз, когда вы пытаетесь измерить положение электрона, лучшее, что вы можете сделать, — установить, что он находится в какой-то области пространства, имеющей размер ∆x. То же верно и для импульса: вы всего лишь знаете, что он находится в каком-то промежутке размером ∆p. Часто говорят, что ∆x и ∆p — неопределенность для положения и импульса соответственно.

Согласно принципу Гейзенберга они должны удовлетворять следующему соотношению:

Если вам требуется точное знание положения электрона, то неопределенность ∆x должна уменьшиться до нуля. А чтобы точно знать импульс, в ноль должна обратиться неопределенность ∆p. Принцип Гейзенберга говорит нам, что одновременно такого не может происходить. Если вы хотите точнее знать координату частицы, вам придется отказаться от знания импульса, и наоборот.

Существует и другой вариант принципа неопределенности, который связан с неопределенностью энергии частицы ∆E и неопределенностью ее времени ∆t. Этот дополнительный компонент вам нужен, если вы собираетесь говорить о неопределенности в пространстве-времени, как, возможно, склонен делать Усэйн Болт. Формула имеет очень похожий вид:

Лучший способ понять эту формулу — с помощью музыки. Причина в том, что неопределенность на самом деле оказывается свойством волн, она обнаруживается не только в вероятностных волнах квантовой теории, но и в звуковых, которые рождены музыкальными инструментами. Мой друг и коллега Фил Мориарти подробно рассказывает об этом в своей книге «Когда принцип неопределенности доходит до 11»[50]. Фил любит играть на электрогитаре. Предположим, он дергает пятую струну, настроенную на «ля» (в стандартном строе для шестиструнной гитары), позволяя этой ноте звучать как можно дольше. Звук слышен несколько секунд, пока энергия не рассеется. Как и все люди, Фил знает, что этот конкретный звук — комбинация волн разной частоты. Если вы внимательно посмотрите на спектр частот, то увидите ряд узких пиков, показывающих отдельные гармоники для этой конкретной струны.

Поскольку Фил — любитель металла, он также любит прием, когда металлист при игре прижимает ребром ладони струны гитары в районе бриджа (струнодержателя), чтобы приглушить звук. В результате получается классическое звучание хеви-метала — нота та же, только теперь она отличается характерной глухостью. Если вы проанализируете спектр такого приглушенного звучания, то обнаружите те же гармоники, что и без него (в конце концов, нота осталась той же), но пики сливаются друг с другом, образуя аморфное пятно неопределенной частоты.

^{Амплитуда первой ноты Фила в зависимости от частоты (вверху) и времени (внизу). Нота соответствует последовательности узких частот и продолжает звучать некоторое время}

^{Амплитуда приглушенного звучания Фила в зависимости от частоты (вверху) и времени (внизу). На этот раз нота длится недолго, а частоты разбросаны в гораздо более широком диапазоне}

Разница между этими двумя гитарными звуками отражает суть принципа неопределенности. Первый отличается точной частотой, что видно по узким пикам в его спектре. Но у него нет определенности во времени: нота длится так долго, что мы не можем сказать конкретно, когда она в реальности прозвучала. Для метода игры с приглушением все наоборот: здесь есть точность во времени благодаря краткости звука, но нет точности по частоте. В обоих случаях мы видим компромисс между точностью в частоте и точностью во времени.

То же происходит и с волнами вероятности. Чтобы установить связь с принципом неопределенности, нам всего лишь нужно перейти от частот к энергиям, используя преобразователь для планковской валюты E = ħω. В конце концов, принцип неопределенности — не что иное, как элементарная математика французского ученого Жозефа Фурье, восходящая к началу XIX века. Фурье показал, как любой сигнал можно построить с помощью какой-нибудь комбинации осциллирующих синусоид, и, если вы хотите локализовать сигнал — зафиксировать его местоположение во времени или пространстве, — вам потребуется множество волн, которые аннулируют (компенсируют) друг друга в разных местах. Если вы хотите знать, где находится протон или электрон, вам нужен один острый пик на их волне вероятности. Согласно теории Фурье, это означает, что вам нужно множество волн с самыми разными длинами, которые налагаются и компенсируют друг друга везде, кроме окрестности этой частицы.

В квантовой истории есть один важный аспект, которого мы избегали (по крайней мере, до настоящего момента), поскольку он, пожалуй, беспокоит больше всего. Помните, как вы преследовали беглого преступника в торговом центре? Вы не знали точно, где он скрывается, но внезапно один из ваших полицейских поймал его — и вот вы уже точно понимаете, где он. В одно мгновение вы перешли от волны вероятности, раскинувшейся по всему торговому комплексу, к резкому пику в точке поимки. Какая физика описывает этот переход?

С тем же вопросом мы сталкиваемся, когда обнаруживаем электрон. Согласно Бору, в момент измерения волновая функция мгновенно сосредоточивается в том или ином месте. Вы не можете описать это с помощью уравнения, подобного уравнению Шрёдингера, — и как же вы это объясните? Когда я был студентом Кембриджа, я спросил об этом своего преподавателя. Он ответил, что задал тот же вопрос великому пионеру квантовой теории Полю Дираку, и тот признался, что озадачен. Но я был студентом давным-давно. Сегодня мы знаем гораздо больше (если не все) о том, что происходит на самом деле, но, чтобы объяснить это, сначала нужно рассказать вам историю о собаке Шрёдингера.

Во время дерзкого налета на Букингемский дворец радикальная группа преподавателей естествознания, называющих себя учениками Шрёдингера, захватила одного из любимых корги королевы Елизаветы. Цель группы — рассказывать общественности о науке, используя все, что нужно, чтобы привлечь ее внимание. Вскоре после рейда ученики выложили в Сеть видео, показывающее, что собака заперта в большом ящике. Ящик полностью закрыт, никто не видит и не слышит, что происходит внутри. Ученики уверяли зрителей, что воздуха собаке хватит минимум на два часа. Одновременно они предупредили и о том, что рядом с корги находится небольшое радиоактивное устройство. В течение часа с вероятностью в 50 процентов один из радиоактивных атомов распадется. Если это произойдет, запустится цепочка событий, которая приведет к выстрелу, мгновенно убивающему собаку. С такой же вероятностью в 50 процентов никакие атомы не распадутся и корги выживет. Затем идет прямая трансляция. Корги до сих пор в ящике. Ученики рассказывают, что собака сидит там уже почти час, и предлагают зрителям предположить, в каком она состоянии. Жива она или мертва? Социальные сети взрываются откликами.

У меня очень плохое предчувствие по этому поводу. #собакамертва

Всем нужно сохранять позитив. #собакажива

Собака и жива, и мертва. #суперпозиция

А затем ящик открывают. Мрачно заявляют, что корги умер. Или, возможно, подобно королеве, вы бы предпочли другую концовку, в которой собака выживает. На самом деле это не имеет значения. Суть в том, что, когда организаторы акции открывают ящик и заглядывают внутрь, собака или жива, или мертва. Других способов закончить эту историю нет.

Но как насчет того момента, когда вопрос задан, а в ящик еще не заглянули? Что тогда? Что ж, как и все в квантовой механике, собаку следует описывать некоторой волной вероятности. Одна такая волна описывает живую собаку, другая — мертвую. Когда корги впервые оказывается в ящике, он неутомимо лает и, похоже, полон решимости отхватить кусок от кого-нибудь. Собака явно жива и должна описываться первой из наших волн вероятности — живой. Но время идет, и волна, описывающая собаку, превращается в нечто более экзотическое: волну мертвой собаки, которая накладывается на волну живой. Вероятность того, что корги жив или мертв, оказывается растянутой на оба варианта точно так же, как она была растянута на положение беглого преступника в торговом центре. Так что, прежде чем кто-то заглянет внутрь ящика — до того, как кто-то произведет измерение, — может показаться, что корги и жив, и мертв.

Хештег — суперпозиция.

Это все хорошо, но, когда ученики наконец откроют ящик и посмотрят в него, они увидят либо живую собаку, либо мертвую. Они не могут увидеть одновременно и то и другое. Кажется, что волна корги сколлапсировалась в живое или мертвое состояние, — точно так же, как она сколлапсировалась, когда преступника схватили посреди торгового центра. Если собака действительно и жива, и мертва, почему ученики никогда не увидят этого? Почему они не увидят никакой квантовой размытости? Чтобы понять это, нам нужно подумать обо всем, что окружает собаку: от учеников и наблюдающего мира до всех молекул воздуха, наполняющих ящик, в котором она содержится. Назовем все это средой.

Когда эта среда вступает в контакт с собакой, она начинает взаимодействовать с нею: миллиарды атомов и фотонов непрерывно прыгают туда-сюда, обмениваясь энергией, импульсом и всем прочим, что они могут предложить. Но вот в чем дело: суперпозиции заразительны. Как только происходит первый контакт, среда видит суперпозицию собак. На какое животное она должна реагировать — мертвое или живое? Она не может выбирать, поэтому удваивается и реагирует на обе. Такое двуличное поведение — признак новой и усовершенствованной суперпозиции: в одной ее половине мы обнаруживаем печальную среду, перепутавшуюся с мертвым корги, который не способен от нее отделиться; в другой мы видим счастливую среду, перепутавшуюся с живым корги.

Те, кто оказался частью среды, смогут увидеть только то, что среда им позволит. Что нам нужно, чтобы ученики увидели живую и мертвую собаку? Безусловно, понадобится суперпозиция: волна вероятности, которая выбирает шанс на счастливую среду с собакой, которая выживает; и волна вероятности, которая выбирает шанс на грустную среду с собакой, которая умирает. Но чтобы ощутить квантовую размытость, нам нужно еще, чтобы волны перекрывались: чтобы счастье и грусть интерферировали друг с другом — точно так же, как было с состояниями электрона, проходившего через щели в классическом опыте Дэвиссона и Джермера. Кажется, что все компоненты на месте. В конце концов, я только что рассказал вам, как среда принудительно присоединяется к суперпозиции, так что суперпозиция, безусловно, существует. Почему же тогда ученики никогда не видят собаку, которая и мертва, и жива? Проблема в том, что среда велика; и чем больше она становится, тем больше счастливая волна отрывается от грустной и тем меньше они перекрываются. Этот процесс называется декогеренцией. По мере того как все больше объектов среды контактируют с корги (прямо или косвенно), описывающие собаку волны вероятности все больше расходятся между собой. Волна счастья и волна грусти больше не могут интерферировать каким-либо осмысленным образом, и квантовые свойства собаки сильно маскируются. Декогеренция происходит так быстро, что, когда ученики проверят корги, они практически гарантированно увидят его либо живым, либо мертвым. Они никогда не смогут наблюдать оба состояния одновременно.

Хотя это объясняет, почему мы не видим квантовой размытости в нашей повседневной жизни, это фактически не дает ответа на вопрос, который поставил в тупик Дирака. К концу этого процесса собака и среда все еще находятся в суперпозиции, хотя и практически без перекрытия. Одна научная школа утверждает, что эта сочиненная нами загадка — признак нашей отчаянной потребности в детерминизме. Есть риск придать волновой функции слишком много реальности, к этому были склонны и сам Шрёдингер, и многие другие. Волновая функция — это не то, за что можно ухватиться. Скорее вы должны думать о ней как о страже вероятности. Ее задача — дать вам представление о том, что может произойти в эксперименте, точно так же, как набор шансов дает вам некоторое представление о том, что может произойти на скачках. Результат эксперимента или скачек — это результат эксперимента или скачек. То, что есть. О чем тут беспокоиться?

В истории корги есть еще один важный аспект, который необходимо понимать, когда мы наконец вернемся к вопросу о двойниках (вы еще помните их?). Теперь мы знаем, что корги и окружающая среда в итоге представляют собой суперпозицию запутанных состояний. Это пример чистого состояния. Несмотря на свою сложность, оно все же ведет себя как волна и содержит полную информацию об истинном квантовом состоянии собаки и среде, в которой находится. Однако в реальности чистое состояние для больших систем нам никогда точно не известно. Отслеживание такого количества квантовой информации нецелесообразно, а иногда и невозможно, особенно когда вокруг существуют черные дыры, уничтожающие информацию о своих узниках. Чтобы справиться с этим, нам нужно воскресить дух Больцмана. Иными словами, взять средние значения.

В рассказанной истории главная забота королевы — благополучие любимого питомца. Ее не интересует точное состояние атомов собаки, молекул воздуха, которые ее окружают, или ящика, в котором она находится. И уж точно ее не волнует состояние радикально настроенной группы преподавателей естественных наук, захвативших ее корги. Чтобы описать квантовое состояние здоровья собаки и просто здоровье животного, ей нужно проигнорировать лишнее и определить средние значения. Для этого требуется взять все возможные среды, сцепленные со всеми возможными состояниями ее любимого корги, и вычислить их средний вклад. Что останется в итоге? Она получит так называемое смешанное состояние. По сути, это список возможных состояний, связанных с благополучием корги (например, состояние мертвой собаки или состояние живой собаки), и соответствующие вероятности. Эти вероятности дают ей представление о том, что можно увидеть, если в конце концов заглянуть внутрь ящика.

Возможно, вам покажется, что такие смешанные состояния не особо отличаются от чистых, о которых мы говорили выше, но это не одно и то же. Чистое состояние — настоящая волна, суперпозиция, когда одна рябь накладывается на другую и дает новую, более сложную, но все-таки волну. Смешанное состояние — просто какой-то список, а не суперпозиция. Оно не ведет себя как волна. Когда мы думаем о каком-то чистом состоянии, описывающем собаку и среду, безусловно, существуют суперпозиции, в которых мы можем рассматривать собаку как одновременно живую и мертвую. Однако когда мы начинаем думать о смешанном состоянии, описывающем только собаку, мы не можем в реальности сказать, мертва она или жива, или даже говорить о какой-то комбинации этих двух свойств. Причина в том, что у нас нет абсолютно никакого представления. Мы можем выдать список некоторых конкретных чистых состояний, в которых, на наш взгляд, корги может находиться, и соответствующих вероятностей, но это максимум, что в наших силах.

Один из способов лучше понять это — вообразить, что вы слушаете Let It Be, классическую песню The Beatles. Вы пользуетесь наушниками, которые действуют так: в одном воспроизводится пробирающая до глубины души фортепианная музыка, а в другом звучит Пол Маккартни, который поет а капелла, с характерным очарованием выговаривая мудрые слова. Если вы наденете оба наушника сразу, вы, естественно, услышите суперпозицию (наложение) обоих звуков и сможете насладиться песней в том виде, в котором она появилась в чартах 1970 года. Каждый из этих звуков можно рассматривать как чистое состояние: инструментальная партия фортепиано, пение Маккартни, а также великолепное сочетание того и другого. Все три представляют собой суперпозицию волн — только звуковых, а не волн вероятности, как в квантовой механике.

А теперь представьте другой сценарий, в котором вы случайно сломали наушники, так что один из них не работает. Вы не знаете, какой звук должен быть в том или ином наушнике, и поэтому до включения записи не знаете, какой из двух компонентов будет отсутствовать. Вы потеряли часть информации. Теперь у вас есть смешанное состояние: это список из двух чистых состояний — фортепианной инструментальной партии и пения Маккартни, и в оставшемся наушнике музыка и пение могут прозвучать с вероятностью 50 процентов.

Чистое состояние говорит вам все, что нужно знать о квантовой системе. Если угодно, это полная квантовая информация. Конечно, это не означает абсолютной предопределенности в результатах эксперимента. Они все еще окутаны вероятностью, поскольку в квантовой механике чистое состояние — это волна вероятности, и она не может сказать вам, где появится электрон. Максимум, на что она способна, — сообщить вам, где электрон появится с большой вероятностью. С другой стороны, в смешанном состоянии квантовая информация фактически отсутствует. Мы не можем даже уверенно сказать, какая конкретная суперпозиция описывает систему, потому что это знание сцеплено с непознаваемой средой. Если нас волнует только вопрос, мертва собака или жива, то существует куча ненужной информации, о которой нам незачем беспокоиться. Наши знания неполны, ну и что с того? Смешанное состояние дает нам представление о том, чего можно ожидать, когда мы выполняем важные для нас измерения.

Я взял вас в трудное квантовое путешествие вглубь микроскопического мира вероятностей и неопределенностей и заверяю, что это не просто любопытная прогулка. Оно важно для цели обнаружить вашего двойника и понять, кто он и кто вы. Теперь мы знаем, что вас нельзя идентифицировать с помощью определенного расположения атомов, потому что такое описание невозможно. Для этого требуется знать точное положение и импульс всех частиц в человеческом организме, а это запрещает квантовый закон Гейзенберга. В реальности мы должны думать о себе как о сложном квантовом состоянии, управляемом волнами вероятности, которые накладываются друг на друга. Но нужно ли в реальности знать все об этом сложном состоянии, чтобы иметь возможность сравнить себя с двойником? Нужно ли, чтобы вы были чистым состоянием?

Где ваш двойник?

Кто есть вы? Что значит быть таким же, как вы? Например, у меня есть брат Рамон, и у нас много общего в ДНК. Нам нравится панк-группа Stiff Little Fingers, мы болеем за футбольный клуб «Ливерпуль». Если бы это было все, что нас интересует, мы оказались бы двойниками. Однако по многим другим параметрам мы различаемся: например, моя шея чудовищно длинная, а у него нормальная. Но если мы собираемся рассматривать истинных двойников, нельзя мириться с любыми различиями. Впрочем, как мы увидим, на деле это может оказаться опасной игрой.

По сравнению с электроном вы — большой объект. Этого и следовало ожидать. Чтобы сконструировать нечто столь же сложное, как человек, читающий эту книгу, требуется очень многое: кварки, из которых состоят протоны и нейтроны; глюоны, которые их связывают; атомные ядра, окутанные вероятностными облаками электронов; атомы, соединенные в сложные молекулы; триллионы этих молекул, которые образуют множество клеток организма. Ситуацию усложняет то, что все эти объекты сцеплены с окружающим миром. Помните, как в школьные годы по классу распространялась какая-нибудь сплетня? Часто она принимала форму бумажки, на которой было написано что-то вроде: «Дегси собирается пригласить на свидание Хелен Джонс. Передай дальше». Последнюю фразу всегда подчеркивали, чтобы устранить все сомнения в важности указания. Когда записка блуждала по столам, ученики реагировали на новость по-разному: проявляли ревность, волнение, безразличие. Сами эти реакции часто запускали новый набор реакций и взаимодействий. В любом случае было ясно одно: знание о намерениях Дегси в мгновение ока сцепляло весь класс в единое целое. То же справедливо для вас и наблюдаемой Вселенной. Вселенная с начала времен обменивается такими записками, и она сцеплена с каждой частичкой вашего организма. Отслеживание такой массы информации — дело сложное.

Когда кто-нибудь смотрит на вас или даже спрашивает, о чем вы думаете, он явно не получит всей доступной информации. По правде говоря, ваших собеседников не волнует вопрос, каков спин у одного из электронов глубоко внутри вашей тонкой кишки[51]. Каждый раз, когда мы говорим о каком-нибудь человеке (яйце, динозавре или газе), мы на самом деле никогда не представляем их чистыми состояниями, поскольку имеется масса неизвестной информации. Вы не исключение. Вы не чистое состояние, а смешанное. Все, что мы действительно можем сделать для вашего описания, — указать список состояний (микросостояний) и связанных с ними вероятностей. Но что нам делать с недостающей информацией? И что нужно, чтобы ее узнать?

То, чего мы не знаем, скрыто в списке вероятностей. Мы не можем улучшить ситуацию, не проведя ни единого измерения. Например, в некоторых микросостояниях, вас описывающих, спин электрона в вашем кишечнике с некоторой вероятностью принял значение «вверх», а в других микросостояниях с какой-то другой вероятностью он принял значение «вниз». Не обманывайте себя, думая, что фактическое значение спина — «вверх», а вы просто об этом не знаете. В квантовой механике нет абсолютной истины — опять же, пока нет измерения. Пока вы не проведете в тонкой кишке опыт Штерна — Герлаха в миниатюре и не определите спин электрона, можно говорить исключительно о вероятности значения спина «вверх» или «вниз». Эта логика применима ко всем без исключения вещам, которые мы хотели бы знать о вас, вплоть до микроскопического уровня. Если вы не проведете все нужные измерения, вам необходимо признать, что на самом деле вы — квантовый шизофреник, некое обширное семейство микроскопически различающихся вариантов, и все они столь же реальны, как и любые другие.

Единственный способ излечиться от этой шизофрении — провести больше измерений. Это единственный путь к чистоте. Беда в том, что это требует огромного количества измерений: в вашем организме более миллиарда миллиардов миллиардов атомов, и вам придется проанализировать структуру каждого из них. Эксперименты такого масштаба почти наверняка уничтожат вас. Трудно представить, как можно исследовать всю вашу микроскопическую структуру, не воздействуя энергией, которая разорвет ваши атомы на части. В довершение всего никуда не уйти от того факта, что само проведение такого эксперимента повлияет на то, чем вы являетесь. Скорее всего, превратитесь в плазму. Иногда лучше не знать.

Однако предположим, что мы можем каким-то образом провести все необходимые измерения, не уничтожив вас. Что тогда? Что ж, тогда вы действительно будете одним на доппельгангион. Вы окажетесь одним из  возможных микросостояний, идеально чистым, правда только на мгновение. Ловкая команда экспериментаторов, успешно записавшая всю вашу микроскопическую структуру, теперь может начать поиски вашего двойника. Конечно, им нужно держать много информации. Как мы увидим в следующей главе, было бы целесообразно хранить ее в достаточно большом пространстве (больше человека по размеру), чтобы избежать коллапса в черную дыру. Однако, предприняв все соответствующие меры безопасности, можно начинать поиск. Экспериментаторы начинают с кубического метра пространства, расположенного справа от вас, и выполняют необходимые измерения. Дают ли они точно такие же результаты, как и для вас? Почти наверняка нет, поэтому экспериментаторы переходят к следующему кубическому метру, затем к следующему и продолжают так долго, как могут. В любом отдельном опыте шансы получить точно такой же результат ничтожно малы — доппельгангион к одному. Но если делать что-то достаточно часто, иногда может произойти неожиданное. Вот почему вас не должно удивить, что в 2016 году Премьер-лигу выиграл клуб «Лестер Сити»[52]. Если группа, занимающаяся поиском двойников, постепенно сдвинется на доппельгангион метров, проведя измерения доппельгангион раз, у них есть шансы на успех. Не удивляйтесь, если они обнаружат вашего двойника, который сидит и читает эту книгу.

Да ладно, серьезно?

Я ожидал, что вы и ваше другое «я» отреагируют так. Однако подумайте вот о чем: доппельгангианские расстояния ничтожны по сравнению с гуголплексианской Вселенной. Если выразить масштабы дробью, то отношение доппельгангиона к гуголплексу — неразличимо малое число. Это означает, что в гуголплексианской Вселенной шансы на обнаружение двойника резко увеличиваются. К тому же стоит заметить, что расстояние в доппельгангион почти наверняка завышено: мы получили его, потребовав точного совпадения между вами и вашим двойником, а это чревато серьезной опасностью убить вас обоих. Если взять более слабое (и более безопасное) определение, то двойники, скорее всего, найдутся на более близких расстояниях. Таким образом, каким бы редким и сложным объектом вы ни были и какими бы строгими ни оказались выбранные критерии соответствия, совершенно неправдоподобно отрицать существование вашего двойника в гуголплексианской Вселенной. Было бы неправдоподобно отрицать даже существование множества двойников.

Если Вселенная достаточно велика, ваш двойник где-то есть.

А достаточно ли она велика? Для начала нам нужно четко понимать, что мы подразумеваем под Вселенной. Прежде всего это наблюдаемая Вселенная. Если она имеет какое-то начало, то свету из самых далеких миров не хватит времени дойти до нас, поэтому существует предельное расстояние, на которое мы можем видеть. А мы точно знаем, что у Вселенной было начало, — это можно понять, взглянув на ночное небо. Что вы видите? Если убрать романтическое мерцание горстки звезд и планет, вы наблюдаете чернильную черноту. Однако в вечно существующей бесконечной Вселенной картина выглядела бы иначе. Ночное небо было бы таким же ярким, как дневное: куда бы вы ни бросили взгляд, вы наткнулись бы на свет какой-нибудь звезды — молодой, старой или невообразимо древней. Первым на это указал немецкий астроном Генрих Ольберс. Он вообразил эту бесконечную и неизменную во времени Вселенную с равномерно разбросанными по ней звездами. Если Вселенная вечна, у звезд нет предельного возраста. Конечно, более далекие звезды будут казаться тусклее, но ведь их количество окажется больше, а поэтому, в какую бы точку вы ни посмотрели, вы бы увидели там звезду. Во Вселенной Ольберса ночь превращается в день.

Однако реальная ночь — это не день, и причина в том, что Вселенная постоянно обновляет себя. Со временем промежутки между звездами и галактиками становятся все больше — не потому, что они пытаются убежать друг от друга, а потому, что растет само пространство. Оно буквально расширяется. Поверните часы назад, и Вселенная начнет сжиматься, а в какой-то момент стянется в ничто. Это начало Вселенной — пожалуй, самая знаменательная дата в истории, около 14 млрд лет назад.

Существуют различные способы измерить возраст Вселенной. Один из них — уловить свет от наиболее взрывных жестоких смертей в самых дальних видимых уголках космоса. Это сверхновые — превратившиеся в маяки умирающие звезды, расположенные очень далеко. Если предположить, что эти далекие сверхновые примерно похожи на близкие к нам, и сравнить свойства полученного от них света, можно добыть ценную информацию об истории Вселенной. Другой способ измерить ее возраст — использовать реликтовое излучение (иначе — космическое фоновое излучение), которое заполняет Вселенную со времен образования первых атомов. Эти два метода измерения возраста несколько противоречат друг другу, но не так сильно, чтобы людей сильно беспокоила необходимость в новой физике. В любом случае оба метода дают для возраста Вселенной оценку в 14 млрд лет. Для нас важно то, что этот возраст конечен, а это устанавливает верхний предел расстояния, которое мог пройти свет с момента возникновения Вселенной. Возможно, вам кажется, что расстояние равно примерно 14 млрд световых лет, но это неверно: такая величина игнорирует расширение пространства. По современным оценкам, самые дальние уголки наблюдаемой Вселенной расположены на расстоянии около 47 млрд световых лет от нас. Все, что оказалось за этой границей, находится слишком далеко для возможности связи — никакой сигнал (световой или иной) оттуда не может добраться до нас.

Сравнимы ли 47 млрд световых лет с гуголплексианской Вселенной?

Нет.

Это совершенно ничтожная величина. Что бы мой двоюродный брат ни рассказывал в детстве про двойника, на самом деле нет никакой надежды найти свою копию в наблюдаемом мире. А если двинуться дальше? Насколько далеко простирается существующий космос? Есть ли что-то за пределами воображаемой стены, расположенной на расстоянии в 47 млрд световых лет? Есть ли за этой стеной одичалые?[53] И что вообще может означать остановка Вселенной?

Вселенная определенно не ограничивается размером в 47 млрд световых лет. Она простирается гораздо дальше — в районы, скрытые от земного взгляда. Вы могли бы даже отправиться в эти отдаленные области, если бы, конечно, сумели прожить достаточно долго. Вселенная могла бы в конце концов прекратить расширяться и свернуться наподобие поверхности огромной сферы. Вы даже можете вообразить космического Магеллана, отправляющегося в величайшую экспедицию, чтобы обогнуть всю Вселенную. Если она действительно огромная сфера, которую можно пересечь, об этом нам потенциально могут рассказать фотоны реликтового излучения. Если это сфера, то она должна быть неопределимо большой, диаметром не менее 23 трлн световых лет[54]. Это означает, что Вселенная минимум в 250 раз больше той части, которую мы можем видеть. Эти скрытые глубины велики, но достаточно ли? Возможно, Вселенная простирается и за 23 трлн световых лет, а как насчет гуголплекса?

Чтобы увидеть истинный размер Вселенной, нужно вернуться в ее детство. Детям нравятся головоломки, головоломка есть и в реликтовом излучении. Если вы окажетесь на борту Международной космической станции и посмотрите налево, фотоны реликтового излучения ударят вам прямо в лицо. Это излучение, которое за время своего триумфального путешествия по Вселенной остыло до средней температуры всего в 2,7 кельвина. Теперь посмотрите направо. В вас ударит другой поток фотонов реликтового излучения, и они тоже имеют среднюю температуру 2,7 кельвина. Куда бы вы ни взглянули, фотоны реликтового излучения будут иметь эту температуру. Возможно, вам это не кажется странным, но это действительно странно. Эти фотоны приносят с собой сведения о мирах, откуда пришли, и все они говорят одно и то же. Это может означать только то, что далекие миры что-то знают друг о друге, но как такое может быть? В конце концов, когда фотоны начали свое путешествие, эти ранние миры были ненаблюдаемы друг для друга. Никакой сигнал не мог пройти между ними. Как они сговорились распространять информацию об одной температуре для всего космического фонового излучения? Это можно сравнить с ситуацией, когда вы наткнулись на племя в глубине Амазонии, никогда не имевшее контактов с внешним миром, но при этом почему-то все люди там разговаривают на отличном английском. Что бы вам индейцы ни говорили, вы, несомненно, заподозрите, что в какой-то момент своей истории это племя повстречалось с каким-то англичанином.

Следовательно, далекие области на противоположных концах неба с реликтовым излучением в какой-то момент в прошлом должны были встречаться; в какой-то момент они общались. Но если они слишком далеко друг от друга, чтобы обмениваться сигналами, то как они это делали? Вполне возможно, что Вселенная в детстве придумала гениально простое решение этой задачки — процесс, который ученые назвали инфляцией. Она предполагает, что две отдаленные области когда-то были очень близки: соседство, обмен сигналами, передача информации. Внезапно их разорвало, отделив друг от друга быстрее скорости света. В каком-то смысле это трагично, но в то же время и странно. Как они могли разделиться на части быстрее света? Безусловно, ничто в космосе не может обогнать свет, даже Усэйн Болт. Но здесь происходит иное. Само пространство раздувается быстрее: его подталкивает любопытный дьяволенок, названный инфлатоном[55]. Нам мало что известно об инфлатоне. Возможно, он несколько похож на знаменитый бозон Хиггса, с которым мы познакомимся позже; возможно, это и есть бозон Хиггса, просто играющий другую роль в другое время, — мы не знаем наверняка. Мы даже не знаем, сколько инфлатонов существует: один или два. Чем бы он ни был, он быстро создал такое огромное пространство между соседними мирами, что к тому времени, когда все закончилось, они потеряли всякую способность сообщаться между собой. Однако важно то, что они все еще помнили друг друга и передавали эту информацию фотонам реликтового излучения. Вот почему у них примерно одинаковая температура.

Как только мы начинаем спрашивать о начале инфляции (почему она началась именно так?), мы наконец приходим к гуголплексианской Вселенной. Ответ может заключаться в процессе, названном вечной инфляцией: бесконечном процессе создания Вселенной. Идея такова: инфлатон проводил время, случайным образом принимая разный вид. Он прыгал (в квантово-механическом смысле) от одного значения к другому. По большей части он не делал ничего особенно интересного, пока внезапно в каком-то мельчайшем уголке младенческой Вселенной не прыгнул в какое-то подходящее значение, запустившее взрыв. Подобно семени гигантской секвойи, этот крохотный уголок вырос в нечто колоссальное — всю ту Вселенную, которую мы видим. Но дело вот в чем. Инфлатон продолжал прыгать, случайным образом перескакивая от одного значения к другому, и делал это в каждой отдельной точке пространства. Время от времени в каком-нибудь маленьком забытом уголке Вселенной он натыкался на подходящее место и — бум! Рождалось исполинское пространство. А потом это случалось снова. И снова. И чем больше он создавал, тем больше было шансов на продолжение. Могучий левиафан рос и рос до чудовищных размеров, пока в конце концов не превзошел даже гуголплексианскую Вселенную. И как засвидетельствовал бы космический Магеллан, отправившийся в путешествие к самым дальним мирам, какие только можно вообразить, в такой огромной Вселенной… есть двойники.

Мой двоюродный брат Джерард был прав.

Когда я был маленьким, на канале BBC шло популярное телешоу под названием «Задумайте число». Его ведущий Джонни Болл бегал по сцене в отличных костюмах с кучей великолепного реквизита, наполняя наши юные впечатлительные умы радостями науки. Естественно, мне это безумно нравилось. «Задумайте число» — безобидная образовательная забава. Или нет?

Совершенно нормально придумать число 7, 15 или 476 522. Но что произойдет, когда вы задумаете число Грэма? Что ж, если вы это сделали, это действительно не нормально. Если вы будете думать о числе Грэма неправильно, вы умрете. Задним числом кажется, что Джонни Боллу в реальности следовало бы назвать свое шоу «Задумайте число, которое не убьет вас», но, полагаю, в Британии 1980-х вопросы здоровья и безопасности не были особо актуальными.

Заманчиво сравнить смерть от числа Грэма с судьбой некоторых людей, пострадавших при извержении Везувия в 79 году нашей эры. Возможно, вы видели изображения жертв в Помпеях: убитые жаром пирокластических потоков, они навсегда оказались погребены под пеплом[56]. Но это еще счастливчики. В близлежащих городах Геркуланум и Оплонтис есть свидетельства более мрачного конца: остатки расколотых черепов, взорванных быстрым вскипанием мозговой жидкости после извержения вулкана. Эти люди погибли из-за взрыва головы. Число Грэма может привести к еще более впечатляющей травме мозга, если вас заставят думать о нем цифра за цифрой, если бесцеремонно впихнуть в ваше воображение его десятичное представление. Какое-то время вы не чувствуете ничего неприятного, цепочка цифр перед вашим мысленным взором становится все длиннее. А потом происходит это.

Смерть от превращения головы в черную дыру.

Истина в том, что вы не можете задумать число Грэма, — по крайней мере, во всей его гигантской красе. Оно просто слишком велико, чтобы с ним можно было иметь дело — вам или кому угодно. Проблема не в интеллекте, а в физике. Если вы попытаетесь впихнуть столько информации в человеческую голову, та неизбежно сколлапсирует и превратится в черную дыру. Как мы увидим, черные дыры ограничивают количество информации, которую можно втиснуть в определенный объем пространства, а ваша голова далеко не так велика, чтобы справиться со всей информацией, содержащейся в числе Грэма. Это проблема самого числа. Оно не просто огромно, а феерично, оно гораздо больше, чем гугол, гуголплекс или даже гуголплексиан. Число Грэма и все его цифры не могут существовать ни в вашей голове, ни в наблюдаемой Вселенной, ни даже в гуголплексианской Вселенной. В его десятичном представлении содержится слишком много информации, ее просто невозможно вместить.

Зачем кому-то изобретать число, способное вас убить? Ответственность за это несет обладатель многочисленных наград математик Рональд Грэм. Он без почтения относился к стереотипам о математиках. Когда в начале 1950-х пятнадцатилетний подросток с лицом младенца поступил в колледж в Чикаго, он начал заниматься прыжками на батуте и жонглированием; в итоге он достиг такого мастерства, что стал выступать с цирковой группой Bouncing Baers. Даже в старости он продолжал прыгать, хотя уже в комфортных условиях собственного дома. Как рассказывают его друзья, от Рона Грэма всегда ждали неожиданного. Он мог обсуждать математику, а в следующий момент — встать на руки или запрыгать вокруг вас на пого-стике.

История числа Грэма на самом деле начинается на заре XX века с другого яркого математика по имени Фрэнк Рамсей. Тот был эрудитом и членом тайного общества интеллектуалов, известного как «Кембриджские апостолы»[57]. Он учился у великого экономиста Джона Мейнарда Кейнса, который позже рекомендовал его в Королевский колледж (это и мой старый колледж в Кембриджском университете). Будучи студентами, мы все знали о Кейнсе (я жил в здании, носящем его имя), однако никто никогда не говорил о Рамсее. А следовало бы. Рамсей умер в 1930 году от хронических заболеваний печени, когда ему было всего 26 лет, однако к тому времени он уже немало сделал в математике, экономике и философии. Однако самый большой вклад Рамсея в науку оказался почти случайным: небольшая сопутствующая теорема, глубоко спрятанная в его статье 1928 года, посвященной формальной логике. Эта теорема положила начало новой области комбинаторной математики, которая теперь носит его имя.

Теория Рамсея связана с получением порядка из хаоса. Это немного похоже на то, как вы наблюдаете обсуждение парламентариями Брексита и спрашиваете себя: можно ли среди всего этого беспорядка — этой какофонии разных эго и мнений — найти какие-нибудь островки согласия, какое-то единство? Тот же вопрос я могу задать, устроив званый ужин[58]. Представьте, что я пригласил шестерых несхожих людей — родственников и друзей из разных сфер моей жизни, имеющих весьма различный жизненный опыт и взгляды. Я рассаживаю их вокруг стола и — как хороший хозяин — пытаюсь установить, кто с кем знаком. Алджернон знает мою дочь Беллу. Он мой старый друг по университету и время от времени бывал у нас в доме. Сейчас Алджернон работает в музыкальной индустрии. Он любит напоминать людям, что, когда он работал в музыкальном магазине, туда зашел певец Лео Сейер и купил дюжину компакт-дисков со своими записями (это правда). Белла все еще учится в школе, но надеется однажды стать художницей. Также с университетских времен Алджернон знаком с Кларки. Это спортивный обозреватель, и он не знаком с Беллой, поскольку по возможности старается избегать детей. Всю эту информацию я изобразил на следующей диаграмме.

Сплошные линии обозначают людей, которые знакомы друг с другом, а пунктирные отражают незнакомых людей. Следующий гость — Дино, профессор одного из университетов Лиги плюща[59]. Он тоже учился в университете со мной, Алджерноном и Кларки, но, как и Кларки, не знаком с Беллой. Я добавляю эту информацию на диаграмму.

Осталось еще два человека. И Эрнест, и Фонси знают Беллу, но не знакомы ни друг с другом, ни с другими гостями. Эрнест — инженер, дед которого занимался ввозом североамериканских серых белок в Британию (это тоже реальная история). Фонси — начинающий политик. В очередной раз обновляю диаграмму.

Уже сейчас, когда гостей всего шесть, сетка сплошных и пунктирных линий выглядит хаотично. Но если вы заглянете внутрь этого хаоса, то начнете видеть определенный порядок. Например, Алджернон, Кларки и Дино образуют так называемую клику — группу из трех человек, каждый из которых знает двух других[60]. Кларки, Эрнест и Фонси образуют клику другого рода: группу из трех попарно незнакомых между собой людей. При этом можно заметить, что нет ни одной такой клики из четырех человек.

Подобные сети лежат в основе теории Рамсея. На самом деле нет ничего удивительного, что на вечеринке с шестью гостями мы обнаружили такие клики из трех человек. Это неизбежно должно было произойти[61]. При этом шесть человек — минимальное количество, гарантирующее, что найдется тройка попарно знакомых или попарно незнакомых. Однако, как мы видели, шести гостей недостаточно, чтобы гарантировать аналогичную компанию из четырех человек. Оказывается, для этого нужно минимум восемнадцать гостей. Соответствующие числа называются числами Рамсея. Если пользоваться упрощенным математическим языком[62], можно сказать, что третье число Рамсея — 6, а четвертое — 18.

Рамсей показал, что можно получить клики любого конечного размера, если пригласить на вечеринку достаточно большое количество людей. Но он не смог определить, сколько именно людей придется созвать. Даже в случае клики всего из пяти человек ситуация резко усложняется. Большинство математиков считает, что для гарантированного получения клики из пяти человек требуется пригласить минимум 43 гостя, однако точный ответ никому не известен. Минимальное число находится где-то между 43 и 48.

Чтобы определить его точно, математикам требуется изобразить все возможные сети и посмотреть, где гарантированно возникнут клики из пяти элементов. Для этого можно попробовать привлечь компьютер, однако вам просто не хватит вычислительной мощности. Когда есть 43 гостя, вы поручаете компьютеру изучить 2⁹⁰³ разных сетей. Это число значительно больше гугола. Даже современные суперкомпьютеры отказываются работать с такими числами.

Чтобы гарантировать клику из шести человек, минимальное число гостей должно быть где-то между 102 и 165. Очевидно, что проблема нахождения точного значения шестого числа Рамсея значительно сложнее, чем нахождение пятого. Великий странствующий математик Пал Эрдеш предложил следующее апокалиптическое описание ситуации. Представьте вторжение инопланетян — армию пришельцев, намного опередивших нас в развитии. Они высадились на Землю и потребовали, чтобы мы сообщили им пятое число Рамсея, а иначе они уничтожат нашу цивилизацию за глупость. Стратегия Эрдеша для этого случая заключалась в том, чтобы объединить мощь всех компьютеров мира и довериться математикам, которые дадут ответ на вопрос. Но если бы пришельцы потребовали шестое число Рамсея, то такая стратегия бессмысленна. В этом случае придется искать способ уничтожить инопланетян до того, как они уничтожат нас.

Яркий пример Эрдеша позволяет познакомиться с его уникальным характером. Этот эксцентричный математик, родившийся в Будапеште перед Первой мировой войной, большую часть своей взрослой жизни провел в путешествиях, редко задерживаясь на одном месте более чем на месяц. Он постоянно ездил по континентам от одного коллеги к другому, разыскивая новые решения для своего сборника математических задач. Если Эрдеш появлялся с чемоданом у вашей двери, предполагалось, что вы обеспечите ему кров и еду на столько времени, на сколько он захочет, спланируете и организуете его дела. Если у вас имелись дети, он называл их эпсилонами, намекая на обозначение, которое математики используют, когда хотят описать что-то бесконечно малое. У него также имелась какая-то задача, предназначенная для вас. Это было его величайшее умение — соединить какую-нибудь математическую проблему с тем самым человеком, который может помочь решить ее. На протяжении своей удивительно необычной карьеры, подпитываемой пристрастием к запрещенным веществам, венгерский математик написал более 1500 статей, причем большинство его работ были совместными: у него насчитывалось свыше 500 соавторов. Из-за таких методов ученые ввели число Эрдеша (это длина кратчайшего пути от данного человека до Эрдеша посредством совместных публикаций), и у большинства математиков число Эрдеша очень невелико[63].

У Рона Грэма число Эрдеша равно 1. Они были очень близкими людьми — настолько, что Грэм устроил в своем доме «комнату Эрдеша», где математик мог жить во время своих визитов и хранить вещи, когда уезжал. Грэм даже заботился о финансах Эрдеша, собирая его чеки и оплачивая счета. Однако к знаменитому числу Грэма венгерский математик отношения не имеет. Оно появилось благодаря сотрудничеству с другим американским математиком Брюсом Ли Ротшильдом, а затем с Мартином Гарднером, который вел рубрику математических развлечений в журнале Scientific American.

Грэм и Ротшильд занимались одной конкретной задачей из теории Рамсея. Чтобы понять ее, добавим к нашему званому ужину еще пару гостей — Грэма и Харольда. Грэм — дядя Беллы, а Харольд — какая-то загадка. Кажется, он свободно говорит на пяти разных языках, но никто толком не знает, кто он и чем занимается, да и разговаривает он мало, — возможно, он шпион. На самом деле это не имеет значения. Важно то, что теперь у нас есть восемь гостей, то есть мы можем расположить их в вершинах куба и создать сеть нового типа.

Предположим, я решил сделать через эту сеть какой-то разрез. Например, я мог бы провести его по диагонали через Беллу, Кларки, Эрнеста и Харольда. Эти четыре человека образуют своеобразную подсеть, которую гораздо проще нарисовать на плоском листе бумаги.

Но это не клика — это ничем не примечательное сочетание знакомых и незнакомых людей. Можно ли сделать более интересный разрез? В данном случае ответ положительный: проведя разрез по задней стенке куба через Эрнеста, Фонси, Грэма и Харольда, мы получим клику из четырех незнакомых попарно людей.

Грэму и Ротшильду хотелось узнать, в любом ли кубе всегда существует разрез, дающий такую клику. Если взять пространство трех измерений, то ответ отрицательный: существуют расстановки восьми гостей по вершинам куба, когда при любом разрезе клика не получится. Но, разумеется, математики не привязаны к трехмерному миру, поэтому Грэм и Ротшильд начали думать о гиперкубах в пространствах четырех, пяти, шести или любого другого числа измерений. Сколько измерений нужно взять, чтобы гарантировать клику на каком-нибудь разрезе?[64]

Не стоит и говорить, что Грэм и Ротшильд не смогли дать определенного ответа на этот вопрос, — так бывает с большинством задач в теории Рамсея. Однако они показали, что у задачи есть конечный ответ, и смогли дать для него оценку: это минимальное число измерений должно находиться между числом 6 и каким-то исполинским числовым монстром — неким конечным числом, превосходящим все, что мы когда-либо могли понять. Вопреки распространенному мнению, тот гигантский верхний предел, который они представили, — это не то, что мы сейчас называем числом Грэма[65]. То, что именуется сейчас числом Грэма, появилось шестью годами позже, в 1977 году, когда Рон общался с Мартином Гарднером. Математику требовался простой способ описать этот верхний предел для статьи Гарднера в Scientific American, поэтому он придумал нечто еще более грандиозное. В 1980 году это новое число попало в Книгу рекордов Гиннесса как «самое большое число, когда-либо использовавшееся в математическом доказательстве». Но на самом деле оно никогда в доказательствах не использовалось.

Неважно. Я хочу шокировать вас, заставив задуматься о величине числа Грэма, которое он показал Гарднеру. Не беспокойтесь. Я не собираюсь заставлять вас думать о его десятичном представлении. Во всяком случае, пока. Сейчас мы сосредоточимся на гораздо более безопасном способе представления числа Грэма, использующем стрелочную нотацию Кнута. Она названа в честь американского специалиста по информатике Дональда Кнута, который изобрел ее в 1976 году. Кнут много писал о числах и вычислениях и известен тем, что предложил вознаграждение в размере 2,56 доллара любому, кто обнаружит ошибку в какой-либо из его книг[66]. Его стрелки обеспечат нам безопасный проход через страну больших чисел.

Начнем с умножения: что мы подразумеваем, когда пишем 3 × 4? Возможно, вы хотите сказать «двенадцать», но давайте немного поразмыслим. На самом деле, когда мы пишем 3 × 4, мы имеем в виду, что тройка сложена сама с собой четыре раза, то есть 3 + 3 + 3 + 3. В общем виде это выглядит так:

Иными словами, a сложено с собой b раз. Разложив его таким образом, мы видим, что умножение — это просто затейливый способ описать повторяющееся сложение. А что насчет повторяющегося умножения?

Математики называют это возведением в степень и обычно записывают так:

Теперь a умножено на себя b раз. Например:

3³ = 3 × 3 × 3 = 27;

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.

Вероятно, вы называете эти штуки степенями. Впрочем, неважно, как вы их называете, — лишь бы понимали, что это означает. Скажем, Дональд Кнут предложил собственный способ записывать степени — он предпочитает использовать стрелку:

Примеры выше можно записать в виде 3 ↑ 3 = 27 и 3 ↑ 4 = 81.

Здесь мы могли бы остановиться, и большинство нормальных людей так и сделает, но мы — не нормальные. Давайте продолжим. Что будет, если вы займетесь повторяющимся возведением в степень? Такая операция называется тетрацией. Кнут записывает ее в виде двойной стрелки:

Здесь к числу a мы b раз применяем операцию стрелки. Иначе тетрацию можно назвать степенной башней, поскольку вы можете изобразить ее в виде

где башня из букв a имеет b этажей.

Давайте найдем 3 ↑ ↑ 3 и 3 ↑ ↑ 4. Это степенные башни из троек: в одной три этажа, а в другой четыре. Иными словами:

3 ↑ ↑ 3 = 3 ↑ (3 ↑ 3) =  = 3²⁷ = 7 625 597 484 987;

3 ↑ ↑ 4 = 3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ 3))=  3^{7 625 597 484 987}.

Двойная стрелка позволяет нам одним прыжком переместиться от числа 3 до 7,6 трлн. Неплохое достижение. Однако нотация Кнута позволяет гораздо больше. Достаточно использовать тройную стрелку, считая ее повторением операции двойной стрелки:

Логика тут та же самая, но теперь к числу a мы b раз применяем операцию двойной стрелки. Тройная стрелка — это очень мощная штука. Попробуем найти 3 ↑ ↑ ↑ 3. Поскольку для тройной стрелки нужно несколько раз повторять операцию двойной стрелки, то мы получаем

3 ↑ ↑↑ 3 = 3 ↑ ↑ (3 ↑ ↑ 3) = 3 ↑ ↑ 7 625 597 484 987.

Да уж. Мы пришли к числу 3 ↑ ↑ 7,6 трлн. Это башня

в которой 7,6 трлн этажей! Представьте, что мы выписываем ее полностью: если каждая тройка будет иметь высоту два сантиметра, башня растянется до Солнца. Поэтому данное число иногда называют солнечной башней. Честно говоря, я боюсь его вычислять.

Но мы не собираемся на этом останавливаться.

Как насчет 3 ↑ ↑ ↑ ↑3? От этого реально сойти с ума. Если вы начнете вычислять, вы получите

Мы боялись вычислить даже солнечную башню, а теперь приходится иметь дело с солнечной башней двойных стрелок! Честно говоря, это уже просто неприлично. Гугол и гуголплекс давно за спиной. У нас нет ничего, что имело бы такой размер. Нужно признать, что мы вышли за рамки физической реальности. Но мы все еще и близко не подобрались к числу Грэма.

Выбора нет — надо продолжать.

В этом месте Грэм вводит понятие лестницы. Каждая ступенька — это число, которое намного больше всего предыдущего. Нижняя ступенька лестницы Грэма обычно называется g₁, и это то самое монструозное число, с которым мы только что встретились:

g₁ = 3 ↑ ↑↑ ↑ 3.

Шагаем на следующую ступеньку и внезапно обнаруживаем, что мы поднялись на

Посмотрите, сколько стрелок: их g₁! Четырех уже было достаточно, чтобы породить чудовищное число, а теперь чудовищным стало количество стрелок. Монстр из монстров. Но мы все еще далеко от числа Грэма.

Сделаем еще один шаг по лестнице:

Нет смысла даже пытаться описать, насколько велико это число. Слова слишком сильно отстали от математики. Но надеюсь, вы видите закономерность: с каждой новой ступенькой на лестнице Грэма количество стрелок неимоверно увеличивается. Воздействие на само число вообще непостижимо. Итак, продолжаем подниматься: от g₃ к g₄, от g₄ к g₅ и т. д. К тому времени, когда мы достигнем шестьдесят четвертой ступеньки, мы окажемся далеко, далеко, далеко, далеко в стране больших чисел и не сможем понять, где мы. Зато мы наконец пришли к цели: g₆₄ — это и есть число Грэма.

Невелика точность, если ответ на математический вопрос лежит где-то между числом 6 и неимоверно большим числом g₆₄? Рон Грэм соглашался с этим, но для него это подчеркивало разрыв между тем, что вы считаете истиной, и тем, что вы можете доказать. Мы знаем, что существует точный ответ на первоначальный вопрос Грэма и Ротшильда, и он скрывается где-то на этом невероятно огромном интервале, но найти его точно? Что ж, удачи. На самом деле этот интервал значительно сократился с тех пор, как Грэм и Ротшильд написали свою статью. Сейчас мы знаем, что ответ находится где-то между 13 и 2 ↑ ↑ ↑ 5. Это улучшение, но его явно не хватит, чтобы удовлетворить требования разгневанной инопланетной расы, проверяющей человечество с помощью проблем из теории Рамсея.

В истории математики число Грэма — настоящий левиафан, но я боюсь, что его великолепие теряется из-за абстракции. Чтобы лучше понять его, мы обратимся к физике и выясним, почему это число настолько велико, что способно убить.

Слишком много информации

Что делает число Грэма таким опасным? Почему ваша голова сколлапсирует, если вы будете размышлять о его десятичном представлении? Оказывается, в таком изображении числа Грэма есть энтропия — много энтропии, — а каждый раз, когда вы пытаетесь втиснуть слишком много в слишком маленькое пространство, неизбежно образуются черные дыры. Может показаться странным, что число способно нести энтропию так же, как яйцо или трицератопс, однако энтропия тесно связана с информацией, а последняя в числе Грэма, безусловно, содержится. Если бы я назвал вам его последнюю цифру, у вас появилось бы новое знание. Если бы я назвал вам его полное десятичное представление, вашей голове пришлось бы втискивать гораздо больше информации. Поглощение такого большого количества энтропии в замкнутом пространстве приведет к единственному возможному результату: смерти от превращения головы в черную дыру.

