• Фрактал — это магия

• Фрактал — это...

• Фрактальное подобие

• Фрактальный повтор

• Фрактальная размерность

• Пророчество Пифагорейцев

• Симметрия и суперсимметрия

• Фрактал: форма, алгоритм и число

• Фракталы Рона Эглеша

• Фракталы повсюду

• Фрактальная диалектика

Мир вокруг битком набит фракталами. Фрактальные структуры обнаруживают себя и в контурах горных хребтов, и в контурах леса на фоне неба, и в системах кровеносных сосудов, и в облаках, и в молниях. Снежинки, сталагмиты и сталактиты, подсолнух, папоротник, морские раковины, все они — фракталы. Они построены по правилам, которые моделирует фрактальный алгоритм.

Фрактальный алгоритм производит волшебные непредсказуемые формы. Это — своего рода магия. Привычно думать, что магии не существует. И все же она пропитывает все сущее. Она — в каждой вещи и в каждом движении. Это — факт. Волшебство и неповторимое чудо имеют то основание, что за всякой вещью и всяким действием есть нечто, производящее саму возможность для появления той или иной вещи, того или иного действия. Фраза из Апокалипсиса (1:8), описывающая Иисуса Христа, указывает на источник, порождающий и завершающий возможность вещей и явлений:

Эта формула означает, что божественный, неизменный и вечный мир есть по ту сторону вещей и по ту сторону явлений. И этот мир есть порядок и красота. Этот мир есть вместилище всех возникающих и исчезающих структур — в чистом виде суперструктура. Те, кто первыми брал в руки вышедшую в середине XIII века «Морализованную Библию», должно быть, представляли мир таким, как он изображен на минитюре «Сотворение мира»: замысловатым многообразием в умелых руках Создателя. Это многообразие по форме более всего напоминает фрактал.

Сотворение мира. Миниатюра (Морализованная Библия, Франция, XIII в. Национальная библиотека Австрии, Вена, рукопись №2554)

 Фрактал — это

 и форма,

и процесс,

и символ.

Фрактал — это нечто пластичное и одновременно цельное. Словами Бенуа Мандельброта:

«Фрактал не оставляет места для скуки, поскольку все время появляется что-то новое, но и не дает нам заблудиться, так как нечто знакомое возвращается снова и снова».

Фрактал настолько пластичен, что способен совместить случай и строгий расчет в одном объекте, для которого Майкл Барнсли придумал название «суперфрактал». Тонкая фратальная изменчивость позволяет инкорпорировать в алгоритм построения фрактала генератор случайных возмущений и не разрушить при этом предопределенность фрактальной формы. Это оказывается возможным при том условии, что случайность в алгоритме построения фрактала подчинена строжайшей дисциплине.

Случайность в алгоритме построения фрактала должна быть зажата «двойной клешней» строгих правил.

Примерами могут служить фракталы Майкла Барнсли, полученные с помощью систем итерированных функций. Они в большинстве случаев построены при помощи вероятностной случайности. В книге «Фрактал: между мифом и ремеслом»[Деменок С. Л. Фрактал: между мифом и ремеслом.— СПб.: ООО «Ринвол: Академия исследования культуры, 2011.] (2011) было впервые описано семейство алеаторных фракталов, построенных по алгоритмам, содержащим «чистую» случайность. Есть еще стохастические фракталы. Стохастические фракталы могут быть строго детерминированными, как функция Вейерштрассе. В процессе построения таких фракталов нет никакой случайности. Но есть природные стохастические фракталы. Они, как правило, случайные. Это, например, броуновское движение.

Есть более сложные конструкции — суперфракталы. В них правила построения (алгоритмы) изменяются спонтанно.

 Структуры, в которых алгоритмы построения фрагментов могут изменяться спонтанно, называются суперфракталами.

Суперфрактал никогда не повторяется, он все время изменяется, не изменяя только самому себе. СУПЕР! Приставка «супер» стала трендом новейшего естествознания. Достаточно вспомнить суперструны и суперсимметрию. Причина такой тяги к приставке «супер» в том, что современная наука выходит за границу естественных вещей и явлений и смещается в область «сверхъестественного» — supernatural. Суперфрактал — объект этой новой волны.

В середине 1970-х Бенуа Мандельброт изложил основы фрактальной геометрии в трех книгах — «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (1975), «Фрактальная форма, случай и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1977). В 1993 году Мандельброт получил престижную премию Вольфа за «изменение нашего взгляда на мир посредством концепции фрактальной геометрии».

Фрактальная геометрия радикально отличается от геометрии Евклида. Отличие не относится к аксиоме о параллельности, как в геометрии Лобачевского. Отличие — в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Мандельброт обратил внимание на то, что контуры окружающих нас предметов неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюров. Распространенным повсеместно, таким объектам присущи шероховатость, пористость и раздробленность.

Среди смятых, скомканных, изрезанных и рваных фигур есть огромный класс форм, раздробленность и пористость которых имеют «одинаковую степень в любом масштабе». Именно эти формы Мандельброт назвал фракталами. Увеличивая фрагменты фрактальных объектов, замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остается почти неизменной. Прорыв, который совершил Мандельброт, заключается в осознании того, что затейливые зигзаги имеют «код формообразования».

В книге «Фракталы, случай и финансы» Мандельброт дал определение фрактала с акцентом на неизменную «степень пористости» фрактального объекта:

Термин «фрактал» образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как «ломать, разламывать», т.е. создавать фрагменты неправильной формы. По созвучию слово «фрактал» указывает на «разрыв» —fracture и нечто дробное — fraction. Помимо значения «фрагментированный» (как, например, в словах «фракция» или «рефракция»), слово fractus несет значение «неправильный по форме». Примером сочетания обоих значений может служить слово «фрагмент». Но, как заметил Жан Бодрийяр в книге «Пароли», —

Фрактал и фрагмент — это не одно и то же. Фрагмент всегда сохраняет просвет между собой и другим фрагментом. Фрактал, состоя из фрагментов, постоянно заполняет просветы между фрагментами. Чем? Своими фрагментами. В этом смысле фрактализация — процесс, обратный фрагментизации, и у Бодрийяра есть все основания говорить о

Наконец, без намерения, быть может, только по наитию Мандельброт встроил в последний слог созданного им термина — фрактал — одну из самых важных ассоциаций — алгоритм:

Фрактальная форма проявляет себя в динамике. Только в процессе построения по алгоритму существует фрактал. Алгоритм построения фрактала не может быть завершен. Точка завершения предыдущего шага построения становится точкой начала следующего. Из этого следует, что построение фрактальной формы не имеет завершения.

Фрактал — это предельная форма. К ней можно стремиться, но поставить точку в построении фрактала невозможно. Любая фрактальная форма перед вами — это стоп-кадр, выхвативший фрагмент из бесконечного фрактального построения. В математике такое «промежуточное» состояние называется «предфракталом». Только их мы и видим на многочисленных картинках фракталов.

Рекурсивный алгоритм есть динамическое основание любого фрактала, причина фрактального подобия. В природе рекурсивный процесс формируется там и тогда, где и когда появляется петля обратной связи. Петля обратной связи уже в момент своего формирования содержит в латентной форме структуру, которая проявляется благодаря повторению. В природе деревья ветвятся, листья растут, береговые линии извиваются. Устойчивый рекурсивный алгоритм в ходе многократных повторений «овеществляется» в той или иной фрактальной форме.

Приметой фрактальной формы служит то, что она выглядит похоже «вблизи или издалека». Когда мы приближаемся, желая что-либо лучше разглядеть, изменяются лишь незначительные детали так, что

То обстоятельство, что мера «изрезанности» одинакова во фрактале для любого масштаба, позволяет поставить в соответствие фракталу в целом и каждому его фрагменту одно и то же кодовое число — фрактальную размерность. Это ключевая идея фрактальный геометрии.

Обыкновенная евклидова геометрия утверждает, что пространство ровное и плоское. Точки, линии, углы, треугольники, кубы, сферы, тетраэдры существуют в нулевом, одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах. Мандельброт замечал, что в реальности тела изрезаны, а поверхности скомканы таким образом, что они не помещаются в пространстве с размерностями 0,1,2 и 3.

Например, посмотрите на тонкий лист бумаги, скомканный в шар. Разве он двумерный? Нет, так как у него есть длина, ширина и высота. Но он не может быть и трехмерным, потому что он сделан из одного бесконечно тонкого листа и, к тому же, он не полностью однородный. Размерность такого предмета явно больше размерности тонкого двухмерного листа, но меньше размерности трехмерного шара. Согласно идеям Мандельброта фрактальная размерность такого объекта может быть дробной. Все фракталы, особенно фрактальные кривые, имеют фрактальные размерности. Мандельброт часто использовал пример того, что береговая линия Британии имеет бесконечную длину.

Позже Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Британии составляет 1,25. И эта величина, в отличие от длины береговой линии, остается одной и той же в любом масштабе и для любого фрагмента береговой линии. Иными словами, фрактальная размерность есть инвариант для всех фрагментов фрактала.

На основании сказанного фрактал можно определить так:

Обычно самоподобие означает симметрию при любом масштабе. Логарифмическая спираль обладает самоподобием, поскольку, как ее ни увеличивай, выглядит всегда одинаково, как и череда вписанных друг в друга правильных пентаграмм.

Каждый раз, когда вы оказываетесь между двух параллельных зеркал, вы видите бесконечную череду собственных самоподобных отражений в двух параллельных зеркалах.

Пример самоподобной системы представляет собой «золотая последовательность». Чтобы создать ее, будем следовать простому алгоритму. Начнем с числа 1, затем заменим 1 на 10. Далее будем заменять все 1 на 10, а все 0 на 1. Тогда у нас получается следующий результат:

1

10

101

10110

10110101

1011010110110

101101011011010110101

И так далее. Очевидно, что мы начали с «ближнего» правила (простое превращение 0 в 1 и 1 в 10), а получили непериодический «дальний порядок». Обратите внимание, что количество цифр 1 в каждой строчке, как и количество цифр 0, начиная со второй строчки, составляют

Более того, отношение числа единиц к числу 0 по мере удлинения последовательности становится все ближе... «золотому сечению».

«Золотая последовательность» обладает множеством замечательных свойств, но сейчас нас интересует самоподобие. Так вот, «золотая последовательность» самоподобна при любом масштабе. Возьмем последовательность

Посмотрим на нее в лупу, конечно, не в буквальном смысле. Начнем слева и каждый раз, когда нам встретится 1, будем помечать группу из трех символов, а когда нам встретится 0 — группу из двух символов, только так, чтобы группы не перекрывались. Например, первая цифра у нас 1, поэтому мы отметим группу из первых трех символов — 101. Вторая цифра в ряду у нас 0, поэтому мы отметим группу из двух символов 10, следующую за первой группой 101. Третья цифра — 1, значит, отмечаем три цифры 101, которые следуют за 10, и т.д. Теперь размеченная последовательность выглядит так:

А теперь оставим первые две цифры из каждой группы по три и первую — из каждой группы по две. И взглянем на получившуюся последовательность из оставшихся цифр:

Видите? Новый ряд идентичен «золотой последовательности»!

Можно проделать другое упражнение. Скажем, в качестве подпоследовательности выберем 10 и будем подчеркивать это сочетание цифр в «золотой последовательности» везде, где оно встретится:

Если теперь мы будем обращаться с каждым сочетанием 10 как с единым символом и обозначим количество мест, на которые надо сдвинуть каждое сочетание 10, чтобы перекрыть его со следующим 10, то получим последовательность 2122121... (первое 10 надо сдвинуть на два места, чтобы оно наложилось на следующее, третье — на одно место и так далее). Если теперь в получившейся последовательности заменить каждую цифру 2 цифрой 1 и каждую 1 — нолем, мы снова получим «золотую последовательность». В общем, если взять любую закономерность в пределах «золотой последовательности», мы обнаружим, что та же закономерность присутствует в последовательности и при любом уменьшении масштаба.

Самоподобие в строгом классическом смысле есть условие того, что часть представляет собой уменьшенную копию целого. Строгое самоподобие редко встречается в природе. Природные формы представляют собой бесконечную последовательность мотивов, повторяющих самих себя внутри других мотивов на разных масштабах с некоторым искажением. Таковы раковина наутилуса или капуста брокколи. Если отламывать от кочана соцветия брокколи, то кусочки будут все меньше и меньше, они до какого-то предела все равно будут подобием целого кочана. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки — диаметр около 100 макромолекул и т. д.). С изменением масштаба строгое самоподобие нарушается, но сохраняется некоторый лейтмотив, схожесть не совсем точная, но все-таки заметная. Это и есть нестрогое самоподобие. Нестрогое самоподобие, в свою очередь, есть условие того, что часть может представлять собой деформированную копию целого. Мандельброт отказался от строгого формализма и сформулировал условие, согласно которому фрактальное подобие не требует абсолютной идентичности. Енс Федер в книге «Фракталы» (1988) со ссылкой на частную беседу с Мандельбротом привел определение фрактала с акцентом на нестрогое самоподобие:

Когда какое-то действие необходимо повторить большое количество раз, используются циклические процессы и процедуры. Один шаг цикла называется итерацией.

Серийное производство есть «итерация по шаблону», т. е. на каждом шаге вычислений идет возврат к начальному условию. Здесь каждый новый цикл стартует «от печки». «Итерацию по шаблону» использует программист, когда ему нужно вывести сто раз на экран текст «Iteration». Вместо стократного повторения одной и той же команды вывода текста программист создает цикл, который повторяется сто раз, и сто раз выполняет то, что написано в «теле цикла».

Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии. В этом случае результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего. Так, например, положение и скорость тела в каждый момент времени определяются через положение и скорость тела в предыдущий момент времени. Визуально рекурсия иллюстрирует рекламный трюк — эффект Дросте.

Эффект Дросте — термин ввел в конце 1970-х годов журналист Нико Схепмакер по названию голландской марки какао фирмы Droste, которая использовала этот эффект на упаковке своей продукции в 1904 году.

Эффект рекурсии достигается таким образом: на фотографии размещается уменьшенный вариант той же фотографии или объекта с этой фотографии, на уменьшенной копии размешается еще более уменьшенная фотография, и так далее

Иллюстрация эффекта Дросте на примере видеоинтерпретации картины Эшера Galeria degrabados, 1956

Хорошей математической иллюстрацией рекурсии являются числа Фибоначчи. Этот термин придумал в XIX веке французский математик и автор многих популярных математических головоломок Эдуард Люка. Числа Фибоначчи — первая известная в Европе рекурсивная последовательность. Многие из тех, кто изучал математику, естественные науки или искусства, слышали о Фибоначчи исключительно благодаря следующей задаче из главы XII его «Liber abaci» («Книга абака», 1202):

«Некий человек поместил пару кроликов в огороженное со всех сторон место. Сколько пар кроликов  произойдет от этой пары за год, если предположить, что каждый месяц каждая пара порождает новую пару, которая еще через месяц становится способна приносить потомство ?»

Суть проста. Сначала у нас одна пара. Проходит первый месяц, первая пара порождает еще пару, их становится две. Проходит второй месяц, взрослая пара порождает еще одну юную пару, а молодая пара тем временем подрастает. Итак, у нас три пары. Проходит третий месяц, каждая из двух взрослых пар порождает еще по паре, а юная пара подрастает; итак, у нас уже пять пар. Проходит четвертый месяц, каждая из трех взрослых пар порождает еще по паре, а две юные пары подрастают, следовательно, у нас уже восемь пар. После пяти месяцев у нас по юной паре от каждой из пяти взрослых пар плюс три подрастающие пары — всего тринадцать пар.

Теперь мы уяснили закономерность и знаем, как получить число взрослых пар и юных пар и общее число пар кроликов в каждый последующий месяц. Предположим, нас интересует только число взрослых пар в каждый конкретный месяц. Это число состоит из числа взрослых пар в предыдущий месяц плюс количество юных пар (к данному моменту успевших повзрослеть) в тот же предыдущий месяц. Однако количество юных пар месяц назад на самом деле равно количеству взрослых пар в позапрошлом месяце. Итак, в каждый конкретный месяц, начиная с третьего, количество взрослых пар просто-напросто равно сумме количества взрослых пар за два предшествующих месяца. Итак, количество взрослых пар подчиняется последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8...

Ничего не напоминает?

Ну конечно, это же самоподобная «золотая последовательность»!

Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...

Естественно, общее количество пар — сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц:

1, 2, 3, 5, 8.

Последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, представляет собой ряд Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

Условие, согласно которому каждый член последовательности Фибоначчи равен сумме двух предыдущих членов, математически выражается формулой, которую в 1654 году вывел Альбер Жирар:

u_n+2 = u_n+1 + u_n.

Здесь n — это номер члена последовательности (например, u₃ — это третий член последовательности), u_n+1— это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 3, то n+1=4), а u_n+2 — это член последовательности, следующий за u_n+1, то есть пятый член последовательности Фибоначчи.

Рекурсивная функция Фибоначчи применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду чисел, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.

Во фрактальном мире повторение, встроенное в процесс построения фракталов, производит эффект одинаковой «изрезанности», или «сморщенности» фрактальных фрагментов и фрактала в целом.

Мандельброт задался вопросом: как определить меру изломанности фрактальной структуры?

В мире евклидовой геометрии у любого предмета есть измерения. У точки число измерений — ноль, у прямой — одно, у плоских фигур вроде треугольников и пятиугольников — два, у объемных тел — три. А фрактальные кривые вроде молнии так агрессивно изгибаются, что попадают куда-то между одним и двумя измерениями. Если след молнии относительно гладкий, можно представить себе, что число фрактальных измерений близко к единице, если же он очень извилистый, следует ожидать числа измерений, близкого к двум.

Все эти размышления вылились в вопрос, сделавшийся в наши дни знаменитым:

Мандельброт дал на это неожиданный ответ:

Представьте себе, что вы начинаете со спутниковой карты Британии со стороной в один фут. Измеряете длину побережья, умножаете на нужный коэффициент, исходя из заданного масштаба карты. При таком методе, разумеется, пропадут всякие мелкие извивы береговой линии, которых на карте не видно. Теперь представьте себе, что вы вооружаетесь палкой метровой длины и начинаете долгое путешествие вдоль берегов Британии, тщательно измеряя береговую линию метр за метром. Результат, несомненно, будет гораздо больше прежнего, поскольку вам удастся зафиксировать куда более мелкие извивы и повороты. Однако вы наверняка заметите, что на более мелких участках вы все равно упустите какие-то подробности. Дело в том, что чем меньше будет наша линейка, тем больше окажется результат измерений, потому что всегда оказывается, что при уменьшении масштаба выявляется подструктура. Из этого следует, что, если имеешь дело с фракталами, в пересмотре нуждается даже концепция длины как средства передачи расстояния. Контуры береговой линии при увеличении не становятся прямыми, изгибы присутствуют при любом масштабе, и общая ее длина возрастает бесконечно — по крайней мере, пока мы не дойдем до атомов.

Зависимость длины фрактальной кривой от масштаба измерения

Прекрасный пример такой ситуации — линия «снежинки Коха». «Снежинка Коха» — кривая, которую первым описал в 1904 году шведский математик Нильс Хельге фон Кох. Начертим равносторонний треугольник со стороной в один сантиметр. Теперь в середине каждой стороны достроим треугольники поменьше — со стороной в одну треть сантиметра. В результате на этом этапе у нас получится звезда Давида. Обратите внимание, что периметр первоначального треугольника составлял три сантиметра, а теперь он состоит из двенадцати сегментов по трети сантиметра каждый, так что общая его длина равняется уже четырем сантиметрам. Теперь будем последовательно повторять эту процедуру — на каждой стороне треугольника будем достраивать новый с длиной стороны в одну треть предыдущей. Каждый раз длина периметра будет возрастать с коэффициентом 4/3, и так до бесконечности, несмотря на то что линия ограничивает замкнутое пространство конечной площади (можно доказать, что площадь стремится к 8/5 площади первоначального треугольника).

Мандельброт сформулировал вопрос:

 «Насколько быстро увеличиваются длина, площадь или объем, если измерять их на непрерывно уменьшающемся масштабе?»

Мандельброт понимал, что эта скорость равна степени извилистости фрактальной структуры. Такое интуитивное представление кажется очевидным. Продолжая поиски степени извилистости фрактальных форм, Мандельброт пришел к идее, которая далеко не очевидна. Он обнаружил, что степень извилистости описывает размерность Хаусдорфа — Безиковича.

Еще в 1919 году Феликс Хаусдорф выдвинул концепцию дробных измерений. Хотя поначалу подобная идея вызывает некоторую оторопь, оказалось, что именно дробные измерения — прекрасный инструмент, позволяющий охарактеризовать степень неправильности, или фрактальную размерность.

Интуитивно мы чувствуем, что кривая Коха занимает больше пространства, чем одномерная линия, но меньше, чем двухмерный квадрат. Но разве так бывает, чтобы у чего-то было дробное измерение? Ведь между 1 и 2 нет никаких целых чисел. Чтобы получить внятное объяснение, возьмем за основу знакомые представления о целочисленных измерениях, так называемой топологической размерности — 1, 2 и 3. Идея Хаусдорфа в интерпретации Марио Левио заключается в том, что одно и то же деление измерений на части в одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах производит разную степень дробления одномерных, двухмерных или трехмерных объектов.

Например, если разделить одномерный отрезок пополам, то получим два сегмента (коэффициент сокращения ƒ = 1/2). Если разделить двухмерный квадрат на «подквадраты» с половинной длиной стороны (коэффициент сокращения опять же ƒ = 1/2), то получим 4 = 2² квадрата. Если же мы возьмем длину стороны в 1/3 первоначальной (ƒ = 1/3), квадратов станет 9 = З². Если же мы поступим так же с трехмерным кубом, то деление ребра пополам (ƒ = 1/2) даст нам 8 = 2³ кубиков, а ребро в 1/3 первоначального — 27 = 3³ кубиков. Если изучить все эти примеры, обнаружим, что между количеством «фрагментов» n, коэффициентом сокращения длины ƒ и измерением D есть определенная взаимосвязь. И вот какая:

n = (1/ƒ)^D.

Если применить эту формулу к «снежинке Коха», получится фрактальное измерение, равное

D = 1,2619.

Ремесленники издавна использовали этот подход на практике. Так, для измерения площади фигуры сложной формы они использовали палетку. Палетка — это прозрачная пластина, на которой нанесена сетка с квадратными ячейками, стороны которых одинаковы и равны некоторой величине δ. Если такую сетку наложить на карту Великобритании и подсчитать количество клеток, попавших в область объекта измерения, то можно оценить его площадь, которая пропорциональна количеству ячеек, попавших в его границы. Точность оценки возрастает с уменьшением шага сетки. Число ячеек, попавших в границы измеряемого объекта N, возрастает с уменьшением стороны ячейки 8. При измерении площади

N ~ 1/δ².

При аналогичном измерении длины извилистой кривой

N ~ 1/δ,

а при аналогичном измерении объема некоторого тела

N ~ 1/δ³.

Степень в этих отношениях указывает на топологическую размерность, не правда ли? Однако эта степень не обязана быть целым числом. Она может быть дробной.

Рассмотрим пример. Пусть подопытная частица помещена в прозрачный раствор. Мысленно представим, что в процессе движения она растворяется, оставляя след, который проецируется на плоскость. Вначале там появится ломаная траектория, размерность которой легко определить с помощью палетки. Как у всякой кривой, она будет равна 1. После продолжительного броуновского блуждания в замкнутом объеме траектория полностью «заштрихует» проекцию — не останется ни одного видимого просвета. Размерность такой заполненной траекторией области будет равна 2. Между этими пределами мы можем зафиксировать промежуточное состояние, в котором траектория броуновской частицы уже перестала напоминать линию, но еще не заполнила плоскость. В этот момент она напоминает паутину, которая постоянно уплотняется. Размерность такой паутины принимает промежуточное значение между 1 и 2.