Чтобы понять связь между черными дырами, энтропией и десятичным представлением числа Грэма, нам нужно изучить смысл информации. Мне известна последняя цифра числа Грэма, и я предлагаю вам узнать ее. Вы можете задавать мне какие угодно вопросы, но я буду отвечать только «да» и «нет». Предположим, вы придерживаетесь следующей стратегии.

Это цифра от 0 до 4? Нет.

Это 5, 6 или 7? Да.

Это 5 или 6? Нет.

Вы понимаете, что ответ — семерка.

Вы узнали это за три вопроса. Стратегия была удачной: с каждым новым вопросом круг возможных цифр существенно уменьшался. В среднем такая стратегия определит случайно выбранную цифру за 3,32 вопроса. Именно таким методом Клод Шеннон, криптограф и пионер теории информации, предложил измерять количество информации: минимальное число ответов «да» или «нет», необходимое, чтобы точно определить то, что вы хотите знать.

Шеннон сочетал очевидный талант к вычислительной технике и математике с практическими навыками первоклассного инженера. Он всегда что-то мастерил: от летающих тарелок-фрисби с ракетным двигателем до одноколесных велосипедов и жонглирующих роботов. Самое хулиганистое его творение — машина, при включении выдвигавшая механическую руку, которая тут же отключала машину. Шеннон также дружил с Роном Грэмом; эта дружба выросла из интереса Шеннона к жонглированию: старик хотел научиться этому искусству, а Грэм согласился быть преподавателем. В итоге Шеннон умел жонглировать четырьмя мячами — на один больше, чем могли осилить его роботы.

Интерес Шеннона к теории информации произрастает из его работ военного времени над кодами и коммуникациями в компании Bell Telephone Laboratories в Нью-Джерси. Он понимал важность передачи информации, особенно во время войны, и что нередко она трудна или даже опасна. Шеннон хотел выяснить, как эффективно передать сообщение, когда мешает сильный «шум», и для этого ему потребовалось определить хорошую меру для количества информации.

Чтобы понять его меру, подбросьте монетку. Чтобы определить результат броска, вам нужен всего один ответ вида «да» или «нет» — достаточно спросить: выпал орел? Таким образом, один бросок монеты несет один бит информации. Пять бросков монеты дают пять бит, гугол бросков даст гугол бит. В общем виде нам нужно связать количество битов не с количеством монет, а с количеством возможных исходов. При пяти подбрасываниях монеты можно получить 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 различных исхода. Как извлечь пять бит из этих 32 исходов? Поскольку 32 = 2⁵, пять бит находятся в показателе степени. В случае последней цифры числа Грэма возможны десять разных исходов (последней может оказаться любая цифра от 0 до 9). Сколько это битов? Ситуация немного сложнее, поскольку 10 больше, чем 2³, но меньше, чем 2⁴, поэтому ответ лежит где-то между тремя и четырьмя битами. Оказывается, знание последней цифры числа Грэма несет примерно 3,32 бита информации[67].

Конечно, Шеннона больше интересовали слова и предложения, а не подбрасывание монеты. Самое длинное слово, встречающееся в основных словарях английского языка, — pneumonoultramicroscopicsilicovolcanoconiosis. Это термин для заболевания легких, вызванного вдыханием вулканического кремнезема после извержения. Не идеальная судьба, но, надо полагать, лучше, чем взорвавшаяся голова. Нас интересует, сколько информации содержится в самом этом слове. Поскольку в английском алфавите 26 букв, мы могли бы сказать, что каждая буква — один из 26 возможных исходов. Поскольку это число находится между 16 = 2⁴ и 32 = 2⁵, мы получаем оценку: в каждой букве содержится от 4 до 5 бит информации. Более точный подсчет дает величину 4,7 бита информации[68]. Все наше слово состоит из впечатляющих сорока пяти букв, так что получаем 211,5 бита. Хотя это разумная оценка общего объема информации, содержащейся в нашем слове, в реальности она завышена. В английском языке, как и в любом другом, есть определенные закономерности и правила. Например, рассмотрим слово quicquidlibet, которое буквально означает все, что угодно. В нем вы дважды встречаете букву q и в обоих случаях почти наверняка знаете, что следующей будет u[69]. Разве можно сказать, что чтение буквы u дает вам 4,7 бита информации, если вы уже заранее знали, что именно она и должна появиться?

Такие тонкости говорят нам о том, что вычислять информацию сложнее, чем просто смотреть на возможные исходы: нужно учитывать еще и вероятности. Например, если вы пять раз подбросите симметричную монету, вы действительно получите пять бит информации. А если монета несимметрична и всегда падает орлом? Можете ли вы утверждать, что получили какую-то информацию, увидев, как пять раз подряд выпал орел? Конечно, нет.

Шеннон придумал формулу для информации, которая все это учитывает. Согласно ей, если вы подбросите монету, у которой с вероятностью p выпадает орел, а с вероятностью q = 1 — p выпадает решка, то вы получаете — plog₂p — qlog₂q бит информации. Формула включает логарифмы по основанию 2, потому что Шеннон вычислял информацию в формате бинарных (двоичных) исходов. Она работает именно так, как вы интуитивно ожидаете. Например, если монета честная, то p = q = 0,5, и подбрасывание дает один бит информации. Если монета абсолютно перекошена в сторону орла (p = 1, q = 0) или решки (p = 0, q = 1), то подбрасывание вообще не даст никакой информации. Все остальные варианты лежат между этими крайними случаями.

Но как насчет более сложных вещей, которые действительно интересовали Шеннона, например букв, слов или даже предложений? Как измерить информацию, содержащуюся в них? Что ж, предположим, у вас есть первые несколько букв какого-то неизвестного слова: CHE. Сколько информации содержится в следующей букве, когда она станет известной? Если бы все буквы были равновероятными, мы бы сказали: 4,7 бита. Однако мы знаем, что это неверно. Попробуйте ввести буквы CHE, набирая сообщение на мобильном телефоне. Какие слова появляются в качестве подсказки? Вот некоторые из наиболее вероятных.

CHEERS

CHEAT

CHECK

Это заставляет предположить, что любая из букв Е, А и С имеет более высокую вероятность появления, чем, скажем, В. Если условиться, что буква А встречается с вероятностью p₁, буква В — с вероятностью p₂, буква С — с вероятностью p₃ и т. д., вплоть до Z, имеющей вероятность p₂₆, то, согласно Шеннону, количество информации в следующей букве будет таким:

I = —p₁log₂p₁ — p₂log₂p₂ — p₃log₂p₃ — … — p₂₆log₂p₂₆.

Как обычно, она измеряется в битах. Шеннон проверял способности носителей английского языка угадывать следующую букву в слове. Его эксперименты показали, что в среднем каждая буква содержит от 0,6 до 1,3 бита информации. Может показаться, что это немного, но именно поэтому письменный английский хорош для общения. Если какая-нибудь буква пропущена или введена неправильно, вы не потеряете слишком много информации и, скорее всего, сможете расшифровать th mxssage (или, в случае русского языка, эт сожбщение).

Самое примечательное свойство формулы Шеннона — ее сходство с другой формулой, которую более полувека назад вывел физик Джозайя Уиллард Гиббс. Мы коротко упомянули этого ученого в главе «Гугол», когда отправились на поиски двойников — в экспедицию, которая во многом опиралась на понятие энтропии. Тогда мы отметили, что энтропия подсчитывает микросостояния, но это подразумевало некоторое упрощение: такой метод верен только тогда, когда все микросостояния равновероятны. Именно Гиббс показал, как поступать в более общем случае. Если первое микросостояние имеет вероятность p₁, второе — вероятность p₂, третье — вероятность p₃ и т. д., то энтропия вычисляется по следующей формуле:

S = —p₁lnp₁ — p₂lnp₂ — p₃lnp₃ — …

Поразительное сходство с формулой Шеннона. Разница в том, что Гиббс использует натуральные логарифмы, а Шеннон — логарифмы по основанию 2. На самом деле эта разница условна. Шеннон выбрал основание 2, поскольку хотел измерять информацию в битах, чтобы сравнивать ее с системой из двух исходов (например, при броске монеты). Но это всего лишь вопрос выбора. С тем же успехом вы могли бы измерять информацию в натах. Один нат равен 1 / ln2 ≈ 1,44 бита. В этом случае мы сравниваем информацию не со случаем двух исходов, а со случаем e ≈ 2,72 исхода. По какой-то причине природа предпочитает работать с натами, а не с битами, и, если мы соответствующим образом поменяем единицы измерения, формула Шеннона в точности совпадает с формулой Гиббса.

Действительно ли энтропия и информация — одно и то же? Я бы сказал «да». Обе эти величины измеряют степень таинственности и неопределенности, хотя и подходят к этому вопросу с нескольких разных точек зрения. Мы говорим об энтропии газа, яйца или трицератопса, потому что не можем быть уверены, в каком состоянии они находятся на самом деле. Есть много того, что мы не знаем или не желаем знать. По любому практическому определению трицератопс останется тем же трицератопсом, если мы изменим спин одного из электронов глубоко внутри его кишечника. В то же время энтропия учитывает всю эту неопределенность. Но представьте теперь, что этот вопрос вам небезразличен и вы решили определить спин этого электрона и все остальное, в чем у вас нет уверенности. Вы соберете ужасно много информации. Сколько? Ну это определяется тем, насколько велика была изначальная неопределенность, а это как раз энтропия.

Информация — это больше, чем просто абстрактная идея. Это физическая величина. Мы даже можем задаться вопросом о ее массе. Точное значение зависит от того, в каком виде хранится информация. Например, данные на вашем мобильном телефоне хранятся путем улавливания электронов в блоке памяти. Электроны в этой ловушке обладают чуть более высокой энергией по сравнению с электронами вне ловушки, и поскольку у них больше энергия, то у них больше и масса. Это верно в силу эквивалентности массы и энергии, которую Эйнштейн объяснил с помощью поэзии самого известного своего уравнения E = mc². В среднем один бит данных добавляет около 10^–26 миллиграммов массы. Чтобы масса вашего мобильного телефона увеличилась на вес пылинки, требуется, чтобы он хранил около 10 трлн гигабайт данных[70]. Согласно компании International Data Corporation, это размер глобальной датасферы, объединяющей всю совокупность данных мира.

Мы научились мастерски хранить информацию. Когда текстильщик XVIII века Базиль Бушон придумал, как управлять ткацким станком с помощью перфорированной ленты, в нескольких сантиметрах рулона помещалось всего несколько бит. Чтобы конкурировать с 64 гигабайтами, хранящимися в моем айфоне, Бушону понадобился бы длиннейший рулон ленты — в десять раз больше, чем расстояние от Земли до Луны. Мы уплотняем данные и втискиваем их во все уменьшающиеся пространства, по мере того как технологии ускоряются, чтобы не отставать от спроса. Выпустит ли когда-нибудь компания Apple телефон, способный хранить эти 10 трлн гигабайт?

Уже выпустила.

Мой айфон может использовать свои электронные ловушки для хранения 64 гигабайт фотографий, видеороликов и сообщений WhatsApp, однако он держит гораздо больше информации в другом месте — в полной сети атомов и молекул, из которых состоит. Беда в том, что эта дополнительная информация не особо для нас полезна. Мы не можем прочитать ее или изменить. Мы способны оценить ее величину, вычислив тепловую энтропию телефона. Это примерно 10 триллионов триллионов натов, то есть около 1000 трлн гигабайт[71]. Как видите, в этой микроскопической структуре содержится колоссальное количество данных, однако вы не можете использовать их, чтобы показать бабушке видеоролик, где дети играют с собакой в саду за домом. Возможно, когда-нибудь мы найдем способ хранить один бит данных в каждом из его атомов или даже в каждом из его кварков и электронов. Тогда емкость памяти мобильного телефона станет сопоставима с его тепловой энтропией. Если и когда это произойдет, мы действительно сможем начать размышлять, насколько мы способны хранить данные во все более ограниченных пространствах.

Но придет время, когда данные приведут к клаустрофобии. Черные дыры — это проблема: они ограничивают объем данных, которые можно втиснуть в ограниченное пространство. Причина в том, что черные дыры также несут энтропию. Так и должно быть: иначе что произойдет, если вы бросите в черную дыру какого-нибудь политика? Он несет в себе массу энтропии — от расположения атомов и молекул в ногах до ложной информации, хранящейся в нейронах его мозга. Как только он исчезнет за горизонтом и станет единым целым с черной дырой, его энтропия будет потеряна. Получается, что полная энтропия уменьшилась, а это нарушает второй закон термодинамики. Чтобы защитить второй закон, кто-то должен оплатить счет за энтропию, — если не политик, то черная дыра.

Вы можете получить представление о том, сколько энтропии содержится внутри черных дыр, если посмотрите, что происходит, когда они становятся каннибалами. Если одна черная дыра поглощает другую, общая площадь горизонта всегда увеличивается. Эта потребность в увеличении площади отражает рост энтропии, который мы наблюдали в термодинамике. Яаков Бекенштейн серьезно отнесся к этой связи и в 1972 году предположил, что энтропия черной дыры связана с площадью ее горизонта событий. Но идея Бекенштейна нуждалась в доказательстве. Для нее требовались вычисления. А для них была нужна храбрость и гениальность молодого физика по имени Стивен Хокинг.

Мы уже видели, что Хокинг вычислил энтропию как

где A_H — площадь горизонта, а l_p — планковская длина. Примечательно то, так он это сделал. Вплоть до середины 1970-х черные дыры вели себя так, как положено: они были черными. Во всяком случае, так считали люди. Но затем Хокинг сделал немыслимую вещь: оспорил это утверждение. Он взял определяющее свойство черной дыры — тот факт, что она поглощает все частицы, включая свет, — и показал, что это представление неверно. Для многих это выглядело бессмысленным бредом. Однако Хокинг не был сумасбродом. Он просто понял, что выход из этого природного Алькатраса дает квантовая механика.

В квантовой теории не все так тихо, как кажется. Как мы увидим в главе «10^–120», безмолвная пустота космоса на самом деле представляет собой бурлящий суп из виртуальных частиц, с шумом появляющихся и исчезающих. На самом деле это даже вовсе не частицы: в реальности они представляют собой своеобразный «кризис самоопределения». Когда мы говорим о реальной частице, мы имеем в виду локализованную волну в каком-то конкретном поле: фотон — в электромагнитном; гравитон — в гравитационном; электрон — в «электронном». Проблема в том, что квантовая механика может размыть это описание, — по крайней мере, если два поля умеют взаимодействовать друг с другом. Если нейтрон движется через гравитационное поле, это не всегда просто волна в нейтронном поле, какую-то часть времени он обеспечивает также волнение гравитационного поля. Точно так же волны гравитационного поля часть своего времени колеблют нейтронное поле. Проведем аналогию. Представьте двух людей из очень разных слоев общества: один (Левша) вырос в социалистической среде, другой (Правша) — в гораздо более консервативной. Представьте Левшу как некую волну «левого» поля, а Правшу — «правого». Оба продукты своей среды, воспитанные так, что они уверены в истинности собственной идеологии. А потом они встречаются и начинают взаимодействовать. Они разумные люди, поэтому не только говорят, но и слушают. В результате бывают моменты, когда их четкая определенность ослабляется. Левша по-прежнему остается левым, но иногда делает паузу и задумывается о широком воздействии своих радикальных идей на экономику. Правша по-прежнему предпочитает считать себя консерватором, но иногда его беспокоят социальная справедливость и проблемы неравенства. Примерно так же вы можете представлять виртуальные частицы — как описанное загрязнение идей. Однако такое заигрывание с другими идеологиями продолжается недолго: Левша всегда оказывается верен своим социалистическим идеалам, а Правша — своему консерватизму. Так и с виртуальными частицами: вы никогда не найдете ту, за которую можно цепляться вечно. Волна в других полях — всегда временное явление.

Хокинг размышлял о таком загрязнении в окрестностях черной дыры и понял нечто замечательное: то, что вы считали исключительно временным, иногда становится постоянным. Если пара таких виртуальных частиц образуется вблизи горизонта черной дыры, одна из них может упасть в дыру, а другая ускользнуть. Беглец, навсегда разлучившийся со своим партнером, становится настоящей частицей — остатком, за который можно ухватиться. Она ведет себя точно так же, как если бы ее испустил горизонт событий, вытягивая энергию из гравитационного поля и немного ослабляя его. В результате возникает поток излучения, называемый излучением Хокинга, и черная дыра испаряется.

Хокинг сумел показать, что его излучение придает черной дыре некоторую температуру, и с помощью определенной термодинамической гимнастики вывел формулу энтропии. С научной точки зрения это был удивительно смелый шаг: по тем временам его предложение выглядело крайне радикально. Однако смелый гений Хокинга оказался вознагражден, и теперь его идеи признаны повсеместно.

Объявив, что черные дыры на самом деле не черные, поскольку испускают какое-то излучение, Хокинг тут же ошеломил всех еще раз: квантовая механика нарушается.

Во многих странах есть конституция — базовый набор правил, установленных отцами-основателями, которые изложили собственное видение будущего молодой нации. То же верно и для нации квантовой механики. У нее есть своя конституция — ряд фундаментальных постулатов, написанных пионерами квантовой теории, среди которых Бор, Гейзенберг, Борн и Дирак. Одно из этих фундаментальных правил гласит, что ничто никогда не теряется: то, что входит, должно выйти. Хокинг понял, что черная дыра, похоже, игнорирует это утверждение: она начинается как чистое квантовое состояние, а заканчивает свои дни в виде излучения, которое он описывал как смешанное состояние. В предыдущей главе мы уже сталкивались с чистыми и смешанными состояниями. Чистые состояния сообщают вам все, что нужно знать о квантовой системе, — в отличие от смешанных, когда некоторая информация отсутствует. Фокус в том, что квантовая конституция запрещает любую потерю чистоты: вы не можете перейти от чистого состояния к смешанному, потому что информация не должна просто исчезать. Она всегда должна где-то остаться, даже если ее трудновато обнаружить. Казалось, что черные дыры восстают против квантовой механики.

Описанная ситуация известна как информационный парадокс. Это одна из тех загадок, которые настолько глубоки, что их решение должно открыть действительно важные сведения о мире, в котором мы живем. Хокинг любил делать ставки на вещи такого рода. В 1997 году вместе с Кипом Торном он заключил пари с физиком из Калифорнийского технологического института Джоном Прескиллом: тот полагал, что информация никогда не теряется, даже внутри черной дыры; Хокинг и Торн считали иначе. Победитель в споре должен был получить энциклопедию по своему выбору. Вполне подходящий приз, если учесть, что результат спора на самом деле зависел от того, можно ли воспроизвести информацию, содержащуюся в энциклопедии, если кто-нибудь по неосторожности уронит ее в черную дыру. Семь лет спустя Хокинг предложил решение этого парадокса и счел себя проигравшим в пари. Он послал Прескиллу экземпляр «Полной энциклопедии бейсбола», пошутив, что вместо этого ему следовало бы сжечь книгу и отправить пепел. Ведь информация все равно должна сохраниться! А вот Торн не стал платить, потому что предложение Хокинга его не убедило. Оно действительно не обрело популярность. И все же есть весьма серьезные причины полагать, что черные дыры не восстают против квантовой механики (информация в них не теряется), и мы объясним причины в следующей главе. Квантовая механика слишком ценна, чтобы от нее отказываться.

Черные дыры обладают огромным количеством энтропии относительно своего размера. Это позволяет им хранить огромные объемы информации — той, которая, в соответствии с нынешними представлениями, доступна теоретически, но не практически. Черная дыра размером с мой айфон могла бы хранить аж 10⁵⁷ гигабайт[72]. Это оставляет далеко позади те 64 гигабайта, где я храню фотографии и сообщения, или даже 10¹⁵ гигабайт, содержащихся в атомарной структуре айфона. Ничто не хранит информацию так эффективно, как черная дыра.

Чтобы понять причины, предположим, что вы — межгалактический путешественник, намеревающийся посетить экзопланету Kepler-62f, которая вращается вокруг звезды Kepler-62. Эта звезда немного меньше и холоднее нашего Солнца; она находится в созвездии Лиры, а расстояние до нее — примерно тысяча световых лет. Повод слетать туда имеется. Программа SETI считает Kepler-62f подходящим местом для поиска внеземной жизни. Это старая твердотельная планета, расположенная в обитаемой зоне; ее поверхность покрыта океаном, а времена года похожи на наши[73]. Вы летите туда на космическом корабле, который не слишком велик: он вмещается в сферу диаметром три метра. Корабль набит битком: продовольствие, топливо и, важнее всего, огромное количество информации в компьютерных системах. Общая масса корабля — примерно миллион килограммов. Вы не знаете точно, сколько в нем содержится энтропии, но понимаете, что она велика, — из-за всей этой информации.

Приблизившись к планете Kepler-62f, вы замечаете нечто тревожное: вокруг вашего космического корабля сформировалась какая-то гигантская оболочка, вы внезапно оказались внутри внеземной сферы. Непонятно, откуда взялся этот кокон, но на случайность это не похоже. Вы убеждены, что это нападение жителей планеты, поместивших корабль в сферическую тюрьму. После тестов оказывается, что кокон состоит из какого-то очень плотного материала — более плотного, чем нейтронная звезда. Вы немного паникуете. Вычисления показывают, что общая масса оболочки немного не дотягивает до 10²⁷ килограммов. Теперь вы паникуете уже всерьез. Как эта оболочка сохраняет свою форму? Почему она не разрушается и не излучает вещество? Впрочем, эти вопросы не имеют особого смысла, зато вас сильно беспокоит то, что оболочка, похоже, сжимается. Расчеты говорят, что совокупная масса корабля и этого кокона превышает пороговое значение в 10²⁷ килограммов. Если оболочка стянется до диаметра трех метров, соприкоснувшись с космическим кораблем, то слишком большая масса окажется втиснутой в слишком маленькое пространство. Неизбежно появится черная дыра.

К несчастью, вы умираете задолго до того, как оболочка подойдет к трехметровому порогу: вас разрывают в клочья гравитационные приливы. После этого жители Kepler-62f отправляют зонд, чтобы исследовать черную дыру, в которой находится ваш корабль. Их цель — установить, сколько вы знали; иными словами, сколько информации имелось на борту корабля, пока его не поглотила черная дыра. Инопланетяне измеряют диаметр горизонта событий. Поскольку он равен 3 метра, обитатели планеты вычисляют, что энтропия черной дыры составляет около 2,7 × 10⁷⁰ нат. Инопланетяне знают, что общая энтропия не может уменьшаться со временем. Хотя до вашего попадания в ловушку на борту корабля могло храниться много информации, чужаки понимают, что ее не могло быть более этой итоговой величины — 2,7 × 10⁷⁰ нат.

История, конечно, немножко фантастическая. Обитатели планеты Kepler-62f никак не могли создать и контролировать кокон такой высокой плотности. Но это неважно. На самом деле это всего лишь мысленный эксперимент, который придумал удивительно изобретательный американский физик Леонард (Ленни) Сасскинд. Он хотел показать, как черные дыры ограничивают количество энтропии, которое можно хранить в ограниченном пространстве. Возьмите любой объект — космический корабль, трицератопса или даже просто яйцо — и целиком поместите его в самую маленькую сферу, с которой сможете управиться. Сасскинд показал, что энтропия этого объекта не может превышать энтропию черной дыры, горизонт которой совпадает с такой сферой. В нашей фантастической истории космический корабль помещался в сферу диаметром три метра. Затем инопланетяне показали, что его энтропия ограничена энтропией черной дыры точно такого же размера[74].

Мы можем применить идею Сасскинда к человеческой голове. Чтобы установить абсолютный предел объема информации, которая может в ней храниться, достаточно вычислить энтропию черной дыры размером с голову. Если вы когда-нибудь попробуете выйти за этот предел, попытаетесь втиснуть слишком много сведений в ограниченное пространство в голове, та гарантированно сколлапсирует под действием гравитации. Вы станете жертвой превращения головы в черную дыру.

Задумайте число

Я не всегда думаю. Жена сказала, что я не думал, когда решил спустить воду из посудомоечной машины с помощью пылесоса. Да, я прекрасно знаю, что вода и электричество — опасное сочетание. Мой план состоял в том, чтобы втянуть воду в шланг, а затем быстро отключить электричество. Если бы все получилось, я бы перелил воду в раковину до того, как она бы соприкоснулась с электрическим оборудованием. К счастью, вернувшаяся домой жена положила конец такой идее еще до того, как я успел сломать пылесос и себя. Полагаю, как раз поэтому я и не экспериментатор. У меня все хорошо с ручкой, бумагой и хитрыми расчетами, но, чем бы вы ни занимались, не подпускайте меня близко к дорогим приборам. Похожие проблемы были у выдающегося немецкого теоретика Вольфганга Паули, одного из пионеров квантовой механики, который сыграет большую роль во второй половине этой книги. Говорили, что Паули может сорвать эксперимент, просто находясь поблизости, так что, полагаю, я в хорошей компании.

Но иногда я все же думаю. Обычно о футболе или о физике, а в моменты особенного безрассудства даже о числах. Когда случается что-либо из указанного, в моем мозге происходят определенные события. Что делает мозг, когда думает о каком-то числе? Что нужно делать, чтобы думать о действительно больших числах? А что произойдет, если мозг возьмется за число такой величины, как число Грэма?

Воспоминания, крупицы знаний и, возможно, даже последние пятьсот цифр числа Грэма хранятся в мозге в виде различных схем в сети нейронов. В любой момент одни нейроны находятся в состоянии покоя, а другие возбуждены. Как правило, мозг пытается задействовать как можно меньше нейронов. Всего у человека около 100 млрд нейронов. Если учесть, что каждый из них может быть либо возбужден, либо нет, мы получаем величину примерно в 100 млрд бит. Это намного превышает наши практические потребности, если только мы не решим взяться за число Грэма. Возможно, вы надеетесь представить его десятичную запись в своем воображении, если сможете очистить свой разум от всей лишней информации: попытаетесь забыть состав своей семьи, как выглядит яйцо или как распознать звук пения птиц. Оказавшись в этом медитативном состоянии, вы можете попробовать внести в мозг число Грэма, цифра за цифрой, используя все более сложные схемы нейронов. Но даже если бы вы умели манипулировать своим сознанием так радикально, вы бы все равно потерпели неудачу. Проблема в том, что в десятичном представлении числа Грэма намного больше 100 млрд цифр. Вы не можете представить себе даже «солнечную башню», не говоря уже о числе Грэма.

Чтобы улучшить ситуацию, мозг должен научиться хранить информацию более эффективно. Мы знаем, что нет ничего более эффективного для хранения информации, чем черная дыра. Может ли ваш мозг найти способ имитировать эти приемы хранения, какими бы они ни были? Гия Двали, директор института физики Макса Планка в Мюнхене, предположил, что это возможно для определенных типов нейронных сетей. Его логика основана на некоторых очень интересных идеях о черных дырах и о том, как они хранят свою информацию. Помните, что этот вопрос все еще открыт и мы обсуждаем исследования, которые находятся на переднем крае науки. Начнем с того, что Двали и его сотрудники считают, будто черная дыра ведет себя как конденсат Бозе — Эйнштейна. Это особое состояние материи, в котором значительная часть частиц находится в одном и том же квантовом состоянии с минимально возможной энергией. Вы можете получить конденсат Бозе — Эйнштейна, охладив газ чрезвычайно низкой плотности до температур, близких к абсолютному нулю, как это было впервые сделано в 1995 году с атомами рубидия. Странность этих конденсатов в том, что они проявляют квантовое поведение даже на макроскопическом уровне. Двали считает черные дыры конденсатом огромного количества гравитонов — квантовых волн в гравитационном поле, — упакованных настолько плотно, насколько вообще возможно. Затем информация сохраняется в квантовых волнах самого конденсата. Оказывается, это очень эффективный способ хранения данных: огромные объемы информации и очень малые затраты энергии; именно этого вы и ожидаете от черной дыры. Однако ученый пошел дальше и создал модель нейронной сети, способной хранить информацию весьма похожим образом. А что, если ваш мозг сумеет сохранять информацию, используя подобную нейронную сеть?

Этого по-прежнему недостаточно, чтобы вместить число Грэма.

Все действительно сводится к тому количеству данных, которое можно впихнуть в человеческую голову. Каков здесь максимум? Чтобы ответить на этот вопрос, я решил посмотреть на свою собственную голову, которая, насколько я прикинул, имеет радиус около 11 сантиметров. Если воспользоваться формулой Хокинга, мы обнаружим, что черная дыра такого же радиуса обладает огромным количеством энтропии, эквивалентным десяти миллиардам триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт информации. Это максимальное количество информации, которое кто-либо или что-либо может когда-либо надеяться удержать в области пространства размером с мою голову. Сравните это с Большим адронным коллайдером — машиной, которая с удовольствием производит просто неприличные объемы данных, но при этом дает всего лишь 10 млн гигабайт данных за целый год. Однако и десять миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт никак не хватит, чтобы изобразить все число Грэма. Даже близко недостаточно.

А что насчет вашей головы? Может, с нею будет лучше? Увы, каждая человеческая голова ограничена примерно одним и тем же пределом: около десяти миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт. Конечно, в реальности ваша голова никогда не сможет сохранить такое огромное количество гигабайт, особенно если вы еще живы. Вспомните, что информация имеет массу; и, чтобы приблизиться к этому значению, вам нужно упаковать в относительно небольшое пространство головы весьма серьезную массу, в десять с лишним раз превышающую массу Земли. По мере того как в голове будут прибавляться данные и масса, возникнут огромное внутреннее давление и угрожающе высокие температуры. Ваша голова обязательно взорвется, и, возможно, не один раз. О выживании не может быть и речи.

Но мы не должны допустить, чтобы смерть помешала такому интересному мысленному эксперименту. Представьте, что друзья унесли ваше бездыханное тело и то, что осталось от головы, далеко-далеко, в невидимые глубины межзвездного пространства, далеко от посторонних глаз. Они уважают ваше желание и продолжают вводить число Грэма — цифра за цифрой. Если каким-то образом удастся сохранить данные в голове, то в итоге можно достичь вышеописанного порога в десять миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт. В этот момент головы уже нет — на ее месте черная мини-дыра. Если вы втиснете столько информации в такой маленький объем, единственным физическим объектом, способным ее сохранить, останется черная дыра.

Впрочем, тела тоже не будет. Оно не сможет пережить близость к черной дыре размером с голову. Да и мало что смогло бы пережить. Возможно, вам кажется, что такая небольшая черная дыра не должна быть особо разрушительной. Но вспомните, что внутри пространства, которое когда-то было вашей головой, сконцентрирована масса десяти таких планет, как Земля. Нельзя недооценивать гравитационное воздействие такого объекта. Когда вы имеете дело с черными дырами, беспокоиться надо именно о небольших по размеру. Черная дыра размером с голову окажется гораздо опаснее, чем Повехи — того колосса, с которым мы столкнулись в конце главы «1,000000000000000858». Из-за ее небольшого размера все объекты, находящиеся недалеко от ее горизонта, оказываются слишком близко к сингулярности и неизбежно будут разодраны на части гравитационными приливами. Чтобы разорвать человеческое тело, требуется всего лишь примерно 10 000 ньютонов. На границе черной дыры размером с голову на ваше тело будет действовать приливная сила, которая в триллион с лишним раз больше.

Маленькие черные дыры ужасающе реальны. Конечно, те из них, с которыми можно столкнуться в природе, возникают не потому, что в какого-то беднягу насильно вбили число Грэма. Они появляются и не в результате коллапса звезд. Эти крошечные драконы обычно рождаются в первичном бульоне младенческой Вселенной. В младенческом состоянии горячая Вселенная была наполнена излучением. Оно не было идеально равномерным. В некоторых местах рябь энергии оказывалась такой плотной, что порождала гравитационный коллапс. Образовавшиеся черные дыры были маленькими — гораздо меньше, чем те, которые получаются из звезд. Некоторые из них были совсем крохотными и уже давно испарились из-за излучения Хокинга. Но все, превышавшие размерами триллионную долю миллиметра (включая черные дыры размером с вашу голову), могут существовать и сегодня. Есть масса домыслов и предположений, что эти древние объекты могут быть одним из основных компонентов темной материи — загадочной невидимой субстанции, составляющей большую часть материи Вселенной. Наша собственная галактика окутана огромным ореолом этого вещества, и его намного больше, чем видимых звезд. При этом черные дыры размером с голову могут составлять до 10 процентов этой материи. Итак, как я уже сказал, такие вещи реальны. Возможно, галактика даже полна ими.

Мы почти закончили наш эксперимент. Вы наконец ощутили смерть в результате превращения головы в черную дыру и теперь представляете собой черную дыру размером с голову, одиноко плывущую в межзвездном пространстве. Честно говоря, вы стали какой-то гадостью, которую скорее можно принять за темную материю, чем за человека, которым вы когда-то были: чудовищем, разрывающим в клочья любого, кто попытается к вам приблизиться. Ради чего? Ради десяти миллиардов триллионов триллионов триллионов триллионов гигабайт данных, часть которых вы теряете из-за излучения Хокинга. И увы, вы даже не приблизились к числу Грэма.

Поэтому вы продолжаете.

Ваши друзья продолжают скармливать вам данные. Еще одна цифра числа Грэма. И еще одна. И еще. Ваша черная дыра растет, а ее горизонт событий расширяется все дальше. Он обязан расти, поскольку появляется все больше энтропии и все больше информации. В конце концов вы достигнете размера Повехи. В этот момент вы содержите 10⁸⁶ гигабайт, но все же вы только начали двигаться к числу Грэма. С другой стороны, вы уже не так опасны, как раньше. Из-за вашей величины приливные силы в окрестности вашего горизонта очень малы. Если бы человек, которого вы любите, приблизился, чтобы поцеловать вас, его бы не разорвало. Считается, что ему придется сильно постараться, чтобы не упасть в черную дыру, но если он как-то сможет отдалиться, то есть некоторая надежда, что он при этом не окажется разорванным в клочья. Невелико счастье, но все же.

Вы продолжаете.

Больше цифр. Больше данных. Наконец горизонт черной дыры расширяется на миллиарды световых лет, заполнив большую часть наблюдаемой Вселенной. На этом этапе начинает ощущаться нечто новое и неожиданное: деситтеровский горизонт. Это важный вопрос, так что нам стоит воспользоваться моментом, чтобы объяснить, что это такое.

Мы живем в необычной Вселенной. Еще в 1998 году две группы астрономов под руководством Адама Рисса и Сола Перлмуттера заметили нечто странное. Они наблюдали за смертью далеких звезд, выходивших на свой последний парад; эти звезды превращались в сверхновые. Однако собранный учеными свет был тусклее, чем ожидалось, словно эти звезды располагались дальше, чем нам казалось. Это указывало на ускорение. Звезды оказались дальше, потому что пространство расширялось все быстрее. Оно ускорялось. Мы этого не ожидали, потому что гравитация притягивает. Можно было бы ожидать, что она замедляет расширение космоса, поскольку ее безжалостные объятия стягивают пространство-время. Однако что-то раздвигает Вселенную.

Что может сотворить такое? Мы называем это темной энергией, но это всего лишь обозначение, которое мы даем какому-то неизвестному преступнику, — например, Джеку-потрошителю или буке, которой пугают детей. Многие считают, что темная энергия связана с вакуумом космического пространства. Вполне разумная идея в нашей квантовой Вселенной, где вакуум — бурлящий бульон из виртуальных частиц, заполняющий пустыню между звездами и галактиками. Не надо думать о нем как о субстанции, которую можно удержать или поймать (вы никогда не сможете удержать виртуальную частицу), однако вы можете почувствовать его воздействие, поскольку он загрязняет гравитационные поля, расталкивая Вселенную во все стороны и заставляя ее расти с вечно увеличивающейся скоростью. Вселенная, ускоренная бульоном своего вакуума, известна как деситтеровское пространство (Вселенная де Ситтера, или модель де Ситтера). Название дано в честь голландского физика, который первым задался вопросом, на что похожа жизнь в таком месте.

Обнаруженные Риссом и Перлмуттером сверхновые, похоже, заставляют предположить, что мы направляемся именно в мир де Ситтера, где звезды и галактики разлетаются все дальше, не оставляя ничего, кроме вакуума и ускоряющего бульона. Если это так (а большинство физиков сейчас с этим соглашаются), каждый из нас окружен огромной космологической оболочкой диаметром почти в триллион триллионов километров. Она представляет собой своеобразный горизонт, хотя он сильно отличается от горизонта событий, обозначающего край черной дыры. Этот деситтеровский горизонт обозначает границу того, что мы можем когда-либо надеяться увидеть, даже если бы мы жили вечно. Возможно, вам кажется странным, что такая граница может существовать. В конце концов, если подождать достаточно долго, времени хватит, чтобы принять свет даже от самых далеких звезд и галактик. Но это не так. Когда действует ускорение, эти далекие звезды удаляются от нас все быстрее. Пространство между вами и ими увеличивается слишком быстро, свет не может успеть за этим процессом. Даже с вечностью в кармане вы никогда не сможете заглянуть за пределы деситтеровского горизонта. Свет этих далеких миров никогда не сможет добраться до вас.

Всякий раз, когда есть предел тому, что вы можете видеть, используется слово горизонт. Однако важно понимать, что деситтеровский горизонт имеет больше общего с океанским горизонтом, чем с горизонтом событий черной дыры. Это не вход в темницу и не покров какой-то ужасной сингулярности. При этом он не имеет абсолютного местоположения. Подобно океанскому горизонту, это явление относительное, персональное. Каждый человек может описать собственный деситтеровский горизонт — обширную космологическую сферу с собой в центре. У вас есть свой деситтеровский горизонт — ваша персональная граница между тем, что вы можете видеть, и тем, что не можете, и он пролегает не там, где пролегает мой горизонт или горизонт инопланетянина из галактики Андромеды. При желании вы могли бы пересечь горизонт этого инопланетянина, а он ваш — так же легко, как далекий корабль может в океане скрыться за горизонтом для другого корабля.

Давайте заканчивать наш эксперимент. По мере того как вы собираете все больше цифр числа Грэма, ваш деситтеровский горизонт раздвигается. Горизонт событий вашей черной дыры продолжает расти, расширяясь все дальше, пока в конце концов не соприкоснется с вашим деситтеровским горизонтом. Такая ситуация известна как предел Нариаи. Вы не можете больше увеличивать свою черную дыру. Ваши друзья могут попытаться вложить еще больше данных и вытолкнуть вас за пределы вашей собственной космологической оболочки, но дела пойдут плохо. Уравнения заставляют предположить, что природа будет сопротивляться, заставляя Вселенную перейти в Большое сжатие. И несмотря на все, что вам пришлось пережить, вы не приблизитесь к числу Грэма.

В общем, если вы действительно хотите зафиксировать всю информацию в числе Грэма, вам понадобится Вселенная побольше. Если у нее есть деситтеровский горизонт, он должен быть не меньше числа Грэма — в метрах, милях или любых других единицах, которые вы решите использовать. Мы живем в другом месте (наши деситтеровские горизонты ничтожны по сравнению с этой величиной), однако подобная Вселенная в принципе могла бы существовать. Теория струн предсказывает мультивселенную — огромное множество Вселенных, имеющих разные размеры, форму и количество измерений. Если в этой мультивселенной существуют гиганты с невообразимо большой космологической оболочкой, то, возможно, найдется место для Грэма и его исполинского числа.

При счете 47–47 в последнем сете табло корта № 18 Всеанглийского клуба лаун-тенниса и крокета отказало. Шел Уимблдонский теннисный турнир 2010 года. Француз Николя Маю (прошедший в турнир через квалификационные игры) и его американский соперник Джон Изнер творили историю. На тот момент их матч уже был самым длинным в истории тенниса, но при этом еще далек от завершения. Табло отказало, потому что не было рассчитано на такие продолжительные игры. Инженеры, которые его запрограммировали, не ожидали, что электронике придется обрабатывать столько данных в таком количестве геймов. Когда экран погас, счет продолжил вести арбитр, и к моменту наступления темноты в конце второго дня игры матч остановили при счете 59–59. За ночь программисты починили табло, но предупредили: «Если они сыграют не больше двадцати пяти геймов, все в порядке. Если они будут играть дольше, табло откажет». Повезло. В двадцатом гейме третьего дня Изнер нанес потрясающий удар по линии и тем самым взял гейм на подаче Маю. Война на истощение наконец закончилась. Изнер выиграл: 6–4, 3–6, 6–7, 7–6, 70–68. Непримечательный матч первого круга превратился в удивительное событие. Двое игроков сражались на корте более одиннадцати часов, изнемогая, но не сдаваясь. Оба сделали более сотни эйсов (подач навылет). Для зрителей на корте № 18 и миллионов телезрителей этот матч оказался угрозой вечности.

Уимблдон никогда больше не увидит ничего подобного. В 2018 году, через восемь лет после эпической встречи Маю и Изнера, Всеанглийский клуб решил изменить правила[75]. Организаторы обеспокоились соблюдением расписания и влиянием марафонских поединков на физическое состояние игроков. Они заявили, что со следующего года в пятом решающем сете при счете 12–12 игроки будут играть тай-брейк. Угроза бесконечного матча уменьшилась, но не исчезла, ведь ограничений на продолжительность тай-брейка или отдельного гейма не существует, и теннисный матч по-прежнему потенциально может длиться вечно.

То же верно и для «Монополии». Я уверен, что после нескольких часов игры вы уже задавались вопросом, завершится ли когда-нибудь партия, надеясь приземлиться в отеле в Мейфэр[76], лишь бы все закончилось. Угроза бесконечности есть всегда, если только вы не придерживаетесь исключительно тех игр, которые гарантированно заканчиваются после конечного числа шагов вроде крестиков-ноликов. Шахматы — еще одна конечная игра: если мы используем обязательное правило семидесяти пяти ходов, шахматная партия гарантированно закончится менее чем за 8849 ходов. Итак, если вы намереваетесь оставаться в конечном мире, что делать, если кто-нибудь предлагает сыграть в Игру деревьев? Грозит ли это вам вечностью?

Этот вопрос поставил великий странник Пал Эрдеш, рассказывая о своих путешествиях по математическому миру в конце 1950-х. Эрдеш часто говорил о молодом венгерском математике, с которым он познакомился в Будапеште, когда оба они были еще подростками. Его звали Эндре Вайсфельд, или Эндрю Важони, как он стал называть себя позже. Он поменял имя из-за дискриминации евреев в 1930-х, а затем бежал в Америку. По словам Эрдеша, Важони выдвинул гипотезу, что Игра деревьев всегда будет конечной, однако так и не доказал свое утверждение, а теперь уже умер. На самом деле Важони был жив и здоров, — по крайней мере, когда Эрдеш рассказывал свою историю. Просто на языке Эрдеша он именовался умершим, поскольку ушел из науки и устроился на хорошо оплачиваемую работу авиаинженера. Однако гипотеза оставалась недоказанной. В коридорах Принстона байки Эрдеша с интересом выслушивал один талантливый молодой студент. Его звали Джозеф Краскал.

Весной 1960 года, только что защитив докторскую диссертацию, Краскал доказал, что Игра деревьев гарантированно заканчивается после конечного числа ходов. Однако имейте в виду: хотя игра конечна, она легко может продлиться дольше жизни человека, планеты или даже галактики. Возможно, вам придется играть до смерти Вселенной и еще дольше.

Давайте играть. Идея в том, чтобы построить лес деревьев из определенного множества семян.

Вот типичное дерево.

Как видите, деревья — просто кружки, соединенные линиями. Кружки — семена, а линии — ветви. В нашем примере есть три разных типа семян: черные, белые и крестики. Правила игры таковы: когда вы строите лес, первое дерево должно иметь не более одного семени, второе — не более двух и т. д. Лес умирает, если вы строите дерево, которое содержит одно из предыдущих деревьев. У выражения «содержит одно из предыдущих деревьев» есть точное математическое значение, но, возможно, достаточно представить яблоню. Яблони могут стоять отдельно, а могут вырастать из других деревьях. Возможно, где-нибудь в лесу вы видите определенную яблоню, а затем обнаруживаете какую-то большую сосну, из ствола которой торчит точная копия этой яблони. Такая ситуация в Игре деревьев запрещена.

Чтобы дать более точное определение, сравним несколько деревьев и спросим, «содержит» ли одно из них другое. Например, рассмотрим следующие различные деревья.

Содержит ли дерево A дерево B? Ответ довольно очевиден. Конечно, дерево А содержит дерево B — это видно по верхним ветвям. А что насчет дерева С? Содержится ли и оно в дереве А? На первый взгляд кажется, что нет, но подумайте, что произойдет, если вы прикроете белое семя в центре дерева А. То, что остается, по сути является деревом С. Таким образом, в этом смысле вы можете утверждать, что дерево А действительно содержит дерево С.

Чтобы разобраться с ситуацией, нужно поближе взглянуть на свод правил. Чтобы одно дерево содержало другое, мы должны уметь сопоставлять соответствующие семена, как сделали в вышеприведенном примере, прикрыв белое семя дерева А. Но одного этого недостаточно. Соответствующие друг другу семена также должны согласовываться по своему ближайшему общему предку. Для любых двух семян на верхних ветвях дерева вы можете найти их ближайшего общего предка, прослеживая их родословную в сторону корня и обнаружив то семя, где эти две линии сходятся. Представьте, что семена — это вы и ваш двоюродный брат. Если вы пойдете по своим родословным, эти линии сойдутся у ваших общих бабушки и дедушки.

Посмотрите на черное семя и крестик на верхних ветвях дерева А и дерева С. Прослеживая родословную в обоих случаях, мы видим, что в случае дерева А их ближайший общий предок — белое семя, а в случае дерева С — черное. Таким образом, получилось расхождение. Соответственно, в этом более слабом смысле дерево А не содержит дерево С.

Проясним ситуацию еще на одном примере. Вот еще два дерева.

Содержит ли дерево D дерево E? Первое, что нужно проверить: можем ли мы привести в соответствие семена? Закрываем все семена-крестики в дереве D и видим, что можем. Теперь нам нужно задаться вопросом о предках. Обратите внимание на белое и черное семена в верхних ветвях обоих деревьев. Проследив их родословную, мы видим, что в обоих случаях ближайшим общим предком оказывается черное семя, находящееся в корне. Подходит по всем статьям. Дерево D действительно содержит дерево E.

Теперь, когда правила понятны, мы готовы играть. Возьмем вариант, когда нам разрешено пользоваться только черными семенами. Я делаю ход первым. Помните, что это первое дерево, поэтому в нем может быть максимум одно семя. Изобразим его так.

Ваш ход. И у вас сразу же неприятности. Поскольку это второе дерево в лесу, в нем может быть не больше двух семян. Существует только два возможных дерева, которые вы можете изобразить: либо еще одно дерево из одного семени, либо дерево из двух семян.

Однако очевидно, что мое дерево содержится в обоих ваших возможных деревьях. Какое бы из них вы ни посадили, лес умрет. Избежать этого невозможно, поэтому игра заканчивается после первого же хода. Если использовать только один тип семян, лес может состоять только из единственного дерева, состоящего из одного семени.

Теперь давайте поиграем, когда разрешены два различных типа семян. Игра гарантированно закончится после трех ходов.

Какое бы дерево вы ни посадили дальше, оно обязательно уничтожит лес. Я догадываюсь, что вы не слишком впечатлены. Кому захочется играть в игру, которая обязательно закончится после трех жалких ходов?

Но подождите.

Пришло время сыграть с семенами трех видов — черные, белые и крестики. Давайте попробуем сделать несколько ходов.

Дела идут хорошо — лес все еще жив. Но сколько ходов мы можем сделать? Мы знаем, что в какой-то момент игра гарантированно завершится (это доказал Краскал). Но когда именно? Через сто ходов? Через гуголплекс? Когда число ходов будет равно числу Грэма?

Гораздо позже.

В этой книге мы уже читали истории о числовых исполинах — числах непостижимых размеров. Но эти колоссы — ничто по сравнению с нашим следующим левиафаном. Число, которое обозначают TREE(3), — гигантское предельное число ходов в игре с тремя семенами. Оно входит в крайне экстравагантную последовательность TREE(n). Если вы играете в Игру деревьев с n различными семенами, то игра закончится через TREE(n) ходов. Взгляните, как неспешно она начинается.

TREE(1) = 1 (поскольку игра с одним семенем продлится всего один ход),

TREE(2) = 3 (поскольку игра с двумя семенами продлится максимум три хода),

а потом бабах!

TREE(3) — это число, достаточно огромное, чтобы поглотить и гуголплекс, и число Грэма.

Все ваши представления превратились в ничто. Вы можете перейти к еще большим числам: TREE(4) получается при игре с четырьмя семенами, TREE(5) — при игре с пятью и т. д. Однако достаточно уже TREE(3). Умопомрачительного, невообразимого и безумного.

Первоначальная гипотеза Важони и последующее доказательство Краскала сообщают нам, что Игра деревьев рано или поздно закончится, пока вы играете с конечным числом семян. Американский математик и философ Харви Фридман понял, что она может порождать заодно чрезвычайно большие числа. Талант Фридмана к логике проявился уже в очень раннем возрасте. Когда ему было всего четыре или пять лет, он нашел словарь и спросил у матери, что это. «Книга со значениями слов», — ответила мать. Через несколько дней мальчик оспорил это утверждение. Он сказал, что словари бесполезны, потому что ходят по кругу. Слово «большой» они определяют через слова «крупный», «значительный», а те — через слово «большой». Как вообще можно узнать, что на самом деле что-либо означает? Примерно через десяток лет его ранние таланты обеспечили ему место в Книге рекордов Гиннесса — как самому молодому университетскому профессору: в возрасте 18 лет он получил в Стэнфордском университете звание ассистент-профессора[77].

Фридман заметил, что число TREE(3) невероятно велико. Математик не мог точно определить его, но сумел показать, что оно больше — гораздо больше, — чем любое другое число, которое вы найдете в этой книге. Он дал оценку — снизу — в терминах огромных чисел, известных как числа Аккермана. Чтобы ощутить их размер, нужно вернуться к лестнице Грэма. Возможно, вы помните, что первая ступенька g₁ = 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 была уже чудовищно велика, а дальше числа принимали совершенно неконтролируемый характер. Вторую ступень мы строили с помощью g₁ стрелок: g₂ = 3 ↑^g1 3, третью — с помощью g₂ стрелок: g₃ = 3 ↑^g2 3 и т. д., пока не дошли до шестьдесят четвертой ступеньки и числа Грэма. Но предположим, что вы продолжаете подниматься: на шестьдесят пятую ступеньку, когда число стрелок равно числу Грэма, на шестьдесят шестую, шестьдесят седьмую, на гуголную ступень этой лестницы. Предположим, что вы не отдыхали, пока не поднялись вот на такое количество ступеней:

2 ↑ ^187 195187 196.

В этой формуле 187 195 стрелок Кнута. Это невероятно большое число, но оно всего лишь говорит о количестве ступенек лестницы Грэма! Всего шестьдесят четыре ступени вверх по этой лестнице привели вас к числу Грэма. Можете ли вы хотя бы начать осознавать, куда вас приведут 2 ↑ ^187 195187 196 ступеней? Этот настоящий гигант похож на предложенную Фридманом оценку числа TREE(3), но не питайте иллюзий: это сильно заниженная оценка. На самом деле TREE(3) гораздо больше, этот левиафан среди левиафанов доминирует над всем, с чем мы сталкивались в нашем путешествии по большим числам.

В реальности нет интуитивно ясного способа осознать, почему TREE(3) настолько велико. Какой-то намек можно получить, взглянув на варианты игры, которые мы использовали поначалу. В игре с двумя типами семян мы были вынуждены использовать белые семена, начиная со второго круга. Однако если у нас остается всего один цвет, есть огромный риск обнаружить одно дерево внутри другого, и игре суждено быстро закончиться. А вот при игре с тремя видами семян ко второму кругу у нас остается целых два вида допустимых вариантов. Большая разница: мы можем играть с комбинациями, открывая все больше путей для новых экзотических узоров из деревьев. В конце концов мы исчерпаем все возможности, но это будет нескоро.

Подобные деревья имеют практическое значение. Они возникают всякий раз, когда происходит ветвление — от алгоритмов принятия решений в информатике до дерева жизни в эволюционной биологии. Эпидемиологи используют так называемые филогенетические деревья для анализа эволюции вирусов и антител. Их применяли также к другим эволюционирующим системам, например раковым геномам. Однако интерес Фридмана к деревьям был глубже всего этого. Он искал недоказуемую истину: то, что верно, но при этом принципиально не может быть доказано, — по крайней мере, в рамках собственного математического аппарата. Это не имеет ничего общего с отсутствием умений или таланта у математиков. Такие фундаментальные истины гарантированно останутся недоказанными всегда, даже при самых опытных юристах. Как мы увидим, Игра деревьев — игра в этом математическом суде — является игрой недоказуемых истин.

Недоказуемая истина бьет по основам математики. Математика выросла из какого-то базового набора правил и принципов. Например, на понятии последовательности — того факта, что всегда можно увеличить число на единицу, — вы можете построить идею сложения. Вам нужна только продолжающаяся последовательность, где числа снова и снова увеличиваются на единицу. Далее вы можете разработать умножение, возведение в степень, ввести понятие простых чисел и доказать все теоремы, связанные с простыми числами. Математика — это рукотворная система, которая управляет сама собой. Он создает свой фундамент, свои основные строительные блоки, а из них мы строим городки и мегаполисы математической вселенной. Эти строительные блоки называются аксиомами. Чем больше аксиом есть у вас вначале, тем богаче и сложнее будет созданная вами математическая вселенная. Это интуитивно понятно. Если у меня в распоряжении имеются только желтые кирпичи, то все здания в мегаполисе будут желтыми. Но если есть желтые и красные кирпичи, я могу создавать более интересные узоры. Естественно, я по-прежнему способен возводить желтые дома, но теперь можно также создавать здания, украшенные сложной мозаикой желтого и красного цветов. В главе «Бесконечность» мы рассмотрим еще один пример — границу между финитной (конечной) и трансфинитной математикой. Из финитных кирпичей вы строите финитные здания. Оказывается, чтобы вывести математику в бесконечность, вам нужен новый тип кирпича, известный как аксиома бесконечности.

Интерес к аксиомам математики впервые возник в начале XX века. Многие из ведущих математиков мира тогда начали верить в теорию всей математики. Достаточно установить полный набор аксиом, из которых будет следовать все. Имея такие аксиомы, можно доказать истинность всех истинных утверждений, по крайней мере в принципе. Можно показать, что математика полна и не имеет противоречий. Несомненно, такой вере в математику способствовало осознание ее силы и красоты. Математика покоряла Вселенную. Только еретик мог заявить, что она поломана: что она неполна.

Этим еретиком стал Курт Гедель, блестящий чешский[78] философ и логик, которого многие считают наследником Аристотеля. В декабре 1931 года, когда мир охватила Великая депрессия, Гедель доказал существование недоказуемой истины — тот факт, что математика никогда не может оказаться полной. Какие бы аксиомы в качестве базы вы ни выбрали, всегда найдутся истинные утверждения, которые невозможно доказать. Конечно, вы всегда можете расширить эту базу, добавив в нее еще одну аксиому, которая поможет вам доказать то, что вы хотите. Однако в рамках новой системы все равно существуют верные утверждения, которые не удастся доказать. Аксиомы и доказательства никогда не поспевают за истиной.

Вернемся в наш мегаполис. В нем имеются только желтые и красные кирпичи, поэтому неудивительно, что на улицах преобладают простые здания двух цветов. Эти постройки подобны доказуемым теоремам математики. При наличии достаточного количества времени и усилий городские инженеры могут рассказать вам, как их строили. Однако в каком-нибудь темном закоулке обязательно найдется странное загадочное здание. Нечто недоказуемое. Ни один инженер никогда не сможет рассказать вам, как оно было построено, — по крайней мере, из тех стройматериалов, которыми располагает город. И все же это гордое и безошибочное напоминание о гении Геделя.

Чтобы дать представление о методах, лежащих в основе доказательства Геделя, я планирую убедить вас, что все числа интересны. Предположим, что это не так: существуют неинтересные числа. Если какое-то число действительно неинтересно, вряд ли у него будет своя страница в «Википедии», поскольку писать на странице не о чем. Однако среди этих неинтересных чисел должно быть наименьшее. Для определенности предположим, что это 49 732. Ну теперь мне хочется написать страницу в «Википедии» о числе 49 732, чтобы весь мир узнал об интересном факте: вот самое маленькое неинтересное число. На самом деле число оказывается интересным, и мы пришли к противоречию. Следовательно, неинтересных чисел не существует, все они интересны.

Геделевское доказательство неполноты использует аналогичную идею, хотя оно гораздо строже. Ключом к методу Геделя был разработанный системный код — своеобразный способ математики ссылаться на саму себя. Каждая аксиома, каждое математическое утверждение, истинное или ложное, получили собственный кодовый номер. Вы можете представить, что с каждым утверждением связали определенное число — аналогично коду ASCII. Например, одно число соответствует утверждению «квадратный корень из двух — иррациональное число», а другое — утверждению «1 + 1 = 3». Тогда истинность или ложность любого математического утверждения можно связать со свойством соответствующего числа. Например, можно сказать, что четные числа соответствуют истинным утверждениям, а нечетные — ложным. Конечно, на деле все конструировалось намного сложнее, но дух был именно таким. Вооружившись строгой системой кодирования, Гедель рассмотрел следующее утверждение:

«Это утверждение нельзя вывести из аксиом».

Теперь выйдем за пределы системы и предположим, что математика свободна от противоречий. Это означает, что утверждение Геделя должно быть истинным или ложным. Оно не может быть одновременно истинным и ложным. Предположим, оно ложно. Это означает, что утверждение можно вывести из аксиом. Противоречие. Следовательно, это утверждение должно быть истинным. Итак, мы нашли математически верное утверждение, которое невозможно вывести из аксиом; мы открыли недоказуемую истину, то самое загадочное здание в нашем математическом мегаполисе.

Математика никогда не может оказаться полной.

Теорема Геделя прославила ученого. Она апеллировала к духовной идеологии, к идее, что математическая вселенная никогда не оказывается достаточной. Несмотря на успех, жизнь Геделя омрачалась депрессией, а со временем у него развился параноидальный страх отравления. Он ел только продукты, проверенные и приготовленные его женой Адель. Когда в 1977 году ученый заболел и попал в больницу, он отказался есть и в итоге умер от недоедания 14 января 1978 года.

Математикам хотелось найти более интересные примеры недоказуемой истины, чем надуманный пример Геделя. У них имелся корыстный интерес. Представьте, что вы пытаетесь доказать (или опровергнуть) какую-нибудь известную математическую теорему. Это может быть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха или одна из множества других нерешенных проблем математики. Если вы достаточно молоды, доказательство принесет вам Филдсовскую медаль[79], так что вы работаете на износ день и ночь. Если единственными недоказуемыми истинами становятся искусственные геделевские утверждения, ваш труд имеет шансы на успех. А что, если существуют более интересные недоказуемые истины? Что, если та теорема, над которой вы работаете, верна, но недоказуема в рамках нашей математической базы? Тогда у вас нет шансов. Вы обречены на неудачу.

В 1977 году британский математик Джефф Парис и его американский коллега Лео Харрингтон показали, что самые большие страхи математиков вполне реальны. Работая с урезанной версией математики, известной как арифметика Пеано, они смогли найти истинное утверждение из теории Рамсея, которое нельзя было доказать в рамках этой конкретной системы. Иными словами, арифметика Пеано позволяет придумать теорему, сформулировать ее в явном виде, но не дает возможности доказать ее. Для доказательства требуется выйти за пределы этой арифметики в какую-то более широкую математическую структуру с большим количеством аксиом. Недоказуемая истина Париса и Харрингтона стала предупреждением для математиков всего мира.

Харви Фридман тоже искал недоказуемые истины. Он стремился проанализировать теоремы математики и понять, для каких теорем нужны те или иные аксиомы. Представьте, что вы идете по городу и видите желтое здание. Вы спрашиваете себя: что мне действительно нужно, чтобы построить этот дом? Разумеется, вам понадобятся только желтые кирпичи. Желтые и красные были бы излишеством. Именно такую логику Фридман пытался применить к математике.

Поиски Фридмана привели его к Игре деревьев и недоказуемым истинам, которые таятся внутри ее. Чтобы увидеть их, вы должны сначала сыграть в эту игру в финитном мире — мире конечной математики, математической базе, построенной исключительно из конечных кирпичиков. Конечно, в этом конкретном мире есть много доказуемых истин. Например, легко доказать, что числа TREE(1) и TREE(2) конечны. Все, что нам нужно сделать для этого, — сыграть все возможные партии и посмотреть, когда они закончатся. Точно так же мы могли бы доказать, что число TREE(3) конечно, по крайней мере в принципе. Я помню, как сообщил вам, что игра с тремя семенами может продлиться дальше смерти Вселенной, но сейчас мы занимаемся математикой, а не физикой (кощунство!). Представим будущее, которое окажется достаточно продолжительным, чтобы мы могли играть столько, сколько нам нужно. Сыграв фантастически большое, но конечное число конечных игр, мы также можем показать, что конечны числа TREE(4), TREE(5), TREE(6) и т. д.

Предположим, что мы остаемся в этом конечном мире. Можем ли мы доказать, что числа TREE(n) конечны для всех значений n? По наивности вы наверняка подумаете, что можем, — с учетом всего вышесказанного. Однако это утверждение сильнее, чем утверждение, что число TREE(n) конечно для любого конкретного значения n, например для 3, 4 или гугола. Тем не менее мы все же знаем от Краскала, что такое более сильное утверждение также истинно. Поэтому мы снова спрашиваем: можем ли мы доказать это в финитном мире — так же, как можно доказать, что числа TREE(3) или TREE(4) конечны? Ответ: нельзя. В своем доказательстве Краскал вышел в трансфинитный мир, и Фридман понял, что без этого не обойтись. Итак, вот нужная истина на вашей ладони:

«TREE(n) конечно для всех значений n».

Недоказуемая истина в финитном мире.

Космическая перезагрузка

Теперь я хочу, чтобы вы снова сыграли в Игру деревьев, но на этот раз в реальном физическом мире. На этот раз законы физики начнут затрагивать вас, вашу игру и ту неожиданную Вселенную, которая вас окружает. Благодаря величине числа TREE(3) партия может продлиться очень долго, отдавая вас во власть космической перезагрузки, — причуды нашей оригинальной космологии и ее голографической истины. Но мы забегаем вперед: существует много других интересных вещей, которые могут происходить задолго до того, как вы достигнете космической перезагрузки. Посмотрим, что происходит в реальности.

Вы начинаете игру в парке в прекрасный день: золотая осень, солнечно, а тишину вокруг нарушает только песня случайного дрозда. И вы начинаете. Безмятежность разрушается скоростью вашей игры. Вы играете лихорадочно быстро — с максимальной скоростью, которую допускает физика, и каждое новое дерево появляется каждые 5 × 10^–44 секунд. Это планковское время — самое маленькое время, какое только можно вообразить. Идея более коротких промежутков времени разрушает структуру пространства и времени способами, которые мы пока не понимаем, поскольку гравитация становится жертвой квантовой механики. За двадцать четыре часа вы нарисовали триллион триллионов триллионов триллионов деревьев, но партия еще не закончилась. Помните, что она потенциально может длиться до TREE(3) ходов, а вы и близко не подошли к этому пределу.

Вы играете год — партия продолжается. Вы играете век — и партия продолжается. Я представляю, что вы вечно молоды, как Питер Пэн, не способны стареть и подчиняетесь только физике, а не биологии. Века превращаются в тысячелетия, тысячелетия — в мегагоды (миллионы лет), а игра продолжается. Через 110 млн лет вы замечаете, что Солнце светит примерно на один процент ярче, чем в начале вашей игры, а Земля становится теплее. Континенты приближаются друг к другу и наконец примерно через 300 млн лет объединяются в суперконтинент. Через 600 млн лет Солнце становится таким ярким, что разрушает геохимический цикл углерода на планете. Деревья и леса уже не могут существовать, но вы все равно продолжаете играть. По мере того как уровень кислорода падает, в атмосферу Земли начинает проникать смертоносное ультрафиолетовое излучение. В качестве меры предосторожности вы продолжаете играть в помещении. Спустя 800 млн лет Солнце уничтожает всю сложную жизнь на Земле, — разумеется, кроме вас, поскольку вы продолжаете жить несмотря ни на что. Еще через 300 млн лет, когда Солнце уже на 10 процентов ярче, чем сегодня, начинают испаряться океаны.

Вы играете дальше. Поскольку Земля становится все более непригодной для жизни, убежище предлагает Марс. Через 1,5 млрд лет обстановка там напоминает земные условия во время ледникового периода. Вы решаете перенести свою игру туда. Это мудрый шаг: спустя 4,5 млрд лет Земля с безудержно царящим парниковым эффектом становится такой же негостеприимной, как современная Венера. Примерно в то же время происходит столкновение двух галактик: галактики Андромеды и нашего Млечного Пути; при этом появляется галактическая химера — гигантская галактика Млекомеда. В межзвездном хаосе, который последует далее, судьба Солнечной системы неизвестна. Некоторые модели предполагают, что она отклонится в сторону центральной черной дыры, а потом вылетит из горла галактики как межзвездное отхаркивание. Впрочем, это не будет иметь для вас особого значения. В своем новом марсианском доме, согретом теплом яркого Солнца, вы продолжаете играть.

Еще миллиард лет — и у Солнца заканчивается водород в ядре. В результате наша звезда начинает превращаться в красного гиганта. В течение следующих 2 млрд лет Солнце увеличивается, поглощая Меркурий и Венеру, а возможно, даже Землю. Марс становится слишком горячим, и вы переносите игру на спутники Сатурна. Но тепло длится не очень долго. Примерно 8 млрд лет игры — и внешние слои гиганта улетучиваются. Солнце становится белым карликом. Масса этой слабой звездочки составляет половину нынешней, а размером она едва превышает Землю, так что не может согреть ни одну из выживших планет. Конечно, чересчур фантастично думать, что вы действительно смогли бы пережить такие эпические перемены и эпические времена, но если бы смогли, то нет гарантий, что игра закончится. Предельная величина TREE(3) слишком велика.

Через квадриллион лет Солнце перестает светить. Возможно, оно начнет одиноко бродить по космической пустоте со своими планетами на буксире. Возможно, столкнется с черной дырой. Мы не знаем. То, что в реальности произойдет в последние дни Вселенной, зависит от темной энергии — таинственной субстанции, доминирующей в той космологической эволюции, которую мы наблюдаем сегодня. Сейчас мы знаем, что темная энергия заставляет пространство расширяться все быстрее.

В предыдущей главе мы отмечали: многие физики считают, что темная энергия связана с космическим вакуумом. Предполагается, что в квантовой Вселенной он заполнен бурлящим бульоном из виртуальных частиц, равномерно распределяющих свою энергию в пустыне между звездами и галактиками. Если это действительно источник темной энергии, то нас ждет холодное спокойное будущее — по крайней мере, в течение какого-то времени. Вселенная будет продолжать расти, расширяясь с увеличивающейся скоростью. Примерно через 10⁴⁰ лет большую часть материи, которую мы видим сегодня, проглотит армия сверхмассивных черных дыр, бродящих по Вселенной. Они насладятся захватывающей эпохой своего космического доминирования, а через гуголгод (то есть гугол лет) после нынешнего момента просто умрут. В соответствии с теорией Хокинга они испарятся, распространяя его излучение по всей пустой Вселенной.

По мере продолжения расширения Вселенной эти фотоны и субатомные частицы разлетаются все дальше. В конце концов остается только пустота пространства; однако помните, что она наполнена бурлящим бульоном темной энергии. Теперь вы в деситтеровском пространстве, мерзнущем при температуре чуть выше абсолютного нуля. Это космический эквивалент смерти во сне, без особой драмы, если не считать случайного щекотания от тепловых флуктуаций. И если бы кто-то все еще был способен играть, Игра деревьев могла бы продолжаться.

Но что, если темная энергия — это не кипящий бульон вакуума? Что, если наша судьба отличается от деситтеровского пространства? Тогда смерть Вселенной может оказаться гораздо более жестокой. Например, если темная энергия однажды исчезнет, через миллиард или более лет Вселенная, возможно, перестанет расширяться. Она может даже начать сжиматься, рушиться в себя, стискивая энергию, что в итоге приведет к апокалиптическому сжатию, которое называют Большим сжатием, или Большим хлопком. Самое пугающее в Большом сжатии — скорость стягивания. Это происходит быстро, гораздо быстрее, чем соответствующее расширение. Как вагончик американских горок, Вселенная медленно поднимается, а потом летит вниз с головокружительной скоростью.

Другой возможный вариант предполагает, что темная энергия растет. Она увеличивается, не просто ускоряя расширение, а даже ускоряя ускорение. Происходит Большой разрыв — Вселенная, разделенная на части. Когда она разрывается, пространство расширяется настолько, что планеты отрываются от своих звезд, как ребенок, которого отнимают у матери. Но на этом процессы не останавливаются. Со временем расширение космоса разрывает на части атомы, ядра и все остальное.

Что станет с Игрой деревьев, когда Вселенная вступит в фазу смерти, какой бы она ни была? В случае Большого сжатия или Большого разрыва смерть Вселенной оказывается чересчур грубой, так что игра оборвется. Однако в данный момент большинство ученых предсказывают более спокойное будущее. Все факты — от наблюдений сверхновых до измерения космического микроволнового фонового излучения — указывают, что во Вселенной господствует бурлящий квантовый вакуум, то есть нас ждет замороженное деситтеровское пространство. Если у нас такая судьба, то вы можете представить, что игра продолжается и через гуголгод — все время спокойного умирания нашей Вселенной. Личность игроков изменится за такие колоссальные промежутки времени — это неизбежно: ни один человек не сможет существовать так долго, не став жертвой тепловых и квантовых нестабильностей. Но что насчет самой игры? Может ли она продолжаться столько, сколько нам нужно? Может ли достичь предельного числа TREE(3)?

Нет.

Это спокойное умирание Вселенной не вечно. Через лет, после гуголплексгода (гуголплекса лет), Вселенная повторится. Вселенная повторится. Это время возвращения Пуанкаре — время, которое требуется, чтобы наш уголок Вселенной вернулся сколь угодно близко к тому состоянию, в котором он находится сейчас. Он возвращается в то же квантовое состояние, описывая те же звезды, планеты, людей, жаб и чуждых микробов, какими мы их видим сегодня. Нас ждет повторение, потому что мы окружены гигантской сферой огромной важности, и внутри этой сферы Вселенная может упорядочиться огромным числом способов, но число этих способов конечно: у Вселенной конечное число нарядов. Скоро я объясню, почему это происходит, но сначала вы должны представить, как Вселенная примеряет эти наряды. На разных этапах она выглядит по-разному: так, как она выглядела, когда астероид упал на полуостров Юкатан, так, как она выглядит сейчас, или так, как она будет выглядеть, когда президентом изберут Джастина Бибера. Она примерит каждый наряд во второй раз, затем в третий, четвертый и т. д., вечно возвращаясь к триумфам и провалам своего прошлого. Для нашего уголка Вселенной время возвращения невообразимо велико, но Игра деревьев продолжается значительно дольше. Даже при самом спокойном будущем наша Вселенная отвергает TREE(3). Она перезагружается снова, и снова, и снова — задолго до того, как игра достигнет своего предела.

Возвращение Пуанкаре, названное в честь французского математика Анри Пуанкаре, — свойство любой конечной системы, будь то наша Вселенная, ящик, наполненный газообразным азотом, или даже колода игральных карт. Двигаясь по системе, вы исследуете все возможные варианты, а в итоге вернетесь к тому, с чего начали. А потом двинетесь снова. Существует почти 10⁶⁸ способов перетасовать колоду из 52 карт. Когда вы впервые открываете пачку, карты аккуратно сгруппированы по мастям и разложены в порядке возрастания. Затем вы перетасовываете колоду, портя это красивое расположение и заменяя его каким-то другим. Вы снова тасуете, меняя порядок карт еще раз. Если вы будете тасовать, тасовать и тасовать колоду целый гуголгод, несомненно, вы увидите, что некоторые комбинации повторяются. Однако Пуанкаре доказал нечто более сильное. Если тасование производится действительно случайно, то в какой-то момент карты вернутся к тому упорядоченному расположению, как при их покупке. Это и есть возвращение Пуанкаре.

А что насчет ящика с азотом? Предположим, в начальный момент все молекулы втиснуты в правый верхний угол. Вы видите, как со временем они разлетаются. Они танцуют и сталкиваются, образуя огромное количество расположений и комбинаций, но в какой-то момент возвращаются. Они оказываются в верхнем правом углу, как было в самом начале. Наша Вселенная такая же. Если у нее есть только конечное число способов упорядочения, то по правилам, установленным Пуанкаре, она всегда вернется туда, где находится сейчас. Она повторится.

Я упомянул о гигантской сфере, которая вас окружает. Это артефакт нашего холодного и пустого будущего — будущего в деситтеровском пространстве, где доминирует энергия, хранящаяся в бульоне его вакуума. Из-за этого каждый из нас окружен гигантской космологической оболочкой, известной как деситтеровский горизонт. Я немного рассказывал об этом в предыдущей главе, но полезно повторить. У вас есть свой деситтеровский горизонт, а у меня свой. Ваш горизонт — гигантская сфера радиусом около 17 млрд световых лет, в центре которой вы находитесь. Эта сфера — граница того, что вы сможете когда-либо увидеть. Например, в какой-то невообразимо далекой галактике могут жить инопланетяне, обсуждающие какую-нибудь инопланетную форму Брексита, однако вы никогда не увидите их спор, даже если будете жить вечно. Причина в том, что темная энергия раздвигает пространство между вами и ими с постоянно увеличивающейся скоростью. Естественно, от инопланетян будет отражаться свет, и часть его может даже направиться в вашу сторону, но он никогда не дойдет до вас. Пространство между вами увеличивается слишком быстро, свет от инопланетян не успевает за ним.

Я также упоминал, что деситтеровский горизонт — не то же самое, что горизонт событий черной дыры. Это не граница невозврата и не покров для убийственной сингулярности. Однако, несмотря на важные различия, в некоторых аспектах эти два горизонта очень похожи. Эту идею развили Стивен Хокинг и его бывший ученик Гэри Гиббонс. Они смогли показать, что из вашего деситтеровского горизонта исходит квантовое излучение — точно так же, как оно исходит из горизонта черной дыры. В нашем уголке Вселенной температура этого деситтеровского излучения низка, около 2 × 10^–30 кельвинов, так что его бессмысленно искать, но тем не менее оно существует. По мере того как неустанное расширение пространства разбавляет Вселенную, оно оставляет за собой эту температуру застывшей пустоты. Это похоже на ад Нифльхейма, но с минимальным прикосновением тепла, поднимающим температуру чуть выше абсолютного нуля[80]. И вспомните: когда есть температура, есть и энтропия.

Как энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий, так и энтропия деситтеровского пространства пропорциональна площади деситтеровского горизонта. Окружающий вас деситтеровский горизонт огромен, его площадь составляет почти триллион триллионов триллионов триллионов квадратных километров. Если мы воспользуемся знаменитой формулой Хокинга, связывающей эту площадь с энтропией, мы получим более тридцати миллиардов триллионов гуголов энтропии. Это помогает найти количество микросостояний — нарядов, которые содержит гардероб вашей Вселенной. Такая большая энтропия соответствует космическому гардеробу с  разными нарядами. Хотя он велик — даже больше платяного шкафа Ким Кардашьян, — он конечен. Если вообразить, что Вселенная примеряет новый наряд каждый планковский промежуток времени, или каждую секунду, или даже каждый год, то примерно через перемен она обнаружит, что надела тот же наряд, который носит сегодня. В этом и состоит ее возвращение Пуанкаре — бестактность в моде, навязанная ей космологической оболочкой и замерзшим будущим.

Хотя такое возвращение для нашего уголка Вселенной, видимо, реально (если учесть все, что мы знаем о темной энергии), необходимое для возвращения время настолько велико, что это событие не увидит никто и никогда. Нет ни существ, ни машин, обладающих таким колоссальным долголетием и способных на такие точные измерения. Проблема в квантовой нестабильности. Предположим, у вас есть самый совершенный прибор, способный определять состояние Вселенной с поразительной точностью. Он измеряет сегодняшнюю Вселенную и записывает то, что обнаруживает. Он проводит измерение и сравнение в любой момент будущего, но, чтобы заметить повторение, ему нужно существовать в течение невероятно долгого времени. Это невозможно. Всегда будут вмешиваться квантовые нестабильности, портящие все записи. Возвращение Пуанкаре для нашей Вселенной существует, но никто не обнаружит его экспериментально. В некотором смысле это неполнота Геделя, но физическая, а не математическая: недоказуемая истина в царстве физики. То же мы можем сказать о TREE(3) и Игре деревьев. Этот предел существует в принципе, но он настолько велик, что законы нашей Вселенной никогда не позволят до него дойти.

Голографическая истина

Наше путешествие по стране больших чисел подходит к концу. Мы отважились проникнуть в микромир и макромир. Мы видели размытую реальность квантовой механики, находящуюся внутри всего сущего, добрались до края черной дыры, где время останавливается, и двигались через Вселенную, границы которой неизвестны до сих пор. Я надеюсь, вы начинаете смотреть на числа как на ворота в самую интересную физику во Вселенной: от гугола и гуголплекса — к обнаружению двойников, от числа Грэма — к опасности смерти от превращения головы в черную дыру, а от числа TREE(3) и Игры деревьев — к космической перезагрузке. Эти гигантские числа придвинули нас к пониманию последних результатов современной физики.

Возможно, вы заметили одну общую тему. На каждом шагу нам бросала вызов энтропия — путем ограничений на количество микросостояний, способных описать вас, вашу голову или всю Вселенную, которую вы когда-либо можете увидеть. И все же, несмотря на все последовавшие драмы, существует единый физический принцип, лежащий в основе всего, что мы открыли. Он ближе к современному состоянию физики и гораздо драматичнее всего, что было раньше. Я думаю, вы готовы к этому. Начнем со страшилки.

Будильник требует, чтобы вы проснулись. Не открывая глаз, вы пытаетесь дотянуться и заставить его замолчать. Почти бессознательно поднимаетесь с кровати и бредете в душ. Теплая вода течет по голове, медленно приводя вас в сознание.

А потом ужас.

Вы пойманы в стене, привязаны к двумерной тюрьме. И не только вы. Привязано все: душ, раковина, кровать, где вы спали. Внутри нарастает паника. Вы мчитесь в свою комнату, быстро одеваетесь и летите вниз по лестнице. Ощущение странное. Словно вы двигаетесь по миру, который когда-то знали — миру трех измерений, — однако теперь понимаете, что это на самом деле ложь. Вам приснился кошмар. Нужно сбежать, и вы открываете дверь наружу.

Но ужас только усиливается.

Остальной мир оказался в такой же ловушке, но, похоже, никто этого не замечает. Проезжает на велосипеде хорошо одетая женщина. Взвинченный неряшливый мужчина, похоже, опаздывает. Автобус набит увлеченно болтающими школьниками. Все они сплющены, и никто не осознает этого. Вы бросаетесь к женщине, но она быстро уносится, со страхом оглянувшись. Вы падаете на колени. Когда ужас прозрения начинает переполнять вас, испускаете первобытный крик. Вот так. Это реальность. Вы — всего лишь голограмма.

Это ваша история: физик проснулся и признал голографическую реальность Вселенной. Вот к чему ведет эта книга: к осознанию того, что гравитация и три измерения пространства — нечто вроде иллюзии. Настолько же легко вы можете представить себя в голографическом мире — запертым в границах того пространства, которое мы обычно воспринимаем.

Наверное, мне следует объяснить подробнее.

Голографические откровения начались с Бекенштейна и Хокинга. Они выяснили, что черные дыры несут энтропию — точно так же, как мы с вами, яйцо или трицератопс. Как обычно, эта энтропия подсчитывает все возможные микросостояния, которые могут описать одну и ту же черную дыру. Она также измеряет скрытую информацию. Возможно, вы помните черную дыру в глубине вашего сада, о которой шла речь в главе «Гугол». Дыра увеличила свою массу на массу слона, однако вы не могли сказать, поглотила она слона или энциклопедию, имеющую массу слона. Это означало, что вы могли представить разные микросостояния, описывающие один и тот же макроскопический объект. Иными словами, та черная дыра должна была иметь энтропию.

Однако Бекенштейн и Хокинг пошли дальше. Они поняли, что энтропия черной дыры растет с увеличением площади ее горизонта. Вы можете считать его границей дыры. Это утверждение известно как закон площадей для черных дыр, и он противоречит нашим обыденным представлениям. Видите ли, мы с вами (как яйцо или динозавр) не соблюдаем закон площадей. Энтропия обычных вещей, таких как люди и яйца, фактически растет с увеличением объема, а не площади поверхности. Это интуитивно понятно, и мы даже можем использовать в качестве примера вашу голову. Если вы хотите увеличить объем данных в ней (точнее, если желаете, чтобы она могла сохранять больше энтропии при той же температуре), вам потребуется больше нейронов. А для этого вам понадобится мозг большего размера и большего объема, а не просто большой череп.

Но почему черные дыры ведут себя не так, как остальные объекты? Почему их энтропия растет с увеличением площади поверхности, а не объема? От черной дыры вас и яйцо отличает степень, в которой вы ощущаете сокрушительные объятия гравитации. Черные дыры обладают мощной гравитацией: та их связывает, без нее дыры не могут существовать. Когда гравитация становится настолько важной, правила хранения энтропии отличаются от тех, к которым мы привыкли, и этот фактор бросает вызов вашему представлению о реальности.

В начале 1990-х нидерландский лауреат Нобелевской премии Герард Хоофт и физик из Стэнфорда Ленни Сасскинд, с которым мы познакомились в предыдущей главе, начали осознавать, что на самом деле означают результаты Бекенштейна и Хокинга. Как мы уже видели, они поняли, что черные дыры находятся на вершине энтропийной пищевой цепочки, ограничивая количество информации, которую можно втиснуть в определенный объем пространства. Предел достигается, когда пространство заполнено максимально возможной черной дырой, и в соответствии с законом площадей предельная энтропия определяется площадью поверхности ее границы, а не объемом ее внутренней части. Однако их великое прозрение заключалось в следующем: если максимальная энтропия определяется площадью поверхности границы, нам нужно представлять, что вся информация хранится на этой границе. Иными словами, если я хочу описать физику внутри некоторого объема в трехмерном пространстве, я мог бы с равным успехом закодировать все на границе этого объема — на двумерной поверхности, которая его окружает.

Давайте на миг задумаемся об этом. Сасскинд и Хоофт утверждают, что вы можете найти всю информацию, которая вам когда-либо понадобится, на той поверхности, которая окружает интересующее вас пространство. Это все равно что сказать: настоящее содержимое любой посылки всегда можно найти на ее упаковке. Представьте такую посылку, доставленную к вашей входной двери, — возможно, даже самим Хоофтом. Когда вы снимаете оберточную бумагу, то обнаруживаете книгу: «Фантастические числа и где они обитают». Вы заглядываете в оглавление: почему у Грэма есть какое-то число? Что вообще такое TREE(3)? Отложив книгу, вы берете оберточную бумагу и бросаете ее в мусорную корзину. Но потом вы кое-что замечаете: эта бумага не пустая, а исписана мелкими буквами. Если вас не подводят глаза, то на ней те же слова, что и в «Фантастических числах». Вся информация из посылки хранится на ее упаковке — на границе занимаемого пространства.

Проведем другую, более точную аналогию. Представьте, что вам на Рождество подарили коробку лего, но не простого, а планковского. В ней огромное количество черных и белых кирпичиков, каждый из которых невероятно мал: размер его сторон равен планковской длине (примерно 1,6 × 10^–35). В коробке есть также набор инструкций по сборке вселенной лего. Вы начинаете собирать, и довольно быстро у вас появляется вселенная, подобная той, что показана на следующем рисунке.

^{Вселенная лего}

Это просто маленькая конструкция в виде куба со стороной в восемь кирпичиков со случайным черно-белым рисунком. Согласно гипотезе Хоофта и Сасскинда, мы должны уметь закодировать на границе этой вселенной все, что нам нужно знать о ней. Граница состоит из шести граней, на каждой из которых 64 квадрата — всего 384 квадрата. Поскольку у нас есть два возможных цвета, мы можем закодировать до 2³⁸⁴ различных рисунков. Однако возникает проблема. Если вы точно так же учтете внутреннюю часть, то всего в ней 8 × 8 × 8 = 512 кирпичиков, и поэтому существует 2⁵¹² возможных вариантов их расстановки. Как 2³⁸⁴ возможных рисунка могут закодировать 2⁵¹² вариантов? Истина в том, что не могут. Если Хоофт и Сасскинд правы, то внутри куба должны иметься расстановки, которые не могут существовать: им в принципе запрещено существовать. Что мешает им осуществиться? Что налагает этот запрет? Это может быть только гравитация.

Помните: именно гравитация нарушала энтропийные традиции. Именно она, черные дыры и неожиданный закон площадей привели Хоофта и Сасскинда к мысли, что вся информация может храниться на границе. И поэтому именно гравитация должна мешать вам упаковать один бит информации в каждый планковский кирпичик. В итоге у нас есть два эквивалентных описания нашей вселенной лего: внутренняя часть с расстановками, запрещенными гравитацией, и граница со всеми возможными вариантами — без запретов и, следовательно, без гравитации. Это просто два разных способа описания одной вещи. Когда англичанин увидит тарелку с тефтелями, он назовет их meatballs, а испанец скажет albóndigas. Оба человека описывают одно и то же, но на разных языках. Так и с нашей физической Вселенной. Вы можете либо описать ее с помощью теории пространства трех измерений и силы гравитации, либо использовать другую теорию, привязанную к двумерной границе пространства и без какой-либо гравитации. Как только мы начинаем работать с этой пограничной картиной, мы начинаем считать лишнее пространственное измерение иллюзией. В реальности оно вам не нужно, потому что теория границы охватывает все. В некотором смысле граница и есть всё.

Я понимаю, что это может вас огорчить. Как вы можете ощущать три измерения пространства, если существует идеальное физическое описание, в котором их всего два? Все дело в том, как вы декодируете информацию. На самом деле это тесно связано со способом декодирования голограммы. Итак, как это происходит? Предположим, вы хотите сделать простую голограмму плюшевого медвежонка. Сначала вам нужен лазерный луч, дающий чистый свет одного цвета. Затем он разделяется на два дочерних луча: один падает на медвежонка и рассеивается, а другой отражается от зеркала. Эти два луча возвращаются к фотопластинке с высоким разрешением. Поскольку на один луч игрушка воздействовала, а на другой нет, гребни и впадины двух волн не обязательно приходят в идеальное согласие. Любое несовпадение фиксируется на пластинке посредством интерференционной картины из светлых и темных полос.

^{Как создать и декодировать голограмму}

С подобными идеями мы сталкивались в главе «Гуголплекс», когда обсуждали двухщелевой опыт Юнга. Сейчас детали иные, но ключевой принцип тот же: если два гребня приходят согласованно, вы получаете конструктивную (усиливающую) интерференцию и более светлую полосу; а если в момент появления гребень складывается со впадиной, получается деструктивная (ослабляющая) интерференция и вы видите более темную полосу. Теперь вы можете считать это изображение светлых и темных полос различной интенсивности двумерным кодом трехмерного объекта, однако вам все равно придется проделать определенную работу, чтобы декодировать его. Если вы просто посмотрите на интерференционную картину на фотопластинке, то не увидите ничего интересного. Чтобы оживить изображение, вы направляете на него другой луч того же света и превращаете двумерную информацию в трехмерное изображение исходного плюшевого мишки.

Блеск голограммы в том, что она позволяет создать код для трехмерного изображения на двумерной пластине. Грубо говоря, вы можете считать плотность светлых и темных полос изображением глубины по недостающему измерению. Иными словами, плотная темная полоса кодирует какое-то расстояние по перпендикуляру близко к пластине, а более светлая изображает что-то более далекое. Голограммы Хоофта и Сасскинда сохраняют недостающее измерение весьма схожим образом. Вы ощущаете три измерения, а не два, поскольку именно так ваш мозг предпочел декодировать светлые и темные полосы. Он решил представлять их как третье пространственное измерение и немножко гравитации.

Предположение Хоофта и Сасскинда обычно называют голографическим принципом. Чтобы по достоинству оценить его, на самом деле нам следует говорить о нем на языке теории относительности и квантовой механики. Иными словами, нам в действительности следует говорить о квантовой гравитации в четырехмерном пространстве-времени и о квантовой голограмме на его трехмерной границе (с двумя пространственными измерениями и одним временным). Мы также можем представить применение этих голографических правил ко множеству других Вселенных, включая те, которые выглядят совершенно не так, как наша. Это чисто гипотетические миры, которые сплющены и искривлены удивительным образом и могут даже включать дополнительные пространственные измерения помимо тех трех, которые мы обычно представляем. Но каким бы ни было пространство-время в этих мирах, мы можем попробовать сыграть в нашу голографическую игру. При этом вы ожидаете получить два эквивалентных описания одной и той же физики: мир с более высоким числом измерений и гравитацией и мир, где есть граница с меньшим числом измерений, а гравитация отсутствует. Например, в мире с шестью пространственными измерениями и одним временным можно говорить о гравитации в семимерном пространстве-времени и о голограмме, существующей на его шестимерной границе. Суть в том, что всякий раз, когда вы размышляете о гравитации, вы можете думать о голографическом принципе.

Нет никаких сомнений: работу Хоофта и Сасскинда следует считать революцией в нашем понимании квантовой гравитации. Она позволяет переформулировать старые проблемы на новом, улучшенном голографическом языке. Пример — информационный парадокс. Возможно, вы помните его из главы «Число Грэма». Хокинг был убежден, что черные дыры теряют информацию, а значит, нарушают фундаментальные квантовые законы. Но если учесть голографию, то понятно, что это не так. Причина в том, что должен существовать способ закодировать образование и испарение черной дыры на границе пространства. Поскольку это альтернативное описание с уменьшенным количеством измерений не включает никакой гравитации, мы представляем его с помощью гораздо более простой квантовой теории. Это соответствует квантовому танцу заряженных частиц, на которые действуют обычные простые силы, подобные тем, что обнаруживаются в молекулярных взаимодействиях или ядерной физике. Чтобы голография имела смысл, эта квантовая теория для границы должна быть математически последовательной и физически корректной. Когда вы описываете события на этом альтернативном языке, ничто не должно давать сбоев или ломаться, и поэтому никакая информация не должна теряться. Конечно, это рассуждение работает только в случае, если голография реальна.

Так что, голография реальна?

Это вопрос на миллион долларов. У нас нет никаких экспериментальных доказательств, что наш мир — голограмма. И даже если она существует, мы не уверены, на что она будет походить. Конечно, как осознали Хоофт и Сасскинд, черные дыры искушающе намекают на ее существование. Однако реальность голографии в нашем конкретном мире остается гипотезой. Но есть и другие миры, где голография фактически доказана.

Эти иные миры открыл Хуан Малдасена. Это современный гигант в мире физики, удостоенный множества наград профессор элитного Института перспективных исследований в Принстоне. За последние три десятилетия он внес непревзойденный вклад в наше теоретическое понимание гравитации и Вселенной. Я бы сказал, что в терминологии pound-for-pound Малдасена — величайший из ныне живущих физиков[81]. Сасскинд называет его Мастером.

В середине 1990-х Малдасена был еще новичком. Его репутация стала расти, когда он приехал из Буэнос-Айреса в аспирантуру Принстонского университета и начал работать над теорией струн и физикой черных дыр. Через год после отъезда из Принстона Малдасену вдохновило выступление российского физика Александра Полякова на международной конференции в Амстердаме. Поляков выдвинул предположение, что некоторые аспекты ядерной физики в четырех измерениях можно связать со струнами, двигающимися в пятимерном пространстве-времени. Молодой аргентинец обзавелся блестящими связями и через несколько месяцев произвел фурор в научной среде, опубликовав статью под названием «Предел больших N для суперконформных теорий поля и супергравитации»[82].

Не самое броское название, однако содержание статьи вызвало шок в научном сообществе. В этот момент восходящая звезда Малдасены превратилась в сверхновую. Он открыл голографический мир, в котором одно пространственное измерение было всего лишь иллюзией. Неважно, что этот мир сильно отличался от нашего. Важно, что он был достаточно прост с математической точки зрения и Малдасена мог точно продемонстрировать, как работает иллюзия. Теперь к голографии требовалось относиться всерьез. Открытие этого странного и чисто гипотетического мира стало шагом вперед в нашем понимании пространства и времени на самом фундаментальном уровне.

Мир Малдасены был не похож на все, что вы могли бы себе представить: экзотическая вселенная струн и квантовой гравитации, действующая в десяти измерениях пространства и времени, пять из которых особым образом искривлены, а пять — свернуты, как сфера. Для границы этого пространства-времени Малдасена дал другую теорию — теорию без гравитации, способную описать все, что происходило внутри. Важно то, что он показал, как и почему эти два описания должны быть действительно эквивалентными. Он также научился бегло говорить на обоих языках — «внутреннем» и «граничном» — и с помощью выдающегося американского физика Эдварда Виттена начал составлять «словарь» для них. Конечно, Хоофт и Сасскинд предполагали, что подобные голографические описания должны существовать, но дальше они не пошли. Они не смогли привести какой-нибудь пример и сказать: «Вот Вселенная с гравитацией, вот ее голограмма, а вот словарь, который вам нужен, чтобы перемещаться между ними». А вот Малдасена сумел это сделать. Хотя он знал о более ранних идеях Хоофта и Сасскинда, в центре его внимания находились не они. Теорию Малдасены с голографией связал Эд Виттен.

Эд Виттен — еще один гений, лауреат Филдсовской премии и один из ста самых влиятельных людей мира 2004 года по версии журнала Time. Его отец Луи был физиком-теоретиком, который обсуждал свои исследования с не по годам развитым ребенком, всегда разговаривая с ним как со взрослым. Несмотря на замечательную способность понимать работы отца, Эд в итоге отошел от физики. Он изучал историю в Брандейском университете в Массачусетсе, а затем писал статьи для The Nation и The New Republic в качестве политического обозревателя. Однако физика все же манила его. Поступив в магистратуру Принстонского университета и защитив диссертацию, Виттен впоследствии стал одним из основателей теории струн. «Все расчеты он производит только в уме, — признавалась его жена Кьяра Наппи, тоже физик. — Я заполняю расчетами целые страницы, прежде чем пойму, что делаю. Но Эдвард сядет только для того, чтобы определить знак минус или коэффициент два».

Голографический пример Малдасены известен как АдС/КТП-соответствие. Он демонстрирует двойственность: дает два эквивалентных описания одних и тех же физических явлений. С одной стороны такой двойственности находится мир АдС (сокращение от слова «антидеситтеровский») — искривленный многомерный мир, где в качестве фундаментальной силы присутствует гравитация. С другой стороны находится КТП (конформная теория поля), обнаруживающая особые математические свойства голограммы в пространстве меньшей размерности. С этой стороны двойственности гравитация отсутствует, однако весьма примечательно, что эта теория способна описывать точно такую же физику. Он делает это посредством невесомого вальса заряженных частиц, очень похожих на глюоны — частицы-переносчики сильного взаимодействия, склеивающие ядра атомов. Система является поистине голографической: вы можете представлять, что глюоны живут на границе этого пространства-времени, на внешней стене антидеситтеровского пространства.

В своей исходной статье Малдасена привел очень убедительные аргументы в пользу АдС/КТП-соответствия, однако не смог предложить строгого математического доказательства. Но время шло, и ученые раз за разом проверяли его утверждения. Некоторые физические величины можно точно вычислить для обеих сторон соответствия: с одной стороны, используя гравитацию и пространство-время, а с другой — с помощью голограммы. Результаты всегда совпадали, и теперь уже нет сомнений: АдС/КТП-соответствие действительно можно считать конкретным примером голографического принципа в действии. Теперь мы можем вообразить миры — пусть даже искривленные антидеситтеровские, — в которых с помощью голографического трюка легко убрать гравитацию и одно пространственное измерение.

Но как насчет нас? Действительно ли мы существуем внутри голограммы? Этот вопрос гораздо сложнее. Мы живем не в пятимерном антидеситтеровском пространстве, поэтому не можем напрямую апеллировать к магии Малдасены. Однако черные дыры в нашей Вселенной творят забавные вещи. Их энтропия растет пропорционально площади границы, а не объему. Кажется, что информация должна храниться на горизонте событий, а не внутри черной дыры. Как будто наш мир сообщает нам, что он голографичен, но держит эту голограмму в секрете, по крайней мере сейчас. Если у нас есть голограмма, вы ощущаете гравитацию и определенные пространственные измерения из-за странного способа, которым вы декодируете эту голограмму. Оглянитесь. Посмотрите влево и вправо, вперед и назад, вверх и вниз. Если наши голографические ожидания верны, одно из этих измерений может быть упаковано в нечто совершенно иное. В тот момент, когда мы освобождаемся от гравитационных запретов, нам больше незачем говорить о трех измерениях пространства. Нас вполне устроят и два.

Это напоминает мне аллегорию пещеры Платона и прикованных узников внутри нее. За спинами людей горит костер, а они смотрят на тени, появляющиеся на стене. Для них эти тени — всё: их развлечение, их уплощенное восприятие всего существующего. Однако Платон утверждал, что с помощью философии и мышления узники могут освободиться от своих цепей. Они могут видеть больше, чем тени, отбрасываемые куклами. Но сейчас я думаю, что Платон недооценивал тени. В голографическом мире они так же реальны, как и куклы.

Голографический принцип — самая важная идея, возникшая в физике за последние тридцать лет. Она привела к прорыву в нашем понимании силы гравитации, разрешению информационного парадокса черной дыры и глубокому пониманию природы квантовой гравитации. Она помогла нам лучше понять микроскопические объятия кварков и глюонов, когда они соединяются в субатомном мире. Более того, она бросила вызов нашему восприятию реальности, нашему представлению об окружающем нас пространстве. Она побудила нас задаться вопросом, существует ли оно на самом деле или это просто иллюзия.

Для нас эта иллюзия — наследие левиафанов, самых больших и величественных из наших фантастических чисел. С помощью гуголплексианских двойников, смерти от превращения головы в черную дыру, числа TREE(3) и недостижимого завершения Игры деревьев мы рассказали историю энтропии и квантовой механики, гравитации и таинственной физики черных дыр, этих космических темниц. Те же идеи и концепции лежат в основе голографической истины. Они отражают ужас избыточности числа измерений, альтернативной реальности, пойманной в ловушку на границе пространства. Мы — тени на стене.

Теперь, когда мы наконец переходим от великого к малому, от больших чисел к маленьким, вы должны ожидать неожиданного. Маленькие числа станут намекать на симметрию и красоту, но в итоге оставят нас в отчаянии. Вам следует приготовиться к рассказам о Вселенной, которая не должна была существовать, которая должна была уйти в небытие в момент своего рождения. Наша Вселенная. Наша неожиданная Вселенная. Не могу говорить за вас, друзья, но меня это беспокоит больше, чем тени. Меня беспокоит мысль, что все, что я знаю, никогда не должно было существовать: я, моя семья, мои самые близкие друзья. Эта книга никогда не должна была появиться, но все же вы читаете ее прямо сейчас, в момент, который мог никогда не наступить.

Я наконец начал волноваться. Футбольный клуб «Ливерпуль» победил в двадцати шести из первых двадцати семи игр в сезоне Премьер-лиги. Харизматичный немецкий тренер Юрген Клопп назвал свою команду ментальными монстрами — такой была их способность выигрывать матч за матчем, даже когда все складывалось против них. Очевиднее всего это проявилось унылым ноябрьским днем в выездной игре с «Астон Виллой», перед лицом страстных чужих болельщиков. За три минуты до конца команда Клоппа проигрывала 0:1, однако выиграла, причем Садио Мане, игрок сборной Сенегала, забил победный гол последним касанием мяча. Победы продолжали добавляться, и все эксперты были убеждены: в 2020 году «Ливерпуль» выиграет Премьер-лигу.

Я болел за клуб с детских лет, когда жил на окраине города. Подростком я стоял на «Копе», одной из самых известных трибун в мировом футболе[83], и дважды видел, как команда завоевывает титул. Но это происходило более тридцати лет назад. Прошедшие десятилетия оказались бесплодными и были наполнены сокрушительным разочарованием, поскольку моя команда постоянно отставала от чемпиона — чаще всего от извечных соперников из соседнего Манчестера. Поэтому, несмотря на лидерство «Ливерпуля» по ходу сезона, я не мог заставить себя считать чемпионство само собой разумеющимся. Мне нужен был кто-то умеющий анализировать цифры.

Мой друг Дэн — астроном. Он тоже болеет за «Ливерпуль» и иногда пользуется моим абонементом, когда я не могу попасть на игру. Однако, в отличие от меня, Дэн обладает некоторыми полезными умениями, и он разработал умную модель для предсказания результатов футбольных матчей. Я попросил Дэна провести миллион раз моделирование всех оставшихся матчей сезона — просто для того, чтобы успокоиться. Получив результаты, я почувствовал облегчение. Модель Дэна предсказывала, что «Ливерпуль» выиграет Премьер-лигу 999 980 раз, «Манчестер Сити» — девятнадцать раз, а «Лестер Сити» — всего один.

Дэн создал своеобразную мультивселенную — миллион параллельных миров, в которых есть миллион таблиц Премьер-лиги. Почти во всех частях этой мультивселенной «Ливерпуль» в итоге становился чемпионом, поэтому я был уверен, что тридцатилетняя засуха скоро закончится. Однако гарантии у меня не было. Существовало несколько уголков мультивселенной, где «Ливерпуль» в итоге отставал, а титул доставался «Манчестеру» или «Лестеру». Конечно, такой печальный (для меня) исход оказался бы наиболее неожиданным. Мультивселенная Дэна предсказывала, что это произойдет с вероятностью всего 0,00002; иными словами, шансы составляли 50 000 против 1.

В итоге «Ливерпуль» выиграл Премьер-лигу, однако не обошлось без страхов. В марте 2020 года — всего за две игры до досрочной победы в чемпионате — сезон приостановили из-за ужасной вспышки коронавируса в Великобритании. Во время весеннего строгого локдауна по всей стране никто не знал, когда ситуация нормализуется. Футбол отошел на второй план, и я как болельщик «Ливерпуля» начал задаваться вопросом, не живем ли мы в каком-то неожиданном и маловероятном уголке мультивселенной Дэна.

Одно можно сказать наверняка: когда вы перейдете от футбола к физике, то окажетесь в весьма неожиданном месте. В мультивселенной физических миров наша Вселенная находится в самом невероятном из углов. Сюрпризы начинаются с открытия бозона Хиггса в ЦЕРН, однако уходят глубоко в кипящий бульон космического вакуума. Правда в том, что наша Вселенная столкнулась с необъяснимо малыми числами и ужасно невероятными результатами. Это требует объяснения. Если бы «Ливерпулю» не удалось выиграть Лигу, когда вероятность неудачи составляла всего 0,00002, вам было бы любопытно узнать, что пошло не так. Может быть, смертельно опасный вирус? Итак, именно тогда, когда мы сталкиваемся с крошечными числами и неожиданными свойствами нашей Вселенной, мы начинаем задавать вопросы. Что же делает частицу Хиггса такой смехотворно легкой? Почему бурлящий бульон вакуума так необъяснимо спокоен? Это повествование о неожиданных вещах, стремление понять крохотные числа в физике и разобраться в невероятной Вселенной, которой никогда не должно было существовать.

Начнем с нуля. По абсолютной величине ничего меньше нет.

Ноль — это симметрия.

Мы можем увидеть связь между симметрией и нулем, вообразив бухгалтерию какой-нибудь крупной организации. Бухгалтерские документы показывают, как приходят и уходят миллионы долларов. Если небрежно взглянуть на несколько отдельных трансакций, можно предположить, что поступления и расходы более или менее случайны. Однако в этих документах есть нечто странное: в конце каждого квартала главный бухгалтер сообщает, что прибыль в точности равна нулю. Иными словами, организация всегда выходит строго на уровень безубыточности. Как правило, такого не происходит: обычно мы ожидаем, что бухгалтерский баланс покажет прибыль или убыток, измеряемый миллионами. Это все равно что пытаться уравновесить на весах стадо африканских слонов и стадо индийских — весы обязательно склонятся в ту или иную сторону. Ноль в отчетах о прибылях и убытках компании указывал бы на идеальную симметрию между доходами и расходами, а это требует объяснения. Возможно, организация — благотворительный фонд, который провел строгий учет и решил направить всю свою прибыль на добрые дела. Дело в том, что такие исчезновения величин (в бухгалтерии, физике или стаде слонов) не происходят случайно. Всегда существует веская причина, и обычно она связана с симметрией.

Симметрия — это идеология природы. Взаимодействия субатомных частиц — строительных блоков для всего, что вы видите, — управляются симметриями Стандартной модели физики элементарных частиц. Ушедший XX век научил нас тому, что ключ к пониманию физики часто заключается в самых маленьких числах природы. Всякий раз, когда мы видим ноль или что-то неожиданно маленькое, мы начинаем думать о симметриях, которые могут нести за это ответственность.

Так что же такое симметрия?