Именно такое обобщенное понятие размерности предложил Хаусдорф. Результатом работ Хаусдорфа и Безиковича стало новое техническое определение размерности, согласно которому при уменьшении величины δ размерность измеряемого объекта равна отношению логарифма от N к логарифму от 1/δ. По существу это показатель степени q в формуле

N ~ 1/δ^q.

Такое отношение запросто может быть не только целым, но и дробным, притом что топологическая размерность — всегда целое число — 1, 2, 3.

 Суть рассуждений Хаусдорфа и Безиковича заключается в следующем. Пусть у нас есть пластичная универсальная палетка, которая для одномерного объекта трансформируется в отрезок, для двумерного — в квадрат, а для трехмерного — в куб. Мерой ячейки этой палетки будут: для одномерного объекта — длина δ¹, для двумерного — площадь δ², и для трехмерного — объем δ³. В обобщенном случае мерой ячейки является величина δ^d. Мерой объекта, покрытого такими ячейками, является, очевидно, величина N — число ячеек, соприкасающихся с измеряемым объектом. При условии, что размер ячейки 8 уменьшается, стремясь к нолю, величина

N ~ δ^d.

Таким образом, мера N зависит от выбранной наблюдателем размерности палетки — от величины d. Вместе с тем мы видели, что число ячеек N, соприкасающихся с измеряемым объектом, есть величина, обратно пропорциональная размеру ячейки δ в некоторой степени q:

N ~ 1/δ^q.

Величина q при этом характеризует структуру измеряемого объекта и не имеет отношения к палетке наблюдателя. Оба условия совмещаются, если

N ~ (δ^d) x (1/δ^q).

To есть

N ~ δ^d-q.

Знак «~» означает «пропорционально» и может быть заменен знаком равенства при умножении комплекса δ^d-q на некоторую константу — const:

N = const x (δ^d-q).

При δ → 0:

если d - q > 0,

величина N → 0,

а если d - q < 0, 

то величина N → ∞. Только при

d = q

мера N принимает конечное значение, равное постоянной const, которое и называется размерностью Хаусдорфа — Безиковича. Это своего рода условие, при котором совпадают меры измеряемого и измеряющего объектов.

В практических расчетах для определения размерности Хаусдорфа — Безиковича используются упрощения, вполне обоснованные для большинства сложных форм. Так, на основании приведенной выше формулы

N ~ δ^d,

размерность d может быть представлена отношением ln(N) к ln(δ). Рассчитать размерность d можно по двум точкам (N₁, δ₁)и (N₂, δ₂):

Алгоритм определения фрактальной размерности обычно сводится к следующему. Строится график зависимости N от δ в логарифмических координатах. Точки на графике обычно ложатся на отрезок прямой, угол наклона которой и равен d (см. рисунок). Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии — 1,52; для Великобритании (линия 1) — 1,25; для Германии (линия 2) — 1,15; для Австралии (линия 3) — 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки (линия 4) — 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности (линия 5) — 1,0.

Размерность Хаусдорфа — Безиковича отличается от евклидовой. Она может принимать нецелые значения. Она неизменна (инвариантна) при рассмотрении объекта «вблизи или издалека». Будучи трансмасштабной, она не имеет отношения к геометрии фрагмента или фрактала в целом. Фрактальная размерность, если она отражает геометрию, то прежде всего геометрию трансформации фрагмента при переходе от одного масштаба к другому.

Обратим внимание на то, что дробная размерность не имеет ничего общего с «дырами» в пространстве. Дробность связана с тем, как сетка наблюдателя соотносится со структурой объекта наблюдения.

Как бы ни приближались друг к другу меры измерения и измеряемого, между ними всегда возможно некоторое различие. Различие проявляет себя в дробной размерности, выраженной рациональными или иррациональными числами. Появление последних говорит о несоразмерности мер измеряющего и измеряемого, но это не исключает их соизмеримости.

Ведь суть иррационального числа — соизмерять несоразмерное.

Греческие мыслители внимательно и тщательно изучали иррациональные числа. Постигая гармонию сфер и правильных фигур, греческая цивилизация сделала следующий шаг. Греки обратили внимание на такое качество окружающих их вещей и явлений, как симметрия. Греческое слово ΣYM-METPIA означает «совместно измеренное». Греки интуитивно угадывали, что такое качество, как иррациональность чисел и такое качество, как симметрия структур, оба имеют отношение к процессу «совместного измерения».

Пифагорейцы, быть может, первыми осознали силу числа — символа в его самом чистом виде. Пифагорейцам открылось, что число, будучи по существу виртуальным и воображаемым, не менее реально, чем любой существующий предмет или любое имевшее место явление. И пифагорейцы обнаружили числа не только в том, что можно рассмотреть, но и в том, что можно расслышать. Пифагорейцы искали и находили гармонию чисел во всем: в образах, в звуках, в логике и мистике.

Их не могла не тревожить задача о «квадратуре круга». Построить квадрат той же площади, что и круг, с помощью циркуля и линейки пифагорейцам никак не удавалось. Главная причина была в том, что им мешали странные числа, которые не сводятся к отношению двух целых чисел. Эти числа мы называем иррациональными.

Иррациональные числа пугали пифагорейцев. Их древняя мудрость остерегает открывать эти числа неподготовленным, ибо кто коснется тайны этих чисел, тот погрузится в «пучину возникновения и будет обмываемым ее волнами, не знающими покоя». В схолиях к X книге «Начал» Евклида приведена пифагорейская легенда о гибели при кораблекрушении Гиппаса Месопотамского, разгласившего, что отношение диагонали к стороне квадрата не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, то есть является иррациональным. И силу этого пророчества через несколько столетий испытал на себе Фидий. Фидий, открывший самое известное иррациональное число sectia aurea — «золотое сечение», — скончался в изгнании, обвиненный противниками Перикла в том, что присвоил часть золота для статуи Афины, а также изобразил на щите Афины среди прочих себя. Все это мистическим образом подтверждало предостережение пифагорейцев.

Что же такое иррациональное число? Величина корня из двух — быть может, простейшее иррациональное число. Оно представляет собой решение простого квадратичного уравнения

Мы регулярно сталкиваемся с ним при использовании листов формата А — A3, А4, А5, но мало кто знает, что их соразмерность достигается притом, что их стороны друг с другом несоизмеримы. Нельзя найти такой меры длины, которая укладывалась бы целое число раз по периметру всех известных форматов. И это связано с тем, что соотношение сторон листов формата А равно иррациональному числу 1,4142... Так, для формата А4 это 210х197 мм: 210/197 = 1,4142... Для формата А5 — 197x148 мм: 197/148 = 1,4142... и так далее. При этом, как видно из рисунка, все форматы соразмерно размещаются на листе мастер-формата АО.

Иррациональных чисел существует великое множество. В общем, иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Многие иррациональные числа нам хорошо знакомы.

Так, если бы «Оскара» стали присуждать иррациональным числам, то, вне сомнений, больше всего их соберет число π — отношение длины окружности к ее диаметру.

И эта вездесущесть числа π связана с тем, что окружность есть самая симметричная из всех симметричных фигур.

Симметрии пронизывают все вокруг. Их много. Они разные. По большей части они скрыты от глаз. Человек распознал симметрию, как и красоту, когда стал осознанным, когда австралопитек стал Homo Sapiens. Благодаря шестому чувству — сознанию — человек стал различать символическую структуру вещей и явлений. Это случилось более тридцати тысяч лет тому назад. Появились зарубки на костях бабуина. Появилась пещерная живопись. И вскоре появился орнамент. Он появился уже в палеолите. Геометрическим узором покрыты браслеты, всевозможные фигурки, вырезанные из бивня мамонта. Первые орнаменты — это множества абстрактных зигзагообразных линий. Орнамент радикально отличается от блестящих по реализму пещерных рисунков. Изучив с помощью увеличительных приборов структуру среза бивней мамонта, исследователи заметили, что они по своей природе состоят из зигзагообразных узоров, очень похожих на зигзагообразные орнаменты. Таким образом, человек создал орнамент, когда увидел и распознал структуру, созданную самой природой. Но древние художники не только копировали природу, они вносили в первозданный орнамент новые комбинации и элементы.

Наскальные рисунки. Форсельв. Норвегия

Ваза шумерского царя Энтемены, 2700 г. до н. э. Это зеркально-симметричная симметрия и симметрия при повороте на 180°

Новый уровень понимания симметрии мы обнаруживаем в осколках шумерской цивилизации. Шумеры — древнейшее население Междуречья между реками Тигром и Евфратом. Шумеры изображали не только зеркальную симметрию, но также менее очевидную симметрию, когда один фрагмент переводится в другой не отражением, а поворотом на 180°.

Пифагорейцы изучали выпуклые равносторонние многогранники. На плоскости можно нарисовать равносторонний многоугольник с любым числом сторон. Но в трех измерениях таких фигур, любая из граней которых есть один и тот же правильный многоугольник, существует всего пять. Считается, что пифагорейцы знали только три такие фигуры. Весь набор из пяти фигур впервые был описан древнегреческим математиком Теэтетом, близким к Академии Платона. Эти многогранники называют «Платоновыми телами», поскольку в своем трактате «Тимей» Платон придал им глубокий философский смысл. Четырем из них он сопоставил стихии (землю, воздух, воду и огонь): земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр, а огонь — тетраэдр. Основанием этому служат эмоциональные ассоциации: жар огня ощущается четко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если ее взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно не похожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. А с пятым элементом — додекаэдром — Платон связывал квинтэссенцию, буквально «пятую сущность».

Слева направо: гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия», додекаэдр и икосаэдр (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)

Симметрии тетраэдра: 8 поворотов относительно вершины; 3 поворота относительно середин сторон ребер; 12 отражений.

Итого 24 преобразования

В последней, XIII книге «Начал» Евклид суммировал выводы греческих геометров и дал полное описание симметрий правильных многогранников. Он заметил, что все они «как бы состоят» из тетраэдров. Тетраэдр — простейший элемент. И у него 24 преобразования симметрии. Уже здесь проявилось понимание того, что симметрия не только форма, но и процесс преобразования формы.

Процесс преобразования — существенный элемент симметрии.

Следующий прорыв в понимании симметрии был сделан в эпоху Возрождения. О телах Платона тогда много писали геометры, архитекторы и художники. Например, Пьеро дела Франческо, Дюрер, Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи собирал из дерева каркасные модели Платоновых тел и изучал то, что скрыто по ту сторону от их форм. Его вдохновлял тот факт, что в телах Платона вдруг обнаружились символические числа — «золотая пропорция» и числа Фибоначчи в додекаэдре. Кодовые числа как бы скрываются в тени симметрии.

Симметрия означает форму, процесс преобразования и символическое число.

Идею прекрасного, но скрытого порядка, который можно явить только в числах, формулирует Гален. Гален, пересказывая казной древнегреческого скульптора Поликлета, приходит к выводу:

«Прекрасное мало-помалу возникает из множества чисел».

Симметрия привлекательна для человека тем, что она есть манифестация чисел. И эта идея получила свое развитие в XX веке. В 1910-х годах Феликб Клейн (автор книги об икосаэдре) писал:

«[Платоновы тела] проходят через всю историю  науки. Пифагорейцы видели в них символы некоего  мистического совершенства... Тринадцать книг Евклида служили лишь введением к их построению... А в наши дни они снова вступают в поле зрения математиков».

Речь идет о теории групп, изобретенных французским математиком Эваристом Галуа в XIX веке. Галуа обнаружил, что произведение любых перестановок из списка корней алгебраического уравнения само является перестановкой этого уравнения. Именно такой набор перестановок Галуа назвал «группой».

Так, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Нахождение того, какие перестановки являются симметриями этого уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть то, в чем можно быть уверенным без всяких вычислений. Набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней. Почему? Предположим, например, что перестановки Р и R сохраняют все алгебраические отношения между корнями. Если к некоторому алгебраическому уравнению применить R, то получится верное соотношение. Если применить Р, то снова получится верное соотношение. Теперь, если применить R, а затем Р, — это то же самое, что применить Р, а затем — R. Следовательно PR = RP, то есть PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым качеством. Все это Эварист Галуа понял в свои двадцать лет. Это, собственно, и есть то, что сделал Галуа. Он открыл, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа симметрии. Такую абстрактную симметрию Эвариста Галуа теперь называют «группой Галуа».

В 1872 году в докладе по случаю вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн предложил рассматривать геометрию как

«изучение свойств пространства, инвариантных  относительно той или иной группы преобразований».

Идею геометрического подобия и геометрической симметрии Клейн соединял с идеей перемещений. При изучении геометрии, утверждал Клейн, нужно рассматривать не только треугольники, окружности, икосаэдры или какие-либо другие фигуры, но и перемещения. Перемещения, которые могут растягивать и скручивать объекты, так же как сдвиг, следует считать геометрическими. Кроме того, соотношения между группой и симметрией намного легче понять в геометрическом контексте. Прежде всего следовало строго определить понятие симметрии. Ученик Давида Гильберта Герман Вейль смог точно и элегантно определить симметрию:

«Вещь считается симметричной, если мы можем  с ней что-то сделать таким образом, что после этого она выглядит так же, как раньше».

До Галуа это понятие было довольно расплывчато. После Галуа симметрия — это специальный вид преобразований. Это некоторый способ «шевелить» объект. Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию.

Симметрия — это преобразование, которое сохраняет структуру объекта.

В таком определении симметрии есть три ключевых слова: «преобразование», «структура» и «сохраняет». Симметрия есть нечто, что сохраняется в переменчивом мире вещей и явлений. Эта идея стала популярной после того, как в 1918 году Амалия Эмми Нетер, приват-доцент Геттингенского университета, доказала одну из самых известных теорем. Теорема Нетер утверждает, что управляющие энергией законы неизменны (инвариантны) относительно непрерывных изменений или преобразований во времени.

Законы сохранения — это проявления глубинной симметрии природы.

Что же такое «непрерывное преобразование симметрии»? Поясним на примере. Круг симметричен относительно непрерывного вращения, поскольку, на какой бы угол мы его ни повернули, он будет выглядеть не изменившимся. С квадратом такая манипуляция не пройдет. Квадрат симметричен только при повороте на 90°. Применительно к симметрии законов сохранения это означает следующее. Математические уравнения, описывающие динамику энергии в физической системе в какой-то момент времени, будут точно такими же и через бесконечно малый промежуток времени. Это хорошая новость. Вы только представьте себе мир, в котором законы меняются на каждом шагу!

Таким образом, закон сохранения энергии указывает на то, что физические законы неизменны во времени.

Подчеркнем, что речь идет о физических законах, а не о физических событиях. Так, купить акции Россельхозбанка в прошлом квартале — это не то же самое, что купить их год назад. При этом процесс покупки не изменяется, коль скоро сохраняются правила в работе банка. Именно об этом речь. Энергия — величина того уровня реальности, который соответствует правилам поведения, уравнениям движения, но не самому поведению и не фактическому его результату.

Сам факт существования такой величины, как энергия, есть знак того, что существуют в реальности такие символические структуры, которым подчиняется поведение физической реальности.

Симметрия проявляет себя в геометрических формах. Симметричными могут быть аккорды, тексты, уравнения, частицы вещества и кванты действия. Симметрия стала любимицей физиков. Она помогла им разобраться с классификациями кристаллов и элементарных частиц, помогла решать уравнения, вычислять вероятности квантовых переходов и делать фантастические обобщения. Одно из таких обобщений было сделано в Московском математическом институте им. Стеклова доктором Ю.А. Гольфандом и его аспирантом Е. П. Лихтманом в 1970 году и получило название «суперсимметрия». Идея суперсимметрии в том, что элементарные частицы вещества (такие как кварки и электроны) и элементарные взаимодействия (такие как глюоны и фотоны) могут поменяться местами так, что ничего вокруг не изменится. Символично то, что суперсимметрию между веществом и взаимодействием обнаружили математики. Они рассматривали вещество и взаимодействие в символическом плане. Они изучали формулы. Формулы состоят из символов, означающих величины и связывающие их операции. В этом смысле суперсимметрия есть символическая симметрия — симметрия символов.

Можно сделать следующий шаг и распространить принцип суперсимметрии на вещество, действие и информацию. По аналогии и по смысловому созвучию с понятием «гиперреальность», введенному философами постмодернизма, мы назовем гиперсимметрией такое обстоятельство, при котором символ может заместить вещь или действие таким образом, что в реальности ничего не изменится.

Эта догадка, высказанная мной в 2015 году в работах «Просто символ» и «Символ и капитал», находит подтверждение в повседневном опыте. Благодаря внедрению цифровых платформ происходит смещение потребления от приобретения вещей и услуг — к совместному пользованию вещами и услугами. Например, миллионы людей через цифровые платформы получают доступ к миллиардам книг в магазине Kindle Store компании Amazon, могут слушать почти любую музыку с помощью Spotify или присоединиться к предприятию по совместному использованию автомобилей. Реальность сама собой раскрывает себя как единство вещей, действий и символов. Это, собственно, и есть гиперреальность. Но вернемся к фракталам.

Открытие фракталов стало открытием еще одной формы преобразований, относительно которой может сохраняться инвариантность формы. Типичное свойство фракталов — самоподобие — заключается в инвариантности формы относительно изменений масштаба. На этом основании самоподобие также называют масштабной симметрией или симметрией подобия. Фрактальное подобие допускает «исчезающе малое искажение». Это значит, что фрактальная симметрия позволяет вносить хаотичность как в процесс построения фрактала, так и в структуру фрактала. Именно такое семейство фракталов сконструировал Майкл Барнсли в 2002 году. Он назвал его суперфракталом. Но об этом позже...

Сейчас заметим только то, что

симметрия есть

форма,

преобразование,

символ,

фрактал есть

форма,

алгоритм

и число.

Такими словами Рон Эглеш приветствовал многие африканские семьи, которые встречал во время исследования фрактальных узоров, замеченных в деревнях на этом континенте...

А все началось с того, что математик Рон Эглеш в 80-х годах прошлого века обратил внимание на фрактальные структуры африканских деревень. В своей монографии «African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design» Рон Эглеш приводит множество примеров. Некоторые из них мы скопировали. Но наиболее интересно видео, запечатлевшее выступление Рона Эглеша на конференции TED (Technology, Entertainment and Design) в 2007 году, которое можно найти по QR-коду.

Выступление Рона Эглеша, 2007 год

План города Лагун-Бирни (Logone-Birni) в Камеруне (а), первые три итерации фрактальной модели Лагун-Берни (б)

Поселение Бамилек (Bamileke settlement) План поселения в i960 (а), фрактальная симуляция поселения (б), увеличение четвертой итерации (в)

Лаббезанга (Labbezanga) в Мали. Вид с высоты птичьего полета (а), фрактальный аналог (б)

Случилось так, что Рон Эглеш, будучи в Южной Замбии, попал в деревню Ба-йла. Вот его рассказ:

«Когда я добрался туда, то попал во дворец вождя,  а мой французский не был очень хорош; я сказал  что-то вроде: "Я математик и мне бы хотелось встать на вашу крышу". Но он оказался классным парнем и отвел меня туда, и когда мы говорили о фракталах, он сказал: "О да, да! Мы знали о треугольнике внутри треугольника, мы знаем все об этом". Оказалось, что королевская эмблема содержит треугольник внутри треугольника внутри треугольника, и что проход через дворец на самом деле спиральный. И пока ты идешь по проходу, становишься все более вежливым и сговорчивым. Так они отображают социальное деление в геометрическом соотношении; это сознательный узор. Это не то, как бессознательно растут деревья или строятся термитники».

Сама деревня Ба-йла имеет 400 метров в диаметре. Это большое кольцо. Кольцо, представляющее границы семьи, становится шире и шире, когда вы идете по направлению к краю, и там находите кольцо вождя, которое тоже направлено к краю, а там — семья вождя в этом кольце. Деревня как целое — кольцо из колец с семейством вождя, с близкими родственниками вождя. Маленькие деревни рядом с большими. Люди живут в деревнях, подобных большой деревне. В маленьких деревнях — совсем маленькие алтари, по форме подобные деревне, но только совсем крошечные. Это потому что они не для людей, но для духов. Это духи предков. Им надо совсем мало места. Но их место в центре.

Аэрофотосъемка деревни Ба-йла (Ba-ila) накануне 1944 года (American Geographic Institute). Фрактальная симуляция структуры Ба-йла

Обычно архитектура имеет в своей основе линейные круговую или квадратную решетки. Такие основания мы видим в египетских и мексиканских пирамидах. Линейные решетки широко распространены по всему миру. Для Африки, однако, характерны нелинейные концентрические круги. Линейные структуры имеют конечное число вложенных элементов в ограниченном пространстве. Аналогичные нелинейные структуры могут иметь бесконечное число уровней в ограниченном пространстве за счет нелинейного уменьшения расстояний между соседними окружностями или квадратами. Различие линейных и нелинейных кривых демонстрируют спираль Архимеда и логарифмическая спираль. Первая — линейная. Расстояния между соседними линиями сохраняется на всем протяжении спирали Архимеда, и в ограниченном пространстве может разместиться только конечное число оборотов спирали Архимеда. В логарифмической спирали расстояние между соседними линиями возрастает по мере удаления от центра и уменьшается по мере приближения к центру. Благодаря этому в ограниченном пространстве может совершаться неограниченное число оборотов по логарифмической спирали.

Линейная спираль Архимеда (а) и нелинейная логарифмическая спираль (6)

Кроме того, в африканской культуре встречаются структуры с множеством центров такие, как, например, круги разных масштабов, помещенные в круге. Эти структуры напоминают фрактал Аполлона.

Типичные линейные архитектурные решетки: круг (а) и квадрат (б). Нелинейные круговые решетки, присущие африканской архитектуре: структура с единым центром (в) и со множеством центров (г)

Доктор Рон Эглеш обнаружил фракталы не только в африканской архитектуре, но и во всех слоях африканской культуры. Идея единства и вложенности пронизывает культуру африканского континента с доисторических времен. Быть может, самое сильное выражение этого принципа мы обнаруживаем в рекурсивных повторах космологических мифов Древнего Египта. Посмотрите на рисунок, заимствованный из работы Фурье 1821 года. Здесь богиня Земли Геба в окружении бога воздуха Шу заключена в оболочку божественного небосвода — Нут.

Космологическая картина мира Древнего Египта: Геба (Земля), окруженная Шу (Воздух), заключена в оболочку Нут (Небо)

Корни этих представлений проистекают из внимательных наблюдений, интуитивных представлений и креативных симуляций структуры окружающей реальности. Не столько геометрия, сколько символическое мировосприятие лежит в основе такого чувственного восприятия реальности. Быть может, самым знаковым выражением такого активного восприятия реальности, облеченного в техническую оболочку, стало древнее гадание на песке в Бамане. Такая система гадания обнаруживается по всей Африке. Суть одна. Вы наугад рисуете линии на песке, а затем считаете их, и если это нечетное число, вы записываете один штрих, а если это четное число, то записываете два штриха. Рон Эглеш пишет:

«Они делали это очень быстро, и я не мог понять, откуда же они все получали — ведь они рисовали наугад  только четыре раза — я не мог понять, откуда они берут другие 12 символов. А они не говорили мне, как. Они говорили: "Нет, нет, я не могу тебе говорить об этом". И я сказал: "Ну хорошо, я заплачу тебе, ты мог бы быть моим учителем, и я бы, приходя каждый день, платил тебе". Но они отвечали: "Это не имеет денежной ценности. Это религиозная ценность". И наконец, в отчаянии, я сказал: "Хорошо, дайте мне объяснить идеи Георга Кантора в 1877 году". И я начал объяснять, зачем я был там в Африке, и они очень взволновались, когда увидели множество Кантора. И один из них сказал: "Подойди. Я думаю, что могу помочь тебе". И так он провел меня через ритуал инициации жреца Баманы. Ну конечно, меня интересовала только математика, так что он все время продолжал трясти своей головой: "Ты знаешь, я учился этому иначе". Но мне пришлось спать, зарывая орех колы рядом с моей кроватью в песок, и дать семь монет семи прокаженным, и так далее. И наконец, он открыл правду значения».