Симметрии привлекают. И я имею в виду не только физиков. Люди считают симметрию физически привлекательной. Исследования показывают, что хорошее совпадение между левой и правой сторонами лица часто кажется красивым. Обычно это объясняется теорией эволюционного преимущества. Наши гены должны порождать симметричное лицо, однако процессу развития могут помешать другие факторы: возраст, болезнь, паразитарная инфекция. Все это признаки плохого здоровья. Именно поэтому нас привлекают симметричные лица: с эволюционной точки зрения мы стремимся спариваться со здоровым человеком.

На протяжении веков симметрия вдохновляла также и художников. Мы видим это в зеркальной и вращательной симметрии первобытных изображений, а также в величественных узорах Альгамбры — впечатляющего мусульманского дворца XIV века в испанском городе Гранада. Когда исламские мастера придумывали декор на полах и стенах Альгамбры, они создавали различные формы и узоры, демонстрирующие различные виды симметрии. Их можно сгруппировать по тем способам, какими они сочетают привычные симметрии отражения и вращения, а также менее известные трансляционные и скользящие симметрии[84].

Чтобы увидеть, как можно классифицировать по симметрии орнаменты Альгамбры, рассмотрите мозаику из Патио-де-лос-Аррайянес (Миртового дворика), показанную на следующем рисунке.

^{Танцующие летучие мыши в Патио-де-лос-Аррайянес в Альгамбре}

У меня этот орнамент вызывает в воображении образ летучих мышей, танцующих тройками на фоне звездного неба. Однако настоящая красота — в его симметрии. Двигаясь слева направо или по диагонали, вы можете заметить, что он обладает трансляционной симметрией. На рисунке также полно тройных поворотов. Например, если вы сделаете треть оборота — повернете орнамент на 120 градусов вокруг центра любой звезды, — изображение не изменится. То же можно сделать с центром одного из белых шестиугольников или даже с точкой, где соприкасаются три мышиных крыла. Другими словами, у вас есть тройка из тройных поворотов, а также два параллельных переноса. Такую комбинацию симметрий математики называют группой p3. В честь летучих мышей Альгамбры назовем ее «вальс втроем».

Другие орнаменты могут содержать те же симметрии, что и «вальс втроем», но могут обладать и другими, и это сделает орнамент иным с математической точки зрения. Группируя различными способами вращения, отражения, переносы и скольжения, мы можем легко представить бесконечную Альгамбру математически различных узоров, бесконечное количество двориков, каждый из которых имеет рисунок с собственной группой симметрии. Различные группы, которые характеризуют эти орнаменты, по понятным причинам называются группами орнамента. Но вот неожиданный факт: исламские художники воспроизводили только семнадцать узоров. Это не особо похоже на бесконечность. На самом деле, если мы поищем по всем культурам, окажется, что никто и никогда не рисовал ничего сверх этих семнадцати орнаментов. На первый взгляд это странно. В конце концов, можно вообразить огромное количество различных способов соединять повороты, отражения, переносы и скольжения, поэтому вроде бы нужно ожидать, что количество групп орнаментов будет очень велико, а возможно, и бесконечно. Почему выдающиеся мастера изображали только семнадцать из них? Причина точно не в отсутствии воображения. Оказывается, у нашей математической красоты есть ограничения. Из-за необходимости повторять орнамент существует только семнадцать различных комбинаций, которые можно сшить в узор нужным образом. Это можно доказать с помощью так называемой магической теоремы математики[85]. Похоже, мусульманским художникам хватило изобретательности, чтобы запечатлеть абсолютно все орнаменты, которые могут существовать.

Это говорит нам о том, что симметрии — действительно особенные штуки. Они не просто разрешают какой-то старинный орнамент, и это справедливо и для искусства Альгамбры, и для космического искусства нашей неожиданной Вселенной. Если обнаруживается нечто особенное или неожиданное, то, скорее всего, виновата симметрия. Поскольку она становится ключом к разгадке тайн Вселенной, нам, вероятно, следует разобраться, что такое симметрия на самом деле. Когда я спросил свою старшую дочку, что ей приходит в голову при слове «симметрия», она ответила: «Квадрат». Я подумал, что это очень хороший ответ. В конце концов, у квадрата имеется какая-то четко определенная математическая красота. Если вы повернете его на девяносто градусов вокруг центра, он будет выглядеть точно так же. Он не изменится, если вы повернете его по диагонали или по прямой, проходящей через центры двух противоположных сторон. Именно это мы в реальности и подразумеваем под симметрией: вы воздействуете на объект каким-то нетривиальным образом, но это действие оставляет его неизменным. Например, для человеческого лица это действие заключается в зеркальном отражении, и действительно красивое лицо останется неизменным. Для плиток, изображающих танцующих летучих мышей в Альгамбре, такими действиями становятся параллельные переносы и тройные повороты.

А как же ноль? Существует ли действие, которое оставляет его без изменений? Если вы собираетесь думать о нуле как о вещественном числе, то одно из возможных действий в вашем распоряжении — смена знака. Иными словами, вы превращаете пять в минус пять, минус TREE(3) — в TREE(3) и т. д. Смена знака обычно переносит вас в другое место на числовой прямой, и единственное исключение — ноль. Когда вы меняете знак нуля, вы остаетесь в нуле. Иными словами, ноль — единственное вещественное число, симметричное относительно смены знака. Вы можете распространить эту идею на комплексные числа. Теперь вы можете утверждать, что ноль — единственное комплексное число, которое остается на месте при изменении аргумента[86]. Конечно, связь между нулем и симметрией гораздо глубже, чем несколько математических уловок. Как мы увидим, неожиданное появление нуля — способ природы сообщить вам, что в ткани нашего физического мира существует некая симметрия. И поскольку в симметрии есть красота, это должно означать, что красота заключается в нуле.

Так и есть.

Однако наши предки считали так не всегда. У нуля есть и другая сторона, о которой я также должен рассказать: история подозрительности и недоверия. Проблема в том, что древние ученые видели в нем глубину пустоты. Они видели там ничто, то есть отсутствие Бога и суть зла. Философ Боэций в ожидании казни в 524 году нашей эры писал:

— Тогда, значит, Бог может содеять зло?

— Нет, — сказал я.

— Стало быть, зло есть ничто, если его не может содеять Тот, Кто может все[87].

В средневековом сознании Боэция ноль не был тем объектом красоты, каким он представляется мне.

Это был сам дьявол.

История ничего

А теперь время для дьяволов. Пора рассказать историю прекрасного числа с самого начала, раскрыть правду о его нелегком путешествии сквозь паранойю человеческой истории. Мы будем двигаться шаг за шагом, переходя от одной древней цивилизации к другой, от Месопотамии к Греции, от Индии к Аравии, пока наконец не дойдем до дьяволов и бухгалтеров Западной Европы. Каждый шаг расскажет свою историю: в некоторых случаях ноль будут славить, но чаще презирать. История ничего начинается в Плодородном полумесяце на территории современного Ирака — с рождения чисел.

Именно здесь, в Шумере, в Древней Месопотамии, более 6000 лет назад зародилась древнейшая в мире цивилизация. Древние шумерские города-государства Урук, Лагаш, Ур и Эриду находились между реками Тигр и Евфрат, в районах с развитым сельским хозяйством. Как и в Египте, математика потребовалась местной цивилизации, похоже, раньше литературы, и самые ранние записи — нумерованные инвентарные списки, а не тексты. Иначе говоря, первыми были бухгалтеры. В истории нуля они также окажутся последними.

Около 3000 года до нашей эры шумерские счетоводы стали выдавливать знаки на глиняных табличках. Если они хотели зафиксировать пять хлебов и пять рыб, то делали пять изображений хлеба и пять изображений рыбы. Первый крупный интеллектуальный скачок произошел, когда люди отделили число от объектов, которые приходилось считать. Иными словами, они отображали пять хлебов с помощью числа, обозначавшего пять, и символа хлеба. Если им требовалось указать пять других предметов, они понимали, что могут взять то же число, а значок хлеба заменить значком рыбы, кувшина с маслом или любого иного требуемого объекта. Шумеры разработали идею освобожденного числа, существующего отдельно, не зависящего от подсчитываемых предметов. Идею такого абстрактного числа легко счесть само собой разумеющейся, поскольку она прочно укоренилась в современном мышлении, однако для самых ранних цивилизаций она оказалась принципиально новой и в высшей степени мощной.

Благодаря этому прорыву шумеры начали разрабатывать систему счисления, основанную на числе 60, введя отдельные символы для 1, 10, 60, 600, 3600 и 36 000. По сути, мы не знаем, почему они выбрали преимущественно шестидесятеричную систему. Самая популярная теория, восходящая еще к Теону Александрийскому (около 335 — около 405 года нашей эры), состоит в том, что число 60 было взято из-за большого количества делителей. Какова бы ни была причина выбора, наследие этой системы счисления сохранилось до сих пор: сейчас у нас шестьдесят секунд в минуте и шестьдесят минут в часе.

В этой ранней системе записи не было особых хитростей. Шумеры просто добавляли символы, пока не получали нужное число. Например, если они хотели изобразить число 1278, они дважды рисовали число 600, затем 60, 10 и восемь раз по 1. Этот способ не особо удобен. Все изменилось примерно в 2000 году до нашей эры, когда математики Месопотамии совершили следующий крупный интеллектуальный скачок: они начали осознавать важность положения цифр. Шумеры и их вавилонские преемники начали разрабатывать новую систему счисления, основанную всего на двух знаках: стоячий клин означает 1, а лежачий — 10. Однако принципиально важно то, что на общий смысл влияло относительное положение знаков. Например, рассмотрим число 56. Оно записывается пятью копиями лежачего клина (10) и шестью копиями стоячего (1).

^{(5 × 10) + (6 × 1) = 56}

Это не кажется особо интеллектуальным. Но предположим, что мы переместим два стоячих клина влево следующим образом.

^{(2 × 60) + (5 × 10) + (4 × 1) = 174}

В этом случае вавилонские математики интерпретировали два клина иначе: это уже не две единицы, а две шестидесятки. Получается число 174. В результате они разработали шестидесятеричную систему счисления, в которой относительное положение цифр показывает соответствующую степень числа 60. Вот еще один пример.

^{(1 × 602) + (3 × 60) + (4 × 10) + (2 × 1) = 3822}

Это была самая умная система счисления на тот момент. Причем крайне эффективная, поскольку позиционная система значительно уменьшила количество символов, необходимых для выражения чисел. Однако кое-что отсутствовало. А точнее, отсутствовало ничто. Я объясню это на примере следующей истории.

Один жрец вызвал вавилонского математика и попросил записать число пожертвований, принесенных в храм. Мешок зерна. Резьба по дереву. Слоновая кость, шелк и драгоценные металлы. Математик все считает и получает в общей сложности 62 подношения. Поскольку 62 = (1 × 60) + (2 × 1), он оттискивает на глиняной табличке следующие символы и подает священнику.

На следующей неделе приношений оказывается гораздо больше. Больше украшений, золота, вина и пищи. Математика снова просят подсчитать их и зафиксировать на глиняной табличке.

Закончив подсчеты, он берет стило и оттискивает следующие знаки.

Жрец в ярости. Очевидно, что человек, который считал, смошенничал. На этой неделе пожертвований было гораздо больше, а число на табличке — то же. Священника так просто не одурачить, и он требует смерти математика. Математика тащат на казнь, но он заявляет о своей невиновности: он насчитал 3602 приношения, то есть действительно гораздо больше, чем 62, которые были на предыдущей неделе. Однако в шестидесятеричной системе счисления 3602 = (1 × 60²) + (2 × 1), так что записать это число можно только так, как он и сделал. Жрец, как и большая часть вавилонского общества, не разбирался в деталях новой позиционной системы счисления. По его мнению, математик дважды написал одно и то же число. Он пытался обдурить храм. В результате ничто не могло помочь математику. Хотя как раз ничто — я имею в виду ноль — и могло бы его спасти.

В шестидесятеричной системе мы имеем 3602 = (1 × 60²) + (0 × 60) + (2 × 1), так что на самом деле следовало бы писать сначала один , затем ноль, а затем еще . Тогда была бы видна разница с числом 62 = (1 × 60) + (2 × 1), в записи которого стоят сначала , а затем . Однако древние вавилоняне отмечали ноль, просто оставляя пустое место, и это место не всегда было достаточно большим. По их мнению, контекст давал возможность понять неоднозначность. Как показывает печальная история храмового математика, такая система может легко дать сбой. Глядя на табличку, жрец не смог сказать, идет ли после первого символа бессмысленное пустое место или это вполне осмысленный ноль.

Позиционная система счисления Древнего Вавилона — блестящий образец математики, однако отсутствие символа нуля было принципиальным пороком. Примерно к 1600 году до нашей эры ею перестали пользоваться, и больше 1000 лет система бездействовала. Возрождение произошло после того, как в IV веке до нашей эры в Месопотамию пришла армия Александра Македонского. На пике своего могущества Александр внезапно умер во дворце Навуходоносора в Вавилоне — в возрасте всего тридцати двух лет. В последовавшие кровавые годы полководцы царя поделили государство, и огромная азиатская его часть досталась Селевку, который основал государство Селевкидов, просуществовавшее с 312 года до нашей эры до римского завоевания в 63 году до нашей эры. Именно в этот период месопотамские математики сделали свой третий значительный интеллектуальный скачок. Они заново открыли для себя великолепие позиционной системы и приправили ее замечательным новым ингредиентом.

Каждый раз, когда вы видите этот символ в числе, его нужно считать пустым местом для разряда, соответствующего 60 или 3600 — в зависимости от положения. Это был ноль, но не отдельная цифра, обозначающая его, а указатель пустого места. Если бы наш древний математик знал такой символ, то избежал бы гнева священника. Он мог записать число 3602 более понятно.

^{(1 × 3600) + (0 × 60) + (2 × 1) = 3602}

Новый символ нуля отчасти устранял неопределенность, от которой страдала позиционная система счисления. Он давал математикам и астрономам Древнего Вавилона беспрецедентные вычислительные возможности, хотя в целом не прижился. Как ни странно, ученые ставили такой символический ноль только в начале или середине числа, но не в конце, так что некоторая двусмысленность оставалась. Знак также нельзя было найти отдельно — он не был самостоятельным числом. Первоначально этот символ использовался для разделения предложений, а не чисел, и это позволяет предположить, что в действительности он мог обозначать пробел, а не число. Тем не менее вавилоняне сделали заявку на изобретение нуля, по крайней мере в качестве рудиментарного указателя пустого места.

Конкурирующие заявки на первый ноль подавали майя, жившие в Мезоамерике, и, конечно, древние египтяне. У майя ноль изображался в виде раковины, а иногда и головы бога, рука которого задумчиво прижималась к подбородку. Хотя майяский ноль, вероятно, появился раньше вавилонского, он не был ни особым числом, ни указателем места. Он использовался для отсчета времени, помогая измерять количество дней, месяцев и лет от нулевого дня майя, мифического момента творения, датируемого 11 августа 3114 года до нашей эры по сегодняшнему календарю[88]. Египтяне никогда не использовали ноль в своих числах, однако применяли знак nfr, записываемый как , для обозначения пустого остатка в расчете или уровня земли на площадке, где возводились пирамиды. На древнеегипетском языке это означало «хороший», «полный» или даже «красивый», что превосходно перекликается с нашим представлением о нуле как воплощении симметрии и красоты.

Ни майяский, ни египетский нули не вышли за пределы своих цивилизаций. А вот вавилонскому это удалось: в годы, последовавшие за македонским завоеванием, вместе с золотом, женщинами и детьми, взятыми в рабство, в Грецию последовал и ноль. Греки записывали свои числа с помощью букв. Они обозначали буквами определенные числа (например, 1, 2 или 100), а с помощью различных сочетаний можно было получить другие числа (например, 101 или 102[89]). Позиционной системы у греков не было. Но даже после встречи с вавилонской системой мало кто обладал достаточным интеллектом, чтобы осознать ее преимущества, да и восхищение ею предпочитали скрывать. С помощью импортированного метода греческие математики начали выполнять более сложные расчеты, однако полученные результаты затем переводили обратно в свою старую систему. Что касается вавилонского нуля, то греки, безусловно, о нем знали и со временем придумали свой собственный знак , очень похожий на тот, который мы используем сегодня. Вероятно, это просто совпадение, поскольку символ не попал ни в одну из старых систем числительных. Греки усовершенствовали идею вавилонян, начав ставить нули и в конце чисел, однако они никогда не выпускали ноль на свободу — не признавали его отдельным самостоятельным числом. Если учесть прекрасную репутацию греческих математиков, естественно спросить, почему так получилось. На каком-то уровне это их просто не интересовало. В греческой математике доминировала геометрия, осязаемые отрезки и формы, поэтому трудно увидеть, где бы нашлась какая-нибудь роль для нуля. Но проблема лежала глубже. У греков было презрение и недоверие к нулю, а Запад позже с готовностью подхватил эстафету.

Это был философский вопрос.

Проблемы начались с Зенона Элейского[90]. Зенон принадлежал к философской школе, которую возглавлял его учитель Парменид, отвергавший идею изменения, утверждая, что движение, которое мы видим, — всего лишь иллюзия. Зенон применял эту мысль ко всему — гоночной колеснице, летящей стреле, водопаду, и ни одно из этих движений не оказывалось реальным. Конечно, это кажется абсурдом. Мы собственными глазами можем видеть окружающий нас разнообразный и меняющийся ландшафт. Однако Зенон сочинил несколько парадоксов, которые, казалось, доказывали, что, когда речь идет о познании истины, нашим чувствам доверять нельзя. Понимание и непонимание одного из парадоксов тесно связано с нулем, хотя на первый взгляд это и не заметно.

Мы расскажем свою версию этой истории. Ахиллес, величайший воин из греческой мифологии, соревнуется в беге с черепахой[91]. Он уверен в успехе, ведь его максимальная скорость составляет десять метров в секунду, а никто никогда не видел, чтобы его неторопливая соперница двигалась быстрее, чем один метр в секунду. Он решает дать рептилии фору и начинает забег, стоя позади конкурентки на десять метров. Пусть Ахиллес мгновенно набирает свою максимальную скорость и за одну секунду достигает той точки, с которой движение начала черепаха. Но черепахи там уже нет. Она продвинулась за эту секунду всего лишь на метр, но что ни говори, а Ахиллес ее пока не догнал. За десятую долю секунды Ахиллес пробежал недостающий метр, но черепаха за это время тоже продвинулась дальше — на этот раз на десять сантиметров. Когда Ахиллес преодолеет эти десять сантиметров, черепаха продвинется еще на сантиметр и т. д. С каждым новым шагом воин приближается, но, чтобы догнать черепаху, ему требуется бесконечное количество шагов. Иными словами, Ахиллес никогда ее не догонит.

Зенон озадачил современников. Ясно, что Ахиллес справится с проблемой и догонит черепаху за считаные секунды, но где ошибка в рассуждениях? Другие философы сочли, что дело в бесконечном числе шагов, — и были правы. Однако для решения проблемы бесконечности им также требовалась математика нуля, которой у них не имелось. Зенону было все равно. По его мнению, неспособность философов объяснить парадокс доказывала, что нашим чувствам нельзя доверять. Это был триумф школы Парменида.

Зенон умер насильственной смертью. Он жил в древнегреческом городе Элее, которым правил жестокий тиран Неарх. Зенон замыслил свергнуть правителя, но заговор был раскрыт, Зенона схватили и передали Неарху. От него требовали назвать имена других заговорщиков, но, как его ни пытали, он никого не выдал. Философ сообщил, что у него есть тайна, но, если тиран хочет ее услышать, ему придется подойти поближе. Когда тот наклонился, Зенон вцепился зубами в тирана и не отпускал. В результате философа закололи. Некоторые говорят, что он вцепился в ухо Неарха; другие говорят, что это был нос[92].

Спустя столетие о парадоксе Зенона начал размышлять Аристотель — отец западной философии. Он разобрался с ним, введя правило, что в природе никогда не может быть бесконечного количества. Зенон пытался поделить забег на бесконечное количество частей. Согласно правилу Аристотеля, эти кусочки сами по себе не являются реальностью — они всего лишь плод воображения Зенона. Реальным был только весь континуум забега, когда Ахиллес обгонял черепаху единым непрерывным движением.

В действительности Аристотель признавал возможность бесконечности, но утверждал, что этот потенциал нельзя реализовать. Чтобы понять, что он имел в виду, предположим, что вы разрезаете шоколадный торт. Вы можете резать его снова и снова, и в принципе можно представить, что вы сумеете проделать это бесконечное количество раз. Однако мы знаем, что в реальном мире у вас ничего не получится. Даже если мы признаем возможность достижения бесконечности, мы также знаем, что у вас никогда не получится торт с бесконечным числом бесконечно маленьких кусочков. Иными словами, вы можете держать бесконечность в уме, но не в руке. По мнению Аристотеля, Зенон застрял именно здесь.

С нашим современным пониманием нуля мы можем преодолеть разрыв между воображением Зенона и континуумом Аристотеля. Дело в том, что бесконечное количество шагов не означает автоматически бесконечное время. Иногда вы можете получить конечное время, когда число шагов стремится к бесконечности, но при этом сами шаги становятся все короче и короче, стремясь к нулю. Если мы внимательнее посмотрим на парадокс Зенона, то увидим, что Ахиллес завершает первый этап бега через 1 секунду, второй — через 1,1 секунды, третий — через 1,11 секунды, четвертый — через 1,111 секунды и т. д.; приращения становятся все меньше и меньше. Экстраполируя результат на бесконечное количество этапов, мы видим, что общее количество секунд составляет 1,111111111… Математически это эквивалентно 1 + ¹/₉ секунды[93]. Парадокс разрешен: Ахиллес не только догонит черепаху, но и сделает это менее чем за две секунды.

Если не осознавать должным образом, что такое ноль, это решение всегда останется за рамками понимания Аристотеля и других греческих философов. Однако прошло более 2000 лет, прежде чем парадокс Зенона поняли полностью. Определенную ответственность за это должен взять на себя Аристотель. Его отказ от бесконечности был первой из трех идей, которые привели к глубоко укоренившемуся в западном мышлении недоверию к нулю. Отвергая бесконечно большое, Аристотель отвергал и бесконечно малое — стремящиеся к исчезновению этапы в пределе забега Ахиллеса. Однако во второй части своей идеологической троицы он пошел еще дальше. Он отверг пустоту пространства и сущность ничего. Для средневековых умов, изучавших его работы, это стало отрицанием нуля.

Причина в том, что Аристотель воевал с атомистами — соперничающей философской школой, в которой считали, что материю нельзя делить до бесконечности. Атомисты утверждали, что материя состоит из крошечных неделимых кусочков (атомов), резвящихся в бесконечной пустоте. Это дало им альтернативный взгляд на парадокс Зенона: если материю нельзя бесконечно делить, как же Зенон мог делить забег на постоянно уменьшающиеся этапы? Атомистическая точка зрения принципиально расходилась с аристотелевской. Он считал, что материя непрерывна, она расширяется и сжимается, переходя между четырьмя основными элементами: землей, водой, воздухом и огнем. В его модели Вселенная была разделена на концентрические сферы: в центре расположены земные сферы, где живут люди, а на краю находятся небесные, где сверкают небесные тела — Луна, Солнце, планеты и звезды. Земные сферы представляют собой изменчивую тленную среду, разделенную на четыре слоя: в центре земля, далее слои воды, воздуха и, наконец, огня. Материя может переходить из одной формы в другую. Когда материя холодная и сухая, она становится землей; когда холодная и сырая — водой; горячая и влажная — воздухом; горячая и сухая — огнем. Меняя свою форму, материя перемещается по слоям, пока не находит свое естественное место: земля опускается к центру, а огонь поднимается вверх.

Вселенная Аристотеля не нуждалась в пустоте, а вот атомистическая Вселенная нуждалась: ей требовалось то, в чем могли бы двигаться частицы. Поэтому Аристотель приступил к дискредитации этой идеи. Он начал с размышлений о том, как твердые объекты падают на землю. Ученый заметил, что при падении через плотную среду (например, воду) они опускаются медленнее, чем при движении через разреженную среду. Он также утверждал, что более тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, — без сомнения, размышляя о камнях и перышках, опускающихся в воздухе. На основании этого он решил, что скорость падающего объекта должна быть пропорциональна простому отношению

У пустоты мгновенно возникли неприятности. Поскольку ее плотность равна нулю, все объекты должны пролетать сквозь нее с бесконечной скоростью, а пространство между атомами — бесконечно быстро заполняться. Это недопустимо, поэтому пустота не может существовать. Конечно, камень падает быстрее перышка не из-за своего веса, а из-за сопротивления воздуха. Тут крылась ошибка в рассуждениях философа, но это уже не имело значения: вред был нанесен. Для Аристотеля и его последователей пустоты не существовало. Не бывает бесконечности и не бывает нуля.

Почему эти идеи прожили так долго? Что именно в трудах Аристотеля так привлекало ученых средневековой Европы? Третья часть его идеологической троицы: доказательство существования Бога. Оно пришло из небесных сфер, состоящих из пятого элемента, который получил название эфир. В отличие от четырех земных элементов, эфир, будучи нетленным, не мог менять форму. Слои эфира находятся снаружи относительно земных элементов и по-разному вращаются. Есть свои сферы для Луны, Солнца и каждой из планет — блуждающих звезд. Все это окружал последний слой — сфера вечной тьмы, усеянная мерцающими огнями. Это были неподвижные звезды, совместно двигающиеся по краю материального мира. Но откуда взялось все это движение? Что дирижирует таким небесным оркестром? Аристотель утверждал: для того чтобы что-то двигалось, должно существовать нечто другое, становящееся причиной движения. Например, вы можете вообразить, что каждую сферу приводит в движение ее более крупная соседка: лунную сферу приводит в движение Меркурий, сферу Меркурия — Венера и т. д. Но что в этом случае произойдет, когда мы дойдем до сферы звезд? Кто двигает ее? Аристотель заявил, что причина этого движения находится вне материального мира. Движение исходило от перводвигателя — иными словами, от Бога.

Такая философия оказалась привлекательной для христианства, распространявшегося по западному миру. Хотя Аристотель доказал существование нехристианского Бога, христианские богословы вроде Фомы Аквинского с радостью приняли это доказательство. Они приветствовали Вселенную Аристотеля и пришли к выводу, что поддержка атомистов означает отрицание существования их собственного Бога. Они отвергли пустоту и отвергли ноль.

Однако история нуля продолжалась. Подобно солнцу, он взошел на востоке. Возможно, на самом деле нам лучше говорить о понятии шунья. Это санскритское слово означает не только «ноль», но и «пустой». В отличие от христиан с их страхами перед ересью, буддисты приняли пустоту — она стала центром их духовности. Шуньята («пустота, незаполненность») — важное понятие в буддизме. Буддист стремится постичь пустоту и прийти к освобождению с помощью силы медитации. Схожие идеи можно найти и в других восточных религиях, таких как индуизм или джайнизм.

Одни говорят, что ноль пришел в Индию из Вавилона после походов Александра Македонского; другие считают, что понятие развилось в самой Индии из семени Шуньяты. Мы не знаем. Зато мы точно знаем, что именно здесь находится исток нашего собственного нуля. Именно здесь появился символ, который будет передаваться из поколения в поколение и достигнет современной круглой формы. Но еще важнее то, что в Индии ноль наконец получил свободу.

В какой-то момент в середине первого тысячелетия индийцы перешли на систему счисления, очень похожую на нашу. Она была позиционной, как и у вавилонян, только десятичной, а не шестидесятеричной. Когда именно произошел этот переход, сказать сложно, и причина тому — мошенничество. Многие древние документы носили юридический характер, удостоверяя пожалование земель определенным людям. Поскольку позже они использовались как доказательство прав собственности на землю, даты на них часто подделывали.

Некоторые воспользовались этим фактом для подтверждения того, что индийские цифры появились не ранее IX века. Если какие-либо даты заставляли предположить, что они старше, соответствующие документы объявлялись подделками. Эта фанатичная точка зрения восходит к работам Джорджа Кэя — влиятельного английского ученого и востоковеда начала XX века. Планы Кэя были опасными: он презирал Индию и стремился установить европейское превосходство в царстве математики. Дискредитировав ранние индийские документы, он мог утверждать, что современная система счисления создана не в Индии, ее просто привезли туда из Греции или Аравии. К сожалению, Кэя активно поддерживали другие британские ученые, многие из которых позволяли своим предубеждениям по отношению к Востоку омрачать свои научные суждения.

Сейчас взгляды Кэя опровергнуты. Хотя мы справедливо считаем некоторые документы сомнительными, кажется маловероятным, что абсолютно все они имеют ошибочные даты, и большинство ученых теперь соглашаются с тем, что современная система счисления возникла в Индии к V веку. В том числе и ноль. Мы можем проследить его происхождение до берестяного манускрипта, обнаруженного в 1881 году одним крестьянином в деревне Бакхшали (на территории современного Пакистана). Берестяные страницы содержат математический текст — правила для вычисления квадратных корней, дробей, решения различных уравнений, а также набор цифр, порой и сегодня почти узнаваемых.

^{Список цифр, встречающихся в манускрипте Бакхшали}

Ноль изображен в виде точки — прямого предка того кружка, который мы используем сейчас. Датирование манускрипта Бакхшали сталкивается с проблемами. Питаемый своими предубеждениями Кэй утверждал, что он не может быть старше XII века, однако возраст документа явно намного больше. Анализ текста позволяет предположить, что это могла быть копия более древнего произведения, возможно относящегося к III веку. Чтобы разобраться в вопросе, из манускрипта взяли три образца для радиоуглеродного анализа. Однако анализ дал разный их возраст: 224–383, 680–779 и 885–993 годы[94]. Сейчас документ хранится в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета.

В конце концов ноль был освобожден великим индийским математиком и астрономом Брахмагуптой. В 628 году он написал труд «Брахма-спхута-сиддханта», или «Правильно изложенное учение о Брахме». Он работал с отрицательными числами и на границе с ними увидел шунья. Он начал думать о смысле сумм и разностей, умножения и деления. Если разность 3–4 — число, то почему бы числом не быть разности 3–3? Брахмагупта понял, что ноль — настоящее число, не просто указатель пустого места, а честный игрок в математической игре. Правила были просты: если к произвольному числу прибавить ноль или вычесть его из произвольного числа, получится то же число; если число умножить на ноль, получится ноль; если же поделить на ноль… ну, может быть, не все так просто.

Когда Брахмагупта попытался делить на свое новое число, он стал ошибаться. Например, он заявил: если делить ноль на ноль, получится ноль. Но это не обязательно так. Чтобы понять это, представьте двух близнецов. Оба приняли препарат для снижения размера и внезапно начинают уменьшаться. Сначала их рост уменьшается вдвое, затем еще раз вдвое, и так до бесконечности — рост близнецов стремится к нулю. Поскольку они оба уменьшаются с одинаковой скоростью, соотношение их размеров всегда равно единице. Оно никогда не меняется, поэтому, даже когда оба близнеца в бесконечном будущем сократятся до нуля, это отношение должно остаться равным единице. Получается, что ноль, деленный на ноль, равен единице? Тоже не обязательно. Предположим, что этот препарат употребили великан и карлик. Сначала великан в десять раз выше карлика, и, поскольку они тоже уменьшаются с одинаковой скоростью, отношение их ростов остается прежним — оно всегда равно десяти. Следовательно, вы можете заключить, что ноль, деленный на ноль, дает десять. Но разве мы только что не доказали, что это один? Истина в том, что это отношение может быть каким угодно. В результате может получиться ноль, один, десять, TREE(3) или даже бесконечность. Отношение двух нулей само по себе не определено. Вы можете взять отношение двух очень маленьких чисел и изучать этот предел по мере того, как числа становятся все меньше. Это имеет смысл с математической точки зрения, однако, как мы только что видели, итоговый ответ всегда будет зависеть от того, как именно вы приближаетесь к пределу. Ноль, деленный на ноль, не имеет смысла, пока вы не объясните, что это за нули и насколько быстро стремится к нулю числитель по сравнению со знаменателем.

Когда дело дошло до деления единицы на ноль, Брахмагупта сдался. Неудивительно. Как писал в XII веке другой индийский «волшебник», Бхаскара Ачарья, подобное деление дает хахару («бесконечность») — такую же неизменную, как бог Вишну, бесконечный и всемогущий. Восемьсот лет спустя деление на ноль поразит американский флот. Тогда, 21 сентября 1997 года, глубоко внутри компьютерных систем «Йорктауна» — ракетного крейсера водоизмещением 10 000 тонн, стоявшего у города Кейп-Чарльз, — притаился ноль. В результате единственного деления он вывел из строя всю сеть, двигательная установка отключилась и корабль парализовало. По словам Тони Диджорджио, инженера Атлантического флота, который называет себя разоблачителем, «Йорктаун» пришлось отбуксировать на военно-морскую базу «Норфолк», где он простоял два дня. Официальные лица Атлантического флота опровергли эту версию событий, однако признали, что из-за деления на ноль корабль почти три часа простоял парализованным. Как понял еще Брахмагупта, ноль — это всего лишь число, однако никогда не делите на него, особенно если приближается враг.

Теперь, когда ноль освободили, он был готов распространиться по всему миру. В начале VII века, когда Брахмагупта заканчивал свой шедевр, пророк Мухаммед приказывал своим последователям готовиться к паломничеству в Мекку. На Ближнем Востоке начал распространяться ислам. В последующие столетия Арабский халифат продолжал расширяться, превратившись в обширную величественную империю от Испании на западе до Китая на востоке. Динамизм этого государства зависел от торговых артерий, по которым шли не только товары, но и идеи: и религиозные, и математические.

В центре этого интеллектуального мира находился Дом мудрости в Багдаде. Руководители исламского государства осознавали важность знаний. Они посылали ученых в экспедиции для сбора текстов из дальних уголков халифата. Особенно отличился здесь Аль-Мамун, самый ученый халиф из династии Аббасидов, который правил в начале IX века. Именно во время его правления Дом мудрости превратился в величайший учебный центр, который когда-либо видел мир. Одним из ученых этой академии был блестящий персидский математик Абу Абдуллах Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Он прославился книгой «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», где рассматривал математические методы решения уравнений. От слова «аль-джебр» в названии трактата произошло слово «алгебра». Эта книга стала одной из самых важных в истории математики. Древнегреческую одержимость геометрией заменили спокойные математические преобразования. Вопросы стали уравнениями, ответы — их корнями, а алгебра — магией, которая связала все воедино.

К моменту работы аль-Хорезми индийцы обозначали ноль уже не точкой, а кружком. Арабы узнали о нуле и остальных индийских цифрах около полувека назад, после визита послов из индийской провинции Синд ко двору багдадского халифа аль-Мансура в 773 году. Посольство из Синда привезло в подарок халифу копию книги Брахмагупты. Когда спустя десятилетия аль-Хорезми начал изучать этот трактат, ученый сразу же осознал его важность. Он начал изучать правила индийской арифметики, включая те, что касались нуля, и разработал алгоритмы для сложения, вычитания, умножения и деления. Само слово «алгоритм» происходит от algorismus — искаженной латинской передачи имени аль-Хорезми. Наследие аль-Хорезми так велико, что мы обычно называем современные цифры арабскими, несмотря на их индийское происхождение. Он взял неограненный индийский камень, отполировал его и поднял ввысь, так что тот ярко засверкал во всем исламском мире, а затем и за его пределами.

^{В надписи IX века в храме Чатурбхудж в Гвалиоре (примерно в 400 километрах к югу от Дели) можно мгновенно опознать число 270}

Для описания нуля аль-Хорезми использовал слово сифр. От него произошло современное слово «цифра». Сифр — прямой перевод слова сунья, означавшего пустоту, которая так противоречила аристотелевскому учению. Мусульмане, безусловно, знали об Аристотеле и его доказательстве существования Бога. Почему же они не отвергли сифр? Почему не осудили ноль, как это было на Западе? Дело в том, что появились люди, которые начали сомневаться в Аристотеле. В начале X века стала развиваться новая школа исламского богословия. Ее основал Абу-ль-Хасан аль-Ашари — суннит, который отказался от Аристотеля ради его смертельных соперников атомистов. Это соответствовало предложенной аль-Ашари идее окказионализма — радикальной попытке навязать всемогущество Бога всей природе. Окказионализм заявляет, что все события вызваны Богом — от прыгающего мяча до человеческой мысли. Время разбивается на череду случайностей (каждая происходит по воле Бога), а материя распадается на атомы — жертвы этих случайных событий. В каждый конкретный момент Бог желает, чтобы произошли новые случайные события, и атомы выстраиваются соответственно. В некотором смысле такая философия перекликается с квантовой механикой. Движение атомов не детерминировано. Для ашаритов оно определяется волей Бога, а в квантовой теории фиксируется посредством измерения.

Самым знаменитым представителем ашаритской школы был Абу Хамид аль-Газали, которого многие считают муджаддидом — личностью, появляющейся раз в столетие, чтобы обновить веру исламского народа. В своем учении аль-Газали осудил аристотелевское мышление и аналогичные идеи, противоречившие всемогуществу Бога, объявив, что всех их последователей нужно предать смерти. Его влияние было таким, что положило начало концу натурфилософии в средневековом исламе в пользу жесткой религиозной линии. Однако, приняв атомистов и промежуточную пустоту, он позволил процветать сифру. Казалось, что Аллах одобрил ноль.

Всего за семь лет, в начале VIII века, Омейядский халифат неумолимо распространился по всему Пиренейскому полуострову. Создав Аль-Андалус[95], арабы открыли канал для попадания исламских знаний в Западную Европу. Однако преодолеть границу было непросто. Христианский и исламский миры часто находились в состоянии войны — от походов Карла Великого на север Испании в 778 году до Крестовых походов XI, XII и XIII веков. Большую часть этого времени христиане по-прежнему использовали римские цифры и мало интересовались еретическим нулем. Они оставались преданными Аристотелю, его отрицанию пустоты и доказательству существования Бога. Ноль бросал этому вызов. Он бросал вызов их вере.

Ситуация начала меняться к концу XII века, когда торговец из Пизы Гульельмо Боначчо был назначен представителем пизанской торговой конторы в средиземноморском городе Беджая в Алжире. Он решил взять с собой сына Леонардо. Арабский мир был интеллектуальным плавильным котлом, и сын мог как минимум научиться пользоваться абаком — средневековыми счетами. Однако Леонардо научился гораздо большему. Он влюбился в арабскую математику и индийские цифры, и эта любовь навеки прославила его. Вы, наверное, знаете его под другим именем.

Фибоначчи.

Под этим именем он прославился случайно. Леонардо подписал свою работу «filius Bonacci», что означает «сын Боначчо», а сокращение этих слов стало ошибочно восприниматься как фамилия. Однако при жизни он никогда не именовался Фибоначчи. Он называл себя Биголло, что, вероятно, означало «странник». Подходящее прозвище, ведь Фибоначчи много путешествовал — по Сицилии, Греции, Сирии и Египту, — собирая повсюду знания. На рубеже XII–XIII веков, когда ему было около тридцати лет, он решил вернуться в Пизу и начал работать над своим шедевром. Через два года, в 1202 году, появилась Liber Abaci — «Книга абака». Это был трактат о математике, которую он изучал в арабском мире: об алгебре и арифметике, о применении математики в торговле и о чудесных индийских цифрах, к которым он питал такое почтение. В начале первой главы он писал:

Девять индийских форм суть следующие:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

С помощью этих девяти форм и с помощью знака 0, который по-арабски называется zephirum[96], можно записать какое угодно число.

Обратите внимание на разделение. Фибоначчи говорит о нуле как о знаке, отдельном от остальных девяти форм[97]. Конечно, он знал о работе Брахмагупты, сделавшей ноль отдельной цифрой, но все же не смог заставить себя уравнять его с остальными индийскими цифрами. Это было слишком эксцентрично. Каким бы просвещенным математик ни был, он, очевидно, все еще нервничал из-за нуля. Однако в целом это уже не имело значения. Ноль и другие индийские цифры наконец прорвали линию обороны. Они попали в христианский мир.

Значительная часть книги Фибоначчи посвящена математике торговли, использующей восточные алгоритмы для расчета прибыли и процентов или конвертации валют. Несмотря на очевидные преимущества, европейские торговцы не спешили брать на вооружение эти методы. Многие по-прежнему предпочитали работать с римскими цифрами, используя абак или счетную доску, на которой раскладывались бусины или камешки. Началось соперничество между абакистами, которые цеплялись за старые способы подсчета, и алгоритмистами, пользовавшимися вычислительной мощью восточной математики.

И власти, и обычные люди не доверяли этому таинственному заимствованию с Востока. В 1299 году во Флоренции индийские цифры были запрещены — во избежание мошенничества, ведь ноль можно легко изменить на шестерку или девятку. Однако запрет не остановил алгоритмистов. Они продолжали использовать эти цифры в частном порядке, вызывая при расчетах дух аль-Хорезми. Сначала их считали безбожниками, которые тратят больше времени на свои алгоритмы, чем на молитву. Но, как всегда, выгода для торговли перевесила, и власть уступила. Ноль и остальные индийские цифры оказались слишком мощными инструментами, и игнорировать их не получилось. Они были обречены на успех.

Даже церковь, похоже, была готова к переменам. В XIII веке парижские епископы выпустили ряд осуждений — документов о различных еретических учениях, которые могли привести к отлучению ученых от церкви. Там оказались и тексты Аристотеля — человека, который когда-то вдохновлял своим доказательством существования Бога таких богословов, как святой Фома Аквинский. В идеях Аристотеля епископы начали усматривать вызов всемогуществу Бога, как и мусульмане несколькими веками ранее. В осуждении 1277 года епископ Этьен Тампье рассматривал вопрос о движении небес. Аристотель говорил, что их невозможно перемещать по прямой линии, поскольку такое движение оставляет вакуум, заполненный пустотой, которую он категорически отвергал. Для Тампье это была явная ересь. Бог может сделать все, что желает. Он может сдвинуть небеса, как ему угодно; он способен создать вакуум. Кто такой Аристотель, чтобы утверждать обратное?

Местами позиции Аристотеля в христианской философии оставались сильными, однако его влияние начало разрушаться. Если христиане могли принять пустоту, они могли принять и ноль. Однако долговременные перемены и принятие нуля осуществили не парижские епископы. Это сделали бухгалтеры.

Они изобрели двойную запись.

В каком-то смысле такое окончание истории нуля разочаровывает, однако именно так он в итоге и победил. Двойную бухгалтерию придумали для учета растущих сложностей в торговле. Самые старые сохранившиеся бухгалтерские книги с ее применением относятся к счетам казначейства Генуэзской республики (1340 год). Система была простой, но гениальной. В одной колонке вы подсчитываете свои активы, в другой — пассивы, и при правильном учете разница должна быть нулевой[98]. Эта система использовала сильные стороны алгоритмистов, располагавших положительные и отрицательные числа по обе стороны от выделенного нуля. В 1494 году отец бухгалтерии, францисканский монах Лука Пачоли, изложил этот метод в своем легендарном учебнике по практической математике. Он выразил числами все — дебет, кредит и даже нулевой баланс. Больше не было места для аргументированных споров. Ноль восторжествовал, но не в результате взрыва или насильственного ниспровержения религиозных идеалов, а в результате торговой уловки и потребности добиться баланса в бухгалтерских документах.

Ноль — это симметрия

Что такое ноль? Наши предки говорили, что это пустота — проклятая на Западе из-за отсутствия Бога и благословляемая на Востоке из-за безмолвного совершенства. Возможно, вы скажете, что ноль — просто число вроде единицы, двойки или числа Грэма. Но тогда я вынужден спросить: что такое число? До того как древние шумеры высвободили числа, их всегда держали рядом с чем-то другим: пять хлебов, пять рыб, пять кувшинов масла. Прорыв произошел, когда шумеры определили общий признак у всех этих совокупностей: отдельное число пять. Связь между числами и вещами, которые они считают, разорвать трудно. Действительно ли пятерка, которая подсчитывает количество хлеба, — это та же самая пятерка, которая обозначает количество рыбы?

Этот вопрос действительно возник в конце XIX века, когда такие математики, как беспокойный немец Георг Кантор, начали думать о совокупностях объектов — о множествах. Как мы увидим в главе «Бесконечность», теория множеств выросла из религиозного стремления Кантора шагнуть в бесконечность, забраться высоко в бескрайние небеса. Однако первым использовать множества для размышлений об обычных числах — 0, 1, 2 и т. д. (такие числа мы обычно называем натуральными[99]) — стал другой немецкий математик, Готлоб Фреге.

Когда мы говорим о множестве из пяти хлебов и множестве из пяти рыб, ясно, что их можно легко связать между собой: каждый хлеб соединить с одной рыбой, а каждую рыбу — с одним хлебом. Такое точное сопоставление математики называют взаимно однозначным отображением, или биекцией. Мы также можем построить взаимно однозначные отображения между пятью хлебами и пятью кувшинами масла, или пятью американскими президентами, или пятью поп-звездами в бой-бенде. Все эти множества из пяти элементов можно связать между собой. Если мы хотим использовать теорию множеств для описания числа 5, какое из множеств нужно брать? Фреге понимал, что ни одно из этих множеств не может считаться особенным. Он заявил, что нет веских причин выбрать пять американских президентов вместо пяти хлебов или любого другого набора из пяти элементов. В интересах дипломатии он объявил, что число 5 — все такие множества, вместе взятые. Иными словами, это множество всех пятиэлементных множеств!

При таком формалистическом подходе можно обнаружить и ноль. Это множество всех множеств, в которых ничего нет. Что такое множество, в котором ничего нет? Существует только одно такое — пустое! Идея выглядит вполне последовательной. Например, мы могли бы определить пустое множество как множество квадратных чисел, которые одновременно являются простыми, или множество собак, которые при этом являются кошками.

Фреге начал разрабатывать основы арифметики с помощью такого нового теоретико-множественного языка, но, когда в печать отправился второй том его труда, в доме ученого взорвалась бомба. Она имела вид письма от британского философа, логика и математика Бертрана Рассела. Как всегда бывало у Рассела, письмо оказалось блестящим и уничтожило работу Фреге одним взрывом[100]. Идея Фреге предполагала, что всегда можно говорить о множестве всех множеств, обладающих определенным свойством. Вот почему ему было удобно использовать множество всех множеств с пятью элементами, чтобы представлять число 5, или множество всех множеств с десятью элементами, чтобы представлять число 10. Но такое бесцеремонное определение больших множеств чревато опасностью. Рассел спросил: «Как насчет множества всех множеств, которые не содержат самих себя?»

Чтобы показать вам, к чему клонит Рассел, расскажу о моем знакомом парикмахере по имени Джузеппе. Он зарабатывает на жизнь тем, что бреет всех мужчин, которые не бреют себя сами. Когда я узнал об этом, я задался вопросом: кто бреет Джузеппе? Может, он бреет себя сам? Нет, этого не может быть, потому что он бреет только тех мужчин, которые не бреются сами. Следовательно, он не бреет себя сам. Но этого тоже не может быть: если он не бреется сам, то его должен брить Джузеппе.

Но ведь он же и есть Джузеппе!

Вопрос Рассела к Фреге был заряжен весьма похожим динамитом[101]. Несмотря на ущерб, который он нанес теории Фреге, Рассел попытался воскресить некоторые из его идей, чтобы избежать парадокса. Он по-прежнему думал о числах примерно так же: собирая воедино множества заданного размера. Он просто не мог идентифицировать эти наборы как самостоятельные множества. Оказывается, существует гораздо более простой и экономичный способ думать о натуральных числах, используя множества, и он опирается на единственное число — ноль.

Какое множество мы должны отождествить с нулем? Это мы уже выяснили. Очевидный выбор — пустое множество, то есть множество, в котором нет элементов. Полезно думать о нем в терминах пустого ящика. Если мы хотим сгенерировать другие числа, нам нужны ящики, которые не будут пустыми. Чтобы получить число 1, нам надо поместить в ящик один объект. Какой именно? Ну на этом этапе у нас есть только ноль и пустые ящики. Таким образом, мы можем поместить в наш ящик пустой ящик и назвать все это «один». На теоретико-множественном языке мы говорим, что один — это множество, содержащее только пустое множество. А что такое два? Ящик для этого числа должен содержать два разных объекта. Но так случилось, что у нас как раз есть два объекта — это ящики, которые мы отождествили с нулем и единицей. Остается поместить их в следующий ящик и назвать всю конструкцию «два». Иными словами, два — это множество, содержащее множества, соответствующие нулю и единице.

^{Построение натуральных чисел: ноль — пустое множество, изображенное в виде пустого ящика; один — ящик, содержащий пустой ящик, то есть ноль; два — ящик, содержащий ноль и один; и т. д.}

Мы можем продолжить: три — это множество, содержащее ноль, один и два; четыре — множество, содержащее ноль, один, два и три и т. д., пройдя весь путь, минуя по ходу числа TREE(3) и TREE(TREE(3)), сопоставляя каждое натуральное числу и его собственное характеристическое множество. Внутри динамики множеств Джон фон Нейман и Эрнст Цермело увидели основы чисел и арифметики. Ноль превратился в пустое множество — множество ничего. Он стал семенем, из которого мы вырастили дерево всех натуральных чисел.

В этой чудесной абстракции можно найти ноль, но существует ли он на самом деле? Здесь нет единого мнения. Платоники утверждают, что ноль существует, как и все другие числа, но только в абстрактном смысле, вне пространства и времени. Номиналисты более практичны. Они полагают, что числа существуют только для подсчета вещей, которые мы видим в реальном мире (хлебов, рыб, кувшинов с маслом), поэтому они отрицают существование выделенного числа. Фикционалисты вообще отрицают существование чисел! А вот я верю в числа. Я вижу ноль в абстракции пустого множества, а в пустом множестве — симметрию.

Почему? Объясню с помощью Ничто.

Нам нужно отличать ничто от Ничто. Ничто с прописной буквы — понятие абсолютное и гораздо более трудное для понимания. Мы не должны думать о нем как о том, что можно создать, убрав все вещи: яблоки, апельсины, молекулы воздуха или даже законы физики. Мы можем создать вакуум, но никогда не сможем создать Ничто. Истинное Ничто нельзя получить из чего-то, и оно не может потенциально быть чем-то. Вы ничего не можете с этим поделать. Если оно существует — хотя трудно понять, как это возможно, — мы должны быть от него отделены.

Однако сейчас нас интересует не это. Нас интересует более слабая форма — со строчной буквы «н». Это ничто не отделено от нас, мы можем достичь его, удаляя объекты; и именно так мы связываем его с симметрией нуля. Например, если у вас есть куча яблок, вы можете убирать их до тех пор, пока у вас не останется ни одного яблока. То же можно сделать с апельсинами, молекулами воздуха и даже костями динозавров. В этой более слабой форме ничто оказывается относительным, а не абсолютным. Однако для нас важно, что ноль яблок и ноль апельсинов неотличимы друг от друга. Каждый из них идентичен пустому множеству, которое и есть ничто. В некотором смысле можно сказать, что ноль — или ничто — остается неизменным, если вы меняете единицы измерения: ноль яблок, ноль апельсинов, ноль костей динозавров — мы не можем отличить их друг от друга. При нуле все вещи становятся равными. Иными словами, ноль — это симметрия: симметрия такого ничто.

Эта связь между нулем и симметрией больше, чем просто математика и философия. Она вплетена в ткань Вселенной, подкрепляя ее физические законы, распоряжаясь ударами и притяжением элементарных частиц. Как мы вскоре увидим, она становится причиной того, что энергия не создается и не уничтожается или что свет движется со скоростью света. Возможно, величайшее открытие XX века заключается в том, что наша Вселенная наполнена огромным количеством симметрии. Это Вселенная, наполненная нулем.

Обнаружение нуля

Когда весной 2020 года британское правительство объявило национальный локдаун для борьбы с распространением коронавируса, мы с женой по очереди занимались домашним обучением наших двух дочерей. Чаще всего мы игнорировали школьную программу и выбирали темы сами. Жена учила их создавать биосферу в домашних условиях, чтобы они узнавали об экосистемах, а я помогал им кодировать дурацкие компьютерные игры в среде «Скретч». Конечно, мы не могли слишком далеко отходить от учебной программы и время от времени просматривали присылаемые учителями материалы. Однажды мы с младшей дочкой начали изучать симметрии.

Я показывал ей различные фигуры и просил изобразить прямые, которые дают зеркальное отражение. Например, для квадрата требовалось указать диагонали и прямые, проходящие через центры противоположных сторон. Я решил спросить ее, не видит ли она какие-либо другие симметрии. В классе им рассказывали только про зеркальную, поэтому поначалу она затруднялась с ответом. После нескольких аккуратных подсказок она начала вращать квадрат вокруг центра и после четверти оборота (90 градусов) поняла, что квадрат выглядит точно так же, как и раньше. То же мы проделали с пятиугольниками, поворачивающимися на одну пятую оборота (72 градуса), и шестиугольниками, поворачивающимися на одну шестую оборота (60 градусов). В этот момент мои способности к рисованию начали истощаться, но дочка уже поняла идею. Все эти фигуры обладают особой вращательной симметрией, зависящей от угла поворота. Такие симметрии, наряду с зеркальными, становятся примерами дискретных симметрий — нетривиальных скачков, которые оставляют нечто неизменным.