Баманское гадание по линиям на песке: а) линии на песке; б) четность той или иной линии; в) процесс повторяется четыре раза и результаты объединяются; г) результаты четырех сетов объединяются в один, производя седьмой символ

Оказывается, это генератор псевдослучайных чисел с использованием детерминированного хаоса. Когда у вас есть четырехбитный символ, вы составляете его с другим по сторонам. Так четное плюс нечетное дает нечетное. Нечетное плюс четное дает нечетное. Четное плюс четное дает четное. Нечетное плюс нечетное дает четное. Это сложение по модулю 2, прямо как проверка четности бита в вашем компьютере. Затем вы берете этот символ и вводите его снова, так что получается самосоздающееся разнообразие символов.

Генератор псевдослучайных чисел

Новое открытие Рона Эглеша оказалось не таким уж и новым. Уже в XII веке Уго Санталия привез тайное знание от исламских мистиков в Испанию. И там оно вошло в алхимическое сообщество как геомантия: гадание по земле. Карта геомантии нарисована для короля Ричарда Второго в 1390 году.

Африканский метод гаданий в Европе стал известен как «геомантия». Приведенная на рисунке карта геомантии была создана в 1390 году для короля Ричарда Второго.

Мир вокруг битком набит фрактальными структурами. С помощью фрактальной геометрии можно описать самые разные предметы — от контуров леса на фоне неба до системы кровеносных сосудов. Тот факт, что фрактальные структуры проявляются повсеместно, и то, что существует целый мир фрактальных форм, иногда порождает сдвиг от рассмотрения «вселенной фракталов» к рассмотрению «Вселенной как фрактала». Эту фикцию закрепляют новостные агентства, когда в лентах новостей появляются сообщения, подобные следующему:

Основанием таких «мировоззренческих» трактовок часто служит одна из моделей Вселенной, которая называется хаотической теорией инфляции. Объясню суть этой концепции в самых общих чертах. Теория космической инфляции, которую выдвинул американский физик и космолог Алан Харви Гут, предполагает, что когда нашей Вселенной была всего доля секунды отроду, наше пространство практически мгновенно раздулось до пределов, далеко превосходящих возможности наших телескопов. Движущая сила, стоявшая за этим колоссальным расширением, — весьма необычное состояние материи под названием «ложный вакуум». Эту ситуацию можно уподобить мячу, лежащему на вершине пологого холма. Дело в том, что пока Вселенная оставалась в состоянии ложного вакуума, то есть мяч лежал на вершине холма, она расширялась очень быстро, вдвое увеличиваясь в размерах за крошечную долю секунды. Стремительное расширение прекратилось, лишь когда мяч скатился с холма в низкоэнергетическую «канаву» у подножия (которая символически отражает тот факт, что ложный вакуум распался).

Согласно инфляционной модели, так называемая наша Вселенная пребывала в состоянии ложного вакуума очень недолго и все это время расширялась в фантастическом темпе. Затем ложный вакуум распался, и наша Вселенная стала расширяться куда более лениво, что мы и наблюдаем сегодня. Вся энергия и субатомные частицы нашей Вселенной были созданы во время осцилляции, последовавшей за распадом. Однако модель космической инфляции предсказывает также, что темп расширения в состоянии ложного вакуума гораздо стремительнее темпа распада. Следовательно, Вселенная начинается с участка ложного вакуума. С течением времени какая-то часть этого участка отделяется и порождает так называемую «карманную вселенную» вроде нашей. Одновременно участки, остающиеся в состоянии ложного вакуума, продолжают расширяться, приобретают те же размеры, что и уже отделившаяся карманная вселенная. Время течет дальше, центральная карманная вселенная продолжает медленно развиваться согласно общепринятой теории Большого взрыва. Однако каждый из двух оставшихся участков ложного вакуума развивается в точности так же, как и первоначальный участок ложного вакуума: часть его распадается, и возникает карманная вселенная. Каждый участок ложного вакуума расширяется и производит свою «карманную вселенную». Таким образом создается бесконечное количество карманных вселенных — и фрактальный узор: одна и та же последовательность участков ложного вакуума и карманных вселенных повторяется в постоянно уменьшающемся масштабе. Если выяснится, что эта модель и в самом деле отражает эволюцию вселенной в целом, значит, наша карманная вселенная — всего лишь одна из бесчисленного множества существующих карманных вселенных.

Фрактальные структуры объективно существуют, и существуют повсеместно. Любая структура сама по себе есть объективная символическая категория реальности, стоящая в одном ряду с такими категориями, как вещество и действие (взаимодействие). В этом смысле «фрактал — один из объектов реальности». Но из этого не следует, что «объективная реальность есть фрактал». На самом деле структура мира не сводится к фракталу. Но фрактальная интерпретация оказывается полезной и конструктивной во многих случаях.

Фрактал, соединив форму, функцию и число (символ), иллюстрирует совмещение дискретности и непрерывности (на формальном уровне), детерминизма и непредсказуемости (на функциональном уровне), предметного и операционального (на символическом уровне).

Рассмотрим диалектический принцип «единства противоположностей». Это древняя головоломка, которую великолепно интерпретирует фрактал как модель единства и различия фрагментов. Фрактал демонстрирует соединение различных форм в одной единообразной структуре одновременно двумя путями: взаимопроникновением в процессе построения фрактальной формы (1) и сдвигом на новый масштаб (2).

Рациональное мышление всегда склонялось то в сторону примирения противоположностей (1), то в сторону их комплиментарности (2). Первый путь сводится к поиску ракурса, в котором противоположности представляются единым целым. Второй путь основан на введении ортогональной оси, на которую, как шашлык на шампур, нанизаны комплиментарные планы реальности.

Быть может, наиболее образно сопряжение противоположностей интерпретирует древнекитайский символ тайцзы. Ось времени, на которой разворачиваются события вне плоскости Ян и Инь, им ортогональна. Именно вдоль оси времени Инь, расширяясь, поглощает Ян, но, едва поглощенный, Ян возрождается из самой сердцевины Инь и поглощает Инь; будучи едва поглощенный, Инь возрождается из самой сердцевины Ян и расширяется снова...

Диалектика, истоки которой восходят к Гераклиту, утверждает «вечное становление» как результат взаимодействия противоположных, взаимоисключающих фактов и трендов, которые сталкиваются, пересекаются, конфликтуют. Как борцы на арене, они напряжены, доводя соперника до крайности. Один фрагмент доводит до предела другой, но каждый действует так, чтобы один преодолевал предел другого. Они сжимают друг друга, отстраняясь как можно дальше и отталкивая туда, куда не выйти в одиночку. Во взаимном напряжении различные влияния стимулируют появление самых удаленных гармоний. Всякое созвучие, едва оформившись, тут же диссонирует. И это становится началом повторения борьбы влияний. Повторение за повторением производит поток, который никогда не повторяется. Здесь противоположности совмещаются во времени — во времени они комплиментарны.

Платон видел путь к истине посредством сведения противоречащих сторон в единое целое. Это путь гармоничного примирения. Платон, защищая Бога от обвинений в попустительстве зла, сохранил рациональность, наделив Бога абсолютной «трансцендентностью». Теперь Бог вне пространства наблюдаемой реальности, в пространстве ему ортогональном, его пронизывающем, но от него отделенном. Это допущение обеспечивает комплиментарность Бога и Мира, исключает конфликты и противоречия. Николай Кузанский соединяет противоположности во времени:

От абстрактных положений Николай Кузанский подошел к технике взаимопроникновений противоположностей — coincidentia oppositorum (лат. — совпадение противоположностей). Классическая немецкая философия (И. Кант, И. Фихте, Ф. Шеллинг) делала акцент на комплиментарности противоположностей. Марксистская философия (К. Маркс, Ф. Энгельс, В. И. Ленин) утверждала «принцип единства и борьбы». Энгельс писал:

Маркс продолжил:

В начале 1927 года во время отпуска в Норвегии Нильс Бор сформулировал «принцип дополнительности». Формулировка Бора была призвана разрешить корпускулярно-волновой дуализм квантовой механики. При этом Бор с опорой на философов Сёрена Къеркегора, Харальда Гёффдинга и Уильяма Джеймса просто признал допустимым употребление двух языков, каждый из которых базируется на обычной логике. Стоит только допустить дополнительность двух взаимоисключающих интерпретаций — волновую непрерывность и корпускулярную дискретность, — как наблюдаемые квантовые эффекты удается объяснить и интерпретировать. При этом, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, не может возникнуть такой физической ситуации, в которой оба дополнительные аспекта явления проявились бы одновременно и одинаково отчетливо. Сам Гейзенберг распространял этот принцип далеко за рамки квантовой физики. Гейзенберг писал:

Философы постмодернизма (Жак Деррида, Жиль Делёз, Жак Бодрийяр) представляли совмещение противоположностей как умножение дифференциалов до той гомогенной массы, в которой противоположности уже неразличимы и из которой они перманентно произрастают. Постмодернисты указывают, что отторжению противоположностей друг от друга предшествует процесс накопления существенных различий, который предваряется зарождением различий (Даррида). Зарождению различий сопутствует процесс дефиниций и означений. Исходное противопоставление в процессе накопления различий размазывается, диспергируется, распыляется во множестве знаковых смыслов. Однако распыляемое, влияя на процесс распыления, формирует связный кластер вещей, явлений и символических знаков. Последние проявляют себя в информационных структурах и петлях обратного влияния.

Проницательный мистик Раджниш Ошо в книге «Дхаммапада. Из хаоса рождаются звезды» приводит метафору:

Танцор, художник, певец, музыкант, поэт — все они знают эти мгновения, но это лишь мгновения в их жизни: мгновение вдохновения. Посредством медитации — в высшей степени рационально — эти моменты можно продлить настолько, что танцор исчезает навсегда, наступает состояние «нирваны»:

Появление звезд — притягательно ярких и ясных символов — вот новое измерение жизни, которое формируется в процессе стирания противоположностей между собой и с самим процессом означивания и дифференцирования. Вещественное, сливаясь с операциональным, указывает на символическое.

На прагматичном техническом языке фрактал геометрически ясно иллюстрирует то же самое — связность формального и операционального планов реальности в ортогональном им символическом пространстве. Фрактальная интерпретация не просто популяризирует новую картину реальности, но стимулирует креативные и экстравагантные решения, которые создают реальность новейшую, в которой плюрализм, уникальность и гетерогенность легко и естественно совмещаются с глобальностью, универсальностью и сплоченностью.

Фрактал примиряет разрыв с непрерывностью, это делает фрактал такой структурой, которая может обеспечить связь между порядком и хаосом. Поэтому фрактальные структуры часто наблюдаются на границе порядка и хаоса — фракталы там, где хаос.

• Хаос: сдвиг парадигмы

• Алеаторный детерминизм

• Динамическая система

• Диссипативная система

• Фазовый портрет

• Странный аттрактор

• Динамический хаос

• Фракталы и случай

• Обратная связь

• Логистическое уравнение Ферхюльста

Весь пафос картезианской парадигмы был в том, что по воле Бога все на свете подчинено законам. Картезианский мир напоминает часовой механизм, который работает согласно чертежу Великого Часовщика. Под картезианскими небесами человеческая мысль развивалась почти половину тысячелетия, со времен Возрождения. Но в XX веке картезианская парадигма потеряла свою привлекательность под давлением квантовой механики и теории хаоса.

Под знаками кота и бабочки утверждается новая парадигма. Случайность и Хаос теперь не на периферии, но в самой сердцевине окружающей нас реальности. Случайные флуктуации производятся повсюду. Случай запускает механизмы возникновения порядка из хаоса. Каждый фрагмент порядка проистекает из хаоса и всегда погружен в хаос. Между любыми фрагментами порядка есть область хаоса, в которой непременно найдется фрагмент порядка.

Старая парадигма заключается в том, что хаос превращает предсказания в бесполезное дело. Однако наша способность понять, описать и даже предсказать поведение нестабильных систем значительно расширилась благодаря исследованиям хаоса. Эти исследования выявили, что такие черты поведения хаотических систем, как нестабильность и нелинейность, присущи большому классу детерминированных систем.

По-настоящему хаотическое поведение нестабильных систем предсказать невозможно. Поведение стабильных динамических систем легко предсказуемо. Но есть еще такие динамические системы, которые, на первый взгляд, кажутся предсказуемыми, но предсказать их поведение никак невозможно. Собственно, это и есть так называемый «динамический хаос». В 1927 году сэр Артур Эддингтон так описал существо вопроса:

Когда Кеплер и Ньютон, а затем более точно Эйнштейн, объяснили раз и навсегда то, как отдельные планеты движутся вокруг Солнца по своим эллиптическим орбитам, создалось впечатление, что для полного описания движения системы трех или более тел требуется просто увеличить интенсивность вычислений. Наши спутники могут полагаться на ньютоновы законы движения и на то, что современные компьютеры направляют их к нужным целям. Однако по истечении достаточно большого периода времени траектории их движения становятся непредсказуемыми. До сих пор не получен ответ на старый вопрос об устойчивости Солнечной системы.

На рубеже XVIII-XIX вв. считалось, что она должна быть устойчивой. В начале XX в. — после Пуанкаре — имелись основания предполагать обратное. Сегодня мы уже допускаем, что долгосрочный прогноз поведения Солнечной системы (даже если ограничиться только гравитационным взаимодействием) невозможен. Как говорят специалисты, уравнения являются «неинтегрируемыми». Любая самая малая неточность в начальных условиях может позже очень сильно повлиять на последующее движение.

Слева: типичная траектория решения задачи трех тел в небесной механике. Вверху показано начало, а внизу — дальнейшая эволюция хаотического движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой.

Справа: аттрактор Лоренца: хаотическое движение в диссипативной системе. В отличие от движения планет, это движение направляется к аттрактору силой трения. Но «странные аттракторы» допускают существование сложных движений, прыжки вперед и назад между двумя центрами. (Пайтген Х.-О., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989)

В середине XX века фон Нейман создал свой первый компьютер с твердым намерением использовать вычислительную машину для управления погодой. Он полагал, что сложная динамическая система имеет точки неустойчивости — критические моменты, в которые слабый толчок может привести к огромным последствиям, как это происходит с мячиком, балансирующим на вершине холма. Вопрос заключался в том, чтобы определить эти точки, воздействовать на систему в нужный момент и рассчитать на компьютере ее дальнейшее поведение. На практике это должно было выглядеть так: «Центральный комитет» метеорологов принимает решение изменить погоду. В небо поднимаются самолеты, чтобы оставить за собой дымовую завесу или разогнать облака. Прекрасная перспектива! Однако Нейман не учел вероятность хаоса, при котором неустойчива каждая точка.

В каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции любого процесса информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают для событий множество различных исходов, но наш мир имеет одну-единственную историю. К 1970-м годам сформировалось понимание миропорядка не столько сквозь призму порядка, сколько сквозь призму хаоса. Работы Эдварда Лоренца и Ильи Пригожина сыграли в этом процессе решающую роль. Теория утверждала:

Малое вмешательство может вызвать большие перемены, если система находится в состоянии динамического хаоса.

Природа риска неустранима. В режиме хаоса неустойчива каждая точка. Реальность изменяется хаотически. Изменения реальности невозможно предвидеть и невозможно точно предсказать. Неточность в наблюдениях сложным образом сливается с ошибкой в модели, заставляя нас переоценивать то, что считается хорошим прогнозом. Прогноз изменяется в режиме реального времени. Приходится жить в режиме интенсивного настоящего, постоянно сверяя и корректируя модель с реальностью. Такая стратегия поведения есть один из результатов исследования хаоса. Хаос постоянно разрушает порядок. Он же постоянно порядок и производит.

Порядок появляется из хаоса как результат формирования устойчивых петель обратного влияния. Такие петли возникают из «отклика» на случайный «оклик». И если происходит сцепление, то возникает повтор «отклика» на «отклик». Появляется устойчивая петля, которая синхронизирует себя со своим случайным окружением. И если такая синхронизация наступает, то петля встраивается в структуру уже существующих петель обратного влияния.

Случай рвет и склеивает устойчивые связи. Он создает элегантный хаос из строго детерминированных и алеаторных эффектов. Такой хаотический режим называют еще детерминированным, или динамическим, хаосом.

Любой прогноз лежит в области пространства наших представлений, но в равной мере — в поле влияния чужих намерений. И на этом основании мы не можем полностью доверять нашим моделям и расчетам. Как отмечал Альфред Норт Уайтхед,

«опасно интерпретировать расчеты так, словно  они каким-либо образом управляют реальным миром».

В современном мире расчет и реальность, эмпирический факт и виртуальную фантазию разделить почти невозможно. Они, разнообразные и разнонаправленные, сливаются в реальности в одно единое и согласованное целое. Соединение, сопряжения или отторжения предрасположенностей и намерений случаются в коллизии фактов и фикций.

Именно случаются. Случай играет конструктивную роль в процессе становления реальности. В каждый момент времени происходит создание, склеивание и стирание физических объектов и эффектов. Все происходит по случаю, но не как попало.

Научная мысль пытается изучить случай. Во времена Паскаля и Ферма сформировались представления о том, что случай бывает «ручной», а бывает случай «дикий». Первый случай связан с ошибками измерений и с неполнотой наших знаний о поведении динамических систем. Второй случай — это «чистая» случайность. Он — бросок игральной кости на зеленое сукно. Такой случай называют алеаторным.

Таков «клинамен» Лукреция. Иногда, считал Лукреций, в самое неопределенное время и в самых неожиданных местах вечное и всеобщее падение атомов испытывает слабое непроизвольное отклонение — «клинамен» (лат. clinamen — уклонение). Надежда и страх, вера и фатализм, азарт и расчет — все вовлечено в сферу влияния клинамена.

Клинамен — это алеаторная флуктуация. У нее нет причин, но есть ограничения. Случай ничего не может изменить в прошлом, и случай не может изменить горизонт будущих возможностей.

Суть алеаторного детерминизма в том, что случай синхронизирует то, что есть, с тем, что будет, в пределах того, что уже произошло, и того, что может произойти.

Событие зависит от причин, предшествующих событию. Событие также зависит от намерения и цели.

Будущее притягивает настоящее. Настоящее чревато будущим — «сегодня» становится из «вчера», но через «завтра».

Предвестники — будь то голубь или радуга, будь то пророк или провидец, будь то холод или зной — они не предвещают, но предопределяют будущее. При такой трактовке неосведомленность не в прошлом (там все предопределено) и даже не в будущем (сценарии прогнозируемы), но только в настоящем, где выбор определяется случаем. Именно в настоящем в процессе вызова и выбора, которые завершаются актом действия: «alea jacta est» — «жребий брошен». С этого момента судьба зависит от случая.

Все, что есть, возникает по случаю из хаоса шаг за шагом, фрагмент за фрагментом. Древнегреческий поэт Гесиод знал и говорил:

 «Космос возникает из Хаоса».

Айзек Азимов в «Занимательной мифологии» пишет о том, что древние греки сравнивали «хаос» с «морским заливом с широким входом». За Геркулесовыми столпами нет ничего, кроме хаоса. На обширном пространстве может легко затеряться все что угодно, особенно в утренние часы с клубящимся туманом. Так можно представить себе первобытный хаос, в котором пока нет ни звезд, ни планет с определенными очертаниями, а есть нечто подобное клубящемуся туману. Из этого тумана возникает все и может возникнуть все что угодно.

Когда-то Жан Бодрийяр написал притчу «Смерть в Самарканде». Это история про солдата, встретившего Смерть по пути с базара и вообразившего, будто та подала ему какой-то угрожающий знак. Он спешит во дворец и просит у царя лучшего коня, чтобы ночью бежать куда подальше, в далекий Самарканд. Затем царь, встретив Смерть во дворце, упрекает Ее в угрозах одному из лучших его солдат. Но удивленная Смерть отвечает царю, что вовсе не хотела его напугать. Жест, который так напугал солдата, сложился от неожиданности встречи с тем, кто назавтра должен быть в Самарканде. Конечно: чем отчаянней мы пытаемся избежать своей судьбы, тем вернее она нас настигает. Неисповедимы пути знаков, неисповедимы наши трактовки знаков.

Однако вся интрига заключается в том, что неизбежное свидание солдата со Смертью могло и не состояться. Нет никаких оснований полагать, что солдат явился бы на него, не произойди эта случайная встреча, усугубленная случайностью «наивного жеста» Смерти, который «вопреки ее воле обернулся манящим жестом». Если бы Смерть просто призвала солдата, то история лишилась бы своего магнетизма. Все сводится к интерпретации знака и превращению его в угрожающий символ смертельного приговора. Знак Смерти вступает в игру без всякого ведома игроков (не только солдата, но и самой Смерти). Иначе откуда ей знать, что солдат назавтра будет в Самарканде? Ни сознательной стратегии, ни даже бессознательной уловки в поведении Смерти не заметно, именно это вдруг объясняет суть дела:

Все персонажи ведут себя безупречно свободно (Смерть вольна сделать некий жест, солдат волен бежать, царь волен дать коня). Но за этой кажущейся свободой выясняется, что каждый следовал какому-то правилу, которое по-настоящему никому не было известно, и даже Смерти. Самое интригующее во всей этой притче — игра, у которой нет определенных правил, но правила все-таки есть. Точнее, есть набор всевозможных правил, которые выбираются по случаю, но так, что они никогда не нарушают горизонты возможного.

С архаических времен шаманы, волхвы, жрецы, оракулы, конфуцианские монахи и даже христианские пророки делали свои предсказания на основе случайных знаков или знамений. «Книга Перемен» доказывает, что алгоритм предсказаний не нуждается в прозрении. Необходима отражающая поверхность, заслуживающая доверия (например, «Книга перемен», гексограмма типовых 64 ситуаций), и необходим алеаторный акт — бросание монеты или слепой выбор бамбуковой палочки. Дальше происходит «автоматическая сборка» — автореференция интерпретаций дает ответ на вопрос, который вопрошающий обращает, по сути, к самому себе. Интерпретация создает вектор желания и стимулирует эмоцию, энергия которой придает вес желанию. Эмоций нет в прошлом, нет их и в будущем. Эмоция, как и случай, есть качества настоящего состояния. В этом состоянии под влиянием случая стираются границы между порядками и хаосом, а под влиянием эмоций реальное перестает отличаться от иллюзорного.

Было сказано Крезу:

Какое царство? Свое собственное. Но оракул этого не сказал. Крез об этом даже и не думал. Галис перейден. Великое царство Креза разрушено. Акрополь пал под натиском персов. Случилось так, как тому следовало случиться. Оракул ничего не добавил к знанию Креза. Крез сам все решил.

Случай — вот то, что оказывается в центре внимания. Борхес в эссе «Лотерея в Вавилоне» рассказал свою притчу. Я ее коротко перескажу.

Лотерея появилась и стала существенным элементом реальности в Вавилоне. Первоначально то была не более чем плебейская по характеру забава, в которую можно было лишь выиграть. Скоро она наскучила, так как «не была обращена ко всей гамме душевных способностей человека, только к надежде». Тогда игру попытались реформировать: в список счастливых номеров внесли небольшое количество несчастливых, и невезучему жребий присуждал уплату значительного штрафа. Именно это новшество радикально изменило ситуацию, развеяло иллюзию рациональной целесообразности игры. Отныне игра явилась в чистом своем виде, и умопомрачение, завладевшее вавилонским обществом, не знало более границ. Теперь по жребию могло выпасть все что угодно, лотерея сделалась тайной, бесплатной и всеобщей, всякий свободный человек автоматически становился участником священных жеребьевок, совершавшихся каждые шестьдесят ночей и определявших судьбу игроков вплоть до следующего розыгрыша. Счастливый розыгрыш мог сделать любого богачом, магом, даровать обладание желанной женщиной, несчастливый мог накликать на любого увечье или смерть.

Игра вводила случай во все щели социального миропорядка. И даже ошибки лотереи — «правильны», поскольку лишь укрепляют логику случая. Собственно, уже неважны сами правила лотереи, коль скоро они не нарушают алеаторную природу лотереи. Уловки и махинации с правилами никак не устраняют неопределенность. Случай невозможно обмануть.