Этим нечто может быть сама природа. Чтобы разобраться с дискретными симметриями природы, нам нужно глубоко заглянуть в ее микроскопическое царство и найти соответствующие нули. Одна из возможных симметрий предполагает замену всех частиц их античастицами и наоборот. Существует ли такая симметрия в природе? В этом случае должен существовать ноль — разность между количеством частиц и античастиц в нашей Вселенной. Однако эта разность не равна нулю: мы видим во Вселенной около 10⁸⁰ частиц и лишь горстку античастиц. Это огромное везение. Если бы частиц и античастиц было поровну, они аннигилировали бы через несколько мгновений после Большого взрыва, оставив после себя сплошное излучение и мертвую Вселенную. Мы до сих пор не знаем, как и почему Вселенная выдала нам улыбку фортуны, нарушив эту самоубийственную симметрию между материей и антиматерией.

После того как мы с дочерью во время локдауна обсудили дискретную симметрию квадратов и шестиугольников, я нарисовал круг. Я спросил: «На какой угол нужно повернуть круг, чтобы он не изменился?» Ответом, конечно, будет произвольный угол. Мы уже не ограничены углами, кратными 90, 72 или 60 градусам, как для других фигур. Вы можете непрерывно поворачивать круг на любой угол вокруг его центра, и он всегда будет выглядеть точно так же. Это означает, что в данном случае у нас имеется непрерывная симметрия, а не дискретная. В природе непрерывные симметрии отвечают за некоторые важнейшие принципы физики. Например, ее законы, которые Ньютон открыл почти четыре века назад, действуют и сегодня. Они будут действовать и через следующие четыре века, и через тысячу лет, даже если их смогут наблюдать только компьютерные ученые будущего. Хотя природа способна меняться со временем, считается, что фундаментальные законы физики остаются неизменными. Это непрерывная симметрия. Соответствующий ноль можно найти в кровавых прозрениях Юлиуса фон Майера.

Возможно, вы помните его по главе «Гугол». Майер был судовым врачом, который изучал цвет крови моряков под тропическим солнцем и наткнулся на тот факт, что энергию нельзя создать или уничтожить — она всегда сохраняется. Но почему? Это происходит не просто случайно или по божественной воле, это следует из того факта, что законы физики остаются неизменными, даже когда вы путешествуете во времени. Сохранение энергии следует из непрерывной симметрии времени.

Чтобы получить интуитивное представление, почему это так, подумаем, что произошло бы, если бы дела обстояли иначе и законы физики менялись со временем. Например, что, если гравитация внезапно усилится? В этом случае легко создать энергию из ничего. Достаточно поднять книгу с пола, аккуратно поставить ее на полку и оставить там на ночь. Поднимая книгу, вы совершаете работу, передавая определенную энергию, которая затем сохраняется в виде гравитационной потенциальной энергии. На следующее утро, когда вы ощущаете себя немного тяжелее, в книге появится больше потенциальной энергии, потому что гравитация стала сильнее. Если вы дадите книге упасть на пол, падение высвободит эту энергию — и ее будет больше, чем вы вложили накануне. Отличная работа: вы создали энергию из ничего, и все благодаря изменившимся со временем законам физики. А в нашей Вселенной законы физики всегда остаются неизменными, поэтому энергия никогда не появляется и не уничтожается. Она всегда сохраняется.

Каждый раз, когда у вас имеется какая-нибудь непрерывная симметрия, есть и соответствующий закон сохранения. Вот еще один пример: считается, что фундаментальные законы физики остаются неизменными, когда вы перемещаетесь в пространстве. Они одинаковы в вашем доме, в доме вашего соседа и даже в доме инопланетянина из созвездия Стрельца. Эта симметрия означает сохранение импульса. А тот факт, что законы физики одинаковы для вращающейся Вселенной, означает сохранение момента импульса. Для каждой из этих и других непрерывных симметрий мы находим соответствующий ноль. Это общее изменение в энергии, импульсе, моменте импульса или какой-либо другой сохраняющейся величине.

Эту глубокую связь между симметрией, законами сохранения и нулем открыла специалистка по симметрии Эмми Нетер. Эйнштейн назвал ее математическим гением, а другие ученые ставили ее научные достижения на одну доску с результатами Марии Кюри. Несмотря на свой огромный талант, она всю свою жизнь боролась с предрассудками окружающих. Сначала люди не могли примириться с тем, что она женщина, а затем с тем, что она еврейка. Нетер выросла в конце XIX века в семье математика. Подобные ей девушки из респектабельных семей среднего класса посещали школы-пансионы; предполагалось, что их дальнейшие интересы будут связаны с искусством. Однако Эмми воспротивилась и начала посещать лекции по математике и языкам в университете Эрлангена, где ее отец был профессором. Она не могла стать полноправной студенткой в силу своего пола: ей разрешили быть только вольнослушательницей, причем вопрос посещения лекций оставили на усмотрение преподавателей. В Эрлангене в то время обучалось всего две женщины. Мужчин — около тысячи.

Даже после того, как Нетер защитила диссертацию и начала преподавать в математическом институте университета, она работала бесплатно, не имея официальной должности. Однако ее способности начали привлекать внимание. Давид Гильберт и Феликс Клейн упорно старались пригласить Эмми в Геттингенский университет. Они столкнулись с сопротивлением, а один ученый заявил: «Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и обнаружат, что должны учиться у ног женщины?»[102] Но в итоге Гильберт и Клейн победили, и Нетер в 1915 году переехала в Геттинген. Конечно, ей по-прежнему не платили, а лекции она читала как бы вместо Гильберта. Именно в Геттингене она начала понимать взаимосвязь между симметрией и законами сохранения. Из-за отсутствия должности ей не разрешили представить свою работу Королевскому научному обществу. От ее имени это сделал Феликс Клейн.

Когда Первая мировая война закончилась, немецкое общество начало медленно менять отношение к женщинам, и в начале 1920-х Нетер стала получать небольшую зарплату за свою работу в университете. Хотя она завоевывала все большее признание за пределами Геттингена, ее так и не избрали в Академию наук и даже не сделали профессором[103]. Через десять лет после получения первой зарплаты ее отстранили от преподавания вместе с другими евреями и «политически подозрительными» учеными, поскольку к власти в Германии пришли нацисты. Нетер эмигрировала в Америку, читала лекции в колледже Брин-Мор в Пенсильвании и в Принстонском институте перспективных исследований. Она умерла от онкологического заболевания через два года после переезда в США. Это не единственная трагедия, выпавшая на долю семьи Нетер. Фриц, младший брат Эмми, также бежал от нацистов, заняв должность профессора математики в Томском государственном университете в СССР. Через несколько лет его посадили, обвинили в антисоветской пропаганде и расстреляли.

Идеи Эмми Нетер доминировали в фундаментальной физике XX века, поскольку стремление понять природу превратилось в стремление понять ее симметрии и законы сохранения. Вы можете увидеть действительно важный пример, потерев кусок стекла о рубашку из полиэстера. Несомненно, вы обнаружите статическое электричество: электроны отделяются от стекла и переходят на рубашку. Теперь стекло несет положительный электрический заряд, а рубашка — отрицательный. Однако идеальное равновесие сохраняется: общий заряд по-прежнему равен нулю. Это связано с тем, что электрический заряд нельзя создать или уничтожить. Согласно теории Нетер, этот закон сохранения должен соответствовать какой-то непрерывной симметрии. Что это за симметрия? Оказывается, теория заряженных частиц, таких как электроны и позитроны, использует внутренний условный «диск со шкалой настройки». Это всего лишь указатель, называющий нам тот язык, который нужно использовать, чтобы говорить о том, что делают заряженные частицы. Это не английский и не испанский язык, а математический язык сложных спиноров (что бы это ни было). Не станем вдаваться в подробности. Вот что нам нужно знать: когда этот диск вращается, спиноры тоже поворачиваются, причем так, что физика не меняется. В итоге именно непрерывная симметрия этого внутреннего диска гарантирует сохранение заряда.

На самом деле симметрия электромагнетизма гораздо мощнее, чем то, что мы сейчас описали. Чтобы понять почему, нам нужно поместить Вселенную в ящик и подумать, как сохранить заряд. Например, может ли заряженная частица исчезнуть из-под вашего носа и мгновенно появиться на другой стороне улицы? Как бы странно это ни звучало, но, если бы нас заботило только сохранение заряда, такая ситуация была бы абсолютно нормальной. В конце концов, заряженная частица совершила мгновенный скачок, но так и не покинула Вселенную. Однако в этот момент мы взываем к Эйнштейну и духу главы «1,000000000000000858» и вспоминаем, что заряженные частицы не могут прыгать в пространстве с бесконечной скоростью, превышающей скорость света. Оказывается, чтобы не было противоречия с теорией относительности, заряд должен сохраняться на локальном уровне — в каждой точке пространства и времени. Иными словами, общий заряд перед вашим носом или где-либо еще в пространстве не может измениться в одно мгновение. Это превращает соответствующую симметрию в локальную. Теперь мы должны говорить не об одном диске для всей Вселенной, а о бесконечном количестве дисков, разбросанных по всем точкам пространства и времени и показывающих разные вещи.

Эта усиленная локализованная версия симметрии известна как калибровочная симметрия. Чтобы понять ее следствия, представьте мою улицу как вселенную, где каждый дом соответствует какой-то точке в пространстве. В нашем доме живу я с женой и двумя дочерьми; наши соседи слева — Гэри и Линн, справа — Пит и Стеф, дальше за ними — Любчо и Лилия, через дорогу живут Ян и Сью и т. д. Все они очень общительные люди, и часто можно увидеть, как они болтают через садовые заборы.

Предположим, что в каждом доме есть диск, указывающий на какой-то язык. В данный момент все диски стоят в положении «английский», поэтому все говорят по-английски. Это облегчает общение. Если моя жена решит организовать вечеринку, она может рассказать об этом Стеф по-английски, которая затем расскажет об этом Лилии (тоже по-английски), и т. д. Сообщение быстро распространяется. Но что будет, если все диски начнут менять язык: перескакивать с английского на американский английский, потом на другие языки, а в итоге остановятся на французском? Теперь все говорят по-французски, но разве это проблема? Конечно, нет. Если моя жена хочет организовать очередную вечеринку, она может сказать об этом Стеф по-французски, а та затем по-французски расскажет Лилии и т. д. Сообщение снова распространяется. Можно даже сказать, что оно сохраняется благодаря симметрии нашего диска с настройками.

Но мы также говорили, что симметрия оказалась лучше этой. Ее модернизировали и локализовали. Это означает, что теперь разные диски не обязаны поворачиваться в унисон. Возможно, наш диск настроен на французский язык, диск Гэри и Линн — на немецкий, а Стеф с Питом говорят на суахили. Может оказаться, что все общаются на разных языках. Значит ли это, что моей жене сложно организовать следующую вечеринку? Нет: природа находит умный способ приспособиться — калибровочную теорию. Она предоставляет каждому дому персонализированный языковой словарь, дающий возможность общаться с ближайшими соседями. Наш словарь помогает переводить с французского на немецкий, чтобы мы могли общаться с Гэри и Линн, или на суахили, чтобы мы могли говорить со Стеф и Питом. Сообщение о вечеринке по-прежнему может разойтись по улице. Каждому дому во вселенной нашей улицы позволено установить диск на любой язык по своему выбору, потому что природа снабжает все дома подходящим словарем. Физики предпочитают называть их калибровочными полями. Они помогают передавать сообщения туда и обратно. Вот почему мы думаем о калибровочных полях как о силах природы. В электромагнетизме калибровочное поле — электромагнитное, а соответствующий квант — фотон, то есть частица света. Поле помогает передавать электромагнитные сообщения между заряженными частицами.

Теперь у нас есть эта причудливая новая усиленная симметрия, но где же в ней ноль? Оказывается, он прячется в словарях. Мы можем задаться вопросом, сколько энергии требуется, чтобы пошевелить калибровочное поле / словарь или изменить его каким-либо образом. Ведь чем труднее шевелить, тем тяжелее должен быть объект. Представьте, что вы с одинаковой силой дергаете за хвост мышь и слона. Слон пошевелится гораздо меньше, потому что он намного тяжелее. В некотором смысле то же относится и к калибровочному полю: если мы можем изменить его с маленькими затратами энергии, то поймем, что оно очень легкое, а если нет, мы поймем, что оно тяжелое. Так где же ноль? Ответ лежит в калибровочной симметрии. Что произойдет, если мои соседи решат сбросить настройки своего диска и перейти на какой-то новый язык? Мы знаем, что это не проблема. Благодаря симметрии они имеют возможность сделать это без каких-либо физических последствий — безо всяких затрат энергии. Природа, естественно, приспосабливается к этим изменениям, обновляя наши словари. Иными словами, должны существовать методы, с помощью которых вы можете изменить калибровочное поле бесплатно, без каких-либо затрат энергии. Это означает, что поле максимально легкое. Оно безмассовое. Это и есть ноль — масса калибровочного поля и соответствующих ему квантов. Благодаря калибровочной симметрии электромагнетизма фотон имеет нулевую массу покоя, что вынуждает его двигаться со скоростью света.

Кажется, у природы есть настоящая жажда симметрии, особенно калибровочной. Калибровочные симметрии дают вам взаимодействия. Они лежат в основе нашего понимания гравитации, сильных и слабых ядерных взаимодействий и, конечно, электромагнетизма. Эта идея господствовала в физике почти столетие. По мере того как мы с помощью все более мощных ускорителей все глубже погружаемся в микроскопический танец субатомных частиц, мы наблюдаем все больше симметрии. Чем ближе расстояние, тем красивее — то есть симметричнее — становится природа. И с каждой новой симметрией появляется какой-нибудь ноль.

Когда древние вавилоняне написали первый ноль, они сделали это ради улучшения учета продуктов питания, скота, людей и товаров. Однако ноль оказался числом со слишком большой индивидуальностью и всегда был обречен на опасности и тревоги. Со временем он стал танцевать с дьяволом, слившись с пустотой и отсутствием Бога. Странно думать, что число, столь долго осуждаемое как ересь, должно существовать в самой сердцевине того, чем на самом деле является природа. В математике ноль — пустое множество, воплощение симметрии, которое можно найти и в физическом мире. Наша Вселенная заполнена нулями — признаками симметрии в часовом механизме фундаментальной физики, от нулевой массы фотона до нулевых изменений заряда и энергии.

Как мы увидим в следующих двух главах, в природе существуют и другие маленькие числа: те, которые намного меньше единицы, но не равны нулю. Примером можно считать массу электрона: она не равна нулю, однако намного меньше, чем масса всех других тяжелых частиц, таких как кварки или бозон Хиггса. Это говорит о симметрии, хотя с небольшим несовершенством, словно пятнышко на лице идеальной красоты. Но существуют также маленькие числа, которые до сих пор не удалось понять, для которых нет известной симметрии. Они — загадки неожиданного мира, загадки фундаментальных частиц, которые должны были оставаться скрытыми; загадки Вселенной, в которой вы и я никогда не должны были родиться.

4 июля 2012 года. Семьи в США праздновали День независимости, однако по-настоящему радостное возбуждение царило в лекционном зале, расположенном у подножия Монблана недалеко от швейцарско-французской границы. Этот зал был крупнейшим в ЦЕРН, европейской организации по ядерным исследованиям, которая проводила масштабный и самый технологически современный эксперимент в истории. Ученые построили машину Большого взрыва — кольцевой коллайдер, который разгонял субатомные частицы почти до скорости света, а затем сталкивал их друг с другом. Физики хотели втиснуть огромное количество энергии в крошечные области пространства, однако под контролем, чтобы зафиксировать происходящее и заглянуть во внутренний механизм фундаментальной физики. Летом 2012 года после некоторых столкновений они увидели нечто важное и были готовы сообщить об этом миру.

В тот день в аудитории собрались пять гигантов физики: Том Киббл, Джерри Гуральник, Карл Хейген, Франсуа Энглер и, конечно, Питер Хиггс. Вместе со своим другом и коллегой Робертом Браутом, умершим годом раньше, они составляли «банду шести», которая сыграла важнейшую роль в понимании происхождения массы в мире, где доминирует симметрия. Их теория, несмотря на широкое признание к тому времени, еще не получила экспериментального подтверждения, а это необходимое условие для получения Нобелевской премии и священный Грааль для любого теоретика. Все изменилось в День независимости США, когда группа из ЦЕРН сообщила о полученных результатах этим пяти ученым и еще полумиллиону наблюдателей в интернете. Они открыли новую частицу с массой около 125 ГэВ и были чертовски уверены, что это и есть бозон Хиггса, или хиггсон.

Было что праздновать: торжествовала как теория, так и эксперимент. В мощных столкновениях частиц ЦЕРН воссоздал печь младенческой Вселенной — первичное скопление кварков, глюонов и других космических ингредиентов. Однако посреди утренних празднеств 4 июля 2012 года скрывалась какая-то темная тайна, нечто тревожное — то, что беспокоило всех теоретиков, собравшихся в зале. Проблема скрывалась в следующем предложении:

125 ГэВ. Это около 2,2 × 10^–25 кг, если перейти на привычные единицы измерения[104]. Почти в миллиард миллиардов раз меньше, чем масса мимариды — самого маленького насекомого в мире. Конечно, не хотелось бы сравнивать мимариду, состоящую из миллиардов и миллиардов атомов, с единственным бозоном Хиггса, однако даже в этом случае хиггсон гораздо легче, чем ожидалось. По общему мнению, он должен был оказаться действительно тяжелой частицей — намного тяжелее, чем электрон или протон. Он должен весить несколько микрограммов. Примерно как мимарида.

Я знаю, о чем вы думаете: какое отношение мимариды имеют к бозону Хиггса? Ответ — никакого, во всяком случае не напрямую. Оказывается, мимарида весит почти столько же, сколько квантовая черная дыра, самый маленький и плотный объект, который допускает гравитация. Это насекомое и квантовая черная дыра могут обладать примерно одинаковой массой, только черная дыра втискивает ее в пространство, которое меньше в миллион триллионов триллионов раз с лишним. Она сжимает одиннадцать микрограммов в шар, радиус которого равен планковской длине, около 1,6 × 10^–35 метров. В таких масштабах гравитация начинает разрушать ткань пространства и времени. Это невообразимо маленькое расстояние, но оно должно быть очень важным для хиггсона. Если мы доведем наше понимание физики до этого крохотного порога, бурлящий мир квантовой механики вовлечет бозон Хиггса, и он в итоге встретится лицом к лицу с квантовой гравитацией. Детали я объясню позже в этой главе. А пока попробуйте принять, что бозон Хиггса должен весить столько же, сколько мимарида, и почти столько же, сколько квантовая черная дыра. Однако это не так: его масса составляет 0,0000000000000001 от этой величины, и никто не знает почему.

В предыдущей главе я пытался убедить вас, что крохотные числа требуют объяснения. Когда вы сталкиваетесь с нулем, природа дразнит вас своей красотой — своей симметрией. В конце концов, совершенство заключено в нуле. А как насчет маленького и отличного от нуля числа, например 0,0000000000000001? Это близко к совершенству, но не совсем. Это симметрия с небольшим изъяном, словно половины лица идеально совпадают, за исключением лишней крошечной веснушки на левой щеке. В физическом мире вы не ожидаете увидеть большие или маленькие числа, если не находитесь под заклинанием симметрии. Отношения двух величин, которые вы наблюдаете, должны быть ничем не примечательны: величины различаются примерно в несколько раз. Если же вы видите какие-то примечательные числа, то, скорее всего, и происходит что-то примечательное.

Чтобы убедиться в этом, можно провести небольшой эксперимент. Попросите десять друзей случайным образом выбрать какое-нибудь иррациональное число от –1 до 1. Помните, что иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения двух целых, так что ваши друзья могут выбрать, например, или

Когда они закончат, сложите все полученные числа и опустите знак суммы. Что получилось? Если что-то меньшее, чем 0,0000000000000001, то это, безусловно, примечательный случай. Ваши друзья каким-то образом наколдовали очень маловероятную комбинацию, где числа аннулировали друг друга. Без тайного заговора такого не произойдет. Реальный полученный ответ не окажется близким к нулю. Это будет просто некоторое число — не особо большое, не особо маленькое. Ничего необычного.

Мы можем использовать эту философию для выбора оптимальных научных моделей. Чтобы увидеть, как это может работать, вернемся в начало XVI века, когда большинство людей считало Землю центром Вселенной. Астрономические наблюдения того времени не противоречили этой точке зрения. Их можно было объяснить с помощью древней модели Клавдия Птолемея, при которой все планеты двигаются по круговым орбитам, а для исправления несоответствий с реальной картиной вводятся экванты и эпициклы[105]. Детали не имеют особого значения; важно то, что Земля считалась неподвижной, а все остальные планеты двигались вокруг нее с примерно равными скоростями. В 1543 году эту точку зрения оспорил Николай Коперник, который родился в Королевстве Польском. Коперник был каноником католической церкви, проявлявшим большой интерес к математике и астрономии. Он вдохновлялся трудами Цицерона и Плутарха и утверждал, что Земля не неподвижна — она должна двигаться, как и остальные планеты. В его гелиоцентрической модели Солнце находилось в центре Вселенной, а Земля двигалась по орбите. Астрономические данные того времени не обладали достаточной точностью, чтобы подтвердить или опровергнуть эту принципиально новую идею[106], поэтому большинство философов полагались на свой внутренний голос. Модель Коперника, казалось, бросала вызов здравому смыслу или, что еще хуже, Библии. Сам ученый предвидел такую реакцию. Опасаясь неизбежных неприятностей, он на десятилетия задержал свою работу, откладывая ее публикацию до самых последних мгновений жизни.

Современники Коперника могли бы придерживаться другого, более просвещенного взгляда, основанного на непримечательных величинах. В гелиоцентрической модели все планеты, вращающиеся вокруг Солнца, движутся примерно с одинаковой скоростью. Быстрее всех Меркурий, который летит со скоростью около 170 000 километров в час, затем Венера со скоростью примерно 125 000 километров в час, Земля — 108 000 километров в час, Марс — 87 000 километров в час и т. д. Хотя планеты явно замедляются по мере удаления от Солнца, отношение их скоростей всегда составляет ничем не примечательное число — не особо большое, не особо маленькое. Но в геоцентрической модели Птолемея это не так. Поскольку предполагается, что Земля неподвижна, то — в отличие от всех других планет — отношение ее скорости к скорости любой другой планеты равно нулю. Таким образом, геоцентрическая модель содержит ноль — необычно малое число, а природа не склонна прибегать к необычным числам без веской на то причины. Сторонников Птолемея следовало бы спросить об этом нуле. Почему Земля должна быть неподвижной? В гелиоцентрической модели мы можем оправдать неподвижность Солнца тем, что оно намного массивнее планет и обладает гораздо большей инерцией. Однако инерция Земли примерно такая же, как у Венеры или Марса. Нет серьезной причины предполагать, что Земля неподвижна, и мы не можем оправдать ноль Птолемея. Даже если бы теории Птолемея и Коперника нельзя было разделить с помощью астрономических данных, мы могли бы привести аргументы в пользу модели Коперника. В конце концов, его модель достаточно хорошо соответствовала наблюдениям и не опиралась на какие-то примечательные числа, которые нельзя было объяснить.

Этот критерий выбора теорий известен как естественность. Теория естественна, если она не содержит необъяснимых и точно подобранных входных параметров. Можно использовать маленькие или точные числа, но только в том случае, если вы понимаете лежащую в их основе физику. Без такого понимания велика вероятность того, что чего-то не хватает или теория принципиально неверна, как в случае геоцентрической космологии. Конечно, отчасти естественность — просто эстетические соображения, ее нельзя использовать до экспериментальных данных. Но когда данные не выглядят особо надежными, естественность кажется полезным помощником. Всякий раз, когда мы видим маленькое число, которое не можем объяснить или оправдать, мы начинаем усиленно размышлять о том, почему оно существует в реальности. Что это за симметрия? Какую новую физику мы упускаем?

Доводы в пользу естественности убедительны не только по математическим причинам, но и потому, что мы очень часто наблюдаем ее реализацию в природе. Например, в конце предыдущей главы мы узнали, что фотон имеет нулевую массу. Такой ноль не случаен. Это произошло благодаря калибровочной симметрии электромагнетизма — свободе выбора настроек внутреннего диска в каждой точке пространства. Ноль скрывается и в ядерной физике: он завернут во внутреннюю структуру протонов и нейтронов. Кварки, из которых состоят протоны и нейтроны, удерживаются вместе с помощью глюонов. Глюоны также имеют нулевую массу[107] благодаря другой калибровочной симметрии, на этот раз связанной с сильным ядерным взаимодействием, а не с электромагнетизмом.

Но естественность связана не только с нулем. Она относится и к удивительно маленьким величинам. Например, электрон — не безмассовая частица, как фотон или глюон, однако он как минимум в миллион раз легче, чем можно было наивно ожидать. Это маленькое число — миллионная доля или меньше — требует объяснения. И у нас оно есть. Электрон легкий из-за симметрии. Но это не истинная симметрия — та сделала бы электрон безмассовым, — а только приблизительная. Мы не будем особо беспокоиться, что это за симметрия; нам важно то, что она делает: она не дает электрону стать слишком тяжелым. И это очень хорошо. Если бы электрон оказался хотя бы в три раза тяжелее, он бы дестабилизировал атом водорода. Не появились бы ни химия, ни биология, да и мы с вами никогда бы не существовали.

Возможно, величайшая победа естественности пришлась на так называемую Ноябрьскую революцию 1974 года, когда группы из Центра Стэнфордского линейного ускорителя и Брукхейвенской национальной лаборатории обнаружили свидетельства существования нового вида кварков — очарованного кварка. Всего несколькими месяцами ранее в Национальной ускорительной лаборатории имени Ферми около Чикаго два молодых теоретика, Мэри Гайар и Бенджамин Ли, изучали разницу в массе двух вариантов одной высокоэнергетической частицы, известной под названием каон. Они поняли, что без какой-нибудь новой физики принцип естественности потерпит неудачу. Они предположили, что новая физика может принять форму новой разновидности кварков, и очарованный кварк как по заказу оказался там, где естественность его предсказывала.

Перенесемся почти на сорок лет вперед — на собрание в ЦЕРН в День независимости США в 2012 году. На сцене появился бозон Хиггса, соединивший линией отдельные точки в фундаментальной физике и объяснивший, как Вселенная во многом скрывала лежащую в ее основе симметрию. Но, как мы видели, во всей этой шараде было что-то неестественное. Бозон Хиггса оказался в миллиард миллиардов раз легче. Природа не создает таких соотношений без веской причины. Так почему же оно появилось? Какая новая физика может спасти нас? В чем состоит новая симметрия?

Для Гайар и Ли, работавших летом 1974 года, новая физика нашлась очень быстро, и естественность была спасена. Однако после собрания в ЦЕРН в 2012 году прошло уже десять лет, а мы все еще пытаемся понять загадку бозона Хиггса. Новая физика, которую обещала естественность, все еще не проявила себя. Неужели естественность наконец потерпела неудачу? Неужели мы обречены жить в неожиданной и маловероятной Вселенной, даже не понимая почему? Нам нужно поближе посмотреть на эту новую проблемную частицу. Да и в целом стоит повнимательнее рассмотреть все частицы.

^{Краткое руководство по всем частицам, с которыми вы встретитесь в этой главе[108]}

Сведения о частицах

Аристотель возненавидел бы бозон Хиггса. По правде говоря, он испытал бы отвращение ко всем частицам. Его бы оттолкнула мысль о том, что калейдоскоп природы на самом деле состоит из миллиардов и миллиардов этих миниатюрных кирпичиков. Аристотель воевал с атомистами: вел кампанию против учения Левкиппа и его ученика Демокрита — первых физиков, занимавшихся частицами. Они говорили, что вся материя состоит из крошечных неделимых кусочков, находящихся в пустоте пространства. Философы утверждали, что эти частицы (они предпочитали называть их атомами[109]) могут иметь самые разные формы: одни выпуклые, другие вогнутые, на них могут быть крючки и дырки, с помощью которых они соединяются. Атомисты полагали, что их частицы могут объяснить человеческие ощущения. Например, причиной горечи становятся угловатые частицы, оказывающиеся на языке, а сладость исходит от более округлых. Современная теория элементарных частиц, конечно, немного сложнее, но в своей основе она поддерживает атомистическое представление. Материя действительно состоит из крошечных неделимых частиц, но теперь мы называем их кварками и лептонами. Они танцуют друг с другом и с переносчиками взаимодействий, которые сами являются частицами, но другого рода. Этот балет разрастается до уровня химических связей и животворного искусства биологии.

О чем вы думаете, когда представляете какую-нибудь частицу? Я не думаю, что вы воображаете крючки и дырки, как античные атомисты. Возможно, вы представляете пылинку или крупинку пыльцы. Это, безусловно, ближе к истине, но все равно не то, что мы на самом деле имеем в виду, когда говорим о бозоне Хиггса, электроне или любой другой элементарной частице. Чтобы понять, что на самом деле представляет собой какая-то частица, нам сначала нужно поговорить о полях. В детстве я считал, что поле — это только место, где можно играть в футбол, однако в физике есть другие виды полей — невидимых сил, которые толкают и тянут. Существуют электромагнитные поля, проявляющие свою невидимую силу в притяжении магнита или в ярости грозы. И гравитационные поля, управляющие движением планет и разрывающие звезды, когда они слишком близко подходят к черной дыре. Но можно также представить электронные поля, кварковые поля и даже поле бозона Хиггса. На самом деле в поле нет ничего необычного или загадочного. Это просто нечто, принимающее разные значения в разных точках пространства и времени, и вы можете изобразить эти данные. Например, вы можете говорить о поле распределения температур на карте погоды, указывая неизбежные холода в Англии и тепло в Италии или Испании. Вы также можете говорить о поле атмосферного давления, отображающем давление воздуха, или о поле плотности в галактике, отображающем распределение межзвездного газа либо более крупных объектов, например звезд и планет. Электромагнитное поле — просто одна из таких карт, набор чисел, помечающих каждую точку пространства и времени, только теперь здесь кодируется сила электромагнитного фона.

Конечно, электромагнитное поле превосходит другие в одном смысле: это пример фундаментального поля, его нельзя разрезать и выявить лежащую в его основе структуру. Существуют и другие фундаментальные поля, такие как поле электрона, поле бозона Хиггса, поле верхнего кварка, нижнего кварка, Z-бозона и, конечно, гравитационное. Список можно продолжить. Некоторые из этих полей, например электронные и квантовые, имеют смысл только на квантовом уровне, а другие, например электромагнетизм и гравитация, могут существовать в макроскопических масштабах. Скоро мы объясним, как они работают. Но каким бы ни было поле, мы должны думать о нем как о некой специальной карте — ряде чисел, разбросанных по пространству и времени и кодирующих соответствующие физические эффекты. Например, если поле электронов везде равно нулю, вы можете быть уверены, что никаких электронов не найдете.

Где во всем этом появляются частицы? Как мы видели в главе «Число Грэма», частица в реальности является всего лишь крохотной вибрацией — квантовой рябью в квантовом поле. Представьте поверхность моря как аналог величины какого-то фундаментального поля; уровень медленно поднимается и опускается вместе с океанскими волнами. На вершине волны вы можете представить крошечную рябь — это эквивалент какой-то частицы. Рябь в разных полях дает разные частицы. Рябь в поле электрона дает электрон, в электромагнитном — фотон, в гравитационном — гравитон, в поле верхнего кварка — верхний кварк. Можно продолжать и дальше.

Также говорят о реальных или виртуальных частицах — у вас могут быть настоящие фотоны, но могут быть и виртуальные. То же справедливо для электронов, кварков, глюонов и всех прочих элементарных частиц. Все это звучит несколько загадочнее, чем есть на самом деле. Настоящая частица — та, которую вы можете «подержать в руке», например реальный фотон, испускаемый свечой, или реальный электрон, пролетающий через две щели в классическом эксперименте квантовой механики. Виртуальную частицу вы подержать не сможете. И не потому, что она теряется в эфире какой-то игры с виртуальной реальностью, а потому, что она вообще не частица. Это просто некое возмущение поля, вызванное другими частицами и другими полями. Например, электрон создает какое-то возмущение в электромагнитном поле, это возмущение ощущает другой электрон, и наоборот. Именно это возмущение и отталкивает электроны. Вы даже можете считать виртуальный фотон какой-то рябью, но это не настоящая частица в каком-либо смысле, а виртуальная. Рябь виртуального фотона не перемещается автоматически со скоростью света, как это происходит с реальными фотонами, и нет никакого способа ее ухватить.

^{Два электрона вызывают возмущение или рябь в электромагнитном поле, именно это мы подразумеваем под виртуальным фотоном. Слева — более физическая картина, отображающая электромагнитное поле; справа — диаграмма, которую нарисовал бы специалист по физике элементарных частиц, чтобы выразить то же. Правый рисунок — пример так называемых диаграмм Фейнмана, названных, разумеется, в честь Ричарда Фейнмана}

Виртуальные частицы — просто удобный способ представлять, как разные поля могут влиять друг на друга. Часто можно услышать аналогию с двумя фигуристками, бросающими друг другу мяч. Когда они кидают мяч или ловят его, то неизбежно чуть отодвигаются назад, словно их оттолкнула другая фигуристка. Фигуристки подобны электронам, ощущающим электромагнитное отталкивание, а мяч — виртуальному фотону, переносящему это взаимодействие от одной фигуристки к другой. Для силы притяжения эта аналогия работает не так хорошо, но мы по-прежнему воображаем виртуальные частицы, проходящие между заряженными объектами.

Большинство частиц также обладает внутренней способностью «вращаться» (физики используют термин «спин»). Об этом стало известно, когда в начале 1920-х два немецких физика, Отто Штерн и Вальтер Герлах, начали экспериментировать с магнитами и атомами серебра. Спин — на самом деле форма углового момента, который мы обычно связываем с вращательным движением каких-либо объектов (мяча для настольного тенниса или вальсирующих людей). Это достаточно легко представить применительно к мячу для настольного тенниса и даже применительно к квантовому мячу для настольного тенниса, но несколько сложнее вообразить, что это в реальности означает для элементарных частиц. Причина в том, что они бесконечно малы. Когда фигурист вращается на льду, он прижимает руки, чтобы крутиться быстрее. Это срабатывает, потому что угловой момент спортсмена сохраняется. Угловой момент зависит от двух параметров: скорости вращения и «разброса» вокруг оси вращения. Когда фигурист прижимает руки, его тело в целом становится немного ближе к оси вращения, и это приходится компенсировать более быстрым вращением. Если же мы имеем дело с бесконечно маленькой частицей, то для существования определенного углового момента требуется вращение с бесконечной скоростью. Это явно не может быть истиной, но что же происходит на самом деле? В случае с точечными частицами мы говорим об их собственном спине — способности выглядеть и действовать так, как будто они вращаются, хотя на самом деле они вовсе не вертятся в бесконечном безумии. Думайте о них как о политиках. Работа политиков состоит в том, чтобы выглядеть и действовать так, как будто они заботятся о ваших интересах. Делают ли они это на самом деле — совершенно другой вопрос.

С такой оговоркой представим частицу в виде мячика для настольного тенниса, уменьшенного до микроскопических размеров. Частицы с разным спином будут вести себя по-разному, когда вы станете их вращать. Предположим, вы нарисовали на мяче смайлик. Когда вы поворачиваете мяч, вид на смайлик неуклонно меняется, и только после целого оборота он выглядит точно так же, как в начале. Именно это происходит с фотоном и другими частицами с так называемым единичным спином. Чтобы вернуть их в исходное квантовое состояние, нужно совершить один полный оборот. Чтобы определить, что происходит с гравитоном, который имеет спин 2, нам нужно нарисовать точно такой же смайлик на противоположной стороне мяча. Когда мы вращаем такой мяч, исходная картина восстанавливается дважды за один оборот — через 180 и 360 градусов. Частица со спином 2 вернется в исходное квантовое состояние дважды за один оборот. Частица со спином 3 вернется три раза и т. д.

Все частицы, которые мы только что описали, имеют целочисленный спин, однако существуют и частицы с полуцелым спином. Что происходит, когда мы поворачиваем частицу с полуцелым спином? Здесь все немного хитрее. Давайте вместо мяча для настольного тенниса рассмотрим уменьшенного до квантовых размеров моллюска, который называется адский кальмар-вампир. Вы, наверное, ожидаете, что после одного полного оборота кальмар будет выглядеть точно так же, как и раньше. А вот и нет. Кальмар вывернулся наизнанку. Инвертировал сам себя. Оказывается, кальмары-вампиры действительно могут это делать[110], но, если перейти на язык квантовой механики, мы на самом деле имеем в виду следующее: волна вероятности перевернулась, гребни стали впадинами и наоборот. Именно это всегда происходит с частицами с полуцелым спином: после одного полного оборота они переходят из одного состояния в противоположное, словно вывернулись наизнанку! Только после второго оборота они оказываются в исходном состоянии.

Спин позволяет нам разделить частицы на два разных лагеря. С одной стороны — частицы с целочисленным спином, которые отвечают за фундаментальные взаимодействия; их называют бозонами. К ним относится переносчик электромагнитного взаимодействия фотон, спин которого равен 1. Существуют также W- и Z-бозоны и глюоны — переносчики слабого и сильного взаимодействий соответственно; их спин тоже равен 1. Есть еще гравитоны — пока не обнаруженные кванты со спином 2, которые, предположительно, несут ответственность за гравитационное взаимодействие. Легкие частицы — например, фотон — действуют на очень больших расстояниях. Но когда переносчиком становится тяжелая частица, она быстрее выдыхается и диапазон ее действия оказывается меньше. Именно это мы видим в случае W- и Z-бозонов, отвечающих за слабое ядерное взаимодействие.

С другой стороны — частицы с полуцелым спином, например электроны и кварки. Это фермионы. Они отвечают за наполнение Вселенной. Именно из них состоит материя. Фермионы составляют все вещества — звезды, планеты, леденцы… Тому есть очень веская причина. Фермионы не любят, когда их сваливают в кучу в одном состоянии. Природа фактически запрещает, чтобы в какой-то квантовой системе два фермиона находились в одном и том же квантовом состоянии. Это принцип исключения Паули, названный в честь блестящего немецкого физика Вольфганга Паули, с которым мы познакомимся получше в следующих двух главах.

Принцип работает так. Представьте, что два фермиона плавают внутри чашки чая. Что произойдет, если вы поменяете их местами? Фермионы — штучки неуклюжие. Если их поменять местами, они перевернут волну вероятности, описывающую чай: положительный гребень станет отрицательной впадиной и наоборот. Это драма кальмара-вампира, который снова и снова выворачивает себя наизнанку. Если два фермиона будут идентичными, то у вашего чая возникнут проблемы. Под идентичными я подразумеваю подлинных двойников вплоть до их квантовой ДНК — тот же спин, та же энергия, то же мнение о Брексите и т. д. Если их поменять местами, то ничего не изменится. Как это? В конце концов, они же двойники. А ведь мы только что сказали, что все переворачивается. Если переворачивание какой-то волны оставляет ее неизменной, это значит, что у нее изначально не было ни пиков, ни впадин! Куда ни глянуть, волна должна быть идеально плоской, скромно стоящей на нуле. Поскольку в действительности это волна вероятности, получается, вероятность нулевая. Иными словами, у чашки чая с одинаковыми фермионами нет шансов на существование. Что касается кальмара-вампира, то он обычно выворачивается, чтобы отогнать хищников. Если бы он выглядел точно так же внутри, как и снаружи, эта стратегия не сработала бы и такое животное не могло бы выжить. Это и есть принцип исключения Паули[111].

Паули был ярким и бескомпромиссным ученым. На протяжении всей карьеры он славился перфекционизмом, цепкостью и упорством; его называли Совестью Физики за пугающую способность безжалостно критиковать ошибки современников. Рудольф Пайерлс, работавший некогда помощником Паули, вспоминает в мемуарах о некоторых таких критических отзывах. Однажды у Паули спросили мнение о работе одного молодого и неопытного физика. Паули был настолько не впечатлен, что ответил: «Это даже не ошибочно». С тех пор эта фраза вошла в лексикон теоретической физики как способ описать плохую науку[112]. Справедливости ради следует сказать, что Паули мог быть столь же жестким и с более известными коллегами. Однажды он провел день в горячих спорах с великим русским физиком Львом Ландау. Ландау спросил, считает ли Паули все сказанное им вздором. «О нет! Вовсе нет, вовсе нет! — заметил немец. — То, что вы рассказывали, настолько запутано, что никто бы не осмелился сказать, вздор это или нет!»

К бозонам принцип исключения неприменим. Они общительны и рады собраться вместе в одном и том же квантовом состоянии. И именно эта коммуникабельность часто позволяет им превращаться в гигантских бестий макроскопического масштаба. Это особенно важно для злодеев из бондианы, которые обожают строить гигантские лазеры, угрожающие всему человечеству. Лазер — это масштабная совокупность реальных фотонов, многие из которых находятся в одном и том же квантовом состоянии, а их фазы синхронизированы. Макроскопические волны, которые мы наблюдаем в электромагнетизме и гравитации, на самом деле представляют собой реальные фотоны и гравитоны, объединенные в огромных количествах, — и сделать это можно только с бозонами.

Большинство из нас знакомы с электромагнетизмом и гравитацией, а вот два других взаимодействия менее известны, главным образом потому, что действуют только на коротких расстояниях — внутри ядра атома. Как мы вскоре увидим, это мир кварков, связанных воедино глюонами и превращающихся друг в друга с помощью W- и Z-бозонов. Это микроскопический ералаш, который возможен благодаря неизбежному бозону Хиггса, способному высвободить потрясающую мощь — от живительного тепла Солнца до ужаса ядерного апокалипсиса. Как я говорил ранее, этот сложный зоопарк субатомных частиц не вызвал бы симпатии у Аристотеля и его последователей. А у его противника Демокрита и других атомистов? Думаю, им бы он понравился.

Неизбежный бозон Хиггса

Давайте отправимся в атом.

Внезапно вы оказываетесь в крошечной солнечной системе с планетарными электронами на орбитах вокруг микроскопического «Солнца», которое называют ядром. Конечно, этими атомными орбитами управляет не гравитация, как в настоящей Солнечной системе, а электромагнетизм. Электромагнитное взаимодействие между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженным ядром примерно в тысячу триллионов триллионов триллионов раз сильнее, чем гравитация. Ядро состоит из протонов и нейтронов: протоны придают ему положительный электрический заряд, необходимый для притягивания электронов, а нейтроны электрически нейтральны, как следует из их названия. В зависимости от элемента в ядре может оказаться разное количество протонов. В ядре атома водорода всего один протон, а в ядре атома золота — семьдесят девять. Это приводит нас к первой загадке атома: хорошо известно, что положительные электрические заряды отталкиваются друг от друга, так каким же образом семьдесят девять протонов собираются вместе в таком ничтожном пространстве? Что-то должно притягивать нейтроны и протоны с достаточной силой, чтобы преодолеть электромагнитное отталкивание. Мы знаем, что это не гравитация: она слишком слаба. Здесь нужно что-то посильнее.

Сильное ядерное взаимодействие

Если бы нас заботили только протоны и нейтроны, история сильного взаимодействия была бы относительно простой. Однако за десятилетия, последовавшие за Второй мировой войной, физика элементарных частиц стала куда богаче и страннее, чем кто-либо мог себе представить. Фотографии начали фиксировать следы космических лучей, пробивающих путь через атмосферу Земли. Обнаружилось множество новых великолепных частиц, многие из которых танцевали под дудку сильного ядерного взаимодействия. Тут были пионы и каоны, эта- и ро-мезоны, лямбда-барионы и кси-гипероны — члены большого семейства частиц, сейчас называемых адронами. Многим ученым было трудно идти в ногу со всеми новыми открытиями. Говорят, что Паули, который никогда не стеснялся выражать свое мнение, жаловался: «Если бы я предвидел это, я бы занялся ботаникой».

Возможно, Паули и хмурился, глядя на этот зоопарк шумных новых открытий, а вот молодой ученый из Нижнего Манхэттена по имени Марри Гелл-Манн начал улавливать в них закономерности. Вместе с израильским физиком Ювалем Неэманом Гелл-Манн исследовал свойства этих новых частиц и уложил их в красивые конструкции из восьми и десяти элементов, которые могли быть вполне уместны в Альгамбре в Испании. Такая организованная красота не могла возникнуть случайно, в ее основе должна лежать какая-то структура, и Гелл-Манн понял какая. К той же гипотезе пришел Джордж Цвейг — молодой американский ученый, только что защитивший диссертацию в Калифорнийском технологическом институте под руководством Ричарда Фейнмана.

Гелл-Манн назвал придуманные частицы кварками, Цвейг — тузами, но это было одно и то же. Из этих кирпичиков построены протоны, нейтроны, пионы и все остальные адроны. Сейчас нам известно шесть типов кварков: верхний, нижний, странный, очаровательный, истинный и прелестный[113]. Все они фермионы, некоторые легче других, обладают различным электрическим зарядом и другими квантовыми свойствами, например изотопическим спином, очарованием и странностью. При объединении трех кварков получается частица, которая называется барионом; к барионам принадлежат, например, протон и нейтрон. Мезоны (к которым относится, например, пион) состоят из двух кварков. Различные комбинации кварков обеспечивают разные свойства частиц. Например, протон состоит из двух верхних кварков и одного нижнего. Кварки имеют дробные электрические заряды, — например, верхний кварк имеет заряд +²/₃, а нижний — ¹/₃. Отсюда вытекает, что протон имеет единичный положительный заряд. Нейтрон состоит из двух нижних кварков и одного верхнего, поэтому оказывается электрически нейтральным.

^{Базовая структура протона и нейтрона. Они состоят из верхних и нижних кварков различного цвета, соединенных вместе глюонами}

В этот момент призрак Паули должен что-то прошептать вам на ухо. Кварки — это фермионы. Как может протон содержать два верхних кварка — иными словами, два одинаковых фермиона? Разве это не запрещено принципом исключения? Безусловно, запрещено, и это было бы невозможно, если бы два верхних кварка были действительно одинаковыми. Но это не так. Кварки также могут обладать разными цветами: красным, зеленым или синим. Соответственно, если один верхний кварк в протоне красный, другой должен быть либо зеленым, либо синим. Конечно, этот цвет не имеет ничего общего с тем, что мы обычно называем цветом; это просто название для нового типа заряда. Фейнман был не в восторге от этой двусмысленности и заявил, что эти «физики-идиоты», должно быть, «не способны придумать какие-нибудь замечательные греческие слова» для этого нового причудливого признака.

Возможно, это была насмешка над Гелл-Манном. У этих двух ученых, офисы которых в Калифорнийском технологическом институте находились всего в нескольких дверях друг от друга, были непростые отношения. Фейнман часто высмеивал страсть Гелл-Манна к тому, чтобы давать названия вещам. Однажды он рассказал историю о том, как Гелл-Манн пришел к нему в пятницу, отчаянно пытаясь придумать хорошее название для нового типа частиц в своей работе. Фейнман дерзко предложил назвать их словом quack («шарлатан, обманщик»). В следующий понедельник взволнованный Гелл-Манн подошел к нему и сказал, что нашел идеальное слово, увидев в романе Джеймса Джойса «Поминки по Финнегану» фразу: «Три кварка для мастера Марка».

Так что не предложенный Фейнманом quack, а quark.

Возможно, Гелл-Манн Фейнману и не нравился, однако нет сомнений, что Фейнман чрезвычайно его уважал. В 2010 году мне выпала честь побывать на конференции в Сингапуре, посвященной восьмидесятилетию Гелл-Манна. Она собрала множество звезд, — во всяком случае, так казалось фанату физики вроде меня. Помимо Гелл-Манна, присутствовали еще три лауреата Нобелевской премии: Герард Хоофт, с которым мы познакомились в главе «TREE(3)», ученик Гелл-Манна Кеннет Вильсон и китайский физик Янг Чжэньнин, также известный под именем Фрэнк Янг (которое он взял в честь американского ученого Бенджамина Франклина). Там был и Джордж Цвейг. И все же, хотя Гелл-Манна окружало множество самых острых умов из новейшей истории физики, он выделялся на их фоне. Он излучал такие уверенность и интеллект, которых я никогда не видел ни до, ни после. Признаюсь, я был немного одержим знаменитостями. Гелл-Манн на тот момент был последним представителем золотого поколения физиков. Человеком, который препирался с Фейнманом в Калифорнийском технологическом институте, который в сорок лет стал лауреатом Нобелевской премии, а в последующие годы легко мог получить еще две или три. Его интеллектуальные способности намного превышали способности обычных людей. К девяти годам он запомнил Британскую энциклопедию, а во взрослом возрасте свободно говорил по крайней мере на тринадцати языках.

Кварки Гелл-Манна — строительные блоки для всей материи наряду с другим семейством фермионов, известных как лептоны. К лептонам относятся электрон и его более тяжелые собратья, мюон и тау-лептон, а также восхитительно названные нейтрино, с которыми мы встретимся чуть позже, когда будем говорить о слабом ядерном взаимодействии. Хотя лептоны и кварки имеют много общего, у них есть очень важное различие. Лептоны невосприимчивы к сильному ядерному взаимодействию. Они вообще не могут в нем участвовать. А вот кварки находятся в его плену. Сильное взаимодействие связывает их вместе, навеки заключая внутри адронов. В отличие от лептонов, кварки никогда не могут оказаться свободными. Это проклятие конфайнмента[114]. Конфайнмент означает, что вы никогда не найдете кварк, блуждающий в одиночестве по космосу. Он всегда будет прикован цепями к другим кваркам в клетке протона, нейтрона или какого-либо иного адрона. Эти цепи состоят из глюонов — частиц, переносящих сильное взаимодействие и лишающих кварки свободы.

Глюоны — тюремщики не только для кварков, они также лишают свободы друг друга. Они притягивают и другие глюоны, и кварки, стягивая силовые линии, и в итоге конфайнмент удерживает их всех. Вот почему мы не видим сильного взаимодействия в нашей макроскопической жизни. Несмотря на то что глюон не имеет массы, конфайнмент удерживает эту силу внутри ядра. Пока мы еще не понимаем процесс полностью: эта проблема — одна из семи задач тысячелетия, установленных Математическим институтом Клэя[115]. За ее решение назначена премия в миллион долларов, так что если вы сможете справиться с нею, то станете богатым.

Разумеется, именно Гелл-Манн и его сотрудники в начале 1970-х собрали воедино известные человечеству факты. Поскольку атрибут кварков и глюонов назвали цветом, эта теория стала известна как квантовая хромодинамика, для краткости — КХД. Ее семена были посажены несколько десятилетий назад, когда Фрэнк Янг (один из делегатов на конференции в Сингапуре) и его американский коллега Роберт Миллс придумали причудливую версию электромагнетизма, которая сейчас называется теорией Янга — Миллса. Эта новая теория содержала собственную промежуточную частицу, новый калибровочный бозон, который можно было считать более сложным родственником фотона. Когда Янг делал доклад в Принстоне, Паули спросил его о массе этой предполагаемой новой частицы. Для Паули этот вопрос имел решающее значение, поскольку такой частицы никогда не видели. Янг сказал, что не знает ответа. Паули настаивал, и Янг был настолько ошеломлен этой яростной атакой, что прекратил доклад и сел в первый ряд. Ситуация была крайне неловкой. После вмешательства Оппенгеймера Фрэнк продолжил выступление, а Паули больше не вмешивался, но на следующий день отправил Янгу записку с сожалениями, что не удалось поговорить после семинара. Сейчас мы знаем ответ на вопрос Паули. Благодаря задействованным симметриям переносчик Янга вообще не имеет массы. Немного подкорректировав симметрии, но не массу, Гелл-Манн отождествил эту новую частицу с глюоном — цепью, которая связывает вместе протоны, нейтроны и ядро атома в целом. Это был переносчик сильного взаимодействия.

Слабое ядерное взаимодействие

У слабого ядерного взаимодействия незавидное место рядом с другими, у которых гораздо более впечатляющие названия: гравитационное, сильное, электромагнитное. Ирония судьбы в том, что слабое взаимодействие как раз не самое слабое из четырех фундаментальных взаимодействий. Это бесчестье выпало гравитации, которая более чем в триллион триллионов раз слабее[116].