Реальность не лишена правил, но комбинации правил зависят от случая. Они никому не известны. Они даже не могут быть известны. При таком положении дел любая симуляция, уловка, обман толкают на выбор того или иного мотива и определяют комбинацию законов, реализуемую в тех или иных обстоятельствах. В этом смысле «эффект лотереи универсален». Лотерея встроена в миропорядок. Даже гипотеза о существовании организаторов лотереи ничего не меняет, ведь устанавливаемые ими правила отражают их представления о реальности, которая изменяется тут же по провозглашении правил.

Бодрийяр заметил:

Осознание роли алеаторной симуляции — вот что радикально меняет картину мира. Наше бытовое представление признает «игру случая». Игра случая видится по обыкновению не слишком весомой надстройкой в сравнении с надежным базисом, добротной инфраструктурой законов. «Лабиринт» Борхеса все переворачивает «с ног на голову и неопределенность делает определяющей инстанцией». Отныне законы и участь индивидов определяются уже не только объективными условиями (предрасположенностью), не только тотальным индетерминизмом (игрой случайных флуктуаций), но еще и преднамеренными манипуляциями. Это означает, что

Предопределенность и неопределенность запутаны в плотный клубок и представляются одним неделимым актом, производящим реальность. Приходится набраться терпения, чтобы разобраться с запутанным переплетением причин и намерений. Вспомним Фауста во время омоложения в колдовском логове:

Нам, чтобы не застрять в облаках «высоких» материй, пришло время заняться деталями и обратиться к простым вещам, требующим терпеливого рассмотрения и понимания. Это, прежде всего, такие понятия, как динамическая система, диссипативная система, фазовые портреты, аттракторы, фракталы и случай.

Когда-то в понятие динамической системы вкладывали чисто механическое содержание, имея в виду набор тел, связанных силовыми взаимодействиями и подчиняющихся системе дифференциальных уравнений, вытекающих из законов Ньютона. Постепенно это понимание изменилось.

Сегодня динамической называется такая система, в которой каждое значение параметра в любой последующий момент времени получается из исходного набора параметров по определенному правилу: вы вводите некоторое число и получаете обратно новое число, которое вы снова вводите в систему. Этот процесс называется «итерацией».

Правила поведения динамической системы могут быть описаны дифференциальным уравнением, если система ведет себя как поток, или рекуррентным отображением, если система ведет себя как каскад.

В первом случае траектория системы есть непрерывная линия в фазовом пространстве. Во втором случае фазовой траекторией динамической системы является дискретная последовательность точек в фазовом пространстве.

Например, траектория броуновского движения частицы. Под микроскопом величина и направление видимой скорости броуновской частицы изменяются самым безумным образом. Но присмотримся внимательнее. На отдельных участках частицы движутся по прямой. Если регистрировать частицу в сто раз чаще, мы получим сто промежуточных положений частицы. Эти новые данные превращают участок прямой траектории в ломаную, сложную кривую, сильно напоминающую исходную. Почти двести лет тому назад французский физик Жан Батист Перен обнаружил удивительное свойство броуновской траектории:

Самоподобие само по себе — это уже некоторый порядок. Порядок, как и хаос, — это качества поведения динамической системы. В свою очередь, динамическая система — это всего лишь объект, выделенный для наблюдения. Этим объектом может быть луг, на котором живут и размножаются кролики Фибоначчи, состояние атмосферы, которое отражают показания термометров на метеорологических станциях, экономика в той ее форме, которую фиксируют индексы цен на бирже, компьютерная программа, которая симулирует движение Луны на небосводе.

Таким образом, динамическая система — это некоторая абстракция. Никакая абстракция в точности не соответствует реальности. Поэтому, говоря о поведении динамической системы, мы имеем в виду поведение той или иной модели, описывающей выделенный для наблюдения объект реальности.

Классическая физика занималась такими динамическими системами, которые можно было не только выделить, но и отделить, изолировать от окружающей среды. В модели изолированной динамической системы ее энергия сохраняется. Такие системы называют консервативными. В частности, маятник, совершающий колебания без трения, представляет собой консервативную динамическую систему. В реальности механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается (диссипирует) и переходит в тепло, т. е. в энергию микроскопического движения молекул, составляющих систему и ее окружение. Такая модель называется диссипативной динамической системой. Строго говоря, в этом случае временная эволюция должна определяться не только состоянием самой системы, но и ее окружением. При этом оператор эволюции может обусловливать деградацию системы и ее «тепловую смерть», но может приводить к усложнению и развитию динамической системы.

Пусть в некотором фазовом пространстве есть кластер динамических систем, которые подчиняются единому оператору эволюции. Динамические системы кластера отличаются друг от друга только начальными параметрами. С течением времени каждая точка кластера перемещается в фазовом пространстве, как предписано оператором системы, так что форма кластера и его размеры будут меняться. Может случиться, что фазовый объем кластера в процессе временной эволюции будет оставаться постоянным. Это характерно для консервативных систем.

Кластер диссипативных систем ведет себя иначе. С течением времени он «съеживается» и концентрируется в итоге на одном или нескольких аттракторах — подмножествах фазового пространства нулевого или ограниченного объема. С точки зрения динамики во времени это означает, что режим, возникающий в системе, предоставленной самой себе, в течение времени «забывает» свое начальное состояние и принимает состояние аттрактора, к которому стремится.

Динамическая система может вести себя устойчиво или неустойчиво. В первом случае траектории, близкие в начальном состоянии, остаются близкими в процессе эволюции динамической системы. Во втором случае траектории, близкие в начальный момент, в процессе эволюции динамической системы быстро удаляются друг от друга. Сколь бы малой ни была погрешность в определении исходного состояния системы, со временем она быстро нарастает, пока не достигнет размера аттрактора. После этого положение динамической системы в фазовом пространстве становится «размытым», и точно предсказать поведение системы практически невозможно. Однако можно говорить о вероятности того, что динамическая система обнаружит себя в той или иной точке аттрактора.

Процесс временной эволюции для консервативных систем

Между теорией динамических систем и теорией вероятности много общего. Так, множеству событий в ограниченном объеме фазового пространства можно приписать некоторое число, аналогичное понятию вероятности. Это число получило название «инвариантной меры». Ее можно интерпретировать как вероятность того, что траектория посетит данное множество. Связь между теорией динамических систем и теорией вероятности оказывается глубже, чем формальная аналогия.

Дело в том, что в основе теории динамических систем лежит понятие фазового пространства, а в основе теории вероятности — «пространство элементарных событий». То и другое исключают только один параметр — время. Пространство элементарных событий подразумевает идею о том, что все возможные исходы случайного процесса можно представить в виде точек в пространстве. В простых случаях это пространство сводится к нескольким точкам, однако в сложных ситуациях может представлять собой их непрерывное множество, совсем как фазовое пространство. В пространстве элементарных событий также существуют области притяжения — аттракторы. Уже в XVI веке Джероламо Кардано в «Трактате об азартных играх» отделял фатум, удачу и примету от манипуляций при играх в карты или в кости. Он, опытный игрок, знал лучше многих, как изменение центра тяжести кости притягивает более частое выпадение одной из ее сторон. Реализацию одного из элементарных событий система притягивает как магнит. И это напоминает области притяжения динамических систем в фазовом пространстве — аттракторы.

Аттракторы

Абстрактное понятие «фазовый портрет» появилось в XX веке. После того как Эйнштейн показал, что по отношению к свету все движется с одинаковой скоростью, идея представления динамического поведения системы в форме застывших линий стала казаться естественной.

Для иллюстрации этой идеи рассмотрим маятник. Простота его колебаний обманчива. Судите сами. Аристотель рассматривал колебания камня на нити, а Галилей наблюдал колебания люстры в Пизанском соборе. При этом первый видел, как конечная точка предопределяет траекторию движения камня, а второй — как, опускаясь в процессе колебаний, люстра приобретала скорость, позволяющую ей подняться на ту же высоту.

Первые опыты с маятником Жан Фуко проводил в 1851 году в погребе, потом в парижской обсерватории, потом под куполом Пантеона. Наконец, в 1855 году маятник Фуко был подвешен под куполом парижской церкви Сен-Мартен-де-Шан (ставшей к этому времени парижским Музеем искусств и ремесел). Длина каната маятника Фуко — 67 м, вес гири — 28 кг. Именно его описывает Умберто Эко в своем романе «Маятник Фуко»:

И это всего лишь один из возможных режимов колебаний маятника с одного из возможных ракурсов обзора. С огромного расстояния маятник выглядит как точка. Точка всегда неподвижна. Приближаясь, мы различим систему с тремя типовыми траекториями: гармонический осциллятор (sin φ ≈ φ), маятник (колебания назад-вперед), пропеллер (вращение). Там, где локальный наблюдатель видит одну из трех возможных конфигураций движения шара, отстраненный от процесса аналитик может предположить, что шар совершает одно из трех типовых движений. Это не только можно предположить, но даже изобразить на одном плане.

Необходимо условиться, что мы переместим «шар на нити» в абстрактное фазовое пространство, имеющее столько координат, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. В этом случае мы говорим о двух степенях свободы — скорость v и угол наклона нити с шаром к вертикали φ. В координатах φ — v траектория гармонического осциллятора представляет собой систему концентрических окружностей, по мере увеличения угла φ эти окружности становятся овальными, а при φ = ± π теряется замыкание овала. Это означает, что маятник перешел в режим пропеллера: v ≈ const.

В фазовом пространстве нет ни длин, ни длительностей, ни движений.

Здесь любое действие пред-дано, но не всякое действительно. От геометрии остается только топология, вместо мер — параметры, вместо размеров — размерности. Здесь любая динамическая система имеет свой уникальный отпечаток — фазовый портрет. И среди них встречаются фазовые портреты довольно странные: будучи сложными, они определены одним-единственным параметром; будучи соизмеримыми, они несоразмерны; будучи непрерывными, они дискретны. Такие странные фазовые портреты появляются в окрестности странных аттракторов.

Мир полон соблазнов. Соблазны конкурируют между собой. Это создает не столько хаос, сколько свободу выбора. Собственно выбор возможен только при наличии центров притяжения. Парадокс заключается в том, что несводимые друг к другу центры притяжения друг с другом соединены, связаны и, пожалуй, даже есть фрагменты единой сети. В архаические времена этот парадокс был подмечен и сформулирован в «Аватамсака-сутре». В пересказе сэра Чарлза Элиота фрагмент «Аватамсака-сутры» звучит так:

Вообразите бриллиантовую сеть, в каждом узле которой находится бриллиант: в его гранях отражаются все бриллианты, и сам он тоже отражается во всех остальных бриллиантах. Бриллианты находятся в движении, но их движение согласовано таким образом, что в любой момент каждый бриллиант отражается во всех остальных. Эта фантастическая бриллиантовая паутина нависает над дворцом бога Индры.

В теории комплексных диссипативных динамических систем сложилось представление, которое в целом напоминает сеть бога Индры. Траектории диссипативной динамической системы, выходящие из различных начальных точек, с течением времени сгущаются в некоторых сравнительно небольших областях фазового пространства. Эти области называют аттракторами. Термин «аттрактор» происходит от английского слова attract, что значит притягивать. Точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы, есть аттрактор. Аттрактор — это геометрический образ устойчивого поведения динамической системы, который притягивает на свою орбиту поведение других частей системы, первоначальное поведение которых совершенно отлично от поведения систем на аттракторе. Аттрактор — это пространственно-временной объект, охватывающий весь процесс. Аттрактор — это и причина, и следствие. Он формируется лишь системами с ограниченным числом степеней свободы.

Если нет существенных внешних возмущений, то траектории динамических систем, попав в область аттрактора, остаются в ней постоянно. Картина напоминает ситуацию в бассейне реки или моря — потоки воды сливаются в реки, которые впадают в море. Поэтому область притяжения, в которых траектории стремятся к одному или нескольким аттракторам, называют бассейном аттракторов. Попав в бассейн аттрактора, динамическая система не может его покинуть. Аттрактор притягивает к себе динамические системы, как черные дыры притягивают материю, волны и даже свет. Каким бы ни было начальное состояние системы, оно будет «забыто». После поглощения системы аттрактором мы сможем сказать лишь то, что оно «где-то на аттракторе». Можно выделить несколько типовых по своей структуре аттракторов.

Простейшим видом асимптотического поведения является состояние равновесия, которому соответствует неподвижная точка в фазовом пространстве. Такой аттрактор называется точечным. Это, например, точка равновесия для маятника с трением. Более сложным является периодическое поведение, которому соответствует круговой аттрактор. Например, орбита в задаче Ньютона о вращении одного тела относительно другого. Еще более замысловато, чем движение по кругу, выглядит циклическое движение на поверхности тора. Спиралевидные круги после множества оборотов возвращаются в исходную точку, и цикл повторяется. Гораздо более сложными являются квазипериодические колебания, когда в системе наблюдаются две частоты ω₁ и ω₂, причем их отношение ω₁/ω₂ — иррациональное число. Эта ситуация реализуется, только если размерность фазового пространства не меньше трех. Асимптотическое поведение такой системы соответствует заполнению траекторией поверхности двухмерного тора. Так, ни одна весна не походит на другую. Но каждый год возвращается весна. Ни один поворот планеты вокруг Солнца не тождественен другим, ибо отклонения изменяют линию орбиты, изменяется тело планеты, изменяется Солнце, вся планетная система передвигается в мировом пространстве, тем не менее каждая планета вращается вокруг своего Солнца по постоянной орбите.

Далее степень сложности может нарастать при увеличении числа независимых частот. Траектория при этом может заполнять трехмерный, четырехмерный и многомерный тор.

Это довольно сложные траектории, но они много проще тех траекторий, которые производит странный аттрактор. Термин и понятие «странный аттрактор» распространились сразу после появления в 1971 году статьи француза Давида Рюэлля и голландца Флориса Такенса «Природа турбулентности». Эта статья изменила парадигму понимания турбулентности, созданную Ландау и общепринятую на тот момент в научном сообществе.

Странный аттрактор Давида Рюэлля

Суть этой классической парадигмы в том, что турбулентный поток представляет собой суперпозицию вихрей всех возможных масштабов, т. е. число степеней свободы системы бесконечно. Вместо рассмотрения системы перекрывающих друг друга вихрей в 1970-х годах Рюэлль и Такенс предположили, что может существовать аттрактор с набором характеристик турбулентного потока: устойчивостью, ограниченным числом степеней свободы и иррегулярностью. Исходя из математических резонов, Рюэлль и Такенс провозгласили, что описанный феномен должен существовать, хотя они никогда не видели и не изображали его. Упоминание о том, что непрерывный спектр будет ассоциироваться с незначительным числом степеней свободы, многие физики посчитали ересью.

С геометрической точки зрения вопрос казался чистой головоломкой. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала саму себя? Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади. Другими словами, ее аттрактор должен быть фракталом. На тот момент фракталов еще не существовало, но геометрические формы с требуемыми свойствами уже были — «пыль Кантора», «снежинка Коха», «ковер Серпинского». Более того, уже в 1963 году Эдвард Лоренц описал подобный объект — устойчивую, иррегулярную траекторию с ограниченным числом степеней свободы — в метеорологии. Траектория Лоренца была устойчивой, непериодической, имела малое число степеней свободы и никогда не пересекала саму себя. Если бы пересечение случилось, то движение в дальнейшем имело бы периодический характер, но такого не происходило.

Именно такой объект Давид Рюэлль назвал «странным аттрактором». Траектории на таком аттракторе ведут себя довольно странно. Если в начальный момент выделить некоторый малый объем — «каплю» — в фазовом пространстве на странном аттракторе, то с течением времени эта «капля» размажется по всему аттрактору. Такое интенсивное перемешивание указывает на то, что любые близкие траектории быстро расходятся, иными словами, они локально неустойчивы. Следствием этого является существенная зависимость от начальных условий: малейшее изменение начальных условий существенно влияет на положение системы в процессе ее эволюции.

Странный аттрактор, по определению Рюэлля, демонстрирует три качества, друг к другу не сводимых, но на практике существующих вместе:

• фрактальность (вложенность, подобие, согласованность);

• детерминированность (зависимость от начальных условий);

• сингулярность (конечное число определяющих параметров).

Поясним эти «странные» признаки аттрактора Рюэлля.

Прежде всего «странный» аттрактор выглядит странно. Он представляет собой бесконечное число петель и спиралей, которые постоянно друг от друга удаляются, отстраняются и никогда друг с другом не пересекаются (неповторимость) в ограниченном пространстве. Он содержит все масштабы, он бесконечен и при этом ограничен. Странные аттракторы фрактальны: ограниченная область заполняется непредсказуемо движущейся точкой, траектория которой порождает фигуру дробной размерности. При этом траектория на странном аттракторе ведет себя довольно странно. Она постоянно изгибается, по случаю перепрыгивает от одного центра притяжения к другому, хаотически мечется взад и вперед. При этом ее поведение очень сильно зависит от начальных условий — той точки, из которой траектория берет свое начало.

Странный аттрактор Клиффорда

Фрагмент траектории хаотичен. Можно было бы предположить, что траектория осциллирует с произвольной частотой между центрами притяжения. Но это не так. Из всех возможных частот избираются только некоторые — так, что формируется система конечной размерности. Рюэлль в своей книге «Регулярная и хаотическая динамика» указывает на то, что колебания температуры в экваториальной зоне Тихого океана за 900 000 лет представляют собой странный аттрактор малой размерности. Локальные температуры являются результатом взаимодействия большого числа переменных, каждая из которых подвержена своему статистическому распределению. Однако небольшого числа независимых переменных достаточно, чтобы описать долговременные вариации климата.

Любая область странного аттрактора в процессе эволюции стягивается. Например, в трехмерном фазовом пространстве размерность аттрактора d < 3. Требование сильной зависимости от начальных условий обеспечивается только для аттракторов с размерностью d > 2. Таким образом, размерность хаотического аттрактора в трехмерном фазовом пространстве определяется неравенством 2 < d < 3. Это чисто техническое условие стягивает объект в ограниченную область.

Траектория динамической системы, попав в область «странного аттрактора», совершает причудливые маневры, ухитряясь никогда не пересекать саму себя, с собой не соприкасаться и при этом не выходить за пределы аттрактора. Траектория динамической системы при этом никакой гладкой поверхности в фазовом пространстве не заполняет. Будучи локализованной в небольшой области фазового пространства, она демонстрирует сложную структуру, определяющую весьма запутанное и одновременно точное и строгое поведение динамической системы. Такая филигранная точность предполагает существенную зависимость поведения траектории от начальных условий.

После появления работ Мандельброта стало ясно, что странный аттрактор есть траектория в поле фрактала. Открытия Мандельброта и Лоренца запустили процесс, в результате которого ученые и инженеры изменяют представление о мире вокруг нас. Физики, биологи, психологи, геологи, химики и механики на всех направлениях применяют фрактальную геометрию и хаотическую динамику для построения моделей, симуляций и манипуляций процессами и явлениями. Феномен настоящего заключается в том, что новые методы позволили вторгнуться на территорию, ранее неизвестную, — в область хаоса, турбулентности и свернутых пространств.

Хаотическим режимам присуща нерегулярность и, как следствие, непредсказуемость. Режим динамического хаоса и предопределен, и регулярен, но также непредсказуем. Динамический хаос ассоциируется с наличием странных аттракторов — сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из своего бассейна. Попав в область странного аттрактора, близкие траектории демонстрируют быстрое «разбегание» притом, что фазовый объем динамической системы не увеличивается. Любая сколь угодно малая область фазового пространства, выделенная в начальный момент, со временем «перемешивается», «распыляется» по всей области странного аттрактора. Происходит своего рода стирание памяти о начальном состоянии системы. Обратной стороной этого процесса является невозможность предсказания поведения системы в будущем в силу сверхчувствительной зависимости режима к сколь угодно малым отклонениям начальных условий. Именно это ведет к потере предсказуемости. Поэтому динамическая система, будучи полностью предопределенной, ведет себя непредсказуемо.

Согласно принятым сегодня представлениям такой режим регулярного хаоса наступает при выполнении трех условий:

1. Существует, по крайней мере, одна плотная орбита. Плотная орбита — это такое скопление точек, в любой окрестности каждой из которых со временем появится точка той же орбиты.

2. Имеет место квазипериодическое возвращение траекторий, которому сопутствуют неустойчивость, нелинейность и перемешивание.

3. Наблюдается существенная зависимость поведения траекторий от начальных условий.

Поясним понятие плотной орбиты. Еще Лейбниц утверждал, что линией как паутиной можно покрыть плоскость. В этом случае для любой точки на плоскости найдется сколь угодно близкая точка такой линии. В 1891 году появилась статья немецкого математика-универсала Давида Гильберта, в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Для любой точки этой линии, в любой сколь угодно малой ее окрестности со временем появится точка, принадлежащая той же самой линии. Кривая Гильберта, таким образом, иллюстрирует плотную орбиту.

Построение кривой Гильберта. Шаги 1,2,3,5, 7

Что же такое «квазипериодическое возвращение траекторий»? Рассмотрим поведение нелинейной динамической системы с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения в силу неустойчивости режима. Будь система линейной, возмущение могло бы возрастать до бесконечности. В большинстве реальных диссипативных систем нарастание возмущений имеет предел. При больших отклонениях изменяется характер сил, определяющих поведение системы, и возмущение начинает затухать. Система начинает возвращаться в исходное состояние.

Однако возвращение точно в то же состояние маловероятно, так как система неустойчива. С большей вероятностью система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться.

Например, так. Пусть у нас есть пружина, для которой зависимость амплитуды отклонения φ (х) от исходного состояния х определяется соотношением

φ (х) = kх — bx³,

где k и b — положительные коэффициенты. Пусть х = 0 — точка неустойчивого равновесия. Если x<<1, то Ьх³<<kх и слагаемым Ьх³ можно пренебречь. Тогда

φ (х) = kх.

В этом случае φ (х) линейно возрастает с увеличением х. Если х становится сравнимым с единицей, то членом Ьх³ пренебрегать уже нельзя. Здесь отклонение φ (х) начнет испытывать ограничение. При некоторых х значение φ (х) вновь будет близко к нулю, т. е. система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Это как изюминка в коме теста, которое перемешивает пекарь. В общем случае траектория, испытав действие механизма нелинейного ограничения, возвращается в окрестность исходного состояния. Этот процесс будет длиться и длиться без ограничений и без повторений.

В процессе перемешивания система «забывает» информацию о своем начальном состоянии. Грубо говоря, сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное ее местонахождение становится все более и более плотным множеством. Это означает, что потребуется более высокая точность в ее определении. Так, если мы поместим в стакан с водой капельку чернил и размешаем воду чайной ложкой, то чернила практически равномерно окрасят воду. Частички, первоначально сосредоточенные в капельке чернил, после перемешивания можно обнаружить в любой части стакана. Если до перемешивания чернила можно было зафиксировать координатой капельки чернил, то после перемешивания мы вынуждены говорить о фиксации молекул чернил. Согласитесь, что это совсем другой уровень точности. В этом смысле системе все труднее идентифицировать свое начальное состояние. Система как бы теряет память вследствие локальной неустойчивости, но при этом сохраняет «грубую» структурную устойчивость. Суть «грубой» устойчивости в том, что при малом изменении параметра изменяются детали поведения динамической системы, но принципиально режим поведения системы сохраняет свою грубую структурную идентичность.

Фракталам присущи эффекты, которые часто встречаются в природе: изрезанность, изломанность, комковатость. Вместе с тем, есть существенное отличие между строго самоподобной кривой фон Коха и, например, побережьем Норвегии. Последнее, не являясь строго самоподобным, проявляет подобие в статистическом смысле. Обе кривые при этом изломаны настолько, что ни к одной из их точек вы не сможете провести касательную, или, иными словами, не сможете ее дифференцировать. Такие кривые — своего рода «монстры» среди нормальных евклидовых линий.