Конечно, слабое взаимодействие не так сильно, как сильное ядерное взаимодействие или даже электромагнетизм, но пусть это вас не смущает. Оно — солнечный свет субатомного мира. Причем в буквальном смысле: именно слабое взаимодействие отвечает за животворный свет нашего светила. Когда два ядра атомов водорода соединяются внутри солнечного ядра, есть шанс, что один из этих двух протонов превратится в нейтрон, что позволит появиться дейтрону — ядру дейтерия, тяжелой формы водорода. Это первый шаг в процессе ядерного синтеза, который позволяет Солнцу генерировать столько энергии. Как мы вскоре увидим, именно слабое взаимодействие позволяет протонам и нейтронам превращаться друг в друга. Это сила радиоактивности.

Как часто бывает в физике, все началось с головоломки. Накануне Первой мировой войны молодой британский физик по имени Джеймс Чедвик отправился в Берлин, чтобы поработать с Хансом Гейгером. Гейгер недавно разработал свой знаменитый счетчик, и Чедвик использовал его для исследования спектра излучения, которое появляется в результате ядерного процесса, названного бета-распадом. В то время считалось, что бета-распад происходит, когда тяжелое атомное ядро выбрасывает электрон. Как и все в квантовом мире, энергия ядер до и после распада должна принимать весьма точные значения. Поскольку все верили, что энергия сохраняется, то же должно было происходить и с электронами, из которых состоит излучение. Однако дела обстояли иначе. Чедвик заметил, что электроны обладают произвольным количеством энергии, — ее распределение было непрерывным. Казалось, бета-распад противоречит идее, что энергия не создается и не уничтожается. Полученный результат привел физику в смятение. Даже великий Нильс Бор был готов отказаться от закона сохранения энергии, отбросив вывод, сделанный задолго до того Юлиусом Майером, который изучал кровь моряков своего судна. Когда разразилась война, застрявший в Германии Чедвик был в лагере для гражданских интернированных лиц. Нужно отдать должное немецким охранникам: ему позволили устроить лабораторию и снабдили его необходимой для экспериментов радиоактивной зубной пастой[117].

Решение головоломки Чедвика дал другой немец. Оно пришло в виде необычного письма, отправленного Паули участникам конференции, которая состоялась в Тюбингене в декабре 1930 года. Паули не смог присутствовать лично, поскольку предпочел посетить бал в Цюрихе. Однако его виртуальный вклад обеспечил этой конференции место в истории физики. Паули никогда не довольствовался скучными вступлениями и на этот раз начал свое письмо так: «Уважаемые радиоактивные дамы и господа». Далее он высказал замечательную догадку: проблему бета-распада можно решить с помощью крохотных нейтронов. Суть в том, что они выбрасываются в виде излучения вместе с электронами и уносят с собой недостающую энергию в эксперименте Чедвика. Нейтроны Паули — вовсе не те частицы, которые, как известно, находятся вместе с протонами в ядре атома. Нейтроны ядра Чедвик откроет через год-два, и они окажутся намного тяжелее, чем частица, предложенная Паули. Последнюю мы теперь называем нейтрино — нечто маленькое, легкое и электрически нейтральное[118].

Когда в 1933 году Паули выступил с докладом о своих маленьких частицах на конференции в Брюсселе, это произвело глубокое впечатление на отца фермионов Энрико Ферми. Ферми вернулся в Рим, полный решимости собрать воедино все детали идеи Паули. Он понял, что, когда ядро атома при бета-распаде выбрасывало электрон, последний вовсе не находился в ядре в готовом виде. Происходило нечто совершенно новое. Нейтрон внутри ядра распадался под действием новой неизвестной силы, сейчас мы ее называем слабым взаимодействием. Продуктом этого распада оказывались протон, электрон и одно из нейтрино Паули. Строго говоря, это антинейтрино, но не будем особо беспокоиться об этом. Не стоит думать, что нейтрон состоит из протона, электрона и нейтрино, а затем распадается. Он буквально превращается в них, как субатомный оборотень. Как только такое преобразование завершено, появившийся протон увеличивает атомный номер ядра, перемещая его на одну позицию вверх в периодической таблице, а электрон и нейтрино выбрасываются в виде излучения. Новая сила Ферми, ответственная за всю эту радиоактивную драму, действует на бесконечно малом расстоянии, будто переносчик — бесконечно тяжелая частица. Такие силы мы сейчас называем контактными: в одной точке в один момент времени взаимодействуют нейтрон, протон, электрон и нейтрино. Когда Ферми отправил свою работу в журнал Nature, ее отвергли как слишком далекую от физической реальности. Позже журнал признал, что отказ стал одной из величайших редакционных ошибок в его истории. Ферми тяжело воспринял отвод и решил, что ему надо на некоторое время отойти от теоретической физики. Он сосредоточился на экспериментах и в 1938 году получил Нобелевскую премию. Ферми разработал метод замедления нейтронов, и в результате они стали более точными снарядами для расщепления атомных ядер. Он осознал огромный потенциал извлечения энергии из атома и проложил путь к ядерной энергетике в промышленных масштабах.

Нейтрино трудно обнаружить. Проблема в том, что у них почти нет массы и нет заряда, поэтому они практически ни с чем не взаимодействуют. Это и к лучшему, поскольку в данный момент через ваше тело каждую секунду проходит примерно 100 трлн нейтрино. Благодаря этой способности оставаться инкогнито нейтрино экспериментально открыли только в 1956 году — спустя двадцать с лишним лет после первоначальной гипотезы Паули и Ферми. Когда Паули получил телеграмму с извещением об открытии, он ответил: «Спасибо за сообщение. Все приходит к тому, кто умеет ждать».

Через шесть месяцев после открытия нейтрино мир физики был потрясен еще более замечательным экспериментом. Руководила им Ву Цзяньсюн, которую обычно называли мадам Ву. Она выросла в китайском городке Люхэ, недалеко от устья Янцзы, в семье учителя и инженера, которые активно поощряли ее стремление к науке. В этой прогрессивной среде она получила хорошее образование. Позже она сказала в интервью журналу Newsweek: «В китайском обществе женщин оценивают исключительно по их достоинствам. Мужчины поощряют их преуспевание, и им не приходится ради успеха изменять свои женские качества». Но когда она в 1936 году приехала в США, чтобы поступить в докторантуру в Мичиганском университете, она столкнулась совсем с иной ситуацией. Студенткам не разрешалось входить в новый студенческий центр через парадный вход — им приходилось пробираться через боковой. Ву была так потрясена сексизмом, что отправилась на Западное побережье, в Калифорнийский университет в Беркли, где отношение к женщинам было более либеральным. Но даже там у нее возникали сложности, поскольку, по мнению других людей, ученые должны выглядеть не так. Ву была хорошенькой и миниатюрной, газета Oakland Tribune сообщала, что она больше похожа на актрису, чем на ученого. Но, несмотря на все предубеждения, она заработала себе серьезную репутацию физика-ядерщика. Вскоре ее стали сравнивать с Марией Кюри, польским химиком, которая открыла первые секреты радиоактивности; с той самой женщиной, которой Ву восхищалась больше, чем кем-либо другим.

К середине 1950-х Ву проводила эксперименты с бета-распадом в своей низкотемпературной лаборатории в Вашингтоне. Двое ее китайских коллег, теоретики Фрэнк Янг и Ли Чжэндао, предложили ей поискать нечто совершенно неожиданное: спросить Вселенную, есть ли в ней разница между левым и правым. Представьте, что Вселенная отразилась в зеркале, где мы меняем местами лево и право[119]. Окажется ли там физика иной? В то время большинство ученых полагало, что нет. Электрон по-прежнему будет притягиваться к протону и отталкиваться от других электронов. Земля по-прежнему будет вращаться по эллиптической орбите вокруг Солнца. Смерть и налоги по-прежнему будут существовать[120]. Но когда Ву провела эксперимент, предложенный Янгом и Ли, она заметила, что при бета-распаде всегда вылетают левые электроны. Если смотреть в направлении движения, то левый электрон — тот, который кажется вращающимся против часовой стрелки, а правый — вращающимся по часовой стрелке[121]. Результат Ву доказал, что наша Вселенная может установить разницу между левым и правым, между движением по часовой стрелке и против нее. Он заявил: если вы войдете в зеркальный мир, физика изменится. Изменится не все: гравитация, электромагнетизм и сильное взаимодействие останутся прежними. Но слабое взаимодействие начнет вести себя иначе.

За это открытие Янг и Ли вскоре получили Нобелевскую премию, однако вклад Ву по необъяснимым причинам остался обойден вниманием. Оба теоретика осознавали нелепость такого решения и неоднократно номинировали ее на премию в дальнейшем, но безуспешно[122]. После новаторского эксперимента Ву левое и правое стали иметь значение, а это означало, что требовалось обратить внимание на теорию Ферми. Гарвардский физик Роберт Маршак и его индийский студент Джордж Сударшан придумали универсальный рецепт для слабого взаимодействия, известный под названием V-A теории[123]. По духу она была близка к идее Ферми, но показывала разницу относительно зеркального отражения. Теория одинаково хорошо работала как для распадов с участием электронов, так и для распадов с участием их более тяжелых собратьев — мюонов. Хотя нет сомнений в том, что первыми эту теорию создали Маршак и Сударшан, признание по большей части ушло к эксцентричной паре из Калифорнийского технологического института. Фейнман и Гелл-Манн разрабатывали схожие идеи примерно в то же время, а опубликовали их раньше. Они также были немного шумнее друзей из Гарварда. Это соперничество несколько ухудшило отношения между ними. После того как Фейнман сделал характерный для него стильный доклад о своей работе в Американском физическом обществе, Маршак схватил микрофон. «Я был первым! — кричал он. — Я был первым!» Фейнман невозмутимо ответил: «Я знаю только, что я был последним»[124].

Так же как в теории Ферми, в V-A теории силы действуют на бесконечно малых расстояниях, частицы соприкасаются в одной точке. Но мы знаем, что на самом деле взаимодействия работают не так: всегда есть какой-то переносчик. Почему же эксперимент подтвердил V-A теорию? Представьте голливудскую модницу, посылающую другу воздушный поцелуй; при этом губы не соприкасаются. Если эта модница предпочитает воздушные поцелуи на совсем близком расстоянии, издалека может показаться, что касание есть. Аналогичным образом возникает и V-A теория. Может показаться, что частицы соприкасаются, но лишь потому, что переносчик действует на очень малом расстоянии: он слишком тяжелый.

Так что же это за тяжеловес, переносящий взаимодействие? Оказывается, существуют три частицы, которые могут переносить слабое взаимодействие, все они имеют большую массу и единичный спин. Два из них — W-бозоны — еще до появления V-A теории идентифицировал американский физик Джулиан Швингер. Он принадлежал к тому же поколению, что и Фейнман, и этих гигантов теоретической физики часто сравнивали. Яркий Фейнман руководствовался интуицией, Швингер отличался осторожностью и изощренностью. В теории Ферми нейтрон превращается в протон, выбрасывая электрон и антинейтрино. Швингер хотел в этот процесс втиснуть свой новый бозон, как в игре «Третий лишний», чтобы остановить «поцелуй» четырех частиц. Иными словами, ему хотелось, чтобы нейтрон превращался в протон, испустив сначала отрицательно заряженный W-бозон, как показано на рисунке ниже. В других процессах участвовал положительно заряженный W-бозон, так что всего у физика имелось два W-бозона.

^{Изображение распада нейтрона. Слева вы видите схему Ферми, когда нейтрон одновременно распадается на три частицы. Справа — вариант Швингера, когда в середину процесса втиснут W-бозон}

Казалось, что электромагнетизм и слабое взаимодействие танцуют в одном зале, хотя и совершают несколько разные шаги. В некотором смысле это танец электрического заряда. С одной стороны, у вас есть электромагнитная сила, перемещающая заряды в пространстве: электроны отталкивают электроны и притягивают протоны. С другой — у вас имеется слабое взаимодействие, способное изменять электрический заряд; оно может превращать электрически нейтральный нейтрон в положительно заряженный протон. Это также означает, что слабое взаимодействие переносится частицами, имеющими собственный электрический заряд и ощущающими электромагнитную силу! Может быть, электромагнетизм и слабое взаимодействие — разные стороны одной медали? Можно ли упаковать W-бозоны и фотон в один сверток, взяв две фундаментальные силы природы и объединив их?

Швингер считал именно так. Он попытался сшить две силы вместе. Это напоминало попытку художников создавать орнаменты на стенах Альгамбры, хотя, как мы видели в начале предыдущей главы, симметрии — дело хитрое. Чтобы получить узор, вы не можете соединять все что заблагорассудится. Вот почему на стенах и полах древних исламских дворцов появляется всего семнадцать орнаментов. И именно поэтому Швингер не смог сшить вместе фотон и пару W-бозонов. В конце концов, дисбаланс был слишком велик: электрически нейтральным оказался один бозон (фотон), а заряд несли два. Чтобы получился орнамент — и сохранялась симметрия, — требовался еще один нейтральный бозон. Эту частицу мы сейчас называем Z-бозоном. Нехватку этого компонента понял парень из Бронкса Шелдон Глэшоу. Он был аспирантом Швингера, хотя из комментариев к его статье видно, что Шелдона вдохновляли также беседы с Гелл-Манном.

Все сходилось — в буквальном смысле. Слабое взаимодействие и электромагнетизм сливались в единую сверхсилу, и это взаимодействие переносили четыре бозона: фотон, два W-бозона и Z-бозон. Фотон отвечал за электромагнетизм, а W- и Z-бозоны — за слабое взаимодействие. Как и в случае с сильным взаимодействием, базовая структура была примерно такой же, как та, которую Янг и Миллс предложили десятилетием ранее (и которая так сильно расстроила Паули на семинаре в Принстоне). Глэшоу открыл дверь к единой теории электромагнетизма и слабого взаимодействия. К концу десятилетия последние штрихи в электрослабую теорию внес друг Глэшоу Стивен Вайнберг (они подружились еще в школе в Бронксе). Сначала эти идеи проигнорировали, однако несколько лет спустя два голландских физика — Герард Хоофт и его научный руководитель Мартинус Вельтман — показали, что все это имеет четкий математический смысл, и с этого момента дело пошло на лад. Объединение электромагнетизма и слабого взаимодействия было физическим эквивалентом падения Берлинской стены. В этот момент две теории стали одной, объединившись в нечто более мощное и глубокое. Конечно, такое уже случалось в физике, — например, когда Максвелл соединил электричество и магнетизм или еще раньше, когда Ньютон связал перемещение планет с движением падающего яблока. Разработка электрослабой теории стоит рядом с историческими триумфами Максвелла и Ньютона. Это действительно было чертовски прекрасно.

Когда Вайнберг в 1973 году переехал из Массачусетского технологического института в Гарвард, он унаследовал офис Швингера. Швингер оставил там свои туфли, и Вайнберг воспринял это как вызов: можешь ли ты стать достойным преемником?[125] Я не сомневаюсь, что он смог. В том же году в ЦЕРН пузырьковая камера с чудесным названием «Гаргамелла»[126] предоставила доказательства того, что слабое взаимодействие переносится какой-то нейтральной частицей, — именно это предсказывала электрослабая теория Вайнберга, где фигурировал Z-бозон. Вайнберг и Глэшоу предсказуемо присоединились к Швингеру в пантеоне нобелевских лауреатов[127].

Парнями из Бронкса — Вайнбергом и Глэшоу — руководила направляющая рука симметрии, но в электрослабой теории есть то, что должно вас обеспокоить. Я говорил вам, что W- и Z-бозоны оказались чрезвычайно тяжелыми частицами. Так и должно быть, ведь слабое взаимодействие работает на крохотном расстоянии — около одной миллиардной от миллиардной доли метра, или примерно один процент диаметра протона. Может показаться, что тут все нормально, однако в предыдущей главе мы также узнали, что симметрия — это ноль, а в случае со взаимодействиями это означает, что их переносят частицы с нулевой массой. Итак, если мы живем во Вселенной, которая руководствуется симметрией, почему она оставляет место для таких тяжеловесов, как W и Z? Почему у них нет нулевой массы, как того требует симметрия?

Пришло время добавить бозон Хиггса.

Бозон Хиггса

Бозон Хиггса входит в церковь.

— Что вы тут делаете? — спрашивает священник.

— Я здесь, чтобы служить мессу, — отвечает бозон[128].

Извините. Я знаю, что это плохая шутка. А как насчет физики? Возможно, вы слышали, что бозон Хиггса придает Вселенной ее массу. Ну это неправда. Возьмите книгу, которую вы держите в руках, или Джастина Бибера, или даже червяка, извивающегося в почве. Все эти объекты тяжелые (у них есть масса), — но что ее создает? Едва ли бозон Хиггса: он дает на деле менее одного процента. Благодаря той поэтической эквивалентности, которую Эйнштейн установил для массы и энергии, все, что вы видите вокруг себя, получает свою массу из энергии. Именно энергия хранится в связях ядерной физики — в цепях глюонов, скрепляющих протоны и нейтроны. Если весы в ванной показывают на несколько килограммов больше, чем вам бы хотелось, можете винить глюоны, энергию или гамбургер, съеденный в пятницу вечером. Но не вините бозон Хиггса.

Все сказанное верно для книг, Бибера и червяков. Но если мы интересуемся элементарными частицами, например W- и Z-бозонами, кварками и лептонами, то ситуация немного иная. Масса, которую они имеют, действительно зависит от хиггсона. Мы знаем, что симметрия — это ноль, а значит, переносчик взаимодействия не может иметь массу. Вот почему фотон и глюон не имеют массы. Чтобы появились такие тяжеловесы, как W- и Z-бозоны, мы должны убить симметрию.

Глэшоу понимал это. Он взял симметрию, которая руководила его идеями, и в конце расчетов разрушил ее. Разнес вдребезги. Но есть и другой способ — более щадящий. Чтобы придать массу W- и Z-бозонам, не нужно нарушать симметрию Глэшоу — достаточно ее скрыть. Симметрии скрываются в результате процесса, который называется спонтанным нарушением симметрии. Это ужасное название, поскольку симметрия никогда по-настоящему не нарушается, а всего лишь скрывается, но не будем зацикливаться на семантике. Вместо этого я расскажу вам сказку.

Жила-была принцесса с красивыми длинными золотыми волосами. Ее звали Рапунцель, и злая ведьма заперла ее в башне посреди леса. Однажды Рапунцель увидел проходивший мимо физик. «Она идеально подойдет для моего эксперимента», — подумал он и унес ее в открытый космос. Когда они оказались в вакууме, вдали от земного притяжения, физик заметил, что золотые локоны Рапунцель одинаково протягиваются во все стороны. Этого он и ожидал. Он поворачивал принцессу на произвольный угол, однако положение волос не менялось. Они всегда были направлены во все стороны. Так природа сообщала ему, что законам физики плевать на повороты, то есть они обладают вращательной симметрией. Затем он вернул Рапунцель на Землю и повторил свой эксперимент. Симметрия исчезла. Когда он поворачивал принцессу, положение волос изменялось: они всегда устремлялись к земле. Конечно, со временем физик понял, что симметрия на самом деле не исчезла: базовые законы природы все же равнодушны к вращению. Просто гравитационное поле Земли, действующее на волосы Рапунцель, скрыло эту симметрию из виду. В этой истории симметрия очевидна в вакууме пустого пространства, но скрыта в гравитационном поле Земли.

^{Вращение Рапунцель в космосе и на Земле}

В начале 1960-х блестящий, хотя и необщительный японский физик по имени Йоитиро Намбу понял, что в эту игру можно играть и наоборот: иногда симметрию скрывает сам вакуум. Почти пятьдесят лет спустя такие идеи принесли ему поездку в Стокгольм и долю Нобелевской премии. Для большинства людей вакуум представляет собой заброшенное пустое место, где исчезают все поля. Так бывает часто, но, как понял Намбу, так быть не должно. По определению вакуум — самое спокойное из всех квантовых состояний, состояние с наименьшей энергией. Представьте бешеную домашнюю вечеринку, где все танцуют, а дом наполнен энергией и возбуждением. Ясно, что это не особо спокойное состояние, и вы, естественно, не назовете его вакуумом. Позже, когда все отключились, дом оказался в низкоэнергетическом состоянии. Вы можете понизить энергию еще больше, вышвырнув всех гостей. Убрать всю мебель. Удалить весь воздух. Устранить все квантовые поля. Возможно, тогда получился бы вакуум. Может быть. Однако Намбу и его итальянский коллега Джованни Йона-Лазинио показали, что иногда энергию можно еще немного уменьшить. Поля в вакууме в их продуманной модели протонов и нейтронов оказывались не пустыми. Они были заполнены по всему пространству, причем так, что определенные симметрии скрывались.

Модель Намбу и Йона-Лазинио может быть образцом, но если мы действительно хотим понять, как вакуум скрывает симметрию, то нам следует поиграть с более простой моделью — например, той, где участвует бозон Хиггса. Мы можем получить интуитивное представление о происходящем с помощью бутылки вина. Прежде всего — это моя любимая часть — вы должны опустошить бутылку. Когда вы это сделаете, взгляните на донышко. Вы заметите, что стекло имеет форму так называемого курганного замка: в середине находится холмик, а вокруг него — небольшой ров. Если поворачивать бутылку, пока она стоит на донышке, она фактически не меняется в силу своей вращательной симметрии. Теперь оторвите кусочек пробки и бросьте внутрь. Существует очень, очень крохотный шанс, что он упадет не в ров, а точно на вершину холмика. Если теперь вы снова станете очень осторожно вращать бутылку, а пробка не скатится, то симметрия сохранится. Но, скорее всего, пробка упадет куда-то в ров. В этом случае симметрия нарушится. При вращении бутылки вращается и пробка, и картина меняется. Пробка, решив оказаться во рву, похоже, нарушила симметрию.

^{Спонтанное нарушение симметрии в винной бутылке}

Этот кусочек пробки подобен полю Хиггса, а бутылка — его так называемому потенциалу, аналогичному электрическому или гравитационному: он управляет тем, что происходит с бозоном Хиггса, когда вы подпитываете его энергией или отнимаете ее. Мы можем определить величину поля Хиггса, измерив, насколько далеко пробка находится от оси, идущей точно по середине бутылки. Иными словами, если пробка находится на вершине холмика, поле Хиггса равно нулю; если же где-то во рву, то оно ненулевое. На этом рисунке мы также можем определить энергию, запасенную в массе поля: это просто высота пробки, покоящейся в бутылке. Это означает, что самое низкое энергетическое состояние — когда пробка лежит где-то во рву. Как и ожидалось, поле Хиггса обживается в вакууме, где его величина не равна нулю, а симметрия кажется нарушенной.

Вот только на самом деле она не нарушена, а просто скрыта.

Чтобы выявить базовую симметрию, нам нужно выбрать ноль. Оказывается, он прячется в спектре частиц. Вспомните, что частица — это всего лишь колебание в вакууме; в данном случае это колебания кусочка пробки. Ее можно шевелить двумя способами: двигая ее поперек или вдоль рва. Если вы начнете двигать ее поперек рва, вы перемещаете ее вверх по стенке бутылки. Высота пробки говорит нам о количестве энергии, хранящейся в массе поля, поэтому такое колебание мы связываем с частицей, имеющей массу. Если говорить о реальном бозоне Хиггса, то он оказывается тяжелой частицей, которая в конце концов была обнаружена при столкновении протонов в туннеле ЦЕРН. Однако если вы шевелите пробку вдоль рва, ее высота не меняется. Это означает, что в массу поля энергия не передается, поэтому мы связываем такое колебание с безмассовой частицей. Собрав все воедино, мы видим, что в спектре колебаний присутствуют два разных типа частицы: одна с массой, а другая — с нулевой массой. Такая нулевая масса — это скрытая симметрия, заново открывающая свой ноль!

^{Безмассовые колебания}

^{Колебания, связанные с массой}

В 1962 году ученый из Кембриджа Джеффри Голдстоун объединил усилия со Стивеном Вайнбергом и пакистанским физиком Абдусом Саламом, чтобы доказать, что всякий раз, когда вы пытаетесь скрыть симметрии в вакууме, симметрия реагирует и вы обнаруживаете какой-нибудь безмассовый бозон. Это утверждение, названное теоремой Голдстоуна, оказалось катастрофой, ведь весь смысл спонтанного нарушения симметрии заключался в том, чтобы создать массивный бозон, такой как W или Z, а вовсе не безмассовый голдстоуновский.

Специалисты по физике элементарных частиц были готовы выбросить полотенце[129]. Ободрение пришло от неожиданного источника — американского физика, занимавшегося конденсированными состояниями и мало интересовавшегося микроскопическим танцем отдельных частиц. Филип Андерсон — по его собственным словам, «задумчивый брюзга», — обладал опытом общения со скрытыми симметриями, поскольку ему приходилось работать со сверхпроводниками. С его точки зрения, всем нужно было помнить, что W и Z — калибровочные поля, а проблемная симметрия — калибровочная симметрия. Как мы видели в предыдущей главе, это означает, что вы можете использовать симметрию в любой точке пространства и времени. Мы знаем, что при открытой симметрии соответствующий калибровочный бозон гарантированно не имеет массы. Но если она скрыта, он имеет возможность обрести какую-то массу. Помимо массы, Андерсон указал на ключевую разницу между безмассовыми и массивными калибровочными бозонами: она заключается в количестве рабочих частей. У безмассового калибровочного бозона их всего две — например, две поляризации фотона, — а у массивного три. Андерсон задался вопросом, не возникает ли дополнительная рабочая часть из-за недостающей частицы, предсказанной Голдстоуном. Когда в реальном мире симметрия нарушается, дело не в том, что голдстоуновских бозонов нет. Они есть, но каким-то образом поглощаются тяжелыми W- и Z-бозонами. Они становятся их частью, прячутся внутри, обеспечивая в точности нужное количество рабочих частей.

Никаких подробностей Андерсон не предложил. Его аргументы были интуитивными и основывались на простом мире, где ему не требовалось беспокоиться об Эйнштейне и относительности. Многие специалисты по физике элементарных частиц полагали, что это окажется камнем преткновения: если должным образом учесть относительность, все рассуждения полностью развалятся.

Окончательный прорыв произошел в трех великолепных статьях, поданных в престижный научный журнал Physical Review Letters (более известный как PRL) в период с июня по октябрь 1964 года. Их написали шесть мудрых людей — Браут и Энглер, Хиггс, а также Гуральник, Хейген и Киббл; пятеро из них соберутся в ЦЕРН почти полвека спустя, ожидая подтверждения своей работы. Детали оказались примерно такими, как и надеялся Андерсон, но на этот раз с учетом относительности. Всякий раз, когда хиггсовское поле вваливается в вакуум, как пробка в нашу пустую винную бутылку, симметрия нарушается. Бозон Хиггса начинает придавать массу калибровочному бозону, и ни Голдстоун, ни его раздражающие бозоны не могут этому помешать. Часто говорят, что калибровочный бозон «съедает» голдстоуновский. Звучит как каннибализм, но именно так бозон может стать тяжелым. Частица Голдстоуна поглощается калибровочным бозоном, что дает ему дополнительную рабочую часть, необходимую для массивности.

Первыми свою статью опубликовали два бельгийца — Роберт Браут[130] и Франсуа Энглер, которые ничего не знали об идее Андерсона. В каком-то смысле можно было рассказать две истории: историю калибровочного поля и историю поля, нарушающего симметрию. Браут и Энглер сосредоточились на калибровочном поле. Питер Хиггс, уроженец Ньюкасла на северо-востоке Англии, сконцентрировался на нарушителе симметрии — бозоне Хиггса, как его теперь называют. Он показал, как этот нарушитель делится на две части: одна поглощается калибровочным полем и придает ему массу, другая — массивная частица сама по себе, как пробка, колеблющаяся вверх по стенке винной бутылки. Когда говорят о частице, открытой в ЦЕРН, — о бозоне Хиггса, а не о поле Хиггса, — подразумевается именно это колебание. Первоначально Хиггс отправил свою статью в журнал Physics Letters, где публиковались некоторые его предыдущие работы, однако ее отклонили. «Она не требует срочной публикации», — сказали в редакции. Хиггс сразу же передал свою работу в PRL, где ее рецензировал Намбу. Второго отказа не было.

Тем временем Карл Хейген отправился в Лондон к своему старому другу из Массачусетского технологического института Джеральду Гуральнику. В то время Гуральник состоял в постдокторантуре Имперского колледжа Лондона, в котором также работал молодой сотрудник Том Киббл. Приезд Хейгена побудил их рассмотреть теорему Голдстоуна: как скрыть симметрию и избежать проклятого голдстоуновского бозона. Когда Гуральник и Хейген собрались опубликовать свое решение в журнале, вошел Киббл, размахивая новой статьей Браута и Энглера и еще одной, написанной Питером Хиггсом. При ближайшем рассмотрении ученые решили, что их не обставили. Эти статьи не проанализировали теорему Голдстоуна так, как сделали они, и не учитывали квантовые аспекты проблемы.

Поначалу никто не обратил особого внимания ни на одну из статей, однако Киббл продолжал действовать. Он добавил новые детали и к 1967 году снабдил Вайнберга всеми необходимыми компонентами для объединения электромагнетизма и слабого взаимодействия. Вайнберг понял, что ему необходимо придать массу трем калибровочным полям — двум W и Z, — поэтому ему требовался более экзотический бозон Хиггса, имеющий минимум четыре рабочие части. Три из них будут «съедены», придавая массу калибровочным полям, а четвертая останется. Это будет тот тяжелый бозон Хиггса, об открытии которого объявят 4 июля 2012 года.

Когда в следующем году присуждали Нобелевскую премию, многие ожидали, что лауреатами станут именно авторы этих статей 1964 года. В конце концов, пятеро из шести физиков были еще живы, лишь Роберт Браут скончался за год до открытия хиггсона. Конечно, выбрать между ними было невозможно (по крайней мере, это было бы несправедливо), поэтому ходили слухи, что Нобелевский комитет на этот раз откажется от правила, позволяющего награждать только трех человек. Он не отказался. Гуральник, Хейген и Киббл остались без премии.

Это решение многих разочаровало. К тому времени я был знаком с Томом Кибблом — сэром Томом, как его стали называть позже. Я часто видел его на регулярных собраниях британских космологов. Сейчас такие встречи собирают до сотни участников, однако начинались они с десятка коллег, обменивавшихся идеями в офисе Тома в Имперском колледже Лондона. Том Киббл был гигантом физики и настоящим джентльменом. Он никогда не стремился оказаться в центре внимания и всегда предпочитал отмечать чужие достижения, а не собственные. Из шести физиков, на труды которых опирается наше понимание бозона Хиггса, он был, на мой взгляд, самым мудрым. Он больше других построил на основе эти первоначальных идей и в итоге оставил свой след не в одной, а в двух Нобелевских премиях[131].

^{Механизм Хиггса: как придать массу калибровочному бозону за 8 простых шагов}

Формально это неестественно

Бозон Хиггса обманул нас. Долго мы верили, что электромагнетизм и слабое взаимодействие различаются. Он скрыл от нас симметрию и красоту электрослабой теории, и в результате W и Z стали слишком тяжелыми, чтобы проникать в наш макроскопический мир. Он оставил нам фотон и электромагнитную силу, на которые мы привыкли полагаться. Большинство наших привычных устройств зависят от электричества и магнетизма или используют радиопередачи. Нам нужен электромагнетизм, чтобы пользоваться приложениями на мобильных телефонах, поддерживать свежесть еды в холодильнике или слушать любимые песни онлайн. Безусловно, наше повседневное существование является электромагнитным, а не слабым и не электрослабым, и это заслуга бозона Хиггса.

От хиггсона и его сломанной красоты растолстели не только W- и Z-бозоны. То же сделали и кварки — верхние и нижние, странные и очаровательные, истинные и прелестные. И лептоны: электроны, мюоны, тау-лептоны и нейтрино. Историю о том, как они получили свою массу, лучше всего рассказать с помощью грамотной аналогии, которая восходит к 1993 году, когда ученые из ЦЕРН обратились к британскому правительству за поддержкой строительства Большого адронного коллайдера. Уильям Уолдгрейв, член кабинета, отвечавший в то время за науку, пытался понять физику бозона Хиггса, поэтому он предложил ученым придумать аналогию размером в одну страницу, которая доступно объяснит работу бозона. Уолдгрейв даже предложил за лучшее объяснение бутылку марочного шампанского. В итоге британское правительство предоставило ЦЕРН финансовую поддержку, а бутылка «Вдовы Клико» 1985 года за блестящую аналогию ушла Дэвиду Миллеру из Университетского колледжа Лондона.

Я передам ее своими словами (с некоторыми творческими вольностями). Рядом с моим домом есть магазинчик, которым управляет человек по имени Дэйв. Он достаточно дружелюбный парень, но за пределами нашей деревни не особо известен. Однажды Дэйв оказывается в одной комнате с мировой суперзвездой — музыкантом Эдом Шираном. Дэйву не очень нравятся знаменитости, поэтому атмосфера в помещении немного напряженная, и оба решают уйти. Так случилось, что у Эда и Дэйва очень похожее телосложение и они двигаются приблизительно с одинаковой скоростью. Если комната пуста, оба пройдут ее примерно за одинаковое время. Это своеобразная симметрия, основанная на их физическом сходстве. Но если помещение наполнено сотнями кричащих фанатов Ширана (к большому раздражению Дэйва), то симметрия нарушается. Толпа мешает обоим мужчинам, но в случае Эда эффект проявляется гораздо сильнее. Его постоянно просят дать автограф и пытаются сделать с ним селфи, а Дэйв может прокладывать себе дорогу без такого активного внимания.

Эд и Дэйв — кварки: Эд — истинный, а Дэйв — верхний; полчища поклонников — поле Хиггса. Как вы понимаете, фанаты будут гораздо активнее взаимодействовать со своим любимым певцом, чем с владельцем магазина из Ноттингема. Когда они заполняют комнату — иными словами, когда поле Хиггса «включено», — они замедляют Эда гораздо сильнее, чем Дейва. Кажется, что он в каком-то смысле стал тяжелее: они придают ему больше массы. То же происходит с истинным и верхним кварками. Истинный кварк сильнее взаимодействует с полем Хиггса, поэтому при «включении» хиггсовского поля он приобретает большую массу. В этой аналогии есть даже сам бозон Хиггса. Вы можете представить его в виде волны возбуждения, пробегающей по фанатам. Возможно, до них дошел слух, что Эд собирается петь, и они начинают обсуждать шепотом эту новость, собираясь в группы-кластеры. Эти кластеры перемещаются по помещению, как бозон Хиггса, двигающийся по туннелям под горами в ЦЕРН. Если в зале соберется больше фанатов, кластеры будут двигаться медленнее, потому что увеличилось число людей, которым нужно рассказать слух. Это похоже на то, как хиггсон взаимодействует сам с собой: замедляя себя, придавая своему колебанию немного больше массы.

Обнаружить такой бозон Хиггса, как наш, — все равно что найти снеговика в пламени ада. Это может случиться, но в реальности не должно происходить. Предположим, вы поместили кубик льда в какое-то горячее место. Действительно горячее — печь или огненную бездну вечного проклятия. Вы не ожидаете, что кубик льда продержится очень долго. Проблема в том, что в окружающей среде слишком много тепловой энергии. Когда молекулы воздуха отскакивают ото льда, они передают ему эту энергию и кубик тает. Есть очень маленькая вероятность, что этого не произойдет: если молекулы чудесным образом будут пролетать мимо куба, лед уцелеет. Но это очень маловероятно.

Ситуация с бозоном Хиггса очень похожа. Имеется окружающая квантовая энергия, которая хочет сделать его намного тяжелее, чем он есть на самом деле, — таким тяжелым, как мимарида! Эта квантовая энергия исходит от виртуальных частиц — тех, которые вы никогда не сможете подержать в руках. Помните, что квантовые поля всегда общаются друг с другом и у частицы это иногда может вызвать кризис идентичности.

Чтобы лучше понять это, забудем ненадолго о бозоне Хиггса. Представьте, что у вас есть фотон, который пролетел из Лондона в Париж. Фейнман уже рассказал нам, что любая частица, двигающаяся между двумя точками, будет исследовать все возможные пути: она пойдет прямо, через магазины по дороге, даже через галактику Андромеды. Но мы также знаем, что фотон может превратиться в электрон-позитронную пару и наоборот. Можем ли мы действительно быть уверены, что фотон прошел весь путь от Лондона до Парижа одетым как фотон? Не мог ли он на мгновение или два переодеться в электрон и позитрон, а потом вернуться в исходное состояние? Ответ — твердое «да». Эту неопределенность создает квантовая механика: она заставляет нас исследовать все возможные пути, включая те, на которых частицы меняют свой костюм.

^{Рисунок в стиле диаграмм Фейнмана, изображающий фотон, который путешествует из Лондона в Париж. На время он переодевается в электрон и позитрон}

Представьте бизнесмена, совершающего ту же поездку, что и наш фотон. Он уезжает из Лондона в костюме с Сэвиль-Роу[132] и приезжает в Париж в точно таком же костюме. Есть шанс, что путешественник носил его на протяжении всего своего путешествия. И есть шанс, что нет. Возможно, в какие-то моменты на нем были футбольная форма или коктейльное платье. Вы этого никогда не знаете. Квантовая механика — игра вероятностей. Если есть какой-то шанс, что фотон проведет некоторое время в костюме электрона и позитрона, вам придется это учитывать. Вы можете считать эти альтернативные наряды виртуальными частицами, которые никогда не увидят, никогда не поймают и не перехватят, но которые в итоге оставят свой след. И мы зафиксировали его. Виртуальные электроны и позитроны вызывают расщепление энергетических уровней в атомах водорода — это установил Уиллис Лэмб в 1947 году.

Что все это означает для бозона Хиггса? Если вы спросите, как он попал из Лондона в Париж, то, как и в случае с фотоном, вы не сможете считать, что он все это время был одет как бозон Хиггса. Есть вероятность, что какое-то время он был одет как кварк, электрон или какое-то другое поле, о котором мы даже не знаем. И все это оставит свой след.

Какой именно? Ну все эти перемены костюмов могут вызвать у бозона Хиггса проблемы с массой. Поскольку есть вероятность того, что он какое-то время маскировался под электрон и позитрон, бозон Хиггса захочет ощутить их вес. Вы можете представить, что хиггсон отягощен размером своего гардероба. Виртуальные электроны и позитроны, в которые он переодевается, представляют собой своего рода квантовую среду, воздействующую на бозон, когда он пытается двигаться. С чемоданом, полным этих виртуальных частиц, хиггсон становится тяжелым. Вопрос: насколько тяжелым?

Если бы виртуальные электроны и позитроны весили столько же, как настоящие электроны и позитроны, нам не о чем было бы беспокоиться. Настоящие электроны и позитроны в 100 000 раз легче бозона Хиггса, и такая маленькая добавка к весу чемодана вряд ли что-нибудь изменит. Однако в случае виртуальных частиц причины для беспокойства есть. Мы ведь не сказали, как долго бозон Хиггса маскируется под пару электрон — позитрон или как часто он меняет личины. Такие изменения иногда происходят быстро и регулярно. Как мы вскоре увидим, это означает, что некоторые виртуальные частицы могут оказаться сверхтяжелыми. Квантовая механика наполняет чемодан этими виртуальными тяжеловесами и тем самым отягощает бозон Хиггса гораздо сильнее, чем нам хотелось бы признать.

Чтобы понять, откуда берутся виртуальные тяжеловесы, нужно еще немного подумать о крайне скоростной смене костюма. Когда бозон Хиггса быстро появляется и исчезает как электрон-позитронная пара, мы ощущаем это исключительно в виде кратковременного импульса в электронном поле. Но благодаря принципу неопределенности Гейзенберга кратковременные колебания могут означать действительно большие энергии:

Помните моего старого друга Фила Мориарти из главы «Гуголплекс»? Он использовал прием «чаг» на своей гитаре, и самые короткие звуки затрагивали самый широкий диапазон частот. То же происходит с электроном и позитроном: чем короче время их появления, тем большей энергии они могут достичь. Эти виртуальные частицы наполняют чемодан огромной энергией, или (что то же самое) огромной массой, которая все сильнее отягощает бозон Хиггса. Если бы вы разрешили электронам и позитронам появляться и исчезать почти мгновенно, они могли бы принести энергию, которая превышает число Грэма или число TREE(3) в любых единицах, которые вам вздумалось бы использовать, и бозон Хиггса мог бы оказаться сколь угодно тяжелым. Однако это уже перебор. Мы не можем придать смысл превращению бозона Хиггса в электрон и позитрон на сколь угодно мало время. Это слишком быстро. Это разрушило бы ткань пространства и времени. Когда мы играли в Игру деревьев в главе «TREE(3)», то узнали, что на самом деле вы не можете сделать ничего быстрее планковского времени, которое составляет около 5 × 10^–44 секунд. Но это все равно очень маленькое время. Если мы позволим бозону Хиггса так быстро меняться в электронном поле, возникнут огромные неопределенности в количестве энергии. Если вы сядете и посчитаете, сколько массы попадет в чемодан, то есть сколько вернется к бозону Хиггса, вы обнаружите, что это очень близко к той массе, которую можно было бы ожидать от квантовой черной дыры. Или мимариды[133].

Однако бозон Хиггса далеко не так тяжел. На самом деле его истинная масса составляет всего 0,0000000000000001 от этой величины. Что-то в наших представлениях очень неправильно. Из эксперимента мы знаем, что виртуальные частицы оставляют свой след на энергетических уровнях водорода, и мы также ожидаем, что они оставят свой след на хиггсоне. Так почему же мы не видим всю эту дополнительную массу? По секрету скажу, что для решения этой загадки мы, физики, часто прибегаем к жульничеству. Мы просто предполагаем, что в этой истории есть что-то еще — еще один источник массы, нечто, присущее самому бозону Хиггса. Он добавляет этот таинственный новый компонент к огромной массе, которую получает из чемодана виртуальных частиц; при этом мы должны предположить, что знак добавки оказывается противоположным и происходит чудесное взаимоуничтожение. В начале главы мы говорили, что это похоже на попытку уравновесить на весах стадо африканских и стадо индийских слонов. Давайте сделаем аналогию точнее. Предположим, у вас есть стадо примерно из двухсот слонов, общая масса которых составляет миллион килограммов. Вы требуете, чтобы другое стадо весило ровно столько же плюс-минус масса одной реснички. Именно такой баланс мы наблюдаем в случае хиггсона.

Это просто неестественно.

В этот момент некоторые из вас на меня накричат. Разве нельзя все только что сказанное о бозоне Хиггса — о том, что он меняет одежду и набирает вес, — сказать и о фотоне? Разве фотон не должен весить столько же, сколько мимарида? Нет, и причина вполне красивая: она заключена в симметрии. Мы знаем, что фотон имеет нулевую массу благодаря симметрии электромагнетизма. Вы можете подумать, что квантовая механика должна все портить, что она направит всю эту массу к фотону, нарушив симметрию. Но вот в чем дело: если симметрия существует — реально существует, — квантовая механика оставляет ее нетронутой. Она словно очаровывается этой красотой. Когда вы садитесь и подсчитываете, какая масса поступает к фотону от электронов, позитронов или любых других частиц, вы обнаруживаете, что ответ всегда равен нулю. Симметрия и красота никогда не нарушаются.

Проблема с бозоном Хиггса состоит в том, что у него нет симметрии, защищающей его массу таким же образом. Он находится во власти квантовой механики, бурлящего кладезя виртуальных частиц, питающих его большей массой, чем он может надеяться когда-либо переварить. Чтобы спастись, ему приходится совершать этот смехотворный акт уравновешивания, как уравновешивание стада слонов с точностью до массы ресницы.

Алый Первоцвет

Эта проблема известна под названием проблемы иерархии. Почему существует такая колоссальная разница — иерархия — между массой бозона Хиггса, измеренной в ЦЕРН, и огромной массой, которую он должен поглощать в соответствии с квантовой теорией? Возможно, стоит почерпнуть вдохновение у электрона. В конце концов, были времена, когда у него тоже существовали проблемы с весом. Это было еще до развития квантовой теории, когда электрон казался просто заряженной частицей. Лучший способ вычислить его массу состоял в определении энергии, запасенной в его электрическом поле (помните, энергия и масса — одно и то же). Проблема в том, что обычно предполагалось, будто заряд электрона сохранен в одной точке, и поэтому, когда вы вычисляете энергию, хранящуюся в электрическом поле, вы получаете бесконечность. Звучит смехотворно. Если бы все электроны в вашем теле оказались бесконечно тяжелыми, вы не смогли бы двигаться. Но еще хуже то, что вы бы разорвали ткань пространства и времени.

Как мы уже видели, мы не можем ковыряться в пространстве-времени на бесконечно малых расстояниях. Может быть, в качестве альтернативы нам следует вообразить, что заряд электрона хранится внутри маленького шарика, радиус которого равен планковской длине — наименьшей длине, которая может сойти нам с рук. Это мало поможет: электрон оказывается таким же тяжелым, как мимарида, а это все равно слишком много. Если вы настаиваете на вычислении массы таким старомодным способом, вам придется представить заряд, размазанный по гораздо большему шару, имеющему диаметр около миллиардной доли миллиметра. Тогда вы получите правильный ответ — около 10^–30 килограммов. Если вы хотите сделать шарик меньше, вам понадобится нечто новое: совершенно новая теория с новыми компонентами. Вам нужна теория квантовых полей с добавлением новой частицы — позитрона.

^{Рисунок, показывающий точечный электрон, который окружен облаком виртуальных позитрон-электронных пар. Это размазывает заряд и заставляет электрон казаться больше, чем он есть на самом деле}

Как только в игру вступают позитроны, вы можете сжать электрон хоть до планковской длины. Он окружен облаком виртуальных позитронов и электронов; они словно размазывают его заряд по гораздо большему объему — как показано на рисунке. Как и в случае с бозоном Хиггса, эти виртуальные частицы прибавляют электрону массу, но эффект далеко не так серьезен. На самом деле, если бы мы вообразили электрон вообще без массы, ситуация была бы такой же, как и с фотоном: виртуальные частицы не смогли бы придавать ему массу. Как всегда, нас защищает симметрия. В реальности она имеет изъян: это только приблизительная симметрия. Вот почему электрон имеет некоторую массу, но не слишком большую. Если представить мир с более легкими электронами, этот изъян был бы меньше, а симметрия оказалась бы ближе к идеальной; если же электроны были безмассовыми, изъян исчез бы полностью.

Итак, что же это за хитроумная маленькая симметрия? Мы говорили, что в электродинамике мы можем свободно вращать внутренний диск, поворачивая математические объекты, которые используем для описания электронов и позитронов. Однако это слишком идеально для той симметрии, которую мы ищем. Помните, что нас интересует нечто с изъяном — совершенное только в воображаемом мире безмассовых электронов. И такая симметрия действительно существует. Она называется хиральной. Не беспокойтесь о терминах. По сути, это еще один вариант внутреннего диска, только он немного по-разному поворачивается для частиц, вращающихся по часовой стрелке или против нее. Это очень общий трюк, который работает не только с электронами. Хиральные симметрии предотвращают перекармливание любого фермиона калориями квантовой теории.

Это действительно здорово, но мало что дает для такой частицы, как бозон Хиггса. Дело в том, что у него нет спина, поэтому симметрии одинаковы — независимо от того, имеет ли он нулевую массу или массу мимариды. Хиггс не способен защитить себя, но, может, у него есть какой-нибудь ангел-хранитель? Нечто, его защищающее?

Да: хиггсино.

Представьте себе мир, в котором никто не одинок, где каждому подобран идеальный партнер. Это кажется фантастическим, но, возможно, происходит прямо у вас под носом, в микромире физики элементарных частиц. Я хочу, чтобы вы вообразили, что каждый бозон связан с совершенно новым фермионом, а каждый фермион — с совершенно новым бозоном. Иными словами, я хочу, чтобы вы удвоили количество полей. Это может показаться экстравагантным, но в основе лежит новая симметрия — так называемая суперсимметрия, — которая стремится к идеалу для каждого такого соответствия. Идея в том, что если какой-нибудь бозон и какой-нибудь фермион составляют такую пару, то для надлежащего функционирования у них должны быть определенные общие характеристики, включая массу и заряд. Это семейство новых частиц получило название суперчастицы.

Как это поможет хиггсону? Хиггсон — это бозон, поэтому он соединяется с новым фермионом, известным как хиггсино. Чтобы гарантировать идеальность совпадения, наша суперновая суперсимметрия требует, чтобы хиггсон и хиггсино имели абсолютно одинаковую массу. Ну разве это не прекрасно? Масса бозона Хиггса теперь привязана к массе хиггсино. Хиггсино — это фермион, поэтому его масса защищена приблизительной хиральной симметрией, как и масса электрона. Он никогда не начнет потреблять слишком много квантовых калорий. Хиггсино никогда не станет таким же тяжелым, как мимарида, — и ровно так же не станет тяжелым и его партнер, бозон Хиггса. Хиггсон нашел своего ангела-хранителя[134].

Мы можем считать суперсимметрию (или «сьюзи», как ее ласково называют из-за стандартного сокращения SUSY) наиболее полной симметрией пространства и времени и красотой, превосходящей всякую иную. Правда, есть одна загвоздка: такой красоты никто никогда не видел.

Мы знаем, что в мире сьюзи электрон соединяется с суперчастицей: новым бозоном, называемым сэлектроном[135]. Предполагается, что он и электрон имеют одинаковую массу и одинаковый электрический заряд. Но хотя мы видели множество электронов, никто никогда не видел сэлектрон. Это может означать только то, что сьюзи не совсем идеальна. В нашем повседневном мире она сломана или скрыта, а проявляется только тогда, когда мы вглядываемся в физику в самых мелких масштабах. Иными словами, когда мы сталкиваем объекты с очень, очень высокими энергиями. Такая нарушенная симметрия приводит к тому, что сэлектрон, хиггсино и все прочие суперчастицы оказываются намного тяжелее, чем были бы в противном случае. И чем сильнее нарушается суперсимметрия, тем тяжелее они становятся.

Чтобы обнаружить сьюзи, нам нужно искать эти суперчастицы, а значит, для их создания требуется достаточно много энергии. Прямо сейчас, глубоко под горами в ЦЕРН, в Большом адронном коллайдере почти со скоростью света летают протоны. Когда они врезаются друг в друга, то воссоздают крики младенческой Вселенной. Энергия при каждом лобовом столкновении составляет около 10 ТэВ — то, что вы получите, когда комар столкнется с высокоскоростным поездом. Я всегда считал это сравнение несколько разочаровывающим, но помните, что в Большом адронном коллайдере вся эта энергия исходит от столкновения всего лишь двух невообразимо крохотных протонов. Чтобы придать описанному событию ту влиятельность, которой оно действительно заслуживает, подумайте так: если все протоны в вашем теле столкнутся подобным образом, то они высвободят примерно в 20 000 раз больше энергии, чем дало извержение вулкана Кракатау в 1883 году.

Когда дело касается сьюзи, важно то, что 10 ТэВ примерно в 10 млн раз больше массы электрона и примерно в 100 раз больше массы бозона Хиггса. Однако мы никогда не получали намеков на существование ни сэлектрона, ни хиггсино, ни любой другой суперчастицы. В простейших моделях это может означать только одно: суперчастицы слишком тяжелы, чтобы возникать при таких столкновениях. Это тревожит. Помните, мы хотим доказать, что хиггсино — ангел-хранитель бозона Хиггса, а их массы связаны. Однако эксперименты в ЦЕРН, похоже, предполагают, что хиггсино минимум в 100 раз тяжелее, чем нам хотелось бы. Возможно, бозон Хиггса не обязан быть таким же тяжелым, как мимарида, но в этих простых моделях он должен оказаться минимум в 100 раз тяжелее, чем на самом деле. Это, безусловно, серьезное улучшение, но все же несколько неестественное.

Все очень надеялись, что ЦЕРН обнаружит сьюзи. Достаточно было со смаком столкнуть два протона. Дело не только в том, что суперсимметрия сохраняла естественность и решала головоломку с неправильной массой Хиггса. Она также решала проблему темной материи, предложив в качестве идеального кандидата легчайшую суперчастицу; казалось, что это изящно указывает на дальнейшее объединение, на общее происхождение трех из четырех фундаментальных взаимодействий. При таком хет-трике впечатляющих успехов сьюзи просто обязана была оказаться правильной. Однако ЦЕРН этого не увидел. Ученые начали сомневаться в мотивации для суперсимметрии. Стали искать темную материю в других местах. И иначе думать об объединении.

А сейчас есть даже те, кто готов отказаться от естественности.