В свое время Лагранж в течение десяти лет пытался доказать теорему о том, что любая непрерывная функция является гладкой, или, как говорят математики, — «дифференцируемой». Но у него не получилось. И вот на рубеже XIX и XX веков Карл Вейерштрасс построил парадоксальный пример функции, которая была непрерывной, но не являлась гладкой. Эта функция напоминала по форме пилу. Причем при увеличении перед глазами снова вырастает пила. Оказалось, что очевидные вещи надо доказывать. Очевидность не является критерием истины. И никогда не являлась.

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс первым построил непрерывную функцию, не имеющую касательной ни в одной своей точке. Его работа была представлена Королевской Прусской академии 18 июля 1872 года и опубликована в 1875 году. Вскоре после этого Шарль Эрмит, выдающийся математик своего времени, высказался эмоционально относительно непрерывных функций, не имеющих производных. Он сказал:

Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам, приведенным на рисунке. В то же время между функциями Вейерштрасса и шумами есть существенное различие. Любая точка функции Вейерштрасса строго детерминирована, а точка на графике шума — случайна.

Такие случайные траектории скорее являются правилом, чем исключением.

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха — и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причем при увеличении масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии. Так, анализ траектории броуновского движения на плоскости показывает, что она имеет фрактальную размерность, равную двум, а фрактальная размерность границы броуновского движения частицы равна 1,33...

Броуновское движение — один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории. Еще в 1828 году шотландский ботаник Роберт Броун (1773-1858) описал, как частички пыльцы самопроизвольно перемещаются в пробирке с водой. Он объяснил свои наблюдения следующим образом:

«Эти чрезвычайно мелкие частицы твердой материи, полученные из органических или неорганических веществ, при растворении в чистой воде или в некоторых других жидкостях демонстрируют движение, для которого я не могу найти объяснения, которое по своей нерегулярности и видимой независимости в большой степени напоминает менее быстрые движения некоторых из простейших микроорганизмов. Эти мельчайшие наблюдаемые частицы перемещаются, я назвал их „активными молекулами", видимо, имеют сферическую или почти таковую форму и размер между 1/20000 и 1/30000 долями дюйма в диаметре; а другие частицы значительно большего и различного размера как подобных, так и очень отличающихся форм также демонстрируют аналогичные движения в подобных обстоятельствах. Я уже заявлял о своей уверенности в том, что эти движения частиц не являются ни результатом течений жидкости, содержащей их, ни внутреннего движения, сопровождающего ее испарение».

Вряд ли уместно пересказывать здесь те презабавные истории, которые породила причудливая пляска частиц цветочной пыльцы под микроскопом. Какие только фантастические интерпретации ни предлагались — от живых молекул, наделенных свободой воли, до прямого вмешательства сверхъестественных сил. Достаточно сказать, что когда Броун кипятил, замораживал и вновь нагревал жидкость, частицы все так же продолжали свою безумную пляску, весьма напоминающую столпотворение. Появилось объяснение: движение происходит из-за случайных колебаний водных молекул, бомбардирующих зерна пыльцы с различных направлений. Это тривиальное толкование скрывает самое интересное — то, что нашел Жан Батист Перрен. В своей известной работе «Les Atomes» он описал эффект самоподобия броуновских траекторий:

«И величина, и направление видимой средней скорости  частицы изменяются самым безумным образом, что  дает лишь слабое представление об изумительной запутанности реальной траектории. Если бы положения частицы регистрировались в 100 раз чаще, то вместо каждого отрезка прямой мы получили бы ломаную, столь же сложную, как и исходный рисунок, хотя и меньших размеров, и так далее. Нетрудно убедиться, что на практике понятие касательной в применении к таким кривым является полной бессмыслицей».

Масштабное самоподобие! Под микроскопом типичная траектория частицы пыльцы выглядит как изломанная лента из прямых звеньев. Но стоит только увеличить разрешение микроскопа, как каждый прямой участок превратится в новое скопление прямых звеньев. И это новое скопление будет подобно скоплению, зафиксированному на более грубом масштабе.

С появлением компьютеров стало возможным не только фиксировать стохастическое поведение в природе, но и моделировать стохастические процессы. Для этого применяются компьютерные генераторы случайных чисел, которые используют различные алгоритмы. Для примера опишем два.

Генератор случайных чисел RND (от англ. random — случайный, беспорядочный), хотя и подчиняется вполне определенному алгоритму, «вырабатывает» числа, которые можно считать случайными.

На первом этапе выбираем 4 случайных числа, например 1, 2, 3,4, и составляем из них число 4321. На этом все случайное в этом процессе заканчивается. Теперь возведем это число в квадрат, получим 18671041 и отбросим крайние числа. Останется четырехзначное число 6710. Для получения третьего числа в квадрат возводится число, полученное на предыдущем этапе После шестого шага результат — выборка из четырех цифр — подчиняется нормальному закону распределения случайных величин. Заметим, вопреки тому, что весь процесс строго детерминирован, его результат неотличим от случайного выбора или «выбрасывания» числа по случаю.

Другой часто используемый генератор случайных чисел, FRAC (от англ. fraction — доля, дробный), в качестве случайного числа «вырабатывает» дробную часть некоего рекуррентного алгебраического выражения, такого, например, как

х_n+2 = а х_n+1 + с х_n.

Параметр х — выражение вещественного типа. Результат — дробная часть x, то есть

FRAC(x) = X - Int(x).

Как логически следует из принципа действия оператора FRAC, полученное число больше или равно 0 и меньше 1.

Таким образом, очевидно, что числа, полученные нами в результате применения функций RND и FRAC, имеют одинаковый масштаб и ни одно из них не выделяется из ряда других и не выглядит небоскребом «Тайбей 101» в квартале одноэтажных халуп. Согласно центральной предельной теореме, сумма достаточно большого количества полученных случайных или псевдослучайных чисел будет иметь нормальное или близкое к нормальному распределение. На практике достаточно суммы всего шести таких чисел, чтобы получить случайную величину, которая может считаться нормальной.

Заметим, что псевдослучайность не лишена эстетической привлекательности. Так, программа MONDRIAN производит отрезки, положение, длина и ориентация которых задаются генератором случайных чисел. Результат — эскиз a la Mondrian, приведенный на соседней странице.

Компьютерный эскиз a la mondrian и работы Питера Мондриана «Буги-Вуги на Бродвее» (1942-1943), «Победа буги-вуги» (1942-1944).

Типовая схема петли обратной связи показана на схеме. Она сводится к изменению переменного параметра х по правилу

при постоянном контролируемом параметре С. Единственное, что при этом требуется, — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон

должен быть более сложным, чем простая пропорциональность

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения х₀, то его результатом будет последовательность х₁, х₂ ... Эта последовательность может сходиться к некоторому предельному значению X, стремясь к состоянию стабильности и покоя. Но она же может выйти на некоторый цикл значений, которые будут повторяться вновь и вновь. Наконец, эта последовательность может вести себя непредсказуемо, хотя и предопределенно.

Процессы с обратной связью известны давно. Еще в Вавилоне люди оперировали простыми уравнениями для вычисления площади поля или поголовья стада. Это обыкновенные уравнения. Ньютон открыл технику дифференциальных уравнений.

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т.е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера X и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются к X. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения X, увеличиваясь, когда она меньше его, и уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%, нас ожидают сюрпризы. Собственно, именно на один из этих сюрпризов натолкнулся Лоренц в 1963 году, обнаружив странное поведение турбулентных потоков, когда коэффициент велик. Затем с подобными сюрпризами ученые встретились при исследовании лазера, гидродинамики и кинетики химических реакций.

Но вернемся к процессу Ферхюльста при большом коэффициенте роста. Прежде всего, когда параметры роста превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате чего популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим.

Когда параметр роста превышает 245%, начинается дальнейшее усложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее до тех пор, пока для параметров, больших, чем 257%, не возникает хаос. Попросту говоря, система выходит из-под контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением — и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе.

Эта очень странная ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим начальным значением, подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Это является верным только «в принципе». Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в компьютере, можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. В процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность уменьшения длин интервалов изменения параметра роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода 2n к колебаниям периода 2n+1. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем с ростом n множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению (Гроссманн и Томэ, 1977):

Это число появляется снова и снова в разных процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число π для отношения длины окружности к ее диаметру, которое называют теперь «числом Фейгенбаума». Один из пионеров теории хаоса американец Митчелл Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос-Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он установил универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был один из создателей современной биоматематики биолог Роберт М.Мэй. Еще в 1976 году он писал:

• Сложность простоты

• Фрактальные границы Ньютона

• Фрактал Мандельброта — метафрактал

• Клеточные автоматы

• Мультифракталы

• Перколяция: поры и сети

• Аффинное преобразование

• Игра хаоса

• Фрактальное кодирование

• Суперфракталы

• Алеаторные фракталы

Х.-О Пайтген, П. X Рихтер. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989

Мир в целом становился более чувственным и более эмоциональным, оставаясь рациональным. Эмоциональное развивается в сторону все более сложных и тонких эмоций. Рациональное стремится к простоте. Оба тренда согласованы и чудесным образом совместимы:

Сложной форме границ сопутствует сложная внутренняя организация фрагментов сложных систем, таких, как многообразие Жюлиа. Разнообразие множеств Жюлиа кажется ошеломляющим. И все же каждое из множеств Жюлиа строго и точно сопряжено со всеми остальными множествами из семейства множеств Жюлиа. Эта согласованность проявляет себя в том, что есть некоторое организующее множество, своего рода путеводитель в мире множеств Жюлиа. Это множество Мандельброта. Каждая точка множества Мандельброта говорит нам о том, какого вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения постоянной С в алгоритме Жюлиа.

Многообразию множеств Жюлия сопутствует «единообразное многообразие» — множество Мандельброта. Оно проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы. Оно не является множеством Жюлиа, а представляет собой структуру организации таких множеств. Оно напоминает геном: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм.

Сам по себе порядок Мандельброта в структуре всех множеств Жюлиа свидетельствует о том, что сложное поддается систематическому изучению. Благодаря вычислительной технике удается привести в порядок огромный массив информации, придав ей вид и смысл.

Например, мы можем раскрасить фрактал. Это есть своего рода кодирование. Выбор цвета, с одной стороны, приводит к некоторой потере информации, с другой стороны — перераспределяет акценты внимания в силу воздействия на наше эмоциональное восприятие. Сложность появляется на границе множества Мандельброта. На простом черно-белом изображении этого не видно (черный цвет соответствует связным, а белый — разрывным множествам Жюлиа). Даже 256 оттенков могут дать только слабый намек на действительную сложность границы множества Мандельброта. Чтобы понять структуру границы, требуется рассматривать ее в динамике — в процессе построения.

Каким образом раскрашивается окрестность множества Мандельброта?

Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем, 1000 V. В области, окружающей проводник, потенциал падает до ноля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии. Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 V, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 V, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 V уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашиваются одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью. В 1983 году француз Адриен Дуади и американец Джон Хаббард доказали, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки х₀ = 0.

Множество Мандельброта с эквипотенциальными линиями и силовыми линиями поля

Множество Мандельброта не относится к множествам Жюлиа, но они теснейшим образом связаны и структурно подобны. На это указывает тот факт, что формы отдельных фрагментов множества Мандельброта напоминают формы множества Жюлиа. Множество Мандельброта появилось как следствие исследования границы между сплошными и разрывными множествами Жюлиа. Именно граница множества Мандельброта указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр С покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Этот переход «в пыль» связан с тем, что каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. На определенном удалении от скопления аттракторов такое пересечение границ теряет свою непрерывность.

Переход от непрерывности к дискретности тесно связан с притяжением, а тема притяжения неизбежно притягивает идеи Ньютона.

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но кроме того он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, он формализовал алгоритм «проб и ошибок», известный со времен античности. Решение начинается с выбора произвольного числа. Далее итерация этого числа по определенному алгоритму приводит к решению. Процесс обыкновенно идет достаточно быстро, и количество точных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Примером такого итерационного алгоритма служит «метод касательных».

Пусть задана функция ƒ (х), для которой известно приближенное значение ее корня x₁ также значение функции ƒ (x₁) и ее производная ƒ′(x₁). Тогда, проводя касательную к графику функции ƒ (х) в точке х₁ и определяя ее пересечение с осью ОХ, получаем уточненное значение корня, равное х₂. Поскольку уравнение касательной имеет вид

то, приравняв его к нолю, получим формулу для расчета

Теперь, беря значение х₂ в качестве приближенного значения корня и повторяя этот алгоритм, находим следующее значение х₃ и так далее. Этот процесс быстро сходится к искомому значению корня.

Решения действуют как центры притяжения, а тема притяжения всегда притягивала Ньютона!

Единственный досадный недостаток этого метода в том, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если среди этих корней есть комплексные решения. Какое именно решение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки и первого шага.

В 1879 году английский математик сэр Артур Кейли (1821-1895) опубликовал работу, в которой рассматривался собственно оператор Ньютона, а не его результаты. Найдя ответ для уравнения 2-й степени, Кейли объявил, что случай многочленов более высокой степени будет представлен в следующей публикации, которая так никогда и не появилась. Лорду Кейли пришлось оставить этот вопрос, поскольку он оказался слишком сложным.

Итерация Ньютона производит две области притяжения. Для квадратичного уравнения:

z²—1 = 0.

Это область в окрестности z = 1 и область в окрестности z = -1. Граница этих областей разбивает комплексную плоскость на два сектора по 180°. Естественно думать, что существуют три области притяжения, которые разбивают комплексную плоскость на три сектора по 120°. Для кубического уравнения:

z³—1 = 0.

Но, как обнаружил Артур Кейли, к своему крайнему изумлению, это не так.

Проблема, с которой он столкнулся, явилась начальной точкой исследований Хаббарда. В 1977 году тогда еще совсем молодому американскому математику Джону Хаббарду, преподававшему математику в Парижском университете Орсей, студенты-первокурсники задали невинный вопрос: как будет сходиться точка, равноудаленная от трех корней кубического уравнения? Как далеко простирается влияние притяжения различных центров и на что похожа граница между ними? Хаббард довольно быстро доказал, что для уравнения второй степени данная последовательность всегда будет сходиться к ближайшему корню. Исключение составляют случаи, когда начальная точка z₀ равноудалена от обоих корней, т. е. лежит на прямой, проведенной через середину отрезка, соединяющего два корня, перпендикулярно ему. В этом случае последовательность итераций все время остается на этой прямой, совершая хаотическое движение. В отличие от Кейли, у Хаббарда в распоряжении был компьютер. Уже к концу семестра им и его студентами было получено несколько важных экспериментальных результатов, описание которых заслуживает внимания.

Рассмотрим простое кубическое уравнение, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы:

z₃-1 = 0.

В случае с действительными числами решение вполне тривиально — единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня:

и

В самом грубом приближении комплексную плоскость можно было, как пирог, разделить на три равные части, каждая из которых являлась областью притяжения соответствующего корня.

Эта была именно та картинка, которую первоначально представлял себе Хаббард (и многие другие до него). Однако более скрупулезное компьютерное исследование выявило, что геометрия границ областей притяжения имеет гораздо более сложную форму.

Нанесенные на комплексную плоскость, три указанных корня образуют равносторонний треугольник. Коль скоро в качестве начальной точки выбрано любое комплексное число, вопрос заключается в том, чтобы увидеть, какое именно из трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения — как три аттрактора. Метод Ньютона для кубического уравнения z³-1 = 0 сводится к итерационной формуле:

Анализ этой формулы показывает, что решения кубического уравнения ведут себя странно. Представим комплексную плоскость в виде ровной поверхности, спускающейся к трем углублениям, окрашенным для наглядности в разные цвета. Шарик, начав катиться из любой точки на плоскости, приведет в одну из долин: состояние, в котором оказалась динамическая система, зависит от ее начального состояния. Наивное предположение, будто любое z₀ будет сходиться к ближайшему из трех корней, следует отбросить по причине его несостоятельности. Например, начальное значение z₀ = -1 сходится к 1, наиболее удаленному от него корню. Системный расчет показывает, как некоторые расчетные точки быстро приводят к одному из корней, другие словно бы прыгают рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближаясь к решению. Иногда кажется, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться вечно, не достигая ни одного из трех возможных корней (неравновесная устойчивость).

Интересно, что форма этих областей удивительно напоминает множества Жюлиа для многочленов второй степени. Можно сказать, что существуют «хорошие» (по отношению к методу Ньютона) уравнения, для которых почти все начальные точки ведут к какому-либо корню, и «плохие», для которых метод Ньютона иногда приводит к появлению притягивающего цикла.

Линии границ в конце концов открыли Хаббарду особое, фрактальное свойство:

 «между областями притяжения двух центров всегда появляется область притяжения третьего центра».

Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех центров — совершенно безумное лоскутное одеяло. На границе между любыми двумя центрами притяжения всегда расположена гирлянда островков третьего центра притяжения. Границы этих островков, в свою очередь, состоят из гирлянд островков меньшего размера и т. д.

Фрактал Ньютона, полученный методом Ньютона, примененного для поиска решений кубического уравнения Z³ -1 = 0. Один из корней лежит в белой области рисунка. Два других корня — в черной области рисунка. Пограничный слой между этими тремя корнями представляет собой фрактал. Каждая точка спиралеобразных границ соприкасается с тремя областями трех корней кубического уравнения

Границы Ньютона с разрешением 2048 х 2048 пикселей

Такая феерия была бы невозможна, если бы не фрактальная природа границ: непрерывно уменьшаясь в размерах, детали границ постоянно воспроизводят сами себя. В результате оказывается, что каждая точка такой фрактальной границы соседствует сразу с тремя областями притяжения.

Таков естественный результат конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Между двумя конкурентами порой возникает третий, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет границы в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению, — это, так сказать, «диссиденты». Пайтген и Рихтер в книге «Красота фракталов» поясняют:

 «Простые контуры, отражающие противоборство противоположных принципов, являются исключением. Каждый большой конфликт сопровождают тысячи малых. Таким же образом типичной структуре границы соответствуют аналогичные структуры все меньших и меньших масштабов».

Удивительно, что столь сложная структура границ и чередующихся областей сформировалась в поле всего лишь трех точек притяжения. Траектория в поле притяжения трех тел заслуживает особого внимания.

Будучи предопределенной, она непредсказуема.

Эта непредсказуемость завораживает. Иначе почему же по всему миру продают игрушку — маятник, состоящий из подвешенного на конце нити железного шарика. Под маятником находятся три магнита, притягивающие шарик. Траектория шара выглядит весьма запутанно и очень чувствительна к исходным условиям: начальному положению шара, трению и силе гравитации.

После серии колебаний маятник замрет, а шарик зависнет точно над одним из трех магнитов. Но всегда ли шарик устремится к тому из аттракторов, который окажется ближайшим к его начальному положению? Отнюдь нет! Попробуйте — и убедитесь сами. При различных начальных условиях шарик описывает весьма замысловатую траекторию, а его конечное положение представляется совершенно непредсказуемым, будучи предопределенным. Иначе говоря, траектория шарика в поле притяжения трех магнитов есть траектория на фрактале — фрагмент странного аттрактора.

Существует много вариантов перехода от порядка к хаосу. Но в их разнообразии есть нечто неизменное, нечто типовое — это конкуренция нескольких центров за доминирование. Простые границы в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место филигранно точная и чрезвычайно сложная организация границ в поле притяжения простого фрактального аттрактора.

Существует множество разнообразных фрактальных границ. Это не только фрактальные границы Ньютона. Это, например, гиперболический синус, гиперболический косинус и многие другие. Все они описываются простыми по форме функциями (не сложнее формулы Ньютона), которые занимают ничтожно мало места в памяти компьютера, производят огромное разнообразие форм, для их хранения не хватит памяти даже самого мощного компьютера. И это напоминает генетическую организацию живой материи, принцип которой в том, что ограниченный набор генов определяет неограниченное разнообразие фенотипов организмов, иными словами:

геном контролирует феном.

Исследуя границы Ньютона, Хаббард обнаружил еще одну странную особенность. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка границы одновременно касается областей притяжения всех аттракторов.

В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области!

Все это звучит неправдоподобно, но «планета» на рисунке, взятом из статьи Хайнца-Отто Пайтгена и Питера Рихтера «Границы хаоса», иллюстрирует такую возможность.

Темным, светлым и серым цветами окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в светлый и темный цвета), третья область (серая) вклинивается между ними. Чтобы эти клинья не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна показывает обратную сторону планеты.

В эпистемологии приставка «мета-» означает «о себе». Например, метаданные — данные о данных (кто выдает их, когда, какой формат данных используется и т.п.). Аналогично, метапамять в психологии обозначает интуицию личности о том, сможет ли она вспомнить нечто, если сконцентрируется на воспоминании. Фрактал Мандельброта — это метафрактал, это фрактал-ландшафт для фракталов Жюлиа.

Сложные формы, производимые простыми алгоритмами, появились на экранах мониторов после того, как Бенуа Мандельброт запустил на одном из первых компьютеров IBM итерацию Жюлиа. Описанное Жюлиа еще в 1918 году отображение выглядит крайне просто:

Берем ноль, возводим его в квадрат и прибавляем к результату комплексную константу С. Полученный результат возводим в квадрат и добавляем ту же константу С. И так можно продолжать до бесконечности. Это отображение может быть применено к комплексным числам Z и С. Использование комплексных чисел усложняет расчеты, но вместе с тем позволяет увидеть весь ландшафт с «высоты птичьего полета». Когда такая возможность была реализована, появилась фрактальная геометрия.

Вычислительные машины стали детонатором фрактальных представлений. В 1977 году появилась техническая возможность рассчитать и визуализировать сложные, многократно повторяющиеся расчетные алгоритмы. Мандельброт тогда работал на фирме IBM и по роду службы имел дело с лучшими на то время компьютерами. На экране его монитора — вдруг, словно по мановению «невидимой руки», — появились узоры, замысловатые и странные.

В 1980 году Мандельброт обнаружил множество, которое мы называем теперь фракталом Мандельброта. Это не просто причудливая фигура. Это еще и принцип перехода от связного и упорядоченного — к разрывному и хаотическому состоянию форм. Множество Мандельброта содержит в себе универсальность Фейгенбаума, но не ограничивается ею.

С самого начала предпринятого им исследования Мандельброт искал пограничную линию между связными и разрывными множествами Жюлиа. Он анализировал комплексное итерационное уравнение Жюлиа:

Начнем с простейшего из возможных значений константы С, а именно

Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат исходного числа:

Для этой последовательности в зависимости от Z_Q имеются три возможности:

1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нолю. Мы говорим, что нуль является аттрактором для процесса Z → Z². Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему.

2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности. Мы говорим, что бесконечность является аттрактором для такого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от ноля, движутся к бесконечности.

3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от ноля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в ноле.

Ситуация ясна. Плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Дело обстоит сложнее, когда мы выберем ненулевое значение С, отличное от ноля. Например,

Здесь для последовательности Z₀ → Z₁ → Z₂ → ... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор (отмеченный точкой на рисунке) уже не является нолем, а граница уже не выглядит гладкой. Она сильно изломана. Причем под лупой граница выглядит столь же изломанной, как и без нее. Она фрактальна.

Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее поворотов или заливов, можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры.

Если выбрать новое значение С, скажем,

то получим множество, которое представляет собой не единственную деформированную окружность, а состоит из бесконечного числа деформированных окружностей, образующих, однако, связное множество. Внутренние точки этого множества притягиваются не одной неподвижной точкой, а циклом из трех точек, отмеченных на рисунке более крупно. И эти границы также фрактальны.

Множества Жюлиа с одной притягивающей неподвижной точкой С = -0.12375 + 0.56508i и множество Жюлиа с притягивающим циклом периода 3С = -0.12 + 0.74i

Оба эти множества — представители семейства множеств Жюлиа. Во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фату изучили их свойства, но их исследования долгое время оставались малоизвестными даже для большинства математиков. Это не удивительно. Без компьютерной графики было почти невозможно передать их тонкие идеи. Например, Жюлиа и Фату было хорошо известно о самоподобии. Они установили, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, используя конечное число итераций отображения

Z → Z₂ + С.

Еще более трудно представить сложную динамику множеств Жюлиа, не прибегая к компьютерной графике. Не менее сложно предсказать, какой вид будет иметь множество Жюлиа при том или ином значении параметра С.

Исследование Мандельброта позволило преодолеть эти трудности. Ученый нашел и построил границу, внутри которой каждой точке соответствует то или иное связное множество Жюлиа. Любой точке за пределами этой границы соответствует такое множество Жюлиа, которое как бы рассыпается на бесконечное число оторванных друг от друга фрагментов.

Представим себе некоторый путь, начинающийся внутри множества Мандельброта и заканчивающийся вне его. Если менять С, двигаясь вдоль этого пути, то самые драматические изменения происходят с множествами Жюлиа тогда, когда наш путь пересекает границу множества Мандельброта. Здесь, на границе, множества Жюлиа, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек. В этом смысле граница множества Мандельброта определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа.

Эта граница занимает область в диапазонах

-2,25 < Re(0) < 0,75

и

-1,5 < lm(C) < 1,5.

Множество Мандельброта для процесса Z→Z²+C. Показана часть комплексной C-плоскости -2,4 < Re C < 0,8; -1,5< Im C < 1,2

Различным зонам множества Мандельброта отвечают некоторые качественные утверждения о множестве Жюлиа.

Например, кардиоида, очерчивающая главное тело, содержит все значения С, при которых множество Жюлиа будет более или менее деформированной окружностью, охватывающей область притяжения некоторой неподвижной точки.

На действительной оси множества Мандельброта реализуется Ферхюльстов сценарий удвоения периода. Период два будет устойчивым внутри большой почки, которая примыкает к основному телу с левой стороны и размещается в интервале на действительной оси:

-1,25 < С < -0,75.

Точка С = -2 является крайней точкой антенны множества Мандельброта.

Мы видим, что по сравнению с анализом на действительной оси выход в комплексную плоскость дает более полную картину перехода от связного порядка к разрыву и хаосу.

На что же похоже множество Жюлиа для значений С из какой-либо почки множества М, примыкающей к основному телу?

Один из примеров представляет собой параболический бассейн около неподвижной точки при

С = -0,481762 - 0,531657i.

Это значение С соответствует месту прорастания почки, дающей устойчивые циклы периода 5. Все пять точек таких циклов отщепляются от жирной точки, когда С переходит внутрь почки.

Параболический бассейн около неподвижной точки С = -0,481762 - 0,531657i

Помимо точек прорастания почек основное тело множества Мандельброта обладает граничными точками совершенно иных типов. Неподвижная точка будет устойчивой для

С = -0,39054 - 6,58679i.

В отличие от параболического случая, граница не подходит к неподвижной точке, да и остальные точки при движении ее тоже не достигают. Окружности, охватывающие неподвижную точку, являются инвариантными, т. е., выбрав начальную точку на какой-нибудь из этих окружностей, мы ее уже никогда не покинем при последующих итерациях.

Внутри области, ограниченной множеством Жюлиа, процесс протекает следующим образом: сначала точки перескакивают из меньших, периферийных, точек в большие до тех пор, пока не попадут внутрь диска, содержащего неподвижную точку. Этот диск назван диском Зигеля в честь немецкого математика Карла Людвига Зигеля. После того как точки попадают туда, они начинают просто вращаться вокруг неподвижной точки по своим инвариантным окружностям.

Диск Зигеля около неподвижной точки и его прообразы при С = -0,39054 - 6,58679 i

Описанные выше четыре примера иллюстрируют все типичные случаи, когда граница, порожденная отображением Z → Z² + С, охватывает область с внутренними точками.

Итак:

• Если С лежит внутри основного тела множества Мандельброта, то некоторая фрактально деформированная окружность охватывает единственную притягивающую неподвижную точку (пример 1).

• Если С лежит внутри одной из точек, то множество Жюлиа состоит из бесконечного числа фрактально деформированных окружностей, охватывающих точки периодического аттрактора и их прообразы (пример 2).

• Если С является точкой прорастания почки, то имеет место параболический случай; граница имеет усики, дотягивающиеся до маргинально устойчивого аттрактора (пример 3).

• Если С является любой другой точкой границы кардиоиды или точки (имеются некоторые технические условия относительно иррациональности точки), то мы имеем диск Зигеля (пример 4).

В фундаментальной математической работе в 1983 году американец Деннис Салливан показал, что указанные четыре случая описывают все возможные характерные структуры, которыми может обладать область, ограниченная множеством Жюлиа, за исключением одной. Пятая возможность — так называемые кольца Эрмана. Они названы так в честь американского математика Михаила Эрмана, первым построившего этот тип множеств Фату в 1979 году.

Эти примеры отнюдь не исчерпывают список всех возможных структур множеств Жюлиа. Множество Мандельброта окружено шипами и иглами, похожими на антенны. Если мы поместим С на самый конец одной из таких антенн, то получим и множества Жюлиа, по форме подобные иглам. При более внимательном рассмотрении оказывается, что каждая антенна множества Мандельброта содержит множество маленьких копий всего множества Мандельброта. Они как бы нанизаны на нити, и между двумя большими копиями имеется еще одна, меньшая, и так далее без конца. На рисунке показан пример С = i. Такие дендриты не имеют внутренности, но сохраняют связность. До тех пор, пока С принадлежит множеству Мандельброта, множество Жюлиа остается связным. Согласно теореме Адриена Дуади и Джона Хамала Хаббарда множество Мандельброта также связно.

Оператор приближения «zoom», примененный к фракталу Мандельброта

Если взять значение C вне множества Мандельброта, то единственным аттрактором будет бесконечность, но теперь множество Жюлиа распадается в облако точек, называемое «пылью Фату». Эта пыль становится все мельче с удалением точки С от множества Мандельброта. Если С находится вблизи границы множества Мандельброта, то пыль образует завораживающие семейства, такие как дендриты с бусинками и ряды морских коньков.

Выход Мандельброта в комплексную плоскость по сравнению с анализом на действительной оси позволяет сгладить разрывы и сделать картину перехода более плавной, более непрерывной. Иллюстрацией этому служит связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. В первом случае С — комплексное число. Во втором случае С — действительное число. Как видно из рисунка на следующей странице, бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне.

Открытие Мандельбротом универсальной формы, фрактала Мандельброта, радикально изменило отношение между простым и сложным. Теперь сложность стала проявлением простоты, а простота стала необходимым условием сложности.

Типичные множества Жюлиа для процесса Z→ Z² + С:

а) параболический случай; при подходящем произвольно малом изменении С: маргинально устойчивая неподвижная точка превращается в притягивающий цикл периода 20;

б) параболический случай С = -1.25: С > - 1.25: притягивающий цикл периода 2; С < -1.25: притягивающий цикл периода 4;

в) связное множество Жюлиа (притягивающий цикл периода 3) незадолго до превращения в канторово множество (см. рис. е);

г) пыль Фату;

д) дендрит, С = i;

е) Канторово множество, получающееся из рис. 6 при малом изменении параметра С.

Пыль Фату:

а) Дендрит с бусами. Множество Жюлиа для значения С из вторичного множества Мандельброта;

б) Множество Жюлиа при некотором значении С из долины морских коньков.

Связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. Бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне

Алекс Беллос, автор книги «Красота в квадрате», пишет:

Итак, клеточные автоматы — это математические объекты с дискретными пространством и временем. Каждое положение в пространстве представлено отдельной клеткой, а каждый момент времени — дискретным временным шагом или поколением. Состояние каждой пространственной клетки определяется очень простыми правилами взаимодействия. Эти правила предписывают изменения состояния каждой клетки в следующем такте времени в ответ на текущее состояние соседних клеток.

Преобразование системы по правилу «сумма по модулю два»

Например, если пустой клетке присвоено значение 0, а занятой клетке — 1, то правила можно представить, скажем, так: на каждом шаге каждой клетке присваивается значение 0, если две ближайшие к ней клетки либо обе пусты, либо обе заняты. В арифметическом смысле это соответствует правилу, согласно которому новое значение каждой клетки равно сумме значений ближайших к ней клеток по модулю два. Далее такое построение можно автоматически повторять на каждом следующем шаге — отсюда название «клеточный автомат».

Впервые идея таких автоматов появляется в 1940-х годах в работах Джона фон Неймана и Станислава Улама. Улам и фон Нейман были близкими друзьями, эмигрантами из Восточной Европы, выходцами из верхушки среднего класса с еврейскими корнями. Оба очутились в одинаковой политической ситуации и оба обладали выдающимся интеллектом. В 1935 году фон Нейман пригласил Улама в США, а четыре года спустя сделал Уламу, работавшему тогда в Висконсинском университете, более интригующее предложение: перебраться в Нью-Мексико и присоединиться к нему в работе над неизвестным проектом. Улам взял в университетской библиотеке путеводитель по штату Нью-Мексико и увидел, что до него путеводитель брали его коллеги, которые исчезли куда-то без всяких объяснений. Выяснив, в каких областях они работали, он понял, что именно его просят сделать. Так Улам присоединился к Манхэттенскому проекту в Лос-Аламосе.

В ходе разработки термоядерного оружия Улам понял, что если поведение физической системы является слишком сложным, то для того, чтобы его прогнозировать, нужно предоставить компьютеру возможность сделать множество случайных оценок, а затем получить более точные показатели с помощью статистических методов. Во время одной из поездок на автомобиле Улам объяснил этот метод фон Нейману; тогда и было придумано для него название — «метод Монте-Карло». Например, для того чтобы определить вероятность того, что шарик рулетки остановится на черном, игроку не нужно решать уравнение — он может просто подсчитать, сколько раз шарик выпадает на черное после сотен случайных бросков.

Так Улам увлекся теорией игр. Все свое свободное время в Лос-Аламосе он тратил на изобретение игр с одним участником. Эти игры сводились к созданию шаблонов из ячеек решетки. Изменение правил создания таких шаблонов позволяло строить фигуры, которые могли разрастаться и меняться весьма необычными способами. Эти игры вдруг пересеклись с исследованиями, в которых фон Нейман пытался выяснить, что понадобится машине, чтобы воспроизвести себя.

Ему понадобилось посвятить 200 страниц своей книги «Теория самовоспроизводящихся автоматов» доказательству того, что «универсальный строитель» принципиально возможен. Однако он обнаружил, что самовоспроизводиться способна только машина, преодолевшая определенный порог сложности. Это очень важный вывод: качественно новые свойства появляются у системы только тогда, когда она обладает достаточным уровнем сложности.

Улам выдвинул предположение, что для того, чтобы сосредоточиться исключительно на логических аспектах самовоспроизведения, вместо работы с реальной машиной фон Нейману следует проанализировать фигуры, образующиеся на решетке ячеек. В процессе обсуждения этой задачи двое ученых изобрели новую математическую концепцию — «клеточный автомат».

Фон Нейман разработал клеточный автомат, в котором каждая клетка находилась в одном из 29 состояний, и придумал правила, призванные обеспечить самовоспроизведение исходного шаблона, состоящего из 200 000 клеток. Клеточные автоматы не привлекали к себе особого академического интереса до тех пор, пока на них не обратил внимание британский математик с еще более «игривым разумом, чем у Улама».

В 1960-х годах в комнате отдыха математического факультета Кембриджского университета преподаватели и студенты постоянно играли в настольные игры и придумывали новые. Идей было так много, что один преподаватель даже вел файл под названием Games Without Names («Игры без названий») и сопутствующий файл — Names Without Games («Названия без игр»). Здесь Джон Конвей, ливерпульский фанатик игры в нарды и талантливый математик, изобрел свой клеточный автомат на квадратной сетке, которому он дал имя Game of Life («Игра "Жизнь"»).

В этой игре клетка является либо живой, либо мертвой и подчиняется следующим правилам.

• Рождение: мертвая клетка, имеющая три живые соседние клетки, становится живой.

• Выживание: живая клетка, имеющая две или три живые соседние клетки, продолжает жить.

• Смерть от одиночества: живая клетка, у которой нет по соседству живых клеток или есть только одна такая клетка, умирает.

• Смерть от перенаселенности: живая клетка с четырьмя или более соседними клетками умирает.

• Примечание. У каждой клетки есть восемь соседей; к их числу относятся четыре смежные клетки и четыре клетки, с которыми она соприкасается по диагоналям в углах. Перечисленные выше законы применяются по отношению ко всем клеткам одновременно, и каждый раз, когда это происходит, появляется новое поколение клеток.

Вот и все. Простота локальных правил может генерировать невероятно сложное поведение системы. При этом самая увлекательная особенность игры «Жизнь» заключается в том, что она разнообразна и совершенно непредсказуема. Нет другого способа узнать, что произойдет даже с самыми простыми фигурами, кроме отслеживания их жизни на протяжении многих поколений. Конвей и его коллеги делали это вручную. Живые клетки были фишками, которые размещались на доске для игры го с разметкой 19 х 19 линий. Когда для шаблона требовалось больше места, на полу укладывали дополнительные доски. Были найдены новые устойчивые конфигурации, получившие такие названия, как «батон», «корабль», «лодка» и «змея». Иногда исходный шаблон погибал или быстро менялся, превращаясь в одну из известных устойчивых конфигураций, а иногда начинал жить своей жизнью, что приводило всех в сильное волнение. Например, пентамино в форме буквы R состояло всего из пяти клеток, но продолжало эволюционировать на протяжении десятков поколений, пока на 69-м поколении не произошло исключительное событие. Эта конфигурация произвела на свет фигуру из пяти клеток, скользившую по доске.

Новая фигура получила имя «глайдер» (от англ. Glider — «планер», ее поведение проиллюстрировано на рисунке ниже). Через два поколения конфигурация переворачивается на другую сторону, а еще через два снова поворачивается таким образом, что оказывается на одну клетку ниже и на одну дальше от исходной позиции. Глайдер продолжает смещаться на одну клетку вниз и одну вперед каждые четыре поколения. Он будет двигаться в одном и том же направлении по диагонали до бесконечности, если ничто не преградит ему путь.

На мониторах ПК, планшетах или смартфонах появился целый зоопарк «живых» клеточных образований. В 1982 году Джон Конвей выдвинул предположение о том, что если бы решетка игры «Жизнь» была достаточно большой и в исходном состоянии клетки располагались на ней в случайном порядке, то

 «через приличный промежуток времени появились бы разумные существа, способные к воспроизводству».

И если на этом не остановиться, то у разумных клеточных существ могут появиться компьютеры, способные содержать внутри себя новые клеточные автоматы, в которых

«через приличный промежуток времени могли бы появиться разумные существа нового уровня».

Эта идея восходит к работам фон Неймана над машинами, которые были бы способны самостоятельно воспроизводиться. Размышляя над тем, как машина может построить точную копию самой себя, он столкнулся с логической проблемой. Вычисляющие машины, как мы знаем, состоят из аппаратного и программного обеспечения. Аппаратное обеспечение «конструирует» новый аппарат, следуя инструкциям, закодированным в программе. В идеале машина создаст новую машину с точно такой же программой. В этом случае программа должна содержать инструкции по поводу создания новой программы, которая в свою очередь должна содержать инструкции по поводу того, как создать инструкции в отношении построения новой программы, и так далее до бесконечности. В итоге мы получаем бесконечную регрессию инструкций, содержащихся в данной программе, что недопустимо, поскольку программа должна быть конечной. С другой стороны, если программа не включает никакую информацию о себе, машина не сможет себя полностью воссоздать, поскольку в новой машине нет программного обеспечения. Фон Нейман решил эту головоломку следующим образом: для того чтобы машина могла воспроизвести себя, необходимо ввести в систему новый элемент — устройство для копирования программы. Машина-конструктор считывает программу, строит новую машину, совершенную во всех отношениях, кроме одного — в ней нет программы. На последнем этапе устройство копирования создает копию программы и отправляет ее в новую машину. Самовоспроизводящаяся машина фон Неймана использует программу двумя разными способами: машина-конструктор читает ее как набор инструкций, а копировальное устройство создает ее копию.

Только применение программы один раз в качестве инструкции, а другой раз — в качестве объекта копирования позволило решить чрезвычайно трудную проблему бесконечной регрессии.

Теоретическая модель фон Неймана абсолютно точно отображает механизм самовоспроизведения живых организмов.

В каждой клетке есть символический каркас (ДНК), содержащий закодированные инструкции по репродукции новых клеток. Однако в ДНК нет описания самой ДНК. Та ДНК, которая появляется в новой клетке, представляет собой результат копирования (двойная спираль ДНК делится на две части, а ферменты создают две точные копии исходной ДНК). Подобно тому как машина фон Неймана прочитывает макет двумя способами, ДНК также ведет себя по-разному в процессе воспроизводства живой клетки. Она служит инструкцией для построения клеток, а затем делится и воспроизводит свою вторую половину из окружающей среды каждой новой клетки. По сути это означает, что информационная, или символическая, составляющая ДНК настолько активна, что способна создать свой отпечаток в окружающей среде.

Конвей не сомневался в том, что клеточные существа рано или поздно оживут, он ломал голову над тем, как в искусственном мире клеточных существ создать аналог персонального компьютера. Внутренняя схема компьютера на базовом уровне состоит из следующих компонентов: проводники, логические элементы и регистр памяти. Генератор тактовых импульсов порождает электронные импульсы, представляющие двоичные числа. Наличие импульса — это 1, а его отсутствие — 0. Все логические элементы выполняют операции трех базовых типов: НЕ, И и ИЛИ. Конвей сконструировал конфигурации, имитирующие логические элементы для таких операций. Он показал, что можно сделать так, чтобы потоки глайдеров меняли направление движения, что моделировало изгибы проводников. Конвей также продемонстрировал, как сделать потоки глайдеров разреженными, чтобы два потока могли пересечься, избежав при этом столкновения глайдеров, что изображало пересечение проводников. Кроме того, он показал, как сделать регистр памяти из блоков. Каждый блок представляет собой какое-то число, в зависимости от его расстояния от определенной точки. Глайдеры, которые врезаются в блок, перемещают его ближе к этой точке или дальше от нее, меняя значение блока. Конвей доказал, что игра, ставшая его математическим хобби, теоретически способна имитировать любой существующий в нашем мире компьютер. Получив приведенное выше доказательство, Джон Конвей потерял интерес к игре. Однако Пол Чэпмен решил, что работу необходимо продолжить, ведь

«знать, что что-то можно сделать, и сделать это — совершенно разные вещи».

На рубеже столетий он построил компьютер внутри игры. Игровая имитация компьютера имела «железо» и «программы». Первое — конфигурация устойчивых фигур, с которыми сталкиваются динамические фигуры, перемешиваются с другими динамическими структурами и перемещаются по всей системе. Процесс напоминает игру в одну из разновидностей бильярда. В регистр входа поступал сигнал, означающий величину 1, и сигнал, означающий величину 2. Система состояла из нескольких миллионов живых клеток и программы, содержащей инструкции по поводу того, как вычислить сумму 1 + 2. В конце концов блок в регистре вывода показывал число 3. Пол Чэпмен был в восторге. Он вспоминал:

 «Я был в восторге! Если я могу сложить один и два, это говорит о том, что эта же машина может рассчитать миллионную цифру числа π, управлять системой Windows или, если ввести правильные параметры, смоделировать жизненный цикл звезды!»

Все эти достижения внушают оптимизм, но остаются загадочными сами основы «жизни». Чтобы разобраться в «механике жизни», Стивен Вольфрам первым в восьмидесятых годах глубоко изучил самые простые одномерные клеточные автоматы. Он обладал необычайными математическими способностями, рано начал научную карьеру, опубликовав свою первую исследовательскую работу еще во время учебы в Итоне в 1970-х. Когда ему исполнилось немногим более двадцати лет, он уже работал в Институте перспективных исследований в Принстоне. Вольфрам разработал язык программирования, который лег в основу системы компьютерной алгебры Mathematica — пакета программ, позволяющих чертить кривые и решать уравнения. В настоящее время она широко используется в сфере образования и разных отраслях экономики. С 1987 года Вольфрам возглавил компанию Wolfram Research, которая благодаря успеху системы Mathematica дала ему возможность проводить собственные научные исследования независимо от университетов. Все свое свободное время он посвятил исследованию так называемых линейных автоматов. Линейный автомат — это такой клеточный автомат, полем в котором служит кольцо толщиной в одну клетку. Следующее поколение получается из предыдущего и отображается под всей структурой. Таким образом, мы имеем плоскость, по одной оси которой единственная пространственная координата, а по другой — время, в результате чего мы можем просмотреть всю эволюцию популяции. Правила автомата довольно просты — они похожи на правила «Жизни» в одномерном случае:

• если над исследуемой клеткой количество соседей равно 3, клетка рождается;

• если над клеткой соседей меньше 2, то она «умирает».

Правило жизни в линейном автомате. Показаны восемь возможных комбинаций клетки и двух ее соседей. Под каждой комбинацией изображено состояние клетки после смены поколения. В первой комбинации живая клетка находится в окружении двух живых соседних клеток. Значит, в следующем поколении она умрет. Вторая комбинация содержит живую клетку слева и мертвую справа, стало быть, средняя клетка останется в следующем поколении в живых. Если две соседние клетки одинакового цвета, внизу будет получена белая клетка. Если разного, нижняя клетка будет черной

Начнем фиксировать эволюцию одномерного клеточного автомата с одной живой клетки (поколение 0). Согласно описанным правилам на следующем ряду (поколение 1) мы обнаружим две живых клетки и одну мертвую клетку между ними. Затем, применив это правило к каждой клетке данного ряда, получим следующий новый ряд (поколение 2), и т. д. В процессе развития такой популяции получается структура, идентичная «салфетке Серпинского»!

«Правило 90»: эволюция линейного автомата

Вольфрам определил, что существует 2x2x2 = 8 комбинаций клетки и ее соседей, а также два возможных состояния (живая или мертвая клетка), а значит, есть 28 = 256 разных наборов «генетических правил» для одномерных клеточных автоматов. Эти правила он пронумеровал от 1 до 256. На представленном выше рисунке показано «правило 90», порождающее упорядоченные фигуры. Другие правила, такие, как «правило 30», более причудливы. Это правило, а также конфигурация, которую оно порождает начиная с одной живой клетки, проиллюстрировано на рисунке далее. Данная конфигурация представляет собой совокупность упорядоченных и хаотичных фрагментов. Зигзагообразная корка на левой боковой поверхности демонстрирует упорядоченность. Однако по мере передвижения направо мы видим неупорядоченную бугристую поверхность, состоящую из треугольников самых разных форм и размеров. Когда Вольфрам увидел «правило 30», он был поражен тем, что такое простое правило способно сгенерировать столь сложную конфигурацию, и высказался эмоционально:

«Это самое удивительное, с чем я когда-либо встречался в науке».

Вольфрам был поражен. Он внимательно проанализировал колонку, расположенную под исходной живой клеткой.

«Правило 30»: его генетические законы, его эволюция после 50 поколений и эволюция после более 200 поколений (А. Беллос. «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры») в первом ряду. Если взять за основу то, что живая клетка — это 1, а мертвая — 0, то эта колонка состояла из таких клеток:

1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0...

«Правило 30»: его генетические законы, его эволюция после 50 поколений и эволюция после более 200 поколений (А. Беллос. «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры»)

В этом не было никакой закономерности. К большому удивлению Вольфрама, стандартные статистические тесты показали, что это абсолютно произвольная последовательность. «Правило 30» полностью детерминировано, однако конфигурация ячеек в центральном столбце настолько непредсказуема, что ее невозможно отличить от последовательного подбрасывания монеты. Вольфрам запатентовал «правило 30» как генератор псевдослучайных чисел и применил его в продукте Wolfram Research — Mathematica. Также это правило было предложено для использования как шифратор последовательностей в криптографии. Однако Сиппер и Томассини показали, что «правило 30» плохо проходит тест на критерий согласия Пирсона (критерий χ²) в сравнении с другими псевдослучайными последовательностями, которые были получены при помощи других клеточных автоматов.