Но не все. Во всяком случае, пока. Наука приучила нас искать причины всех неожиданностей. Числа редко бывают слишком большими или слишком маленькими. Поэтому, когда кто-то говорит, что масса бозона Хиггса составляет 0,0000000000000001 от ожидаемой, большинство физиков стремятся найти этому объяснение.

Мы многое перепробовали, но истину пока не нашли. Пробовали дополнительные измерения. И сьюзи. Даже пытались разбить бозон Хиггса на крошечные кусочки. Все это очень хитроумные способы сохранить естественность, но природу это, похоже, не волнует. На данный момент бозон Хиггса — по-прежнему выигравший гонку аутсайдер, на которого ставили десять миллионов миллиардов к одному, и никто не знает почему.

Однако соотношение десять миллионов миллиардов против одного — это еще маленькая проблема с естественностью. Теперь расскажу вам о большой.

В гамбургском ресторане «Херлин» разговаривали два человека. В 1920-е вся городская элита приезжала сюда, в ресторан элегантного роскошного отеля Vier Jahreszeiten на берегу озера Альстер. Прийти предложил Отто Штерн. Штерн радовался приятным мелочам — хорошей еде, хорошему вину и хорошей компании. Вольфганг Паули мог быть менее разборчив. Конечно, ему нравилось очарование этого места, но отсюда было далеко до захудалого кабаре в печально известном районе Санкт-Паули, где он выпивал накануне вечером. Там он ввязался в очередную стычку, и над правым глазом все еще был заметен порез. Он сказал Штерну, что упал, — Стерну незачем знать больше. Днем Паули вел жизнь профессора-стоика. По ночам он становился пьющим и скандальным повесой.

Пока физики допивали бренди, Штерн взволнованно рассказывал о новой идее, над которой работал: «Говорю тебе, Вольфганг, энергия нулевой точки реальна. Я рассчитал ее влияние на давление паров изотопов неона». Паули уставился на друга неподвижным взглядом. Он сделал глоток бренди, а Штерн продолжал: «Если бы нулевой энергии не было, как ты говоришь, разница в давлении паров для неона-20 и неона-22 была бы огромной. Астон[136] легко разделил бы их, но мы знаем, что он не смог!»

«А как же гравитация, Отто?» — почти без эмоций спросил Паули. Ответа не последовало. Паули достал ручку и блокнот. «Тогда давайте посчитаем». Он начал выписывать какие-то цифры, а Штерн с интересом наблюдал. Через пару минут Паули торжествующе поднял голову. «Видишь, Отто! Если бы энергия нулевой точки была реальной, мир не доходил бы даже до Луны!»

Описанная сцена приправлена драматургическими вольностями, хотя некоторые элементы истории верны. Несомненно, Штерн был жизнелюбом, которого можно было встретить только в лучших ресторанах; иногда он летал из Гамбурга в Вену только для того, чтобы пообедать. Серьезный контраст с Паули, который, как известно, часто посещал бары и бордели Репербана[137], когда оказывался вне поля зрения друзей и коллег. Верно и то, что Стерн сделал все возможное, чтобы убедить своего друга в нулевой энергии, но Паули был непреклонен. Знаменитый расчет Паули и его уничтожающее заключение появились где-то в середине 1920-х, как утверждали два его помощника вскоре после смерти ученого в 1958 году[138].

Но о чем спорили Паули и Стерн? Что это за нулевая энергия?

Как и у Волан-де-Морта, у нее много имен: это энергия нулевой точки, энергия вакуума, космологическая постоянная[139]. Как и Волан-де-Морт, она должна уничтожить Вселенную в момент творения. Не дать возможности сформироваться звездам и планетам. Лишить вас и меня шанса на рождение. И все же каким-то образом мы это сделали. Природа защищает нас от этого темного властелина, этой нулевой энергии и ее жажды устроить Армагеддон. Но никто не знает, как именно. Наше космическое выживание — величайшая загадка всей современной физики.

Энергия нулевой точки — это энергия пустого пространства. Представьте уголок Вселенной, который посетили межгалактические судебные приставы. Они выносят оттуда все — все звезды, планеты, скопления газа и комки темной материи. Они не оставляют ничего, кроме пустоты. Нет атомов и нет света. Заброшенное и пустое место. И все же в этом вакууме есть то, до чего судебные приставы не могут добраться. Там есть энергия — энергия нулевой точки; энергия, хранящаяся в самом вакууме. Несмотря на все свои усилия, судебные приставы не могут заглушить вакуум. Квантовая механика требует, чтобы это был бурлящий бульон из виртуальных частиц, постоянно появляющихся и исчезающих, касающихся мира своей энергией, пусть только на мгновение.

Чтобы понять это, сходите на кухню и возьмите большую миску. Бросьте в нее маленький шарик, например стеклянный или мяч для настольного тенниса. Что вы видите? Без сомнения, мяч немного покатается по миске, а потом уляжется на дне. Если его не трогать, вы ожидаете, что шарик останется точно в этом месте, если не считать возможных покачиваний от тепловых движений воздуха. А если вы охладите кухню до абсолютного нуля и удалите весь окружающий воздух? Шарик вообще не должен двигаться, верно? Он не должен шевелиться.

Георг Кантор сильно похудел, пальто тяжело свисало с немощного тела. Лицо стало невыразительным. Когда-то он был яркой и внушительной фигурой, которой придавали силу интеллект и стремление к собственной математической мечте. Однако на последней сохранившейся фотографии, сделанной в Галле в 1917 году, это незаметно. К тому времени уже три долгих года бушевала Первая мировая война, немецкий народ голодал. В стране был неурожай, а военные корабли союзников не давали импортировать продовольствие. Некоторым немцам удавалось пополнять свой рацион за счет сельского хозяйства или черного рынка. Но не Кантору. После маниакальной депрессии его поместили в психиатрическую клинику — Nervenklinik в Галле. Поскольку продовольственные пайки в немецких учреждениях составляли вдвое меньше нормы, а уровень смертности удвоился, он постоянно писал жене, умоляя забрать его домой. Она не могла исполнить это желание, и 6 января 1918 года Георг Кантор, ослабленный недоеданием, умер от сердечного приступа.

Последние годы Кантора были осложнены психическими заболеваниями, личной трагедией и профессиональным истощением. Но, несмотря на пережитые падения, он поднялся выше всех. Он осмелился вообразить невообразимое, достигнув небес, чтобы посмотреть на небесные числа — бесконечности. Кантор увидел не только бесконечность на краю царства конечных чисел, но и более высокие, находящиеся далеко за пределами земного понимания. Благодаря его идеям мы теперь знаем, что существуют бесконечности, которые настолько велики, что математически недоступны для других, меньших. Другими словами, за царствами бесконечности лежат другие царства бесконечности.

Чаще всего бесконечность изображается в виде «пьяной» восьмерки ∞, лежащей на боку после того, как перебрала. Этот символ ввел в 1655 году англичанин Джон Валлис; иногда его называют лемнискатой, что означает «ленты»[152]. Но эта конкретная бесконечность — не число, она представляет собой границу, идею вечного продолжения, ad infinitum[153], предел, который вы можете надеяться когда-нибудь достичь. Но, как показал Кантор, бесконечные числа существуют, и их бесконечно много. Они так же реальны, как пять, сорок два или даже гугол. Просто они существуют не в конечном мире — они трансфинитны. Это чудовищные алефы и могучие омеги, и есть даже число под названием йети.

Начнем с нескольких вопросов.

Когда речь идет о бесконечности, интуитивная ясность редка. Это, безусловно, справедливо по отношению к отелю Гильберта, названному в честь великого немецкого математика Давида Гильберта, который предложил эту идею более века назад. В отеле Гильберта есть бесконечное количество номеров, а это означает, что, даже когда он полон, управляющий может принять столько новых гостей, сколько ему понадобится. Чтобы понять, как он это делает, пронумеруем комнаты: 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. Когда появляется новый гость, управляющему нужно всего лишь переместить всех жильцов отеля в комнату со следующим номером: семья из комнаты номер 1 переезжает в комнату номер 2, пара из комнаты 2 переезжает в комнату 3, бизнесмен из комнаты 3 переезжает в комнату 4 и т. д. Из-за бесконечности числа комнат этот процесс никогда не прервется, все старые жильцы останутся в отеле, а новый гость может поселиться в комнату 1, которая освободилась в начале этой цепочки. Управляющий не станет паниковать, даже если столкнется с бесконечным количеством новых гостей. Он просто переведет всех в комнаты с удвоенным номером. Старые посетители теперь занимают комнаты с четными номерами, а комнаты с нечетными освободились для новых гостей. В отеле Гильберта всегда есть места.

По собственному признанию, Давид Гильберт был «скучным и глупым мальчиком», который не производил впечатления в школе; однако он стал одним из самых влиятельных мыслителей в новейшей истории. Его работы легли в основу большей части современной математики и физики — от логики и теории доказательств до теории относительности и квантовой механики. Но, возможно, больше всего он известен благодаря опубликованному им в 1900 году списку из двадцати трех нерешенных математических задач, который оказал огромное влияние на исследования последнего столетия. Первая из задач, гипотеза континуума, — это проблема бесконечности, первоначально предложенная Кантором. На сегодня только восемь задач Гильберта имеют решения, которые полностью приняты математическим сообществом. Как мы увидим позже, гипотеза континуума в их число не входит.

Первые письменные упоминания о бесконечности восходят к VI веку до нашей эры — к Древней Греции и философским трудам Анаксимандра. Анаксимандр — представитель милетской школы, который, возможно, обучал Пифагора[154]. Хотя большая часть его трудов с годами была утеряна, в нескольких сохранившихся фрагментах он говорит о бесконечности как об апейроне. Слово апейрон (ἄπειρον) буквально переводится как «бесконечное, беспредельное». Анаксимандр пытался понять происхождение всех вещей. Он представлял себе апейрон бесконечным и неистощимым супом, из которого все рождается и куда возвращается после окончательного разрушения. Для древних греков это казалось не красотой, а хаосом. Это были не небеса, а бездна.

Бесконечность и ее бесконечно малый родственник лежат в основе парадоксов Зенона Элейского. Возможно, вы помните Зенона — философа, организовавшего заговор против тиранического правления Неарха. Его схватили и убили, но он успел откусить часть тирана, которого отчаянно пытался свергнуть. В главе «Ноль» мы обсуждали парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе, когда быстроногий воин не может обогнать медленно двигающуюся рептилию. В другом парадоксе, так называемой дихотомии, Зенон задает очень простой вопрос: как вы вообще пересекаете комнату? На первый взгляд вопрос кажется абсурдным, но философ предложил рассуждение, бросающее вызов нашим повседневным иллюзиям. Представьте то место, где вы сидите и читаете эту книгу. Чтобы выйти из комнаты, вы должны сначала достичь середины пути от вас до двери. Но чтобы пройти половину пути, вы должны сначала пройти четверть пути; чтобы добраться до четверти, вам нужно сначала преодолеть одну восьмую часть пути. Вы можете продолжать эту последовательность до бесконечности, пока, подобно Зенону, не начнете верить, что движение невозможно.

Этот парадокс демонстрирует тонкое различие между бесконечно малым числом и нулем. Трюк Зенона породил последовательность рациональных чисел: ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ¹/₁₆…

Возьмите любое сколь угодно малое положительное число. Если мы достаточно далеко продвинемся по последовательности Зенона, то за конечное число шагов сможем добраться до еще меньшего числа. Однако на самом деле мы никогда не достигнем нуля, как уверяет нас Зенон. Ноль — это предел этой последовательности, но не ее часть. Как размышлял Аристотель столетие спустя, мы можем осознать потенциальную возможность для реализации бесконечного количества шагов, но никогда не сможем реализовать их на самом деле. Он считал, что бесконечность можно держать в уме, но не в руке. Согласно Аристотелю и его последователям, потенциальная бесконечность была реальной, а актуальная — нет.

Так получилось, что древние греки не питали особого интереса к апейрону. Когда Платон описывал наивысшую идею Блага, он объявил его конечным и определенным, не запятнанным хаосом бесконечности. Но по мере того, как греки начали терять свое интеллектуальное превосходство, бесконечность стала развиваться. В начале III века античный философ Плотин связал бесконечность с высшей сущностью, которую он назвал Единым. Единое понималось как нечто, находящееся за пределами деления и умножения, как божественная бесконечность, существующая без предела. Спустя два века эта идея резонировала с мыслями святого Августина о христианском Боге. К тому времени мощь Рима рухнула, и многие винили в этом обращение к новой религии. Августину поручили написать несколько книг, пропагандирующих христианство и доказывающих его превосходство над старой римской идеологией. Именно в этих книгах он коснулся бесконечности, сделав вывод о ее существовании в разуме Бога. Августин осознавал, что у чисел не может быть предела, ведь если бы мы объявили, что существует какое-то наибольшее число, то к нему всегда можно добавить единицу. Поскольку не может существовать число, о котором Бог бы не знал, он должен знать все числа. Он способен мыслить о бесконечности.

Связь между Богом и бесконечностью можно найти во многих других религиозных контекстах. Например, в еврейском мистицизме каббалисты говорили о десяти сфирот и лежащем в их основе Эйн Соф. Все сфирот представляли отдельные аспекты божественного тела, а Эйн Соф было чем-то большим, бесконечным Богом, не поддающимся описанию и пониманию. Точно так же в индуизме бога Вишну иногда называют Ананта: это санскритское слово означает «бескрайний» или «беспредельный». Также это слово может означать бесконечность.

К XIII веку в западном мире начали возрождаться древние идеи Аристотеля, включая отрицание актуальной бесконечности. В результате большинство средневековых мыслителей не хотело заходить так далеко, как Августин, и признавать способность Бога создавать бесконечности за пределами его собственного существования. Самым известным из них был Фома Аквинский, который утверждал, что эти пределы не накладывают ограничений на силу Бога. Он полагал, что дополнительные бесконечности не могут существовать в реальности, как и утверждал Аристотель, поэтому их создание Богом было бы логически несостоятельным действием. Несмотря на свою неограниченную силу, Бог не мог сделать что-то бесконечным, как не мог сделать что-то несотворенным. Это рассуждение внешне выглядит элегантно, но при ближайшем рассмотрении мы видим, что оно зациклено. Оно начинается и заканчивается одной и той же идеей: существовать могут только конечные вещи.

Теология постепенно уступала место современным научным идеям, но мало кто имел желание бросить вызов бесконечности. Многие математики эпохи Возрождения пытались использовать потенциал бесконечности в духе Аристотеля, но не осмеливались прикасаться к ней. Они довольствовались тем, что приближались к бесконечности, рассматривая всё большие числа, но никогда не спрашивали о самой бесконечности.

Но Галилей был другим.

Он уже расстроил власть раньше. В своем «Диалоге о двух главнейших системах мира» Галилей выступил против католической церкви, приводя доводы в пользу коперниканского мировоззрения — с Солнцем в центре и Землей на периферии. Его книга организована в форме разговоров между тремя людьми: это ученый Сальвиати, пытающийся убедить друзей в гелиоцентрической модели; отсталый простак Симпличио, которого многие считали изображением папы; и нейтральный обыватель Сагредо. Инквизиция во главе с племянником понтифика, кардиналом Франческо Барберини, быстро отреагировала на оскорбление. Галилею приказали явиться в Рим и предстать перед судом за ересь.

К счастью, у великого ученого имелись влиятельные друзья. В защиту Галилея хотел выступить великий герцог Тосканы, и ему даже предложили убежище в Венецианской республике. Возможно, из-за самонадеянности или наивности Галилей отклонил все эти предложения и решил защищаться перед инквизицией. Он полагал, что покойный кардинал Беллармин дал ему разрешение опубликовать эти идеи, и даже имел подтверждающее письмо. К сожалению, детали не совсем соответствовали копии письма, хранившейся в Ватикане. Вскоре инквизиция признала его виновным и потребовала, чтобы ученый отказался от своей работы под угрозой пыток и смерти. Говорят, когда Галилей преклонил колени, отвергая коперниканскую точку зрения, он с вызовом пробормотал: «E pur si muove. А все-таки она вертится»[155].

Галилей провел остаток жизни под домашним арестом, написав в это время свой последний шедевр — трактат «Беседы и математические доказательства двух новых отраслей науки». В этой работе он развил свои идеи о движении, создав фундамент, на котором другие ученые — от Ньютона до Эйнштейна — в конце концов возвели башню современной физики. Именно в этой последней книге Галилей отважился прикоснуться к бесконечности. Как и ранее, его труд имел вид беседы между теми же персонажами, хотя на этот раз, после судебного процесса, Симпличио оказался несколько умнее, чем раньше.

В тексте Галилея Сальвиати предлагает двум друзьям подумать о бесконечном семействе квадратных чисел. Симпличио, связанный узлами Аристотеля, недоволен безрассудным отношением Сальвиати к бесконечности. Однако Сагредо побуждает его продолжать, и вскоре Сальвиати приходит к парадоксу. Если вы возьмете все целые числа от 0 до 15, то увидите, что только четыре из них — квадраты: 0, 1, 4 и 9. А если вы возьмете целые числа от 0 до 99, вы обнаружите, что только десять из них — квадраты. Если мы экстраполируем эту ситуацию на бесконечность, возникает соблазн сказать, что целых чисел гораздо больше, чем квадратов. В конце концов, каждое квадратное число — одновременно и целое, а вот обратное неверно.

Вот только сейчас мы имеем дело с бесконечностью, а бесконечность кусается.

Сальвиати понимает, что каждый квадрат можно сопоставить с квадратным корнем из него. Например, 0 → 0, 1 → 1, 4 → 2, 9 → 3 и т. д. При таком методе мы можем превратить семейство квадратных чисел в семейство натуральных: 0, 1, 2, 3 и т. д. Дело в том, что соответствие между двумя этими семействами взаимно однозначно: каждому квадрату соответствует натуральное число, определяемое квадратным корнем из него, и каждому натуральному числу соответствует квадрат. Это должно означать, что семейства имеют одинаковый размер! Это верно, но Сальвиати не хочет поспешно делать такой вывод и предпочитает говорить о двусмысленности: он решает, что к бесконечным количествам неприменимо любое сравнение — больше, меньше или равно. Но на самом деле такие сравнения вполне можно проводить, если придерживаться определенного набора правил. Мы говорим о равенстве всякий раз, когда существует взаимно однозначное соответствие между семействами, или множествами, как позже станут их называть. Может показаться нелогичным, когда бесконечное семейство сопоставляется только с какой-то частью себя, а не со всем семейством, но это не приводит к математическим авариям. Вот почему мы можем сказать, что натуральных чисел ровно столько же, сколько и четных, или квадратов, или степеней числа TREE(3).

Только через двести лет после этих галилеевских оккультных занятий бесконечностью стали появляться люди, обладавшие достаточной смелостью или глупостью, чтобы идти по этому пути. Предупреждения держаться подальше от таких оккультных практик исходили от самого высокого авторитета — Карла Фридриха Гаусса, прозванного королем математиков, Princeps Mathematicorum. В своем письме соотечественнику Генриху Шумахеру в 1831 году Гаусс предупреждал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто законченное. Бесконечность — всего лишь façon de parler[156], когда на самом деле говорят о пределах, к которым одни соотношения подходят сколь угодно близко, а другие могут расти без ограничений». Однако один католический священник из Праги, лишенный всех своих постов, думал иначе. Его звали Бернард Больцано.

Больцано был сыном итальянского торговца произведениями искусства, набожного католика, тоже носившего имя Бернард. Отец использовал свое состояние, чтобы помогать бедным; он основал сиротский приют в Праге, куда приехал жить. Эти поступки оказали огромное влияние на Больцано, который значительную часть своей взрослой жизни боролся за справедливость и равенство. А еще он боролся с бесконечностью.

По собственному признанию, Больцано был угрюмым больным ребенком, с нарушениями зрения и сильными головными болями. В школе он не выделялся в учебе и не имел популярности у сверстников. У других людей такая изоляция могла бы привести к замкнутости, но ему она, похоже, дала независимость мышления и редкую способность бросать вызов устоявшимся представлениям. В юности Больцано получил степень доктора богословия и вскоре после этого был рукоположен в католические священники. Он быстро заработал репутацию свободомыслящего христианского философа и в двадцать четыре года получил должность заведующего кафедрой истории и философии религии в Карловом университете в Праге. Больцано никогда не разделял христианский мистицизм, а свою веру оправдывал моральными соображениями, помогая прийти к добру в обществе, испорченном жестокостью и лишениями. В то время Прага находилась под сильным влиянием религиозного консерватизма, и в последующие годы он, подобно Галилею, перестал устраивать власть. Больцано проповедовал своим ученикам пацифизм и своеобразную форму социализма. Это в основном оставалось незамеченным, пока видный богослов Якоб Фринт, духовник императора в Вене, не предложил Больцано использовать в преподавании свою новую книгу. Больцано отказался: на его взгляд, книга была неполной и слишком дорогой для студентов. Обиженный Фринт начал настраивать людей против Больцано, указывая на радикализм проповедей и отказ принять консервативные христианские ценности. Больцано пользовался поддержкой друга, архиепископа Праги, но кампания против него продолжалась. Он придерживался своих убеждений и по-прежнему выступал против войны, частной собственности и богемских властей, и в конце концов произошло неизбежное: его уволили и попросили покинуть университет. Тогда Больцано было чуть за сорок. Уехав из Праги в деревню, он отвернулся от религии и обратился к математике — к бесконечности.

Он задал себе простой вопрос: если бы он держал в руке бесконечность, что бы это было? Гаусс и другие объявляли ее изменчивой сущностью, переменной величиной, которая растет и растет, никогда не останавливаясь, не достигая своего предела. Больцано отверг это: переменное количество — вовсе не истинное, а только идея количества. Этого недостаточно, это все равно что сказать, что у вас x яиц в корзине даже после того, как вы их уже пересчитали!

Больцано осознал, что семейство натуральных чисел — подлинный объект, актуальная бесконечность, которую он мог использовать для количественной оценки других бесконечностей. Он понял: всё, что можно взаимно однозначно сопоставить с этим семейством, тоже должно быть актуальной бесконечностью. Чтобы выразить это строже, он начал развивать идею множества. Множество — просто совокупность каких-то объектов, например «четыре всадника Апокалипсиса» или «команды, которые играют в Премьер-лиге». Это примеры конечных множеств: в Библии описано четыре всадника Апокалипсиса, а в Премьер-лиге играют двадцать команд. Но Больцано был готов рассматривать и бесконечные множества, например множество натуральных чисел или действительных чисел от нуля до единицы. Он был убежден, что эти объекты реально существуют. Не имело значения, что вы не могли разделить их и вообразить себе все их отдельные части. Как замечал Больцано, разумно говорить о множестве людей, живущих в Праге, не имея мысленного представления о каждом отдельном человеке. Аналогичную логику он применил и к своим бесконечным множествам.

Больцано начал играть на своей бесконечной игровой площадке. Двумя веками ранее Галилей открыл парадокс, продемонстрировав взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством квадратов. Но Больцано пошел дальше. Он обратился к континууму и обнаружил собственный парадокс: чешский математик показал, что между 0 и 1 находится столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2. Он сделал это примерно так. Математик начал с меньшего интервала от 0 до 1 и удвоил каждое число. Например, 0 → 0, 0,25 → 0,5, 0,75 → 1,5, 1 → 2 и т. д. Это дало ему новое множество чисел, которое заполнило все пространство между 0 и 2. Он также понял, что может обратить эту процедуру: перейти от большего интервала к меньшему путем деления каждого числа пополам. Все это может показаться очевидным, однако Больцано создал простое взаимно однозначное соответствие между двумя континуальными множествами — точно так же, как это сделал Галилей со множеством натуральных чисел и квадратов. Используя логику взаимно однозначного соответствия, мы можем утверждать, что между 0 и 1 имеется столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2, или 0 и числом TREE(3), или даже между гуголом и числом Грэма.

Галилей не стал говорить, что его бесконечные множества одинаково велики, хотя это и верно. Больцано был настолько же осторожен со своими континуумами. Хотя взаимно однозначное соответствие заставляло предположить, что между 0 и 1 находится столько же чисел, сколько между 0 и 2, он не мог в это поверить. Именно эти сомнения и помешали ему пойти дальше. Больцано умер до того, как на его работу всерьез обратили внимание. Тем временем в схватку за бесконечность вступили другие видные математики, и к середине XIX века почва была уже подготовлена. Галилей и Больцано рискнули прикоснуться к бесконечности, но небес достиг Георг Кантор. Он поднялся и пошел посреди бесконечного так, как никто и представить себе не мог.

Алеф и омега

«Посему не судите никак прежде времени, пока не придет Господь, который и осветит скрытое во мраке»[157].

Эта фраза стоит в начале одной из последних публикаций Кантора, вышедшей в 1895 году. Она взята из Первого послания к Коринфянам, включенного в Новый Завет, и выдает веру Кантора в божественность своей задачи. Кантор полагал, что именно Бог привел его в этот бесконечный рай, в этот бесконечный ад. Именно Бог общался с ним, подарив ему алеф и омегу. Здесь есть даже отголоски Откровения: «Я есмь Альфа и Омега, начало и конец, первый и последний»[158].

Легко отмахнуться от этого как от религиозного бреда. Возможно, так и бывало, однако Кантор вдохновлялся своими религиозными поисками. Когда окружающие нападали на него за безрассудное отношение к бесконечности, называя шарлатаном и развратителем молодежи, Кантор стоял на своем, ободряемый верой. У него хватило мужества бросить вызов бесконечности, и он победил. Но он и проиграл. Размах собственных исканий измучил ученого, и он погрузился в глубокую депрессию, из которой потом уже не выбрался.

Кантор начал с того, что согласился с утверждением, которое так и не приняли полностью Галилей и Больцано: если у двух множеств есть взаимно однозначное соответствие, то они одинаковы по величине. В случае конечных множеств это не вызывает никаких споров. Возьмем, например, четырех всадников Апокалипсиса:

{Смерть, Голод, Чума, Война}

и другое множество, известное как Beatles:

{Джон, Пол, Джордж, Ринго}.

Эти два множества легко сопоставить взаимно однозначно: например, Смерть соответствует Джону, Голод — Полу, Чума — Джорджу, а Война — Ринго. В таком способе сопоставления нет ничего особенного — с равным успехом мы могли бы сопоставить Смерть и Пола, Голод и Джона. Важно то, что каждому всаднику соответствует отдельный участник группы и наоборот: никто не остается без пары. Все это прекрасно работает, потому что Beatles и четыре всадника Апокалипсиса — явно множества одного размера. Как мы уже видели, в случае бесконечных множеств все несколько сложнее. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством квадратных чисел и множеством целых, хотя первое выглядит меньше. Однако Кантор понимал, что видимость иногда обманчива, особенно когда речь идет о бесконечности.

Математика — игра, в которой вы устанавливаете собственные правила, и, пока они не сталкиваются с какими-либо логическими несоответствиями, вы всегда можете действовать. Кантор определил размер множества через его мощность, или кардинальное число. Beatles и всадники Апокалипсиса — это множества, имеющие мощность 4, потому что мы можем взаимно однозначно сопоставить их элементы и первые четыре натуральных числа {0, 1, 2, 3} (помните: большинство математиков предпочитают начинать отсчет с нуля).

Смерть ↔ Джон ↔ 0

Голод ↔ Пол ↔ 1

Чума ↔ Джордж ↔ 2

Война ↔ Ринго ↔ 3

Множество команд Премьер-лиги имеет мощность 20, потому что мы можем сопоставить их с первыми двадцатью натуральными числами {0, 1, 2, 3, …, 18, 19}. А как насчет наших бесконечных множеств? Из-за наличия взаимно однозначного соответствия Кантор понял, что множество всех квадратов {0, 1, 4, 9…} должно иметь такую же мощность, что и множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3…}.

Но сколько там чисел? Какова мощность этого множества?

Это не 4, не 20 и даже не TREE(3). Это должно быть нечто большее, нечто более бесконечное. Кантор решил назвать его алеф ноль — , взяв первую букву еврейского алфавита. Ноль в индексе намекает, что это только первая наша бесконечность — дальше их будет еще много. Пока же наберитесь терпения. Если эту первую бесконечность определить как мощность множества натуральных чисел, то благодаря взаимно однозначному соответствию она также будет мощностью множества всех квадратов, четных чисел, чисел, кратных числу Грэма, степеней числа TREE(3). С помощью замечательного математического трюка Кантор показал, что такова же и мощность множества рациональных чисел — тех, которые можно записать в виде отношения двух целых чисел.

Посмотрим, как он это сделал.

Кантор начал свое доказательство, выписав все дроби в определенном порядке.

Если продолжить эту таблицу во всех направлениях, она будет включать все рациональные числа. Конечно, в ней окажется много повторов, но мы с этим справимся. Вопрос в том, можем ли мы взаимно однозначно сопоставить все различные числа в этой таблице со множеством целых чисел? Для начала вы можете попробовать сделать это для одной строки, сопоставляя последовательно дроби и целые числа. Например, если вы возьмете вторую строку, то напишете следующее:

Но эта стратегия не работает: вы не сможете перейти к другой строке, поскольку все целые числа уйдут на эту. Кантор придумал гораздо более удачную идею. Он решил идти по таблице змейкой, постепенно продвигаясь вдоль диагонали и пропуская при этом повторяющиеся числа (выделены серым).

Это действительно удивительно умная идея. Стратегия Кантора никогда не подведет, и по мере движения по таблице каждая дробь сопоставляется с каким-то натуральным числом. Итак, доказано, что мощность рациональных чисел равна .

Понятие мощности множеств дает нам возможность говорить о числах. На самом деле мы говорим о кардинальных числах — вскоре мы встретимся с другим типом чисел. Кардинальные числа — способ сказать, сколько вещей у вас есть. Они включают в себя все конечные числа, например 0, 1, 2, 3, и, конечно, нашу первую бесконечность . Но можем ли мы пойти дальше? Можем ли получить число, которое больше, чем ?

Как насчет  + 1?

Чтобы понять, что это, возьмем бесконечное множество резиновых уточек с бесконечным числом рисунков на них, по одной для каждого натурального числа:

Ясно, что их . Чтобы получить  + 1, мы добавляем еще одну уточку, предположим белую. Неважно, куда мы ее поместим, — например, поставим в начало и сдвинем всех остальных на 1:

Сколько у нас сейчас уток? Каждой соответствует какое-то целое число, так что их должно быть . Иными словами, получается, что  + 1 = . Странно. Как насчет  + ? Для этого мы возьмем два бесконечных множества уток, каждое размером , но на этот раз пометим одно из них четными номерами:

а другое — нечетными:

Объединим два множества:

и получим, что  +  = . Все это немного странно. Мы видим то, чего не бывает с конечными числами. Но почему так? Потому что мы сейчас находимся в царстве бесконечности.

Я обещал вам больше бесконечностей, но, похоже, мы никак не можем пробиться через . Чтобы шагнуть дальше, нам сначала нужно определить некоторый порядок. До сих пор наши множества были организованы свободным образом. Например, мы говорили, что Beatles задаются множеством {Джон, Пол, Джордж, Ринго}; однако можно предположить, что их задает также и {Джон, Джордж, Пол, Ринго}. Никакой разницы, верно? Не обязательно. Все зависит от того, вводим ли мы какой-то порядок, придаем ли значение тому месту, где в множестве появляется каждый музыкант. В следующей версии множества — {Джон, Джордж, Пол, Ринго} — музыканты расположены в алфавитном порядке. Вы можете даже сказать, что и в первом варианте они были упорядочены — по таланту, хотя этот вопрос очень спорный (особенно для моей жены, которая утверждает, что Ринго — лучший, потому что он озвучивал мультфильм «Паровозик Томас»).

В тот момент, когда мы начинаем думать о порядке, мы меняем правила игры и числа могут приобретать дополнительный смысл. Рассмотрим число 4. Мы знаем, что можем думать о нем как о кардинальном числе, сообщающем нам, например, сколько было битлов. Однако мы также можем думать о нем как о ярлыке для четвертого места. В случае с Beatles мы могли бы напрямую связать его с Ринго, потому что он стоит четвертым по алфавиту. Когда мы делаем это, мы думаем о 4 как о порядковом числе (ординальном числе, или ординале): в этом случае нас заботит его положение на конвейерной ленте натуральных чисел. Разница между ординальными и кардинальными числами не особо важна, пока вы не выйдете за пределы царства конечности и не начнете играть с бесконечностью.

Удобный способ определить ординальное число — использовать множества. Мы касались этого в главе «Ноль». Мы начинаем с того, что под нулем подразумеваем пустое множество, единица — это множество, содержащее 0, двойка — множество, содержащее 0 и 1, тройка — {0, 1, 2} и т. д. На самом деле каждый ординал определяется как множество предшествующих ординалов, то есть n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}. Все это здорово, но как это приведет нас к бесконечности и дальше? Чтобы достичь бесконечности, нам нужно определить ординальное число, которое находится на один шаг дальше всех конечных ординалов. Для этого Кантору понадобились новое название и новый символ. Он черпал вдохновение в божественности своего поиска: «Я есмь Альфа и Омега».

Кардинальную бесконечность он обозначал алефом, а первой из его ординальных бесконечностей стала омега — ω. Если каждый конечный ординал определяется по правилу n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}, то естественно определить ω как бесконечный предел:

ω = {0, 1, 2, 3…}.

Иными словами, первая из наших ординальных бесконечностей есть не что иное, как множество натуральных чисел!

Берем еще выше.

Что идет после ω? Конечно, ω + 1. Если мы последуем выбранному правилу, это число, как и выше, определяется как множество ординалов, — иными словами, это множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху:

ω + 1 = {0, 1, 2. 3 …; ω}.

Мы использовали точку с запятой, чтобы указать границу между бесконечным списком конечных вкладов 0, 1, 2, 3… и трансфинитным вкладом от ω. Но это всего лишь обозначения, которые не особо важны. Важно то, что ω + 1 — не то же самое, что ω. Причина в том, что для ординалов важен порядок. Чтобы лучше понять это, вернемся к нашим уточкам, только теперь представим, что это настоящие утки и они соревнуются:

Черная уточка финиширует первой и немного раздражена тем, что ее наградили нулем. Впрочем, ноль — первое из натуральных чисел, так что особо жаловаться ей не стоит. Клетчатая уточка заканчивает гонку второй и получает второе натуральное число (1), полосатая занимает третье место и получает третье натуральное число (2) и т. д. Многоточия указывают на то, что в гонке участвует бесконечное количество уток и каждой из них присваивают какое-то натуральное число. Теперь предположим, что проводится другая гонка, в которой на одного участника больше: добавляется белая утка. Она довольно медлительна и пересекает финишную черту, когда все остальные уже закончили гонку. Картина выглядит примерно так:

Когда мы добавляли белую утку в нашем предыдущем рассуждении, нас не заботил порядок, поэтому мы просто посадили ее рядом с черной и передвинули всех остальных на единицу. В итоге мы показали, что  + 1 = . Но теперь нам важен порядок, ведь это соревнование! Белая утка финишировала последней, позади всех остальных, так что ее нельзя просто поставить впереди. Какое число мы должны ей присвоить? Это не может быть ни одно из натуральных чисел, потому что все они израсходованы; следовательно, это должно быть следующее число из списка, то есть ω. Поскольку порядок имеет значение, ясно, что две наши гонки весьма различаются. Множество натуральных чисел — не то же самое, что множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху, иными словами, ω + 1 — не то же самое, что ω.

Мы можем продолжить восхождение. После ω + 1 идет ω + 2, снова определяемое в терминах порядковых номеров, которые были раньше:

ω + 2 = {0, 1, 2, 3, …; ω, ω + 1}.

Кажется, что мы дотянулись до небес, добравшись до новой лестницы: от ω + 2 к ω + 3 и т. д., пока не найдем новый уровень неба в ω + + ω. Обычно это записывают как ω × 2 и определяют как множество

ω × 2 = {0, 1, 2, …; ω, ω + 1, ω + 2…}.

Мы можем продолжать подъем ко все более высоким небесам, вплоть до ω × 3 и ω × 4 и т. д., пока не дойдем до предела ω × ω, который наиболее здравомыслящие люди называют попросту ω². Теперь мы достигли бесконечного количества уровней бесконечных небес. Но мы можем продолжать. Двигаясь так же, как и раньше, мы достигаем ω³, затем ω⁴ и в конце концов доходим до очередного предела — экспоненциально высокого неба, которое мы запишем как ω^ω.

Теперь включим ускорители.

После ω^ω мы можем представить восхождение все выше, и выше, и выше — к башне из степеней ω, которая имеет ω этажей высоты:

Как мы видели в главе «Число Грэма», такие башни удобнее записывать с помощью наших двойных стрелок, и мы получаем ω ↑ ↑ ω. Отсюда мы переходим к числу

затем к ω ↑⁴ ω и т. д., пока мы не достигнем еще одного исполинского предела, ω ↑^ω ω — небесного левиафана, подобно Богу возвышающегося над всем, что было прежде.

А помните, как вы думали, что число Грэма — это очень большое число?

Но мы еще не закончили.

Самое забавное, что ω + 1 на самом деле не больше ω; оно просто идет следующим. Мощность соответствующего множества ω + 1 = = {0, 1, 2, 3, …; ω} по-прежнему равна . Чтобы доказать это, вам просто нужно сопоставить элементы ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} с натуральными числами. Это просто: вы сопоставляете ω и 0; 0 и 1; 1 и 2; 2 и 3 и т. д. Точно так же подъем до ω + 1 или даже до ω ↑^ω ω приводит нас ко все более высоким бесконечностям, стоящим выше в списке, но не к большим бесконечностям. Все они имеют ту же мощность — алеф ноль, .

А потом это происходит.

На поистине невообразимой высоте Кантор показал, что должен существовать новый тип ординала, отличный от всего, что было прежде. Не очевидно, что он вообще должен существовать, но он существует. Кантор обнаружил, что большие бесконечности скрыты в континууме, во множестве всех действительных чисел, включающем рациональные, которые можно записать в виде дробей, и иррациональные числа, такие как √2, которые записать таким образом нельзя[159]. Математик продемонстрировал, что континуум находится за пределами нашего умения считать — один, два, три, четыре… Его мощность больше, чем алеф ноль.

Давайте спросим, сколько действительных чисел находится в континууме между 0 и 1. Понятно, что бесконечно много, но это алеф ноль или действительно что-то большее? Вот как это выяснял Кантор. Предположим, что континуум счетен и, следовательно, можно установить взаимно однозначное соответствие между числами из него и натуральными числами. Это значит, что мы можем записать все числа континуума в бесконечный список размера . Порядок не имеет значения, так что мы просто начинаем перечислять все числа от нуля до единицы в случайном порядке:

0,12347348956792457…

0,34579479867439087…

0,73549874397493486…

0,42784508734067383…

0,54345689483459808…

…

Чтобы доказать, что континуум больше , Кантор продемонстрировал, что этот список не может охватить все числа. Он выделил цифры, стоящие на диагонали:

0,12347348956792457…

0,34579479867439087…

0,73549874397493486…

0,42784508734067383…

0,54345689483459808…

…

Эти диагональные элементы образуют число 0,14585… Затем Кантор написал новое число, все цифры которого отличаются от этого числа на единицу. В нашем примере 0,14585… преобразуется в новое число 0,25696… Оно отличается от первого числа в списке, ведь у них разные первые цифры после запятой (по определению у нового числа первая цифра больше на 1). Оно отличается и от второго числа в нашем списке: у них разные вторые цифры после запятой. Оно отличается и от третьего числа — третьей цифрой после запятой. Фактически оно отличается от всех чисел из списка! Следовательно, невозможно уложить все числа континуума в список размера , поэтому за континуумом скрывается какая-то большая бесконечность, как и представлял себе Кантор.

Существует ли способ систематически конструировать эти большие бесконечности, чтобы пройти путь за пределы ? Ответ — «да». Мы уже построили огромную башню бесконечных ординалов, имеющих размер , от ω = {0, 1, 2, 3…} и ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} до ω ↑^ω ω и даже выше. Их иногда называют счетными бесконечностями, потому что каждая из них на самом деле представляет собой множество чисел, для которого можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел — тех, которые мы используем для счета. Но что находится за пределами этой башни? Какой ординал находится в одном шаге за пределами счетных бесконечностей? Это омега один, ω₁. По определению он не может быть счетным — для него нельзя установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Такой небесный гигант должен иметь новую мощность, новый размер: алеф один, . Эта бесконечность не просто выше. Она больше.

Как обычно, ω₁ определяется как множество предшествующих ему ординалов. Иными словами, это полное множество счетных величин — от конечных крохотулек до наибольшей из счетных бесконечностей. Но от ω₁ мы можем продолжить восхождение — к ω₁ + 1 и даже выше. И снова они не обязаны быть больше, чем ω₁, — они просто идут следом. Вдобавок ω₁ + 1 также имеет мощность , потому что можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством счетных величин. А затем появится очередной уровень — ординал, выходящий за рамки мощности . Это ω₂ — еще большее число с новой великолепной мощностью .

Полагаю, вам сейчас стало бесконечно тревожно из-за всего этого. В конце концов, даже бесконечность было трудно осознать, а теперь мы имеем дело с бесконечностями за пределами бесконечного, с чудовищными алефами и могучими омегами. Вот небольшая таблица, которая поможет вам собраться с мыслями.

Бесконечности Георга Кантора

Итак, Кантор вышел за пределы к более высоким уровням бесконечности, новым небесам и новым богам. Но в то время мало кто верил в его небесные искания. Наоборот, он был в аду, — по крайней мере, так считал математик Леопольд Кронекер. В середине XIX века Берлин стал центром математического мира, а Кронекер был одним из самых влиятельных университетских профессоров. Он был блестящим, но консервативным ученым. Кронекер говорил: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человеческих». Его ужасали иррациональные числа. Конечно, он понимал стоящую за ними математику, но не видел им места в мире природы. Они были «делом рук человеческих», фантазией нетребовательных шарлатанов вроде Кантора. Кронекер был наставником Кантора, его учителем и другом. Но когда Кантор переехал из Берлина на юг, в университет Галле, он избавился от консерватизма своего учителя. Он вышел за пределы целых чисел, в сторону континуума и новых уровней бесконечности, которые таятся в нем. Кронекеру это не нравилось.

Математики стали воевать друг с другом, и вскоре вражда стала личной. Кронекер регулярно оскорблял Кантора и мешал публикации его работ в серьезных журналах. Неважно, что идеи Кантора были обоснованными и замечательными, — у Кронекера имелось преимущество в положении: он работал в Берлине, а Кантор был профессором второстепенного университета. Больше всего Кантора терзало чувство несправедливости. Он понимал, что заслуживает большего, что его способности дают право на профессорскую должность в Берлине, но он также осознавал, что из-за пагубного влияния Кронекера этого никогда не произойдет.

По мере того как атаки продолжались, Кантор отчаивался все сильнее. В несуразной попытке нанести ответный удар он подал заявление на профессуру в Берлине. Хотя ученый знал, что у него нет шансов на успех, он был уверен, что обидит Кронекера, и этого было достаточно. Он сказал шведскому математику Гесте Миттаг-Леффлеру: «Я точно знал, что Кронекер вспыхнет, как ужаленный скорпионом, и со своими резервными войсками поднимет такой вой, что Берлин решит, будто его перетащили в африканские песчаные пустыни с их львами, тиграми и гиенами».

Друзей у Кантора было немного из-за угрюмого и взрывного характера, Миттаг-Леффлер стал одним из них. Годом ранее, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica, предоставив Кантору безопасное место для публикации его работ — вдали от интриг Кронекера. Когда Кронекер узнал об этом, он нашел способ отомстить бывшему ученику. Он написал шведу, спрашивая, может ли тот опубликовать в новом журнале статью Кронекера. Прослышавший об этом Кантор почувствовал очередную атаку: раз Кронекер надеется публиковаться в Acta, то только для того, чтобы дискредитировать его труды. Кантор отреагировал характерной вспышкой, написав Миттаг-Леффлеру гневное письмо, где грозил больше не посылать ему свои статьи. Отношения между Кантором и его другом испортились. Возможно, именно на это и рассчитывал Кронекер: он вовсе не собирался посылать свою статью в журнал Миттаг-Леффлера[160].

После этого у Кантора случился первый нервный срыв. Проблемы с психикой были неизбежны даже в обычной спокойной жизни. А ведь она была не такой. Его жизнь полнилась напряженной работой и сражениями с Кронекером. Позже математика постигла еще и личная трагедия: его младший сын Рудольф внезапно умер в 1899 году, когда Кантор уехал читать лекцию в Лейпциг.

Кантор достиг небес, бесконечности и ходил среди алефов и омег. Будучи глубоко религиозным человеком, он верил, что им руководит Бог. Его определенно вели числа, все числа, — континуум. Именно здесь, в этом небесном царстве, Кантор впервые заглянул за пределы . Он понимал, что континуум дает большую бесконечность — больше, чем , но что это за бесконечность? Это или нечто еще большее?

Всякий раз, когда у нас есть какое-то множество, будь то четыре всадника Апокалипсиса или множество натуральных чисел, мы можем говорить о том, что называется степенью множества, или булеаном. Это просто множество всех подмножеств для исходного множества. Например, рассмотрим множество из трех мушкетеров {Атос, Портос, Арамис}. У него в общей сложности восемь различных подмножеств. Это пустое множество

{},

подмножества из одного мушкетера:

{Атос},

{Портос},

{Арамис},

подмножества из двух мушкетеров:

{Атос, Портос},

{Портос, Арамис},

{Арамис, Атос}

и, конечно, подмножество из всех трех мушкетеров:

{Атос, Портос, Арамис}.

Вместе эти восемь различных подмножеств образуют множество всех подмножеств для множества из трех мушкетеров. Возможно, вы заметили, что размер множества мушкетеров равен 3, а множество всех его подмножеств имеет гораздо больший размер, 8 = 2³. Это не случайное совпадение. Каждое подмножество либо включает Атоса, либо нет; либо включает Портоса, либо нет; либо включает Арамиса, либо нет. Получаем 2 × 2 × 2 = 8 вариантов. Та же логика говорит, что для 20 команд английской Премьер-лиги во множестве всех подмножеств будет 2²⁰ элементов.

То же правило применяется и к бесконечным множествам. Мы знаем, что мощность множества натуральных чисел равна . Какую мощность имеет его булеан? Это просто множество его подмножеств, то есть пустое множество

{},

подмножества из одного числа:

{0},

{1},

{2},

…

подмножества из двух чисел:

{0, 1},

{0, 2},

{1, 2},

…

И так далее. Мощность этого множества равна Это невообразимо много. Как доказал Кантор, это определенно больше, чем , и так уж получилось, что это мощность континуума. Чтобы увидеть это, запишем какое-нибудь вещественное число в двоичном виде. Это просто набор нулей и единиц в определенном порядке. Например,

будет записано в виде 0,101. Если мы хотим пробежать по всем различным способам, то у нас есть два варианта для первой цифры, два для второй, два для третьей и так далее до бесконечности. В конце мы получим такое общее количество различных способов:

Кантор предположил, что континуум должен быть следующим алефом в списке. Другими словами, он счел, что Это утверждение известно как континуум-гипотеза; возможно, вы помните, что это первая из двадцати трех нерешенных проблем Гильберта, предложенных в 1900 году. По сути, она утверждает, что континуум расположен на один алеф выше множества натуральных чисел, хотя вовсе не очевидно, что это должно быть верно. С таким же успехом континуум может иметь размер какого-то более высокого алефа, а возможно, он вообще не имеет ничего общего с алефами. Кантор был одержим своей гипотезой. В его письмах Миттаг-Леффлеру прослеживается история все более отчаивающегося человека. Он то торжествующе сообщает шведскому математику, что доказал гипотезу, то в отчаянии признается, что обнаружил в своей работе роковую ошибку. Он метался между доказательством и опровержением, между иллюзией успеха и реальностью неудачи.

По сей день континуум-гипотеза не доказана и не опровергнута. Однако в 1963 году американский математик Пол Коэн сделал важное открытие. Вдохновляясь работами великого логика Курта Геделя, Коэн показал, что континуум-гипотеза не зависит от основных строительных блоков математики, то есть аксиом, входящих в систему аксиом Цермело — Френкеля, дополненную аксиомой выбора (такая система называется ZFC, буквы обозначают математиков Эрнста Цермело (Zermelo) и Абрахама Френкеля (Fraenkel), а также слово choice — выбор)[161]. Это означает, что вы можете считать континуум-гипотезу хоть истинной, хоть ложной, и ни одно из этих утверждений никогда не приведет к противоречию. Чтобы понять это, представьте, что фаната «Ливерпуля» спрашивают, болеет ли он также за «Манчестер Юнайтед» — самого принципиального соперника «Ливерпуля». Вы сразу понимаете, что это невозможно, поскольку это взаимоисключающие вещи. Но что произойдет, если спросить, болеет ли он также за «Бостон Ред Сокс»? Если учесть, что это команда из совсем другого вида спорта (бейсбольный клуб из США), никакого противоречия нет: фанат «Ливерпуля» вполне может за нее болеть или не болеть. Коэн показал, что математикам следует так же спокойно относиться к континуум-гипотезе. Через восемьдесят лет после того, как Кантор сошел с ума, Коэн получил за свою работу Филдсовскую премию — математический эквивалент Нобелевской премии.

Со временем Кантор станет воспринимать континуум-гипотезу как догму, нечто, выходящее за рамки математики. Гипотеза принадлежала Богу, и, по мнению Кантора, Бог защищает ее. Во второй половине своей жизни Кантор все больше времени проводил в больнице. Его срывы обычно начинались взрывом, когда он разглагольствовал о несправедливости мира, а затем наступала депрессия. Как позже вспоминала его дочь Эльза, он замыкался и не мог общаться. Во время своих длительных ремиссий Кантор часто предавался другой страсти, не имевшей отношения к его битве с континуумом. Он сражался с Шекспиром.

Кантор считал Шекспира самозванцем и полагал, что его пьесы принадлежали ученому XVII века сэру Фрэнсису Бэкону. Родным языком Кантора был немецкий, он также говорил по-датски и по-русски, и, хотя английский стал его четвертым языком, он считал, что знает его достаточно хорошо, чтобы публиковать брошюры в поддержку своей радикальной шекспировской гипотезы[162]. В 1899 году, после очередного срыва, Кантор получил от университета отпуск по состоянию здоровья. За этим последовал странный эпизод, который позволяет заглянуть в тревожное состояние разума Кантора. Он отправил письмо в Министерство просвещения, где просил освободить его от профессорской должности и дать спокойно работать в библиотеке на службе у кайзера. Он сообщал, что обладает обширными познаниями в истории и литературе, предлагая в качестве доказательства свои брошюры, и даже утверждал, что у него есть новая информация об английской монархии и личности ее первого короля. Кантор заверял, что если министерство своевременно не отреагирует на его просьбу, то он предложит свои услуги русскому царю. Но министерство проигнорировало его письмо, и Кантор так и не установил контакта с русскими.

Когда в Европе разразилась Первая мировая война, важность математических работ Кантора уже признали, в отличие от его работ по английской литературе. Военные условия в Германии привели к тому, что последние дни он провел в нищете. Когда британский ученый Бертран Рассел опубликовал в 1951 году его письма, он воздал должное Кантору как «одному из величайших умов XIX века», чьи «промежутки просветления были посвящены созданию теории бесконечных чисел». Но он также добавлял: «После чтения его письма никто не удивится, узнав, что он провел большую часть своей жизни в сумасшедшем доме».

Кантор отважился исследовать небеса бесконечности. Изучая его наследие, другие осмелились заглянуть еще дальше. Оказывается, есть уровень бесконечности, лежащий за пределами даже бесконечно бесконечного; эти числа известны как недостижимые. Чтобы понять идею недостижимости, нам сначала нужно вернуться в царство конечности — к натуральным числам. Есть ли способ добраться до алефов с помощью правил арифметики? Ответ — решительное «нет». В царстве конечности у нас есть исключительно конечные числа и нам доступно только конечное число операций сложения, умножения или даже возведения в степень. В результате доступ к алефам закрыт. В этом смысле алеф — недостижимое кардинальное число, потому что мы не можем добраться до него, играя в арифметические игры с конечными кардинальными числами, находящимися ниже.

Теперь прыгнем в небеса.