Порядок из хаоса. Все начинается с произвольного заполнения первого ряда клеток, которые в процессе работы клеточного аппарата спонтанным образом производят упорядоченные образования с долгосрочными корреляциями (в данном случае фракталы Серпинского). См.: Пол Девис. Новые открытия творческой способности природы к самоорганизации. М., 2011

Вольфрам открыл следующее:

 «Начиная уже с той совокупности, где каждая возможная конфигурация возникает с равной вероятностью, эволюция клеточного автомата увеличивает вероятности отдельных конфигураций и тем самым снижает энтропию».

Таким образом, энтропия в процессе эволюции сложного клеточного автомата может сокращаться, а порядок может спонтанно возникать из беспорядка. В этом смысле клеточный аппарат моделирует поведение диссипативных структур Пригожина, в которых порядок появляется из хаоса. Вольфрам и его коллеги утверждают:

 «Свойства поведения клеточных автоматов могут оказаться общими свойствами поведения многих сложных систем с необратимой динамикой».

Клеточные автоматы — это дискретные математические модели, в которых простые локальные правила генерируют неожиданно сложное поведение в более крупном масштабе. Вольфрам — один из главных сторонников той точки зрения, что клеточные автоматы — не только увлекательная математическая игра, но и способ объяснить сложность физического мира. Мысли Вольфрама по этому поводу изложены в книге «А New Kind of Science» («Новый вид науки»), которую он опубликовал на свои средства в 2002 году. В частности, в ней Вольфрам утверждает, что информация, полученная благодаря анализу «правила 30», открывает новую научную парадигму примирения порядка и хаоса. Правило представляет интерес, потому что оно порождает сложные, во многих отношениях случайные структуры из простых, четко определенных правил. Вольфрам полагает, что клеточные автоматы в целом и «правило 30» в частности — ключ к пониманию того, как простые правила могут порождать сложные структуры и различное сложное поведение разных природных объектов. В своей книге он задается фундаментальным вопросом о структуре Вселенной и дает неожиданный ответ:

«Структура Вселенной аналогична решетке в моделях клеточных автоматов, которая существует вне пространства и времени».

Вне пространства и времени существует символическая реальность. В начале книги я говорил, что необходимо изменить наши представления о реальности так, чтобы признать символ столь же реальным и весомым как вещество и действие. Символ существует вне пространства и вне времени, но он структурирует материю и упорядочивает ее поведение в пространстве и времени. Собственно само пространство и само время есть символические качества, которые доступны нам благодаря шестому чувству — сознанию. Сознание — это такое чувство, которое позволяет воспринимать и различать символы. Символы благодаря своему рациональному и чувственному воздействию формируют реальность, которая поддерживает и производит символический строй.

Термин «перколяция» происходит от латинского слова percolare, которое означает «просачиваться» или «протекать». В физике и химии — это процесс протекания жидкостей через пористые материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и другие подобные процессы.

Перколяция — основной способ производства настоек. Перколяция проводится следующим образом. Подлежащее извлечению измельченное сырье смачивают в отдельном закрытом сосуде (перколяторе) достаточным количеством экстрагента, добавляя его до полного и равномерного смачивания сырья. Оставляют все это на 4 часа, после чего набухший материал плотно укладывают в перколятор и при открытом спускном кране добавляют такое количество экстрагента, чтобы слой его (зеркало) над поверхностью составлял 30-40 мм. Вытекающую из крана жидкость наливают обратно в перколятор, закрывают кран и оставляют на 24 часа, затем медленно перколируют, спуская за 1 час объем жидкости, соответствующий примерно 1/48 используемого объема перколятора, до получения необходимого количества настойки.

Теория перколяции описывает поведение связных структур, состоящих из отдельных элементов — кластеров. Кластер представляет собой дискретную решетку с узлами и связями. Когда все узлы заблокированы или все связи закрыты, то поток через кластер прекращается. Когда они открыты, по связям через узлы идет ток. При каком-то критическом значении «открытости» происходит «перколяционный» переход, являющийся аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности такого перехода.

Своим появлением теория перколяции обязана работе английских ученых Бродбента и Хаммерсли. В середине пятидесятых годов прошлого века Бродбент занимался разработкой противогазовых масок для шахт по заданию Британского объединения по исследованию применения угля. Столкнувшись с математической проблемой, Бродбент привлек математика Джона Хаммерсли.

Основной элемент маски — это уголь, через который должен проходить газ. В угле есть поры, причудливо соединяющиеся друг с другом, так что образуется нечто вроде запутанного лабиринта. Газ может проникать в эти поры, адсорбируясь (осаждаясь) на их поверхности. Оказалось, что если поры достаточно широки и хорошо связаны друг с другом, то газ проникает в глубь угольного фильтра. В противоположном случае газ не проникает дальше поверхности угля. Движение газа по лабиринту представляет собой процесс нового типа, существенно отличающийся от хорошо известного в физике явления диффузии. Бродбент и Хаммерсли назвали такие явления «процессами протекания» (по-английски percolation processes).

За 25 лет, прошедшие с первой работы Бродбента и Хаммерсли, выяснилось, что теория протекания необходима для понимания широчайшего круга явлений, относящихся, главным образом, к физике и химии. Вероятно, наиболее разработанной в настоящее время областью применения теории протекания являются электрические свойства неупорядоченных систем, таких как аморфные полупроводники, кристаллические полупроводники с примесями или материалы, представляющие собой смесь двух разных веществ — диэлектрика и металла.

Самым существенным в теории перколяций являются так называемые критические явления. Эти явления характеризуются «критической точкой», в которой определенные свойства системы резко меняются. К критическим явлениям относятся также фазовые переходы второго рода (например, переход металла из нормального состояния в сверхпроводящее при понижении температуры). Физика всех критических явлений состоит в том, что

Очертания блоков при этом случайны. В некоторых явлениях вся конфигурация хаотически меняется со временем за счет теплового движения, в других явлениях она заморожена, но меняется при переходе от образца к образцу. Блоки расположены беспорядочно, так что, глядя на мгновенную фотографию системы, трудно увидеть какие-либо закономерности. Однако «в среднем» эта геометрия, которую можно назвать «геометрией беспорядка», обладает вполне определенными свойствами.

Например, физические свойства кристаллов определяются геометрией кристаллических решеток. Точно так же ряд свойств системы, находящейся вблизи критической точки, определяется «геометрией беспорядка». Самое интересное то, что благодаря большим размерам блоков эта геометрия фактически не зависит от атомной структуры вещества и потому обладает универсальными свойствами, одинаковыми для многих совершенно разных систем. Отсюда следует универсальность физических свойств, проявляющаяся в окрестности критических точек. Такого рода связь между физикой и геометрией проявляет себя в теории перколяции.

Основное положение теории перколяции заключается в предположении, что существует порог протекания, вблизи которого все параметры системы степенным образом зависят от близости к этому порогу.

Для иллюстрации рассмотрим «переход через болото». Перепрыгивая с кочки на кочку, иногда удается преодолеть болото. Это возможно, если кочки находятся достаточно близко друг от друга. Может случиться так, что кочки окажутся на далеком расстоянии. И это не даст возможности пересечь болото. Существует критическая плотность n_с расположения кочек, при котором становится возможным преодолеть болото. Такую ситуацию называют порогом протекания. Вблизи порога протекания все параметры системы степенным образом зависят от разности Δn = n - n_с. Когда n >> п_c, кочки расположены достаточно плотно, и путник в конце концов преодолеет болото. Если п < п_с, то кочки расположены далеко друг от друга, и путник не сможет прыгать по ним. Вблизи n ≈ n_с путник может и не пройти болото. Все теперь зависит от размеров путника и от распределения расстояний между кочками на болоте. Сопряжение этих параметров описывается различными фрактальными размерностями.

1. Перколяционный кластер и его остов. Задача узлов на квадратной решетке. Узлы остова отмечены черным цветом; узлы, принадлежащие мертвым концам, — серым.

2. Перколяционный кластер, его полный и внешний периметры.

Перколяционный кластер является фрактальным образованием, в котором можно выделить фрактальные подструктуры. Рассмотрим пример «задачи узлов на квадратной решетке». Типовая решетка состоит из островов и связей (проводящая часть кластера), а также из мертвых концов. Мертвые концы составляют большую часть кластера, однако не участвуют в проводимости. Критические связи — одиночные связи, при разрушении которых перколяционный кластер перестает проводить ток. Скелет кластера — объединение всех кратчайших путей от данного узла до узлов на заданном расстоянии. Эластичный остов — объединение всех кратчайших путей между двумя данными узлами. Оболочка, или внешний периметр, состоит из тех узлов кластера, которые соприкасаются с пустыми узлами и соединены с бесконечностью посредством пустых узлов. Полный периметр включает также пустоты внутри кластера.

Было предложено несколько геометрических моделей, описывающих структуру перколяционного кластера. Первой моделью такого рода была модель Скал — Шкловского — де Жена.

В 1974 году советские физики А. С. Скал и Б. И. Шкловский, а в 1976 году независимо от них французский физик Пьер Жиль де Жен, предложили модель, описывающую структуру остова перколяционного кластера в пренебрежении мертвыми концами. Модель была предложена, чтобы предсказывать и описывать такие свойства, как проводимость и эффект Холла. В этой модели предполагается, что кластер состоит из искривленных связей, соединенных узлами, образуя нерегулярную сверхрешетку с параметром ξ, т. е. ξ является средним геометрическим расстоянием между ближайшими узлами.

Перколяционный кластер в модели капель и связей. Показана только малая часть мертвых концов (тонкие линии). Капли представлены в виде окружностей. Расстояние между каплями и их диаметры имеют величину порядка корреляционной длины

Первые три шага построения иерархической модели

Несмотря на то что модель представляет ограниченный практический интерес, она имеет один важный аспект: является точной мерой плотности проводящих путей в типичном сечении образца. Это следует из того, что главное упрощающее предположение, сделанное в модели, является предположением о том, что в бесконечном кластере имеется только одна петля. Это справедливо только в случае больших размерностей (6 и выше). В случае малых размерностей кластер состоит из петель, находящихся внутри других петель, которые в свою очередь находятся в других петлях, и т. д. Это справедливо во всех размерностях, и среднее расстояние между независимыми проводящими путями равно ξ.

В 1977 году Стенли предложил модель капель и связей. Она подробно исследована в 1982 году Конильо. В этой модели предполагается, что возникающий бесконечный кластер состоит из фрагментов, в которых существуют многочисленные связи (капли), эти фрагменты соединены друг с другом одиночными связями.

Эта модель уже прямо указывает на фрактальную интерпретацию эффектов перколяции. Посмотрите на фрактал Мандельброта — Гивена. В структуре фрактала Мандельброта — Гивена можно обнаружить петли, ветви и мертвые концы всех размеров. Таким образом, фрактал содержит те же элементы, что и перколяционный кластер. Это одна из многочисленных фрактальных структур, которые успешно применяются для моделирования перколяционных кластеров, таких как «ковер Серпинского» или «губка Менгера».

Этапы построения фрактала Мандельброта — Гивена

Перколяция и гидродинамика Вселенной В. И. Арнольд, «Математическое понимание природы» 

В 1981 году вышла книга британского ботаника Джона Хатчинсона «Фракталы и самоподобие», в которой рассматривался новый метод преобразования изображений. В 1985 году Майкл Барнсли, ведущий исследователь компании «Georgia Tech», опубликовал работу, в которой он ввел в математику понятие системы итерируемых функций (СИФ). Преобразование образов с помощью систем итерируемых функций стало одним из наиболее замечательных и глубоких достижений в теории фракталов. С легкой руки Майкла Барнсли этот метод приобрел броское, почти рекламное обозначение. Его стали называть «игрой хаоса».

Прежде чем перейти к «игре хаоса», договоримся о понятии аффинного преобразования. Преобразования сжатия, растяжения, переноса и поворота объекта называются аффинными преобразованиями. Аффинные преобразования есть линейные преобразования в том смысле, что они могут быть представлены в виде линейной функции:

где параметр А задает аффинное преобразование, а В — перенос, или так называемую трансляцию образа.

Действие аффинного отображения на единичный квадрат ABCD

Аффинное преобразование на комплексной плоскости можно задать системой уравнений:

x_n+1 = a_xn + b_yn + e, y_n+1 = c_xn + d_yn + ƒ

или матрицей:

В общем случае аффинное преобразование на плоскости определяется шестью независимыми действительными числами. Два числа е и ƒ описывают обычную трансляцию, а четыре числа а, b, с, d задают произвольное линейное преобразование при неизменном положении начала координат (0,0). Коэффициенты а, b, с, d, e, f можно считать символическим кодом некоторого аффинного преобразования. Каждая точка образа переводится посредством аффинной трансформации в новую точку на той же плоскости. Обычно преобразование образа сводится к нескольким аффинным преобразованиям, выполненным одно за другим. Коды всех преобразований можно представить в форме матрицы С:

Для примера рассмотрим треугольник Серпинского. Построение треугольника Серпинского можно описать простым геометрическим алгоритмом. Для начала из правильного треугольника удалим среднюю четверть в виде подобного ему правильного треугольника. С оставшимися тремя треугольниками повторим ту же процедуру. И так далее — с остающимися на каждом шаге треугольниками поступают аналогично.

Этот алгоритм можно формализовать с помощью трех аффинных преобразований:

Исходный блок может быть треугольником, но может иметь и любую другую форму. Форма блока не имеет значения. Пусть это будет квадрат. Преобразования ω будут смещать и уменьшать исходный квадрат:

Первые несколько итераций изображены на рисунке.

Теперь мы готовы рассмотреть «игру хаоса».

Суть предложенной Барнсли «игры» в том, что каждая строка матрицы С и, следовательно, каждое преобразование будет выбираться случайным образом с вероятностью р. Причем сумма вероятностей всех строк равна единице.

Для иллюстрации выберем на листе начальную точку — неважно, где именно. Придумываем два правила — для орла и для решки. Правила указывают, каким образом надо перемещать фишки, например: «переместиться на два дюйма на восток» или «приблизиться на 25% к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки на игровом поле. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки — когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, то обнаружим, что точки на плоскости формируют фигуру, обычно — фрактал. Форма этой фигуры зависит только от установленных нами правил!

Рассмотрим еще один способ применения системы итерируемых функций. Возьмем кость. Вместо цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 на шести гранях нанесем всего три буквы х, у, z. Каждая из них будет повторяться дважды. На листе бумаги нарисуем треугольник, вершины которого обозначим теми же буквами х, у, z. Перед началом игры внутри треугольника отмечают произвольную начальную точку. После первого броска расстояние от исходной точки до вершины треугольника, обозначенной буквой, выпавшей при бросании кости, делят пополам и наносят первую точку. Далее алгоритм повторяется от этой точки и т. д. Постепенно на листе бумаги появляется известный фрактал Серпинского. Разумеется, для этой игры совершенно несущественно, чтобы исходный треугольник был равносторонним. С равным успехом «играть в хаос» можно с треугольником любой формы. Дело в том, что фрактал Серпинского является аттрактором для данного алгоритма.

Изменим правила игры. Станем фиксировать точки не на середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины. Результат показан на рисунке. Получившееся множество точек — «пыль Серпинского» аналогично множеству «пыль Кантора». Фрактальная размерность такого множества равна единице.

В качестве исходной фигуры можно выбрать и любой другой многоугольник. Например, квадрат. Однако в случае квадрата нас ожидает сюрприз. Если проводить игру по тем же правилам, что и для треугольника Серпинского (т. е. ставить новую точку на середине отрезка), то точки равномерно заполнят весь квадрат. Но если, например, взять правильный шестиугольник и ставить точку не в середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины, то эти точки в процессе итераций образуют множество, которое условно можно назвать шестиугольником Серпинского.

Шестиугольник Серпинского состоит из шести одинаковых частей, каждая из которых подобна целому, но имеет размер в три раза меньше исходного. Поэтому его фрактальная размерность D = ln6/lnЗ = 1,6309... Кстати, именно в этом случае игра в хаос будет подобна настоящей игре в кости: на шести гранях игрального кубика можно поставить цифры от одного до шести, соответствующие каждой из вершин шестиугольника.

Заметьте также, что внутренняя граница этой фигуры представляет собой уже известный нам фрактал — «снежинку Коха».

В книге «Фракталы: между мифом и ремеслом» я привел множество фракталов, полученных с помощью систем итерируемых функций. Одним из наиболее известных примеров, несомненно, является открытая Барнсли система из четырех сжимающих аффинных преобразований, аттрактором для которой является множество точек, поразительно напоминающее по форме изображение листа папоротника. Эти аффинные преобразования можно представить в виде матрицы:

Каждая строчка этой матрицы соответствует одному аффинному преобразованию с коэффициентами а, b, с, d, e, f. В последнем столбце таблицы приведены вероятности р, в соответствии с которыми выбирается то или иное преобразование. Результат действия этой системы итерируемых функций на некоторую начальную точку для разного числа итераций показан на рисунке.

Лист папоротника. Слева направо показаны 2000, 4000, 10000, 50000 и 200000 итераций

Видно, как с ростом числа итераций действительно возникает все более и более четкое изображение листа папоротника, удивительным образом напоминающее существующее в природе растение. Это множество точек бесконечно самоподобно, как и полагается всякому фракталу. Кроме того, разрешение образа достигается не за счет увеличения числа исходных данных, но за счет увеличения числа итераций. Всего лишь увеличив количество итераций — звучит здорово, пока не попробуешь проделать это на практике. Но труды стоят того: исходные 28 чисел содержат всю необходимую информацию о листе папоротника и о любом сколь угодно маленьком фрагменте этого листа.

Еще один пример — кленовый лист. Он может быть закодирован следующей матрицей:

На нижнем рисунке показан образ кленового листа и также выделены зоны листа, произведенные каждым из четырех преобразований. Мы видим, что образ кленового листа формируется по большей части тремя фрагментами, похожими на кленовый лист в целом. Этот эффект есть следствие фрактального самоподобия.

Изображение кленового листа может быть воспроизведено с помощью относительно простой системы итерируемых функций, так как этот вид изображений обладает высокой степенью самоподобия. Это значит, что целое изображение состоит из уменьшенных копий его самого. Увеличивая такое изображение, мы будем наблюдать одну и ту же степень детализации независимо от разрешения. Реальные изображения не обладают высоким уровнем самоподобия, которое присутствует в изображениях, полученных с помощью систем итерируемых функций. Более того, реальные изображения могут быть представлены различной глубиной цвета от битовых— 1 bit/px (черный/белый) до TrueColor— 24 bit/px и более качественных. Если мы хотим представить такое изображение как результат действия системы итерируемых функций, то, очевидно, нам понадобятся разные системы итерируемых функций для разных фрагментов изображения.

В то же время совершенно очевидно, что изображение можно закодировать в виде систем уравнений. При этом нет необходимости запоминать изображение в высоком разрешении. Достаточно помнить алгоритм, который почти не требует сколько-нибудь значимого объема памяти. В 1985 году Барнсли разработал метод фрактального сжатия изображений, на который им был получен патент. Этот метод давал потрясающие результаты.

Фрактальное сжатие позволяет сократить требуемый объем памяти для хранения изображения в 200 раз — больше, чем это позволял сделать популярный формат JPEG.

Цифровые изображения занимают все большую часть медийного мира. Развитие Интернета, наряду с доступностью все более мощных компьютеров и прогрессом в технологии производства цифровых камер, сканеров и принтеров, привело к широкому использованию цифровых изображений. Отсюда постоянный интерес к улучшению алгоритмов сжатия изображений. Это важно как для скорости передачи, так и эффективности хранения. Кроме многих видов коммерческого использования, технологии сжатия представляют также интерес для военных, например, приложения обработки данных телеметрии, полученных от перехватчиков ракет, или для архивного хранения данных об изображении местности для моделирования оборонительных действий. Решение проблемы сжатия изображения, или, в более общем смысле, кодирования изображения, использовало достижения и стимулировало развитие многих областей техники и математики.

Выявление структуры данных — ключевой аспект эффективного представления и хранения этих данных.

Широко распространено кодирование образов JPEG. Конкуренцию алгоритму сжатия JPEG составляет фрактальное кодирование изображений. Барнсли и Слоун впервые увидели возможность применения фрактального кодирования в середине 1980-х годов. В 1987 году они основали компанию «Iterated Systems Inc.». Оборот компании составил $1,5 млн в 1991 г., $4,5 млн— в 1992-м, $10,5 млн— в 1993-м и $10,5 млн — в 1994 г. В 2001 г. «Iterated Systems Inc.» была переименована в «MediaBin Inc.», а в 2003 г.— куплена компанией «Interwoven Inc.».

Для продвижения бизнеса Барнсли и его коллеги провели блестящую рекламную кампанию. Они опубликовали несколько искусственно созданных картин со сжатием 10 000:1, что значительно превосходит типовой коэффициент сжатия изображений по стандарту JPEG (50:1). Более того, обратный процесс извлечения изображения из фрактального кода — один из самых простых и быстрых. Как и в случае сжатия JPEG, фрактальное сжатие не исключает потери в том смысле, что восстановленное изображение может не соответствовать исходному изображению «точка в точку».

Еще в начале 1990-х годов этот растущий бизнес был защищен патентами: U.S. Patent 5065447 (англ), U.S. Patent 4941193, 5065447, 5384867, 5416856 и 5430812. Патенты покрывают широкий спектр возможных изменений фрактального сжатия и серьезно сдерживают его развитие. Сегодня срок действия большинства патентов истек или истекает в ближайшем будущем. Это, возможно, приведет к ренессансу фрактального метода сжатия изображений.

Суть фрактального кодирования состоит в том, что на изображении обнаруживаются самоподобные участки, а затем осуществляется полное покрытие всего исходного изображения множеством уменьшенных трансформированных его копий.

Таким образом, перед нами задача, обратная той, в которой для данной системы итерируемых функций мы находим соответствующую этой системе геометрическую форму. Теперь требуется для данной формы найти наиболее подходящую систему итерируемых функций. Первым шагом в этом направлении стала теорема коллажа, которую Барнсли сформулировал в 1985 году.

Суть теоремы в том, что исходное изображение искажается, затем искаженные изображения накладываются друг на друга. Отличие между полученным и исходным образами говорит нам о том, сколь сильно отличается аттрактор этих искажающих преобразований от исходного образа. Возьмем кленовый лист. С помощью системы трех итерируемых функций мы можем получить три отображения, напоминающих исходный кленовый лист. Составим коллаж из этих отображений так, чтобы получился образ, более всего напоминающий исходный лист. Отличие полученного изображения от исходного образа кленового листа укажет, насколько изображение, соответствующее данной системе итерируемых функций, отличается от исходного изображения.

Теорема коллажа ничего не говорит о системе итерируемых функций, которые используются при формировании коллажа. Произвольные изображения, в отличие от фракталов, не самоподобны, так что это не так просто — разбить его на повторяющиеся фрагменты.

В 1992 году Арнольд Джеквин (в то время он был аспирантом Майкла Барнсли) придумал, как это сделать. Прежде всего необходимо найти самоподобие фрагментов данного изображения. Самоподобие необходимо, иначе ограниченные в своих возможностях аффинные преобразования не смогут верно описать изображение. Если подобия не прослеживается между частью и целым, то можно поискать его между частью и частью.

Упрощенная схема кодирования выглядит так. Изображение делится на небольшие квадратные области — блоки. Параллельно покрываем изображение доменами. Каждый из доменов в четыре раза больше блока. Домены могут пересекаться, их пул покрывает все изображение.

Для каждого блока по очереди подбираем доменный блок: ищем такое преобразование, которое делает домен наиболее похожим на текущий блок. Пара «преобразование — домен», которая приблизилась к идеалу, ставится в соответствие блоку. В закодированном изображении для каждого блока сохраняются коэффициенты преобразования и координаты домена.

Затем находим преобразование, которое переводит домены в ранговые области. Домены могут перекрываться, а ранговые области — нет, и притом обязательно покрывают единичный квадрат.

Получение оптимального преобразования — отдельная тема, однако большого труда оно не составляет. Но другой недостаток схемы виден невооруженным глазом. Двухмегапиксельное изображение будет содержать огромное число доменных блоков размером 32 х 32. Полный их перебор для каждой ранговой области и есть основная проблема такого вида сжатия — кодирование занимает очень много времени. С этим борются при помощи различных ухищрений, вроде сужения области поиска или предварительной классификации доменных блоков.

Декодирование же производится просто и довольно быстро. Берем любое изображение, делим на ранговые области, последовательно заменяем их результатом применения соответствующего преобразования к соответствующей доменной области (что бы она ни содержала в данный момент). После нескольких итераций исходное изображение станет похоже на себя.

Фрактальное кодирование и «игра хаоса» стоят в одном ряду с теорией цепей Маркова и методом Монте Карло. Цепь Маркова, говоря нестрого, есть последовательность особых случайных событий. Их особенность в том, что при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Это замечательная идея! Мы с ней живем. Будущее зависит от нашего поведения в настоящем. Наше поведение в настоящем может идти вразрез с прошлыми намерениями и линиями поведения. В каждой точке настоящего совершается разрыв с прошлым. Но и от прошлого мы не можем отказаться.

В русле этой модели американский математик польского происхождения Станислав Улам разработал метод, названный им «методом Монте Карло». Во время долгого выздоровления после болезни Улам раскладывал пасьянсы и задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Эти идеи легли в основу развития теории суперфракталов.

Обычные фракталы, которые мы строим по строго определенным правилам, не способны описать природное разнообразие. В книге «Суперфракталы» Майкл Барнсли пишет:

Такая модель появилась в 2002 году в процессе интенсивного сотрудничества Майкла Барнсли, Джона Хатчинсона и Оржана Стенфло в Австралийском Национальном университете (Камберра).

Традиционно математические пространства и множества содержат в себе точки. Сжимающие отображения уменьшают расстояния между точками. Если взять любую точку и начать последовательно применять к ней одно и то же сжимающее отображение ƒ(x), то результатом будет всегда одна и та же точка на множестве X — точечный аттрактор данного отображения.

Аттрактор системы итерированных функций представляет собой не точку, но фигуру, форма которой часто представляет собой фрактал — некое предельное множество точек Н (х). Если мы станем применять ту же систему итерируемых функций для точек множества Н (X), то аттрактором таких преобразований будет то же самое множество Н (X).

Если бы реальные динамические системы можно было описать системой итерируемых функций на фрактале, то разнообразие организованных форм давно бы себя исчерпало. Однако этого не происходит. Происходит то, что еще Чарльз Дарвин заметил и описал в последнем параграфе «Происхождения видов»:

«Цветущая сложность бытия» есть манифест того, что реальность обладает потенциалом креативности новых форм. Опыт показывает, что природа расточительна на производство материальных форм и экономна на создание операций для их производства. Идея суперфракталов позволяет смоделировать экономную расточительность природы.

Суперфракталы имеют неограниченное разнообразие форм при ограниченном наборе операций.

Для иллюстрации этих идей представим себе дерево, которое растет таким образом, что в каждом поколении его ветви расщепляются на V ветвей. Этот алгоритм роста назовем «V-изменчивым» (V-variability). Комбинаторика типовых ветвей может изменяться от поколения к поколению, но число типовых ветвей не изменяется и равно V (своего рода «ген»).

Обыкновенный детерминированный фрактал генерируется одной системой итерируемых функций. Более сложный фрактал генерирует еще более сложный составной фрактал — семейство систем итерируемых функций. Он состоит из отдельных фракталов, как бы сложенных вместе. Каждый из этих составных фракталов генерируется одной из систем семейства систем итерируемых функций.

Естественным логическим шагом является случайное перемешивание действия систем итерируемых функций. В результате получается некоторый стохастический гомогенный фрактал с двумя уровнями выбора операций. Сначала мы выбираем с определенной вероятностью систему итерируемых функций, а затем выбираем с определенной вероятностью саму функцию. Далее эту процедуру усложнения можно продолжать, добавляя уровни сложности, соединяя один гомогенный фрактал с другим гомогенным фракталом.

Получается своего рода операциональная матрешка, в которой системы операций внутреннего уровня встроены в семейства операций внешнего уровня благодаря вероятностному выбору. Операторы вероятностного выбора выполняют функцию клея. Они слаженно связывают действие функций одной системы между собой и между семействами систем итерируемых функций и далее между семействами семейств систем итерируемых функций.

В окружающем нас мире вероятность выполняет, быть может, самую конструктивную функцию. Вероятность «склеивает» любые логически не связанные между собой процессы и операции. Вероятностная случайность соединяет несоединимое.

Идея V-изменчивого фрактала радикально отличается от описанного выше сложного гомогенного фрактала тем, что применяет склеивающее свойство вероятностного выбора не только к итерируемым функциям, но и к состояниям, в которых фиксируется результат. И если раньше операциональным элементом являлась функция в семействах систем итерируемых функций, то теперь вводится квант состояния — ячейка, в которую попадает результат после расчета на каждом шаге итерационного процесса.

V-изменчивый фрактал, как и гомогенный фрактал, генерируется семейством систем итерируемых функций с наложенной на них вероятностью выбора одной из систем на каждом шаге итерации. Однако при записи результата в одно из V состояний выбор этого состояния для записи также реализуется по случаю с определенной вероятностью. В общем случае мы можем иметь N систем и V состояний записи результата.

Между тем из условия суперсимметрии число систем итерированных функций должно совпадать с числом состояний N=V. Вероятность выбора на каждом шаге итераций семейства систем итерированных функций и состояния записи результата определяется V x V матрицей вероятности.

Представим себе, что правила преобразования V типовых «генов» описывают V систем итерируемых функций. В первом поколении возникнет V типов ветвей — аттракторов. На втором шаге мы будем применять те же V систем итерируемых функций к точкам сформировавшихся аттракторов. Если каждую из V систем итерируемых функций применить к точкам аттракторов, образованных этой системой на предыдущем шаге, то второе поколение будет повторять первое поколение. Однако, если мы случайным образом перетасуем системы итерируемых функций и применим их к «чужим» аттракторам, то получим новое разнообразие из V типов аттракторов. Однако самое замечательное то, что после многочисленных итераций вне зависимости от набора типовых «генов» мы получим своего рода аттрактор аттракторов — суперфрактал.

Графическое представление четырех уровней «2-изменчивого» дерева

Для иллюстрации рассмотрим простой случай, когда V = 2. Поставим следующий компьютерный эксперимент. Зарезервируем два буфера памяти — левый L и правый — R, в которых разместим аттракторы первого поколения, полученные вследствие многократного повторения расчета систем итерируемых функций F и G.

Далее случайным образом выберем одну из систем итерированных функций F или G. Затем выберем случайным образом буфер (L или R) и запишем результат применения выбранной системы итерированных функций. Снова выберем буфер случайным образом (это может оказаться буфер, выбранный шагом ранее) и поместим в него аттрактор после второй трансформации. Объединим результаты двух трансформаций в новый буфер L′. Снова выберем случайным образом систему итерируемых функций. Снова выберем буфер L или R и поместим туда трансформированный аттрактор. Возьмем вторую систему итерированных функций и выберем случайным образом буфер L или R. Поместим в него очередной трансформированный аттрактор. Объединим результаты и поместим их в новый буфер R′. Далее содержимое буфера L′  поместим в буфер L, а содержимое буфера R′  поместим в буфер R.

Продолжим все сначала. Вероятность выбора того или иного буфера и вероятность выбора той или иной системы итерируемых функций установим равными 1/2. После нескольких повторений этого цикла аттракторы в обоих буферах станут совершенно независимыми от начальных условий. Суперпозиция полученных аттракторов представляет собой совершенно новую фрактальную форму, называемую суперфракталом.

Для определенности возьмем две системы итерируемых функций F={ƒ₁,ƒ₂} и G={g₁,g₂}, где:

Аттракторы этих функций показаны на рисунке.

Аттракторы функций F = {ƒ₁, ƒ₂} (верхняя часть узора) u G = (g₁, g₂) (нижняя часть узора)

Далее реализуем процедуру построения 2-изменчивой системы. Эта реализация показана на следующей странице. После многочисленных итераций каждый следующий образ приближается к некоторому аттрактору, который и называется суперфракталом.

Барнсли заменил исходное изображение — линию — на образ «прыгающей рыбы». Он показал, что форма суперфрактала не зависит от формы исходного образа.

Фактически суперфрактал есть отображение системы итерируемых функций на систему итерируемых функций. Суперфракталы представляют своего рода математический мост между детерминистскими и стохастическими фракталами. При V = 1 суперфрактал совпадает с детерминистским фракталом, а при V → ∞ суперфрактал совпадает со стохастическим фракталом.

Напомним алгоритм построения «салфетки Серпинского» с помощью системы итерируемых функций в его графической форме.

Представленная на рисунке система итерированных функций основана на отношении 1/2. Назовем ее системой F.

Добавим вторую систему итерированных функций, точно такую, как и первая, но основанную на отношении 1/3. Обозначим эту систему как G. Пусть обе системы имеют одни и те же фиксированные точки исходного треугольника. Их аттракторы S_F:F (1/2) и S_g: G (1/3) показаны на рисунке.

На следующем рисунке показаны первые три поколения формирования суперфракталов с V = 1, V = 2 и V = 3. Там же приведены соответствующие им символические «деревья»...

Фракталы, построенные на базе систем итерируемых функций F и G c V=1, V=2 u V→∞ соответственно. (Источник: Robert Scealy. V-variable fractals and interpolation. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy of the Australian National University. April 20,2009, 93 p.)

Теперь рассмотрим аттрактор подобных форм при многократной трансформации «салфетки Серпинского» двумя системами итерируемых функций F и G при степени изменчивости V = 2. Результат таких трансформаций показан на рисунке.

Суперфрактал «салфетка Серпинского». (Источник: Notices of the AMS Volume 57, Number I)

Фрагмент суперфрактала, построенного на основе систем итерируемых функций «салфетки Серпинского» с V = 2, показан слева. Присмотревшись к этому фрагменту, вы замечаете, что он состоит из двух симметричных субфрагментов. Если присмотреться еще более внимательно, то обнаружится, что субфрагменты состоят из симметричных подфрагментов и так далее.

Из рисунка мы видим, что суперфракталы обладают локальной симметрией и масштабным подобием. Они не зависят от структуры исходных объектов. Их форма есть сложный аттрактор систем итерируемых функций, «склеенный» посредством вероятностного распределения случайного выбора операций.

В методе Барнсли вероятность управляет последовательностью применения того или иного оператора. При таком подходе случайные величины, проходя через организованную матрицу операций, производят предопределенную форму, точки которой, вновь пропущенные через ту же матрицу, произведут то же множество. Совсем иной алгоритм использован при построении алеаторных фракталов.

Нас окружают повторяющиеся процессы. Их повторение происходит не в клинически чистых условиях, но в поле воздействия многих случайных влияний. Искажения возникают при каждом повторении одной и той же операции. В математической модели такое искажение может быть учтено обращением к генератору случайных чисел при каждом новом повторе. Сам процесс повторения со случайным отклонением можно назвать «алеаторным повторением».

Суть идеи «алеаторного повторения» поясним примером обычного производственного процесса. Пусть одни и те же процессы и процедуры изо дня в день повторяются на предприятиях в Санкт-Петербурге и в Тбилиси. Эти процессы повторяются не в «безвоздушном стерильном пространстве», но в атмосфере постоянного влияния внешних факторов — от макроэкономических до микробиологических. В результате бизнес-процессы становятся уникальными настолько, что структуры компаний в Санкт-Петербурге и в Тбилиси существенно отличаются друг от друга притом, что обе компании производят и поставляют на рынок один и тот же продукт.

Модель, которая может производить разные структуры при сохранении типовых процессов, должна включать случайные вмешательства, приходящие извне. Такую математическую модель мы можем реализовать при построении фракталов. На каждом шаге построения фрактала мы станем обращаться к генератору случайных чисел.

Алеаторные фракталы отличаются от фракталов, построенных с помощью СИФ-алгоритмов тем, что операции на каждом шаге построения алеаторных фракталов остаются одинаковыми.

СИФ-алгоритм чередует операции из заданного перечня операций с определенной вероятностью. Так, погода может изменить наши планы на выходные дни, но в течение рабочей недели возможность изменения плана весьма ограничена.

Последовательность операций фиксирована. Операции повторяются циклически. Повторное выполнение одной и той же операции сопровождается внешними флуктуациями. Для моделирования влияния внешнего «шума» добавим генератор случайных чисел. При больших случайных флуктуациях любая геометрическая форма будет ими рассеяна. Если флуктуации пренебрежимо малы, то они не изменят исходную форму сколько-нибудь заметным образом.

Итак, построение алеаторных фракталов сводится к построению любых фракталов, как линейных, так и нелинейных, по любому детерминированному алгоритму, включая СИФ-алгоритм, с тем отличием, что после каждой операции встроено обращение к генератору случайных чисел (оператору Random). В простейшем случае генератор производит возмущения, которые подчиняются нормальному распределению случайных величин, а их интенсивность характеризуется двумя параметрами — математическим ожиданием μ (х) и среднеквадратичным отклонением σ(x). Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины, а среднеквадратичное отклонение — мера рассеяния случайной величины от его математического ожидания. Для иллюстрации того, как работают генераторы случайных чисел, рассмотрим два примера, которые представляют в наше время лишь исторический интерес, но позволяют «почувствовать» то, что представляет собой нормальное распределение и смысл процесса алгоритмизации чистой случайности.

Примеры типовых фракталов: (а) треугольник Серпинского; (б) лист папоротника; (в) ковер Менгера; (г) раковый сфероид. Первые три фрактала (а-в) получены с помощью систем итерированных функций. Первый ряд представляет исходные фракталы без влияния внешних воздействий. Второй ряд — те же фракталы в присутствии внешнего шума с σ² = 10. Третий ряд — в присутствии внешнего шума с σ² = 100. (Н. Ahammer, T.T.J. DeVaney. The influence of noise on the generalized dimensions. Chaos, Solitons & Fractals Volume 26, Issue 3, November 2005, Pages 707-717)

Прежде всего, рассмотрим так называемую «доску Гальтона». Английский ученый Фрэнсис Гальтон создал первый экземпляр своего «квинкункса» в 1873 году. Бросая свинцовые шарики в квинкункс, Гальтон моделировал вероятностную систему, в которой каждый шарик с вероятностью 50:50 отправится в одну или другую сторону от «гвоздя», с которым сталкивается, и таким образом получается колоколообразное (нормальное) распределение шариков. Обратите внимание, что здесь мы имеем дело с более чем одноразовым взмахом крыльев бабочки: пути двух соседних свинцовых шариков могут совпасть или разойтись на каждом уровне. Тем не менее, как бы ни вел себя каждый шарик, на дне доски Гальтона появляется колоколообразная форма из множества брошенных на гвозди шаров. Это и есть так называемое «нормальное» распределение случайной величины. Вероятность того, что n-й шарик окажется в k-м столбике, равна

При достаточно большом n эта формула аппроксимирует нормальное распределение.

С появлением ЭВМ появились алгоритмы компьютерной генерации случайных чисел. Одним из первых был предложен алгоритм «середины квадрата». Он был предложен в 1946 году фон Неманом. Алгоритм позволяет генерировать числа с любым числом знаков, соответствующим возможности ЭВМ.

Метод очень прост. Допустим, что нужны четырехзначные числа. Выбираем первое число Х₀ произвольно. Например, X₀ = 8219. Возводим его в квадрат. Получится восьмизначное число 67 551 961. Извлекаем средние цифры: 5519. Следующим числом последовательности является X₁ = 5519. Возводим в квадрат 5519, получаем 30459361. Следующее случайное число Х₂ = 4593. Если первые из средних цифр оказываются нолями, то получается число с меньшим количеством знаков. Например, Х₂² =21095 649, Х₃ = 956. Возводя его в квадрат, нужно получить восьмизначное число, дописав спереди ноли Х₃² = 00913936, так что Х₄ = 9139 и т. д. Производные случайные числа Y_n, равномерно распределенные в интервале от ноля до единицы, получаются из чисел Х_n по формуле Y_n = Х_n/1000, где n = 0, 1, 2, 3, ..., так что Y₀ = 0,8219; Y₁ = 0,5519; Y₂ = 0,4593 и т. д.

На первый взгляд метод кажется хорошим. Однако тщательное исследование показало, что это далеко не так. Главный недостаток метода состоит в том, что при некоторых начальных числах последовательность «зацикливается». Выяснилось, например, что в классе четырехзначных чисел последовательности часто завершаются циклом 6100, 2100, 4100, 8100, 6100. Период цикла равен всего-навсего четырем, что, конечно, никуда не годится. Существует число, которое сразу же воспроизводит самое себя. Это 3792 (3792²= 14 379 264). Воспроизводит себя также ноль, и очень часто последовательности, полученные методом середины квадрата, вырождаются в ноль. Поэтому метод середины квадрата представляет в наше время лишь исторический интерес. В настоящее время разработано множество более совершенных методов. При этом оказывается, что для ЭВМ различных конструкций оптимальными являются разные генераторы.

В любом случае математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение внешних воздействий — задаются до начала расчетов. В качестве примеров рассмотрим алеаторные кривые Коха и алеаторные фракталы Мандельброта. Алеаторные фракталы Коха построены при μ = 0. Расчеты показывают, что математическое ожидание не влияет на форму линейного фрактала, приводя только к смещению его относительно осей координат. Что же касается среднеквадратичного отклонения, то с увеличением рассеяния случайных возмущений форма фрактала Коха «размазывается и распыляется».

В наших расчетах использовался генератор случайных чисел Random (G), производящий случайное рассеивание с нормальным законом распределения. Построение кривой Коха выполняется с помощью двух СИФ-преобразований функций вида:

1. х = 0,5х + by     у = bx - 0,5у. 2. х = 0,5х - by + 0,5      y = bx - 0,5 у + b,

где b = 1/(2sqrt(3)).

Возмущающее воздействие на каждом шаге итерации вводится как на расчетные параметры (α = α + RandAB, b = b + RandAB), так и на координаты (PX+RandP, PY+RandP) согласно итерационному алгоритму «замешивания» случайной величины. Алгоритм вычислений показан на рисунке на с. 204.

Алгоритм построения алеаторного фрактала Коха

Результат вычислений производит ожидания. Алеаторные фракталы Коха были получены при μ = 0. Как в случае нормального распределения случайных величин, так и при генерации квазислучайных действительных чисел качественно результат одинаков: с увеличением степени рассеяния случайных величин кривая Коха не просто распыляется, но производит скопление точек с явно видной направленностью. Математическое ожидание в случае линейного фрактала Коха приводит лишь к сдвигу фигуры по осям координат, который не влияет на форму самой фигуры.

Построение фрактала Мандельброта производится по формуле

Z_n = Z₀² + C

с добавлением оператора Random по параметру С или по координатам точки Z.

Алеаторный фрактал Коха при μ = 0:

а) при нормальном распределении случайных величин и σ = 0; σ = 0,03; σ = 0,3 соответственно;

б) при квазислучайном распределении действительных чисел с диапазоном разброса 20, 60 и 300 соответственно

Упрощенный алгоритм расчета, записанный на условном языке программирования, приведен на рисунке (с. 206).

Структурная схема упрощенного алгоритма построения алеаторного фрактала Мандельброта

Необходимо отметить, что возмущающее воздействие по параметру (а = а + RandAB, b = b + RandAB) перекрестно влияет на действительную и мнимую части координат, а возмущающее воздействие на координаты точки Z (PX+RandP, PY+RandP) имеет независимый и более грубый характер влияния на их значения. Результаты, полученные при μ = 0, демонстрируют формирование асимметрии, сопутствующей размыванию привычной картинки Мандельброта.

Нами замечено, что, в отличие от линейного фрактала Коха, форма нелинейного фрактала Мандельброта чувствительна к величине математического ожидания, что отлично иллюстрируют алеаторные фракталы Мандельброта, приведенные на верхнем рисунке (с. 208).

Наконец, самый наглядный эффект влияния случайных возмущений на форму фрактала в целом показан на последнем рисунке. Здесь мы видим, что главные кардиоида и круг радикально изменяют свою форму при изменении случайного воздействия. Появляются совершенно новые формы — символы, напоминающие сердце, знак пик, знаки слияния и разделения.

Алеаторный фрактал Мандельброта при μ = 0:

а) в полном изображении при σ = 0; σ = 0,042 и σ = 0,073 соответственно;

б) в увеличенном фрагментарном изображении в прямоугольнике Xmin = -1,5; Хтах = +0,5 и Ymin = -1,0; Ymax = + 1,0 при σ = 0; σ = 0,05; σ = 0,07 и σ = 1,0

Алеаторные фракталы Мандельброта при σ = 0 и μ = 0,03; μ = 0,1; μ = 0,3; μ = 0,5 соответственно

Любая модель, будучи абстракцией, не столько отражает реальность как она есть, сколько служит инструментом для выявления реальности как она должна стать. Аттрактор в фазовом пространстве динамической системы — это пример того, что с высокой степенью вероятности может стать реальностью. Аттрактор может быть точкой, кругом, тором или фракталом.

Фрактал может служить иллюстрацией описанных представлений, в которых формальное (имеющее форму), действенное (процесс) и символическое (инвариант) образуют единое согласованное целое. Форма фрактала и алгоритм построения фрактала «некоммутативны» в том смысле, что они не зависят друг от друга. Чтобы они сцепились, чтобы активировался тот или иной алгоритм и чтобы появилась та или иная форма, нужен своего рода резонанс. Если структура алгоритма, структура формы и структура внешних условий входят в согласие, появляется фрактал. Алгоритм работает, форма появляется, окружение не сопротивляется. Фрактал есть репрезентация того, что структурирована не форма сама по себе и не алгоритм сам по себе, но организация формы, алгоритма и внешних условий. Эффект такого резонансного поведения формы, алгоритма и внешних условий символизирует появление символического кода — фрактальной размерности.

Фрактальная размерность — символический инвариант фрактальной структуры, особый вид симметрии — как бы симметрия формы относительно масштаба. Фрактальная размерность есть число, присущее всему фракталу и любому фрагменту фрактальной структуры. Фрактальная структура — это сложная и незавершенная конструкция. Каждый фрагмент фрактала есть одновременно элемент фрактала большего масштаба и организующий блок для структур меньшего масштаба. Мы сталкиваемся с такой бесконечной регрессией структур, у которой есть одна глобальная структура, которая поглощает все остальные. Эффект самозаглатывания лежит в основе принципа неполноты. Этот эффект обеспечивает открытость системы. В открытой системы нет никакой пред-данности, хотя это не отменяет предрасположенности. Открытость наделяет случай влиятельной силой.

Реальность одновременно и регламентирована, и алеаторна, она постоянно рассчитывает саму себя притом, что она не обязательно подчиняется тем или иным аксиомам. Все изменяется и одновременно всегда что-либо остается неизменным. Случай способен разрушить алгоритм и форму. Но он же способен склеить и сохранить совершенно разные логики и привести к построению совершенно новой, непредсказуемой и невообразимой формы. В умелых руках, на экране монитора конусы, окружности и квадраты гибко и пластично мнутся, ломаются и превращаются в горный ландшафт, листья папоротника, облака или вспышку молнии. Вся эта магия происходит в результате расчета на основе алгоритма.

Реальность не обязана быть алгоритмизированной. И это ведет нас к представлениям о «фрактале с переменной размерностью». Можно вообразить возможность изменения набора алгоритмов построения фрактала по случаю в интервале неопределенности между построением двух соседних точек фрактала. При этом сохраняется существенное требование, а именно: фрактал должен сохранять свою целостность в том смысле, что каждый его фрагмент согласован с любым другим фрагментом этого фрактала после фиксации любого шага построения фрактала. В каждой точке процесса построения фрактала перед нами незавершенный, но внутренне согласованный фрактал, которому присуща своя определенная фрактальная размерность. Технически такая связность сохраняется, если фрактал имеет переменную размерность, изменение которой непрерывно. Но это тема будущих исследований...