Получив в свои руки , мы можем перейти к еще большим количественным числам с помощью образования множества всех подмножеств. Если континуум-гипотеза верна, то  немедленно приведет нас к , а дальше правила арифметики позволяют нам выйти к , и т. д. По мере того как мы достигаем всё больших кардинальных чисел, мы начинаем задаваться вопросом: есть ли что-то, до чего мы не сможем добраться? На самом деле мы этого не знаем. Первый вариант ответа на этот вопрос — отрицательный; в этом случае  — единственное кардинальное число, которое недоступно снизу. Но такое заключение выглядит довольно скучно. Гораздо интереснее вообразить себе более высокие алефы, которые настолько велики, что недостижимы для всех предшествующих. Именно к этому варианту склонны математики, — в конце концов, они сами создают свои правила и смотрят, что из этого получится. Давайте примем такую точку зрения и рассмотрим первое из наших новых недостижимых чисел. Находясь в царстве низших алефов, мы можем только смотреть, но не прикасаться. Как бы часто мы ни возводили в степень, мы никогда не сможем достичь его, как не могли достичь из царства конечности. Это новый уровень числа, небесный левиафан, ускользнувший от бесконечности бесконечностей. У него нет названия, поэтому я попросил своих детей придумать его, подобно Эдварду Казнеру, племянник которого сочинил слово «гугол». В итоге они остановились на йети. Думаю, это идеальный вариант, ведь йети живет высоко в недоступных местах и никто не знает, существует ли он на самом деле.

Существуют ли на самом деле какие-либо алефы? Являются ли они частью физического мира? Кантор, ограниченный только своим воображением, мог гулять с бесконечностью, обнимать ее и понимать. Но это было в математическом мире чисел и множеств. В физическом мире бесконечность часто считается недугом, болезнью, сигнализирующей о непонимании, вычислительном параличе. Тем не менее существуют места, где мы научились преодолевать этот паралич, где бесконечность покорена, а наши физические теории процветают. Это справедливо для бесконечностей, с которыми мы сталкиваемся в электромагнетизме и ядерной физике. Но это не относится к гравитации. В гравитации существует бесконечность бесконечностей. Как мы увидим далее, паралич бесконечен.

Близкие контакты бесконечной степени

Остерегайтесь гравитационных приливов. Остерегайтесь сингулярности в центре черной дыры, где пространство-время прикасается к бесконечности. Остерегайтесь гравитационного напряжения, которое растет и растет, разрывает вас на части, разделяя руки, ноги, атомы и кварки. Остерегайтесь своего последнего мгновения, когда перестает существовать само время, а все, чем вы являетесь, поглощается микроскопической тканью нашей Вселенной.

Это ужас Повехи — колоссальной черной дыры, с которой мы столкнулись в начале книги. Мы видели ее издалека, но как насчет этого ужаса внутри? Реальна ли сингулярность? Можно ли прикоснуться к бесконечности хотя бы на последний миг времени? В 1965 году английский математик Роджер Пенроуз открыл нечто замечательное. Если Эйнштейн прав насчет гравитации, каждая черная дыра оказывается концом, покровом для некой сингулярности, фасадом для бесконечности. Он показал, что сингулярность всегда есть там, где имеется поверхность, подобная горизонту событий, из-за которого ничто не может удрать. Пятьдесят пять лет спустя пожилой Пенроуз, к тому времени уже рыцарь-бакалавр[163], получил за это Нобелевскую премию. Но, несмотря на одобрение шведского комитета, это не означает, что сингулярности Пенроуза действительно существуют в природе. Работа Пенроуза показала, что если черные дыры существуют в том виде, как мы думаем, то теория Эйнштейна нарушается[164]. Давая приют такой бесконечности, эта теория прячет то, с чем не может справиться. В физике бесконечность — это болезнь, которую нужно лечить.

Мы уже видели подобное раньше.

Не так уж давно были времена, когда наши болезни бесконечности оказывались куда менее экзотическими. Они скрывались не только внутри черных дыр, но и в сиянии лампочки или в гуле радиопередачи. Эти обыденные явления — сцены в балете квантовой электродинамики, когда фотоны танцуют с электронами, а электроны с фотонами. Взаимодействие между фотоном и электроном — основное во всей физике, однако в преддверии Второй мировой войны оно также оказалось нарушенным. Пляску электронов поразила болезнь бесконечности.

Эта история началась с Поля Дирака, моего «научного предка», связанного со мной прямой линией научных руководителей[165]. Дирак — сын швейцарского иммигранта, который переехал в Бристоль на западе Англии, чтобы преподавать французский язык. Он был молчаливым мальчиком и еще более молчаливым взрослым. Коллеги из Кембриджа ввели единицу речи «дирак» — одно слово в час. Сам Дирак не видел особой нужды в словах. Он насмехался над интересом Роберта Оппенгеймера к поэзии и утверждал, что в школе его научили не начинать предложение, если не знаешь, как оно закончится. Кстати, в той же бристольской школе учился другой мальчик, гораздо более словоохотливый: голливудский актер Кэри Грант.

В 1927 году Дирак предложил теорию, которая соединила старые идеи Бора о квантованных орбитах электронов в атоме с эйнштейновскими идеями об относительности. Это была первая квантовая теория поля и крупный прорыв в понимании толкотни и суматохи микроскопического мира. Он показал, как электроны в атоме могут взаимодействовать с фотонами, испускаемыми им в виде излучения. И электрон, и фотон можно понимать как квантовые колебания полей: электрон — колебания в электронном поле, а фотон — в электромагнитном. Каждое колебание инициирует другие колебания, которые инициируют еще какие-то колебания, и т. д. Это была настолько красивая работа, что Дирак боялся изучать ее следствия, опасаясь, что природа могла оказаться достаточно глупа и выбрала что-то гораздо менее элегантное.

Поначалу их ждал большой успех. Мощные умы приступили к преобразованию этой идеи в новую область физики, названную квантовой электродинамикой, или КЭД. Среди них был квартет будущих нобелевских лауреатов: Паули, Гейзенберг, Ферми и венгр Юджин Вигнер, сестра которого Манси впоследствии вышла замуж за Дирака. Вместе с Дираком они начали открывать новые и интересные явления — от рождения и исчезновения частиц в магнитном поле до существования античастиц.

Первоначальный успех КЭД натолкнул на мысль, что вскоре ученые смогут делать прогнозы для всех физических явлений, связанных с электромагнитным излучением и заряженными частицами. Однако первые успехи были достигнуты благодаря методу, названному теорией возмущений. Это один из самых важных инструментов в кладовке физика. Чтобы понять, как он работает, ненадолго отложим в сторону КЭД и рассмотрим более знакомый сценарий — гравитационное поле Земли. Чтобы облегчить решение уравнений, мы обычно считаем Землю идеальной сферой. Но это не так. Из-за вращения она сплюснута, и это приводит к тому, что форма планеты меняется на 1 процент. Влияние этого изменения на гравитационное притяжение трудно вычислить точно, поэтому мы пользуемся приближениями. Мы вычисляем изменение гравитации с той же точностью в 1 процент (0,01), используя некоторые вычурные математические теоремы. Если мы хотим улучшить результат, то работаем немного усерднее и вычисляем следующий порядок влияния на гравитационное поле: берем точность в 1 процент в квадрате, или, иными словами, 0,0001. Мы могли бы перейти к точности в 1 процент в кубе или даже к более высоким степеням. Именно так работает теория возмущений: вы выявляете какое-то маленькое возмущение (в данном случае однопроцентное отклонение формы Земли) и постепенно улучшаете свои результаты, двигаясь по степеням этого малого параметра[166].

В КЭД тоже есть нечто маленькое. Это так называемая постоянная тонкой структуры, хотя большинство из нас называет ее просто альфа (α). Она не имеет ничего общего с алефами и омегами из предыдущего раздела. Это просто некое число, которое измеряет силу взаимодействия между фотонами и электронами: оно говорит нам, насколько сильно они хотят танцевать. Значение альфы контролирует все, что мы видим, и многое из того, что мы не видим. Оно устанавливает размер атомов, силу магнитов, цвета природы. Согласно измерениям, α ≈ ¹/₁₃₇, и этот факт пытались понять многие физики прошлого и настоящего. Возможно, самым одержимым был Паули. «Когда я умру, — шутил он, — я прежде всего спрошу дьявола: каково значение постоянной тонкой структуры?» Паули часто снились числовые соотношения, связывающие α с числом π или другими важными числами. Он даже разыскал психоаналитика Карла Юнга, который проанализировал его сны и пришел к выводу, что Паули постигает «какой-то великий космический порядок». По странному совпадению, Паули умер от рака поджелудочной железы в палате 137 больницы Красного Креста в Цюрихе.

Малая величина α позволила строить ранние модели КЭД с использованием теории возмущений. Физики начали вычислять вероятности для различных процессов, заряженных частиц, рассеивающихся повсюду, прыгающих вокруг фотонов, толкающих и притягивающих в разных направлениях. Точность их результатов составляла примерно α — иными словами, ¹/₁₃₇, то есть меньше 1 процента. Чтобы получить более точные результаты — с погрешностью менее 1 процента от 1 процента, — требовалось перейти к следующему порядку в теории возмущений, то есть α² или даже выше. Это был всего лишь вопрос математических вычислений: фактически не было ничего, что могло пойти не так.

Однако пошло.

Все началось с Паули. Он понял, что одиночный электрон не так уж и одинок: он запускает электромагнитное поле. Всякий раз, когда мы концентрируем распределение заряда в какой-то маленькой области пространства, из-за этого электромагнитного поля мы должны совершать работу против сил отталкивания. Это означает, что мы должны подавать энергию в систему, и чем меньше область, тем больше работы придется проделать. Эта дополнительная энергия известна как собственная, и в случае электрона вы можете считать ее вкладом в массу электрона (вспомните: энергия и масса эквивалентны). Паули расстроила мысль, что электрон — точечная частица, втискивающая весь свой заряд в бесконечно малую область. Это увеличивало собственную энергию электрона и, соответственно, его массу до бесконечно больших значений.

Конечно, Паули понимал, что это не совсем так. Требовалось учесть квантовые эффекты, и у него была КЭД — правильная теория, позволяющая понять, что происходит на самом деле. Физик поручил эту задачу своему новому помощнику, высокому говорливому американцу, который выкуривал слишком много сигарет. Его звали Роберт Оппенгеймер.

Впоследствии во время Второй мировой войны Оппенгеймер стал главой лаборатории в Лос-Аламосе в штате Нью-Мексико. Под его руководством 16 июля 1945 года группа в Лос-Аламосе успешно взорвала первую атомную бомбу в пустыне Нью-Мексико. Позже Оппенгеймер заметил, что ему тогда пришли в голову слова из древнеиндийской священной книги «Бхагавадгита»: «Я — смерть, разрушитель миров». Менее чем через месяц ВВС США сбросили две такие бомбы на японские города Хиросиму и Нагасаки, где погибло более 200 000 человек.

В молодости Оппенгеймер работал под руководством Паули и был известен и своими способностями, и своей небрежностью. Паули как-то сказал: «Физика Оппенгеймера всегда интересна, но расчеты всегда ошибочны». Когда швейцарский ученый предложил своему ученику посмотреть на собственную энергию электрона, тот решил исследовать проблему в конкретных условиях: он начал с помощью КЭД рассчитывать спектр света, излучаемого атомами водорода. Как обычно, ему пришлось прибегнуть к теории возмущений. Поначалу это была относительно простая задача. Когда порядок составлял α, ему приходилось беспокоиться только о том, что протон в ядре обменивается виртуальным фотоном с вращающимся по орбите электроном. Однако когда он попытался вычислить поправки порядка α², все стало сложнее. Оппенгеймер понял: есть вероятность, что электрон и фотон могут трансформироваться. В частности, ему приходилось беспокоиться об эффекте, когда электрон испускает фотон, а через мгновение поглощает его обратно. К своему ужасу, Оппенгеймер увидел, что этот эффект бесконечен! И это вовсе не было ляпом в вычислениях, на сей раз физик считал правильно. Проблема возникла из-за того, что такой кратковременный фотон мог нести любое количество энергии вплоть до бесконечности. Это означало, что нужно суммировать все такие варианты. Он надеялся, что суммирование как-то приведет к конечному ответу, но этого не произошло. Квантовую электродинамику поразил недуг бесконечности. Из-за Второй мировой войны недуг не могли вылечить почти два десятилетия.

^{Протон в атоме водорода взаимодействует со своим электроном. Левый рисунок показывает физические эффекты порядка α, соответствующие обмену виртуальным фотоном. На правом рисунке показана корректировка порядка α2, когда электрон испускает и сразу поглощает еще один виртуальный фотон}

Хотя детали оказались другими, проблема снова заключалась в бесконечной собственной энергии, когда электрон приобретает бесконечную массу из-за того, что взаимодействует с собственным электромагнитным полем. Паули был подавлен. Он говорил, что у него появилось искушение бросить физику и сбежать в деревню, чтобы писать утопические романы. Его меланхолия явно произвела впечатление на Оппенгеймера. Вместо того чтобы признать эту бесконечность болезнью, которую в принципе можно вылечить, Оппенгеймер увидел в ней знак, что физика сильно сбилась с курса. Обладай американский ученый более широкими взглядами, он, как и другие, понял бы, как эту бесконечность можно укротить. Однако указанная честь досталась Швингеру, Фейнману и японскому физику Синъитиро Томонаге.

Чтобы понять, как эти люди в конце концов покорили бесконечность, вернемся к не такому уж одинокому электрону Паули. Кроме своего электромагнитного поля, он окружен морем частиц, появляющихся и исчезающих в вакууме, и эти электроны, позитроны и фотоны вместе образуют бурлящий, пузырящийся виртуальный суп. Нет сомнений, что этот суп влияет на свойства электрона, в том числе на его массу. Чтобы понять почему, представьте, что вы держите под водой мяч для настольного тенниса и отпускаете его. Какое ускорение ощущается? Мяч для настольного тенниса примерно в двенадцать раз легче воды, которую он вытесняет, поэтому выталкивающая сила в двенадцать раз больше, чем вес мяча. Если бы дело заключалось только в этом, мяч испытывал бы ускорение 12g в направлении вверх и обычное ускорение силы тяжести 1g в направлении вниз, что давало бы суммарное ускорение 11g, направленное вверх к поверхности воды. Однако ускорение, которое вы ощутите, явно меньше этой величины. Нам стоит помнить, что мяч должен расталкивать на своем пути какое-то количество воды. Наши силы ускоряют не только мяч, они также должны ускорять окружающую жидкость, из-за чего кажется, что мячу труднее двигаться. В итоге мяч ведет себя так, словно у него больше инерции, или, иными словами, больше массы. Физики говорят, что масса мяча эффективно переконфигурируется, или «перенормируется», до гораздо большего значения — настолько большого, что ускорение вверх составляет менее 2g. Такая перенормировка массы — следствие того, что жидкость действует на мяч, взаимодействуя с ним. То же происходит и с виртуальным супом, который окружает электрон. Этот суп взаимодействует с ним, «перенормируя» его массу. Разница между электроном и мячиком для настольного тенниса заключается в том, что мячик в итоге может вырваться из воды, а вот электрон никогда не выберется из своего супа.

Для своих расчетов Оппенгеймер использовал теорию возмущений. Это означало, что в первом приближении никакого квантового супа нет, а электрон обладает массой, которую он имел бы в бессуповом классическом мире. Когда физик вычислял первую поправку, он словно добавил суп. К своему ужасу, он обнаружил, что такая поправка бесконечна. Иными словами, новая скорректированная суповая масса электрона отличалась от голой бессуповой на бесконечную величину. Но в реальном мире электрон не имеет бесконечной массы, поэтому казалось, что произошла катастрофа.

Но это не так.

Оппенгеймер не понял, что, хотя его расчеты включали две разные массы — суповую и бессуповую, — только одна из них имела физический смысл. Дело в том, что вы можете измерить только суповую массу, поскольку электрон никогда не сможет выбраться из этого квантового супа. Оппенгеймер считал: чтобы теория имела смысл, обе массы должны быть конечными. Но это не так: конечной должна быть только физическая, суповая масса. Нефизическую, бессуповую в принципе нельзя измерить, так что она вполне может быть бесконечной. На деле оказывается, что она и должна быть бесконечной, — по крайней мере, такой же бесконечной, как бесконечная квантовая поправка Оппенгеймера, но с противоположным знаком.

Давайте еще раз посмотрим на формулу: бессуповая масса + квантовая поправка = суповая масса. Если в квантовую поправку Оппенгеймера входит бесконечность, то для получения суммарного конечного ответа в бессуповой массе должна быть минус бесконечность. Сами по себе эти бесконечности не имеют физического смысла, поэтому мы не особо из-за них огорчаемся. Конечно, ни в одном из наших вычислений мы не используем бесконечные значения, потому что не можем держать их под контролем. Вместо этого мы работаем с произвольно большими, но конечными заменителями, поэтому математика по-прежнему имеет смысл. Предполагается, что эти заменители — заместители бесконечности — компенсируют друг друга. У нас остается конечное значение для физической суповой массы, которое соответствует экспериментальным измерениям.

Вероятно, можно использовать такую аналогию. Представим, что вы открываете бизнес по покупке и продаже леденцов на палочке. Леденцы обходятся вам в 1 фунт стерлингов каждый, но вы знаете, что в первый день торговли сможете продавать их вдвое дороже, хотя после этого вам придется продавать их по себестоимости. Чтобы запустить свой бизнес, вы занимаете у друга бесконечную сумму денег и покупаете бесконечное количество леденцов. В первый день торговли вы продали сто леденцов. Сколько вы реально стоите в этот момент в денежном выражении? Если бы мы смотрели только на чистую стоимость ваших активов, мы могли бы решить, что вы бесконечно богаты. В конце концов, у вас все еще есть бесконечное количество леденцов, которые вы можете продать по себестоимости, плюс 200 фунтов стерлингов от продаж первого дня. Но это только половина истории. Ведь вы все еще должны своему другу взятые деньги. Если вычесть этот долг, становится ясно, что у вас есть только прибыль, которую вы получили в первый день: 100 фунтов стерлингов. Это ваша истинная стоимость.

Бесконечная стоимость ваших активов аналогична бесконечной величине массы электрона в бессуповом, классическом мире; бесконечный долг аналогичен бесконечной квантовой поправке Оппенгеймера; истинная величина вашего благосостояния (в данном случае 100 фунтов стерлингов) подобна истинному физическому значению массы электрона, окруженного квантовым супом.

Прежде чем объявить теорию вылеченной, нам следует поискать другие бесконечности. В КЭД оказывается, что заряд электрона тоже использует бесконечно большую квантовую поправку. Неважно. Как и раньше, мы просто объявляем чистый бессуповой заряд бесконечным, но не поддающимся измерению. Бесконечная квантовая поправка снова имеет противоположный знак, две бесконечности сокращаются, и мы приходим к конечному суповому заряду, согласующемуся с вашими экспериментами.

Если это кажется ловкостью рук, давайте теперь посмотрим на настоящую магию.

Вы можете использовать теорию возмущений для расчета любого желаемого процесса; электроны и фотоны случайным образом двигаются, но все это остается конечным, пока вы стоите на своем и объявляете суповую массу и суповой заряд конечными. Это кажется чудом. Квантовые поправки к какому-нибудь сложному процессу могут включать множество бесконечных сумм, но в итоге это не имеет значения. Эти бесконечности на самом деле — просто остатки тех, что мы видели для массы и заряда электрона. Как только суповая масса и суповой заряд установлены экспериментально, все остальное становится на свои места. Больше нет бесконечностей, о которых нужно беспокоиться.

Болезнь бесконечности излечена.

В январе 1948 года Швингер, которому еще не исполнилось тридцати, изложил эти идеи перед переполненным залом на собрании Американского физического общества в Нью-Йорке. Несмотря на свои годы, он уже был известен. Джулиан поступил в колледж в пятнадцать лет, к девятнадцати у него имелось семь опубликованных работ, и он привлек внимание таких интеллектуальных гигантов, как Паули и Ферми. Спустя десять лет в Нью-Йорке он покорил аудиторию. Конечно, его работа была технически сложной, но все красиво работало. В тот момент, когда он зафиксировал конечность суповой массы и супового заряда и измерил их в экспериментах, он смог рассчитать влияние на другие процессы и показать, что они также соответствуют имеющимся данным. В частности, это было воздействие квантовых эффектов на расщепление энергетических уровней в атомах водорода — то, что годом ранее, в 1947 году, измерил Уиллис Лэмб. Внешне могло показаться, что он чересчур безответственно играет с бесконечностью, но это не имело значения: мастерство Швингера давало правильные ответы.

В тот день Фейнман оконфузился. Он работал над близкими идеями и, когда презентация Швингера подошла к концу, сообщил аудитории, что получил те же результаты. Никто не прислушался. Три месяца спустя новая конференция проходила в пенсильванском Поконо. Туда Фейнман приехал с новым, более наглядным способом представления КЭД. Все было переведено в картинки, где электроны изображались прямыми линиями, а фотоны — волнистыми. Именно такие рисунки мы использовали при описании оппенгеймеровского расчета для спектра водорода. Мы этого не показывали, но для каждой линии и каждой вершины имеется также математический код, который позволяет нам выполнить такой сложный расчет вдвое быстрее. Однако в 1948 году этот код знал только Фейнман: никто больше не имел ни малейшего представления о том, что на самом деле означают его рисунки. Методы Швингера были долгими и трудоемкими, но, по крайней мере, его язык физики понимали. Фейнман утверждал, что получил такие же результаты, но никто не был уверен, что это правда.

Фейнману было трудно, но, возможно, Синъитиро Томонаге было еще труднее. Он разработал свои идеи в одиночку в 1943 году, оказавшись в изоляции в Японии: мир все еще находился в состоянии войны. Четыре года спустя Лэмб провел свои измерения энергетических уровней водорода, но Томонага узнал об этом только из статьи в японской газете. Понимая, что его теория тоже может давать именно такие результаты, он написал Оппенгеймеру, который быстро пригласил его в Принстон.

Трое очень разных ученых, казалось, делали совершенно разные вещи, но получили одни и те же ответы. Все воедино сшил уроженец Великобритании Фримен Дайсон. Совершив поездку с Фейнманом и терпеливо посещая лекции Швингера, он понял, что все придерживались одинаковых взглядов: делали одно и то же, но по-разному. Прозрение пришло в автобусе, ехавшем по Небраске. «Это ворвалось в мое сознание, как взрыв, — вспоминал он. — У меня не нашлось карандаша и бумаги, но все было так ясно, что мне не нужно было ничего записывать». В конце концов возобладали методы Фейнмана — как только все привыкли к его диаграммам. Болезнь бесконечности вылечили, или, как сказал Фейнман, получая Нобелевскую премию в 1965 году, «бесконечности замели под ковер»[167].

Швингер, Фейнман и Томонага никогда не ходили по бесконечным небесам, как Кантор. Как мы намекали ранее, их бесконечная гимнастика всегда производилась исключительно в конечном мире. Если у них оказывалась бесконечная сумма, они рассматривали не всю сумму, а ее усеченную версию, которую они могли держать под контролем. Например, если им требовалось суммировать по бесконечному диапазону энергии, они могли остановить суммирование на произвольно большом, но конечном значении. Если в другом месте в другом контексте появлялась другая бесконечная сумма, они могли таким же образом обрезать ее и радостно сравнить величины. Была надежда, что эти сравнения могут даже иметь смысл при обращении к бесконечному пределу. Верно то, что трое физиков относились к бесконечности не как к числу в том божественном смысле, что предлагал Кантор, а как к контролируемому пределу. Они не добирались до бесконечных небес — они уклонялись от бесконечного ада.

Этот прагматичный подход можно также распространить на электрослабую теорию и физику сильного взаимодействия. Болезни бесконечности там посложнее, но их все равно можно вылечить примерно таким же образом. Ни одно из этих лекарств не требует, чтобы мы думали о бесконечности как о чем-то большем, чем какой-нибудь предел, и для этого есть веская причина: сами эти теории неполны. Например, мы знаем, что КЭД может точно описать танец фотона и электрона, если их бальный зал имеет размер с атом. Но применима ли КЭД, если зал будет в гугол раз меньше? Однозначно нет. По мере того как размер бального зала уменьшается, а танец частиц производится на все меньших расстояниях со все более высокими энергиями, мы ожидаем, что КЭД уступит место электрослабой теории, а затем чему-то еще. Сейчас мы знаем, что бесконечности в КЭД возникли, поскольку мы вообразили, что эта теория будет верна всегда, однако это не так. Никто точно не знает, что заменяет КЭД на крайне малых расстояниях, но на самом деле это не имеет значения. Швингер и его коллеги нашли способ находить контролируемые пределы, прокладывая путь мимо бесконечно малых и бесконечности, не вдаваясь в подробности того, что происходит на самом деле.

Теперь, когда эти конкретные бесконечности понимаются как пределы, мы сталкиваемся с вопросом: а как насчет Кантора? Применима ли его математика к природе или она сверхъестественна? Если дух Кантора и можно найти где-нибудь в природе, то он, несомненно, обнаружится в физике квантовой гравитации. В конце концов, в классической модели Эйнштейна гравитация — теория пространственно-временного континуума, того самого математического континуума, который дразнил Кантора большую часть его жизни. Что происходит с ним, когда мы вплотную приближаемся к сингулярности, где начинают проявляться квантовые эффекты? Становится ли он чем-то совершенно другим — тем, что Кантор мог увидеть также в бесконечных небесах?

Мы могли бы попытаться построить квантовую версию теории Эйнштейна с помощью теории возмущений, двигаясь снизу вверх, но вскоре столкнулись бы с серьезной проблемой. Здесь не просто существуют бесконечности, как в случае других сил, — здесь их бесконечно много! С этой проблемой вам не справиться. В квантовой электродинамике надо было беспокоиться только о двух бесконечностях: заряде электрона и массе электрона. Как только для них зафиксировали конечные значения, измеренные в экспериментах, все остальное встало на свои места. Когда вы пытаетесь подобным же образом квантовать гравитацию, чтобы взять все под контроль, вы вскоре осознаёте, что вам нужно реконфигурировать бесконечное количество различных величин. Для этого требуется бесконечное количество входных данных, полученных с помощью бесконечного количества измерений. По любым меркам это не рабочая теория.

Чтобы по-настоящему квантовать гравитацию, вам придется сделать что-то более радикальное. В петлевой квантовой гравитации пространство-время измельчается, разбивается на бесчисленное количество строительных блоков — так называемых спиновых сетей. Проблема в том, что собрать все воедино не так-то просто, а если вы не в силах этого сделать, то не сможете установить контакт с базовой эмпирической теорией гравитации, изложенной четыреста лет назад сэром Исааком Ньютоном. Вот почему большинство физиков, включая меня, склоняются к альтернативной идее, хотя и не менее радикальной. По Вселенной разносится не грохот частицы, а симфония струны.

Теория всего

Теория струн — больше чем теория квантовой гравитации. Это теория всего, партитура для вселенского вальса, направляющая танец электронов, фотонов, глюонов, нейтрино, гравитонов и всего, что существует в физическом мире. И если наши ожидания верны, теория струн также оказывается финитной теорией, самым надежным лекарством от болезни бесконечности. Бесконечности больше не заметают под ковер, как в квантовой электродинамике. Они побеждены. Их совсем нет. Кантор мог ходить по бесконечным небесам, но специалисту по теории струн это просто не нужно.

Все началось с правильного неправильного ответа.

Летом 1968 года в мире царил хаос: во Вьетнаме бушевала война, в Париже бунтовали студенты, а США только что потрясли убийства Мартина Лютера Кинга и Роберта Кеннеди. Габриеле Венециано, молодой флорентийский физик с парадоксальной венецианской фамилией, занимался в ЦЕРН хаосом микроскопического мира. Он хотел выяснить, что происходит, когда вы берете два адрона и сталкиваете их вместе.

Сейчас мы знаем, что адроны (например, протон или нейтрон) состоят из кварков, удерживаемых вместе неразрывными глюонными связями. Хотя Марри Гелл-Манн выдвинул идею кварков еще в начале 1960-х, в конце десятилетия ни у кого не было уверенности в их реальном существовании, а физика адронов все еще оставалась непонятной. Всякий раз, когда вы в мире элементарных частиц сталкиваете одну частицу с другой и смотрите, что происходит, вы изучаете величину, известную как амплитуда рассеяния. Это всего лишь комплексное число, величина которого говорит вам о вероятности возникновения определенного процесса. Венециано интересовался столкновениями двух пионов, в которых образуются один пион и адрон, который называется омега-гипероном (и который, разумеется, не имеет ничего общего с канторовской омегой). Физик хотел предположить математическую формулу для соответствующей амплитуды рассеяния, которая соответствовала бы экспериментальным данным того времени и математически согласовывалась как с квантовой механикой, так и с теорией относительности.

Венециано понимал, что ему нужна математическая функция с некоторыми заданными свойствами, — но что это за функция? Простых полиномов или тригонометрических функций было недостаточно — требовалось что-то посложнее. В конце концов он нашел то, что искал, в работах великого швейцарского математика Леонарда Эйлера, жившего за два столетия до этого. Отдав работу в печать, Венециано отправился в отпуск в Италию, а после возвращения через четыре недели увидел, какое волнение вызвали его результаты. Вскоре подобные формулы были предложены и для других процессов с участием адронов. На каком-то уровне это была просто математическая игра, но, когда три изобретательных физика — Йоитиро Намбу, Хольгер Бек Нильсен и Леонард Сасскинд — присмотрелись к этим уравнениям повнимательнее, они увидели: что-то колеблется.

Струны. Чуть-чуть, но вечно.

Эти трое были весьма несхожи: скромный японец Намбу, неортодоксальный датчанин Нильсен, харизматичный житель Нью-Йорка Сасскинд. Но у всех была общая творческая искра, которая позволила им разглядеть, что на самом деле происходит внутри формулы Венециано. Каждый из них независимо от других понял, что амплитуда Венециано может возникать, если считать адроны не точечными частицами, а крошечными резиновыми лентами. Сейчас мы представляем эти ленты как фундаментальные струны, вытянутые в одном направлении, вибрирующие и колеблющиеся бесконечным количеством различных способов. У Венециано такого представления не было, но он случайно наткнулся на теорию струн. Он нашел правильный неправильный ответ.

Струны настолько малы, что обычно выглядят как частицы. Только при увеличении масштаба вы замечаете, что они имеют протяженность. Они могут быть открытыми или закрытыми, идущими между двумя разными точками пространства или свернутыми в петлю. И когда вы дергаете какую-нибудь струну, она вибрирует. Тогда начинается музыка. Точно так же, как различные колебания гитарной струны могут давать разные музыкальные ноты, колебания фундаментальной струны способны имитировать эффекты различных частиц. Например, чем лихорадочнее вибрации, тем больше энергии хранится в струне. Поскольку масса и энергия эквивалентны, наиболее сильно вибрирующие струны соответствуют самым тяжелым частицам.

На заре теории струн внимание физиков стал привлекать тот спектр струн и частиц, которые они должны представлять. Проблема была с самыми легкими струнами. Самая легкая из всех — та, которую не дергали. Вы можете подумать, что у нее нулевая масса, но это не так. В предыдущей главе мы узнали об энергиях нулевой точки — энергиях, которые вы получаете от неизбежных квантовых колебаний. Для струны они оказываются отрицательными. Если вычислять последствия для самой легкой струны, получается, что масса соответствующей частицы должна быть мнимым числом, пропорциональным квадратному корню из минус одного. Частица получила название тахион — предупреждающий сигнал о нестабильности. Вызвать его к жизни — словно подтолкнуть карандаш, стоящий на конце: происходит падение. Что касается зарождающейся теории струн, то тахион нужно было изгонять.

На один уровень выше тахиона теория струн столкнулась с проблемами экспериментальных данных. Выяснилось, что струны, за которые дергают аккуратно, должны иметь нулевую массу, если требуется совмещать их с теорией относительности. Они также должны обладать спином. Это представляло проблему, поскольку теория струн создавалась как модель для адронов, а, как показывали эксперименты, адронов с такими свойствами не существовало. Все стало еще хуже, когда физик британского происхождения Клод Лавлейс, начавший изучать общую теорию относительности и квантовую механику в возрасте всего лишь пятнадцати лет, сделал тревожное открытие.

В теории струн не предполагается изначальное существование каких-либо размерностей пространства и времени: они фактически возникают из лежащей в основе теории. Вы начинаете с фундаментальной струны, растянутой только в одном пространственном измерении, и воображаете, что она заполнена несколькими полями, которые принимают разные значения в каждой точке этой струны. Затем эти поля могут кодировать координаты струны в полном пространстве-времени; таким образом, чем больше у вас полей, тем больше будет в целом размерность пространства-времени. Лавлейс понял, что струны будут совместимы с квантовой механикой только при наличии двадцати шести таких полей. Иными словами, пространство-время должно иметь размерность 26. Одно временное измерение и двадцать пять пространственных — это несколько больше, чем тот трехмерный мир, к которому вы почти наверняка привыкли. Позже Лавлейс заметит: «Нужно обладать смелостью, чтобы предположить, что пространство-время имеет двадцать шесть измерений».

Это было в 1971 году, и примерно в то же время струны стали суперструнами. Это вовсе не какая-то примитивная маркетинговая стратегия. Теорию струн дополнила причудливая новая симметрия — суперсимметрия. Впервые мы столкнулись с ней в главе «0,0000000000000001», когда пытались контролировать массу бозона Хиггса. Детали другие, но принцип тот же: каждый фермион — партнер бозона, а каждый бозон — партнер фермиона. В теории струн такое партнерство принесло некоторое улучшение: размерность пространства-времени уменьшилась с двадцати шести до жалких десяти измерений, а тахион был успешно изгнан. Но этого оказалось явно недостаточно. Струны начали терять свою привлекательность. В качестве модели адронов их место заняла квантовая хромодинамика. Данные экспериментов стали показывать, что протоны, нейтрино, пионы и все остальные частицы состоят из кварков и глюонов калейдоскопических цветов. В конце концов, амплитуда Венециано не давала правильных ответов для сталкивающихся адронов при все более высоких энергиях. Теория струн была хороша, но при этом практически бесполезна.

Или нет?

Ее красота очаровала молодого американского физика Джона Шварца. В Калифорнийском технологическом институте он наткнулся на родственную душу — блестящего молодого француза Жоэля Шерка. Два дарования еще раз взглянули на самые легкие струны. Запрещенный суперсимметрией тахион исчез, но что должно происходить с безмассовыми струнами? У Шерка и Шварца случилось замечательное прозрение, то же произошло с японским физиком Тамиаки Ёнэя по другую сторону Тихого океана. Трое ученых заметили, что безмассовые струны ужасно похожи на глюоны физики элементарных частиц и гравитоны общей теории относительности. Какие там адроны — теория струн могла быть теорией квантовой гравитации. Да она могла бы стать даже теорией всего.

Возможно, вы сейчас подумали, что в этот момент мир остановился и все физики бросились к струнам, как золотоискатели, жаждущие найти какое-нибудь месторождение. Но этого не произошло. Теория струн оставалась на периферии науки еще десяток лет. В 1970-х и начале 1980-х интеллектуальные тяжеловесы больше занимались физикой элементарных частиц, успешно продвигаясь как в теории, так и в экспериментах. Теория струн оказалась на обочине. Его репутация не улучшилась, когда дальнейшие исследования выявили потенциальное противоречие с квантовой механикой даже в случае десяти измерений. К сожалению, Жоэль Шерк так и не увидел триумф теории струн. К концу 1970-х у него случился нервный срыв. Иногда он ползал по улицам Парижа, а иногда отправлял странные телеграммы знаменитым физикам — например, Фейнману, которого знал по Калифорнийскому технологическому институту. В возрасте всего тридцати трех лет Шерк покончил с собой.

Первая струнная революция произошла в 1984 году. Шварц снова оказался в деле: на этот раз он сотрудничал с британским физиком Майклом Грином (который впоследствии будет преподавать квантовую теорию поля автору этой книги!). Грин и Шварц взялись за конфликт между струнами и квантовой механикой и показали, что его нет. Теория струн вернулась как квантовая теория гравитации, и на этот раз мир физики обратил на нее внимание. Для многих ученых теория струн быстро стала «единственной игрой в городе»[168].

Вскоре стало ясно, что есть не одна, а пять непротиворечивых систем теории струн. Цель состояла в том, чтобы выбрать правильную версию, пощекотать ее правильным образом — и бинго! У вас появилась бы теория, описывающая все, что есть в нашей Вселенной. Теория всего должна объяснять происхождение электронов, протонов, нейтронов и всех остальных известных частиц в точности с правильными массами, причем четыре фундаментальные силы природы толкают и притягивают эти частицы правильным образом. Однако на заре теории струн так никогда не получалось. В конце концов, с уравнениями всегда было слишком сложно обращаться. Физики строили разные приближения, видели намеки на Вселенную, подобную нашей, но этого было недостаточно. Единственная игра в городе оказалась не такой уж и веселой. Теория струн зашла в тупик.

Требовалась еще одна революция.

Вторая струнная революция началась в день числа пи, 14 марта[169] 1995 года. Эд Виттен делал первый утренний доклад на конференции по теории струн в Южной Калифорнии. Когда он обратился к аудитории, его голос был спокоен, чуть выше среднего тона, но слова несли в себе интеллектуальную глубину. Он был готов штурмовать Бастилию. Виттен показал, что пять различных версий теории струн описывают одну и ту же физику на пяти разных языках. Он продемонстрировал, что, когда уравнения становились слишком сложными на одном языке, они часто оказывались проще в другом. Благодаря этой глубокой идее теория струн освободилась из тюрьмы вычислений.

Но Виттен, как всегда, пошел дальше.

Он предложил новую теорию — материнскую, и пять различных теорий струн, о которых мы сказали, были ее «дочерями». Он утверждал, что эту материнскую теорию лучше всего понимать в одиннадцати измерениях пространства и времени, где фундаментальными объектами становятся уже не струны, а мембраны, имеющие несколько измерений. Это М-теория — таинственная одиннадцатимерная теория, объединяющая пять различных версий теории струн. Виттен всегда подразумевал, что М означает мембрану[170]. Другие могут сказать, что буква означает мать (mother), волшебство (magic) или даже тайну (mystery). Истина в том, что мы до сих пор не знаем, что такое М-теория. Во всяком случае, пока.

В комнате есть многомерный слон[171].

Суперструны имеют смысл только в десяти измерениях пространства и времени. М-теорию лучше всего понимать в одиннадцати измерениях. Погодите. О чем мы говорим? Забудьте о квантовой гравитации, оглядитесь вокруг. Измерений не десять и не одиннадцать, а четыре: три пространственных и одно временное. Если предполагается, что существует еще шесть или семь измерений, то где они?

Прячутся за спинкой дивана. Сидят на кончике вашего носа. Вы можете найти их даже в сэндвиче с огурцами, приготовленном по рецепту королевы. Они повсюду — отсюда и до туманности Андромеды или галактики Черный Глаз. Но они крошечные, свернутые и незаметные — молчаливый вечный партнер, живущий рядом с нашим макроскопическим миром.

Измерение — просто еще одно направление движения. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, мы имеем в виду три независимых направления движения: вперед и назад, влево и вправо, вверх и вниз. Шесть дополнительных измерений теории струн — это всего лишь шесть новых направлений движения. Но они свернуты, как крошечные окружности, и вы не сможете продвинуться далеко в этих новых направлениях — вы просто вернетесь туда, откуда начали. Вот почему вы их не замечаете. Чтобы лучше понять это, представим, что вы — муравей. Чудовищный муравей-пуля, великан из низинных лесов Южной Америки. Пробегая по земле, вы замечаете тонкий прутик, лежащий в грязи. Будучи хорошим экспериментатором, вы решаете проползти по поверхности прутика, чтобы выяснить, сколько у него измерений. Вы, конечно, заметите, что можете двигаться по нему вперед и назад, но не увидите, что способны двигаться и вокруг его оси. Поэтому вы триумфально заявляете: «Поверхность прутика имеет одно измерение!» Но вы ошибаетесь. Вы просто слишком велики, слишком чудовищны, чтобы заметить направление движения по окружности. Черный садовый муравей из Англии преуспел бы больше. Будучи гораздо мельче[172], он заметил бы оба измерения прутика — и по длине, и вокруг его оси. Теория струн утверждает, что шесть дополнительных пространственных измерений свернуты точно так же, как измерение прутика по кругу. Как и муравьи-пули, мы просто слишком велики, чтобы их увидеть. Мы не видим их даже на Большом адронном коллайдере, хотя заглядываем в мир, который в миллиард раз меньше атома. Если дополнительные измерения и существуют, их просто затмевает все, что мы видим в природе.

Но при этом скрытые дополнительные измерения наделяют теорию струн огромным потенциалом. Оказывается, существуют гуголы способов их свернуть. Дополнительные измерения могут иметь форму бубликов или более экзотических геометрических объектов, известных как поверхности Калаби — Яу, кручения и изгибы которых почти невозможно вообразить. Вы можете заполнить эти измерения магнитным потоком или связать их струнами и мембранами. То, как вы выполняете это свертывание, влияет на физику оставшихся макроскопических измерений. Наверните шесть измерений на бублик определенного размера — и вы обнаружите четырехмерный мир, наполненный определенными частицами, на которые действует совершенно определенный набор сил. Наверните дополнительные измерения на что-то более экзотическое — и мир станет выглядеть совсем иначе. Специалисты по теории струн любят работать с этими причудливыми поверхностями Калаби — Яу, потому что они не разрушают базовой суперсимметрии: немного оставляют для нашего четырехмерного мира. Мы уже видели, как суперсимметрия может быть полезной для понимания того, почему бозон Хиггса имеет неожиданно малую массу, или для объединения некоторых фундаментальных взаимодействий. Но когда мы сворачиваем дополнительные измерения в теории струн, они играют еще одну важную роль: помогают держать математику под контролем. Без них настройка ненадежна, и предсказаниям теории не всегда можно доверять. Современная точка зрения состоит в том, что теория струн представляет нам мультивселенную — целый ландшафт различных возможных Вселенных, выстроенных вдоль разных поверхностей Калаби — Яу, где есть разные частицы, силы, энергии вакуума и даже разное количество измерений. Кажется, что наша конкретная Вселенная — лишь одна из многих возможностей.

Но как насчет болезней бесконечности, которые мотивировали наше нелегкое восхождение?

В теории струн бесконечность побеждена. Предполагается, что это конечная теория, невосприимчивая к проклятию бесконечности, пагубно действовавшему на физику элементарных частиц с 1930-х. Хотя нет убедительных доказательств этого утверждения, есть веские основания полагать, что это правда. В физике элементарных частиц бесконечности возникают из-за того, что частицы могут целоваться — касаться друг друга. Такие поцелуи позволяют парам частиц появляться и исчезать за бесконечно малые времена и на бесконечно малых расстояниях. Это похоже на безумную форму взрывной карамели, запускающую физику в царство бесконечных энергий и бесконечного импульса. Со струнами ничего такого происходить не может, поскольку они не умеют целоваться. Струны простираются в пространстве — чуть-чуть, но достаточно, чтобы уже не целоваться в одной точке пространства и времени, как это делают частицы. Когда струны сходятся, все сглаживается. Взрывная карамель уже не такая бешеная, и бесконечности побеждены.

Сейчас вы должны чувствовать себя хорошо. Теория струн — это вакцина, покончившая с бесконечной чумой. Расскажите это своим друзьям, своей семье, тому типу в пабе, который трепался о петлевой квантовой гравитации. К теории струн неизбежно вела непрерывная цепочка идей, которая началась в конце XX века с двух столпов: теории относительности и квантовой механики. Она привела нас к правильным неправильным ответам. Венециано и его современники не интересовались крошечными резиновыми ленточками. Их интересовали амплитуды, математические формулы, которые соблюдали правила игры и не противоречили столпам физики. Они не искали струны, но обнаружили их, изгибаясь в правильном неправильном ответе. Они также обнаружили квантовую гравитацию.

Именно эта тесная связь с теорией относительности и квантовой механикой одновременно делает теорию струн уязвимой. Но это хорошо. Люди часто критикуют теорию струн за то, что она выходит за рамки эксперимента, что в принципе невозможно доказать ее несостоятельность. Однако это неверно. Сейчас в экспериментах проверяются принципы, лежащие в основе теории относительности и квантовой механики. Если эти столпы рухнут, рухнет и теория струн.

Если бесконечность побеждена, что может рассказать нам теория струн об истинной судьбе астронавта, разорванного на части гравитационными приливами во время рокового путешествия к сингулярности черной дыры? Истина в том, что мы до сих пор не знаем. Вычисления пока слишком сложны, чтобы выяснить это, — по крайней мере, для тех черных дыр, которые вы ожидаете увидеть в природе. Чтобы идти дальше, нам, вероятно, нужна еще одна революция: понимание М-теории — то, что позволит играть со струнами в самых жестких условиях. Эта революция обещает стать самым глубоким открытием в истории человечества, и не без оснований. Сингулярность внутри черной дыры, обращающая в ничто континуум пространства и времени, не так уж отличается от сингулярности бесконечного Большого взрыва. Если следующая революция даст нам понимание того, что на самом деле происходит глубоко внутри черной дыры, она может также помочь разобраться, как возникла Вселенная. Это могло бы рассказать нам о самом нашем происхождении — об уникальности[173] нашего собственного творения.

И вот теперь, когда мы размышляем о начале времен, наша история подходит к концу. Мы ездили на фантастических числах — больших, малых и уходящих до бесконечности в небеса — и путешествовали по ткани физического мира. Мы любовались частицами и струнами, танцующими в микроскопическом бальном зале, боролись с левиафанами; нас унижали крохотные числа, мы видели себя голограммами на краю космоса и путешествовали в самые далекие уголки этого неожиданного мира.

Но что мы при этом действительно видели? Мы видели симбиотические отношения математики и физики, процветание каждой из них в присутствии другой. Синергия между математикой и физикой как никогда актуальна для понимания того, как устроена Вселенная. Наши знания сейчас настолько глубоки, что заглянуть еще дальше с помощью эксперимента — дело технологически сложное и невероятно дорогое. Например, коллайдер, который в десять раз мощнее Большого адронного коллайдера в ЦЕРН, по оценкам специалистов, будет стоить более 20 млрд долларов. Но чтобы раздвинуть границы физики, мы также можем использовать математику. Прямо сейчас некоторые ученые пытаются математически доказать, что теория струн — это уникальная теория квантовой гравитации. Если они добьются успеха, нам больше не понадобится проверять теорию струн непосредственно в эксперименте — достаточно просто проверить предположения, которые легли в основу соответствующей математики.

Имея математику, физик может танцевать; при наличии физики математик может петь. Когда мы столкнулись с левиафанами, самыми большими и величественными числами во Вселенной, мы не просто восхищались их размерами и красотой лежащей в их основе математики. Мы пытались осмыслить их в нашем физическом мире. Они дали нам возможность взглянуть на мир в его экстремальных проявлениях. Именно там, на переднем крае физики, начала петь математика. Она исполняла сладкую мелодию теории относительности и квантовой механики. Она пела об ужасе Повехи. И о голографической истине. Когда маленькие числа дразнили нас тайнами неожиданного мира, физики танцевали танец симметрии. Или, по крайней мере, пытались. Они до сих пор не разобрались со всеми па.

Подумайте о фантастических числах и позвольте им петь в фантастическом мире фундаментальной физики. Подумайте о числе 1,000000000000000858 и представьте, что вы бежите вместе с Усэйном Болтом, замедляя время, как волшебник-релятивист. Подумайте о гуголе и гуголплексе и вообразите гуголплексианскую Вселенную, наполненную двойниками: вашими и моими копиями, копиями Дональда Трампа и Джастина Бибера. Подумайте о числе Грэма и ощутите смерть от превращения головы в черную дыру. Подумайте о числе TREE(3) и представьте, что вы играете в Игру деревьев далеко в будущем нашей Вселенной, но вас останавливает космическая перезагрузка, своевременное напоминание о голографической истине.

Подумайте о нуле. Думайте не о его греховности, а о его красоте и волшебстве симметрии в природе. Подумайте о числах 0,0000000000000001 и 10^–120 — и вы увидите тайны нашей Вселенной, шанс понять неожиданную природу бозона Хиггса и энергию космического вакуума. Подумайте о бесконечности и вспомните встречи Кантора с раем и адом. Восхититесь симфонией физики и тем, как вибрации струн победили бесконечность.

Подумайте о любом нравящемся вам числе, в нем обязательно найдется что-то чудесное, фантастическое. Если после чтения этой книги вы все еще не верите мне, расскажу вам историю столетней давности о двух великих математиках: легендарном специалисте по теории чисел Годфри Харолде Харди и его индийском протеже Сринивасе Рамануджане. У них было мало общего: Харди преподавал в Кембридже, а Рамануджан вырос в колониальном Мадрасе и не получил математического образования. Однако Рамануджан был также гением — человеком, который понимал бесконечность, чувствовал математику инстинктивно. В 1913 году, когда он работал бухгалтером в Мадрасском порту, Рамануджан отправил Харди свои работы и просил в сопроводительном письме опубликовать их, поскольку сам слишком беден для этого. Харди сразу же осознал гениальность индийца и начал с ним переписываться. В следующем году Рамануджан отправился в Англию и стал сотрудничать с Харди. Он прожил там пять лет.

К концу своего пребывания в Англии на Рамануджана обрушились туберкулез и авитаминоз. Решив навестить индийца в больнице, Харди пожаловался, что приехал на такси с номером 1729. Тот показался ему каким-то скучным, и Харди беспокоился, что это плохой знак. Однако Рамануджан ответил: «Нет, это очень интересное число: наименьшее, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя разными способами». Действительно,

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.

Эта история не просто дает представление о замечательном уме Рамануджана. Добавьте к этому немного физики XXI века — и мы также увидим фундаментальную структуру физического мира.

Все начинается с Пифагора и его прямоугольных треугольников. Если стороны такого треугольника имеют длину a, b и c, то все мы знаем, что они удовлетворяют уравнению

a² + b² = c².

Целочисленные решения этого уравнения найти несложно. Например, a = 3, b = 4, c = 5, или a = 5, b = 12, c = 13. Но что произойдет, если мы увеличим показатель степени и получим уравнения типа a³ + b³ = c³, или a⁴ + b⁴ = c⁴, или с более высокими степенями? Найдем ли мы по-прежнему целочисленные решения? В 1637 году французский математик Пьер де Ферма уверенно заявил, что ответ отрицательный. На полях экземпляра «Арифметики» Диофанта он написал:

«Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, превосходящую квадрат, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Это утверждение, конечно, верно. Однако, как известно, его не могли доказать до середины 1990-х, когда в этом преуспел английский математик Эндрю Уайлс. Почти восемьдесят лет назад Рамануджан занялся опровержением этого утверждения и наткнулся при этом на номер такси Харди — 1729. Идея Рамануджана состояла в том, чтобы найти контрпример к утверждению Ферма. Сегодня мы знаем, что это невозможно, и это объясняет, почему ему пришлось столкнуться с целым семейством случаев, когда равенство почти достигалось. Как видите, 9³ + 10³ дает 1729, что почти совпадает с 12³, разница — всего 1. Он также заметил, что 11 161³ + 11 468³ всего на единицу больше, чем 14 258³, и что 65 601³ + 67 402³ на единицу больше, чем 83 802³. Фактически он нашел бесконечное количество подобных примеров, когда всего лишь единица не дает добиться нужного равенства.

Однако эта история не заканчивается неудачной атакой на последнюю теорему Ферма. Так уж случилось, что метод Рамануджана дал ему решения некоторых уравнений, содержащих кубические степени и рациональные числа. Математик Кен Оно был одним из тех, кто обнаружил эту работу в знаменитой забытой записной книжке Рамануджана, которая более полувека хранилась в библиотеке Рена в Тринити-колледже в Кембридже. Когда Оно и его аспирантка Сара Требат-Ледер начали изучать эти уравнения более внимательно, то поняли, что Рамануджан занимался особым семейством геометрических структур, известных как K3-поверхности. Интерес к этим странным и чудесным многомерным структурам взлетел спустя много лет после смерти Рамануджана — в конце 1950-х, когда его работа еще оставалась неизвестной. Название K3 дано в честь трех других математиков — Куммера, Келера и Кодайры, — которые работали над близкими темами, а также в честь смертоносной горы К2 в Гималаях. Альпинист Джордж Белл однажды назвал К2 «дикой горой, которая пытается убить вас». K3-поверхности могут быть такими же враждебными — по крайней мере, в глазах тех математиков, которые достаточно смелы, чтобы их изучать.

Но какое отношение все это имеет к физическому миру?

Оказывается, есть очень веская причина браться за эту дикую область математики: K3-поверхности являются прототипом поверхностей Калаби — Яу, о которых мы упоминали ранее (крошечных экзотических форм, которые большинство специалистов по теории струн используют для того, чтобы скрыть наши дополнительные измерения). Это формы, управляющие физикой нашего макроскопического мира. Харди жаловался, что число 1729 — скучное, но он очень сильно ошибался. Оно тесно связано с дополнительными измерениями, которые безмолвно прячутся рядом с каждым из нас, определяют, почему Вселенная такова, какова она есть, а мы такие, какие мы есть.

Нет, 1729 — не скучное число. Оно чертовски замечательное. Как и любое другое число.